Ingenier´ıa en Informática Universidad de Alcalá · Algebra´ Ingenier´ıa en Informática Universidad de Alcalá José Enrique Morais San Miguel 6 de octubre de 2004

Algebra

Ingenierıa en Informatica

Universidad de Alcala

Jose Enrique Morais San Miguel

6 de octubre de 2004

Computer science is no more about computers than astronomy is abouttelescopes.

E.W. Dijkstra

Indice general

1. Preliminares 11.1. Teorıa de conjuntos y aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Definicion de conjunto. Paradoja de Russell . . . . . . . . . . 11.1.2. Subconjuntos. Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . 21.1.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. Relaciones de orden y de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1. Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2. Relaciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3. Numeros naturales. Principio de induccion . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1. Numeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.2. Principio de induccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4. Cardinal de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.1. ¿Que significa contar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.2. Cardinal de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5. Operaciones internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.1. El anillo Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2. Divisibilidad en Z 252.1. Division euclıdea en Z. Maximo comun divisor . . . . . . . . . . . . . 252.2. Algoritmo de Euclides. Teorema de Lame . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1. Teorema de Lame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3. Identidad de Bezout. Algoritmo extendido de Euclides . . . . . . . . . 332.4. Ecuaciones diofanticas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5. Mınimo comun multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.6. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3. Congruencias 473.1. Aritmetica modular. Teorema chino de los restos . . . . . . . . . . . . 47

3.1.1. Aritmetica modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1.2. Teorema chino de los restos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.1.3. El grupo multiplicativo Z∗

m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2. Teorema de Euler-Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

i

3.3. Un test de primalidad eficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.3.1. Algoritmo binario para el calculo de potencias . . . . . . . . . 593.3.2. Test de Miller-Rabin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4. Sistema criptografico de clave publica RSA . . . . . . . . . . . . . . . 623.5. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4. El anillo de polinomios K[x] 714.1. Polinomios y divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.1.1. Division euclıdea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.2. Cuerpos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales 755.1. Matrices sobre un cuerpo. Definiciones y notacion . . . . . . . . . . . 75

5.1.1. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2. Rango de una familia de vectores de Kn . . . . . . . . . . . . . . . . 775.3. Rango por filas y por columnas de una matriz . . . . . . . . . . . . . 805.4. Rango de una matriz. Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.4.1. Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.4.2. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.4.3. Aplicacion al calculo de inversas de matrices regulares . . . . . 87

5.5. Combinacion lineal. Variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.6. Sistemas de ecuaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.6.1. Nulidad de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.6.2. Resolucion de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6. Diagonalizacion de matrices 1016.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.1.1. Un ejemplo preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.1.2. Planteamiento general del problema . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.2. Algoritmo de diagonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.3. Aplicaciones de la diagonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.3.1. Manipulacion algebraica de matrices . . . . . . . . . . . . . . 1066.3.2. Sistemas de recurrencias lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.3.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . . . 106

6.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7. Espacios vectoriales y aplicaciones lineales 1117.1. Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.2. Aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.3. Codigos correctores de errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.4. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Capıtulo 1

Preliminares

1.1. Teorıa de conjuntos y aplicaciones.

1.1.1. Definicion de conjunto. Paradoja de Russell

Si acudimos a un diccionario, la definicion que se nos da de conjunto es, mas o menos,del siguiente tenor: Totalidad de los entes matematicos que tienen una propiedadcomun.1

En esta definicion, y de manera implıcita, estamos suponiendo que tenemos unacoleccion de objetos (matematicos o no, eso es lo de menos) y que disponemos de uncriterio que nos permite saber si tal o cual objeto pertenece a dicha coleccion o no(se tratarıa de ver si cumple o no la propiedad) . Es decir, si mi coleccion de objetoses A y x es un objeto podemos determinar si x ∈ A (x pertenece a A) o x /∈ A(x no pertenece a A). Aparentemente, esta definicion de conjunto es perfectamentecoherente, pero plantea serios problemas como veremos a continuacion. El logicogales Bertrand Russell (1872-1970)2, considerado uno de los grandes en la Logicadel Siglo XX escribio : “Normally, a class 3 is not a member of itself. Mankind, forexample, is not a man”. Pero si consideramos el conjunto de todos los conjuntos,este se contendrıa a sı mismo. En consecuencia, Russell explicaba en 1901 la que hapasado a la historia como paradoja de Russell en los siguientes terminos:

Form now the assemblage of classes which are not members of them-selves. This is a class: is it a member of itself or not? If it is, it is oneof those classes that are members of themselves, i.e. it is not a memberof itself. If it is not, it is not one of the classes that are not membersof themselves, i.e it is a member of itself. Thus the two hypothesis- that

1Esta definicion esta extraıda de la version de 2001 del Diccionario de la RAE.2Una pequena biografıa de Russell, con especial atencion a sus aportaciones matematicas,

puede consultarse en http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/Mathematicians/Russell.html

3Aquı clase debe entenderse como conjunto definido como en el diccionario.

1

http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/Mathematicians/Russell.html

http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/Mathematicians/Russell.html

2 CAPITULO 1. PRELIMINARES

it is, and that is not, a member of itself-each implies its contradictory.This is a contradiction.

Utilizando notacion matematica al uso, la paradoja se escribe como sigue:

Sea S = {X : X conjunto y X /∈ X}. Se tiene que si S ∈ S, entonces, S /∈ S; y siS /∈ S, entonces S ∈ S.

Existen diversas formas de evitar esta paradoja (axiomatica a la Zermelo-Fraenkel, ala Godel-Bernays,...) pero no entraremos en ellas. Por ejemplo, una rapida introduc-cion a la axiomatica “a la Godel-Bernays”se encuentra en 4. Digamos unicamenteque, en la axiomatica “a la Godel-Bernays”, se llama clase a lo que el diccionariodefinıa como conjunto y se dice que una clase es un conjunto si, y solo si, existe otraclase B tal que A ∈ B. De esta forma, la clase S definida anteriormente, es decir,

S = {X : X conjunto y X /∈ X}

no es un conjunto, evitando la paradoja de Russell.

1.1.2. Subconjuntos. Operaciones entre conjuntos

Aun teniendo presente la paradoja de Russell, a lo largo del curso no nos vamosa encontrar con situaciones como esta, es decir, siempre que definamos una clasesera siempre un conjunto y, de esta forma, aceptaremos la definicion del diccionario.Asimismo, asumimos que cada vez que hagamos una operacion entre conjuntos(union, interseccion, producto cartesiano,...) el resultado sera siempre un conjun-to. Si en algun momento nos damos de bruces con una clase que no es un conjunto,lo senalaremos.

