45
INTEGRAL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 45

Integral

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Matematika

Citation preview

  • INTEGRAL

    Departemen MatematikaFMIPA IPB

    Bogor, 2012

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 45

  • Topik Bahasan

    1 Pendahuluan

    2 Anti-turunan

    3 Luas di Bawah Kurva

    4 Integral Tentu

    5 Teorema Dasar Kalkulus

    6 Integral Taktentu

    7 Aturan Substitusi

    8 Telaah Konsep

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 2 / 45

  • Pendahuluan

    Beberapa Terapan Integral

    Peramalan jumlah populasi (penduduk, bakteri, dsb.) di masa yangakan datang.

    Penentuan ketinggian pesawat ulang-alik pada waktu tertentu.

    Penentuan konsumsi energi di Jakarta pada suatu hari.

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 3 / 45

  • Anti-turunan

    Anti-turunan

    Definisi

    Fungsi F disebut anti-turunan dari fungsi f pada interval I jikaF (x) = f (x) untuk setiap x I.

    Contoh (Anti-turunan)

    1 f (x) = x3 F (x) = 14 x4

    2 f (x) = x3 F (x) = 14 x4 + 53 f (x) = cos x F (x) = sin x4 f (x) = cos x F (x) = sin x+ C, C = konstanta

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 4 / 45

  • Anti-turunan

    Teorema (Anti-turunan Umum)

    Jika F anti-turunan dari f pada interval I, maka anti-turunan dari f yangpaling umum adalah

    F (x) + C (1)

    dengan C konstanta sebarang.

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 5 / 45

  • Anti-turunan

    Formula Anti-turunan

    No. Fungsi Anti-turunan

    1. kf (x) kF (x) + C

    2. f (x) g (x) F (x)G (x) + C

    3. xn, n 6= 1 xn+1/ (n+ 1) + C

    4. sin x cos x+ C

    5. cos x sin x+ C

    6. sec2 x tan x+ C

    7. csc2 x cot x+ C

    8. sec x tan x sec x+ C

    9. csc x cot x csc x+ Ck, C : konstanta, F (x) = f (x) , G (x) = g (x)

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 6 / 45

  • Luas di Bawah Kurva

    Luas di Bawah Kurva

    Konsep integral dapat didekati dengan gagasan penentuan luasdaerah bidang rataBagaimana menentukan luas daerah bidang rata S yang dibatasi oleh:kurva y = f (x) 0, sumbux, garis x = a, x = b ?

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 7 / 45

  • Luas di Bawah Kurva

    Ilustrasi Pendekatan Persegi Panjang untuk MenghitungLuas

    Ingin ditentukan luas daerah yang dibatasi kurva f (x) = x2, sumbu-x,x = 0, x = 2 dengan pendekatan persegi panjang.

    DEMO Jumlah Riemann

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 8 / 45

  • Luas di Bawah Kurva

    Pendekatan Persegi Panjang untuk Menghitung Luas

    Buat n persegi panjang dengan luas A1, A2, . . . , An,luas A dari daerah S didekati dengan penjumlahan luas n persegipanjang A A1 +A2 + +An = Rn,makin besar n, luas n persegi panjang makin mendekati luas A,luas A didefinisikan sebagai penjumlahan takhingga banyak persegipanjang A = limn Rn = limn ni=1 Ai.

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 9 / 45

  • Luas di Bawah Kurva

    Penghitungan Luas dengan Pendekatan Persegi Panjang

    Untuk menentukan luas daerah S yang dibatasi oleh: kurva kontinuy = f (x) 0, sumbux, garis x = a, x = b, lakukan:

    Bagi interval [a, b] menjadi ninterval bagian [a = x0, x1] ,[x1, x2] , . . . , [xn1, xn = b]dengan panjang yang sama,yakni x = ban , sehinggaberlaku xi = a+ ix,i = 1, 2, . . . , n.Pada setiap interval bagian[xi1, xi] buat persegi panjangdengan lebar x dan panjangf (xi), sehingga luas Ai =f (xi)x.

