Disponible en línea en www.sciencedirect.com

ScienceDirect

Procedia CIRP 12 (2013) 43 – 48

8va Conferencia CIRP sobre Cálculo Inteligente en Ingeniería industrial

Hacia fabricación sin error de fractals

A.M.M. Sharif Ullah *, R. Omori, Y. Nagara, A. Kubo, J. Tamaki Instituto de Kitami de Tecnología, 165 Koen-cho, Kitami 090-8507, Japón

* autor Correspondiente. Teléfono: +81-157-26-9207; fax: +81-157-26-9207. Dirección de correo electrónico: ullah@mail.kitami-it.ac.jp.

Extracto

Fractals son mí entidades de la invariante de la escala similares y a menudo usados para modelar formas complejas incluso el natural (p.ej, planta, hoja,flor, animal, paisaje, etc.) y estéticamente valioso (p.ej, formas usadas en joyería, edificios, etc.). El objetivo de esto el estudio debe proporcionar más perspicacias en la fabricación sin error de fractals. En particular, relleno del espacio del Hilbert-tipo fractals yEl Sistema de Función iterativo fractals basado (formas parecidas a una hoja) se fabrica usando tanto el aditivo (stereolithography) comode sustracción (molienda) procesos de fabricación. Los errores industriales se identifican y las soluciones plausibles para el vencimientolos errores se perfilan. Las conclusiones demuestran que el proceso de fabricación nuevo, el labrado y los algoritmos son necesarios para el alcanzamiento de fabricación sin error de fractals.

© 2013 The Authors. Publicado por Elsevier B.V. Acceso abierto bajo CENTÍMETROS CÚBICOS licencia de BY-NC-ND.

© 2012 The Authors. Publicado por B.V. Selection Elsevier y/o revisión por pares bajo responsabilidad del profesor Roberto Teti. Selección y revisión por pares bajo responsabilidad del profesor Roberto Teti

Palabras clave: Fractals; DAO; LEVA; Stereolithography; final moliendo; error; exactitud.

organizado, así: el Artículo 2 describe el

1. Introducción

Fractals son mí invariante de la escala similar matemática las entidades introducidas en los años 1700. Estas entidades se trajeronen la atención otra vez en los años 1960 por Mandelbrot como aimportante significa para modelar formas complejas [1-2]. En particular, objetos naturales (plantas, se pobla, flores, los animales, el paisaje, etc.) se puede fácilmente modelar usandofractals [3-5]. En la fabricación, los fractals se han encontrado útil en mejoramiento de procesos de retiro materiales, el diseño de sistemas industriales y el modelado de superficies [6-14]. Además, fabricación de modelo físico de fractals con la ayuda de procesos de fabricación aditivos (p.ej, stereolithography) ha ganado una atención, también [15-17]. Sin embargo, la exactitud de fractals fabricado todavía no se ha relatado. No sólo el aditivo procesos de fabricación, sino también el de sustracción los procesos de fabricación (p.ej, final moliendo) se pueden usarpara fabricar fractals. Esta posibilidad todavía no tiene sido investigado.

El objetivo de este estudio es proporcionar más perspicacias en la fabricación sin error de fractals. En particular, relleno del espacio e IFS (Sistema de Función Iterativo) basadolos fractals se consideran. El resto de este artículo es

fabricación de relleno del espacio del Hilbert-tipo fractals por la utilización tanto stereolithography como final moliendo. Artículo 3describe la fabricación de fractals basado IFS (hoja -como formas) usando final moliendo. Contornos del artículo 4 algunas estrategias de eliminar los errores industriales de fractals. El artículo 5 concluye este estudio.

