Indice general - matesup.cl · Descomposici on de enteros como productos de pri-mos Como sabemos, los enteros distintos de cero, se dividen en tres clases: ... Teorema 2.1.1 Todo

Indice general

1. Algebra con DERIVE 101.1. Ingreso de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2. Simplificacion de expresiones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3. Declarando dominios de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4. Actividades de Algebra en DERIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1. Descubriendo modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.2. Propiedades de los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5. Definiendo dominios adecuados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6. Tarea 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2. Numeros primos con DERIVE 172.1. Descomposicion de enteros como productos de primos . . . . . . . . . . . . . . 172.2. Buscando numeros primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3. Primos de Mersenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4. Primos de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5. Primos gemelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6. Tarea 3: La conjetura de Goldbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. Ecuaciones con DERIVE 263.1. Ecuaciones en DERIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2. Resolucion de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3. Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4. Algunos alcances adicionales sobre la resolucion de ecuaciones . . . . . . . . . 29

3.4.1. Resolucion de ecuaciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4.2. Resolucion paso a paso de una ecuacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.5. Actividades de funciones en DERIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5.1. Determinando el valor de un parametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5.2. Usando graficos para resolver una ecuacion . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5.3. Explorando funciones graficamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5.4. Trabajando una ecuacion parameetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5.5. Una actividad sobre ecuaciones equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . 313.5.6. Construyendo un estanque de agua con costos fijos . . . . . . . . . . . 31

1

3.6. Tarea 4: Grafico como una ayuda para explorar y factorizar polinomios . . . . 33

4. Funciones con DERIVE 344.1. Funciones en DERIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.1.1. Ingreso a traves del comando Declare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.2. Ingreso en la forma rapida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2. Funciones predefinidas en DERIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.1. Funcion raız cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.2. Funcion valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.3. Funcion signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.4. Funcion numeros positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.5. Funcion caracterıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.6. Funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2.7. Funcion logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2.8. Funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3. Funciones definidas por tramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3.1. Usando la funcion chi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3.2. Usando la instruccion IF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4. Graficando funciones en DERIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.5. Opciones del ambiente de graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5.1. Cursor grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.5.2. Opcion Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.5.3. Opcion Center . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.5.4. Opcion Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.5.5. Otras opciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.5.6. Borrando graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.6. Actividades de funciones en DERIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.6.1. Obteniendo informacion de graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.6.2. Comparando expresiones graficamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.6.3. Resolviendo una ecuacion logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.7. Identificando expresiones trigonometricas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . 434.8. Tarea 5: Encontrando el mejor lugar para construir un puerto . . . . . . . . . 44

2

Capıtulo 1

Algebra con DERIVE

DERIVE presenta una serie de opciones para trabajar con expresiones algebraicas, entreellas estan las que permiten simplificar, expandir y factorizar una expresion. En esta sesiondaremos un corto paseo por estas opciones.

1.1. Ingreso de variables

En DERIVE pueden usarse como variables cada unas de las letras de nuestro alfabeto.Para ver o definir el modo como se trabajaran las variables en DERIVE, se accede por elcomando Declare − Input Settings. Este comando despliega la siguiente ventana:

Observacin 1.1.1 :

Sobre en modo Character:

Con esta opcion los nombres de variables pueden consistir de solo una letra del alfabeto.En este ambiente, no es necesario insertar espacios entre variables que se multiplican. Porejemplo,

xyz

10

Sesion 2: Algebra con DERIVE. 11

es interpretado como el producto de las variables x, y y z.

Sobre en modo Word:

En este modo las variables pueden tener nombres que consisten de cualquier numero deletras, dıgitos u otros carateres, siempre que ellos comiencen con una letra. Por ejemplo, eneste modo, x1, raiz, solucion, x 1 son nombres validos de variables.

1.2. Simplificacion de expresiones algebraicas

El comando Simplify permite justamente simplificar expresiones algebraicas. Para ello seprocede analogamente a la simplificacion de expresiones numericas, es decir,

Ingresar por Author, la expresion que se desea simplificar.

Ejecutar el comando Simplify.

Presionar Enter

Ejercicio 1.2.1 :Ingresar y simplificar las siguientes expresiones. Anotar el resultado obtenido.

Expresion Resultado Obtenido

4 · (5 + 36)

32

(x + y)2 − 2xy

(a− b)3 − (a + b)3

b

(x− 1)2(x + 4)(x2 + 4)


Expresion Resultado Obtenido

√a4 + 2a2b2 + b4

√a2 + 2ab + b2

De manera analoga se procede para expandir o factorizar expresiones. Para ello se utilizan,como es de suponer, los comandos Expand y Factor, respectivamente.

Observaciones sobre el comando Factor

Al ejecutar el comando Factor se obtiene la siguiente ventana de opciones:

Sobre la opcion Trivial: Realiza, sobre la expresion indicada, operaciones elementalestales como: sacar factor comun, reducir a comun denominador, etc.

