88deexercit iisimple sidicileAnaliz amatematic aOctober5,2005Exercit iu1. Demonstrat ic apentruofunct ief: A Bavemf1( iIBi) = iIf1(Bi)f1( iIBi) = iIf1(Bi)f1(CBi) = Cf1(Bi)pentruoricefamiliedemult imi(Bi)iIdinB.Exercit iu2. (a)Fie(An)nNun sirdemult imi. DenimlimsupnNAn=nNmnAmliminfnNAn=nNmnAmAr atat ic alimsup An= {x| x apart ineunuinum arinnitdemult imi An}liminf An= {x| exist anxastfel nc atpentru n nx, x An}(b)Fie(xn)nNunsirdenumererealesi pentru>0denimBn()= {x| |x xn| }si B()=limsup Bn(). Caracterizat i mult imeaB=>0B(). AcelasilucrupentruC() = liminfBn()n siC=>0C().Exercit iu3. Ar atat i c adac a P(X) este mult imeap art ilor mult imii Xatunci(P(X), , )esteuninelcomutativ.Exercit iu3. Ar atat i c acorpul numerelor rat ionale nusatisface axiomamarginiisuperioare. Indicat ie: Considerat iA = {x Q| 1 x2 2}.Exercit iu4. Demonstrat i c apentruunsirdenumererealestrictpozitive(xn)nNavemliminfnxn+1xn liminfn(xn)1/n limsupn(xn)1/n limsupnxn+1xnDeducet i deaici corolarul teoremei lui Stolz: dac aexist a limnxn+1xnexist aindegal aculatunci si limnx1/nnexist asiel.Exercit iu5. Ar atat ic a0 < e (1 +1n)n1n+1pentrunsucientdemare,ceeacecontrazicedivergent aserieiarmonice.Exercit iu8. Fiesirul (xn(a) =xn)nNdenit prinx1=asi xn+1=_1 +1xn_n. Studiat i numericcomportareaacestui sirpentrudiversevaloria (0, 2]. Ceobservat i?Putet idemonstramatematicobservat iilef acute?2Exercit iu 9. Folosit i unul dintre programele matematice pentru a determinagracelefunct iilorfn(x) =sin x1+sin 2x2+ +sin nxn, n = 1, 2, pentrux [1, 1]. Ceconcluziepareplauzibil a?Exercit iu10. Scriet i unprogramcarepentruunnum arreal xalegedinsirul 1, 1/2, 1/3, . . . , 1/n, . . . c ateunsingurtermencusemnul +sau , eacestaailapasuliastfelcaa1 +a2 + + aNs ae,pentruunanumitNoaproximarecu2zecimaleexactepentrux.Exercit iu11. Determinat i cu ajutorul calculatorului 100 de solut ii numerentregi x, y pentru ecuat ia x22y2= 1. Indicat ie: Dac a (x0, y0) este o solut iear atat icumsepotobt inealtelecalcul and(x0 2y0)n.Exercit iu12. Sirul(xn)nNestedenitprinx0= 0sixn+1= axn. Pentrua (1, 30) studiat i comportarea acestui sir. Deducet i c a exist a trei valori alelui apentrucarecomportareasirului seschimb a.Incercat i s ademonstrat iconcluziilededusenumeric. Indicat ie: Studiat icomportareafunct iei ax xpentrua (0, 1/ee), a (1/ee, 1), a (1, e1/e).Exercit iu13. Obanc apla atesteodob and adepprocentepean,dob and apresupus acalculat acontinuucumulat. Ar atat ic aoformul arezonabil apen-trucalculul timpului (nani) ncareosum adepus asedubleaz aeste70/p.Justicat i rezultatul si calculat i numeric eroarea pe care o astfel de formul a od a pentru p = 20, consider andc a banca calculeaz azilnic dob anda cumulat a.Indicat ie: Tinet icontc aln 2eaproximativ0,7.Exercit iu14. Calculat ilimsupxnsiliminf xnpentru sirurile(a)xn=nsinn6+1n+2(b)xn= (1)nnsinn(c)xn=n2+ n + 1 + (1)nn(d)xn= sin n.Exercit iu15. Fief : I I, undeI Resteinterval si Gfgracul einplanul cartezian. Pentrux1=a I consider amsirul denit recurentprinxn+1=f(xn). Justicat i urm atoareainterpretaregrac aatermeniloracestui sir: punctul depegracobt inut prinintersect iaparalelei dus aprin3punctuldeabscis a xndepepeprimabisectoare,areabscisa xn+1. Studiat i nacest fel sirul xn+1= axn(1xn), pentru diferite valori a [0, 4] si x1 [0, 1].(Sirullogistic;vonNeumann1940,veziovast aliteratur adup a1980).Exercit iu16. Cesepoatearmateoretic nipotezeledemai susdac afestecontinu asi (a): crescstoare, (b): descresc atore. Analizat isirul xn=sin sin sin 1,undefunct iasinesteaplicat adenori. Deducet inumericc alimnxnsidemonstrat i apoi riguros rezultatulpresupus. Indicat ie: Folosit ix > sin x > x x36 .Exercit iu17. Ar atat i c a sirul [n2] cont ine o innitate de puteri ale lui 2.(Putet i folosi calculatorul pentru a deduce numeric o ideie de demonstrat ie).Indicat ie: Stiindc a[n2] = 2k,cumg asit in1> nastfelca[n12]s aedeasemeneaputerealui2?Exercit iu 18. Care este probabilitatea ca o coard a dus a lant amplarenr-uncercderaz a1s aaib aolungimemaimareca1?Exercit iu19. Stabilit inaturaseriilor:

