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Formas y geometríade rango superior
Formas y geometríade rango superior
Victor Tapia
© Universidad Nacional de Colombia© Editorial Universidad Nacional de Colombia© Victor Tapia Profesor Facultad de Ciencias, sede Bogotá
Editorial Universidad Nacional de ColombiaDirectorLuis Ignacio Aguilar Zambrano
Comité editorialGustavo Zalamea Traba, profesor Facultad de Artes, sede BogotáJulián García González, director sede OrinoquiaLuis Eugenio Andrade Pérez, profesor Facultad de Ciencias, sede BogotáLuis Ignacio Aguilar Zambrano, director Editorial Universidad Nacional de Colombia
Primera edición, 2010ISBN 978-958-719-452-4Diseño de la Colección Obra SelectaMarco Aurelio Cárdenas, profesor Facultad de Artes, sede Bogotá
EdiciónEditorial Universidad Nacional de [email protected]
Bogotá, 2010Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin la autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales
Impreso y hecho en Bogotá, Colombia
Catalogación en la publicación Universidad Nacional de Colombia Tapia Espinoza, Victor Manuel, 1958- Formas y geometría de rango superior / Victor Tapia. – Bogotá : Universidad Nacional de Colombia, 2010 xvi p. 282, il. -- (Colección obra selecta)
Incluye referencias bibliográficas
ISBN : 978-958-719-452-4
1. Geometría euclidiana 2. Geometría del espacio 3. Formas diferenciales 4. Geometría de Riemann 5. Física matemática I. Tít. II. Serie
CDD-21 516.2 / 2010
The danger of asserting dogmatically that an axiom based on the experience of a limited region holds universally will now be to some extent apparent to the reader. It may lead us to entirely overlook, or when suggested at once reject, a possible explanation of phenomena. The hypothesis that space is not homaloidal, and again, that its geometrical character may change with the time, may or may not be destined to play a great part in the physics of the future; yet, we cannot refuse to consider them as possible explanations of physical phenomena, because they may be opposed to the popular dogmatic belief in the universality of certain geometrical axioms –a belief which has arisen from centuries of indiscriminate worship of the genius of Euclid.
Clifford, 1885
[Sachheri’s] brilliant failure is one of the most remarkable instances in the history of mathematical though of the mental inertia induced by an education in obedience and orthodoxy, confirmed in mature life by an excessive reverence for the perishable works of the inmortal dead [Euclid]. With two geometries, each as valid as Euclid’s in his hand, Saccheri threw both away because he was willfully determined to continue in the obstinate worship of his idol, despite the insistent promptings of his own sane reason.
Bell, 1947
People have often tried to figure out ways of getting these new concepts. Some people work on the idea of the axiomatic formulation of the present quantum mechanics. I don’t think that will help at all. If you imagine people having worked on the axiomatic formulation of the Bohr orbit theory, they would never have been lead to Heisenberg’s quantum mechanics. They would never have thought of non-commutative multiplication as one of their axioms which could be challenged. In the same way, any future development must involve changing something which people have never challenged up to the present, and which will be not be shown up by an axiomatic formulation.
Dirac, 1973
Agradecimientos
Este proyecto comenzó en mayo de 1991 durante una visita al Joint Institute for Nuclear Research, Dubna, Unión Soviética. Agradezco al profesor Vladimir G. Kadyshevsky por la hospitalidad en Dubna. Posteriormente el proyecto se desarrolló gracias a la hospitalidad de: The Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics, Trieste, Italia; el Istituto di Fisica Matematica ‘J.-Louis Lagrange’, Università di Torino, Italia; el Centro de Investigación en Física, Universidad de Sonora, Hermosillo, Sonora, México; y el International Institute of Theoretical and Applied Physics, Iowa State University, Ames, Iowa, Estados Unidos. Agradezco la colaboración entusiasta de mis colegas Az-Edine Marrakchi y Dennis K. Ross. Un agradecimiento especial a Dora Perilla por su magnífico trabajo editorial.
