8/9/2019 Gram Smith

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Proceso de ortogonalizacin de Gram-Schmidt

En lgebra lineal, el proceso de ortogonalizacin de GramSchmidt es

un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un

espacio prehilbertiano (usualmente, el espacio eucldeo Rn

), otroconjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio

vectorial.

Este algoritmo recibe su nombre de los matemticos Jrgen Pedersen

Gram y Erhard Schmidt.

Descripcin del algoritmo de ortogonalizacin de GramSchmidt

Los dos primeros pasos del proceso de GramSchmidt

Se define, en primer lugar, el operadorproyeccin mediante

donde los corchetes angulares representan el producto interior. Es

evidente que

es un vector ortogonal a . Entonces, dados los vectores , el

algoritmo de GramSchmidt construye los vectores ortonormalesde la manera siguiente:

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_prehilbertianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ortonormalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=J%C3%B8rgen_Pedersen_Gram&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=J%C3%B8rgen_Pedersen_Gram&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Erhard_Schmidt&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Operadorhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Proyecci%C3%B3n_(%C3%A1lgebra_lineal)&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_interiorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Gram%E2%80%93Schmidt_process.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_(f%C3%ADsica)http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_prehilbertianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ortonormalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=J%C3%B8rgen_Pedersen_Gram&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=J%C3%B8rgen_Pedersen_Gram&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Erhard_Schmidt&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Operadorhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Proyecci%C3%B3n_(%C3%A1lgebra_lineal)&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_interior

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A partir de las propiedades de la proyeccin y del producto escalar, es

sencillo probar que la sucesin de vectores es ortogonal.

Ejemplo [editar]

Considera el siguiente conjunto de vectores en R2 (con el convencional

producto interno)

Ahora, aplicamos GramSchmidt, para obtener un conjunto de

vectores ortogonales:

Verificamos que los vectores u1 y u2 son de hecho ortogonales:

Entonces podemos normalizar los vectores dividiendo por su norma

como hemos mostrado anteriormente:

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