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I problemi di matematica e la comprensione del testo
Pietro Di MartinoDip. Matematica – Università di Pisa
fox.dm.unipi.it/indagine
Partecipate e divulgate !
Episodio IIl problem solving
Fare un esempio di problema di vita quotidiana
Analizzare se esistono caratteristiche comuni a tutti gli esempi di problema
riconosciuti come tali nella fase precedente
ATTIVITÀ 1
A partire da tali caratteristiche comuni definire cosa è un problema
La definizione di problema
Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta ma non sa come raggiungerlaKarl Duncker, 1945
Psicologia della Gestalt
La definizione di problema
Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta ma non sa come raggiungerlaKarl Duncker, 1945
problema / compito
La definizione di problema
Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta ma non sa come raggiungerlaKarl Duncker, 1945
Quale meta?Esempio di Von Neumann
La definizione di problema
Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta ma non sa come raggiungerlaKarl Duncker, 1945
problema / esercizio
Nella pratica scolastica si tende a far
fare ai ragazzi
tanti problemi o
tanti esercizi?
Pratica tradizionale
Nella pratica scolastica si tende a far
fare ai ragazzi
tanti problemi o
tanti esercizi?
Pratica tradizionale
“Ma se non facciamo
vedere come si fa, poi non riescono a
farlo, sbagliano”
Un contro esempio
“Parliamo di quella certa pratica scolastica ripetitiva secondo la quale per far capire bene (per esempio, una certa tipologia di strategie per la risoluzione di una classe di problemi o esercizi) occorre far fare
alla classe più volte lo stesso esercizio. Nella memoria di alcuni di noi c’è il ricordo fisso della
mortificazione intellettuale e una vaga idea di inutilità e della stupidità di questo modo di fare.
Un conto è ripetere le tabelline fino a farle diventare un automatismo in modo che, senza pensare, uno
dica <45> allo stimolo <5 per 9> (e ciò semplifica poi addirittura la complessità della risoluzione di problemi). Ma ben altro è indurre soluzioni di
problemi per tipologie.Chi non conosce la dichiarazione tipica che molti discenti fanno imbattendosi in un nuovo problema <Noi non siamo ancora arrivati a risolvere questi
problemi>, come se di dovesse saper risolvere solo problemi già una volta risolti”
Bruno D’Amore Problemi e laboratori
Metodologie per l’apprendimento della matematica
Cosa è un problema
Confronto tra inizio e fine primaria
Cosa è un problema TEMPI: una settimana, due lezioni
MODALITA’ D’USO: prima parte (punto 1 e 2)
individuale; seconda parte (punti 3 e 4) a coppie, confronto finale nel gruppo classe
“COSA VI VIENE IN MENTE SE DICO LA PAROLA PROBLEMA?” Raccogliere le risposte individuali e rappresentarle
graficamente.Provare a fare ipotesi risolutiveDisegnare le soluzioni possibili
Cosa è un problema
Classe prima
È una cosa grave
È quando qualcuno si fa male
Quando si perde qualcosa
Quando succede un incidente (qualcuno o qualcosa si rompe, si brucia, si allaga…)
Classe quinta
E’ una cosa difficile da risolvereE’ un esercizio di matematicaE’ un esercizio da risolvereE’ un testo che ti chiede qualcosaE’ un problema di famigliaUn problema di saluteE’ un testo dove ci sono i numeri e più domande
Come si risolve
Classe prima
Pensando…
Provando…
Cercando…
Chiedendo aiuto…
…senza mai arrendersi…!
Classe quinta
Con il dottoreParlandoFacendolo insiemeCon i dati..Con la soluzione…Con il diagrammaCon la risposta…Con l’equivalenzaCon la logicaCon l’espressione
Si fa problem solving a scuola?
No!
In particolare:
Si fa problem solving attraverso l’attività usuale di soluzione di
problemi?
Non vengono accettati da chi?
“Ma se non facciamo vedere come si fa, poi non riescono a farlo, sbagliano”
Stella
“Una delle caratteristiche della matematica è di essere una materia
scientifica, questo comporta molti aspetti positivi, ma anche negativi. Ad esempio non
vengono accettati errori”
Focus sui problemi, sul nuovo e difficileIl primo a dover vincere le proprie paure è l’insegnante stesso
“Ma se non facciamo vedere come si fa, poi non riescono a farlo, sbagliano”
E. De Giorgi
“Un bel problema, anche se non lo
risolvi, ti fa compagnia se ci pensi
ogni tanto”
Perché fare problem solving?Due parole sui problemi. Ve ne sono molti, e solo un studente eccezionale
potrebbe risolverli tutti. Alcuni servono solo a completare dimostrazioni del
testo, altri hanno lo scopo di illustrare i risultati ottenuti e far pratica su di essi.
