Bab6-Integral Lipat, Integral Garis, Integral Permukaan Dan Teorema Integral

5/11/2018 Bab6-Integral Lipat, Integral Garis, Integral Permukaan Dan Teorema Integral ...

http:///reader/full/bab6-integral-lipat-integral-garis-integral-permukaan-dan-teorema-inte

INTEGRAL LIPAT, INTEGRAL GARIS,INTEGRAL PERMUKAAN DANTEOREMA INTEGRAL

6.1. INTEGRAL LIPAT DUAPandang suatu fungsi z = f(x,y) yang kontinu pada daerah hingga R dibidang XOY.

Misalkan daerah ini dibagi atas n buah sub (bagian) daerah Rl' R,.:::': Rn masing-masingluasnya 1l.1A,IizA, ...... Il.nA.

Dalam setiap sub daerah pilih suatu titik Pk (~ , Y k ) dan bentuk jumlah

Sekarang tentukan diameter dari sub daerah yang merupakan jarak terbesar antara 2titik sembarang di dalam atau pada batas sub daerah, dengan A .nadalah diameter maksimumdari sub daerah.

Misalkan banyaknya sub daerah makin besar diartikan n~ maka A .n~OMaka integrallipat dua dari fungsi f(x, y) atas daerah R didefinisikan sebagai

J J f(x, y) dA = lim t f(xk , Y k ) ~AR n~ k= l ..............(2)177



y

- - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - XoGambar6.1.

xGambar6.2

Bila z = f(x, y) non negatip atas daerah R, sebagai dalam gambar 6.2. di atas,integrallipat dua (2) bisa diartikan sebagai volume. Sembarang suku f(~, Y_)dkA dari(1) memberikan volume dari kolom vertikal yang alasnya ~A dan tingginya adalah ~yang diukur sepanjang vertikal dari titik Pk yang dipilih sampai permulaan z = f(x, y).

Jadi persamaan (1) adalah volume-volume pendekatan kolom vertikal yang alasnya~ di bawah dan atasnya adalah permukaan yang proyeksinya ~. Persamaan (2) adalahukuran dari volume dari sub-sub daerah.

6.2. INTEGRAL ITERASIPandang suatu volume yang didefmisikan seperti di atas dan misalkan batas daridaerah R adalah sedemikian, sehingga tak ada garis sejajar dengan sumbu X atausumbu

Y yang berpotongan lebih dari 2 titik. Gambarkan pada daerah R garis singgung x = adan x = b yang menyinggung batas R di titik K dan L dan garis-garis singgung y = cdan y = d dititik M dan N.Misalkan persamaan busur LMK adalah y = g, (x) dan busur LNK adalah y = g2(x).Bagi interval a :::;x :::;b dalam m sub intergal hi' h2 .... hm'dengan panjang masing-

masing d,x, ~x, ..... , dmXdan letakkan titik-titik x = ~" x = ~, x = ~3 ....... , X= ~,dan bagi interval c :::;y :::;d atas n sub interval k., k,..... , kn masing-masing denganpanjang L\,y, ~y, ...., dnY' dan letakkan titik-titik y = I l " Y= 1 l2 ' . . . . . . Y= Iln-"Nyatakan A . diameter maksimum dari Ax dan Il diameter maksimum dari d.ymIn J .Gambarkan garis-garis sejajar x = ~,. x = ~2.... , X = ~, dan garis-garis sejajar y= 1 l 2 ' y=1l2, .... Y= Iln-,maka daerah R terbagi atas persegi-persegi panjang Rjj dengan

luas djX. djy dan bukan persegi panjang yang akan kita abaikan.178



Pada setiap sub interval hi pilih suatu titik x = Xidan pada setiap sub interval kj pilihsuatu titik y = Yj' dengan demikian dalam setiap bagian daerah mengandung titikPij (x, y). Dengan setiap bagian daerah hubungan dengan suatu bilangan Zij= f(xi, Yj)dari permukaan dan kemudian bentuk

L f(xi,Y) .1ix. .1li= 1,2, mj = 1,2, n

................ (3)

Persamaan (3) merupakan hal yang khusus dari (1), sehingga jika banyaknya persegipanjang adalah tak hingga, dengan demikian Am~ dan Iln~ 0, maka limit dari (3 ) akansarna dengan integrallipat dua (2).

Supaya lebih berlaku lagi limit ini, mula-mula kita pilih sub interval hi dan bentukn{ L f(xi,Y j) .1j y } .1ixj=1 i = tetap

Kumpulkan semua persegi panjang dengan hi sebagai satu dimensi berarti mengum-pulkan semua persegi panjang yang terletak di kolom ke i. Bila n~oo, Iln~o dan

limn~oo

= '" (x.) .1.x'I' 1 1

Gambar6.3

z

d Y,, R

179



--------------- -----

mlim L "-(x.) ax ='f' 1 1m~oo i=1

bJ (j>(x)dxa

Sekarang jumlahkan atas m kolom dan ambil m~oo, maka kita dapat

................... (4)Meskipun kita tidak memakai tanda kurung itu jelas dimengerti bahwa persamaan

(4) digunakan untuk mengevaluasi 2 integral tertentu sederhana yang ditulis secara ber-urutan, mula integral di f(x, y) terhadap y dengan menganggap x tetap dari y = g2(X)sebagai batas bawah dan y = g2(X)sebagai batas atas dari R, kemudian integral dari hasilini terhadap x dengan batas bawah x = a dan x = b sebagai batas atas dan R.Integral (4) ini disebut suatu integral iterasi atau Integral di ulang.

