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Par Prof.C.A.KIWANGA (in memoriam) African Virtual university Université Virtuelle Africaine Universidade Virtual Africana Physique Atomique Physique Atomique

Physique Atomique

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Par Prof.C.A.KIWANGA (in memoriam)

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Physique Atomique Physique Atomique

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Note

Ce document est publié sous une licence Creative Commons. http://en.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons

Attribution http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/

License (abréviation « cc-by »), Version 2.5.

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I. Laphysiqueatomique_______________________________________ 5

II. Prérequis________________________________________________ 5

III. Tempsd’apprentissagerequis ________________________________ 5

IV. Matérieldidactique_________________________________________ 5

V. Importancedumodule______________________________________ 5

VI. Contenu__________________________________________________ 6

6.1Aperçu________________________________________________ 6

6.2Organisation___________________________________________ 7

6.3Représentationgraphique_________________________________ 8

VII. Objectifgénéral____________________________________________ 9

VIII. Objectifsspécifiquesliésauxactivitésd’apprentissage _____________ 9

IX. Évaluationpréliminaire_____________________________________ 11

X. Activitésd’enseignementetd’apprentissage_____________________ 16

XI. Concepts-clés(glossaire)__________________________________ 112

XII. Lecturesobligatoires______________________________________ 114

XIII. Ressourcesmultimédias(optionnelles) _______________________ 118

XIV. Liensutiles_____________________________________________ 120

XV. Synthèsedumodule______________________________________ 124

XVI. Évaluationsommative_____________________________________ 125

XVII.Référencesbibliographiques________________________________ 129

XVIII.Auteurdumodule_______________________________________ 130

XIX. Structuredufichier_______________________________________ 131

Table des maTières

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PréfaceCe module comporte cinq sections principales.

La première est la section INTRODUCTION, qui contient elle-même cinq parties :

TITRE : On y définit le titre du modulePREREQUIS : Dans cette section, on vous renseigne sur les connaissances

et aptitudes préalables requises pour débuter ce module. Prenez le soin de bien les regarder afin de savoir si vous devez faire une révision avant de commencer.

TEMPS D’APPRENTISSAGE REQUIS : On vous donne le temps estimé (en heures) qui sera requis pour apprendre ce module. Toutes les autoé-valuations, les activités et les évaluations doivent être terminées dans le temps spécifié.

MATÉRIEL DIDACTIQUE : Vous trouverez ici la liste de matériel requis pour compléter ce module. Une partie du matériel fait partie de kit de cours que vous recevrez sur CD-ROM ou que vous trouverez sur Internet. Le matériel recommandé pour procéder à certaines des expériences peut être obtenu de votre institution d’accueil (une institution partenaire de l’UVA), mais vous pouvez l’obtenir ou l’emprunter par d’autres moyens.

IMPORTANCE DU MODULE : Dans cette section, vous aurez les réponses à des questions comme : « Pourquoi devrais-je étudier ce module en tant qu’enseignant stagiaire ? Quelle est sa pertinence pour ma carrière ? »

La deuxième est la section CONTENU qui comprend trois parties :

APERÇU : Le contenu du module est exposé brièvement. Dans cette section, vous trouverez un fichier vidéo (QuickTime movie) dans lequel l’auteur de ce module est interviewé à propos de ce module. Le paragraphe d’aperçu est suivi d’un énoncé sur l’organisation du contenu et d’une estimation du temps requis pour compléter chaque section. On trouvera ensuite une représentation graphique du contenu. Ceci vous aidera à vous faire une idée de l’organisation du contenu à travers le module.

OBJECTIF GÉNÉRAL : On y trouve des objectifs clairs, concis et compré-hensibles pour vous donner une idée des aptitudes et des connaissances que vous devrez posséder à la fin de ce module. 

OBJECTIFS SPÉCIFIQUES LIES AUX ACTIVITÉS D’APPRENTISSAGE : Chacun des objectifs spécifiques statués dans cette section est au cœur de toute activité d’enseignement. Les unités, les éléments et les thèmes du module sont destinés à vous permettre d’atteindre les objectifs spécifiques et toute évaluation est basée sur ces objectifs. On vous recommande vive-ment de porter attention à ces objectifs spécifiques, car ils vous permettront de cibler votre étude.

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La troisième section contient l’essentiel du module, c’est la section qui prendra le plus de temps. Il s’agit de la section des ACTIVITÉS D’APPREN-TISSAGE ET D’ENSEIGNEMENT l’essentiel des neuf parties est énuméré ce dessous :

EVALUATION PRELIMINAIRE : Cette section comporte une série de ques-tions qui évalueront de façon quantitative votre niveau de préparation aux objectifs spécifiques du module. Ces questions vous aideront à repérer ce que vous savez déjà et ce que vous devrez apprendre, vous pourrez donc voir à quel point vous maîtrisez la matière. Une charte de réponse et des commentaires pédagogiques sont fournis à la fin.

ACTIVITÉS D’ENSEIGNEMENT ET D’APPRENTISSAGE : C’est ici le cœur du module. Vous devrez bien suivre les conseils au cours de cette section. On y trouve divers types d’activités que vous devrez toutes faire. À certains moments, vous ne suivrez pas nécessairement l’ordre des ac-tivités. Il est important de s’assurer que :

  - Toutes les évaluations formatives et sommatives doivent être  effective-ment faites 

- Toutes les lectures obligatoires sont à consulter - Vous aurez à visiter le plus de liens utiles possible - Vous donnerez une rétrospective à l’auteurLISTE DES CONCEPTS-CLÉS (GLOSSAIRE) : Cette Section comprend des

définitions courtes et concises de différents termes utilisés dans le module. Ceci vous aidera à comprendre certains termes que vous ne connaissez peut-être pas.

LECTURES OBLIGATOIRES : Un minimum de trois lectures obligatoires sont fournies, il est obligatoire de les lire.

RESSOURCES MULTIMÉDIAS (OPTIONNELLES) : Cette section contient une liste de références à des ressources multimédias du domaine public. Elles sont nécessaires pour compléter les activités d’apprentissage.

LIENS UTILES : Cette section contient une liste d’au moins dix sites Web pertinents qui vous aideront à comprendre les sujets traités dans le module. Chaque lien est présenté à l’aide d’une référence complète (titre, URL), une capture d’écran ainsi qu’une description de cinquante mots.

SYNTHÈSE DU MODULE : Cette section contient un sommaire du mo-dule.

ÉVALUATION SOMMATIVE :Bon travail.

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i. Physique atomiquePar Pr. C.A. Kiwanga (in memoriam), Université ouverte de Tanzanie

ii. Prérequis

Avant de commencer ce module, vous devez : bien connaître le calcul infinitésimal et  la géométrie préuniversitaires, avoir appris les modules de physique Mécanique 1 & 2, Ondes et optique, Physique thermique, Électricité 1 & 2 et Physique quantique.

iii. Temps d’apprentissage requisL’étude personnelle de ce module devrait vous prendre environ 120 heures. Vous devriez allouer plus de temps aux activités 1 et 3 qu’aux activités 2 et 4. La charge de travail devrait être équivalente à 40 heures pour le modèle atomique, 20 heures pour les décharges électriques, 40 heures pour le spectre atomique et 20 heures pour les rayons X.

iV. matériel didactiqueLa liste suivante énumère et décrit l’équipement nécessaire pour toutes les acti-vités de ce module.

1. Ordinateur (avec accès Internet) : Un ordinateur avec un programme de traitement de texte et un tableur.

2. Tableau périodique des éléments3. Une règle d’un mètre de longueur

V. importance du moduleLa physique  atomique peut  être  définie  de  façon générale  comme  l’étude de la structure de l’atome, ses états d’énergie et ses interactions avec les autres champs et particules. Apprendre la physique atomique est vital non seulement pour comprendre la physique de l’atome, mais également pour comprendre les applications technologiques. Par exemple, le fait que chaque élément possède sa propre empreinte spectrale a contribué à d’importantes avancées en sciences des matériaux et en cosmologie.

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Vi. Contenu

6.1 Aperçu

Dans ce module, vous apprendrez à propos d’un sujet important en physique, la physique atomique. C’est l’un des éléments essentiels de ce que l’on appelle la physique moderne, une discipline scientifique qui est née entre la fin du 19e siècle et le début du 20e siècle. Vous serez édifiés sur les développements histo-riques des théories atomiques, les travaux de Dalton, Thompson, Rutherford et Bohr. Ces quatre scientifiques tiennent une place spéciale dans le développement de la physique atomique. Les travaux de Dalton et de Thompson ont établi les fondations sur lesquelles Rutherford et Bohr ont bâti leurs théories, au point que les modèles développés par ces derniers sont, dans une certaine mesure, toujours en usage. Vous serez donc amenés à résoudre des problèmes liés aux modèles atomiques de Rutherford et de Bohr.

Dans l’activité d’apprentissage 2 de ce module, vous apprendrez des choses rela-tives au phénomène de décharge gazeuse et à l’origine des rayons cathodiques. Ce phénomène a été un véritable casse-tête pour les scientifiques de l’époque, mais a contribué à l’importante découverte de l’électron, la première particule subatomique à avoir été découverte. Vers la fin de l’activité d’apprentissage, vous ferez l’expérience de la goutte d’huile de Millikan qui mena à la découverte que la charge électrique est corpusculaire ou  quantifiée.

Dans l’activité d’apprentissage 3, vous apprendrez des choses relatives à l’évolu-tion du spectre atomique et à l’unicité du spectre atomique pour chaque élément. Cette unicité a des implications scientifiques et technologiques.

Dans l’Activité d’apprentissage 4, vous apprendrez des choses relatives à l’origine des rayons X, au développement du spectre des rayons X et à l’unicité du spectre de rayons X de chaque élément. Vers la fin de l’unité, nous résoudrons des pro-blèmes à l’aide de la loi de Moseley et nous verrons finalement les applications des rayons X comme outil d’analyse.

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6.2 .Organisation

Modèle atomique (40 heures)

• Les modèles de Dalton et de Thompson•  L’expérience de division alpha de Rutherford•  Le modèle atomique planétaire de Rutherford• Le modèle atomique de Bohr• Les postulats de Bohr

Décharges électriques (20 heures)

• La découverte des rayons cathodiques• La variation « luminescente » des tubes cathodiques selon la pression• Les propriétés des rayons cathodiques

Le spectre atomique (40 heures)

• Les nombres quantiques• Les couplages de moments angulaires• Le modèle vectoriel d’un atome•  L’effet Zeeman•  La fine structure du spectre de l’hydrogène• Les spectres d’émission et d’absorption• Le principe d’exclusion de Pauli

Rayons X (20 heures)

• Les propriétés de production et les caractéristiques des spectres de rayons X•  La diffraction des rayons X• L’équation de Bragg et le spectromètre à cristal• Les spectres de rayons X des éléments atomiques• La loi de Moseley

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6.3. Représentation graphique

8

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Vii. Objectif généralL’objectif de ce module est de vous guider de manière chronologique à travers le développement de la physique atomique. Vous commencerez par étudier les modèles atomiques de Dalton, de Thompson, de Rutherford et, pour finir, de Bohr. Vous apprendrez ensuite un phénomène qui mena à la découverte de l’électron et de sa charge négative. Les expériences sur les décharges gazeuses ont également établi comment les atomes pouvaient être excités.

Après avoir terminé ce module vous devriez être en mesure de :

• Comprendre le développement des théories atomiques• Résoudre les problèmes reliés aux spectres d’émission et d’absorption

des atomes• Décrire la production de rayons X et leur interaction avec la matière

Viii. Objectifs spécifiques aux activités d’apprentissage

Contenu

Modèle atomique (40 heures) • Les modèles de Dalton et de Thompson • L’expérience de division alpha de Rutherford • Le modèle atomique planétaire de Ruther-

ford • Le modèle atomique de Bohr • Les postulats de Bohr

Objectifs d’apprentissageAu terme de la section vous devrez être en mesure de :

• Décrire les caractéristiques des modèles atomiques de Dalton et de Thompson

• Résoudre des problèmes liés à l’expérience de division alpha

• Résoudre des problèmes en utilisant les postulats de Bohr

Décharges électriques (20 heures) • La découverte des rayons cathodiques• La variation « luminescente » des tubes cathodiques selon la pression • Les propriétés des rayons cathodiques

• Expliquer le phénomène de décharge sous différentes pressions

• Expliquer pourquoi les rayons cathodiques sont des électrons

• Décrire le contexte et le but de l’expérience de la goutte d’huile de Millikan

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Le spectre atomique (40 heures) • Les nombres quantiques • Les couplages de moments angulaires • Le modèle vectoriel d’un atome • L’effet Zeeman • La fine structure du spectre de l’hydrogène • Les spectres d’émission et d’absorption • Le principe d’exclusion de Pauli

• Utiliser le modèle vectoriel de l’atome pour résoudre des problèmes et expliquer des propriétés

• Expliquer la fine structure des spectres

Rayons X (20 heures)• Les propriétés de production et les caracté-

ristiques des spectres de rayons X • La diffraction des rayons X • L’équation de Bragg et le spectromètre à

cristal • Les spectres de rayons X des éléments

atomiques • La loi de Moseley

• Expliquer l’origine atomique des rayons X • Déterminer les rayons X caractéristiques

des rayonnements Bremsstrahlung • Utiliser la règle de Bragg pour résoudre des

problèmes • Résoudre des problèmes en utilisant la loi

de Moseley

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iX. Évaluation préliminaireÊtes-vous prêt pour le module de physique atomique ?

Cher étudiant

Dans cette section, vous trouverez des questions d’autoévaluation qui vous aideront à évaluer votre niveau d’appropriation de ce module. Vous devriez vous juger vous-mêmes avec sincérité et prendre les mesures nécessaires après avoir terminé l’autoévaluation. Vous êtes encouragés à prendre le temps nécessaire de répondre aux questions.

Cher moniteur,

Les questions d’évaluation préliminaire sont destinées à aider l’étudiant à savoir s’il est prêt à entreprendre l’étude de ce module. Il est fortement conseillé de suivre les recommandations données selon la note de l’étudiant. En tant que moniteur, vous devriez encourager vos étudiants à s’autoévaluer en répondant à toutes les questions ci-dessous. Les recherches en éducation démontrent que ceci aidera les étudiants à être mieux préparés et à exprimer leurs connaissances antérieures.

L’autoévaluation concernant la physique atomique

Évaluez votre niveau de préparation à suivre ce module sur la physique atomique. Si votre note est supérieure ou égale à  60 sur 75, vous être prêts à faire ce module. Si votre note est entre 40 et 60, vous devriez réviser vos notes de physique en mécanique, en électromagnétisme et en physique moderne. Une note en dessous de 40 sur 75 indique que vous devez revoir vos bases en physique.

Toutes les questions sont à choix multiples. L’étudiant doit choisir la réponse la plus appropriée et se donner 5 points pour chaque bonne réponse.

1. Avant 1945, l’atome était défini comme la plus petite :

a) Particule à charge électriqueb) Particule divisiblec) Particule indiscernabled) Particule indivisible

2. Les couleurs de l’arc-en-ciel sont telles que :

a) Seules les couleurs primaires sont présentesb) Le noir et le blanc sont également présentsc) Le violet et le rouge se trouvent à chaque extrémité du spectred) Aucune de ces réponses

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3. Un élément essentiel dans une expérience sur la dispersion de la lumière blanche est :

a) Une lentille convexe doubleb) Un bloc de verre rectangulairec) Un miroir incurvéd) Un prisme de verre triangulaire

4. Les rayons X sont :

a) Des particules subatomiques voyageant à des vitesses relativistesb)  Produits lorsqu’un métal solide est chauffé à des températures avoisinant 

son point de fusionc) Du côté des longueurs d’onde courtes sur le spectre électromagnétiqued)  Du côté des basses fréquences sur le spectre électromagnétique

5. En physique classique

a) Un électron se déplace avec une longueur d’onde de Broglie associéeb) Une particule est associée avec n’importe quel phénomène d’ondec) Le principe d’exclusion de Pauli s’appliqued) Aucune de ces réponses

6. La dérivation phénoménologique de l’équation de Schrödinger a été inspirée par deux équations en physique classique :

a) L’équation d’onde et de la deuxième loi du mouvement de Newtonb) L’équation d’onde et la première loi du mouvement de Newtonc) L’équation d’Ampère-Maxwell et l’équation d’onded) Aucune de ces réponses

7. Un résultat clé de la mécanique quantique est :

a) La distinction entre la matière et les phénomènes d’ondeb) La catastrophe ultraviolettec) La non-distinction des phénomènes d’onde et des particules subatomiques

en mouvementd) La découverte de la charge négative dans les rayons cathodiques

8. L’équation aux dérivées partielles pour l’atome d’hydrogène est plus facilement résolue en utilisant :

a) Les coordonnées cartésiennesb) Les coordonnées cylindriquesc) Les coordonnées polaires sphériques

d) Aucun des systèmes de coordonnées mentionnés

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9.  Une particule  se  déplace  de  façon  circulaire  avec une vélocité  tan-gentielle v. Si r est le rayon du cercle, l’accélération de la particule se traduit par :

a) v/rb) v2/rc) mvrd) mv/r2

10. Si la particule de la question 9 possède une masse  m, le moment an-gulaire L de la particule est donné par la formule :

a) mv/rb) mv2/rc) mvrd) mv/r2

11. Le vecteur du moment angulaire de la particule des deux questions

précédentes est donné par L r p= �r

r r

où pr

est le moment linéaire. La

composante de Lr

est donnée par :

a) L

z= xp

y− yp

x

b) z z yL yp zp= −

c) z x yL xp yp= −

d) z z yL zp yp= −

12. Une charge sphérique positive Q a un rayon R. La magnitude du champ électrique à un point situé à une distance r<R du centre est donnée par :

a)

2

04

rE Q

πε=

b) 0

1

4E Q

rπε=

c) 04

rE Q

πε=

d)2

0

1

4

QE

rπε=

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13. La  quantification  le  l’énergie  électromagnétique  est  résumée  par  l’équa-tion :

a) E=mc2b) E=hwc) E=hnd) E=hc

14. Un atome excité est un atome dont l’état d’énergie est :

a)  Supérieur à l’état fondamentalb)  Inférieur à l’état fondamentalc)  Le même que l’état fondamentald) Aucune de ces réponses

15. En ce qui concerne l’énergie, la lumière violette :

a) Est plus énergétique que la lumière rougeb) Est mois énergétique que la lumière rougec) Possède la même énergie que la lumière rouged) Aucune de ces réponses

16. La longueur d’onde de la lumière violette :

a) Est plus longue que celle de la lumière rougeb) Est plus courte que celle de la lumière rougec) Est égale à celle de la lumière rouged) Aucune de ces réponses

17. Une particule de masse m possédant une charge Q tombe entre deux plaques parallèles chargées. Si le champ électrique entre les plaques est EV/m agissant vers le haut et que le milieu entre les deux plaques est visqueux, créant une force de traînée bv, la relation entre les différentes forces est donnée par :

a) mg qE bv= +r

r r

b) r

r r

mg qE - bv=

c) mg bqE v= ∧r

r r

d) mg bqE .v=r

r

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18. La  condition  pour  la  diffraction  de  la  lumière  est  que  la  longueur d’onde :

a)  Soit proportionnelle à la largeur de la fenteb)  Soit plus grande en proportion à la largeur de la fentec)  Soit beaucoup plus petite en proportion à la largeur de la fented)  Peut avoir n’importe quelle valeur relativement à la largeur de la fente

19. L’énergie d’ionisation est l’énergie nécessaire pour :

a)  Enlever un électron d’orbitale inférieure à un atome gazeuxb) Enlever un électron de l’orbitale supérieure à un atome gazeuxc) Élever un électron de la couche K à la couche M dans un atome gazeuxd) Aucune de ces réponses

20. L’énergie de liaison d’un atome est l’énergie nécessaire pour :

a)  Exciter un électron de couche inférieureb) Enlever un électron de couche supérieurec)  Enlever un électron de couche inférieured)  Implanter un électron dans l’orbitale inférieure

Réponses

1. d2. c3. d4. c5. d6. a7. c8. c9.  b10. c

Commentaire pédagogique pour l’étudiant

Les questions auxquelles vous venez de répondre sont destinées à évaluer votre niveau de préparation pour ce module. Ce module a comme point de départ vos prérequis et donc le résultat est indicatif du niveau de préparation de l’étudiant. Tout résultat inférieur à 50% signifie que vous avez beaucoup de rattrapage à faire avant le commencement de ce module.

11. a12. c13. c14. a15. a16. b17. b18. a19.  b20. c

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X. activités d’enseignement et d’apprentissage

Activité 1 : Les modèles atomiques

Vous aurez besoin de 40 heures pour compléter cette activité. Vous aurez d’abord des lectures, des vidéos multimédias et des exemples, puis des questions et des problèmes d’autoévaluation. Il vous est fortement suggéré de consulter tout le matériel obligatoire et le plus possible de références et de liens utiles.

Objectifs spécifiques d’enseignement et d’apprentissage

• Caractériser les modèles atomiques de Dalton et de Thompson•  Résoudre des problèmes liés à l’expérience de diffusion alpha• Résoudre des problèmes à l’aide des postulats de Bohr

Résumé de l’activité d’apprentissage

L’activité d’apprentissage 1 établit  les fondations du module entier. L’activité commence en examinant la matière d’une perspective historique. Les modèles atomiques  des  fondateurs  de  la  physique  atomique,  soit Dalton, Thompson, Rutherford et Bohr, y sont présentés. En dernier, nous introduisons le concept de chiffre quantique et nous parlerons du principe d’exclusion de Pauli.

Lectures obligatoires

Lecture 1 : Atomic ModelsRéférence complète :De : WikipediaURL : http://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_physicsConsulté le 20 avril 2007Résumé: Cette lecture est une compilation de l’article Wikipédia indiqué ci-haut

et des différents liens disponibles sur la page. Les sections sur le modèle atomique de Dalton, le modèle plum pudding de Thompson, l’expérience de diffusion alpha de Rutherford qui mena au modèle planétaire de l’atome et la physique quantique sont traitées.

Justification : Le matériel  de  cette  compilation  est  essentiel  à  la  première activité de ce module.

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Lecture 2 : Bohr Model of Hydrogen Atom

Référence complète : http://musr.physics.ubc.ca/~jess/hr/skept/QM1D/node2.html

Consulté en juin 2007Résumé : Le modèle de l’atome d’hydrogène de Bohr est présenté de façon 

concise en trois pages Web. Il est suggéré de commencer par la page mise en référence puis d’utiliser le lien next pour aller aux dérivations du rayon de Bohr, et cliquer next une nouvelle fois pour  le calcul des niveaux d’énergie.

Justification : Le matériel est présenté d’une façon qui est facile à suivre.

Lecture 3 : Theory of Rutherford Scattering

Référence  complète : http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/rutcon.html#c1

Consulté en juin 2007Résumé : La physique de diffusion en relation avec le modèle atomique de 

Rutherford  est  très  bien présentée. Vous  aurez  à  suivre  l’organisation présentée dans  la page de  référence et  cliquer  sur  chaque  lien  tel que présenté dans l’organisation.

Justification : Le matériel présenté dans ce lien est essentiel et pertinent au cours.

Ressources multimédias

Référence : http://www.colorado.edu/physics/2000/index.plConsulté en décembre 2006Description : Il s’agit d’un merveilleux applet où l’on crée son propre atome.

En accédant à la page accueil de Physics 2000, cliquez sur la table des matières, puis allez sur Science Trek et cliquez sur Electric Force. Placez votre curseur à environ cinq centimètres du proton. Appuyez et déplacez l’électron ainsi créé à 45° ou plus du noyau et relâchez-le. Regardez ensuite l’électron effectuer une   orbite elliptique autour du proton. Vous serez surpris du nombre d’ « atomes orbitaux » qui n’entrent pas en collision que vous pouvez créer autour du noyau.

Référence : http://www.weaowen.screaming.net/revision/nuclear/rsanim.htm

Consulté en avril 2007Description : Il s’agit d’une simulation de l’expérience de diffusion des par-

ticules alpha contre une cible en or. Dans cette simulation, le noyau est représenté par un point jaune et la particule alpha par un point rouge qui est plus petit. Une diffusion effectuée par l’étudiant en suivant la marche à suivre concernant le choix d’énergie de la particule alpha, le déplace-

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ment du point rouge puis en appuyant sur le bouton « fire ». Vous devez effacer les traces avant la diffusion suivante. Si rien ne se passe lorsque vous cliquez sur « fire », essayez de nouveau. Implémentation d’une série de la marche à suivre constitue une expérience. L’expérience suivante commence en appuyant sur le bouton « next » pour rétablir la position de la particule alpha. Après plusieurs diffusions vous devez effacer les traces. L’énergie de la particule alpha est comprise entre 8 et 25 eV.

Référence : http://www.physics.brown.edu/physics/demopages/Demo/mo-dern/demo/7d5010.htm

Consulté en avril 2007Résumé : Une animation du dispositif expérimental de la diffusion alpha de 

Rutherford  est  exposée.  400  particules  alpha  sont  lancées  contre  une mince feuille d’or.

Référence : http://webphysics.davidson.edu/Applets/pqp_preview/contents/pqp_errata/cd_errata_fixes/section4_7.html

Consulté en juin 2007Résumé : Il s’agit d’une animation de la diffusion Rutherford dans laquelle 

vous pouvez inscrire vos propres valeurs pour le nombre de particules alpha, l’énergie cinétique, la charge nucléaire de la cible et le paramètre d’impact.

Référence : http://www.control.co.kr/java1/masong/absorb.htmlConsulté en avril 2007Description : Il s’agit d’un applet Java démontrant le spectre d’absorption

d’un atome de Bohr.

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Liens utiles

Ressource #1

Titre : From Bohr’s Atom to Electron Waves

URL: http://galileo.phys.virginia.edu/classes/252/Bohr_to_Waves/Bohr_to_Wa-ves.

Html

Capture d’écran :

Reactions to Bohr’s Model

Bohr’s interpretation of the Balmer formula in terms of quantized angular momen-tum was certainly impressive, but his atomic model didn’t make much mechanical sense, as he himself conceded……

Description : Une description chronologique du travail de Niels Bohr qui a eu la quantification du moment angulaire pour point culminant.

Justification : L’article est l’une des nombreuses conférences en physique mo-derne données par Pr Michael Fowler. Vous devriez aller sur la page d’accueil de Physics 252 et lire autant de conférences possibles sur les atomes, les particules et les ondes.

Consulté en avril 2006

Ressource #2

Titre : Chapter 27: Early Quantum Theory and Models of the atom

URL: http://www.google.com/search?q=cache:p4PiiJqdDkwJ:cherenkov.phy-sics.iastate.

edu/~mkpohl/teach/112/ch27.pdf+MODELS+OF+THE+ATOM&hl=en&ct=clnk&cd=79

Capture d’écran :

Page 21: Physique Atomique

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Description : Cet article est une présentation Power Point des débuts de la théorie quantique et des premiers modèles atomiques : Thompson, Rutherford et Bohr.

Justification : Le matériel est présenté de manière concise et incisive et il vous est fortement suggéré de le lire. Pour y accéder, suivez le lien ci-haut puis cliquez sur ce lien : http://cherenkov.physics.iastate.edu/~mkpohl/teach/112/ch27.pdf.

Consulté en avril 2006

Ressource #3

Titre : Atomic Physics

URL : http://theory.uwinnipeg.ca/physics/bohr/node1.html

Capture d’écran:

Description : Sur ce site vous trouverez divers liens qui vous aideront à explorer le modèle des atomes d’hydrogène de Bohr et ses extensions. Ce modèle a été l’un des plus grands succès des débuts de la théorie quantique, et a amené divers champs d’investigation qui sont toujours d’actualité.

Justification : Le matériel contenu dans cette ressource est pertinent au mo-dule.

Consulté en avril 2006

Page 22: Physique Atomique

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Ressource #4

Titre : Atomic Models and Spectra

URL : http://online.cctt.org/physicslab/content/Phy1/lessonnotes/atomic/atomi-cmodelsandspectra.asp

Capture d’écran:

Description: Un exposé chronologique des travaux de Rutherford sur la diffusion des particules alpha et de l’émergence du noyau.

Justification : Le matériel vous sera utile.

Consulté en avril 2006

Page 23: Physique Atomique

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Ressource #5

Titre : Rutherford Scattering

URL : http://www.ux1.eiu.edu/~cfadd/1160/Ch29Atm/Ruthrfd.html

Capture d’écran:

Description: Des notes concises sur la diffusion Rutherford.

Justification : Cet article fait partie d’une série de notes de conférence en phy-sique atomique. Suivez les liens pour plus d’informations.

Consulté en avril 2006

Page 24: Physique Atomique

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Ressource #6

Titre : Atomic Structure Concepts

URL : http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/atomstructcon.html#c1

Capture d’écran:

Description : C’est une ressource très utile et presque exhaustive sur la physi-que de l’atome d’hydrogène. Vous devez suivre les boîtes de façon séquentielle, en commençant avec la boîte Hydrogen energy levels, dans laquelle vous serez ensuite guidé vers le modèle de Bohr, etc.

Justification : Cet article fournit des liens à presque tous les concepts pertinents au module.

Consulté en avril 2006

Page 25: Physique Atomique

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Description détaillée de l’activité (principaux éléments théoriques)

Introduction

Dans la Grèce antique, il existait deux écoles de pensée concernant la structure de la matière, soit la théorie atomique qui stipulait une nature corpusculaire de la matière et la théorie de la matière continue, énoncée par Aristote. Dû au fait que la théorie de la matière continue ait été énoncée par un personnage aussi éminent, la théorie atomique a longtemps été reléguée dans l’ombre.

Le modèle atomique de Dalton

John Dalton, au début du 19e siècle, a proposé un modèle atomique qui a permis une étude quantitative limitée de l’atome.

Le modèle de Dalton consistait en des atomes petits, indivisibles et indes-tructibles, comme des boules de billard, et que chacun des atomes avait une masse, une taille et un comportement chimique dépendant de l’élément auquel il appartient.

Le modèle de Dalton ne dit rien à propos de la composition et de la structure interne de l’atome.

