Inter nationale MathematischeNachrichten

Inter national Mathematical News

NouvellesMathematiquesInter nationales

Die IMN wurden1947 von R. Inzingerals

”NachrichtenderMathematischenGe-

sellschaftin Wien“ gegrundet.1952wur-de die Zeitschrift in

”InternationaleMa-

thematischeNachrichten“ umbenanntundwar bis 1971 offizielles Publikationsor-gander

”InternationalenMathematischen

Union“ .

Von 1953bis 1977betreuteW. Wunder-lich, derbereitsseitderGrundungalsRe-dakteur mitwirkte, als HerausgeberdieIMN. Die weiteren HerausgeberwarenH. Vogler (1978–79),U. Dieter (1980–81, 1984–85),L. Reich (1982–83)undP. Flor (1986–99).

Herausgeber:

OsterreichischeMathematischeGesell-schaft,WiednerHauptstraße8–10/1182,A-1040Wien. e-mail imn@tuwien.ac.at,http://www.oemg.ac.at/

Redaktion:

M. Drmota(TU Wien,Herausgeber)U. Dieter (TU Graz)P. Flor (Univ. Graz)J. Schwaiger (Univ. Graz)J. Wallner (TU Wien)

StandigeMitarbeiter der Redaktion:

C. Binder(TU Wien)R.Mlitz (TU Wien)K. Sigmund(Univ. Wien)

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Die IMN erscheinendreimaljahrlichundwerdenvon den Mitgliedern der Oster-reichischenMathematischenGesellschaftbezogen.Jahresbeitrag: 18,–

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Eigentumer, Herausgeberund Verleger:Osterr. Math. Gesellschaft.Satz: Osterr.Math. Gesellschaft. Druck: GrafischesZentrum,WiednerHauptstraße8–10,1040Wien.

c�

2003 OsterreichischeMathematischeGesellschaft,Wien.

ISSN0020-7926

OsterreichischeMathematischeGesellschaft

Gegrundet1903

Sekretariat:

TU Wien, Institut 1182,WiednerHauptstr. 8–10,A 1040Wien.Tel. (+43)1-58801-11823

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H. Engl (Univ. Linz):Vorsitzender.R.Tichy (TU Graz):StellvertretenderVorsitzender.M. Drmota(TU Wien):HerausgeberderIMN.W. Woess(TU Graz):Schriftfuhrer.M. Oberguggenberger (Univ. Inns-bruck):StellvertretenderSchriftfuhrer.W. Schachermayer(TU Wien):Kassier.I. Troch (TU Wien):StellvertretendeKassierin.G. Teschl (Univ. Wien):Web-Beauftragter(kooptiert).

Vorsitzendeder Sektionenund Kommissionen:

L. Reich (Graz)M. Oberguggenberger (Innsbruck)H. Kautschitsch (Klagenfurt)G. Larcher (Linz)P. Hellekalek(Salzburg)C. Schmeiser(Wien)R.Geretschlager (Lehrersektion)W. Schloglmann(Didaktik-kommission)

Beirat:

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Inter nationaleMathematischeNachrichten

Inter national Mathematical News

NouvellesMathematiquesInter nationales

Nr. 192(57.Jahrgang) April 2003

Inhalt

Gerhard Frey: Der Satzvon PredaMihailescu– Die Vermutungvon Cata-lan ist richtig! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

HeinzEngl: DasJohannRadonInstitute for ComputationalandAppliedMathematicsderOsterreichischenAkademiederWissenschaften . . . . . 12

Gerhard Lindbichler: HausderMathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Yu. Nesterenko, E. Nikishin: Kettenbruche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Buchbesprechungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

InternationaleMathematischeNachrichten . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

NachrichtenderOsterreichischenMathematischenGesellschaft . . . . . . 85

DasTitelblatt zeigteinensogenanntentwin dragon, einefraktaleTeilmengeT ��, diediePunktederForm∑∞

k � 1εk ��� 1 � i � k mit εk � � 0 � 1� enthalt. T erfullt dieGleichungT � � 1 � i � � T � � T � 1����� 2,wasmanfur einerekursiveErzeugungvonNaherungenfur T verwendenkann. Ist λ die reelleLosungderGleichungλ3 �λ2 � 2, so ist die Hausdorff-DimensiondesRandesvon T durch2logλ � log2 �1 � 523627gegeben.

Internat.Math.NachrichtenNr. 192(2003),1–11

Der Satzvon PredaMih ailescuDie Vermutung von Catalanist richtig!

�Gerhard FreyUniversitat Essen

PredaMihailescu(Foto: Stockmeyer)

Satz(PredaMih ailescu2002).Seienx undy ganzeZahlenungleich 0, undseienm undn naturlicheZahlengroßerals 1, sodass

xn � ym � 1

ist. Dannist n � 2 � m � 3 ��� x ��� 3 undy � 2 ��NachdruckausdenMitteilungenderDMV 2002/4,8–13,mit freundlicherGenehmigungdes

HerausgebersderDMV-Mitteilungen,FolkmarBornemann,unddesAutorsGerhardFrey.

ISSN0020-7926 c�

2003Osterr. Math.Gesellschaft

DieserSatzbestatigt eine1842von E. CatalanaufgestellteVermutung,derenBe-weis PredaMihailescuim April 2002gelungenist. Dies ist ein weitererHohe-punktin derReihehervorragenderErgebnisseuberLosungenvon diophantischenGleichungen,die in denletztenzwanzigJahrenerhaltenwurden.

EugeneCharlesCatalan

Wahrscheinlichwerdensichviele LeserbeimLesendieseSatzesandenSatzvonWiles erinnern,der1994die Behauptungvon Fermatbewies. Esmaginteressantsein,die trotzderformalenAhnlichkeit bestehendenUnterschiedezudiskutieren.

FermatsGleichunginvolviert drei UnbestimmteX � Y � Z, diedurch

Xn � Yn � Zn

verknupft sind. Als Ausgleichist die Beziehungaberhomogen:DurchDivisionmit Z erhalt maneineGleichungvom Catalan-Typ

Xn � Yn � 1 �AllerdingsmussmanjetztdieLosungenim BereichderrationalenZahlensuchen.Geometrischbedeutetdas:Man mussdie Punktemit rationalenKoordinatenaufeiner affinen oder, und dasist kein großerUnterschied,projektiven Kurve fin-den.UbersetztmandieCatalanscheGleichungin dieseSprache,somussmandiePunktemit ganzzahligenKoordinatenauf eineraffinenKurve bestimmen.Es isteinleuchtend,dassfur dieseFragestellungMethodender AlgebraischenZahlen-theorieviel erfolgversprechendersindalsim rationalenFall.BetrachtetmannureineKurve,soist dieEndlichkeit derMengederganzzahligenPunkteschondurcheinenfundamentalenSatzvonSiegel(1929)gelost.Fur ratio-nalePunktewurdedieentsprechendeAussageerstvon Faltings1983bewiesen.Wesentlichkomplizierterwird die Fragestellung,wennmanganzeScharenvonKurvengleichzeitigbetrachtet,z.B. auchdieExponentenalsVariableauffasst.ImFall von rationalenPunktensindhier selbstEndlichkeitsaussagennur in wenigen

2

Sonderfallen bewiesen. Fur ganzzahligePunktesiehtdie Situationetwasbesseraus,daBakersMethodenmit vielenVerfeinerungenoft anwendbarsind.Im Allgemeinenbeginnt abererst jetzt die schwersteAufgabe: Die Losungensindgenauzu bestimmen.Typischerweisesinddie Abschatzungensogrob,dasseine Computeruntersuchunghoffnungslosist. Genausowar auchdie Situationim Fall derCatalanschenVermutung– bis zu denbahnbrechendenArbeitenvonMihailescu. Durch wunderschone Anwendungder tiefstenErgebnisse,die wiruberdie Arithmetik von Kreisteilungskorpernhaben,gelingt es ihm, mit einemSchlagalle moglichenLosungenzu bestimmen,und die vorhandenenEndlich-keitssatzeund die umfangreichenzur VerfugungstehendennumerischenResul-tatewerdennur in bescheidenemUmfangbenotigt, (wasderenBedeutungnichtschmalert).

Abschließendmochteich erwahnen,dassmir bei der AbfassungdiesesBerich-tesder

”endgultige Beweis“ PredaMihailescusnochnicht vorlag. Nachmund-

lichenMitteilungenvon Mihailescukanner aneinigenStellennochelementarer(wennauchvielleicht nicht durchsichtiger)gemachtwerden. Ich werdean denentsprechendenStellendieserwahnen,folge aberhier engder Darstellung,dievon Y. Bilu [5] gegebenwurde.

Vorarbeiten

Ich gebehier nur die fur den Beweis desTheoremsrelevantenErgebnissean.DeutlichmehrInformationenfindetmanin P. Ribenboim[2].Ein ersterMeilensteinwar dasschon1850von LebesgueerzielteErgebnis,dassdieGleichungen

Yn � X2 � 1

fur n � 1 nurdie trivialenLosungenmit x � 0 besitzen.Interessanterweisehatesdanachmehrals100Jahregedauert,bisChaoKo (1965)bewiesenhat,dass

X2 � Yn � 1

nur Losungenmit y � 0 und x � 3 � y � 2 � n � 3 besitzt. Man sieht leicht, dassXn � Yn � 1 ebenfalls nur trivialeLosungenbesitzt.Es bleibt alsozu zeigen:Fur verschiedeneungeradePrimzahlenp � q und von 0verschiedeneganzeZahlenx � y ist

xp � yq �� 1 �Falls notwendig,kannman � x � y� p � q� durch ��� y� � x � q � p� ersetzenund deshalbohneEinschrankungannehmen,dass2 � p � q ist.

3

Wir gehenim Folgendenimmervon einerangenommenenLosung� x � y� p � q� aus.Durchdie RelationzwischendiesenZahlenergebensichzahlentheoretischeBe-dingungen:Satz(Cassels1960).Esgibt a � v � � , sodass

x � 1 � aq pq 1 � y � pav

undxp � 1x � 1

� p vq �Fur y geltenentsprechendeGleichungen.

Aus diesenRelationenerhalt mansofortuntereAbschatzungenfur x undy durchAusdrucke in p undq. ZumBeispiel:� x �"! pq 1 � 1; � y �#! qp 1 � 1 �oderetwastiefliegender, aberauchnochelementarherleitbar:� x �"! q � 2p � 1� � 2qp 1 � 1�$�Diesist einResultatvon Hyyro (1964).Mihailescuselbstbewies: � x �"! � q2p 2 � 2� 4 �Ein DurchbruchgelangTijdeman1976[6]. Er benutzteBakersMethodeder lo-garithmischenLinearformen.Der wesentlichePunktist, dassFormen

Λ � b1 logα1 �%�����&� bn logαn �wobeibi �'� undαi ganzealgebraischeZahlensind,nicht0 werden,unddassmanfur log �Λ � untereSchranken in Abhangigkeit von max� bi � undderHohenh � αi �deralgebraischenZahlenαi hat. (Zur Definition undBedeutungvon Hohenvgl.[4]. Fur teilerfremdenaturlicheZahlenm� n ist h � m� n�(� max� log � m�$� log � n�� .)DasberuhmteResultatvon Tijdemanist

Theorem 1 (Tijdeman). Die Exponentenp und q sind durch eineeffektiv bere-chenbare Zahl nach obenbeschrankt.

Also gibt es nur endlich viele Losungender CatalanschenGleichung,und”im

Prinzip“ kannmansieallebestimmen.Dies ist ein großartigesErgebnis,dasdie ganzeKraft der Methodevon Bakerzeigt. Leider ist die Schranke, die manerhalt, sogroß,dasseinedirekterechne-rischeVerifikation außerder Reichweiteder Computerliegt. Naturlich versucht

4

mandaher, bessereAbschatzungenzubekommen.Die scharfstenAbschatzungennachoben,diemanfur moglicheExponenten� p � q� erhielt,waren(vgl. [3])

max� p � q�*) 7 � 78 1016 �Gleichzeitig werdendurch starkere arithmetischeBedingungenan potentielleLosungenimmerwenigerKandidatenzugelassen.Hier gelangInkeri (1964/1992)einwesentlicherFortschritt.Er benutztdieArith-metik von Kreisteilungskorpern,undsoist esnicht verwunderlich,dassKlassen-zahlendieserKorper und

”Regularitatsbedingungen“ , wie man sie auszahlen-

theoretischenBeweisansatzenfur denFermatschenSatzkennt,auftauchen.Sehrbemerkenswertist, dassesMihailescuin [8] gelang,dieseKlassenzahlbedingun-genzu eliminieren.Er erhalt

Proposition1. Fur jedeLosung � x � y� p � q� derCatalangleichunggilt:

pq 1 + 1 mod q2

undq2 � x �

Die zweiteAussagevon Proposition1 erleichtertauchnumerischesRechnenbe-trachtlich.MignotteundRoy habenmit Rechnernbewiesen,dassmin � p � q�,� 107

seinmuss(siehe[3]).

Der Fall p -. 1 (mod q)

Die im letztenAbschnittgesammeltenInformationengenugen,umeinenSonder-fall auszuschließen.

Proposition 2. Falls � x � y� p � q� eineLosungder Catalangleichung ist, dann istp �+ 1 (modq).

Beweisskizze:Wir nehmenan,dassp + 1 (modq) ist. Aus Proposition1 folgt,dassp � 1 sogardurchq2 teilbarist.Also ist p � k q2 � 1 mit einernaturlichenZahl k. Da p ungeradeist, musskgeradesein.Da 2q2 � 1 durch3 teilbarist, mussk ! 4 sein,alsogilt:

p � 4q2 �5

Wir habenAbschatzungenfur q im letztenAbschnitt gesehen.Alles, was wiraberhier brauchen,ist, dassq � 28000ist. Denndanngreifendie MethodenvonTijdeman(sogarin vereinfachterForm). Manerhalt, dass

p ) 24� 34q / max 0 logp � 1

log � q� � 0 � 14� 21132 2log � q�

ist. Nachrechnenergibt: Falls q ! 28000,dannist p ) 4q2. Das ist abereinWiderspruchzudemobenerhaltenenResultat.Bemerkung:Nach einer mundlichenMitteilung hat PredaMihailescueine Be-weisvariantegefunden,diesowohl dieBakerscheMethodewie auchjeglicheVor-berechnungzumBeweisderProposition2 uberflussigmacht.

Der Beweis

Wir konnenjetzt annehmen,dassp � q ! 7 und dassq prim zu p � 1 ist. Wirnehmen� x � y� p � q� als Losungder Catalangleichungan und erinnernunsan dieErgebnissevon Cassels:Esist x � 1 durchp teilbarund xp 1

x 1 � p vq �Naturlich erinnertdie linke Seiteder Gleichungsofort an die Fermatgleichung,rechtsstehtallerdingseine zu p prime Potenz. Ausserdemkommennur zweiVariablevor. BeideUnterschiedeerleichterndasLebensehr: Man studiertq-tePotenzenin 4 � ζ � , wobei ζ eine p-te Einheitswurzelist, und betrachtetdarindieIdentitat

∏k � 1 5 6 6 6 5 p 1

x � ζk

1 � ζk � vq �Esist leicht zu zeigen,dassdie Faktorenauf derlinkenSeiteganzalgebraisch,zup prim undteilerfremdsind. Will mandiesausnutzen,stoßtmanauf die ublicheSchwierigkeit:Esist dasIdeal 7

x � ζk

1 � ζk 8eineq-tePotenz,nichtabernotwendigerweisedasElement.MankannaberIdealezum

”Kapitulieren“ bringen(d.h.zumHauptidealmachen),indemmangeeignete

ganzzahligeKombinationenΘ (s.u.) von Elementenausder GaloisgruppedesKreisteilungskorpersanwendet.Manist damitaberimmernochnichtamZiel: Es

tretenEinheitenauf,dieverhindernkonnten,dass� x ζk

1 ζk � Θ einep-tePotenzist.

Hier beginnt nundie subtileAnalyse,die MihailescuzumErfolg fuhrt. Zunachstbrauchenwir mehrDefinitionenundNotationen.

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Esempfiehltsich,diekonjugiertkomplexenPaare

/ x � ζk

1 � ζk 2*/ x � ζk

1 � ζk2

zusammenzufassenund in dem reellenTeilkorperK : �94 � ζ � ζ � , der denGrad� p � 1��� 2 uber 4 hat,zu arbeiten.SeiG: seineGaloisgruppeuber 4 . Der ganzzahligeGruppenringvon G: ist

�<;G:>= : � 0 ∑g ? G@A5 ng ?CB ng

g 1 �entsprechendist derGruppenringuberdemKorper D q mit q Elementendefiniertdurch D q ;G:E= : � 0 ∑

g ? G@ 5 ng ?GF q

ng g 1 �

Da G: zu q primeOrdnunghat, ist dieserGruppenringvon besonderseinfacherGestalt:Er ist dasProduktvon Korpern.

Die GruppeG: und damit �H;G: = operierenauf denK zugeordnetenarithmeti-schenObjektenwie der IdealklassengruppeH und der Gruppeder Einheiten Iin naturlicher Weise. Gehtmanvon diesenGruppenzu Quotientenuber, derenOrdnungq teilt, soist dieOperationvon D q ;G: = wohldefiniert.Soist I<�#I q einzyklischerD q ;G: = -Modul, dessenAnnullatorvon demNormele-ment J : � ∑g ? G@ g erzeugtwird.Einer der wichtigstenGrundefur die arithmetischeZuganglichkeit der Kreistei-lungskorperist die relativ einfacheStrukturihrerEinheiten.

Die Elementeζk 1ζ 1 sindEinheitenin 4 � ζ � , diedurchMultiplikation mit geeigne-

tenPotenzenvonζ zuEinheitenin K werden.SieerzeugendieGruppederreellenzyklotomischenEinheitenK . Der Index von K in I ist engmit derKlassenzahlvon K verknupft.In K liegendievonMihailescubetrachtetenq-primarenzyklotomischenEinheitenK q, die nachDefinition moduloq2 kongruentzu einerq-ten Potenzim Ring derganzenZahlenvon K sind.

Der D q ;G: = -Modul I<�#I q wird nunin dreiZwischenschrittenaufgebaut:Man betrachtetdie D q ;G: = -Moduln I<�#KLI q, KM�CK q und K q � � K q N I q � mit denpaarweiseprimenAnnullatoridealenO 1, O 1 und O 3 � mit derIdealidentitatO 1 O 2 O 3 � � JP�$�Nun zeigtMihailescu,dassganzallgemeinin Kreisteilungskorpernwegenp � qdasIdeal O 2

�� � 1� ist.

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Andererseitsleitet er ausder ExistenzeinerLosung � x � y� p � q� der Catalanglei-chungher, dass O 1 O 3 � � JP� ist. Darausfolgt nacheinfachenSchlussenderkommutativenAlgebra,dassO 2 � � 1� ist, undwir habeneinenWiderspruch!Alsoist CatalansVermutungbewiesen.Um zu diesemErgebniszu kommen,untersuchtMihailescugenaudie Operationvon

”ausgewogenen“ ElementenΘ � ∑ ng

g mit ∑ ng � 0 ausdemGruppenringD q ;G: = aufdenElementen� x � ζ � � x � ζ � moduloq-tenPotenzen.Er zeigt,dassQ ��� x � ζ � � x � ζ ��� Θ + 1modK R q fur ausgewogeneElementein O 1 O 3 ist, unddassandererseitsQ fur ausgewogeneElementeΘ, die nicht gleich0 sind, ��� x � ζ � � x � ζ ��� Θ �+1 modK R q ist.

Darausfolgt rechtschnell,dassO 2 � � 1� seinmusste.Die ersteAussagebasiertauf einemtiefenTheoremvon Thaine[7]1, dasbesagt,dassein ElementausdemGruppenring�H;G: = , dasdenq-Anteil von IS�CK annul-liert, auchdenq-Anteil derKlassengruppevon K annulliert.

DerBeweisderzweitenAussageenthalt dieschonsteIdeevonMihailescu:Er ver-bindet reell-analytischeFunktionentheoriemit algebraischerZahlentheorieundmit derGeometriederZahlen.Esist wohlbekannt,dassfur ungeradenaturlicheZahlenn diePotenzierungmit neinenHomeomorphismusderreellenZahlenT ergibt. Die UmkehrfunktionwirdinnerhalbdesEinheitskreisesdurchdieBinomialreihe

∑k � 0 5 6 6 6 5∞

71� nk 8 Tk

gegegeben.DieseReihekann sowohl arithmetisch(Nenneraufnahme)wie auchanalytischgut behandeltwerden;explizite Restgliedabschatzungensind moglich. Koordi-natenweisekannmandiesaufdenreellenaffinenRaumderDimension� p � 1��� 2ausdehnen,in den man K und also auch � x � ζ � � x � ζ � durch AnwendungderverschiedenenEinbettungenvon K in die reellenZahlenabbildet.Delikat ist allerdingsdie Operationvon �H;G: = auf diesemRaum,da G: nichtstetig operiert. Beschrankt man sich aberauf Elementevon K, bei denenalleKonjugiertendenBetragkleiner1 haben,undsetztdiesin die Binomialreiheein,soist dieGaloisoperationaufdemErgebnisdurchdieOperationaufdenTeilsum-men der Binomialreihenbeschreibbar, und die Restgliedabschatzungenkonnenverwendetwerden.DieswendetMihailescuaufdieZahlen � 1 � ζ � x� � 1 � ζ � x� an.

1Auch hier hat Mihailescumitgeteilt, dasser die VerwendungdesErgebnissesvon Thainevermeidenkann.

8

Er betrachtetΘ �U�<;G: = mit nicht-negativen Koeffizienten ng, derenSummegleichqm ist. (Diesentsprichtder

”gelifteten“ Ausgewogenheitsbedingung.) Die

Abschatzungenergeben,dassdieganz-algebraischeZahl

qm: ordq V m! W xm � 1 � ζ � x� Θ X qgleich

P � T � � x�ist, wobeiP � T � einPolynomist, dasmoduloq�S; ζ = ; T = gleichqm: ordq V m! W αm � Θ � istundαm � Θ � derm-teKoeffizient von

/ ∑k � 0 5 6 6 6 5∞

71� qk 8 � ζT � k 2 Θ

ist.Diesist dasSchlusselergebnis.DarauskannMihailescufolgern,dassjederKoef-fizient von Θ durchq teilbar ist. Also ist Θ moduloq gleich0, unddarausfolgtdiezweiteBehauptungvon oben.

Die ABC-Vermutung

Wie essichfur Mathematikergehort, lassenwir einembewiesenenResultatgleichweitereFragenfolgen.Die CatalanscheVermutungreiht sich ein in eineganzeFamilie von diophanti-schenAufgabendesTyps:

Bestimmealle Losungenvon

aXn � bYm � cZk

mit a � b � � fest,n � m� k �SY � � 0� .Man suchtalso Zahlenx � y, die hohePotenzenenthalten,und von deneneine(feste)LinearkombinationdieselbeEigenschafthat.

OffensichtlichkannmandieseFragenmit arithmetischenundmit geometrischenMethodenangreifen.Es gibt

”triviale“ Losungen(z.B. fur kleine Exponenten),

in ganzwenigenFallenhelfenschonKongruenzbedingungen,manchmalsindal-gebraischeManipulationenwenigstensin gut verstandenenErweiterungskorpernwie Kreisteilungskorpernmoglich(s.o.),unduntergewissenHomogenitatsbedin-gungenkannmanGaloisdarstellungeninsSpielbringen.Im Allgemeinenwird diesabernicht zumZiel fuhren.Daherist manschonfroh,asymptotischeAussagenmachenzu konnen.

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DaswesentlicheHilfsmittel, dasdazugegenwartig zur Verfugungsteht,ist dieobenschonangesprocheneMethodevon Baker mit vielen Verfeinerungen,diein manchenFallenzu effektiven oberenSchranken fur die Großevon Losungenfuhren. Allerdings sind dieseAbschatzungenexponentiellund sie fuhrenauchnicht immerzumZiel.

Beispiel: Die asymptotischeFermat-Vermutung. Gegebenseiena � b � c �Z�\[� 0� undteilerfremd.Dannist dieMenge]a 5 b 5 c � �^� x � y� z� �_� 3 undteilerfremd; ` n �SYba 4 mit axn � byn � czn �

endlich.

Es gibt nun eine faszinierendeVermutung,die von Masserund Oesterle 1986aufgestelltwurde:

ABC-Vermutung: Zu jeder reellenZahl ε � 0 gibt eseineZahl cε � T , sodassfur alle teilerfremdenA � B � C � � mit A � B � C � 0 gilt:�A �") cε � ∏

l c ABC d � V 1: ε W �Dabeistehtl fur Primzahlen.

Man siehtsofort, welch starke Wirkung dieseVermutungauf Gleichungenvom

”Catalan-Typ“ hat.

Seietwaaxn � bym � czk

mit relativ primenx � y� z�Dannfolgt ausderABC-Vermutung,dass� � xV n 3 ε W yV m 3 ε W zV k 3 ε W �#) c3

1 � � abc� 2 �mit einer

”Weltkonstanten“ c1 undausdieserAbschatzungbekommt mansofort

Endlichkeitssatze. Diesesind effektiv, wennc1 effektiv zu berechnenist, (wasublicherweiseTeil derABC-Vermutungist).

Leider scheintgegenwartig der Beweis der ABC-VermutungaußerhalbunsererReichweitezu sein. Mit MethodenderdiophantischenApproximation(s.o.) ge-lingt esStewardundTijdeman,eineexponentielleVersionderVermutungzu be-weisen.Es sollte hier bemerktwerden,dasssowohl die EndlichkeitsvermutungenfurLosungenvon aXn � bYm � cZk als auchdie ABC-Vermutungnaturliche Ver-allgemeinerungenhaben,wenn 4 durchZahlkorperoderFunktionenkorpereinerVariablenersetztwird. Esstellt sichheraus,dassderBeweisderABC-Vermutung

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im Funktionenkorperfall rechteinfach ist. Man kannsie beispielsweiseausei-ner AussageuberFlachen(Ungleichungvon Bogomolov–Miyaoka–Yau) herlei-ten. InteressanterweisehatdieseUngleichungeineInterpretationin der Theorieder arithmetischenFlachen,die zu Kurven uberZahlkorperngehoren. Da dieseTheorieschonzu dem Beweis der MordellschenVermutungdurch G. Faltingsgefuhrt hat, konntesich hierausdurchausein hoffnungsvoller Ansatzergeben.Mehr Einzelheitenfindensichin [1].

Literatur

1. G. Frey: GaloisRepresentationsAttachedto Elliptic CurvesandDiophantineProblems.NumberTheory, Proc.of the Turku Symp.on NumberTheory inMemoryof KustaaInkeri, eds.M. JutilaundT. Metsankyla. deGruyter2001.

2. P. Ribenboim:Catalan’sConjecture.Are 8 and9 theonly consecutive powers?AcademicPress1994.

3. M. Mignotte:Catalan’sequationjustbefore2000.NumberTheory, Proc.of theTurku Symp.on NumberTheoryin Memory of KustaaInkeri, eds.M. JutilaundT. Metsankyla. deGruyter2001.

4. S.Lang: Survey of DiophantineGeometry. Springer1997.

5. Y. Bilu: http://www.ufr-mi.u-bordeaux.fr/ e yuri/

6. R. Tijdeman:On theequationof Catalan.ActaArithm. 29 (1976),no.2, 197–209.

7. F. Thaine:On theidealclassgroupsof realabeliannumberfields.Ann. Math.(2) 128, no.1, 1–18(1988).

8. P. Mihailescu:A classnumberfreecriterionfor Catalan’sconjecture.Journ.ofNumberTh. Im Druck.2

Adr essedesAutorsProf.Dr. GerhardFreyInstitut fur ExperimentelleMathematikUniversitat EssenEllernstraße29D-45326Essenfrey@exp-math.uni-essen.de

2AnmerkungdesHerausgebers:Die Arbeit ist inzwischenerschienenin: J. NumberTheory99(2003),255–231.

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Internat.Math.NachrichtenNr. 192(2003),12–14

DasJohannRadon Institute forComputational and AppliedMathematicsder OsterreichischenAkademieder Wissenschaften

Heinz EnglJohannesKepler-Universitat Linz undOsterreichischeAkademiederWissenschaften

Links: JohannRadon(1887–1956),amTisch: links Adolf Adam,GrundungsdekanderTNF derUniversitat Linz, rechts:EduardStiefel,Zurich

Am 28. Marz 2003fand in Linz die offizielle Eroffnung desJohannRadonIn-stitutefor ComputationalandAppliedMathematics(RICAM) statt,dasdie Aka-demiederWissenschaftenmit 1. Janner2003in Linz errichtethat. Ich habedie

ISSN0020-7926 c�

2003Osterr. Math.Gesellschaft

Ehre,diesesInstitutalsgeschaftsfuhrenderInstitutsdirektorzu leiten.DasInstitutwird anwendungsorientierteGrundlagenforschungin folgendenArbeitsgruppenbetreiben:Q Numerische Methoden fur Partielle Differentialgleichungen (Leitung:

o. Univ.-Prof.Dr. Ulrich Langer)Q InverseProbleme(Leitung:o.Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. HeinzEngl)Q SymbolischesRechnen(Leitung: o.Univ.-Prof. Dr. DDr.h.c. Bruno Buch-berger, ao.Univ.-Prof.Dr. JosefSchicho)Q Finanzmathematik(Leitung: o.Univ.-Prof. Dr. GerhardLarcher, o.Univ.-Prof.Dr. WalterSchachermayer)Q Analysispartieller Differentialgleichungen (Leitung: o.Univ.-Prof. Dr. Pe-terMarkowich, ao.Univ.-Prof.Dr. ChristianSchmeiser).

Nach einer internationalenAusschreibung mit zahlreichenBewerbungenhabenam 1. Marz 2003die erstenPostdocsam Institut ihren Dienstangetreten,wei-tereAnstellungenwerdenin dennachstenMonatenerfolgen. ErfreulicherweisekonntenauchzweiMitarbeiterdesfruherenInstitutsfur DiskreteMathematikderOAW, die HerrenDr. Arne WinterhofundDr. GottliebPirsic,alsMitarbeiterdesRICAM in derAbteilungFinanzmathematikgewonnenwerden.Wir hoffen,dassdasRICAM im Jahr2004bereits25 Postdocsbeschaftigenwird konnen,die ih-rerseitsuber FWF- und EU-AntrageMittel fur Doktorandeneinwerbensollen,sodassdasInstitut in absehbarerZeit uberetwa 50 Mitarbeiterinnenund Mitar-beiterverfugenwird. Es wird dem Institut moglich sein,sich im neu errichte-tenDrittmittelgebaudeamCampusderUniversitat Linz einzumieten,womit auchSynergien mit der Universitat und demdort angesiedeltenSpezialforschungsbe-reich“NumericalandSymbolicScientificComputing”desFWF optimalgenutztwerdenkonnen.DasInstitut wird auchSpezialsemesterzu Anwendungsthemenveranstalten,die in den mathematischenKompetenzbereichdesInstituts fallenund fur die GastwissenschafterausdemIn- und Auslandfur einigeMonateansInstitut eingeladenwerdensollen.Vorschlagezu Themensindwillkommen.DieAkademiederWissenschaftenhat fur dasInstitut ein Kuratorium(bestehendauswirklichen Mitgliedern der Akademieund auslandischenWissenschaftern)ein-gerichtet,dasam27. Marz seineersteSitzungabgehaltenhat. DiesesKuratori-um bestehtaus: Prof. Dr. Karl Sigmund(Universitat Wien, Vorsitzender),Prof.Dr. Curt Christian (Universitat Wien), Prof. Dr. Peter Gruber (TU Wien), Prof.Dr. Herbert Mang (OAW), Prof. Dr. Ludwig Reich (Universitat Graz),Prof. Dr.HansTroger (TU Wien, stv. Vorsitzender),Prof. Dr. FrancoBrezzi(Pavia), Prof.Dr. Dr.h.c.PeterDeuflhard (Berlin), Prof. Dr. Dr.h.c.Rolf Jeltsch (Zurich), Prof.Dr. Dr.h.c.HelmutNeunzert(Kaiserslautern),Prof.Dr. Olivier Pironneau(Paris),Prof.Dr. William Rundell(Texas).Die RektorenkonferenzhatzusatzlichdieHer-ren Prof. Dr. Gunter Kern (TU Graz),ao.Prof.Dr. Norbert Mauser(Universitat

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Wien) und RektorProf. Dr. Winfried Muller (Universitat Klagenfurt) ins Kura-torium nominiert,dasBundesministeriumfur Bildung, Wissenschaftund KunstHerrnOR Mag.Dr. DanielWeselka.

