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7/24/2019 Hidroligia Ultimo

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UJCM CURSO: HIDROLOGIA GENERAL TEMA: METODOS ESTADISTICOS

Docente: ING.KARLA CORNEJO LECAROS pgina 1

MTODO DE GUMBEL.

Para calcular el caudal mximo para un periodo de retorno determinado se usa la ecuacin:

1

Siendo:

2Donde:

Caudal mximo para un periodo de retorno determinado, en m3/s.N= nmero de aos de registro.

Qi =Caudales mximos anuales registrados, en m3/s. , Caudal promedio, en m3/sT= Periodo de retorno.

, Constantes funcin de N, tabla 6.13 (Variables reducidas)= Desviacin estndar de los caudales.Para calcular el intervalo de confianza, o sea, aquel dentro del cual puede variar

dependiendo

del registro disponible se hace lo siguiente:

1.

Si =1-1/T vara entre 0.20 y 0.80, el intervalo de confianza se calcula con la frmula:

3Donde:

N= nmero de aos de registro

=constante en funcin de , tabla 6.14.

= Constantes funcin de N, tabla 6.13= Desviacin estndar de los caudales (ecuacin 2)


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2. Si >0.90, el intervalo se calcula como: 1.14 4

La zona de comprendida entre 0.8 y 0.9 se considera la transicin, donde

es proporcional al

clculo con las ecuaciones 3 y 4, dependiendo del valor de .

El caudal mximo de diseo para un cierto periodo de retorno, ser igual al caudal mximo con la

ecuacin (1), ms el intervalo de confianza, calculado con (3) (4).

+ 5EJEMPLO DEL METODO DE GUMBEL.

Se tiene el registro de caudales mximos de 30 aos para la estacin 9-3 Angostura, como se muestra

en la tabla 6.15.

En este ro se desea construir una presa de almacenamiento.

Calcular el caudal de diseo para el vertedor de demasas, para perodos de retorno 50 y 100 aos

respectivamente.

Ao(1)

Caudal

m3/s(2) Ao(1)

Caudal

m3/s(2)

1970 1660 1985 563

1971 917 1986 520

1972 3800 1987 360

1973 1410 1988 367

1974 2280 1989 658

1975 618 1990 824

1976 683 1991 850

1977 934 1992 1230

1978 779 1993 522

1979 921 1994 581

1980 876 1995 557

1981 740 1996 818

1982 1120 1997 10301983 610 1998 418

1984 1150 1999 953


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SOLUCIN.

Ao(1)

Caudal

m3/s(2) Q2(M3/S)

1970 1660 2755600

1971 917 840889

1972 3800 14440000

1973 1410 1988100

1974 2280 5198400

1975 618 381924

1976 683 466489

1977 934 872356

1978 779 606841

1979 921 848241

1980 876 767376

1981 740 547600

1982 1120 1254400

1983 610 372100

1984 1150 1322500

1985 563 316969

1986 520 270400

1987 360 129600

1988 367 134689

1989 658 432964

1990 824 678976

1991 850 722500

1992 1230 15129001993 522 272484

1994 581 337561

1995 557 310249

1996 818 669124

1997 1030 1060900

1998 418 174724

1999 953 908209

SUMATORIA 28749 40595065

Paso 1.

Calcular el caudal promedio.

=


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=958.3m3/s 958.3918338.89Paso 2.

Clculo de la Desviacin estndar de los caudales.

= 1 4059506530918338.893 0 1 670.6893

Paso 3.

Clculo de los coeficientes N, YN

Paso 4.

Clculo del Caudal Mximo.

Para los periodos de retorno de 50 y 100 aos.

N 1.11238YN 0.53622


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Para T=50

958.3 670.68931.112380.5362250

2993.68m3/s

Para T=100

958.3 670.68931.11238 0.53622100 3411.60m3/sPaso 5.

Clculo de .

=1-1/T

Para T=50aos

=1-1/50=0.98

Para T=100aos

T=1-1/100=0.99

Paso 6.

Clculo del intervalo de confianza. Como en ambos casos vemos que es mayor que 0.90,Utilizaremos la ecuacin:

1.14 ... 687.34m3/s

Paso 7.

Clculo del caudal de diseo.