Le modèle atomique de Thompson

Vers  la fin du 19e  siècle,  beaucoup de  données  spectroscopiques  avaient  été récoltées,  à  l’aide  des  développements  en films photographiques,  en  tubes  à décharge gazeuse et en réseaux de diffraction. Les caractéristiques du spectre atomique pour chaque élément avaient été établies. Cependant, il manquait une base théorique pour expliquer les observations.

J.J. Thompson, ayant établi que les rayons cathodiques étaient chargés négati-vement, subséquemment appelés électrons, émit l’hypothèse que les électrons faisaient partie de l’atome. Il proposa un modèle de l’atome comme une sphère pleine d’une substance électrique chargée positivement mélangée avec des élec-trons négatifs « comme des raisins dans un pain ». Le modèle de Thompson est fréquemment appelé le modèle « plum pudding ».

Pour prendre un exemple plus africain, on pourrait comparer l’atome de Thompson à une goyave sphérique symétrique.

Tompson expliquait les raies spectrales en suggérant que les électrons rayonnaient lorsqu’ils oscillaient dans le « pudding positif ». Cependant, cette théorie ne pou-vait pas expliquer les paquets d’ondes précis émis par différents éléments.

Page 26: Physique Atomique

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Le modèle atomique de Rutherford

Sir Ernest Rutherford a proposé un modèle atomique basé sur les résultats de la diffusion de particules alpha. Selon son modèle, l’atome était composé en majorité d’espace vide avec un petit noyau chargé positivement contenant la plus grande part de la masse de l’atome. Ce noyau était lui-même entouré d’électrons négatifs qui tournaient autour, comme les planètes autour du Soleil.

Selon la théorie électromagnétique de Maxwell, une particule chargée se dépla-çant de façon circulaire émet de  l’énergie et donc,  l’électron dans  l’atome de Rutherford perd constamment de l’énergie. Ceci implique que l’électron devrait se diriger vers le noyau et l’atteindre, ce qui ne se passe pas en réalité. Le modèle de Rutherford était une conception améliorée de l’atome, mais ne pouvait toujours pas en expliquer la stabilité.

De plus, selon la physique classique, l’énergie émise par un électron qui tourne autour du noyau devrait avoir toutes les fréquences, en d’autres mots, le spectre émis devrait être continu, ce qui n’est pas le cas. Le spectre émis consiste en des lignes discontinues sur fond foncé. Donc, le modèle de Rutherford ne pouvait pas expliquer les lignes de spectre des éléments.

Le modèle atomique de Bohr

Niels Bohr a proposé un modèle qui pourrait expliquer les divergences entre les lignes de spectre émises par les éléments qui étaient observées et les spectres anticipés par le modèle atomique de Rutherford.

Bohr a proposé les postulats suivants

1. Un électron dans un atome se déplace dans une orbite circulaire autour du noyau, sous l’influence des forces coulombiennes entre l’électron et le noyau.

2. Un électron se déplace sur une orbite pour laquelle son moment orbital angulaire [L] est un multiple entier de

3. Un électron de déplaçant sur une orbite donnée n’émet pas d’énergie électromagnétique. Donc, son total d’énergie E reste constant.

4. Le rayonnement électromagnétique est émis si un électron, se déplaçant

initialement sur une orbite avec un total d’énergie iE, modifie son dé-

placement de façon discontinue de manière à se déplacer avec une éner-

gie totale fE . La fréquence de rayonnement  n est égale à la quantité 

( )i fE E / h−

Page 27: Physique Atomique

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Le modèle atomique du nuage d’électrons

Le modèle en nuage représente une sorte d’histoire des déplacements probables de l’électron et de ses déplacements anticipés. Vous pouvez vous représenter un point au milieu d’une sphère principalement vide, pour représenter le noyau, et plusieurs autres plus petits points autour du noyau qui représentent des circons-tances où se trouvait l’électron. L’ensemble de ces traces se met rapidement à ressembler à un nuage.

La diffusion Rutherford

Adapté de Wikipédia, l’encyclopédie libre http://en.wikipedia.org/wiki/Ruther-ford_scattering

La diffusion Rutherford est un phénomène qui fut expliqué par Ernest Ruther-ford en 1911 et qui a mené à d’importantes avancées dans la théorie orbitale de l’Atome. La rétrodiffusion de Rutherford est une technique d’analyse utilisée en science des matériaux. La diffusion Rutherford est parfois appelée la diffusion de Coulomb puisqu’elle est basée sur des forces d’électricité statique (Coulomb). Un procédé similaire, la diffusion profondément élastique, a permis de sonder l’intérieur des noyaux dans les années 1960’.

Les moments forts de l’expérience de Rutherford

• Un faisceau de particules (est braqué sur une mince feuille d’or.• La majorité des particules passent sans être déviées.• D’autres sont déviées à différents angles• Certaines sont rétrodiffusées

Sir Ernest Rutherford

D’après ces résultats, Rutherford a conclu que la plus grande partie de la masse était concentrée en une région (le noyau) minuscule, chargée positivement et entourée d’électrons. Lorsqu’une particule alpha (positive) s’approchait assez près du noyau, elle était repoussée assez fort pour rebondir à des angles élevés. La petite taille du noyau expliquait le petit nombre de particules alpha qui étaient ainsi repoussées. Rutherford a démontré, en utilisant la méthode ci-dessous, que la taille du noyau était de moins de 10-14m.

Page 28: Physique Atomique

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La théorie de la diffusion

Principales hypothèses

• La collision entre un noyau idéal, mais lourd, possédant une charge de Q=Ze, et un projectile léger possédant une charge de q=ze est considérée comme étant élastique,

• Le moment et l’énergie sont conservés, • Les particules interagissent par la force de Coulomb• La distance verticale du projectile est du centre de la cible, le paramètre

d’impact b détermine l’angle de diffusion q.

Fig. 1.1 La géométrie de la diffusion Rutherford

La relation entre l’angle de diffusion q , l’énergie cinétique  K mv= 20

12

et le paramètre d’impact est donné par

( )zZ eb cot /

πε=

2

02

2 4 ............................................1.1

où z=2 pour la particule  a  et Z=79 pour l’or.

Page 29: Physique Atomique

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Une dérivation superficielle de la section efficace différentielle

Dans la Fig. 1.2 ou 1.3, une particule qui heurte l’anneau entre b et b + db est diffusée dans l’angle solide dW entre q+dq.

Par définition, la section efficace est la constante proportionnelle

( )bdb sin dπ σ θ π θ θ= −2 2Donc,

dd b db d

d

σσ π Ω

Ω

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠2 ......................................1.2

Où d sin dΩ π θ θ= 2

La section efficace différentielle devient donc

b dbdd sin d

πσ

Ω π θ θ=

22

......................................1.3

Des équations 1.1 et 1.3 nous obtenons

( )d qQ

d K sin /α

σ

Ω πε θ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2

40

1 1

4 4 2 ......................................1.4

L’équation 1.4 est appelée la section efficace différentielle  pour  la diffusion Rutherford.

Figure.1.2 Géométrie schématisée pour le calcul de la section efficace différentielle

Page 30: Physique Atomique

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Source : http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/rutcon.html#c1

Figure.1.3 Arrangements géométriques détaillés pour le calcul de la section efficace diffé-rentielle

Dans les calculs ci-dessus, on ne considère qu’une seule particule a. Dans une expérience de diffusion, on doit considérer plusieurs événements de diffusion et mesurer la fraction des particules diffusées dans un angle donné.

Pour un détecteur à un angle spécifique par rapport au faisceau incident, le nom-bre de particules par unité de superficie heurtant le détecteur est donné par la formule de Rutherford :

( )( )

iN nL Z k eN

r K E sin /θ

θ=

2 2 4

2 2 24 2 ...................................1.5

Où Ni = nombre de particules-a

n = atomes par unité de volume dans la cible

L = épaisseur de la cible

  Z = numéro atomique de la cible

e = charge électronique

k = constante de Coulomb

r = distance entre la cible et le détecteur

KE = énergie cinétique des particules-a

  q = angle de diffusion

Page 31: Physique Atomique

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La variation prévue d’alphas avec un angle est suivie de près par les données Geiger-Marsden, montrées dans la Fig. 1.4 ci-dessous.

Figure.1.4  Vérification de la formule de Rutherford

Calcul de la taille nucléaire maximale

Pour les collisions frontales entre les particules alpha et les noyaux, toute l’éner-

gie cinétique mv212

 se transforme en énergie potentielle et la particule est au repos.

La distance entre la particule alpha et le centre du noyau (b) à ce moment est une valeur maximale pour le noyau, s’il apparaît de l’expérience que les particules n’ont pas atteint le noyau.

Figure.1.5   Diffusion des différents paramètres d’impact

Page 32: Physique Atomique

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En appliquant l’énergie potentielle de Coulomb entre les charges de l’électron et

du noyau, on peut écrire :q q

mvbπε

=2 1 2

0

1 12 4

En réarrangeant :

q qb

mvπε= 1 2

20

21

4 ................................1.6

Pour une particule alpha :

m (masse) = 6,7 10-27kg

q1 = 2 (1,6 10-19)C

q2 (pour l’or) = 79 (1,6 10-19) C

v (vélocité initiale) - 2 107 m/s

En substituant ces formules dans l’équation 1.6 on obtient la valeur du paramètre d’impact d’environ 2,7 10-14m. Le vrai rayon est environ 7,3 10-15m.

Le modèle de Bohr

Tiré de Wikipédia, l’encyclopédie libre : http://en.wikipedia.org/wiki/Bohr_mo-del

Figure1.6 Une image de Bohr de l’atome d’hydrogène

Page 33: Physique Atomique

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Dans le modèle de Bohr de l‘atome d’hydrogène (fig.1.6) on voit un électron chargé négativement confiné sur une couche atomique qui encercle un petit noyau atomique chargé positivement. Les sauts d’électron entre les différentes orbites sont accompagnés d’une une quantité émise ou absorbée d’énergie électroma-gnétique hn. Les orbites dans lesquelles les électrons voyagent sont illustrées comme des cercles gris; leur rayon augmente à n2, où n est le nombre quantique principal. La transition 3→2 montrée ici est la première des séries de Balmer, et pour l’hydrogène (Z = 1) on obtient des photons possédant une longueur d’onde 656nm (rouge).

Expression du rayon de Bohr

Prenez le cas d’un ion avec une charge de noyau de Ze et un électron se déplaçant avec une vitesse constante et suivant un cercle de rayon r du centre du noyau. La force de Coulomb sur l’électron est :

ZeF

rπε=

2

204

La  force  de Coulomb est  équilibrée  par  la  force  centripète  et  nous  obtenons donc :

Ze

rπε

2

204

=mv

r

2

En  utilisant  la  règle  de  quantification  du  moment  angulaire  de  Bohr 

hL mrv

π= = =

2h

Nous avons le nième rayon de Bohr nn h

rmZe

ε

π=

2 20

2 ..........................1.7

Et la vélocité de l’électron dans la nième orbite

nZ e

vhnε

=2

02 .........................1.8

Page 34: Physique Atomique

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Le modèle planétaire classique

Nous calculons l’énergie de l’atome d’hydrogène et la fréquence du mouvement orbital d’un atome de Bohr.

Énergie

Énergie mécanique totale E = Ek + E

p (cinétique + potentielle)

keE mv

r

⎛ ⎞−= + ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

221

2      .................................1.9

Où kπε

=0

1

4

Le mouvement orbital est maintenu par la force de Coulomb

ke mv

rr=

2 2

2⇒

kemv

r=

22 .................................1.10

Nous voyons d’après les équations 1.9 et 1.10 que lorsqu’une orbite est circu-laire, l’énergie cinétique est la moitié de la magnitude de l’énergie potentielle. Ceci donne :

ke keE

r r= −

2 21

2

keE

r= −

21

2 .................................1.11

Cette équation montre que l’énergie totale du système est négative. Comme le rayon orbital de l’électron r augmente, l’énergie E diminue et tend vers zéro.

Fréquence

La fréquence orbitale v

fr

ω

π π= =

2 2 .................................1.12

Page 35: Physique Atomique

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Où w est la vitesse orbitale angulaire de l’électron. D’après l’équation 1.10, nous obtenons

v ke

r mr=

2

3

Substituant ceci dans l’équation (4), nous obtenons :

kef

mrπ=

2

3

1

2 .................................1.13

Pour l’atome H  f=7 ×  1015 Hz, qui est dans la région ultraviolette du spectre électromagnétique.

Si l’électron rayonne, l’énergie E va diminuer en devenir encore plus négatif, et de l’équation (3) le rayon orbital r diminue également. La diminution de r dans l’équation 1.13 donne lieu à une augmentation de la fréquence f. Donc, quand l’énergie est rayonnée, E diminue, le rayon orbital r diminue également, ce qui augmente à son tour la fréquence orbitale f.

Ce modèle planétaire prévoit que l’électron tourne autour du noyau en émettant un spectre continu. Ce processus ne dure pas plus de

1  ×  10-8 s selon les calculs, un bien court laps de temps.

Page 36: Physique Atomique

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Tâche 1.1 Estimés selon les modèles de Thompson et de Rutherford

En utilisant les modèles de Thompson et de Rutherford, estimez le champ élec-trique sur la surface d’un atome d’or (modèle de Thompson) et sur la surface du noyau (modèle de Rutherford). Supposez que le diamètre atomique est de 

1× 10-10 m et que le diamètre du noyau est de 1× 10-15 m et ne prenez pas en compte l’influence des électrons.

Tâche 1.2 Dérivation de la formule de diffusion Rutherford

Suivez le lien ci-dessous pour établir la formule de la diffusion Rutherford, nom-mez les principes de physique qui sont impliqués.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/rutcon.html#c1

Tâche 1.3 Les postulats de Niels Bohr

On dit que les quatre postulats de Niels Bohr étaient ad hoc, incohérents avec la théorie de l’époque. Discutez.

Évaluation formative 1

1. Rédigez un essai sur l’évolution du modèle atomique de Dalton à Bohr.

2. Il existe un déséquilibre des genres chez les partisans de la théorie atomique de la matière. Discutez.

3. Quelles étaient les critiques du modèle atomique du « plum pudding »?

4.  Dans la documentation Internet qui vous a été fournie, il semble y avoir des désaccords entre Niels Bohr et Sir Ernest Rutherford. Quel était le désaccord et comment a-t-il été réglé? Y a-t-il des leçons à tirer de ce cas?

5.  Dans la figure ci-dessous, quel est le rayon de l’orbite de Bohr de l’atome d’hydrogène ?

Page 37: Physique Atomique

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6. (a) Si le rayon du noyau était de 10 cm, quel serait le diamètre de l’atome?

(b) Reproduisez les calculs et le noyau hypothétique en supposant que le rayon de la Terre est r = 6,4 × 106 m et comparez la taille du noyau hypothétique avec la distance entre la Terre et la Lune 3,8 ×108 m.

Réponses : (a) 100 000 × 0,20 m = 24 km (b) 6,4 × 1011 m

7. Selon le modèle de Bohr, l’énergie de l’électron devrait-elle augmenter ou diminuer pour une orbite plus large ?

Réponse : Éloigner l’électron du noyau demande plus d’énergie, donc les plus grandes orbites ont plus d’énergie.

8.  Est-ce que le modèle de Rutherford explique : (a) la stabilité des atomes? (b) la raison de l’émission de longueurs d’onde discrètes ? Expliquez vos réponses.

Devoir 1

1.  Donnez  trois présupposés utilisés dans  la dérivation de  la section efficace différentielle  de la diffusion Rutherford.

2.  Une particule 6,0 MeV a - est diffusée à 40° par un noyau d’or.

a. Quel est le paramètre d’impact correspondant?b.  Si la feuille d’or a une épaisseur de 3,0 × 10-7 m, quelle est la fraction 

de particules a contenues dans un rayon de 6,0 MeV qui peuvent être diffusées à plus de  45° 

3.  Calculez le rayon de Bohr d’un atome d’hydrogène dans son état fondamental. Consultez une référence pour les constantes nécessaires.

4.  Calculez l’énergie de l’état fondamental de l’hydrogène tel que modélisé par Niels Bohr. Les électrons ont une énergie négative.

5. Pourquoi une orbite d’un rayon de 1mm a-t-elle peu de chance d’être occupée par un électron dans le modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène? Trouvez le nombre quantique qui caractérise une telle orbite.

6. Montrez sur un diagramme de niveau d’énergie pour l’hydrogène le nombre quantique correspondant à une transition dans laquelle la longueur d’onde de la lumière émise est 121,6 nm.

Enseigner le contenu dans les écoles secondaires 1

Tout dépend du curriculum national de physique, les connaissances de base sur les modèles atomiques dans cette activité peuvent être enseignées aux élèves des écoles secondaires.

Page 38: Physique Atomique

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Activité 2 : Les décharges électriques

Cette activité vous prendra 20 heures. Dans cette activité vous serez amené à faire une série de lectures, à regarder des vidéos multimédias, à consulter des exemples et à répondre à des questions et à des problèmes d’autoévaluation. Il est fortement recommandé de faire toutes les activités, de consulter toutes les références obligatoires et le plus de liens utiles possibles.

Objectifs spécifiques liés aux activités d’enseignement et d’apprentissage

•  Expliquer le phénomène de décharge sous différentes pressions• Mettre de l’avant des preuves que les rayons cathodiques sont composés

d’électrons• Décrire le contexte et le but de l’expérience de la goutte d’huile de Mil-

likan

Résumé de l’activité d’apprentissage

Dans cette activité d’apprentissage, vous apprendrez des choses relatives à un phénoméne qui a déconcerté les scientifiques du 19e siècle. De soi-disant mysté-rieux rayons sont observés quand un courant direct à fort voltage est appliqué à travers un tube de verre sous vide, paré d’au moins deux électrodes, une cathode ou électrode négative et une anode ou électrode positive, dans une configuration connue sous le nom de diode. Nous en apprendrons plus sur une expérience in-génieuse qui a démontré la nature corpusculaire des charges électriques.

Page 39: Physique Atomique

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Lectures obligatoires

Lecture 1 : A Look Inside the Atom

Référence: http://www.aip.org/history/electron/jjhome.htmConsulté en juin 2007Résumé : Cet article traite des travaux de J.J. Thompson sur les rayons ca-

thodiques, qui ont abouti à la découverte de l’électron comme partie fondamentale de l’Atome. Suivez les liens en cliquant sur next.

Lecture 2 : Nobel Prize Lecture on Cathode Rays

Référence : http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1905/lenard-lecture.html

Consulté en juin 2007Résumé : Dans le contexte de vos connaissances actuelles, ceci est une lecture

assez légère, mais informative sur les rayons cathodiques et les opinions fausses de l’époque.

Justification : C’est un exposé du prix Nobel de physique de 1905, Philipp Lenard. Cette lecture sera très motivante.

Lecture 3 : The Millikan Oil Drop Experiment

Référence: http://hep.wisc.edu/~prepost/407/millikan/millikan.pdfConsulté en juin 2007Résumé : C’est un bon article sur les aspects pratiques de l’expérience de la

goutte d’huile de Millikan.Justification : Le matériel présenté est bon et pertinent au cours.

Page 40: Physique Atomique

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Ressources multimédias

Référence : http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/crookestube/Consulté en avril 2007Description : Cet applet vous permet de voir comment le tube rayonne avec

plus de voltage. Il est possible de modifier le voltage à laide d’une barre glissante afin de modifier le courant électrique dans le tube. Comme le courant est augmenté, les électrons commencent à ioniser les gaz empri-sonnés dans le tube, les faisant rayonner d’une couleur bleue fluorescente. Au fur et à mesure que les électrons ionisants passent sur la croix, une ombre apparaît à un bout du tube électronique.

Référence : http://www.physchem.co.za/Static%20Electricity/Millikan.htmConsulté en avril 2007Description : Cet article contient un condensé de la théorie de l’expérience

de la goutte d’huile de Millikan et une expérience virtuelle est également fournie.

Référence : http://www68.pair.com/willisb/millikan/experiment.htmlConsulté en avril 2007Description : Il s’agit d’un applet sur l’expérience de la goutte d’huile de

Millikan. Lisez le texte contenu dans ce lien et puis cliquez «here » pour observer une jolie simulation de l’expérience de Millikan. Faites glisser la barre de champ électrique pour changer le champ électrique entre les plaques et notez l’effet sur les gouttes d’huile. Plus le champ augmente, de plus en plus de gouttes sont attirées vers le haut sur la plaque chargée positivement.

Référence : http://physics.nad.ru/Physics/English/top_ref.htm#millConsulté en avril 2007Description : Ce fichier contient des animations des dix plus belles expériences 

scientifiques. L’expérience de Millikan est la troisième. Allez également voir les vidéos.

Page 41: Physique Atomique

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Liens utiles

Ressource #1

Titre : Investigating Cathode Rays

URL : http://schools.cbe.ab.ca/b858/dept/sci/teacher/zubot/Phys30notes/inves-tnurays/investnurays.htm

Capture d’écran :

INVESTIGATING NEW RAYS

• Dalton, in 1808 proposed that matter is made of atoms.All substances were either made of single atoms or combi-nations of atoms (molecules).

• He thought that atoms were indivisible.

• In the 20th century, experiments showed that atoms were divisible. As a result, new particles and forces were found.

Description:

A schematic diagram of a Crookes tube ap-paratus. A is a low voltage power supply to heat cathode C (a «cold cathode» was used by Crookes). B is a high voltage power supply to energize the phosphor-coated anode P. Shadow mask M is connected to the cathode potential and its image is seen on the phosphor as a non-glowing area.

Source: http://en.wikipedia.org/Image:Crookes Tube.svg.

Description : Les propriétés des rayons cathodiques sont expliquées et illus-trées.

Justification : C’est un bon article sur les propriétés des rayons cathodiques. Vous le trouverez probablement très intéressant.

Consulté en avril 2007

Page 42: Physique Atomique

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Ressource #2

Titre : Cathode Rays

URL : http://en.wikipedia.org/wiki/Cathode_ray

Capture d’écran :

INVESTIGATING NEW RAYS

• Dalton, in 1808 proposed that matter is made of atoms.All substances were either made of single atoms or combi-nations of atoms (molecules).

• He thought that atoms were indivisible.

• In the 20th century, experiments showed that atoms were divisible. As a result, new particles and forces were found.

Description:

A schematic diagram of a Crookes tube ap-paratus. A is a low voltage power supply to heat cathode C (a «cold cathode» was used by Crookes). B is a high voltage power supply to energize the phosphor-coated anode P. Shadow mask M is connected to the cathode potential and its image is seen on the phosphor as a non-glowing area.

Source: http://en.wikipedia.org/Image:Crookes Tube.svg.Source: http://en.wikipedia.org/Image:Crookes Tube.svg.

Description : Une présentation encyclopédique des rayons cathodiques incluant la définition, les propriétés, l’histoire et les applications.

Justification : C’est un bon article avec nombre de liens contenant du matériel pertinent à l’activité.

Consulté en avril 2007

Ressource #3

Titre : The Cathode Ray Tube

URL : http://www.physics.brown.edu/physics/demopages/Demo/modern/demo/7b3510.htm

Captures d’écran :

Une vieille version du tube cathodique

Description : On y décrit un tube cathodique.

Justification : Cet article fait partie d’une série de sommaires de concepts en phy-sique atomique. Suivez les liens pour naviguer à travers les différents sujets.

Consulté en avril 2007

Page 43: Physique Atomique

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Ressource #4

Titre : The Oil Drop Experiment

URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Oil-drop_experiment

Capture d’écran :

A Simplified scheme of Millikan’s oil-drop experiment.

Description : L’expérience de la goutte d’huile de Millikan est décrite en incluant le contexte, la procédure expérimentale, la théorie et le commentaire de Feynman sur le traitement des données de Millikan.

Justification : C’est une présentation encyclopédique sur l’expérience de la goutte d’huile de Millikan. Les liens dans l’article sont utiles et complémentaires.

Consulté en avril 2007

Page 44: Physique Atomique

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Description détaillée de l’activité (principaux éléments théoriques)

Rayons cathodiques

Les rayons cathodiques sont les faisceaux d’électrons observables dans les tubes électroniques, c’est-à-dire des tubes sous vide qui comportent au moins deux électrodes, une cathode (électrode négative) et une anode (électrode positive) dans une configuration connue sous le nom de diode.

Les propriétés des rayons cathodiques

En présence d’air, une étincelle ne s’étend pas très loin de la source, la cathode. Cependant, sous un vide partiel, l’étincelle se rend plus loin.

Faisceaux violets à une pression de p = 2,7 kPa

Quand on évacue l’air du tube, les électrodes : l’anode et la cathode sont connec-tées par un ou plusieurs faisceaux violets, tel qu’illustré dans le schéma ci-haut. À une pression moindre, une lueur rose remplit le tube en entier.

En continuant à évacuer de l’air, la lueur rose se concentre autour de l’anode et une lueur bleue autour de la cathode, tel qu’illustré ci-haut. L’espace entre les lueurs est sombre et est appelé l’espace noir de Faraday.

Page 45: Physique Atomique

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En réduisant encore la pression, l’espace noir s’étend et la couleur aux électrodes diminue jusqu’à ce que le tube devienne obscur, excepté une petite lueur autour de l’anode, tel qu’illustré ci-dessous. La région sombre est appelée l’espace noir de Crooke.

Pression dans le tube p = 1,3 Pa ou moins

La lueur dans le tube est en partie due à la lumière émise par les atomes gazeux quand leurs électrons de désexcitent; la recombinaison des électrons et des ions positifs durant les collisions des particules est également en cause.

Les stries sont causées par l’alternance des ionisations et des recombinaisons dans le tube. Les bandes noires, les espaces noirs de Faraday et de Crooke, sont situés là où les ionisations dues aux collisions entre les ions et les atomes neutres ont lieu principalement. Les atomes gazeux absorbent de l’énergie ce qui excite leurs électrons et ionise les atomes ; donc, aucune lumière n’est émise. Les bandes lumineuses sont des endroits où une lumière est émise soit par la désexcitation des électrons durant la recombinaison avec les ions positifs, soit par la désexcitation des électrons au sein des atomes excités.

Les recherches sur les rayons cathodiques ont révélé les propriétés suivantes :

1. Les rayons cathodiques se déplacent en ligne droite et projettent une ombre.

2. Une roulette placée sur le chemin d’un rayon cathodique se met à tour-ner, indiquant que le rayon est composé de particules, se déplaçant de la cathode vers l’anode et qu’elles ont de l’énergie et une quantité de mouvement.

3. Les rayons cathodiques peuvent être déviés par un champ magnétique et par un champ électrique, ce qui révèle que ce sont des particules chargées négativement.

Page 46: Physique Atomique

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4. Les mesures de rapport charge-masse révèlent l’identité des particules sans égard au matériel cathodique ou du gaz dans le tube.

5. Thompson a appelé la particule du rayon cathodique l’électron.

L’expérience de la goutte d’huile de Millikan

Adapté de Wikipédia, l’encyclopédie libre http://en.wikipedia.org/wiki/Oil-drop_experiment

Robert A. Millikan en 1891

Procédure expérimentale

Schéma simplifié de l’expérience de la goutte d’huile de Millikan

Ce  schéma  illustre  une  version  simplifiée  de  l’installation  de Millikan. Un champ électrique est fourni par une paire de plaques parallèles et horizontales avec une grande différence de potentiel entre les deux. Des gouttes d’huile sont laissées à dériver entre elles. En faisant varier le voltage, les gouttes montent ou descendent.

On fait tomber une goutte avec le champ électrique fermé. La force d’attraction agissant sur la goutte est donnée par la loi de Stoke :

F a vπ η= 6

Où v est la vitesse (c’est-à-dire la vitesse en absence de champ électrique) de la goutte, h est la viscosité de l’air et a est le rayon de la goutte.

Page 47: Physique Atomique

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Le poids de la goutte

W a gπ ρ= 34

3

La goutte est en l’air, elle subit une remontée

upW a dgπ= 34

3

La force descendante résultante :

( )resW a g dπ ρ= −34

3

Où r et d sont, respectivement, la densité de l’huile et de l’air.

Maintenant,  à  vitesse  terminale,  la  force  descendante  résultante  est  la  force d’attraction

( )a g d avπ ρ πη− =346

3 .1

=>( )

va

d g

η

ρ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

1

29

2

2.2

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Source: http://www.phys.ufl.edu/~hill/teaching/2005/2061/links/Millikan.pdf

Fig. 2.1 Schematic diagram of the Millikan oil-drop apparatus.

Source : http://www.phys.ufl.edu/~hill/teaching/2005/2061/links/Millikan.pdf

Figure 2.1 Schéma de l’appareil de la goutte d’huile de Millikan.

Page 48: Physique Atomique

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African Virtual University 45

Source: http://www.phys.ufl.edu/~hill/teaching/2005/2061/links/Millikan.pdf

Fig. 2.1 Schematic diagram of the Millikan oil-drop apparatus.

Figure 2.2 Une goutte d’huile dans le nuage transportant un ion de charge e, tombant à vitesse terminale, c’est-à-dire mg = bv.

Si q est la charge de la goutte et E est le champ électrique entre les plaques de sorte que la goutte se déplace vers le haut avec une vitesse uniforme v

1, alors

La résultante de la force montante =  ( )gdpaEq −= 3

3

Donc ( ) 13 6

3

4avgdpaEq πηπ =−−

De l’équation 2.1 nous avons :

( )E q a v vπη= + 16 2.3

D’après l’équation 2.1 et 2.2, l’équation 2.3 devient :

( ) ( )vq v v

E d gπη η

ρ

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

−⎣ ⎦

12

16 9

2

2.4

Page 49: Physique Atomique

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Évaluation formative 2

1.  Expliquez comment la foudre est formée.2. En utilisant seulement le champ magnétique, comment peut-on savoir

que les rayons cathodiques ont une charge négative?3.  Un électron entre dans un champ magnétique d’une densité de flux B = 

1 T avec une vitesse de 1x106 m/s à un angle de 450 dans le champ. Dé-terminez la magnitude et la direction de la force agissant sur l’électron dans le champ.

4. Comment Thompson a-t-il pu déterminer que les rayons cathodiques étaient les mêmes indépendamment du matériel cathodique et du gaz dans le tube?