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FORMAS YGEOMETRÍA DE
RANGO SUPERIOR
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PREFACIO
Contenido
Prefacio xiii
1. Introducción 1 1.1. La geometría euclideana 1 1.2. La geometría en el Renacimiento 2 1.3. La geometría no euclideana 4 1.4. El concepto de distancia 6 1.5. Von Helmholtz y el carácter euclideano del espacio físico 10 1.6. La geometría como una rama de la física 12 1.7. Geometría de rango superior 14 1.8. Formas de rango superior 15
Primera parte Preliminares
2. Matrices 21 2.1. Cálculo matricial 21 2.2. Notación indicial 27 2.3. Permutaciones y discriminantes 30 2.4. Hipermatrices 33 3. Cuadrados semimágicos 37 3.1. Particiones y combinatoria 37 3.2. Cuadrados semimágicos 38 3.3. Permutaciones 42 3.4. Construcción gráfica de invariantes 46 4. Análisis tensorial 51 4.1. Coordenadas 51 4.2. Tensores 53 4.3. Simetrías de los tensores 56 4.4. El símbolo de Levi-Civita 60 4.5. Determinantes 61 4.6. La conexión 62 4.7. El tensor de Riemann 66 4.8. Objetos geométricos 67 5. Geometría riemanniana 71 5.1. El tensor métrico 71 5.2. El símbolo de Christoffel 72 5.3. El tensor de Riemann-Christoffel 73 5.4. Identidades algebraicas 74 5.5. Las identidades de Bianchi 77 5.6. La curvatura 78
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FORMAS YGEOMETRÍA DE
RANGO SUPERIOR
5.7. Simetrías de los espacios de Riemann 79 5.8. Espacios conformemente relacionados 83 5.9. Espacios de Riemann de dos dimensiones 86 6. Panorama de la física contemporánea 91 6.1. Mecánica clásica 91 6.2. Mecánica cuántica 93 6.3. Relatividad especial 95 6.4. Teoría de campos 96 6.5. Campos libres y campos interactuantes 101 6.6. Teorías gravitacionales 103 6.7. El spin de las partículas 109
Segunda parte Matrices y tensores de rango superior
7. Matrices de rango superior 115 7.1. Tensores de cuarto rango 116 7.2. Cuadrados semimágicos 121 7.3. Tensores de sexto rango 130 7.4. Tensores de tercer rango 132 7.5. Resultantes 137 8. Geometría de rango superior 143 8.1. Construcción de invariantes diferenciales 143 8.2. Geometría de rango superior 148 8.3. Espacios conformemente planos con direcciones nulas 149 8.4. El espacio de Humbert 152 9. Física de cuarto rango 157 9.1. Viabilidad física de la geometría de cuarto rango 157 9.2. Teorías de campo en espacios de cuarto rango 160 9.3. Gravitación de cuarto rango à la Palatini 162
Conclusiones 169
Apéndices
A. Cuadrículas 173 A.1. Cuadrículas para r = 4 y s = 3 173 A.2. Cuadrículas para r = 4 y s = 4 175 A.3. Cuadrículas para r = 3 y s = 4 187 B. Ejemplos 189 B.1. Números hipercomplejos 189 B.2. Álgebras ternarias 191 B.3. Mecánica de Nambu 193 B.4. Estados de entanglement 194 B.5. Teorías de campo de spin superior 197 B.6. Spin fraccionario 199
Bibliografía 201
Índice temático 277
xiii
PRESENTACIÓN
Prefacio
El problema del espacio consiste en determinar cuál es la geometría del espacio físico, es decir, la que se da en la naturaleza, y por qué se da tal geometría.
El problema del espacio ya había sido abordado, en forma tácita, en la antigua Grecia, dado que se afirmaba que la geometría del espacio físico era la geometría euclideana. Durante la Edad Media y el Renacimiento la formulación axiomática de la geometría euclideana comenzó a ser objeto de debate, el cual concluyó con la aparición de las geometrías no euclideanas a principios del siglo XIX. La conclusión fue que existían dos tipos de geometría: la geometría física, la que se da en la naturaleza, y la geometría lógica (o matemática), la cual se puede formular en forma puramente axiomática y no necesariamente tiene una contraparte en la naturaleza.
En 1854 Riemann trató de responder a la pregunta de por qué todas estas geometrías eran lógica y matemáticamente posibles. Aunque Riemann no logró dar una respuesta definitiva a la pregunta, sí logró formular la pregunta en un lenguaje matemático más preciso y, además, elaboró los fundamentos de lo que posteriormente sería la geometría riemanniana. Asimismo, una observación importante hecha por Riemann es que la geometría física se tiene que determinar por medios puramente empíricos, experimentales y observacionales, y no se puede decidir a priori.
En 1868 von Helmholtz intent´o determinar cuál de todas las posibles geometrías riemannianas es la que se da en la naturaleza. La conclusión de su argumento, basado en la existencia de cuerpos rígidos, fue que la única geometría física posible era la euclideana. El trabajo de von Helmholtz tiene el mérito de ser el primero en el cual se aborda en forma explícita el problema del espacio. No obstante, el argumento de Hemholtz es falaz dado que se presupone justamente aquello que se desea demostrar; por lo tanto, no se puede considerar como un argumento válido.
Aunque el problema del espacio no hab´ıa sido resuelto en forma satisfactoria, éste fue olvidado hasta principios del siglo XX cuando Einstein, en 1915, desarrolló la teoría de la Relatividad General, la cual afirma que la geometría física es riemanniana. La pregunta ahora ya no era determinar cuál geometría riemanniana se da en la naturaleza, sino determinar por qué la geometría es riemanniana, es decir, basada en formas cuadráticas.