n=1nn5+ n + 1

n=1n + 1 nn

n=1an

n=1an(a1 + a2 + + an)2undean> 0Exercit iu 20. Studuat i natura urm atoarelor serii (eventuak calculat i suma):

n=1ln (1 +1n)

n=1arcsin1n

n=1ln nn2

n=11n sin1n

n=1n + 1n!

n=1n2+ n + 1n!

n=31(ln(lnn))ln n

n=11ln (n + 1)!Exercit iu21. Fie

n=1anoseriedenumererealepozitive. Ar atat ic a(Cri-teriul Raabe-Duhamel):4Dac aliminf n_anan+11_ > 1atunciseriaesteconvergent a;Dac alimsup n_anan+11_ < 1seriaestedivergent a.Aplicat ie: Studiat i

(2n)!!(2n+1)!!.Exercit iu22. Fie (an)nNun sir strict cresc ator de numerenaturale astfelc a limnan+1a1a2an= . Ar atat ic aseria

n=11anesteconvergent aiar sumaei esteunnum ar irat ional (Paul Erd os, AmericanMathematicalMonthly). Indicat ie: Comparat icuoseriegeometric a. .Exercit iu23. Fie(an)nNunsirdenumerepozitivedescresc ator la0si astfel calimnan>0. Ar atat i c adac an {0, 1}este astfel caseria

nan< atuncilim1n(1 + 2 + + n) = 0Interpretat irezultatul. Indicat ie: Ar atat ic adac a,prinabsurd,exist ac > 0astfel ca1 + nk nkcpentruunsir(nk)kN, seria

nannusatisfacecondit iaCauchy.Exercit iu24. Calculat inumericsumepart ialealeseriei

n=1sin_n100_ln nCareestelimitaplauzibil a. Demonstrat iconvergent a. Aproximat isumac atmaibinepossibil.Exercit iu25. Stiindc a

n=11n2=26, calculat i

n=11(2n+1)2si aat i numsruldetermeni dinsumelepart ialenecesri pentruacalculacudou azecimaleexacte.5Exercit iu26. Urm atorul rat ionament, deocamdat anuriguros, permiteevaluareasumei unor serii armaonicegeneralizate: r ad acinilefunct ieisinxxsunt(k)kZ,decisin xx=_1 x__1 +x__1 x2__1 +x2_ =_1 x22__1 x2222__1 x2322_ Comparat idiversicoecient iailuix.Exercit iu27. Studiat iconvergent aurm atoarelorserii