5.  Qu’est-ce que Robert Millikan a-t-il découvert grâce à sa célèbre expé-rience.

Tâche 2.1 Discussion de groupe

Consultez le lien suivant et discutez ce dont traite l’article. http://www1.umn.edu/ships/ethics/millikan.htm

Y-a-t-il des leçons de vie à en tirer ?

Tâche 2.2 L’installation expérimentale e/m de Thompson

Source : http://schools.cbe.ab.ca/b858/dept/sci/teacher/zubot/Phys30notes/inves-tnurays/investnurays.htm

Un schéma de l’appareil de Thompson utilisé pour déterminer le rapport charge-masse d’un électron est montré ci-dessus. (a) Décrivez comment la trajectoire des rayons cathodiques est affectée par (i) un champ électrique entre des bobines de déflexion dirigé dans la direction z négative, (ii) un champ magnétique entre la bobine magnétique dirigée dans la direction y. (b) Expliquez les principes physiques applicables dans a(i) et a(ii). (c) Repérez deux appareils utiles qui sont dérivés de l’appareil de Thompson.

Page 50: Physique Atomique

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Devoir 2.1

1. La charge d’un électron est d’environ 1.6x10-19 C. En supposant qu’un champ électrique de 3x104 Vm-1, estimez le rayon d’une goutte d’huile dont le poids pourrait être équilibré par les forces électriques sur l’électron.

2.  Dans l’expérience de rapport charge-masse de Thompson, il est fait en sorte que l’électron passe à travers une région dans laquelle les champs électri-ques et magnétiques sont perpendiculaires l’un à l’autre. (a) Démontrez

que e v

m rB= , où v est la vitesse de l’électron, r est le rayon d’un trajet

circulaire et B est le champ magnétique. (b) En tenant compte du fait que pour que l’électron se déplace circulairement et non en trajet hélicoïdal, les forces électriques et magnétiques doivent être égales, démontrez que 

e E

m rB=

2, où E est le champ électrique.

Enseigner le contenu dans les écoles secondaires 2

Le matériel appris dans cette activité peut être enseigné dans les écoles secondaires avec des modifications minimes.

Page 51: Physique Atomique

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Activité 3 : Le spectre atomique

Cette activité vous prendra 40 heures. Dans cette activité vous serez amené à faire une série de lectures, à regarder des vidéos multimédias, à consulter des exemples et à répondre à des questions et à des problèmes d’autoévaluation. Il est fortement recommandé de faire toutes les activités, de consulter toutes les références obligatoires et le plus de liens utiles possibles.

Objectifs spécifiques aux objectifs d’enseignement et d’apprentissage

• Résoudre des problèmes à l’aide de la loi de Moseley• Utiliser le modèle vectoriel de l’atome pour résoudre des problèmes et

expliquer des propriétés•  Expliquer la fine structure du spectre

Résumé de l’activité d’apprentissage

Dans l’activité d’apprentissage 3, vous apprendrez l’unicité des émissions des différents  éléments. Chaque  élément  possède  sa  propre  empreinte  de  spectre caractéristique. Ce phénomène a beaucoup d’importance en sciences et en tech-nologies.

Lectures obligatoires

Lecture 1

Référence : http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hyde.htmlConsulté en juin 2007Résumé : Cette lecture traite en profondeur, et avec maintes illustrations, de la 

physique de l’atome d’hydrogène, des niveaux d’énergie, de la transition des électrons et des structures fines et hyperfines.

Justification : Cet article traite de sujets liés à l’activité.

Lecture 2 : Emission Spectrum of Hydrogen

Référence : http://chemed.chem.purdue.edu/genchem/topicreview/bp/ch6/bohr.html

Consulté en juin 2007Résumé : Cet article traite le spectre d’émission de l’hydrogène et inclut des

problèmes pratiques résolus.Justification : Cet article couvre des sujets importants en relation avec ce

module et les problèmes pratiques en font une lecture très importante.

Page 52: Physique Atomique

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Lecture 3 : Hydrogen Atom

Référence : An Introduction to the Electronic Structure of Atoms and Mole-cules

URL: http://www.chemistry.mcmaster.ca/esam/Chapter_3/intro.htmlConsulté en juin 2007Résumé : C’est la troisième section d’un article du Pr. Richard F.W. Bader,

professeur de Chimie à l’Université McMaster, Hamilton, Ontario. On y traite l’Atome d’hydrogène, l’évolution des densités de probabilité, donc les orbitales, et finalement le  modèle vectoriel de l’atome d’hydrogène.

Justification : Le matériel présenté dans cet article est bon et pertinent pour cette activité.

Lecture 4 : Mathematical Solution of the Hydrogen Atom

Référence: http://www.mark-fox.staff.shef.ac.uk./PHY332/atomic_physics2.pdf

Consulté en juin 2007Résumé : Cet article donne une méthodologie pour résoudre les problèmes de

l’Atome d’hydrogène en tant que problème de mécanique quantique.Justification : Cet article est pertinent pour le cours puisque vous verrez com-

ment les trois nombres quantiques n, l et m vont de soi.

Lecture 5 : Fine Structure of Hydrogen Atom

Référence : http://farside.ph.utexas.edu/teaching/qmech/lectures/node107.html

Résumé : Cet article fait partie d’une série de notes de conférence en méca-nique quantique non relativiste.

Justification : Le matériel présenté est bon, mais nécessite une bonne connais-sance de la mécanique quantique.

Page 53: Physique Atomique

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Ressources multimédias

Référence : http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/BohrMo-del/Flash/BohrModel.html

Consulté en avril 2007Résumé : On y simule l’excitation d’un atome d’hydrogène. L’électron excité

retourne  à  l’état  fondamental  accompagné d’une  émission de  photon. L’énergie du photon projectile varie entre 10,2 eV et 13,2 eV, juste avant l’énergie d’ionisation de 13,6 eV. La couleur de la ligne émise dépend de l’énergie d’excitation; par exemple, une énergie d’excitation de 10,2 eV excite l’électron de n = 1 à n = 2, la désexcitation est accompagnée de l’émission d’une ligne rouge. Une énergie d’excitation de 13,2 eV excite l’électron de n = 1 à n = 6 et donne lieu à une série de lignes : une ligne violette pour une désexcitation de n = 6 à n = 1, une ligne bleue pour une désexcitation de n = 6 à n = 3 et une ligne bleue pour une désexcitation de n = 3 à n = 1.

Page 54: Physique Atomique

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Liens utiles

Ressource #1

Titre : Modification of the Bohr modelURL : http://theory.uwinnipeg.ca/physics/bohr/node5.html#SECTION0028

40000000000000000Résumé : Malgré le succès du modèle de Bohr, il y avait toujours certaines

lacunes. Par exemple, du côté expérimental, des analyses détaillées du spectre d’émission de l’hydrogène n’ont révélé qu’une seule ligne d’émis-sion était parfois composée de deux, ou plus, lignes très rapprochées, ce qui n’était pas présent dans le modèle de Bohr. On a donc cherché une meilleure base théorique de l’atome d’hydrogène.

Justification : Cet article fait partie d’une série de notes de conférences en physique atomique. Le matériel présenté est pertinent pour le module.

Consulté en avril 2007

Ressource #2

Titre : Bohr’s model of the Hydrogen Atom

URL: http://www.ux1.eiu.edu/~cfadd/1160/Ch29Atm/Bohr.html

Capture d’écran:

Résumé : Après avoir été convaincu de la validité générale du modèle nucléaire de l’atome de Rutherford, Niels Bohr a proposé un modèle planétaire qui a pu expliquer en grande partie le spectre observé de l’hydrogène.

Justification : Cet article fait partie d’une série de notes de conférence sur la physique atomique. Suivez les liens pour plus d’informations.

Consulté en avril 2007

Page 55: Physique Atomique

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Ressource #3

Titre : Emission Line Spectrum, Absorption Line Spectrum and a Continous Spectrum

URL : http://www.physics.brown.edu/physics/demopages/Demo/modern/demo/7b1010.htm

Capture d’écran

Résumé : On montre dans cet article les spectres de lignes d’émission de différents tubes de spectre gazeux, les lignes de spectre d’absorption de gaz de sodium à basse pression et le spectre continu d’une source de lumière blanche.

Justification : Cet article fait partie d’une série de notes de conférence sur la physique atomique. Suivez les liens pour plus d’informations.

Consulté en avril 2007

Page 56: Physique Atomique

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Ressource #4

Titre : Spectra of Gas Discharges

URL: http://laserstars.org/data/elements/index.html

Capture d’écran :

Hydrogen

Helium

Résumé : Cet article montre le spectre d’éléments sous une décharge électrique. Trente-six spectres atomiques sont montrés en couleur. Vous aurez assurément du plaisir à observer ces spectres.

Justification : Le matériel qui y est présenté est pertinent pour l’activité d’ap-prentissage.

Consulté en avril 2007

Page 57: Physique Atomique

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Description détaillée de l’activité (éléments théoriques principaux)

Une solution en résumé de l’équation de Schrödinger de l’atome d’hydrogène

Réduction d’un problème à deux corps en problème à un corps

L’atome d’hydrogène est un système à deux corps interagissant par la loi de Coulomb. Il peut être réduit en un système à un corps de masse réduite :

ep

ep

mM

mM

+=μ

Où M

p est la masse du proton et m

e est la masse de l’électron.

L’équation de Schrödinger pour l’Atome H est donc :

)()(2

22

rEr ψψμ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+∇

−V(r)

h

3.1

Nous généralisons le problème pour inclure le cas d’un atome semblable à l’hy-drogène qui contient un électron se déplaçant autour d’un noyau de charge +Ze pour que son potentiel devienne :

rZe

rVo

επ4)(

2−=

L’opérateur laplacien dans des coordonnées sphériques

À cause de  la symétrie sphérique de  la  fonction potentielle,  l’équation 3.1 se manipule plus facilement dans des coordonnées sphériques r, θ et φ..

Les coordonnées sphériques sont définies par les transformations données dans l’équation 3.2.

Page 58: Physique Atomique

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Y

X

xy

θ,φ )(r,

r

φ

θ

Ζ

z

Figure 3.1 La position d’une particule dans un système à deux coordonnées

x = rsinθ cosφ (3.2.1)

y = rsinθ sinφ (3.2.2)

z = rcos θ (3.2.3)

222 zyxr ++= (3.2.4)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= −

r

z1cosθ (3.2.5)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= −

x

y1tanφ (3.2.6)

Et la transformation de coordonnées cartésiennes dans des coordonnées sphériques est facilitée par le théorème de dérivation des fonctions composées :

φ∂

φ∂

θ∂

θ∂

iiii xxrxr

x++=

Où xi représente x, y ou z.

Donc finalement, l’opérateur laplacien dans des coordonnées sphériques polaires peut être montré comme :

Page 59: Physique Atomique

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⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=∇

2

2

222

22

sin

1sin

sin

112

∂φ

θ∂θ

∂θ

∂θ

θ∂

rrrr 3.3

En indiquant la partie angulaire de l’opérateur laplacien par L2 et la partie radiale

par ℜ , l’opérateur laplacien devient :

2L∇ = ℜ +2 1

2

Et donc l’équation de Schrödinger pour l’atome d’hydrogène devient :

L V ( r ) ( r , , ) E ( r , , )r

ψ θ φ ψ θ φμ

⎡ ⎤⎛ ⎞− ℜ + + =⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

2

21

2h 2 3.4

La méthode de séparation des variables

( r , , ) R ( r )Y ( , )ψ θ φ θ φ=

Mène à une équation différentielle radiale et à une équation différentielle dé-pendante :

[ ]R ( r ) E V (r ) R ( r ) R ( r )r

μ Λℜ + − =2 2

2

h 3.5

L Y ( , ) Y ( , )θ φ Λ θ φ= −2 3.6

La méthode de séparation des variables peut être répétée à l’équation angulaire dépendante par application de la solution fondamentale :

( ) ( ) ( )Y , Pθ φ θ Φ φ=

Qui mène à deux équations différentielles additionnelles dans q et f. L’équation différentielle dépendante q est donnée par :

d dP m Psin P

sin d d sinθ Λ

θ θ θ θ

⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

21

0

3.7

Page 60: Physique Atomique

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Où ( )l lΛ = + 1

Et l’équation différentielle dépendante f est donnée par

dm

d

ΦΦ

φ+ =

22

20

3.8

L’équation 3.8 peut être résolue pour donner

( ) i mA e φΦ φ =

  3.9

La  solution  fondamentale ( ) ( ) ( )Y , Pθ φ θ Φ φ=   prend  la  forme  fonction-nelle :

( ) ( )lml

m

miml

ml d

deCY 1

1

1, 2

2

2−⎟

⎞⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

−=

ηηη

φη φ 3.10

Qui peut être écrite en termes des fonctions associées de Legendre  définies comme suit :

( ) ( ) ( )lmlm

mml d

dP 1

1

11 2

2/

2−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

−−=

ηηη

η 3.11

De manière à ce que l’équation 3.10 devienne

( ) ( ) ( ) φηφη imml

ml

mml ePCY 1, −= 3.12

Les fonctions normalisées d’harmonique sphérique prennent la forme :

( ) ( )( )

( ) φηπ

φη mimll

mm

l ePmlmll

lY

!

!.

4

12

!2

)1(,

++−= 3.13

Page 61: Physique Atomique

Université Virtuelle Africaine �0

Et devient en somme :

( ) ( )( )

( )lmlm

iml

ml d

de

mlmll

lY 1

1

1

!

!

4

12

!2

1, 2

2/

2−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

−−

++=

ηηηπ

φη φ

Nombres quantiques

Deux nombres quantiques ressortent de l’équation angulaire dépendante, soit le nombre quantique orbital l et le nombre magnétique quantique m.

Le nombre magnétique quantique spécifie l’orientation du vecteur du moment angulaire quant à l’axe de rotation choisi et le nombre angulaire quantique spécifie la forme de la densité de probabilité ou de l’orbitale.

La solution de l’équation radiale différentielle mène à une solution radiale nor-malisée

[ ]

/ lZr / na l

nl n lZ ( n l ) ! Zr Zr

R ( r ) e Lna na nan ( n l ) !

− ++

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 22 1

31 2 2

2 o

o o o

Où n est le nombre quantique principal, a0 est  le rayon de Bohr et Z est  le 

nombre atomique.

Les solutions radiales sont les fonctions propres de l’énergie de l’atome d’hydro-gène. Les valeurs propres sont obtenues par la définition du nombre quantique principal n.

k Z en

E

μ

μ=

2 2 2 42

2 2h

nkZ e

Ea n

∴ = −2 2

22o

akeμ

=2

0 2

h

ln l

ZrL

na++

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2 1

0

2 est le polynôme de Laguerre associé défini par :

( )l n l

l n ln l

d dL ( ) e e

d dρ ρρ ρ

ρ ρ

+ ++ + −+

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 12 1 où

Z r

naρ =

0

2

Page 62: Physique Atomique

Université Virtuelle Africaine ��

Exemples de solutions radiales normalisées

1. Pour n=1, l=0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= −

oo

o

naZr

LenaZ

R naZr 2.1.12 1

1/

2/3

10

Et maintenant ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −ρρ ρρρ

edd

edd

naZr

Lo

211 = 1

=> )1(x2 /

2/3

10 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= −

o

o

naZrenaZ

R

o

o

aZreaZ

R /

2/3

10 2 −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∴

2. Pour n=2, l=0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= −

ooo

o

aZr

LeaZr

aZ

rR aZr

2

2

2

2

8.2

1

22)( 1

22/

02/3

20

Et maintenant ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −ρρ ρρρ

edd

edd

aZr

L 22

212 2

2

o

==> 42

42

2.2

2

212 −=−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

ooo

aZr

aZr

aZr

L

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−= − 4

2.1.

41

22)( 2/

2/3

20oo

o

aZr

eaZ

rR aZr

o

oo

aZreaZr

aZ

rR 2/

2/3

20 22

)( −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=∴

Page 63: Physique Atomique

Université Virtuelle Africaine ��

3. Pour n=2, l=1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= −

o

aZr

aZr

LeaZr

aZ

rR2

2

2

2

)!3(2

1

22)( 3

32/

3

2/3

21o

oo

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= −

ooo

o

aZr

LeaZr

aZ aZr

2

2

2

2

6.2

1

6

1

22 3

32/

2/3

Et maintenant ( ) ( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −ρρ ρ

ρρρ e

dd

edd

L 3

33

33 = 6

==> ( ) ( )622

121

61

22 2/

2/3

21 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= −

o

oo

aZreaZr

aZ

rR

o

oo

aZreaZr

aZ

rR 2/

2/3

213

12

)( −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∴

Dégénérescence des niveaux d’énergie de l’hydrogène

Les fonctions propres appartenant à la même valeur propre sont dites dégénérées. L’énergie E

n n’est dépendante que du nombre quantique principal n. Cependant,

pour chaque valeur de n, il y a des valeurs n de l, l = 0, 1, …, n -1. Pour chaque valeur de l il y a (2l + 1) valeurs de m. La dégénérescence totale de chaque niveau d’énergie est donc la somme

( )

n

l

l n−

=

+ =∑1

2

0

2 1

La fonction d’onde totale de l’hydrogène

La fonction d’onde totale de l’hydrogène, excepté pour le temps, est la fonction de produit :

m

nlm nl l( r , , ) R ( r )Y ( , )ψ θ φ θ φ=

On peut noter que là où la forme des fonctions propres dépend des valeurs des trois nombres quantiques n, l et m, les valeurs propres de l’énergie ne dépendant que du nombre quantique principal n.

Page 64: Physique Atomique

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Exemples de fonctions d’ondes spatiales normalisées de l’hydrogène :

r / a/R ( r )Y ( , ) e

aψ θ φ

π−= =0

100 10 0 3 21 1

o

o

r / a/

rR Y e

aaψ

π−⎛ ⎞

= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

20200 20 0 3 2

1 12

4 2o

o

o

r / a/

rR Y e cos

aaψ θ

π−= = 20

210 21 1 3 21 1

4 2o

o

o

r / a i/

rR Y e sin e

aaφψ θ

π−= = 21

211 21 1 3 21 1

8o

o

o

, etc.

La densité de probabilité radiale

Par définition,  la densité de probabilité d’un  électron dans un  état  propre  est donnée par le produit :

* * * *nlm nlm nl lm m nl lm mR P R Pψ ψ Φ Φ=

Donc, dans sa  forme brute,  la densité de probabilité est une fonction de  trois variables qui  sont plutôt difficile  à  représenter graphiquement directement.  Il est par conséquent pratique courante de traiter de la densité de probabilité sur chaque variable séparément.

La densité de probabilité radiale est définie par :

*nl nlm nlmP ( r )dr r sin drd d

π π

ψ ψ θ θ φ= ∫ ∫2

2

0 0

* * *nl nl lm lm m mr R ( r )R ( r )dr P P sin d d

π π

Φ Φ θ θ φ= ∫ ∫2

2

0 0

Les intégrales au dessus de θ et de φ sont égales à l’unité puisque chacune des fonctions P et Φ (ainsi que R) sont normalisées séparément.

La densité de probabilité radiale est donc donnée par :

drrRrRrdrrP nlnlnl )()()( *2= 3.14

Page 65: Physique Atomique

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Là où φθθψψ ddrdrnlmnlm sin2* donne la probabilité de trouver un électron dans le

volume élémentaire dt = φθθ ddrdr sin2 , l’équation 3.14 donne la probabilité de trouver l’électron n’importe où avec une coordonnée radiale entre r et r + dr.

Visualisation des orbites d’électrons de l’hydrogène

Figure 3.2 Densités de probabilité d’électrons à différents nombres quantiques

Source : http://en.wikipedia.org/wiki/Image:HAtomOrbitals.png

Dans la figure 3.2, l’image à droite montre les premières orbites de l’atome d’hy-drogène (les fonctions propres d’énergie). Ce sont des coupes transversales de la densité de probabilité qui sont codées en couleur (noir=aucune densité, blanc=la plus haute densité). Le nombre quantique l du moment angulaire est indiqué dans chaque colonne, en utilisant l’habituel code de lettres spectroscopique (« s » veut dire l = 0; « p » : 1 =1; « d » : 1=2). Le nombre quantique principal n (=1, 2, 3, …) est indiqué à la droite de chaque rangée. Pour chaque image, le nombre quantique magnétique a été réglé à 0, et le plan de la coupe transversale est le plan x z (z est l’axe vertical). La densité de probabilité dans un espace à trois dimensions est obtenue en effectuant une rotation autour de l’axe z.

L’état fondamental, c’est-à-dire l’état d’énergie minimal, dans lequel un électron est habituellement trouvé est le premier, l’état « 1s » (n = 1, l = 0).

Une image avec plus d’orbites est également disponible (avec des nombres n et l plus élevés).

Remarquez les lignes noires qui sont présentes dans chacune des orbites sauf la première. Ce sont les « lignes nodales » (qui sont des surfaces nodales en trois dimensions). Leur nombre total est toujours égal à n-l, qui est la somme du nombre de nœuds radiaux (égal à n – l – 1) et le nombre de nœuds angulaires (égal à l).

Page 66: Physique Atomique

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Exemple 3.1 :

Montrez que la fonction d’onde décrivant un électron 1s et un électron 2s est orthogonale.

Solution :

Électron 1s n=1, l=0 :

0/

2/3

01

1 aZrs e

aZ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

πψ

Électron 2s n=2, l=0 :

02/

0

2/3

02 2

4

1 aZrs e

aZr

aZ −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

πψ

Le produit scalaire devient

∫ ∫ ∫∫∞

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0 0

2

0

*

/

2/3

02

*1

01π π

πτψψ aZr

sspaceall

s eaZ

d

drddreaZr

aZ aZr θφθ

πsin2

24

1 22/

0

2/3

0

0

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

(où l’élément sphérique du volume φθθτ ddrd sin2=

=> τψψ ds

spaceall

s 2*1∫

∫ ∫ ∫∞

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0 0

2

0

22/3

0

3

0

sin224

10

π π

θφθπ

drddreaZr

aZ aZr

∫ ∫ ∫∞

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0 0

2

0

2/32

0

3

0

sin224

10

π π

φθθπ

ddrderaZr

aZ aZr

Page 67: Physique Atomique

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∫ ∫∞

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0 0

2/32

0

3

0

sin222

10

π

θθddreraZr

aZ aZr

( )∫∞

− −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

00

2/32

0

3

0

cos222

10

πθdrer

aZr

aZ aZr

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∫ ∫

∞ ∞−−

0 0

2/33

0

2/32

3

0

0022

1drer

aZ

dreraZ aZraZr

( ) ( ) ⎥

⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛= 4

003

0

3

0 2/3

!3

2/3

!22

2

1

aZaZ

aZaZ

Donc,

02*1 =∫ τψψ ds

spaceall

s

Exemple 3.2 :

Une  forme  alternative  pour  déterminer  les  polynômes  de Laguerre  associés est :

( ) ( )[ ]

( )( )i

ln

i

illn x

iililnln

xL ∑−−

=

+++ ++−−−

+−=

1

0

2112

!!12!1!

1)(

Utilisez cette relation pour trouver le polynomial de Laguerre pour n=2 et l=1 et vérifiez la constance avec un calcul précédent pour les mêmes valeurs.

Solution :

En substituant n=2 et l=1., nous obtenons

( ) ( )[ ]

( )( )6

!0!3!0)!3(

)1(!!3!0

!31)(

20

0

213

3 −=−=+−

−= ∑=

+ i

i

i xiii

xL

Qui s’accorde avec un résultat précédent pour le même polynôme.

Page 68: Physique Atomique

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Exemple 3.3 :

La fonction de l’onde radiale décrivant un électron dans un atome semblable à l’hydrogène est donnée par :

( ) ( ) ( )( )[ ]

( )ρρρ 122/

2/1

3

30

!2

!1/2 ++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

+

−−−= l

lnl

nl Lelnn

lnnaZrR

Où ( )rnaZ 0/2=ρ et 2200 /4 ea μπε h=

Quelle est la probabilité de trouver un électron 1s à r> a0?

Solution :

Pour un électron 1s n=1, l=0 et Z=1, nous obtenons

ρρ 0

0

21

2a

Zna

r ==

Et la fonction d’onde  2

2/3

010

12)(

ρ−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= e

arR

La probabilité sera donnée par ( ) ( )∫∞

=0

2*

a

drrrRrRP

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

∞−∫ ρρρρ

221

21

2 0

2

02/

2/3

0

*

2

2/

2/3

0

ad

ae

ae

a

∫∞

−=2

2

2

1ρρ ρ de

( )[ ] ( )[ ] 22

2

2 5244021

2221 −−

∞− =−−−−=−−−= eee ρρρ

➡ P=0.6767.

Page 69: Physique Atomique

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Exemple 3.4

Déterminez < r > pour une fonction d’onde 2p.

Solution

De ( )rnaZ 0/2=ρ , pour n=2 et Z=1, nous avons r=ra0.

Donc,

( ) ( )∫

=0

221

*21 drrrrRrRr

( ) ( ) ( )02

0

2

3

00

0

2

3

0

22 1

62

11

62

1adae

aae

aρρρρρ

ρρ

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

∫∞

( ) 00

0

50 5!52424

aa

dea

=== ∫∞

− ρρ ρ

Représentation vectorielle du moment angulaire d’orbite permise

Le problème de valeur propre pour la fonction dépendante f est :

( ) ( )zL̂ mΦ φ Φ φ= h où le nombre quantique m=0, l-1, l-2,…

Le problème de valeur propre pour la fonction dépendante( ),θ φ est :

( ) ( )L̂ Y , Y ,θ φ Λ θ φ=2 2h où ( )l lΛ = + 1 et le nombre quantique orbital l=0,

1, 2, 3, …n-1.

Pour une valeur donnée de l, la magnitude du moment angulaire orbital :

L l( l )= + 1r

h

Les valeurs possibles de la composante L

z peuvent être représentées schémati-

quement en tant que projections d’un vecteur de longueur h)1( += llL sur l’axe z.

Nous illustrons dans la figure 3.3 les projections permises pour le moment angu-laire orbital pour les cas de l=1, 2 et 3.

Page 70: Physique Atomique

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Figure 3.3 Projections de vecteur permises pour l=1, 2 et 3

Le vecteur représentant le moment angulaire orbital total prend n’importe laquelle des orientations distinctes (2l+1) selon l’axe z choisi. Il est permis d’avoir des

composantes quantifiées le long de l’axe choisi. La propriété du vecteur  Lr

de ne faire qu’un nombre fini d’inclinaisons distinctes avec un axe donné est parfois appelée la quantification de l’espace.

Le vecteur Lr

devrait être perçu comme couvrant un cône avec l’angle du vecteur donné par

θcosLm = )1(

cos+

=⇒ll

Le spin

Définition du spin

Chaque particule élémentaire, c’est-à-dire les protons, les neutrons, les électrons, etc. possèdent un moment angulaire intrinsèque appelé spin, symbole S.

Il n’y a pas d’analogue classique qui permettrait une définition du spin com-me :

r

S =r

r ∧r

ps

Page 71: Physique Atomique

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D’une manière similaire à la définition du moment angulaire orbital :

r

L =r

r ∧r

p

La magnitude de S est h

21

. Le spin est une propriété interne d’une particule,

comme la masse ou la charge. Il constitue une coordonnée additionnelle ou un degré de liberté dans les formulations de mécanique quantique.

Règles de commutation

Ce sont exactement les mêmes que celles du moment angulaire orbital, c’est-à-dire :

zyx SiSS∧∧∧

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

h, , etc.

0,2 =⎥

⎤⎢⎣

⎡ ∧∧

zSS , etc.

+

+

∧∧

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ SSS z h, , etc.

Les fonctions d’onde du spin ou spineurs

Ils sont dénotés par μs où s=1/2 et m = ±1/2

De façon à ce qu’un état de spin « up » sera dénoté par

2

1

2

10

1=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=upχ

Et un état de spin « down » par

2

1,

2

11

0−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=downχ

Les spineurs sont des fonctions propres simultanées des opérateurs de spin∧

2S

et zS∧

, c’est-à-dire

Page 72: Physique Atomique

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2

1

2

1

4

3

2

1

2

11

2

1

2

1

2

1

2

1 222hh =⎟

⎞⎜⎝

⎛ +=S

S 2 1

2,−

1

2=

3

4h

2 1

2,−

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1h=zS

Et

S

z

1

2,−

1

2= −

1

2h

1

2,−

1

2

Donc, l’algèbre des opérateurs de moments angulaires orbitaux peut être appliquée directement à ceux des opérateurs de spin.

Le vrai atome d’hydrogène

Dans ce dont nous avons discuté jusqu’à présent, nous avons adopté une approche simplifiée. Seule l’interaction de Coulomb a été prise en compte dans l’Hamilto-nien. Cependant, dans un traitement plus réaliste, plusieurs corrections doivent être prises en compte. Ceci inclut l’interaction de spin et d’orbite, les corrections relativistes, et l’interaction nucléaire hyperfine.

Nous considérerons maintenant ces effets en détail.

L’interaction entre le spin et l’orbite

Le moment angulaire et les moments magnétiques (semi-classique)

Une boucle de courant est associée à un moment magnétique

r

μ = Ir

A

Où I est le courant et Ar

est la région vectorielle dont la direction est perpendi-culaire au plan de la boucle en accord avec la règle de la main droite.

Où A = π r 2

Et 1 = charge de l’électron nombre de fois que l’électron passe par un point donné = ef

Où f est la fréquence de rotation de l’électron.

Page 73: Physique Atomique

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La magnitude du moment du dipôle magnétique

r

μ = I A = ef( ) π r 2( )Dont la direction est opposée au moment angulaire orbital L

r

puisque l’électron a une charge négative.

Maintenant L = mvr = m 2π rf( ) r = 2mf π r 2 =

2me

μ

Donc,

r

μ = −e

2m

r

L . 3.15

Puisque le moment angulaire est quantifié, nous avons :

r

l = mlh l

Dans le premier rayon de Bohr, 1=lm et l’équation 3.15 devient donc :

r

μl =−eh l

2m= −μB l

3.16

Où mB

est appelé le magnéton de Bohr et sa valeur est donnée par :

μB =

eh

2m

On peut observer dans l’équation 3.16 que ml est dirigé antiparallèlement au

moment angulaire orbital.

