Guia de Integración Indefinida

8/17/2019 Guia de Integración Indefinida

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.INTEGRACIÓN INDEFINIDA

Y SUS APLICACIONES

Hebeth Cueva Valladolid

Marzo del 2016


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0.1. Introducción

El origen del cálculo integral se remonta a la época de Arqúımedes (287-212 a.C.),matemático griego de la antigüedad, que obtuvo resultados tan importantes como elvalor del área encerrada por un segmento parabólico. La derivada apareció veinte siglosdespués para resolver otros problemas que en principio no teńıan nada en común conel cálculo integral. El descubrimiento más importante del cálculo infinitesimal (creadopor Barrow, Newton y Leibniz) es la ı́ntima relación entre la derivada y la integraldefinida, a pesar de haber seguido caminos diferentes durante veinte siglos. Una vezconocida la conexión entre derivada e integral (teorema de Barrow), el cálculo de inte-grales definidas se hace tan sencillo como el de las derivadas. El concepto de Cálculoy sus ramificaciones se introdujo en el siglo XVIII, con el gran desarrollo que obtuvo

el análisis matemático, creando ramas como el cálculo diferencial, integral y de varia-ciones. El cálculo diferencial fue desarrollado por los trabajos de Fermat, Barrow, Wallisy Newton entre otros. Aśı en 1711 Newton introdujo la fórmula de interpolación dediferencias finitas de una función f(x); fórmula extendida por Taylor al caso de infinitostérminos bajo ciertas restricciones, utilizando de forma paralela el cálculo diferencialy el cálculo en diferencias finitas. El aparato fundamental del cálculo diferencial era eldesarrollo de funciones en series de potencias, especialmente a partir del teorema deTaylor, desarrollándose casi todas las funciones conocidas por los matemáticos de laépoca. Pero pronto surgió el problema de la convergencia de la serie, que se resolvi ó enparte con la introducción de términos residuales, aśı como con la transformación de

series en otras que fuesen convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeronnuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los desarrollos en series asint óticasintroducidos por Stirling y Euler. La acumulación de resultados del cálculo diferencialtranscurrió rápidamente, acumulando casi todos los resultados que caracterizan su es-tructura actual Introducir el cálculo integral, se logro con el estudio de J.Bernoulli,quien escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin embargo, fueEuler quien llevó la integración hasta sus últimas consecuencias, de tal forma que losmétodos de integración indefinida alcanzaron prácticamente su nivel actual. El cálculode integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo, conllevó el descubrimientode una serie de resultados de la teoŕıa de las funciones especiales. Como las funciones

gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones elı́pticas. Los creadores del AnálisisInfinitesimal introdujeron el Cálculo Integral, considerando los problemas inversos desus cálculos. En la teoŕıa de fluxiones de Newton la mutua inversibilidad de los prob-lemas del cálculo de fluxiones y fluentes se evidenciaba claramente. Para Leibniz elproblema era más complejo: la integral surgı́a inicialmente como definida. No obstante,la integración se reducı́a prácticamente a la búsqueda de funciones primitivas. La ideade la integración indefinida fue inicialmente la dominante. El Cálculo Integral incluı́aademás de la integración de funciones, los problemas y la teorı́a de las ecuaciones difer-enciales, el cálculo variacional, la teoŕıa de funciones especiales, etc. Tal formulacióngeneral creció inusualmente rápido. Euler necesitó en los años 1768 y 1770 tres grandesvolúmenes para dar una exposición sistemática de él. Según Euler el Cálculo Integralconstituı́a un método de búsqueda, dada la relación entre los diferenciales o la relación


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entre las propias cantidades. La operación con lo que esto se obteńıa se denominaba in-tegración. El concepto primario de tal Cálculo, por supuesto, era la integral indefinida.El propio Cálculo teńıa el objetivo de elaborar métodos de búsqueda de las funciones

primitivas para funciones de una clase lo más amplia posible. Los logros principalesen la construcción del Cálculo Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli y de-spués a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente grande. La integración llevada por esteúltimo hasta sus últimas consecuencias y las cuadraturas por él encontradas, todav́ıaconstituyen el marco de todos los cursos y tratados modernos sobre Cálculo Integral,cuyos textos actuales son sólo modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo allenguaje. Estos juicios se confirman con la revisión concreta del famoso Cálculo Inte-gral de Euler y su comparación con los textos actuales. La palabra cálculo proviene dellat́ın calculus, que significa contar con piedras. Precisamente desde que el hombre ve lanecesidad de contar, comienza la historia del cálculo. Tales piedrecitas ensartadas entiras constituı́an el ábaco romano que, junto con el suwanpan japonés, constituyen lasprimeras máquinas de calcular en el sentido de contar. El cálculo integral, encuadradoen el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en la que se estudia el pro-ceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingenieŕıa y en la matemáticaen general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regionesy sólidos de revolución.


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0.2. Definiciones y Fórmulas básicas

Definición 1. La función F : I → R se le llama Antiderivada ó primitiva de f : I → Rsi F (x) = f (x), ∀xI = [a, b].Ejemplo : Si f (x) = 2x ⇒ F (x) = x2 es una antiderivada ,pués F (x) = 2x = f (x)

También F 1(x) = x2 + 3 es una antiderivada de f (x)

¿Qué se Observa? al calcular las antiderivadas de una función no se determina unaúnica función sino una familia de funciones que se difieren entre si en una constante.EnGeneral la representación de su antiderivada mas general de f (x) la representaremospor : F (x) + c

X

Y

Y=X

2

+C

Definición 2. Si F (x) es una antiderivada de f (x) sobre un intervalo I osea

F (x) = f (x)

Entonces a su antiderivada general F (x) + c se le denota por :

G(x) =

f (x)dx = F (x) + c , ∀xI


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En otras palabras la integral de una función que se designa con

f (x)dx no es másque su antiderivada general F (x) + c.De ahora en adelante llamaremos integrando a loque está dentro de la integral es decir a f (x)dx

NOTA:De la definición anterior se tiene :

G(x) = F (x) = f (x)

i.ed

dx

f (x)dx = f (x)

Propiedades

De la definición de integral indefinida se tiene :

1. d

dx(

f (x)dx) = f (x)

2.

d(

f (x)dx) = f (x)

3. f (x)dx = f (x) + c

Teorema 0.1. Si dos funciones F y G son funciones primitivas o antiderivadas de una funci´ on f en un intervalo I (abierto o cerrado) entonces estas funciones difieren de una constante


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FORMULAS DE INTEGRACIÓN

Siendo u = f (x) una función diferenciable en x

1.

undu =

un+1

n + 1 + c , n = −1

2.

du

u = ln|u| + c

3.

eudu = eu + c

4. audu = au

ln a + c ; a > 0, a

= 1

5.

du

u2 + a2 =

1

a arctan(

u

a) + c

6.

du

a2 − u2 = 1

2aln|u + a

u− a |+ c

7.

du

u2 − a2 = 1

2aln|u− a

u + a|+ c

8. du√ a2 − u2 = arcsen(

u

a ) + c

9.

du√

u2 + a2= ln|u +

√ u2 + a2|+ c

10.

du√

u2 − a2 = ln |u +√

u2 − a2|+ c

11.

√ a2 − u2du = u

2

√ a2 − u2 + a

2

2 arcsin(

u

a) + c

12. √ u2 − a2du = u2√ u2 − a2 −

a2

2 ln|u + √ u2 − a2|+ c

13.

√ u2 + a2du =

u

2

√ u2 + a2 +

a2

2 ln|u +

√ u2 + a2|+ c

14.

du

u√

u2 − a2 = 1

aarcosec

|u|a

+ c

15.

sin udu = −cosu + c

16.

cos udu = senu + c


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Ejercicios de Aplicación

Resolvamos los siguientes ejercicios aplicando las reglas para integrales :

1.

2x

· 3x+1

5x+2 dx

2.

ex(1 + x ln x)

x dx

3.

1 − x ln x

xex dx

4.

sin x

cos2 xdx

5.

tan y − sec ycos y

dy

6.