Sobre la opcion Rational: Descompone obteniendo factores cuyas raıces sean racio-nales.

Sobre la opcion Radical: Esta opcion descompone en factores cuyas raıces sean reales.

Sobre la opcion Complex: En este caso se obtiene una descomposicion completa enfactores.


Ejercicio 1.2.2 :Aplicar la operacion indicada a cada una de las siguientes expresiones y anotar el resultado

obtenido:

Expresion Operacion Resultado Obtenido

1234567890 Factorizar

(x− 1)2(x+ 4)(x2 + 4) Expandir

(2y − 5)4 Expandir

(3x2 − 2x+ 1)/(x3 + 4x2 − 3x− 18) Expandir

x5 + 5x4 + 2x3 + 10x2 − 8x− 40 Factorizar(Rational)

x5 + 5x4 + 2x3 + 10x2 − 8x− 40 Factorizar(Radical)

x5 + 5x4 + 2x3 + 10x2 − 8x− 40 Factorizar(Complex)

1.3. Declarando dominios de variable

Como se sabe, muchas propiedades de los numeros son validas para dominios restringidosde las variables que ellas involucran, por ejemplo:

Ejemplo 1.3.1 : La propiedad de los numeros reales:

√a · b =

√a ·√b

es valida, cuando tanto a como b son numeros reales mayores o iguales a cero.

F

DERIVE, cuando simplifica una expresion algebraica, aplica reglas de tranformacion queson validas en los dominios especificados de las variables, en caso contrario la expresion no sesimplifica. Por ejemplo:


Ejemplo 1.3.2 : Ingresar y simplificar la expresion:

√a

b

¿Cual es la respuesta obtenida en la simplificacion precedente?

¿Cual es la explicacion que usted darıa para esta situacion?

En DERIVE para declarar un dominio especıfico a una variable, se usa el comando:

Declare Variable Domain

Al activar estos comandos se despliega la siguiente ventana:

Observacin 1.3.1 :

La transformacion x− x→ 0 · x→ 0 es basica para simplicar expresiones. Es claroque esta transformacion (y otras) no son validas si x es infinito.

DERIVE, como es de esperar simplifica tanto la expresionx

xcomo x0 a 1, incluso cuando

el dominio de la variable x incluye al numero 0. Esto lleva, por razones de consistencia,a que DERIVE simplifique 00 a 1, puesto que este es un caso particular de x0.

A modo de ejercicio, observar como simplifica DERIVE la expresion0

0.


1.4. Actividades de Algebra en DERIVE

1.4.1. Descubriendo modelos

1. Ingresar a DERIVE y expandir, con respecto a todas las variables, las expresiones:

(a + b)2, (a + b + c)2, (a + b + c + d)2, etc.

hasta que usted pueda predecir la forma de la respuesta.

Repetir esta actividad expandiendo las expresiones con respecto a la variable a solamen-te.

2. Ingresar y expandir las expresiones:

(x + 1)2, (x + 1)3, (x + 1)4, etc.

hasta que usted pueda predecir la forma de la respuesta del calculo de la expresion queseguirıa.

3. Ingresar y expandir las expresiones:

(x + y)2, (x + y)3, (x + y)4, etc.

hasta que usted pueda predecir la forma de la respuesta del calculo de la expresion queseguirıa.

1.4.2. Propiedades de los numeros reales

1. Como usted sabe la adicion (+) en es asociativa. Usando DERIVE decidir si la sustrac-cion (−) es asociativa.

2. Solo por inspeccion visual, decidir a cual de las expresiones dadas, es igual a la expresiona + b

a · c.

1 + b

co

b

co

1

c+

b

ac

Usando la opcion Expand, confirmar la respuesta dada.


1.5. Definiendo dominios adecuados

Establecer dominios adecuados para cada una de las variables involucradas en cada una delas siguientes igualdades, de modo que DERIVE al simplificar la expresion del lado izquierdode como resultado la expresion del lado derecho.

(a)√a · b =

√a ·√b

(b)√

(a− 2)2 = a− 2

(c)

√a2

b2= −a

b

(d)|a + 1|

b=

a + 1

b

**************************************************

1.6. Tarea 2

Considerar la siguiente expresion algebraica:

xn − 1

x− 1

1. Usando DERIVE, simplificar la expresion propuesta para n = 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

2. En base a los calculos anteriores, conjeturar el valor dexn − 1

x− 1

3. ¿Que tecnica matematica se deberıa usar para probar su conjetura. Hacerlo!

4. En base al resultado obtenido y probado, sin usar DERIVE, obtener el valor de:

x−n − 1

x− 1

donde n es un entero positivo.

