Hayt Capitulo 11

William Hayt Capitulo 11

INDICE DE EJERCICIOS

EJERCICIO 11.1.......................................................................................................................................1EJERCICIO 11.2.......................................................................................................................................2EJERCICIO 11.3.......................................................................................................................................3EJERCICIO 11.4.......................................................................................................................................5EJERCICIO 11.5.......................................................................................................................................5EJERCICIO 11.6.......................................................................................................................................6EJERCICIO 11.7.......................................................................................................................................8EJERCICIO 11.8.....................................................................................................................................10EJERCICIO 11.9.....................................................................................................................................12EJERCICIO 11.10...................................................................................................................................14EJERCICIO 11.11...................................................................................................................................15EJERCICIO 11.12...................................................................................................................................16EJERCICIO 11.13...................................................................................................................................17EJERCICIO 11.14...................................................................................................................................19EJERCICIO 11.15...................................................................................................................................20EJERCICIO 11.16...................................................................................................................................20EJERCICIO 11.17...................................................................................................................................23EJERCICIO 11.18...................................................................................................................................24EJERCICIO 11.19...................................................................................................................................26EJERCICIO 11.20...................................................................................................................................28EJERCICIO 11.21...................................................................................................................................29EJERCICIO 11.22...................................................................................................................................29EJERCICIO 11.23...................................................................................................................................31EJERCICIO 11.24...................................................................................................................................32EJERCICIO 11.25...................................................................................................................................34EJERCICIO 11.26...................................................................................................................................35EJERCICIO 11.27...................................................................................................................................37EJERCICIO 11.28...................................................................................................................................36EJERCICIO 11.29...................................................................................................................................41EJERCICIO 11.30...................................................................................................................................42EJERCICIO 11.31...................................................................................................................................44EJERCICIO 11.32...................................................................................................................................45EJERCICIO 11.33...................................................................................................................................47EJERCICIO 11.34...................................................................................................................................48EJERCICIO 11.35...................................................................................................................................49EJERCICIO 11.36...................................................................................................................................51EJERCICIO 11.37...................................................................................................................................53EJERCICIO 11.38...................................................................................................................................54EJERCICIO 11.39...................................................................................................................................57EJERCICIO 11.40...................................................................................................................................60EJERCICIO 11.41...................................................................................................................................63


EJERCICIOS DEL LIBRO DE WILLIAN HAITTYCAPITULO 11

EJERCICIO 11.1

Muestre que es una solución de la ecuación vectorial de Helmholtz, sección 11.1,

ecuación (15), para y cualquier y A.

La ecuación (15) mostrada es la siguiente:

Derivamos: :

Reemplazando lo que derivamos en la ecuación (15):

Lqqd es solución de la ecuación (15), con

EJERCICIO 11.2

-1-


Un campo E en el espacio libre esta dado como E = az V/m. Encuentre:

a)

b)

c)

En el espacio libre.

ax A/m

EJERCICIO 11.3

Una onda plana uniforme en el espacio libre esta dada por Es = ax V/m. Determine: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) Hs; g) en z = 8mm, t = 6ps.

a)

-2-


b)

c)

d)

e) En el espacio libre tenemos:

f)

g)

-3-


EJERCICIO 11.4

Una onda plana uniforme en el espacio libre que se propaga en la dirección –ay a una frecuencia de 10 Mhz. Si E = 400 cos wt az V/m en y = 0, escríbanse las expresiones para: a) E (x,y,z,t); b) Es (x,y,z); c) Hs (x,y,z,t); d) H (x,y,z).

a)

b)

-4-


c)

d)

EJERCICIO 11.5

Una onda plana uniforme de 150 MHz en el espacio libre esta viajando en la dirección . La

intensidad de campo eléctrico tiene un máximo de amplitud de en P(10,30,-40) a t =

0. Encuentre:

a) w; b) ; c) ; d) v; e) ; f) E(x,y,z); g) Use una o mas ecuaciones de Maxwell para encontrar H(x,y,z,t).

Resolución de la parte (a):

Resolución de la parte (b):

Resolución de la parte (c):

-5-


Resolución de la parte (d):

en el espacio libre.

Resolución de la parte (e):

Resolución de la parte (f)

Resolución de la parte (g)

EJERCICIO 11.6

La intensidad de campo eléctrico de una onda plana uniforme de 300 Mhz en el espacio libre, esta dada como V/m. a) Encuentre w, b) Encuentre E en t = 1ns, z

=10 cm; c) ¿Cuál es H máx.¿ .

a)

b)

-6-


c)

EJERCICIO 11.7

Una onda que se propaga en un dieléctrico no disipativo tiene las componentes

V/m y A/m.