√ x + 4

x dx

7.

sin x − x ln x · cos x

x sin2 x dx

8.

sec x− tan xsec x + tan x

dx

9. Se dá la gráfica de la derivada de una función.Esbozar las gráficas de 2 funcionesque tengan por derivada a la función dada

2 f ´

x

y

Grafico (1) Gráfico (2)

Del gráfico (2) se observa que

f = 2 =⇒ f (x) = 2x + k


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entonces las 2 funciones cuyas derivadas resultan f = 2 son :

f (x) = 2x + 1 , f (x) = 2x − 1

10. En cada caso ,f es una función cont́ınua y la figura muestra la gráfica de lafunción y = f (x) ,la función derivada de f .Bosqueje la gráfica de la funcióny = f (x),analizando intervalos de monotońıa y de concavidad,valores extremos ypuntos de inflexión ; si :

1 2 3 2

2

−1 3

−1

−2

Figura (1)

Figura(2)

Para la figura (1) se tiene que f (1) = 0 y x ≥ 0 ,de la misma forma para la figura (2)se tiene que f (0) = 1 y x

≥ −1


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MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

0.3. Integración por sustitución

Este método para resolver integrales es muy aplicado en su gran mayoria cuando seaposible encontrar dentro del integrando una función y su derivada consiguiendo unaintegral conocida o fácil de operar .El método consiste en que una vez identificada lafunción y su derivada se debe elegir a la funci ón como la nueva variable y luego usarlas fórmulas de integración descritas con anterioridad.Ejemplos

1. Resolver

x51 + x3 dx

la idea es tratar de hacer aparecer dentro del integrando una función y su derivadapara lo cuál haremos un artificio fácil que consiste en descomponer el numeradorde la siguiente forma :

x3x2

1 + x3dx

si llamamos al denominador u = 1 + x3 observamos que

du = 3x2dx =⇒ x2dx = du3

Aśı de este modo sustituyendo en la integral anterior se obtiene :

u− 1

u

du

3 =

1

3

(1 − 1

u)du

= 1

3

du − 1

3

1

udu =

1

3u − 1

3 ln |u|+ c

Luego regresemos a las variables originales

1

3 (1 + x

3

) − 1

3 ln |1 + x3

| + c

2. Resolver ln(ln x)

x ln x dx

Escogeremos u = ln x =⇒ du = 1x

dx Ası́ de éste modo se tendrı́a

ln u

u du


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y si aplicamos otro cambio de variable en esta nueva integral

v = ln u =⇒ dv = 1u

du

se llega a: vdv =

v2

2 + c

volviendo a las variables originales

= (ln u)2

2 + c

= (ln(ln x))2

2 + c

3. Resolver 2ex + e−x

3ex + 4e−xdx

Es preciso observar que en el integrando no existe relaci ón entre el numerador yel denominador ,lo único que pudieramos hacer es separar en dos integrales

2ex

3ex + 4e−xdx +

e−x

3ex + 4e−xdx

Ahora en cada una de las integrales multipliquemos a la primera en su numeradory denominador por ex y en la segunda por e−x asi se tendrı́a :

2e2x

3e2x + 4dx +

e−2x

3 + 4e−xdx

Si en la primera elegimos el cambio de variable

u = 3e2x + 4 −→ du = 6e2x

4. Resolver

1x2 (

1

x − 1)2

3 dx

Considerando de que la derivada de 1x − 1 es − 1

x2 ,entonces se elige a u como

u = 1x − 1 ,du = − 1

x2dx ası́ tenemos :

u

2

3 (−du) = −

u2

3 du = −u5

3

53

+ k

−35

u5

3 + k

−3

5 (1

x − 1)5

3 + k


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5. Resolver x3(4 − x2)−12 dx

Teniendo en cuenta que la derivada de 4 − x2 es −2x ,es preciso realizar unadescomposición en el integrando

x2(4 − x2)−12 xdx

aśı

4− x2 = u2 =⇒ −2xdx = 2udu =⇒ xdx = −udu

Luego (4 − u2)(u2)− 12 (−udu) = −

(4 − u2)u−1udu

= −

(4 − u2)du = −(4u − u3

3 ) + k

= −4√

4 − x2 + (√

4 − x2)33

+ k

6. Resolver 1

ex + e−xdx

Al no encontrar una relación entre alguna función y su derivada ,multimplicamosnumerador y denominador por ex con esa intención ,aśı

1

ex + e−xex

exdx =

ex

1 + (ex)2dx

Luego elegiremos

u = ex =⇒ du = exdx

=⇒

du

u2 + 1 = arctan u + k

arctan ex + k


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7. Resolver x

1

3 (x2

3 + 1)3

2 dx

8. Resolver arctan

√ x√

x + 2x2 + x3dx

9. Resolver 2x−√ arcsin x√

1 − x2 dx

10. Resolver ex+e

x

dx

11. Resolver eln(x)+

1

x

x3 dx

12. Resolver sin(2x)dx

cos2 x + 4

13. Resolver x3

1 + x4dx

14. Resolver x2x(ln(x) + 1)dx

15. Resolver dx

sin2 x 3

cot(x) − 116. Resolver

cos2 x(tan2 x + 1)

(sin x + cos x)2 dx

17. Resolver dx√

ex − 118. Resolver √

1 + e−2x

e−3x dx

19. Resolver dx

√

x + 1


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20. Resolver cos3 x

1 − sin xdx

21. Resolver x√

9 − x4 dx

22. Resolver x

2− xdx

23. Resolver 2 +

√ xdx

24. Resolver dx

x −√ x2 − 1dx

25. Resolver x3√

a2 − x2dx

26. Resolver 2

x(x4 + 25)1

2

dx

27. Resolver (x2 − 25) 32

x6 dx

28. Resolver (4 − x2) 12

x2 dx

29. Resolver x2 − 3x√

x4

−4

dx

30. Resolver 1

x2√

1 + x2dx

31. Resolver e

1

x

x2dx

32. Resolver √ 1 + sin xdx


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33. Resolver sin xetan

2 x

cos3 x dx

34. Resolver cos3 x

1 − sin xdx

35. Resolver 1√

x− 1 + √ x + 1 dx

36. Resolver 4

cos x√

1− sin2x + 2 cos2 x dx

37. Resolver ln x

x3((ln(x) − 1))3 dx


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0.4. Integración por partes

Este método es de mucha utilidad en la práctica,cuyo procedimiento lo describiremos

a continuación:

Siendo u = f (x) y v = g(x) dos funciones diferenciables de la variable x .De la fórmulapara la diferencial de un producto de dos funciones se tiene :

d(uv) = udv + vdu

que es equivalente a:udv = d(uv) − vdu

ahora si integramos ambos miembros se tiene:

udv = uv −

vdu

La cuál se denomina Fórmula para la Integración por partes

Nota: La elección de u y de v es arbitraria no existe una fórmula espećıfica para podertomarlos,lo que ayuda en gran medida es que cuando aparezcan dentro del integrandofunciones trigonométricas ,exponenciales o logaŕıtmicas es preferible tomarlas como dv.

Ejemplos:

1. Resolver x2 sin(4x)dx

En este caso por la nota anterior consideraré

u = x2 =⇒ du = 2xdxlo que queda dentro del integrando será

dv = sin(4x)dx =⇒ v = − cos(4x)4

Aśı que al reemplazar en Fórmula para la Integración por partes se tiene:

x2 sin(4x)dx =

−14

x2 cos(4x) −

(− cos(4x)

4 )(2xdx)

= −1

4 x2 cos(4x) +

1

2

(cos(4x))(xdx)

En la integral del lado izquierdo nuevamente la integraremos por partes asi de

este modo en ella eligo u = x =⇒ du = dx


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dv = cos(4x)dx =⇒ v = sin(4x)4

Asi de este modo x cos(4x)dx = x

sin(4x)

4 −

sin(4x)

4 dx

x cos(4x)dx = x

sin(4x)

4 +

cos(4x)

16

Luego

x2 sin(4x)dx =

−14

x2 cos(4x) + 1

2(x

sin(4x)

4 +

cos(4x)

16 ) + c

2. Resolver ln(x)dx

Aqúı hagamos u = ln(x) =⇒ du = 1x

dx y dv = dx =⇒ v = x.De esta forma alutilizar la fórmula de integración por partes se tiene:

ln(x)dx = (ln(x))(x) −

(x)(

1

x)dx

ln(x)dx = (ln(x))(x) −

dx

ln(x)dx = (ln(x))(x) − x

3. Resolver ln(2 + 3

√ x)

3√

x dx

Dentro de todas las posibilidades en la elección de u se sugiere la elección delogaritmo aśı :

u = ln(2 + 3√

x) =⇒ du = dx3x

2

3 (2 + 3√

x)

dv = 13√

xdx =⇒=⇒ v =

x

−1

3 dx = 3

2x

2

3

ln(2 + 3

√ x)

3

√ x dx =

3

2

x2

3 ln(2 + 3√

x)

− 3

2

x2

3

1

3x

2

3

(2 + 3

√ x)dx


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17

= 3

2x

2

3 ln(2 + 3√

x) − 12

1

2 + 3√

xdx

Para la integral que falta haremos un cambio de variable adicional

m3 = x =⇒ 3m2dm = dx

Aśı :

1

2 + 3√

xdx =

1

2 + 3√

m3(3m2dm) = 3

m2

2 + mdm

Luego realizando un último cambio de variable en la integral

n = 2 + m =⇒ dn = dm

Aśı

3

m2

2 + mdm = 3

(n− 2)2

n dn = 3

n2 − 4n + 4

n dn

= 3[(2 + m)2

2 − 4(2 + m) + 4 ln(m + 2)]

= 3[(2 + 3

√ x)2

2 − 4(2 + 3√ x) + 4 ln( 3√ x + 2)] + k

4. Resolver e 1xx3

dx

Aqúı primero descomponemos la integral

1

x2e

1

x

1

xdx

luego realizamos el cambio de variable

m = 1x

=⇒ dm = −1x2

dx

de donde se llega

emm(−dm) = −

memdm

esta integral se resuelve usando integración por partes debido a que es imposibleencontrar una relación entre alguna función y su derivada

u = m =⇒ du = dm


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dv = emdm =⇒ v = em

− memdm = −[mem − emdm]= −[mem − em] + k

= −[ 1x

e1

x − e 1x ] + k

5. Resolver

I =

arctan

√ xdx

u = arctan√

x =⇒

du = 1

2√ x(1 + x)dx

dv = dx =⇒ v = x

I = x arctan

√ x −

x(

1

2√

x(1 + x))dx

I = x arctan√

x − 12

√ x

1 + xdx

en la integral realizamos x = m2 −→−→ dx = 2mdm

I = x arctan√

x − 12

m

1 + m(2mdm)