Junto a la propia definicion de conjunto y al concepto de pertenencia, aparece otranocion basica: la igualdad de conjuntos. Se dira que dos conjuntos son iguales siposeen los mismos elementos, aceptando la veracidad de las siguientes propiedadespara la igualdad:

Todo conjunto es igual a sı mismo.

Si A y B son conjuntos y A = B, entonces B = A.

Si A, B y C son conjuntos y A = B y B = C, entonces A = C.

Subconjuntos

Un conjunto B se dice subconjunto de otro conjunto A, y se escribe B ⊂ A, sitodo elemento de B tambien lo es de A, es decir,

4T.W. Hungerford. Algebra. Springer–Verlag (1987)

1.1. TEORIA DE CONJUNTOS Y APLICACIONES. 3

para todo x ∈ B , x ∈ B implica x ∈ A.

Si B es subconjunto de A tambien se suele decir que A incluye a B o que B esta in-cluido en A.

Ejemplo 1.1

El conjunto formado por las alumnas de la Universidad de Alcala es un sub-conjunto del conjunto de todos los estudiantes de la Universidad de Alcala.

El conjunto dado por

{x ∈ N : x = 2n, para algun n ∈ N}

es un subconjunto de los numeros naturales.

Por otro lado, se tiene que

A = B ⇐⇒ A ⊂ B y B ⊂ A.

El conjunto vacıo (denotado ∅) es el conjunto que no tiene ningun elemento. Puestoque la condicion x ∈ ∅ es siempre falsa, por lo anterior ∅ es subconjunto de cualquierconjunto. Puesto que, por otro lado, todo conjunto es subconjunto de sı mismo,llamaremos subconjuntos propios de un conjunto a todos los subconjuntos de el queno sean ni el vacıo, ni el propio conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los numerosnaturales pares es un subconjunto propio del conjunto de numeros naturales.

Operaciones entre conjuntos

A partir de un conjunto dado o de varios conjuntos dados, podemos construir nuevosconjuntos. De esto nos ocuparemos en lo que resta de Subseccion.

Dado un conjunto A se define otro conjunto, conocido como el conjunto de partesde A y denotado por P(A), que es el conjunto de todos los subconjuntos de el. Porejemplo, si

A = {a, b, c},

P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.

Supongamos ahora que tenemos dos conjuntos A y B. A partir de ellos, podemosconstruir los siguientes conjuntos (¡conviene que se comparen estas nociones y suspropiedades con la de los conectivos logicos,{∨,∧,¬}, que seguro se introduciran enla asignatura de Logica!):


La union de A y de B, escrito A⋃B, se define como {x : x ∈ A o x ∈ B}.

La interseccion de A y de B, escrito A⋂B se define como {x : x ∈ A y x ∈

B}. Si A⋂B = ∅, se dice que A y B son disjuntos.

El complementario de B en A, escrito A \B, es el subconjunto de A dadopor {x : x ∈ A y x /∈ B}.

Los conceptos de union e interseccion pueden extenderse a una familia (finita o no)de conjuntos cualesquiera.

Para las propiedades que siguen, supondremos que todos los conjuntos involucradosson subconjuntos de otro prefijado U y denotaremos por Ac el complementario deA en U . Asimismo, I denota un conjunto de ındices.

1. A⋂

(⋃i∈I

Bi) =⋃i∈I

(A⋂

Bi)

2. A⋃

(⋂i∈I

Bi) =⋂i∈I

(A⋃

Bi)

3. (⋃i∈I

Ai)c =

⋂i∈I

Aci y (

⋂i∈I

Ai)c =

⋃i∈I

Aci (Leyes de Morgan)

4. A⋃B = B ⇐⇒ A ⊂ B ⇐⇒ A

⋂B = A

Dado que es el primer resultado que nos aparece en las notas, demostraremos algunasde estas propiedades con todo lujo de detalles.

Propiedad 1. Por lo que hemos visto sobre la igualdad de los conjuntos, la propiedad1 es equivalente a

A⋂

(⋃i∈I

Bi) ⊂⋃i∈I

(A⋂

Bi) y (1.1)⋃i∈I

(A⋂

Bi) ⊂ A⋂

(⋃i∈I

Bi) (1.2)

Probemos (1.1) en primer lugar. Para ello, deberemos mostrar que todo elemento

de A⋂

(⋃i∈I

Bi) es tambien un elemento de⋃i∈I

(A⋂

Bi). Sea, pues, x ∈ A⋂

(⋃i∈I

Bi).

Por definicion de interseccion de conjuntos, esto es tanto como decir que x ∈ A

y x ∈⋃i∈I

Bi. Ahora bien, por definicion de union, x ∈⋃i∈I

Bi implica que existe al

menos un i ∈ I tal que x ∈ Bi. Si a esta ultima condicion le anadimos ahora que

x ∈ A, se tiene que x ∈ A⋂Bi para el i anterior. En consecuencia, x ∈

⋃i∈I

(A⋂

Bi)

como querıamos demostrar.


Probemos ahora (1.2). Al igual que antes, hay que mostrar que si x ∈⋃i∈I

(A⋂

Bi),

entonces x ∈ A⋂

(⋃i∈I

Bi). Decir que x ∈⋃i∈I

(A⋂

Bi) es lo mismo que decir que para

algun i ∈ I, x ∈ A⋂Bi, es decir, que x ∈ A y x ∈ Bi. Ahora bien, x ∈ Bi implica

que x ∈⋃i∈I

Bi y como x ∈ A, se tiene que x ∈ A⋂

(⋃i∈I

Bi).

Prueba de las leyes de Morgan. Probemos que (⋃i∈I

Ai)c =

⋂i∈I

Aci . Decir que

x ∈ (⋃i∈I

Ai)c

es lo mismo que decir que

x /∈⋃i∈I

Ai.

A su vez, esta ultima condicion es equivalente a

para todo i ∈ I, x /∈ Ai.

De nuevo, esta ultima afirmacion es equivalente a

para todo i ∈ I, x ∈ Aci ,

y esto ultimo es equivalente a

x ∈⋂i∈I

Aci .

La siguiente construccion tiene gran interes y reaparecera a menudo en el curso, enespecial en la parte dedicada al Algebra Lineal. Es lo que se conoce como productocartesiano. Supongamos dados dos conjuntos A y B. El producto cartesiano de Apor B, escrito A×B, es el conjunto definido por

A×B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.