Si la onda está viajando con velocidad de 0,5c, Encuentre a) μR, b) εR, c) β, d) λ, e) η.

a) Para un medio sin pérdidas (o dieléctrico no disipativo) se tiene que:

Dado que: , reemplazando en la ecuación anterior se obtiene:

-7-


Ecuación (1)

Utilizando la definición de impedancia intrínseca de un medio se obtiene:

Ecuación (2)

Multiplicando la ecuación (1) por la ecuación (2) se obtiene:

b) Dividiendo la ecuación (1) para la ecuación (2) se obtiene:

c)

-8-


d)

e)

EJERCICIO 11.8

Sea v/m para una onda plana uniforme de 250 Mhz que se propaga en un dieléctrico perfecto. Si la amplitud máxima de H es 3 A/m, encuentre β, η, λ, V, Єr, μr, E(x,y,z,t)

f= 250Mhz

-9-


-10-


EJERCICIO 11.9

Una onda plana uniforme V/m, tiene una frecuencia de en un

material dieléctrico no disipativo para el cual .

a) Encuentre , , , , y ;

b) Calcule en el origen para y

a)

-11-


b)

-12-


EJERCICIO 11.10

Una onda plana de 1 Mhz con una amplitud de 25 V/m se propaga en un material para el cual . La propagación es en la dirección ax. a) Encuentre . b) Calcule E(t)

si Ez(x,y,z,t) = 0 y Ey = 25 V/m en P(10,10,10) en el instante 10-7s. c) Encuentre H(t).

a)

-13-


b)

c)

EJERCICIO 11.11

Con lo datos de la siguiente figura para el piranol 1467, determine los valores de y a Hz para una onda plana uniforme.

MHz

-14-


m mhos/m

rad/m

m

m/s

EJERCICIO 11.12

Una onda que tiene una amplitud de Ex0= 600 V/m en (0,0,0, t=0) se propaga en la dirección az en un material donde /m, . Si

a) Ex en (0,0,2 cm, 0.1 ns); b) Hy en (0,0,2 cm, 0.1 ns).

-15-


EJERCICIO 11.13

Un dieléctrico disipativo está caracterizado por a 10 MHz. Sea

y encuentre:

-16-


-17-


EJERCICIO 11.14

Los parámetros para una onda plana uniforme de 50Mhz que se propaga en la dirección az de un cierto material disipativo son y

Encuentre

Si V/mt en z = 0, calcule Hs en z = 2mt.

=0.25+j2

EJERCICIO 11.15

-18-


Una señal de radar de 30 Ghz puede representarse como una onda plana uniforme en una region suficientemente pequeña. Calcule la longitud de onda en centímetros y la atenuación en decibeles por pie, si la onda sé esta propagando en un material no magnético para el cual:

a)

b)

Lo que nos indica que es un buen dieléctrico

c)

-19-


EJERCICIO 11.16

11.16.- Un dieléctrico disipado esta caracterizado por εR = 1.5, μR=1 y σ/ωε = 2.5 x 10-4. A una frecuencia de 200MHz, que tan lejos puede propagarse una onda plana uniforme en el material antes que: a) sufra una atenuación de 1Np; b) sufra una atenuación de 10dB; c) su amplitud disminuya a la mitad; d) su fase cambie 1800?

a) A una atenuación de 1Np

-20-


b) A una atenuación de 10dB1Np = 8.69dB10dB =1.1507 Np

c) Su amplitud se disminuye a la mitad

d)

EJERCICIO 11.17

-21-


El factor de Potencia de un capacitor se define como el coseno del ángulo de fase de impedancia y su Q es CR, donde R es la resistencia en paralelo. Suponiendo que un capacitor de placas paralelas idealizando que tiene un dieléctrico caracterizado por , y 0 encuentre el factor de potencia y Q en términos de la tangente de perdida.

Primero calculamos el FP

Utilizando la identidad trigonométrica:

Reemplazando en el factor de potencia:

Como la tangente de perdidas es:

Ahora calculamos la carga.

Como la tangente de perdidas es:

Por lo tanto

EJERCICIO 11.18

La intensidad de campo eléctrico en una región no disipativa está dada como

. Si la amplitud de campo magnético asociado es 1 A/m,

encuentre: a) y para el medio; b) ; c) .

