Oceano Physique

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OCEANOGRAPHIEPHYSIQUE(V2)EcoleNavaleNathalieDANIAULTUM/LPO-UFRSciencesUniversitedeBretagneOccidentale1erfevrier2005Tabledesmati`eres1 Introduction 41.1 LoceanographiePhysique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Denitionsetclassications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Classications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 Theoriedescourantsmarins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Proprietesphysiquesdeleaudemer 82.1 Temperature. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.1 Ladistributiondestemperaturesdesurface . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.2 Ladistributiondestemperaturesaveclaprofondeur . . . . . . . . . . . . 82.1.3 Latemperaturepotentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Salinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.1 VariationdeSaveclaprofondeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2 Proprietesconservativesetnon-conservatives. . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Massevolumiqueoudensite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.1 denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2 StabilitestatiqueetfrequencedeBruntVasala . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Proprietesacoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Bilandenergieetdeaudeloceanmondial 163.1 Lesyst`emeocean-atmosph`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.1.1 Lapportparrayonnementincident . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.1.2 Lequilibreradiatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.3 Leprincipedeleetdeserre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.4 Leetdesmouvementsuides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Lestransfertsdeproprietesentrelatmosph`ereetlocean . . . . . . . . . . . . . 193.2.1 Letransfertdequantitedemouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.2 Lestransfertsdechaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.3 Letransfertdeaudouce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2.4 Lesgradientslaterauxdedensitedesurfaceetlacirculationthermohaline 224 Lesequationsdumouvement 234.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1.1 Lesloisdebase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1.2 Classicationdesforces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Lequationdecontinuite- equationdeconservation . . . . . . . . . . . . . . . . 2414.2.1 Equationdeconservationdelamasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2.2 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2.3 Equationdeconservationdusel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3 Les equationsdumouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3.1 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3.2 Letermedepression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3.3 Passageauxaxeslies`alaterre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3.4 Lefrottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.4 Les equationsdelecoulementmoyen(Reynolds). . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4.1 TensiondeReynoldsetviscositeturbulente . . . . . . . . . . . . . . . . 364.4.2 Adimensionalisation(scaling)des equations . . . . . . . . . . . . . . . . 374.5 LapproximationdeBoussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.6 LesnombresdeRossbyetdEkman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.7 Autresnombressansdimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.7.1 LenombredeRossby. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.7.2 LenombredeReynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.7.3 LenombredEkman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.7.4 LenombredeFroude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.7.5 LenombredeBurger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.7.6 LenombredeRichardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 Courantssansfrottement 455.1 Lequilibrehydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.2 Lecourantdinertie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.3 Lecoulementgeostrophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.3.1 Quelquesdenitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.3.2 Les equationsducourantgeostrophique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.3.3 Lamethodegeostrophique(dynamique)decalculdesvitessesrelatives . 525.3.4 Les equationsduventthermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.4 Ecoulementgeostrophiquedunuidehomog`ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.4.1 uidehomog`ene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.4.2 ecoulementpeu etenduenlatitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.4.3 fondirregulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556 Courantsavecfrottement 576.1 Laderivedesicebergs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2 LasolutiondEkmanintegree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.3 LasolutiondEkmancompl`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.3.1 Placonsnousensurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.3.2 Placonsnousaufond. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.4 CouchedEkmandesurface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.4.1 Upwellingetdownwelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.4.2 Unexemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.4.3 Upwellingetgradientdepression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.5 LacouchedEkmanaufond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.5.1 Solutionplusgenerale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6727 Lacirculationforceeparlevent 697.1 DanslacouchedEkman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.1.1 Geostrophie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.1.2 Ekman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707.1.3 Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.2 SouslacouchedEkman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.3 Surtoutelaprofondeur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.4 Ordresdegrandeurdestermes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.5 LacirculationdeSverdrup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.6 Uncasdecole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.7 IntensicationducourantdeBordOuest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.8 Inuencedelastratication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.9 Lavorticite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.10 Lavorticiterelative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.11 Lavorticiteplanetairef . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.12 Lavorticiteabsolue( + f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.13 Lavorticitepotentielle(+fD). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.14 Lestheoriesdelaconservationdelavorticitepotentielle . . . . . . . . . . . . . 818 Lacirculationthermohaline 838.1 Introductiondunprocessusthermohalin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.1.1 Leshypoth`esesdedepart. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.1.2 Introductiondunprocessusthermohalin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848.2 LetransportdanslescourantsdebordOuest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858.3 Lestheoriesdelathermoclineventilee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879 Ondesoceaniques 899.1 Dynamiquedesondeslineaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899.2 OndesdeKelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919.3 OndesdePoincare:inertie-gravite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939.4 OndesdeRossby:planetaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949.5 Ondestopographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973Chapitre1Introduction1.1 LoceanographiePhysiqueOceanographie:Sciencequiapourobjetletudedesmersetdesoceans,dumilieumarinetdesesfronti`eresainsiquedesorganismesquiyvivent.Loceanographieconsiste`aetudierlesoceansparlutilisationdediversessciencesdebasetellesquelaphysique,lachimie,labiologie,lageologie,lesmathematiques etant evidemmentomnipresentes.La contribution du physicien est detudier la distribution de diverses proprietes telles que latemperature,lasalinite,ladensite,latransparence...quipermettentdedistinguerunemassedeau dune autre, et detudier et comprendre les mouvements de locean en reponse aux forcesquiagissentsurlui.Onpeut etablir une liste (nonexhaustive) de probl`emes types poses enoceanographiephysique(g1):Pourquoi, auxlatitudes moyennes, lacirculationoceanique ensurface se fait dans lesens des aiguilles dune montre dans lhemisph`ere Nord, et dans le sens inverse danslhemisph`ereSud?Pourquoi ces circulations de surface sont etroites et rapides sur les bords Ouest des oceans(GulfStream,Kuroshio)maislargesetlentesailleurs?PourquoiunecirculationdOuestenEsttoutautourducontinentAntarctique?Comment evoluelacirculationoceaniqueaveclaprofondeur?Quellessontlesraisonsdelacomplexitedescourant equatoriaux?Commentsefontlestransfertsdenergie(chaleuretquantitedemouvement)entrelat-mosph`ereetlocean?Quellessontlescaracteristiquesetlescausesdesondesinternes`alinterieurdelocean?Quel est le role de loceandans laregulationclimatique (reservoir de chaleur, volantthermique)?Certainesdecesquestionsontdesreponses,dautresdesreponsespartielles,etaufuret`amesure des progr`es, de nouveaux probl`emes apparaissent et de nouvelles questions sont posees.Lesetudesenoceanographiephysiquesontmeneesdunepartparuneobservationdirectedes proprietes et des mouvements des masses deau, dautre part par applicationdes prin-cipesdelaphysiquedebase,mecaniqueetthermodynamique,pourdetermineretcomprendrelesmouvementsobserves.Lapprocheobservationestappeleeoceanographiedescriptive(ou4synoptique). Laseconde, estappeleeoceanographiedynamique. Lebutestdutiliserlesloisphysiques connues pour obtenir des relations mathematiques entreles forces agissant sur lemilieu oceanique et les mouvements qui en resultent. Cest la dualite observation-modelisation.Lobjectif nal est dapprendre susamment sur la structure et les mouvements de locean pouretrecapabledepredireson etatfutur,unpeucommeenmeteorologie.Mesurerpourconnatre,puisconnatrepourmodeliseretennmodeliserpourcomprendre.Ensuiteseulementviendralaprevision.Tel estlecredodesoceanographesactuels.Si laterreesthabitable, cestunpeu`aloceanquenousledevons. Eneet, parlaredis-tributiondelachaleur verslespolesquil eectue(il participe`acetransport `apariteaveclatmosph`ere)loceancontribue`amaintenirlatemperaturedeszonesequatorialesplusbasseetcelledeshauteslatitudesplushautequellesneleseraientenlabsencedecetransportdechaleur.Lacapacitecaloriquedeleau(4000Jkg1K1, environ4fois celledelair) fait quelocean est le regulateur thermique de latmosph`ere: une couche de 2.5m de la surface oceaniquepeutstockerautantdechaleurquelatotalitedelatmosph`ere:lamasseparunitedesurfacedelatmosph`ereest denviron104kg m2et puisquelaccelerationdelapesanteur est de lordre de 10ms2le poids de latmosph`ere par unite de surface, ou la pression atmospherique,estdelordrede105Nm2soit105Pasoit1bar. Lamassevolumiquedeleauetant1000foiscelledelair,environ10mdoceanontlememepoidsparunitedesurface: lapressionaugmentedenviron1bartousles10m de profondeur. Cette dierence de poids implique une grande dierence de capacite calorique: la chaleurspecique de leau (capacite calorique par unite de masse) est 4 fois plus importante que celle de lair ; ainsi2.5mdeauontlamemecapacitecaloriqueparunitedesurfacequetoutelepaisseurdelatmosph`ere. Endautres termes, la chaleur necessaire pour augmenter de 1Ktoute latmosph`ere est identique `a celle necessairepour augmenter de 1K2.5m docean.Neanmoins, le syst`eme ocean-atmosph`ere est unsyst`eme couple car cest lacirculationatmospherique (le vent) qui est responsable pour une large part de lacirculationgeneraledesoceans,aussicomprend-onquelexplicationglobaledesphenom`enesclimatiquespasseparletudedeladynamiqueoceanique.Oncomprendegalementquelaprotectiondesmersrevetuneimportancecapitale: onpeutparlerici duprobl`emeduCO2dontlaugmentation(30%en100ans), liee`alutilisationducharbonetdupetrole, pourrait, pareetdeserrefairecrotrelatemperaturemoyennedelatmosph`erecausantlafontedescalottespolaires,aveclesconsequencesquelonimagine.Loceanjouera-t-ilunr oledebuvard?Il convientegalementdevoquerlephenom`eneEl Ni no(g2): versNoel, lecourantdeHumboltneremontepasjusquauxcotesduPerou,etantcontrecarredanssonevolutionparuncontre-courantchaudappeleElNi no(dufaitdesonapparition`acetteepoquedelannee)secoulant de lequateur vers le pole. De temps en temps, environ tous les cinq ans, ce courant estplus intense que la normale, il pen`etre plus au sud et ses eaux sont exceptionnellement chaudes.Son intensication est accompagnee de pluies tr`es importantes, sur le continent habituellementdesertique. Les vents (alizes, diriges vers le large) faiblissent ou sannulent, lupwelling nourricierest masque par les eaux chaudes pendant plusieurs semaines. Les anchois et les oiseaux marinsmeurent par millions, la peche peruvienne connat une annee dicile, mais surtout il se produitdesperturbationsclimatiques(secheressesici,cyclonesettrombesdeaul`a)surtoutleglobe.Cestcequonappellelephenom`eneElNi no-oscillationaustrale.51.2 Denitionsetclassications1.2.1 CourantCest le mouvement dune particule deau marine. La profondeur moyenne h des oceans estde lordre de 4km. La dimension horizontale L des oceans est de lordre de 4000km. Il y a doncunfacteur1/1000entrelechelleverticaleetlechellehorizontale. Onpeutecrireenpremi`ereapproximation:wU dh/dtdL/dt hL 103Les vitesses horizontales des oceans depassent rarement 1ms1(2noeuds). Les vitessesverticalesdesmouvementsdegrande echellesontinferieuresaumms1.1.2.2 ClassicationsLes causes des courants sont tr`es diverses et onobserve une grande variabilite dans lacirculationoceanique, tant dans le temps que dans lespace. Onpeut faire laclassicationsuivante(g3):Auxlongues trajectoires sont associes des courants dits reguliers. Cest lacirculationoceaniquegenerale. Par exemple, leGulf Streamaunevitessemoyennedelordrede1ms1etleuxdeauquil transporte(sondebit)variede30`a60millionsdem3s1entreleDetroitdeFlorideetleCapHatteras.Cesgrandscourantspermanentsontdesdimensionsplanetaires(plusieursmilliersdekilom`etres).Aux trajectoires plus courtes sont associes des mouvements de caract`ere periodique: cou-rantdemaree,dinertie(periodesdequelquesjours)...A plus petite echelle les courants dus aux vagues et `a la houle ont des periodes de quelquessecondes.Aechellemicroscopiqueapparaissent les mouvements