1

INSTITUCION EDUCATIVA TECNICO INDUSTRIAL

LUZ HAYDEE GUERRERO MOLINA

PROGRAMA MATEMTÁTICAS

TEMA: NÚMEROS RACIONALES ESTANDAR PENSAMIENTO NUMÉRICO:

1. Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en diferentes contextos y dominios numéricos.

COMPETENCIA:

1. Utilizo las propiedades y relaciones de los números racionales para resolver problemas

en contextos matemáticos y no matemáticos.

1. IDENTIFICACIÓN DE LA GUÍA DE APRENDIZAJE

GUÍA No. 1 GRADO 7° PRIMER PERIDO

2

Así como en los números enteros se realizan operaciones de suma, resta,

multiplicación, división, potenciación y su inversa, lo mismo sucede con los

números racionales.

Ver los siguientes vídeos:

Introducción a la suma y resta de racionales:

https://www.youtube.com/watch?v=S6pQ_73nO-4

Sumas homogéneas:

https://www.youtube.com/watch?v=o6ZMwJb6LfQ

SUMAS Y RESTAS HOMOGÉNEAS

Las sumas y restas son homogéneas cuando los denominadores son

iguales.

Para realizar estas sumas se deben tener en cuenta los siguientes

pasos:

1. Colocar el mismo denominador

2. Sumar los numeradores (tener en cuenta las reglas de la suma

de números enteros)

3. Simplificar si se puede

Simbólicamente la suma y resta se representa así:

𝑎

𝑏+

𝑐

𝑏=

𝑎 + 𝑐

𝑏

Ejemplo No. 1

Juan compra 3

4 de carne y decide comprar

5

4 más, como se observa los

denominadores son iguales, por lo tanto, para realizar la suma se coloca el

mismo denominador y se suman los numeradores.

3

4+

5

4=

3 + 5

4=

8

4=

4

2= 2

2. OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES

3

Como se puede observar, 4 es el mismo denominador, por tanto se coloca 4 y

se suman los numeradores, el resultado es 2 porque se ha hecho un proceso de

simplificación en la operación.

Ejemplo No. 2

−5

9+

13

9−

4

9=

−5 + 13 − 4

9=

4

9

El resultado no se puede simplificar

SUMAS Y RESTAS HETEROGÉNEAS

Una suma o resta es heterogénea cuando sus denominadores son diferentes,

para realizar esta operación se tienen en cuenta tres métodos.

Ver los siguientes vídeos:

https://www.youtube.com/watch?v=LpwvI5dflnY

https://www.youtube.com/watch?v=I5DkWWKYvUo&t=5s

Ejemplo No. 1

Si Juan en su segunda compra hubiese comprado 5

2, el proceso que se haría

para saber cuánta carne compró es el siguiente:

MÉTODO 1

Llevar los denominadores a un mismo número, para ello se debe multiplicar el

numerador y el denominador de la primera fracción por el denominador de la

segunda fracción y luego se debe multiplicar el numerador y el denominador de

la segunda fracción por el denominador de la primera fracción

3

4+

5

2=

3 ∗ 2

4 ∗ 2+

5 ∗ 4

2 ∗ 4=

6

8 +

20

8=

26

4=

13

4

Cómo se observa este método lleva a que los denominadores sean iguales, por

tanto, se procede a sumar homogéneamente, esto es, colocar el mismo

denominador y sumar los numeradores.

4

MÉTODO 2:

Ver el siguiente vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=LpwvI5dflnY&t=21s

Para multiplicar fracciones cuyos denominadores son heterogéneos, es decir,

son diferentes, se deben tener en cuenta los siguientes pasos:

1. Multiplicar los extremos y los medios

2. Multiplicar los denominadores

3. Sumar los numeradores teniendo en cuenta las reglas de la suma

4. Simplificar si se puede

Simbólicamente se representa así:

3

4+

5

2=

3𝑥2 + 5𝑥4

4𝑥2=

6 + 20

8=

26

8=

13

4

MÉTODO 3:

Ver el siguiente vídeo:

https://www.youtube.com/watch?v=I5DkWWKYvUo

En este método se deben tener en cuenta los siguientes pasos:

1. Se debe sacar el mínimo común múltiplo de los denominadores

https://www.youtube.com/watch?v=F4TMn8i_7vg&t=26s

2. Dividir el mcm entre los denominadores

3. Multiplicar el resultado de la división por los numeradores

4. Sumar los numeradores

5. Simplificar si se puede

− 3

4+

5

2−

1

6=

−9 + 30 − 2

12=

19

12

4 2 6 2

2 1 3 2 MCM= 2*2*3=12

1 3 3

1

5

PROPIEDADES DE LA SUMA DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Las propiedades de la adición de números naturales y enteros se extienden

también a los números racionales.

Estas propiedades son:

- Clausurativa: Al sumar dos números racionales se obtiene otro número

racional.

Ejemplo

−3

2+

5

4=

−12 + 10

8= −

2

4= −

1

2

- Asociativa: La adición de tres o más números racionales puede

efectuarse realizando distinta agrupaciones y la suma no se altera.