Capıtulo 2

Numeros primos con DERIVE

2.1. Descomposicion de enteros como productos de pri-

mos

Como sabemos, los enteros distintos de cero, se dividen en tres clases:

1. −1, 1: unidades

2. ±2,±3,±5,±7,±11, . . .: primos

3. ±4,±6,±8,±9, . . .: compuestos

Primero, para evitar considerar los signos, trabajaremos con enteros positivos, en este casoun entero positivo n es un primo si n > 1 y sus unicos divisores positivos son 1 y n. Los primosconstituyen las partıculas elementales de la aritmetica, en virtud del Teorema Fundamentalde la Aritmetica, que establece:

Teorema 2.1.1 Todo entero mayor que 1 se puede expresar de manera unica como productode primos

n = pe11 · · · pekk

donde ei es un entero positivo.

Actividad 2.1.1 DERIVE dispone del comando Factor para obtener la descomposicion pre-cedente de un numero entero. Usando este comando, encontrar la descomposicion en productode factores primos, de los siguientes numeros enteros:

17

Numeros primos con DERIVE. 18

Numero entero Descomposicion en factores primos

11223344556677889900

33333333333555555555

2.2. Buscando numeros primos

DERIVE dispone del comando prime con el cual se puede chequear con cierto grado deseguridad, si un entero positivo es o no primo. DERIVE retorna true cuando el numero esprimo y false en caso contrario. Por ejemplo, para chequear si el 37 es primo se ingresa ysimplifica el comando prime(37).

Actividad 2.2.1 :

Usando esta funcion, determinar si los siguientes numeros enteros son primos o no:

Numero entero ¿Primo?

11394535765537

122333444455555

Actividad 2.2.2 Encontrar un numero primo que tenga 10 dıgitos.

Respuesta


Como usted sabe no existen formulas algebraicas que proporcionen siempre numeros pri-mos. Sin embargo, hay algunas formulas famosas que producen una cantidad asombrosa denumeros primos:

Actividad 2.2.3 Determinar cuantos primos produce la formula n2 − n + 17, para n entre 0y 25.

Comentario 2.2.1 Para chequear simultaneamente todos los caso pedidos, es convenienteusar el comando vector. Ingresar y simplificar:

vector([n, n2 − n + 17,prime(n2 − n + 17)], n, 0, 25).

Respuesta

Comentario 2.2.2 Otras formulas simples, que tambien entregan una cantidad interesantede primos, son: n2 − n + 41 y 22n2 − 199.

2.3. Primos de Mersenne

Marın Mersenne, Frances (1588-1648)

Un numero de la forma Mn = 2n − 1 se llama numero deMersenne. Estos numeros tienen un sitial importante en laaritmetica debido a que los mas grandes primos conocidosson justamente primos de esta forma. Observemos que sucedecon estos numeros analizando el exponente n :

Si n = 2k con k > 1 entonces: 22k − 1 = (2k − 1)(2k + 1).

Si n es compuesto, n = pq, entonces 2pq − 1 = (2p − 1)(2p(q−1) + · · ·+ 1).


De modo que si n es compuesto el numero Mn no es primo. Sin embargo, si n es primo nonecesariamente Mn sera primo.

Actividad 2.3.1 :Determinar los primeros 5 numeros de Mersenne que no son primos.

Respuesta

Comentario 2.3.1 DERIVE dispone de un archivo especialmente preparado para trabajaraspectos especiales de la teorıa de numeros. El archivo tiene nombre primos.mth. Para activarlas funciones de este archivo, este debe cargarse siguiendo la siguiente secuencia:

File

Load

Utility File

Seleccionar el archivo primos.mth

Presionar Enter


Efectue la secuencia precedente para disponer de las funciones incorporadas en el archivoprimos.mth.

El archivo mencionado contiene la funcion mersenne(n). Esta funcion calcula el n-esimonumero de Mersenne que es primo.

Actividad 2.3.2 : Calcular los primeros 10 numeros primos de Mersenne. Para ello incorpo-rar (por Author) y Simplify el comando:

vector([n,mersenne(n)],n,1,10)

Respuesta

Actividad 2.3.3 : ¿Para que valor de n, Mn es el quinceavo numero de Mersenne que esprimo?

Respuesta

Actividad 2.3.4 : Encontrar dos numeros compuestos cuyos factores primos sean primos deMersenne y que tengan exactamente

a) 3 divisores positivos

b) 4 divisores positivos


c) 6 divisores positivos

Respuesta:

Numero Divisoresa)

b)

c)

Nota 2.3.1 .

1. Se conocen solo 36 primos de Mersenne, de hecho de la lista de los primos “top ten”(losprimos conocidos mas grandes hasta septiembre de 1997), seis de ellos son primos deMersenne.

2. Los primos de Mersenne dan lugar a los numeros perfectos (P es perfecto si es la sumade sus divisores propios). Euler probo que todos los numeros perfectos pares tienen laforma P = Mp2

p−1 donde Mp es un primo de Mersenne. Se conocen solo 36 numerosperfectos (no se sabe si hay numeros perfectos impares).