+ Para T=50


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2993.68 + 687.34 3681.023/ Para T=100

3411.60 + 687.34 4098.943/


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MTODO DE NASH

Nash considera que el valor del caudal para un determinado periodo de retorno se puede calcular

con la ecuacin:

+loglog + 1 6Donde:, = constantes en funcin del registro de caudales mximos anuales.=caudal mximo para un periodo de retorno determinado, en m3/s=periodo de retorno, en aos.Los parmetros

se estiman utilizando el mtodo de mnimos cuadrados, con la ecuacin lineal:

+ , utilizando las siguientes ecuaciones:

7 = = 8

Siendo:

loglog + 1 9Donde:

N= nmero de aos de registro

=caudales mximos anuales registrados, en m3/s = , Caudal medio, en m3/s.

= constante para cada caudal registrado, en funcin de su periodo de retorno correspondiente. = , valor medio de lasPara calcular los valores de correspondientes a los se ordenan estos en forma decreciente,asignndole a cada uno nmero de orden ; al mximo le corresponder el valor 1, al inmediato


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siguiente 2, etc. Entonces, el valor del periodo de retorno para se calcular utilizando la formulade Weibull con la ecuacin:

+ 1

10Finalmente el valor de se obtiene sustituyendo el valor (10) en (9).El valor dentro del cual puede variar el calculado por la ecuacin (6), se obtiene como:

2 1 + 1 2 1 11Siendo:

De la ecuacin (11), se ve que solo vara con X, la cual se calcula de la ecuacin (9), sustituyendo elvalor del periodo de retorno para el cual se calcul el . Todos los dems trminos queintervienen en la ecuacin (11) se obtienen de los datos.

El caudal mximo de diseo correspondiente a un determinado periodo de retorno ser igual al

caudal mximo obtenido de la ecuacin (6), ms el intervalo de confianza calculado segn la

ecuacin (11), es decir:

+


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EJEMPLO DEL METODO DE NASH

Para los mismos datos de la tabla 6.15, del ejemplo 6.7, calcular el caudal de diseo utilizando el

mtodo de Nash para periodo de retorno de 50 y 100 aos.

TABLA 6.15. CAUDALES MXIMOS

Ao(1) Caudal m3/s(2) Ao(1) Caudal m3/s(2)

1970 1660 1985 563

1971 917 1986 520

1972 3800 1987 360

1973 1410 1988 367

1974 2280 1989 658

1975 618 1990 824

1976 683 1991 850

1977 934 1992 12301978 779 1993 522

1979 921 1994 581

1980 876 1995 557

1981 740 1996 818

1982 1120 1997 1030

1983 610 1998 418

1984 1150 1999 953

Solucin:

1.- Ordenando en forma descendente, los valores de los caudales de la columna 2, de la tabla 6.15 se

obtiene la tabla 6.16

2.- Clculos Preliminares

+ /m X= log log

+ +


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m (1) Caudal m3/s(2) T (3) T/(T-1) (4) X (5) Q*X (6) Q2 (7) X2 (8)