-22-


a)

Medio no disipativo: y ; donde la impedancia es solamente real;

Para calcular y para el medio utilizamos dos ecuaciones:

Resolviendo las dos ecuaciones queda:

;

b)

c)

-23-


EJERCICIO 11.19

Una onda plana uniforme en el espacio libre esta dada por V/m. Encuentre el

valor instantáneo del vector de poyting en:

a) t = 0 z = 0, 15, 30, 45 m.b) z = 0 t = 0, 40, 80, 120 ns.

Solución:

Primero calculamos la frecuencia de la onda basándonos en que la onda se propaga en el espacio libre, por lo cual su

-24-


a) para este caso t = 0 con lo cual la formula quedaría.

Para z = 0 para z = 15

Para z = 30 para z = 45

b) para estos casos z = 0 con lo cual la formula nos quedaría como:

Para t = 0 para t = 40ns

Para t = 80ns para t = 120ns

-25-


EJERCICIO 11.20

Una onda plana uniforme se propaga en la dirección az a través de un material disipador con Sea

en z=0.

Encuéntrese en z=0 y 1.

Encontramos el fasor del campo:

-26-


Ahora encontramos la Potencia promedio.

Ahora calculamos para z=0

Ahora calculamos para z=1

EJERCICIO 11.21

Ciertos campos que varían en forma sensorial en el espacio libre están dados como Es = 120[(sin)/r]e-jra [V/m] y Hs = [(sin)/r]e-jra [A/m]. Si = 3E8

rad/s; encuentre a) E(r,,t) y H(r,,t); b) P(r,,t); c) la potencia instantánea total P(r,t) que deja la superficie de una esfera de radio r al tiempo t.

-27-


11.22.- Una línea de transmisión coaxial infinitamente larga está llena de aire y tiene las dimensiones a = 1cm , b = 2.7818=e (numero e)cm. Supóngase un campo E de (100/ρ)Cos(108t-βz) aρ V/m ,a) Encuentre β ,b) Use las ecuaciones de Maxwell para determinar H(ρ,z,t),c) Determínese P(ρ,z,t), d) Encuentre la potencia promedio transferida por el coaxial.

-28-


a)

b)

c)

EJERCICIO 11.23

-29-


Un dieléctrico disipativo está caracterizado por εR = 2.5, μR = 4, σ = 10-3 Ω’/m a 10 MH. Sea

Es = 20e-γzax V/m y encuentre: a) α. b) β. c) ν. d) λ. e) η f) Hs; g) E(2,3,4,10ns).

a. )

b.)

c. )

d.)

e. )

f. )

g.)

EJERCICIO 11.24

-30-


Una línea de transmisión de dos alambres utiliza dos conductores tubulares circulares cada uno con un diámetro de 3/16 in y un grosor de pared de 0.030 in determinar la resistencia por metro de la línea de transmisión a:

a) cd; b) 10Mhz;

c) 1Ghz.

Considerando que las líneas de transmisión usualmente son de aluminio:

Análisis para una línea a) dc: En este caso R se expresa mediante la siguiente relación:

Consideramos una longitud unitaria por cuestión de análisis

b) Considerando la frecuencia de 10MHz

-31-


c) Únicamente cambia la frecuencia 1 [GHZ]

-32-


EJERCICIO 11.25

Una línea de transmisión coaxial tiene conductores de latón con dimensiones a = 1.5mm, b = 6mm. Si las línea esta operando a 500 Mhz, determine la resistencia por unidad de longitud de: a) el conductor interior; b) el conductor exterior; c) la línea de transmisión coaxial.

DATOS:

a) Conductor interior:

b) Conductor exterior:

c) Línea de transmisión:

EJERCICIO 11.26

a) La mayor parte de los hornos de microondas operan a 2.45GHz supóngase que:

-33-


y para el acero inoxidable interior; encuentre la profundidad de

penetración.

b) Sea en la superficie del conductor; grafique una curva de amplitud de

vs, el ángulo de a medida que el campo se propaga dentro del acero inoxidable.

DESARROLLO:

GRAFICANDO LA ECUACIÓN:

(V/m) (rad)10 0

5.923.52.071.230.73

-34-


0.43Respuestas Respuestas

Curva de amplitud de vs., el ángulo de :

EJERCICIO 11.27

Una línea de transmisión coaxial con un conductor sólido interior de 1 mm. De radio y uno exterior de 4mm de radio interior y 4.5 mm de radio exterior está hecho de latón que tiene una conductividad de 1.5 * 107. Si la línea está operando a 2GHz, a) encuentre R, la resistencia por unidad de longitud; b) calcule, sabiendo que = +j = , donde C y L son valores por unidad de longitud obtenidas en las secciones 5.10 y 9.10, respectivamente y la coaxial está llena de aire.

a).-

-35-


b).-

-36-


EJERCICIO 11.28

11.28.- Una onda de 400MHz se propaga a lo largo de un alambre aislado de cobre. Supóngase que δcu << radio del alambre, εR=4 y σ/ωε = 103 para el aislante, calcule: a) αais/αcu; b) λais/λcu,c)νais/vcu.