Observese que ∅ × B = ∅ = A × ∅. A los elementos de A × B se les llama paresordenados. En forma clara, este mismo concepto se extiende a una familia finita deconjuntos. Supongamos dados conjuntos A1, . . . , An. Se define A1 × A2 × · · · × An

como el conjunto

A1 × A2 × · · · × An = {(a1, a2, . . . , an) : a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, . . . , an ∈ An}.


En el caso de que A = B, A×B se suele escribir A2 y si A1 = A2 = · · · = An = A,A1 × A2 × · · · × An se denota por An.

Finalmente, estudiamos un tipo de construccion de interes en Informatica, tal cuales el conjunto de palabras sobre un alfabeto finito. Supongamos dado unconjunto finito Σ (por ejemplo, el alfabeto espanol {a,b,c,d, . . . , n,n, . . . , x,y,z} o{0, 1}) que llamaremos alfabeto. Se llama palabra de longitud n a una n−tuplade elementos de Σ, es decir, α = (α1, . . . , αn) ∈ Σn. Habitualmente, se omiten losparentesis y las comas y se escribe

α1 . . . αn.

Si n = 0, Σ0 se define como el conjunto formada unicamente por la palabra vacıaque se denota λ.

Por poner unos ejemplos, si Σ es el alfabeto espanol, patata es una palabra delongitud 6 (esta formada por 6 letras), supercalifragilistico es una palabra de longitud21, ascvbghe tiene longitud 8,...

De esta forma, se define como el conjunto de palabras sobre el alfabeto finito Σ, yse denota Σ∗ a

Σ∗ =⋃n∈N

Σn.

1.1.3. Aplicaciones

Antes de definir de manera precisa el concepto de aplicacion, estudiemos un ejemploilustrativo. En tiempos que parecen ya muy lejanos (cuando la “mili”era obligatoria),todos los mozos de una quinta tenıan que pasar por un proceso que incluıa, entreotras cosas, la medida de su talla. Este proceso, asociar a cada mozo un numero (sutalla en centımetros) es un ejemplo tıpico de aplicacion. Dado un conjunto, en estecaso los mozos del reemplazo, a cada uno de ellos se le asocia un unico elemento deotro conjunto (en este caso, un numero natural).

Definicion 1.2 Dados conjuntos, A y B, una aplicacion f de A en B (escritof : A → B) asigna a cada elemento a ∈ A un unico elemento b ∈ B. Al conjuntoA se le dice dominio y a B rango. Dos funciones son iguales si poseen el mismodominio y toman igual valor para elementos iguales del dominio. Si S ⊂ A, podemosdefinir una aplicacion de S en B, llamada restriccion de f a S y denotada por f |S,que a cada elemento de S le asigna el mismo valor que f .

Ejemplo 1.3

La aplicacion que a cada ciudadano espanol le asigna un numero (el DNI).

La aplicacion talla estudiada anteriormente.


f : N → N dado por f(n) = 2n. Esta ultima es una forma tıpica de expresaruna aplicacion: decir cual es la imagen de un elemento generico del dominio.

Definicion 1.4 (Composicion de aplicaciones) Sean f : A → B y g : B → Cdos aplicaciones. La composicion de las aplicaciones f y g, denotada por g ◦ f , esuna aplicacion de A en C dada por

(g ◦ f)(a) = g(f(a)).

Dada una aplicacion f : A→ B se denomina conjunto imagen al subconjunto de Bdefinido por:

{b ∈ B : b = f(a) para algun a ∈ A},

y a menudo se denota por Imf . Por otro lado, si T ⊂ B la imagen inversa de T porf es el conjunto

{a ∈ A : f(a) ∈ T}

que, habitualmente se denota por f−1(T ). Si T esta compuesto por un unico ele-mento, T = {b}, se suelen omitir las llaves y se escribe f−1(b).

Proposicion 1.5 Sea f : A→ B una aplicacion. Se puede ver que:

para S ⊂ A, S ⊂ f−1(f(S));

para T ⊂ B, f(f−1(T )) ⊂ T .

Asimismo, si {Ti : i ∈ I} es una familia de subconjuntos de B, se verifica

f−1(⋃i∈I

Ti) =⋃i∈I

f−1(Ti)

f−1(⋂i∈I

Ti) =⋂i∈I

f−1(Ti)

Nota: El recıproco a las dos primeras afirmaciones del resultado anterior no es, engeneral, cierto. Por ejemplo, sean J el conjunto de jugadores de la liga espanola enla temporada actual y f la aplicacion que a cada jugador le asocia su altura. Si Ses el conjunto formado unicamente por Benayoun (S = {Benayoun}), puesto que sualtura es de 178 cm, f−1(f(S)) es el conjunto de todos los jugadores que miden 178cm. Entre ellos estara el propio Benayoun, pero tambien muchos otros. ¿Por que nose da la igualdad? Simplemente, porque hay mas jugadores, aparte de Benayoun,que miden 178 cm.


Consideramos ahora la aplicacion f : N → N dada por f(n) = 2 ∗ n y sea T elconjunto de numeros naturales multiplos de 3, es decir, T = {0, 3, 6, 9, 12, 15, . . .}.En este caso, f−1(T ) = T y f(f−1(T )) es el conjunto de naturales multiplos de 6.En este caso, la igualdad no es cierta porque, naturalmente, no todos los multiplosde 3 son pares.

En la proposicion anterior, la igualdad en las dos primeras afirmaciones se satisfacesiempre solo para algunos tipos particulares de funciones. Estudiemos, ahora, estasfunciones.

Definicion 1.6 (Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas) Seaf : A→ B una aplicacion.

f se dice inyectiva si

para todo a, a′ ∈ A con f(a) = f(a′) =⇒ a = a′.

f se dice sobreyectiva si

para todo b ∈ B, b = f(a) para algun a ∈ A.

f se dice biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Ejercicio 1.7 Sea f : A→ B una aplicacion. Probar que:

si f es inyectiva y S ⊂ A, S = f−1(f(S)) y que

si f es sobreyectiva y T ⊂ B, f(f−1(T )) = T

De las definiciones anteriores se deduce que para todo conjunto A la llamada apli-cacion identidad, IA, definida por IA(a) = a, es biyectiva.

Hasta este momento, hemos definido una operacion entre funciones (la composicion)y de entre todas las funciones hemos distinguido algunas especiales (las inyectivas,sobreyectivas y biyectivas). ¿Como se comporta la composicion frente a estas apli-caciones especiales? La respuesta a esta pregunta se encuentra en los siguientesresultados.

Proposicion 1.8 Sean f : A→ B y g : B → C aplicaciones. Entonces,

f y g inyectivas =⇒ g ◦ f es inyectiva;

f y g sobreyectivas =⇒ g ◦ f es sobreyectiva

g ◦ f inyectiva =⇒ f es inyectiva;

g ◦ f sobreyectiva =⇒ g es sobreyectiva.