Sebagai latihan, jumlahkan mula kumpulan persegi panjang yang terletak pada setiapbaris dan kemudian jumlahkan atas semua baris untuk mendapatkan integral iterasi

d f h i Y )f f(x,y) dx dyc ht(y)dimana ht(y) adalah persamaan busur MKN dan h2(y) adalah persamaan busur MLNContoh-contoh :

1 x 1 x1. f f dy dx = f [ y] dxo x2 0 x2

1 1 1 1 1 1= [_ x2__ x"] = _- _ = _2 3 0 2 3 6

180



2. J2 rY(X-y) dx dy = f [_1_ x2 + xy ]3Y dy1 y 1 2 y

211= J [- (3y)2 + 3y2 - - y 2 - y2 ] dy122

= f 6 y2 dy = 2y3 f1 1= 14

2 X2+X 2 X2+X3. J J x dy dx = J x y ] dx-1 2x2-2 -1 2x2-2

2= J { x3 + x2 - 2x3 + 2x } dx-1

112= _ _ X4 + _ x3 + x2 ]4 3 -1

9=--41t pos e 1t 1 cos e4. J J p sin e dp de = J - p2 sin e I deo 0 0 2 0

1 1t= - J (cos2e sin e) de2 0

21 1tJ cos2e d (cos e )o=--1 1t 1=-- cos3e I =-6 0 3

181



5. { 1 2 t cos 9 p 3 d P d9 = ( 1 2 _1_ p 4 t cos ~9o 2 0 4 2___1 f 2 (256 cos" 9 - 16) d9

4 0(64cos'B- 4)d939 sin 29 sin 49 "I=[64(-+--+ )-49] 28 4 32 0

= 1 0 1 1 :6. Hitung J R J dA, dimana R adalah daerah dikwadrant I yang dibatasi oleh setengahparabola y2 = x3 dan garis y = x.Garis dan parabola berpotongan dititik (O,O) dan (1,1) yang mana mempakan nilaiterbesar dari x dan y di daerah R.

1

(0,0)

Gambar6.4JRJdA=

1 , Y 2f3= J f a x dyo x=y

182



3 1 1= __ y 5 f 3 _ _ . _ y 2 I5 2 0110

atau

=xJ dy dxy=X3 1 2

f121= (x - X31 2) dx = - x2 - - X51 2 Io 2 5 0

110

7. Hitung:fR fdA, dimana R adalah daerah yang dibatasi oleh :

{ y = 2xY = x2 dan x = 1titik potong (0,0) dan (2,4)fR f dA = 2x= f f dy dxx=O y=x2

1= f (2x - x2) dxo1 1= X2 __ x313 0

23

183


http:///reader/full/bab6-integral-lipat-integral-garis-integral-permukaan-dan-teorema-int

Gambar6.5

xatau

fR1 " y f 1= f f . dx dy + f dx dyo 1 / 2 Y 1 1 / 2 Y512=--+--=--12 4 3

RI = daerah ABCR2 = daerah OAC

Gambar6.6

8. Hitung J R J x2 dA, dimana R adalah daerah di kwadran I dan dibatasi oleh xy = 16dan garis-garis y=, y=dan x=.(lihat gambar)

184



xy=16

X F 4 8Gambar6.7

Daerah R dibagi atas 3 bagian R, = ABCE dan R2 = CDEf f x2 dA = f f x2 dA + f f x2 dAR Rl ~

2 8 r 4 16/f f X2 dA = f f X 2 dx dy + J f YX 2 dx dyR y=G x=y 2 x=y2 512 1 4 1 163= f ( - - - y3) dy + f - ( - - y3) dyo 3 3 2 3 y3512 1 2= _ _ y y413 12 0

= 340 + 128 - 20

3 1 1 4+ __ ( ) v" y4 I3 2 12 2

= 448Integral lipat dua dapat digunakan dalam banyak hal : misal,

I. Menghitung volume antara permukaan z = f(x,y) dan bidang xyRumus:

V = f R f f(x,y) dx dyII. Menghitung luas daerah dibidang xy dimana f (x,y) = 1

Rumus:L = J R J dx dy

185


http:///reader/full/bab6-integral-lipat-integral-garis-integral-permukaan-dan-teorema-integ

III. Menghitung massaf dipandang sebagai massa jenis (massa persatuan luas)Rumus:

M = f R f f(x,y) dx dyIV. Menghitung pusat massaf = massa jenis, M = massa dari pelat tipis dan (x, y) = pusat massa di R

makaM" = f R f x f(x,y) dx dyMy = f R f y f(x,y) dx dy

V. Menghitung momen inersia.Moment inersia dari plat tipis terhadap sb x dan sb y, diberikan denganr, = f R f y2 f(x,y) dx dy; Iy = f R f x2 f(x,y) dx dy

Contoh-contoh :9. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola-parabolay2 = 4 - Xy2 = 4 - 4x

Cari titik potong kedua parabola4 - x = 4 - 4x3x=0x=Oy=2

Titik-titik potong: (0, 2) dan (0, -2)

Gambar6.8186



2 4-y2L = 2 J J dx dyo y21--4

_ J 2 J 4 -y2- X y2 dyo 1--42 y2= 2 J (4 - y2 - 1 + - ) dyo 4

1 2= 2 (3y __ y3 I4 0

= 2 (6 - 2) = 810. Hitung volume ruang yang dibatasi oleh silinder x2 + y2= 4 dan bidang-bidang y