2. Fabricación de relleno del Espacio del Hilbert-tipoFractals

El relleno del espacio fractals se propuso a finales de los años 1800

[18-19]. Uno del relleno del espacio bien estudiado fractals es Hilbert-escriba-a-máquina fractals introducido por Hilbert en los años 1890. El relleno del espacio proceso de Hilbert-tipo fractals(resumido por Rose [18]) se describe, así: DejarI = {t | 0 t 1} ser un intervalo de la unidad y Q = {(x, y) | 0 x

1, 0 y 1\ser un cuadrado de la unidad. Para un número entero positivo N {1,2...} el intervalo I se puede dividir en 4N

subintervalos de longitud 4-N. El cuadrado Q también puede serdividido en 4 N

subcuadrados de lado 2-N. Llenándose el cuadrado, una correspondencia de uno a uno entre ellos subintervalos y los subcuadrados se mantienen por el condiciones siguientes: Condición Contigua: Contiguo los subintervalos equivalen a subcuadrados contiguos con un

2212-8271 © 2013 The Authors. Publicado por Elsevier B.V. Acceso abierto bajo CENTÍMETROS CÚBICOS licencia de BY-NC-ND.

Selección y revisión por pares bajo responsabilidad del profesor Roberto Teti

doi:10.1016/j.procir.2013.09.009

44 A.M.M. Sharif Ullah et al. / Procedia CIRP 12 (2013) 43 – 48

borde en común. Condición que anida: si en el Enésimo el stereolithography requiere un tiempo relativamente más largo a partición, la TINTA del subintervalo la fabricación del fractals porque una cantidad mínima de QNk, luego en (N+1) - S. dividen los 4 subintervalos de el tiempo es necesario para la polimerización apropiada del

LA TINTA equivale a los 4 subcuadrados de QNk. La figura 1 la resina fotosensible usó [20-21]. ilustra el Hilbert-tipo más simple fractals para N = 1, 2, 3, y 4. Note que el espacio está gradualmente lleno delel aumento de N y ningunos cruces ha ocurrido (es decir, la correspondencia de uno a uno se mantiene).

(N = 1) (N = 2)

(N = 3) (N = 4)

Fig. 1. Hilbert-escriba-a-máquina el relleno del espacio fractals.

El Hilbert-tipo fractals mostrado en Fig. 1 puede ser fabricado usando amba fabricación aditivaproceso (p.ej, stereolithography) y de sustracción proceso de fabricación (p.ej, moliendo). En primer lugar, considere eladitivo que fabrica (stereolithography). Figura 2 muestra la fabricación basada stereolithography de Hilbert-escriba-a-máquina fractals. Como visto de DAO de Fig. 2, 3Dlos modelos se crean y los datos son usados para dirigir aaparato de stereolithography (SLA) disponible en Kitami Instituto de tecnología. Algunos modelos físicos de Fractals del Hilbert-tipo se muestran en Fig. 2. Los modelos sonhecho de polímeros (Somos resina fotosensible basada). Los modelos físicos parecen exactos. Sin embargo, es observado que los modelos tienen un error de la forma. En particular, las esquinas no son agudas como debería ser. Investigarel error de la forma más sistemáticamente, las coordenadas de los límites externos de los modelos físicos sondeterminado usando un microscopio de láser. Espectáculos de la figura 3 uno de los resultados. Como visto de Fig. 3, las esquinas son encontrado doblándose. El radio de curvatura dellas esquinas dobladas dependen del radio de curvatura de el rayo láser usado en el proceso de fabricación (stereolithography). Así, esto es un error inherente de esto el proceso y la eliminación de este error no son posibles por selección del parámetro de proceso más o menos. Note esto

Modelos CAD 3D

Stereolithography

Modelos físicos

Fig. 2. La fabricación de Hilbert-tipo fractals usando stereolithography.

Fig. 3. Un error de la forma de modelo físico (stereolithography basado) de

Hilbert-escriba-a-máquina fractals.

A.M.M. Sharif Ullah et al. / Procedia CIRP 12 (2013) 43 – 48

Como tal, el proceso produce una grande cantidad de 3. Fabricación IFS Fractals Basadocarga en el ambiente [22]. Una de las alternativasdebe usar un proceso de fabricación de sustracción como el final Deje ((xi, yi) ser las coordenadas de un punto en la iteración i-th

45

molienda. Para investigar esta posibilidad un estudio ha sido realizado, así.

Camino del instrumento

y ((xi+1, yi+1) ser las coordenadas de un punto en el siguiente iteración. La correlación siguiente sostiene entre (xi+1

,yi+1) and ((xi,yi).

xi1

yi1

a b

c d

xi

y

e

f(1)

Instrumento

i

En la ecuación (1), a, b, c, d, e, y f son todos los números reales.