2.4. Primos de Fermat

Pierre de Fermat Francs, (1601-1665)

Fermat afirmo que todos los numeros de la forma Fn = 22n +1 son primos. Una pequena tabla nos muestra los primerosvalores:

F0 = 3F1 = 5F2 = 17F3 = 257F4 = 65537F5 = 4294967297


Euler probo en el ano 1732, 100 anos depues de la firmacion de Fermat, que F5 no es primo,simplemente al descubrir que

F5 = 641 · 6700417

Actividad 2.4.1 Definir en DERIVE la funcion f(n) = 22n + 1. Usando esta funcion:Determinar cuales de los primeros 10 numeros de Fermat son primos.

Respuesta

2.5. Primos gemelos

Si p y p+2 son primos, se dice que ellos conforman un par de primos gemelos. Por ejemplo3 y 5 es un par de primos gemelos. 881 y 883 es otro par de primos gemelos. El archivoprimos.mth incluye la funcion twin(n) que calcula el siguiente par de primos gemelos,despues de n.

Actividad 2.5.1 Determinar el primer par de primos gemelos que son mayores o iguales aun millon.

Respuesta


Actividad 2.5.2 Determinar el conjunto de todos los pares de primos gemelos que son me-nores de 100.

Respuesta


2.6. Tarea 3: La conjetura de Goldbach

Una de las mas famosas conjeturas en la teorıa elemental de numeros, y que aun permanecesin respuesta, es la conjetura de Goldbach: Cada numero entero par y mayor que 2 se puedeexpresar como la suma de dos primos.

1. Usando DERIVE, chequear la conjetura de Goldbach, para todo entero positivo menorque 20.

Respuesta

Nota: El archivo primos.mth contiene la funcion gold(n) la que calcula un par deprimos cuya suma es n.

2. Usando la funcion gold(n), verificar que la conjetura de Goldbach es valida para n ≤100.

Respuesta

3. Usando la funcion gold(n) y chequeando valores al azar, verificar que la conjetura deGoldbach es valida para n ≤ 10000.

Respuesta

4. ¿Usted considera que trabajando con la funcion gold(n), se podrıa resolver la conjeturade Goldbach?.

Respuesta

Capıtulo 3

Ecuaciones con DERIVE

3.1. Ecuaciones en DERIVE

El ıcono del ambiente de algebra de DERIVE permite resolver ecuaciones. Ası, porejemplo, si queremos resolver la ecuacion:

x2 +4

x2+ 6

(x +

2

x

)= 23

se procede de la siguiente manera:

Ingresar la ecuacion al ambiente de trabajo.

Al cliquear el ıcono , aparece la ventana:

Seleccionar la opcion deseada.

Presionar Solve

Como se podra observar DERIVE anotara (una a una), en el area de trabajo, las raıcesde la ecuacion.

Observacion: Cuando la ecuacion a resolver contiene mas de una variable, el programapide que se especifique la variable que se desea despejar.

26

Sesion 5: Ecuaciones con DERIVE. 27

Ejercicios: Usando DERIVE resolver cada una de las siguientes ecuaciones. Anotar lassoluciones entregadas:

Ecuacion Soluciones

ax2 + bx + c = 0

3(x +

1

x2

)= 7

(1 +

1

x

)

x− 2a

x− 3b=

x + a

x + b

Observacion: Como se sabe al resolver una ecuacion, se pueden presentar dos situacionesespeciales:

Que la ecuacion no tenga solucion.

Que la ecuacion tenga infinitas soluciones.

Para observar, como DERIVE entrega las respuestas en estos casos, resolver y anotar lassoluciones de las siguientes ecuaciones:

Ecuacion Soluciones

2x + 1 = 2x− 6

3x + 1 = 1 + 3x

3.2. Resolucion de inecuaciones

Los sımbolos de las relaciones de desigualdad, que DERIVE utiliza son los siguientes:


Relacion Notacion usual Notacion en DERIVE

Menor que < <

Mayor que > >

Menor o igual que ≤ <=

Mayor o igual que ≥ >=

Nota: Los sımbolos anteriores tambien pueden obtenerse desde la barra de sımbolos.

Para resolver inecuaciones en DERIVE se procede de manera completamente analoga, ala forma como se resuelven ecuaciones.

Ejercicios: Usando DERIVE resolver cada una de las siguientes inecuaciones. Anotar lassoluciones entregadas:

Inecuacion Conjunto solucion

x2 + 5x− 24 > 0

3(x +

1

x2

)< 7

(1 +

1

x

)

|4x + 5| ≤ 7

Observacion: Como se sabe al resolver una inecuacion, se pueden presentar dos situacio-nes especiales:

Que la inecuacion no tenga solucion.

Que la inecuacion tenga infinitas soluciones.


Para observar, como DERIVE entrega las respuestas en estos casos, resolver y anotar lassoluciones de las siguientes inecuaciones:

Ecuacion Conjunto solucion

x2 < 0

x4 ≥ 0

Nota: DERIVE tambien permite resolver y graficar el conjunto solucion de una inecuacionen dos variables. Para comprobar este hecho, resolver y graficar la solucion de |2x2+y3|−5| > 2

3.3. Sistemas de ecuaciones

DERIVE tambien permite resolver sistema de ecuaciones. Ası, por ejemplo, para resolverel sistema:

x + y = 82x− 4y = 18

se ingresa y simplifica el comando:

solve([x + y = 8, 2x - 4y = 18], [x, y])

Nota: Tambien se puede ingresar y resolver un sistema de ecuaciones con los comandos Solve- System.