+z=4danz=O,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

Gambar6.9v = J R J z dA.v = J R J (4 - y) dA

2 . . .J4-y2= J J ~(4 - y) dx dy-2 - ' J4-y2f ~4-y2= 2 J (4 - y) dx dy-2 0

187



2 .../4-y2V = 2 f (4x - Y x) I dy-2 0

= 2 { f 2 (4 (.../4- y Z ) - y (.../4- y2) dy-21 - - = - 1 y 2= 2.4 (- y .../4- y2 + - . 4 arc sin -) I2 2 2-2

1t 1t 2 3/2 2= 4 (0 - 0) + 4 . 4 (- + -) + 2 . - (4-y2) I2 2 3 -24= 1 6 1 t + - (0-0) = 1 6 1 t3

11. Hitung volume dari ruang yang dibatasi oleh silinder 4x2 + y2 = 4, bidang-bidangz = 0 dan z = 2y

z

.,.,.-1 ".....- . . - - - - _jk~~?~2-Y

4

.,,.

xGambar6.10

v = f R f z dA.../4-y2

= f 2 r , _ 2 _ 2y dx dyy=O --v4-y22

188



2y dx dyo 0. . .J4-y2

=f 2yx I 2 dyo 0

= 2 f 2 Y . _1_ . . .J4-y2 dyo 22= - f (. . .J4-y2) d (4-y2)o2 2= _ [ _ (4-y2)3n]3 0

2 16=--(0-8)=-3 312. Tentukan pusat bidang yang luasnya dibatasi oleh parabola y = 6x - x2dan y = x

Gambar6.11Jawab:

I I 1 5 I6x-x2A = dA = dy dxR - x=O x189



= f (6x - X 2 - x) dxo5 1=_X __ X2 3

5 125 125 1251=---=-o 2 3 6f 6X-X2M = I I YdA = I y dy dx

x R 0 x1 I 5 6x-x2= _ y 2 1 dx2 0 x

= _1_ f {(6x _ X2)2_ x2 } dx2 0= _1_ f (35x2 _ 12x3 + x") dx2 01 35 1 5= - ( - x3 - 3 X4 + - x5) I2 3 5 01 4375 625= - ( - - - 1875 + 625 ) = - -2 3 6

M 625/y=_x =__6 =5A 125/65 6x-x2M = I I x dA = I I x dy dx

y R 0 x6x-x2 5(xy) I dx = I (6x2 - x3 - x2) dxX 0

5 1 5= [ _ x3 __ X4] =340

625

625 6253 4

12

190



13. Tentukan pusat bidang yang luasnya dibatasi oleh parabola-parabolay = 2x - x2Y = 3x2- 6x

M 62 5 /12 5x=_Y_= =-A 12 5 /6 2Pusat bidang (5/2, 5)

y =2x - x2

Gambar6.12Jawab : Titik-titik potongnya (0, 0) dan (2, 0)A = J J dAR

J2 J2X-X2= dy dxo 3x2-6x2= J (2x - x2 - 3x2+ 6,x)dxo2= J (-4x2 + 8x) dxo4 2 32 16

= - - x3 + 4x2 I = - - + 16 = + -3 0 3 3191



f 2X-X2 2 1 2x-x2M x = f f Y dA = f y dy dx = f { - y2} I dxR 0 3x2-6x 0 2 3x2-6x= _1_ f { (2x _ X2)2_ (3x2- 6X)2} dx

2 01 32 8 2= - [ - - - x3 + 8x4 __ XS ]2 3 5 01 256 256= - { - - + 128 - - }2 3 564=---15

4 J 4 /1S 4y= =---+16/ 53

M = f f 2 2z-x2 t; 2x-x2x dA = f f x dy dx = I dxy R 0 3x2-6x 0 3x2-6x= f (2x2- x3 - 3x3 + 6x2)dxo .

8 2 64 16= [ -- x3 - X4] = -- - 16 = --3 0 3 3M 16/y 3x=--=--=1A 16/ 3

4:. Pusat bidang (1, ~ --)514. Tentukan Ix' Iy dan ~ untuk luas yang tertutup (loop) dengari persamaan

y2= x2 (2 - x)

192



y

misal:2-x=z

Jawab:

J J (l J x..J2-XA = ciA = 2 J dy dxR' 0 0= 2 f (x ..J2-x) dxo= 2 f ( 2 - z) . . J Z : (-dz)2

422=2. {_z3f2 --, _Z51l} I3508 8 32= 2 . (-' . . J 2 - - . . J 2 ) = - . . J 23 5 15

2 -s:I x = J J y2 dA = J J y2dy dxROOJ 2 1 x..J2-x= _y3 I dx0301 J2 -= - x3 ..J(2_X)3dx3 0

misal 2-x = Z2

Gambar6.13

193



1 0= - - J (2 - Z2)3 Z3 2z dz3 ~2= - _ : _ f (8z4 - 12z6 + 6 Z8 - ZIO) dz

3 :';22 8 12 6 1 ~2= - ( _ ZS __ Z7 + - Z9 __ z" ) I3 5 7 9 11 02048~2 64

= =--A3465 2312 X'l2-x

I = J J x2 dA = J J x2 dy dxy ROOca-x2y I dxo

misal 2-x = Z2

: . / 2= -4 J (8z2 - 12z4+ 6z6 - Z8) dzo1024~2 32=---=--A315 21

416I=+I=--Ao x y 23115. Tentukan luas daerah di luar lingkaran p = 2 dan di dalam cardioida

p = 2 (1 + cos e).Jawab:Luas daerah yang diminta simetri terhadap sb x

1 t / J 2(1 +cos e)A = 2 J 2 pdp deo 2194



y

x l 2(1 + cos 9)= f p 2 I a eo 2

Gambar6.14

x l= J 2 {4(1 + COS9)2 -4} d9o

X I= 4 J 2 (C OS20 + 2 cose) dOo

1 1 ~= 4 [ -- cos 0 sin 0 + -- 0 + 2 sin 0 ] 22 .20

1t= 4 {O+ -- + 2 - 0) = 1t + 8416. Tentukan luas daerah di dalam lingkaran p = 4 sin 0 dan di luar leinnis cate