associes `alaturbulence, auca-ract`erealeatoiretr`esmarqueetquijouentungrandroledansladiusion.1.2.3 TheoriedescourantsmarinsLes mesures ne renseignent pas sur le pourquoi et le comment des courants. Elles doiventetre interpretees `a la lumi`ere de schemas theoriques qui permettent dexpliquer les phenom`enespour ensuiteles prevoir. Les theories reposent sur lapplicationaumilieumarindes lois delamecanique, ce qui exige le recensement des forces qui agissent sur le milieuet lanalysedestermesnegligeablesdanslesequations, enfonctiondesdimensionsspatio-temporellesduphenom`enequeloncherche`a etudier.Ondistingue:Lesforcesinternes:ellesontleuroriginedanslesvariations dedensitelieesaux echangesenergetiques`alinterfaceair-mer(parprocessusthermodynamiques).Les forces externes: eet mecanique du vent sur la surface de la mer, variations de pressionatmospherique, forces generatrices de lamaree. Ces forces, externes et internes, sontproductricesdemouvements.Cesontdesforcesactives.6Lesforcesmodicatricesdumouvement:laforcedeCoriolisquiestdue`alarotationdelaterre,lesforcesdefrottement.Cesontdesforcespassives.7Chapitre2Proprietesphysiquesdeleaudemer2.1 TemperatureLes deux proprietes physiques les plus importantes de leau de mer sont sa temperature et sasalinite, parce quelles gouvernent sa masse volumique1 = (p,T,S). Aux hautes latitudes unrefroidissement de surface peut initier le processus de convection (plongee deau). Aux latitudesplusbasses, unexc`esdevaporation(completeparlactionduvent)peut, enrendantleaudesurfacetr`essalee,provoquer egalementlaformationdeauprofonde.2.1.1 LadistributiondestemperaturesdesurfaceNoter(g4)lecaract`erezonal(lelongdesparall`eles)desisothermesexcepteauvoisinagedes cotes meridiennes. En plusieurs endroits la temperature est plus basse le long des fronti`eresEstdesoceans,`acauseduphenom`enedupwelling(remonteedeauprofonde).Laconnaissancedelatemperaturedesurfaceestessentielle`alestimationdestransfertsocean-atmosph`eredechaleuretdeau.Lestransfertsdechaleursefontpar:Radiation:pluslatemperaturedesurfaceest elevee,plusloceanradiedelachaleurConduction: lasurfacedeloceanestenmoyennepluschaudequelairaudessus, do` upertesparconductionEvaporation:cestleprincipalmecanismeparlequelloceanperddelachaleurLestransfertsdeausefontpar evaporation,condensation,precipitationetpar echangedegazetdaerosolsencasdefortvent.2.1.2 LadistributiondestemperaturesaveclaprofondeurLabsorption de lenergie solaire aux dierentes longueurs donde dans les couches de surfaceprovoquelerechauementdirectdespremi`eresdizainesdem`etres(g5).Le rechauement pen`etre ensuite plus profondement gr ace au melange turbulent, qui etablitlacouchedemelangedesurface(g6).Entre 400met 1000mselon les regions existe une thermocline permanente, qui est une zonedegradientverticaldetemperatureaccentue,audessousdelaquellelesvariationssaisonni`eres1. Onparleindieremmentdedensiteoudemassevolumique`acausedelatraductionimpropredutermeanglais density qui veut dire masse volumique.8ne pen`etrent pas. La temperature au fond varie entre 0oet 3oC. La partie situee au dessus de lathermoclineprincipaleestparfoisappeleesph`eredeauchaude.Lacouchedemelangedesurfaceestelle-memesujette`adesvariationssaisonni`eres: ap-profondissementlhiver(turbulenceetconvectionhivernale),etformationdunethermoclinesaisonni`eredequelquesdizainesdem`etresen ete(g7).Auxtr`esbasseslatitudesilnyapasderefroidissementdhiver:lathermoclinesaisonni`eredevientpermanentevers100-200m.Auxhauteslatitudesilnyapasdethermoclineperma-nente,maisunethermoclinesaisonni`erepeutsedevelopper.En ete il peut y avoir une formation de thermocline diurne caracterisee par un rechauementen surface de 1o`a 2oCet de profondeur pouvant atteindre 10m `a 15m. Cette thermocline diur-nepeut apparaitre nimporte o` u, pour peuque le rechauement diurne soit susammentimportant.La distribution de temperature dans locean nest pas le seul resultat de labsorption denergiesolaire et du melange turbulent vertical. Ladvection par les courant joue un r ole preponderant(g8). Cetteadvectionestdailleursnecessairepourmaintenir, parequilibredynamique, ladistributionverticaledetemperature(g9).2.1.3 LatemperaturepotentielleCest la temperature atteinte par un element de uide ramene adiabatiquement (sans echangedechaleuravecleauavoisinante)`alasurfaceoceanique. Latemperaturepotentielleestpluspetitequelatemperatureinsitu(ecartsallantjusqu`a1.5oC).DemonstrationUne transformation adiabatique reversible (sans echange de chaleur avec le milieu exterieur),estisentropique:dS= Q/T= 0.Laquantitedechaleur recuepar lunitedemassedunuidequelconque, soumis `aunevariationdetemperaturedTetunevariationdepressiondPparlactiondagentsexterieurssecrit:Q = CPdT+ hdPo` u CPet hsont les coecients calorimetriques respectivement `a pression et temperatureconstante.Construisons les expressions des dierentielles exactes des fonctions detat G, enthalpielibre, et S, entropie qui ne dependent que des variables detat Tet P(normalement il faudraitrajouters,lasalinitedeleaudemer):dU= QPd = TdS Pdo` u = 1/estlevolumemassique,ouvolumedelunitedemasse.dH= d(U+ P) = TdS + dPdG = d(H TS) = SdT+ dP (2.1)Lentropiesecrit:dS=QT=CPTdT+hT dP (2.2)9Do` u lexpression de h par combinaison des derivees partielles de Sdes equations (2.1) et (2.2):_SP_T=hT_SP_T=_T_P___h = T_T_PEnsubstituantcetteexpressiondans(2.2)onobtientnalement:dS= CpdTT_T_PdP (2.3)Latransformation etantisentropiquedS= 0:dT=TCp_T_PdP= gTCp_T_Pdz (2.4)O` uonautiliselequationdelhydrostatiquedp = gdz.Avec = 1/,lexpressionsecrit:_dTdz_S= gTCp_1_T_P_ = gTCpA (2.5)o` uAestlecoecientdedilatation(dexpansion)thermique.Pourleseauxoceaniquesprofondesparexemple(conditionsmoyennes`a4000mdeprofon-deur):A = 1.71104K1etT= 275K ;Cp 4000Jkg1K1.Ontrouve:_dTdz_S= 10 275 1.711044000= 1.2104Km1Soit approximativement 0.12Kpar kilom`etre. Ce gradient est faible, mais cependant aisementmisen evidenceparlesmesureshydrographiquesdontlaprecisionatteintcouramment0.01K(g10).2.2 SaliniteCestlaconcentrationensel dissousdanslocean(35o/oo). Depuis1980, lasaliniteestdenieociellementcommeunrapport,onnespeciepluslunite.LagammedevariationdeSest: 33 0:quandonlachelechantillonauniveauz,ilrevient`asonniveaudequilibre,maisle depasse (inertie) et commence `a osciller: il y a alors formation donde interne de gravite. OndenitlafrequencedeBruntVasalaNparN2=gE(rad/s2)=2, improprementappeleefrequencepuisquilsagitenfaitdelapulsationvueci-dessus.Onpeutmontrerquecestlafrequence(`aunfacteur2pr`es)maximumdesondesinternesdansdeleaudestabiliteE.LesvaleursdeEvontde1000108m1pr`esdelasurface`a10108m1. Lesfrequencescorrespondantes(N/2=Eg/2)varientde103`a104cycles/ssoitdesperiodesde10mn`a 2 ou 3 heures.N est maximale dans les pycnoclines,et tr`es faible au fond, o` u locean estpeustratie(g14).13Frequemmentlegradientdedensiteresultedungradientdetemperature. OnpeutalorsintroduiredanslexpressiondeN2lecoecientdedilatationthermique:A =1_T_P= 1_T_PN2= gE= gz= gTTz= AgTzCestlexpressionexactedanslapproximationdunuideincompressible, maiselledoitetrecorrigeelorsquelemilieuestcompressible.DanscecaslavaleurexactedeEsecrit:E= 1z gC2o` uCestlavitessedusondansleau(1500m/s),etletermeg/C2representeleseetsdelacompressibilite,avecC2= (P/)S.Alors N2= gE= g_z+gC2_Si lemilieuestcompressibleondoittenircomptedufaitquelamassevolumiquedelaparcelledeaudeplacee subit dans son deplacement leet de cette compression que lon consid`ere adiabatique (susammentrapide pour que seule la compression ait le temps de modier la masse volumique de la parcelle). alorsz=z [insitu z [ad.z [ad.