3.4. Algunos alcances adicionales sobre la resolucion de

ecuaciones

3.4.1. Resolucion de ecuaciones especiales

Como usted sabe existen ecuaciones (algunas muy sencillas), para las cuales los metodosalgebraicos no permiten obtener su resolucion. Tal es el caso, por ejemplo, de la ecuacionx2 = 3x. Como usted podra comprobar, al intentar resolver esta ecuacion DERIVE entregacomo respuesta x2 − 3x = 0, es decir, solo modifica la presentacion de la ecuacion sin lograrentregar su(s) solucion(es). Una manera de proceder para obtener una solucion, al menosaproximada de esta ecuacion, es seleccionar la opcion Numerically en la ventana de resolucionde ecuaciones.


Ejercicio 3.4.1 : Resolver, siguiendo las indicaciones precedentes, la ecuacion x2 = 3x.

3.4.2. Resolucion paso a paso de una ecuacion

DERIVE ofrece la posibilidad de resolver paso a paso una ecuacion. Para realizar unaoperacion, por ejemplo sumar x2 a ambos lados, se procede de la siguiente manera:

Seleccionar la ecuacion a la cual se le aplicara la operacion.

Presionar la tecla F4 . Con esto aparecera la ecuacion, en la lınea de ingreso, entreparentesis.

Escribir la operacion deseada, en este caso, +x2.

Presionar la tecla Enter . Con esto aparecera en el area de trabajo la ecuacion con laoperacion indicada que se desea efectuar.

Finalmente, aplicando el comando Simplify(ıcono ) a esta ultima relacion, se ob-tiene la ecuacion resultante, es decir, la ecuacion que se obtiene de la ecuacion originaldespues de haberle aplicado la operacion en cuestion.

Ejercicio 3.4.2 :

Usando DERIVE, resolver paso a paso la ecuacion 5x + 3 = 2x− 8

3.5. Actividades de funciones en DERIVE

3.5.1. Determinando el valor de un parametro

Encontrar el (los) valor(es) de k de modo que el producto de las raıces de la ecuacion:

(k − 2)x2 − 5x + 2k = 0

sea igual a 6.

3.5.2. Usando graficos para resolver una ecuacion

1. Graficando una (o mas) funciones adecuadas, resolver aproximadamente la ecuaciontrascendente x4 = 4x.

2. Resolver esta ecuacion trabajando en el ambiente de algebra de DERIVE.


3.5.3. Explorando funciones graficamente

En esta actividad, se trabajara con dos funciones f y g. Se sabe que una de ellas tienecomo formula −|x− 3|+ 6, y que la otra tiene por formula −|x + 4|+ 16.

1. Determinar la formula que le corresponde a cada una de las funciones f y g, si se sabeque: Para todo x en IR: f(x) < g(x).

2. Determinar una funcion h, tambien expresada en terminos de valor absoluto, de modoque: Para todo x en IR: f(x) < h(x) < g(x)

3.5.4. Trabajando una ecuacion parameetrica

Dada la ecuacion parametrica (de parametro k):

Ek : x4 − k2x3 + 27x2 − 11k + 14 = 0

1. Determinar la ecuacion que se obtiene para el valor de k = 3, es decir, determinar laecuacion E3.

2. Decidir si el numero 3 +√

2 es una raız de E3.

3. Decidir si el numero 1 es una raız de E3.

4. Determinar todos los valores de k, de modo que el numero 1 sea solucion de Ek.

3.5.5. Una actividad sobre ecuaciones equivalentes

Dada la ecuacion parametrica

Ek :√

2x + 3−√x− k = k

Se pide determinar el (o los) valor(es) del parametro k que hacen que Ek sea equivalentea la ecuacion

x2 − 14x + 33 = 0

3.5.6. Construyendo un estanque de agua con costos fijos

Una empresa requiere construir un estanque cilındrico para contener 500m3 de agua. Suparte superior y laterales seran construıdos de una lamina de acero que vale US$1.25 porm2, pero debido a que el estanque debe asentarse sobre un suelo que contiene sustanciascorrosivas, su base sera construıda de una aleacion especial que vale US$2.75 por m2. Paraabaratar costos la empresa comprara por separado las tres partes que conformaran el estanque(la parte superior, la basal y la lateral), y en sus dependencias se procedera a pegarlas. Los


costos del pegamento especial usado son de US$4.5 por m. ¿Cuales deberan ser las dimensionesdel estanque que se puede construir si la empresa dispone de US$1000 para este gasto?

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3.6. Tarea 4: Grafico como una ayuda para explorar y

factorizar polinomios

Considerar en polinomio p(x) = 4x3 − 4x2 − 15x + k.