Die OsterreichischeAkademieder Wissenschaftenhat mit der GrundungdiesesInstitutsin einerweitaushoherenGroßenordnungalsbisherin die osterreichischeMathematikinvestiert.Wir hoffen, durchunsereArbeit zu zeigen,dassichdieseInvestitionlohnt.NahereInformationenzumInstitut findenSieunterhttp://www.ricam.oeaw.ac.at.

PACIFIC JOURNAL OF MATHEMATICS

Editors: V. S. V a r a d a r a j a n (Managing Editor), S-Y. A. C a n g,Robert F i n n, Robert G u r a l n i c k, Darren L o n g, Jiang-HuaL u, Jonathan R o g a w s k i, Gang T i a n, Dan V o i c u l e s c u.Lai-Sang Y o u n g.

The Journal is published 10 times a year with approximately 200pages in each issue. The subscription price is $ 300,00 per year.Members of a list of supporting institutions may obtain the Journal forpersonal use at the reduced price of $ 150,00 per year. Back issuesof all volumes are available. Price of back issues will be furnishedon request.

PACIFIC JOURNAL OF MATHEMATICSP. O. BOX 4163

BERKELEY, CA 94704-0163

14

Internat.Math.NachrichtenNr. 192(2003),15–21

Haus der Mathematik

Gerhard LindbichlerWien

Von NorbertWiener, demBegrunderderKybernetik,ist der folgendeAusspruchuberliefert:

”Mathematikist einTeil unseresKulturgutes,undwir habendieAuf-

gabe,unsereMitmenschenin die Geheimnisseder Mathematikein-zuweihen.“ [4]

DieserStandpunktwar fur mich 1997 der Denkansatzfur die ErrichtungeinesHausesder Mathematik. DiesesVorhabenwurdevon Anfang an von ManfredKronfellner (TU Wien) unterstutzt. Aus dieserIdeeentwickelte ich ein KonzeptundschließlichdasProjekt

”HausderMathematik“ , dasich gernemit einemPen-

tagramm,dasvon funf Saulengetragenwird, vergleiche:

Erlebniswelt

Museum Wissenschaft

Bildung Umgebung

Mathematikist GrundlageundNotwendigkeit fur denreibungslosenAblauf unse-restaglichenLebens,seiesbeiderBewaltigungoderOptimierungvonProblemenin unsererBerufswelt,in Forschung,Wissenschaft,Technik,Wirtschaft,Politik,Sport,Kultur, Medizin,Schule,Studium,Freizeitusf. Trotzdemist MathematikinunsererGesellschaft,meistdurchnegative Erfahrungenim Schulbereichbedingt,eherunbeliebt.PrinzipiellsiehtdasHausderMathematikseineAufgabedarin,einenverbessertenStellenwertderMathematikin unsererGesellschaftzu erreichen.In einerange-nehmenundanregendenAtmospharekonnenaktiv oderpassiv ErkenntnisseundPhanomenederreinenundanwendbarenMathematikerlebtwerden.NachVerlas-sendesHausessoll derBesucherzumindesteinepositive Einstellungzur Mathe-matik haben.Ebensobestehtdie Moglichkeit, Schulern,Studenten,Lehrernund

ISSN0020-7926 c�

2003Osterr. Math.Gesellschaft

mathematischinteressiertenPersonenHilfe fur die Beantwortung einschlagigermathematischerFragestellungenoderProblemeanzubieten.In eigenenRaumenwerdenanhandspeziellerVideofilmeoderComputerprogrammeTeilgebietederMathematikzeitgemaßnahegebracht.AbernebenderPopularisierungderreinenundanwendbarenMathematikhatsichdasHaus der Mathematikauchdie Aufgabegestellt, eine Zusammenfuhrung,Prasentationund KonservierunghistorischermathematischerBucher und Ge-brauchsgegenstande(u. a. Rechenmaschinen)durchzufuhren. Nebender inter-nationalenwird vor allem die osterreichischeMathematikbesondersgewurdigt.Bestarkt wird letztereIntentionu. a.durchdenlegendarenBrief, denderweltbe-kannteWissenschafterOskarMorgensternam25. Oktober1965andendamali-genosterreichischenAußenministerDr. BrunoKreisky schrieb([4]):

”Es bestehtkein Zweifel daruber, daßKurt Godel der großteleben-

de Logiker und Mathematiker der Welt ist; ja Gelehrtevom RangeinesHermannWeyl und Johnvon Neumannhabenerklart, daßerohneZweifel der großteLogiker seit Leibniz, bessernochseit Ari-stoteles,ist. Esgibt wohl in dergesamtenGeschichtederUniversitatWien niemanden,der an ihr gelehrthat, dessenNameden Godel-schenuberstrahlt.[. . . ]. Einsteinsagteeinmalzu mir, daßihm seineeigeneArbeit nicht mehrviel bedeuteunddaßer lediglich ins Institi-tutsgebaudekame,um dasPrivileg zu haben,mit Godelzu FußnachHausegehenzudurfen.HatteFrankreicheinensobedeutendenLogi-kerundMathematiker wie denOsterreicherKurt Godel,dannwurdenalleGlockenvon NotreDameeinenganzTaglanglauten.“

Weiterswird eineZusammenarbeitmit anderenProjektenundInstitutionennichtnurangestrebt,sondernauchbereitsdurchgefuhrt: Adukation,AkademiederWis-senschaften,Gecko-Art, OMG; PadagogischeAkademien(Wien,Baden)Padago-gicum, ScienceWeek Austria, Stadtschulrat Wien, Technisches MuseumWien,Universitatenin Innsbruck, Klagenfurt,Linz,Salzburg, Wien.

Die HomepagedesHausesder Mathematik(http://www.hausdermathematik.at)wird in einemVierjahresprojektvon SchulernundSchulerinnendesBundesgym-nasiumsBabenbergerringWr. NeustadtunterderLeitungvon GunterSchodl er-stellt. Dadurchwird ein ersterSchritt der Popularisierungder MathematikfurJugendlichegesetzt,da diesedurchdie freiwillige Gestaltungder WebseiteninverschiedeneBereichederMathematikeindringen.Am 28. Februar2003 wurde dasHausder Mathematik– teilweisegesponsertdurchdenStadtschulratvon Wien,von StadtschulratsprasidentinSusanneBrand-steidlundHerrnLandesschulinspektorWolfgangWurm – feierlich, in Anwesen-heit der Bezirksvorsteherindes4. Bezirks(Wieden)SusanneReichard,eroffnet.UnterdenEhrengastenbefandensichBezirksschulinspektorenundVertreterdesStadtschulratsfur Wien, Universitatsprofessoren,Direktorenausverschiedenen

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SchulenderUmgebung,Professorenvon PadagogischenAkademien,Studenten,Schuler, Privatpersonen,MedienvertreterundSponsoren.

Stadtschulrats-PrasidentinSusanneBrandsteidl,GerhardLindbichler, MariaKoth, LandesschulinspektorWolfgangWurm, VertreterindesStadtschulra-tes,BSI NorbertZirbs,ManfredKronfellner(von links nachrechts)

DemHausderMathematikstehenderzeit4 Raumlichkeitenmit 250m2 Gesamt-flachefur einepermanentePrasentationzurVerfugung:

1. Raum: ”Vietoris und die OsterreichischeMathematik“

Bei derderzeitigenPrasentationwerdenalsSchwerpunkt83personlicheundwis-senschaftlicheExponatedesweltberuhmtenosterreichischenMathematikersLeo-poldVietoris(u.a.SchleppenachVietoris,EntwurfezurAlgebraischenTopologie[7], Berechnungenzur Schifestigkeit) gezeigt. Alle Exponatewurdenvon FrauMagdalenaVietoris freundlicherweisedemHausderMathematikzur Verfugunggestellt.Auf einem6m f 3mgroßemTuch(gestaltetvon derKunstlerinElisabethMantler)werdenweitereberuhmteosterreichischeMathematiker des20.und21.Jahrhundertsangefuhrt;dieListestellt keinenAnspruchaufVollkommenheitundkannstetserweitertwerden:

Artin, Blaschke, Escherich,Godel, Grobner, Gross,Gruber, Hahn,Helly, Hlawka, Hofreiter, Menger, Mertens, Niederreiter, Radon,Schmetterer, Schmidt, Schreier, Sigmund, Stolz, Tietze, Vietoris,Wirtinger, Wittgenstein,Zindler.

Ein GroßteilderobenzitiertenMathematiker wird bereits,meistsehrausfuhrlich,auf der Homepage(sieheMuseum) mit Lebenslauf,mathematischenLeistungenundweiterfuhrenderLiteraturdargestellt.

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Im”FotoalbumderosterreichischenMathematik“ , eineTafelmit 3m f 1,6m, wer-

denteilweisekaumveroffentlichteFotosgezeigt.Beispieledafur sind:

LeopoldVietorismit 70Jahren LeopoldSchmetterermit 30 Jahren

2. Raum: ”Erlebniswelt“

In diesemRaum(ca.80 m2 groß)ist esvor allemKindernundJugendlichenimAlter von 9 bis 18 Jahrenmoglich, uberpersonlicheexperimentelleEntdeckun-gen einenZugangzu mathematischenFragestellungenund ihrer Beantwortungzu finden. UnterdemMotto

”Nicht Beruhrenverboten“ gibt eseineMathematik

zum Anfassen.Erkenntnissein der Erlebnisweltkonnenso zu einembesserenVerstandniseinigerGrundzugeder Mathematikfuhren. 20 Spiel- undKnobelti-sche[2, 3], Funktionsdarstellungen[5] sowie 4 (demnachst6) Computer(mathe-matischeAnimationenund Computerspiele)erwartenJugendlichewie Erwach-sene.Ein Hohepunktder Prasentationfur Kinder zwischen9 und 12 Jahrenistdie monatlicheVorfuhrungdes

”Hopplarators“ , einem

”lebenden“ Taschenrech-

ner, angebotenvon Gecko-Art.

3. Raum: ”Bildungszentrum, Wissenschaftszentrum,Umgebung“

ErganzendzumtraditionellenmathematischenSchulunterrichtundauchfur Stu-dentenfur dasLehramtMathematikanUniversitatenundPadagogischenAkade-mienwerdenlaufendfacherubergreifendeProjekteunterBetreuungentsprechen-derFachleuteausgearbeitet.DiesesBemuhenwird nebenderim HausderMathe-matik vorhandenenentsprechendenFachliteraturmittels mathematischerVideo-filme, SoftwareundInternetangebotenunterstutzt. Ebensosoll esin diesemBe-reichfur UnterrichtendederMathematikmoglichsein,in organisiertenVortragen

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undGesprachsrundenErfahrungenauszutauschen.Als ein Schwerpunktdermo-mentanenPrasentationwird die Benachteiligungvon MadchenundFrauenbeimUnterrichtund beim Studiumder Mathematikam Anfangdes20. Jahrhundertsaufgezeigt.EinethematischandereAusstellungzeigtdenEinflussderPolitik aufdieMathematikzurZeit derNationalsozialisten.Aus demBereich

”Wissenschaftszentrum“ werdenpramiertemathematischeVi-

deofilmeaus”SpektrumVideothek“ oder

”Gesprachemit Mathematikern“ (OMG-

TGV nacheinerIdeevonGerhardLindbichlerundKarl Sigmundmit Georg Pflugund LeopoldSchmetterer, PeterGruberund EdmundHlawka, PeterGruberundWolfgang Schmidt,GerhardLarcherund Harald Niederreiter)je nachWunschvorgefuhrt. InteressiertenPersonenwird sodieMoglichkeit gegeben,raschin dieProblematikunbekanntermathematischerStruktureneindringenzu konnen.

DadasHausderMathematikauchvon PersonenallerBundeslanderbesuchtwer-denkann (ersteAnfragenliegen bereitsvor) sollendurchHinweiseauf die In-frastrukturdesHausesder Mathematik(

”Umgebung“ ) Besucherder StadtWien

auf besonderserinnerungswurdigehistorischeBautenu. a. ausdernaherenUm-gebungdesmomentanenStandortsaufmerksamgemachtwerden.HinweisedazufindetmanauchaufderHomepage(UmgebungBezirk). In diesemBereichgibt esaucheinen

”mathematischenFlohmarkt“ unddiefur dasHausderMathematikab-

gefullten WeinedesPythagorasundArchimedeskonnenverkostetunderworbenwerden.

4. Raum: ”Museum“

Im BereichGeschichteder Mathematikwird eine mogliche Bauweiseder Py-ramidenvon Gisehexperimentellerarbeitetundanschließendist daszugehorigeModell ausPlexiglaszusehen[6]; danebenist einOlgemalde(

”Sandtechnik“ ) der

jungenosterreichischenMalerinMarinaVarelijamit MotivenausderagyptischenMathematikausgestellt.Als Beispielefur alteMathematikbucherausdemBesitzdesHausesderMathe-matik werdengezeigt[1]:

B.F. Belidor (1759) ChristianWolff (1772)

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Die Prasentationalter Rechenmaschinenwird unterteilt in”Staffelwalzen-und

Sprossenradmaschinen“ (beideSpeziessind zuvor schonvon G. W. Leibniz an-gedachtworden).Besonderswertvolle Exponatedafur sindeineCurta (erfundenvondemOsterreicherCurtHerzstark)undeineOriginal OdhnerausStPetersburgvon 1902(erfundenvon demSchwedenWillgodt TheophilOdhner)[1].

Original Odhner, St.Petersburg (1902)

GroßenAnklangfindenimmerwiederRechenmaschinenderArt”Spielzeugefur

denSchreibtisch“ mit demSlogan”Fitsthedesk“ . NebenvielenweiterenMaschi-

nenwird die EntwicklungderamerikanischenSerie”Monroe“ von dermechani-

schenzur elektrischenRechenmaschinedokumentiert[1]. EineGroßrechenanla-ge von 1978(

”Kienzle“ ) mit hohenMagnetbandturmenfindet ebenfalls großen

Anklang. Aus der EntwicklungdesRechenschiebersund Taschenrechners(Ta-felrechenschieber)werdenvieleExponategezeigt.DenAbschlussdesMuseums-raumsbildetder

”Hopplarator“ vonGecko-Art, ein

”lebenderTaschenrechner“ bei

demvonKindern(9–12Jahre)neueSymbolefur Ziffernin einemSchattentheatererfundenwerdenkonnen. AnschließendwerdendieseneuenZiffern in ein vonKinderngebildetenRechenwerk

”eingespeist“ , umdannRechnungenmit Gegen-

kontrollenauszufuhren.

Forderungspreis

DasHausderMathematikvergibt jahrlicheinenForderungspreisanSchulklassenfur ein sinnvolles mathematischesProjekt,dasmithilft, die Qualitat desHausesder Mathematikzusatzlichzu steigern.EntsprechendeProjektekonnenfur 2003bis 30.Junidirekt im HausderMathematikeingereichtwerden.

Abschließendwollen wir besonderenDank fur die inhaltlicheBeratungbei derGestaltungderWebseite

”OsterreichischeMathematiker“ aussprechenan:Christa

Binder, Oswald Grobner, PeterGruber, ManfredKronfellner, GerhardLarcher,HeinrichReitbergerundLeopoldSchmetterer.

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Literatur

1. Autorenkollektiv: Arithmeum– Rechneneinstundheute,Universitat Bonn,1999.2. J.Botermans,P. vanDelft: DenkspielederWelt, HugendubelMunchen,1987.3. A. Beutelsbacher:mathematikzumanfassen1, 2, FordervereinMathematikmuseum,

Gießen,1998/1999.4. W. DePauli, P. Weibel: Kurt Godel– Ein mathematischerMythos,hpt, Wien, 1997,

7–9.5. M. Kronfellner: HistorischeAspekteim Mathematikunterricht,SchriftenreiheDidak-

tik derMathematik,hpt,Wien,1998,71–74.6. G. Lindbichler: KonkreteUnterrichtsarbeitmit Pyramiden,Didaktik derMathematik,

23.Jahrgang,Heft 3, Aulis VerlagDeubner, Koln, 243–248.7. H. Reitberger:LeopoldVietoriszumGedenken(4.6.1891–9.4.2002),IMN, Nr. 191,

Wien,2002,1–16.

Alle Fotosfur dasHausderMathematik:DanieleLindbichler

Hausder Mathematik http://www.hausdermathematik.atWaltergasse16,2. Stock,links office@hausdermathematik.at1040Wien Tel: 069919 88 61 36

Offnungszeiten:Mi 9–13,Fr 9–13,Sa10–12nachVoranmeldung,SchulklassennurnachVoranmeldung.

INDIAN A UNIVERSITY MATHEMA TICS JOURNAL(FormerlytheJournalof MathematicsandMechanics)

EditedbyP. Sternberg, E. Bedford,H. Bercovici, R. Glassey, M. Larsen,

K. Zumbrun.

Thesubscriptionprice is $ 175.00for subscribers in theU.S.andCanada,and$ 185.00for all others. Private individualspersonallyengagedin research of teaching are accordeda re-ducedrateof $ 80.00per volume. TheJOURNAL appears inquarterly issuesmakingoneannualvolumeof approximately1200pages.

Indiana University, Bloomington, Indiana U.S.A

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Internat.Math.NachrichtenNr. 192(2003),22–39

Kettenbruche�

Yu. Nesterenko, E. Nikishin

Manchmalerfullt einerfolgversprechendesundwichtigesForschungsgebietdieinesgesetztenErwartungennicht; immerwenigerWissenschaftlerbeschaftigensichdamit,undesverliert immermehranBedeutung.EinesdieserGebieteim BereichderMathematikist dieTheoriederKettenbruche.Bis zumEndedes19.Jahrhun-dertstauchtenKettenbruchein verschiedenenFormenin vielen mathematischenArbeitenauf. Viele wichtige SatzeuberKettenbruchewurdenim 19. Jahrhun-dert (undauchschonein wenigdavor) bewiesen.Esbestanddie Hoffnung,dassdasvollstandigeVerstandnisderStrukturvon KettenbruchenzuneuenResultatenin derZahlentheorieundderAnalysisfuhrenkonnte.DieseErwartungenwurdenabernurteilweiseerfullt. SpaterbedingtendieEntwicklungvonneuenunddurch-schlagkraftigenMethoden(besondersin derZahlentheorie),dassdasStudiumderKettenbruchefastvollstandigverschwand.

Wie aberauchder Nordpol immer wieder Besucheranlockt, fuhrtenProblemeuberKettenbruche,die meisteinfachzu formulierenwarenund leicht losbarer-schienen,Mathematiker immerwiederdazu,dieNaturdiesereigenartigenObjek-te weiter zu untersuchen.Viele wichtigenProblemeder modernenMathematikundPhysikfuhrenzu Objekten,diesehrahnlichzu Kettenbruchensind.Aus die-semGrunderweisensichMethoden,diefur Kettenbrucheentwickelt wordensind,fur andereProblemealsnutzlich. In diesemArtikel behandelnwir einigeProble-me,die mit derZahlentheorieim Zusammenhangstehen,alsojenemGebiet,woauchderUrsprungderKettenbruchezu suchenist.

1 Kalender, Zahnrader und ein wenigGeschichte

Wie viele Tagehat ein Jahr? Jederweiß, dassein gewohnlichesJahr365 Tagehat und ein Schaltjahr366. Schaltjahresind jene,die durch4 teilbar sind, z.B.1904,1908��������� 1980� 1984��������� 1996.Die Jahre1800,1900,2100und2200sind�

Von M. Drmota ins DeutscheubersetzterNachdruckdes Artikels ContinuedFractions,Quantum,Jan./Feb. 2000,pp.22–27,51–52mit freundlicherGenehmigungdesSpringer-VerlagsunddesAutorsYuri Nesterenko. c

gSpringer-Verlag.

ISSN0020-7926 c�

2003Osterr. Math.Gesellschaft

allerdingskeineSchaltjahre,wahrendesdieJahre2000und2400sehrwohl sind.Warumist diesso?Die Erklarungin relativ einfach.Die ErderotiertgleichmaßigumihreAchse,jedeUmdrehungentsprichteinemTag. Die Erdebenotigt 365� 24219878����� Tage,umgenaueineUmdrehungumdieSonnezumachen.DiesePeriodewird alseinJahrbezeichnet.Die extra 0 � 24219878����� Tageerscheinenwenig. SetztmanabereinJahrmit 365Tagengleich,akkumuliertsichderFehlerrasch.In derAntike, alsdiegenaueLangeeinesJahresnurungefahrbekanntwar, konntederakkumulierteFehlerrechtgroßwerden.BeispielsweisebetrugderFehlerim Jahr90 v.Chr. imaltenRombereits90Tage.Um ein Gesetzfur denWechselzwischengewohnlichenJahrenundSchaltjahrenzu finden, mussenwir die Langeq einesZyklus (nachdemsich die Folge vongewohnlichenJahrenundSchaltjahrenwiederholt)unddie Anzahl p von Schalt-jahreninnerhalbeinessolchenZykluswahlen.SchreibtmandasJahrals365� α,wobeiα � 24219878����� betragt,dannmussmanalso p undq finden,sodassdieGroße

β � qα � p

so klein wie moglich ist, wobei p und q nicht zu großseinsollen. Genauer:isteinmal q vorgegebenworden,so mussp die zu qα nachstgelegeneganzeZahlsein. Weitersverstreichenin 365q � p Tagen(etwa) q Jahre.Aus derGleichung365q � p � q � 365 � α � � β folgt namlich,dassdieErdein 365q � p Tagen

q � β365 � α

� q

Umdrehungenum die Sonnemacht.Ein Fehlervon einemTagakkumuliertsicherstin 1� β solcherZyklen oderin q� β Jahren.Derzeitverwendenwir denGre-gorianischenKalendermit q � 400. Von 400 Jahrensind 303 gewohnlich, und97 sind Schaltjahre.Schaltjahresind genaujene,die durch4 teilbar sind, aus-genommendie, die durch400 teilbar sind. Damit ist dasdurchschnittlicheJahrim GregorianischenKalender365.24200Tagelang. DieseNaherungist hinrei-chendgut: erstin ca.3300JahrenaddierensichdieFehlerzu einemTagauf. Mitq � 128und p � 31hattemaneinenochbessereApproximationerzielenkonnen.Ein 128-Jahr-Zykluswareaberwenigerpraktisch.

Wir begegnenhier einemwichtigenmathematischenProblem:Gegebensei eineZahl α. Man findedazugenugendekleineganzeZahlenp undq, sodassdieZahl

β � qα � p

moglich klein ist.

Ein ahnlichesProblemtritt etwa bei der Dimensionierungvon Zahlradern inSchaltgetriebenauf. Um die Drehbewegung von einemZahlradauf ein ande-reszu ubertragen,schneidetmanin dasersteRadq und in daszweite p, sodass

23

dasVerhaltnisq� p sonahwie moglich zu einervorgegebenenZahl ω ist, (wobeiω dasgewunschteVerhaltnis der Winkelgeschwindigkeiten bezeichnet).Klarer-weisesolltenhier p undq nicht zu großsein.Es gibt nochviele weitereBeispiele,die zur Frageder BestapproximationeinerreellenZahldurcheinerationalefuhren.Darunterfallendie Intervalle in derTon-leiter, Anwendungenin dernumerischenMathematikundtheoretischeProblemederHimmelsmechanik.Kettenbrucheliefern abergeradeein Verfahrenin einemgewissenSinndie bes-te rationaleApproximationzu finden. Sie wurdendaherfur Berechnungenseitlangemangewandt. Bereitsim Jahre1572verwendetesie der italienischeMa-thematiker und IngenieurR. Bombelli (1526?–1572)zur Berechnungvon h 13.Spaterverwendetesie der EnglanderW. Brouncker (1620–1684),um denWertvon π zu verbessern. Der prominentePhyisiker, Astronomund MathematikerC. Huygens(der Erfinderder Pendeluhr)prazisierteals erster, in welchemSinnKettenbrucheBestapproximierendesind.DergroßeEuler(1707–1783)beweisei-nigeSatzeuberKettenbrucheundfanddenKettenbruchfur die Zahl e (die BasisdesnaturlichenLogarithmus).NachEulerliefertenzahlreicheMathematiker Bei-tragezurTheoriederKettenbruche,sodassesschwierigist, alleaufzuzahlen.DieArbeitendesbekanntenrussischenMathematikersP. L. Tschebyscheff initiiertendie EntwicklungeinerTheorie,die sichmit Funktionenbeschaftigt, die mit Hilfevon Kettenbruchendefiniertwerden.

2 Euklidischer Algorithmus und Kettenbruchent-wicklungen

Es seienp und q naturliche Zahlen. Fuhrt mansukzessivesDividierenmit Restdurch,soerhalt man:

p � a0q � q1 � 0 � q1 � q �q � a1q1 � q2 � 0 � q2 � q1 �

q1 � a2q2 � q3 � 0 � q3 � q2 �...

qk 2 � ak 1qk 1 � qk � 0 � qk � qk 1 �qk 1 � akqk �

Da die Folgeq1 � q2 ��������� qk einestrengmonotonfallendeFolgenaturlicherZahlenist, musseinedavon einmal0 sein(in der obigenNotationwarediesqk : 1) unddaherbrichtdieDivisionskettenachendlichvielenSchrittenab. DiesesVerfahrenwird EuklidischerAlgorithmusgenannt.Eskanngezeigtwerden,dassdieZahlqk(derletztevon0 verschiedeneRest)dergroßtegemeinsameTeilervon p undq ist.

24

Wir werdendieseEigenschaftin diesemArtikel nichtverwendenundbeweisensiedaherauchnicht.Jedenfalls ergibt dieobigeRelation

pq

� a0 � q1

q� a0 � 1

a1 � q2

q1

� � � � a0 � 1

a1 � 1

a2 � . . . � 1ak

�Das folgendeVerfahrenliefert dasselbeResultat. Sei α eine reelle Zahl undschreibe

α � a0 � 1α1�

wobeia0 eineganzeZahl ist undα1 � 1. Ist α1 keineganzeZahl, setztmandasVerfahrenfort undstelltα1 durchα1 � a1 � 1� α2 dar, wobeia1 wiedereineganzeZahl ist undα2 � 1. Insgesamterhalt manalso

α � a0 � 1

a1 � 1α2

�Ist α2 (wieder)keineganzeZahl,setztmanweiterfort etc.Nachk Schrittenergibtdies

α � a0 � 1

a1 � 1

a2 � . . . � 1αk

� (1)

AnstellederetwasunpraktischenNotation(1) werdenwir im Folgendendiekom-pakteNotation

α � ; a0;a1 � a2 ��������� ak 1 � αk = (2)

mit αk � 1 verwenden.Es ist leicht zu beweisen,dassim Fall einerrationalenZahl α � p� q αk fur eingewissesk einenaturliche Zahl ist. Es ist auchklar, dassα rationalseinmuss,wennαk fur ein gewissesk einenaturlicheZahl ist. Ist hingegenα irrational,sobrichtdiesesVerfahrennieabundmanerhalt einenunendlichenKettenbruch

α � ; a0;a1 � a2 ��������� ak 1 � ak ������� = � (3)

DasGleichheitszeichenist hier nochprovisorisch,danochnicht klar ist, wasderAusdruckauf der rechtenSeiteeigentlichbedeutet.Um ihm eineBedeutungzugeben,betrachtetmandieendlichenKettenbruche

πk � ; a0;a1 � a2 �������i� ak 1 � ak = �25

die alsNaherungsbruche der (unendlichen)Kettenbruchentwickung(3) bezeich-netwerden.Die rechteSeitevon (3) wird nunalsderGrenzwertder Naherungs-bruche:

limk j ∞

πk

definiert.Die folgendeSerie von Problemenfasstdie elementareTheorie von Ketten-bruchenzusammen,insbesonderewird die Gleichung(3) erklart. (Man benotigtzumNachweiskeineAnalysiskenntnisse.Ein BeweiskannmittelsvollstandigerInduktiongegebenwerden.)

3 GrundlegendeEigenschaftenvon Kettenbruchen

Problem 1. Esseienπk � pkqk

die NaherungsbruchedesKettenbruchs(3). Manbeweisedie folgendeRekursion:

p0 � a0 � p1 � a0a1 � 1 �k����� pk : 1 � ak : 1pk � pk 1 �k�������q0 � 1 � q1 � a1 �k����� qk : 1 � ak : 1qk � qk 1 �l�����

fur k � 1 � 2 � 3 �������Hinweis: Man verwendedievollstandigeInduktion.

Problem2. Manbeweisedie folgendenBeziehungen:

(i) qnpn 1 � pnqn 1 � ��� 1� n, n ! 1.

(ii) qkpk 2 � pkqk 2 � ��� 1� k 1ak, k ! 2.

(iii) πn 1 � πn � ��� 1� nqnqn 1

, n ! 1.

(iv) πk 2 � πk � ��� 1� k 1ak

qkqk 2, k ! 2.

Hinweis: Man verwendeProblem1 und die vollstandigeInduktion, um (i) und(ii) zu beweisen,und(i) und(ii), um(iii) und(iv) abzuleiten.

Problem 3. Man beweise,dassdie Naherungsbrucheπ0 � π2 � π4 ������� strengmono-tonwachsendsind:

π0 � π2 � π4 � π6 � � � unddassdieNaherungsbrucheπ1 � π3 � π5 ������� strengmonotonfallendsind:

π1 � π3 � π5 � π7 � � � �26

Hinweis: Man verwende(iii) und(iv) von oben.

Problem4. Seiαk durch(2) definiert.Man zeigedieBeziehung

α � pk 1αk � pk 2

qk 1αk � qk 2� k ! 2 �

Hinweis: Man verwendedievollstandigeInduktion.

Problem5. ManbeweisedieUngleichung

12qn: 1

�m� qnα � pn �") 1qn: 1

�Hinweis: Man verwendeProblem4 mit k � n und1.

Problem6. Manbeweiselimk j ∞

πk � α �Hinweis: Esgenugt zu zeigen,dassqn gegenUnendlichgeht. Dannist die Aus-sagevon Problem5 aquivalentzurExistenzdesgesuchtenGrenzwertes.

Wir konnenalsoausdenEigenschaften1.–6. ablesen,dassdieNaherungsbrucheπn rechtguteNaherungenvon α sind. Esfolgt, etwa ausdemProblem5 undderUngleichungqn: 1 � qn, dassfur irrationaleZahlenα dieUngleichungnnnn α � pn

qn

nnnn � 1q2

n

fur alleNaherungsbrucheπn � pn � qn gilt.