Molti non vengono proposti tanto per essere risolti, quanto per essere
affrontati. Il valore di un problema non sta tanto nel trovarne la soluzione,
quanto nelle idee che fa sorgere in chi la affronta e nei tentativi messi in atto”
Lavorare su “problemi"
Indicazioni NazionaliLavoro sul problem solving
“Il pensiero matematico è caratterizzato dall’attività di risoluzione di problemi”
Programmi per la scuola elementare
1985
Indicazioni per il
curricolo 2007
“Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione di problemi, che devono essere intesi come questioni autentiche e significative, legate spesso alla vita quotidiana, e non solo esercizi a carattere ripetitivo”
Indicazioni NazionaliLavoro sul problem solving
Le indicazioni nazionali 2012
“...Gradualmente, stimolato dalla guida dell'insegnante e dalla discussione con i pari, l'alunno imparerà ad affrontare con fiducia e determinazione situazioni problematiche, rappresentandole in diverse modi, conducendo le esplorazioni opportune, dedicando il tempo necessario alla precisa individuazione di ciò che è noto e di ciò che s'intende trovare, congetturando soluzioni e risultati, individuando possibili strategie risolutive”
“Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione di problemi, che devono essere intesi come questioni autentiche e significative, legate alla vita quotidiana, e non solo esercizi a carattere ripetitivo o quesiti ai quali si risponde semplicemente ricordando una definizione o una regola...
Lavorare su “problemi"
“Quando devo affrontare un problema mi suscita
un bel po’ di paura, perché sono in quinta e
siccome non sono abbastanza sicura di
quello che scrivo, e ho paura che mi prendano
in giro.”
Luca 5P
“Io con la matematica non mi ci trovo un granchè
bene. L’incubo peggiore che ho a proposito di
questa materia sono quelli arcimaledetti problemi!
perché mi devo spremere il cervello al massimo, e non è
detto che riesca a capire come risolverli.
Io durante le ore di matematica immagino le insufficienze che volano
nella classe felici e allegre.”Paolo 5P
La voce dei bambini
“La matematica non mi piace molto, anzi a dire la verità alcune volto la odio.
Quando la maestra dà un problema che per me è difficile, non riesco a pensare ad altro, sono tutto agitata.
Poi mi faccio coraggio e vado dalla maestra; lei mi spiega cosa devo fare, ma quando non capisco faccio finta di aver capito perché alcune volte mi annoia, allora non
ascolto.
Quando un problema o alcune operazioni non mi riescono sudo, mi sento come mi scoppiasse la testa. E
per stare un minuto da sola vado ad appuntare le matite o vado al bagno.”
Lucia 4P
“Ma c’è una cosa che quando la faccio mi blocco e rimango lì a pensarci e ripensarci perché ho paura di
sbagliare e questa cosa sono i problemi!!.
In certe occasioni quando la maestra Laura mi chiama per andare alla lavagna ho un po’ di paura perché penso
dentro di me: “Se sbaglio?”
Se la maestra ci dà una verifica li per lì sono felice perché credo di finirla a pieni voti ma quando arrivo alle cose difficili mi sento come un tremolio in tutto il corpo e
come un grande freddo
però quando ci penso intensamente e mi riesce ritorno la Sara di sempre.”
Sara 5P
“Il mio rapporto con la matematica alle
elementari non andava molto per la quale.
I Problemi, erano la mia ossessione, non riuscivo
mai a portarne uno (concluso) risolto alla
maestra. ”
Andrea 4S
“Il mio rapporto con la matematica fin dalle origini non è mai stato dei migliori.
Ricordo quando andavo alle elementari e la maestra ci
obbligava a imparare quella odiosa tabellina o a fare
quei problemi per me completamente inutili;
mi sono sempre chiesta: perché studiare una
materia così arida e lontana dal nostro modo di
pensare?!”Jessica 5S
La voce dei bambini...cresciuti
L’educazione matematica invece di sviluppare «la voglia di affrontare
problemi nuovi» sembra alimentare, e nel corso degli anni accentuare, la paura dei problemi, la paura di sbagliare e del
difficile: in conclusione la paura della matematica!
L’educazione matematica sembra sviluppare comportamenti irrazionali
nella risoluzione di problemi!