47tl6

Gambar6.15195



A = 2 ( 1 4 J4 sin 9 P dp d9 + 2 { / 2 J 4 ~i~: d9f t / 6 : . . J 8 cos 29 f t / 4 0

Jf t / 4 4 sin 9 J f t / 2 4 sin 9= p2 ] d9 + p2] d9", ;;8 cos 29 f t / 4 0

Jawab:Perpotongan Iemnis cate dengan Iingkaran di9 = f t / 6 dan Iuas yang diminta simetri terhadap sumbu Y

J f t / 4 [ 1 2A = (16 sin2 9 - 8 cos 29) d9 + 16 sin2 9 d9f t l 6 f t l 4

f e / ft /= -8 sin 9 cos 9 + 8 9 - 4 sin 29 ] 4+ (-8 sin 9 cos 9 + 8 9) ] 2'lt/6 'lt/4

2= -8 + - 7t + 4 "3 + 4 + 27t38= ( - 7t + 4 "3 - 4 )3

17. Tentukan I , I , dan I untuk Iuas dikwadran I di Iuar Iingkaran p = 2a dan di dalamx y 0lingkaran p = 4a cos 9.Jawab:

' I t / J4a cos 9A = J f dA = f 3 P dp d9R 0 2a y

3

1 'ltl= - f 3{(4a cos 9)2- (2a)2}d92 027t + 3"3

' I t / fa cos 9I = f f y2dA = f 3 (p sin 9)2 p dp d9x R 0 2a

Gambar6.16

196



1 f C l= __ I 3 {(4a COS 9)4 - (2a)4} sin29 d94 0

f C l= 4a4 I \16 cos49 - 1) sin29 d9o

4 1 t + 9 " 1 36

"I1 = I I x2 dA = I 3Y R 0

121 t + 11~3

r4acos9J (p COS 9)2p dp d92a= a42

20 1 t + 21~31 =1 +1 = a4o x y 21 t + 3Seal-seal :Hitung : Integral Iterasi

1. (a) I I f dx dy =o 1(b) f f (x + y) dx dy =1 0(C ) t f (x2 + y2) dx dy2 1(d) Jl jxy2 dy dx

o x2

I2 jy3n x(e) -- dx dy1 0 y2

197



1 ~x(f) f f (y + y3) dy dxo x1 t ;(g) f xer dy dx

o 0

(h) t f;Ydx dy2 yj tg 3/2 f 2 sec e(i) pdp de =o 0(j) { ' Z f p2 cos e dp deo 0

1 t /4 tan e sec e(k) f f p3 cos- e dp deo 0

f 1t f - C O S e(1 ) p3 cos2e dp deo 0

2. Gunakan Integral Iterasi untuk menghitung integral lipat dua atas darla. x atau daerah yang dibatasi y = x2 dan y = x3b. y atas daerah (a)c. x2 atas daerah yang dibatasi y = x, y = 2x dan x = 2d. y atas daerah di atas y = 0 dibatasi oleh y2 = 4x dan y2 = 5-x

3. Hitung integrallipat dua untuk menghitung luas daerah(a) dibatasi oleh 3x + 4y = 24, x = 0, y = 0(b) dibatasi oleh x + y = 2, 2y = x + 4, y = 0(c) dibatasi oleh x2 = 4y, 8y = x2 + 16

4. Carl pusat bidang yang luasnya dibatasi oleh(a) y2 = 6x, Y = 0, x = 6 dikwadrant I(b) y2 = 4x, x2 = 5 - 2y, x = 0(c) x2 - 8y + 4 = 0, x2 = 4y, x = 0 dikwadrant I(d) Kwadrant I darl soal 3(a)

198



5. Tentukan lx' Iy dan 1 0 dari luas berikut ini(a) Masalah (soal) 3(a)(b) Perpotongan dari y2 = 8x dengan latus rectum(c) dibatasi oleh y = X2dan y = x(d) dibatasi oleh y = 4x = X2dan y = x

6. a. Gunakan integral lipat dua untuk menghadapi luas yang dibatasi oleh p = tan9 sec 9 dan 9 = " 1 3

b. Di luar lingkaran p = 4 dan di dalam p = 8 cos 97. Tentukan Ix dan Iy untuk 1 loop dari p2 = cos 29

6.3. INTEGRAL LIPAT TIGABentuknya: f f I(x,y) f(x,y,z) dx dy dz

vf(x,y,z) di defmisikan pada ruang tertutup V dibagi atas paralelepipedum tegak lurus

oleh bidang-bidang sejajar bidang koordinat. Paralelepipedum dalam V kita beri nomor1 sampai n. Paralelepipedum ke i mempunyai volume L \j V.Inte~ tripel (integral lipat tiga) di dapat dari limit dari jumlah

MJ J J f(x,y,z) dx dy dz = lim L f(xj*' Yj*' Zj*) L \yv n---?oo i=lJika n~, sedang diagonal maksimum dari A v---?o. Titik (x.*, y.*, z.*)1 1 1 1dipilih sebarang dalam paralelepipedum ke i.