Le rapport du moment magnétique au moment angulaire orbital est appelé rapport gyromagnétique classique.

γ l =

r

μlr

l=

e2m

=μBh

3.17

Page 74: Physique Atomique

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Le moment du spin angulaire possède également un moment magnétique qui lui est associé. Son rapport gyromagnétique est environ le double de la valeur classique pour les moments orbitaux.

γ s =

r

μsr

s=

em

3.18

Ceci  signifie que  le  spin est deux  fois plus efficace que  le moment angulaire orbital pour produire un moment magnétique.

Les équations 3.17 et 3.18 sont souvent combinées en écrivant :

γ =

ge2m

Où g est appelé le facteur de division spectroscopique.

Pour un moment angulaire orbital g=1, pour le spin seulement g 2 (quoique ex-périmentalement g=2,004)

Pour les états qui sont un mélange de moments angulaire orbital et de spin, g n’est pas intégrale.

Puisque s =12

h

Le moment magnétique dû au spin de l’électron est

μs = γ s

r

s =em

.h

2= μB

Donc, la plus petite unité du moment magnétique pour l’électron est le magnéton de Bohr, que l’on y associe le moment angulaire orbital ou de spin.

Page 75: Physique Atomique

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La fréquence de Larmor et l’effet Zeeman normal

(Traitement classique)

Nous considérons  l’effet d’un champ magnétique faible sur un électron effectuant un mouvement circulaire dans une orbite planaire. Nous supposons que le champ magnétique est appliqué le long de l’axe z et que le moment angulaire est orienté à un angle q par rapport à l’axe z, comme le montre la figure 3.4 ci-dessous.

Figure 3.4 La précession du vecteur de moment angulaire dans un champ ma-gnétique

Le couple sur lr

est donné par

r

τl=

r

μl∧

r

B                3.19

Ceci est dirigé dans le plan de la page, dans la direction φ.

Le couple est aussi égal au taux de changement du moment angulaire, nous avons donc :

r

τ l =dr

ldt

=r

μl ∧r

B = γ l

r

l ∧r

B 3.20

Mais,

dr

l = l sinθdφ

Page 76: Physique Atomique

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De façon à ce que la forme scalaire de l’équation 3.20 devient :

l sinθ .

dφdt

= γ l lB sinθ 3.21

Nous définissons la vélocité précessive par

ω

L=

dφdt

De manière à ce que l’équation 3.21 devienne

ω L = γ l B =

e2m

B 3.22

La vélocité angulaire wL est appelée la fréquence de Larmor.

Donc, le vecteur du moment angulaire précède environ l’axe z à la fréquence de Larmor en résultat du couple produit par l’action d’un champ magnétique sur son moment magnétique associé.

En utilisant la relation de Planck, l’énergie associée à la fréquence de Larmor est :

ΔE = ±ω L h = ±

ehB2m

= ±μB B

3.23

Où les signes se  réfèrent au sens de la rotation. On peut observer que cette diffé-rence d’énergie est l’énergie potentielle dans un dipôle magnétique où le moment est un magnéton de Bohr.

Souvenez-vous que l’énergie dipolaire est donnée par

ΔE = −r

μ .r

B

Dans l’équation 3.23, le signe positif correspond à l’alignement antiparallèle tandis que le signe négatif (énergie plus basse) indique l’alignement parallèle.

L’effet général de cette énergie associée à  la  fréquence de Larmor est que, si l’énergie d’un électron possédant un moment m

B est E

0 en l’absence d’un champ

appliqué, alors il peut prendre l’une des énergies

Page 77: Physique Atomique

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E 0 ± μB B

Dans un champ magnétique B.

Donc, dans un ensemble de particules atomiques identiques du type discuté, un champ magnétique produit un triplet de niveaux, appelé triplet de Lorentz dont

l’énergie est E0 et E 0 ± μB B .

Ce phénomène est connu sous le nom d’effet Zeeman normal.

L’effet Zeeman est en fait beaucoup plus complexe tel que présenté dans le trai-tement classique. Le spin de l’électron est exclu du modèle classique.

Donc, lorsqu’un champ magnétique est appliqué, les moments angulaires orbi-taux et de spin vont précéder. Les divisions de niveau d’énergie résultantes ne peuvent être expliquées de façon classique et requièrent donc un traitement de mécanique quantique. En conséquence de ce comportement inexplicable, l’effet Zeeman plus général qui  inclut  le spin a été historiquement nommé de façon erronée l’effet Zeeman  anomal.

(a) Transition simple sans champ magnétique appliqué(b) Cinq transitions avec un champ magnétique externe appliqué

Figure 3.5 Transitions avec et sans champ magnétique

Page 78: Physique Atomique

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L’interaction entre le spin et l’orbite (traitement de mécanique quantique)

Dans l’inclusion introductive du spin dans la fonction d’onde de Schrödinger, il est présupposé que les coordonnées du spin sont indépendantes des coordonnées dans l’espace de configuration. Donc, la fonction d’onde totale est écrite comme une fonction de produit :

Ψ total

=ψnlm

(r ,θ ,φ).χ(spin).e− iE nt / h

Ψ

total= R

nl.e− iE nt / h l ,m

ls,m

s 3.24

La supposition faite ci-haut implique qu’il n’y a aucune interaction entre L et S,

C’est-à-dire

L∧

, S∧⎡

⎣⎢⎢

⎦⎥⎥= 0

Dans ce cas, Ytotal est une fonction propre de L

z comme de S

z et donc

m

l et m

s sont

de bons nombres quantiques, en d’autres mots, les projections de Lr

et de Sr

sont des constantes de mouvement.

En réalité, il y a une interaction par Lr

et Sr

appelée l’interaction entre le spin et

l’orbite, exprimée en terme de la quantité Lr

. Sr

.

Puisque Lr

. Sr

ne commute ni avec Lr

, ni avec Sr

, l’équation 3.24 n’est plus cor-recte et m

l comme m

s cessent d’être de bons nombres quantiques.

Nous imaginons l’interaction entre le spin et l’orbite comme le moment de spin magnétique stationnaire interagissant avec le champ magnétique produit par les noyaux orbitant.

Dans le couple de repos de l’électron, il y a un champ électrique.

r

ε =Zer 2

r∧

(cgs)

Et un champ magnétique

r

He=

r

j ∧ r∧

r 2 (cgs)

Page 79: Physique Atomique

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Où r∧

est dirigé du noyau vers l’électron.

En supposant que vr

est la vélocité de l’électron dans le couple de repos du noyau, le courant produit par le mouvement du noyau est :

r

j = −Zec

r

v

dans le couple de repos de l’électron.

Ensuite,

r

He= −

Zec

r

v ∧ r∧

r 2= −

1

cr

v ∧r

ε

Le moment de spin de l’électron précède dans ce champ à la fréquence de Lar-mor

r

ωe= γ

r

He= −

em

0c2

r

v ∧r

ε

3.25

Avec l’énergie potentielle

E e= −

r

μs.v

He= −

r

ωe.r

S 3.26

Les équations 3.25 et 3.26 sont valides avec le couple de repos de l’électron.

La transformation vers le couple de repos du noyau introduit un facteur de ½, appelé facteur de Thomas. [Ceci peut être démontré en calculant la dilatation du temps entre les deux couples de repos.]

Donc, un observateur dans le couple de repos du noyau observerait l’électron précéder avec une vitesse angulaire de :

r

ωL= −

e2m

0c2

r

v ∧r

ε 3.27

Page 80: Physique Atomique

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Et par une énergie additionnelle donnée par

ΔE = −

1

2

r

ωe.r

S 3.28

Les équations 3.27 et 3.28 peuvent être mises sous une forme plus générale en res-treignant V à être n’importe quel potentiel central avec une symétrie sphérique.

De sorte que

r

F = − r∧ ∂V∂r

= −er

ε

Et donc

r

v ∧r

ε =1

e∂V∂ r

r

v ∧ r∧

=1

e1

r∂V∂ r

r

v ∧r

r = −1

em0

1

r∂V∂ r

r

L

L’équation 3.27 devient

r

ωL= +

1

2m0

2c2

1

r∂V∂ r

r

L

Et l’énergie additionnelle

ΔE = +

1

2m0

2c2

1

r∂V∂ r

r

L.r

S

  3.29

Le produit scalaire

smSL lh

rr

=.

Pour le spin = ½

hh

rr

2

1.. lmSL = = 2

2

1hlm=

Page 81: Physique Atomique

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La division de l’énergie devient

ΔE =

h

2 ml

4m0

2c2

1

r∂V∂ r

Pour le potentiel de Coulomb, la division de l’énergie peut être donnée approxi-mativement par

ΔE =

D

c

2 mlZe2

r 3 3.30

λ

c=

hm

0c

est la longueur d’onde de Compton et

D

c=

h

m0c

ou

λc

2π.

Un résultat utile en calcul est cité sans preuve. La valeur moyenne de 1/r3

C’est-à-dire

1

r 3=

Z 2

a0

2 n2 l(l +1 / 2)(l +1) 3.31

Pour l 0.

De sorte que la division d’énergie devient :

ΔE =

D c2ml Z 3e

a02n2l( l + 1 / 2 )( l + 1 )

Pour l 0.

Page 82: Physique Atomique

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Schéma de couplage de moments angulaires

Nous n’avons jusqu’à présent que le couplage du spin et du moment orbital d’un seul électron par moyen d’une interaction entre le spin et l’orbite. Nous consi-dérons maintenant le cas de deux électrons pour lesquels il y a quatre moments constituants.

Le modèle de couplage j-j

Le modèle suppose que l’interaction entre le spin et l’orbite domine les interac-tions électrostatiques entre les particules.

Nous écrivons donc, pour chaque particule :

111 SLJrrr

+=

Et 222 SLJrrr

+=

Le moment angulaire total est obtenu en combinant 1Jr

et 2Jr

:

21 JJJrrr

+=

Et

j = j

1+ j

2, j

1+ j

2−1 ,......., j

1− j

2

Nous illustrons le couplage j-j en l’appliquant à deux électrons p qui ne sont pas équivalents.

Pour chaque électron

j1= j

2=

1

2or

3

2

Page 83: Physique Atomique

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Les différentes façons possibles de les combiner sont montrées dans le tableau 3.1.

Tableau 3.1 : Couplage j-j de deux électrons p qui ne sont pas équivalents

j1 j2 j Termes spectraux Nombre d’états dans un champ magnétique

3/2

3/2

3,2,1,0

3

2,3

2

⎝⎜⎞

⎠⎟3,2 ,1,0

16

3/2

1/2

2,1

3

2,1

2

⎝⎜⎞

⎠⎟2 ,1

8

1/2

1/2

1,0

1

2,1

2

⎝⎜⎞

⎠⎟1,0

4

1/2

3/2

2,1

1

2,3

2

⎝⎜⎞

⎠⎟2 ,1

8

36 états

Dans un champ magnétique faible, chaque état d’un j donné se divisera en (2j+1) correspondant aux valeurs permises de m

j.

Bien que le couplage j-j est très utilisé pour décrire les états nucléaires observés en spectroscopie nucléaire, il n’est pas approprié pour beaucoup de systèmes atomiques à cause de l’électrostatique très forte et des autres interactions entre les deux électrons.

Page 84: Physique Atomique

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Le schéma de couplage Russel-Saunders

Le modèle Russel-Saunders a eu plus de succès à rendre compte des spectres atomiques pour tous les atomes sauf les plus lourds. Ce modèle suppose que les interactions électrostatiques, incluant les forces d’échange, entre les deux électrons dominent les interactions de spin et d’orbite. Dans ce cas, le moment orbital et les spins des deux électrons se couplent séparément pour former :

21 LLLrrr

+=

Et 21 SSSrrr

+=

Le moment angulaire total est donné, comme avant, par :

SLJrrr

+=

Pour deux électrons p qui ne sont pas équivalents nous avons : l=2, 1 ou 0, et s=1 ou 0.

Pour chaque l et s, les valeurs j sont :

l + s , l + s −1 ,........, l − s

Et pour chaque valeur j, il y des valeurs (2j+1) de mj. Les combinaisons sont

données dans le tableau ci-dessous.

On peut observer que, même si le nombre d’états est une fois de plus 36 dans un champ magnétique faible, leurs énergies ne sont pas les mêmes que celles dans le schéma de couplage j-j.

Page 85: Physique Atomique

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Tableau 3.2 : Le couplage Russel-Saunders de deux électrons p qui ne sont pas équivalents

l

s

j

Termes spectraux

Nombre d’états dans un champ magnétique

2

1

3,2,1

3 D

1,2 ,3

15

2

0

2

1D2

5

1

1

2,1,0

3 P

0 ,1,2

9

1

0

1

1P1

3

0

1

1

3S1

3

0

0

0

1S0

1 36 états

Le facteur de Landé et l’Effet Zeeman

Les contributions orbitales et de spin au moment magnétique sont données par

r

μl = −gl e

2m0

r

L = −glμ B l l + 1( ) l∧

Et

r

μs = −gse

2m0

r

S = −gsμ B s s + 1( ) s∧

Où gl = 1 et g

s = 2.004 2.

Maintenant, quand Lr

et Sr

sont couplés, nous obtenons :

SLJrrr

+=

Page 86: Physique Atomique

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Et r

μ =r

μl+

r

μs

r

μ =μ

B

h

r

L + 2r

S( )

3.32

Il est évident à partir des expressions de Jr

et de

r

μ que le moment magnétique total n’est pas en colinéarité générale avec le moment angulaire total, tel qu’il-lustré dans la figure 3.6.

Figure 3.6 Le moment magnétique total n’est pas colinéaire avec le moment total angulaire

Puisque Lr

et Sr

précèdent aux environs de Jr

, il est apparent que

r

μ précède

également aux environs de Jr

. Cependant, le moment magnétique effectif, c’est-

à-dire la composante de

r

μ le long de Jr

, maintient la valeur constante,

μ

j=

r

μ.r

Jr

J= −

μB

h

r

L.r

J + 2r

S .r

Jr

J= −

μB

h

r

L.(r

L +r

S ) + 2r

S .(r

L +r

S )r

J

= −

μB

h

L2 + 2S 2 + 3r

L.r

Sr

J

= −

μB

h

L2 + 2S 2 +32

J 2 − L2 − S 2( )r

J

Page 87: Physique Atomique

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(où J 2 =

r

L +r

S( )2

= L2 + 2r

L.r

S + S 2 )

μ

j= −

μB

h

(L2 + 4S 2 + 3J 2 − 3L2 − 3S 2

2r

J

μ

j= −

μB

h

r

J3J 2 + S 2 − L2

2J 2

⎝⎜⎞

⎠⎟

μ

j= −

μB

h

r

J 1+J 2 + S 2 − L2

2J 2

⎝⎜⎞

⎠⎟

= −

μB

h

h j( j +1). 1+j( j +1) + s(s +1) − l(l +1)

2 j( j +1)

⎣⎢

⎦⎥

∴ μ

j= −μ

Bj( j +1). 1+

j( j +1) + s(s +1) − l(l +1)

2 j( j +1)

⎣⎢

⎦⎥

Nous définissons le facteur de Landé comme :

g = 1+

j( j +1) + s(s +1) − l(l +1)

2 j( j +1) 3.33

Et le moment magnétique effectif devient :

μ

j= gμ

Bj( j +1) 3.34

Pour un spin de zéro, l’équation 3.33 se réduit au cas classique de g=1 et pour l=0, g=2.

Nous sommes maintenant en position de rendre compte du soi-disant effet Zee-man anomal.

Dans un champ magnétique faible, le moment angulaire  Jr

précèdera aux environs

de Br

 de façon à ce que la projection de  Jr

le long de la direction du champ sera

l’une des valeurs permises de hjm .

Page 88: Physique Atomique

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Le moment magnétique correspondant le long de la direction du champ, en sup-posant que ce soit la direction z, sera alors :

μz = −gμB m j

Ayant un champ magnétique dipolaire de

E = gm

BB 3.35

Dans le cas classique, g=1. Mais dans l’équation 3.35, g dépend du nombre quantique l, s et j.

Nous l’illustrons dans le tableau 3.3, en calculant le facteur g pour un électron dans un état p et un état s.

Tableau 3.3 : Les calculs de facteur g

État orbital l j gp 1 3/2 4/3

p 1 1/2 2/3s 0 1/2 2

Dans un champ magnétique B, tel que mBB est inférieur à l’énergie du spin et de 

l’orbite, j et mj sont de bons nombres quantiques et les

énergies des états divisés

comme montré dans le tableau 3.4 et dans la figure 3.7 ci-dessous.

Figure 3.7      La division Zeeman pour les états p et s

Page 89: Physique Atomique

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Tableau 3.4 : Calculs des divisions Zeeman

État orbital j mj g

ΔE = gm

j

En unités de µBBp 3/2 3/2 4/3 2p 3/2 1/2 4/3 2/3p 3/2 -1/2 4/3 -2/3p 3/2 -3/2 4/3 -2p 1/2 1/2 2/3 1/3p 1/2 -1/2 2/3 -1/3s 1/2 1/2 2 1s 1/2 -1/2 2 -1

Donc, le soi-disant effet Zeeman « anomal » est ce qui normalement attendu pour un électron ayant un spin à demi intégral et un faible champ magnétique.

L’effet Zeeman « normal » ou classique ne peut se produire pour un seul électron dans un champ magnétique faible à cause du terme de spin dans l’équation 3.33. Cependant, dans des atomes dans lesquels les spins sont jumelés de manière à ce que le spin soit de zéro, la valeur g pour tous les états spectroscopiques est la valeur classique et seulement trois lignes spectrales sont observées.

Le spectre atomique

Quand la structure fine est ignorée, toutes les longueurs d’ondes de l’hydrogène atomique sont données par une seule formule empirique, la formule Rydberg :

f i

Rn nλ

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎝ ⎠

2 21 1 1

où R . −= × 31 0967758 10 Å-1

Où nf = 1 et n

i = 2, 3, 4 donnent la série de Lyman (Ultraviolet)

nf = 2 et n

i = 3, 4, 5 donnent la série de Balmer (Visible)

nf = 3 et n

i = 4, 5, 6 donnent la série de Paschen (Infrarouge)

nf = 4 et n

i = 5, 6, 7 donnent la série de Brackett (Infrarouge lointain)

etc.

Page 90: Physique Atomique

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Figure 3.8 Le spectre d’hydrogène

Source : http://www2.kutl.kyushu.ac.jp/seminar/MicroWorld1_E/Part4_E/P43_E/Bohr_theory_E.htm

Figure 3.9 Le spectre d’émission et d’absorption continu

Source : http://csep10.phys.utk.edu/astr162/lect/light/absorption.html

Page 91: Physique Atomique

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On obtient un spectre continu quand la pression du gaz est si haute que le gaz émet de la lumière à toutes les longueurs d’onde.

On obtient un spectre d’absorption quand la lumière passe à travers un gaz froid et raréfié.

Un spectre d’absorption est essentiellement un spectre d’émission renversé du même élément qui a produit le spectre d’émission.

Les spectres d’absorption et d’émission de l’hydrogène sont particulièrement utiles en astrophysique parce que l’hydrogène est un élément très répandu dans l’univers.

Le principe d’exclusion de Pauli

Pour expliquer certains aspects du spectre atomique, Wolfgang Pauli a déterminé qu’on ne peut avoir deux électrons avec les mêmes quatre nombres quantiques. C’est ce qui est appelé le principe d’exclusion de Pauli.

Le principe d’exclusion de Pauli suggère que seuls deux électrons avec des spins opposés peuvent occuper une orbite atomique. Dit d’une autre façon, deux électrons ne peuvent avoir les mêmes quatre nombres quantiques n, l, m et s. Le principe d’exclusion de Pauli peut être exprimé d’autres façons, mais l’idée est que les états d’énergie ont un espace limité pour loger des électrons. Un état accepte deux électrons de différents spins.

Dans des orbites complètes (des orbites contenant deux électrons de spins opposés) un électron doit être de spin « up » et l’autre de spin « down », et on dira d’eux qu’ils forment une paire.

La configuration électronique pour des atomes de plus d’un électron

L’équation d’onde de Schrödinger a été conçue initialement pour l’hydrogène, un atome d’un seul électron.

Dans un tel cas, toutes les orbites de chaque niveau d’énergie ont la même énergie et sont dites dégénérées.

Dans les atomes de plus d’un électron, les électrons se repoussent, la charge nucléaire effective varie avec le nombre atomique et les électrons de l’orbitale interne font écran devant ceux des orbitales externes.

Page 92: Physique Atomique

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Les énergies orbitales sont alors décalées comme dans la figure ci-dessous.

Variation of energy levels for atomic orbitals of some elements H

_2s_ _ _2p

_ 1s

Li

_ _ _ 2p _ 2s

_ 1s

Be

_ _ _ 2p

_ 2s

_ 1s

B

_ _ _ 2p

_ 2s

_ 1s

C

_ _ _ 2p

_ 2s

_ 1s

N

_ _ _ 2p

_ 2s

_ 1s

O

_ _ _ 2p

_ 2s

_ 1s

F _ _ _

Source : http://www.science.uwaterloo.ca/~cchieh/cact/c120/eleconfg.html

Les énergies orbitales plus basses sont remplies avant que des électrons soient ajoutés au niveau supérieur.

La règle de Hund

La règle de Hund suggère que les électrons préfèrent les spins parallèles dans ses orbites séparées de sous-orbitales. Cette règle nous aide à assigner les électrons à différents états dans chaque sous-couche des orbites atomiques. En d’autres mots, les électrons remplissent chacune des orbites dans la sous-couche avant de se mettre en paire avec des spins opposés.

Le principe d’exclusion de Pauli et la règle de Hund nous aident à déterminer la configuration des électrons pour chaque élément.

Page 93: Physique Atomique

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Tâche 3.1

1. Les couplages spin-orbite divisent tous les états en deux excepté l’état s. Pourquoi ?

2.  Expliquez pourquoi le rayon effectif de l’atome d’hélium est moindre que celui d’un atome d’hydrogène.

Évaluation formative 3.1

1. Déterminez la longueur la plus longue et celle la plus courte de la série de Lyman de l’hydrogène.

2.  L’étude du spectre atomique était une sorte d’industrie vers la fin du 19e siècle et au début du 20e siècle. Élaborez.

3. La longueur d’onde la plus longue dans la série de Lyman pour l’hydro-gène est 1215 Å. Calculez la constante de Rydberg.

4. Des électrons d’énergie 12.2 eV sont tirés sur des atomes d’hydrogène dans un tube à décharge gazeuse. Déterminez la longueur d’onde des lignes qui peuvent être émises par l’hydrogène.

5. Déterminez le moment magnétique d’un électron se déplaçant dans une orbite circulaire de rayon r près d’un proton.

6. Utilisez les résultats de la mécanique quantique pour calculer les moments magnétiques possibles pour n=3.

7.  Déterminez la division Zeeman normale des lignes rouges de cadmium de 6438 Å quand les atomes sont placés dans un champ magnétique de 0,009 T.

8.  Exprimez L.S. en termes de J, L et S. Supposant que L=1 et S=½, calculez les valeurs possibles de L.S.

9.  Un faisceau d’électrons entre un champ magnétique uniforme B=1,2T. Trouvez la différence d’énergie entre les électrons dont le spin est parallèle et ceux dont le spin est antiparallèle au champ magnétique.

Page 94: Physique Atomique

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Devoir 3.1

1.  La fonction d’onde normalise pour l’état fondamental d’un atome semblable 

à l’hydrogène avec une charge nucléaire Ze a la forme    u(r ) = Aexp(−βr ) où A et b sont des constantes et r est la distance entre l’électron et le noyau. Démontrez ce qui suit :

(a) A2 =

β 2

π(b)

β =

Za

0

a

0=

h

2

me

4πε0

e2

(b) L’énergie E = −Z 2 E0

E

0=

me

2h

2

e2

4πε0

⎝⎜

⎠⎟

2

(c) Les valeurs d’attente des énergies potentielles et cinétiques sont 2E et

–E, respectivement,

(d) La valeur d’attente Z

ar

2

3 0=  et (f) la valeur la plus probable de r est

Z

a0

2. Pour l’état y210

de l’atome d’hydrogène, calculez les valeurs d’attente < r >, <1/r> et <p2> et ensuite trouvez les valeurs d’attente des énergies potentielles et cinétiques.

3. Déterminez les longueurs d’onde les plus courtes et les plus longues de la série de Lyman de l’atome d’hydrogène (Rép. l

max = 1215 Å et l

min =

912 Å)4. Déterminez la deuxième ligne de la série de Paschen pour l’hydrogène

(Rép. 12,820 Å)5. Des électrons d’énergie 12,2 eV sont tirés sur des atomes d’hydrogène

dans un tube à décharge gazeuse. Déterminez les longueurs d’onde des lignes qui peuvent être émises par l’hydrogène. (Rép. 6563 Å, 1215 Å 1026 Å)

6. Démontrez que ( ) ( ) ( )L .S J J L L S S⎡ ⎤= + − + − +⎣ ⎦21

1 1 12

rr

h

7. Calculez les valeurs possibles de L.Srr

 pour L=1 et S=½.8.  Calculez la différence d’énergie entre les électrons qui sont parallèles 

et ceux qui sont antiparallèles avec un champ magnétique uniforme b=0,8T quand un faisceau d’électrons se déplace perpendiculairement 

au champ (Indice : ΔE = B

eh

mΔms )

Page 95: Physique Atomique

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Activité 4 : Les rayons X

Cette activité vous prendra 20 heures à compléter. Dans cette activité vous serez amené à faire une série de lectures, à regarder des vidéos multimédia, à consulter des exemples et à répondre à des questions et à des problèmes d’autoévaluation. Il est fortement recommandé de faire toutes les activités, de consulter toutes les références obligatoires et le plus de liens utiles possible.

Objectifs spécifiques aux activités d’enseignement et d’apprentissage

• Expliquer l’origine atomique des rayons X• Distinguer les rayons X caractéristiques des rayonnements Bremsstra-

hlung• Rappeler la relation de Moseley et son utilité dans la résolution de pro-

blèmes

Résumé des activités d’apprentissage

Dans l’activité d’apprentissage 4, vous commencerez par apprendre l’origine des rayons X d’une perspective historique. Vous apprendrez ensuite que chaque élément possède son propre spectre de rayons X. Cette propriété est semblable à une propriété similaire que vous avez apprise dans l’unité précédente et a donc des implications scientifiques et technologies similaires.

Page 96: Physique Atomique

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Lectures obligatoires

Lecture 1 : X-Ray Production

Référence complète : http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/xtube.html

Résumé : Cet article fait partie d’une série d’articles détaillés sur la physique des rayons X, couvrant tous les objectifs de cette activité d’apprentissage. L’article d’ouverture traite de la production de rayons X et les liens traitent des rayonnements Bremsstrahlung , des rayons X caractéristiques, de la loi de Moseley et de la diffraction des rayons X.

Justification : Cette présentation par Hyperphysics est comme toujours, claire et précise. C’est une lecture essentielle.

Consulté en juin 2007

Lecture 2 : The Origin Characteristic of X-Rays

Référence complète : http://www4.nau.edu/microanalysis/Microprobe/Xray-Characteristic.html

Résumé : Cet article traite de la production de rayons X caractéristiques. Les liens à cette page traitent des rayons X de continuum, des orbitales électroniques, des transitions d’électrons, de la loi de Moseley et d’autres sujets en dehors des exigences du cours.

Justification : Il s’agit d’une bonne référence qui est pertinente au cours. Consulté en juin 2007

Lecture 3 : X-Ray Diffraction

Référence complète : http://www.physics.upenn.edu/~heiney/talks/hires/wha-tis.html#SECTION00011000000000000000

Consulté en juin 2007Résumé : On y présente de manière concise les rayons X.Justification : Cet article couvre le contenu de cette activité.

Page 97: Physique Atomique

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Lecture 4: X-Ray Diffraction

Lien de référence: http://e-collection.ethbib.ethz.ch/ecol-pool/lehr/lehr_54_folie2.pdf

Référence complète : http://www.google.com/search?q=cache:qLs7iI81agwJ:e-collection.ethbib.ethz.ch/ecol-pool/lehr/lehr_54_folie2.pdf+X-RAY+MOSLEY’S+LAW

Résumé : Cet article contient une présentation Power Point sur des aspects pratiques de la diffraction, des tubes à rayons X, des spectres de rayons X et sur la loi de Moseley. Pour accéder aux articles, commencez avec la référence complète puis continuez avec le lien de référence.

  Justification : Cette lecture est pertinente pour l’activité, prenez le soin de bien la lire.

Ressources multimédias

Référence : http://ie.lbl.gov/xray/mainpage.htm

Consulté en avril 2007Description : On y trouve le spectre de rayons X des éléments sur le tableau

périodique, les spectres sont dessinés à l’aide d’un applet Java.

Référence : http://www.eserc.stonybrook.edu/ProjectJava/Bragg/Consulté en avril 2007Description : Ce site contient un applet Java à propos de la loi de Bragg et de

la diffraction. Vous devriez alterner entre la longueur d’onde de rayons X,  l, l’angle de Bragg q et la distance interplanaire d et pour chaque variation d’un paramètre, étudier l’effet produit.

Référence : http://www.mineralogie.uni-wuerzburg.de/crystal/teaching/iin-ter_

bragg.htmlConsulté en avril 2007Description : Ce site contient un tutoriel interactif à propos de la diffraction 

de Bragg. Répondez aux questions pour chaque interaction.

Page 98: Physique Atomique

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Liens utiles

Ressource #1

Titre : A Historical Ovrview of the Discovery of X-rays

URL: http://www.yale.edu/ynhti/curriculum/units/1983/7/83.07.01.x.html

Capture d’écran :

THE DISCOVERY OF X-RAYS

In october of 1895, Wilhelm Conrad Ršntgen (1845-1923) who was professor of physics and the director of the Physical Institute of the University of Wurburg, became interested in the work of Hillorf, Crookes, Hertz, and Lenard. The previous June, he had obtained a Lenard tube from Muller and had already repeated some of the original experiments that Lenard had created. He had observed the effects Lenard had as he produced cathode rays in free air. He became so fascinated that he decided to forego his other studies and concentrate solely on the production of cathode rays.