4 NumerischeBeispiele

Es kanngezeigtwerden,dassesfur jedeFolge ganzerZahlera0 � a1 � a2 ����� (mita0 ! 0 unda j ! 1 fur j ! 1) eineeindeutiggegebeneZahl α mit

α � ; a0;a1 � a2 ������� =gibt. Wenndie Folgea0 � a1 � a2 ����� bekanntist, dannkonnendieNaherungsbrucheπk � pk � qk leichtmit derRelationausdemProblem1 berechnetundeineTabellederfolgendenForm gefullt werden:

27

a a0 a1 a2 � � ak 1 ak ak : 1

� � p 1 a0 p1 p2

� � pk 1 pk � � � �

q 0 1 q1 q2 � � qk 1 qk

� � � � Beispiel 1. Man bestimmedie Kettenbruchentwicklungvon h 2. Man hatzunachst

a0 � 1 �α1 � 1h 2 � 1

� h 2 � 1 � a1 � 2 �α2 � 1h 2 � 1

� h 2 � 1 � a2 � 2 �Esist klar, dassalle α j � h 2 � 1 unddamitallea j � 2 (fur j ! 1). Damit gilth 2 � ; 1;2 � 2 � 2 ������� = �Mit Hilfe derfolgendenTabellebestimmtmannundieNaherungsbruchevon h 2:

a 1 2 2 2 2 2 2 � � p 1 1 3 7 17 41 99 � � q 0 1 2 5 12 29 70 169 � �

Diesesind durch 1� 1, 3� 2, 7� 5, 17� 12, 41� 29, 99� 70������� gegeben. Aus demProblem5 folgt auch nnnn h 2 � 99

70

nnnn � 170 169

� 10 4 �Damit approximiertder Bruch 99� 70 die Zahl h 2 mit einemFehlerkleiner als0 � 0001.

Beispiel2. Man betrachtedenperiodischenKettenbruch; 2;1 � 1 � 1 � 4 � 1 � 1 � 1 � 4 � 1 � 1 � 1 � 4 ������� = �Dieserwird in Kurzschreibweiseauchdurch ; 2;1 � 1 � 1 � 4= notiert. Die Zahl, diediesemKettenbruchentspricht,kannnun in der folgendenWeisegefundenwer-den.Wir bezeichnensiemit α. Fur diesegilt danndieGleichung

α � 2 � 1

1 � 1

1 � 11 � 1� � 2 � α �

28

(manuberlegewarum)odernacheinfachenUmformungen

α � 21 � 8α8 � 3α

�Darausfolgt α2 � 7 undwegenα � 2 schließlichα � h 7.Esist leicht zu sehen,dassmanmit dieserMethodedenWert jedesperiodischenKettenbruchsbestimmenkann.

5 Bestapproximation und Kettenbruche

EineBestapproximationeinerZahl α ist einerationaleZahl p� q � q � 0� mit� qo α � pop�#�q� qα � p �fur alleqo � q undalle po . Fur diesegilt derfolgendeSatz.

Satz. JedeBestapproximationvonα ist ein Naherungsbruch πk � pk � qk (k � 1)vonα. Umgekehrt ist jederNaherungsbruch πk � pk � qk (fur k � 1) eineBestap-proximationvonα.

DerBeweisdiesesSatzesist nicht schwierigundwird demLeseruberlassen.1

6 AquivalenteZahlen

Zwei Zahlenα undβ heißenaquivalent,falls

α � aβ � bcγ � d

fur ganzeZahlena � b � c � d mit ad � bc �mr 1.Wir bezeichnennunmit σ undσk (fur eineganzeZahl k) dieOperationen

σα � 1α

und σkα � k � α �Klarerweiseerhalt man durch Anwendenvon σ und σk auf α eine aquivalenteZahl. WeitersergebenauchdiezusammengesetztenOperationen

σσkα � 1α � k

und σkσα � k � 1α� kα � 1

α

zu α aquivalenteZahlen.1Bei Nichtgelingenfindet maneinenBeweis in S. LangsBuch Introductionto Diophantine

Approximation, Addison-Wesley, Reading,Mass.,1966.

29

Problem 7. Man beweise: sind α und β aquivalent,danngibt esganzeZahlenk1 s k2 s�t�t�t�s k j mit

β u σk1σσk2σ v�v�v σσk j α tProblem 8. Angenommen,die Zahlenα undβ habenbis auf endlicheAnfangs-abschnittedieselbeKettenbruchentwicklung,also

α u w r0; r1 s r2 s�t�t�t�s rk s d1 s d2 s�t�t�t xys (4)β u w h0;h1 s h2 s�t�t�t�s hs s d1 s d2 s�t�t�t xyt

Dannsindα undβ aquivalent.

Problem 9. Man beweise,dassaquivalenteZahlenα undβ Kettenbruchentwick-lungenderForm (4) haben.

7 QuadratischeIrrationalzahlen

Irrationalzahlen,die Wurzeln von quadratischenGleichungenmit ganzzahligenKoeffizientenheißenquadratischeIrr ationalzahlen. Sielassensichdurchz P {U| D

Q

darstellen,wobei Ps Q und D ganzeZahlensind und D keineQuadratzahl.Bei-spielsweisegehorendie Zahlen | 2, | 7, 1 { | 2 und } 5 ~ | 7 ��� 2 zu dieserKate-gorie.1770bewiesLagrangedenfolgendenSatz.

Satz. Genaudie quadratischenIrr ationalzahlenhabenperiodischeKettenbruch-entwicklungen.

Wie im Fall periodischerDezimalzahlen(rationalerZahlen)kanndiePeriodeerstaneinergewissenStellederEntwicklungbeginnen.Die Tatsache,dassder Wert einerperiodischenKettenbruchentwicklungimmereinequadratischenIrrationalzahlist, beweistmanin derselbenWeisewie im Bei-spiel2. DerBeweisderumgekehrtenRichtungist viel schwieriger.Wir werdendasnur fur einenwichtigenSpezialfall beweisen: fur reduzierteIr-rationalzahlen.EinequadratischeIrrationalzahlα heißtreduziert, falls α � 1 istunddiezweiteWurzelα � derquadratischenGleichungfur α (diesogenannteKon-jugiertevon α) dieUngleichung ~ 1 � α � � 0

erfullt.

30

Problem 10. Man beweise:ist α einereduzierequadratischeIrrationalzahl,dannist

α u P { | DQ

(5)

mit0 � P � | D t (6)

Weitersist P2 ~ D durchQ teilbar.

Problem11. Ist α einereduzierequadratischeIrrationalzahlund

α u a0 { 1α1

mit a0 u�wα x , dannist α1 aucheinereduzierequadratischeIrrationalzahl.

AusderProblemstellung11 folgt, dassalleZahlenαn, diedurchdieGleichungen

αn u an { 1αn� 1

s an uPw αn xbestimmtsind, wieder reduziertsind.2 Weiterskonnenalle dieseZahlendurcheinenAusdruckderForm(5) mit einunddemselbenD dargestelltwerden.Wegen(6) kann dieseFolge nur endlich viele verschiedeneWerte annehmen,d.h. furgewisseZahlenn undm gilt

αn u αm tDementsprechendist dannαn� 1 u αm� 1, αn� 2 u αm� 2 usw. Damit ist die Folgeαn periodischundderSatzdamitfur reduzierteIrrationalzahlenbewiesen.Fur einebeliebigequadratischeIrrationalzahlα mussdieFolgeαn einereduzierteZahl enthalten.Darausfolgt der Satzim allgemeinenohneSchwierigkeit. UmdieseEigenschaftzu beweisen,verwendetmandie DarstellungausProblem4,um αn explizit darzustellen.UnterderVerwendungderTatsache,dassπk gegenα konvergiert (Problem5), sollte esdeminteressiertenLesernun gelingen,denBeweiszu vervollstandigen.

Es zeigt sich auch,dassdie Periodein der Kettenbruchentwicklungvon redu-ziertenquadratischenIrrationalzahlengleichamBeginnderEntwicklungbeginnt.SocheKettenbrucheheißenauchrein periodisch. Die Umkehrungist auchrich-tig. DieseEigenschaftwurdeerstmalsvom franzosischenMathematiker EvaristeGaloisim Jahr1828bewiesen(alser nochSchuler war).

2Hier bezeichnet� x� denGanzteilvon x, d.h.diegroßteganzeZahl,dienicht großeralsx ist.

31

8 Perioden von KettenbruchenquadratischerIrrationalzahlen

Die Periodizitat ist nichtnur alsEigenschaftansichinteressant,sieist auchnutz-lich, gewisseGleichungenzu losen.Betrachtenwir einigedavon.Sei

α u | 7 { 23 t

Es ist leicht, zu zeigen,dassα reduziertist. EinekurzeRechnungdemonstriert,dassα die folgendeKettenbruchentwicklungmit Periode4 hat:

α u�w 1;1 s 1 s 4x�tDie Konjugiertevon α ist

α � u ~ | 7 { 23 t

Entwickelt mandieZahl ~ 1α � u 3| 7 ~ 2

u | 7 { 2

in einenKettenbruch,soerhalt man

~ 1α � uPw 4;1 s 1 s 1xyt

Die Periodeist auf denKopf gestellt.Ist daseinZufall?

Problem 12. Hat einequadratischeIrrationalzahlα einerein periodischeKetten-bruchentwicklung

α u�w a0;a1 s�t�t�t�s an xysdannhat die Zahl ~ 1� α � , wobei α � die Konjugiertevon α bezeichnet,die reinperiodischeKettenbruchentwicklung~ 1� α � uPw an;an � 1 s�t�t�t�s a0 xysd.h.diePeriodensindgleich,aberin umgekehrterReihenfolge.

Ist nunD einepositive ganzeZahl,aberkeineQuadratzahl,unda0 uPw | D x , dannist α u a0 { | D einereduzierteZahl (α � u a0 ~ | D und ~ 1 � a0 ~ | D � 0).Damit erhalt man | D { a0 uPw 2a0;a1 s�t�t�t�s an xund | D u9w a0;a1 s�t�t�t�s an s 2a0 xyt (7)

32

Verwendetmannundie Aussagevon Problem12, erhalt manleicht die folgendeTatsache.

Problem13. SeiD � 0 keineQuadratzahl.DannhatdieKettenbruchentwicklungvon | D dieForm (7), wobeiderTeil a1 s a2 s�t�t�t�s an derPeriodesymmetrischist.

9 Die PellscheGleichung

Im dritten Jahrhundertvor Christusformulierte der großegriechischeWissen-schaftlerArchimedesseinberuhmtesRinderproblem. Wir werdeneshier nichtvollstandig beschreiben(es wurde mehr als eine Seiteeinnehmen).Es sei nurerwahnt,dasszu seinerFormulierung10 Variableeingefuhrt werdenmussen,die7 lineareundzweiquadratischeGleichungenerfullen. NachentsprechendenUm-formungenundVariableneliminationverbleibtdieGleichung

x2 ~ 4729494y2 u 1 s (8)

fur die ganzzahligeLosungengesuchtwerden.ArchimedesundseineZeitgenos-senkonntendieseGleichungnicht losen.Im allgemeinenheißteineGleichungderForm

x2 ~ Dy2 u 1 s (9)

wobeiD einepositiveganzeZahlbezeichnet,diekeinQuadratist,3 PellscheGlei-chung. Sie ist eineDiophantische Gleichung, alsoeinealgebraischeGleichungmit ganzzahligenKoeffizienten,von derganzzahligeLosungengesuchtwerden.Wie kannmaneinePellscheGleichunglosen?Die ersteIdeeist direktesSuchen:wir ersetzensukzessive dieZahlenx u 1 s 2 s 3 s�t�t�t in dieFormel

y uP� } x2 ~ 1��� D sbis derAusdruckunterderWurzel eineQuadratzahlwird. DasnachsteBeispielzeigt jedoch,dassdieserAnsatzim allgemeinennicht praktikabelist. Die Glei-chung

x2 ~ 991y2 u 1

hatzwar ganzzahligeLosungen} x0 s y0 � , aberunterdiesenist daskleinste

x0 u 379516400906811930638014896080tSelbstmit demschnellstenComputerkannmandieseLosungnicht mit einerein-fachenSuchefinden.

3Ist D � m2 fur eineganzeZahlm, dannhatdieGleichung(9) keineganzzahligenLosungen.

33

Kettenbruchestellenhingegenein geeignetesInstrumenariumdar, PellscheGlei-chungenzu losen.Wir beschreibenhier denAlgorithmus,derBeweiswird abernicht gegeben.ZunachsthatdieGleichung(9) fur jedepositive ganzeZahlD, diekeineQuadrat-zahlist, unendlichevieleganzzahligeLosungen.Man kannallemit derFormel

x { y| D u�} x0 { y0 | D � k s k u 1 s 2 s�t�t�tfinden,wobei } x0 s y0 � jeneLosungmit kleinstemy ist. Um diesekleinsteLosungzu finden,entwickelt man | D in einenKettenbruch.Ist| D uPw a0;a1 s�t�t�tis an s 2a0 xund pn � qn dern-teNaherungsbruchvon | D, danngilt

p2n ~ Dq2

n uP}�~ 1� n � 1 t (10)

Ist n ungerade(d.h.diePeriodenlangeist gerade),dannist

pn u x0 s q0 u y0

die kleinsteLosungderPellschenGleichung.Ist hingegendie Periodenlangeun-gerade(alson gerade),dannfindetmandiekleinsteLosungausderFormel

x0 { y0 | D u�} pn { qn | D � 2 tBeispiel3. Man betrachtedieGleichung

x2 ~ 7y2 u 1 tAus derEntwicklung | 7 u9w 2 s 1 s 1 s 1 s 4x findetman

p3

q3u 2 { 1

1 { 11 { 1� 1 u 8

3 tDa die Periodenlangegeradeist, ist die kleinsteLosungx0 u 8, y0 u 3 und jedeandereganzzahligeLosunggewinnt manausderFormel

x { y | D uP} 8 { 3| 7� k tFur k u 2 ergibt sichetwa x u 127undy u 48.

Beispiel4. Man betrachtedieGleichung

x2 ~ 13y2 u 1 t34

Aus derEntwicklung | 13 u�w 3 s 1 s 1 s 1 s 1 s 6x bekommtman

p4

q4u 3 { 1

1 { 1

1 { 11 { 1� 1

u 185 t

Die Periodenlangeist ungerade.Dahererhalt mandie kleinsteLosungausderFormel

x0 { y0 | 13 u�� 18 { 5| 13� 2 u 649 { 180| 13salsox0 u 649undy0 u 180.Die allgemeineLosungist nun

x { y | D uP} 649 { 180| 13� k tProblem14. Man bestimmediekleinsteLosungderGleichung

x2 ~ 61y2 u 1 tAntwort: y0 u 226t 153t 980.

Esseinocherwahnt,dassderNamedesenglischenMathematikersJ.Pell (1610–1685) durch ein VersehenEulersder Gleichung(7) zugeordnetwird. Vor PellwurdedieseGleichungschonvon seinenLandsleutenJ.Wallis undW. Brounkerundvo demfranzosischenMathematiker P. Fermatstudiert. DasRinderproblemwurdeubrigenserst1880gelost. Die kleinsteLosungvon (8) hat41 Dezimalzif-fernunddieGesamtzahlderRinderist erstaunlichgroß,namlichvonderGroßen-ordnung10206� 545.

10 Die Gleichung x2 � y2 � p

Es kannbewiesenwerden,dassdie Periodenlange der Kettenbruchentwicklungvon | p, wobei p einePrimzahlder Form 4k { 1 ist, immerungeradeist. Damitfolgt ausderAussagevon Problem13 eineKettenbruchentwicklungderGestalt| p u�w a0;a1 s�t�t�t�s am s am t�t�tis a1 s 2a0 xytEsbezeichnenunαm� 1 dieZahl mit folgenderKettenbruchentwicklung:

αm� 1 uPw am;am� 1 s�t�t�t�s a1 s 2a0 s a1 t�t�t�s am s xytDadieserKettenbruchreinperiodischist, ist αm� 1 einereduzierteZahlundwegendesProblems10 von derForm

αm� 1 u A { | p

B

35

mit ganzenZahlenA � 0 und B � 0. Wegen Problem12 hat dann ~ 1� α �m� 1dieselbeKettenbruchentwicklungwie αm� 1. WegenderEindeutigkeit derKetten-bruchentwicklungfolgt daher

αm� 1 uq~ 1α �m� 1

oderαm� 1α �m� 1 u9~ 1. Wegen

α �m� 1 u A ~ | p

B

erhalt manA2 ~ p

B2 uq~ 1

undschließlichA2 { B2 u p.DieseSchlussfolgerungenbegrundeneinenAlgorithmus,ganzzahligeLosungenderGleichung

x2 { y2 u p (11)

zu finden.Eskanngezeigtwerden,dasssoeineLosung(bis aufdie Reihenfolge)eindeutigist unddassdieGleichung(11) fur Primzahlenp derForm4k { 3 keineganzzahlige Losunghat.

Beispiel5. Man bestimmedieganzzahligeLosungederGleichung

x2 { y2 u 1009tDerKettenbruchvon | 1009ist| 1009 uPw 31;1 s 3 s 3 s 1 s 62xytDarauserhalt man

α1 u 31 { | 100948 s α2 u 17 { | 1009

48 s α3 u 28 { | 100915

unddasPaarx u 28undy u 15ist diegesuchteLosung.DieseMethode,dieGlei-chung(11)zu losen,stammtvom franzosischenMathematiker Legendre(1808).

Problem15. Man bestimmedieganzzahligeLosungderGleichung

x2 { y2 u 1129t36

11 Die Gleichung x2 � Dy2 ��� 1

WenndiePeriodenlangen { 1 derKettenbruchentwicklungvon | D ungeradeist,dannimpliziert (10),dassdieZahlen

x0 u pn s yn u qn

LosungenderdiophantischenGleichung

x2 ~ Dy2 u9~ 1 (12)

sind.Alle LosungendieserGleichungerhalt mandannausderFormel

x { y| D u9} x0 { y0 | D � 2k � 1 s k u 0 s 1 s 2 s�t�t�tBeispielsweisesinddieLosungenvon

x2 ~ 13y2 uP~ 1

durchdieFormel

x { y| 13 uP} 18 { 5| 13� 2k � 1 s k u 0 s 1 s 2 s�t�t�tgegeben.

Es kann gezeigtwerden,dassdie Gleichung (12) im Fall einer geradenPeri-odenlangederKettenbruchentwicklungvon | D keineganzzahligenLosungenhat.

12 Die PeriodenlangedesKettenbruchsvon � D

Die LaufzeitderobenbeschriebenenAlgorithmenhangtim wesentlichenvon derPeriodenlangederKettenbruchentwicklungvon | D ab. UberderenAbhangigkeitvon D ist nursehrwenigbekannt.Sieverhalt sichsehreigenartig.BeispielsweisehatdiePeriodein derEntwicklung| 986t 045 uPw 992;1 s 495s 2 s 495s 1 s 1984xdieLange6. Hingegenist diePeriodenlangederEntwicklungvon | 20t 989gleich205.

Esist bekannt,dassfur alleD diePeriodenlangenicht großerwerdenkannals

4| D logD t37

Andererseitskannbewiesenwerden,dassdieZahlenD u 52k � 1 einePeriodenlan-gehaben,dienicht kleinerals

13| D } logD � � 1

wird, d.h.diePeriodewachstsehrschnellin k. UmfangreichenumerischeBerech-nungenunterstutzendieVermutung,dassesunendlichvielequadratfreieZahlen4

D gibt, fur diediePeriodenlangederKettenbruchentwicklungvon | D großeralsD1� 2 � ε fur jedesfesteε � 0 ist.Die Tatsache,dassdie Periodeder Kettenbruchentwicklungvon | p fur Prim-zahlender Form 4k { 1 ungeradeist, wurdevon Legendre1785gezeigt.Spaterbewies der deutscheMathematiker Dirichlet einenahnlichenSatzfur D u p v q,wobei p undq Primzahlenmit gewissenEigenschaftensind. Erstvor relativ kur-zer Zeit, im Jahr1980,konnteder amerikanischeMathematiker LagariaseinenAlgorithmusangeben,der in etwa } logD � 5� ε Schrittenentscheidet,ob die Glei-chung(12)ganzzahligeLosungenhatodernicht (bzw. gleichbedeutenddamit,obdiePeriodenlangederKettenbruchentwicklungvon | D ungeradeist).

13 KettenbruchespeziellerZahlen

Wir wissenbereits,dassgenaudie quadratischenIrrationalzahleneine periodi-scheKettenbruchentwicklunghaben.Damit sindsolcheKettenbruchentwicklun-genleicht vollstandiganzugeben.Esist dementsprechendnaheliegendzu fragen,ob esnochandereKlassenvon Zahlenmit einerwohlstrukturiertenKettenbruch-entwicklunggibt. Daraufgibt esaberbishernochkeinebefriedigendeAntwort.Beispielsweiseist esnichtbekannt,obdieTeilnennera0 s a1 s a2 s�t�t�t�s ak s�t�t�t derKet-tenbruchentwicklungvon 3| 2,

3| 2 u9w a0;a1 s a2 s�t�t�t xbeschranktsindodernicht.

Man hatviele tausendder erstenZahlena0 s a1 s�t�t�t mit Computerhilfeberechnet.Die Folgebeginnt folgendermaßen:

3| 2 u w 1;3 s 1 s 5 s 1 s 1 s 4 s 1 s 1 s 8 s 1 s 14s 1 s 10s 2 s 1 s 4 s 12s 2 s 3 s 2 s 1 s 3 s 4 s 1 s 1 s 2 s14s 3 s 12s 1 s 15s 3 s 1 s 4 s 534s 1 s 1 s 5 s 1 s 1 s 121s 1 s 2 s 2 s 4 s 10s 3 s 2 s 2 s41s 1 s 1 s 1 s 3 s 7 s 2 s 2 s 9 s 4 s 1 s 3 s 7 s 6 s 1 s 1 s 2 s 9 s 2 s 3 s 3 s 1 s 1 s 69s 1 s 12s�t�t�t�x

Man erkenntdaraus,dasssich die Zahlena0 s a1 s�t�t�t wie einebeschrankteFolgeverhalten;nurgelegentlicheAusreißer(wie z.B.534oder121)storendasBild.

4Eine Zahl ist quadratfrei,wennsie durchkeineQuadratzahl� 1 teilbar ist, d.h. sie ist einProduktverschiedenerPrimzahlen.

38

Man kenntubrigensnochvon keineralgebraischenZahl,5 die keinequadratischeIrrationalzahlist, dieKettenbruchentwicklung.VonspeziellemInteressesinddieKettenbruchentwicklugenvonklassischenKon-stanten. Von denengibt es auchnur wenige,wo die Kettenbruchentwicklungbekanntist.L. EulerkonntedieKettenbruchentwicklungvon

e u�w 2 s 1 s 2 s 1 s 1 s 4 s�t�t�t x (13)

finden,wobeidieTeilnennera0 s a1 s�t�t�t durch

a0 u 2 s a1 u 1 s a2 u 2 s a3 u 1 s a4 u 1 s a5 u 4 s�t�t�t�sa3m u a3m� 2 u 1 s a3m� 1 u 2m } m u 1 s 2 s�t�t�t �

gegebensind.Zur Erinnerung:e u limn� ∞ � 1 { 1

n � n u ∞∑

k � 0

1k! u 2 t 7182818284590t�t�t

Obwohl dieDarstellung(13)nichtelementarist, ist dieAbleitungnichtschwierig.EineahnlicheinfacheEntwicklungfur π ist ubrigensnicht bekannt.

In diesemArtikel habenwir einenkleinenTeil von Problemenbesprochen,beidenensichKettenbruchealsnutzlich erwiesenhaben.SiehabenabernochvieleandereAnwendungsbereiche,etwa wennman Funktionenbetrachtet,die durchKettenbruchentwicklungendargestelltwerdenkonnen. Dies ist ein großerundkomplexer Zweig derMathematik,derbei weitemnochnicht vollstandigbehan-deltwurde.

Bemerkungenzur Zeitschrift ”Quantum“

Die Zeitschrift”Quantum“ wurdevon1990bis2001vonder“NationalScienceTeachers

Association”in Zusammenarbeitmit derSpringer-VerlagNew York herausgegeben.

DerName”Quantum“ ist dieUbersetzungdesNamensdesrussischenSchwestermagazins

”Kvant“ , das1970vomMathematiker A. N. Kolmogorov unddemPhysiker I. K. Kikoyin

gegrundetwurde.DieseZeitschriftwendetsichvor allemaninteressierteSchuler, wobeidieArtikel vonWissenschaftlernverfasstwerden.

Die OMG hatauf GrundeinerInitiative von PeterMichor die Moglichkeit, ausgewahlte(undinsDeutscheubersetzte)Artikel von

”Quantum“ nachzudrucken.Die Redaktionder

IMN mochtedamitin vermehrtemMaßSchulersowie AHS- undBHS-Lehreransprechen.In denIMN 189(April 2002,pp.21–31)ist bereitsderArtikel

”Funktionalgleichungund

Gruppen“ vonY.S.Brodsky undA.K. Slipenko erschienen.

5Die Nullstellenvon Polynomenmit ganzzahligenKoeffizientenheißenalgebraischeZahlen.

39

40

Buchbesprechungen

Allgemeines,Sammelbande— General, Collections— Generalites,

collections

P. Hilton, D. Holton, J. Pedersen: Mathematical Vistas. From a RoomwithMany Windows. With 162 Illustrations. (UndergraduateTexts in Mathematics.)Springer, New York u.a.2002,XIV+335 S. ISBN 0-387-95064-8H/b 69,95.

Im erstenKapitel, Paradoxesin Mathematics,werdeneinigesogenannteParado-xien vorgestellt,Beispiele,in denendie mathematischeModellierungzeigt,dassmandemAlltagswissennicht immer trauensollte. Im zweitenKapitel wird ei-ne kurzeund leicht verstandlicheDarstellungdesFermatschenProblemsbis zuseinerLosungdurchWiles undTaylor geboten.In denweiterenKapitelnwerdenProblemfelderdargestellt,diezumTeil ineinanderverwobensind,aberdochauchunabhangig voneinandergelesenwerdenkonnen. Die (gekurzten) Uberschrif-ten diesersiebenKapitel lauten: Fibonacciund LucasNumbers,Paper-FoldingandPolyhedra-Building,The Four-ColorProblem,Binomial andTrinomial Co-efficients,CatalanNumbers,Symmetry, Parties(Stichwort: Ramseyzahlen,diebei der Farbung von Graphenauftreten). Die notwendigenVorkenntnissesindnichtsehrumfangreich(sowerdenim achtenKapitelelementareKenntnisseuberGruppenbereitgestellt),abereineMitarbeit mit PapierundBleistift erscheintun-erlasslich.Fur dieGestaltungeinesSeminarsbestimmteinanregendesBuch!

F. Schweiger(Salzburg)

J. Koslowski, A. Melton (Eds.): Categorical Perspectives. (Trendsin Mathe-matics.)BirkhauserVerlag,Boston,Basel,Berlin, 2001,X+281S.ISBN 0-8176-4186-6,3-7643-4186-6H/b sFr148,–.

DiesesBuch entstandauseinerTagungim August1998an der Kent StateUni-versity anlasslichdes60. Geburtstagesvon George E. Strecker. Einige Beitrageberichtenuber neueForschungsergebnisse,anderesind Uberblicksbeitrageundzum Teil mit viel Humor geschrieben.“The Functorthat Wouldn’t Be”, “TheEmergenceof Functors”und “Too Many Functors”sindalsDialog (fastSketch)zwischenStudentundProfessorgeschrieben,auchderTitel “10 Rulesfor Surviv-ing asaMathematicianandTeacher”lasstSchmunzelnaufkommen.

G. Lettl (Graz)

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G. M. Phillips: Two Millenia of Mathematics. From Archimedesto Gauss.(CMS Booksin Mathematics.)Springer, New York u.a.2000,XII+223 S. ISBN0-387-95022-2H/b DM 98,–.

DerTitel versprichteineGeschichtederMathematik,aberdiesistnichtdasThemadesBuches.Die zweiJahrtausendebeziehensichdarauf,dassin einerSammlungvon funf unabhangigenAbschnittenmathematischeFragestellungenerortertwer-den,die in derZeit von Archimedesbis Gaussdie Mathematiker beschaftigt ha-ben:Berechnungvonπ, Logarithmen,Interpolation,Kettenbruche,Zahlentheorie(Primzahlen,quadratischeReste,diophantischeGleichungen,ganzealgebraischeZahlen,Summenvon Kuben).In allenwerdenpunktuellhistorischeBezugeher-gestellt,aberim wesentlichensinddie Kapitel mathematischeAbhandlungenei-nerbestimmtensubjektiven Stoffauswahl. WennauchderAutor meint,dasszurZielgruppesogarAmateurezahlen,sostehtdemdochdasrelativ hohetechnischeNiveauderThemengegenber, dasz.B.breiteKenntnisseausderAnalysisvoraus-setzt.AndererseitsfindensichvieleEinzelergebnisse,die in derStandardliteraturzudiesenThemennichtangefuhrt werden.DadurchkanndasBucheineanregen-de Erganzungauchfur einschlagigeLehrveranstaltungenbieten. Dies gilt auchfur diezahlreichen,zumTeil anspruchsvollen Probleme.Problematischerscheintallerdingsdie unkritischeSicht auf die Unveranderbarkeit, Ahistorizitat und ab-solute“Wahrheit”derMathematik,diederAutor propagiert.

W. Dorfler (Klagenfurt)

J. S. Tanton: Solve This. Math Activities for StudentsandClubs. The Math-ematicalAssociationof America, 2001, XIII+218 S. ISBN 0-88385-717-0P/b£ 20,95.

No, any allegationthat this bookbe too theoretical,would not hold water. Whatdoesit offer? Simply put: It containsanabundanceof problems,which — beingunwrapped— turn out to besomehow mathematical.The book is divided into threeparts. The first onedelivers‘Activities andProb-lem Statements’,consistingof thirty independentmicro-chapters,no morethan3pageseach,illustratedwith a lot of photos,drawingsandhand-draftedsketches.Thetitles are‘Weird Shapes’,‘CountingtheOdds— andEvens’, ‘Flipped Out’,‘Bubble Trouble’, to mentionbut a few. Thebrevity of eachself-containedtopicencouragestheoccasionalreaderto have a shortlook into oneor theotherprob-lem.Part two is dubbed‘Hints. SomeSolutionsandFurtherThoughts’. It addsa fewadditionalconsiderationsto eachof the problemsfrom part one,providessomeanswersandmany furtherquestions.Part three,finally, is determinedto offer ‘SolutionsandDiscussions’.The con-sideredquestionsof coursetempttheauthorto resortto somerelatedtheory. The

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theoreticalnotes,however, are neatly separatedfrom the text as well as prettymuchsuccinct.I canwell imaginethatthisbookcouldbeusedby teachersat secondaryschools,asit cancatchtheattentionfor mathematicalproblemsandfosterthepupils’ moti-vation.Beyondthatit canberecommendedto whoever feelslike solvingawholebunchof mathematicalproblemsbut doesnot feel like beingbotheredwith loadsof theory.

J.Lang(Graz)

Geschichte, Biographien— History and Biography — Histoire et

biographies

Ph. J. Davis: The Education of a Mathematician. A. K. Peters,Natick, Mas-sachusetts,2000,XI+353 S. ISBN 1-56881-116-0H/b $ 29,95.

Diesist einesehrungewohnlichgeschriebeneAutobiografiedesbedeutendenMa-thematikersundAutors(mit R. Hersh)von “The MathematicalExperience”.Siebestehtauseiner losenFolge von Anekdoten,die ein schillerndesund faszinie-rendesBild desAutors entwerfenvor allem auchdadurch,dasser seineKon-taktemit Mathematikern und anderenWissenschaftlernschildert,in denensichsozusagendie Personlichkeit von Ph.Davis spiegelt. Vermischtmit denbiogra-fischenBerichtensind viele historische,auchallgemein-zeithistorischeAnmer-kungen,philosophischeund erkenntnistheoretischeUberlegungenund naturlichauchHinweisezur MathematikdesAutors. Immer wieder finden sich deutli-cheHinweiseauf dieGrundeinstellungvon Ph.Davis, nachderMathematikeinemenschliche,sozialeKonstruktion(ja Fiktion!) ist, die gesellschaftlichrelevantund“not morallyneutral”ist. SogareinederIkonendesRadikalenKonstruktivis-mus,namlichGiambattistaVico, kommtzu Wort! Also wiederein sehroffenes,personlichesundmutigesBuchvon Ph.Davis, nachdemMathematiksehrwohlsehrviel mit denlebendigenMenschenzu tun hat,von ihrer Erfindungdurchsiebis zu ihrenpositivenodernegativengesellschaftlichenAuswirkungen.