Teorema 1.9 Sea f : A→ B una aplicacion y A 6= ∅.

1. f es inyectiva si, y solo si, existe una aplicacion g : B → A tal que g ◦ f = IA.

2. f es sobreyectiva si, y solo si, existe una aplicacion h : B → A tal que f ◦ h =IB.

Demostracion.– 1.- Supongamos, primero que existe g tal que g ◦ f = IA. Como IAes inyectiva, por lo anterior, la existencia de g garantiza la inyectividad de A.

Supongamos, ahora que f es inyectiva. Entonces, para cada b ∈ f(A), existe ununico a tal que f(a) = b. Sea ahora a0 un elemento cualquiera de A. La aplicacion

g(x) =

{a, si b ∈ f(A) y f(a) = ba0, si b /∈ f(A)

verifica g ◦ f = IA.

2.- Si existe h tal que f ◦ h = IB, puesto que IB es sobreyectiva, la Proposicionanterior me garantiza que f es sobreyectiva.

Supongamos ahora que f es sobreyectiva. Eso quiere decir que para cualquier b ∈ B,f−1(b) ⊂ A no es vacıo. En consecuencia podemos elegir ab ∈ f−1(b). La aplicacionh(b) = ab verifica la tesis del enunciado

Nota. En la prueba del Teorema anterior hemos dado por hecho que en cualquierconjunto no vacıo podemos escoger siempre un elemento. Aunque no entraremos enello, los axiomas tıpicos de la teorıa de conjuntos no nos garantizan que podamos ha-cerlo. En consecuencia, se suele asumir que esto siempre es posible constituyendoseentonces como un axioma mas. Existen distintas versiones de este axioma que seconoce como Axioma de eleccion.

La aplicacion g del Teorema anterior se suele llamar inversa a izquierda de f y la hinversa a derecha de f . Si una aplicacion f : A → B posee una inversa a izquierdag y una inversa a derecha h, se tiene:

g = g ◦ IB = g ◦ (f ◦ h) = (g ◦ f) ◦ h = IA ◦ h = h

y la aplicacion g = h se dice inversa a derecha e izquierda de f . Asimismo, esteargumento prueba que si existe inversa a derecha e izquierda de f esta es unica.Ahora, juntando los dos apartados del Teorema y las consideraciones previas, setiene que si f : A→ B es una aplicacion, entonces

f es biyectiva ⇐⇒ f posee inversa a izquierda y derecha.

La unica aplicacion que es inversa a derecha e izquierda de f se denota por f−1 yse llama inversa de f .


1.2. Relaciones de orden y de equivalencia

1.2.1. Relaciones de equivalencia

Una relacion en un conjunto A no es mas que un subconjunto R del productocartesiano A×A. De esta forma se dice que dos elementos estan relacionados, aRb,si el par (a, b) pertenece al subconjunto R. Supongamos que tomamos un grupo depersonas y R el conjunto de pares ordenados de personas que son del mismo sexo.Dos personas estan relacionadas si, y solo si, son del mismo sexo.

Las propiedades que puede tener una relacion son:

reflexiva: aRa para todo a de A,

simetrica: aRb =⇒ bRa,

antisimetrica : aRb y bRa =⇒ a = b

transitiva: aRb y bRc =⇒ aRc

Ası, la relacion anteriormente definida es reflexiva, simetrica y transitiva. Observeseque, de esta forma, hemos clasificado a nuestro grupo en dos, a saber, hombres y mu-jeres. Esto es ası, justamente, por verificar esa relacion las citadas tres propiedades.

Definicion 1.10 Una relacion que verifique las propiedades reflexiva, simetrica ytransitiva se denomina relacion de equivalencia.

Ejemplo 1.11

Relacion de congruencia modulo un natural n > 0 en Z definida por

r congruente con s modulo n ⇐⇒ r − s es multiplo de n

Relacion de paralelismo entre rectas del plano.

La relacion de equipotencia entre conjuntos definida por

A y B equipotentes ⇐⇒ existe una aplicacion biyectiva f : A→ B.

Como ya hemos dicho, las relaciones de equivalencia sirven para clasificar los ele-mentos del conjunto A en lo que se conoce como clases de equivalencia. La clase deun elemento a es:

a = [a] = {x ∈ A : xRa}.

1.2. RELACIONES DE ORDEN Y DE EQUIVALENCIA 11

El conjunto de todas las clases de equivalencia en A se denota por A/R y se denominaconjunto cociente de A por R. En el ejemplo del grupo de personas, solo tenemos 2clases de equivalencia como ya dijimos: la compuesta por los hombres y la compuestapor las mujeres. Ademas, la union de ambas clases de equivalencia es el conjunto depersonas que estamos considerando y su interseccion es vacıa.

Ejercicio 1.12 Si n es un numero natural, ¿cuantas clases tenemos para la relacionde congruencia modulo n?

Estudiemos de manera mas profunda estas las clases de equivalencia y, en conse-cuencia, el conjunto cociente. Se tiene:

(i) Para cada a ∈ A, la clase a es no vacıa como consecuencia de la propiedadreflexiva. Ademas, a ∈ a, por lo que

⋃a∈A

a = A =⋃

a∈A/R

a

(ii) a = b ⇐⇒ aRb

(iii) Dados a, b ∈ A, o a = b o a ∩ b = ∅.

Las propiedades (i) y (iii) suelen resumirse diciendo que el conjunto de clases deequivalencia forman una particion del conjunto A. En general, una particion de unconjunto A es un conjunto de subconjuntos {Ai : i ∈ I} de A tales que su uniones todo A y son disjuntos dos a dos, es decir, Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j. Se puede verque toda relacion de equivalencia en A forma una particion de A (lo hemos visto) yque toda particion de A da lugar a una relacion de equivalencia (dos elementos deA estaran relacionados si pertenecen al mismo subconjunto de la particion).

1.2.2. Relaciones de orden

En terminos coloquiales, si las clases de equivalencia servıan para clasificar, lasrelaciones de orden, como su propio nombre indica, sirven para ordenar los elementosde un conjunto.

Definicion 1.13 Una relacion que verifique las propiedades reflexiva, antisimetricay transitiva se denomina relacion de orden. Esta relacion se denota, habitualmente,por ≤.

Ejemplo 1.14

La relacion de inclusion en P(A) para un conjunto A.


La relacion ≤ en Z, Q o R.

