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A N A L IS IS

M A T E M Á T IC OP A R A E S T U D IA N T E S DE C IE N C IA E IN G E N IE R ÍA

(T E R C E R A E D IC IO N )

♦ INTEGRAL INDEFINIDA

♦ INTEGRAL DEFINIDA

♦ APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA

♦ INTEGRALES IMPROPIAS

♦ APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA A LA FISICA

♦ INTEGRACION NUMERICA

♦ FUNCIONES ESPECIALES

♦ ECUACIONES PARAMETRICAS

♦ COORDENADAS POLARES

EDUARDO ESPI NOZA RAMOS

L I M A - P E R U

IMPRESO EN EL PERÚ

03 - 03 - 2002

3 S ED IC IÓ N

DERECHOS RESERVADOS

Este libro no p u ed e rep ro d u cirse to tal ó p ar cialm en t e p o r ningún m éto d o

g ráf ico , elect r ó n ico o m ecán ico , in clu yen d o los sistem as d e f o t o co p ia,

registros m ag n ét ico s o d e alim en tació n d e d ato s, sin ex p reso

co n sen t im ien to d el au to r y Editor.

RUC

Ley d e D erech o s d el Autor

Registro co m ercial

Escritura Pu b lica

Ne 10070440607

Nf i 13714

Ne 10716

Ns 4484

En la presente obra Intitulada “Análisis Matemático II para Estudiantes de

Ciencia e Ingeniería” en su 3ra. Edición, hemos aprovechado de los numerosos y valiosos

comentarios y sugerencias de mis colegas que elaboran en las diversas universidades de la

capital, al igual que la 2da. Edición se expone en forma teórica y práctica, los métodos de

integración, integral definida, integración impropia, integración numérica. Ecuaciones

Paramétricas, Coordenadas Polares y sus aplicaciones, las funciones Beta y Gamma, ios

polinomios de Taylor, así mismo se ha incluido en las integrales indefinida las ecuaciones

diferenciales sencillas y sus aplicaciones, se ha hecho la demostración de las propiedades de la

integral definida, se ha incluido también mas ejercicios desarrollados y propuestos de las

practicas y exámenes de las diversas Universidades de la capital.

La parte teórica se desarrolla de manera metódica y con especial cuidado,

tratando de no perder el rigor matemático pero tratando de no caer en el excesivo formulismo

que confunde al lector.

La lectura provechosa del presente trabajo requiere del conocimiento previo

de las funciones reales de variable real, los limites y continuidad de una función, así como la

derivación de las funciones en una variable.

#

La presente obra es recomendable para estudiante de ciencias matemáticas,

física, ingeniería, economía y para toda persona interesada en fundamentar sólidamente sus

conocimientos matemáticos del análisis real.

Por ultimo deseo agradecer y expresar mi aprecio a las siguientes personas

por sus valiosos comentarios y sugerencias.

DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORRO

Ex-Director de la Escuela Profesional de Matemática Pura de la Universidad Nacional

Mayor de San Marcos.

Catedrático Principal en Pos-Grado de la Facultad de Matemática Pura de la UNMSM

Miembro Fundador de la Academia Nacional de Ciencia y tecnología del Perú.

Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.

DOCTOR EUGENIO CABANILLAS LAPA

Doctor en matemática Pura, Universidad Federal de Río de Janeiro — Brasil.

Director de Pos-Grado en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.

Catedrático de la Universidad Nacional del Callao.

LIC. ANTONIO CALDERON LEANDRO

Ex-Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ing. Pesquera y Alimentos de la

Universidad Nacional del Callao.

Jefe de Departamento Académico de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de

la Universidad Nacional del Callao.

Coordinador del Area de Matemática en la Facultad de Ingeniería de la Universidad

Ricardo Palma.

LIC. SERGIO LEYVA HARO

ExJefe del Centro de Computo de la Facultad de Ingeniería Química de la Universidad

Nacional del Callao.

Catedrático en la Facultad de Ingeniería Ambiental y de Recursos Naturales de la

Universidad Nacional del Callao.

LIC. JUAN BERNUI BARROS

Director del Intituto de Investigación de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática

de la Universidad Nacional del Callao.

Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.

LIC. PALERMO SOTO SOTO

Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.

Catedrático de la Universidad Particular Ricardo Palma.

LIC. JOSE KIKE BRONCANO

Catedrático de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.

Coordinador del área de matemática en la Facultad de Ciencias Matemáticas Puras.

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

D E D I C A T O R I A

Este libro lo dedico a m is h ijos RONALD , JO RG E

y D IANA , que D ios ilum ine sus cam inos para que

puedan ser guías de su prójimo

P R E S E N T A C I O N

En la presente obra, Eduardo Espinoza Ramos, demuestra que sigue

avanzando, no solo en el aspecto técnico formal de la matemática, si no que, su avance se

manifiesta en la selección cuidadosa y esmero en la impresión de esta obra.

