Integral

INTEGRAL

Departemen MatematikaFMIPA IPB

Bogor, 2012

(Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 45

Topik Bahasan

1 Pendahuluan

2 Anti-turunan

3 Luas di Bawah Kurva

4 Integral Tentu

5 Teorema Dasar Kalkulus

6 Integral Taktentu

7 Aturan Substitusi

8 Telaah Konsep


Pendahuluan

Beberapa Terapan Integral

Peramalan jumlah populasi (penduduk, bakteri, dsb.) di masa yangakan datang.

Penentuan ketinggian pesawat ulang-alik pada waktu tertentu.

Penentuan konsumsi energi di Jakarta pada suatu hari.


Anti-turunan

Anti-turunan

Definisi

Fungsi F disebut anti-turunan dari fungsi f pada interval I jikaF (x) = f (x) untuk setiap x I.

Contoh (Anti-turunan)

1 f (x) = x3 F (x) = 14 x4

2 f (x) = x3 F (x) = 14 x4 + 53 f (x) = cos x F (x) = sin x4 f (x) = cos x F (x) = sin x+ C, C = konstanta


Anti-turunan

Teorema (Anti-turunan Umum)

Jika F anti-turunan dari f pada interval I, maka anti-turunan dari f yangpaling umum adalah

F (x) + C (1)

dengan C konstanta sebarang.


Anti-turunan

Formula Anti-turunan

No. Fungsi Anti-turunan

1. kf (x) kF (x) + C

2. f (x) g (x) F (x)G (x) + C

3. xn, n 6= 1 xn+1/ (n+ 1) + C

4. sin x cos x+ C

5. cos x sin x+ C

6. sec2 x tan x+ C

7. csc2 x cot x+ C

8. sec x tan x sec x+ C

9. csc x cot x csc x+ Ck, C : konstanta, F (x) = f (x) , G (x) = g (x)


Luas di Bawah Kurva

Luas di Bawah Kurva

Konsep integral dapat didekati dengan gagasan penentuan luasdaerah bidang rataBagaimana menentukan luas daerah bidang rata S yang dibatasi oleh:kurva y = f (x) 0, sumbux, garis x = a, x = b ?


Luas di Bawah Kurva

Ilustrasi Pendekatan Persegi Panjang untuk MenghitungLuas

Ingin ditentukan luas daerah yang dibatasi kurva f (x) = x2, sumbu-x,x = 0, x = 2 dengan pendekatan persegi panjang.

DEMO Jumlah Riemann


Luas di Bawah Kurva

Pendekatan Persegi Panjang untuk Menghitung Luas

Buat n persegi panjang dengan luas A1, A2, . . . , An,luas A dari daerah S didekati dengan penjumlahan luas n persegipanjang A A1 +A2 + +An = Rn,makin besar n, luas n persegi panjang makin mendekati luas A,luas A didefinisikan sebagai penjumlahan takhingga banyak persegipanjang A = limn Rn = limn ni=1 Ai.


Luas di Bawah Kurva

Penghitungan Luas dengan Pendekatan Persegi Panjang

Untuk menentukan luas daerah S yang dibatasi oleh: kurva kontinuy = f (x) 0, sumbux, garis x = a, x = b, lakukan:

Bagi interval [a, b] menjadi ninterval bagian [a = x0, x1] ,[x1, x2] , . . . , [xn1, xn = b]dengan panjang yang sama,yakni x = ban , sehinggaberlaku xi = a+ ix,i = 1, 2, . . . , n.Pada setiap interval bagian[xi1, xi] buat persegi panjangdengan lebar x dan panjangf (xi), sehingga luas Ai =f (xi)x.


Luas di Bawah Kurva

Definisi

Luas A dari daerah S yang dibatasi oleh kurva kontinu y = f (x) 0,sumbux, garis x = a, x = b adalah

A = limn

Rn = limnn

i=1f (xi)x

= limn

[f (x1)x+ f (x2)x+ + f (xn)x](2)

dengan x = (b a) /n, xi = a+ ix, i = 1, 2, . . . , n.

Rn = ni=1 f (xi)x pada (2) disebut Jumlah Riemann.


Luas di Bawah Kurva

Formula Notasi Sigma

1.n

i=1c = c n

2.n

i=1c xi = c

n

i=1xi

3.n

i=1xi yi =

n

i=1xi

n

i=1yi

4.n

i=1i =

n (n+ 1)2

5.n

i=1i2 =

n (n+ 1) (2n+ 1)6

6.n

i=1i3 =

(n (n+ 1)

2

)2

(3)

c = konstanta.