n=1sin an cos na

n=1sin3nn

n=1sin n2sin nExercit iu28*. Dat indsirul pozitiv(an)nN, prindenit ieprodusulinnitn=1(1 +an) este convergentdac a sirul produselor part iale (1 +a1)(1 +a2) (1+an) este convergent. Ar atat i c a dac a seria

n=1aneste convergent a,atunci produsul de mai suseste convergent. De aici se poate deducec a seria

1pundepparcurgetoatenumereleprime, estedivergent a. Indicat ie: Folosit iinegalitateaex> 1 + x.Exercit iu 29. Vericat i grac formula lui Stirling, anume consideret i sirurilen!(ne)nsin!2n_ne_nsireprezentat igracvalorilepentrun = 10, 100, 1000, 1000, 100000.Exercit iu 30. Precizat i caracteristicile topologice ale urm atoarelor mult imidinR. Determinat i necarecazintA,A,FrApentru(a)A = (1, 2] {3};(b)A = {1/n| n N} {0};6(c)A = C \ QundeCestemult imeaCantor;(d)A = {x| 1 < f(x) < 2}undef: R Resteofunct iecontinu a;(e)Acelasienunt cala(d)darcuinegalit at ile;(f)A = Q;Exercit iu 31. Precizat i caracteristicile topologice ale urm atoarelor mult imidinR2. Determinat i necarecazintA,A,FrApentru(a)A = [0, 1] [0, 1];(b)A = {(x, y) | x2+ 4y2 4} \ {(x, y) | x2+ y2 x};(c)Q2\ Z2;(d)A = {(x, y) | x + y= 1, x < 1};(e)A = {(x, y) |sin(xy) < 1}.(f)f1([0, 1])undef: R2Restecontinu a.Exercit iu32. Reprezentat i n plan bilele centrate n zero de raz a 1 pentrumetriciled1,d2respectivddinR2.Exercit iu 33. Fie C[0, 1] mult imea funct iilor continue denite pe intervalul[0, 1]. Ar atat ic apentruf, g C[0, 1]m arimead(f, g) =_10|f(x) g(x)|dxdenesteodistant a. Demonstrat ic aaceast adistant anuinduceostructur adespat iucomplet(nuorice sirCauchyesteconvergent).Exercit iu34. Fief:X Y ofunct iecontinu a ntrespat iilemetriceXsi Y . ar atat i c a pentru K Xcompact a rezult a f(K) compact a (,,o funct iecontinu aducecompact i ncompact i).Exercit iu35. Scriet i unprogrampentrucalculul distant ei Hausdor-Pompeiuntreoricedou acercuri dinplanul cartezian(cercurilesunt dateprincoordonatelecentrelorsiraz a).Exercit iu36. Fie KXomult ime compact anspat iul metric Xsi D1, D2, . . . , Dnmult imi deschiseastfel caK ni=1Di. Ar atat i c aexist a > 0astfelcaoricebi aderaz acucentrul nKestecompletinclus a ntr-unadintremult imileDi. Indicat ie: Ar atat imai nt aic aDipotalesebile7deschise si apoi c a exist a > 0 astfel nc at raza acestora se poate micsora cucup astrareapropriet at iic abileleacoper aK.Exercit iu37. Ar atat ic apeRaplicat iad(x, y) =x1 + x y1 + y, x, y Rdenesteodistant a ncare sirul(n)nNesteCauchy.Exercit iu38.InR2seconsider ametricadat aded(x, y) =_ |x2 y2| dac ax1= y1|x1 y1| +|x2| +|y2| dac ax1 = y1oricare ar x = (x1, x2), y= (y1, y2) R2. Ar atat i c aR2cuaceast ametric aestecomplet.Exercit iu39. FieX= {0, 1}mult imeasirurilor (xn)nNundexn {0, 1}. Ar atat ic aformulad(x, y) =