En IFS, los valores de (a, b, c, d, e, f) son estocásticamente asignado de unos juegos predefinidos de valores. Por ejemplo, para modelar un helecho se poblan IFS siguiente se usa [3-4]:

,entrada x y

0 0

1parai n

,

Fig. 4. Modelo físico de Hilbert-tipo fractals hecho usando finalmolienda.

p arbitrario 0 1

si p .0,0 1

,a,b,c,d,e fsi p .

,0,0,0,0.16,0 0

(2)

0.1,0 18,

.

a,b,c,d,e f . 0.2, 0.26,0.23,0.22,0,1 6si p 0.18,0 26

,.

a,b,c,d,e fsi p .

0 26,

a,b,c,d,e f

0.15,0.28,0.26,0.24,0,0 44

0.75,0.04, 0.04,0.85,0,1.6

Sobrante

Fig. 5. El error de la forma en fractals fabricado antes del final moliendo.

Un tipo de escritorio máquina herramienta de CNC (disponible en

El Instituto de Kitami de la Tecnología) es usado para fabricar

el Hilbert-tipo fractals mostrado en Fig. 1. El

las coordenadas del Hilbert-tipo fractals se han usado como el camino del instrumento. En consecuencia, los programas NC han sidogenerado para realizar las operaciones laminadas del final porla utilización de herramientas de corte que tienen muy pequeños diámetros (1 mm a2 mm). La figura 4 muestra uno de los resultados. El

fractals fabricados se examinan con cuidado para asegurarsi son libres de errores. Uno del

xi1axiby

ie

yi1cxidyif

n = 1000 n = 2000

Fig. 6. El modelado de hoja del helecho por IFS (ecuación

(2)).

n = 5000

los errores son un error de la forma similar a ese del caso anterior.El radio del instrumento dobla sobre las esquinas del fractals fabricado. La figura 5 muestra una visión ampliadade fractals fabricado demostración de la existenciade este error. El error lefts materiales suplementarios en unosesquinas de fractals fabricado (más adelante mandado

a como sobrante). Así, para fabricación sin error de fractals, es necesario quitar el sobrante. El error el proceso de eliminación se describe en el Artículo 4.

La formulación en la ecuación (2) asegura que el probability of (a, b, c, d, e, f) = (0, 0, 0, 0.16, 0, 0) isequal to 0.1, (a, b, c, d, e, f) = (0.2, -0.26, 0.23, 0.22, 0, 0.16) is equal to 0.08, (a, b, c, d, e, f) = (-0.15, 0.28, 0.26, 0.24, 0, 0.44) is equal to 0.08, and (a, b, c, d, e, f) = (0.75, 0.04, -0.04, 0.85, 0, 1.6) is equal to 0.74. Figure 6ilustra los modelos de la hoja del helecho para n = 1000, 2000, 5000. Como visto de Fig. 6, el más grande el valor de n, elmejor el modelo. Modelar otros objetos similares, el formulación mostrada en ecuación (2) necesidades levesmodificación. Esta cuestión está más allá del alcance de estoestudie y, así, no hablado adelante.

46 A.M.M. Sharif Ullah et al. / Procedia CIRP 12 (2013) 43 – 48

Fabricar el modelo físico de la hoja del helecho de las opciones debe usar una herramienta de corte triangular, comomostrado en Fig. 6, el final moliendo se puede usar. Funcionar esquemáticamente ilustrado en Fig. 9. Como visto de Fig. 9, final moliendo, un programa NC es necesario. El programa NC el instrumento triangular es capaz de firmar la región de se puede generar de los datos de la imagen del mapa de bit o el sobrante, que no es posible usando un instrumento circular.from the coordinates ((xi,yi), i = 0,1,...,n. Instrumento circular Instrumento triangular

Datos del mapa

de bit

Programa de NC

Modelo físico

Fig. 9. La eliminación del sobrante usando un instrumento triangular.

La figura 10 muestra los parámetros implicados en el instrumentoFig. 7. Datos del mapa de bit conducidos en fabricación de la hoja del helecho.