1 3800 31.0000 1.0333 -1.8465 -7016.61 14440000 3.4095

2 2280 15.5000 1.0690 -1.5381 -3506.97 5198400 2.3659

3 1660 10.3333 1.1071 -1.3545 -2248.54 2755600 1.8348

4 1410 7.7500 1.1481 -1.2219 -1722.83 1988100 1.4930

5 1230 6.2000 1.1923 -1.1170 -1373.88 1512900 1.2476

6 1150 5.1667 1.2400 -1.0296 -1183.99 1322500 1.0600

7 1120 4.4286 1.2917 -0.9541 -1068.58 1254400 0.9103

8 1030 3.8750 1.3478 -0.8873 -913.90 1060900 0.7873

9 953 3.4444 1.4091 -0.8270 -788.12 908209 0.6839

10 934 3.1000 1.4762 -0.7717 -720.81 872356 0.5956

11 921 2.8182 1.5500 -0.7205 -663.57 848241 0.5191

12 917 2.5833 1.6316 -0.6724 -616.61 840889 0.4521

13 876 2.3846 1.7222 -0.6269 -549.19 767376 0.3930

14 850 2.2143 1.8235 -0.5835 -495.98 722500 0.3405

15 824 2.0667 1.9375 -0.5418 -446.40 678976 0.2935

16 818 1.9375 2.0667 -0.5013 -410.08 669124 0.2513

17 779 1.8235 2.2143 -0.4619 -359.81 606841 0.2133

18 740 1.7222 2.3846 -0.4232 -313.15 547600 0.1791

19 683 1.6316 2.5833 -0.3849 -262.90 466489 0.1482

20 658 1.5500 2.8182 -0.3468 -228.21 432964 0.1203

21 618 1.4762 3.1000 -0.3086 -190.71 381924 0.0952

22 610 1.4091 3.4444 -0.2699 -164.66 372100 0.0729

23 581 1.3478 3.8750 -0.2304 -133.88 337561 0.0531

24 563 1.2917 4.4286 -0.1896 -106.74 316969 0.035925 557 1.2400 5.1667 -0.1468 -81.76 310249 0.0215

26 522 1.1923 6.2000 -0.1011 -52.75 272484 0.0102

27 520 1.1481 7.7500 -0.0510 -26.49 270400 0.0026

28 418 1.1071 10.3333 0.0061 2.57 174724 0.0000

29 367 1.0690 15.5000 0.0757 27.77 134689 0.0057

30 360 1.0333 31.0000 0.1736 62.49 129600 0.0301

SUMATORIA 28749 -17.8528 -25554.28 40595065 17.6256

3.- Calculo del Qm y Xm

Qm= 958.30 m3/s.

Xm= -0.5951

= =


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4.- Calculo de los Parmetros a y b;

b= -1206.30

a= 240.44

5.- Calculo del Caudal Mximo.

T= 50 aos Qmax= 2721.5684 m3/s.

T= 100 aos Qmax= 3087.3544 m3/s.

6.- Calculo de las desviaciones estndar y covarianza

Sxx= 210.0451

Sqq= 391346949Sxq= -253378.0648

7.- Calculo del Intervalo de Confianza

El valor de X se calcula para cada periodo de retorno

T= 50 aos X= -2.0568T= 100 aos X= -2.3600

T= 50 aos Q= 429.5426 m3/s.

T= 100 aos Q= 491.4601 m3/s.

= =

+ +

2 1 + 1 2 1 X= log log


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8.- Calculo del Caudal de Diseo

T= 50 aos Qd= 3151.11 m3/s.

T= 100 aos Qd= 3578.81 m3/s.

+


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MTODO DE LEVEDIEV.

Este mtodo est basado en suponer que los caudales mximos anuales son variables aleatorias

Pearson tipo III. El caudal de diseo se obtiene a partir de la frmula:

+ 1 2

Donde:

+ 1 13Y

14Los trminos que aparecen en las ecuaciones anteriores tienen el siguiente significado.

A=Coeficiente que vara de 0.7 a 1.5, dependiendo del nmero de aos del registro. Cuantos ms

aos de registro haya, menor ser el valor del coeficiente. Si N es mayor de 40aos, se toma el valor

de 0.7.

= coeficiente de asimetra, se calcula como: 1

= 15Por otra parte, Levediev recomienda tomar los siguientes valores:

2Para avenidas producidas por deshielo. 3Para avenidas producidas por tormentas. 5Para avenidas producidas por tormentas en cuencas ciclnicas.Entre estos valores y el que se obtiene de la ecuacin (15), se escoge el mayor

= coeficiente de variacin, que se obtiene de la ecuacin:

1= 16=coeficiente que depende de los valores de (ecuacion16) y de la probabilidad P=1/T, su valor seencuentra de la figura 6.3

N= Aos de observacin.


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=intervalo de confianza, en m3/s=caudal de diseo, en m3/s=caudales mximos anuales observados, en m3/s=caudal promedio, en m3/s, el cual se obtiene de: = 17=Caudal mximo probable obtenido para un periodo de retorno determinado, en m3/s.

EJEMPLO DEL MTODO DE LEVEDIEV.

Para los mismos datos de la tabla 6.15, del ejemplo 6.7, calcular el caudal de diseo utilizando el

mtodo de Levediev para periodo de retorno de 50 y 100 aos.