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 10 / 45

  • Luas di Bawah Kurva

    Definisi

    Luas A dari daerah S yang dibatasi oleh kurva kontinu y = f (x) 0,sumbux, garis x = a, x = b adalah

    A = limn

    Rn = limnn

    i=1f (xi)x

    = limn

    [f (x1)x+ f (x2)x+ + f (xn)x](2)

    dengan x = (b a) /n, xi = a+ ix, i = 1, 2, . . . , n.

    Rn = ni=1 f (xi)x pada (2) disebut Jumlah Riemann.

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 11 / 45

  • Luas di Bawah Kurva

    Formula Notasi Sigma

    1.n

    i=1c = c n

    2.n

    i=1c xi = c

    n

    i=1xi

    3.n

    i=1xi yi =

    n

    i=1xi

    n

    i=1yi

    4.n

    i=1i =

    n (n+ 1)2

    5.n

    i=1i2 =

    n (n+ 1) (2n+ 1)6

    6.n

    i=1i3 =

    (n (n+ 1)

    2

    )2

    (3)

    c = konstanta.

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 12 / 45

  • Luas di Bawah Kurva

    ContohGunakan pendekatan persegi panjang untuk menentukan luas daerah yangdibatasi kurva f (x) = x2, sumbu-x, x = 0, x = 2, dengani) n = 4 ii) n = 10 iii) n

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 13 / 45

  • Integral Tentu

    Integral Tentu

    Konsep Jumlah Riemann Rn = ni=1 f (xi)x pada (2) dapatdiperluas untuk daerah yang ada di bawah sumbu-x (S2).Jumlah Riemann pada S2 negatif karena f (xi) < 0.Pada interval [a, b], lambang limit Jumlah Riemann dapat digantidengan lambang integral tentu,limn ni=1 f (xi)x =

    ba f (x) dx.

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 14 / 45

  • Integral Tentu

    Ilustrasi Integral Tentu

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 15 / 45

  • Integral Tentu

    Definisi (Integral Tentu)

    Integral tentu fungsi f dari a ke b adalah ba

    f (x) dx = limn

    n

    i=1f (ci)x (4)

    dengan ci [xi1, xi] , x = (b a) /n, [xi1, xi] adalah interval bagianke-i dari [a, b] = [x0, xn] , i = 1, 2, . . . , n.

    Titik sampel ci pada interval bagian [xi1, xi] dapat berupa:titik ujung kanan, ci = xititik ujung kiri, ci = xi1titik tengah, ci = (xi1 + xi) /2

    Syarat cukup agar f terintegralkan pada [a, b] adalah f kontinu pada[a, b] .

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 16 / 45

  • Integral Tentu

    Dari Notasi Sigma ke Integral

    Lambang b

    a f (x) dx: integral ( bentuk "S" = sum)

    a, b : batas bawah,atas integralf (x) : integran (fungsi yang diintegralkan)dx : diintegralkan terhadap variabel x

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 17 / 45

  • Integral Tentu

    Ilustrasi Hasil Evaluasi Integral Tentu

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 18 / 45

  • Integral Tentu

    Hasil Evaluasi Integral Tentu

    ba f (x) dx, b a menghasilkan sebuah bilangan dengan salah satu daritiga kemungkinan berikut:

    > 0

    seluruh daerah berada di atas sumbu-xluas daerah di atas sumbu-x > luas daerah di bawah sumbu-x

    < 0

    seluruh daerah berada di bawah sumbu-xluas daerah di bawah sumbu-x > luas daerah di atas sumbu-x

    = 0

    f (x) = 0 atau a = bluas daerah di bawah sumbu-x = luas daerah di atas sumbu-x

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 19 / 45

  • Integral Tentu

    Soal (Konsep Integral Tentu)

    1 Gunakan definisi integral tentu (dengan titik ujung kanan) untuk

    menghitung 2

    0

    (x2 x

    )dx, jawab: lim

    n

    (23+

    43n2

    +2n

    )=

    23

    2 Gunakan definisi integral tentu untuk menunjukkan bahwa ba x dx =

    b2 a22

    .