Señale Programa NC basado

P

(xi,yi) ((xi+1,yi+1)

generación del camino de un instrumento triangular. Deje a P, Q, y R ser los vértices de triángulo equilátero y T esté el centro. Los lados del triángulo son todo l. El triángulo se coloca en ABCD divisorio cuadrado. Los vértices del triángulo no debería cruzar ABCD. El vértice P siempre siguela línea AB.

B C

RP N

Fig. 8. Señale la fabricación de la hoja del helecho conducida.

Las figuras 7 y 8 muestran los ejemplos de reconocimiento médicolos modelos en donde los programas NC se han generado

de los datos de la imagen del mapa de bit y de los puntos

la representación de la hoja del helecho (ver Fig. 6 y ecuación (2)),

respectivamente. El tiempo de trabajo a máquina ha sido casi el

y

x

t

d=AB/2

A

T

Q

l

D

lo mismo para ambos modelos, que es considerablemente más corto que el caso anterior. Como visto de Higos. 7 y 8, está claroque la hoja del helecho no se haya fabricado correctamente. Esto es debido a la distribución desigual de los puntos esto modele la hoja del helecho. La región modeló por muchos puntos

se ha con severidad deformado (p.ej, ver el derecho superior

Fig. 10. Parámetros de generación del camino del instrumento de un instrumento triangular.

A la vez t las coordenadas de P (t), Q (t), y R (t), y

T () se dan así:

P t xA,d t

Q t xAlsin , d t l porque

segmento de los modelos físicos en Higos. 7-8). Inclusoaunque la profundidad de reducción y diámetro del instrumento fueradisminuido, el nivel de deformación no se desapareció.

R t pecado de xAl , d t l porque

T tPt Q t R t

(3)

4. Eliminación de Errores

Esta sección perfila algunas estrategias de eliminarlos errores hicieron un informe en las dos secciones anteriores. En primer

lugar, el

el error de la forma llamó el sobrante se considera. La forma del

la herramienta de corte crea este error. Por lo tanto, otras formas de se puede considerar que la herramienta de corte elimina el error. Un

3

En ecuación (3), es el ángulo esto PQ el borde hace con el borde AB PR el borde hace con El borde de AB, d es la distancia entre puntos A y P (en t =0, d = AB/2), y es el en la comida (mm/segundo).

Deje a N ser la velocidad rotatoria del instrumento (revoluciónpor segundo (rps)). Los ángulos y se puede expresar en términos de N, así:

A.M.M. Sharif Ullah et al. / Procedia CIRP 12 (2013) 43 – 48 47

32 Nt

32 Nt (4)

(x1,y1)Las coordenadas de T () se usan para generar el NC

programa. La distancia máxima viajada por P es d y para estas fechas el Q debería tocar sólo el borde AB. Por otra parte, a la colisión ocurre. Esto cede la relación siguienteentre el en la comida, talla de la velocidad divisoria, rotatoria, y tiempo disponible para trabajar a máquina (ta).

1(5)

d

r

(x3,y3)

(x2,y2)

6Nd ta6N

Las relaciones mostradas en la ecuación (5) indican estouna velocidad rotatoria muy baja, así como un muy lento en -aliméntese, es necesario para quitar el sobrante. Adelante las investigaciones son necesarias en este aspecto, sin embargo.

Recuerde los modelos físicos de fractals basado IFS como

(xc,yc)Fig. 12. Una correlación para crear puntos por rotación y traducción.

,entrada: xc, yc, x y

1 1

girar x , y alrededor x , y ,x y

mostrado en Higos. 7 y 8. El problema principal es el desigual de modo que

1 1 c c 2 2

distribución de los puntos ese modelo la forma. Estoel problema se puede eliminar desde muchos puntos de vista. Uno del

x2xcxcx1

porque ycy1

pecado

los caminos francos son remodelar el contorno e interior y2ycxcx1sin ycy1cos (6)

segmento usando algunas curvas. Tal remodelar esexplicado en Fig. 11. Como visto de Fig. 11, para el bien

de remodelar, es importante identificar a un representante

extenderse x2, y2to

una distanciade modo que

x

,r x y

3 3

segmento del modelo. Remodelar se aplica alpartes externas e interiores del segmento representativola utilización de una correlación, como mostrado en Fig. 12. Las relacionesentre los puntos usados en la correlación se definen porecuación (6). Como visto de Fig. 12, las necesidades de correlacióndos puntos dados (((xc, yc) y ((x1, y1)), un ángulo (), y adistancia (r). El punto (x1, y1) puede ser hecho girar por un ángulo

alrededor ((xc, yc) para generar un punto (x2, y2). El otro el punto, ((x3, y3), se genera en el paso de la línea (xc, yc) y ((x2, y2) a una distancia r de ((xc, yc). Similarel procedimiento se puede aplicar recurrentemente para generar puntos