Adanya suatu limit yang unik dapat ditunjukkan, jika f(x,y,z) kontinu di V

Teori sederhana berlaku untuk ruang tertutup V yang dilukiskan sebagaiXl s X s Xl 'YI(X) < y < Y2(X)ZI(X,y) ~ z ~ Z2(X,y)

Untuk ruang tertutup ini, integrallipat tiga dapat disingkat menjadi integral berulang.

f J JX2 JY2(X) JZ2(X,y)J f(x, y, z) dx dy dz = f(x, y, z) dz dy dxV Xl YI(X) ZI(X, y)

199



Contoh:

1. Jika V digambarkan oleh 0 :5 : x : 5 : 1, 0 :5 : Y :5 : x2 dan 0 : 5 : z : 5 : x + y dan f = 2x-y-z. 1

J J J f dx dy dz = Jv 0 (2 ,x+y

J (2x - Y - z) dz dy dxo 01 x2 x+y= J J (2xz - yz - 1/2z2) I dy dxo 0 0

1_ 3/ [ 1 1 X ' _ 1/ x7]- 2' 21 o_ 8 1- 3"

Integrallipat tiga dapat dianggap sebagai "Hypervolume" (volume dalam ruang ber-dimensi 4).* Jika f(x, y, z) = 1 makaJ J J dx dy dz adalah merupakan volume dari Vv* M = massa benda = J J J f(x, y, z) dx dy dzv

f = massa jenis benda* Pusat massa benda = (x, y , z) dapat dieari denganM . x = J J f x f(x, y,'z) dx dy dzvM . y = J J J y f(x, y, z) dx dy dzvM.l: = f J J z f(x, y. z) dx dy dz.

v200



* MorDen m.rsiaterhadap sumbu OXIII ~ I I f 62 + z2) f (x, y, z) dx dy dz.v

* f f f f(x, y, z) dx dy dz = f(x, y, z) Vvdimana V = volume dari benda.

Contoh-contob :f e l A .

Hitung : J 2 Jo 0

~16-z2J (1 6 - p2)112 P z d P dz d9of e l 4 -Jawab : _1/2 J 2 fo 0

f e l 4= - 1/3 J 2 J (Z3- 43) Z dz d9o 0f e l 4= - 1/3 J . 2 J (Z4 - 64z) dz d9o 0

J ': I2 4= - 1/3 (I/~ Z5 - 32z2) 1 d9o 0

45 '?= __ J 2 (1/ _ 1/ ) d93 0 2 545 "I2=-9110 0

7t 256=--.--=--7t10 2 5

201



2. Hitung J J J f(x) dV dimanavf(x) = x2 + y2 + Z2

V dibatasi oleh x + y + Z = 5x = 0, y = 0, Z = 0

Gambar6.175

5 5-x 5-x-yJ J (x2z + y2z + 1/3Z3) I dy dx000

iJ ~-x 5-x-yJ J {(x2 + y2) Z + 1/3Z3 } I dy dxo 0 0~ ~-x (5-X-y)3= J J {(X2+y2) (5-x-y) + } dy dxo 0 3~ X2y2 (5-x) y4 (5-X-y)4 5-x= J [x2(5-x)y - -- + -- y3 - - - ] dxo 2 3 4 12 0

202

5



, 5 x2(5-x)2 (5-X)4= J { +--} dxo 2 6

, 5 x2(5-x)2 (5-X)4 (5-X)4 (5-X)4= J [x2(5-x)2 - + -- - -- + -- ] dxo 2 3 4 12

25x3 5x4 X5 (5-X)5 5=---+---- I6 4 10 30 055 55 55 55= - - - + - + 0 - (0 - 0 + 0-)6 4 10 30

1 1 1 1= 55 (-- - -- + -- + --)6 4 10 30625= __ 55

20 =--43. Hitung tripel dari F(x,y,z) = Z atas daerah R dalam oktano pertama yang dibatasioleh bidang y=O, z=O, x+y=2, 2y+x=6 dan silinder y2+Z2=4Jawab:

Gambar6.18

Daerah ruang yang dimaksud ABEDCF.2 fj-2y :-J4-y2J J J Z dz dx dy = J J J z dz dx dy

v y=O x=2-y z=O203



__f2 fr2y V4-y2J 1/2 Z2 I dx dyo 2-y z=O

2 6-2y= 1/2 f f (4 - y2) dx dyo 2-y

2 6-2y= 1/2 J (4x - Xy2) I dyo 2-y

2= 1/2 [_l/gy4 _ 1/3y3 + y2+ 4y ] o

= 1 1 1 34. Hitung integral lipat 3 dari F(p, 6, z) = p2 atas daerah yang dibatasi oleh parabola

p2 = 9 - z dan bidang z = o .Jawab:

Z 9.'/ .,,,,,,,,,, z

Gambar6.19

204



21t 3 9-p2JJJp2dV=J J J p2 pdz dp d9

v 0 0 0

21t 3=1 J p3(9-p2) dp d90 021t 3= 1 ( 9/ 4 p4 - 1 /6 p 6 ) ] d9o 021t

=1o 243/ d9 = 24 31 1t4 25. Hitung volume dari daerah yang terletak dalam silinder p = 2 cos 9 di atas bidangz = 0 dan di atas dibatasi oleh z = p 2.