Su formación de matemático, como su experiencia en la docencia

universitaria, se amalgaman y dan como fruto una obra que marca un camino en su madurez

profesional, obra, que seguramente llenará un vacío para quienes no solo desean “resolver

problemas” sino también conocer el lenguaje formal y las ideas de esa hermosa ciencia que es

la matemática

DOCTOR PEDRO CONTRERAS CHAMORRODIRECTOR DE LA ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICA PURA DE LA UNM SM

ASESOR DEL “CONCYTEC”

1, IN TEGRAL INDEF IN IDA

1.1 Introducción 1

1.2 La Antiderivada de una función 2

1.3 La Antiderivada General 2

1.4 La Integral Indefinida 3

1.5 Fórmulas Básicas de Integración 5

1.5.1 Primeras Fórmulas Básicas de Integración 6

1.5.2 Segundas Fórmulas Básicas de integración 13

1.5.3 Terceras Fórmulas Básicas de Integración 18

1.5.4 Cuartas Fórmulas Básicas de Integración 21

1.5.5 Integración por Sustitución o Cambio de Variable 23

1.5.6 Integrales de funciones que contienen un Trinomio cuadrado 27

1.5.7 Ejercicios Propuestos de las Fórmulas Básicas 32

1.5.8 Ecuaciones Diferenciales sencillas 52

1.5.9 Movimiento Rectilíneo 54

1.5.10 Aceleración Constante 56

1.5.11 Movimiento Vertical con Aceleración Gravitacional Constante 58

1.5.12 Ejercicios Desarrollados 60

1.5.13 Ejercicios y Problemas Prepuestos 69

1.6 Métodos de Integración 73

1.6.1 Integración de las Funciones Trigonométricas 73

1.6.2 Ejercicios Propuestos 87

1.6.3 Otras Integrales Trigonométricas 94

1.6.4 Ejercicios Propuestos 97

1.6.5 Integración por partes 102

1.6.6 Casos Especiales de Integración por Partes 117

1.6.7 Ejercicios Propuestos 122

130

143

150

169

181

186

190

196

201

215

218

229

253

268

269

270

276

280

280

282

296

300

302

302

303

307

308

Integración por Sustitución Trigonométricas

Ejercicios Propuestos

Integración de Funciones Racionales

Ejercicios Propuestos

Métodos de HERMITE - OSTROGRADSKI

Ejercicios Propuestos

Integrales de Funciones Racionales de Senos y Cosenos

Ejercicios Propuestos

Integrales de Algunas Funciones Irracionales

Fórmulas de Reducción

Ejercicios Propuestos

Ejercicios Desarrollados Diversos

Ejercicios Propuestos

C A P I T U L O I I

IN TEG RAL DEF IN IDA

Sumatorias

Propiedades de las Sumatorias

Fórmulas de las Sumatorias

Ejercicios Propuestos

Calculo del Area de Una Región Plana por Sumatorias

Partición de un Intervalo Cerrado

Aproximación del Area de una Región por Areas de Rectángulos

Sumas Superiores y Sumas Superiores

Propiedades de las Sumas Superiores e Inferiores

Integral Definida

Propiedades de las Integrales Superiores e Inferiores

Integral de RIEMANN

La integral como limite de Sumas

Calculo de la Integral Definida usando Intervalos de igual longitud

4.1 Introducción 450

4.2 Integrales Impropias con Limites Infinitos 451

4.3 Integrales Impropias con Limites Finitos 454

4.4 Criterios para la Convergencia de Integrales Impropias 457

4.4.1 Criterio de Comparación 457

4.4.2 Criterio de Convergencia para Funciones Discontinuas 457

4.4.3 Criterio de Convergencia Cuando un Limite de Integración es Infinito 457

4.4.4 Ejercicios Propuestos 461

4.5 Aplicaciones de la Integral Impropia 473

4.5.1 Areas de Regiones y Volumen de Sólidos de Revolución 473

4.5.2 Problemas Propuestos 480

4.6 Funciones Especiales 483

4.6.1 Definición de la Función GAMMA 483

4.6.1.1 Propiedades de la Función GAMMA 483

4.6.1.2 Ejercicios Desarrollados 489

4.6.2 Definición de la Función BETA 491

4.6.2.1 Propiedades de la Función Beta 491

4.6.2.2 Ejemplos Aplicativos 493

4.6.3 Ejercicios Propuestos 497

4.7 Integrales Dependientes de un parámetro 502

4.7.1 Ejercicios Propuestos 509

4.8 El Polinomio de Taylor 511

4.8.1 Aproximación de Funciones por Polinomios 511

4.8.2 Polinomios de Taylor Engendrado por una Función 513

4.8.3 Fórmula de Taylor con Resto 518

4.8.4 Teorema del Valor Medio para Integrales 522

4.8.5 Teorema del Valor Medio Ponderado por Integrales 522

4.9 Ejercicios Desarrollados 524

4.10 Ejercicios Propuestos 529