W. Dorfler (Klagenfurt)

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B. Engquist, W. Schmid(Eds.): MathematicsUnlimited — 2001and Beyond.With 179 FiguresIncluding 95 in Colour, 91 Portraitsand11 Tables. Springer,Berlin u.a.2001.ISBN 3-540-66913-2H/b DM 79,–.

Angesichtsvon etwa 90 Beitragennamhafterbis beruhmterMathematiker (dar-unterz.B.: G. Faltings,H.-O. Peitgen,S.Lang,R. Penrose)ist esaussichtslos,ineinerKurzbesprechungauchnur eineInhaltsauswahl anzufuhren. Auffallendistjedenfalls ein ganzeindeutigerSchwerpunktauf AnwendungenundAngewandteMathematik.DieseumfassenThemenausPhysik,Okonomie,Technik,Informa-tik, Astronomie,Biologie undMedizin,Klimaforschungu.a.m.Nur ganzwenigeBeitragekonnenderreinenMathematikzugezahltwerden.EinigeBeitragebefas-sensichauchmit gesellschaftlichenunddidaktischenFragestellungenundmit derInstitutionalisierungvon mathematischerForschung(Oberwolfach,RIMS). Klarersichtlichist auchdergroßeEinfluss,denderComputersowohl auf die Metho-denwie auchdie Inhalteder mathematischenForschungausubt. Leider erfahrtmanvon denHerausgebernnicht,nachwelchenKriteriendieAutorenausgesuchtwurdenundob somit dergenannteSchwerpunktauf Anwendungenein Resultatder Auswahl oderein Indiz einer realenEntwicklung ist. Am Endeder insge-samtfaszinierendenundbeeindruckendenAnthologiewerdendie AutorendurchKurzbiografienundFotosvorgestellt.

W. Dorfler (Klagenfurt)

J.-P. Pier (ed.): Development of Mathematics 1950–2000.Birkhauser, Basel,Boston,Berlin, 2000,X+1372S. ISBN 3-7643-6280-4H/b sfr 248,–.

Es ist ein enormesUnterfangen,wesentlicheEntwicklungender MathematikinderzweitenHalfte desvergangenenJahrhundertsdarzustellen,eineArt Rechen-schaftsbericht,beidemnaturlich jederAnspruchaufVollstandigkeit vonvornher-einzumScheiternverurteilt ist.

Auf weit mehrals tausendSeitenberichten(meist)fuhrendeMathematiker uberverschiedeneTeilgebiete.Um ein paarThemengebietesamtAutorenzu nennen:DynamischeSysteme,Singularitatentheorie(V. I. Arnol’d), Graphentheorie(C.Berge), Variationsrechnung,NonsmoothAnalysis und Optimalsteuerung(F. H.Clarke), 50 JahreanalytischeZahlentheorie(E. Fouvry), MathematischeStatis-tik seit 1950(L. Le Cam),FraktaleGeometrie(B. Mandelbrot),Arithmetik undKryptographie(J.-L. Nicolas),Statistikund Genetik(B. Prum),Reellealgebrai-scheGeometrie(M.-F. Roy), Spieltheorie(S. Sorin). Danebenfindet manauchDarstellungenlokalerEntwicklungenuberdie franzosischemathematischeSchu-le im 20.Jahrhundert(J.Dieudonne) unddieMoskauerMathematikvon1950–75(V. M. Tikhomirov). Aufschlussreichauchdiedrei Interviews mit A. Douady, M.Gromov undF. HirzebruchamEnde.Als wertvoll sindauchdie Zusammenstel-lungenderFieldsmedaillentragerundderNevanlinna-Preistrageranzusehen.

G. Feichtinger(Wien)

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A. Stubhaug: The Mathematician SophusLie. It was the Audacity of MyThinking. Translatedfrom the Norwegian by R. H. Daly. Springer, Berlin u.a.2002,XI+555 S. ISBN 3-540-42137-8H/b DM 85,49.

Vergleichtmandie AnzahlderbedeutendennorwegischenMathematiker mit derEinwohnerzahlNorwegens,wird manNorwegenzu denbedeutendstenLandernaufdermathematischenLandkartezahlen.Esist daherbesonderserfreulich,dasssichder Autor zum Ziel gesetzthat,nachAbel auchLie einemuberdie Mathe-matiker weit hinausgehendenLeserkreisnahezubringen.In seinemlesenswertenBuchstellt er deninteressantenLebenslaufeinesnicht immerbequemenGeniesvoll irrtumlicherLebenskraft,aberauchmit Schattenseitendar. Bemerkenswertdie Beschreibung, wie schwersich Lie zu Anfang seinerLaufbahngetanhat,um Stipendienund Stellungzu erlangen. Ein spannendesBuch, dasauchEin-blick in diedeutscheUniversitatsgeschichtedesspaten19.Jahrhundertsgibt, aberauchein trostlichesund ermutigendesBuch fur junge Mathematiker. MancheUnzukommlichkeiten der englischenAusgabewurdenin der deutschenAusga-bebeseitigt.Fur Enthusiastenfehlt eineBeschreibungderMathematikLies, dastut aberderQualitat derBiographiekeinenAbbruch,damansichdieseKenntnisanderswo holenkann. Zusammenfassend,ein Buch, dasmangerneim eigenenBucherregal stehenhat.

P. Gruber(Wien)

Diskrete Mathematik— Discrete mathematics— Mathematiques

discretes

B. A. Davey, H. A. Priestley: Intr oduction to Lattices and Order. SecondEdi-tion. CambridgeUniversity Press,2002, XII+298 S. ISBN 0-521-78451-4P/b£ 19,95.

This new edition (the first onewaspublishedin 1990)containsall the originalmaterial,but hasbeencompletelyreorganized.For example,in the first editionorderedsetsweretreatedfirst, andthealgebraictheoryof latticesappearedonlyin Chapter5. Thuscompletepartially orderedsets(i.e., thesewith leastelementcontainingthesupremumof every upward directedsubset)appearedearlyon —now their theoryis developedin Chapter8. Also, thetreatmentof formalconceptanalysiswasmovedforwardproviding aconcreteapplicationof completelatticesat an early stage. Somenew materialhasbeenadded,for instanceon Galoisconnectionsandfixpoint calculus,andtherearemany new exercies.Contents:1. Orderedsets;2. Latticesandcompletelattices;3. Formal conceptanalysis;4. Modular, distributive and Booleanlattices; 5. Representation:the

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finite case;6. Congruences;7. CompletelatticesandGaloisconnections;8. Com-pletepartially orderedsetsand fixpoint theorems;9. Domainsand informationsystems;10. Maximality principles;11. Representation:the generalcase. Ap-pendixA: A topologicaltoolkit; B: Furtherreading.This is ahighly recommendable,up-to-datetextbookwhich offersthetheoryandmany interestingapplicationsof partially orderedsetsandlattices.

H. Mitsch (Wien)

R. Garnier, J. Taylor: Discrete Mathematics for New Technology. SecondEdition. Instituteof PhysicsPublishing,Bristol, Philadelphia,2002,XIX+749 S.ISBN 0-7503-0652-1P/b£ 25,–.

This is thesecondeditionof this accessibleyet rigorousintroductionto discretemathematics.As in thefirst edition,thetheoryis illustratedby a largenumberofsolvedexercises.In thiseditionfurtherexerciseshavebeenadded,in particularattheroutinelevel. In addition,somenew materialon typedsettheoryis included.My only objectionconcernsthe lack of someimportanttopics: thereis virtuallynothingon sequences(differenceequations,Landausymbols,etc.),andtheparton linearalgebraonly focuseson matrix operationsandsolvinglinearequations,whereastheconceptsof linearity andvectorspacearenot touchedat all.

S.Teschl(Wien)

J. Matousek,J. Nesetril: DiskreteMathematik. EineEntdeckungsreise.Uber-setztvon H. Mielke. (SpringerLehrbuch.) Springer, Berlin, Heidelberg, NewYork, 2002,XVII+459 S. ISBN 3-540-42386-9P/b 29,95.

DiesesBuch ist die Ubersetzungder 1998bei Oxford University Presserschie-nenenenglischenFassung(Invitation to DiscreteMathematics)und ist eineher-vorragendeEinfuhrungin KombinatorikundGraphentheoriefur Studienanfangerin Mathematik(undInformatik). DementsprechendwerdenvorwiegenddieStan-dardthemenbehandelt.Allerdingsgibt eseinigeAusnahmen:mehrereverschie-deneBeweiseder Cayley-Formel (AnzahlspannenderBaume),endlicheprojek-tive Ebenen,probabilistischeBeweise. Aber dasBuch ist wenigerwegen derStoffauswahl, sondernwegendesungewohnlichenundsehrattraktivenStilesderDarstellungbemerkenswert.DerText operiertaufverschiedenenEbenenundver-schiedenenExaktheitsstufen,die auchdrucktechnischunterschiedenwerden.Eswird nachmathematischemKerntext, Erlauterungen,Illustrationen,Veranschauli-chungenundMotivationen,Erganzungen,ProblemenundAufgabenu.a.m.diffe-renziert.Die Sprachformist vorwiegenddieeinesGesprachesmit demLeser, derdadurchin die Gedankengangeund UberlegungendesAutors hineingefuhrt undhineingezogenwird. Zum Beispielwerdenbei einemBeweis zuerstdie Grund-idee oder die Zielsetzunggenanntund erlautert,und auchim weiterenVerlaufwird immerwiederdurchalternativeFormulierungendasVerstandnisvertieftoder

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ermoglicht. Dadurchwerdenim LeseradaquateVorstellungenzu denformalenSchrittenerzeugt,diedannwiedereigenstandigesundkreativesDenkenermogli-chen. Die Lekture ist alsoanregendund sehrmotivierend! Die Aufgabensinddagegenziemlichanspruchsvoll, werdenaberausfuhrlicherlautert.Leidergibt esuberhauptkeineLiteraturangaben.

W. Dorfler (Klagenfurt)

W. T. Tutte: Graph Theory. Forewordby C. St.J.A. Nash-Williams. (Encyclo-pediaof MathematicsandIts Applications,Vol. 21.) CambridgeUniversityPress,2001,XXI+333 S. ISBN 0-521-79489-7P/b£ 19,95.

This is a reprintfrom the1984edition,andI includeafew paragraphsfrom Hoff-man’sreview for theAMS (includingaparagraphof Nash-Williams’ foreword)ofthis classicbookof anauthorwho is sometimescalledthefatherof graphtheory.“It is both fitting andfortunatethat the volumeon graphtheoryin the Encyclo-pediaof Mathematicsandits Applicationshasan authorwhosecontributionstographtheoryare— in theopinionof many — unequaled.Indeed,thestyle andcontentof thebookbetraythroughouttheinfluenceof ProfessorTutte’sown workandthe distinctive flavor of his personalapproachto the subject. This is by nomeans‘just anotherbook on graphtheory’, sincethe treatmentof [many of thecentral themesof graph theory] is unified into a coherentwhole by ProfessorTutte’shighly individualapproach.Moreover, themorecustomarytopicsareleav-enedwith some‘pleasantsurprises,’ suchastheauthor’s attractive theoryof de-compositionof graphsinto 3-connected‘3-blocks’, aninterestingandremarkableapproachto electricalnetworks,and— perhapsparticularly— theclassificationtheoremfor closedsurfaces.”“This is an importantbook, and one which shouldbe in any library of graphtheory, andany generalmathematicslibrary. It hasmuchto commendit as theentryvehiclefor a ‘pure’ mathematicianmakinga first ventureinto thefield, andits contentis indispensablefor onewho wishesto go further into suchareasasconnectivity, planarenumerationand chromaticpolynomialsof maps,matroidtheory, or electricalnetwork theory‘a la Tutte.’ This bookplacesgraphtheoryinits properspotin thespectrumof mathematics,andits notesandreferencesgivetheappropriatehistoricalcontext for thematerial.Thestyleandwit of theauthorcomethroughenoughto make it a pleasantreadingexperiencefor many. Thereareenoughexercises(noanswersor hints,though)to temptsometo useit asatextfor a high level coursein thefield, andthestudentwho works throughthis bookwill learna greatdealof goodmathematics.It mustbeaddedthat it is not easyreading;it is uncompromisingrigorousmathematics.Therearefewerfiguresthanoneexpects,andthe choiceof materialis highly personal. It hasbeenpointedout that the author likes surprises,and his style may be seenby somereadersto lack motivation. Thesecommentsarenot complaints,but warningsto someprospective readers,andonemorewarningmustbe added:The style, choiceof

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material,organizationof thepresentation(includingplacementof definitionsandproofs),andthebrevity of theindex make this bookunsuitableasa referenceforcasualuserswishingto look up graph-theoreticapplicationstools. Thebookwaswritten to beread,andwill rewardthosewhodo so.”

H. Prodinger(Johannesburg)

Algebra und Zahlentheorie— Algebra and Theoryof Numbers —

Algebreet theoriedesnombres

Yu. L. Ershov, E. I. Khurkhr o, V. M. Levchuk, N. D. Podufalov (Eds.): Al-gebra: Proceedingsof the Third Inter national Conferenceon Algebra, Heldin Krasnoyarsk, August 23–28,1993. Walter de Gruyter, Berlin 1996. 306 S.ISBN 3-11-014413-1$ 153,35.

EineSammlungvon ArbeitenzumAnlaßeinerKonferenzzur Algebrazu Ehrenvon Mikhail Ivanovich Kargapolov (1928–1976),die im August1993in Krasno-jarsk stattfand. (Un)endlicheGruppen,Ringtheorie,AlgebraischeSystemeundModelltheorie,AngewandteundComputeralgebrawarendieThemenkreise.Hin-weisenmochteich auf die Ubersichtsartikel von V. P. Shunkov zur Forschungs-arbeitbetreffendGruppentheorieanderStaatsuniversitat von Krasnojarsk,sowieF. O. WagnersArtikel uberstabileGruppen. EineBesprechungderArbeitenimEinzelnenentnimmtmanwohl eherdenbekanntenreferierendenJournalen.

W. Herfort (Wien)

S. Bosch: Algebra. Vierte, uberarbeiteteAuflage. (Springer-Lehrbuch.) Sprin-ger, Berlin u.a.2001,VIII+376 S. ISBN 3-540-41852-0P/bDM 49,90.

DiesesLehrbuchliegt nunbereitsin seiner4. Auflagevor undbieteteinenthema-tischklassischenundstilistischmodernenEinstieg in die Algebra(vgl. auchdieRezensionder3.Auflagein IMN 182,S.35). Die zentralenThemensindkommu-tative Ringtheorieund Korpererweiterungen,wobei hier auchdie GaloistheorieunendlicherErweiterungen,Kummertheoriein Charakteristikp (Witt-Vektoren)sowie “allgemeine”Separabilitat behandeltwerden.

Die Gruppentheoriewird nur soweit (bzw. dort) entwickelt, wie (bzw. wo) siefurdie Galoistheoriebenotigt wird (proendlicheGruppen,Sylow-Gruppen,Aufl os-barkeit). Der Stoff ist sehrsauberunterteiltin grundlegendeKapitel undweiter-fuhrendeAusblicke (in RichtungalgebraischerGeometrie).ZahlreicheAufgabenamEndejedesAbschnittsrundendie jeweilige Thematikab.DasBuchkannfur einenEinstieg in dieAlgebrabedenkenlosempfohlenwerden,allerdingssolltederLeserbereitseinegewissemathematischeReifebesitzen.

G. Lettl (Graz)

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C. M. Campbell, E. F. Robertson,N. Ruskuc,G. C. Smith (Eds.): GroupsSt.Andr ews1997in Bath, I+II. (LondonMathematicalSocietyLectureNoteSeries260,261.) CambridgeUniversityPress,1999,I: X+378S.,ISBN 0-521-65588-9P/b£ 29,95,II: X+737S.,ISBN 0-521-65576-5P/b£ 29,95.

Die St. Andrews-Konferenz,welcheregelmaßig alle vier Jahrestattfindet,war1997 in Bath. Die mehr als 50 Artikel desvorliegendenKonferenzbandesre-prasentierenein breitesSpektrumder neuerenEntwicklungensowohl auf demGebietder endlichenwie auchder unendlichenGruppentheorie.Hauptvortragewurdenvon Babai,Brookes,Ch.PraegerundShalev gehalten,und ihre Beitragefindetmanebenfalls im Konferenzband.Fur die BesprechungdereinzelnenAr-tikel erlaubeich mir, ausPlatzgrundenauf Zentralblattfur MathematikoderMa-thematicalReviews zuverweisen.

W. Herfort (Wien)

M. J. Collins, B. J. Parshall, L. L. Scott (Eds.): Modular RepresentationThe-ory of Finite Groups. Proceedingsof a Symposiumheld at the University ofVirginia, Charlottesville,Virginia, May 8–15,1998. Walter de Gruyter, Berlin,New York, 2001,XII+262 S. ISBN 3-11-016367-5H/b DM 216,–.

DerKonferenzbandenthalt VortragezurDarstellungstheorievornehmlichderein-fachenGruppenausAnlaßeinerKonferenzzumgenanntenThemain Virginia imMai 1998. Eswar darangedacht,sichan fortgeschritteneStudentenzu wenden.Vorlesungenvon M. Geckzu modularer Harish-Chandra-Theorie, Hecke-Alge-bren und (verallgemeinerten)q-Schuralgebren, J. Brundanund A. S. Kleshchevuber Tensorprodukteund Einschrankungen vom Typ A, sowie R. RouquierzurBlocktheorieundRickard-Aquivalenzenbelegendie Halfte desBandes,derRestbehandeltspeziellereThemenin Beitragenvon M. Cabenesund J. Rickard,St.R. Doty undD. K. Nakano,J.Du, M. GeckundR. Rouquier, C. Hofmann,N. J.KuhnundschließlichK. MaagardundP. H. Tiep.

W. Herfort (Wien)

C. Jansen,K. Lux, R. Parker, R.Wilson: An Atlas of Brauer Characters. Lon-don MathematicalSocietyMonographs,New Ser. 11. Oxford University Press,1995,327S. ISBN 0-19-851481-6.

Brauer-Charakterewurden1937vonR. BrauerundNesbittalsersterSchritteinerVerallgemeinerungder Darstellungstheorieauf denFall desKorpersvon Prim-zahlcharakteristikeingefuhrt. Die Ideebestehtdarin, die EigenwerteeinerDar-stellungsmatrixzunachstzuEigenwertenin einemgeeignetenKorperderCharak-teristik 0 zu liften. Danachkannman,analogzum Fall der CharakteristikNull,die Eigenwerteder DarstellungsmatrizenausdenCharakterenund Potenzabbil-dungengewinnen.

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Fur jedeeinfacheGruppeG derOrdnungkleinerals109 werdendievollstandigenBrauer-Charaktertafelnaller ‘bizyklischen’ Erweiterungenvon G zu all jenenPrimzahlen,welchedie Ordnung �G � von G teilen, angegeben. Die Primzah-len,die �G � nicht teilen,sinddiesbezuglich im Atlasabgehandeltworden.In zweiAnhangenwerdenauchTafeln der Conwaypolynomeund die AbbildungenvonIrrationalitatenin alle endlichenKorper, sowie gewisseKorrekturenundZusatzezumAtlas, beigesteuertvon Th. BreuerundS.Norton.

W. Herfort (Wien)

M. Jutila, T. Metsankyla (Eds.): Number Theory. Proceedingsof the TurkuSymposiumon NumberTheory in Memory of KustaaInkeri, May 31–June4,1999. Walter de Gruyter, Berlin, New York, 2001, VIII+328 S. ISBN 3-11-016481-7H/b DM 268,–.

DieserTagungsbandentstandanlasslicheinesSymposiumsin Turku,das1999imGedenken an denfinnischenZahlentheoretiker KustaaInkeri (1908–1997)statt-fand. Die 22 mathematischenBeitragedecken die meistenGebieteder Zahlen-theorieab.

G. Lettl (Graz)

M. Rosen: Number Theory in Function Fields. (GraduateTexts in Mathe-matics210.) Springer, New York, Berlin, Heidelberg, Barcelona,Hong Kong,London,Milan, Paris,Singapore,Tokyo, 2002,XII+358 S. ISBN 0-387-95335-3H/b 54,95.

Ein globalerKorper ist ein Erweiterungskorpervon endlichemGraduber � (einalgebraischer Zahlkorper) oderuber ��} T � , wobei � ein endlicherKorperundTtranszendentuber � ist (ein globalerFunktionenkorper). Ein gemeinsamerOber-begriff fur solcheKorperist durchzahlreicheAnalogien,insbesonderearithmeti-scherNatur, gerechtfertigt,welcheim vorliegendenBuchganzstarkherausgear-beitetwerden. Zu manchensehrtiefliegendenVermutungender (algebraischen)ZahlentheoriesinddieAnalogafur globaleFunktionenkorperbereitsbewiesen.

Kapitel 1–4behandelnzahlentheoretischeAnalogazwischen  und �Ew T x : kleinerFermat,Satzvon Wilson, Zetafunktionund arithmetischeFunktionen,Rezipro-zitatsgesetzundPrimelementein arithmetischenFolgen.Kapitel 5–9 entwickeln die Theorie der Funktionenkorper in einer Variablen,teilweise auch uber nicht notwendig endlichemKonstantenkorper: Satz vonRiemann-Roch,Zetafunktion,Geschlechterformelvon Riemann-Hurwitz,ABC-Satz,Konstantenkorpererweiterungen,GaloisscheErweiterungen,DichtesatzvonTschebotareff, Artinscheund HeckescheL-Funktionensowie ein Ausblick aufglobaleKlassenkorpertheorie.Kapitel 10 bringt denBeweisderArtinschenVer-mutunguberPrimitivwurzelnim Falle globalerFunktionenkorpernachder Dis-sertationvon Brillharz (1937).

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In Kapitel 11 wird die KlassengruppeeinesFunktionenkorpersbei Konstanten-korpererweiterungenuntersucht,wobei die Resultatefur   l-ErweiterungendenAusgangspunktfur dieEntwicklungderIwasawatheoriealgebraischerZahlkorperdarstellten.In AnalogiezudenKreisteilungskorpernwerdenin Kapitel 12zyklo-tomischeFunktionenkorper mit Hilfe desCarlitzmodulskonstruiert,als dessenVerallgemeinerungin Kapitel 13 eine Einfuhrungin die Theorieder Drinfeld-Moduln folgt.Kapitel 14 leitet dieanalytischeKlassenzahlformelfur Holomorphieringebezug-lich geometrischer, abelscherErweiterungenher. In Kapitel 15 wird zunachstderSatzvonStickelbergerfur KreisteilungskorperbewiesenundsodannalsVerallge-meinerungdavon die Vermutungvon Brumer-Starkfur abelscheErweiterungenglobalerKorperformuliert. Fur FunktionenkorperwurdedieseVermutungvon J.Tate& P. Deligne,bzw. von D. Hayesin den80erJahrenbewiesen.Ein Beweisfur denFall zyklotomischerFunktionenkorperwird in diesemKapitelvorgestellt.In Kapitel 16 werden,in Analogiezu denFormelnvon Kummerund Iwasawa,algebraischeFormelnfur den“ { ”- bzw. “ ~ ”-Teil derKlassenzahleineszykloto-mischenFunktionenkorpersmit primem“Fuhrer”hergeleitet.SchließlichbehandeltKapitel17Mittelwertsatzefur arithmetischeFunktionen.IneinemAnhangwird dernachE. BombierivereinfachteBeweisderRiemannschenVermutungfur globaleFunktionenkorpergebracht.Mit diesemBuchist esdemAutor hervorragendgegluckt, auf die engenZusam-menhangezwischenalgebraischenZahlkorpernundglobalenFunktionenkorpernhinzuweisenund aufzuzeigen,wie sich die Entwicklung dieserbeidenGebieteoft sehrerfolgreichgegenseitigbefruchtete.Die Lekture diesesBuchesist ein-fachein Genuß,insbesonderefur Lesermit GrundkenntnissenderalgebraischenZahlentheorieoderderTheoriederFunktionenkorpereinerVariablen.

G. Lettl (Graz)

H. Volklein, D. Harbater, P. Muller, J. G. Thompson(Eds.): Aspectsof GaloisTheory. (LondonMathematicalSocietyLectureNotesSeries256.) CambridgeUniversityPress,1999,VIII+282 S. ISBN 0-521-63747-3P/b£ 27,95.

Der Bandentstandnachder ‘UF Galois TheoryWeek’, einerKonferenzan derUniv. Florida im Jahre1996, und wendetsich an Spezialisten. Dabei stehenBeitragezum Umkehrproblemder Galoistheorieim Vordergrund: GegebeneinKorperundeine(pro)-endlicheGruppe,sokannmanfragen,obesdanneineGa-loisscheErweiterungdesKorpersgibt, dessenGaloisgruppezurgegebenenGrup-pe isomorphist. BekannteUbersichtsartikel, welcheGruppenderzeit(vor allemuberdemKorperderrationalenZahlen)realisiertwerdenkonnen,findetmanz.B.in verschiedenenPublikationenvon JurgenMatzat.

Im vorliegendenBandwerdenjedochneue,bis dahinunveroffentlichteFor-schungsergebnissebehandelt:Abhyankargibt explizit Polynomean,um gewisse

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Familienvon Liegruppenin Charakteristikp uberdemendlichenKorperGF} p�alsGaloisgruppenzu realisieren.Auch eineArbeit von Couveignesgehtin dieseRichtungderexpliziten BestimmunggewisserPolynome.Volklein undThomp-sonbenutzenStarrheitsbedingungen,um untergewissenBedingungenan n undq projektive symplektischeGruppenPSp} n s q� zu realisieren. An dieseArtikelschließensichArbeitenvonHarbaterundIhara,diedavonausgehen,gewissepro-endlicheGruppenals(unendliche)GaloisgruppenuberdemKorper � zurealisie-ren.DerWertsolchenBemuhensliegt darin,daßjedesendlichestetigeBild solcheinerproendlichenGruppealsGaloisgruppeuber � auftritt. Danachwird in derArbeit vonWewerseinSatzvonGrothendieckuberdenZusammenhangzwischenderFundamentalgruppeeiner(mehrfach)punktiertenRiemannschenZahlenkugelin verschiedenenCharakteristiken auf elementareremWeg als bisherbewiesen.In der Arbeit von Frey/Kani/Volklein werdenunendlicheTurmeunverzweigterGaloiskurvenuberlagerungen(definiertubereinemfestenZahlkorperbzw. endli-chenKorper)konstruiert,derartdaßdie jeweils rationalenPunkteaufdenKurven(definiert in den jeweiligen Erweiterungen)in einemgewissenSinn kompatibelsind. Schließlichwerdenin PeterMullersArbeit arithmetischeEigenschaftenra-tionaler Funktionenuntersucht,welchezum HilbertschenIrreduzibilitatssatzinBeziehungstehen.

W. Herfort (Wien)

A. Werner: Elliptische Kurven in der Kryptographie. (SpringerLehrbuch.)Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2002,X+142 S. ISBN 3-540-42518-7P/b 22,95.

Elliptische Kurven sind wohl ein besondersuberzeugendesBeispiel dafur, daßObjekte,die schonseit langerZeit ausrein mathematischemInteressestudiertwurden,zu praktischenAnwendungenfuhrenkonnen.ElliptischeKurvenfindenin der Kryptographieimmer weitereVerbreitung. Umsoerfreulicherist es,daßmit demBuch von FrauWernernun einedeutschsprachigeund rechtelementargehalteneEinfuhrungin diesesGebietvorliegt.

P. Grabner(Graz)

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Geometrie— Geometry—Geometrie

A. Baker: Matrix Groups. An Introductionto Lie GroupTheory. With 16 Fig-ures.(SpringerUndergraduateMathematicsSeries.)Springer, Londonu.a.2002,XI+330 S. ISBN 1-85233-470-3P/bDM 74,79.

EineMatrix-Gruppeist eineUntergruppevonGLn }y¡¢� , die(bezuglichdernaturli-chenTopologie)abgeschlossenist. BekannteBeispieledafur sinddie speziellenlinearenGruppen,die orthogonalenGruppen,die unitarenGruppen,die Lorentz-gruppeund viele andere. Im erstenTeil diesesBuches(“Basic Ideasand Ex-amples”)werdenMatrix-GruppenundihreEigenschaftenausfuhrlichbesprochenundsogrundlegendeBegriffe ausderTheoriederLiegruppenmotiviert. Im zwei-tenKapitel (“Matrix GroupsasLie Groups”)werdenLiegruppendefiniertundge-zeigt,dassjedeMatrix-GruppeeineLiegruppeist. Begriffe wie homogenerRaumeinerLiegruppeundWegzusammenhangkonnennunmit vieleninteressantenBei-spielenverbundenwerden.DasletzteKapitel (“CompactConnectedLie Groupsandtheir Classification”)verwendet,dassjedekompakteLiegruppeisomorphzueiner Matrix-Gruppeist, und fuhrt in die Klassifikationstheorieder kompakteneinfachenLiegruppenein.DiesesBuchkannbereitsvon Mathematikstudierendenim drittenStudienjahrge-lesenwerden. Es ist ansprechendgeschriebenund vermittelt viele interessanteIdeenundResultateausderTheoriederLiegruppen.

F. Pauer(Innsbruck)

E. R. Fadell,S.Y. Husseini: Geometryand Topologyof Configuration Spaces.(SpringerMonographsin Mathematics.)Springer, Berlin u.a.2001,XVI+313 S.ISBN 3-540-66669-9H/b DM 169,–.

Der KonfigurationsraumeinerMannigfaltigkeit M ist der Raumdern-TupelausM. Die vorliegendeMonographiebehandeltdie Konfigurationsraumezu euklidi-schenRaumenundSpharenmit demZiel, auchdenin derTopologienichtsosehrbewandertenLeserauf konsistenteund umfassendeWeisean die topologischenEigenschaftendieserRaumeheranzufuhren.Sowird etwa die klassischeHomo-topietheoriedieserRaumeentwickelt samtderLiealgebraderHomotopiegruppen,dieZellstrukturderKonfigurationsraumesowie dieHomologieundKohomologieihrerSchleifenraumeanalysiert.Die Anwendbarkeit dieserErgebnisse— etwa inderAnalysis— wird abschließendanhanddesn-Korperproblemsdemonstriert.

H. Stachel(Wien)

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L. C. Grove: Classical Groups and Geometric Algebra. (GraduateStudiesin Mathematics,Vol. 39.) AmericanMathematicalSociety, Providence,RhodeIsland,2002,X+169S. ISBN 0-8218-2019-2H/b $ 35,–.

Das vorliegendeWerk bietet eine gut lesbareEinfuhrungin die GeometriederklassischenGruppen,einTeilgebietanderNahtstellezwischenGeometieundAl-gebra. In insgesamt13 Kapiteln werdendie zentralenInhalteprasentiert,wobeizum Verstandnisder Standardstoff je einerVorlesungausAlgebraund linearerAlgebraausreichensollte; Grundkenntnisseder projektiven Geometriesind furein tieferesVerstandnisjedenfalls von Vorteil. NebenAbschnittenuberSesquili-nearformenundquadratischeFormenstehennaturlich die zugehorigensymplek-tischen,orthogonalenundunitarenGruppensowie Clifford-Algebrenim Vorder-grund. Dabeiwerdendie beidenFalle, dassder GrundkorpereineCharakteris-tik ungleichbzw. gleich 2 besitzt,immer getrenntbehandelt,auf VektorraumeuberSchiefkorpernwird nur kurz hingewiesen.EineReihevon Ubungsaufgabensowie ein abschließenderAusblick etwa hin zu Lie-Algebrenund ihrenCoxeter-Dynkin-Diagrammenoder in die algebraischeK-Theorie rundendiesesschone,inhaltsreicheundsorgfaltig erstellteBuchab.