Z 9. . . . . . . . . .

... . - . -, ',---....:~!-=---...:;.,.--xy Gambar6.20

Jawab:1 C / 2 2cos9 p2

V= 21 1 1 pdz dp d90 0 0

205



f " /2=2or2cosOJ p3 dp deo

"/ 2 2 cose= 1/2 f p4 I deo 0

,, /= 8 f \os4e deo6. Tentukan koordinat dari Centroid soal nomor 5Jawab:

v = 3/ 1t2"/ 2 2cose {2

Myz = f f f xdV = 2 f f p cosfl pdz dp dOv 0 0 0

2 cosOf p4 cose de dOocos" 0 de = 21 t

M 4yzX=-=-V 3Dengan simetri; y = 0

,,/ 2cose p2MXY = f f f zdV = 2 f 2 f f z. pdz dp a e

v 0 0 0

206



7 r / 2 cosp= J 2 J p5 dp de 7 r 1= 32/5 J 2COS6 P de = 5/3 1tM xy 10Z=--=--V 9

Jadi Centroid koordinatnya : (4/3 ' 0, I O / ~

6.4. SOAL-SOAL DAN LATIHANINTEGRAL LlPAT DUA1. (a) Gambarkanlah daerah R di bidang xy yang dibatasi oleh y =X2,X=2, Y=1.

(b) Berikanlah suatu tafsiran fisis untuk f f (x2 + y2) dx dy.R(c) Hitunglah integrallipat dua dalam (b).(a) Daerah yang diinginkan R digambarkan sebagai daerah yang digelapkan pada

Gambar 6-21 di bawah. .(b) Karena x2 + y2 adalah kwadrat jarak dari suatu titik (x, y) ke titik (0, 0),kitadapat memandang integrallipat dua ini sebagai momen inersia kutub (yaitu

momen inersia terhadap titik awal) dari daerah R (andaikan rapat massanya 1satuan).

Dapat juga dipandang integrallipat dua sebagai massa daerah R yang rapatmassanya bervariasi dengan persamaan x2 + y2.y y

y=4 ------------ (2,4)

y=1xo

Gambar6-21 Gambar6-22207



2 y3 x2(X2+ y2) dy dx = J x2y + - I dxx=I 3 y=l(c) Metode 1. Integrallipat dua dapat dinyatakan sebagai integral berulang

f X 6 1 1006=(X4+ __ X2__ ) dx=--x=l 3 3 105Integralkan terhadap y (dengan menganggap x tetap) dari y = = 1 sampai

y = x2 bersesuaian dengan penjumlahan pada kolom tegak (lihat Gambar 6-21).Kemudian integralkan terhadap x dari x = 1 sampai x = 2 bersesuaian denganpenjumlahan semua kolom tegak di antara x = 1 dan x = 2.Metode 2. Integrallipat dua ini dapat juga dinyatakan sebagai integral berulangt 2 f f 4 x3 2J (X2+ y2) dx dy = { (x2 + y2)dx} dy-,: J - + xy2 Iy= l x=V4 y=I x=vy y=l 3 x=vy

4 8 s" 1 0 0 6= J ( - + 2y2 - - - y S f l . ) dy = - -y=I 3 3 105Dalam kasus ini kolom tegak daerah R pada Gambar 6-21 di atas digantikan

oleh kolom mendatar seperti terlihat pada Gambar 6-22 di atas. Kemudian inte-gralkan terhadap x (dengan menganggap y tetap) dari x = vy ke x = 2 ber-sesuaian dengan penjumlahan pada kolom mendatar ini. Kemudian integralkanterhadap y dari Y = 1 sampai y = 4 dikaitkan dengan penjumlahan semua kolommendatar di antara y = 1 dan y = 4.

2. Tentukanlah volume benda yang merupakan daerah persekutuan yang diperolehdengan mengiriskan silinder x2 + y2 = a2 dan x2 + Z2= a2.Volume benda yang diinginkan = 8 kali volume benda yang ditunjukkan pada Gambar6-23. a ~a2-x2 a :'Ja2-x2

= 8 J J = dy dx = 8 J J Va2- x2 dy dxx=o y=o x=O y=Oa 16a3= 8 J (a2 - x2) dx = --x=O 3

208



Sebagai bantuan untuk:menyatakan integral ini perhatikanlah bahwa z dy dxbersesuaian dengan volume sebuah kolom yang digambarkan sebagai daerah gelappada gambar. Anggaplah x tetap dan integralkan terhadap y dari y = 0 sampai y =--.Ja2- x2 bersesuaian dengan penjumlahan volume dari semua kolom adalah jalursejajar bidang yz, yang memberikan volume dari jalur ini. Akhimya, integralkanterhadap x dari x = 0 sampai x = a bersesuaian dengan penjumlahan volume semuajalur dalam daerah tersebut, yang memberikan volume benda yang diinginkan.