G. Mandler
“Come succede che l’allievo si trasformi da “curiosity machine” a “mathematical idiot”? Quand’è che appaiono per la prima volta i segni della avversione verso la matematica? Come si riconoscono questi segni al loro insorgere nel contesto dell’apprendimento?”
Pablo Picasso
Todos los niños son artistas. El problema
es cómo seguir siendo artista cuando
creces
Episodio IIIl problem solving e le
competenze linguistiche
ATTIVITÀ 2
A cosa servono le competenze linguistiche nel problem-solving?
Le indicazioni nazionali 2012“La costruzione del pensiero matematico è un processo
lungo e progressivo nel quale concetti, abilità, competenze e atteggiamenti vengono ritrovati, intrecciati, consolidati e sviluppati a più riprese; è un processo che comporta anche difficoltà linguistiche e che richiede un'acquisizione graduale del linguaggio matematico. Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione di problemi, che devono essere intesi come questioni autentiche e significative, legate alla vita quotidiana, e non solo esercizi a carattere ripetitivo o quesiti ai quali si risponde semplicemente ricordando una definizione o una regola”
Secondo molti ricercatori (e insegnanti) le difficoltà degli allievi sono spesso dovute a
difficoltà nella fase iniziale di comprensione
Le difficoltà nei problemi: le interpretazioni dei ricercatori
Spesso sembra mancare una effettiva ricostruzione della situazione problematica
Nella ricerca queste difficoltà sono state messe in evidenza con due tecniche:
la richiesta di riformulare il testo del problema (re-telling)
la richiesta di drammatizzarlo
“Joe ha 3 palline.
Tom ha 5 palline più di Joe. Quante palline ha Tom?”
RIFORMULAZIONE
“Joe ha 3 palline. Tom ha 5 palline.
Quante palline ha Tom?”
viene ripetuto così
“ Pete ha 3 mele. Ann gli dà altre 5 mele. Quante mele ha adesso Pete?"
I: (Intervistatore): Proviamo insieme. Io ti leggo la storia frase per frase e tu la devi rappresentare usando questi pupazzi e questi blocchi. Facendo così troverai la
risposta. –Pete ha 3 mele.B: (Bambina): (prende 3 blocchi e li mette con il pupazzo
che rappresenta Pete).I: O.K. –Ann gli dà altre 5 mele.
B: E’ impossibile!I: Perché?
B: Perché Ann non ha mele.I: Puoi darle quante mele vuoi.
DRAMMATIZZAZIONE
La comprensione del testo è la prima fase di un processo risolutivo:
• Si comprende il problema
• Si compila un piano• Si sviluppa il piano• Si procede alla verifica
George Polya
La comprensione del testo è la prima fase di un processo risolutivo:
Spesso sembra mancare una effettiva ricostruzione della situazione
problematica
Difficoltà di comprensione
Rinuncia alla comprensione
Rosetta Zan
“A volte però i comportamenti messi in atto dai bambini di fronte ai problemi
verbali sembrano testimoniare una rinuncia a priori a comprendere, in quanto le
strategie utilizzate sembrano prescindere dalla comprensione del testo”
La comprensione del testo è la prima fase di un processo risolutivo:
La comprensione del testo dovrebbe essere la prima fase di un processo
risolutivo:
Spesso sembra mancare una effettiva ricostruzione della situazione
problematica
Rinuncia alla comprensione
• Trovando i numeri e sommando• Cercando di indovinare l’operazione• Guardando i numeri e da quelli
risalire all’operazione ‘giusta’• Provando tutte le operazioni e
scegliere in base al risultato• Cercando ‘parole chiave’• Decidendo se il risultato deve
essere maggiore o minore dei numeri dati, e scegliendo l’operazione di conseguenza
• A caso
Comportamenti “tipici” degli allievi di fronte ad un problema scolastico
Larry Sowder
COMPORTAMENTI ‘PATOLOGICI’
STATI UNITI
45.000 studenti "31 col resto di 12" (29%)
"31" (18%)
FRANCIA
…i bambini ‘rispondono’!!!!
Un camion dell’esercito può portare 36 soldati. Se bisogna trasportare 1128 soldati alla loro base, quanti camion servono?
Su un battello ci sono 36 pecore. 10 muoiono affogate. Quanti anni ha il capitano?
ISRAELE
10° + 40° = 50°
Quale sarà la temperatura dell’acqua in un recipiente se metto insieme una caraffa d’acqua a 10° gradi ed una a 40° ?
Il ruolo delle scelte didatticheNell’attività di risoluzione di problemi la pratica
didattica è molto influenzata dalla tradizione e dai libri di testo...
