8/9/2019 Gram Smith
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Proceso de ortogonalizacin de Gram-Schmidt
En lgebra lineal, el proceso de ortogonalizacin de GramSchmidt es
un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un
espacio prehilbertiano (usualmente, el espacio eucldeo Rn
), otroconjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio
vectorial.
Este algoritmo recibe su nombre de los matemticos Jrgen Pedersen
Gram y Erhard Schmidt.
Descripcin del algoritmo de ortogonalizacin de GramSchmidt
Los dos primeros pasos del proceso de GramSchmidt
Se define, en primer lugar, el operadorproyeccin mediante
donde los corchetes angulares representan el producto interior. Es
evidente que
es un vector ortogonal a . Entonces, dados los vectores , el
algoritmo de GramSchmidt construye los vectores ortonormalesde la manera siguiente:
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A partir de las propiedades de la proyeccin y del producto escalar, es
sencillo probar que la sucesin de vectores es ortogonal.
Ejemplo [editar]
Considera el siguiente conjunto de vectores en R2 (con el convencional
producto interno)
Ahora, aplicamos GramSchmidt, para obtener un conjunto de
vectores ortogonales:
Verificamos que los vectores u1 y u2 son de hecho ortogonales:
Entonces podemos normalizar los vectores dividiendo por su norma
como hemos mostrado anteriormente:
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