Résumé : Cet article  fait une présentation historique des événements qui ont mené à la découverte des rayons X. On commence avec les travaux du Dr William Gilbert sur le magnétisme en 1600 pour terminer avec la découverte des rayons X en 1895 par Röntgen.

Justification : Le matériel présenté est facile à lire, mais pertinent. Cela vous sera très utile.

Consulté en avril 2007

Page 99: Physique Atomique

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Ressource #2

Titre : Notes on the X-Ray Tube

URL : http://en.wikipedia.org/wiki/X-ray_tube

Capture d’écran :

Schéma de principe d’un tube de Coolidge à fenêtre latérale

Résumé : Cet article est une présentation encyclopédique des tubes à rayons X et de la création de rayons X.

Justification : Le matériel présenté est très pertinent à cette activité d’appren-tissage.

Consulté en avril 2007

Page 100: Physique Atomique

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Ressource #3

Titre : X-ray spectra of some elements on the Periodic Table

URL: http://ie.lbl.gov/xray/mainpage.htm

Capture d’écran : Le spectre de rayons X du germanium

Justification : Dans cette ressource, on expose interactivement le spectre de rayons X de plus de 60 éléments. Choisissez tout élément en italique dans le ta-bleau périodique, puis suivez les instructions pour analyser le spectre de rayons X.

Justification : Le matériel présenté est très utile et pertinent à cette activité d’apprentissage.

Consulté en avril 2007

Page 101: Physique Atomique

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Ressource #4

Titre : Basic Diffraction Physics

URL : http://www-structmed.cimr.cam.ac.uk/Course/Basic_diffraction/Diffrac-tion.html#diffraction

Capture d’écran :

Résumé : Le principe de base de  la diffraction des rayons X est exposé d’un angle différent.

Justification : Le matériel est utile et pertinent.

Consulté en avril 2007

Page 102: Physique Atomique

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Ressource #5

Titre :

URL : http://www.tulane.edu/~sanelson/eens211/x-ray.htm

Capture d’écran :

Résumé : Cet article offre un exposé détaillé sur les rayons X et leur production, les spectres caractéristiques, la diffraction des rayons X et la loi de Bragg.

Justification : Cet article fait partie d’une série de conférences sur la Terre et les sciences environnementales, données par le professeur Stephen A. Nelson de l’Université de Toronto, Canada. Le matériel présenté est utile et pertinent.

Consulté en avril 2007

Page 103: Physique Atomique

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Description de l’activité (éléments théoriques principaux)

Introduction

4.1 Les tubes à rayons X

Adaptation de Wikipédia, l’encyclopédie libre : http://en.wikipedia.org/wiki/X-ray_tube

Un tube à rayons X est un tube sous vide destiné à produire des photons de rayons X. Le tube à rayons X a été inventé par Sir William Crookes. Le tube de Crookes et aussi appelé un tube à décharge ou un tube à cathode froide. Une schématisation du tube à rayons X est montrée ci-dessous.

Figure 4.1 Schéma d’un tube à rayons X.

Le tube de verre est évacué à la pression de l’air, environ 100 pascals (souvenez-vous que la pression atmosphérique est de 10 ×105 pascals. L’anode est une cible métallique épaisse pour qu’elle puisse dissiper rapidement l’énergie thermique qui résulte des bombardements de rayons cathodiques. Un voltage élevé, entre 30 et 150 kV, est appliqué entre les électrodes; ceci crée une ionisation de l’air résiduelle, et crée donc un faisceau d’électrons de la cathode et de l’anode. Quand ces électrons atteignent la cible, ils sont ralentis, produisant des rayons X. L’effet de production de ces photons de rayons X est généralement appelé l’effet Bremss-trahlung, une contraction de l’allemand « brems » qui veut dire « freiner », et de « Strahlung » pour « rayonnement ».

L’énergie de rayonnement d’un tube à rayons X est composée d’énergies discrè-tes constituant un spectre en ligne et un spectre continu fournissant un fond au spectre en ligne.

Page 104: Physique Atomique

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Figure 4.2 Un tube à rayons X plus détaillé contenant deux types de rayons X

Les  électrons peuvent  interagir  avec  les  atomes de  la  cible de différentes  fa-çons.

Spectre continu

Quand les électrons accélérés (rayons cathodiques) frappent la cible de métal, ils se heurtent avec les électrons dans la cible. Dans une telle collision, une partie de la quantité de mouvement des électrons est transférée à l’atome de la cible, perdant par conséquent de son énergie, ΔK . Cette interaction augmente la tem-pérature de la cible.

Les électrons projectiles peuvent éviter les électrons orbitaux de la cible, mais peuvent  arriver  suffisamment  près  du  noyau pour  que  l’électron  tombe  sous son influence. L’électron projectile que nous suivons est maintenant au-delà de l’orbitale K et sous influence du noyau. L’électron est donc soumis à deux for-ces, la force d’attraction de Coulomb et une force nucléaire bien plus puissante. L’effet des deux forces sur l’électron est de le ralentir. L’électron quitte la région d’influence du noyau avec une énergie cinétique bien moindre et s’envole vers une autre direction, puisque le vecteur de vitesse a changé. La perte en énergie cinétique se retrouve sous forme de photons de rayons X,  tel qu’illustré dans la figure  4.3. Durant  la  décélération,  l’électron  émet  un photon de  rayons X 

d’énergie hv = ΔK = K i − K f . L’énergie perdue par les électrons n’est pas la

même pour chaque électron et les photons de rayons X émis n’ont pas la même longueur d’onde. Ce processus d’émission de photons de rayons X à travers la décélération est appelé Bremsstrahlung et le spectre résultant est continu, mais avec une longueur d’onde de coupure. La longueur d’onde minimale correspond à un électron perdant toute son énergie dans une seule collision et l’émettant sous forme d’un seul photon.

Page 105: Physique Atomique

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Si K est l’énergie cinétique de l’électron, alors

K = hν =

hcλmin

. La longueur d’onde de coupure dépend uniquement du voltage d’accélération.

hvmax =

hcλmin

= eV où V est le voltage d’accélération.

Figure 4.3 Décélération d’un électron par un noyau à charge positive

Spectres caractéristiques de rayons X

Dû au voltage accélérant élevé, les électrons incidents peuvent (i) exciter les électrons dans les atomes de la cible (ii) éjecter des électrons étroitement liés du cœur des atomes.

L’excitation des atomes donnera lieu à une émission de photons dans la région optique du spectre électromagnétique. Cependant, quand les électrons de cœur sont éjectés, le remplissage subséquent des états vacants donne lieu à un rayon-nement dans la région des rayons X du spectre électromagnétique. Les électrons de cœur peuvent être de la couche K, L, ou M.

Si les électrons de l’orbitale K (n=1) sont enlevés, les électrons des états d’énergie supérieurs tombant dans les états vacants de l’orbitale K produisent une série de lignes dénotées K

α , K

β , ... comme on peut le voir dans la Fig.4.4.

Les transitions à l’orbitale L produisent la série L et celles vers l’orbitale M donnent la série M, et ainsi de suite.

Puisque les électrons orbitaux ont des niveaux d’énergie définis, les photons de rayons X émis ont aussi des énergies bien définies. Le spectre d’émission possède des lignes nettes, caractéristiques de l’élément cible.

Page 106: Physique Atomique

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Après avoir bien examiné les lignes de rayons X, les séries L, M et au-delà mon-trent que les lignes sont composées d’un nombre de lignes rapprochées, comme on peut le voir dans la figure 4.5, divisées par l’interaction spin orbite.

Figure 4.4    Transitions de rayons X sans la structure fine

Figure 4.5    Transitions de rayons X avec la structure fine

Page 107: Physique Atomique

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Ce n’est pas toutes les transitions qui sont permises. Seules les transitions qui remplissent les conditions suivantes sont permises : Dl = ±1.

Figure 4.6  Émissions caractéristiques de rayons X utilisant une cible de mo-lybdène

La relation de Moseley

D’après ses expériences, Moseley fut en mesure de démontrer que les fréquences de rayons X caractéristiques augmentent régulièrement avec le nombre atomique Z, selon la relation

ν1 / 2 = A Z − Z 0( )

4.1

où Z est le nombre atomique du matériau cible et A et Z0 sont des constantes qui

dépendent de la transition particulière en observation. Le terme (Z- Z0) est nommé

charge nucléaire effective telle que vue par les électrons effectuant la transition à une couche donnée.

La fréquence de la ligne Ka peut être calculée approximativement en utilisant la

théorie atomique de Bohr. La longueur d’onde des lignes émises par les atomes d’hydrogène est donnée par la formule de Rydberg.

1λ= R Z 2 1

nl2 − nu

2

⎝⎜⎜

⎠⎟⎟

4.2

où nu et

n

l sont les nombres quantiques principaux des états supérieurs et inférieurs 

de la transition, Z est le nombre atomique d’un atome d’un seul électron.

Page 108: Physique Atomique

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Pour la ligne Ka la charge nucléaire effective est (Z-1), n

l = 1 et

n

u = 2, de façon 

à ce que l’équation 4.2 devienne

ν Kα =

cλ= cR Z − 1( )2 1

12−

1

22

⎝⎜⎞

⎠⎟

ν Kα =

3cR4

Z − 1( )2

4.3

En pointant /K��1 2  contre Z, on obtient une ligne droite. L’équation 4.3 est une 

autre façon d’exprimer la relation de Moseley.

La diffraction de rayons X

Un plan d’atomes dans un cristal, aussi appelé plan de Bragg, reflète les rayon-nements de rayons X de la même manière que la lumière est reflétée d’un miroir plat, comme on peut l’observer dans la figure 4.7.

Figure  4.7   La réflexion de rayons X d’un plan de Bragg

La réflexion de différents plans successifs peut interférer si la différence de tracé entre deux rayons est égale à un nombre intégral de longueurs d’onde. Cet énoncé est appelé la loi de Bragg.

Page 109: Physique Atomique

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Figure  4.8   Diffraction de rayons X de plans atomiques

De la figure 4.8, AB = 2dsinq de façon à obtenir par la loi de Bragg

2dsinq = nl 4.4

quand en pratique, il est normal de supposer la diffraction de premier ordre pour que n=1.

Un ensemble donné de plans atomiques produit une réflexion à un angle perçu comme une tache ou un anneau dans un patron de diffraction aussi appelé un diffractogramme.

En modifiant l’angle thêta, les conditions de la loi de Bragg sont remplies par différents espacements d dans les matériaux polycristallins. Lorsque l’on pointe les intensités et les positions angulaires des pics de rayonnement diffractés ré-sultants produisent un patron qui est caractéristique de l’échantillon. Lorsqu’on est en présence d’un mélange de différentes phases, le diffractogramme résultant est formé par l’addition des patrons individuels.

Selon le principe de la diffraction des rayons X, une quantité de renseignements structurels, physiques et chimiques peuvent être obtenus. Nombre de techniques d’application pour les différentes classes de matériaux sont disponibles, chacune révélant ses détails spécifiques à propos de l’échantillon étudié.

J’illustre la technique de diffraction de rayons X en utilisant une partie de nos propres  travaux  sur  l’étude minéralogique des différents minéraux  locaux.  Je présente des diffractogrammes de rayons X d’échantillons choisis de pyrite de la mine d’or du Lac Victoria, en Tanzanie. La technique utilisée ici est celle de la « Power Method » où un échantillon est réduit en poudre et tourné dans un faisceau de rayons X. À n’importe quelle orientation, seuls  les plans dont  les rayons X réfléchis interfèrent de manière constructive produiront un signal dans le détecteur. En tournant l’échantillon dans le faisceau de rayons X une gamme complète de plans de cristaux seront exposés.

Page 110: Physique Atomique

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La diffraction de rayons X de l’échantillon de Nyamlilima, Fig.4.9., révèle que l’échantillon comprend les phases minérales quartz, pyrrhotite monoclinique et pyrite alors que l’échantillon de Mwamela, Nzega, Fig.4.10., ne possède que les phases minérales pyrrhotite hexagonale et quartz. Il faut noter que l’analyse de l’échantillon de Nyamlilima est incomplète; il y a une réflexion intense, mais inconnue à 2θ ≈ 30°.

La chimie des phases minérales mentionnée ci-haut va comme suit : le quartz est SiO

2, la pyrite est FeS

2 (ce minéral est célèbre pour tromper les chercheurs d’or

inexpérimentés et possède donc le surnom d’or du pauvre), la pyrrhotite qui est aussi connue sous le nom de pyrite magnétique possède une composition chimique variant entre FeS et Fe

0,8S, où la phase monoclinique est la plus ordonnée est la

phase hexagonale la moins ordonnée.

Figure 4.9   Diffractogramme d’un échantillon de pyrite de Nyamlilima, Geita, Tanzanie

Figure 4.10   Diffractogramme d’un échantillon de pyrite de Mwamela, Nzega, Tanzanie

Page 111: Physique Atomique

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Évaluation formative 4

1. Dans l’article sur la découverte des rayons X, on dit que « Röntgen remplaça l’écran avec une plaque photographique puis sa femme plaça sa main sur la plaque sur laquelle Röntgen dirigea les rayons X pendant quinze minutes. Madame Röntgen fut surprise et même effrayée par la première radiographie d’un patient humain ce qui lui permit de voir son propre squelette. » Discu-tez.

2.  Un tube de télévision fonctionne avec un voltage accélérant de 24 kV, quel est l’énergie maximale pour les rayons X d’un ensemble de télévision? Calculez la longueur d’onde λ

min f pour le spectre continu de rayons X émis lorsque 

des électrons de 35 keV tombent sur une cible de molybdène.

3. Déterminez la longueur d’onde de la ligne Ka pour le molybdène, Z=42.

4.  Déterminez la configuration électronique pour un atome de Z=20.

5.  Trouvez les états fondamentaux de He et Li.

6. Dans un cristal cubique, en utilisant des rayons X de λ = 1.5 Å, une réflexion de plans (100) de premier ordre est observée à un angle de Bragg de 18°. Quelle est la distance entre les (100) plans.

Devoir 4

1.  Un tube de télévision fonctionne avec un potentiel d’accélération de 20 kV. Quelle est l’énergie maximale des rayons X produits ?

2. Le voltage accélérant d’un tube à rayons X est 60 kV. Calculez la longueur d’onde minimale des rayons X produits par le tube.

3. Déterminez la longueur d’ondes de la ligne Ka pour une cible de molybdène Z=42.

(Rép. l = 0.721 Å)

4.  Une expérience mesurant les lignes Ka pour le fer et le cuivre donnent les données suivantes: Fe: 1,94 Å et Cu : 1,54 Å. Calculez le nombre atomique de chacun des éléments.

5.  Dans les figures 4.9 et 4.10, en supposant une longueur d’onde de rayons X l = 1.54 Å et n=1, calculez les valeurs d pour les plans responsables de la réflexion la ligne la plus intense (100%)de la pyrrhotite et du quartz.

Page 112: Physique Atomique

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6.  Un faisceau de neutrons o,083 eV se diffuse d’un échantillon inconnu et un pic de réflexion de Bragg inconnu est observé à 22°. Calculez l’espacement interplanaire.

Enseigner le contenu dans les écoles secondaires 4

Le matériel de cette activité d’apprentissage peut aisément être adapté et enseigné aux élèves des écoles secondaires.

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Xi. Concepts-clés (glossaire)Diffusion de Coulomb (diffusion Rutherford) : Une collision entre deux

particules chargées dans laquelle la force Coulomb est l’interaction do-minante.

Source: http://www.answers.com/topic/coulomb-scatteringParamètre d’impact : La distance la plus courte de la trajectoire d’une par-

ticule du vertex primaire dans le plan transversal au point où la particule se désintègre.

Source: http://hep.uchicago.edu/cdf/cdfglossary.htmlSection efficace de diffusion : La région d’un cercle de rayon b, le paramètre

d’impact.Section  efficace différentielle de diffusion :  est  définie  par  la  probabilité 

d’observer une particule diffusée dans un état quantique donné par unité d’angle solide, comme dans un cône d’observation donné.

Source: http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_section_(physics)Orbite planétaire : Le trajet que suit une planète autour du soleil sous l’in-

fluence de forces gravitationnelles. Source http://en.wikipedia.org/wiki/Orbit.Orbitale atomique : Un arrangement d’électrons dans un atome en accord

avec les lois de la physique appropriées.Rayon de Bohr : La taille de l’état fondamental d’un atome d’hydrogène tel 

que calculé par Niels Bohr, utilisant un mélange de physique classique et de mécanique quantique.

Source: http://education.jlab.org/glossary/bohrradius.htmlConstante de Rydberg : Une constante qui met en relation le spectre atomique

au spectre de l’hydrogène. Sa valeur est de 1,0977 × 107 par mètre. Source: http://www.tiscali.co.uk/reference/encyclopaedia/hutchinson/

m0025952.htmlFormule de Rydberg : C’est une relation empirique qui donne toutes les

longueurs d’onde de l’atome d’hydrogène.Nombre quantique : Un nombre quantique est n’importe quel nombre d’un

ensemble utilisé pour spécifier l’état quantique total de n’importe quel système en mécanique quantique. Chaque nombre quantique spécifie la valeur d’une quantité conservée dans les dynamiques du système quan-tique.

Source: en.wikipedia.org/wiki/Quantum_number

Quantification du moment angulaire : Le nombre quantique du moment angulaire ne peut prendre que certaines valeurs en multiples de h . Ce phénomène est aussi appelé quantification de l’espace.

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Couplage de moment angulaire : Le moment angulaire orbital et de spin d’une particule peut interagir à travers une interaction spin-orbite. La procédure pour construire les états propres de moments angulaires totaux à partir d’états propres de moment angulaire séparé est appelée couplage de moment angulaire.

Source: http://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum_couplingLa loi de Stoke : Une expression des forces frictionnelles exercées sur des 

objets sphériques à petit nombre Reynolds (ex. de très petites particules)

dans un fluide visqueux continu;  r

F = −6π rηr

v où Fr

est la force fric-

tionnelle, r est le rayon de la particule, η est la viscosité du fluide et  vr

est la vélocité de la particule.

Source: http://en.wikipedia.org/wiki/Stokes’_lawRayonnement Bremsstrahlung : Le rayonnement (rayons X) produit par des

électrons énergétiques ralentissant (de n’importe quelle particule chargée) sur impact sur une cible (ou un absorbant).

Source: http://www.ionactive.co.uk/glossary/Bremsstrahlung.htmlLa loi de Bragg : Le résultat d’expériences de la diffraction de rayons X ou 

de neutrons de surfaces de cristal à certains angles. Source: http://en.wikipedia.org/wiki/Bragg’s_law

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Xii. lectures obligatoires

Lecture 1 : Atomic Models

Référence complète : De : Wikipedia URL : http://en.wikipedia.org/wiki/Atomic_physics Consulté le 20 avril 2007 Résumé: Cette lecture est une compilation de l’article Wikipédia indiqué

ci-haut et des différents liens disponibles sur la page. Les sections sur le modèle atomique de Dalton, le modèle plum pudding de Thompson, l’ex-périence de diffusion alpha de Rutherford qui mena au modèle planétaire de l’atome et la physique quantique sont traitées.

  Justification : Le matériel de cette compilation est essentiel à la première activité de ce module.

Lecture 2 : Bohr Model of Hydrogen Atom

Référence complète : http://musr.physics.ubc.ca/~jess/hr/skept/QM1D/node2.html

Consulté en juin 2007 Résumé : Le modèle de l’atome d’hydrogène de Bohr est présenté de

façon concise en trois pages Web. Il est suggéré de commencer par la page mise en référence puis d’utiliser le lien next pour aller aux dérivations du rayon de Bohr, et cliquer next une nouvelle fois pour le calcul des niveaux d’énergie.

  Justification : Le matériel est présenté de sorte qu’il soit facile de com-prendre.

Lecture 3 : Theory of Rutherford Scattering

Référence complète : http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/rutcon.html#c1

Consulté en juin 2007 Résumé : La physique de diffusion en relation avec le modèle atomique 

de Rutherford est très bien présentée. Vous aurez à suivre l’organisation présentée dans  la page de  référence et  cliquer  sur  chaque  lien  tel que présenté dans l’organisation.

Justification : Le matériel présenté dans ce lien est essentiel et pertinent au cours.

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Lecture 4 : A Look Inside the Atom

Référence: http://www.aip.org/history/electron/jjhome.htm Consulté en juin 2007 Résumé : Cet article traite des travaux de J.J. Thompson sur les rayons

cathodiques, qui ont culminé en la découverte de l’électron comme partie fondamentale de l’Atome. Suivez les liens en cliquant sur next.

Lecture 5 : Nobel Prize Lecture on Cathode Rays

Référence :  http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1905/lenard-lecture.html

Consulté en juin 2007 Résumé : Dans le contexte de vos connaissances actuelles, ceci est une

lecture assez légère, mais informative sur les rayons cathodiques et les opinions fausses de l’époque.

Justification : C’est un exposé du prix Nobel de physique de 1905, Philipp Lenard. Cette lecture sera très motivante.

Lecture 6 : The Millikan Oil Drop Experiment

Référence: http://hep.wisc.edu/~prepost/407/millikan/millikan.pdf Consulté en juin 2007 Résumé : C’est un bon article sur les aspects pratiques de l’expérience

de la goutte d’huile de Millikan.  Justification : Le matériel présenté est bon et pertinent pour le cours.

Lecture 7

Référence : http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hyde.html Consulté en juin 2007 Résumé : On  traite en profondeur,  et  avec maintes  illustrations, de  la 

physique de l’atome d’hydrogène, des niveaux d’énergie, de la transition des électrons et des structures fines et hyperfines.

Justification : Cet article traite de sujets liés à l’activité.

Lecture 8 : Emission Spectrum of Hydrogen

Référence : http://chemed.chem.purdue.edu/genchem/topicreview/bp/ch6/bohr.html

Consulté en juin 2007 Résumé : Cet article traite le spectre d’émission de l’hydrogène et inclut

des problèmes pratiques résolus.  Justification : Cet article couvre des sujets importants en relation avec ce

module et les problèmes pratiques en font une lecture très importante.

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Lecture 9 : Hydrogen Atom

Référence : An Introduction to  the Electronic Structure of Atoms and Molecules

URL: http://www.chemistry.mcmaster.ca/esam/Chapter_3/intro.html Consulté en juin 2007 Résumé: C’est la troisième section d’un article du Pr. Richard F.W. Bader,

professeur de Chimie à l’Université McMaster, Hamilton, Ontario. On y traite l’Atome d’hydrogène, l’évolution des densités de probabilité, donc les orbitales, et finalement le modèle vectoriel de l’atome d’hydrogène.

Justification : Le matériel couvert dans cet article est bon et pertinent pour cette activité.

Lecture 10 : Mathematical Solution of the Hydrogen Atom

Référence :  http://www.mark-fox.staff.shef.ac.uk./PHY332/atomic_phy-sics2.pdf

Consulté en juin 2007 Résumé : Cet article donne une méthodologie pour résoudre les problèmes

de l’Atome d’hydrogène en tant que problème de mécanique quantique. Justification : Cet article est pertinent au cours puisque vous verrez

comment les trois nombres quantiques n, l et m vont de soi.

Lecture 11 : Fine Structure of Hydrogen Atom

Référence : http://farside.ph.utexas.edu/teaching/qmech/lectures/node107. html

Résumé : Cet article  fait partie d’une série de notes de conférence en mécanique quantique non relativiste.

Justification : Le matériel présenté est bon, mais nécessite une bonne connaissance de la mécanique quantique.

Lecture 12 : X-Ray Production

Référence : : http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/xtube.html

Résumé : Cet  article  fait  partie  d’une  série  d’articles  détaillés  sur  la physique  des  rayons X,  couvrant  tous  les  objectifs  de  cette  activité d’apprentissage. L’article d’ouverture traite de la production de rayons X et les liens traitent des rayonnements Bremsstrahlung , des rayons X caractéristiques, de la loi de Moseley et de la diffraction des rayons X.

  Justification : Cette présentation par Hyperphysics est comme toujours, claire et précise. C’est une lecture essentielle.

Consulté en juin 2007

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Lecture 13 : The Origin Characteristic of X-Rays

Référence complète : http://www4.nau.edu/microanalysis/Microprobe/Xray-Characteristic.html

Résumé : Cet article traite de la production de rayons X caractéristiques. Les liens à cette page traitent des rayons X de continuum, des orbitales électroniques, des transitions d’électrons, de la loi de Moseley et d’autres sujets en dehors des exigences du cours.

Justification :  Il  s’agit  d’une  bonne  référence  qui  est  pertinente  au cours.

Consulté en juin 2007

Lecture 14 : X-Ray Diffraction

Référence complète :  http://www.physics.upenn.edu/~heiney/talks/hi-res/whatis.

html#SECTION00011000000000000000 Consulté en juin 2007 Résumé : On y présente de manière concise les rayons X.  Justification : Cet article couvre le contenu de cette activité.

Lecture 15: X-Ray Diffraction

Lien de référence: http://e-collection.ethbib.ethz.ch/ecol-pool/lehr/lehr_54_folie2.pdf

Référence complète : http://www.google.com/search?q=cache:qL-s7iI81agwJ:e-collection.

  ethbib.ethz.ch/ecol-pool/lehr/lehr_54_folie2.pdf+X-RAY+MOSLEY’S+LAW

Résumé : Cet article contient une présentation Power Point sur des aspects pratiques de la diffraction, des tubes à rayons X, des spectres de rayons X et sur la loi de Moseley. Pour accéder aux articles, commencez avec la référence complète puis continuez avec le lien de référence.

  Justification : Cette lecture est pertinente pour l’activité, prenez le soin de bien la lire.

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Xiii. ressources multimédias (optionnelles)

Référence : http://www.colorado.edu/physics/2000/index.pl

Consulté en décembre 2006 Description : Il s’agit d’un merveilleux applet où l’on crée son propre

atome. En accédant à la page Accueil de Physics 2000, cliquez sur la table des matières, puis allez sur Science Trek et cliquez sur Electric Force. Placez votre curseur à environ cinq centimètres du proton. Cliquez et déplacez l’électron ainsi créé à 45° ou plus du noyau et relâchez-le. Re-gardez ensuite l’électron effectuer une orbite elliptique autour du proton. Vous serez surpris du nombre d’ « atomes orbitaux » qui n’entrent pas en collision que vous pouvez créer autour du noyau.

Référence : http://www.weaowen.screaming.net/revision/nuclear/rsanim.htm

Consulté en avril 2007 Description : Il s’agit d’une simulation de l’expérience de diffusion des 

particules alpha contre une cible en or. Dans cette simulation, le noyau est représenté par un point jaune et la particule alpha par un point rouge qui est plus petit. Une diffusion effectuée par l’étudiant en suivant la marche à suivre concernant le choix d’énergie de la particule alpha, le déplace-ment du point rouge puis en cliquant sur le bouton « fire ». Vous devez effacer les traces avant la diffusion suivante. Si rien ne se passe lorsque vous cliquez sur « fire », essayez de nouveau. Implémentation d’une série de la marche à suivre constitue une expérience. L’expérience suivante commence en cliquant sur le bouton « next » pour rétablir la position de la particule alpha. Après plusieurs diffusions vous devez effacer les traces. L’énergie de la particule alpha est restreinte entre 8 et 25 eV.

Référence : http://www.physics.brown.edu/physics/demopages/Demo/mo-dern/demo/7d5010.htm

Consulté en avril 2007 Résumé : Une animation du dispositif expérimental de la diffusion alpha 

de Rutherford est exposée. 400 particules alpha sont lancées contre une mince feuille d’or.

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Référence : http://www.control.co.kr/java1/masong/absorb.html

Consulté en avril 2007 Description : Il s’agit d’un applet Java démontrant le spectre d’absorption

d’un atome de Bohr.

Référence : http://www.eserc.stonybrook.edu/ProjectJava/Bragg/index.html

Consulté en avril 2007 Description : Cet applet montre deux rayons incidents sur deux couches

atomiques d’un cristal, ex. atomes, ions et molécules séparés par la dis-tance d. Les couches ressemblent à des rangées parce que les couches sont projetées sur deux dimensions et vous avez un point de vue parallèle aux couches. L’applet commence avec  les  rayons diffusés en phase et interférant constructivement. La loi de Bragg est satisfaite et on obtient une diffraction. Le compteur indique à quel point  les phases des deux rayons s’accordent. La petite lumière sur le compteur est verte lorsque l’équation de Bragg est satisfaite et rouge lorsqu’elle ne l’est pas. On peut observer le compteur alors que les trois variables de Bragg sont modifiées en cliquant sur les flèches de défilement et en entrant les valeurs dans les boîtes prévues à cet effet. Les variables d et q peuvent être modifiées en utilisant les flèches sur les couches de cristal et le faisceau diffusé, res-pectivement.

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XiV. liens utiles

Lien utile #1

Titre : Atomic Model

URL : http://mhsweb.ci.manchester.ct.us/Library/webquests/atomicmodels.htm

Capture d’écran:

Description: On y donne une description bien illustrée des théories atomiques à travers le temps.

Justification : Complète le contenu de l’activité 1.

Consulté en avril 2007

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Lien utile #2

Titre : Atomic Spectra of Hydrogen

URL: http://physics.gmu.edu/~mary/Phys246/10Spectrophotometer.pdf

Capture d’écran:

Description: Dans ce lien on trouve une bonne description du spectre de l’hy-drogène.

Consulté en mai 2007

Lien utile #3

Titre : Hydrogen Atom

URL : http://en.wikipedia.org/wiki/Hydrogen_atom

Capture d’écran:

Description: On décrit dans cet article la physique de l’atome d’hydrogène.

Justification : L’atome d’hydrogène est un bon point de départ pour la descrip-tion du spectre atomique en général, par conséquent, il est essentiel d’avoir les connaissances fondamentales de la physique et donc de telles lectures addition-nelles sont nécessaires.

Consulté en mai 2007

Page 123: Physique Atomique

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Lien utile #4

Titre : How light is made from the ordered motion of electrons in atoms and molecules

URL: http://zebu.uoregon.edu/~soper/Light/atomspectra.html

Capture d’écran:

Description: On donne  ici  la  façon dont  le mouvement  des  électrons  donne naissance à des niveaux d’énergie discrets et donc à de la lumière.