1. Graficando p(x) para diferentes valores de k, determinar el valor del parametro k, demodo que p(x) tenga una raız real de multiplicidad 2.

a) ¿Cual es esta raız doble?

b) ¿Cual es la otra raız?

c) Trabajando en el ambiente de Algebra de DERIVE, comprobar sus respuestasprecedentes.

2. Considerar k = 10.

a) Obtener el grafico de p(x) de modo que se visualicen todas sus raıces.

b) Por inspeccion del grafico de p(x), determinar de manera aproximada, sus raıces.

c) Escribir p(x) en forma factorizada.

d) Expandir la expresion recien obtenida y verificar que ella es igual (aproximadamen-te) a p(x).

Capıtulo 4

Funciones con DERIVE

4.1. Funciones en DERIVE

En DERIVE se puede definir una funcion, basicamente de dos maneras: una a traves delcomando Declare y otro que llamaremos forma rapida. Se explicara cada una de estas formas,ingresando a DERIVE la funcion y = f(x) = (x− 1)(x + 2)2.

4.1.1. Ingreso a traves del comando Declare

1. Seleccionar los comandos Declare Function Definition . Aparecera la ventana:

2. En la primera lınea, escribir el nombre de la funcion y su argumento, en este caso, f(x).

3. En la segunda lınea, escribir la formula que define la funcion, en este caso habrıa queescribir, en notacion de DERIVE, (x− 1)(x + 2)2.

4. Al presionar Enter (o cliquear en OK , la funcion sera ingresada a DERIVE y apa-recera incorporada al area de trabajo, en la forma:

f(x) := (x− 1)(x + 2)2

34

Sesion 4: Funciones con DERIVE. 35

4.1.2. Ingreso en la forma rapida

En esta alternativa se ingresa directamente en la lınea de entradas, en notacion de DERIVE,la funcion de la siguiente manera:

f(x) := (x− 1)(x + 2)2

Observacin 4.1.1 :

1. Observar y recordar que el sımbolo de asignacion en funciones es “:=” y no “=”. Estose debe a que DERIVE reserva el sımbolo “=” para las ecuaciones.

2. Como es de suponer tambien se pueden definir funciones de mas de una variable. El pro-cedimiento es completamente analogo. Ası, por ejemplo, para definir la funcion promedioentre 3 numeros x, y, z; en la forma rapida, se ingresa:

prom(x, y, z) :=x + y + z

3

Ejercicio 4.1.1 :

Definir las funciones f(x) = x2 y g(x, z) = x + 2y, y calcular:

1. f(5)

2. g(−1, 3)

3. f(a2)− (f(a))2

4. g(a + b, a− b) + g(a− b, a + b)

5. f(g(a, a))− g(f(a), 1)

4.2. Funciones predefinidas en DERIVE

DERIVE trae incorporado todas las funciones reales y de valor real, de uso frecuente enmatematicas. A continuacion se hace una revision de las mas relevantes.

4.2.1. Funcion raız cuadrada

Como ya se sabe la raız cuadrada de x se escribe en DERIVE sqrt(x).


4.2.2. Funcion valor absoluto

El valor absoluto de x en DERIVE se anota |x| o abs(x), y viene definida por:

|x| ={

x si x ≥ 0−x si x < 0

4.2.3. Funcion signo

La funcion signo de x se anota sign(x), y viene definida por:

sign(x) =

{1 si x > 0−1 si x < 0

4.2.4. Funcion numeros positivos

Esta funcion se anota step y viene definida por:

step(x) =

{1 si x > 00 si x ≤ 0

Observar que step(x) =1

2sign(x) +

1

2.

4.2.5. Funcion caracterıstica

Si a y b son numeros reales con a < b, la funcion caracterıstica del intervalo [a, b] enDERIVE recibe el nombre de chi y viene definida por:

chi(a, x, b) =

{1 si x ∈ [a, b]0 si x 6∈ [a, b]

Observacin 4.2.1 :

1. Observar que:

chi(a, x, b) =1

2(sign(x− a)− sign(x− b))

2. Mas adelante se hara uso de esta funcion para trabajar con funciones definidas portramos.


4.2.6. Funcion exponencial

La funcion exponencial ex, se representa por exp(x). Recordar que el numero e, en DERIVE

se ingresa #e o Atl − e.

4.2.7. Funcion logarıtmica

La funcion logarıtmo natural de x se anota por ln(x) o bien log(x). La funcion logarıtmode x en base a, se anota en DERIVE por log(x, a).

4.2.8. Funciones trigonometricas

DERIVE trae predefinidas todas las funciones trigonometricas junto con sus inversas. Lanotacion que DERIVE usa para la funcion seno es sin, para coseno es cos, para tangentees tan, para cotangente es cot, para secante es sec y para cosecante es csc. Las funcionesinversas: arco seno, arco coseno, etc. se anotan asin, acos, etc.