H. Havlicek (Wien)

S.Levy (ed.): The Eightfold Way. TheBeautyof Klein’sQuarticCurve. (Math-ematicalSciencesResearchInstitute Publications35.) CambridgeUniversityPress,2001,X+331 S. ISBN 0-521-80209-1H/b £ 40,–, ISBN 0-521-00419-5P/b£ 19,95*.

Thisis anassemblyof ninedifferentpapersonissuesconcerningaseeminglysim-ple equationx3y { y3z { z3x u 0 of a curve in homogeneouscomplex coordinatesandits correspondingRiemannsurface. It wasfirst discoveredby Felix Klein inthe1870sandhassincesparkedtheinterestof many mathematiciansall over theglobe. It is famousfor many reasons,notablyfor its symmetryproperties:Onlylater it wasdiscoveredthatany compactRiemannSurfaceof genustwo or morehasat most168automorphisms.Theregardedexampleis of genus3 andshowsthewholerangeof 168symmetries.Theauthorsof thearticlescontainedin thisbookhighlighttherichvarietyof prop-ertiesandtheoriesrelatingto this object. Sometry to addressa wider public byincludingahistoricaloverview, othersparticularlyseetheobjectfrom thenumbertheorypointof view, take thegeometricstanceor view thematterin termsof Rie-mannsurfaces.Also relatedcurvesareinvestigated.The lastchapteris by FelixKlein himself: His ‘contribution’ is a translationof his seminalarticle‘Transfor-mationensiebenterOrdnungder elliptischenFunktionen’. The surfacewas themodel for a marblesculptureby H. Fergusonwhich canbe admiredin the areaof the MathematicalSciencesResearchInstitute in Berkeley. By the way: Thenameof thebookstemsfrom thefactthatthetesselationappearingon thesurface

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(after thesurfacehasfoldedover itself) hasa remarkableproperty: It consistsofheptagonsandno matterin which directionyour start,you will alwaysreturntothestartingpoint if youalternatelyturnonceright andonceleft atevery junction.This way youhave eightoptionsbut no choicewhereto endup.This is a thorough-bredspecialistbookon a very specificmathematicalsubject.Foranyonewhois interestedin Kleins’squarticcurveandawholerangeof aspectssurroundingit thisbookis ‘the realthing’.

J.Lang(Graz)

J. Matousek: Lectureson Discrete Geometry. With 206 Illustrations. (Grad-uateTexts in Mathematics212.) Springer, New York, Berlin, Heidelberg, 2002,XVI+481 S. ISBN 0-387-95374-4P/b 44,95,ISBN 0-387-95373-6H/b.

Die diskreteGeometrieerfahrtgegenwartigdreiDarstellungen.Packungen,Pflas-terungen,Uberdeckungen,sowohl endlichealsauchunendliche,werdenin deninVorbereitungbefindlichenBuchernvon Betke, Henk und Wills, bzw. von Bo-roczky Jr. behandelt.DasvorliegendeschoneBuchwidmetsichkonvexen Poly-topen,Arrangements,Durchschnittsmustern,SelectionTheorems,Transversalen,algorithmischenFragenundFragender lokalenTheorienormierterRaume.DasbreiteThemawird interessant,kenntnisreichundmit denwesentlichenErgebnis-sendargestellt.NachderLekturedesBuchesweißmanuberdiesesvielgestaltigeGebietgut Bescheid. Es eignetsich auch,um sich mit einzelnenFragenver-trautzu machen.GeometerundAnalytiker, die derThemenstellungfern stehen,konnensichhier interessanteAnregungenholen.

P. Gruber(Wien)

C. J. Scriba, P. Schreiber: 5000Jahre Geometrie.Geschichte,Kulturen,Men-schen.Mit 200Abbildungen,davon 25in Farbe.(VomZahlsteinzumComputer.)Springer, Berlin u.a.2001,XIII+596 S. ISBN 3-540-67924-3H/b DM 69,–.

Fur dasvorliegendeWerk ist eine nuchterne,im SachlichenbleibendeBespre-chungkaummoglich. Jedenfalls fur einenGeometernicht, denneslaßtihn jeneseltsameFreudeempfinden,die dasErlebeneinesKunstwerkes im Kontext dereigenenKultur vermittelnkann:das

”Vollbadim Kunstgenuß“ .

Geschichtsdarstellungenmussenabstrahieren,mussenein Netzwerkvon zeitli-cherVerflechtungin eineserielleAnordnungbringen,mussensichdabeiauf se-kundareQuellenundLiteraturberufenundsinddemZeitgeistunterworfen. EineguteundlebendigeGeschichtsdarstellung,unddievorliegendeist einesolche,istnicht einvon einemmehroderwenigeranonymenAutorenkollektiv geschaffenesAbsolutum,sondernspiegelt durchAuswahl, InterpretationundErzahlstil merk-bardiePersonlichkeit derAutorenwider.Die

”5000JahreGeometrie“ gehoreneinervon einerProjektgruppeder Univer-

sitat HildesheimediertenReihezur Mathematikgeschichtemit demSammeltitel

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”VomZahlsteinzumComputer“ an. In diesemZusammenhangwarenfur dieAu-

torenVorgabeneinzuhalten.Unterdiesensinddie”Aufgaben-Kapitel“ , mit denen

jederHauptabschnittschließt,fur ein Geschichtswerkwohl die amwenigstener-wartetenunddaherverbluffendsten.Die beidenAutorenhabensich die Aufgabegeteilt: C. J. Scribaist fur die ers-ten4500Jahrehauptverantwortlich, P. Schreiberfur die sturmischenletzten500Jahre(undfur dasEuklid-Kapitel). Im erstenAbschnittwird denWurzelnspate-rer abendlandischerMathematikbis hin nachChinaundJapannachgespurt. Na-turgemaßbietendie dasklassischeGriechenlandbetreffendenAbschnitteschonwegenderlangenTraditionihrergeschichtlichenAufbereitungundrelativ dichterSekundarliteratureinvertrautesBild. Inwieweit dieChinaundJapanbetreffendenKapitel, sofernsie sich auf EuropaernerschließbareQuellenstutzen,uberhauptuberdie Mitteilung von Faktischemundmehroderwenigerzufallig Ausgewahl-tem hinausgehenkonnten,ist schwerzu sagen.DasDargebotenemußsich hierwohl auchausPlatzgrundenmit demErfolg begnugen,Appetit auf Speziallitera-tur zuwecken.P. SchreiberbeschreibtundinterpretierthingegeneinevertrautereWelt: dasRin-genum dasParallelenaxiomEuklids,die EntstehungneuermathematischerDis-ziplinenausursprunglichgeometrischenDenkansatzenundoft einfachformulier-barengeometrischenProblemen,dasStrebennachBegriffsverscharfungenundverbessertenBeweismethoden.Er nenntvertraute,beruhmteNamen. Und erstellt die Geometriein denKontext menschlichentaglichenLebensundErlebensschlechthin.InsbesondereerfahrenkunstlerischeKonkretisierungenvon Geome-trie seinbesonderesAugenmerk.DieserAnsatzkompensiertdie Unmoglichkeit,allen

”fraktal-verastelten“ EntwicklungslinienderGeometrieundderMathemati-

ker-Clansdes20.Jahrhundertsgerechtzuwerden.

Als BesonderheitwerdendemBuchalsAnhangeinige(ins Deutscheubertrage-ne) Originaltexte beigefugt, mit denensich andersals bloß mit AutorenwortenauchStimmungenund Zeitgeisterschließen.Die angegebeneLiteratur ist vor-rangigdeutschsprachig.Soweit diesmoglich ist, werdenvon anderssprachigenOriginalwerkendeutscheUbertragungenangefuhrt. Mit demumfangreichenPer-sonenregister mit Lebensdatenerhalt dasBuch auchnoch die QualitateneinesNachschlagwerkes. (Damit der Rezensentan diesemgroßartigenBuch auchet-waskritisierenkann: Er hatteauchnochE. E. Kummer, H. Wieleitner, G. Loriaund K. Zindler angefuhrt.) DasBuch hat dasZeugzu einemBestseller. AuchhartgesotteneBourbakistenwerdennachdemLesendiesesBuchesGeometriefurdie im GanzenfruchtbarsteundschonsteTeildisziplinderMathematikhalten,mitder sich letzteredemgroßerenRestder Welt aucham ehestenerschließt.AberlesenSieselbst!

G. Weiß(Dresden)

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G. Toth: Glimpsesof Algebra and Geometry. SecondEdition. With 183 Il-lustrations,Including 18 in Full Color. (UndergraduateTexts in Mathematics.)Springer, New York, Berlin, Heidelberg, 2002,XXII+450 S. ISBN 0-387-95345-0 H/b 64,95.

This is the second,muchrevisedandaugmentededition of the book originallypublishedin 1998.It intendsto closethegapbetweenundergraduateandgraduatestudiesin numbertheory, classicalgeometryandmodernalgebra.

Flicking throughthebookonethoughtstruckmy mind: Quitearangeof subjects.Naturalnumbers,quadratic,cubic andquarticequations,stereographicprojecti-on, a proof of the fundamentaltheoremof algebra,Moebiusgeometry, complexlinear fractionaltransformations,Riemannsurfaces,thefive Platonicsolids,Eu-ler-Poincare characteristic,the four colour theorem,quaternions,Klein’s resultsontheicosahedralequation,anda jauntto thefourthdimension.Thisrecordis byno meanscomplete,but it shows theauthor’sambition.A lot of figuresanda fewcolourful picturesareprovided. Additionally, anarrayof 160picturesis accessi-ble via the internet. At the endof many chapters,problemsto be solved by thedeterminedreaderareoffered. To 100 selectedproblemsa ‘solution manual’ isfurnished.Appendiceson sets,groups,topology, smoothmaps,on thehypergeo-metricdifferentialequationandon Galoistheoryconvey theconceptsandbasicsof thesefields.

Is thisbookjustacompilationof ahostof mathematicaltopics?Not at all! Whe-revernecessary, theauthordeliverstheappropriatedoseof theoryin orderto givethereaderenoughfirm groundbeneathhis (or her) feet. Eachof thechaptersis agoodreadandthebookaddsup to awholly appealingentity. To my mind, it fullylivesup to the objectives it hasbeenaiming at: it closesthe gapbetweenbasicmathematicaltuition atuniversitiesandgraduatemathematicsin thequotedareas.It canbewarmly recommendedto whoever is interestedin algebraandgeometry.I canwell imaginethat teachersandteachers-to-beaswell asscientistsfrom allwalksof mathematicallife will benefitfrom thiscarefullyworked-outtextbook.

J.Lang(Graz)

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Analysis— Analysis— Analyse

J. Duoandikoetxea:Fourier Analysis. Translatedandrevisedby D. Cruz-Uribe,SFO.(GraduateStudiesin Mathematics,Vol. 29.) AmericanMathematicalSo-ciety, Providence,RhodeIsland,2001,XVIII+222 S. ISBN 0-8218-2172-5H/b$ 35,-.

Sehr klar und ubersichtlichwerdendie Hauptergebnisseder Theorie der sin-gularenIntegraloperatorendargestellt(undzwar die sog.“real variablemethods”nachA. P. Calderon undA. Zygmund). Besondersinteressantundwertvoll sinddieKommentareamEndejedenKapitels,dasieeineBeschreibungdesstateof theart bis 2000liefern. Damit ist dasBuchdienaturlicheFortsetzungdesKlassikersvon E. M. Stein(SingularIntegralsandDifferentiabilityPropertiesof Functions)von 1970. Angemerktseiauchnoch,daßdasBuchdie HauptergebnisseausdenUberblicksartikeln von E. M. Dyn’kin beweist (Methodsof theTheoryof Singu-lar Integrals,in “Commutative HarmonicAnalysis” I, 167–259,undIV, 97–194,Enc.Math.Sciences,Vol. 15,42,ed.by R. P. Khavin, N. K. Nikol’skiı, Springer,1991,1992).

N. Ortner(Innsbruck)

J. J. Gray: Linear Differ ential Equations and Group Theory fr om Riemannto Poincare. 2nd Edition. Birkhauser, Boston,Basel,Berlin, 2000,XX+338 S.ISBN 0-8176-3837-7,3-7643-3837-7H/b sFr128,–.

GraysBuchbefaßtsichmit denhistorischenHintergrundenundBeitragenvonu.a.Euler, Gauss(hypergeometrischeundmodulareGleichungen),JacobiundKum-mer (elliptische Funktionen,Monodromie),Riemann,Cauchy, LazarusFuchs(FuchsscheTheorieder linearenDifferentialgleichungen),Schwarz, Klein undGordan,Klein und schliesslichH. Poincare zum heuteals Differential-Galois-TheoriebezeichnetenGebiet.DiesesGebiet(in modernerForm) ist z.B. von An-dy Magid in derReiheAMS-LectureNotesdargestelltworden.

Bezuglich dernunmehrzweitenAuflagevermerktderAutor, daßer sichalsHis-toriker mit demThemabefaßtunddaserstum1990durchAnosov undBolibruchals generellunlosbarerkannteRiemann-Hilbertproblem(esfragt nachder Exis-tenzvon linearengewohnlichenDifferentialgleichungen,derenLosungenanvor-gegebenenStellen(derkomplexenEbene)vorgegebeneSingularitaten(Pol, loga-rithmisch,etc.)besitzen)im erstenBandalslosbarangesehenhat.EntsprechendeKorrekturenundAnmerkungenfindensichnunhier.DasBucherscheintmir (auchfur denmaßigFortgeschrittenen)angenehmlesbarund verhilft zu Einblicken in eineFulle von Publikationenausder Zeit von et-wa 1812bis ca.1908(Schlesinger, Plemelj),wurdedochdieMuheaufgewendet,

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die Informationgeordnetund in einerin derGegenwart lesbarerenNotationauf-zuschreiben.Vor allem der Hintergrundan Analysis,welcherdie abstraktenal-gebraischenMethodender Differential-Galois-Theoriemotiviert, wird deutlichgemacht.

W. Herfort (Wien)

V. P. Havin, N. K. Nikolski (Eds.): ComplexAnalysis,Operators, and RelatedTopics. The S. A. Vinogradov Memorial Volume. (OperatorTheory, AdvancesandApplications,Vol. 113.) Birkhauser, Basel,Boston,Berlin, 2000,X+408 S.ISBN 3-7643-6214-6H/b sFr168,–.

DiesesBuch ist demLeningraderMathematiker S.A. Vinogradov gewidmet. Esenthalt einen Uberblicksartikel der HerausgeberV. P. Havin [Khavin] und N.K. Nikolski [Nikol’skiı] uber den Lebenslaufvon S. A. Vinogradov und einesorgfaltig ausgearbeiteteund sehrinformative Zusammenstellungseinermathe-matischenLeistungen.DieserArtikel vonV. P. Havin undN. K. Nikolski zeichneteingutstrukturiertesunduberschaubaresBild desmathematischenErbes,dasunsVinogradov hinterlassenhat.Daruberhinausenthalt dieserSammelbandArbeiten von Vinogradovs SchulernundKollegenA. Aleksandrov, S. Khavinson,S. V. Kislyakov, V. Maz’ya, F. Na-zarov, V. PellerundG. Ts. Tumarkin,aberauchvon J.-P. Kahane,P. KoosisundB. Korenblum.

P. Muller (Linz)

R. J. Iorio, Jr., V. de MagalhaesIorio: Fourier Analysis and Partial Differ -ential Equations. (Cambridgestudiesin advancedmathematics70.) CambridgeUniversityPress,2001,XI+411 S. ISBN 0-521-62116-XH/b £ 45,-.

An gutenBuchernuberHarmonischeAnalysisbestehtkeinMangel— auchnichtan solchen,die diesevon der Theorieder partiellenDifferentialgleichungenhermotivieren. TrotzdembereichertdasvorliegendeLehrbuchdie vorhandeneLite-ratur, dadieAutorenneueWegebeschreiten:

– Die Regularitat derLosungenpartiellerDifferentialgleichungenin GestaltvonunendlichenReihenalsAusgangspunktfur dieEinfuhrungperiodischerDistribu-tionen;– Definition periodischerDistributionenohneStetigkeitsforderung(die fur dieAnalysiserforderlichemengentheoretischeTopologiewird auf 20 Seitenerst inderMitte desBuchesentwickelt);– Entwicklung der Halbgruppentheorieund Einfuhrungder Sobolewraumepe-riodischerFunktionenzur LosunglinearerundnichtlinearerEvolutionsgleichun-gen,insbesonderederverallgemeinerten,nichtlinearenSchrodingergleichungundderKorteweg-deVries-GleichungaufbeschranktenIntervallen;

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– VermeidungderLebesgueschenIntegrationstheoriebiszum“PartThree:SomeNonperiodicProblems”,der die letzten20% desBuchesumfaßt und die klas-sischeDistributionentheorieentwickelt, sowie die Warmeleitungs-und (freie)Schrodingergleichungbehandelt;- Darstellungglobaler Korrektheitsresultateder Autoren (1990, 1998) fur dieKorteweg-deVries- unddieBenjamin-Ono-Gleichung.

Bestechendpraziseund klar legen die Autoren uberzeugenddar, daßauchfurnichtlinearepartielleDifferentialgleichungendieklassischeFunktionalanalysisinjungsterZeit (Kenig, Ponce,Vega: 1993,1996;Bourgain 1993,1995)wichtigeErgebnisselieferte.

N. Ortner(Innsbruck)

J. Jost: CompactRiemann Surfaces.An Introductionto ContemporaryMathe-matics.SecondEdition. (Universitext.) Springer, Berlin, Heidelberg, New York,2002,XVI+278 S. ISBN 3-540-43299-XP/b 39,95.

DasvorliegendeBuchgibt einesehr(differential-)geometrischeEinfuhrungin dieTheoriederRiemannschenFlachen.DurchdiesengeometrischenZugangwerdeneinigeAspekteder Theorie,die in manchenanderenBuchernzum Themaeheran den Randgedrangt werden,wie etwa die algebraisch-topologischeCharak-terisierungkompakterorientierbarerFlachenoderdie DifferentialgeometriederFlachen,genauerbehandelt.Durch diesegeometrischeSichtweisewird esetwanaturlich, die Riemann-Hurwitz-FormelausderFormelvon Gauß-Bonnetherzu-leiten. Daruberhinausist zu erwahnen,daßesfur ein einfuhrendesBuch wohleinmaligist, dieAnfangsgrundederTeichmuller-Theoriezu prasentieren.InsgesamtstelltdasBucheinegelungeneEinfuhrungin einklassisches,abernochimmeraktuellesGebietderMathematikdar.

P. Grabner(Graz)

V. Kac: Infinite-Dimensional Lie Algebras. 3rd Edition,CambridgeUniversityPress,1994,422S. ISBN 0-521-46693-8(0-521-37215-1)£ 23,95.

Victor G. Kac beschreibtdenUbergangvon derKlassifikationendlichdimensio-nalereinfacherLiealgebrenuberdemKorperderkomplexenZahlenzumStudiumvon Kac-Moody-Algebren,welchedieviertederfolgenden4 Klassenunendlich-dimensionalerLiealgebrendarstellt:– VektorfelderaufMannigfaltigkeiten;– LiealgebrenunendlichdimensionalerLiegruppen,wobeiallesuberFunktionen-algebrendefiniertist (z.B. ‘currentalgebras’);– LiealgebrenaufHilbert- undBanachraumen;– dieauchnachdemAutor benanntenKac-Moody-Algebren.

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Die letztereKlasselaßtsichanalogzu endlichdimensionaleneinfachenLiealge-brenmittels denCartan-MatrizenentsprechendenMatrizenfestlegen,wobei dieAlgebreneine   -Graduierungerfahren.Zum LesendesBuchesist KenntnisderKlassifikationdereinfachenLiealgebrensicherhilfreich, jedochnicht absoluter-forderlich.

W. Herfort (Wien)

Y. K. Kwok: Applied Complex Variables for Scientistsand Engineers.Cam-bridgeUniversityPress,2002,XI+392 S. ISBN 0-521-00462-4P/b£ 19,95.

DasBuch ist eineEinfuhrungin die TheorieundPraxisderkomplexen Funktio-nen. Es richtet sichanStudentenderMathematik,PhysikundTechnikmittlererSemester, die durchdie LekturederMonographieandie enormenMoglichkeitender Funktionentheorieherangefuhrt werden. DasBuch ist ansprechendverfaßtunddidaktischvorzuglich aufbereitet.EineVielzahlvon gelostenBeispielenundzahlreicheBilder erleichterndasErarbeitendesumfangreichenStoffs.

AufbauundInhaltdesBuchessindklassisch:NacheinerdetailliertenEinfuhrungin die komplexen Zahlen(Kap.1) werdenim zweitenKapitel analytischeFunk-tionen,derenDifferenzierbarkeit unddieCauchy-RiemannschenDifferentialglei-chungenbehandelt.KomplexwertigeExponential-,Logarithmus-undtrigonome-trischeFunktionensowie RiemannscheFlachenbildendenInhalt des3.Kapitels.Die komplexe Integrationbasierendauf demCauchyschenIntegralsatzund An-wendungenin derPotentialtheoriefindetmanim nachstenAbschnitt,andensicheineausfuhrlicheBehandlungderTaylor- undLaurentreihenanschließt.Im sechs-tenKapitelwerdenSingularitatenundderResiduensatzbehandelt.Kapitel7 zeigtAnwendungendesKalkuls auf Rand-AnfangswertproblemederPhysik(Warme-leitung,mechanischeSchwingungen).KonformeAbbildungenund ihre Anwen-dungenim 8.Kapitel bildendenAbschluß..DasBuchkannalsLernhilfevorbehaltlosempfohlenwerden.

E. Werner(Munchen)

S.G. Krantz, H. R. Parks: The Implicit Function Theorem. History, Theory,andApplications. Birkhauser, Boston,Basel,Berlin, 2002,XI+163 S. ISBN 0-8176-4285-4,3-7643-4285-4H/b 90,47.

DerHauptsatzuberimplizite Funktionenist wohl BestandteiljedesAnalysis-Kur-ses.DaßdiesemSatzeinganzesBuchgewidmetist, erscheintaufdenerstenBlicketwasungewohnlich.DerHauptsatzuberimplizite Funktionenist aberAusgangs-punktsovieler verschiedenerEntwicklungenundhatsoviele Aspekte,daßdiesdurchausgerechtfertigtist.DasvorliegendeBuchgibt zuersteinenhistorischenAbriß uberdie demSatzzu-grundeliegendenIdeen. DanachwerdenmehrereverschiedeneBeweiseangebo-ten. Der RestdesBuchesist einerseitsAnwendungenwie etwa demZusammen-

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hangmit demSatzvonPicard-Lindelof, dernumerischenBestimmungvon impli-zit gegebenenFunktionenundMannigfaltigkeitengewidmet,andererseitswerdenverschiedeneVerallgemeinerungendiskutiert.Hier werdenverschiedeneabstrak-tereFassungendesSatzesprasentiert,wie etwa HadamardsglobaleVersiondesSatzesundderSatzvon Nash-Moser.Insgesamtist es fur einenAnalysis-Kurs sicher lohnend,ausdiesemBuch dieeineoderandere“Anleihe” bei der PrasentationdesHauptsatzesuber impliziteFunktionenzunehmen.

P. Grabner(Graz)

Y. Meyer, R. Coifman: Wavelets. Calderon-Zygmundand multilinear opera-tors. (Cambridgestudiesin advancedmathematics48.) CambridgeUniversityPress,2000, XIX+314 S. ISBN 0-521-79473-0P/b £ 24,95. (Previously pub-lished:ISBN 0-521-41001-6H/b £ 42,50.).

Mit “Wavelets: Calderon-ZygmundandMultilinear Operators”habendie Auto-ren R. R. Coifman(Yale University) und Y. Meyer (Universite Paris Dauphine)ein seltenesMeisterwerkder MathematischenAnalysisgeschaffen, dashier be-sprochenwerdensoll.

In den50erJahrendes20. JahrhundertsbegannenAlberto Calderon und Anto-ni Zygmundmit der systematischenAnalysesingularer Integraloperatoren.AlsModell dientedie Hilberttransformation,alsodie Faltungmit 1� x t Calderon undZygmundanalysierendie Wirkung dessingularenKernsK } x s y�£u 1�>} x ~ y� ex-plizit. Der Umstand,daßdie HilberttransformationFaltung ist und somit auchals Fouriermultiplikatormit dem Symbolsign} ζ � geschriebenwerdenkann, istunwesentlichund wird ignoriert. So entstanddie reelleTheorieder singularenIntegraloperatorenauf ¤ n. Wesentlichfur ihr Funktionierenist dasAbfallverhal-tendesKernesK } x s y� , dieklareeinpunktigeLokalisationderSingularitatunddieMittelwerteigenschaftpv ¥ K } x s y�Eu 0.“Wavelets:Calderon-ZygmundandMultilinear Operators”ist dieForsetzungdesBuches“WaveletsandOperators“ vonY. Meyer. DasersteKapitel tragtdemnachdie Nummer7. Kapitel 7 gibt einenUberblick uberdenUmfangder Calderon-Zygmund-TheorieundbeschreibtBeispieleausderkomplexenAnalysis(Cauchy-Integral auf Lipschitzkurven), der Potentialtheorie(Potentialder DoppelschichtaufC1- undLipschitzflachen)undderTheoriederDifferentialgleichungen(Pseu-dodifferentialoperatoren,Paraproduktevon Bony, Paradifferentialoperatoren).Singulare Integraloperatorenwerdenhauptsachlich in Hinblick auf ihre Regula-ritat und Beschranktheit in den klassischenFunktionenraumen(Lp, H1, BMO,Holder, Besov) untersucht.DasHauptergebnisist das‘T } 1� -Theorem’von G.David und J. L. Journe:Ein singularer IntegraloperatorT ist auf L2 beschrankt,wennT } 1�E¦ BMO undT §G} 1��¦ BMO. Kapitel8 (daszweitedeszweitenBandes)ist diesemSatzgewidmet,undesmachtklar, warumWaveletsin vielenGebieten

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derAnalysiseinunverzichtbaresWerkzeuggewordensind: WaveletssindeinOr-thonormalsystem,dassingulareIntegraloperatoren“f ast” diagonalisiert,weil dieMatrixdarstellungvon T in der Waveletbasis ψI © “diagonal-dominant”ist. Esgilt ��ª TψI s ψJ « �#¬ min ­ � I �� J � s � J �� I �$® n� 2� γ ­ 1 { dist} I s J �

max>� I � s � J � © ® n� γ tAußerhalbderDiagonaleI u J fallt dieKoeffizientenmatrixª TψI s ψJ « somitstarkab. Aus dieserUngleichungfolgt L2-Beschranktheitundvielesmehr. Der Wave-letbeweisdes‘T } 1� -Theorems’bewirkte einenParadigmenwechselin derTheorieder singularenIntegraloperatoren,der in denKapiteln 8 und 11 genaunachge-zeichnetist: Einfach gesagt,die Calderon-Zygmund-Theorieist aquivalent zurTheoriediagonal-dominanterMatrizen. Als Anwendungendavon enthaltendieKapitel 12 und 15 tiefliegendeSatzeuberHardy-Raumeund analytischeFunk-tionen(Satzvon David uberAhlfors-regulareKurven, Jerison-Kenig identities,Quadratfunktionenfur Hardy-RaumeaufLipschitzgebieten).Zum MeisterwerkwurdediesesBuchnicht nur, weil esdie bekanntenErgebnis-sebrilliant darstellt,sondernauch,weil esneueundzukunftsweisendeKonzepteeinfuhrt undzwei derwichtigstenbekanntenProblemeim neuenKontext formu-liert (Kapitel 13 und14). Diesesind: dieCalderon-Vermutung,dassdiebilineareHilberttransformation } f s g�E¯°²± ∞

∞f } x ~ t � g } x { t � dt

t

beschrankt ist, unddie sogenannteKato square root conjecture. BeideProblemewurdenseit denfruhen60erJahrenwiederholtund erfolglosin Angriff genom-men.Seit dem ErscheinendesBuches“Wavelets: Calderon-Zygmundand Multilin-earOperators”habenCh.ThieleundM. Lacey in einerspektakularenArbeit dieBeschranktheitder bilinearenHilberttransformationbewiesen(Ann. Math. 146(1997) 693–724)und gemeinsammit T. Tao und C. Muscalu eine umfassen-de Theorieder multilinearensingularen Integrale entwicklt. (Salem-PreisefurThiele,Lacey undTaozusammenmit demClay-Preisfur Taowarendie Folge.)Wavelets,Zeitfrequenz-Analysisund Multiskalen-Techniken bilden dasanalyti-scheRuckgratdieserArbeitenundsinddirekt auf die Konzeptedeshier bespro-chenenBucheszuruckzufuhren.Die Katosquarerootconjecture ist jetztebenfallsgelost,sieheP. Auscher, S.Hofmann,M. Lacey, A. McIntoshundPh.Thamitchi-an: Thesolutionof theKato square-root problemfor secondorder elliptic opera-tors on ¤ n, Ann. Math. 156(2002)633–654.Auch hier ist derBeweisansatzimBuchvon CoifmanundMeyerbestensvorbereitet.Zusammenfassend:“Wavelets: Calderon-Zygmundand Multilinear Operators”ist ein wichtigesBuch, und es hat bereitsjetzt eine spektakulare Wirkungsge-schichte.Vor allem aberist esein Buch, dasdie Arbeit desLesersbelohnt,mit

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echtenEinsichtenin die Zusammenhangezwischena priori weit auseinanderlie-gendenProblemfeldernderkomplexen,derharmonischenundderreellenAnaly-sis.

P. Muller (Linz)

M. Rørdam, E. Størmer: Classification of Nuclear C*-Algebras. Entr opyin Operator Algebras. (Encyclopaediaof MathematicalSciences,Vol. 126.)Springer, Berlin u.a.2002,IX+198 S. ISBN 3-540-42305-XH/b DM 181,79.

Mehr alszwanzigJahrenachdemErscheinenvon TakesakisStandardwerkThe-ory of Operator AlgebrasI wurdenun,anlaßlichderlangerwartetenNeuauflage,unterderLeitungvonJ.CuntzundV. Jonesim RahmenderwohlbekanntenSprin-gerschenEnzyklopadie der mathematischenWissenschaftendie Reihe“OperatorAlgebrasand Non-Commutative Geometry”begrundet. In dieserReihesollennebender Fortsetzungdes“Takesaki” auchandereSpezialistendesinzwischenenormangewachsenenFachgebieteszuWort kommen.Der vorliegendeBandVII vereinigtzwei verschiedeneThemen.Im erstenTeil,derdrei Viertel desBucheseinnimmt,gibt mit M. RørdameinerderbestenSpe-zialistendesGebietseinenUberblick uber den gegenwartigenStandder Klas-sifikation der nuklearenC § -Algebren. Nachdrei Kapiteln uberdie sogenanntenAF-, AT- undAH-Algebrenwird schließlichim HauptteilausfuhrlichaufdenFallderrein infiniteneinfachennuklearenAlgebren(dersogenanntenKirchberg-Alge-bren) eingegangen.Fur die letzterenwerden,soweit moglich, BeweiseoderBe-weisskizzengegebenund die benotigtenHintergrundmaterialiendargestellt. Eswerdenallerdingsgute Kenntnisseder Theorieder C § -Algebrenvorausgesetzt,undauchhinsichtlichdesThemasist dieserTeil eherfur Spezialistenbestimmt.Der kurzerezweiteTeil desBuches,Entropy in Operator Algebras, ist auchfurden wenigerbewandertenInteressentengeeignet. Darin gibt E. Størmer, einerder InitiatorendieserTheorie,einengut lesbarenUberblick uberdie wichtigstenDefinitionen,Resultateundvor allemBeispiele.