Justification : Ceci est pertinent pour l’activité 3 du module.

Consulté le 28 mai 2007

Page 124: Physique Atomique

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Lien utile #5

Titre : NIST Atomic spectra Database

URL : http://physics.nist.gov/PhysRefData/ASD/index.html

Capture d’écran :

Description : Cette base de données donne accès à des données sur les niveaux d’énergie, les longueurs d’onde et les probabilités de transition évaluées de façon critique par le NIST et qui sont relativement à jour. Un tableau de niveaux fonda-mentaux et d’énergies d’ionisation pour les atomes neutres est donné. Vous pouvez également trouver ici les liens vers d’autres bases de données de la NIST.

Consulté le 19 mai 2007

Page 125: Physique Atomique

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XV. synthèse du module

Physique atomique

Dans ce module vous avez appris des choses relatives à un sujet de physique, soit la physique atomique. Le sujet du module est une composante principale de ce que l’on nomme la physique moderne, une discipline qui a vu le jour entre la fin du 19e siècle et le début du 20e siècle. On vous a guidé à travers les dé-veloppements historiques des théories atomiques, soit les théories de Dalton, de Thompson, de Rutherford et de Bohr. Ces quatre scientifiques ont une place très spéciale dans le développement de la physique atomique. Les travaux de Dalton et de Thompson ont établi les fondations sur lesquelles Rutherford et Bohr ont bâti leurs théories, au point que les modèles développés par ces derniers sont, dans une certaine mesure, toujours en usage. Vous avez donc acquis les habi-letés nécessaires pour résoudre des problèmes reliés aux modèles atomiques de Rutherford et de Bohr.

Dans l’activité d’apprentissage 2 de ce module, vous avez appris des choses re-latives au phénomène de décharge gazeuse et des débuts des rayons cathodiques Ce phénomène a été un véritable casse-tête pour les scientifiques de l’époque, mais a contribué à l’importante découverte de l’électron, la première particule subatomique à avoir été découverte. Vers la fin de l’activité d’apprentissage, vous avez fait l’expérience de la goutte d’huile de Millikan qui mena à la découverte que la charge électrique est corpusculaire ou quantifiée.

Dans l’activité d’apprentissage 3, vous avez appris des choses relatives à l’évolu-tion du spectre atomique et de l’unicité du spectre atomique pour chaque élément. Cette unicité a des implications scientifiques et technologiques.

Dans l’Activité d’apprentissage 4, vous avez appris des choses relatives à l’ori-gine des rayons X, au développement du spectre des rayons X et à l’unicité du spectre de rayons X de chaque élément. Vers la fin de l’unité, nous avons  résolu des problèmes à l’aide de la loi de Moseley et nous verrons finalement les appli-cations des rayons X comme outil d’analyse.

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XVi. Évaluation sommative

1. (a) Le modèle atomique de Bohr se base sur quatre postulats. Énumérez-les et donnez leur représentation mathématique. (b) Dérivez une expression pour le rayon de la nième orbite de l’électron dans un atome d’hydrogène de nombre atomique Z, où n dénote un nombre quantique principal. (c) Calculez le rayon de l’orbite d’état fondamental de l’hydrogène.

2. Décrivez comment J.J.Tompson a mesuré le rapport de charge à masse de

l’électron et déduisez l’expression q E

m B R=

2 où les symboles ont leur sens

usuel.

3.  (a) Donnez la différence entre le moment d’orbite angulaire et le moment de spin angulaire. Ensuite, définissez le moment angulaire total d’un électron 

dans un atome. (b) Considérez les deux façons par lesquels les vecteurs Lr

et

Sr

 s’additionnent pour former le vecteur Jr

quand l=1 et s=½. Si l’angle entre 

Lr

et Sr

est q, démontrez que

cosθ =

j( j + 1 ) − l ( l + 1 ) − s( s + 1 )

2 l( l + 1 )s( s + 1 )

4. On sait qu’un état d’atome d’hydrogène a le nombre quantique l=3. (a) Quels sont les nombres quantiques n, m

l, m

s possible? (b) Quels sont les nombres

quantiques n, l, ml, m

s pour les deux électrons de l’atome d’hélium dans son

état fondamental ? (c) Énoncez le principe d’Exclusion de Pauli. Utilisez son principe pour déterminer l’état quantique de l’électron extérieur dans l’atome de magnésium (Z=12).

5. (a) Distinguez le potentiel d’excitation d’énergie de celui d’ionisation. Dé-montrez votre réponse en vous référant à l’atome d’hydrogène. (b) Supposez qu’un électron d’une couche intérieure est complètement enlevé d’un atome. Comment l’énergie requise se compare-t-elle avec le potentiel d’ionisation de l’atome ? Expliquez. (c) Un ion de sodium est neutralisé en capturant un électron d’énergie 1eV. Quelle est la longueur d’onde du rayonnement émis si le potentiel d’ionisation du sodium est 5,4 volts ?

6.  (a) Dans  ses  travaux sur  la  structure de  l’atome, Rutherford a  réalisé une expérience importante. Décrivez brièvement cette expérience. Quelle a été la principale conclusion tirée de cette expérience ? (b) Quelle est la distance d’approche la plus proche qu’une particule alpha de r 5 MeV peut parcourir avec un noyau d’or initialement stationnaire. (Z

AU=79)

Page 127: Physique Atomique

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7.  Un faisceau d’électrons de 100 KeV incident sur une cible de Mo (Z=42). Les énergies de liaison des électrons de cœur pour les couches K et L dans Mo sont données dans le tableau suivant :

Couche K LI LII LIII

Orbitale 1s 2s 2p 2p

Énergie de liaison , keV 20.000 2.866 2.625 2.520

Calculez les longueurs d’onde des rayons X Ka émis.

Charte des réponses :

1.  (a) Postulats de Bohr : Postulat 1 : La force Coulomb est équilibrée par la force centripète.

Postulat 2 : L = n h ; postulat 3 :

E n = −

meqe4

8h2ε02

1

n2

Postulat 4: ΔE = E i − E f

(b) Rayon de Bohr

rn =

ε0nh2

πmeZe2(c) Dans l’état fondamental n=1, de façon à 

ce que le rayon de Bohr soit r1.

2.  Dans  le  tube de Thompson,  la  force  électrique  est  équilibrée par  la  force magnétique.

3. (a) Le moment orbital angulaire Lr

est causé par la rotation de l’électron dans

son orbite. Le moment de spin angulaire Sr

n’a pas d’analogue classique. Le

moment angulaire total est la somme de Lr

et de Sr

.

(b) La somme des vecteurs Lr

et Sr

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En appliquant la règle du cosinus au triangle formé par les vecteurs J, L et S, nous obtenons :

cosθ =

J 2 − L2 − S 2

2L S

Mais L = l ( l + 1 )h ;

S = s( s + 1 )h et J = j( j + 1 )h

Après substitution nous avons

cosθ =

j( j + 1 ) − l ( l + 1 ) − s( s + 1 )

2 l( l + 1 )s( s + 1 )

4. (a) Si l=3, alors ms=±1/2, m

l=0, ±1, ±2, ±3, n = 4.

(b)

Nombre quan-tique

Electron 1 Electron 2

n 1 1l 0 0

ml 0 0ms +1/2 -1/2

(c)

Deux électrons ne peuvent occuper le même état d’énergie défini par le même nombre quantique.

Électrons extérieurs

Nombre quan-tique

Electron 1 Electron 2

n 3 3l 0 0

ml 0 0ms +1/2 -1/2

Page 129: Physique Atomique

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5. (a) L’énergie d’excitation est l’énergie requise pour élever un électron d’un atome d’un état d’énergie inférieur à un niveau supérieur, alors que le poten-tiel d’ionisation est l’énergie requise pour enlever complètement un électron extérieur de l’atome.

(b) Le potentiel d’ionisation est moindre. L’énergie requise est plus grande pour enlever un électron d’une couche intérieure.

(c) L’énergie du rayonnement émis = (5,41 - 1) eV, donc l = hc/E = 2,82 x10-7 m.

6. (b) En utilisant cot θ / 2( ) = 4πε0T

2Ze2b  où T=5,3 MeV et Z=79.

=>

b =

3.795ε0

cot θ / 2( )

cette expression est adéquate puisque q est in-connu.

7. Les transitions sont sujettes à la règle de sélection Dl = ±1.

λ =

cν=

hchν

=hc

E i − E f=

12.4 keV .o

AE i − E f

où Ei est l’énergie initiale et E

f

est l’énergie finale.

Évaluation du module

Le total des résultats dans les tâches, devoirs et dans les quatre activités d’ap-prentissage devraient constituer environ 40% du total et l’évaluation sommative, quant à elle, environ 60%.

Page 130: Physique Atomique

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XVii. références

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Beiser A., (2004) Applied Physics, 4ième éd., Tata McGraw_Hill edition, New Delhi, Inde.

Bernstein, J.Fishbane, P.M. and Gasiorowicz, Modern Physics, Prentice Hall.

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Page 131: Physique Atomique

Université Virtuelle Africaine ��0

XViii. auteur du module

À propos de l’auteur de ce module

Christopher Amelye KIWANGA

Professeur de physique associéL’Université ouverte de TanzanieBoîte postale 23409DAR ES SALAAMTANZANIECourriel : [email protected] , [email protected]

Brève biographie

Je suis gradué de l’Université de Lancaster, R-U, où j’ai obtenu ma maîtrise et mon doctorat en physique, et j’ai obtenu mon baccalauréat à l’Université de Dar en Salaam, Tanzanie.

Pour mon doctorat et ma maîtrise, j’ai travaillé sur la physique électronique. J’ai écrit une thèse sur les émissions d’électrons de champ sur les surfaces recouver-tes de sélénium et une dissertation sur la diffusion du chrome dans l’arséniure de gallium.

À mon retour en Tanzanie, j’ai travaillé sur les applications des radiations pour l’analyse des sulphides de la mine d’or du lac Victoria.

J’ai enseigné 29 ans à l’Université de Dar es Salaam et six ans à l’Université ouverte de Tanzanie.

Vous êtes bienvenus à communiquer avec l’auteur pour toute question, opinion, suggestion, etc. concernant ce module.

Page 132: Physique Atomique

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Résumé : Les sept lectures obligatoires du module sont regroupées dans un seul fichier PDF.

Page 133: Physique Atomique

1

PHYSIQUES DE L’ATOME

Lectures Obligatoires

Source: Wikipedia.org

Page 134: Physique Atomique

2

Table des matières Modèle de Bohr ........................................................................................................................................... 4

Principe ................................................................................................................................................... 4

Théorie .................................................................................................................................................... 4

L'énergie mécanique .......................................................................................................................... 4

Quantification ..................................................................................................................................... 5

Résultats .............................................................................................................................................. 5

Note historique ....................................................................................................................................... 6

Remarques et conséquences .............................................................................................................. 7

Atome d'hydrogène ..................................................................................................................................... 8

Note d'histoire : la période 1913-1925 .................................................................................................. 8

L'équation de Schrödinger d'évolution ou dépendant du temps ................................................... 8

Equation de Schrödinger stationnaire ou indépendante du temps .............................................. 10

État fondamental .................................................................................................................................. 10

Vérification ....................................................................................................................................... 11

Densité de probabilité de présence ................................................................................................. 12

Orbitale 1s ......................................................................................................................................... 12

Note : espace des impulsions ........................................................................................................... 13

Conclusion ........................................................................................................................................ 14

Orbitales ............................................................................................................................................... 14

Résonance acoustique ...................................................................................................................... 14

Résonance de l'atome ....................................................................................................................... 14

Couche K ........................................................................................................................................... 15

Couche L ........................................................................................................................................... 16

Couche M .......................................................................................................................................... 16

Récapitulatif des couches K, L, M .................................................................................................. 17

Spectre électromagnétique ....................................................................................................................... 18

Histoire .................................................................................................................................................. 19

Unités de mesures ................................................................................................................................. 20

Spectre lumineux .................................................................................................................................. 20

Usages et classification ......................................................................................................................... 21

Spectre d'émission ................................................................................................................................ 24

Page 135: Physique Atomique

3

Spectre d'absorption ............................................................................................................................ 24

Diffractométrie de rayons X ............................................................................................................. 25

Présentation générale ................................................................................................................. 25

Champ d'application ................................................................................................................ 26

Méthode ................................................................................................................................. 26

Applications ............................................................................................................................ 26

Interaction rayons X-matière ....................................................................................................... 26

Applications de la DRX ................................................................................................................. 27

Identification de phases cristallines .......................................................................................... 27

Analyse quantitative ................................................................................................................ 30

Mesure de contraintes ............................................................................................................. 33

Mesure de la texture ................................................................................................................ 33

Détermination de structures cristallographiques ...................................................................... 33

Effet Zeeman ............................................................................................................................................. 35

Histoire .................................................................................................................................................. 35

Phénomène ............................................................................................................................................ 35

Effet Zeeman normal ........................................................................................................................... 35

Applications en astrophysique ............................................................................................................ 36

Principe d'exclusion de Pauli ................................................................................................................... 37

Énoncé en mécanique quantique ........................................................................................................ 37

Dérivation des principes de la mécanique quantique ....................................................................... 38

Utilisation en astrophysique ................................................................................................................ 39

Énoncé relativiste ................................................................................................................................. 39

Particules échappant au principe d'exclusion ................................................................................... 39

Atome à N électrons .................................................................................................................................. 39

Classification rationnelle ..................................................................................................................... 40

Page 136: Physique Atomique

4

Modèle de Bohr

Le modèle de Bohr est une théorie physique, basée sur le modèle planétaire de Rutherford,

cherchant à comprendre la constitution d'un atome, et plus particulièrement, celui de l'hydrogène

et des ions hydrogénoïdes (ions ne possédant qu'un seul électron).

Principe []

Schématisation des orbites circulaires dans le modèle de Bohr.

Ce modèle est un complément du modèle planétaire d'Ernest Rutherford qui décrit l'atome

d'hydrogène comme un noyau massif et chargé positivement, autour duquel se déplace un

électron chargé négativement.

Le problème posé par ce modèle est que l'électron, charge électrique accélérée, devrait selon la

physique classique, rayonner de l'énergie et donc finir par s'écraser sur le noyau.

Niels Bohr propose d'ajouter deux contraintes :

1. L'électron ne rayonne aucune énergie lorsqu'il se trouve sur une orbite stable (ou orbite

stationnaire). Ces orbites stables sont différenciées, quantifiées. Ce sont les seules orbites

sur lesquelles l'électron peut tourner.

2. L'électron ne rayonne ou n'absorbe de l'énergie que lors d'un changement d'orbite.

Pour commodité de lecture, les orbites possibles de l'électron sont représentées dans la littérature

comme des cercles de diamètres quantifiés (Dans la réalité, il n'existe pas de position ni de

vitesse précise d'un électron, et il ne peut donc parcourir un « cercle » ; son orbitale peut en

revanche être parfois sphérique).

Théorie []

L'atome d'hydrogène est modélisé par un électron de masse m tournant autour du proton.

L'énergie mécanique []

Page 137: Physique Atomique

5

L'interaction entre ces deux particules est électrostatique: la force intervenant est la force de

Coulomb. Ceci nous permet donc d'écrire l'énergie potentielle de l'électron à une distance r du

noyau :

ε0 est la permittivité du vide

qe est la charge de l'électron

, par souci de simplification d'écriture ( cf système d'unités atomiques ).

D'autre part, comme il est question d'un mouvement à force centrale, l'accélération de cet

électron vaut où v est la vitesse de l'électron, et est le vecteur unitaire

centrifuge. Le principe fondamental de la dynamique implique alors :

On peut alors calculer l'énergie cinétique :

Finalement, on obtient l'énergie mécanique :

Quantification []

Ici intervient alors la quantification du moment cinétique : selon l'hypothèse de Bohr :

où n est un entier positif non nul, et est la constante de Planck "réduite" ( d'un facteur

2 π).

: seules les orbites ayant ce moment cinétique ne rayonnent pas : les orbites sont donc

"quantifiées" par le nombre entier n positif. Cette relation s'écrit :

Cette quantification a été confirmée par l'expérience de Franck et Hertz. L'intérêt de cette

expérience est de montrer que la quantification n'est pas seulement due à la quantification de la

lumière, mais bien à la quantification de l'orbite des électrons présents dans l'atome.

Résultats []

Les deux équations précédentes:

Page 138: Physique Atomique

6

et

permettent de calculer la distance entre le noyau et l'électron, r ( ainsi que la vitesse v ):

où est le rayon de Bohr, soit environ 53 pm.

L'énergie totale de l'électron est aussi quantifiée :

avec

E1 est une unité d'énergie, appelée énergie de Rydberg (cf constante de Rydberg), et vaut

environ -13.6 eV.

Néanmoins cette théorie, même modifiée par Sommerfeld pour tenir compte des orbites

elliptiques, ne survivra pas à la révolution de la mécanique quantique en 1926.

Note historique []

Durant les XVIIIe et XIX

e siècles, on mesure, par spectroscopie, des spectres de différentes

sources lumineuses comme le soleil ou la lampe à hydrogène. Depuis Thomas Melvill (1726-

1753) en 1750, on a observé que ces spectres sont formés de raies.

La spectroscopie théorique naît avec les lois de Bunsen (1811-1899) et de Kirchhoff (1824-1887)

publiées en 1859. Niels Bohr (1885-1962) est le premier à pouvoir expliquer ce phénomène de

quantification en 1913.

Page 139: Physique Atomique

7

Il avait été guidé par l'expression simple d'une formule (dite de Balmer), qui associe les

fréquences des raies composant le spectre de l'hydrogène, à la différence entre deux termes

d'énergie. En effet, Balmer (1825-1898) trouva empiriquement la relation donnant les longueurs

d'onde des raies : en accord avec les raies trouvées dans le visible par

Ångström et dans l'ultra-violet par Huggins. Cela a permis de décrire l'atome comme émettant ou

absorbant une certaine quantité d'énergie quantifiée (le photon).

Or la théorie planétaire de Rutherford de 1911 se heurtait à la théorie du rayonnement de

l'électron accéléré. En effet, cet électron émettait de l'énergie et devait s'écraser sur le noyau au

bout de quelques millions de révolutions, ce qui correspond à une nanoseconde.

En 1913, Bohr a introduit ses deux postulats pour rendre le modèle compatible avec ces

observations. Il suppose que l'électron parcourt différentes orbites circulaires quantifiées autour

du noyau : lorsque l'électron change d'orbite, un photon transportant de l'énergie est émis. Les

orbites deviennent donc niveaux d'énergie. Le spectre atomique de l'hydrogène, et le problème

du modèle de Rutherford étaient ainsi expliqués.

Niels Bohr publia alors en juillet 1913 son article : On the constitution of atoms and molecules,

Philosophical Magazine, series 6, vol. 26, July 1913,p 1-25. Dans celui-ci, il explique pourquoi,

après les expériences de Geiger (1913), il opte pour l'atome planétaire de Rutherford (1911)

contre l'atome de Thomson (1904). Il indique qu'il est redevable à Planck de la notion de quanta

et de la constante de Planck. Il reconnaît à l'astronome Nicholson (1912) l'idée de considérer le

moment cinétique.

Remarques et conséquences []

La formule de Balmer ne satisfait pas Bohr dans la mesure où cette longueur d'onde est

monochromatique, et ne correspond à aucune oscillation de l'électron : il n'y a pas de résonance.

D'autre part, il n'y a pas de référence à la masse réduite dans cet article, alors qu'elle est souvent

présentée comme un succès pour expliquer le passage de la constante de Rydberg théorique R∞ à

la constante de Rydberg pour l'atome d'hydrogène RH.

Toutefois, l'énigme de l'hydrogène de Pickering, moins citée, a pu être résolue : l'astronome

Pickering publie des séries de raies qui s'accordent avec la théorie de Rydberg, mais en prenant n

et m demi-entiers (1895). Fowler le confirme (Décembre 1912) dans une expérience terrestre

avec un tube contenant de l'hydrogène et de l'hélium. Bohr a alors l'idée de la réaction suivante:

H + He → H– + He

+, et déclare que l'on voit le spectre de l'ion hydrogénoïde He

+ (avec une

constante de Rydberg quadruple) et que l'hydrogène de Pickering n'existe pas. De plus, il

interprète alors les raies des alcalins avec des modifications légères des termes de Ritz par des

entiers effectifs.

Néanmoins sa théorie ne permet d'interpréter ni le spectre des autres atomes ni celui des

molécules.

Page 140: Physique Atomique

8

Pour la théorie de l'état s de l'hydrogène, il faudra attendre 1926 et l'apparition du principe

d'incertitude.

Atome d'hydrogène

L'atome d'hydrogène est un atome composé d'un proton et d'un électron. C'est l'atome le plus

simple qui existe et le premier élément de la classification périodique. L'électron et le proton sont

liés par la force de Coulomb, étant donné que leurs charges sont opposées.

La compréhension de la théorie quantique de cet atome fut très importante car elle a notamment

permis de développer la théorie des atomes à N électrons, mais aussi de valider les théories de la

physique quantique au fur et à mesure des progrès accomplis : d'abord l'ancienne théorie des

quanta[1]

, la mécanique quantique non relativiste, puis la mécanique quantique relativiste de

Dirac, et enfin la théorie quantique des champs.

Dans le cadre de la mécanique quantique, l'atome d'hydrogène est modélisé comme un problème

à deux corps, et est soluble analytiquement. Il est ainsi possible d'en déduire les niveaux

d'énergie, et de les comparer aux mesures des raies spectrales.

Note d'histoire : la période 1913-1925 []

L'étude du spectre de l'atome d'hydrogène avait déjà été effectuée de façon empirique par Balmer

(1825-1898) au 19e siècle. La mise en évidence de régularités dans le spectre, inexplicable par la

théorie classique, fut longtemps une énigme. En 1913, la théorie de l'atome de Bohr ne put pas

expliquer le cas du moment cinétique nul, mais elle introduit une hypothèse ad hoc selon laquelle

les orbites était quantifiées, ce qui était inconciliable avec la théorie classique.

Ce modèle n'était pas satisfaisant, car il ne permettait pas d'expliquer la spectroscopie des

éléments, comme l'hélium[2]

, bien que très vite, Bohr put expliquer la spectroscopie des ions He+

et Li++

.

On savait qu'il existait, en spectroscopie, deux « sortes » d'hélium, mais l'énigme restait entière,

et ne relevait pas du tout de l'astuce de l'hydrogène de Pickering[3]

. L'apport de Sommerfeld en

introduisant la théorie des ellipses de Rutherford permit bien d'introduire la notion de moment

cinétique orbital, mais fut une impasse. La théorie de Bohr fut contredite par l'effet Zeeman, et

par la théorie du moment cinétique quantique de Pauli. Il était impossible d'expliquer le spectre

de l'atome d'hydrogène pour les raies très voisines, correspondant à la structure fine. Dès 1924,

Pauli comprend la notion de spin de l'électron et introduit son incompréhensible principe

d'exclusion de Pauli qui ne deviendra un théorème que dans la théorie quantique relativiste.

Grâce à ce principe et à l'« Aufbau-prinzip », la classification périodique commence à recevoir

un statut plus théorique.

L'équation de Schrödinger d'évolution ou dépendant du temps []

Page 141: Physique Atomique

9

L'observable position est réduite, ici, à la distance au noyau. Et l'observable impulsion est

, d'après l'explication magistrale (postérieure) de Dirac. Et on rappelle que d'après

Born, Ψ(r,t) est l'amplitude de probabilité de présence de l'électron (1927). Cela lui donnera le

prix Nobel en 1954.

Cette théorie avait pour fondement la notion mathématique des opérateurs linéaires dits

observables (de l'opérateur hermitien, complet) dans un espace vectoriel abstrait, muni de la

structure d'espace de Hilbert;

de ce fait la théorie fut autrefois appelée : mécanique des matrices, inventée dès 1925 par

Heisenberg et utilisée brillamment par Pauli pour trouver le spectre de l'hydrogène, dès 1925.

Mais cette théorie de Pauli était trop en avance sur son temps.

Schrödinger, dès 1926, montra que la théorie d'Heisenberg se réduisait à la sienne, et que

sa théorie donnait, grâce à sa fameuse fonction d'onde Ψ(r,t),(encore incomprise en

1926), TOUT sur l'état stationnaire de l'électron « autour du noyau », SANS

TRAJECTOIRE (mais ceci ne fut compris qu'en 1929/1930 grâce à Born, Jordan et Von

Neumann, puis Dirac).

On se doit de noter, ici, l'absence de deux grands physiciens : Einstein et Bohr. Leurs

correspondances de 1926 à 1935 montrent qu'ils auraient tellement voulu que cette

théorie soit pleinement compréhensible !

Cela étant, la Théorie de Pauli de l'atome d'hydrogène était pourtant vraiment la plus

profonde, et cela est maintenant reconnu par tous les récents ouvrages (environ depuis

1964).

Complètement acquise au XXIe siècle, via le vecteur de Runge-Lenz quantique, la théorie de

Pauli est ENFIN en pleine lumière, après plus de quatre-vingt ans ! C'est dire que le progrès de

l'interdisciplinarité (ici théorie mathématique de l'intégrabilité et symétrie en chimie) est lent.

Ainsi, Schrödinger put donc déduire en 1926 le spectre de l'hydrogène à partir des valeurs

propres de l'opérateur linéaire , appelé « hamiltonien » :

ses valeurs propres redonnaient exactement les valeurs de l'énergie trouvées dans

l'ancienne théorie de l'atome de Bohr (1913),

mais il obtint bien plus :

Page 142: Physique Atomique

10

les fonctions d'onde de chaque valeur propre, c’est-à-dire la probabilité de trouver

l'électron à telle ou telle position en régime stationnaire (cf orbitale de l'atome

d'hydrogène).

Cela dit, résoudre l'équation précédente est un effort mathématique très difficile pour tout

physicien non rompu à la pratique des équations aux dérivées partielles. Mais plus encore, la

disparition de la notion de trajectoire et le concept d'électronde remplaçant celui d'un

électron fut TRÈS difficile à admettre (cf mécanique quantique). C'est CELA qui explique la

"réticence" d'Einstein. Et, c'est une heureuse chance que l'équation pour l'atome d'hydrogène fût

intégrable !

Equation de Schrödinger stationnaire ou indépendante du temps []

Cette équation, la plus utilisée en pratique, ne découle pas de façon évidente de la précédente,

nous ne la démontrerons donc pas ici. L'expression de l'équation de Schrödinger indépendante du

temps est

où est le laplacien. V est le potentiel coulombien du proton, indépendant du temps et E-V

l'énergie cinétique de l'électron :

Le laplacien, en coordonnées sphériques, s'écrit:

La résolution complète de l'équation de Schrödinger de l'atome d'hydrogène est compliquée mais

on peut la simplifier sachant que les niveaux d'énergie de type s, de symétrie sphérique, sont les

mêmes que ceux qu'on obtient avec la théorie de Bohr. La théorie de Schrödinger la complète en

faisant apparaître les modes de vibration angulaires en plus des modes radiaux: ce sont les

harmoniques sphériques. On en trouvera la résolution chez Feynman[4]

.

État fondamental []

En fait, dans le cas de l'atome d'hydrogène, on peut trouver la solution de l'état fondamental

(c'est-à-dire de plus basse énergie) rigoureusement, en s'aidant uniquement du principe

d'incertitude d'Heisenberg. C'est une façon très élégante de procéder, sans beaucoup de

mathématiques.

Page 143: Physique Atomique

11

En effet, très vite, (en 1929), Werner Heisenberg fait comprendre un des points-clefs de la

mécanique quantique : Les grandeurs physiques ne sont plus des fonctions de l'espace

de la position et de la vitesse (appelé en mécanique classique hamiltonienne, l'espace des

phases) : cet espace n'est pas pertinent en mécanique quantique. Les grandeurs physiques

doivent être remplacées par des opérateurs linéaires observables sur un espace vectoriel

(de Hilbert) et les valeurs propres, réelles, de ces matrices seront les valeurs expérimentalement

mesurées. Comme l'opérateur position et l'opérateur impulsion ne commutent pas, il en

résulte le théorème d'inégalité de Heisenberg) :

=> variance (p) . variance (x) (>ou égal) .

Alors, dans le cas d'égalité stricte - on dit que l'inégalité a été saturée à sa limite - la saturation

des inégalités d'Heisenberg donne un moyen rigoureux de calculer la fonction d'onde,Ψ1s(x,y,z),

de l'état fondamental de l'atome d'hydrogène.

Ce problème de valeur propre et de vecteur propre est donc résolu, dans l'article Saturation des

inégalités d'Heisenberg, pour la plus basse énergie (cf. atome de Bohr) ; et cela donne:

N' étant la constante, réelle, dite de normalisation de la probabilité.

Vérification []

On va se contenter, ici, de vérifier que ceci est vrai en insérant directement cette solution dans

l'équation de Schrödinger.

Premièrement, dans cette équation, la variable temps se sépare immédiatement :

dans ce cas dit stationnaire, cela amène à trouver les valeurs propres de l'opérateur linéaire H

dans l'espace L2 des fonctions des trois variables ƒ(x, y, z) à valeur complexe, de carré

sommable :

Page 144: Physique Atomique

12

.

Or, dans ce cas, cette fonction uniquement de r a pour Laplacien, la valeur usuelle

.

De plus, on se sert évidemment des unités atomiques, qui a été introduit à cet usage. Cela revient

à faire dans les calculs ; Landau (p142) appelle ce système d'unités

coulombiennes :

ƒ = ƒ, ƒ' = - ƒ ;

donc il s'agit de vérifier si :

-1/2·(ƒ + 2/r·(-ƒ)) + 1/r·ƒ = -1/2·ƒ

qui est vrai.

Densité de probabilité de présence []

0n en déduit aussitôt la probabilité dp de trouver l'électron à une distance du noyau comprise

entre r et r+dr : elle est donnée par dp = P(r)·dr :

.

Sur le graphique de la densité de probabilité, la distance au noyau est donnée en multiple du

premier rayon de Bohr, on voit immédiatement que la probabilité est maximale au premier rayon

de Bohr :

Orbitale 1s []

Cette solution s'appelle en chimie l'orbitale 1s.