(a + b) + c = a + (b + c)

4 + 2

8=

6

8+

3

8=

1

2 + (

8 + 12

32)

9

8=

1

2+ (

20

32)

9

8=

32 + 40

64

9

8=

72

64𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟

9

8=

9

8

6

- Conmutativa: Al cambiar el orden de los sumandos la suma no se altera

a + b = b + a

Ejemplo

Ejercicio en clase

Realiza dos ejemplos por cada propiedad de la suma de números racionales.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

Ejemplo

Se tiene un área como muestra la figura, tres cuartos de ella no tiene baldosa y

se quiere colocar dos tercios de tapete rojo al área sin baldosa, ¿Qué parte del

área del piso quedará con tapete rojo?

3

4 𝑥

2

3=

3𝑥2

4𝑥3=

6

12

Se sumó sacando el mínimo común múltiplo

Tres cuarto sin

baldosa Dos tercios de piso sin

baldosa con tapete

rojo

Se divide el área primero en cuatro partes

iguales y de ellas tres partes no tienen

baldosa (figura 1), luego la sala se divide en

tres parte iguales (figura 2). Por último se

toman 2 partes de la sala que no tiene

baldosa y se le coloca un tapete rojo (figura

3). En total el área con tapete rojo es 6/12

porque 6 están de rojo y 12 son las partes en

que está dividida la sala

Sala dividida

en tres partes

iguales

Figura 1 Figura 2 Figura 3

7

Ver los siguientes vídeos:

https://www.youtube.com/watch?v=GfZG5Oo9eNA&t=417s

https://www.youtube.com/watch?v=toKlFcqOcqU&t=141s

Para multiplicar números racionales se deben tener en cuenta los siguientes

pasos:

1. Multiplicar signos

2. Cancelar números iguales que hayan en el numerador y en el

denominador

3. Multiplicar numeradores

4. Multiplicar denominadores

5. Simplificar si se puede

Simbólicamente la multiplicación de números racionales se define así:

Ejemplo 2

(− 9

2) (−

4

3) (−

2

11) = −

36

33= −

12

11

DIVISIÓN DE NUMEROS RACIONALES

Ver el siguiente vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=u-fyHpMVH1k&t=67s

Simbólicamente la división de números racionales se define así:

𝑎

𝑏÷

𝑐

𝑑=

𝑎𝑥𝑑

𝑏𝑥𝑐

Ejemplo No. 1

5

3÷ (−

2

9) = −

5𝑥9

3𝑥2= −

45

6 Se puede realizar el proceso de simplificación

−45

6 = - −

15

2

8

Ejemplo No. 2

Los 8

9 de los ahorros de Ricardo se han destinado para pagar cuatro cuotas del

carro que compró, ¿qué parte de lo ahorrado corresponde a una cuota?

8

9÷

4

1=

8𝑥1

4𝑥9=

8

36=

4

18=

2

9 luego dos novenos corresponde a una cuota de lo

ahorrado.

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE LOS NÚMEROS

RACIONALES

- Clausurativa: Al multiplicar dos números racionales se obtiene otro

número racional.

- Conmutativa: Al cambiar el orden de los productos la multiplicación no

se altera

- Asociativa: La multiplicación de tres o más números racionales puede

efectuarse realizando distinta agrupaciones y el producto no se altera.

- Modulativa: La multiplicación obtenida de un racional con uno es siempre

el mismo número racional.

- Anulativa: Al multiplicar todo número racional por cero el producto que se

obtiene es cero.

- Elemento Neutro: Al multiplicar u número racional por uno se obtiene el

mismo número racional.

a ·1 = a

- Distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

1

8+

3

4=

4+24

32=

28

32=

7

8

9

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE NO. 1

1. Carlos decide realizar una caminata diaria los

días lunes, miércoles y viernes, los siguientes son

los km que él recorrió: 8

5,

7

3,

1

2. ¿Cuántos km en

total recorrió Carlos?

2. Felisa fue a la mina y el día lunes extrajo un cuarto

del grano de platino y el día martes tres cuartos.

¿cuánto de platino extrajo Felisa en los dos días?

3. Cierta madrugada, la temperatura en Bogotá era

de −23

4 oC y, a la misma hora, en barranquilla era

79

3 oC. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre las dos ciudades?

4. El jardín de María tiene dos quintas partes sembradas de rosas, un tercio

sembrada de claveles y el resto de gladiolos. ¿Qué parte del área de

María está sembrada de gladiolos?

5. En un colegio de 910 alumnos, los dos quintos tienen menos de 14 años.

¿Cuántos alumnos tienen menos de 14 años?

TEMA: ECUACIONES LINEALES DE UNA VARIABLE

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS:

1. Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en diferentes contextos y dominios numéricos.

COMPETENCIA:

1. Resuelvo ecuaciones con números racionales en contextos matemáticos y no

matemáticos.

3. ECUACIONES

10

Un mago le pidió a un alumno que siguiera las siguientes instrucciones y el adivinaría el número

que pensó.