F. Lehner(Graz)

G. Sapiro: GeometricDiffer ential Equationsand ImageAnalysis. CambridgeUniversityPress,2001,XXV+385 S. ISBN 0-521-79075-1H/b £ 40,-.

ThemadesvorliegendenBuchesist die Anwendungpartieller Differentialglei-chungen(PDEs)auf die Bildverarbeitung.Insbesonderebeschaftigt essich mitjenenmathematischenGrundlagen,welchefur dasVerstandnisderPDE-LiteraturuberAnwendungender Bildverarbeitungund computervision benotigt werden.DazugehorenDifferentialgeometrie,PDEs,Variationsrechnungund numerischeAnalysis.DabeiwerdenGrundbegriffe undAnwendungender ‘surfaceevolutiontheory’ erklart.

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Der mathematischinteressierteundvorgebildeteBildverarbeiterund”Computer-

visionar“ findet im Buchvon SapirojenemathematischenGebieteerlautert,wel-cheseinerTatigkeit zugrundeliegen. So werdenetwa affine Differentialgeome-trie, Raumkurven sowie diskreteDifferentialgeometrieund Lie-Gruppendisku-tiert (Kapitel 1). Kapitel 2 beschaftigt sichmit derEvolutionstheorievon KurvenundFlachen,einerzentralenmathematischenGrundlagederBildverarbeitungundComputervision. NebenintrinsischenEigenschaftender Kurven bzw. Flachenwerdenin Kapitel 3 die AuswirkungenexternerKrafte untersucht. Die darge-boteneTheoriewird an manchenStellendurchBeispieleausder Bildverarbei-tungillustriert. In Kapitel3 wird gezeigt,wie sichProblemederBildverarbeitungundderComputervisiondurchErmittlungvon KurvenundFlachenmit minima-ler Energie darstellenlassen.Ausgehendvon zwei-dimensionalengeodatischenKurvenwird derdrei-dimensionaleFall untersucht,wobeisichAnwendungenim‘tracking’ und‘stereo’ergeben(Erklarungs.S.207,215). Kapitel 4 unddie fol-gendenAusfuhrungenbehandelndie Anwendungvon PDEsauf

”volle“ Bilder,

d.h.nicht nur aufKurvenundFlachen.

LineareGaußscheFiltertechniken undnicht-linearePDEswerdenzur Bild-“ver-starkung”verwendet.DieserzweiteTeil desBuches(vonKapitel4 bis8) verwen-detdie in denerstendreiKapitelndiskutiertenGrundlagenundfuhrtandieFrontderForschungzurBildverarbeitungund‘ComputerVision’. Naturgemaßsinddieim zweitenTeil dargebotenenMethodenkomplexer und im Detail nicht mehrsoleicht zu durchschauenwir die Grundlagenin Kap. 1–3(vgl. etwa Abschnitt5.2uber‘VectorialMedianFilter’). DasBuchist klar geschriebenundwirkungsvollaufgebaut.Fur einenAnwendermit dennotigenVorkenntnissenstellt eseinein-teressanteBereicherungdar. UmgekehrteroffnendieAnwendungeninteressiertenMathematikerneinenZugangzueinemwichtigenzukunftstrachtigenGebiet.

G. Feichtinger(Wien)

A. Tveito, R. Winther: Einf uhrung in partielle Differ entialgleichungen.EinnumerischerZugang. Ubersetztvon H. Peywand Kiani. (SpringerLehrbuch.)Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2002,XIV+392 S. ISBN 3-540-42404-0P/b 29,95.

Die IdeedesBuchesbestehtdarin, eineEinfuhrungin partielleDifferentialglei-chungenparallelmit ihrer numerischenBehandlungzu prasentieren,und diesesKonzeptist konsequentumgesetzt.EinigegrundlegendeThemenwie Maximum-prinzip, Approximationdurchfinite Differenzen,Konvergenzbegriff etc.werdenanhandvonZweipunkt-Randwertaufgabeneingefuhrt,wasdidaktischsinnvoll ist.DaranschließtsicheinweitgehendklassischerAufbaugemaßdergrundlegendenTypeneinteilung. JedesKapitel enthalt viele Ubungsaufgaben,sowohl analyti-scherals auchnumerischerNatur. Fouriermethodenwerdenrelativ ausfuhrlichdiskutiert.

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Bei derAuswahl dervorgestelltenDifferenzenmethodenwird jeweilsaufdieein-fachstenVarianteneingegangen,undihreEigenschaftenwerdensauberdiskutiert,inklusive Stabilitats- und Konvergenzfragen,soweit sinnvoll. Auf die Darstel-lung der Methodeder Finiten Elementewurde absichtlichverzichtet,weil dasBuch moglichst ‘einfach’ (Zitat) lesbarsein soll, was auchzutrifft (auchdankdesubersichtlichenLayouts). Die Einfachheitder Darstellungkann bei einemsolchenText klarerweiseals ein Qualitatskriteriumangesehenwerden;dennochwareesmeinesErachtensnachgenauso‘einfach’ gewesen,auf denZusammen-hangmit Variationsproblemenhinzuweisenunddie FE-Methodeauf dieseWeiseeinzufuhrenundzu motivieren.Modellierungsfragenwerdennur amRandeangesprochen.Auch die algorithmi-scheLosunggroßerschwachbesetzterGleichungssystememittels Iterationsver-fahrenwird nicht behandelt.

Auchangesichtsderangesprochenen,von denAutorendurchwegsbeabsichtigten‘L ucken’ fallt dieBewertungsehrpositiv aus. W. Auzinger(Wien)

D. F. Walnut: An Intr oduction to WaveletAnalysis. With 88Figures.(AppliedandNumericalHarmonicAnalysis.) BirkhauserVerlag, Boston,Basel,Berlin,2002,XVII+449 S. ISBN 0-8176-3962-4,3-7643-3962-4H/b 105,–.

Wavelet methodshave becomean interestingandpowerful tool complementaryto Fourier analysisfor scientistsworking in the fields of seismologyand mostimportantly in imageanalysisand imageprocessing.Therearemany excellentbooksavailableon this topic,andWalnut’s bookextendsthisseries.The book is divided into five partscomprisinga total of 13 chaptersand threeappendixes. The introductorypart (chapters1–4) sumsup the preliminariesonfunctions,convergence,FourierseriesandtransformsanddiscreteandfastFouriertransforms. Historically, the earliestexampleof an orthonormalwavelet basisis the Haar systemwhich is dealt with in the secondpart (chapters5 and 6).The two chaptersserve asmotivation to searchfor moregeneralwavelet basesandintroducesthe readerto multiresolutionanalysis.Orthogonalwavelet basesarecoveredin the centralpart III (chapters7–9). Heremultiresolutionanalysis,quadraturemirror filter conditionsandthediscretewavelettransformarecoveredrigorously. Part IV (chapters10 and11) is devotedto non-orthogonal,semi-or-thogonalandbi-orthogonalwavelet basesandtheir applicationsto multiresolu-tion analysis.Thefinal partV of thebookpresentssomeapplicationsof waveletanalysisto imagecompressionand to numericalestimatesfor singularintegraloperators.Finally, theBeylkin-Coifman-Rokhlinalgorithmis described.Thetwoappendixes review the most importantresultsfrom calculusand linear algebraappliedin theprevioussectionsandsketchsomevariations,extensionsandappli-cationsof wavelettheorynotcoveredin themainbodyof thetext.Walnut’s bookpresentsdifficult material,but is written excellently. It is recom-

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mendedto all thoseinterestedin the backgroundand importantapplicationsofwaveletanalysis. E. Werner(Munchen)

Numerik,Optimierung— NumericalAnalysisandOptimization—

analysenumerique, Theoriedel’optimisation

D. Braess: Finite Elements. Theory, fastsolvers,andapplicationsin solid me-chanics.SecondEdition. Translatedby L. L. Schumaker. CambridgeUniversityPress,2001,XVII+352 S. ISBN 0-521-01195-7P/b£ 22,95.

SeitseinerdeutschsprachigenErstauflageausdemJahr1992hatsichdiesesWerkzu einemKlassiker innerhalbderLiteraturzur MethodederFinitenElementege-mausert. Es handeltsich hier um ein anspruchsvolles Lehr- und Arbeitsbuch,in demdie Theorieder Finiten Elementemathematischsauberdargestelltwird,mit Schwerpunktauf elliptischenRandwertproblemen.Der geboteneStoff gehtdaruberhinaus,wasmansonsttypischerweisein Lehrbuchernzu diesemThemafindet. Zu nennensindetwa die ThemennichtkonformeMethoden,Sattelpunkt-problemeunda-posteriori-Fehlerschatzung.Das Themader effizientennumerischenRealisierungwird ebenfalls sehrbreitdiskutiert, und zwar in zwei eigenenKapiteln uberdascg-Verfahrenund seineVariantenund Verwandtensowie uberMehrgitterverfahren. Sowohl die mathe-matischeTheoriealsauchImplementierungsfragenwerdenbehandelt.DasBuchschließtmit einemKapitel uberFinite Elemente-Methodenin derFestkorperme-chanik.

In derhiervorliegendenzweitenAuflagewurdeneinigeErganzungenundVerbes-serungenvorgenommen,z.B. bei denThemenSattelpunktproblemeundKonver-genztheorievon Mehrgitterverfahren.

W. Auzinger(Wien)

F. Colonius, W. Kliemann: The Dynamics of Control. With an AppendixbyL. Grune. With 84 Figures.(Systems& Control: Foundations& Applications.)Birkhauser, Boston,Basel,Berlin, 2000, XII+629 S. ISBN 0-8176-3683-8,3-7643-3683-8H/b sFr158,–.

DasvorliegendeBuchbehandeltjeneBegriffe undResultate,die sowohl fur dieKontrolltheorieals auchin der TheoriedynamischerSystemefundamentalsind(‘dynamical theoryof control’ bzw. kurz ‘dynamicsof control’, wie esdie Au-torennennen).Die geschickteundklareDarstellungsweiseist schatzenswert,davergleichsweise(mit anderenBuchern)tiefe mathematischeMethodenausfuhr-lich dargestelltwerden. Naturgemaß gibt es zwei Interessentenkreisefur den

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Stoff — Kontrolltheoretiker undSpezialistenderdynamischenSysteme.Kapitel1enthalt einekurze,aberwertvolle Einfuhrungin dieThemenkreise.DasDiagramauf S.1 unddie anschließendenAusfuhrungenerlaubeneineEinordnungderbe-handelten(undnicht behandelten)Themen,z.B. auchstochastischeSysteme.InKapitel 2 wird eineAnzahloffenerProblemediskutiert,welchesozusageneinenrotenFadendurchdasBuchbilden. Kapitel 2 und3 behandelndasglobaleVer-haltennichtlinearerSysteme,wobei insbesonderein Kontrollmengenund-flusseeingefuhrt wird. Die Kapitel 5–7 beschaftigensich mit linearisiertenSystemen,wobeidieDarstellungin absteigenderAllgemeinheiterfolgt. Kapitel 5 behandeltallgemeinelineareFlusseauf VektorbundelnundderenSpektraltheorie.Kapitel6 spezialisiertdieseResultateauf bilineareKontrollsystemeauf Vektorbundeln.In Kapitel 7 erfolgt die Linearisierungum einenFixpunkt. Die Kapitel 8–13be-handelnverschiedene

”Anwendungen“ . In Kapitel 8 werdenein-dimensionale

Systemeanalysiert,fur welcheexplizite Konstruktionenvon (chain)control setsundSpektrenverfugbarsind. Kapitel 9 konzentriertsichauf dasglobaleVerhal-tennichtlinearerSystemeim Hinblick auf Kontrollierbarkeit undErreichbarkeit.Kapitel 12 enthalt openloop- undFeedback-Stabilisierungsresultate.Kapitel 13beschaftigt sichmit Verzweigungsphanomenenfur gestortedynamischeSysteme.Infolge desBuchumfangesundderFulle desMaterialssinddie in Kapitel 1 dar-gebotenen

”Fahrplane“ von RoutendurchdasWerk wertvoll. Teile (sieheS. 5)

lassensichwohl auchfur Lehrveranstaltungenin derSystem-oderderKontroll-theorieverwenden.

G. Feichtinger(Wien)

J. H. Davis: Foundationsof Deterministic and StochasticControl. (Systems&Control: Foundations& Applications.)Birkhauser, Boston,Basel,Berlin, 2002,XIV+421 S. ISBN 0-8176-4257-9,3-7643-4257-9H/b 109,79.

Ziel diesesBuchesist es,eineEinfuhrungin die deterministischeund stochas-tischeKontrolltheoriezu geben. NebenZustandsraum-Realisierungen,Kleinst-Quadrat-Schatzungenund Stabilitatsfragenwerden vor allem Filtertechniken,Wiener-Hopf-Methodenund Regelungsverfahren fur verteilte Systemebehan-delt. Ein Anhangenthalt AusfuhrungenuberHilbert undBanachraumesowie eineknappeGrundlageder(maßtheoretischbegrundeten)Wahrscheinlichkeitstheorie.NacheinervorlaufigenLekturewird nicht ganzklar, weshalbdenvielenexistie-rendenWerken,welchedemangefuhrtenThemenkreisengewidmetsind,einneu-eshinzugefugt wird. Vielleicht ist esdie Zusammenstellungund Stoffauswahl,welchereingewissesGeschicknichtabgesprochenwerdenkann.

G. Feichtinger(Wien)

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P. Deuflhard, F. Bornemann: NumerischeMathematik II. GewohnlicheDif-ferentialgleichungen.3., vollstandig uberarbeiteteund erweiterteAuflage. (deGruyterLehrbuch.)WalterdeGruyter, Berlin,New York, 2002,XII+509 S.ISBN3-11-017181-3P/b 29,95.

DasBuch ist der numerischenBehandlunggewohnlicherDifferentialgleichngengewidmetundhatvomUmfangundInhaltherbeinahedenCharaktereinerMono-graphie,mit demthematischenSchwerpunktaufAnfangswertaufgabenfur nicht-steife,steifeunddifferentiell-algebraischeProbleme.Die Darstellungfolgt einemsystematischenAufbauundspanntdenBogenvon denmathematischenGrundla-genderKonvergenztheoriebis hin zu Steuerungs-und Implementierungsfragen.Ein Kapitel (von insgesamt8) beschaftigt sichmit Randwertaufgaben.Beim Kapitel ubersteifeProblemesindeinigeSchwachenundLuckenanzumer-ken. So ignorierendie Autoren etwa den Effekt der Ordnungsreduktion,demVerfahrenhohererOrdnungim steifenFall unvermeidlichausgesetztsind.Außer-demwird die Bedeutungder linear-impliziten Verfahrenuberbewertet. Verfah-rendiesesTypslassensicheffizient implementierenundhabensichin derPraxissehrbewahrt. Siesindallerdingsnicht wirklich universelleinsetzbar, weil poten-tiell instabil bei Problemenmit variablenKoeffizientenoderhochausgepragterNichtlinearitat. Daruberhinausist die theoretischeUntermauerungdesvon denAutorenpropagiertenExtrapolationsverfahrensverbesserungswurdig.

Die Darstellungist klar, originell unduberzeugend(abgesehenvon denobenan-gedeutetenSchwachstellen).

W. Auzinger(Wien)

C. Geiger, C. Kanzow: Theorie und Numerik restringierter Optimierungs-aufgaben. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2002,XII+487 S. ISBN 3-540-42790-2P/b 29,95.

DasGebietder (nichtlinearen)Optimierunghat sich durchdenErfolg von”In-

neren-Punkte-Methoden“ in den letzten20 Jahrenstark weiterentwickelt. DervorliegendeText tragtdieserEntwicklungRechnungundbehandeltin 7 KapitelnfolgendeThemenbereiche.NacheinerkurzenEinfuhrungwerdenzunachstOpti-malitatsbedingungenfur restringierteOptimierungsaufgabenerortert(Konvexitat,Trennungssatze,Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen).LineareOptimierungunddieSimplexmethodewerdenin einemeigenenKapitelbehandelt.Esfolgt einKa-pitel uber Innere-Punkte-Verfahren. Dabei wird die

”Path-Following-Methode“

fur lineareund semidefiniteProblemeanalysiert. Die Behandlungvon nichtli-nearenrestringiertenProblemenerfolgt in etlichenUnterkapiteln(Penaltymetho-den,SQP-Ansatz,Aktive-Mengen-Methoden).Zum Abschlusswerdennichtglat-te Probleme(Bundle-Methoden)sowie Variationsungleichungenbehandelt.Etwa140UbungsaufgabensindquerdurchdenText verstreut.

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Die Autorensetztensich(lautVorwort) dasambitionierteZiel, das”umfassendste

einfuhrendeWerk in dasGebietderstetigenOptimierung“ vorzulegen.Dieswirdwohl vonderLeserschaftindividuell zubeurteilensein.JedenfallsbietetdasBucheinesehrgelungeneDarstellungder heutegangigenAlgorithmenin der restrin-giertenOptimierungundist alsLehrbuchfur Optimierungsehrzu empfehlen.

F. Rendl(Klagenfurt)

K.-H. Hoffmann, I. Lasiecka,G. Leugering, J. Sprekels,F. Tr oltzsch (Eds.):Optimal Control of ComplexStructur es.InternationalConferencein Oberwol-fach,June4–10,2000.(InternationalSeriesof NumericalMathematics,Vol. 139.)BirkhauserVerlag,Basel,Boston,Berlin,2002,VIII+278 S.ISBN 3-7643-6682-6H/b 100,75.

Der vorliegendeSammelbandist ausder Oberwolfach-Tagung“ConferenceonOptimal Control of Complex Structures”hervorgegangen. Er enthalt 22 (undnicht 21, wie im Vorwort bemerkt)Aufsatze,derengemeinsamesBandpartielleDifferentialgleichungensind.NebenProblemenderOptimalsteuerung,derStabi-lisierungundKontrollierbarkeit, sindesvor allemverschiedeneModelleausderPhysik (Piezoelektrizitat, Laser, Stokes-Navier-Gleichungen,rotierendeBalken,Kirchhoff-Thematik, Kristallwachstumu.a.m.),aberauchein Differentialspiel,welchebehandeltwerden.Im Vorwort desBandesliest man: ‘This volume highlights someof the morefruitful directionsof researchbeingcurrentlypursued. . . ’. Fugt manhinzu,daßessichdabeiumeinbreitesSpektrumtechnischerAnwendungenausdemGebietderMechanik,Elektronik,Chemieu.a. Ingenieurgebietenhandelt,soerhalt maneineEinsichtin die Thematik.Die verwendetenmathematischenMethodensind— wie bei denAutorender Beitrage(von Banksbis K.-H. Hoffmannund vonKrabsbis Sprekels)— tief undstehenmeist— wie in Oberwolfachublich — imVordergrund.Aber auchDiplom-Ingenieurewerdenmit demnotigenmathemati-schenInteresseundVorwissendasBuchmit Gewinn lesen(oderdurchblattern).

G. Feichtinger(Wien)

E. F. Toro (ed.): Godunov Methods. Theoryand Applications. Kluver Aca-demic/PlenumPublishers,New York,Boston,Dordrecht,London,Moscow, 2001,XVII+1077 S. ISBN 0-306-46601-5H/b 172,–.

“Godunov Methods:TheoryandApplications”editedby Prof.Toroisanexcellentbook containingalmostonehundredrefereedarticlesdevoted to the theoryandapplicationsof Godunov methods.Thesearticleswerepresentedat theInternationalConferenceon Godunov Meth-odsheldin 1999in Oxford (UK) commemoratingthe70thbirthdayof Prof.S.K.Godunov. Prof. Godunov’s highly fruitful methodfor solvingconservation lawswasthe centralthemeof the conferenceandthe many articlescontainedin this

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bookshow how his methodcanbe successfullyappliedto solve a large classofapplicationproblemsin multiphasefluid dynamics,meteorology, magnetohydro-dynamics,astrophysics,combustion,andmany otherfields.Motivatedby applicationstherehasbeena large theoreticaleffort in the investi-gationof Godunov methods,andmany fundamentalresultshave beenobtained.Theseresultsare well representedin this book which containsreview articlesandnew theoreticalcontributionson, e.g.,multidimansionalhyperbolicsystems,conservation laws with sourceterms,gasdynamicswith realgases,just to men-tion a few. Furthermore,additionalcontributionscanbefoundon new techniqueslikemeshlessparticlemethods,volume-of-fluidmethods,relaxationmethods,andevolutionGalerkinmethods.Thisbookprovidesanexaustiveoverview of pastandpresentresearchwork on Godunov methodsandrelatedtechniques.It is alreadya classicalreferencefor all thoseworking on numericalmethodsfor hyperbolicproblems.Everymathematicslibrary shouldhave copiesof thisbook.

A. Borzi (Graz)

R. Vinter: Optimal Control. With 12Figures.(Systems& Control:Foundations& Applications.)Birkhauser, Boston,Basel,Berlin, 2000,XVII+507 S. ISBN 0-8176-4075-4,3-7643-4075-4H/b sFr138,–.

Der Autor versuchtauf 500 Seitendem Leserdie TheorieoptimalerSteuerun-gen (optimal control theory) in einernicht (notwendig)differenzierbarenFormnahezubringen.Seitdem1982erstmalserschienenenbahnbrechendenBuch‘Op-timizationandNonsmoothAnalysis’vonF. H. ClarkehatsichdieKontrolltheorieohneDifferenzierbarkeit zu einemwichtigenTeilgebietderangewandtenMathe-matik entwickelt.Die ReformulierungdesMaximumprinzipsmit zustandsabhangigenKontrollbe-schrankungenfuhrtauf verallgemeinerteVariationsprobleme,in denenStraffunk-tionenmit unstetigenAbleitungenauftreten.NebenClarksnon-smoothanalysisspieltvor allemdasKonzeptderViskositats-LosungenvonCrandall& Lionseinewichtige Rolle zur Erzielungvon Existenz-und Eindeutigkeitsaussagenfur dieHamilton-Jacobi-(Bellman-)Gleichungen.

Kap. 1 gestattetfur deneiligen LesereinenEinblick in die Frage,inwieweit dieMangel der klassischenKontrolltheoriedurch die neueTheorie beseitigtwer-denkonnen.Schonhier zeigtsichdasGeschickdesAutors,schwierigeZusam-menhangeeinfach darzustellen. (Haufig wird EinsteinsgelaufigesPrinzip, dieDinge so einfachwie moglich zu gestalten,abernicht einfacher, nicht sehrpas-sendverwendet— in diesemZusammenhangist esabersehrtreffend!) DiesenEinstieg kann jeder interessierteMathematiker und verstandnisvolle Anwendermit Gewinn lesen.Ohnebesondersauf Einzelheiteneinzugehen,seienstellvertretendeinigeweitereThemenkreiseerwahnt:MessbareMultifunktionen,Differential-Inklusionen,Va-

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riationsprinzipien,Non-smoothAnalysis,Subdifferential,Maximumprinzip,er-weiterteEuler-Lagrange-undHamilton-Bedingungen,dynamischeOptimierung.Zusammenfassendlaßtsichdie Empfehlungaussprechen,diesesBuchzu studie-ren. Man merkt demAutor an,daßer an der Front einschlagigerForschunger-folgreichwar. Zudembesitzter, wie bereitsobenangesprochen,ein bedeutendesdidaktischesGeschick.Mit SicherheiteinesderbestenBucheruberfortgeschritteneOptimalsteuerung.

G. Feichtinger(Wien)

Informatik— ComputerScience— Informatique

B. Breutmann: Data and Algorithms. (Informatik interaktiv.) An introductoryCourse.With 68pictures,49examples,36exercisesandCD-ROM. Fachbuchver-lag Leipzig im Carl HanserVerlag,Munchen,2001,157S. ISBN 3-446-21591-3P/bDM 29,80.

This affordablebookon dataandalgorithmsfollows a very modernteachingandlearningconcept.Intendedfor basiclecturesin computersciencecurricula,it cov-ers importantfactsin dataorganizationandabstraction,efficiency measuresforalgorithms,sortingandsearchalgorithmsaswell asstructuresgiven by graphsandtrees.A supplementingCD-ROM allows thestudentto run shortanimations,evaluateexercisesandaccessa tutorial manualfor reviewing thematerialof thebook. Being mostly independentof particularprogramminglanguagesandpre-sentingthe topicsin a well-balancedway, thebook is well suitedfor studentsinthefirst or secondyear.

M. Hintermuller (Graz)

Ch. Horn, I. O. Kerner, P. Forbrig: Lehr- und Ubungsbuch Inf ormatik, Band1: Grundlagen und Uberblick. 2., vollig neu bearbeiteteAuflage. Mit 181Bildern, 43 Tabellen,127 Beispielen,158 Aufgaben,99 Kontrollfragen,35 Re-feratsthemen.FachbuchverlagLeipzig im Carl HanserVerlag,Munchen,2000,459S. ISBN 3-446-21535-2H/b DM 59,80.

GemaßdenVorstellungender Autorenist dasvorliegendeWerk ein Informatik-LehrbuchfurdiePC-Generation,fur denzukunftigenqualifiziertenAnwender, derdie HintergrundeundZusammenhangekennenlernenwill und letztlich auchfurdenInformatik-Studenten,dembeim Sprungvon der akademischenAusbildungzu denNotwendigkeitendesComputer-Alltagsgeholfenwerdensoll.Die Autorenhabenversucht,einenWeg zu findenzwischenderkompaktenDar-stellungvon Grundwissen,wie esandenUniversitatengebrauchtwird, undeiner

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Art Ratgeberfur Problememit demComputer— ein unrealistisches,nicht wirk-lich erreichbaresZiel. Auch derSpagatzwischenGrundlagenundUberblick—wie im Untertitelangezogen— ist nicht wirklich gelungen,dadiesvielleicht einwiderspruchlicherAnsatzist. An demEntstehendesWerkshabenzehnAutorenmitgewirkt, wasnaturlich nichtzueinereinheitlichenDarstellunggefuhrthat.DasWerk gliedertsich in zehnKapitel: Einleitung(ca.9%), TechnischeGrundlagen(ca. 24%), Betriebssysteme(ca. 8%), Algorithmen (ca. 19%), Programme(ca.9%), Softwaretechnologie(ca. 7%), Datenbanken (ca. 6%), Tabellenkalkulatio-nen(ca.7%),TheoriederInformatik(ca.8%)unddieEntwicklungderComputer(ca.3%).Esist fur denLeserschwerzuerkennen,wie dieeinzelnenKapitelgewichtetwur-den,und auchdie Stoffauswahl innerhalbder einzelnenKapitel ist nicht immerwirklich nachvollziehbar. Die angesprochenenThemenkreisesindim vorgegebe-nenSeitenumfang(rund450Seiten)auchnichtmit serioserTiefeunterzubringen.Die gemeinsameGrundstrukturfehlt denKapiteln auch;einmalmit zahlreichenBeispielenim Text, dannwiederohne,einmalmit kontrollierendenUbungsfragenund Aufgaben(ohneLosungen)am Ende,dannwieder beim Unterkapitelunddannwiedergar nicht. Aber irgendwiewird diesim Vorwort schonangedeutet:

”dasWerk ist einRelease1.0einesneuenProduktes“ (hochstens)— mehrist dazu

nicht zusagen.G. Haring(Wien)

Ch. Martin (Hrsg.): Rechnerarchitektur en.CPUs,Systeme,Software-Schnitt-stellen. Mit 215 Bildern, 10 Tabellen,42 Beispielen. Fachbuchverlag Leipzigim Carl HanserVerlag,Munchen,2001,XVI+478 S. ISBN 3-446-21475-5H/bDM 98,–.

Bucher, diesichmit derThematikderRechnerarchitekturauseinandersetzen,stel-len einebesondereHerausforderungfur denAutor dar. Der Grunddafur sinddieraschenVeranderungenaufdiesemGebiet.Daherkannein BuchdieserArt nichtlangeaktuellbleiben,außermanbeschranktsichauf allgemeinePrinzipien,dannfehlenaberdiekonkretenBeispiele.DerAutor teilt diesesBuchin dreiTeilemit insgesamtdreizehnKapitelnauf. DerersteTeil, bestehendausdenKapiteln1 und 2, beschaftigt sichmit grundlegen-denBegriffen derRechnerarchitekturundgibt eineUbersichtausderGeschichtedesComputers,mit seinenhistorischwichtigstenundgroßtenMeilensteinen.Derzweite Teil umfasstdie Kapitel 3 bis 10. Hier werdendem Lesergrundlegen-de Konzepteund Architekturenverstandlichubermittelt. DieserTeil beschaftigtsich unteranderemmit der Klassifikationder Rechnerarchitektur, denLeit- undRechenwerken,derBefehlssatzarchitektur, derMikroarchitektur, derCache-undHauptspeicherorganisation,sowie derBushierarchieunddenE/A-Systemen.ImdrittenundabschließendenTeil, bestehendausdenKapiteln11, 12 und13, geht

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derAutor auf dieParallelrechner, derenArchitekturen,Verarbeitungundaufpar-alleleSoftwareein. Kritisch anzumerken ist, dassderAutor oft Rechnersystemezur Beschreibungheranzieht,die (sehr)veraltetsindunddaherfur die praktischeVerwendungkeinerleiRelevanzmehrhaben.Positiv zu erwahnenist die guteStrukturierungdesBuches,besondershervorzu-hebenist die gelungeneKapitelubersicht,die sich gleich beim AufschlagendererstenSeiteauf derRuckseitedesEinbandesbefindet.Die Grafiken,die fur dasVerstandnissehrwichtig sind,sindgut gelungenund sind teilweiseauchselbst-erklarend.Zusatzlichwird eineWebseitezu diesemBuch bereitgestellt,auf derUbungsaufgabenund Erganzungenzum Buch laufendaktualisiertwerden. Da-durchwird die am AnfangdieserBuchbesprechungangefuhrteProblematikaufeinfacheWeiseneutralisiert.

DiesesBuchist vor allemfur Studentengedacht,diesichzumerstenMal mit dernicht ganzeinfachenThematikderRechnerarchitekturauseinandersetzen.AberauchfurWissenschaftler, dieschnell(Grundlagen-)InformationenauseinemTeil-gebietderRechnerarchitekturbenotigen,ist diesesBuchsehrzu empfehlen.

G. Haring(Wien)

H. Mittelbach: Einf uhrung in C. (Informatik interaktiv.) Mit 41 Bildern, 27BeispielenundAufgabensowie einerCD-ROM. FachbuchverlagLeipzig im CarlHanserVerlag,Munchen,2001,159S. ISBN 3-446-21655-3P/bDM 29,80.

Angenehmabweichendvom enzyklopadischenStil somancherEinfuhrungeninC bietetdasBuchmit beiliegenderCD-ROM eineinteraktiveLehr- bzw. Lernum-gebung. Im Buchwerdendie wichtigenGrundlagenbeispielhaftvorgefuhrt unddurchVertiefungskapitelaufderCD-ROM sinnvoll erganzt.DeraufderCD-ROMbefindlicheC-CompilererlaubteineunmittelbareVerbindungzwischen’Theorie’undProgrammierpraxis.Hin undwiederim BereichderKapitel3 bis6 allerdingslassensich die mitgelieferten(und im Buch besprochenen)Beispielprogrammenicht fehlerfrei kompilieren. Die dabeioft leicht aufzufindendenFehlerwerdenjedenfalls wettgemachtdurch die Bemuhungen,ein ubersichtlichesC-Lernpro-grammfur denStudierendenundeineKollektionvonFolienundQuelldateienfurdenLehrendengeschicktin denAufbaueinzubinden.