=p [ad.pz= gp [ad= gC22.4 ProprietesacoustiquesLeau de mer, comme lair mais `a moindre echelle, est un milieu compressible, si bien quuneperturbation de pression creee en un point peut se transmettre de proche en proche `a travers leuideenvironnant.Cesperturbationssontdenommeesondesacoustiques,leurceleritedepro-pagation C, depend tout particuli`erement de la densite des regions traversees (C2= (P/)S).Les variations de C sont dominees par les eets de Tet p, moins par S. C est proche de 1500m/s.LeseetsdeTetSsontillustressurlagure(g15). Ensurface, leetdetemperaturedo-mine. Souslathermoclineprincipale, quandT (etS)devientquasi-constant, cestleetdelapressionqui estpreponderant. Leresultatestunminimumentre1000et1500m. Dansledeuxi`eme exemple (station au large du Portugal), Test constant entre 500 et 1300m, associe `auneaugmentationdeS(eaudorigineMediterraneenne),cequidonneunr olepreponderant`aSdans cette couche, et cree un double minimum sur le prol. Generalement il ny a quun seulminimum.Les variations horizontales de C(g 16), sont beaucoup plus reduites que les variations ver-ticales.Uneondeacoustiquesepropageantverticalementneserapasaecteeparlarefractioncarellerencontrequasi-perpendiculairementlessurfaces`aCconstant. Parcontre, unsignalesonoresepropageantdansunedirectionprochedelhorizontalesubiralarefraction, selonla14Loi deSnell-Descartes. Il enresulteunpiegeagedes rayons sonores dans lacoucheo` uCest minimum. Cettecoucheest appeleechenal sonore. Lenergieacoustiqueemisedans lechenal sonorepeutainsi sepropagersurdetr`eslonguesdistances(>1000km). Lesapplica-tionsacoustiquesdansloceansonttr`esnombreuses. Dansledomainedelinstrumentationscientique, lesuivi acoustiquedesotteursdesubsurfaceetlatomographieacoustiquesontlesprincipales(g17).15Chapitre3Bilandenergieetdeaudeloceanmondial3.1 Lesyst`emeocean-atmosph`ere3.1.1 LapportparrayonnementincidentLapuissancesolairerecueparunitedesurfaceausommetdelatmosph`ere(enincidenceperpendiculaire)ou emittance,est:S= 1376W/m2Sestappeleeconstantesolaire.Elleestdeduitedelaformulesuivante:Es= 4a2T4= 4d2So` u Esest la puissance emise par le soleil de rayon a = 6.96 108m selon la loi de Stefan ( estla constante de Stefan), et d = 1.5 1011m est la distance moyenne Terre-Soleil. Tla temperaturemoyennedusoleilestdelordrede5800K.La totalite de ce rayonnement est emis dans lintervalle de longueurs donde 0.2 < < 4m.LaloidudeplacementdeWien(mT= 2.9103)indiquequelenergierecueseramaximale`am= 0.5m,cest`adiredanslevisible.En moyenne globale et annuelle, chaque m`etre carre de la plan`ete recoit 344W: la puissance,recueparlaterresurledisquedeclairementestR2S, o` uRestlerayondelaterre ; cettepuissanceserepartitsurlasph`ereterrestredesurface4R2:R2S4R2=S4= 344W/m2Localement, cettepuissancevarieaveclalatitude(g18): si laxedelaterrenetaitpasinclineparrapportauplandelecliptique, leuxmoyenrecuenunpointvarieraitdeS/`alequateur,`a0auxpoles:SEq= S_ 22cos d = 2S etenmoyennesurunejournee2S2=S16Cependant, linclinaison de 23.5a pour resultat une variation saisonni`ere dans la distribu-tionduuxrecu.Une fraction de cette puissance est reechie ou diusee, le reste est absorbe par lensembleTerre-Atmosph`ere.LeuxmoyenabsorbeestS4(1 ) 240W/m2 0.3estlalbedodelaterre.Lalbedovarielocalement,etaugmenteaveclapresencedenuages,deglace,deneige(g19).3.1.2 LequilibreradiatifSi laterrenavaitpasdenveloppeuide, lasurfacereechiraitoudiuseraitlafractiondesradiationsincidentes,etabsorberaitlereste.Elleserechaueraitjusqu`acequelequilibresoitatteint, cest`adirejusqu`acequellerenvoieparrayonnementautantquellerecoit. Laquantite denergie rayonnee par unite de temps et de surface par un corps noir de temperatureTetantE=T4, avec=5.7108Wm2K4(loi deStefan)latemperature`alequateurseraitde270Ketcelleauxpolesde160K.Danslarealite,lasurfacedelaterreestpluschaude,etlecartequateur-p olesplusfaible.Ceciestd u`alapresencedelenveloppeuidequiadeuxeets:-lesrayonnementspeuvent etreabsorbesparlatmosph`ere- latmosph`ere et locean peuvent transporter de la chaleur dun point `a un autre verticalement(convection)etlateralement(courants,vents).3.1.3 LeprincipedeleetdeserreLaterreayant unetemperatureplusbassequelesoleil, rayonne`adeslongueursdondepluselevees(loi deWien). Schematisonslenveloppeatmospheriqueparuneplaquedeverre,transparenteauxpetiteslongueursdonde,etabsorbantpartiellementlesgrandes:Lesol sechauejusqu`aunetemperatureTgetemet, selonlaloi deStefan, uneradiationdontleuxestU= T4g.LafractioneUdecetteradiationestabsorbeeparleverre,quiluiaussisechaueetemet17unuxBdanslesdeuxdirections.Lequilibreestatteintquand:I = (1 e)U+ B= U(1 e2) car eU= 2BDo` unalement U= T4g=I1 e2=Tg=__I_1 e2___14OnvoitqueTgserapluseleveequenlabsencedeverre. Si toutlerayonnementterrestreetaitabsorbeparlaplaquedeverre,soite = 1,alorsTgseraitmultipliepar21/4= 1.19.Leprobl`emeestunpeupluscompliqueaveclatmosph`erecommemateriauabsorbant,carlabsorptionestcontinueetvarieaveclaltitude.3.1.4 LeetdesmouvementsuidesLesmouvementsdesuidesinterviennentdansceschemaetlecompliquent.Parexemple,les mouvements deconvectionverticaledans latmosph`ere(qui peuventetreinduits par unuxdechaleursensible`alinterface)vontdistribuersurlaverticalelavapeurdeauproduiteparevaporation. Cettevapeur deauva`asontour modier les proprietes absorbantesdelatmosph`ere...On voit quun equilibre radiatif-convectif doit remplacer lequilibre purement radiatif. Leetglobaldelaconvectionva etredereduirelesgradientsverticauxdanslatmosph`ere.La variation avec la latitude des ux radiatifs absorbes conduirait `a dimportants gradientslaterauxdetemperature,silerayonnementagissaitseul.L`aencore,lesmouvementsdeuidehorizontauxtendent`areduirecesgradients.Ceciest illustre par la courbe en pointille sur la gure18, qui represente lenergie rayonneeparleglobe.Silequilibre etaituniquementradiatif-convectif(local),cettecourbeseraitiden-tique`alacourbebasseentrait plein. Cenest pas lecas et onvoit quedelenergieaetetransporteedelequateurverslespolesparlatmosph`ereetlocean. Laquantitetransporteeverslespoles`atraverschaqueparall`eleaeteestimee(g20)pourlhemisph`erenord. Cette18gure distingue les parts du transport eectuees par latmosph`ere et locean. Globalement ellessontequivalentes, maisonconstatequausudde40oNlaplusgrandepartiedutransportdechaleurverslenordestassureeparlocean,alorsquaunorddecettelatitude,lacontributiondelatmosph`ereestdominante.3.2 Les transferts de proprietes entre latmosph`ere etlocean3.2.1 LetransfertdequantitedemouvementLes vents resultent des gradients depressionatmospheriques, eux-memes generes par lefor cageradiatif.Ilstransmettent`aleurtourdelaquantitedemouvement`alocean,generantlescourants.Ainsideuxquestionsseposent:Quelssontlesmecanismesdetransfertdequantitedemouvement?Dequoidependentlestauxdetransfert?Les vitesses de vent sont de lordre de 10m/s. Le frottement avec lasurface oceaniqueimpliquequelavitesse(moyenne) delair sannuleaucontact delocean: unecoulement `acisaillementvertical setablitdonc`aproximitedelasurface. Cetecoulementnestpasstable,etdevientturbulent.Quandonapprochedelasurface, lecisaillementvertical augmenteenfonctioninversedeladistance`alasurface:uz=kzCeciconduit`aunprollogarithmiquedelavitessedanslacoucheatmospherique.Pourtraiterdelaturbulenceondecomposelescomposantesduvecteurvitesseenseparantlamoyennedelapartieuctuante.PourlacomposanteselonOxon ecrit:u = u + u