I = arctan√

x −

m2

m2 + 1dm

I = arctan√

x−

(m2 + 1) − 1m2 + 1

dm

I = arctan√ x − (1 − 11 + m2 )dmI = arctan

√ x− (m− arctan m) + k

I = arctan√

x−√ x + arctan√ x + k


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6. Resolver 3x2 + 2x− 1

4e3x dx

7. Resolver arctan x

x2(1 + x2)dx

8. Resolver arctan

√ x√

x dx

9. Resolver x sin x cos xdx

10. Resolver

x cos x

sin2 x dx

11. Resolver sec5 xdx

12. Resolver sin2 x

ex dx

13. Resolver cos(ln x)dx

14. Resolver ln(cos x)

cos2 x dx

15. Resolver x2 + 1

(x + 1)2exdx

16. Resolver sin(

2y)dx

17. Resolver ln(

√ x +

√ x + 1)dx

18. Resolver x ln(

1 − x1 + x

)dx

19. Resolver

xex(1 + x)2 dx


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20. Resolver ln(x +

√ 1 + x2)dx

21. Resolver (2x− 3)(x2 − 3x− 1)4 ln(x2 − 3x − 1)dx

22. Resolver sec3 xdx

23. Resolver x arctan2 xdx

24. Resolver ln(x2 + 2)dx

25. Resolver x2 ln(x6 − 1)dx

26. Resolver sin2(ln x)dx

27. Resolver

esinx cos4 x − 1cos3 x

dx

28. Resolver x2 − sin2 x

x− sin x cos x + x cos x − sin x dx

29. Resolver x arctan x

(1 + x2) dx

30. Resolver

x2 sec2 x

(tan x − x sec2 x)2 dx


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0.5. Generalización del método de Integración por

partes

Presentamos en esta oportunidad la Generalización del método de integración porpartes (GMIP)aplicados siempre y cuando en el integrando exista el producto de dosfunciones una de las cuáles debe ser un polinomio y la otra una función fácil de inte-grar,la explicación del método se hará en los ejercicios que a continuación se muestran

1. Resolver (x3 + 2x + 1) cos xdx

Solución

Como se observa dentro del integrando existe el producto de dos funciones una deellas es un polinomio y la otra es una función de fácil integración,el proceso parala resolución por este método consiste en separar convenientemente el polinomioy la función mediante dos columnas a partir de la cuál se deberá en primerlugar a derivar el polinomio tantas veces se llegué a cero y de la misma forma seintegrará la otra función tantas veces se derivó la primera ,para luego empezar amultiplicar intercaladamente incluyendo el signo que debe empezar con positivosiendo éste el resultado final de la integración.

EL resultado final será (x3 + 2x + 1) cos xdx

= (x3 + 2x + 1)(sin x) + (3x2 + 2)(cos x)

−(6x)(sin x)

−(6)(cos x)


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2. x5 sin xdx

3. xnexdx

4. (3x2 − 2x + 6)e−2xdx

5. (4x3 + 2x2 + x + 1) sin(2x)dx


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0.6. Integración de funciones Trigonométricas

Recordemos algunas identidades trigonómetricas :

sin2 θ + cos2 θ = 1

1 + tan2 θ = sec2 θ

1 + cot2 θ = csc2 θ

sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β

Apartir de éstas se puede deducir algunas más pero éstas son las más importantes.El procedimiento para resolver Integrales trigonométricas es tratar de que con ayuda

de las identidades dadas anteriormente hacer aparecer en el integrando funciones y susderivadas para aśı de esa forma tener integrales conocidas y fáciles de integrar medianteun cambio de variables.

1.

√ cos x(sin5 x)dx

Solución

Nuestro objetivo es buscar una relación entre una función y su derivada asi deeste modo √

cos x(sin5 x)dx =

√ cos x(sin2 x)2 sin xdx =

√ cos x(1 − cos2 x)2 sin xdx

=

√ cos x(1−2cos2 x+cos4 x)dx =

√ cos x sin x−2

cos

5

2 sin xdx+

cos

9

2 sin xdx

Si en todas las integrales hacemos el cambio

u = cos x =⇒ du = − sin xdx

asi se tiene :

− u 12 du + 2 u 52 du − u 92= −2

3u

3

2 + 4

7u

7

2 − 211

u11

2 + k

regresando a las variables originales

= −23

(cos x)3

2 + 4

7(cos x)

7

2 − 211

(cos x)11

2 + k


25/60

24

2.

√ tan x sec6 xdx

Solución

√ tan x sec6 xdx =

√ tan x(sec2 x)2 sec2 xdx

√ tan x(1 + tan2 x)2 sec2 xdx =

√ tan x(1 + 2 tan2 x + tan4 x)sec2 xdx

=

√ tan x sec2 xddx + 2

√ tan x tan2 x sec2 xd +

√ tan x tan4 x sec2 xdx

= tan1

2 sec2 xdx + tan5

2 sec2 xdx + tan9

2 sec2 xdx

Si aqúı realizamos el cambio de variable

u = tan x =⇒ du = sec2 xdx

3. Resolver sin3 x3√

cos4 xdx

Lo primero que se debe realizar es buscar una relación entre las funciones trigonométri-cas que aparecen en el integrando,caso contrario elegimos otro camino

De este modo en la integral

sin3 x3√

cos4 xdx =

sin x sin2 x

3√

cos4 xdx

=

sin x(1 − cos2 x)

3√

cos4 xdx

entonces :

u3

= cos x =⇒ 3u2

du = − sin sin xdx

= −

(1− u6)3√

u34 (3u

2du) = −3

(1 − u6)u2u4

du

= −3

1 − u6u2

du = −3

( 1

u2 − u4)du

= −3(−1u − u

5

5 ) + k

=

33√ cos x +

3

5( 3

√ cos x)5

+ k


26/60

25

4. Resolver (1 + cos 3x)

3

2 dx

Para esto se debe recordar la identidad

cos2 θ = 1 + cos θ

2

con lo que elegimos 3x = 2θ =⇒ 3dx = 2dθθ

(1 + cos 2θ)3

2

2

3dθ =

2

3

(2cos2 θ)

3

2dθθ

= 2

3 2

3

2 cos3 θdθ

= 2

5

2

3

cos3 θdθ

= 2

5

2

3

cos θ cos2 θdθ

= 2

5

2

3

cos θ(1 − sin2 θ)dθ

Elegimos aqúı el cambio de variable u = sin θ =

⇒du = cos θθdθ

= 2

5

2

3 (u− u

3

3 ) + k

= 2

5

2

3 (sin θ − sin

3 θ

3 ) + k

= 2

5

2

3 (sin(

3x

2 ) − sin

3(3x

2

3 )

3 ) + k

5. Resolver tan3(3x)sec4(3x)dx

lo que se busca es una relación entre alguna función y su respectiva derivada ,asise tiene

tan3(3x)sec2(3x)sec2(3x)dx

tan

3

(3x)sec2

(3x)(1 + tan2

(3x))dx


27/60

26

Elegimos u = tan(3x) −→ du = 3 sec2(3x)dx

u3(1 + u2)13

du = 1

3 (u3 + u5)du

= 1

3(

u4

4 +

u6

6 ) + k

= 1

12 tan4(3x) +

1

18 tan6(3x) + k

6. Resolver ( sin(2x) − cos(2x))

2dx

7. Resolver sin(10x) sin(20x) sin(30x)dx

8. Resolver cos x cos(3x)cos(5x)dx

9. Resolver sin3 x cos(3x)dx

10. Resolver cos2 x sin2(4x)dx

11. Resolver cos4(2x)sin3(2x)dx

12. Resolver cos5 x√

sin xdx

13. Resolver tan5 x

√ cos3 xdx

14. Resolver sin3 x3√

cos4 x

15. Resolver 3

sin2 x

cos14 xdx


28/60

27

16. Resolver sin2x · sin3xdx

17. Resolver sin x sin(3x)sin(5x)dx

18. Resolver (

sec x

tan x)4dx

19. Resolver sin(4x + 7) cos(5x + 8)dx

20. Resolver cos x

3

sin7(2x)cos x

21. Resolver √ cos2 x + cos xdx

22. Resolver dx

sin2 x cos4 xdx

23. Resolver cos

4

x + sin4

xcos2 x − sin2 x dx

24. Resolver dx√ sin x cos3 x

25. Resolver 1 + tan x

1− tan x dx

26. Resolver

sin

4

(

x

2 )cos2

(

x

2 )dx

27. Resolver tan3 4x sec

9

2 4xdx

28. Resolver x2 cos2x3dx

29. Resolver

sin6 2xdx


29/60

28

0.7. Fórmulas de Recurrencia

1. Obtener una fórmula de recurrencia para la integral I n =

sinn xdx

Solución

En primer lugar dentro del integrando haremos la descomposición

sinn xdx =

sinn−1 x sin xdx

aquı́ usaremos integración por partes :

u = sinn−1 x =

⇒du = (n

−1) sinn−2 x cos xdx

dv = sin x =⇒ v = − cos xluego :