On pourra vérifier le théorème du viriel :

moyenne de 1/r = 1/a0

et le théorème d'Ehrenfest :

moyenne de 1/r² = 2/a²

Page 145: Physique Atomique

13

La moyenne de r n'est pas a, mais (3/2)·a ; [de manière générale, l'inverse de la moyenne n'est

pas la moyenne de l'inverse ].

Et la moyenne de r² vaut : 3a², donc la variance de r vaut (3-9/4)·a² = 0,75·a² ; soit un écart-type

= 0,866·a², ce qui est très grand.

L'électronde est dite délocalisée dans un espace, qui malgré tout reste de volume fini, au sens

physique : au bout de 3a, la probabilité de détecter l'électronde est très faible (on parle d'orbitale

sphérique), typiquement en chimie quantique, on convient formellement de tracer la méridienne

de la surface qui englobe en gros 98 % de chance d'y trouver l'électron :

ici r = 3/2 + 1,732 ~ 3,2·a. Ceci est très conventionnel.

Note : espace des impulsions []

L'opérateur impulsion a évidemment une moyenne nulle (symétrie sphérique), mais l'opérateur

P² vaut 2m·Ec, dont la valeur moyenne est par le théorème du viriel

<P²> = -2m·Ec, soit en unités atomiques +2·1/2 = 1.

Donc la variance de P vaut .

On retrouve bien (heureusement!) ce dont on était parti dans l'article Saturation des inégalités

d'Heisenberg.

Mais, on peut aller un peu plus loin [ ne jamais perdre de vue que l'espace des impulsions joue

un rôle égal à celui des positions, bien qu'il soit moins étudié en chimie] :

Remarque : représentation dite des impulsions

La transformée de Fourier de est , avec la même règle de Born bien sûr :

donne la densité de probabilité dans l'espace des impulsions. Le calcul de la

transformée de Fourier de exp-r donne 1/(1+p²)² et donc on peut calculer de même la

distribution des impulsions et retrouver la variance de p, et la valeur moyenne de l'énergie

cinétique : il est très important de faire ces calculs pour bien comprendre que l'électronde,

bien que dans un état stationnaire, ne cesse de « bouger » : il est aussi délocalisé en

impulsion.

En fait, ce n'est pas une particule, ce n'est pas une onde, c'est une entité nouvelle, la

« particlonde », qui ne satisfait plus les équations de la mécanique classique (dans la

version dite d'Hamilton), ni l'équation des ondes de l'optique, ni l'équation de la diffusion,

mais cette drôle d'équation, l'équation de Schrödinger qui ne se laisse appréhender

concrètement que dans la vision lagrangienne de Dirac et Feynman(on parle d'intégrale

de chemins ( et parfois l'équation de Schrödinger est appelée équation de cheminement)).

Page 146: Physique Atomique

14

Si bien que l'énergie cinétique n'est pas du tout négligeable, puisqu'égale à 50% de

l'énergie potentielle en module.

Remarque : Kleinert, élève de Feynman, a réussi à donner l'interprétation du « cheminement »

dans le cas de l'atome d'hydrogène, mais cela reste une prouesse. En ce sens , pour les chimistes,

le seul vrai progrès notable depuis Hartree-Fock et Clementi a été (pour l'atome à N électrons), la

notion de densité fonctionnelle de Kohn (Nobel de chimie 1998).

Conclusion []

Il faut garder en mémoire toujours ces deux aspects, le couple [Ψ(r),Φ(p)], pour bien

comprendre l'aspect non statique, mais stationnaire de cette délocalisation de l'électronde.

Beaucoup de livres proposent comme règle empirique : si l'électronde est localisé dans une

région de l'ordre de r = a, lui donner une énergie cinétique de l'ordre de . Dans le cas

présent, cela, donne une énergie totale dont le minimum est bien , où a

est le rayon de Bohr :

.

C'est une façon simple et élégante d'introduire les OdG ( ordre de grandeur)de l'atome, souvent

reprise dans les bons ouvrages.

Orbitales []

Résonance acoustique []

Nous allons obtenir la structure de l'atome d'hydrogène en dénombrant les modes de vibration de

la sphère. Le mode de vibration fondamental, dont la fréquence est la plus élevée, est toujours

sphérique. Lorsque la vitesse des ondes est constante, il correspond à une longueur d'onde égale

à deux fois le diamètre, comme pour une corde vibrante où le fondamental a une longueur d'onde

double de la longueur de la corde lorsqu'elle est encastrée ou libre à chacune de ses extrémités.

Dans un cube, les résonances apparaissent lorsque les demi-longueurs d'onde sont des fractions

entières du côté du cube avec un ventre au centre du cube. Le premier harmonique du cube

présente un nœud au milieu, comme pour la corde vibrante. Son nombre quantique principal est

n=2. Il y a trois façons de le placer, selon les trois directions de l'espace, ce qui donne trois

modes de vibration de même énergie, autrement dit dégénérés. Il peut aussi y avoir un noeud au

centre du cube. Il y a donc 4 possibilités.

Résonance de l'atome []

Page 147: Physique Atomique

15

Il en est de même pour la sphère qui aura un nœud au centre soit un nombre quantique

secondaire l=1. Comme pour le cube, il y a trois façons de le placer, selon les trois directions de

l'espace, ce qui donne trois modes de vibration de même énergie, autrement dit dégénérés. Il peut

aussi y avoir un noeud de symétrie sphérique, en son centre. Il y a donc 4 possibilités comme

pour le cube.

Lorsqu'on augmente la fréquence de vibration, c'est-à-dire l'énergie de vibration, le nombre de

nœuds augmente d'une unité à chaque fois. On obtient ainsi les harmoniques successifs qui ne

sont généralement pas des harmoniques au sens musical du terme. Les harmoniques, au sens

mathématique, du tambour, par exemple, ne sont pas des harmoniques au sens musical car ils ne

sont pas des multiples entiers du fondamental. Il en est de même dans l'atome.

Dans l'atome d'hydrogène où la vitesse des ondes de de Broglie est fonction du potentiel

électrostatique du noyau, le mode fondamental correspond au nombre quantique principal n=1.

La théorie de Schrödinger fait apparaître deux nombres quantiques supplémentaires, le nombre

quantique secondaire l et le nombre quantique magnétique m, nuls pour le mode fondamental

n=1.

On n'utilise pas les coordonnées cartésiennes pour la sphère, mais la colatitude θ et la longitude

. On peut se passer de la variable r grâce à Bohr car la théorie de Schrödinger prévoit les

mêmes niveaux d'énergie. L'axe principal est vertical, celui pour lequel θ = 0. Pour le premier

harmonique, n = 2, on a trois orientations possibles pour le nœud, un nœud selon l'équateur, les

deux autres des méridiens. On pourrait prendre des méridiens perpendiculaires, mais il revient au

même de n'en prendre qu'un seul et de le faire tourner dans un sens ou dans l'autre, ce qui

correspond au nombre quantique magnétique m = ± 1. On fait donc varier m entre - 1 et + 1.

En résumé, le nombre quantique principal n donne le nombre de nœuds. Le nombre quantique

secondaire l < n donne le nombre de configurations possibles pour les nœuds et m les numérote

de - (l - 1) à l - 1.

Les orbitales sont d'abord représentées de façon simplifiée avec les nœuds des harmoniques

sphériques sans les ventres (les « larmes »). La représentation est polaire, comme la Terre, en

coordonnées sphériques. On donne ensuite une représentation sous forme de « larmes » puis un

tableau récapitulatif. Il y a deux fois plus d'états quantiques que de modes de vibration en vertu

du principe d'exclusion de Pauli.

Couche K []

1 orbitale sphérique (1s) []

C'est l'état fondamental, de symétrie sphérique 1s, un nœud de vibration sphérique, qu'on peut

placer soit sur la périphérie, à l'infini, soit sur le noyau. Les nombres quantiques correspondants

sont :

Page 148: Physique Atomique

16

Il n'y a qu'un mode de vibration car les valeurs m = + 0 = m = - 0. En vertu du principe

d'exclusion de Pauli, la couche K n'a qu'une seule orbitale et ne peut contenir que deux électrons

au maximum. Avec un électron, on a l'hydrogène. Avec deux, on a l'hélium.

Couche L []

1 orbitale sphérique (2s) []

Elle comprend une orbitale sphérique 2s, soit un nœud de vibration sphérique et deux états

quantiques, donc deux éléments (Li et Be) :

3 orbitales (2p) []

Une orbitale de symétrie de révolution et deux autres avec un méridien, de symétrie axiale. Le

méridien pouvant tourner dans un sens ou dans l'autre,il y a deux valeurs du nombre quantique

magnétique m :

En additionnant les orbitales des couches K et L, on a 5 orbitales soit, en vertu du principe de

Pauli, 10 électrons et un numéro atomique N=10 correspondant au néon. Cela permet non

seulement de comprendre l'atome d'hydrogène mais aussi de construire la table de Mendeleiev.

Couche M []

1 orbitale (3s) sphérique []

3 orbitales (3p) []

Comme pour la couche L sauf qu'il y a un nœud sphérique en plus.

Page 149: Physique Atomique

17

5 orbitales (3d) []

Les orbitales m ≠ 0 sont doubles.

( symétrie de révolution)

(trèfle à quatre lobes dxy et )

(trèfle à quatre lobes dxz et dyz)

On peut aussi représenter les orbitales d de la couche M, en larmes d'eau :

Pour plus de détails voir harmoniques sphériques. On remarquera l'anneau sur l'orbitale de

révolution qu'on retrouve sur les atomes hydrogénoïdes ou atome de Rydberg.

Récapitulatif des couches K, L, M []

Page 150: Physique Atomique

18

Cette figure résume les modes de vibration qu'on rencontre dans les trois couches K, L, M.

Chaque couche reprend la couche précédente avec un nœud de plus.

Les orbitales de gauche, sphériques, sont simples. Les orbitales p sont triples avec un nœud plan

et les orbitales d quintuples avec deux nœuds plans.

Chaque couche contient les couches inférieures, par exemple en dessous de la sous-couche 3p,

on a les sous-couches 1s,2s,2p et 3s. D'après le principe d'exclusion de Pauli, le nombre maximal

d'électrons dans une sous-couche doit être pair. Considérons le cas du sodium Na. Toutes les

couches seront remplies jusqu'à la sous-couche 3s avec un électron célibataire. Sa structure

électronique s'écrit 1s22s

22p

63s

1 ou [Ne]s

1, ce qui fait un total de Z = 11 électrons, numéro

atomique du sodium Na qui suit immédiatement Ne. On marie l'électron célibataire du sodium

pour obtenir le magnésium. On remplit la couche 3p avec six électrons pour obtenir l'argon Ar.

Tous les gaz rares ont une sous-couche externe de type p sauf l'hélium avec une sous-couche s.

Au-delà de l'argon, il y a une anomalie due à la répulsion électrostatique entre les électrons : le

mode 4s se met à la place de 3d. Le modèle de l'atome d'hydrogène ne s'applique donc que

jusqu'à l'argon. Au-delà, l'ordre des sous-couches diffère de celui prévu par le modèle de la

cavité sphérique comme de celui de Schrödinger. Pour prévoir l'ordre réel on a des règles

empiriques (Aufbau, Hund, Klechkowski ou Madelung). Connaissant ces anomalies, on peut

construire la Table périodique des éléments ou [1]

Spectre électromagnétique

Page 151: Physique Atomique

19

Le spectre électromagnétique est la décomposition du rayonnement électromagnétique selon

ses différentes composantes en termes de fréquence (ou période), d'énergie des photons ou

encore de longueur d’onde associée, les quatre grandeurs ν (fréquence), T (période), E (énergie)

et λ (longueur d’onde) étant liées deux à deux par :

la constante de Planck (approx. 6,626069×10-34

J⋅s ≈ 4,13567 feV/Hz)

et la vitesse de la lumière (exactement 299 792 458 m/s),

selon les formules :

pour l’énergie transportée par le photon,

pour le déplacement dans le vide (relativiste dans tous les référentiels)

du photon,

d’où aussi :

.

[Enrouler]

v · d · m

Spectre électromagnétique

Spectre électromagnétique : Radioélectricité · Spectre radiofréquence · Bandes VHF-UHF ·

Spectre micro-ondes

Fréqu

ence

Longu

eur

d’onde

9 k

Hz

33 k

m

1 GH

z

30 c

m

300 G

Hz

1 mm

3 TH

z

100 µ

m

405 T

Hz

745 n

m

480 T

Hz

625 n

m

508 T

Hz

590 n

m

530 T

Hz

565 n

m

577 T

Hz

520 n

m

612 T

Hz

490 n

m

690 T

Hz

435 n

m

750 T

Hz

400 n

m

30 P

Hz

10 n

m

30 EH

z

5 pm

Band

e

ond

es

radi

o

micr

o-

onde

s

térahe

rtz

infraro

uge

rouge

orang

e

jaune vert cyan bleu violet

ultravi

olet

rayo

ns X

rayo

ns γ

rayonnemen

ts

pénétrants

lumière visible

rayonnements

ionisants

Histoire []

Page 152: Physique Atomique

20

Le terme spectre fut employé pour la première fois en 1666 par Isaac Newton pour se référer au

phénomène par lequel un prisme de verre peut séparer les couleurs contenues dans la lumière du

Soleil.

Unités de mesures []

Pour les ondes radio et la lumière, on utilise habituellement la longueur d'onde. À partir des

rayons X, les longueurs d'ondes sont rarement utilisées : comme on a affaire à des particules très

énergétiques, l'énergie correspondant au photon X ou γ détecté est plus utile. Cette énergie est

exprimée en électron-volt (eV), soit l'énergie d'un électron accéléré par un potentiel de 1 volt.

Le domaine visible du spectre électromagnétique

Spectre lumineux []

Article détaillé : Spectroscopie.

Domaines du spectre électromagnétique en fonction de la longueur d'onde, de la fréquence ou de

l'énergie des photons

La lumière blanche peut se décomposer en arc-en-ciel à l'aide d'un prisme ou d'un réseau de

diffraction. Chaque « couleur spectrale » de cette décomposition correspond à une longueur

d’onde précise ; cependant, la physiologie de la perception des couleurs fait qu'une couleur vue

ne correspond pas nécessairement à une radiation de longueur d’onde unique mais peut être une

Page 153: Physique Atomique

21

superposition de radiations monochromatiques. La spectrométrie étudie les procédés de

décomposition, d’observation et de mesure des radiations en ondes monochromatiques.

Les photons de lumière visible les plus énergétiques (violet) sont à 3 eV. Les rayons X couvrent

la gamme 100 eV à 100 keV. Les rayons γ sont au-delà de 100 keV. Des photons γ de plus de

100 MeV (100 000 000 eV) émis par un quasar ont été détectés.

Usages et classification []

Les définitions des bandes mentionnées dans le tableau sont les suivantes (normalisation

internationale effectuée par l’UIT) ; elles sont aussi communément désignées par leur catégorie

de longueur d’onde métrique (dans le tableau ci-dessous, les longueurs d'onde sont calculées

avec l'approximation courante sauf pour la bande THF)

Bandes Fréquences Longueur

d’onde Usages

Ondes TLF

(Tremendously

Low

Frequency)

0 Hz à 3 Hz 100 000

km à ∞

Champs magnétiques, ondes et bruits

électromagnétiques naturels, ondes gravitationnelles

Ondes ELF

(Extremely

Low

Frequency)

3 Hz à 30

Hz

10 000 km

à 100 000

km

Ondes électromagnétiques naturelles, résonance

terrestre de Schumann, ondes du cerveau humain,

recherches en géophysique, raies spectrales

moléculaires

Ondes SLF

(Super Low

Frequency)

30 Hz à 300

Hz

1 000 km

à 10 000

km

Ondes électromagnétiques naturelles, résonance

terrestre de Schumann, ondes physiologiques humaines,

ondes des lignes électriques, usages inductifs

industriels, télécommandes EDF Pulsadis, harmoniques

ondes électriques

Ondes ULF

(Ultra Low

Frequency)

300 Hz à 3

kHz

100 km à

1 000 km

Ondes électromagnétiques naturelles notamment des

orages solaires, ondes physiologiques humaines, ondes

électriques des réseaux téléphoniques et ADSL,

harmoniques ondes électriques, signalisation TVM des

TGV

Ondes VLF

(Very Low

Frequency)

3 kHz à 30

kHz

10 km à

100 km

Ondes électromagnétiques naturelles,

radiocommunications submaritimes militaires,

transmissions par CPL, systèmes de radionavigation,

émetteurs de signaux horaires

Ondes LF

(Low

Frequency)

30 kHz à

300 kHz

1 km à 10

km

Ondes électromagnétiques naturelles des orages

terrestres, radiocommunications maritimes et

submaritimes, transmissions par CPL, radiodiffusion en

OL, émetteurs de signaux horaires, systèmes de

radionavigation

Ondes MF 300 kHz à 3 100 m à 1 Systèmes de radionavigation, radiodiffusion en OM,

Page 154: Physique Atomique

22

(Medium

Frequency)

MHz km radiocommunications maritimes et aéronautiques,

radioamateurs, signaux horaires

Ondes HF

(High

Frequency)

3 MHz à 30

MHz

10 m à

100 m

Radiodiffusion internationale, radioamateurs,

radiocommunications maritimes et aéronautiques,

radiocommunications militaires et d’ambassades, aide

humanitaire, transmissions gouvernementales,

applications inductives autorisées, signaux horaires, CB

en 27 MHz, radar Nostradamus

Ondes VHF

(Very High

Frequency)

30 MHz à

300 MHz

1 m à 10

m

Radiodiffusion et télédiffusion, radiocommunications

professionnelles, transmissions militaires, liaisons des

secours publics, radionavigation et

radiocommunications aéronautiques, radioamateurs,

satellites météo, radioastronomie, recherches spatiales

Ondes UHF

(Ultra High

Frequency)

300 MHz à

3 GHz

10 cm à 1

m

Télédiffusion, radiodiffusion numérique, radioamateurs,

radiocommunications professionnelles, transmissions

militaires y compris aéronautiques, liaisons

gouvernementales, liaisons satellites, FH terrestres,

radiolocalisation et radionavigation, services de la

DGAC, usages spatiaux, satellites météo, téléphonie

GSM et UMTS, liaisons Wi-Fi et Bluetooth, systèmes

radar

Ondes SHF

(Super High

Frequency)

3 GHz à 30

GHz

1 cm à 10

cm

FH terrestres et par satellite, systèmes radar, liaisons et

FH militaires divers, systèmes BLR, radioastronomie et

usages spatiaux, radiodiffusion et télédiffusion par

satellite, liaisons Wi-Fi, fours à micro-ondes

Ondes EHF

(Extremely

High

Frequency)

30 GHz à

300 GHz

1 mm à 1

cm

FH terrestres et par satellite, recherches spatiales,

radioastronomie, satellites divers, liaisons et FH

militaires, radioamateurs, systèmes radar, raies

spectrales moléculaires, expérimentations et recherches

scientifiques

Ondes THF

(Tremendously

High

Frequency)

300 GHz à

300 000 000

THz

0,99 pm à

999,3 µm

* Ondes infrarouges C (300 GHz à 100 THz)

o Infrarouges extrêmes (300 GHz à 19,986

THz)

o Infrarouges lointains (19,986 à 49,965

THz)

o Infrarouges moyens (49,965 à 99,930

THz)

Infrarouges proches (99,930 à 399,723 THz)

o Ondes infrarouges B (100 à 214 THz)

o Ondes infrarouges A (214 à 374,740

THz)

o Transition vers le rouge (374,740 à

384,349 THz)

Page 155: Physique Atomique

23

Lumière visible par l’homme (couleurs

« spectrales ») :

o Ondes visibles rouges (391,885 à

483,536 THz soit 765 à 620 nm)

o Ondes visibles rouges orangées (483,536

à 503,007 THz soit 620 à 596 nm)

o Ondes visibles jaunes orangées (503,007

à 510,719 THz soit 596 à 587 nm)

o Ondes visibles jaunes (510,719 à 516,883

THz soit 587 à 580 nm)

o Ondes visibles jaunes verdâtres (516,883

à 521,378 THz soit 580 à 575 nm)

o Ondes visibles vertes jaunâtres (521,378

à 535,343 THz soit 575 à 560 nm)

o Ondes visibles vertes (535,343 à 565,646

THz soit 560 à 530 nm)

o Ondes visibles vertes bleutées (565,646 à

609,334 THz soit 530 à 492 nm)

o Ondes visibles cyanes (609,334 à

615,590 THz soit 492 à 487 nm)

o Ondes visibles bleues verdâtres (615,590

à 621,976 THz soit 487 à 482 nm)

o Ondes visibles bleues (621,976 à 644,714

THz soit 482 à 465 nm)

o Ondes visibles indigos (644,714 à

689,178 THz soit 465 à 435 nm)

o Ondes visibles violettes (689,178 à

788,927 THz soit 435 à 380 nm)

Transition vers les ultraviolets (788,927 THz à

749,481 THz)

Rayonnements dits « ionisants » :

o Ultraviolet :

Ultraviolets UV-A (749,481 THz

à 951,722 THz)

Ultraviolets UV-B (951,722 THz

à 1070,687 THz)

Ultraviolets UV-C (1070,687

THz à 1498,962 THz)

Ultraviolets V-UV (1498,962

THz à 3 PHz)

Ultraviolets X-UV, transition vers

les rayons X (3 PHz à 300 PHz)

o Rayons X :

Rayons X mous (300 PHz à 3

EHz)

Rayons X durs (3 EHz à 30 EHz)

Page 156: Physique Atomique

24

o Rayons gamma :

Rayons gamma mous (30 EHz à

300 EHz)

Rayons gamma durs (au-delà de

300 EHz) (au-delà de la bande

THF)

Spectre d'émission []

Article détaillé : spectre d'émission.

Des atomes ou molécules excités (par exemple par chocs) se désexcitent en émettant une onde

électromagnétique. Celle-ci peut se décomposer en une superposition d'ondes sinusoïdales

(monochromatiques) caractérisées par leurs longueurs d'onde. Le spectre est constitué par

l'ensemble des longueurs d'ondes présentes. On peut le matérialiser à l'aide d'un prisme de

décomposition de la lumière en un ensemble de lignes, les raies spectrales, qui correspondent aux

différentes longueurs d'ondes émises. Pour plus de précision, on peut également représenter ce

spectre comme un graphe de l'intensité lumineuse en fonction de la longueur d'onde.

L'observation du spectre d'émission de l'hydrogène se fait au moyen d'un tube Geissler qui

comporte deux électrodes et de l'hydrogène sous faible pression. Les électrodes sont soumises à

une différence de potentiel de 1000 V. L'important champ électrique accélère les ions présents

qui, par chocs, excitent les atomes d'hydrogène. Lors de leur désexcitation, ils émettent de la

lumière qui est analysée par un spectroscope. Dans tous les cas on observe (dans le visible) le

même spectre composé de 4 raies (spectres de raies) aux longueurs d'ondes : 410 nm, 434 nm,

486 nm, 656 nm.

Niels Bohr interprétera alors l'émission de lumière par l'émission d'un photon lorsque l'atome

passe d'un niveau d'énergie à un autre. Le spectre d'émission de n'importe quel élément peut être

obtenu en chauffant cet élément, puis en analysant le rayonnement émis par la matière. Ce

spectre est caractéristique de l'élément.

Spectre d'absorption []

Article détaillé : spectre d'absorption.

Le principe est exactement le même que celui du spectre d'émission : à un niveau d'énergie

donné correspond une longueur d'onde. Mais au lieu d'exciter de la matière (par exemple en la

chauffant) pour qu'elle émette de la lumière, on l'éclaire avec de la lumière blanche (donc

contenant toutes les longueurs d'ondes) pour voir quelles longueurs d'ondes sont absorbées. Les

niveaux d'énergie étant caractéristiques de chaque élément, le spectre d'absorption d'un élément

est exactement le complémentaire du spectre d'émission. On s'en sert notamment en

astrophysique : par exemple, pour déterminer la composition de nuages gazeux, on étudie leur

spectre d'absorption en se servant des étoiles se situant en arrière-plan comme source de lumière.

Page 157: Physique Atomique

25

C'est d'une manière générale le but de la spectrographie d'absorption : identifier des éléments

inconnus (ou des mélanges) par leur spectre.

Diffractométrie de rayons X

Cliché de laue d'une molécule cristallisée

La diffractométrie de rayons X (DRX, on utilise aussi souvent l'abréviation anglaise XRD pour

X-ray diffraction) est une technique d'analyse fondée sur la diffraction des rayons X sur la

matière. La diffraction n'ayant lieu que sur la matière cristalline, on parle aussi de

radiocristallographie. Pour les matériaux non-cristallins, on parle de diffusion.

L'appareil de mesure s'appelle un diffractomètre. Les données collectées forment le diagramme

de diffraction ou diffractogramme.

Exemple de diffractogramme de poudre

Présentation générale []

Page 158: Physique Atomique

26

Champ d'application []

La diffractométrie de rayons X est une méthode d'analyse physico-chimique. Elle ne fonctionne

que sur la matière cristallisée (minéraux, métaux, céramiques, produits organiques cristallisés),

mais pas sur la matière amorphe (liquides, polymères, verres) ; toutefois, la matière amorphe

diffuse les rayons X, et elle peut être partiellement cristallisée, la technique peut donc se révéler

utile dans ces cas-là. Par contre, elle permet de reconnaître des produits ayant la même

composition chimique brute, mais une forme de cristallisation différente, par exemple de

distinguer les différentes silices (qui ont toutes la même formule brute SiO2 : quartz,

cristobalite…), les différents aciers (acier ferritique, austénite…) ou les différentes alumines (qui

ont toutes la même formule brute Al2O3 : corindon/alumine α, γ, δ, θ…).

Méthode []

On prépare l'échantillon sous la forme d'une poudre aplanie dans une coupelle, ou bien sous la

forme d'une plaquette solide plate. On envoie des rayons X sur cet échantillon, et un détecteur

fait le tour de l'échantillon pour mesurer l'intensité des rayons X selon la direction. Pour des

raisons pratiques, on fait tourner l'échantillon en même temps, ou éventuellement on fait tourner

le tube produisant les rayons X.

Applications []

La technique est utilisée pour caractériser la matière. Cela concerne :

la recherche : lorsque l'on crée un nouveau matériau (souvent des céramiques), que l'on veut connaître le résultat d'une réaction chimique ou physique (par exemple en métallurgie, pour reconnaître les produits de corrosion ou savoir quel type d'acier on a fabriqué), en géologie (géochimie) pour reconnaître la roche prélevée à un endroit ;

pour le suivi de production dans une usine (contrôle de la qualité du produit) : dans les cimenteries, les fabriques de céramiques…

l'industrie pharmaceutique : o en recherche : les nouvelles molécules sont cristallisées, et les cristaux sont étudiés par

diffractométrie de rayons X ; o en production : cela sert notamment à vérifier que l'on n'a pas fabriqué une autre

molécule de même formule, mais de forme différente (on parle de polymorphisme)

Interaction rayons X-matière []

Les rayons X, comme toutes les ondes électromagnétiques, provoquent un déplacement du nuage

électronique par rapport au noyau dans les atomes ; ces oscillations induites provoquent une

réémission d'ondes électromagnétiques de même fréquence ; ce phénomène est appelé diffusion

Rayleigh.

Article détaillé : Interaction rayonnement-matière.

Page 159: Physique Atomique

27

La longueur d'onde des rayons X étant de l'ordre de grandeur des distances interatomiques

(quelques angström), les interférences des rayons diffusés vont être alternativement constructives

ou destructives. Selon la direction de l'espace, on va donc avoir un flux important de photons X,

ou au contraire très faible ; ces variations selon les directions forment le phénomène de

diffraction X.

Ce phénomène a été découvert par Max von Laue (Prix Nobel en 1914), et longuement étudié

par sir William Henry Bragg et son fils sir William Lawrence Bragg (prix Nobel commun en

1915),

Les directions dans lesquelles les interférences sont constructives, appelées « pics de

diffraction », peuvent être déterminées très simplement par la formule suivante, dite loi de

Bragg :

avec

d = distance interréticulaire, c'est-à-dire distance entre deux plans cristallographiques ; θ = demi-angle de déviation (moitié de l'angle entre le faisceau incident et la direction du

détecteur) ; n = ordre de réflexion (nombre entier) ; λ = longueur d'onde des rayons X.

Comme les plans cristallographiques peuvent être repérés par les indices de Miller {hkl}, on peut

indexer les pics de diffraction selon ces indices.

Article détaillé : Théorie de la diffraction sur un cristal.

Applications de la DRX []

Identification de phases cristallines []

Principes de l'identification des phases []

L'idée d'utiliser la diffraction des rayons X pour identifier une phase fut développée au début du

XXe siècle de manière indépendante par Albert Hull

[1],[2] en 1919 d'une part, et par Peter Debye

et Paul Scherrer d'autre part[3]

. En raison de la guerre, la publication et la diffusion des journaux

scientifiques était difficile ; chronologiquement, c'est Hull qui publia le premier ses travaux ,

mais la méthode porte le nom de Debye et Scherrer.

Une poudre formée d'une phase cristalline donnée va toujours donner lieu à des pics de

diffraction dans les mêmes directions, avec des hauteurs relatives à peu près constantes. Ce

diagramme de diffraction forme ainsi une véritable signature de la phase cristalline. Il est donc

possible de déterminer la nature de chaque phase cristalline au sein d'un mélange (mélange de

Page 160: Physique Atomique

28

poudre ou échantillon massif polyphasique), à condition d'avoir auparavant déterminé la

signature de chaque phase.

La détermination de cette signature peut se faire soit de manière expérimentale (mesure d'un

produit pur dans des conditions idéales), soit par simulation numérique à partir de la structure

cristallographique connue — structure ayant elle-même pu être déterminée par diffraction X (cf.

ci-dessous). Cette signature est consignée dans une fiche sous la forme d'une liste de pics ; la

position en 2θ est convertie en distance interréticulaire d par la loi de Bragg, afin d'avoir une

valeur indépendante de la longueur d'onde des rayons X (et donc du type de source de rayons X

utilisée). L'intensité I de chaque pic est exprimée en pourcent %, parfois en pourmille ‰, 100 %

(ou 1 000 ‰) étant la hauteur du pic le plus intense. Cette liste de pics est souvent désignée par

le terme « liste de d—I » . On constitue ainsi des bases de données, et le diagramme mesuré sur

le produit inconnu est comparé de manière informatique à toutes les fiches de la base de données.