,o` uu

estlapartieuctuantetellequeu

= 0.Nous verrons au 4.4 quune telle decomposition fait apparaitre dans les equations du mou-vementdestermesnonnulstelsqueu

w

,v

w

.Ilsontlesdimensionsetlescaracteristiques19dunetension. Ilsrepresententletransportvertical dequantitedemouvementhorizontaled u`alaturbulence.Ensurface,pourz= 0m,ilssontassimiles`alatensionduvent.ParametrisationdutransfertPourrelierlatensionduvent`alavitesse,ondoitspecierlahauteur`alaquelleonmesurecettederni`ere.Onutiliseconventionnellement10m.Uneanalysedimensionnelleconduitalors`alarelationempirique:= CDu2[] = MLT2L2tensionduventsexprimeenN/m2[u2] = L2T2et[] = ML3CDest le coecient de tranee, sans dimension. Il varie avec la vitesse du vent. Ce coefcientestdetermineexperimentalementetdenombreusesformulesempiriquesexistent.Distributiondelatensionduvent`alasurfaceduglobeCettedistributiondoitrepondre`acertainescontraintes,enparticuliercelledelaconserva-tiondumomentcinetiqueterrestre:Soit a le rayon terrestre, la latitude, et x() la composante de la tension du vent suivantlaxeOuest-est.Lairedunebandecompriseentreet + detant2a cos ()adsoit2a2cos ()d,laforcecorrespondant`acettetensionx()appliquee`acettesurfacesecrit:F(x) = 2a2cos ()x()dSonmomentparrapport`alaxederotationdelaterreest egal`aa cos F(x) = 2a3cos2()x()dSonintegralesurtoutelasurfacedelaterredoitetrenulle, sinonlemomentcinetiquedelaterreaugmenterait:_+22cos2()x()d = 020Locean occupant les 3/4 de la surface du globe, cette relation est approximativement verieeen considerant comme la tension du vent sur le globe terrestre. Sur la gure (g21) lechelleenlatitudesestproportionnelle`acos2(), o` uestlalatitude. Il apparaiteneetquelairesouslacourbeestapproximativementnulle.LeetdesventsdOuestauxlatitudesmoyennes,40o-50oNouS,estcompenseparceluidesalizes,auxbasseslatitudes.Cette distributionde latensionduvent (vue ici sous saforme globale et stationnaire)constitueunepartdufor cagedelacirculationoceaniquedegrandeechelle, ditecirculationgenerale.3.2.2 LestransfertsdechaleurLaquantitemoyennederadiationsolaireabsorbeepar locean, QI, nest environquelamoitie de celle arrivant sur la haute atmosph`ere, soit 175 W/m2. Ce gain denergie est equilibre`alechelleduglobepar(g22):Une emissionradiativenetteparloceandeQB 65W/m2Lerefroidissementpar evaporationE(pertedechaleurlatente)LespertesparconductionthermiquedirecteQS(pertedechaleursensible)Commepourletransfertdequantitedemouvement, lecalcul duuxdechaleurlocal estbasesurdesformulesempiriquesdependantdeparam`etresreguli`erementobserves(bateaux,boueesderivantesinstrumentees,satellites).Ondetermineainsi:LetauxQIdabsorptiondes radiations solaires, qui dependdutauxdabsoptionsansnuagesQI0,delalbedodesurface,etdelafractiondecielcouvert.Lerayonnement net degrandelongueur dondeQB, qui dependessentiellement delatemperaturedesurfacedelamer.LeuxdechaleursensibleQS, qui dependdelavitesseduventetdeladierencedetemperatureair-mer.Le tauxdevaporationE, qui dependlui aussi de lavitesse duvent et de lhumiditespeciquedelair`adierentsniveauxprochesdelasurfaceoceanique.Le uxtotal de chaleur deloceanvers latmosph`ere estla somme de cesdiverses contribu-tions:Q = QB + QS + E QIOn notera (g23), la perte importante de chaleur par locean au dessus du Gulf Stream, etlesgainsdanslesregionsdupwelling(cest Qquiestreporte).Lesregionsrecouvertesdeglacerequi`erentuntraitementdierent.Lacartefournitunemoyenneannuelle.Ilya evidemmentunefortevariabilitesaisonni`ere.3.2.3 LetransfertdeaudouceLeparam`etreimportant nest pas letauxdeprecipitations lui-meme, mais ladierence(P E),soitlamassedeaudoucegagneeparunitedesurfaceetunitedetempsdelocean.Leparam`etre(M F)(Melting-FreezingouFonte-Congelation)joueunrole equivalentdanslesregionso` udelaglaceestpresente.21Onnotera(g24) lapresenceduneceinturedefortesprecipitationspr`esdelequateur.Il sagitdelITCZ(InterTropical ConvergenceZone), regiondefortsmouvementsascendantsdelair.Danslesregionso` u(P E) > 0,lasurfacedeloceantendrait`aseleversilnyavaitpaslescourantsdegravitepourlamaintenirhorizontale.Cescourantssontenfaitbeaucoupplusfaiblesqueceuxinduitsparlevent.Un eet beaucoup plus important de (P E) ou (M F) est la modication de salinite etdoncdedensite,quilsentranent.3.2.4 LesgradientslaterauxdedensitedesurfaceetlacirculationthermohalineLes ux de chaleur et deau douce se combinent pour etablir des dierences de densite duneregion` alautre.Cesdierencesinduisentdescourantspargravite.Unebillededensite0(ouuneparcelledeauincompressible) plongeedans unuidededensiteserasoumise`alaccelerationreduitedelapesanteur(cf 2.3.2):=00gSi0> labillecoule.Si0 labilleotteouremonte`alasurface: estappeleeotta-bilite(ouforcedeottabiliteparunitedemasse)etsexprimeenms2.Leuxdeottabilite.wsexprimeenms2.ms1soitenm2s3.Onpeut enpartant des uxde chaleur Qet deaudouce (P E), calculer le uxdeottabilite`alasurfacedelocean(g25).Levaporationfaitdecrotrelaottabilitededeuxfacons:-lapertedechaleurinduitunrefroidissementdeleaudesurface-enaugmentantlasaliniteLeetdurefroidissementestenviron4foisplusecace.Lacirculationgenereeparlesuxdeottabiliteestlacirculationthermohaline.22Chapitre4Lesequationsdumouvement4.1 Generalites4.1.1 LesloisdebaseUnepremi`ereremarquesimposeavantdabordercette etude.Lesloisdelamecaniqueontune forme simple dans les rep`eres Galileens oudinertie (axes de directions xes).Quelquefois,les probl`emes sont traites selon ce type de rep`eres, mais, plus frequemment, ils le sont selon desrep`eres lies au globe terrestre. Nous denissons ainsi un rep`ere entrane dont le deplacement secaracteriseparunetranslationetunerotation.Danscesrep`eresmobilesilfautintroduiredesforcesdinertie,aucotedesforcesvraies.Lenergiecinetique,lenergiepotentielleetletravaildesforcesappliqueeschangentalorsdevaleuroudeforme.Lesloisdebasedelaphysiquesontutiliseespourletudedeladynamiqueoceanique:Conservationdelamasse(equationdecontinuite)ConservationdelenergieLesloisdeNewton:conservationdelaquantitedemouvementPremi`ere:touteparticuleisolee,dansunrep`ereGalileen,decritunmouvementrec-tiligneuniforme(pasdacceleration).Deuxi`eme: il existe une relation de proportionalite entre lacceleration dune particuleetlaforce`alaquelleelleestsoumise.Troisi`eme:principedelactionetdelareactionConservationdumomentcinetiqueLoidegravitationuniverselle4.1.2 ClassicationdesforcesOn peut classer les forces en deux classes, les forces primaires, qui provoquent le mouvement,etlesforcessecondaires,quiresultentdumouvement:Les forces primaires (ou actives): gravitation (force de volume), tension du vent et pressionatmospherique(forcesdefronti`ere)Lesforcessecondaires(oupassives): laforcedeCoriolis(dueaumouvementdurep`ereterrestre),lesforcesdefrottement(quitendent`asopposeraumouvement).234.2 Lequationdecontinuite-equationdeconservation4.2.1 EquationdeconservationdelamasseIl est facile dimaginer que dans tout volume, en labsence de sources ou de puits, tout ce quientre doit sortir et inversement. Cest ce quillustre ces equations de conservation (conservationdemasseoudetouteautreproprietetellequesalinite, oxyg`ene...). Consideronsunvolumeelementaire,xedanslespace,deuidededensite.Lamassedecevolume elementairesecritm = xyzConsiderons un ecoulement uni directionnel `a travers ce volume. Le debit massique (ux demasse)secritdansladirectiondelaxeOx(cequientreestpositif,cequisortestnegatif):debitdemasseentrant:Q1=m1t= 1u1yzdebitsortant:Q2= 2u2yzDo` ulavariationdemasseparunitedetemps:mt=(xyz)t= 1u1yz 2u2yzPrenons unintervalle de temps susamment petit pour pouvoir considerer Le volumeelementairedeformeconstante ;ilvient:t=1u12u2xQuipeutsecriresilesdimensionsduvolumetendentverslinniementpetit:t= (u)xAppliquantcememeraisonnementdansles3directions,onpeutalorsecrirelequationdeconservationdelamasse(aussiappelee equationdecontinuite):24t+(u)x+(v)y+(w)z= 0soitt+.(