El problema del espacio fue reformulado por Weyl en 1923; además fue quien le dio el nombre das Raumproblem, es decir, el problema del espacio, con el cual se conoce desde entonces. Para Weyl, más importante que explicar
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FORMAS YGEOMETRÍA DE
RANGO SUPERIOR
por qué la geometría física es riemanniana era explicar el carácter pitagórico, es decir, cuadrático, de la geometría física. Sin embargo, Weyl estaba realmente más interesado en justificar la geometría que él había introducido recientemente. La geometría de Weyl, que posteriormente llevó al concepto de teorías de gauge, está basada en el concepto de grupo, en el cual una operación de composición binaria es fundamental. De ahí el interés de Weyl por el carácter pitagórico de la geometría física.
El problema del espacio se traduce en el problema de determinar las relaciones métricas que existen entre los distintos puntos del espacio físico, lo cual es una tarea que corresponde a la física y a la cosmología. De hecho, Sandage se refiere al problema como geometría experimental.
La física teórica tuvo grandes desarrollos durante el siglo XX. Además de la Relatividad General, se desarrolló la mecánica cuántica, la cual fue capaz de explicar los procesos atómicos y moleculares. La cuantización del campo electromagnético dio origen a la electrodinámica cuántica, cuyas predicciones son hasta ahora las más precisas de la física. Los intentos por abordar el problema del espacio se enmarcan dentro de los marcos teóricos de la Relatividad General y de la mecánica cuántica. Sin embargo, los argumentos de la física teórica que buscan dar respuesta al problema del espacio también son falaces.
Por otra parte, a pesar de los grandes éxitos de la física teórica durante el siglo XX, la cuantización de la gravitación, debido a varias inconsistencias matemáticas, no ha sido posible. Esto ha hecho que en física teórica se empiecen a considerar otros tipos de teorías en las cuales el campo gravitacional aparece ya cuantizado. Esta necesidad llevó al desarrollo de la teoría de cuerdas, la cual es matemáticamente consistente. La necesidad de reconciliar la renormalizabilidad, la invariancia de escala y la integrabilidad obliga a que esta teoría se deba formular en un espacio de dos dimensiones. Sin embargo, dos es bastante diferente de cuatro, la dimensión aceptada del espacio-tiempo. Este hecho y la falta de un sustento experimental de la teoría de cuerdas han forzado nuevas consideraciones teóricas.
Debido a un notable teorema, la consistencia se puede obtener en cuatro dimensiones si se considera una geometría de cuarto rango. Otros desarrollos independientes de la física teórica de altas energías también han mostrado la necesidad de considerar geometrías de rango superior. En forma concomitante se deben considerar spines fraccionarios, campos de spin superior y gravedad de cuarto rango. Por lo tanto, se hace necesario el estudio de las formas de rango superior y de la geometría de rango superior.
La importancia del problema del espacio y el estudio de las geometría de rango superior es reciente. De hecho, gran parte de las matemáticas está basada en el concepto de formas cuadr´aticas y de operaciones binarias. Pero, cuando se intenta ir a formas cúbicas, cuárticas o de orden superior, y a operaciones de una aridad superior, aparecen grandes dificultades técnicas. El propósito de esta monografía es describir algunos de los desarrollos alcanzados en esta dirección.
xv
PREFACIO
En la primera parte mostramos los desarrollos convencionales relacionados con las formas cuadráticas, la geometría riemanniana y los resultados básicos de la física. La selección de temas y de enfoques se ha hecho de manera tal que sean evidentes las diferencias que aparecen cuando se consideran las formas y la geometría de rango superior. La segunda parte de este trabajo está dedicada a presentar algunos resultados para formas y geometría de rango superior y sus aplicaciones a la física.
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FORMAS YGEOMETRÍA DE
RANGO SUPERIOR
1
1 Introduccion
Hieraus entsteht die Aufgabe, die einfachstenThatsachen aufzusuchen, aus denen sich die
Massverhaltnisse des Raumes bestimmen lassen.
Riemann, 1854
1.1 Geometrıa euclideana
Las primeras referencias a la geometrıa se pueden encontrar en Greciaen el siglo V antes de nuestra era. Los griegos comenzaron el estudio sis-tematico de objetos tales como lıneas, planos, polıgonos, secciones conicasy esferas, y lograron, a partir de muy pocas suposiciones acerca de estosobjetos, obtener un gran numero de resultados.
Las suposiciones de los griegos acerca de puntos, lıneas y planos,involucraban una doble idealizacion de las relaciones entre puntos, barrasrıgidas y superficies planas. En primer lugar, se despreciaba la extensionde los puntos como tambien el grosor de las barras y de las superficies.En segundo lugar, se suponıa que la longitud de las barras, rectas, sepodıa hacer tan grande como se quisiera.
Los resultados de los estudios geometricos en la antigua Grecia fueronresumidos por Euclides en su obra Los Elementos en el siglo III antesde nuestra era. Por muchos siglos Los Elementos de Euclides fueronel paradigma del rigor matematico y los mejores textos de geometrıaestaban escritos siguiendo el estilo de la obra de Euclides.