1

0.5

0

x3

y3

c,2

dyc,2

d

r xc

r yc

5

0

-5

como ((x2, y2) y (x3, y3). Los valores de y r puede ser redefinido después de cada iteración. Después de funcionar eliteración tan muchas veces como necesario, los puntos ((xc, yc) y

0 10 20 30Iteraciones

0 10 20 30 Iteraciones

(x1, y1) de la primera iteración y los puntos jugando elel papel de ((x3, y3) en cada iteración son usados para representar elforma remodelada. La figura 13 muestra cómo r y son redefinido después de cada iteración para crear el contorno.

Camino del instrumento

interior

p

Un representante

Fig. 13. Anglo de rotación y funciones de la distancia.

La utilización de final moliendo (diámetro del instrumento 1 mm) ellos contornos remodelados del fractals mostrado en Fig. 11 tienensido fabricado. El resultado se muestra en Fig. 14. Comovisto de Fig. 14, el contorno deseado de la forma tienesido creado correctamente y ninguna deformación de la forma son observado, como se observó en el caso anterior. En ella siguiente fase de la investigación, las tentativas se harán a materiales de retiro de la parte interior delfractals remodelado. De estos camino los errores industriales de IFS fractals basado se puede eliminar.

Sin embargo, el procedimiento presentado de remodelar pone

IFS basadomodelo de árbol

segmento Modelo para trabajo a máquina una carga suplementaria en el usuario porque el usuario tiene quedefina r y. Para reducir la carga, el usuario debería ser asistido por un medio de modo que s/he pueda fácilmente indentify el

Fig. 11. Remodelar de IFS generó fractals.

r (

m m

)

( )

48 A.M.M. Sharif Ullah et al. / Procedia CIRP 12 (2013) 43 – 48

funciones requeridas para determinación r y. Esta cuestión [5] Dekking, F.M., 1982. Juegos recurrentes, Avances en

Matemáticas,

permanece abierto para nuevas investigaciones.

Fig. 14. Trabajo a máquina de fractals basado IFS remodelado.

5. Conclusión de Comentarios

El Diseño asistido por el ordenador (CAD) de fractals es acampo madurado. Al contrario, Automatizado La fabricación (de la LEVA) de fractals todavía es un nuevo campo. Ellos autores han proporcionado algunas perspicacias en el sin errorfabricación de fractals cualquiera usando aditivo la fabricación o usando fabricación de sustracción.

En particular, el relleno del espacio del Hilbert-tipo fractals es fabricado usando tanto aditivo como de sustracción los procesos de fabricación y fractals basado IFS sonfabricado por fabricación de sustracción. Adelante la investigación es necesaria para materializar totalmente el presentado estrategias de eliminar los errores industriales de fractals.

Reconocimientos

Los autores reconocen las contribuciones de dosex-estudiantes de Instituto Kitami de Tecnología Sr. Masaki Sakai y el Sr. Tooru Ogura.

Referencias

[1] Mandelbrot, B.B., 1967. ¿Cuánto de largo es la costa de Gran Bretaña?

Autosemejanzas estadísticas y dimensión fraccionaria, Ciencia, Vol.156, No.3775, p.636.

[2] Mandelbrot, B.B., 1982. La Geometría Fractal de Naturaleza, SanFrancisco:W. H. Freeman.

[3] Barnsley, M., 1993. Fractals en Todas partes. San Diego: académicoApretar.

[4] Hutchinson, J. (1981). Fractals y autosemejanzas, IndianaDiario de Matemáticas universitario, Volumen 30, núm. 5, pp.713-747.