La base de données la plus complète à l'heure actuelle (2004) est la Powder diffraction file (PDF)

de l'ICDD (ex-JCPDS : Joint committee on powder diffraction standards, ex- comité E4 de

l'ASTM), avec plus de 150 000 fiches (dont cependant de nombreuses redondances).

L'intérêt de cette méthode est qu'elle permet de distinguer les différentes formes de cristallisation

d'un même composé (par exemple pour la silice, distinguer le quartz de la cristobalite).

Cependant, elle ne peut généralement pas permettre d'identifier des composés amorphes. Cette

technique est donc complémentaire de l'analyse élémentaire.

La procédure d'identification des phases se fait en deux étapes : une étape de recherche dans une

base (search), puis une confrontation des fiches probables avec ce qui est possible chimiquement

(match) ; on parle donc fréquemment de search/match pour désigner cette procédure.

Au final, c'est l'utilisateur qui détermine si un produit est présent ou pas : en raison des

possibilités de confusion (plusieurs produits très différents pouvant avoir des signatures très

proches), un algorithme automatisé ne peut pas prendre seul la décision. C'est en dernier ressort

la compétence de l'utilisateur, son habileté et sa connaissance de l'échantillon qui interviennent.

Dans certains domaines, on veut simplement savoir si l'on n'a que la ou les phases prévues et pas

d'autre (— notamment, problème des polymorphes) dans le suivi de la production

pharmaceutique. Dans ce contexte, il suffit d'établir une liste de pics sur le diffractogramme du

produit inconnu, que l'on compare à une liste de pics établie sur le diffractogramme d'un produit

étalon (c'est-à-dire dont la composition chimique est maîtrisée).

Problèmes rencontrés []

Dans le cas d'un produit réellement inconnu et dont on cherche à identifier toutes les phases, on

est confronté principalement à trois problèmes :

l'écart de la signature d'un produit par rapport à sa signature théorique ou idéale : o la position en 2θ des pics d'une phase peuvent être décalés :

problème d'alignement du diffractomètre, problème de hauteur de la surface de l'échantillon ;

Page 161: Physique Atomique

29

problème de variation des paramètres de la maille cristalline, en raison des contraintes ou de la solution solide — produit non pur,

o les hauteurs relatives des pics ne sont que rarement respectées : orientation préférentielle, nombre de cristallites insuffisants pour avoir une bonne statistique, superposition de pics ;

le mélange des pics est parfois complexe, avec des superpositions ; il faut comparer le diffractogramme avec plusieurs centaines de milliers de fiches de référence.

Algorithmes manuels d'identification des phases []

Méthode d'Hanawalt []

Le premier algorithme fut inventé par Hanawalt en 1936[4],[5],[6]

. À l'époque, les fiches de

référence étaient sous forme papier. Hanawalt regroupa les fiches dont le pic principal (dit « pic

à 100 % ») étaient au même endroit (ou plus précisément dans une même zone 2θ restreinte), les

catégories ainsi crées étant classées par ordre croissant de position 2θ ; puis, dans une catégorie

de fiches, il regroupa les fiches dont le second pic le plus intense étaient au même endroit,

classant de même les sous-catégories, et dans une sous-catégorie, il classa les fiches par ordre de

position du troisième pics le plus intense. Pour dépouiller un diffractogramme, il procédait donc

ainsi :

on déterminait les trois pics les plus intenses, et on recherchait dans la liste d'Hanawalt la ou les fiches pouvant correspondre ;

le premier produit étant identifié, on éliminait les trois pics considérés et on recommençait.

Cette méthode porte aussi le nom de « méthode ASTM »[7]

.

Cependant, il fallait aussi prendre en compte les possibles superpositions de pics, donc la

possibilité qu'un pic appartenant à une phase déjà identifiée appartienne également à une autre

phase. De fait, l'identification devenait extrêmement complexe au-delà d'un mélange de trois

phases, et était peu performante pour détecter les phases présentes en faible quantité, c'est-à-dire

générant des pics de faible hauteur.

Méthode Fink []

La méthode Fink[8]

fut développée par W. Bigelow et J. V. Smith de l'ASTM au début des

années 1960, qui lui donnèrent le nom de William Fink, un référent du JCPDS. L'idée est de

considérer les quatre pics les plus intenses d'une fiche, d'appliquer toutes les permutations

possibles, puis de classer toutes ces solutions par ordre de d croissant. Lors d'une recherche,

l'opérateur prend la première valeur de d rencontrée sur le diffractogramme, puis cherche dans

l'index les fiches auxquelles ce pic pourrait appartenir. Les autres pics de chaque fiche sont

ensuite confrontés au diffractogramme.

Algorithmes informatiques d'identification des phases []

Page 162: Physique Atomique

30

L'informatique a permis d'automatiser les procédures manuelles, notamment avec des

algorithmes de recherche automatique de pics et des comparaisons avec les fiches sous formes

électroniques. Elle a aussi permis d'améliorer l'algorithme, en multipliant les comparaisons

possibles au lieu de se contenter des trois pics les plus intenses. Elle a aussi permis de croiser les

informations sur les pics avec des informations sur la composition chimique (recherche dite

« booléenne » car elle utilise des opérations logiques du type « et », « non » et « ou »).

Les premiers programmes sont apparus au milieu des années 1960, avec des limitations

inhérentes à la qualité des diffractogrammes et aux capacités de calcul des ordinateurs : les

programmes devaient considérer des possibilités d'erreur importantes sur les valeurs de d et de I.

M. C. Nichols[9],[10]

adapte ainsi l'algorithme d'Hanawalt en 1966. G. G. Johnson Jr. et V. Vand

adoptent quant à eux une approche résolument nouvelle en 1965[9],[11]

: ils comparent de manière

systématique toutes les fiches de la base de donnée avec la liste de d–I extraite du

diffractogramme, et donnent une note à la fiche (FOM, figure of merit). Les fiches de la base de

données sont donc classées par ordre de note de correspondance, puis les « meilleurs élèves »

sont affichés (typiquement, on affiche les 50 premiers), classés selon le nombre de pics communs

à la fiche et à la liste de d–I extraite du diffractogramme, puis selon la note.

En 1982, le fabricant Philips développe un algorithme propriétaire (non publié) construité sur la

méthode des moindres carrés[12]

: la note pour chaque fiche est calculée en fonction de l'écart

entre les pics de la fiche de référence et la liste de d–I extraite du diffractogramme.

L'amélioration récente la plus importante a eu lieu en 1986[13],[14],[15]

, avec le programme

commercial Eva (suite logicielle DIFFRAC-AT, puis DIFFRACplus

) de la société Socabim, une

PME française travaillant essentiellement pour le fabricant Siemens. Cet algorithme propriétaire

(non publié) reprend la logique de Johnson et Vand ; cependant, il ne se contente pas d'extraire

une liste de pics du diffractogramme, mais compare chaque fiche avec le diffractogramme lui-

même pour donner une note à la fiche (mieux la fiche correspond au diffractogramme, plus la

note est basse). Les fiches de la base de données sont donc classées par ordre de correspondance,

puis les « meilleurs élèves » sont affichés (typiquement, on affiche les 50 premiers) ; l'utilisateur

superpose ensuite les fiches (représentées sous la forme de bâtons) au diffractogramme pour

déterminer les fiches qu'il retient. Ainsi, l'algorithme utilise la totalité des points mesurés, et

notamment la ligne de fond, au lieu de se contenter d'une liste restreinte de sommet de pics ; il

prend en compte la superposition des pics (si le bâton d'une fiche se trouve dans une zone où le

signal est au-dessus de la ligne de fond, peu importe qu'il soit seul ou qu'il y ait d'autres bâtons)

et permet de détecter les phases minoritaires. D'autres sociétés ont par la suite développé des

algorithmes similaires.

Analyse quantitative []

Méthode des surfaces de pic []

La théorie indique que dans un mélange, la surface nette des pics d'une phase (dite aussi

« intensité intégrale ») est proportionnelle à la concentration de la phase moyennant un terme

Page 163: Physique Atomique

31

d'absorption : les rayons X sont absorbés par la matière selon une loi de Beer-Lambert, donc 1 %

d'un matériau donné ne donne pas le même signal selon les 99 % restant.

On peut donc écrire une loi de la forme :

ci est la concentration de la phase i ; Ii est l'intensité intégrale d'un pic donné de i ; mi est un coefficient d'étalonnage, une constante de du couple appareil/phase ; A est le terme d'absorption, qui est le même pour toutes les phases (puisque l'on travaille en

rayonnement monochromatique).

Le coefficient d'étalonnage évolue avec l'âge de l'appareil, et notamment le vieillissement du

tube à rayons X.

On peut s'abstraire de l'absorption de deux manières (méthodes de Chung) :

en introduisant un étalon interne : si l'échantillon est sous forme de poudre, on peut mélanger une quantité donnée et connue d'une phase de stable r, et l'on travaille alors en rapport d'intensité et de concentration :

en utilisant une équation supplémentaire : si toutes les phases soient mesurables et mesurées, la somme des concentrations est égale à 100 %, on a alors autant d'équations que d'inconnues.

Ces deux méthodes permettent également de s'abstraire du vieillissement du tube.

Si les échantillons sont quasiment identiques, on peut considérer que le terme d'absorption est

toujours le même et se contenter d'intégrer celui-ci dans le coefficient d'étalonnage. Cependant,

cette méthode devient erronée si l'on sort d'une gamme de concentrations restreinte, et il faut

refaire l'étalonnage régulièrement pour prendre en compte le vieillissement du tube, ou bien

déterminer la variation d'intensité pour la corriger, méthode dite de « correction de dérive » (drift

correction).

Rapport d'intensité de référence []

Si l'on choisit une méthode de préparation de référence avec un étalon interne donné, il est

possible d'établir un coefficient d'étalonnage par défaut ; c'est la méthode dite RIR, pour

« rapport d'intensité de référence » (reference intensity ratio).

La méthode qui fait référence est la suivante :

Page 164: Physique Atomique

32

on prépare l'échantillon sous forme de poudre ; on le mélange avec 50 % de corindon (alumine α-Al2O3) et on le mesure ; on fait le rapport entre le pic le plus grand de la phase et le pic le plus grand de corindon.

Ce rapport d'intensité est appelé I/Icor, et constitue le coefficient d'étalonnage de référence.

Si maintenant on considère les équations ci-dessus, on a, comme ci = ccor :

soit

Dans le cas général ci ≠ ccor, on a donc :

En faisant le rapport pour deux phases i et j, on obtient :

On voit alors que les concentration et intensité du corindon disparaissent des formules. On peut

donc mesurer l'échantillon inconnu sans ajouter de corindon et utiliser tout de même les

coefficients d'étalonnage établis avec le corindon.

Cette méthode est dite « semi-quantitative » car il n'est pas possible de définir l'erreur commise

sur la mesure. En effet, comme les échantillons de référence n'ont pas la même nature que

l'échantillon inconnu et n'ont pas subit la même préparation, il n'est pas possible d'utiliser l'écart

type obtenu sur l'étalonnage pour avoir une estimation de l'erreur. Par ailleurs, l'écart type sur

l'étalonnage n'est en général pas fourni.

Méthode de Rietveld []

On peut également faire de la quantification par la méthode de Rietveld : on part de

concentrations arbitraires, et on simule le diffractogramme que l'on obtiendrait, en utilisant la

théorie de la diffraction. Puis, on ajuste les concentrations afin de rapprocher le diffractogramme

simulé du diffractogramme mesuré (méthode des moindres carrés).

Page 165: Physique Atomique

33

La méthode de Rietveld est une méthode sans étalon, mais elle nécessite d'acquérir un

diffractogramme sur une grande plage angulaire avec une bonne précision (donc une mesure

longue), alors que la méthode de l'intensité intégrale permet de ne mesurer que des plages de

quelques degrés autour des pics intéressants. Mais la méthode de Rietveld est la seule exploitable

si l'on ne peut pas utiliser de pic isolés (problèmes de superposition de pics).

Pour obtenir informatiquement le spectre théorique voulu, l'expérimentateur peut affiner

plusieurs paramètres :

Les paramètres de maille Le taux de cristallinité La forme des pics (Gaussien ou Lorentzien) et ajustant le coefficient eta. La forme du pied des pics (Coefficients de Caglioti) Le bruit de fond (polynôme de degré 5 en général) Le décalage d'origine Le facteur d'échelle

Mesure de contraintes []

Si le cristal est comprimé ou étiré, les distances interréticulaires varient. Ceci entraîne une

variation de la position des pics.

En mesurant les déplacement des pics, on peut en déduire la déformation de la maille, et donc, à

partir des coefficients élastiques, la contrainte résiduelle dans le matériau.

En faisant varier l'orientation de l'échantillon par rapport au vecteur de diffraction (bissectrice

entre faisceau incident et faisceau détecté), on peut mesurer la variation de cette contrainte selon

l'orientation de l'échantillon, et donc déterminer le tenseur des contraintes.

Article détaillé : Détermination du tenseur des contraintes par diffraction de rayons X.

Mesure de la texture []

Une des hypothèses de la diffraction de poudre avec géométrie de Bragg-Brentano est que toutes

les orientations cristallines doivent être respectées. En effet, comme le vecteur de diffraction est

toujours perpendiculaire à la surface de l'échantillon, un plan (hkl) ne peut donner un pic que s'il

existe des cristallites dont le plan (hkl) est parallèle à la surface.

Si l'échantillon n'est pas isotrope, alors certains plans donneront des pics moins élevés, d'autres

plus élevés qu'une poudre isotrope. Par ailleurs, si l'on incline l'échantillon, le nombre de

cristallites dont le plan (hkl) diffracte va varier ; ainsi, en mesurant la hauteur de deux pics pour

plusieurs orientations de l'échantillon, on peut déterminer l'orientation globale des cristallites,

c'est-à-dire la texture.

Détermination de structures cristallographiques []

Page 166: Physique Atomique

34

À partir des intensités diffractées et de la relation inverse (réseau réciproque—réseau réel), il est

possible, à partir d'une série d'images de diffraction, de déterminer l'arrangement tridimensionnel

des atomes d'une structure cristalline. Cette méthode a pris une importance considérables ces

dernières années pour la détermination de la structure des protéines biologiques.

On part de figure de diffraction sur monocristal (clichés de Laue). À l'aide d'un logiciel (par

exemple Denzo), il est possible de déterminer les axes et centres de symétrie d'un cristal et de

proposer le système cristallin le plus probable parmi les sept existants (triclinique, monoclinique,

orthorhombique, trigonal, tétragonal=quadratique, hexagonal, cubique). C'est ensuite à

l'utilisateur de choisir le groupe d'espace le plus approprié : le système choisi est généralement

celui qui a la plus haute symétrie afin d'avoir la meilleure résolution (c'est généralement à la fin

de l'analyse, lorsque toutes les positions atomiques sont déterminées que peut être précisé le

groupe d'espace). Des paramètres de maille sont alors proposés.

Le facteur de fiabilité R (reliability) permet de calculer le degré de fiabilité de la maille proposée

par rapport à la structure cristalline réelle. Quand il atteint une valeur suffisamment faible cela

signifie que le modèle de maille est acceptable ; on peut alors passer à l'étape suivante c'est-à-

dire l'intégration des intensités diffractées et l'affinement des paramètres de maille.

Les amplitudes diffractées sont caractéristiques de la nature et de la position des atomes, en fait

de la densité électronique en tout point de la maille. Plus exactement, espace réel (de la structure

cristalline) et réciproque (des directions de diffraction) sont liés par transformation de Fourier.

Malheureusement, une partie importante de l'information est perdue lors de la collection des

images de diffraction, puisque seule la norme des intensités complexes est mesurable par les

détecteurs. Les phases, qui portent une part très importante de l'information structurale, sont

perdues et doivent êtres déterminées (expérimentalement et/ou informatiquement). Il est

nécessaire d'intégrer un grand nombre de « taches », correspondant à l'intensité des réflexions sur

le réseau cristallin.

Pour les petits composés (mailles contenant peu d'atomes), des procédures ab initio ont été mises

au point. Par contre, pour des composés de masse molaire (ou poids moléculaire) plus

importante, on utilise des méthodes :

de dérivation aux atomes lourds ; anomales ; ou bien de remplacement moléculaire, quand la structure (de l'unité asymétrique) est

partiellement connue.

Par itérations successives, il est alors possible de déterminer les phases manquantes, et par là

même d'affiner la structure cristallographique du composé.

Dans certains cas, on peut utiliser la méthode de Rietveld sur des diffractogrammes de poudre.

La préparation est bien moins contraignante — il n'est pas nécessaire d'obtenir un « gros »

monocristal —, mais le diffractogramme de poudres contient moins d'informations qu'un cliché

de Laue, puisque l'on perd la répartition de l'intensité autour du vecteur de diffraction.

Page 167: Physique Atomique

35

Effet Zeeman

L'effet Zeeman est un phénomène physique, découvert par Pieter Zeeman, physicien néerlandais

qui reçut le prix Nobel de physique en 1902.

Histoire []

Michael Faraday sentait l'influence des champs magnétiques sur le rayonnement lumineux, mais

les faibles moyens de l'époque l'empêchèrent de le montrer. En 1896, Zeeman découvrit que les

raies spectrales d'une source de lumière soumise à un champ magnétique possèdent plusieurs

composantes, chacune d'elles présentant une certaine polarisation. Ce phénomène, appelé par la

suite effet Zeeman, confirma la théorie électromagnétique de la lumière.

Phénomène []

L'effet a pour origine la subdivision des niveaux d'énergie des atomes ou des molécules plongés

dans un champ magnétique. Selon les conditions, les raies spectrales se divisent en un nombre

impair de composantes (et l'effet est dit « normal », tel qu'il a été prévu par Zeeman et Lorentz)

ou bien en un nombre pair (et l'effet est dit « anomal » — et non « anormal »). Le plus souvent,

le champ magnétique n'est pas assez intense pour que les raies se subdivisent et alors on observe

seulement leur élargissement.

Par ailleurs, le clivage des niveaux d'énergie atomiques ou moléculaires s'accompagne d'une

polarisation de la lumière émise (ou absorbée) lors des transitions entre niveaux différents. La

nature et l'intensité de cette polarisation dépend de l'orientation du champ magnétique par rapport

à l'observateur. Dans le cas d'un champ magnétique perpendiculaire à la ligne de visée, toutes les

composantes sont polarisées linéairement, tandis que pour un champ magnétique orienté

parallèlement à la ligne de visée la polarisation observée est circulaire. Alors que la mesure de

l'élargissement des raies spectrales renseigne sur l'intensité du champ, l'analyse de la polarisation

apporte donc des informations sur l'orientation du vecteur champ magnétique.

Effet Zeeman normal []

L'effet Zeeman normal peut être décrit à l'aide d'un modèle semi-classique. Cela signifie que l'on

considère l'électron comme une particule, orbitant de façon classique autour du noyau. Par

contre, le moment angulaire est quantifié.

L'électron sur son orbite de rayon r et de vitesse v représente donc un courant électrique I

exprimé par :

Page 168: Physique Atomique

36

.

Ce courant génère un moment magnétique :

.

Le vecteur est perpendiculaire à l'aire comprise par l'électron sur son orbite. Le moment

magnétique peut aussi être exprimé à l'aide du moment angulaire de l'électron :

.

En effectuant une comparaison avec la définition du moment angulaire :

.

L'équation pour l'énergie potentielle dans un champ magnétique donne ( ):

ce qui donne déjà la décomposition des raies spectrales.

Supposant que le champ magnétique pointe vers l'axe z, la quantification du moment angulaire (

) permet de simplifier l'équation :

où m est le nombre quantique magnétique et μB le magnéton de Bohr. Pour les niveaux d'énergie

à l'intérieur de l'atome on a donc :

La décomposition ne dépend donc que du nombre magnétique.

Applications en astrophysique []

Page 169: Physique Atomique

37

Magnetogramme du Soleil lors de la tempête solaire du 23 novembre 2004 prise avec

l'instrument Michelson-Doppler-Imager (MDI) du satellite SoHO.

En astrophysique, une des premières applications de l'effet Zeeman a été la découverte, par

George Ellery Hale en 1908, des champs magnétiques intenses associés aux taches solaires.

Horace W. Babcock est parvenu en 1947 à étendre ce type de mesure sur des étoiles autres que le

Soleil. Aujourd'hui, la mesure du champ magnétique solaire est effectuée quotidiennement, via

l'effet Zeeman, par des instruments embarqués sur satellite (par exemple le satellite SoHO). En

physique stellaire, des mesures similaires sont réalisées par les spectropolarimètres ESPaDOnS [1]

au Télescope Canada-France-Hawaii, et NARVAL [2]

au Télescope Bernard Lyot du Pic du

Midi de Bigorre.

Par ailleurs, la mesure de l'effet Zeeman permet de calculer l'intensité des champs magnétiques

de notre Galaxie.

Principe d'exclusion de Pauli

En 1925[1]

, Wolfgang Pauli proposa un principe selon lequel les fermions (particules de spin

semi-entier telles que les électrons, protons ou neutrons), ne peuvent pas se trouver au même

endroit dans le même état quantique.

Ce principe devint un théorème en mécanique quantique relativiste, inventée par Dirac en 1930 :

les particules de spin demi-entiers sont des fermions et obéissent à la statistique de Fermi-Dirac,

donc au principe d'exclusion de Pauli.

Énoncé en mécanique quantique []

L'état quantique d'une particule est défini par des « nombres quantiques ». Le principe

d'exclusion interdit à tout fermion appartenant à un système de fermions d'avoir les mêmes

nombres quantiques qu'un autre fermion du système.

Par exemple, dans l'atome, les électrons sont caractérisés par les nombres correspondant aux

lettres n, l, ml et ms : si un électron présente la combinaison (1, 0, 0, ½), il est nécessairement le

seul.

Cela limite donc le nombre d'électrons par couche : dans la première couche caractérisée par n =

1, (l = 0, donc ml= 0), il n'y a que deux possibilités, correspondant aux états ms=±½. Cette couche

ne peut donc accepter que deux électrons.

Page 170: Physique Atomique

38

De même, dans la seconde couche caractérisée par n = 2, l vaut 0 ou 1 :

pour l = 0, ml = 0 ;

pour l = 1, ml = -1, 0 ou 1 ;

on a alors 4 possibilités et pour chacune, ms=±½, donc la seconde couche peut accepter huit

électrons (deux pour l = 0 et six pour l = 1); et ainsi de suite. La n-ième couche accepte 2n²

configurations.

Dérivation des principes de la mécanique quantique []

Lorsque Pauli a proposé le principe d'exclusion (1925), les principes fondamentaux de la

mécanique quantique n'étaient pas encore bien établis. En fait, il apparait que le principe

d'exclusion n'est pas un principe fondamental et peut se dériver des principes fondamentaux de la

mécanique quantique.

Voici une dérivation du principe d'exclusion de Pauli[2]

:

Soit un hamiltonien total, représentant l'état de 2 particules (l'extension à N particules est

immédiate) : .

Si p1 et p2 sont deux particules indiscernables, alors . On dit alors que

le hamiltonien est invariant par permutation, et si l'on considère qui est l'opérateur de

permutation de la particule p1 et p2, alors le commutateur de ces deux opérateurs est nul :

.

Le commutateur étant nul, il est possible de trouver une base dans laquelle ces deux opérateurs

sont diagonaux : les solutions de sont donc les vecteurs propres de .

Comme , les valeurs propres de cet opérateur sont +1 ou -1. Il y a donc deux familles

de solution possibles du hamiltonien total :

Les solutions symétriques : ψ(x1,x2) = ψ(x2,x1) ; x1 et x2 étant les coordonnées (position ainsi que

spin) des particules 1 et 2[3]

. C'est le cas pour les bosons ou particules de spin entier.

Les solutions antisymétriques : ψ(x1,x2) = − ψ(x2,x1). C'est le cas pour les fermions ou particules

de spin demi-entier, et donc pour le principe d'exclusion de Pauli.

Si on décompose la fonction d'onde totale des deux particules ψ(x1,x2) en intrication des états

propres φa(xi) et φb(xi) de chaque particule, les solutions antisymétriques sont alors de la forme :

ψ(x1,x2) = φa(x1)φb(x2) − φb(x1)φa(x2).

Page 171: Physique Atomique

39

Si les particules 1 et 2 sont dans le même état quantique, alors φa = φb. La probabilité de trouver

deux fermions identiques dans le même état quantique avec le même spin est nulle.

Ceci est le principe d'exclusion de Pauli : deux fermions identiques ne peuvent être dans le même

état quantique avec le même spin.

Une autre conséquence de cette antisymétrie fait que la probabilité de trouver deux électrons de

même spin à une même position instantanée est nulle, même sans supposer qu'ils occupent un

même état quantique. Pour voir ceci on remarque que ψ(x1,x2) tend vers 0 quand x1 tend vers x2.

Utilisation en astrophysique []

En astrophysique, l'effondrement d'étoiles à neutrons, qui demande aux neutrons un même

mouvement, donc une même énergie, est limité par le principe d'exclusion qui explique en partie

la cohésion de ces étoiles mortes extrêmement massives, qui autrement devraient s'effondrer sous

l'effet de la gravitation.

Cependant, lorsque l'étoile est trop massive, le principe d'exclusion ne tient plus et alors l'étoile

devient un trou noir.

Énoncé relativiste []

La version relativiste de la physique quantique prévoit l'existence de niveaux d'énergie négatifs :

le principe d'exclusion permet d'expliquer pourquoi toutes les particules ne disparaissent pas

dans ces niveaux-là — en effet, toute particule tend à aller vers l'état d'énergie le plus bas

possible, donc devrait s'y précipiter. Si l'on considère comme le fit Dirac que tous les états

d'énergie sont occupés, ils ne peuvent pas être habités par d'autres fermions identiques.

Particules échappant au principe d'exclusion []

Seuls les fermions sont soumis à ce principe. Les particules indiscernables, de spin entier,

satisfont à la statistique de Bose-Einstein et ne satisfont pas le principe d'exclusion de Pauli. Au

contraire, on observera même un comportement « grégaire. »

Enfin, il existe des situations (particulièrement à deux dimensions), où l'on peut introduire des

anyons, qui ne sont ni des fermions, ni des bosons.

D'autre part la supersymétrie quantique associe à tout boson son supersymétrique fermion : ainsi

au graviton, boson de spin 2, devrait être associé un gravitino de spin 3/2. En 2006, il n'existe

aucune trace expérimentale de cette supersymétrie.

Atome à N électrons

Page 172: Physique Atomique

40

En mécanique quantique et physique atomique, on appelle atome à N électrons, l'équation de

Schrödinger considérant N électrons "gravitant" autour d'un noyau de charge Z . Si Z = N , il

s'agit d'un atome. Si Z= N-k, il s'agit d'un anion de charge -k . Si Z = N+k, il s'agit d'un cation de

charge +k. La série s'appelle isoélectronique.

On constate que le spectre de telles séries sont similaires. Ainsi l'ion hydrure, l'hélium, le cation

Li+ et le cation Be++ sont comparables.

D'autre part , le comportement chimique d'un chlorure Cl-, de l'argon, et du cation potassium K+,

nonobstant leur charge est similaire : très stables, ils sont quasi-inertes chimiquement. Aussi bien

dans un cristal de chlorure de potassium, la liaison dans le cristal se réduit-elle à une attraction

électrostatique de "boules quasi-impénétrables" (ceci résultant du principe d'exclusion de Pauli).

Classification rationnelle []

Le tableau ci-après[1]

montre la structure vibratoire des éléments chimiques. Cette présentation

est celle de Bohr, Sommerfeld, Pauli et d’autres moins connus, appelée classification rationnelle

des éléments. Elle est basée sur la théorie de Schrödinger de l'atome d'hydrogène, en ne tenant

compte que de façon limitée de la répulsion électrostatique des électrons responsables des

permutations de sous-couches.

La sous-couche électronique 3d (3 est le nombre quantique principal n et d correspond au

nombre quantique azimutal ou secondaire l=2) ne suit pas immédiatement 3p car 4s s'intercale

entre elles. Des sous-couches d, puis f, s'intercalent entre les sous-couches s et p de même

nombre quantique principal n. Les sous-couches d et f, en grisé, ont des propriétés physiques et

chimiques particulières dues à leur structure électronique.

Chaque élément contient, en plus de sous-couches de sa ligne, toutes les couches qui se trouvent

au-dessus. Ces couches internes n'ont généralement d'influence sur la chimie mais peuvent jouer

un rôle dans les propriétés physiques (magnétisme, rayons X). Par exemple le numéro atomique

du néon Ne est Z=2+2+6=10 électrons obtenus en additionnant les électrons des lignes

supérieures. La sous-couche 3p du phosphore de configuration électronique [Ne]3s23p

3 contient,

dans la sous-couche 3p deux électrons m=0 et un électron m=1. Son numéro atomique est

Z=2+2+6+2+3+1=10+2+3, soit celui du néon (Z=10) plus 2 électrons s plus 3 électrons p.

Page 174: Physique Atomique

42

Dans chaque sous-couche, le nombre total de nœuds est égal au n de la sous-couche. En effet le

nombre quantique principal n (celui qui détermine le nom, K,L,M,N,P ou Q, de la couche) ne

coïncide plus, au-delà de l'argon, avec le n de la sous-couche.

L’hydrogène et l’hélium sont dans la même case car ils ont le même mode de vibration, s, l’un

avec un électron et l’autre, deux. Les autres gaz rares ou gaz nobles (ils ne sont plus inertes

depuis 1962) ont le mode de vibration p, rempli avec six électrons. Le lutécium et le lawrencium

sont dans le bloc d et non dans f. En effet, d’après la théorie de Schrödinger, il y a 7 orbitales soit

14 électrons possibles en vertu du principe d'exclusion de Pauli. On ne peut donc y mettre que 14

éléments et non 15 comme présenté habituellement.

On voit sur la version étendue du tableau périodique des éléments que H et He sont voisins et

que Lu et Lw sont bien dans le bloc d.