Euclides estructuro su geometrıa de acuerdo con el metodo deductivoen el cual las definiciones, postulados y axiomas sirven de base para losteoremas. Entre ellos el Postulado de las Paralelas1 es especial en el sen-tido de que es la parte mas difıcil de la geometrıa euclideana. De acuerdo
1 Este postulado tambien se conoce como ‘postulado de Euclides’ o ‘quinto postu-lado’.
2 1 Introduccion
con el Postulado de las Paralelas, dos lıneas rectas son paralelas si se en-cuentran en un mismo plano y, si se prolongan en forma indefinida enambas direcciones, nunca se encuentran en ninguna de las dos direcciones,es decir, no se intersectan. El Postulado de las Paralelas no es suficiente-mente evidente como para ser aceptado en forma intuitiva, como sucedecon los otros postulados, y de ahı los multiples intentos de demostrarloa partir de otros postulados y teoremas de la geometrıa.
La epistemologıa mejor formulada en esa epoca era la de Aristoteles,en la cual se hace una clara distincion entre conceptos “primitivos” y“derivados”. La existencia de los conceptos “derivados” se debıa demos-trar, mientras que la existencia de los conceptos “primitivos” simple-mente se suponıa y aceptaba tal como era. Los postulados de Euclidesestan disenados de manera tal que garantizan la existencia de los con-ceptos geometricos usuales.
Los griegos intentaron desarrollar la geometrıa a partir de supuestosque no involucraran suposiciones a priori acerca de la naturaleza de lageometrıa. Pero, una teorıa deductiva, tal como lo es la geometrıa, con-tiene conceptos que, dentro de la teorıa misma, quedan indefinidos, y deproposiciones que, dentro de esta misma teorıa, no se pueden demostrar.Es este enfoque axiomatico el que se encuentra en la estructura logica deLos Elementos de Euclides.
Desde una perspectiva contemporanea la geometrıa euclideana se ca-racteriza como una geometrıa en la cual es valido el Teorema de Pitago-ras, el cual afirma que la distancia entre dos puntos se puede obtenercomo la suma de los cuadrados de las distancias a lo largo de direccionesindependientes. La formula correspondiente es
c2 = a2 + b2 . (1.1.1)
Es esta propiedad pitagorica de la geometrıa euclideana la que marcatodo el desarrollo posterior, no solo de la geometrıa, sino que tambien,en general, de las matematicas.
1.2 La geometrıa en el Renacimiento
Hubo que esperar hasta el siglo XVII para que empezaran a aparecercambios en el estudio de la geometrıa. Descartes y Fermat introdujeronmetodos basados en el uso de coordenadas. Por otra parte, la aplicaciondel calculo diferencial e integral a la geometrıa dio origen a la descripcion
1.2 La geometrıa en el Renacimiento 3
de las propiedades locales de las curvas, tales como sus pendientes, radiosde curvatura, etc. Esta geometrıa diferencial es un desarrollo que vamas alla de la formulacion usual de la geometrıa euclideana, aunque sincuestionar sus fundamentos.
No obstante estos desarrollos, uno de los problemas que seguıa preo-cupando a los geometras era la presunta independencia del Postulado delas Paralelas.
En 1773 (ano de su muerte) Saccheri publico el tratado Euclides abomni naevo vindicatus: sive conatus geometricus quo stabiliuntur primaipsa universae Geometriae Principia [Euclides reivindicado de toda man-cha] en donde por primera vez no se supone la validez del Postulado delas Paralelas.
Saccheri habla de tres hipotesis: la del angulo obtuso, la del angulorecto y la del angulo agudo, de las que una y solo una ha de verifi-carse. Todas las demostraciones son correctas y en consecuencia todoslos teoremas de Saccheri son validos. Hoy sabemos que estas geometrıastienen la misma consistencia logica que la geometrıa euclideana. Sac-cheri demostro rigurosamente sus teoremas, pero nunca creyo que sunueva geometrıa estuviera exenta de contradiccion.
La caracterıstica distintiva de los escritos geometricos de Saccheri seencuentra en su metodo de demostracion logica, el cual es simplementeun metodo particular de razonamiento, ya usado por Euclides, el cualconsiste en suponer como hipotesis que la proposicion que se va a de-mostrar es falsa, llegar a una contradiccion, y de esta manera llegar aque la proposicion debe ser verdadera. Adoptando esta idea Saccherisupone que el Postulado de las Paralelas es falso y busca algun resultadoque le permita afirmar la verdad del postulado.
El aporte mas valioso y profundo de Saccheri a la resolucion de laproblematica planteada por el Postulado de las Paralelas fue su des-cubrimiento de un metodo adecuado para asegurar que se lograrıa elesclarecimiento de la cuestion propuesta.