M. Hintermuller (Graz)

U. Schneider, D. Werner (Hrsg.): Taschenbuch der Inf ormatik. 4.,aktualisier-te Auflage. Mit 379Bildern und114Tabellen.FachbuchverlagLeipzig im CarlHanserVerlag,Munchen,2001,876S. ISBN 3-446-21753-3P/bDM 49,80.

DiesesTaschenbuchist sehrubersichtlichin Kapitel gegliedert,dievon verschie-denendeutschenAutorenausdemakademischenBereichgestaltetwurden. DerBogenspanntsichvontheoretischenGrundlagenuberklassischeThemenwie Be-triebssysteme,Programmiersprachenetc.bishin zuMultimedia,Mensch-Compu-

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ter-Interaktion,Bildverarbeitung,Datensicherheitund Internet,um nur einigezunennen.AngesichtsdesbreitenThemenspektrumskannjedoch,selbstbei einemUmfangvon ca.870Seiten,vielesnur angedeutetwerden,wasdie Herausgeberauchei-gensbetonen.Ein Beispiel(durchdieBrille desBesprechersgesehen):DemThe-ma ‘Modellbildung und Simulation’ etwa sind ca.20 Seitengewidmet, davon 5Seitenubernummerische(sic) Modelle. RelevantenumerischeAlgorithmenundeinschlagigeImplementierungsfragenwerdennicht erwahnt.Positiv zu nennenist der umfangreicheAnhang,bestehendauseinemAbkur-zungsverzeichnis(jetzt weiß ich endlich,was RAS bedeutet),einerListe deut-scherundinternationalerNormen,einemLiteraturverzeichnisundeinemausfuhr-lichenIndex. Damit eignetsichdasBuchauchgut alsNachschlagewerk.

W. Auzinger(Wien)

Wahrscheinlichkeistheorieund Statistik— Probability Theoryand

Statictics— Theoriedesprobabilites,statistique

L. Barr eira, Y. B. Pesin: Lyapunov Exponentsand SmoothErgodic Theory.(UniversityLectureSeries,Vol. 23.) AmericanMathematicalSociety, Providence,RhodeIsland,2002,XII+151 S. ISBN 0-8218-2921-1P/b$ 29,–.

DasBuchbieteteinesystematischeDarstellungergodischerEigenschaftendyna-mischerSystemeaufRiemannschenMannigfaltigkeiten.Manmussalsoschonei-nigesuberDifferentialgleichungen,Mannigfaltigkeitenund Ergodentheoriewis-sen,um diesesBuchmit Gewinn lesenzu konnen.DaszentraleHilfsmittel, derMultiplikativeErgodensatz,wird vollstandigbewiesen.DieeinzelnenKapitel lau-ten: Lyapunov Stability Theoryof DifferentialEquations,Elementsof Nonuni-form HyperbolicTheory, Examplesof NonuniformlyHyperbolicSystems,LocalManifold Theory, ErgodicPropertiesof SmoothHyperbolicMeasures.EineguteGrundlagefur dieGestaltungeineranspruchsvollen Vorlesung!

F. Schweiger(Salzburg)

E. Beltrami: What Is Random? Chanceand order in mathematicsand life.Copernicus(Springer),New York, 1999,XX+201 S. ISBN 0-387-98737-1H/bDM 39,90.

DerVerfasserversucht,sichdemBegriff desZufallsvon verschiedenenSeitenzunahern,in einerinsgesamtrechtinformellenArt und Weise. Er beschrankt sichdabeiweitgehendauf 0-1-Folgen.Er beginnt mit einerausfuhrlichenErorterung,wanneine(endliche)Folgealszufallig anzusehenist. DasKapitel

”Unsicherheit

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undInformation“ motiviert anhandeinfacherBeispieledenEntropiebegriff. Ein 3.Kapitel bringt ein auf M. BartlettzuruckgehendesBeispiel,in demsichZufallig-keit undDeterminiertheitnicht leicht auseinanderhaltenlassen.In derFolgegehteraufalgorithmischeFragen(Turing-Maschinen,Komplexitat) ein;das5.Kapitelist FragenderSelbstahnlichkeit, derSelbstorganisationu. dgl. gewidmet.Die mathematischenAnforderungensind sehr niedrig (“accessibleto anyonewith a smatteringof College mathematics”— offensichtlichauf amerikanischeVerhaltnissezugeschnitten,daeigeneAnhangeDingewie geometrischeReihen,Binarentwicklungund Logarithmenersterklaren),sodaßsich die Frageerhebt,ob dem angesprochenenLeserkreisdie Problematikuberhauptzuganglich ist,die sichgewohnlich erstim RahmeneinereingehenderenBeschaftigungmit derWahrscheinlichkeitstheorieergibt. Nochdazufindensich im Text immerwiederweitergehendeBegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung.Also muß dasBuchbruchstuckhaftbleiben.SowesentlicheZugangezumWahrscheinlichkeitsbegriffwie dieTheoriederKollektive (R. vonMisesund,in verbesserterForm,A. Wald)bleibenaußerAcht. Ob die mehroderminderempiristischeSicht desZufalls-problemseinewirkliche Losungbringenkann,bleibt anzuzweifeln:Ob namlichZufalligkeit eineeigeneKategorieim Sinnevon Kantdarstellt,kannsosicherlichnicht entschiedenwerden,aberdarumgehtesja letzlich.NichtsdestowenigerbietetdasBuch eineReiheinteressanterGedanken, die vorallemdiejenigenLeserzu schatzenwissenwerden,die bereitsweitergehendeEr-fahrungenmit derWahrscheinlichkeitsrechnunghaben.

W. Wertz(Wien)

K. Bichteler: Stochastic Integration with Jumps. (Encyclopediaof Mathe-maticsandits Applications89.) CambridgeUniversity Press,2002,XIII+501 S.ISBN 0-521-81129-5H/b £ 70,–.

Thebookprovidesa comprehensive theoryof stochasticintegrationwith jumps.First theauthorgivessomemotivation from physics,introducestheWienerpro-cessandsomemoregeneralmodels.Thenext chapterdealswith integratorsandmartingales.Next the elementarystochasticintegral is extendedvia the Daniellmean. In the fourth chapterthe main topics of integration theory are covered,suchaschangeof measure,martingaleinequalities,theDoob-Meyer decomposi-tion, semimartingales,previsible controlof integratorsandLevy processes.Thelastchapteris devotedto stochasticdifferentialequations.Theappendixprovidescomplementsto topologyandmeasuretheory, makingthebookself-contained.

In his presentation,the author follows the Frenchschool. Topics are coveredwhich arerarely foundin otherbooks,andthematerialis presentedwell. On theotherhand,thebookis written for mathematiciansworking in thisareaandis notrecommendedfor beginners.

E. Hausenblas(Salzburg)

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A. N. Borodin, P. Salminen: Handbook of Brownian Motion—Factsand For-mulae. SecondEdition. (Probability and Its Application.) Birkhauser,Basel,Boston,Berlin, 2002,XV+672 S. ISBN 3-7643-6705-9H/b 131,59.

If youoccasionallywork in probabilityor in statisticsthenyou surelymeetprob-lemslike these:whatis thedistribution of the

(i) maximumin w 0 s 1x of aBesselprocess,(ii) local time of anOrnstein-Uhlenbeckprocess,

(iii) maximumof geometricBrownianmotion.In thebookunderreview youfind answersto theseandsimilarquestionsonmorethan500pagesorderedin auser-friendlyform.The first 150 pagesgive the generaltheoryof the Brownian motion andrelatedprocesses.Fromthispartyou canlearnthedefinitionsof theprocessesoccurringin this book, also the most importanttheoremsrelatedto theseprocesses.ForexampletheIto andtheTanakaformulae,theCameron-Martin-Girsanov transfor-mationandtheRay-Knighttheoremarepresentedin avery intelligible form.

The book in my hand is the secondedition. Comparingit to the first editionyou find 200pagesand1000formulaemore.EspeciallythegeometricBrownianmotion (which is importantin financialmathematics)is studiedin a muchmoredetailedform.I am surethat researchersin stochasticmathematicswill usethis book in theireverydaywork.

P. Revesz(Wien)

G. J. Chaitin: Exploring Randomness.(DiscreteMathematicsandTheoreticalComputerScience.)Springer, Londonu.a.2001,X+164S. ISBN 1-85233-417-7H/b DM 69,–.

DiesesBuchvon Gregory Chaitinsetztdie ReiheseinerWerke fort, die mit TheUnknowableundTheLimitsof Mathematicsim Springer-Verlagbegonnenwurde.DerzentraleBegriff diesesWerkesist jenerder

”Zufalligkeit“ , wie ervon Chaitin

im Rahmender algorithmischenInformationstheoriegepragt wurde. In diesemBuchversuchtderAutor, verschiedeneKonzepteundResultatezur sogenanntenalgorithmischenKomplexitat mittelsProgrammen,die in einemDialekt derPro-grammierspracheLISP geschriebenwurden,zu erlautern.Die LISP-ProgrammemachenetwadieHalftedesInhaltesdiesesBuchesaus.Die andereHalftebestehtausderMitschrift einesVortragesvon ChaitinanderCarnegie Mellon Universi-ty sowie einem(vom Autor sogenannten)theoretischenZwischenspielmit demTitel

”Wasist Zufalligkeit“ .

WesentlicheTeile dertheoretischenPasssagendiesesBuchesstammenausChai-tins MonographieAlgorithmic InformationTheory(CambridgeUniversityPress,Cambridge1987).Leser, die einedetaillierteDiskussiondieserKonzeptesuchen

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undeinepraziseSprachebevorzugen,werdenvermutlichlieberzuLi, M. undVi-tanyi, P.: AnIntroductionto Kolmogoroff Complexity andIts Applications(Sprin-ger-Verlag,New York 1993)greifen.Fur DetailszumInhaltvonChaitinsWerkundfur einekritischeWurdigungseinerphilosophischenSchlussemochteich andieserStelleaufdieinteressanteBuchbe-sprechungvon PanuRaatikainenin denNoticesof theAMS Bd. 48,Nr. 9 (2001)hinweisen.

P. Hellekalek(Salzburg)

J. Haigh: Probability Models. With 15Figures.(SpringerUndergraduateMath-ematicsSeries.)Springer, Londonu.a.2002,VIII+256 S. ISBN 1-85233-431-2P/b 29,95.

DasvorliegendeBuch ist als Einfuhrungin dasbetreffendeGebietgedacht;derAutor selbstgibt im Vorwort an: “The purposeof this bookis to provide a soundintroductionto thestudyof real-world phenomenathatpossessrandomvariation.”KonkretwerdenfolgendeThemenin 9 Kapitelnbehandelt:

ProababilitySpaces;ConditionalProbabilityandIndependence;CommonProb-ability Distributions; RandomVariables;Sumsof RandomVariables;Conver-genceand Limit Theorems;StochasticProcessesin DiscreteTime (BranchingProcesses,RandomWalks,Markov Chains);StochasticProcessesin ContinuousTime (Markov Chainsin ContinuousTime, Queues,Renewal Theory, BrownianMotion: TheWienerProcess);Appendix:CommonDistributionsandMathemat-ical Facts.Eine Bibliographie, die Losungender Ubungsaufgabenund ein Stichwortver-zeichnisschließendasWerk ab.DemAutor ist einerechtlebendigeArt derDarstellunggelungen.Mit einerFul-le von Beispielenverstehter es sehrgut, mathematischeBegriffsbildungenzumotivierenund Theoremezu veranschaulichen.Um dasVerstandnisdesLeserszu erhohen,werdenauch(insgesamtetwa 200) Ubungsaufgabengestellt. IhrevollstandigausgearbeitetenLosungenfindensichamEndedesBandes.Das Buch ist gut geeignetals Einfuhrungin dasim Titel genannteGebietderMathematik.

P. Dorfler (Leoben)

D. Khoshnevisan: Multiparameter Processes. An Introduction to RandomFields. (SpringerMonographsin Mathematics.) Springer, Berlin, Heidelberg,New York, 2002,XIX+584 S. ISBN 0-387-95459-7H/b 94,95.

Thefirst systematictreatmentof the theoryof stochasticprocesseswasgiven byDoob in his classicalbook “Stochasticprocesses”of 1953. Sincethen,mostre-searchin thissubjectwasinfluencedby thisbook.Doobalreadynotedthatmulti-variategeneralizationsof his resultswerevery usefulin thetheoryof probability

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as well as in practicalapplications. In the last 40 years,thereappearedmanypaperson multivariate(multiparameter)processes,frequentlyalsocalledrandomfields. However, so far no book wasentirely devotedto this topic. The presentbookis thefirst onepresentingageneraltreatmentof randomfields.Sincetheap-pearanceof Doob’s book,it hasbeenknown that thetheoryof martingalesis themostimportanttool in the theoryof stochasticprocesses.Hence,it is naturaltoaskaboutmultiparametermartingales.An essentialpartof thebookunderreviewis devotedto thisquestion.The book is divided into two parts: I Discrete-parameterrandomfields, II Con-tinuous-parameterrandomfields.Bothpartsspantheareafrom themostclassicalresultsup to recentresearch.

The bookcanbe recommendednot only to probabilistsbut to anyoneinterestedin theapplicationsof probabilitywithin otherareasof mathematics,particularlyin analysis.

P. Revesz(Wien)

D. Pollard: A User’s Guide to Measure Theoretic Probability. (CambridgeSeriesin StatisticalandProbabilisticMathematics.)CambridgeUniversityPress,2002, XIII+351 S. ISBN 0-521-80242-3H/b £ 60,–, ISBN 0-521-00289-3P/b£ 20,95*.

Thebookcoversthebasictopicsof independence,conditioning,martingales,con-vergencein distribution andFourier transform.It startedasa setof handwrittennotes,helpingstudentsto understandresultssuchasthestronglaw of numbers,thecentrallimit theorem,conditioning,andsomemartingaletheory. Thesenotesexpandedover theyearsandtheresultis this book. Theauthorstartswith somemotivation for measuretheoryandexplainswhy he usesthede Finetti notation.This is followed by a modicumof measuretheory as a basisfor the followingchapters.Theauthormanagesto introducethebasicconceptsof measuretheoryby simple examplesof probability. The only thing onemay criticize is the deFinetti notationusedin thebook.

E. Hausenblas(Salzburg)

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Einfuhrungen—Introductory— Ouvragesintroductoires

K. Janich: Lineare Algebra. NeunteAuflage. Mit zahlreichenAbbildungen.(SpringerLehrbuch.) Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2002,XII+271 S.ISBN 3-540-43587-5P/b 19,95.

Dies ist bereitsdie neunteAuflagedesbekanntenLehrbuches,dasbis auf klei-ne Korrekturenunverandertblieb. Nachweit mehrals 20 Jahrensind somit so-wohl Inhalt als auchStil allseitsbekannt,und der Autor hat andereBucheraufahnlicheWeisemit großemErfolg verfasst. Dennochsind einigeCharakteristi-kaerwahnenswert,weil sieimmernochUnikateoderselteneEigenschafteneinesLehrbuchesfurUniversitatendarstellen.Dazugehoren:Differenzierungnachver-schiedenenZielgruppen,anschaulicheVisualisierungen,MotivationendurchHer-stellungbedeutungsstiftenderBeziehungenund Diskussionenauf verschiedenensprachlichenNiveaus,historischeErganzungen,Ubungen,Tests,Literaturhinwei-se,SatzeohneBeweise,geometrischeundphysikalischeInterpretationenetc.Ambemerkenswertestenist vielleicht, dassdieserText ganzsichervon derMehrheitder Studierendenin eigenerLekture zu bewaltigenund zu verarbeitenist: er istklar und prazisegeschriebenund durch die genanntenSpezifikaauchauf ver-schiedenenAnspruchsniveausverstehbar. Auch werdenunterschiedlicheExakt-heitsniveausrealisiert.Die einzigeHurdekonnteder top-down-Zugangsein,derVektorraumeundlineareAbbildungenvor denMatrizenundlinearenGleichungs-systemenbehandelt,wodurchderenMotivationskraftungenutztbleibt. Idealwareein zyklischerWeg in Form einerSchraubenlinie,derdie ThemenmehrfachaufverschiedenenEbenendurchlauftundvernetzt.NocheinWunsch:esgabesovie-le interessanteaußermathematischeAnwendungen,die z.B. fur Lehrerstudentenvon Bedeutungsind.

W. Dorfler (Klagenfurt)

B. Pareigis: Lineare Algebra fur Inf ormatik er. I. Grundlagen,diskreteMa-thematik,II. LineareAlgebra. (SpringerLehrbuch.) Springer, Berlin u.a.2001,VIII+274 S. ISBN 3-540-67533-7P/bDM 49,–.

DasvorliegendeWerk, dasauszwei Teilen besteht,und zwar Teil I:”Grundla-

gen,diskreteMathematik“ undTeil II:”LineareAlgebra“ , ist ausentsprechenden

GrundvorlesungendesAutorsanderUniversitat Munchenhervorgegangen.Der Autor orientiertsichan denBedurfnissender Informatiker, ohnezu starkineinealgorithmischeBehandlungdesStoffes uberzugehen.Im Vordergrundstehtimmerdie ForderungdesVerstandnissesfur die hinterdenmathematischenAus-sagenstehendenStrukturen.Ein tieferesVerstandnisfur abstrakteStrukturensoll-te ein wesentlichesLebenselixierjedesInformatikerssein.Der ersteTeil gliedertsich in vier Kapitel. Im erstenKapitel uberMengenwerdennebeneiner(axio-matischen)EinfuhrungauchFuzzy-Mengenund Multi-Mengenvorgestellt. Im

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Kapitel 2 uberNaturliche Zahlenwird nebendem Aufbau desZahlensystemesauchdieprimitiveRekursionbesprochen.DasfolgendeKapitel uberalgebraischeGrundstrukturenwird soweit gefuhrt, dassder Informatiker leicht in der Lageist, algebraischeDatenstrukturenund algebraischeSpezifikationenzu verstehen.Die sehrkurzeEinfuhrungin die Graphentheorie(Kapitel 4) fuhrt bis zu binarenBaumenundeinigenihrer Eigenschaften.Der zweiteTeil desWerkesunterglie-dert sich ebenfalls in vier Kapitel, und zwar uber Vektorraume,Matrizen undlineareGleichungssysteme,Eigenwerttheoriesowie EuklidischeVektorraume.Essoll denStudierendengeholfenwerden,dieBruckezwischendenBeschreibungeneinfachergeometrischerBegriffe in affinen Raumenund ihrer algorithmischenBehandlungmit Matrizen zu schlagen. Auf einige fur die Anwendungin derInformatik wenigerwichtige Gebieteder linearenAlgebramussteder Autor —wohl ausPlatzgrunden— verzichten.Die Darstellungdesin deneinzelnenKa-piteln vermitteltenStoffesist gut strukturiert,allerdingswird durchdasgewahlteLayout die Lesbarkeit wesentlichbeeintrachtigt. Auch den eindeutigenBezugzur Informatik bei denBeispielenundUbungsaufgabenvermisstderLesereben-sowie die Losungenzu denUbungsbeispielen.Im Lichte dieserSchwachstellenstellt sichdieFrage,ob dasvorliegendeBuchdieersteWahl seinsollte.

G. Haring(Wien)

W. Walter: Analysis2. Funfte,erweiterteAuflage.Mit 83 Abbildungen.(Sprin-gerLehrbuch.) Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2002,XV+408 S. ISBN3-540-42953-0P/b 29,95.

Diesist die funfteAuflagedesKlassikersvon W. Walter. Am bewahrtenKonzeptwurde naturlich nichts geandert. Einzig und alleine der Bestandan Losungenwurdeerweitert,sodassnunzu fastallenAufgabenLosungenvorliegen.

G. Teschl(Wien)

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Inter nationaleMathematischeNachrichten

Donald Coxeterverstorben

It is with deepregret that I announcethat Donald Coxeter passedaway lastevening.

Donald joined the Departmentof Mathematicsat the University of Toronto in1936andhe spentthe next 67 yearsactively engagedat the University. He wasthesoulandspirit of thegeometryseminarandits mostactive member.Donaldhadbeendescribedby many asthegreatestliving geometer. Undoubtedlythe world’s bestknown geometer, ProfessorCoxeter, hasmadecontributionsoffundamentalimportanceto the Theory of Polytopes,Non-Euclideangeometry,DiscreteGroups,andCombinatorialTheory. Heisbestknown for hisintroductionof whatarenow referredto asCoxetergroups.His nameisattachedto anumberofmathematicalconceptsincludingtheCoxeterdiagram,Coxetercomplex, Coxeterelement,Coxetergraph,Coxeternumber, Coxetersystem,andCoxetercell.

Donaldwasamostprolific writer. Hehadover200publicationsincludingseveralbooks. His work was influential not only in geometrybut also in many otherbranchesof mathematics.Donaldcherishedtheconnectionto musicandarts.Hewasintimatelyinvolved in Escher’swork.Donaldwaswidely recognizedandhonoured.He wasa Fellow of theRoyal So-ciety of Canada(1947),Fellow of theRoyal Society, London(1950),andCom-panionof theOrderof Canada(1997).He holdsanumberof honorarydegrees.Donald remainedactive to the end. In July 2002he gave an invited addressattheconferencein honourof JanosBolyai on HyperbolicGeometryin Budapest,Hungary, andhehadjust completedthefinal toucheson his lastpaper.

He was 96 when he passedaway. Donald is survived by his daughterSusanThomasandhissonEdgar.

JohnBland(Chair, Dept.of Mathematics,Univ. Toronto)

April 1, 2003

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JourneesArithmetiques 2003in Graz

Vom26.-12.Juli werdenanderUniversitat GrazundderTechnischenUniversitatGrazdieXXIII. JourneesArithmetiquesstattfinden.Naheresdazuaufhttp://ja03.math.tugraz.at.

GunterLettl

Sampta2003in Strobl

EndeMai 2003 wird in Strobl (OO) die Tagung‘Sampling Theoryand Appli-cations’ stattfinden. Fur Informationensiehehttp://www. univie. ac.at/NuHAG/SampTA03.

Monika Dorfler

Symposiumzum 70.Geburtstag von WolfgangSchmidt

VomMontag,den6. OktoberbisFreitagden10.Oktober2003findeteinSympo-siumuberDiophantischeProblemeausAnlassdes70.GeburtstagesvonWolfgangSchmidtamErwin Schrodinger-Institutin Wien statt. Insgesamtsind10 Haupt-vortragevon weltweit fuhrendenExpertenauf denGebietenderDiophantischenApproximationund der DiophantischenGleichungengeplant. Daruber hinaussindweiterekurzereVortragevorgesehen.Das Symposiumwird vom Erwin Schrodinger-Institut,vom FWF-Forschungs-schwerpunkt

”ZahlentheoretischeAlgorithmen und derenAnwendungen“ und

von der OsterreichischenMathematischenGesellschaftveranstaltet.EssindalleanZahlentheorieInteressiertenzumBesuchdieserVeranstaltungeingeladen.

RobertTichy

Generalversammlungder IMU

Unterhttp://www.univie.ac.at/EMIS/mirror/IMU/GA-Shangai/report.html findetsichderoffizielle BerichtderGeneralversammlungder InternationalMathemati-cal Union in Shanghai,anderP. GruberundP. Michor alsDelegiertederOster-reichischenAkademiederWissenschaftenteilgenommenhaben.

PeterMichor

DresdenSymposium– Geometrie: konstrukti v und kinematisch

Vom27.Februarbiszum1. Marz2003fandanderTechnischenUniversitatDres-deneinSymposiumzurkonstruktivenundkinematischenGeometriestatt.Eswar

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demGedenkenanProfessorBereisgewidmet.RudolfBereiswurdeam12.Februar1903in Wiengeboren.Er warAssistentundDozentanderdamaligenTH WienbeiProfessorErwin Kruppaundnahmim Jahr1957einenRuf andieTechnischeHochschuleDresdenan,wo eralsDirektordesInstitutsfur Geometriewirkte undwesentlichzu dessenAufbaubeitrug. Profes-sorBereisverstarbnacheinemschwerenLeidenam6. Juni1966in derBerlinerCharite.Eskamenetwa 80 TeilnehmerausDeutschland,Großbritannien,Italien,Kanada,Kroatien,Osterreich,Polen,derSlowakei, derUkraine,Ungarn,denVereinigtenStaatenvon AmerikaundTschechiennachDresden.Aus demreichenVortrags-programmkonnenwir hier nuraufdieHauptvortrageim Detail hinweisen:

J. Angeles (Montreal): Applicationof Dual Algebrato theRobust DesignandAnalysisof SphericalManipulators.

D. Dooner (PuertoRico): On theThreeLawsof Gearing.G. Geise (Dresden):UberdasWirkenvon Prof. RudolfBereis.O. Giering (Munchen):Zur VerknupfungseparaterTeileklassischerGeometrie

– zweiBeispiele.B. Juttler (Linz): Approximative AlgebraicGeometryfor ComputerAidedGe-

ometricDesign.D.-E.Liebscher (Potsdam):SynthetischeGeometrieundRelativitatstheorie.H. Stachel (Wien): WozuDarstellendeGeometrie?

Fernerwurdenin drei parallelenSektionenetwa 60 Kurzvortragegehalten,diesichmit ThemenausfolgendenBereichenbeschaftigten: klassischekonstruktiveGeometrie,Kinematik,computergestutzteGeometrie,Liniengeometrie,Minkow-ski-Geometrie,euklidischeundnichteuklidischeElementargeometrie,Visualisie-rungsowie UnterrichtundDidaktik ausGeometrie.Dabeispielteninsbesonderedie AnwendungenderGeometriein Gebietenwie derRobotik,demMaschinen-bau, dem Bauwesen,dem Computer-AidedGeometricDesignoder der Ange-wandtenKunsteinezentraleRolle.Am RandedesSymposiumswurdein derTU DresdeneineGedenktafelfur Pro-fessorBereisenthullt. Fernerist die Deutsche Gesellschaft fur GeometrieundGraphikgegrundetworden.

Die Tagungwurdevon der DeutschenForschungsgemeinschaftund der Gesell-schaftderFreundeundFordererderTU Dresdene.v. unterstutzt. Die Tagungslei-tunglag in denHandenderProfessorenGertBar, Ulrich BrehmundGunterWeißvomInstitutfur GeometriederTU Dresden.IhnenundihrenMitarbeiterngebuhrtunserherzlicherDankfur diesegroßartigeVeranstaltung.

HansHavlicek (TU Wien)

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Nachrichten der OsterreichischenMathematischenGesellschaft

Brief desVorsitzenden

SeitderGeneralversammlunghatdie Diskussionuberdasvon derRektorenkon-ferenzveranlasste

”RankingderMathematischenInstitutein Osterreich“ unddie

von der OMG angeregte Forschungsevaluierungbei der OMG dominiert. Ge-genuberdemursprunglichenZeitplanhatsichdieneuerlicheBefragungderRek-torendurchdasMinisteriumverzogert.ErstEndeMarzlagendieZustimmungser-klarungenderRektorenderUniversitat Wien,derTU Wien,derUniversitat Graz,der TU Graz,der Universitat Innsbruckund der Universitat Linz vor. Damit istnunabsehbar, dassdie Forschungsevaluierungtatsachlichwie geplantstattfindenwird; die Universitat Klagenfurt hat ja schonfruherentschieden,sich nicht zubeteiligen,dieSituationanderUniversitatSalzburg ist zumZeitpunktdesVerfas-sensdiesesBerichtsnochunklar.Essoll nochmalsklargestelltwerden,dassessichnaturlich nicht um eineEvalu-ierungdurchdie OMG handelt,sonderndassdie OMG lediglich die organisato-rischeKoordinierungeiner durch dasMinisterium anzuordnendenForschungs-evaluierungubernimmt. Die OMG kann und wird keinerlei inhaltlichenEin-flussauf dieseEvaluierungnehmen,die Gutachter(voraussichtlichfunf) werdenvon internationalenGesellschaftenwie der DMV nominiertwerden.ZweckderForschungsevaluierungausSicht der OMG soll es sein, objektive Grundlagenfur etwaige kunftige Ressourcenentscheidungensowohl auf der Ebeneder ein-zelnenUniversitatenals auchdaruberhinaus(etwa im Rahmenvon Leistungs-vereinbarungen)zur Verfugungzu stellen. Dies erscheintgeradeim Hinblickauf daserwahnteRankingdurchdasDeutscheZentrumfur Hochschulentwick-lung (http://www.che.de) besondersangebracht,weil ja in diesesRanking dieForschungnicht oderkaumeingeht. Ich hoffe, dassdie Ergebnisseder Evalu-ierungdie Mathematikin Osterreichinsgesamtstarkenwerdenundessichdamitim Nachhineinzeigenwird, dassdie muhsamenundmanchmalkontroversiellenDiskussionenuberdiesesProjekt,die sichnunschonuberzwei Jahrehinziehen,letztenEndesnichtumsonstwaren.Die von derGeneralversammlungeingesetzteLehrersektionder OMG unterderLeitung von Dr. RobertGeretschlager(Graz)beginnt, Gestaltanzunehmen.Ander Universitat Innsbruckfand (geleitetvon Kollegen Oberguggenberger) eine

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sehrgut besuchteVeranstaltungfur Lehrerstatt,die (wie die GrazerVeranstal-tung,uberdiein einemfruherenHeft berichtetwurde)gezeigthat,dasszahlreicheLehrerdaraninteressiertsind,in Kontaktzur OMG zukommenundinsbesonderefachlicheund fur ihren Unterrichtdirekt nutzbareInformationenzu bekommen.Die Lehrersektionwird ihre Tatigkeit mit derDidaktikkommissionderOMG ab-stimmen.Die Vorbereitungenfur die NachbarschaftstagungderOMG in Bozenlaufengut,derKongressversprichtsowohl wissenschaftlichalsauchgesellschaftlichaußerstattraktiv zu werden.Ich appelliereanalle,diesichnochnicht angemeldethaben,diesnachzuholen(http://www.oemg.ac.at/Bozen2003/).Im Jahr2005werdenzweiTagungenunterBeteiligungderOMG stattfinden,undzwar einerseitsin Mainz (gemeinsammit DMV und EMS) im Marz, anderer-seitsdie traditionelleOMG-Tagung(mit Beteiligungder DMV) in Klagenfurt,derenTerminnunmit 19. bis 23. September2005festgelegt wurde. Der OMG-Vorstandhatfur dieseTagungeinProgrammkomiteeeingesetzt,dasausdenKol-legen Rendl und Muller (Universitat Klagenfurt), Tichy (TU Graz), PottmannundSchmeiser(TU Wien), Reich(Universitat Graz)undOstermann(UniversitatInnsbruck)besteht;alsVertreterderDMV wird Martin Aigner (Berlin) demPro-grammkomiteeangehoren.Der Vorstandbeginnt nun schon,uber die nachsteOMG-Tagung,die im Jahr2007stattfindensoll, zu diskutieren. Wir wollen dasin BozenrealisierteKon-zeptder

”Nachbarschaftstagung“ fortsetzen,undzwar in einemunsererostlichen

odernordlichenNachbarlander. Genauereshoffe ich im nachstenHeft der IMNberichtenzukonnen.