En los dos ejemplos anteriores, se percibe una radical diferencia. En P(A) dos ele-mentos no son siempre comparables: por ejemplo, si A = {1, 2, 3, 4}, los subconjuntos{1, 2} y {2, 3} no verifican ni {1, 2} ⊂ {2, 3} ni {2, 3} ⊂ {1, 2}. Sin embargo, dadosdos numeros enteros, por ejemplo, siempre uno de ellos es menor o igual que el otro.Un conjunto con una relacion de orden en la que dos elementos son siempre compa-rables, se dice totalmente ordenado. Si no, se dice parcialmente ordenado.En un conjunto con una relacion de orden, algunos elementos reciben nombres es-peciales:

mınimo: a ∈ A tal que a ≤ x para todo x ∈ A

maximo: a ∈ A tal que x ≤ a para todo x ∈ A

Por ejemplo, el conjunto de numeros naturales posee mınimo para la relacion deorden habitual, mientras que no posee maximo. En el caso de las partes de unconjunto A con la inclusion como relacion de orden, se tiene que el conjunto vacıoes mınimo y el propio conjunto A es maximo.

Por otro lado, en relacion a un subconjunto X de A se dice que a ∈ A es

cota inferior, si a ≤ x para todo x ∈ X;

ınfimo, si es la mayor de las cotas inferiores;

cota superior, si x ≤ a para todo x ∈ X;

supremo, si es la menor de las cotas superiores.

Cuando se tiene una relacion de orden ≤, la notacion a < b significa que a ≤ b ya 6= b, mientras que la notacion b ≥ a significa, obviamente, que a ≤ b.

Para concluir, una ultima definicion: un conjunto con una relacion de orden se dicebien ordenado si todo subconjunto no vacıo tiene mınimo, es decir, existe ınfimoy este pertenece al subconjunto.

1.3. NUMEROS NATURALES. PRINCIPIO DE INDUCCION 13

1.3. Numeros naturales. Principio de induccion

1.3.1. Numeros naturales

El conjunto de los numeros naturales se define usando la conocida como Axiomaticade Peano que data de 1889. Esto es,

1. 0 es un numero natural

2. Para cada numero natural x existe otro numero natural x′ llamado sucesor dex, tal que

a) 0 no es sucesor de ningun numero natural

b) Si x′ = y′, entonces x = y

3. Axioma de Induccion : Si S es un subconjunto de N que verifica :

a) 0 ∈ S,

b) Si x esta en S, su sucesor tambien.

Entonces, S = N.

Antes de continuar, algunos pequenos comentarios sobre estos axiomas:

El primero de ellos postula la existencia de un elemento que consideramos el primerode todos para la ordenacion que introduce el segundo postulado. El segundo postu-lado garantiza la infinitud de N y, por ultimo, el tercero nos garantiza que el unicoconjunto que se puede construir a partir de los dos primeros postulados es el de losnumeros naturales.

Usando los axiomas de Peano, es posible definir la suma en N. En la forma habitual,llamemos 1 al sucesor de 0, 2 al sucesor de 1, 3 al sucesor de 2,... De esta forma,podemos definir n+ 0 = n y una vez definido n+m, definimos n+m′ := (n+m)′,por ejemplo, n + 1 = (n + 0)′ = n′. La multiplicacion puede tambien definirse apartir de estos axiomas de la forma que sigue:

n · 1 := n

una vez definido n ·m, definimos n ·m′ := (n ·m) + n

A pesar de que no entraremos en ello senalemos que, a partir de estas definiciones,se pueden demostrar las propiedades habituales de las operaciones aritmeticas sumay producto en N (conmutatividad de la suma y del producto, asociatividad de sumay producto, existencia de elemento neutro para la suma y elemento identidad parael producto, distributividad,...).

Amen de las operaciones aritmeticas ya senaladas, sabemos que en N se tiene un or-den que puede deducirse del segundo postulado de los axiomas de Peano. Senalemos,


unicamente, que este orden es el habitual en N y que con este orden, el conjunto delos numeros naturales esta bien ordenado, es decir, todo subconjunto no vacıo de Nadmite mınimo. Observese que el mınimo de N es 0.

Para finalizar esta pequena introduccion a los numeros naturales, probemos unaligera variacion en nuestro axioma de induccion. La razon ultima para probar esteenunciado, amen de consideraciones que senalaremos mas adelante, radica en elhecho de que vamos a utilizar un tipo de razonamiento usual en Matematicas. Asaber, la reduccion al absurdo.

Teorema 1.15 Sea S un subconjunto de N que verifica

1. n0 ∈ S y

2. para todo n ≥ n0, n ∈ S =⇒ n+ 1 ∈ S.

Entonces, {x ∈ N : x ≥ n0} ⊂ S.

Demostracion.– Supongamos que la inclusion no se verifica. En ese caso, el conjuntoX = {x ∈ N : x ≥ n0 y x /∈ S} es no vacıo. Dada la buena ordenacion de N, estoimplica que el conjunto X posee mınimo, digamos α. Como n0 pertenece a S, setendra que α > n0, o dicho de otra manera, si β es el inmediato antecesor de α, esdecir, α = β+1, β ≥ n0. Puesto que α es el mınimo de X y β ≥ n0, se tendra β ∈ S.Ahora bien, por 2 se tendra que β + 1 = α ∈ S, llegando a una contradiccion.

1.3.2. Principio de induccion

El Teorema 1.15 se puede trasladar de manera casi inmediata a un resultado de granutilidad para la prueba de ciertos resultados. Pero antes, una anecdota atribuida algran matematico Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Cuenta la leyenda (vease, porejemplo, 5), que de nino Gauss asistıa a la escuela local de Brunswick, dirigida porun maestro que gustaba de la rutina. Un dıa, el maestro tuvo la feliz idea de hacersumar a sus alumnos todos los numeros del 1 al 100, ordenandoles ademas que, segunfuesen acabando cada uno esta poco grata tarea, debıan poner su pizarra sobre lamesa. A los pocos segundos, Gauss coloco la pizarra sobre su mesa, diciendo: “Yaesta”. El maestro le miro con desden y dejo al resto de los alumnos con su tarea.Cuando acabaron todos, se encontro con la sorpresa de que la unica pizarra en la queaparecıa el resultado correcto, 5050, era la de Gauss. Obviamente, Gauss habıa hechoel calculo mental de sumar la progresion aritmetica 1 + 2 + · · ·+ 99 + 100 asociandoparejas de terminos igualmente alejados de los extremos, es decir, esencialmenteusando la formula

5Carl B. Boyer. Historia de la Matematica, Alianza Editorial

1.3. NUMEROS NATURALES. PRINCIPIO DE INDUCCION 15

1 + 2 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2.