V ) = 0Uneconvergence(divergence)danslespacedoitetrecompenseparunecompression(dila-tation)duuide.Laderiveetotaledelamassevolumique(x,y,z,t)secrit:ddt=t+ ux+ vy+ wzEncombinantcesdeux equationsonobtient:ddt+ _ux+vy+wz_ = 0soitddt+ .

V= 0 (4.1)Pourunuideincompressiblelepremiertermeestnuletlequationdecontinuitepourunuideincompressiblesecrit:ux+vy+wz= 0 .

V= 0 (4.2)4.2.2 ApplicationLesvitessesverticalesnesontpasdirectementmesurablescartropfaibles. Ellespeuventparfoisetrededuitesenutilisantlequationdecontinuite.Consideronslescourantsdesurface(moyennessur5ox5o)indiquessurleschemajoint:wz= _ux+vy_ux [A 0ux [B 10108s1___ux [E 5108s1ux [E 5108s1vy [E 8.3108s1___wz [surf 13.3108s125On voit que w/zest positif ; wdoit etre nul en surface (condition aux limites) donc souslasurfacewdoit etrenegatif,puisquilaugmentejusquensurface.Ainsi,[ux +vy] < 0etwz> 0impliquequilyaconvergenceaupointE:westdirigeeverslebas.Si w/z= cste de z= 0m `a z= 50m (base de la thermocline saisonni`ere), alors wvarielineairementaveclaprofondeur:w50m=wzz + w0m= (13.3108) (50) + 0 = 6.7106ms1On voit que lordre de grandeur de west de 103U: si Uest lordre de grandeur des vitesseshorizontales,HetLles echellesverticalesethorizontalestypiques,alors,selonlequationdelacontinuiteW HUL.AvecHL 103.4.2.3 EquationdeconservationduselPar denition la salinite est le rapport entre le poids de sel en grammes sur le poids de leauenkilogramme.SionappellemwlamassedeauquicontientmsmassedeselalorsS=msmw103=msV103S = (ms/V )103representelamassedeselparunitedevolume.Par analogie avec lequationde conservationde lamasse, onpeut ecrire que le uxdesel entrantdansunvolumeelementairesecritS11u1yzdansladirectionx; leuxdeselsortantsecritS22u2yz.Laquantitedeselcontenuedanslevolumesecrit:SxyzDansunintervalledetempstonpeut ecrirequelavariationdecettequantiteest:(S)txyz= S11u1yz S22u2yz26(S)t=(S11u1S22u2)x(S)t= (Su)xFinalementdansles3directionslequationdeconservationduselsecrit:(S)t= (Su)x(Sv)y(Sw)zsoit(S)t+.(S

V ) = 0Ouendeveloppantlesderivationsdeproduits:St+ St= [uSx+ vSy+ wSz ] S[ux+vy+wz ] S[ux+ vy+ wz]Cequirevient`aune equation equivalente`acelledeconservationdelamasse:d(S)dt+ (S) .

V= 0 (4.3)Pourunuideincompressible, = csteet .