Luas di Bawah Kurva

ContohGunakan pendekatan persegi panjang untuk menentukan luas daerah yangdibatasi kurva f (x) = x2, sumbu-x, x = 0, x = 2, dengani) n = 4 ii) n = 10 iii) n


Integral Tentu

Integral Tentu

Konsep Jumlah Riemann Rn = ni=1 f (xi)x pada (2) dapatdiperluas untuk daerah yang ada di bawah sumbu-x (S2).Jumlah Riemann pada S2 negatif karena f (xi) < 0.Pada interval [a, b], lambang limit Jumlah Riemann dapat digantidengan lambang integral tentu,limn ni=1 f (xi)x =

ba f (x) dx.


Integral Tentu

Ilustrasi Integral Tentu


Integral Tentu

Definisi (Integral Tentu)

Integral tentu fungsi f dari a ke b adalah ba

f (x) dx = limn

n

i=1f (ci)x (4)

dengan ci [xi1, xi] , x = (b a) /n, [xi1, xi] adalah interval bagianke-i dari [a, b] = [x0, xn] , i = 1, 2, . . . , n.

Titik sampel ci pada interval bagian [xi1, xi] dapat berupa:titik ujung kanan, ci = xititik ujung kiri, ci = xi1titik tengah, ci = (xi1 + xi) /2

Syarat cukup agar f terintegralkan pada [a, b] adalah f kontinu pada[a, b] .


Integral Tentu

Dari Notasi Sigma ke Integral

Lambang b

a f (x) dx: integral ( bentuk "S" = sum)

a, b : batas bawah,atas integralf (x) : integran (fungsi yang diintegralkan)dx : diintegralkan terhadap variabel x


Integral Tentu

Ilustrasi Hasil Evaluasi Integral Tentu


Integral Tentu

Hasil Evaluasi Integral Tentu

ba f (x) dx, b a menghasilkan sebuah bilangan dengan salah satu daritiga kemungkinan berikut:

> 0

seluruh daerah berada di atas sumbu-xluas daerah di atas sumbu-x > luas daerah di bawah sumbu-x

< 0

seluruh daerah berada di bawah sumbu-xluas daerah di bawah sumbu-x > luas daerah di atas sumbu-x

= 0

f (x) = 0 atau a = bluas daerah di bawah sumbu-x = luas daerah di atas sumbu-x


Integral Tentu

Soal (Konsep Integral Tentu)

1 Gunakan definisi integral tentu (dengan titik ujung kanan) untuk

menghitung 2

0

(x2 x

)dx, jawab: lim

n

(23+

43n2

+2n

)=

23

2 Gunakan definisi integral tentu untuk menunjukkan bahwa ba x dx =

b2 a22

.

3 Hitung integral berikut dengan menafsirkannya sebagai bentuk luas.a) 2

0

(1+

4 x2)

dx, jawab: 2+

b) 22 (1 |x|) dx, jawab: 0

4 Ungkapkan limit berikut dalam bentuk integral tentu.

a) limn

(12

n3+

22

n3+ + n

2

n3

)b) lim

n1n

(1

1+ (1/n)2+

11+ (2/n)2

+ + 11+ (n/n)2

)


Integral Tentu

Sifat-sifat Integral TentuIlustrasi Geometris


Integral Tentu

Sifat-sifat Integral TentuSifat Umum

1 a

b f (x) dx = b

a f (x) dx

2 a

a f (x) dx = 0

3 b

a c dx = c (b a)4 b

a c f (x) dx = c b

a f (x) dx

5 b

a [f (x) g (x)] dx = b

a f (x) dx b

a g (x) dx

6 b

a f (x) dx+ c

b f (x) dx = c

a f (x) dx


Integral Tentu

Soal (Sifat Integral I)

1 Diketahui 2

0 f (x) dx = 4 dan 0

2 (g (x) f (x)) dx = 5. Gunakansifat-sifat integral untuk menghitung:

a) 0

2 (2f (x) 3) dx b) 2

0 g (x) dx, jawab: a. 2 b. 1

2 1

0 f (t) dt = 2, 4

0 f (t) dt = 6, dan 4

3 f (t) dt = 1. Hitung 31 f (t) dt. jawab: 9


Integral Tentu

Ilustrasi Geometris Sifat Pembandingan Integral


Integral Tentu

Sifat-sifat Integral TentuSifat Pembandingan

1 Jika f (x) 0, x [a, b], maka b

a f (x) dx 02 Jika f (x) g (x) , x [a, b], maka

ba f (x) dx

ba g (x) dx

3 Jika m f (x) M, x [a, b], makam (b a)

ba f (x) dx M (b a)


Integral Tentu

SoalGunakan sifat pembandingan integral untuk memeriksa kebenaranpertidaksamaan berikut tanpa menghitung integral.