I n = −(sinn−1 x)(cos x) + (n− 1)

sinn−2 x cos x cos xdx

= −(sinn−1 x)(cos x) + (n− 1)

sinn−2 x cos2 xdx

I n = −(sinn−1 x)(cos x) + (n− 1)

sinn−2 x(1 − sin2 x)dx

= −(sinn−1 x)(cos x) + (n− 1)

sinn−2 xdx + (n− 1)

sinn xdx

I n = −(sinn−1 x)(cos x) + (n− 1)I n−2 + (n− 1)I nI n =

1

2− n [(sinn−1 x)(cos x) + (n− 1)I n−2]

2. Obtener una fórmula de recurrencia para la integral I n =

cosn xdx

3. Demostrar que

xne−xdx, nN −→ I n = −xne−x + nI n−1

4. Obtener una fórmula de recurrencia para la integral

secn xdx


30/60

29

5. Halle una fórmula de recurrencia para la integral

I n = xn

(ax + b)dxDonde n es entero ≥ 0.Calcule I 2

6. Obtener una fórmula de recurrencia de

I n =

(

x − ax − b )

ndx


I n = 1

xn√ 1 + xdx8. Obtener una fórmula de recurrencia de

I n =

1

xn

√ a + bxdx


I n =

(x2 − a2)ndx


31/60

30

0.8. Integración de funciones Racionales

No existe un procedimiento general para resolver integrales del tipo racional,por

esta razón en los ejemplos que siguen detallaremos los tipos de Integrales que contienenfunciones racionales.

1. Integrales del tipo P (x)

Q(x)dx

Donde P (x), Q(x) son polinomios del mismo grado

Resolver la siguiente integral

x + 2x + 1

dx

Cuando tengamos el cociente entre dos polinomios de igual grado es aconsejablerealizar la división entre polinomios para aśı de esta forma obtener integralesconocidas o fáciles de integrar

(1 +

1

x + 1)dx =

dx +

1

x + 1dx

= x + ln |x + 1|+ k

2. Integrales del tipo P (x)

Q(x)dx

Donde P (x) es un polinomio de grado m y Q(x)es un polinomio de grado n,además m < n


4x2 + 9x− 1x3 + 2x2 − x− 2 dx

Para resolver integrales de este tipo donde el denominador sea un polinomio degrado mayor que el polinomio del numerador es conveniente usar FRACCIONESPARCIALES,método que a continuación se detalla .

En primer lugar se debe factorizar el polinomio del denominador en la medida delo posible a lo más en factores cuadráticos irreducibles,para el problema se tiene

4x2 + 9x− 1x3 + 2x2 − x − 2 =

4x2 + 9x − 1(x + 1)(x− 1)(x + 2)

Una vez ejecutado el procedimiento y dado que en el denominador existen 3

factores todos lineales se debe realizar una separación en tres factores cada unode los cuales contendrá dentro de cada denominador a uno de los factores lineales


32/60

31

y en su numerador respectivo a un polinomio de grado uno menos que el polinomiodel denominador en este caso una constante asi :

4x2 + 9x−

1

x3 + 2x2 − x − 2 = 4x2 + 9x

−1

(x + 1)(x− 1)(x + 2) = A

x + 1 + B

x − 1 + C

x + 2

Ahora el objetivo es hallar cada uno de los valores que representan a las constantesindicadas para asi de este modo simplificar la integraci ón

4x2 + 9x − 1x3 + 2x2 − x − 2 =

A(x + 2)(x + 1) + B(x− 1)(x + 1) + C (x− 1)(x + 2)x3 + 2x2 − x − 2

como se tiene el mismo denominador al cancelarlos queda

4x2 + 9x

−1 = A(x + 2)(x + 1) + B(x

−1)(x + 1) + C (x

−1)(x + 2)

Existen dos formas de conseguir los valores de A, B,C una de ellas es tratando deigualar los coeficientes de los polinomios en ambos mienbros y la otra es tratandode dar valores arbitrarios al x de tal forma que se elimine por lo menos algunasde las variables y hallar las que quedan.En esta oportunidad realizaré la segundaopción y para esto

x = 1 −→ A = 2x = −1 −→ C = 3

x = −2 −→ B = −3

Por lo tanto

4x2 + 9x − 1x3 + 2x2 − x− 2 =

A

x + 1 +

B

x − 1 + C

x + 2 =

2

x + 1 − 3

x− 1 + 3

x + 2

=⇒

4x2 + 9x − 1x3 + 2x2 − x− 2dx =

2

x + 1dx −

3

x − 1 dx +

3

x + 2dx

= 2 ln |x − 1| − 3 ln |x + 2| + 3ln |x + 1| + k

3. Resolver 1

1 + x4 dx

Solución

En esta integral es necesario recordar algunos métodos de integración,recordemosque nuestro objetivo es factorizar la suma que aparece en el denominador como elproductos de factores o lineales o a lo más en el de factores cuadráticos irreduciblesasi que completando cuadrados y haciendo uso de la diferencia de cuadrados setiene :

x4 + 1 = x4 + 2x2 + 1 − 2x2 = (1 + x2)2 − 2x2

x4

+ 1 = (1 + x2

)2

− (√ 2x)2

= (x2

+√ 2x + 1)(x2

−√ 2x + 1)


33/60

32

asi de este modo usando fracciones parciales

1

x

4

+ 1

= Ax + B

x2

+√ 2x + 1+

Cx + D

x2

−√ 2x + 1de donde

1 = (A + C )x3− (√

2A + B +√

2C + D)x2 + (A−√

2B + C +√

2D)x + (B + D)

se obtiene el sistema de ecuaciones

A + C = 0

−√

2A +√

2C + B + D = 0

A + C −√

2B +

√ 2D = 0

B + D = 1

Del sistema se obtiene que :

A =

√ 2

4 , C =

−√ 22

, B = 1

2 , D =

1

2

=⇒

1

x4 + 1dx =

√ 24

x

x2 +√

2x + 1dx+1

2

1

x2 +√

2x + 1dx−√ 2

4

x

x2 −√ 2x + 1 +12

dx

x2 −√ 2x + 14. Resolver

(2x + 1)

x3 − 7x + 6 dx

Utilizando rufinni factorizamos el denominador

x3 − 7x + 6 = (x − 1)(x + 2)(x + 3)

De esta forma

2x + 1

(x− 1)(x + 2)(x + 3) = A

x − 1 + B

x + 2 +

C

x + 3

Para calcular el valor de A debemos multiplicar a toda la igualdad por el denom-inador de A ,de este modo quedaŕıa

2x + 1

(x + 2)(x + 3) = A +

B

(x + 2)(x + 1) +

C

x + 3(x − 1)

y luego reemplazar x por aqule valor que elimina al denominador de A es decirpor x = 1


34/60

33

Aśı A = 312

= 14

Análogamente con B = 1 y con C = −54

Luego

2x + 1

x3 − 7x + 6 dx = 1

4

1

x− 1dx +

1

x + 2dx − 5

4

1

x + 3dx

= 1

4 ln(x− 1) + ln(x + 2) − 5

4 ln(x + 3) + k

5. Resolver x + 1

x3 + 4xdx

Para resolver este tipo de integrales hay que tener en cuenta que luego de lafactorización por cada factor lineal en el denominador existe un polinomio degrado cero en el numerador y por cada factor cuadrático irreducible(determinantenegativo) en el numerador existe un polinomio de grado uno en el numerador.

x + 1

x3 + 4x =

x + 1

x(x2 + 4) =

A

x +

Bx + C

x2 + 4

x + 1

x(x2 + 4) =

A(x2 + 4) + (Bx + C )x

x(x2 + 4)

x + 1 = Ax2 + 4A + Bx2 + Cx

x + 1 = (A + B)x2 + Cx + 4A

Teniendo en cuenta que dos polinomios son iguales cuando sus coeficientes soniguales ,aśı se tiene :