Gambar 6-23

INTEGRAL LIPAT TIGA

Gambar 6-24

3. (a) Gambarkanlah daerah tiga dimensi R yang dibatasi oleh x+ y + z = a (a > 0),x = 0, y = 0, z = O.(b) Berikanlah tafsiran fisis untukJ J J (x2+ y2+ Z2)dx dy dz

R(c) Hitunglah integral lipat tiga dalam (b)(a) Daerah yang diinginkan R ditunjukkan dalam Gambar 6-24.(b) Karena x2+ y2+ Z2adalah kwadrat jarak dari suatu titik (x, y, z) ke titik (0, 0,0), kita dapat memandang integral lipat tiga tersebut sebagai momen inersia

kutub (yaitu momen inersia terhadap titik asal) dari daerah R (dengan mengan-daikan rapat massanya 1 satuan).Kita dapat juga memandang integral lipat tiga tersebut senagai massa daerah Rjika rapat massanya bervariasi dengan persamaan x2+ y2+ Z2.(c) Integral lipat tiga ini dapat dinyatakan sebagai integral berulanga a-x a-x-yJ J J (X2+ y2+ Z2)dz dy dxx=O y=O z=o

209



a-x Z3 a x yf x2z + yZz + - I- - dy dxy=O 3 z=o

= fa fa-x (a-x-y)3{x2(a -x) - xly + (a - X)y2- y3 + } dy dxx=o y=O 3faxly2 (a _X)y3 y 4 (a - x - y)4 a-x= x2(a - x)y - -- + - - - I dxx=O 2 3 4 12 y=Ofax2(a - X)2 (a - X)4= {x2(a - X)2 - + _023

(a - X)4 (a - X)4---+ }x4 12__ fa { x2(a - X)2 (a - X)4 as---+ }dx=-o 2 6 20Pengintegralan terhadap z (anggap x dan y tetap) dari z = 0 sampai z =

a - z - y bersesuaian dengan jumlah momen inersia kutub (atau massa) yangberhubungan dengan setiap kubus pada kolom tegak. Kemudian integralkan ter-hadap y dari y = 0 sampai y = a - x (anggap x tetap) bersesuaian denganpenjumlahan dari semua kolom tegak yang terletak pada jalur sejajar bidang yz.Akhirnya, integralkan terhadap x dari x = 0 sampai x = a dan jumlah semuajalur sejajar bidang yz.

4. Tentukanlah (a).volume dan (b) pusat daerah R yang dibatasi oleh silinder parabolikz = 4 - x2 dan bidang-bidang x = 0 , y = 6, z = 0 dengan mengandaikan bahwa rapatmassanya tetap sebesar cr.

Daerah R ditunjukkan dalam Gambar 6-25.

(a) Volume yang diinginkan = f f f dx dy dzR

= f 2 rx=O y=O 4-x2f dz dy dxz=O= f 2 f 6 (4 _ x2) dy dx

x=O y=O2 6= f (4 - X2)y I dxx=O y=O

210



2= J (24 - 6x2) dx = 32x=O

y

xGambar 6-25

J 2 J6 ('4 -x2 .(b) Massa total = Jumlah massa J ox dz dy dx = 32crx=O y=O z=omenurut bagian (a), karena o tetap. Maka

J2 J6 rx~x dz dy dxJumlah momen terhadap bidang yz x=O y=O z=Ox = = =Jumlah massa Jumlah massa24cr 3=32cr 4

Jumlah momen terhadap bidang xzy = - - - - - - - - - - - - = =J

2 J 6 J4 - x2cry dz dy dxx=O y=O z=O

Jumlah massa Jumlah massa96cr32cr = 3

211



2 6J J

4-x2J oz dz dy dxJumlah momen terhadap bidang xy x=O y=O z=O

z = ------------ = =Jumlah massa Jumlah massa256al5 8=32a 5

Jadi pusat daerah R mempunyai koordinat(3/4, 3, 8/5).Perhatikanlah bahwa nilai untuk y dapat diramalkan sebelumnya karena simetri.

TRANSFORMASI UNTUK INTEGRAL LlPAT DUA5. Berikanlah alasan dari persamaan (21) di halaman 163 untuk pergantian peubahpada integral lipat dua.

Dalam koordinat tegak lurus, integral lipat dua dari F(x, y) pada daerah R(daerah gelap pada Gambar 6-9) adalah f R f F(x, y) dx dy. Kita dapat juga meng-hitung integral lipat dua ini dengan memandang suatu jaring yang dibentuk keluargakurva u dan v pada koordinat kurvilinier untuk daerah R seperti terlihat pada gambar.

Misalkan P suatu titik dengan koordinat (x, y) atau (u, v) di mana x = feu, v)dan y = g(u, v). Maka vektor r dari 0 ke P diberikan oleh r = xi+ yj = feu, v)i +g(u, v)j. Vektor singgung pada kurva koordinat u = c1 dan v = c2' dimana c1 dan c2konstanta berturut-turut adalah ar/av dan ar/au. Maka luas

ar ardaerah dR pada Gambar 6-9 dapat dihampiri oleh I-- x -- IdU dVau avTetapi j k ax ay

ar ar ax ay au au a(x, y)-x-= -- 0 = k= kau av au au a(u, v)ax ayax ay av av0av av

ar ar = I i)(x, y) I dU dV- x - I du dvdU dv .1(u, 'v)sehingga

212



------------------------_.

Integral lipat duanya adalah limit jumlahd(X, y)L F{f(u, v), g(u, v)} I I ~u ~vd(U, v)

yang diarnbil di seluruh daerah R. Penjelasan sebelumnya menyatakan bahwa limitini sarna dengan

d(X, y)f f F{f(u, v), g(u, v)} I Idu dvR' d(U, v)

di mana R' adalah daerah pada bidang uv yang merupakan hasil pemetaan daerahR terhadap transformasi x = f(u, v), y = g(u, v).