n=0|xnyn|2npentru x = (xn)nN, y = (yn)nN deneste o metric a pe X. Ar atat i c a acesat ametric ad aaceleasisiruriconvergentecametricadenit alacurs1d1(x, y) =12kundek=max{i| x0=y0, . . . , xi=yi}..Inplus, dac a: X Xestefunct iashift,atuncid((x), (y)) 2d(x, y) pentruoricex, y X.Exercit iu40. Desenat i bileleunitatepentruspat iul R3cuecaredintrenormele 1, 2, .Exercit iu41. Reprezentat ibiladecentrufundef(x)= sin xdinspat iulC[0, ]. Folosit ieventualunprogrampecalculator.Exercit iu42. Ar atat i c apespat iul vectorial al funct iilor integrabilepe[a, b]m arimeaf =_ba|f(x)|dx1(1)8nudenesteonorm a.Exercit iu43. Ar atat ic apespat iulvectorial C[0, 1]m arimeadenit aprinf =_ba|f(x)|dx, pentruf C[0, 1]denesteonorm adarspat iulnormatobt inutnuestecomplet.Exercit iu44. Studiat icontinuitateafunct iilorf: R2Rdeniteprinf(x, y) =x2x2+ y2pentru(x, y) = (0, 0)sif(0, 0) = 0.g(x, y) = xsin1xypentruxy = 0si0 nrest.h(x, y) =x y|x y|pentrux = ysi0pentrux = y.Exercit iu45. Fief : V V ofunct iedenit antr-unspat iunormatpentrucareexist ac > 0 si > 0astfelcaf(x) f(y) cx yAr atat ic afesteuniformcontinu a.Exercit iu 46. Ar atat i c a funct iile f, g, : (0, ) R denite prin f(x) =1x,g(x) =1x,nusuntuniformcontinue.Exercit iu47. Studiat iconvergent asimpl a(punctual a)siuniform apentrusiruriledefunct ii:fn: [0, 1] R, fn(x) =nxn+ 1ngn: [0, 1] R, gn(x) =nxn+ 1n2x2n+ n + 1hn: [1, 1] R, hn(x) =enx+ nx + 1(n + 2)xenx+ 2un: R R, un(x) = f(x + n),9findofunct ieculimxf(x)=0. Cesepoatespune nacestultimcazdac a, nplus,festedescresc atoare?Exercit iu48. Ar atat ic apentruspat iulmatricilorrealedeordin2,M2(R)m arimeaA = (a2+ b2+ c2+ d2)1/2undeA M2(R),A =_a bc d_denesteonorm a ncarespat iulecomplet.Folosit iteoremadepunctxpentruaaanumericsolut iasistemului3x + 2y= 62x 3y = 12cutreizecimaleexacte.Exercit iu49. S a se studieze mult imile pe care seriile urm atoare sunt punc-tual(simplu)respectivuniformconvergente:(a)

n=1 sinnx;(b)

n=1_x+1x1_n;(c)

n=1_n+1n_n _1x1+2x_n;(d)

n=1(1)nx31+n4x4 .Exercit iu50. S asedemonstrezec alimn

n=1x21 + n2x2=

n=11n2Exercit iu51. S a se demonstreze c a urm atoarele serii sunt convergente si s aseae sumalor folosindseriiledeputeri(integrabilitateasauderivabilitateaacestora)(a)

n=1(1)n3n+1 ;(b)

n=1(1)n+12n(n+1);(c)

n=1x+2n(n+1)(n+2)Exercit iu52. Determinat irazadeconvergent a1urm atoarelorseriicom-pelxe10(a)

n=1n+1n+2(z 2)2n(b)