A + B = 0 , C = 1 , 4A = 1

A =

1

4 , B = −1

4 , C = 1

x + 1

x3 + 4xdx =

1

4

1

xdx − 1

4

x

x2 + 4dx +

1

x2 + 4

1

4 ln(x) − 1

8 ln(x2 + 4) +

1

2 arctan

x

2 + k

6. Resolver 2x2 − 1

x3

−x

dx


35/60

34

7. Resolver 5x2 − 11x + 5x3 − 4x2 + 5x − 2 dx

8. Resolver x + 1

x3 + 4xdx

9. Resolver 2x2

x4 + x2 + 1dx

10. Resolver 1

x2(x + 1)2dx

11. Resolver x5

(x2 + 4)2dx

12. Resolver 1

x(x3 + 1)dx

13. Resolver 2x2 + 41x− 91

(x− 1)(x + 3)(x − 4) dx

14. Resolver 2x2 − 5x4 − 5x2 + 6 dx

15. Resolver 4x3 + 4x2 − 18x + 6

x4 − 3x3 − x2 + 3x dx

16. Resolver x2 + x − 1x3 − x2 − x + 1 dx

17. Resolver x6 − 2x4 + 3x3 − 9x2 + 4

x5 − 5x3 + 4x dx

18. Resolver x3 + 4x + 1

x4 + x2 + 1dx

19. Resolver 5x2 + 6x + 9

(x − 3)2(x + 1)2 dx


36/60

35

20. Resolver x + 1

x3 − 2x2 + 3xdx

21. Resolver x3 + x2 − 5x + 15(x2 + 5)(x2 + 2x + 3)

dx

22. Resolver 4x2 − 8x

(x − 1)2(x2 + 1)2 dx

23. Resolver 2x2 + 1

x3 − x2 − 5x− 3dx

24. Resolver 4x2 + 6

x3 + 3xdx

25. Resolver x3 + x − 1

(x2 + 2)2 dx

Método de Hermite-Ostrogradski

Usando para integrales que presentan el tipo :

Ax + B(x2 + bx + c)n dx , n ∈ N, n ≥ 1

siendo x2 + bx + c una cuadrática irreduciblePara esto se debe considerar :

Ax + B

(x2 + bx + c)ndx =

P (x)

(x2 + bx + c)n−1 +

Cx + D

x2 + bx + cdx

Donde :P (x) es un polinomio de grado uno menos que su denominador ,C, D ∈ RLa explicación del procedimiento se detalla en el siguiente ejemplo :

dx

(x2 + 1)2 =

Ax + B

(x2 + 1) +

Cx + D

x2 + 1 dx

Para hallar las constantes A, B,C,D debemos integrar ambos mienbros aśı tenemos:

1

(x2 + 1)2 =

A(x2 + 1) − 2x(Ax + B)(x2 + 1)2

+ (Cx + D)

(x2 + 1)

1

(x2 + 1)2 =

A(x2 + 1) − 2x(Ax + B)(x2 + 1)2

+ (Cx + D)(x2 + 1)

(x2 + 1)2

Luego


37/60

36

1 = Ax2 + A − 2Ax2 − 2Bx + Cx3 + Cx + Dx2 + DDe aquı́

A = 1 , B = 0 , C = 0 , D = 1

reemplazando

dx

(x2 + 1)2 =

x

x2 + 1 +

1

x2 + 1dx =

x

x2 + 1 + arctan x

= x2 arctan x + arctan x + x

x2 + 1

Además en el caso en el que el denominador de la fucni ón racional P (x)Q(x)

tenga

factores de multiplicidad

P (x)

Q(x)dx =

f (x)

Q1(x) +

g(x)

Q2(x)dx

Donde Q1(x) es el máximo común divisor de los polinomios Q(x) y de su derivada

Q(x) y Q2(x) = Q(x)Q1(x)

.Además f (x) y g(x) son polinomios con coeficientes indtermi-

nados ,cuyos grados son menores en una unidad que los polinomios Q1(x) y Q2(x)respectivamente.

Ejemplo : Resolver

dx(x + 1)2(x2 + 1)2

Se observa que :

Q(x) = (x + 1)2(x2 + 1)2 =⇒ Q(x) = 2(x + 1)(x2 + 1)(3x2 + 2x + 1)

Luego

Q1 = (x + 1)(x2 + 1)

yQ(x)

Q1(x) = (x + 1)(x2 + 1)

dx

(x + 1)2(x2 + 1)2 =

Ax2 + Bx + C

(x + 1)(x2 + 1) +

Dx2 + Ex + F

(x + 1)(x2 + 1)dx

Derivando ambos mienbros y resolviendo se obtiene :

A = −1

4 , B =

1

4 , C = 0 , D = 0 , E = −1

4 , F =

3

4

dx

(x + 1)2

(x2

+ 1)2

= −x2 + x

4(x + 1)(x2

+ 1)

+ −x + 3

4(x + 1)(x2

+ 1)

dx


38/60

37

= −x2 + x

4(x + 1)(x2 + 1) +

1

2 ln |x + 1| − 1

4 ln |x2 + 1|+ 1

4 arctan x + c

Ejercicios

1. 4x2 − 8x

(x − 1)2(x2 + 1) dx

2. (x2 − 1)2

(x + 1)(1 + x2)3dx

3.

1x4(x3 + 1)2

dx

4. x + 2

((x2 + 2x + 2)3)dx

5. 1

(x4 − 1)2 dx

6. 1

(x2 + 1)4dx


39/60

38

0.9. Integración de funciones Racionales de Seno y

Coseno

Las integrales el tipo f (sin x, cos x)dx

donde f es una función racional.Generalmente se resuelve haciendo uso del siguientecambio de variables:

tan(x

2) = t −→ x = 2 arctan t −→ dx = 2

1 + t2dt

sin( x2

) = t√ 1 + t2

cos( x2

) = 1√ 1 + t2

sin x = sin 2(x

2) = 2 sin(

x

2)cos(

x

2) =

2t

1 + t2

cos x = cos 2(x

2) = cos2(

x

2) − sin2( x

2) =

1− t21 + t2

Si este cambio convierte la integral en una muy complicada se debe tener en cuenta losiguiente :

1. Si f es impar respecto a sin x es decir

f (− sin x, cos x) = −f (sin x, cos x)

entonces realizar la sustitucióncos x = t

2. Si f es impar respecto a cos x es decir

f (sin x,− cos x) = −f (sin x, cos x)

entonces realizar la sustitución

sin x = t

3. SI f es par con respecto a sin x y cos x es decir

f (− sin x,− cos x) = f (sin x, cos x)

entonces la sustitución estan x = t


40/60

39

1. Resolver

dx

(2 + cos x− 2sin x)sin xdx Usaremos

tan(

x

2 ) = t −→ x = 2 arctan t −→ dx = 2

1 + t2 dt

sin(x

2) =

t√ 1 + t2

cos(x

2) =

1√ 1 + t2

sin x = sin 2(x

2) = 2 sin(

x

2)cos(

x

2) =

2t

1 + t2

cos x = cos 2(x

2) = cos2(

x

2)− sin2(x

2) =

1− t21 + t2

=

⇒ dx

(2 + cos x− 2sin x)sin xdx =

1

(2 + 1−t

2

1 + t2

− 4t

1+t2 )( 2t

1+t2 )

( 2dt

1 + t2

)

=

1 + t2

t(t2 − 4t + 3) dt =

1 + t2

t(t − 3)(t− 1) dt

Usando fracciones parciales

1 + t2

t(t − 3)(t− 1) = A

t +

B

t− 3 + C

t− 1

=⇒ A = 13

, B = 5

3 , C = −1

= 13

1

tdt + 5

3

1t− 3dt− ∈

1t− 1 tdt

= 1

3 ln |t| + 5

3 ln |t− 3| − ln |t− 1|+ k

2. Resolver 2 − sin x

2 + cos xdx

=

2− 2t

1+t2

2 + 1−t2

1+t2

2

1 + t2dt

2+2t2−2t1+t2

2+2t2+1−t2

1+t2

2

1 + t2dt

4

t2 − t + 1(t2 + 3)(t2 + 1)

dt

t2

− t + 1(t2 + 3)(t2 + 1)

= At + Bt2 + 3

+ Ct + Dt2 + 1


41/60

40

t2 − t + 1(t2 + 3)(t2 + 1)

= (At + B)(t2 + 1) + (Ct + D)(t2 + 3)

(t2 + 1)(t2 + 1)

t2 − t + 1 = At3 + At + Bt2 + B + Ct3 + 3Ct + Dt2 + 3D

t2 − t + 1 = (A + C )t3 + (B + D)t2 + (A + 3C )t + (B + 3D)Luego

A + C = 0 , B + D = 1 , A + 3C = −1 , B + 3D = 1Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene :

A = 1

2 , B = 1 , C =

−12

, D = 0

t2 − t + 1(t2 + 3)(t2 + 1)

dt = 1

2

t

t2 + 3dt +

1

t2 + 3dt− 1

2

t

t2 + 1dt

= 1

4 ln(t2 + 3) +

1√ 3

arctan( t√

3)− 1

4 ln(t2 + 1) + k

=

1

4 ln(tan

2

(

x

2 ) + 3) +

1

√ 3 arctan( 1

√ 3tantan(x2 )) − 1

4 ln(tan

2

(

x

2 ) + 1) + k

3. Resolver 1

tan2 +sin2 xdx

En esta integral ,si se elige el cambio general t = tan(x2

) ,la integral se complicay lo puedes comporbar ,aśı que podemos elegir otro cambio ,para esto se debetener ehn cuenta que la función que aparece en el integrando es par con respectoa sin x y de cos x ,luego la sustitución conveniente serı́a :

tan x = t =⇒ x = arctan t =⇒ dx = 11 + t2

dt

dx = 1

1 + t2dt

1

t2 + t2

1+t2

1

1 + t2dt

1 + t

2

t2 + t4 + t21

1 + t2dt =

1

t4 + 2t2dt


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41

1

t2(t2 + 2) =

A

t +

B

t2 +

Ct + D

t2 + 2

1t2(t2 + 2)