6. Hitunglah f R J . . . J X 2 + y2 dx dy, dimana R adalah daerah di bidang xy yang dibatasioleh X2+ y2 = 4 dan X2+ y 2 = 9.

Di sini kita menyatakan X2+ y2 dalarn koordinat kutub (p, 9), di mana z = pcos 9, y = P sin 9.Dengan menggunakan transformasi ini, daerah R [Gambar 6-26 (a)] dipetakan men-jadi daerah R' [Gambar 6-26 (b)]

+y'=90rp=3+y'=4orp=2

(a)Gambar 6-26

p

(b)

d(X, y)Karena = p, makad(p, 9)J J J J d(X, y) r JR' "x2 + y2 dx dy = R' "x2 + y2 I I dp d9 = J R, p > P dp



J 21 t J 3 J 21t p3 3 J2 1 t 19 3 8 1 t= p2dpd8= -I d8= -d8=-8=0 p=2 8=0 3 2 8=0 3 3Kita dapat juga menulis limit pengintegralan untuk R' langsung setelah me-

meriksa daerah R, karena untuk 8 tetap dan p berubah dari p = 3 dalam sektorlingkaran telah ditunjukkan pada gambar 6-26(a). Suatu pengintegralan terhadap 8dari 8 = 0 sampai 8 = 21t memberikan bentuk semua sektor lingkaran. Secara ilmuukur, p dp d8 menyatakan luas cIA yang ditunjukkan pada Gambar 6-26(a).

TRANSFORMASI UNTUK INTEGRAL LIPAT TIGA7. Berikanlah alasan dari persarnaan (11) di halarnan 161 untuk pergantian peubah

pada integral lipat tiga.

x Gambar 6-27Dengan cara yang sarna seperti Soal 5 kita membangun jaring untuk permukaan

koordinat kurvilinier yang membagi daerah R menjadi daerah bagian, salah satubagiannya adalah dR (lihat Gambar 6-27).

Vektor r dari titik awal 0ke titik P adalah- - - - - -r = xi + yj + zk = feu , v, w)i + g(u, v, w)j + h(u, v, w)kdengan mengandaikan bahwa persamaan transformasinya adalah x = feu , v, w),y = g(u, v, w) dan z = h(u, v, w).

Vektor singgung pada n kurva koordinat yang bersesuaian dengan pasangankoordinat permukaan diberikan oleh ar/au, ar/av, ar/aw. Kemudian, volume bendadR pada Gambar 6-27 dihampiri oleh

214



ar ar ar a(x, y, z)I - - x - I .1u .1v .1w = I I .1u .1v .1wau av aw a(u, v, w)Integral lipat tiga dari F(x, y, z) pada daerah tersebut adalah limit jumlah

"" I a(x, y, z) Is: F{f(u, v, w), g(u, v, w), h(u, v, w)} .1u .1v .1wa(u, v, w)Suatu bentuk pengintegralan yang menyatakan limit ini adalah

f f f a(x, y, z)F{f(u, v, w), g(u, v, w), h(u, v, w)} I I du dv dwR' a(u, v, w)

di mana R' adalah daerah di ruan uvw yang merupakan hasil pemetaan daerah Roleh transformasi tersebut.

8. Nyatakanlah f f f F(x, y, z) dx dy dz dalam koordinat silinderR

Persamaan transformasi dalam koordinat silinder adalah x p cos e, y = p sin e,z = z: Jacobian transformasi ini adalah

a(x, y, z) =a(p, e , z)cos e - p sin esin e p cos e

o 0

oo1

=p

Kemudian, dengan menggunakan Soal 6.7, integral lipat tiganya menjadi

f f f G(p, e, z) p dp de dzR'

di mana R' adalah daerah di ruang p, e, z yang berkaitan dengan R di manaG(p, e, z) = F(p cos e, p sin e, z)

9. Tentukanlah volume daerah di atas bidang xy yang dibatasi oleh parabola z = x2 +y2 dan silinder x2 + y2 = a2.

Volume benda ini lebih mudah dihitung dengan menggunakan koordinat ini,persamaan paraboloida dan silinder berturut-turut adalah z p2 dan p = a, Maka

215



= 4 f1t/2 f ae=o p=o

f2 P dz d p dez=o

Volume benda yang diinginkan= 4 kali volume pada Gambar 6-28

J 1t/2 J a= 4 p3 dp dee=o p=oJ 1t/2 p4 Ia 1t= 4 -- de =-a4e=o 4 p=o 2

X Gambar 6-28Pengintegralan terhadap z (anggap p dan e tetap) dari z = 0 sampai z = p2

bersesuaian dengan jurnlah volume kubus (yang dinyatakan dengan dV) pada kolomtegak perluasan dari bidang xy pada paraboloida. Kemudian pengintegralan terhadapp (anggap e tetap) dari p = 0 sampai p = a bersesuaian dengan penjurnlahan volumesemua kolom pada daerah sisi yang terbentuk. Akhirnya pengintegralan terhadap ebersesuaian dengan penjurnlahan volume semua daerah sisi yang terbentuk.

Pengintegralan tersebut dapat juga dibentuk dengan urutan lain dan rnemberikanhasil yang sarna.

Kita dapat juga menyatakan integral tersebut dengan cara menentukan daerahR' dalam ruang p, e, z yang merupakan hasil pemetaan daerah R oleh transformasikoordinat silinder.

216

Documents

Bab6-Integral Lipat, Integral Garis, Integral Permukaan Dan Teorema Integral