n=1znnn!Exercit iu53. Dezvoltat i nseriideputeri njurulpunctuluiindicat:(a)f(x) =x2+1x23x+1x0= 1;(b)f(x) = arctg x, x0= 0;(c)f(x) =1x2+x+1, x0= 1;(d)f(z) =zz2+1, z C, z0= 1.Indicat ie: Pentru(a),(b),(d)folosit idezvoltarea nfract iisimple.Exercit iu54. FolosindformulaluiTaylor,calculat icu3zecimaleexacte(a)sin 310;(b)102;(c)ln (e5+ 1)Indicat ie: (a)sin 31o=sin(/6 + /180), aplicat i formulalui Taylor na = /6.Exercit iu55. Carenum aremai mare78sau87? Indicat ie: FormulaluiTaylordeordin2pentruf(x) =ln xx.Exercit iu58. Ar atat ic adac aofunct iedenit apeRm arginit aestededou a ori derivabil a cu derivata de ordinul al doilea m arginit a, atunci si primaderivat aestem arginit a. Indicat ie: Formulalui Taylorcurestdeordindoipeintervaledeforma[a h, a + h].Exercit iu56. Folosit i unul dintre softurile matematice pentru a reprezentapeacelasi gracf(x)=ln(x + 1)si dezvoltareaTayloraacesteia nx=0deordin3.Exercit iu57. C atezecimaleexacted aseriaTaylorpentrusin210deordin10?(folosit iunsoftmatematic). Atent ie: sin 10= sin180!Urm atoarele exercit ii auca punct nal calculul sumei seriei armonicegeneralizate de exponent 2. Nu e obligatorie rezolvarea problemelor n ordineadat a,desienecesar apentrucalicativmaxim.11Exercit iu58. Fie In=2_0sinnxdx. Folosindteoremade transfer decontinuitatepentruintegral a,ar atat ic alimIn= 0.Exercit iu59. Ar atat iprincalculrecurentc aI2n=2(2n 1)!!(2n)!!, I2n+1=(2n)!!(2n + 1)!!Exercit iu60. Folosind exercit iul 61 si relat ia de recurent a pentru In ar atat ic alimnInIn+1= 1Exercit iu61. Deducet idin62 si63c a =limn((2n)!!)2((2n 1)!!)2nExercit iu62. FolosindformulaluiMc. Laurin,ar atat ic aseriadeputeripentru11x2este11 x2= 1 +

n=1(2n 1)!!(2n)!!x2nStudiat iconvergent a.Exercit iu63. Deducet ic aarcsin x = x +

n=11 3 (2n 1)2 4 2nx2n+12n + 1Studiat iconvergent auniform ape[1, 1].Exercit iu64. Ar atat iprincalculdirectc a1_0arcsin x1 x2dx =28121_0x2n+11 x2dx =(2n)!!(2n + 1)!!Pentruultimaformul asepoatefolosiexercit iul62.Exercit iu65. Folosit iseriadeputeripentruarcsinxpentruaar atac a1_0arcsin x1 x2dx = 1 +132+152+ Deceesteposibil aintegrareatermencutermen?Exercit iu66. Observat i c a