    3 Hitung integral berikut dengan menafsirkannya sebagai bentuk luas.a) 2

    0

    (1+

    4 x2)

    dx, jawab: 2+

    b) 22 (1 |x|) dx, jawab: 0

    4 Ungkapkan limit berikut dalam bentuk integral tentu.

    a) limn

    (12

    n3+

    22

    n3+ + n

    2

    n3

    )b) lim

    n1n

    (1

    1+ (1/n)2+

    11+ (2/n)2

    + + 11+ (n/n)2

    )

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 20 / 45

  • Integral Tentu

    Sifat-sifat Integral TentuIlustrasi Geometris

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 21 / 45

  • Integral Tentu

    Sifat-sifat Integral TentuSifat Umum

    1 a

    b f (x) dx = b

    a f (x) dx

    2 a

    a f (x) dx = 0

    3 b

    a c dx = c (b a)4 b

    a c f (x) dx = c b

    a f (x) dx

    5 b

    a [f (x) g (x)] dx = b

    a f (x) dx b

    a g (x) dx

    6 b

    a f (x) dx+ c

    b f (x) dx = c

    a f (x) dx

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 22 / 45

  • Integral Tentu

    Soal (Sifat Integral I)

    1 Diketahui 2

    0 f (x) dx = 4 dan 0

    2 (g (x) f (x)) dx = 5. Gunakansifat-sifat integral untuk menghitung:

    a) 0

    2 (2f (x) 3) dx b) 2

    0 g (x) dx, jawab: a. 2 b. 1

    2 1

    0 f (t) dt = 2, 4

    0 f (t) dt = 6, dan 4

    3 f (t) dt = 1. Hitung 31 f (t) dt. jawab: 9

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 23 / 45

  • Integral Tentu

    Ilustrasi Geometris Sifat Pembandingan Integral

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 24 / 45

  • Integral Tentu

    Sifat-sifat Integral TentuSifat Pembandingan

    1 Jika f (x) 0, x [a, b], maka b

    a f (x) dx 02 Jika f (x) g (x) , x [a, b], maka

    ba f (x) dx

    ba g (x) dx

    3 Jika m f (x) M, x [a, b], makam (b a)

    ba f (x) dx M (b a)

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 25 / 45

  • Integral Tentu

    SoalGunakan sifat pembandingan integral untuk memeriksa kebenaranpertidaksamaan berikut tanpa menghitung integral.

    1 2 11

    1+ x2 dx 2

    2

    2 1/2 2

    11x

    dx 1

    3 3

    1

    x4 + 1 dx > 26/3 (diketahui:

    ba x

    2dx =13(b3 a3

    ))

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 26 / 45

  • Teorema Dasar Kalkulus

    Teorema Dasar KalkulusPengantar

    Kalkulus diferensial muncul dari permasalahan garis singgung.Kalkulus integral muncul dari permasalahan luas daerah: perhitunganrumit seperti limit Jumlah Riemann.Sepintas, keduanya tampak tidak berkaitan.Newton dan Leibniz menemukan bahwa keduanya saling terkait.Konsep yang mengaitkan kalkulus integral dengan kalkulus diferensial:Teorema Dasar Kalkulus (TDK).Dengan TDK, perhitungan integral dan aplikasinya menjadi jauh lebihmudah karena merupakan kebalikan dari proses turunan.

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 27 / 45

  • Teorema Dasar Kalkulus

    Ilustrasi Geometris TDK-1

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 28 / 45

  • Teorema Dasar Kalkulus

    Teorema (Teorema Dasar Kalkulus 1)

    Jika f kontinu pada [a, b], maka F (x) = x

    a f (t) dt kontinu pada [a, b],terturunkan pada (a, b), dan turunannya adalah f (x) ;

    F (x) = ddx x

    a f (t) dt = f (x) (5)

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 29 / 45

  • Teorema Dasar Kalkulus

    Soal (TDK-1)

    Tentukan:

    1ddx

    x0

    11+ t2

    dt,

    2ddx

    x20

    sin t dt, petunjuk: u = x2, jawab: 2x sin x2

    3ddx

    g2(x)g1(x)

    f (t) dt, jawab: f (g2 (x)) g2 (x) f (g1 (x)) g1 (x)

    4 fungsi f dan konstanta a yang memenuhi 6+ x

    a

    f (t)t2

    dt = 2

    x,

    x > 0, jawab: f (x) = x3/2, a = 9.