Ich bin nach9 JahrenReferententatigkeit im MarzturnusmaßigausmeinerFunk-tion im FWF ausgeschieden.Ich freue mich, Ihnen berichtenzu konnen,dassmein Vorgangerals OMG-Vorsitzender, o.Univ.-Prof. Dr. Karl Sigmund,nichtnur als Referent,sondernsogarals Vizeprasidentim FWF tatig seinwird. Ichwunscheihm viel Erfolg fur seineTatigkeit im FWFim InteressederMathematikundder osterreichischenWissenschaft.Wie wir alle wissen,ist derFWF wie al-le osterreichischenForschungsforderungseinrichtungenin die aktuellepolitischeDiskussiongeraten,ausderer moglichstbaldundmoglichstunbeschadetwiederherauskommenmoge.Wir habenheuersowohl fur denStudienpreisals auchfur denForderungspreisder OMG deutlich mehr Vorschlagebekommenals in den letztenJahren. DerVorstandhat in seinerletztenSitzungentscheidungsbefugteKommissionenfurdie VergabedieserPreiseeingesetzt,die bis Mitte Juni ihre Entscheidungtref-fenwerden.DerForderungspreistragerwird (gemeinsammit demPreistragerdesletztenJahres,ao.Univ.Prof. Dr. Jorg Thuswaldner)eingeladenwerden,auf derTagungin BozeneinenVortrag zu halten. Fur den Schulerpreis,den wir der-zeitausgesetzthaben,sindzwar ausKreisenderOMG keineweiterenVorschlagegekommen,dochgibt esPlanedesMinisteriumsfur einenWettbewerb nachArt

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von”Jugendforscht“ , dermoglicherweisemit demOMG-Schulerpreiskombiniert

werdenkonnte.Uberendgultige ErgebnissederGesprache,die darubermit demMinisteriumgefuhrtwerden,kannhoffentlich baldberichtetwerdenDie AkademiederWissenschaftenhatin dieMathematikstarkinvestiert:Am 28.Marz fandin Linz die Eroffnung desJohannRadonInstitutefor ComputationalandApplied Mathematicsstatt;uberdiesesInstitut wird anandererStellein die-semHeft kurz berichtet.

o.Univ.-Prof.Dipl.-Ing. Dr. HeinzW. Engl

Protokoll der Generalversammlungder OMG

Zeit: Montag,9. 12.2002,16:15– Ort: Nobauer-Horsaal,TU Wien

Tagesordnung

1. FeststellungderBeschlussfahigkeit2. Berichte des Vorsitzendenund weiterer Vorstandsmitglieder, insbesondere

desKassiers3. BerichteausdenLandessektionen4. BerichtderRechnungsprufer undgegebenenfalls EntlastungdesVorstands5. Neuwahl derLandesvorsitzendenunddesBeirats6. Neuwahl derRechnungsprufer7. VerleihungdesForderungspreisesundderStudienpreise8. Organisationderschul-undfachhochschulbezogenenAktivitatender OMG;

Didaktikkommission,Lehrersektion(inkl. Wahlen)9. SpendenaktionenderOMG (MathematikbibliothekPrag,Dritte Welt)

10. Allf alliges

H. EngleroffnetdieGeneralversammlungum 16:15Uhr.

Top 1 Die Beschlussfahigkeit ist gegeben.

Top 2 Im vergangenenJahrgabes33Neueintritte,6 Austritteund4 Todesfalle.VerstorbensindProf. Dr. HeinzBauer(Erlangen),Prof. Dr. AnnaJarossy(Klos-terneuburg), Univ.-Prof. Dr. Hans-ChristianReichel (Wien), em. o.Univ.-Prof.Dr. LeopoldVietoris (Innsbruck).Die Generalversammlungerhebtsichzu einerSchweigeminute.

Der Bericht desVorsitzenden,1 H. Engl, befasstsich mit den folgendenPunk-ten: StandigeKooptierungder Landessektionsvorsitzendensowie von G. Teschl

1Der Berichtwurdein demIMN 191(Dez.2002)als”Brief desVorsitzenden“ publiziert.

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alsVerantwortlichemfur dieHomepagederOMG in denVorstand;BelebungderTatigkeitenderLandessektionen,Geldbereitstellungfur dieOffnungderOMG zuLehrernund Schulern, Nachbarschaftstagungder OMG in Bozen2003als Mo-dell fur weitereNachbarschaftstagungen,Diskussionder Tagungen2005. DiegroßegemeinsameTagungderOMG undDMV findetim September2005in Kla-genfurt statt (mit Generalversammlung),zusatzlich wird sich die OMG an derAMS-DMV-Tagungin Mainz im Marz2005beteiligen.Es folgt ein Bericht uberdenStandund die Entwicklungder Evaluierungs-undRankingdiskussion.Preise: Der Schulerpreiswar ausgesetztworden und solldurchdie Lehrersektionaktiviert werden. Die Frageder Offnung desStudien-undForderpreiseswird diskutiert.

I. Troch berichtetals stellvertretendeKassierin,dassdie Einnahmen/Ausgabenrelativ ausgeglichenwaren.

Top 3 M. Oberguggenberger(Innsbruck)berichtetuberdenStandderOrganisa-tion derNachbarschaftstagungBozen2003.P. Zinterhof(Salzburg) berichtetubergeplanteAktionen zur Gewinnung der Lehrerschaft.H. Kautschitsch(Klagen-furt) berichtetuberTagungsplanungenund Vortrage,C. Schmeiser(Wien) uberdiePlanemit math.space.Es folgt ein ausfuhrlicherVortragvon R. Taschner(Wien) uberdasKonzeptvonmath.spaceim Museumsquartier, Eroffnung im Janner2003, siehehttp://math.space.or.at

Top 4 Die Kassenprufer W. Kuich undH. Trogerberichten,dasssienachstich-probenartigerPrufung der Buchhaltungvon 2001 diesefur fehlerfrei erachten.DerKassierundseineStellvertreterinwerdeneinstimmigentlastet.

Top 5 und 6 Die Wahlvorschlagefur die Landessektionsvorsitzenden,denBei-ratunddieRechnungsprufer sind:Landesvorsitzende:Graz: L. Reich,Innsbruck:M. Oberguggenberger, Klagen-furt: H. Kautschitsch,Linz: G. Larcher, Salzburg: P. Hellekalek, Wien: C.Schmeiser.Beirat: C. Binder, H. Burger, C. Christian, U. Dieter, G. Gottlob,P. Gruber, G.Helmberg , H. Heugl,E. Hlawka, W. Imrich, M. Koth , W. Kuich, R. Mlitz, W.Nowak,N. Rozsenich, K. Sigmund,H. Sorger, H. Stachel,H. Strasser, G.Teschl,H. Troger, undW. Wurm.

Rechnungsprufer: W. KuichundH. Troger.

Die VorschlagewerdeneinstimmigperAkklamationangenommen.

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Top 7

Die Ehrungenbeginnenmit der Verleihungder GoldenenInzingermedaillean die Eh-renmitgliederProf.G. Helmberg (Innsbruck)und Prof. L. Reich (Graz). Die Ehrenmit-gliedschaftwar schonfruherverliehenwor-den. Die Generalversammlung2002 er-schienalswurdigerAnlass,dieEhrenmedail-le zu uberreichen.Prof. Helmberg nahmdieMedailledankendentgegen,Prof.ReichwaramKommenverhindert.

Anschließenderfolgte die Verleihung desForderungspreisesder OMG an ao. Univ.Prof. Dr. Jorg Thuswaldner, Leoben, fur

”WissenschaftlicheArbeitenauf demGebiet

der Zahlentheorieund Kombinatorik“ . DieLaudatiohielt Prof. Dr. PeterKirschenho-fer,2 mit anschließendenDankesworten desPreistragers. G. Helmberg

J.Thuswaldner, H. Engl

Die StudienpreisegingenanDr. TheresiaEisenkolbl, Univ. Wien, fur “RhombusTilings andPlanePartitions”undDr. ClemensFuchs,TU Graz,fur “QuantitativeFinitenessResultsfor DiophantineEquations”.Die Laudatiofur beidePreistragerubernahmProf.Dr. GerhardLarcher.

2Die Laudatioist im AnschlussandasProtokoll abgedruckt.

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C. Fuchs Th. Eisenkolbl, G. Larcher

Top 8 Esging umdieNeuorganisationderschul-undfachhochschulbezogenenAktivitatenderOMG.G. Teschlberichtetuber die FH-bezogenenAktivitaten. Fur die Didaktikkom-missionwar W. Schloglmannals interimistischerLeiter, fur die geplanteLehrer-sektionDr. R. Geretschlagertatig. Die beidenKommissionenerganzeneinandergegenseitig,wasauchdadurchzum Ausdruckkommensoll, dassdie jeweiligenVorsitzendenauchMitgliederderjeweilsanderenKommissionseinwerden.W. Schloglmannberichtetuber die Tatigkeit der Didaktikkommissionim Jahr2002. Essei ihre Spezifizitat zu nutzen;in Zukunft wird esum denOberstufen-lehrplanund die Problematikder Standardsgehen.Fortbildungsveranstaltungenwerdendurchgefuhrt (bisherhauptsachlichin Wien).

Wahlvorschlagefur die Didaktikkommission: Vorsitz: WolfgangSchloglmann.Alle bisherigenMitglieder sowie FranzPauerund LandesschulinspektorMag.WolfgangWurm.DerVorschlagwurdeeinstimmigangenommen.R. Geretschlagerberichtetuberdie Ziele derLehrersektionin der OMG. DiesesForum werdedringendbenotigt, als Dachorganisationfur die ARGEs, fur denKontaktzu Lehrernundfur Lehrerfortbildung.EsgabeineStartveranstaltunginGraz,im Feber2003einein Innsbruck.

Antragauf GrundungderLehrersektionmit VorsitzRobertGeretschlager:Antrag: Die GeneralversammlungermachtigtdenVorstandderOMG, neueMit-gliederin dieLehrersektionzuentsenden;derenBestatigungerfolgt in derjeweilsnachstenGeneralversammlung.BeideAntragewerdeneinstimmigangenommen.

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Top 9 P. Gruberberichtetuberdie dringendbenotigteHilfe fur die vom Hoch-wasserschwerbeschadigteBibliothek der Karlsuniversitat Prag.Ca.10.000be-schadigteBuchersind derzeit tief gefroren,aberpraktischverloren. Als ersteHilfsinitiative wurdedasSpendenkonto

Kto. Nr. 52078694201,BA-CA, BLZ 12000

eingerichtet.Die OMG, einigePrivatpersonenundOrganisationenhabenbereitsgespendet.Als zweiteHilfsinitiative bestehtdieMoglichkeit, Bucherzuspenden.Anmeldungbzw. NachfragedesBedarfesan: peter.gruber@tuwien.ac.at

SpendenaktiondesCDC (Committeefor DevelopingCountriesder EMS): EineBotschaftdesVorsitzendenH. Fleischnerwird verlesen. Es geht darum,Ent-wicklungslandernkurz- undmittelfristig Literaturzur Verfugungzu stellen.DasSpendenkonto ist:

Kto. Nr. 52078765601,BA-CA, BLZ 12000

EswerdenauchSachspendenbegrußt. Dazuwendemansichbitte an: fleischner@oeaw.ac.at.

Top 10 KeineWortmeldung.Die Versammlungendetum18:00Uhr.

Im AnschlussandieGeneralversammlungwurdeeinvonderOMG mitproduzier-tes Videointerview mit Prof. HaraldNiederreitervorgefuhrt (Interviewer: Prof.G. Larcher). Das Videointerview wird von allen Beteiligtenals sehrgelungenbetrachtet.

Laudatio anlaßlich der Verleihung des Forderungspreisesder OMG anHerr n ao.Univ. Prof. Dr. Jorg Thuswaldner

SehrgeehrterHerr Vorsitzender, sehrgeehrteDamenundHerren!

Esist fur micheinebesondereFreude,IhnendendiesjahrigenForderungspreistra-ger, Herrnao.Univ.Prof. Dr. Thuswaldner, vorstellenzu durfen. LassenSiemichzunachstmit einigenAngabenzumLebensweg vonHerrnThuswaldnerbeginnen.

Er wurde am 11. August 1971 in Leobengeboren. Im Alter von funf Jahrenist er mit seinenEltern nachHallein ubersiedelt,wo er die Volksschuleund dasRealgymnasiumbesuchtund1989maturierthat.Die nachstenbeidenJahrehat er in Salzburg verbrachtund dort denerstenStu-dienabschnittdesStudiumsMathematikabsolviert.ErstefachlicheKontaktemitGrazerMathematikernhabenihn dazuveranlasst,1991aufdasStudiumderTech-nischenMathematikanderTU Grazuberzuwechseln.1995haterdiesesDiplom-studiummit ausgezeichnetemErfolg beendet.

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SeineDiplomarbeit”AnalytischeMethodenzur asymptotischenUntersuchung

von Funktionalgleichungenund zur probabilistischenAnalysekombinatorischerAlgorithmen“ , die Herr Kollege Tichy betreuthat, brachteihn mit einemwich-tigenTeilgebietderMathematikin naherenKontakt,in demMethodenderAna-lysis, der DiskretenMathematikund der Wahrscheinlichkeitstheoriekombiniertwerden,um Aussagenuberdasaveragecase-Verhaltenvon Algorithmenzu er-zielen. Im Dezember1995erhielt Herr ThuswaldnerdenWurdigungspreisdesBundesministersfur Wissenschaftfur seineausgezeichneteDiplomarbeit.Herr Thuswaldnerhat im Anschlussdaransehrrascheineebenfalls ausgezeich-neteDissertationmit demTitel

”KanonischeZiffernsystemeundprobabilistische

Zahlentheoriein Zahlkorpern“ fertiggestellt.Auch dieseArbeit hatHerr KollegeTichy vergeben.HerrThuswaldnerhatbereitsim Dezember1996seinDoktorats-studiumalsDoktor derTechnischenWissenschaftenabgeschlossen.Im gleichenMonaterhielter denStudienpreisderOMG.

WahrendHerr Thuswaldnerzur Zeit derAbfassungderDiplomarbeitin ein Pro-jekt der osterreichischenNationalbankan der TU Grazeingebundenwar, hat ernebender AbfassungseinerDissertationbei Herrn Tichy auchan der TU WienalsVertragsassistentbeiHerrnKollegenKuichgearbeitet.AusdieserZeit stammtauchunsereersteBekanntschaft.Etwa zum Zeitpunkt,zu demHerr Thuswald-ner seineDissertationbeendethat, wurde ich an die Montanuniversitat Leobenberufenundhattedie Moglichkeit, eineAssistentenstellezu besetzen.Die breitemathematischeBildung von HerrnThuswaldnerließ ihn mir besondersgeeignetfur eineMitarbeit erscheinen,undHerr Thuswaldnerkonnteim Februar1997furmeineAbteilungin Leobengewonnenwerden.So wie Herr Thuswaldnersehrraschpromoviert hat, konnteer auchin bemer-kenswertrascherZeit eineFulle von Arbeitenvorlegen,auf die ich spaternocheingehenwerdeunddiedazufuhrten,dasserbereitsim Juni2000anderTU Grazfur dasFach

”Mathematik“ habilitiertwurde.Ich mochtenurerwahnen,dassauch

die zwischenzeitlicheAbsolvierungdesZivildienstesseinerPublikationstatigkeitkeinerleiUnterbrechungbescherthat.Seit Oktober2000ist Herr ThuswaldneraußerordentlicherUniversitatsprofessoranunseremInstitutanderMontanuniversitat Leoben.NunaberzudenSchwerpunktenseinerwissenschaftlichenTatigkeit: Dieselassensichgrobin dieBereiche

1. VerallgemeinerteZiffernsysteme2. Selbstahnlicheundselbstaffine Fraktalesowie3. AsymptotischeAnalysekombinatorischerAlgorithmen

einteilen. Erscheinendie erstenbeidenThemenauf den erstenBlick weit vonder dritten Thematikentfernt,so zeigensich bei nahererBetrachtungdurchausinhaltlicheBezuge:

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StudiertmandenMittelwert der Ziffernsummeder erstenn naturlichenZahlen,zum Beispiel in ihrer Darstellungim Binarsystem,so sagtein klassischesRe-sultatvon Trollope und Delange,dassder Korrekturtermgegenuberdemzu er-wartendenMittelwert log2 } n��� 2 exakt ausgedruckt werdenkanndurchdenWertF } log2n� einerstetigenperiodischenFunktionF } x� mit Periode1, die nirgendsdifferenzierbarist, und derenFourierentwicklungangegebenwerdenkann. Ent-sprechendeResultatekonntenfur kompliziertereZiffernfunktionenund andereZiffernsystemevoneinerReihevonAutorengefundenwerden.Die Resultate,diezunachstvon rein innermathematischemInteresseerscheinen,habeneineReiheunerwarteterAnwendungen.Sohangtetwa dermittlereAufwandeinesbekann-tenParallelsuchalgorithmus,des“odd-even-merge” nachBatcher, engzusammenmit dem Mittelwert der Ziffernsummenfunktionin der sogenanntenGraycode-DarstellungnaturlicherZahlen.ZentralesThemaeinerReihevon Arbeitenvon Herrn Thuswaldnerist dasStu-dium von kanonischenZiffernsystemenin algebraischenZahlkorpern. Viele derin gewohnlichenq-adischenSystemeneinigermaßenleicht zuganglichenFrage-stellungenerweisensichuberalgebraischenZahlkorpernalsweitausdiffiziler, invielenFallenist erstein geeignetesInstrumentariumzur Untersuchungzu entwi-ckeln.Herr Thuswaldnerhatsichunteranderemmit derVerteilungderZiffernsummen-funktion in Restklassenbeschaftigt undkonnteein klassischesResultatvon Gel-fondaufkanonischeZiffernsystemeuberalgebraischenZahlkorpernverallgemei-nern. ZentralesHilfsmittel war dabei,wie auchin vielenweiterenArbeiten,dasdetaillierteStudiumdessogenanntenFundamentalbereichesdesZiffernsystemes.Etwasvereinfachtausgedruckt handeltessichdabeiumeinegeometrischeReali-sierungderjenigenZahlen,derenganzzahligerAnteil gleichNull ist. Im BereichderGaußschenganzenZahlenfuhrt dieszumsogenannten

”twin dragon“ , einem

ausderTheoriederFraktalewohlbekanntenObjekt.Ganzallgemeinist esnunso,dassdie fraktalenEigenschaftendesRandesdesFundamentalbereicheswichtigeRuckschlusseauf EigenschaftendeszugehorigenZiffernsystemszulassen.HerrThuswaldner hat unter anderemfur den Fall reellquadratischerZahlkorper dieBox-DimensiondesRandesberechnet.DabeifandengeeigneteAutomatenAn-wendung,dasichderRandalseinevon diesenAutomatengesteuerteselbstaffineMengeerweist.Ein weitereswichtigesResultatbeschaftigt sichmit der Ziffernsummenfunktionvon Polynomenmit Koeffizientenaus  Hw i x . Durchdiffizile Exponentialsummen-abschatzungenkonnteu.a.gezeigtwerden,dassdieseFunktionasymptotischnor-malverteilt ist.EineVerallgemeinerungdesFundamentallemmasvonKubiliusfur Idealein belie-bigenZahlkorpernhatesHerrnThuswaldnererlaubt,einenSatzvom Erdos-Kac-Typ uberdieVerteilungderAnzahlderverschiedenenPrimfaktorenderZahlenin Hw i x zu gewinnen,derenZiffernsummein einervorgebenenRestklasseliegt.

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Die Resultatevon HerrnThuswaldnerhabenauchBezugezur Kryptographie.IndiesemZusammenhangspielenbestimmteredundanteBinarsystemeeinewichti-ge Rolle. UnterZuhilfenahmederMellin-PerronschenSummationstechnikkon-nenmit funktionentheoretischenArgumentensehrpraziseResultateuberdiesum-matorischeFunktionderentsprechendenZiffernfunktiongewonnenwerden.Da-zu ist insbesonderedie analytischeFortsetzungeinerDirichletreiheubergewisseWertederHurwitzschenZetafunktionzustudieren.Zum oben erwahntendritten SchwerpunktseinerPublikationen,dem BereichderAnalysevon Algorithmen,mochteich dasStudiumdesasymptotischenVer-haltensder Losungenvon q-Differenzengleichungenerwahnen. EntsprechendeFunktionalgleichungenhabeneine wichtige Anwendungetwa bei der Untersu-chungsogenannterdigitalerSuchbaume,wichtigenDatenstrukturin derInforma-tik. WiederumerlaubenesgeeigneteIntegraltransformationen,dasStudiumderauftretenden

”HarmonischenSummen“ auf dasStudiumdeslokalenVerhaltens

von komplexenFunktionenin derNaheihrerSingularitatenzuruckzufuhren.Wie Sie ausmeinenAusfuhrungenentnehmenkonnen,hat Herr Thuswaldnerin vielen seinerArbeitenmit großemGeschickverschiedenartigeMethodenderAnalysis,derZahlentheorieundderdiskretenMathematikzumEinsatzgebrachtundkombiniert,umtiefliegendeResultatezuerzielen.HerrThuswaldnerhatbereitsanzahlreichenProjektenmitgewirkt undeineReiheinternationalerKooperationenaufgebaut.Ich will hiernuraktuelldieMitwirkunganProjektendesForschungsschwerpunktes

”ZahlentheoretischeAlgorithmenund

Anwendungen“ desFWF erwahnen,derdiesesJahrnacheingehenderinternatio-nalerBegutachtungin die zweitePhaseeingetretenist. InternationaleKontaktemit ForschernausChina,Israel,JapanundRusslandhabenbereitszuzahlreichengemeinsamenPublikationengefuhrt undHerrnThuswaldnerentsprechendeAus-landseinladungeneingetragen.SeinezahlreichenKooperationenmit KollegenausGraz,Linz undWien zeigenauchseinestarke Vernetzungin derosterreichischenForschungslandschaft.Ich glaube,dassdieOsterreichischeMathematischeGesellschafteinenPreistragerauserwahlt hat,derdieserAuszeichnungalsWissenschafterwie alsPersonin ho-hemMaßewurdig ist undeinevielversprechendeZukunft vor sichhat.In diesemSinnedarf ich demPreistragerallesGutewunschenundmichbei Ihnenfur Ihre Aufmerksamkeit bedanken.

PeterKirschenhofer(MU Leoben)

Mathematik – faszinierendeForschung und aktuelle Anwendungen: Inf or-mationsveranstaltung an der Universitat Innsbruck

Am Montag,den24. Feber2003wurdevon denInnsbrucker Mathematikinstitu-ten,derOsterreichischenMathematischenGesellschaftunddenArbeitsgruppen-

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leiter/innenAHS, HAK undHTL Tirol zu einerInformationsveranstaltung”Ma-

thematik– faszinierendeForschungundaktuelleAnwendungen“ in denHorsalendesViktor-Franz-Hess-Hauses(Universitat Innsbruck)geladen.Ziel war es,dieneugegrundeteLehrersektionderOMG – nachdemVorbild einerahnlichen,er-folgreichenVeranstaltunganderTU Grazim Oktober2002– der Offentlichkeitnahezubringen.Ziel war auch,die Aktualitat undFaszinationderMathematikinForschungundAnwendungzuvermitteln,undLehrendeundLernendeanSchuleundUniversitat zueinanderzu fuhren.Ungefahr 80 Teilnehmer, je zur Halfte Lehrerinnenund Lehrerund interessier-te Schulerinnenund Schuler, warenvon den angebotenenVortragenbegeistert.Diese umfassteneinen Vortrag von Heinz Engl (Universitat Linz und OMG-Vorsitzender)zum Thema

”Mathematikund Industrie“ , einenVortragvon Her-

wig Hauser(Universitat Innsbruck)zu”Singularitatenin der Geometrie“ sowie

vier je zweimal gehalteneWorkshops(Arne Dur, Manfred Husty, AlexanderOstermann,OtmarScherzer, alle Universitat Innsbruck)zu denThemen

”Com-

putergraphik“ ,”Kinematik von Flugsimulatoren“ ,

”Bahnberechnungvon Him-

melskorpern“ ,”MathematischeBildverarbeitung“ . An einigenPrasentationsti-

schenwurdenvonNachwuchsforschernderUniversitat InnsbruckmathematischeProjektevorgestellt,die die Aktualitat der mathematischenForschungin Inns-bruckweiterunterstrichen.Abgerundetwurdedie VeranstaltungdurcheinenBuchertischund eineVorfuh-rung von Montessori-Materialien.Zum Abschlussder Veranstaltunggabesfurdie LehrerschafteineDiskussionzu dengeplantenAnderungenim Oberstufen-lehrplan,gestaltetvom VorsitzendenderLehrersektionin der OMG, RobertGe-retschlager(Graz). Die lokale Organisationder Veranstaltungwurdevon FranzPauer(Universitat Innsbruck),MichaelOberguggenberger(VorsitzenderderLan-dessektionTirol derOMG) undMonikaGabriel-Peer(ARGE-LeiterinHTL Tirol)mit UnterstutzungdurchHeinerJuen(ARGE-LeiterAHS Tirol) undMarkusPaul(ARGE-LeiterHAK Tirol) durchgefuhrt.Die VeranstaltungwurdesehrgutangenommenundhatihreZiele erreicht.

MichaelOberguggenberger(Innsbruck)

Personliches

O. Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. HeinzEngl (Universitat Linz) wurdezumMitgliedundstellvertretendenVorsitzendendesUniversitatsratsderTU Grazgewahlt.

Prof.Dr. WolfgangSchmidt(Universityof Colorado,Boulder)erhieltam11.Marz2003in WiendasEhrenzeichenfur WissenschaftundKunstI. Klasse.

O. Univ.-Prof.Dr. Karl Sigmund(Universitat Wien) wurdezumVizeprasidentendes

”FondszurForderungderwissenschaftlichenForschung“ (FWF) gewahlt.

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NeueMitglieder

Mirjam Dur , Prof. Dr. — FachbereichMathematik,TU Darmstadt,Schlossgar-tenstr. 7, D 64289,Deutschland.geb. 1970. 1988bis 1996StudiumMathema-tik Diplom sowie Mathematik/FranzosischLehramtUniv. Wien, 1996bis 1998DoktoratsstudiumAngewandteMathematikUniv. Trier, 1998bis2002Univ. Ass.Institut f. StatistikderWU Wien,seit2003Juniorprofessorinfur OptimierungamFachbereichMathematikderTU Darmstadt.e-mailduer@mathematik.tu-darm-stadt.de.

Monika Gabriel-Peer, Mag. — StamserFeld1, A 6020Innsbruck.geb. 1954.1972bis1978Studium,1978ProbejahramGymnasiumSillg., seit1978LehrerinanderHTL Anichstr. in Innsbruck(Angew. Mathematik,Angew. Physik,Angew.ChemieundOkologie,seit2000auchDarst.Geometrie).e-mailmonika.gabriel-peer@utanet.at.

Maria Kuberger, Mag. Dr. — Klammstr. 23, A 6020 Innsbruck. geb. 1948.LehramtsstudiumMathematikPhysik Univ. Innsbruck,Sponsion1972, Dokto-ratsstudiumbei Prof. R. Liedl, Promotion1977. Seit 1974Lehrerin(Mathema-tik, Physik,Informatik) amBORGInnsbruck,Betreuungslehrerinfur Unterricht-spraktikanten.e-mailbikue@asn-ibk.ac.at.

Gertrud Leuprecht, Mag. — Gymnasiumstr. 5,A 6600Reutte.geb. 1964.AHS-Lehrerin,BRG Reutte.e-mailg.leuprecht@tirol.at.

SusanneSaminger, Mag. — Abt. FuzzyLogic LaboratoriumLinz-Hagenberg,Univ. Linz, Altenbergerstr. 69, A 4040Linz. geb. 1975. 1993bis 2000StudiumMathematikund PhysikLehramtTU Wien, wissenschaftlicheMitarbeiterinamFuzzyLogic LaboratoriumLinz Hagenberg, seit2000UniversitatsassistentinamInstitut fur Algebra,StochastikundwissensbasiertemathematischeSystemederUniv. Linz. e-mailsusanne.saminger@jku.at.

Camillo Signor, Mag. Dr. — Neubaug.56/2/9,A 1070Wien. geb. 1952. 1977bis 1983DiplomstudiumMathematikUniv. Wien, 1983SponsionzumMag. rer.nat,1983/84ScholaramInstitut fur HohereStudien,seit1984Software-Entwick-ler bei derSiemensAG Ostereich,1991bis 1994DoktoratsstudiumMathematikUniv. Wien,1994PromotionzumDr. rer. nat.e-mailcamillo s@nextra.at.

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Wolfgang Timischl, Mag.Dr. — Korosistr. 170,A 8010Graz.geb. 1953.1968bis 1972UniversitatsassistentInst. f. MathematikUniv. Graz,seit 1972LehrerHTL Graz-Gosting,1973bis1996LehrbeauftragterInst. f. Statistikanderrechts-und sozialwissenschaftlichenFakultat der Univ. Graz, 1995 bis 2002 Lehrbe-auftragteram Fachhochschul-StudienlehrgangAutomatisierungstechnikfur Be-rufstatigein Graz.e-mailwolfgang.timischl@campusgraz.at.

Sandra Trenovatz — Institut f. Finanz-und Versicherungsmathematikder TUWien, WiednerHauptstr. 8–10/105,A 1040 Wien. geb. 1973. e-mail sandra@fam.tuwien.ac.at.

SCHOOL SCIENCE AND MATHEMATICS

Join the thousands of mathematics educators throughout the worldwho regularly read SCHOOL SCIENCE AND MATHEMATICS — theleader in its field since 1902. The journal is published eight timesa year and is aimed at an audience of high school and universityteachers. Each 96 page issue contains ideas that have been tes-ted in the classroom, news items to research advances in mathema-tics and science, evaluations of new teaching materials, commentaryon integrated mathematics and science education and book reviewsalong with our popular features, the mathematics laboratory and theproblem section.

The institutional subscription rate for foreign subscribers is US$ 46,–per year (surface mail), US$ 96,- per year (air mail).

Orders should be addressed to

School Science and Mathematics, Dr. Donald PrattCurriculum and Foundations, Bloomsburg University

400 E Second Street, Bloomsburg, PA 17815, USA

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8. OsterreichischesMathematikertr effenNachbarschaftstagungin Kooperationmit SIMAI undUMI22.bis 26.September2003in Bozen

Das8. Treffen der OsterreichischenMathematischenGesellschaftwird vom 22.bis26.September2003alsNachbarschaftstagungin Kooperationmit denitalieni-schenPartnergesellschaftenSIMAI undUMI in denneuenKonferenzraumenderEuropaischenAkademieBozenstattfinden.Die zweiteAussendungliegt diesemHeft bei; sieheauchdie InternetseitederKonferenz

http://www.oemg.ac.at/Bozen2003/

Wir bitten,dieendgultige Anmeldungbis 30.Juni2003vorzunehmen.

8th Meeting of the Austrian Mathematical SocietyJointConferencein Cooperationwith SIMAI andUMISeptember22–26,2003,Bozen/Bolzano

The8th meetingof theAustrianMathematicalSocietywill take placein thenewconferencefacilitiesof theEuropeanAcademyin Bozen/Bolzano,September22–26, 2003,asa joint conferencein cooperationwith the Italian partnersocietiesSIMAI andUMI. Pleasefind the secondannouncementasan attachmentto thisissueor consulttheconferencewebpage:

http://www.oemg.ac.at/Bozen2003/

We askyou to kindly submityour registrationby June30,2003.

VIII Convegnodella Societa di Matematica AustriacaConvegnoin Cooperazioneconle societa SIMAI edUMI22–26settembre2003,Bolzano

L’ottavo Convegno della Societa di MatematicaAustriaca si terra nel nuovoCentro Congressidell’AccademiaEuropeadi Bolzano dal 22 al 26 settembre2003. Il convegno si svolgera in cooperazionecon le societa italianeSIMAI edUMI. Questaedizionedi IMN contieneil secondoannuncio,ancheconsultabileattraversole pagineWebdel convegno:

http://www.oemg.ac.at/Bozen2003/

Si pregadi inviareil modulod’iscrizionecompilatoentroenonoltre il 30giugno2003.

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