Para el Conductor:(σ=5,8*107)

Para el Aislante:

Tenemos que:

a)

b)

-37-


c)

-38-


EJERCICIO 11.29

Un buen conductor no magnético sustenta una onda plana uniforme que viaja con una velocidad de 2.5x105 m/s con una longitud de onda de 0.25 mm. Encuentre: la frecuencia y la conductividad.

EJERCICIO 11.30

-39-


En la región 1, <0, =0, = 4, y =1; en la región 2, >0, =0, = 1.44, y

=6.25. Hay una onda incidente en la región 1, V/m. a) Especifique f. b)

Encuentre el campo total en la región 1. c) Determínese .

a)

b)

c)

-40-

z

x

y

1sE

1sH

1sS

2sE

2sH

2sS

01 41 R11 R

02 44.12 R25.61 R

1 2


EJERCICIO 11.31

Una onda uniforme de 10MHz en aire esta incidiendo sobre una placa de cobre que es perpendicular a la dirección de propagación. La mayor parte de la potencia reflejada, pero un poco se propaga hacia la placa de cobre. ¿Qué tan lejos de la superficie se propagara la onda en el cobre antes de que el 99% de su potencia sé disipada?

-41-


EJERCICIO 11.32

Dos ondas planas uniformes y V/m están viajando en la misma región del espacio. Si esta región es el espacio libre: a) Encuentre la frecuencia de operación. B) ¿Qué impedancia intrínseca en la región z>0 causaría la reflexión de la onda? C) ¿En qué valor o valores de z, -40<=z<=0cm, es máxima la amplitud de campo E?

-42-


a) =

b) =

Considerando que ya que esta en el espacio libre.

El Vmax son para valores de 0, 2, 4…El Vmin son para valores de 1, 3, 5…

c)

Para n=0 Z=3.47cm (pero analizando el problema el Vmax no esta en cero sino que esta un poquito desplazado hacia la izquierda).

Para n=-1 z=28.42cm.

-43-


EJERCICIO 11.33

La región A x<0, tiene µA = 2µH/m, εA = 200pf/m, y σA = 0; en la región B donde X>0, tiene µB = 2µH/m, εB = 200pf/m, y σB = 1.2. Si el EA

+ = 1000e-αAx cos(1010t-βAx) ay V/m. : encuentre a) ESA , B) ESB

+ , c) HB.

a) Primero vemos la tangente de pérdidas en la region A

= 0/2µH/m * 200pf/m = 0 <<1 buen dieléctrico

β= w = 2π = 200 α=0

-44-


ŋA=120π = = =100

para nB = 0.06 << 1

ŋB=120π = 100+ j6

Γ=n2-n1/n2+n1 = 100+j6 -100/100+j6+100= j6/200+j6

Γ =6<90º/200.089<1.71º = 0.03<88.29= 0.009 +j0.0299

EA- = EA

+ * Γ

ESA = EA+ + EA

- =1000e-0x cos(1010t-200x)+ 1000e-αAx cos(1010t-βAx)* Γ

ESA =1000 e-j200x+141.3-j(200x+106º) V/m

b) T = 1+* Γ =1 -0.009 +j0.0299= 0.9+j0.0299

ESB += T* EA

+ = 1000e-0x cos(1010t-200x) *0.9+j0.0299

ESB += 970ej57.7x e-j(208x-8.04º)

c) Hb

E/H = n E/nB = H

970ej57.7x e-j(208x-8.04º)/ 100+ j6 = 970ej57.7x e-j(208x-8.04º) /100<3.46º=

Hb=10.48e-57.7x(cos(1010t—208x-7.49).