DATI
OPERAZIONI
Si sta veramente suggerendo di leggere al bambino? O in realtà
si suggerisce una lettura selettiva del
testo e un procedimento
automatico e non strategico?
STRUTTURA MATEMATICA
STRUTTURA NARRATIVA
Rosetta Zan
La struttura del problema verbale
STRUTTURA NARRATIVA
Permettere la ricostruzione della
situazione problematica
Agevolare l’attivazione del pensiero logico-
scientifico necessario per la risoluzione del
problema
Favorire pratiche di
controllo sul risultato
In realtà è usata e vista esclusivamente come
contenitore di dati che servono per rispondere alla
domanda
PROBLEMA = CONTESTO DOMANDA+
CONTENITORE DI DATI
Su un battello ci sono 36 pecore.
10 muoiono affogate.
Quanti anni ha il capitano?
PROBLEMA
CONTESTO
DOMANDA+
CONTENITORE DI DATI
…i bambini rispondono!
Lettura selettiva del testo• Dati numerici• Parole chiave
Quale sarà la temperatura dell’acqua in un recipiente se metti insieme una caraffa d’acqua a 10° e
una a 40°?
10° + 40° = 50°
Lettura selettiva di un testo
comprendere il testo di un problema
‘capire’ come si deve fare per avere la risposta
…costruire una rappresentazione mentale della
situazione (un ‘modello mentale’)
La comprensione del testo
Lettura selettiva di un testo
comprendere il testo di un problema
…costruire una rappresentazione mentale della situazione (un ‘modello mentale’)
La comprensione del testo
Lettura selettiva di un testo
comprendere il testo di un problema
…costruire una rappresentazione mentale della situazione (un ‘modello mentale’)
Lavorare sulla comprensione è una scelta didattica, meno semplice di scorciatoie spesso
suggerite dai libri di testo...
Lavorare sulla comprensione è una scelta didattica, meno semplice di scorciatoie spesso
suggerite dai libri di testo...
Lettura selettiva del testo
Parole chiave
Dati numerici
Lavorare sulla comprensione è una scelta didattica, meno semplice di scorciatoie spesso
suggerite dai libri di testo...
comprendere il testo di un problema
…costruire una rappresentazione mentale della situazione (un ‘modello mentale’)
...obiettivi in linea con i traguardi per competenze delle Indicazioni!
Richiede tempo, tempo “ben speso” perché legato agli obiettivi formativi essenziali
dell’educazione matematica...
Prova 2a Primaria – 2012/13
Dati numerici
Parola chiave
Risposta: 9+10=19!
La comprensione del testo è la prima fase di un processo risolutivo:
La comprensione del testo dovrebbe essere la prima fase di un processo
risolutivo:
Spesso sembra mancare una effettiva ricostruzione della situazione
problematica
Difficoltà di comprensione
Rinuncia alla comprensione
Rosetta Zan
La struttura narrativa del problema verbale
“Se la struttura matematica è in primo piano per quanto riguarda le scelte dell’insegnante nell’attività
di risoluzione di problemi, è soprattutto alla struttura narrativa che fa riferimento il processo di comprensione – o rappresentazione – del problema. E’ quindi solo parlando esplicitamente di struttura
narrativa che possiamo riconoscere in modo adeguato l’importanza della fase di rappresentazione del problema ”
Rosetta Zan
La struttura narrativa del problema verbale
“In un problema le informazioni rilevanti per comprendere una storia non sono di tipo logico, in
particolare non sono necessariamente le informazioni necessarie per risolverlo. Quelli che in un problema spesso vengono liquidati come 'dettagli' irrilevanti
possono avere un ruolo fondamentale per permettere al bambino di comprendere e quindi di rappresentare
la storia, per poi fondare su tale rappresentazione i processi risolutivi ”
Da una ricerca di D’Amore et al. La ri-formulazione dei testi dei problemi scolastici standard
Ad allievi delle scuole elementari e medie viene proposto il testo di un problema standard. Si
richiede – senza risolverlo! – di riformularlo per proporlo ad altri allievi…
…nel modo che ritengono migliore
Tre operai impiegano 6 ore a fare un certo lavoro.
Quanto tempo impiegheranno 2 operai a fare lo stesso lavoro?
Tre operai impiegano 6 ore a fare un certo lavoro.
Quanto tempo impiegheranno 2 operai a fare lo stesso lavoro?
Tre operai fanno tutti i giorni un certo lavoro, tutti insieme, e ogni volta impiegano 6 ore.