Esta formula es un caso claro del tipo de problemas que podemos atacar con elTeorema 1.15. Tenemos una serie de afirmaciones, una por cada numero natural, yqueremos verificar la veracidad de cada una de ellas. Para ello, definimos el conjuntoS como

S = {n ∈ N : 1 + 2 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2}

Se tiene que 1 ∈ S por cuanto

1 =1 · 22.

Ademas si suponemos que n ∈ S, es decir,

1 + 2 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2,

es facil ver que tambien es cierto

1 + 2 + · · ·+ n+ (n+ 1) =(n+ 1)(n+ 2)

2,

o, lo que es lo mismo, (n+1) ∈ S. Aplicando el Teorema 1.15, habremos demostradoque la formula es cierta para cualquier numero natural mayor o igual que 1.

El mismo razonamiento que hemos hecho con la suma aritmetica, puede realizarsepara cualquier conjunto de proposiciones que dependan de un parametro natural.

Corolario 1.16 (Principio de induccion) Supongamos que para cada naturaln ≥ n0 se tiene una proposicion P (n) que puede ser cierta o falsa. Si

1. P (n0) es cierta y

2. para todo n ≥ n0, P (n) cierta =⇒ P (n+ 1) es cierta.

Entonces, P (n) es cierta para todo n ≥ n0.

Asimismo, por argumentos no demasiado complicados, podemos formular el princi-pio de induccion de esta otra manera:

Corolario 1.17 Supongamos que para cada natural n ≥ n0 se tiene una proposicionP (n) que puede ser cierta o falsa. Si

1. P (n0) es cierta y

2. para todo n ≥ n0, P (m) cierta para todo m con n0 ≤ m ≤ n =⇒ P (n+ 1) escierta.

Entonces, P (n) es cierta para todo n ≥ n0.


Ejemplo 1.18 (Mas ejemplos de aplicacion del principio de induccion)1.- Probar que

12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1) para todo n ≥ 1

a) La formula es cierta para n = 1, pues 1 =1

61 · 2 · 3.

b) Supongamos que la formula es cierta para n. Si eso implica que la formula escierta para n + 1, tendrıamos probada la formula para cualquier natural ≥ 1. Setiene, aplicando la hipotesis de la veracidad de la formula para n (hipotesis deinduccion), que

12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 + (n+ 1)2 =1

6n(n+ 1)(2n+ 1) + (n+ 1)2.

Unas pequenas cuentas prueban que

12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 + (n+ 1)2 =1

6(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3),

con lo que habrıamos terminado.

2.- Probar que 32n − 1 es multiplo de 8 para todo natural ≥ 1.

a) Como 32 − 1 = 8, la afirmacion es cierta para n = 1.

b) Lo que tenemos que ver ahora es

32n − 1 multiplo de 8 =⇒ 32(n+1) − 1 multiplo de 8

Ahora bien,

32(n+1)− 1 = 32n+2− 1 = 32n · 32− 1 = 32n · 32− 32 + 32− 1 = 32(32n− 1) + (32− 1)

Aplicando que 32n − 1 es multiplo de 8 y que 32 − 1 = 8 tambien, se concluye que32(n+1) − 1 es multiplo de 8.

1.4. Cardinal de un conjunto

1.4.1. ¿Que significa contar?

Supongamos que tomamos el tren en el apeadero del Campus para trasladarnos ala estacion de Atocha. ¿Como contamos el numero de paradas entre una y otraestacion? La primera vez que se para el tren es en Alcala y a esa parada le asig-namos el numero natural 1. La siguiente parada es La Garena a la que le asignamos

1.4. CARDINAL DE UN CONJUNTO 17

el numero 2. De esta manera continuamos hasta llegar a la estacion de Atochaque sera la undecima y a la que, logicamente, le asignaremos el numero 11. Laproxima vez que queramos hacer este recorrido no necesitaremos fijarnos en lasparadas; simplemente, tendremos que ir contando hasta once y en ese momentohabremos de descender del tren. En terminos matematicos, ¿que es lo que hemoshecho? Sencillamente, establecer una biyeccion entre el conjunto de paradas y elconjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}.El supuesto anterior es un ejemplo del hecho siguiente: contar es construir unaaplicacion biyectiva. Dicho de otra manera, decir que un conjunto tiene n elementoses tanto como dar una biyeccion entre dicho conjunto y {1, 2, . . . , n}. Dando otravuelta de tuerca, contar es, necesariamente, introducir un orden en un conjuntofinito.

A traves de los argumentos anteriores, podemos asegurar que dos conjuntos finitostienen el mismo numero de elementos si, y solo si, existe una biyeccion entre ambos.Al numero de elementos de un conjunto finito A se le llama cardinal de A y se escribe|A| o #A. Si hablamos de conjuntos finitos y de su cardinal, es facil establecer algunaspropiedades basicas. Sean, pues A y B conjuntos finitos.

Si A ⊂ B y A 6= B, |A| < |B|. Por lo tanto, no existe ninguna biyeccion entreA y B, es decir, si A es finito, ningun subconjunto propio es equipotente a A.

Si A y B son disjuntos, |A⋃B| = |A|+ |B|.

|A×B| = |A| · |B|.

Si f : A→ B es inyectiva, |A| ≤ |B|

Si f : A→ B es sobreyectiva, |A| ≥ |B|

1.4.2. Cardinal de un conjunto

En la Subseccion anterior, abstrayendo el significado de contar, hemos estableci-do una definicion de lo que llamamos cardinal de un conjunto finito y algunaspropiedades basicas; entre ellas, la imposibilidad de que un conjunto finito seaequipotente a un subconjunto propio. ¿Ocurre lo mismo con los conjuntos infini-tos? Consideremos, por ejemplo, el conjunto N de los numeros naturales y 2N elconjunto de numeros naturales pares que es un subconjunto propio de N. Es facilver que la aplicacion f : N → 2N, dada por f(n) = 2n es biyectiva, es decir, ¡el“numero de naturales”es igual al “numero de naturales pares”!

La forma en la que la definicion de cardinal se extiende a cualquier conjunto, finitoo no, es, esencialmente, la misma que la dada para el caso finito.

Definicion 1.19 (Cardinal de un conjunto) El cardinal de un conjunto A, es-crito |A| o #A, es la clase de equivalencia de A bajo la relacion de equipotencia.


Veamos, en primer lugar, que la definicion se corresponde con la dada anteriormentepara conjuntos finitos. En efecto, puesto que todo conjunto A con n elementos esbiyectable con In = {1, 2, . . . , n}, podemos identificar su clase con el numero n,por lo que el cardinal de un conjunto finito se puede identificar con el numero deelementos.