Tanto en el Euclides ab omni naevo vindicatus como en Los Elemen-tos encontramos un sistema axiomatico en el cual los terminos o con-ceptos se toman del mundo fısico y cuyos sucesivos teoremas enuncianproposiciones verdaderas del espacio fısico. Hay que tener en cuenta estafilosofıa de las matematicas si queremos evaluar historicamente el pro-greso aportado por la creacion de las geometrıas no euclideanas. Lasactuales teorıas de sistemas axiomaticos y el concepto mas abstracto de
4 1 Introduccion
una geometrıa matematica, se basan en conceptos que no son exclusi-vamente tomados del mundo fısico (aunque no prescindan totalmente deella) y sus teoremas enuncian proposiciones validas, aunque no necesaria-mente verdaderas. Por otra parte, esta geometrıa no esta necesariamentesupeditada a la geometrıa fısica.
La influencia de Saccheri en la creacion de la geometrıa hiperbolicaes sustancial en el sentido de que hizo una contribucion decisiva en eldesarrollo y separacion de las geometrıas. La importancia del Euclides abomni naevo vindicatus es que contiene un comienzo notablemente exac-to y extenso del desarrollo posterior de la geometrıa hiperbolica llevadoa cabo simultaneamente por Gauss, Bolyai y Lobachevski. Una de lasconsecuencias inevitables del metodo introducido por Saccheri es que ala larga los matematicos establecerıan una nueva geometrıa que entrarıaen competencia con la geometrıa de Euclides con respecto a cual es laverdadera.
La fuerza de nuestra intuicion hace parecer irreal la geometrıa noeuclideana, lo cual impidio que Saccheri creyera lo que su razon habıadescubierto.
Con la introduccion de las coordenadas por parte de Descartes y lainvencion del calculo infinitesimal el Teorema de Pitagoras se reexpresacomo
ds2 = dx2 + dy2 . (1.2.1)
Esta expresion se extiende facilmente a tres dimensiones como
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 . (1.2.2)
Las dos expresiones anteriores corresponden a formas cuadraticas. Porlo tanto, lo que ahora caracteriza la pitagoricidad de la geometrıa fısicason las formas cuadraticas.
1.3 Geometrıa no euclideana
La geometrıa no euclideana tiene su origen en los intentos de los geome-tras por dilucidar la independencia del Postulado de las Paralelas en lageometrıa euclideana.
Hasta antes de Gauss, el concepto de geometrıa era bastante sencilloen dos aspectos. En primer lugar, no hacıa distincion, como se hace
1.3 Geometrıa no euclideana 5
ahora, entre la geometrıa como una parte de la matematica, y la geo-metrıa como una parte de la fısica. En segundo lugar, debido a quela geometrıa estaba todavıa en sus comienzos y a la identificacion men-cionada anteriormente de los dos conceptos de geometrıa, solo se consid-eraba la nocion de geometrıa que se obtenıa a partir del espacio fısico.La idea de separar los dos conceptos de geometrıa y admitir que ambasgeometrıas son igualmente validas aparece por primera vez en el trabajode Riemann.
Al parecer, Gauss fue el primero en tener una vision clara de unageometrıa independiente del Postulado de las Paralelas. Gauss comenzosus investigaciones sobre el Postulado de las Paralelas en 1792. Pro-bablemente en 1808, y quizas ya en 1799, Gauss habıa ido mucho maslejos que Saccheri en los desarrollos de la geometrıa no euclideana. En1821, Gauss se enfrento a problemas de geometrıa diferencial y pu-blico los resultados de su trabajo en 1827 en Disquisitiones generalescirca superficies curvas [Estudios generales acerca de superficies curvas].Para esa epoca, ya estaba convencido de que el Postulado de las Pa-ralelas no se podıa demostrar y que otra geometrıa, no euclideana,2 eramatematicamente posible. Gauss fue el primero en darse cuenta de quetenıa en sus manos una geometrıa no euclideana consistente y bastantecompleta, la misma desarrollada por Saccheri casi cien anos antes. Sinembargo, Gauss publico sus resultados treinta anos despues, es decir,despues de que Lobachevski (1840) y Bolyai (1832), habıan ya publicadolos suyos.
Por una parte, Gauss estudio las superficies definidas en forma intrın-seca –esto es, sin ninguna referencia al espacio en el cual estaban inmer-sas– y las considero como generalizaciones del plano. Estas superficiesestan caracterizadas por el tensor metrico, cuyas componentes, por sumismo caracter, dependen del sistema de coordenadas considerado. Lagran contribucion de Gauss fue el haber descubierto la existencia de uninvariante diferencial que caracterizaba las propiedades de tal superficiey que no dependıa de las coordenadas. Este invariante corresponde a loque hoy en dıa llamamos curvatura. En el caso de una superficie definidaen forma extrınseca (caso especial del caso intrınseco), es decir, a travesde su inmersion en un espacio euclideano, el invariante descubierto porGauss es solo el producto de los inversos de los radios de curvatura de lasuperficie, y por lo tanto es una medida de la curvatura de la superficie.