1 2 11

1+ x2 dx 2

2

2 1/2 2

11x

dx 1

3 3

1

x4 + 1 dx > 26/3 (diketahui:

ba x

2dx =13(b3 a3

))


Teorema Dasar Kalkulus

Teorema Dasar KalkulusPengantar

Kalkulus diferensial muncul dari permasalahan garis singgung.Kalkulus integral muncul dari permasalahan luas daerah: perhitunganrumit seperti limit Jumlah Riemann.Sepintas, keduanya tampak tidak berkaitan.Newton dan Leibniz menemukan bahwa keduanya saling terkait.Konsep yang mengaitkan kalkulus integral dengan kalkulus diferensial:Teorema Dasar Kalkulus (TDK).Dengan TDK, perhitungan integral dan aplikasinya menjadi jauh lebihmudah karena merupakan kebalikan dari proses turunan.



Ilustrasi Geometris TDK-1



Teorema (Teorema Dasar Kalkulus 1)

Jika f kontinu pada [a, b], maka F (x) = x

a f (t) dt kontinu pada [a, b],terturunkan pada (a, b), dan turunannya adalah f (x) ;

F (x) = ddx x

a f (t) dt = f (x) (5)



Soal (TDK-1)

Tentukan:

1ddx

x0

11+ t2

dt,

2ddx

x20

sin t dt, petunjuk: u = x2, jawab: 2x sin x2

3ddx

g2(x)g1(x)

f (t) dt, jawab: f (g2 (x)) g2 (x) f (g1 (x)) g1 (x)

4 fungsi f dan konstanta a yang memenuhi 6+ x

a

f (t)t2

dt = 2

x,

x > 0, jawab: f (x) = x3/2, a = 9.



Teorema Dasar Kalkulus 2Konsep

Dari TDK-1: G (x) = x

a f (t) dt G (x) = f (x) (G anti-turunan f ).Catat bahwa G (a) =

aa f (t) dt = 0.

Misalkan F anti-turunan lain dari f , maka F (x) = G (x) + C

F (b) F (a) = [G (b) + C] [G (a) + C]

= G (b)G (a) = G (b)

= b

a f (t) dt = b

a f (x) dx

Jadi ba f (x) dx = F (b) F (a)

dengan F merupakan anti-turunan f atau F (x) = f (x) .



Teorema (Teorema Dasar Kalkulus 2)

Jika f kontinu pada [a, b] dan F sebarang anti-turunan f pada [a, b], maka ba f (x) dx = F (x) |ba = F (b) F (a) (6)

TDK-2 memberi cara yang mudah dalam mengevaluasi integral tentu,jauh lebih mudah dibandingkan menggunakan limit Jumlah Riemann.

Berdasarkan TDK-2, untuk mengevaluasi integral tentu f pada [a, b]:tentukan anti-turunan F dari f ,evaluasi F (b) F (a) .



SoalTentukan:

1 /2

0 cos x dx, jawab: 1

2 4

1

( 32

x+ 4x2)

dx, jawab: 10

3 21 x |x| dx, jawab: 7/3

4ddx

x0

x sin t dt, jawab: x sin x cos x+ 1


Integral Taktentu

Integral Taktentu

Definisi (Integral Taktentu)

Misalkan F adalah anti-turunan f . Integral taktentu f (x) terhadap xadalah

f (x) dx = F (x) + C (7)

Hasil integral tentu (persamaan 4) berupa suatu bilangan, hasilintegral taktentu berupa fungsi.

Integral taktentu adalah lambang lain antiturunan.


Integral Taktentu

Formula Integral Taktentu

1

kf (x) dx = k

f (x) dx2(f (x) g (x)) dx =

f (x) dx

g (x) dx

3

xndx = xn+1/ (n+ 1) + C, n 6= 14

sin x dx = cos x+ C5

cos x dx = sin x+ C6

sec2 x dx = tan x+ C7

csc2 x dx = cot x+ C8

sec x tan x dx = sec x+ C9

csc x cot x dx = csc x+ C


Aturan Substitusi

Aturan Substitusi

Aturan substitusi digunakan pada kasus:

sulit menentukan anti-turunan integran secara langsung, tetapibagian tertentu integran dapat dimisalkan dengan variabel barusehingga lebih mudah dicari anti-turunannya.