EJERCICIO 11.34

Una onda plana uniforme en la región 1 incide sobre la frontera plana que las separa las regiones 1 y 2. Si σ1 = σ2 = 0 y µA1= µ2 = 1, determine la razón εr1/ εr2 sim el 10% de la energía de la onda incidente es a) reflejada. b) transmitida a la región 2

-45-


b) = 0 también en la región 2 es 0

T= para que transmita el 10% será igual a 1

T= = = 0.1 = =

2 ( )

1.9 0.1/0.9 =

εr1/ εr2 =0.229

a)

= 0 también en la region 2 es 0

Para Γ T= transmite el 90% será igual a 1

T= = = 0.9 = =

2 ( )

1.1 0.1/1.1 =

εr1/ εr2 =0.301

-46-


EJERCICIO 11.35

La intensidad de campo eléctrico en una región no disipada está dada como

. Si la amplitud de la intensidad del campo magnético

asociado es 1A/m, encuentre: a) y para el medio; b) H; c) Es.

E = 200sen(109t)sen 20z i V/m|H| = 1 A/m

Resolución

a)

b)

-47-


c)

-48-


EJERCICIO 11.36

Una interfase plana entre dos dieléctricos perfectos están localizadas en . Una onda plana de que viaja en la dirección , incide en la región 1, , a la región 2 . Las

longitudes de ondas en los dieléctricos son y . Ambos materiales no son magnéticos. ¿Que porcentaje de la energía incide en la frontera es a) reflejada b) transmitida? c) ¿Cual es la relación de onda estacionaria en la región 1?

(a) Aplicando la formula general de la impedancia intrínseca de un medio que es:

Como es un dieléctrico perfecto el valor de , remplazando nos queda que

Como tenemos dos medios estos será

Como y

Entonces

En los medios no magnéticos la permeabilidad

(1)

(2)

Despejamos e igualamos (1) y (2) despejamos y

-49-


Remplazamos en el coeficiente de reflexión

Remplazamos por

Resolviendo queda que

(b) Aplicando la relación entre y hallamos

(c) la relación de onda estacionaria en la región 1 es:

EJERCICIO 11.37

Dadas la región ; la región 2,

; la región 3, . Sea en todas partes. a) ¿Cuál es la frecuencia más baja para la cual la onda plana uniforme que incida desde

-50-


la región 1 sobre la frontera z = 0 no tendrá reflexión? b)¿Si f = 200MHz, que SWR habrá en el región 1?

En la región 1:

En la región 2:

En la región 3:

d

z=0 z=8×10-2[m]

a)

;

b)

EJERCICIO 11.38

Una plancha de dieléctrico no disipativo para el cual está localizada en la región . Existe espacio libre en las regiones , . Una onda plana uniforme

de 250 Mhz que viaja en la dirección incide sobre la frontera en . a) Encuentre la

-51-


relación onda estacionaria en cada una de las tres regiones. b) Encuentre la localización del máximo de E en el espacio libre cercano a la plancha .

En la región 1 (aire): .

En la región 2(Dieléctrico no disipativo): .

En la región 3 (aire): .

d

z=0 z=0.25[m]

a)

Impedancia intrínseca de entrada:

Para la región 1:

Para la región 2:

-52-

ENT


Para la región 3:

b)

Esto sucede cuando:

Entonces:

Los máximos se repiten para cada valor de n*pi.El máximo cuando n=0 es:

-53-


EJERCICIO 11.39

Las tres regiones mostradas en la figura 11.12 son todas no disipativas y no magnéticas. Determine la relación de onda no estacionaria para E en la región izquierda cuando d2 es igual a: a) 0; b) 5cm; c) 8cm.

-54-


a)

b)

-55-


EJERCICIO 11.40

En la figura 11.10 sea . Una onda plana incide normalmente desde la izquierda, como se muestra. Grafique una curva de S en la región a la izquierda: a) Como función de l si f=3Ghz; b) Como función de la frecuencia si l=2.5cm.

-56-

0=377 1=188.5 2=377

=0


a) f=3Ghz

-57-

ENT

Cubierta domo protectora

-l 0

Ondaincidente

Figura 11.10


Tomando:

Reemplazamos este valor de x en la ecuación de S, la grafica sería:

En la gráfica el eje y viene a ser el eje S y el eje x es el eje l. Se nota en la gráfica como varia S conforme cambia la distancia l.

b) l=2.5cm

Tomando igualmente:

Reemplazamos este valor de x en la ecuación de S, la grafica sería:

-58-


En la gráfica el eje y viene a ser el eje S y el eje x es el eje f. Se nota en la gráfica como varia S conforme cambia la frecuencia (f).

EJERCICIO 11.41

En la figura sea la región 2 el espacio libre mientras que , y es desconocida.

Encuentre si.

a) la amplitud de es la mitad de

b) es la mitad de

c) es la mitad de

Resolución

a)

-59-


b)

c)

-60-

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