2 El termino “geometrıa no euclideana” fue acunado por Gauss en 1824.
6 1 Introduccion
La nueva geometrıa fue descubierta en forma independiente por elmatematico hungaro Janos Bolyai (1802–1860). Su investigacion originaldel problema de las paralelas fue publicada en 1832 en la forma de unapendice, el cual contiene una exposicion elemental de los fundamentosde la nueva geometrıa, al primer volumen de un curso de matematicasescrito y publicado por su padre Farkas Bolyay (1775–1856).
La geometrıa no euclideana fue en gran parte una curiosidad parala mayor parte de los cientıficos de la primera mitad del siglo XIX. Adiferencia de Saccheri, Gauss creıa en la realidad de la geometrıa noeuclideana y propuso metodos para medir la curvatura espacial (Gauss,1827).
La necesidad de determinar la geometrıa fısica llevo a Gauss a realizaren 1827 un experimento, la triangulacion en las montanas Harz de los pi-cos Hohenhagen, Inselsberg y Brocken. La intencion del experimento eradeterminar la suma de los angulos internos del triangulo, es decir, medirdesviaciones con respecto a la geometrıa euclideana de un espacio planoy determinar cual de las geometrıa no euclideanas apenas descubiertasdescribıa mejor esta geometrıa. El resultado de las mediciones fue quelos angulos internos sumaban (dentro del error de las mediciones) 180◦,y por lo tanto la geometrıa fısica (al menos en las montanas Harz) es eu-clideana. Recientemente, la experiencia de Gauss ha sido reinterpretada,vease (Scholz, 2005).
Schwarzschild (1900), adelantandose en forma notable a los desarro-llos de la Relatividad General, realizo mediciones que permitıan colocarlımites al valor de la curvatura usando la distribucion de paralajes este-lares.
1.4 El concepto de distancia
Los desarrollos iniciados por Gauss culminaron con el trabajo de Rie-mann, quien extendio la descripcion de Gauss a espacios de n dimen-siones. El trabajo que marco este cambio radical es la tesis de RiemannAcerca de las hipotesis en las cuales se basa la geometrıa (1854).
Al parecer, el concepto de distancia, aunque en forma implıcita, fueconsiderado por vez primera por Riemann (1854). A continuacion pre-sentamos una recreacion libre de los argumentos de Riemann.
Antes de comenzar nuestro analisis es necesario advertir que el con-cepto de distancia que se usa en geometrıa diferencial es distinto del con-
1.4 El concepto de distancia 7
cepto mas tradicional de distancia que aparece en el analisis para el cuales valida la desigualdad triangular. De hecho, la desigualdad triangulares valida en espacios euclideanos y otros espacios con propiedades simi-lares, pero es solo una propiedad de estos espacios mas que una condicionque permita elaborar una definicion adecuada del concepto de distancia.
Sean A y B dos puntos cualesquiera sobre un espacio M, y sean xμA
y xμB sus respectivas coordenadas en un cierto sistema de coordenadas x.
A continuacion consideremos una curva γ que une estos dos puntos. Encoordenadas, la curva esta dada por xμ(t), donde t es algun parametroafın a lo largo de la curva γ, tal que
xμ(tA) = xμA ,
xμ(tB) = xμB . (1.4.1)
A continuacion exigimos que la distancia sea aditiva. Esto significa quela distancia entre los dos puntos A y B, medida a lo largo de la curva γ,se puede descomponer en la suma de las distancias entre A y un puntointermedio C y la distancia entre el punto intermedio C y el punto finalB, de modo tal que
dAB = dAC + dCB . (1.4.2)
Si iteramos este procedimiento se concluye que dAB se puede considerarcomo la suma de elementos infinitesimales de distancia y la expresionfinal debe estar dada por una integral
dAB[t] =∫ B
Af [x(t)] dt , (1.4.3)
donde f [x(t)] es una funcion que depende de la curva γ, es decir de lascoordenadas xμ, y posiblemente de las derivadas de xμ con respecto a t,xμ = dxμ/dt, xμ = d2xμ/dt2, · · ·. En este caso es mas adecuado hablar deun funcional y este hecho se indica a traves del parentesis cuadrado.