V= 0.Laconservationduselsecrit:dSdt= 0 (4.4)Ces equations correspondent `a ladvection en sel dans un volume elementaire (tout le sel quientre dans le volume doit en sortir). Dans la realite il faudra tenir compte en plus du phenom`enedediusion.4.3 LesequationsdumouvementLevolution dun uide sur une plan`ete en rotation est regie par lequation de laquantitede mouvement. La loi de Newton indique que lacceleration est egale `a la resultante des forcesparunitedemasse:d

Vdt= p 2

V + g +

F Pression Coriolis Gravite Autres(4.5)27ouenprojectionsurdesaxeslies`alaterre:dudt= px+2sin v 2cos w +Fxdvdt= py2sin u +Fydwdt= pz+2cos u g +Fz(4.6)u,v,wsontlescomposantesdelavitessedanslerep`erelocalx,y,z`alasurfacedelaterre est le volume specique (volume de lunite de masse, dependant de T et S) suppose connulavitesseangulairederotationdelaterreetlalatitude

Frepresentelesforcesdefrottement,maree...Pour determiner les quatre inconnues u,v,w,p on utilise ce syst`eme, augmente de lequationdecontinuite.4.3.1 RemarquesDanscertainscas TetSsontconsidereescommeinconnues(circulationthermohaline).Ilfautalorsdeuxequationssupplementaires, qui sontlesequationsdadvection-diusiondecesquantites.Lhypoth`ese dincompressibilite dans .

V= 0 elimine les ondes acoustiques des solutionspossibles.Acesequations on doit adjoindre des conditions aux fronti`eres (bords et fonds des oceans,interfaceair-mer)etdesconditionsinitiales(positiondusyst`eme`alinstantt = 0).Bordsetfondsdesoceans:Lesconditionsauxfronti`eresserontdierentesselonquilsagitdun uide parfait ou dun uide visqueux. Dans le cas dun uide parfait on ecrit que les vitessesnormalesauxparoissontnulles ; danslecasdunuidevisqueuxonecritquelesvitessessurlesparoissontnulles.Interface: Alinterfaceentredeuxuides, ladistinctionprecedentepeutsappliquer: cou-plageparpressionseule,onnegligeleseetsdelaviscosite ;couplageparpressionettension,lesuidessontalorsconsideresvisqueux, etonecritquil yacontinuitedespressionsetdestensions`atraverslinterface.Les expressions deforcedefrottement (turbulent) sont encoretr`es incertaines. Trouverdessolutionsestencoreplusdicilequandlestermesdaccelerationsontmaintenus, carcesequationssontalorsnon-lineaires.Non-lineariteetturbulencesontliees.4.3.2 LetermedepressionUn des termes les plus faciles `a apprehender dans lequation du mouvement (4.5) est certai-nement celui-ci: une particule se deplacera des hautes vers les basses pressions, et lacceleration28esttoutsimplementproportionnelleaugradientdepression. Onpeutimagineruneanalogiemecanique: une balle roulant sans frictionsur unplanincline vaacquerir une accelerationproportionnelle`alinclinaisonduplan(qui equivauticiaugradientdepression).Considerons unvolumeelementairedeuidedemassevolumiqueet decotes x, yetz. SoientP1etP2lespressionsagissantsurlesfacesopposees, avecP2>P1, ouencoreP2= P1 + p.Surlaface1laforcedepressionsecrit:F1= P1xzSurlaface2laforcedepressionsecrit:F2= P2xz= (P1 + p)xzLamasseduvolumeuideestm = xyzEcrivonslarelationfondamentaledeladynamiqueprojeteesurlaxedesy:mdvdt= F1F2xyzdvdt= P1xz (P1 + p)xzapr`essimplicationdvdt= 1pySilesdimensionsduvolumeuidetendentverslinnimentpetitonpeut ecriredvdt= 1pyLe signe indique bien que si la pression augmente vers la droite (P2> P1), la force estdirigeeverslagauche.Laparticuleestaccelereeverslespressionsdecroissantes(laccelerationestdirigee deshautes versles bassespressions,alors que le vecteurgradientesttoujours dirigeverslesvaleurscroissantesdelafonction). Laforcedugradientdepressionetlegradientdepressionsontopposes.29GradientdepressionetpentedesisobaresImaginons une situation simpliste: de leau de mer de masse volumique constante occupantunbassinoceaniqueetunepente`alasurfacedeleau.Selonlaloidelhydrostatiquelapressionenunpointduuideestsimplementlapressiondueaupoidsdelacolonnedeausitueeaudessusdecepoint,agissantparunitedesurface:P1= gz ; P2= g(z + z)Letermedegradientdepressionsuivantxsecrit:1px 1P2P1x=1g(z + z) gzxsoit1px= gzx= g.ixsiixestlapentedelasurfaceuide,suivantladirectionx.Legradientdepressionestlememepartout`alinterieurduuide. Doncsi aucuneautreforcenagit,leuideentierdoit etreacceleredeshautesverslesbassespressions.dudt= 1px= g.ixDemonstrationplusmathematique:1px= 1pz_xzx_P=1g tan iavecpz_x= g etzx_P= tan i30Cestunexempledecoulementbarotrope: toutelamassedeauestentraneedunblocverslesbassespressionsetlavitesseestconstantesurunememeverticale. Dans un ecoulementbarotrope la masse volumique ne depend que de la pression, les isopycnes sont parall`eles aux isobares.Lorsquelesvitessesvarientaveclaprofondeur,onparledecoulementbarocline:Considerons la situation o` u les isopycnes ont une pente negative en x, la densite augmentantaveclaprofondeur. /xestnegatif, detellesortequeladensiteestplusgrande(eaupluslourde)lelongdelasection1quelelongdelasection2. Lequilibrehydrostatiquerequiertqueles poidsdes colonnes z1et z2soient identiques, ainsi lintervalleentredeuxisobaresaugmenteavecx,etz2> z1.Enconsequence,lessurfacesisobaresontunepentepositiveenx,etleurspentesaugmententavecz:p/x > 0etsavaleuraugmenteavecz.Lesvitessesnesontplusconstantessurunememeverticale.4.3.3 Passageauxaxeslies`alaterreSelon la loi de composition des mouvements, on a entre lacceleration dans un rep`ere daxesxes(rep`eredinertie)etlaccelerationdansunrep`erelie`alaterre,larelationsuivante:a= r + 2

Vr + (

TM)o` u Oest un point xe `a la surface de la terre, pris comme origine du rep`ere terrestre, Testle centre de la terre1; lindice rconcerne le mouvement relatif, lindice a le mouvement absolu ;

est la vitesse angulaire de rotation de la terre autour de l axe des poles ; = 2rd/86164s =7.29105rd/so` u86164srepresenteladureedunjoursideral.Lequationdumouvementdanslerep`ereterrestredevient:r=d

Vrdt= p 2

Vr+ gf

(

TM) +

F Grad.pression Coriolis Gravite Centrifuge Autres(4.7)1. La quantite

(

TM) = (

TO) +

(

OM) represente lacceleration dentranement dunpoint xe M dans le rep`ere terrestre mobile,e = O + (