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 30 / 45

  • Teorema Dasar Kalkulus

    Teorema Dasar Kalkulus 2Konsep

    Dari TDK-1: G (x) = x

    a f (t) dt G (x) = f (x) (G anti-turunan f ).Catat bahwa G (a) =

    aa f (t) dt = 0.

    Misalkan F anti-turunan lain dari f , maka F (x) = G (x) + C

    F (b) F (a) = [G (b) + C] [G (a) + C]

    = G (b)G (a) = G (b)

    = b

    a f (t) dt = b

    a f (x) dx

    Jadi ba f (x) dx = F (b) F (a)

    dengan F merupakan anti-turunan f atau F (x) = f (x) .

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 31 / 45

  • Teorema Dasar Kalkulus

    Teorema (Teorema Dasar Kalkulus 2)

    Jika f kontinu pada [a, b] dan F sebarang anti-turunan f pada [a, b], maka ba f (x) dx = F (x) |ba = F (b) F (a) (6)

    TDK-2 memberi cara yang mudah dalam mengevaluasi integral tentu,jauh lebih mudah dibandingkan menggunakan limit Jumlah Riemann.

    Berdasarkan TDK-2, untuk mengevaluasi integral tentu f pada [a, b]:tentukan anti-turunan F dari f ,evaluasi F (b) F (a) .

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 32 / 45

  • Teorema Dasar Kalkulus

    SoalTentukan:

    1 /2

    0 cos x dx, jawab: 1

    2 4

    1

    ( 32

    x+ 4x2)

    dx, jawab: 10

    3 21 x |x| dx, jawab: 7/3

    4ddx

    x0

    x sin t dt, jawab: x sin x cos x+ 1

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 33 / 45

  • Integral Taktentu

    Integral Taktentu

    Definisi (Integral Taktentu)

    Misalkan F adalah anti-turunan f . Integral taktentu f (x) terhadap xadalah

    f (x) dx = F (x) + C (7)

    Hasil integral tentu (persamaan 4) berupa suatu bilangan, hasilintegral taktentu berupa fungsi.

    Integral taktentu adalah lambang lain antiturunan.

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 34 / 45

  • Integral Taktentu

    Formula Integral Taktentu

    1

    kf (x) dx = k

    f (x) dx2(f (x) g (x)) dx =

    f (x) dx

    g (x) dx

    3

    xndx = xn+1/ (n+ 1) + C, n 6= 14

    sin x dx = cos x+ C5

    cos x dx = sin x+ C6

    sec2 x dx = tan x+ C7

    csc2 x dx = cot x+ C8

    sec x tan x dx = sec x+ C9

    csc x cot x dx = csc x+ C

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 35 / 45

  • Aturan Substitusi

    Aturan Substitusi

    Aturan substitusi digunakan pada kasus:

    sulit menentukan anti-turunan integran secara langsung, tetapibagian tertentu integran dapat dimisalkan dengan variabel barusehingga lebih mudah dicari anti-turunannya.

    Contoh

    Ingin ditentukan

    2

    2x+ 3 dx

    Solusi OMisalkan u = 2x+ 3 du/dx = 2 du = 2dx

    2

    2x+ 3dx =

    udu

    = 23 u3/2 + C

    = 23 (2x+ 3)3/2 + C

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 36 / 45

  • Aturan Substitusi

    2

    2x+ 3dx = ?Jika u = g (x) = 2x+ 3, g (x) = 2 = du/dx, f (u) =

    u,

    maka berlaku2

    2x+ 3dx =

    f (g (x)) g (x) dx

    =

    f (u) du

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 37 / 45

  • Aturan Substitusi

    Teorema (Aturan Substitusi)