El problema, por lo tanto, se traduce en determinar la funcion f quese debe usar en (1.4.3). En otras palabras, se debe determinar comola funcion f depende de la curva γ. Para hacer esto debemos imponeralgunas restricciones sobre f . Supondremos que la distancia entre A yB no depende de la parametrizacion que se use a lo largo de la curva γ.Para esto consideremos una segunda parametrizacion de la curva γ en
8 1 Introduccion
terminos de un parametro τ tal que τ = τ(t) y xμ = xμ(τ). Entonces,tendremos
dAB[τ ] =∫ B
Af [x(τ)] dτ . (1.4.4)
La condicion de independencia con respecto a la parametrizacion,dAB[t] = dAB[τ ], se escribe como
∫ B
Af [x(τ)] dτ =
∫ B
Af [x(t)] dt . (1.4.5)
Para que τ sea una parametrizacion valida de la curva γ es necesarioque τ = τ(t) sea una funcion suave y monotona de t. Esto nos permiteescribir
∫ B
Af [x(τ(t))]
(dτ
dt
)dt =
∫ B
Af [x(t)] dt . (1.4.6)
Dado que el intervalo de integracion es arbitrario, se debe tener
f [x(τ(t))]
(dτ
dt
)= f [x(t)] . (1.4.7)
Para determinar la forma de f recordemos la manera explıcita en quexμ y sus derivadas transforman bajo un cambio de parametrizacion. Paralas primeras derivadas se tiene
xμ(t) = xμ(τ) ,
(dxμ
dt
)(t) =
(dτ
dt
) (dxμ
dτ
)(τ) ,
(d2xμ
dt2
)(t) =
(dτ
dt
)2 (d2xμ
dτ 2
)(τ) +
(d2τ
dt2
)2 (d2xμ
dτ 2
)(τ) .
(1.4.8)
Las derivadas de orden superior de xμ involucran derivadas de ordensuperior de τ con respecto a t. Dado que en la condicion (1.4.7) soloaparecen primeras derivadas de τ con respecto a t se podrıa concluir quef depende a lo mas de las primeras derivadas de xμ. Se tiene
1.4 El concepto de distancia 9
f = f
(x,
dx
dt
). (1.4.9)
Entonces
f
(x(t),
(dx
dt
)(t)
)= f
(x(τ),
(dτ
dt
) (dx
dτ
)(τ)
)
= f
(x(τ),
(dx
dτ
)(τ)
) (dτ
dt
). (1.4.10)
Esta condicion se reescribe como
f(x, λ x) = λ f(x, x) , (1.4.11)
lo cual significa que f es una funcion homogenea de primer grado en x.Ahora la relacion (1.4.3) se puede reescribir como
dAB =∫ B
Af(x, x) dt =
∫ B
Af(x, dx) . (1.4.12)
La ultima relacion expresa el hecho de que la distancia es independientede la parametrizacion de la curva y depende solo de los puntos extremosy de la curva. La relacion anterior nos permite introducir la distanciainfinitesimal
ds = f(x, dx) , (1.4.13)
o elemento de lınea, el cual es una funcion que satisface la condicion dehomogeneidad
f(x, λ dx) = λ f(x, dx) . (1.4.14)
Un requisito adicional necesario es que la distancia sea una cantidaddefinida positiva
f(x, dx) > 0 . (1.4.15)
La condicion anterior fue escrita en un momento historico en el cual lasdistancias todavıa eran, por ası decirlo, positivas. Sin embargo, creemosque la condicion (1.4.15) estaba mas orientada a garantizar que las dis-tancias medidas en una direccion a lo largo de una curva fueran iguales
10 1 Introduccion
a las distancias medidas en el sentido opuesto. La condicion anterior sepuede relajar para permitir distancias negativas con la condicion de quese mantengan siempre negativas. Entonces se puede imponer la condicionmas debil
f(x, −dx) = f(x, dx) . (1.4.16)
Una manera de conciliar las relaciones (1.4.14) y (1.4.16) es
f(x, λ dx) = |λ| f(x, dx) , (1.4.17)
ahora sin ninguna restriccion sobre el signo de λ. Esta ultima condiciones la forma mas general en que se puede definir una distancia o elementode lınea.3
Por supuesto, existen muchas soluciones a la condicion (1.4.17) ante-rior. Para fijar las ideas consideremos funciones monomiales de la forma
ds = [Gμ1···μr(x) dxμ1 · · · dxμr ]1/r , (1.4.18)
donde r es un entero positivo. La homogeneidad esta garantizada porconstruccion. Para satisfacer la condicion (1.4.17) es necesario que r seaun numero par. La posibilidad mas sencilla es r = 2, y en este caso seobtiene
ds2 = gμν(x) dxμ dxν , (1.4.19)
lo cual corresponde a la geometrıa riemanniana. El ‘2’ que aparece en(1.4.19) es el mismo ‘2’ que aparece en (1.1.1), (1.2.1) y (1.2.2).
En realidad, la condicion (1.4.7) se puede satisfacer incluso si f de-pende de derivadas de orden superior de xμ. Se llega entonces a lascondiciones de Zermelo (1894).
1.5 Von Helmholtz y el caracter euclideano delespacio fısico
Despues del desarrollo de la geometrıa riemanniana se hizo claro que exis-tıan muchas geometrıas posibles, de las cuales la geometrıa euclideana erasolo una posibilidad. Una pregunta que surgio en forma natural era por
3 Los elementos de lınea en los cuales f puede cambiar de signo se pueden usar enla descripcion de fenomenos de histeresis y teorıa de catastrofe; vease (Asanov, 1985).