Ma uno di loro si ammala e non va a lavorare.Quel giorno, quindi, gli operai sono solo in 2, ma
devono fare lo stesso lavoro.Secondo te, impiegheranno più tempo o meno
tempo? Perché?Calcola quanto tempo impiegheranno
Viene riformulato così…
Tre operai impiegano 6 ore a fare un certo lavoro.Quanto tempo impiegheranno 2 operai a fare lo
stesso lavoro?
Tre operai impiegano 6 ore a fare un certo lavoro.Quanto tempo impiegheranno 2 operai a fare lo
stesso lavoro?
AIUTO! Mi fa male il piede! AIUTO
Tre operai impiegano 6 ore a fare un certo lavoro.Quanto tempo impiegheranno 2 operai a fare lo
stesso lavoro?
POVERO GIACOMO POVERINO SI DEVE ESSERE FATTO TANTO MALE
Queste modifiche del testo…• …non sono finalizzate a ‘facilitare’ i processi
risolutivi, ad aumentare cioè le probabilità di ottenere risposte corrette riducendo la complessità del problema
• sono invece finalizzate a restituire al contesto la complessità necessaria: per comprenderlo (tanto che il testo
diventa più lungo) per ancorarlo saldamente alla richiesta ed in definitiva per basare su tale
comprensione eventuali processi risolutivi
Tre operai fanno tutti i giorni un certo lavoro, tutti insieme, e ogni volta impiegano 6 ore.
Ma uno di loro si ammala e non va a lavorare.Quel giorno, quindi, gli operai sono solo in 2, ma
devono fare lo stesso lavoro.Secondo te, impiegheranno più tempo o meno
tempo? Perché?Calcola quanto tempo impiegheranno
Non è un dato essenziale per risolvere il problema…
Ma è un dato essenziale per comprenderlo!
Carlo compra un quaderno e due penne. Spende 2 €. Una penna costa 0,6 €.
Quanto costa il quaderno?
non ha una struttura narrativa consistente, in particolare non descrive una situazione
problematica!
CONTESTO
DOMANDA
Bei problemi si possono......costruire
Esempio Rosetta Zan
Carlo compra un quaderno e due penne. Spende 2 €. Una penna costa 0,6 €.
Quanto costa il quaderno?
Andrea deve comprare un quaderno ma non può andare in cartoleria.
Chiede allora a Carlo di comprarglielo.
Carlo però oltre al quaderno per Andrea compra per sè due penne da 0,6 € l’una.
Spende in tutto 2 €.
Quando Andrea gli chiede: ‘Quanto ti devo dare per il mio quaderno?’, Carlo non sa cosa rispondere.
Come può fare Carlo a sapere quanto costa il quaderno di Andrea?
Queste modifiche del testo…• …non sono finalizzate a ‘facilitare’ i processi
risolutivi, ad aumentare cioè le probabilità di ottenere risposte corrette riducendo la complessità del problema
• sono invece finalizzate a restituire al contesto la complessità necessaria: per comprenderlo (tanto che il testo
diventa più lungo) per ancorarlo saldamente alla richiesta ed in definitiva per basare su tale
comprensione eventuali processi risolutivi
Giacomo ha nel suo borsellino € 15,00; suo fratello Marco ha il doppio dei suoi soldi e il fratello più piccolo, Antonio, ha € 5,00 meno di Giacomo.
CONTESTO
DOMANDA
Esempio sperimentazione Follonica
Hanno in tutto € 60,00? Se no, quanto manca?
non ha una struttura narrativa consistente, in particolare non descrive una situazione
problematica!
Giacomo ha nel suo borsellino € 15,00; suo fratello Marco ha il doppio dei suoi soldi e il fratello più piccolo, Antonio, ha € 5,00 meno di Giacomo.
Hanno in tutto € 60,00? Se no, quanto manca?
Giacomo, Marco e Antonio sono tre fratelli. Hanno visto un gioco per la Play Station che vorrebbero comprare e così hanno deciso di mettere insieme i loro risparmi per vedere se hanno i soldi necessari per farlo. Giacomo ha € 15,00; Marco ha il doppio dei suoi soldi e Antonio, ha € 5,00 meno di Giacomo.Il gioco costa € 60,00. Se non hanno i soldi necessari, la nonna ha detto che darà loro i soldi che mancano: quanto dovranno chiedere alla nonna?
Costruire un bel problema
Prendere un problema dal vostro libro di testo e provarlo a modificare in questo senso
ATTIVITÀ 3
Babbo, sono vivo, e... è
vero. Sono un bambino vero!
GRAZIE