El primer cardinal no finito es el cardinal de N que se denomina ℵ0 (se puededemostrar que todo conjunto infinito contiene un subconjunto que es equipotente aN). A los conjuntos que tienen el mismo cardinal que N, es decir, que son equipotentesa N se les llama numerables. Por ejemplo, 2N es numerable. ¿Que quiere decir queun conjunto sea numerable? Si retomamos los axiomas de Peano, una caracterısticaesencial de N es que sus elementos estan numerados: 0 es el primero, 1 el segundo, 2el tercero,. . . Por lo tanto, que un conjunto sea numerable querra decir que podemosescoger en dicho conjunto un primer elemento, un segundo elemento, etc. Dichode manera mas sencilla, un conjunto es numerable si podemos poner en fila suselementos. Por ejemplo, el conjunto de los numeros enteros es numerable, porquepodemos ponerlos en fila como sigue:

0, 1,−1, 2,−2, 3,−3, 4,−4, 5,−5 . . . .

Ejercicio 1.20

1. Mostrar una biyeccion entre Z y el conjunto de enteros impares.

2. Demostrar que N×N es numerable. (Indicacion: Todo numero natural distintode cero puede expresarse como una potencia de dos multiplicada por un numeroimpar).

Algunas propiedades de los conjuntos numerables, que damos sin demostracion, sonlas siguientes:

Todo subconjunto de un conjunto numerable o es finito o es numerable.

La union finita o numerable de conjuntos numerables es numerable.

El producto cartesiano de un numero finito de conjuntos numerables es nu-merable.

Finalizamos esta Seccion dedicada a los cardinales, senalando que ℵ0 no es el unicocardinal infinito. Puede verse que el conjunto de los numeros reales no es numerable.Se conjetura que entre ℵ0 y |R| no hay ningun otro cardinal, aunque sin demostracionpor ahora. A esta conjetura se la denomina Hipotesis del continuo.

1.5. OPERACIONES INTERNAS 19

1.5. Operaciones internas

Una de los puntos esenciales del Algebra es el de abstraer modelos que se adaptana situaciones diversas. Un ejemplo tıpico es el de considerar las cuatro operacionesaritmeticas basicas (suma, resta, multiplicacion y division) y situarlas en un paisajeabstracto que se adapta a diversas situaciones como iremos viendo.

Consideremos, por ejemplo, la suma de numeros enteros. Esta operacion, puedepensarse como una aplicacion de Z× Z en Z, a saber,

+ : Z× Z −→ Z, (m,n)→ m+ n

Visto esto, se define operacion interna ∗ en un conjunto A a una regla que asociaa cada par (a, b) de A2 otro elemento de A, a ∗ b. Como en el caso de la suma unaoperacion interna puede considerarse como una aplicacion de A× A en A:

∗ : A× A −→ A, (a, b)→ a ∗ b

Si volvemos a la operacion suma de enteros, sabemos que verifica varias propiedades:es conmutativa (a+b = b+a, posee elemento neutro (a+0 = a), es asociativa y todoelemento posee un unico elemento opuesto (a+(−a) = 0). Estas mismas propiedadesson las mismas que puede tener cualquier operacion interna:

asociativa: a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c para todo a, b, c ∈ A

conmutativa: a ∗ b = b ∗ a para todo a, b ∈ A

elemento identidad : e ∈ A tal que e ∗ a = a ∗ e = a para todo a ∈ A

elemento inverso de un elemento a ∈ A: a′ ∈ A tal que a′ ∗ a = a ∗ a′ = e.

Nota. Las notaciones mas usuales para las operaciones internas, por analogıa conlas operaciones aritmeticas, son + y ·. Como para la suma de enteros, si se utilizanotacion aditiva (es decir, + como operacion) el elemento identidad, usualmentellamado neutro, se denota 0 y el inverso de a, generalmente llamado opuesto, se de-nota por −a. Si la notacion es multiplicativa (es decir, · como operacion) el elementoidentidad se denota 1 y el inverso de a se suele escribir a−1.

Definicion 1.21 (Grupo) Un conjunto A equipado con una operacion interna ∗se dice que es un grupo si la operacion es asociativa, posee elemento neutro y todoelemento posee inverso. Si la operacion es ademas conmutativa, el grupo se diceconmutativo o abeliano.

Naturalmente, hay conjuntos que admiten mas de una operacion interna. Por ejem-plo, en Z se tienen dos operaciones aritmeticas: la suma y el producto de enteros.


Sabemos que estas dos operaciones verifican lo que se conoce como propiedad dis-tributiva, es decir,

a(b+ c) = ab+ bc , (a+ b)c = ac+ bc para todo a, b, c ∈ Z.

Definicion 1.22 (Anillo) Un anillo es un conjunto no vacıo R junto con dos op-eraciones internas (usualmente denotadas como suma (+) y producto ( ·)) talesque:

1. (R,+) es un grupo abeliano;

2. (ab)c = a(bc) para todo a, b, c ∈ R;

3. a(b+ c) = ab+ bc (a+ b)c = ac+ bc (propiedad distributiva)

Si el producto es conmutativo, se dice que el anillo es conmutativo y si existe ele-mento identidad para el producto, se llama anillo con elemento identidad.

Por ejemplo, (Z,+, ·) es un anillo conmutativo con elemento identidad. Esto implicaque en Z hay suma, resta y multiplicacion. Sin embargo, aun nos queda por con-siderar la cuarta operacion basica de la aritmetica: la division. Pero para hablar dedivision, necesitamos que todo elemento tenga un inverso con respecto a la multi-plicacion. En el caso de Z, debemos ampliar nuestro conjunto a los racionales, Q,para que esto sea posible. Si un anillo, en el que 1 6= 0, todo elemento no nulo poseeinverso, se dice que es un cuerpo. Por ejemplo, Q es un cuerpo.

1.5.1. El anillo ZLos numeros enteros forman un conjunto, Z, en el que hay dos operaciones y unorden. Junto a las operaciones, suma y producto en Z, hemos visto que tiene estruc-tura de anillo conmutativo con elemento identidad. El orden es total, compatiblecon la estructura de anillo y es un buen orden para los enteros ≥ 0. Resumimos laspropiedades esenciales de Z como sigue:

Operaciones. En Z hay dos operaciones, suma y producto, que le dan estructurade anillo conmutativo con elemento identidad:

Z1. (Z,+) es un grupo conmutativo.

Z2. El producto es asociativo, tiene elemento identidad y es conmutativo.

Z3. El producto es distributivo con respecto a la suma.