Vol.44, No.1, p.78. [6] Purintrapiban, U., Kachitvichyanukul, V., 2003. Descubrimiento

modelos en datos de proceso con dimensión fractal, Ordenadores &

Ingeniería industrial, Volumen 45, núm. 4, p.653. [7] Espinilla, M., Mun, J., Jung, M., 2009. Marco de autoevolución de

sistemas industriales basados en organización fractal, Ordenadores

& Ingeniería industrial, Volumen 56, núm. 3, p.1029. [8] Marrón, C.A., Johnsen, W.A., Butland, R.M., Bryan, J., 1996.

Análisis Fractal sensible a la escala de superficies giradas, CIRP Anales - Fabricación de Tecnología, Volumen 45, núm. 1, p.515.

[9] Mizugaki, Y., Sakamoto M., Sata, T., 1992. Camino de FractalGeneración para un Molde Metálico que pule sistema del robot y su Evaluación por Operability, anales de CIRP - fabricaciónTecnología, Volumen 41, núm. 1, p.531.

[10] Sharif Ullah, A.M.M., Rahman, M.R., Kachitvichyanuluk, V.,Harib, K.H., 2005. Dimensión de Fractal: un nuevo trabajo a máquinaParámetro de toma de decisiones En: Meech, J.A., Kawazoe, Y., Kumar, V., Maguire, J.F. (Redactores). Inteligencia en un pequeñoEl mundo de materiales, Lancaster: Destech Publications Inc, p.470.

[11] Sharif Ullah, A.M.M., Harib, K.H., 2005. Proceso de fabricación Predicción de rendimiento integrándose crujiente y granular

Información, diario de fabricación inteligente, volumen 16, núm. 3,p.319.

[12] Chiu, W.K., Yeung, Y.C., Yu, K.M., 2006. Generación de Toolpath para fabricación de la capa de objetos de fractal, Construcción rápida de prototiposDiario, Volumen 12, núm. 4, p.214.

[13] Griffiths, J.G., 1994.Diseño asistido por el ordenador, Volumen 26, núm. 11, p.839.

[14] Nakatsuka, S., Aoyama, H. 2009. Estudio de Diseño del Estilo Digital - Desarrollo de modelo de la arruga (textura) sistema del diseño - Estudio de diseño del estilo digital, diario de la sociedad de Japón de Ingeniería de precisión, Volumen 75, núm. 7 p.847.

[15] Yeung, Y.C., Yu, K.M., 2004. Manufacturability de FractalGeometría, Foro de la Ciencia de Materiales, Vol.471-472, p.722.

[16] Soo, S.C., Yu, K.M., Chiu, W.K., 2006. El modelado y fabricación de productos artísticos basados en IFS fractal representación, Diseño asistido por el ordenador, Volumen 38, núm. 7, p.755.

[17] Soo, S.C., Yu, K.M. Construcción rápida de prototipos para diseño de autosemejanzas,Diario de tecnología de procesamiento de materiales, volumen 139, No.1-3,p.219.

[18] Sagan, H., 1994. Curvas que llenan el espacio. Nueva York: Springer -Verlag.

[19] Se elevó, N.J. Hilbert-Type Space-Filling Curves, disponible de

http://www4.ncsu.edu/~njrose/pdfFiles/HilbertCurve.pdf (tasado el 2012.03.28, 11:18 Horas JST).

[20] Sotavento, J.H., Prud'homme, R.K., Aksay, I.A., 2001. Profundidad de la cura de fotopolimerización: Experimentos y teoría, Diario deInvestigación de materiales, Volumen 16, núm. 12, p.3536.

[21] Aoki, Y., Yanagi, S., Kubo, A., Tamaki, J., Kameda, T., Sharif Ullah, A.M.M., 2011. Reproducción 3D de un Cristal de la Nieve por Stereolithography, medidas del sexto internacionalConferencia sobre Fabricación del Emplomado en siglo veintiuno, 8-El 10 de noviembre de 2011 Saitama, Japón.

[22] Sharif Ullah, A.M.M., Hashimoto, H., Hayashi, F., Omori, R., Nagara, Y., Kubo, A., Tamaki, J., 2012. Comparación entre Prototyping de madera y convencional: una Eco-fabricaciónPerspectiva. En: diseño para valor innovador hacia a

Sociedad sostenible, p.877. [DOI: 10.1007/978-94-007-3010-6_179].