4.3. Funciones definidas por tramos

Para ingresar a DERIVE una funcion definida por tramos, como la siguiente

f(t) =

t2 si −∞ < t < 53 si 5 ≤ t ≤ 7t− 3 si 7 < t < +∞

se puede proceder de dos maneras:

4.3.1. Usando la funcion chi

La funcion f(t) precedente se puede ingresar a DERIVE de la siguiente manera:

f(t) :=chi(−∞, t, 5) · t2 + chi(5, t, 7) · 3 + chi(7, t,+∞) · (t− 3)

4.3.2. Usando la instruccion IF

DERIVE dispone de la instruccion IF para trabajar condicionales. Su estructura basicaes la siguiente:

IF(test, then, else)

donde


En test se incorpora la condicion.

En then se incorpora la accion que debe efectuarse, en el caso que la condicion en testse cumpla.

En else se incorpora la accion a efectuarse, en el caso que la condicion en test no secumpla.

Ası, entonces la funcion f(t) precedente, se puede definir en DERIVE usando la instruccionIF, de la siguiente manera:

f(t) := IF(t < 5, t2, IF(t ≤ 7, 3, t− 3))

Ejercicio 4.3.1 : Definir e ingresar a DERIVE la siguiente funcion definida por tramos,usando las dos maneras recien comentadas.

g(x) =

{sin(2x) si −∞ < x < 6e−x si 6 ≤ x < +∞

4.4. Graficando funciones en DERIVE

Como todos sabemos, una buena representacion grafica siempre es de gran ayuda en eladecuado estudio de una funcion. En efecto, la mayor parte de las propiedades de una funcion,se pueden deducir de un observacion cuidadosa de su grafico.

DERIVE dispone de un ambiente especial para graficos, tanto para 2 como 3 dimensiones.En 2 dimensiones, entre otras opciones, DERIVE permite obtener el grafico de una funciondada en forma:

Explıcita, es decir, a traves de una ecuacion del tipo y = f(x).

Implıcita, es decir, por medio de una relacion del tipo F (x, y) = 0.

Parametrica, es decir, por medio de dos ecuaciones del tipo: x = f(t) e y = g(t).

Para obtener el grafico de la funcion (explıcita) y = f(x) = (x− 1)(x + 2)2, se procede dela siguiente manera:

Ingresar, como siempre por la opcion Author - Expresion (equivalentemente F2 ),la funcion.

Cliquear en el ıcono

Este comando permite acceder a una ventana especial para graficos.


Estando en la ventana de grafico, para obtener el grafico, cliquear en el ıcono deeste ambiente.

Ejercicio: Usando DERIVE obtener el grafico de la funcion y =sinx

xy reproducirlo en

el sistema cartesiano entregado:

4.5. Opciones del ambiente de graficos

4.5.1. Cursor grafico

Como usted podra observar, al obtener un grafico en DERIVE, aparecera en el sistema decoordenadas un cursor grafico representado por una pequena cruz (+). En la lınea de men-sajes, parte inferior izquierda de su pantalla, aparecen especıficadas sus actuales coordenadas(abscisa y ordenada).

Con las teclas de flechas, se puede mover el cursor grafico. A medida que varıe su po-sicion, en la lınea de mensajes iran apareciendo sus sucesivas coordenadas. Para acelerar elmovimiento del cursor grafico se usan las teclas: Ctrl con la tecla de flechas correspondiente.


4.5.2. Opcion Trace

Una opcion interesante que ofrece DERIVE para el estudio de un grafico es la opcion trace.

A esta opcion se accede con el ıcono . Como podra observar al presionar esta tecla, elcursor grafico se transforma en un pequeno rectangulo, el cual se mueve sobre el grafico.

Esta opcion es muy util para determinar aproximadamente, por ejemplo, los puntos dondeel grafico corta los ejes coordenados; y los maximos y mınimos de la funcion.

Cuando usted va recorriendo, con esta opcion, el grafico de una funcion, y pase por unpunto donde la funcion no este definida, DERIVE lo indicara emitiendo un sonido.

Presionando nuevamente la tecla F3 se sale de esta opcion.

4.5.3. Opcion Center

El ıcono permite centrar el grafico activo en el punto donde se encuentra el cursorgrafico.

4.5.4. Opcion Rango

DERIVE permite que el usuario establezca la ventana donde desea obtener el graficode una funcion. Esto se logra por medio del comando Set - Plot Range. Al ejecutar estecomando aparecera la siguiente ventana:

En los cuatro campos de la izquierda se ingresan los bordes de la ventana que desea espe-cificar. Por ejemplo, en la ventana precedente se ha definido la ventana [−10, 15]× [−20, 30].

4.5.5. Otras opciones

Con el fin de revisar otras opciones que ofrece DERIVE para manipular graficos, explorelos otros ıconos y menus del ambiente de graficos de DERIVE .