OM) la vitesse angulaire

etant constante,et

TO un vecteur de module constant.31GraviteLaloidelattractionuniverselle(

F= GMTm/R2u)fournitgf= GMT/R2= 9.8ms2.Lacceleration g utilisee dans le rep`ere terrestre est la somme de gfet de lacceleration centrifuge.g est appeleepesanteur vulgaire(directiondunl `aplomb). g est maximumauxpoles,minimum`alequateur(variationde0.5%).Laxezdurep`ereterrestreestaligneavec g.LaxexestverslEst,laxeyverslenord.AlEquateur, pour unpoint situe`alasurfacedelaterre, laccelerationcentrifugevaut:[2R]max (7.29105)26400 103 0.034ms2> , ce qui nous restreint `a des ondes de faible amplitude,lequationdelacontinuitedevient:t+ H_ux+vy_ = 0 (9.4)Lesyst`emedequations(8.2)`a(8.4)gouverneladynamiquedesondeslineairesenmilieuhomog`ene,non-visqueuxettournant.9.2 OndesdeKelvinLes ondes de Kelvinsont des ondes progressives guidees par une cote, o` ulonsupposequelesvitessesrestentpartoutparall`elesauxberges.Consideronsunoceansemi-inni,limiteverticalementparunfondplatetunesurfacelibre,etlateralementparunmurvertical(cote).Lelongdecemur(x = 0),lavitessenormaleestnulle(u = 0).Enutilisantlesequations(8.3)et(8.4), o` uu=0, onpeuteliminerledeplacementdelasurfacelibre,pourobtenir:2vt2= c22vy2o` u c =_gHOn reconnat lequation de propagation dune onde plane `a la celerite c, dont la solution estdelaforme:v= V1(x,y + ct) + V2(x,y ct)Les fonctions V1et V2sont arbitraires, mais dufait quec =csteelles conservent leursformes.Prenonsunexempleconcret.Onpeutverierquev= A1 cos(y + ct) + A2 cos(y ct)91estsolutiondelequationdondes. Enintroduisantlasolutionvdans(8.3)o` uu=0, ondetermineledeplacementdelasurfacelibre:vt= gyvt= A1csin(y + ct) + A2csin(y ct)y= A1cgsin(y + ct) A2cgsin(y ct)___ = A1cgcos(y + ct) + A2cgcos(y ct) + K= cgV1 +cgV2 + K= _HgV1 +_HgV2 + KToute constante additive peut etreeliminee enredenissant correctement laprofondeurconstanteH:= HgV1(x,y + ct) +HgV2(x,y ct)La structure en x de ces deux fonctions V1et V2est alors determinee en utilisant (8.2). Avecu = 0ilvientfv= gxi.e cette composante du mouvement est en equilibre geostrophique. Introduisons les expressiondevetprecedemmentobtenue:V1x= fgHV1;V2x= +fgHV2V1= V10(y + ct) exp(xR) ; V2= V20(y ct) exp(+xR)o` u la longueur R appelee le rayon de deformation de Rossby, est fonction des trois constantesduprobl`eme:R =gHf=cfUne des ondes (V1si fest positif) decroit exponentiellement avec la distance `a la cote compteepositivement, alorsquelaseconde(V2, si f estpositif)augmenteexponentiellementavecladistance`alacote, cequi estphysiquementpeuprobable. Lasolutionlaplusgeneralesecritdonc,avecV20= 0etV10= F(y + ct):u = 0v= F(y + ct) exp(xR)= _HgF(y + ct) exp(xR)(9.5)Dufaitdeladecroissanceexponentielleverslelarge, ontditquelondedeKelvinestpiegeeparlacote.LintensitedecepiegeageestcaracteriseeparlalongueurR.92Lelongdelacote, londesepropagesansdeformation, `alaceleriteconstantec. Danslhemisph`ere Nord, londe se propage avec la cote sur sa droite. En eet, si f> 0 alors c >0. Sur la cote Ouest, quand on seloigne de la cote, x augmente vers les valeurs positives, onchoisitlasolutionV1physiquementacceptablepuisquelledonneune elevationmaximale`a la cote, avec une decroissance exponentielle vers le large. Or V10(y +ct) est un signal quise propage vers les y negatifs, ici, vers le sud. A linverse, sur la cote Est, londe, suivant lememeraisonnement,sepropageversleNord.OnpourraplussimplementretenirquuneondedeKelvintournedanslesenscycloniqueautourdubassindanslhemisph`erenord.Bien que la direction de propagation des ondes soit unique (cote sur la droite), le courantinduitdependdusignede.Siestpositif(crete),alorsF(y +ct)estnegatifetvaussipar consequent. NotonsqueF(y+ ct) representeuneperturbationsepropageant verslesydecroissants.Doncsiestpositif,lecourantestdanslememesensquelesensdepropagationdelonde.9.3 OndesdePoincare:inertie-graviteReprenonsnotresyst`emedequations(8.2)`a(8.4). Si onseplacedansleplanf, touslescoecientssontconstants.Consideronsdesondesprogressivessousformecomplexe:(u,v,) = ( u, v, )ei(lx+myt)o` u u, vet sontlesamplitudescomplexes.letmsontlesnombresdondesenxetyetlapulsation.Lesyst`emedequationssecritalors: u f v = gl , v + f u = gm , + H(l u + m v) = 0(9.6)Cesyst`emeadmetunesolutiontriviale: u= v= =0, `amoinsqueledeterminantnesannule.Lesondesnepeuventdoncexisterquesi:[2f2gH(l2+ m2)] = 0 (9.7)93Fig.9.1RelationdedispersiondesondesdePoincareCettecondition,appeleerelationdedispersion,donnelafrequencedelondeenfonctiondu nombre donde k =l2+ m2et des constantes du probl`eme. La premi`ere racine = 0,correspond`aletatstationnaire. Si danslesyst`emedequations, onannulelesderiveespar rapport au temps, on reconnait les equations de lecoulement geostrophique. Les deuxautres racines correspondent aux ondes dites de Poincare ou ondes de gravite en milieutournanti.einertie-gravite:= _f2+ gHk2Lavitessedephase, c=/kqui dependdunombredondes k, nest pas constante:londe de Poincare est dite dispersive contrairement aux ondes de Kelvin, dont le signalsepropagesansdistorsion.LarelationdedispersiondesondesdeKelvinseretrouveaisement`apartirdusyst`emedequations8.6o` uonannulelacomposanteu. Onobtient = gHko` uselonnoshypoth`esesl =0, k=m. Onretrouvelavitessedephasec=gH, etlavitessedegroupecg=ddk=gH= c= cste.9.4 OndesdeRossby:planetairesLes ondes deKelvinet dePoincaresont des ondes relativement rapides ( f). Nousallons voir que lecoulement geostrophique stationnaire, qui correspond `a la frequence 0 dans leparagraphe precedent, peut developper une onde qui se propage lentement, quand le syst`eme estleg`erement modie. Ces ondes sont appelees ondes planetaires car levolution de la perturbationestamplieeparleetplanetaire. Reprenonsnotresyst`emedequations(8.2`a8.4)ennousplacantdansleplan.Rappelons quelutilisationduplannepeut sefairequedans lecas dunphenom`enepeuetenduenlatitude. SoitLlordredegrandeurdeletenduelatitudinaledumouvement,lutilisationdeplansupposequeL/f0