= At(t2 + 2) + B(t2 + 2) + (Ct + D)t2t2(t2 + 2)

1 = At3 + 2At + Bt2 + 2B + Ct3 + Dt2

1 = (A + C )t3 + (B + D)t2 + 2At + 2B

A + C = 0, B + D = 0, 2A = 0, 2B = 1

resolviendo el sistema

C = 0, D = −1

2 , A = 0, B =

1

2

reemplazando

1

t2(t2 + 2)dt =

1

2

1

t2dt− 1

2

1

t2 + 2dt

= − 12t − 1

2√

2arctan(

t√ 2

) + k

= − 12tan x

− 12√

2arctan(

tan x

2 ) + k

4. Resolver 1

(2 + cos x)(3 + cos x)dx

5. Resolver sin(2x)sin4 x + cos4 xdx

6. Resolver 1

1 − sin4 x dx

7. Resolver 1

(sin x + 2 sec x)2dx

8. Resolver

sec x2tan x + sec x − 1 dx


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42

9. Resolver sin x + 2 cos x − 3

sin x− 2cos x + 3 dx

10. Resolver sin2 x

1− tan x dx

11. Resolver 1

sin x + cos x + 2dx

12. Resolver 1

5 + 3 cos xdx

13. Resolver 1(sin x + cos x)2

dx

14. Resolver dx

1 + sin x + cos x

15. Resolver cos x

1 + 2 cos xdx

16. Resolver

1

4sin x − 3cos x dx

17. Resolver sec x

2tan x + sec x − 1 dx

18. Resolver sin2 x

1− tan x dx

19. Resolver

cos(2x)

sin4 x + cos4 xdx


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43

0.10. Integración de Funciones Irracionales

De la misma forma que la integración de funciones Racionales no existe método

general para el cálculo de las mismas,lo primero que se debe buscar en una integraldel tipo irracional es convertirla en una racional y tal cambio se logra realizando con-venientemente un cambio de variable;no siempre es posible hacer esto por est á razóndetallamos el procedimiento de algunos de los tipos mas encontrados a la hora decalcular una integral irracional.

1. x2 +

√ 1 + x

3√

1 + xdx

haremos un cambio de variable

1 + x = u6

=⇒ dx = 6u5

du x2 +

√ 1 + x

3√

1 + xdx =

(u6 − 1)2 + u3

u2 (6u5du) =

(u12 − 2u6 + 1 + u3)6u3du

= 6

(u15 − 2u9 + u3 + u6)du = 6( u

16

16 − 2u

10

10 +

u4

4 +

u7

7 ) + k

regresando a la variable original

= 6((x + 1)16

16 − 2(x + 1)

10

10 +

(x + 1)4

4 +

(x + 1)7

7 ) + k

2. Integrales del tipo ax + b√

cx2 + dx + edx

Donde cx2 + dx + e tiene discriminante distinto cero


x + 2√

4 − 2x− x2 dx observemos en primer lugar queel discriminante del polinomio cuadrático que se encuentra dentro del radical es(−2)2 − 4(−1)(4) = 20 = 0,primero completemos cuadrados en el polinomio deldenominador e inmediatamente debemos dar forma ala expresión lineal que seencuentra en el numerador tratando de que aparezca el factor lineal que est á el-evado al cuadrado y que está en el denominador el cuál apareció al momento decompletar cuadrados

x + 2

5 − (x + 1)2 dx =

(x + 1) + 1 5− (x + 1)2 dx

Luego de realizar la separación conveniente realizar un cambio de variable enambas integrales

x + 1

5 − (x + 1)2 dx +

1 5− (x + 1)2 dx


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44

En la primera integral hacemos el cambio de variable

u2 = 5 − (x + 1)2 =⇒ 2udu = −2(x + 1)dx

Ası́ se tiene x + 1

5− (x + 1)2 dx = −u

u du = −u = −

5− (x + 1)2

En la segunda integral al hacer

u = x + 1 =⇒ du = dx

se tiene la integral conocida

1 5 − (x + 1)2 dx =

1√

5− u2 du = arcsin( u√ 5 )

3. Integrales de la forma P n(x)√ ax2 + bx + c

dx

(1)

Donde P n(x) es un polinomio de grado n

P n(x)√ ax2 + bx + c

dx = Qn−1(x)√ ax2 + bx + c + λ

dx√ ax2 + bx + c

Donde Qn−1(x) es un polinomio de grado n − 1 con coeficientes indeterminadosy λ se encuentra derivando (1)


x2√ x2 − x + 1 dx

La integral es del tipo en mención el polinomio que se encuentra en el numeradorP n(x) es de segundo grado asi de este modo adecuando los datos se tiene :

x2√ x2 − x + 1 dx = (Ax + B)

√ x2 − x + 1 + C

dx√ x2 − x + 1

Como nuestro objetivo es hallar las cosntantes lo primero que se debe reazlizares la derivación en ambos mienbros

x2√ x2 − x + 1 = A

√ x2 − x + 1 + (Ax + B) (2x− 1)

2√

x2 − x + 1 + C √ x2 − x + 1

2x2 = 2A(x2

−x + 1) + (Ax + B)(2x

−1) + 2C

2x2 = (4A)x2 + (−3A + 2B)x + (2A −B + 2C )


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45

del sistema que se forma se obtiene que :

A = 1

2 , B =

3

4 , C =

−18

De aquı́

x2√ x2 − x + 1 dx = (

1

2x +

3

4)√

x2 − x + 1 − 18

dx√ x2 − x + 1

para resolver la integral dx√ x2 − x + 1

Tán sólo se completa cuadrados y se realiza un cambio de variable

dx√ x2 − x + 1 = 1 (x − 1

2)2 + 3

4

dx

sea

u = x − 12

=⇒ du = dx

1 (x − 1

2)2 + 3

4

dx =

1

u2 + 34

du = ln |u +

u2 + 3

4|

=⇒

1

(x −

1

2)2

+

3

4

dx = ln |(x − 12

) +√

x2 − x + 1|

Luego

x2√ x2 − x + 1 dx = (

1

2x +

3

4)√

x2 − x + 1 − 18

ln |(x− 12

) +√

x2 − x + 1|+ k

4. Integrales de la forma dx

(ex + f )n√

ax2 + bx + c,nZ +

Este tipo de integrales se resuelve realizando el cambio de variable

t = 1

ex + f

Resolver

dx

(x + 1)3√

x2 + 2x − 3

t = 1

x + 1 =⇒ x = 1

t − 1 =⇒ dx = − 1

t2dt

dx(x + 1)3√ x2 + 2x − 3 = t

3 1 (1t − 1)2 + 2( 1

t − 1) − 3(−

1

t2 )dt


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46

= −

t2√ 1 − 4t2 dt

El cambio de variable transformó la integral en una del tipo anterior aśı que

ejecutamos el procedimiento para tal tipo. t2dt√

1 − 4t2 = (At + B)√

1− 4t2 + C

dt√ 1− 4t2

Derivando ambos mienbros

t2√ 1− 4t2 = A

√ 1 − 4t2 + (At + B)( −4t√

1− 4t2 ) + C ( 1√ 1 − 4t2 )

t2 = A(1

−4t2)

−4t(At + B) + C

De donde

A = −1

8 , B = 0, C =

1

8

5. Integrales de la forma xm(a + bxn) pdx

LLamadas INTEGRALES DEL BINOMIO DIFERENCIAL donde m,n,pson números racionales a y b son números reales distintos de cero.Para calcularestas integrales se aplica las condiciones de CHEBICHEV y mediante este cri-terio a la integral se puede expresar como una combinaci ón finita de funcioneselementales solamente en los tres casos siguientes :

a ) Si p es un número entero ,hacemos

x = z s

siendo s el común denominador de los exponentes fraccionarios m y n de lavariable x

b) Cuando m+1n

es un número entero en este caso

z s = a + bxn

donde s es el divisor de la fracción de p

c ) Cuando m+1n

+ p es un número entero ,en este caso hacer

z s = ax−n + b

donde s es el divisor de la fracción de p.