    Jika u = g (x) adalah fungsi terturunkan dan f kontinu pada Wg, makaf (g (x)) g (x) dx =

    f (u) du b

    a f (g (x)) g (x) dx =

    g(b)g(a) f (u) du

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 38 / 45

  • Aturan Substitusi

    Integral Fungsi SimetriIlustrasi Geometris

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 39 / 45

  • Aturan Substitusi

    Integral Fungsi Simetri

    Dengan menggunakan aturan substitusi, dapat ditunjukkan

    1 Jika f fungsi genap, maka aa f (x) dx = 2

    0a f (x) dx = 2

    a0 f (x) dx (8)

    2 Jika f fungsi ganjil, maka aa f (x) dx = 0 (9)

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 40 / 45

  • Aturan Substitusi

    Soal (Aturan Substitusi)

    Evaluasi integral (1 5) berikut:

    1

    x sin x2dx, jawab: 12 cos x2 + C

    2

    21

    x

    2 x dx, jawab: 14/15

    3

    10

    x3

    x2 + 1 dx, jawab: 2/15(

    2+ 1)

    4

    /2/2

    x2 sin x1+ x6

    dx, jawab: 0

    5

    10

    x

    1 x4 dx, jawab: /8

    6 Gunakan aturan substitusi untuk menunjukkan

    a Jika f genap, maka aa

    f (x) dx = 2 a

    0f (x) dx.

    b Jika f ganjil, maka aa

    f (x) dx = 0.

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 41 / 45

  • Aturan Substitusi

    Ekspresi Integral Taktentu Tidak Khas

    Soal

    Tunjukkan bahwa

    sin x cos x dx menghasilkan ekspresi berbeda dengansubstitusii) u = sin x, ii) u = cos x, iii) u = 2x berdasarkan kesamaansin 2x = 2 sin x cos x

    Hal tersebut menunjukkan bahwa fungsi yang dihasilkan dari integraltaktentu dapat memiliki ekspresi/bentuk yang berbeda.

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 42 / 45

  • Telaah Konsep

    Telaah Konsep IKuis Benar-Salah

    1 Jika f dan g kontinu pada [a, b], maka ba f (x) g (x) dx =

    ( ba f (x) dx

    ) ( ba g (x) dx

    ).

    2 Jika f kontinu pada [a, b], maka b

    a xf (x) dx = x b

    a f (x) dx.

    3 Jika b

    a f (x) dx = 0, maka f (x) = 0, x [a, b] .4 Jika

    ba [f (x)]

    2 dx = 0, maka f (x) = 0, x [a, b] .5 Jika f kontinu pada [a, b] dan f (x) 0, maka b

    a

    f (x) dx =

    ba f (x) dx

    6 Jika f (x) g (x) pada [a, b], maka b

    a |f (x)| dx b

    a |g (x)| dx.

    7 Jika f (x) g (x) pada [a, b], maka ba f (x) dx ba g (x) dx .

    8 Jika a > x dan F (x) = x

    a f (t) dt, maka F (x) = f (x) .

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 43 / 45

  • Telaah Konsep

    Telaah Konsep IIKuis Benar-Salah

    9 Jika F (x) = G (x) , x [a, b], maka F (b) F (a) = G (b)G (a) .10 Jika F (x) adalah anti-turunan dari f (x), maka F (2x) adalahanti-turunan dari f (2x) .

    11

    11

    (x3 2x7 + sin x

    1+ x2

    )dx = 0.

    12

    1111

    (ax2 + bx+ c

    )dx = 2

    110

    (ax2 + c

    )dx.

    13

    31

    cos2 x dx = 1

    5cos2 x dx+

    35

    cos2 x dx.

    14ddx

    x21

    11+ t2

    dt =1

    1+ x4.

    15 limn

    n

    i=1cos

    (2in

    )= 2

    0cos x dx.

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 44 / 45

  • Telaah Konsep

    Tentang Slide

    Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPAIPB)

    Versi: 2012 (sejak 2009)

    Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)

    (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 45 / 45

    PendahuluanAnti-turunanLuas di Bawah KurvaIntegral TentuTeorema Dasar KalkulusIntegral TaktentuAturan SubstitusiTelaah Konsep