El producto posee una propiedad que no todos los anillos poseen:

Z4. ab = 0 =⇒ a = 0 o b = 0

Los anillos que verifican esta propiedad (y con 1 6= 0 )se llaman dominios deintegridad.

1.5. OPERACIONES INTERNAS 21

Orden. En el conjunto de los enteros hay una relacion de orden, es decir, unarelacion ≤ con las propiedades:

Z5. reflexiva, simetrica y transitiva.

Este orden es un orden total, es decir,

Z6. para todo a, b ∈ Z, a ≤ b o b ≤ a.

Asimismo, el orden es compatible con las operaciones aritmeticas:

Z7. a ≤ b y c ∈ Z =⇒ a+ c ≤ b+ c,

Z8. a ≤ b y c ≥ 0 =⇒ ac ≤ bc,

y el conjunto de numeros enteros positivos, es decir, N esta bien ordenado:

Z8. Todo subconjunto no vacıo de N tiene mınimo.

Observacion 1.23 Al igual que para los axiomas de Peano con respecto a losnumeros de Peano, las propiedades Z1-Z9 pueden considerarse como los axiomasque definen los numeros enteros.


1.6. Problemas propuestos

Nota. En todos los problemas anillo quiere decir anillo conmutativo con elementoidentidad.

Problema 1.1 .- Sea A un conjunto finito con n elementos. Probar que |P(A)| =2n y estudiar cuantas aplicaciones biyectivas de A en A se pueden construir.

Problema 1.2 .- Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia simetrica deambos y se escribe A∆B al conjunto

A∆B = (A \B)⋃

(B \ A).

Demostrar que A∆B = (A⋃B) \ (A

⋂B).

Problema 1.3 .- Sean f : Z → Z y g : Z → Z definidas por f(s) = s + 1 yg(s) = s2.

a) Estudiar si son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas.

b) Describe las aplicaciones g ◦ f y f ◦ g y comprueba que no son iguales. (Deesta forma, queda demostrado que la composicion de aplicaciones no es, engeneral, conmutativa).

Problema 1.4 .- Supongamos que en un conjunto A tenemos definida una relacionde orden denotada por ≤. Probar que la relacion

(α1, . . . , αn) ≤ (β1, . . . , βn) ⇐⇒ αi ≤ βi ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}

es una relacion de orden en An. Si el orden es total en A, ¿tambien lo es el ordenası definido en An?

Problema 1.5 .- Considerese la siguiente relacion en Z× Z \ {0}

(a, b) R (c, d) ⇐⇒ ad = bc.

Probar que dicha relacion es de equivalencia. ¿Quien es el conjunto cociente Z×Z \{0}/R?

Problema 1.6 .- Utilizar el apartado 2 del ejercicio 1.20 de los apuntes para probarque la union numerable de conjuntos numerables es numerable.

1.6. PROBLEMAS PROPUESTOS 23

Problema 1.7 .- Probar, mediante el uso del principio de induccion, las formulaso afirmaciones siguientes :

1 + r + r2 + · · ·+ rn =rn+1 − 1

r − 1

1 + 1 · 1! + 2 · 2! + · · · (n− 1)(n− 1)! = n!

13 + 23 + 33 + · · ·+ (n− 1)3 + n3 =n2(n+ 1)2

4

Si a > 0, (1 + a)n ≥ 1 + na

7n − 6n− 1 es multiplo de 36 para todo n ≥ 1

Problema 1.8 .- Demostrar que la propiedad

n2 + 5n+ 1 es par

es cierta para n+1 si la suponemos cierta para n. ¿Para cuantos numeros naturaleses cierta la propiedad?

Problema 1.9 .- Demostrar que los terminos de la sucesion de Fibonacci (F0 =0, F1 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2 si n ≥ 2) estan dados por la formula:

Fn =

(1+

√5

2

)n

−(

1−√

52

)n

√5

.

Problema 1.10 .- Sea α y β dos numeros reales tales que la ecuacion X2−αX−βtiene dos raıces distintas, que denotaremos por r y s. Considerese la sucesion definidapor u0 = 0, u1 = 1 y un = αun−1 + βun−2 si n ≥ 2. Demostrar que

un =rn − sn

r − s.

Problema 1.11 .- Comprobar que en un conjunto con una operacion

a) el elemento identidad, si existe, es unico, y

b) si la operacion es asociativa y posee elemento unidad, el elemento inverso, siexiste, es unico.


Problema 1.12 .- Probar que en un anillo

a) a · 0 = 0,

b) a(−b) = −(ab),

c) (−a)(−b) = ab.

Problema 1.13 .- Sea A un anillo. Supongamos que 1 = 0 en A. ¿Quien es A?

Problema 1.14 .- Sea A un anillo y sea A∗ el conjunto de las unidades de A, esdecir,

A∗ = {a ∈ A : existe a−1}.

Probar que A∗ junto a la multiplicacion es un grupo abeliano.

Problema 1.15 .- En un anillo A, un elemento x se dice nilpotente si xn = 0para algun n. Probar que si x ∈ A es nilpotente, 1 + x es una unidad de A. (Pista:recuerdese la primera formula probada en el Ejercicio 1.7.)

Problema 1.16 .- Un anillo se dice de Boole si x2 = x para todo x ∈ A. Probarque, en ese caso, 2x = 0 para todo x ∈ A.

Problema 1.17 .- Sean A1, A2, . . . , An anillos. Definimos suma y producto en A1×A2 × · · · × An componente a componente, es decir, (a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn) =(a1 + b1, . . . , an + bn) y (a1, . . . , an) · (b1, . . . , bn) = (a1 · b1, . . . , an · bn). Probar que,con estas operaciones, A1 × A2 × · · · × An tiene estructura de anillo con elementounidad (1, . . . , 1). Si A1, A2, . . . , An son cuerpos, ¿A1 ×A2 × . . .×An es cuerpo conestas operaciones?

Problema 1.18 .- Si A y B son anillos, se dice que una aplicacion f : A → B eshomomorfismo si respeta las operaciones, es decir,

1. f(a+ b) = f(a) + f(b),

2. f(a · b) = f(a) · f(b) y

3. f(1) = 1.

Si, ademas, f es biyectiva se dice isomorfismo y se dice que los anillos A y B sonisomorfos. Probar que si f : A→ B es homomorfismo, se verifica

f(0A) = 0B

Si a es una unidad de A, f(a) es una unidad de B. De hecho, f(a)−1 = f(a−1).

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Ingenier´ıa en Informática Universidad de Alcalá · Algebra´ Ingenier´ıa en Informática Universidad de Alcalá José Enrique Morais San Miguel 6 de octubre de 2004