Contoh

Ingin ditentukan

2

2x+ 3 dx

Solusi OMisalkan u = 2x+ 3 du/dx = 2 du = 2dx

2

2x+ 3dx =

udu

= 23 u3/2 + C

= 23 (2x+ 3)3/2 + C


Aturan Substitusi

2

2x+ 3dx = ?Jika u = g (x) = 2x+ 3, g (x) = 2 = du/dx, f (u) =

u,

maka berlaku2

2x+ 3dx =

f (g (x)) g (x) dx

=

f (u) du


Aturan Substitusi

Teorema (Aturan Substitusi)

Jika u = g (x) adalah fungsi terturunkan dan f kontinu pada Wg, makaf (g (x)) g (x) dx =

f (u) du b

a f (g (x)) g (x) dx =

g(b)g(a) f (u) du


Aturan Substitusi

Integral Fungsi SimetriIlustrasi Geometris


Aturan Substitusi

Integral Fungsi Simetri

Dengan menggunakan aturan substitusi, dapat ditunjukkan

1 Jika f fungsi genap, maka aa f (x) dx = 2

0a f (x) dx = 2

a0 f (x) dx (8)

2 Jika f fungsi ganjil, maka aa f (x) dx = 0 (9)


Aturan Substitusi

Soal (Aturan Substitusi)

Evaluasi integral (1 5) berikut:

1

x sin x2dx, jawab: 12 cos x2 + C

2

21

x

2 x dx, jawab: 14/15

3

10

x3

x2 + 1 dx, jawab: 2/15(

2+ 1)

4

/2/2

x2 sin x1+ x6

dx, jawab: 0

5

10

x

1 x4 dx, jawab: /8

6 Gunakan aturan substitusi untuk menunjukkan

a Jika f genap, maka aa

f (x) dx = 2 a

0f (x) dx.

b Jika f ganjil, maka aa

f (x) dx = 0.


Aturan Substitusi

Ekspresi Integral Taktentu Tidak Khas

Soal

Tunjukkan bahwa

sin x cos x dx menghasilkan ekspresi berbeda dengansubstitusii) u = sin x, ii) u = cos x, iii) u = 2x berdasarkan kesamaansin 2x = 2 sin x cos x

Hal tersebut menunjukkan bahwa fungsi yang dihasilkan dari integraltaktentu dapat memiliki ekspresi/bentuk yang berbeda.


Telaah Konsep

Telaah Konsep IKuis Benar-Salah

1 Jika f dan g kontinu pada [a, b], maka ba f (x) g (x) dx =

( ba f (x) dx

) ( ba g (x) dx

).

2 Jika f kontinu pada [a, b], maka b

a xf (x) dx = x b

a f (x) dx.

3 Jika b

a f (x) dx = 0, maka f (x) = 0, x [a, b] .4 Jika

ba [f (x)]

2 dx = 0, maka f (x) = 0, x [a, b] .5 Jika f kontinu pada [a, b] dan f (x) 0, maka b

a

f (x) dx =

ba f (x) dx

6 Jika f (x) g (x) pada [a, b], maka b

a |f (x)| dx b

a |g (x)| dx.

7 Jika f (x) g (x) pada [a, b], maka ba f (x) dx ba g (x) dx .

8 Jika a > x dan F (x) = x

a f (t) dt, maka F (x) = f (x) .


Telaah Konsep

Telaah Konsep IIKuis Benar-Salah

9 Jika F (x) = G (x) , x [a, b], maka F (b) F (a) = G (b)G (a) .10 Jika F (x) adalah anti-turunan dari f (x), maka F (2x) adalahanti-turunan dari f (2x) .

11

11

(x3 2x7 + sin x

1+ x2

)dx = 0.

12

1111

(ax2 + bx+ c

)dx = 2

110

(ax2 + c

)dx.

13

31

cos2 x dx = 1

5cos2 x dx+

35

cos2 x dx.

14ddx

x21

11+ t2

dt =1

1+ x4.

15 limn

n

i=1cos

(2in

)= 2

0cos x dx.


Telaah Konsep

Tentang Slide

Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPAIPB)

Versi: 2012 (sejak 2009)

Media Presentasi: LATEX - BEAMER (PDFLATEX)

PendahuluanAnti-turunanLuas di Bawah KurvaIntegral TentuTeorema Dasar KalkulusIntegral TaktentuAturan SubstitusiTelaah Konsep

Documents

Integral