Ejercicio 4.5.1 :

Definir y graficar en una ventana adecuada la siguiente funcion polinomial:

p(x) := 0,0125x4 + 0,34x3 + 3,12x2 + 11,32x + 14,26


Nota: Para volver, desde el ambiente de graficos al ambiente de algebra, se hace click en

el ıcono .

4.5.6. Borrando graficos

Una vez obtenidos los graficos de varias funciones puede ser necesario borrar algunos deellos. Esto se logra por medio de la opcion Edit - Delete Plot. Al ejecutar estos comandos,aparecera la siguiente ventana:

El efecto de estas opciones son claras.

4.6. Actividades de funciones en DERIVE

4.6.1. Obteniendo informacion de graficos

Por inspeccion cuidadosa del grafico de la funcion

y = f(x) = −x(x2 + x− 2)

y ayudandose del cursor grafico, determinar aproximadamente:

1. La imagen de x = −0,5, es decir, f(−0,5)

2. Decidir si el punto (2,−10) pertenece al grafico de f .

3. Rec(f) =

4. A = { x ∈ R / f(x) = 0 } =


5. B = { x ∈ R / f(x) = −2 } =

6. C = { x ∈ R / f(x) > 0 } =

7. Cuando x varıa entre −2 y 1, ¿cual es, aproximadamente, el valor mas grande que tomala funcion?, ¿cual es el mas pequeno?.

8. Obtener la representacion grafica de las siguientes funciones:

y = g(x) = f(x) + 2

y = h(x) = f(x + 2)

y = k(x) = f(−x)

y = l(x) = −f(x)

y = m(x) = |f(x)|

4.6.2. Comparando expresiones graficamente

1. Incorporar a DERIVE y graficar la funcion f(x) = ln(3x − 9)2. Reproducir el graficoencontrado a continuacion:

-

6


2. Incorporar a DERIVE y graficar la funcion g(x) = 2 · ln(3x− 9). Reproducir el graficoencontrado a continuacion (en la siguiente pagina):

-

6

3. Como habra comprobado, los graficos de f y g no son iguales. Entregar una explicacionde este hecho.

4.6.3. Resolviendo una ecuacion logarıtmica

Considerar la siguiente ecuacion logarıtmica: 100 · ln(5x− 2) = x3 − 14x2 − 57x + 630

1. Como se puede observar esta ecuacion es imposible resolverla por metodos algebraicosnormales, es decir, en ella no se puede despejar su incognita x. Verificar esta aseveracion.

2. Disenar un metodo grafico para resolver esta ecuacion. Incorporar en la respuesta elmetodo implementado, el o los graficos realizados y las raıces encontradas.

4.7. Identificando expresiones trigonometricas equiva-

lentes

A continuacion se proponen 4 expresiones trigonometricas:

sin5 x cos4 x sinx + cosx + sinxcotx

secx + cscx + cosxtanx

sinx cos8 x− 2 sinx cos6 x + sinx cos4 x

De estas expresiones dos son equivalentes, descubrirlas por medio de graficos adecuados.

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4.8. Tarea 5: Encontrando el mejor lugar para construir

un puerto

Una isla se encuentra a 1Km de la costa y en dicha costa existe un pueblo 10Km masabajo. Una companıa de transportes se propone construir un puerto para llevar materiales deconstruccion desde el pueblo a la isla. La velocidad de un camion es de 70Km

hy la de un barco

de 20Kmh

.

1. Hacer un dibujo que modele la situacion planteada.

2. Designar por A el punto de la costa que esta directamente frente a la isla, por B elpunto de la costa donde esta ubicado el pueblo y por X el punto de la costa donde seconstruira el puerto.

3. Dada las condiciones del problema, ¿es posible que el lugar mas adecuado para construirel pueblo este:

a) mas arriba del punto A?.

b) mas abajo del punto B?.

Fundamente sus respuestas.


4. Por las condiciones del problema y considerando su respuesta precedente, ¿cual es elrango de lugares de la costa donde razonablemente, deberıa construırse el puerto?.

5. Llamar d a la distancia entre el pueblo y el punto de construccion del puerto. Expresar,en terminos de d, el tiempo t1 necesario para ir del pueblo al puerto:

t1 =

6. Expresar, en terminos de d, el tiempo t2 necesario para ir del puerto a la isla:

t2 =

7. Usando la informacion anterior, expresar, en terminos de d, el tiempo total T necesariopara ir del puerto a la isla:

T =

8. Usando DERIVE, obtener el grafico de la funcion T y reproducirlo en el siguiente planocartesiano:

-

6


9. Por inspeccion del grafico obtenido, ¿en que lugar le recomendarıa a la companıa cons-truir el puerto?. Justificar su recomendacion.

Lugar de construccion:

Justificacion:

10. En el caso que la empresa pueda arrendar un moderno barco, que puede hacer el viajeentre el puerto y la isla a 50Km

h, ¿a que distancia del pueblo serıa conveniente construir

el puerto?

Lugar de construccion:

Bibliografıa

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[2] Benny, E. and Johnson, J. Uses of Technology in the Mathematics Curriculum VersionInternet,1994.

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