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1) Resolver x3(1 + 2x2)

−3

2 dx

Haciendo una identificacíon de los datos se tiene :

m = 3, a = 1, b = 2, n = 2, p = −32

m + 1

n =

3 + 1

2 = 2

=⇒ z 2 = 1 + 2x2

Luego 2zdz = 4xdx

x

2

(1 + 2x

2

)

−3

2

xdx =

(

z 2

−1

2 )(z

2

)

−3

2

(

zdz

2 )

= 1

4

(1 − z −2)dz = 1

4(z +

1

z ) + k

2) Resolver dx√ x3

3

1 +

4√

x3=

x

−3

2 (1 + x3

4 )−1

3 dx

aqúı m = −32

, n = 34

, p = −13

m + 1n =

−3

2 + 134

= −23

como el númerador obtenido no es entero se debe considerar

m + 1

n + p =

−23 − 1

3 = −1

Luego

z 3 = x−3

4 + 1 =⇒ x = 1(z 3

−1)

4

3

=⇒ dx = −4z 2(z 3 − 1)−73 dz

Por lo que

x

−3

2 (1 + x3

4 )−1

3 dx =

((z 3 − 1)−43 )−32 (1 + 1

z 3 − 1)−1

3 (−4z 2(z 3 − 1)−73 )dz

= −4

(z 3 − 1)2+ 13− 73 zdz = −4

zdz = −2z 2 + k

3) Resolver

dx1 + √ 1 − 2x− x2


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48

4) Resolver 3

1− x1 + x

dx

x

5) Resolver dx√ x( 4√

x + 2)10

6) Resolver dx

x7(1 + x7)1

7

7) Resolver dx

(x + 2)√

x + 1

8) Resolver x2 +

√ 1 + x

3√

1 + xdx

9) Resolver x2√ x2 − x + 1 dx

10) Resolver

dx

(x + 1)3

√ x2

+ 2x− 311) Resolver

dx√ x + 3

√ x

12) Resolver e2xdx4√

ex + 1

13) Resolver

dxx 3√ x2 + 4

14) Resolver dx

(x− 1)3√ x2 + 3x + 115) Resolver

dx3√

1 + x3

16) Resolver

e2x4√ ex + 1 dx


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17) Resolver 1 −√ 3x + 2

1 +√

3x + 2dx

18) Resolver 1√

x + 1 + 4√

x + 1dx

19) Resolver 2 +

√ xdx

20) Resolver 2 + x√

4

−2x

−x2

dx


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0.11. Aplicaciones de Integración Indefinida

Económicas

1. PROPENSIÓN MARGINAL AL CONSUMO Suponga que la función deconsumo para cierto páıs es c(x), donde x es el ingreso nacional disponible. En-tonces la propensión marginal al consumo es c(x). Suponga que x y c ambas semiden en miles de millones de dólares y

c(x) = 0,9 + 0,3√

x

Si cuando x = 0 el consumo es de 10 mil millones de dólares, determine c(x).

2. COSTO MARGINAL En cierta fábrica, el costo marginal es 3(q − 4)2 dólarespor unidad cuando el nivel de producción es q unidades.

a ) Exprese el costo total de producción en función de los gastos indirectos (elcosto de producir 0 unidades) y el número de unidades producidas.

b) ¿Cuál es el costo de producir 14 unidades si el gasto indirecto es de 436dólares?

3. INGRESO El ingreso marginal por la venta de x unidades de un cierto art́ıculose estima que será

R(x) = 50 + 3,5xe−0,01x2

Dólares por unidad, donde R(x) es el ingreso en dólares.

a ) Determine R(x), suponiendo que R(0) = 0.

b) ¿Qué ingreso se espera por la venta de 1000 unidades?

4. Depreciación El ritmo de depreciación dV dt de una máquina es inversamenteproporcional al cuadrado de t+1,siendo V el valor a los t años de su adquisición.Siel valor inicial era 500 000 dólares y su valor decreció 100 000 en el primeraño,estimar su valor los cuatro años después de su compra.

5. Desembolso El ritmo de desembolso dQdt

de una subvención estatal de 2 millonesde dólares es proporcional al cuadrado de 100 − t .El tiempo t se mide en d́ıas(0 ≤ t ≤ 100) y Q es la cantidad que resta por desembolsar.Calcular la cantidadque resta por desembolsar tras 50 d́ıas,suponiendo que el desembolso se realiza

en 100 d́ıas.


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6. Función de costo

Suponga que la función de costo Marginal para el producto de un fabricante estadada por :

dcdq

= 100q 2 − 4998q + 50q 2 − 50q + 1

donde C (x) es el Costo Total en dólares cuando se producen q unidades.si losCostos Fijos son de 10 000 dólares encuentre el costo de producir 100 unidades.

7. Ingreso MarginalEl ingreso marginal derivado de la producción de q unidadesde cierto artı́culo es :

dR

dq

= 4q

−12q 2

dólares por unidad.Si el ingreso derivado de la producón de 20 unidades es de 30000.¿Cuál será el ingreso esperado por la producción de 40 unidades?

8. Función de costo

La Función de Costo Marginal para el producto de un fabricante está dada por :

dc

dq =

9

10

√ q

0,04q

3

4 + 4

donde C es el costo total en dólares cuando se producen q unidades.Los costos

fijos son de 360 dólares .

a ) Determine el costo marginal cuando se producen 25 unidades.

b) Encuentre el costo total de producir 25 unidades.

9. PRODUCCIÓN La Corporación Bejax ha preparado una ĺınea de producciónpara fabricar un nuevo tipo de telefonos celulares .La tasa de producción de losteléfonos es :

dP dt = 1500(2 − t2t + 5 )unidades por mes.¿Cuántos teléfonos se producen durante el tercer mes?

10. PUBLICIDADUna agencia de publicidad inicia una campaña para propmoverun producto nuevo,y determina que t dı́as después ,el número de personas N (t)queha escuchado acerca del producto cambia a una tasa dada por personas por d́ıa

N (t) = 5t2 − 0,04tt2 + 3

personas por d́ıa.¿Cuántas personas han oı́do sobre el producto durante la primerasemana?.¿cuántas personas durante la segunda semana?


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11. Función de Ingreso EL Ingreso marginal de una empresa está dada por lasiguiente expresión :

R(x) = e2x

√ 1 + exdetermine el Ingreso para 200 unidades.

12. Función de Ingreso La función de Ingreso marginal para el producto de unfabricante está dado por :

dr

dq =

1

eq − 1Calcule el ingreso total.

13. DEMANDAEl gerente de una zapateŕıa determina que el precio p dólares porcada par de zapatos deportivos de cierta marca popular,cambia a una tasa de :

dp

dx = −300x(x2 + 9)

3

2

cuando los consumidores demandan x(miles) de pares.Cuando el precio es de75 dólares por par,son demandados 4000 pares.¿Aqué precio se demandarán 5000pares de zapatos deportivos?.¿Aqué precio no se demandarán zapatos deportivos?

14. VALOR DE LA TIERRA Se estima que dentro de t años ,el valor V (x) deun acre de tierra cultivable crecerá a una tasa de :

dV (x)

dx =

0,4x3 0,2x4 + 8000

dólares por año.Actualmente la tierra vale 500 dólares por acre.¿Cuánto valdrá latierra dentro de 10 años?

15. Producción Total

La Razón de producción de un pozo en barriles diarios vaŕıa de acuerdo con la

siguiente fórmula

P (t) = 1200000

(t + 1600)3

2

donde t es el tiempo (en dı́as) a partir del inicio de la producción.Calcule la Pro-ducción Total hasta el tiempo t,también encuentre la Producción Total disponiblees decir

ĺımt−→∞

P (t)


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16. El dinero depositado en cierto banco se incrementa de tal manera que la raz ónde cambio del saldo es igual al 7 % del saldo en ese instante. Además si en uninicio se hizo un depósito de $3500 cuánto se obtiene al cabo de 18 meses.

17. La relación entre el precio p y la cantidad demandada x es tal que la tasa dedisminución en la demanda, a medida que el precio aumenta, es proporcional a lacantidad demandada e inversamente proporcional a la suma del precio más unaconstante. Encontrar la función de demanda si p = p0 cuando x = 1.

Geométricas

18. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x, y) de ésta curva es 3√

x

, si el punto (9,4) está en la curva ,encontrar una ecuación de la curva.

19. Halle una función y = f (x) dos veces derivable que cumpla lo siguiente :

y = 4x−3 y la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto (1,3) esy + 2x = 5

20. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x, y) en una curva es 10−4xy el punto (1,-1) está en la curva.Encontrar una ecuación de la curva

21. Si f (x) = −af (x) y g(x) = bg(x) ,donde a y b son constantes encontrar laintegral

f (x)g(x)dx

TRAYECTORIAS ORTOGONALES Dada una curva f (x) otra curva g(x)será ortogonal a esta en x0 si se cumple :

f (x0) · g(x0) = −1

22. Hallar las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas

ex + e−y = c

23. Encontrar las trayectorias ortogonales de todas las parábolas con vértice en elorigen y foco sobre el eje X


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g(x)

f(x)

x0

LT

LT g(x )

0

0f(x )

Recta

Tangente

en g(x )

Recta

Tangente

en f(x )

24. Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias de centroen el origen de coordenadas

25. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia de curvas.

a )

y = kx2

b)y = (x + k)−1

c )y = ke−x

26. Encuentre las trayectorias ortogonales asociadas a lafamilia de curvas y3 = kx2

27. Encuentre el valor de la constante a ,de tal forma que las familias

y3 = c1x , x2 + ay2 = c2

sean ortogonales


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F́ısicas

28. CONTAMINACIÓN DEL AGUA Un derrame de petróleo en el océano tiene

una forma aproximadamente circular, con radio R(t) pies, t minutos después delinicio del derrame. El radio crece a una tasa de

R(t) = 21

0,07 + 5

a ) Determine una expresión para el radio R(t), suponiendo que R = 0 cuandot = 0

b) ¿Cuál es el área A = πR2 del derrame después de 1 hora?