TABLA 6.15. CAUDALES MXIMOS

Ao(1) Caudal m3/s(2) Ao(1) Caudal m3/s(2)

1970 1660 1985 563

1971 917 1986 520

1972 3800 1987 360

1973 1410 1988 367

1974 2280 1989 658

1975 618 1990 824

1976 683 1991 850

1977 934 1992 1230

1978 779 1993 522

1979 921 1994 5811980 876 1995 557

1981 740 1996 818

1982 1120 1997 1030

1983 610 1998 418

1984 1150 1999 953

SOLUCION1.- Obtencin del Caudal Medio

2.- Clculos Previos

Qm= 958.30 m3/seg =


15/17



AOQ (m3/seg)

1970 1660 0.7322 0.5362 0.3926

1971 917 -0.0431 0.0019 -0.0001

1972 3800 2.9654 8.7933 26.07541973 1410 0.4714 0.2222 0.1047

1974 2280 1.3792 1.9022 2.6236

1975 618 -0.3551 0.1261 -0.0448

1976 683 -0.2873 0.0825 -0.0237

1977 934 -0.0254 0.0006 0.0000

1978 779 -0.1871 0.0350 -0.0065

1979 921 -0.0389 0.0015 -0.0001

1980 876 -0.0859 0.0074 -0.0006

1981 740 -0.2278 0.0519 -0.0118

1982 1120 0.1687 0.0285 0.00481983 610 -0.3635 0.1321 -0.0480

1984 1150 0.2000 0.0400 0.0080

1985 563 -0.4125 0.1702 -0.0702

1986 520 -0.4574 0.2092 -0.0957

1987 360 -0.6243 0.3898 -0.2434

1988 367 -0.6170 0.3807 -0.2349

1989 658 -0.3134 0.0982 -0.0308

1990 824 -0.1401 0.0196 -0.0028

1991 850 -0.1130 0.0128 -0.0014

1992 1230 0.2835 0.0804 0.0228

1993 522 -0.4553 0.2073 -0.0944

1994 581 -0.3937 0.1550 -0.0610

1995 557 -0.4188 0.1754 -0.0734

1996 818 -0.1464 0.0214 -0.0031

1997 1030 0.0748 0.0056 0.0004

1998 418 -0.5638 0.3179 -0.1792

1999 953 -0.0055 0.0000 0.0000

SUMATORIA 28749 14.2049 28.0063

PROMEDIO 958.30

N= 30

3.- Calculo del coeficiente de Variacin Cv.

-1 ( ) ( )


16/17



Cv= 0.6881

4.- Determinacin del Coeficiente de Asimetra Cs.

Cs= 2.8652

Por otra parte, Levediev recomienda tomar los siguientes valores:

Para avenidas producidas por deshielo.

Para avenidas producidas por tormentas.

Para avenidas producidas por tormentas en cuencas ciclnicas.

Entre estos valores y el que se obtiene de la ecuacin (15), se escoge el mayor.

Consideramos que las avenidas es producida por tormentas

Cs= 2.0643

De los dos coeficientes de asimetra se selecciona el mayor

Cs= 2.8652

5.- Obtencin del coeficiente K

Nos vamos a la tabla con la probabilidad y coeficiente de asimetra y encontramos K.

Periodo de Retorno probabilidad Cs KT= 50 aos 2.00% 2.8652 3.12

T= 100 aos 1.00% 2.8652 3.98

6.- Calculo de Er Coeficiente que depende del coeficiente de variacin (Cv).

Nos vamos al grafico y con la probabilidad y el Cv y encontramos el Er.

=

=


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Periodo de Retorno probabilidad Cv Er

T= 50 aos 2.00% 0.6881 0.95

T= 100 aos 1.00% 0.6881 1.02

7.- Calculo del Caudal Mximo

Periodo de Retorno Qmax unidad

T= 50 aos 3015.68 m3/seg

T= 100 aos 3582.78 m3/seg

8.- Calculo del Intervalo de Confianza

A=Coeficiente que vara de 0.7 a 1.5, dependiendo del nmero de aos del registro. Cuantos ms

aos de registro haya, menor ser el valor del coeficiente. Si N es mayor de 40aos, se toma el valorde 0.7.

A= 0.85

Periodo de Retorno

unidad

T= 50 aos 444.60 m3/seg

T= 100 aos 567.12 m3/seg

9.- Calculo del Caudal de Diseo

Periodo de Retorno Qd unidad

T= 50 aos 3460.28 m3/seg

T= 100 aos 4149.90 m3/seg

+

+

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