1. Piensa un número

2. Duplícalo y añade al resultado 30 unidades

3. Halla la mitad de lo que obtengas y réstale a esa mitad el número que pensaste

Al final, el mago adivinó que el alumno pensó en el número 15. ¿Cómo adivinó el mago el número

que pensó el alumno?

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es una igualdad que involucra una variable (un

valor desconocido o incógnita), la cual tiene como exponente uno y que generalmente se

representa con letras minúsculas.

Ejemplo No. 1:

𝑦 −𝟑

𝟒= −

7

5

Paso 1: El valor desconocido es y y el número racional que está estorbando para que esa

variable quede despejada es menos tres cuarto. Para ello debo pasar al otro lado de la igualdad

dicho número pero positivo.

𝑦 = −7

5+

𝟑

𝟒

Como se observa el número menos siete quintos permanece igual, el número que cambia del

lado de una igualdad a la otra es menos tres cuartos y esto se debe a que si elimináramos dicho

número que está negativo, lo haríamos con su opuesto que es positivo y para mantener la

igualdad este opuesto se colocaría a ambos lados de la misma. Esto es:

𝑦 − 3

4+

3

4= −

7

5+

3

4

Luego lo que queda es:

𝑦 = −7

5+

𝟑

𝟒

4. SITUACIÓN PROBLEMA

5. CONCEPTUALIZACIÓN

11

Paso 2:

Resolver la suma de números racionales

𝑦 =−7.4 + 3.5

5.4

𝑦 =−28 + 15

20

𝑦 = −13

20

𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑝𝑎𝑠𝑜 3 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑖𝑐ℎ𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒𝑛 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟

Ejemplo No. 2

5

3𝑥 −

𝟏

𝟑=

2

5

.

5

3𝑥 =

2

5+

𝟏

𝟑

5

3𝑥 =

2.3 + 1.5

5.3

5

3𝑥 =

6 + 5

15

𝟓

𝟑𝑥 =

11

15

𝑥 = 11

15 ÷

𝟓

𝟑

𝑥 =33

75=

11

25

Se resuelve la suma de racionales El cinco tercios está multiplicando y

para despejarlo se envía al otro lado de

la igualdad dividiendo.

11

25

Se simplifica sacando tercera

En este caso la variable x está acompañada de un número que la

multiplica, para resolver esta ecuación se debe tener en cuenta que lo

primero que se eliminan son las sumas o las restas y luego las

multiplicaciones o divisiones

12

Ejemplo No. 5

Si al dinero que tiene Daniel se le agrega la mitad y $ 100.000 más; Daniel tendrá un $ 1.000.000.

¿Cuánto dinero tiene Daniel?

𝑥 + 1

2𝑥 + 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = 1.000.000

𝑥 + 1

2𝑥 = 1.000.000 − 𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎

𝒙 + 𝟏

𝟐𝒙 = 900.000

2𝑥 + 1𝑥

2= 900.000

3𝑥

2= 900.000

𝑥 = 900.000 .𝟐

𝟑

𝑥 =1.800.000

3

𝑥 = $ 600.000

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE NO. 3

1. Escribir algebraicamente las siguientes expresiones:

El doble de un número x.

El triple de un número x.

El doble de un número x más 5.

El cuadrado del triple de un número x.

Las tres cuartas partes de un número x.

2. En cada caso, hallar el número que cumple:

Su doble más 5 es 35.

Al sumarle su consecutivo obtenemos 51.

Al sumar su doble, su mitad y 15 se obtiene 99.

Su cuarta parte es 15.

Los cien mil pasan al otro lado de la

ecuación a restar

Resuelvo la resta

Resuelvo la suma de las variables

El número 2 que está dividiendo pasa

al otro lado de la igualdad a multiplicar

y el tres que está multiplicando pasa a

dividir

Solución:

Daniel tiene un dinero que no

conocemos y al cual vamos a llamar

x

Luego a ese valor le vamos a

agregar la mitad 1

2𝑥 + $

100.000

Finalmente nos dicen que él tendrá

un $ 1.000.000.

La ecuación que representa dicho

problema será entonces:

Al resolver las operaciones y su

respectiva simplificación, nos damos

cuenta que el dinero que tiene Daniel

son $ 600.000

13

3. Pensé en un número, le sume 1

3 y obtuve

5

9 ¿Qué número obtuve?

4. El perímetro del siguiente triangulo es 43/6 m. Los lados congruentes miden cada uno

10/3 m cada uno. ¿Cuál es la longitud del tercer lado?

5. Cinco veces un número es 1625. ¿Cuál es número?

6. La base de un rectángulo es el doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si su

perímetro es igual a 30 cm?

7. Tres hermanos se reparten 1300 dólares. El mayor recibe el

doble que el mediano y éste el cuádruple del que el pequeño.

¿Cuánto recibe cada uno?

8. En un rectángulo la base mide 18 cm más que la altura y el

perímetro mide 76 cm. ¿Cuáles son las dimensiones del

rectángulo?

9. Lucho leyó en un día la cuarta parte de las páginas de un libro, y al día siguiente, una

tercera parte. Si aún le quedan 75 páginas por leer, ¿cuántas páginas tiene el libro?

10/3 m 10/3 m

x