29. CONCENTRACIÓN DE UN MEDICAMENTO La concentración C (t) enmiligramos por cent́ımetro cúbico mg

cm3 de un medicamento en el torrente sanguı́neo

de un paciente es de 0,5 mgcm3

inmediatamente después de una inyección y t minutosmás tarde disminuye a la tasa de

C (t) = −0,01e0,01t(e0,01t + 1)2

mg

cm3 por minuto.

Se aplica una nueva inyección cuando la concentración es menor que 0.05 mg/cm3.Determine una expresión para C(t). ¿Cuál es la concentración después de 1 hora?¿Cuál es después de 3 horas?

30. CONCENTRACIÓN DE UN MEDICAMENTOLa concentración C (t) enmiligramos por cent́ımetro cúbico de un medicamento en el torrente sangúıneo deun paciente es de 0.5 miligramos por cent́ımetro cúbico inmediatamente despuésd euna inyección y t minutos más tarde disminuye a la tasa de :

dC

dt = −0,01e0,01t(e0,01t + 1)2

miligramos por cent́ımetro cúbico.Se aplica una nueva inyección cuando la con-centración es menor que 0.05 mg

cm3.Determine una expresión para C (t) y la con-

centración una hora y 3 horas después.

31. FLUJO SANGÍNEO Una de las leyes de Posieuille para el flujo sangúıneo enuna arteria establece que si v(r) es la velocidad del flujo a r cm del eje central dela arteria,entonces la velocidad disminuye a una tasa proporcional a r .Es decir

dv

dr

=

−ar


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donde a es una constante positiva.Determine una expresión para v(r).Supongaque v(R) = 0,donde R es el radio de la arteria.

32. Aceleración :

Un automóvil tarda 13 segundos en acelerar de 25 km/h a 80 km/h.Suponiendoaceleración constante,calcular:

a ) La aceleración en m

s2

b) La distancia que recorre en esos 13 segundos.

33. Movimiento

La velocidad de una part́ıcula que se desplaza a lo largo de una recta en el instante

v(t) = t√

1 + t2

Determine la distancia recorrida por la partı́cula desde el instante t1 =√

8 hastat2 =

√ 24.

34. Movimiento Vertical

Raúl arroja una piedra hacia arriba,desde el suelo.La piedra alcanza una altura

máxima de 225 pies.¿Cuál era su velocidad inicial?


Se lanza una bola verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidadinicial de 60 pies/s2.¿Qué altura alcanza? .

(Despreciar la resistencia del aire y tomar a(t) = −32 pies/s2)


De lo alto de un edificio de 100 pies de altura se suelta una piedara.En funcióndel tiempo,determinar la posición y la velocidad con que cae y,luego , el instanteque toca suelo y la velocidad con que lo hace.


De una altura a 2 m del suelo y con una velocidad de 10 m/seg,se lanza vertical-mente hacia arriba una pelota.Determine la altura que alcanzará la pelota y elinstante que llege al suelo.


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38. Crecimiento de un árbolUn vivero suele vender los árboles tras 6 años decrecimiento.El ritmo de crecimiento en esos 6 años viene dado por :

dhdt

= 1, 5t + 5

donde t es el tiempo en años y h es la altura en cm.en el momento de plantarlosmiden 12 cm.

Calcular su altura tras t años y en el momento de ser vendidos.

39. Crecimiento de una Población El ritmo de crecimiento dP dt

de una poblaciónde bacterias es proporcional a la ráız cuadrada de t ,donde p es el tamaño de lapoblación y t es el tiempo en dias (0 ≤ t ≤ 10).El tamaño de la población es500.Tras un d́ıa ha crecido hasta 600.Estimar la población a los 7 d́ıas

40. Ley de Enfriamiento de Newton Un termómetro que marca 18oF ,se llevaa una cuarto cuya temperatura es de 70oF,un minuto después la lectura deltermómetro es de 31oF.Determı́nese las temperaturas medidasd como una funcióndel tiempo y en particular encontrar la temperatura que marca el term ómetrocinco minutos después que se lleva al cuarto.

41. Ley de Enfriamiento de Newton Un qúımico desea enfriar desde 80oC hasta

60o

C una sustancia contenida en un matraz,se coloca el dispositivo en un recipi-ente ampilo por el que circula agua a 15oC.Se observa que después de 2 minutosla temperatura ha descendido a 70oC.Estimar el tiempo total de enfriamiento.

42. Ley de Enfriamiento de Newton Dentro de cuanto tiempo la temperaturade un cuerpo calentado hasta 100oC descenderá hasta 30oC.Si la temperatura dellocal es de 20oC y durante los primeros 20 minutos el cuerpo en cuestión se enfrı́ahasta 60oC.

43. Un termómetro que está inicialmente en el interior de una habitación se lleva alexterior donde la temperatura es aproximadamente constante a 15oC. Despuésde un minuto marca 30oC y después de 10 minutos marca 20oC. De acuerdo a laley de Newton ¿Cuál era la temperatura de la habitación?

44. Una masa de metal se extrae de un horno a 1000oC y se pone a enfriar en un lugarcuya temperatura se mantiene aproximadamente constante a 30oC. Después de10 horas su temperatura desciende a 200oC ¿Cuánto tardará en llegar a 31oC? ¿Llegará en algún instante la temperatura a ser igual a la temperatura ambientede 30oC? Justifique su respuesta.


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LEY DE DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA La rapidez de cambio dedesintegración de una sustancia radioactiva de una sustancia es proporcional,encualquier instante,a la cantidad de sustancia que está presente.

Vida Media de una sustancia radioactiva .Se define como el tiempo que trasncurrepara que desaparezca el 50 por ciento de la sustancia.

45. Una cierta sustancia radioactiva tiene una media de 38 horas.Encontrar que tantotiempo toma el 80 por ciento de la radioactividad para disiparse.

46. En una población bacteriana B se sabe que tiene un taza de crecimiento pro-porcional a B misma , si entre medio dı́a y las 2 p.m.la población se triplica.Aqué tiempo,sino se efectúa ningún control ,B será 100 veces mayor que el medio

dia.

47. Vida Media Un cierto material radiactivo tiene una vida media de dos ho-ras.Encuentre el intervalo de tiempo requerido para que una cantidad dada deeste material decaiga hasta un décimo de su masa original.

48. Vida Media Si el 45 por ciento de una sustancia radiactiva se desintegra en 200años.¿Cuál es su vida media?.¿En cuánto tiempo se desintegrará 60 por cientode la cantidad original?

49. Bacterias en un cierto cultivo incrementan a una tasa proporcional al número pre-sente.Si el número original se incrementa en 50 porciento en 2 horas.¿En cuántotiempo se espera tener dos veces el número original?

50. Encuentre la vida media de una sustancia radioactiva si el 20 % de ésta desapareceen 5 años.

51. El uranio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Siinicialmente hay 10 gramos y después de dos horas se ha perdido el 5 % de sumasa original, hallar la cantidad restante de uranio como función del tiempo yLa cantidad de uranio después de 5 horas.

52. Crecimiento de un árbol:

Un vivero suele vender los árboles tras 6 años de crecimiento.EL ritmo de crec-imiento en esos 6 años viene dado por:

dh

dt = 1, 5t + 5


60/60

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donde t es el tiempo en años y h la altura en cm.En el momento de plantarlos,miden 12 cm(en t = 0)

a ) Calcular su altura tras t años

b) ¿Qué altura tienen en el momento de ser vendidos?

53. Crecimiento de un árbol: Un ecologista encuentra que cierto árbol crece detal forma que su altura h(t)después de t años cambia a una razón de

dh

dt = 0,2t

2

3 +√

t

pies por año.Si cuando se plantó el árbol éste tenı́a una altura de 2 pies.¿Cuálserá su altura dentro de 27 años?

54. Crecimiento de una población:

El ritmo de crecimiento dP dt

de una población de bacterias es proporcional a laraı́z cuadrada de t ,donde P es el tamaño de la población y t el tiempo en d́ıas(0 ≤ t ≤ 10).El tamaño inicial es 500.Tras un d́ıa ,ha crecido hasta 600.Estimarla población a los 7 d́ıas.

55. Crecimiento de una poblacíon: Se ha estimado que dentro de t meses lapoblación de una cierta ciudad cambiará a razón de 4 + 5t

2

3 personas por mes.Si

la población actual es de 10 000.¿Cuál será la población dentro de 8 meses ?56. Crecimiento Logistico En la ley de crecimiento Loǵıstico se supone que al

tiempo t la tasa de crecimiento

f (t) = Af (t)(B − f (t))donde A y B son constantes .Si f (0) = C calcular f (t).

57. La población de Cali era de 200 mil habitantes en 1,950 (t = 0) y de 1 millón en1,985 (t = 35). Si en cada instante crece con rapidez proporcional a la poblaci ónexistente en ese instante, ¿en qué año la población de Cali excederá los 5 millones

de habitantes?

58. Los experimentos muestran que el radio se desintegra a una rapidez proporcionala la cantidad de radio instantáneamente presente. Su vida media, es de 1590 años.¿Qué porcentaje desaparecer´a en 1 año?

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Guia de Integración Indefinida