1n2=

1(2n+1)2+

1(2n)2deduc anddinexercit iul67c a

n=11n2=26Exercit iu67. Deducet i sisumaseriei

n=1_1(4n 1)2+1(4n + 1)2_Exercit iu68. S asestudiezeconvergent aurm atoarelor integraleimproprii,eventualcalcul andu-sevaloareaacestora:(a)_0xx3+1dx;(b)_311x2+4x3dx;(c)_1ln x(x+1)3dx;(d)_1xln xdx;(e)_20lnsin xxdx.Exercit iu 69. Folosind formula lui Wallis si inegalitatea (1x2)n enx21(1+x2)n(demonstrat ie!),ar atat ic a_ex2dx =13Exercit iu70. Calculat i,stabilindconvergent a:In=_10xn1 x2dxExercit iu71. Ar atat i c adac af : [a, ) Resteuniformcontinu asiintegrabil ape[a, )atunci limxf(x) = 0.Exercit iu72. Dac a_10+f(x)/xesteconvergent asifestemonoton aatuncilimx0+f(x) = 0.Exercit iu73. Studiat iconvergent aintegralelor(a)_0sinpxxdxp N;(b)_0exln xx+1dx;(c)_0ln | cos x|x2dx;calculat ivaloarea!(d)_10 xsin1xdx(e)Determinat icelmaimicnum arnaturalnpentrucare_n+1nsin xx1100folosindcalculatorul.Exercit iu74. Studiat iderivabilitateaintegraleicuparametru_ 20arctg(ytg x)tg xdxsicalculat ivaloareaacesteiapentrua = e 1.Exercit iu75. Calculat i_0sin 2x sin xxdxExercit iu76. Folosindintegraleleeulerienecalculat i(a)_10x2(1x)(x+1)5dx;(b)_20sin5xcos8xdx;14(c)_1011x4dx;(d)_0x5ex4dx;Exercit iu77. Folosindderivareaintegralelorcuparametrii,calculat i_0eaxxcos xdxExercit iu79. Determinat i seriileForiersi stabiliti convergent aacestorafolosin criteriul lui Dirichlet (sent elege c a funct iile respective sunt prelungiteprinperiodicitate):(a)f(x) = 1pentrux (, 0] sif(x) = 1pentrux (0, ];(b)f(x) = |x|, x (, ](c)f(x) = 2xExercit iu80. Folosindtransformareax x/dezvoltat i nserieForierfunct iaf: (1, 1] R,f(x) = [x]Exercit iu81. FolosindseriaFourier afunct ieix2pe intervalul (0.2)ar atat ic a x2=

n=1sin nxn, x (0, 2)Exercit iu82. Dindezvoltareaprecedent a(substituit ix 2x)deducet i

n=1sin(2n 1)x2n 1=4, x (0, )Exercit iu83. Dindezvoltareafunct iei f(x)=x2pe(, ] deducet i for-mulele26=

n=11n2212=

n=1(1)n1n215Exercit iu 84. Dezvoltat i nserie Fourier f(x) =cos axpe (, ) sideducet isin a=1a+ 2

n=1(1)na2n2, x [, ]Aceasta costituie o demonstrat ie riguroas a a descompunerii innitenfract ii simple afunct iei1sinxfacut aeuristiclacurs. (vezi demonstrat iaformulei(x)(1 x) =sin x.Exercit iu85. Combin andseriileFourierpentrufunct iilexsi x2deducet iformula3x26x 2212=

n=1cos nxn2, x [0, ]Urm atoareleconsiderat ii dezvolt aometodadeafolosi funct iilecomplexepentrustabilireaunorsumedeseriiFourier.Exercit iu86. Ar atat i c apentruz = |z|(cos x + i sin x), x (0, 2) sepoatedeni funct ialogaritmcomplexprinln z =ln|z| + i(x + 2k), k=0, 1, . . . , n 1.Exercit iu87. S apresupunemc aseriileC=a02+

n=1an cos nxS=

n=1an sin nxsunt convergente pe [, ] mai put inntr-un num ar nit de puncte. Not andatuncicuzr= r(cos x + i sin x),0 < r < 1avema02+

n=1anrneinx= f(reix)SeriileCsiSseobt inatunciconformteoremeiluiAbeldinC + iS= limr1f(reix)16Exercit iu88. (Exemplu)S aconsider amseria

n=1znn= ln(1 z)(Asevedeaseriiledeputeripentrucalcululserieidemaisus). Not andC=

n=1cos nxnsi S=

n=1sin nxnavematunci C +iS= ln11eixconfor considerat iilordinexercit iulprecedent. Ar atat ic a11 eix=12 sinx2_cos(2 x2) + i sin(2 x2)_deciconformexercit iului88ln11 eix= ln_2 sin x2_ + i x2deciC= 2 ln_2 sin x2_, S= x2pentrux (0, )17