1.5 Von Helmholtz y el caracter euclideano del espacio fısico 11
que, de todas las geometrıas riemannianas posibles, la geometrıa fısicaes euclideana, y no alguna de las otras geometrıas no euclideanas que,desde un punto de vista logico y matematico, estaban en igualdad decondiciones.
La primera formulacion sistematica de este problema es debida a vonHelmholtz (1868); vease tambien (Lie, 1886, 1890, 1892). La argumen-tacion de von Helmholtz se basa en la existencia de cuerpos rıgidos, y conesta suposicion es posible demostrar que todas las posibles geometrıas rie-mannianas quedan excluidas dejando como unica posibilidad la geometrıaeuclideana.
Que un cuerpo sea rıgido significa que las distancias entre sus puntospermanecen invariantes bajo traslaciones y rotaciones. Esto significa quef debe ser invariante bajo traslaciones
x → x + a , (1.5.1)
y rotaciones
x → x + α y ,
y → y − α x , (1.5.2)
junto con relaciones similares para las otras coordenadas. La solucion es
f = f(dx2 + dy2 + dz2) . (1.5.3)
Es decir, el elemento de lınea depende de los diferenciales solo a travesde la combinacion que se muestra en (1.5.3), y por lo tanto se obtiene lageometrıa euclideana.
Sin embargo, el argumento de von Helmholtz no es completamentesatisfactorio dado que se ha supuesto lo que se pretende demostrar (peti-cion de principio). Un cuerpo rıgido se define como un cuerpo que esinvariante con respecto a traslaciones y rotaciones, operaciones que exis-ten solo en un espacio euclideano.
La argumentacion de von Helmholtz y la verificacion experimental in-directa de Gauss son validas para la escala de distancias macroscopicas denuestra vida diaria y, debido a estos hechos, se considero que el caractereuclideano de la geometrıa fısica es un principio de la naturaleza.
12 1 Introduccion
1.6 La geometrıa como una rama de la fısica
Aunque el problema del espacio no habıa sido resuelto en forma satisfac-toria, el problema fue casi olvidado hasta la aparicion de la RelatividadGeneral.
Intuitivamente, la geometrıa que los sentidos observan en el mundoexterior parece ser euclideana. Las areas aumentan estrictamente comor2, los volumenes como r3, usando la definicion intuitiva de r. El conceptode curvatura espacial es ajeno a la intuicion e irreal para el no cientıfico.
No obstante, si se considera la estructura de la Relatividad Generalcomo una definicion de la realidad, entonces la materia realmente curvaal espacio. Las partıculas se mueven a lo largo de lıneas rectas en unespacio curvo en vez de a lo largo de trayectorias curvas en un espacioplano. Las componentes del tensor metrico quedan determinados por ladistribucion de materia. Es en este sentido que la Relatividad Generalha geometrizado la dinamica.
Con el desarrollo de la Relatividad General el problema del espaciovolvio a tomar importancia. De acuerdo con la Relatividad General lageometrıa del espacio-tiempo es riemanniana. En 1923 Weyl replanteoel problema del espacio.4 El problema ya no era determinar por que detodas las posibles geometrıas riemannianas la geometrıa euclideana es laque se da en la naturaleza, sino mas bien por que de todas las posiblesgeometrıas contenidas en (1.4.17) la que se da en la naturaleza es lageometrıa riemanniana, es decir, pitagorica.
Weyl se acerca bastante a una enunciacion correcta del problema delespacio, de hecho, el nombre que Weyl da a sus estudios, Das Raumpro-blem, hace pensar que el problema haya sido estudiado con un enfoqueadecuado. Sin embargo, en sus estudios posteriores Weyl se aleja desu proposito original. En primer lugar Weyl se limita a estudiar comolas propiedades grupales restringen las posibles geometrıas. Aquı esnecesario recordar que el concepto de grupo aparece del estudio de lassimetrıas de las formas cuadraticas. Por lo tanto, Weyl se limito a estu-diar las geometrıas que pueden servir trivialmente de soporte a simetrıasdescritas por la teorıa de grupos. Por lo tanto, no es extrano que Weylconcluyera (cayendo en un error similar al de von Helmholtz) que la geo-metrıa debe estar descrita por una forma cuadratica. Entre las geome-
4 Weyl fue quien bautizo este problema como Das Raumproblem, o el problemadel espacio, que es el nombre con el cual se lo conoce desde entonces.
1.6 La geometrıa como una rama de la fısica 13
trıas que sobreviven estan la geometrıa riemanniana y lo que hoy cono-cemos como geometrıa de Weyl. Alrededor del trabajo de Weyl se haformado la creencia de que el problema fue resuelto. No obstante, aquıtenemos un mito historico bien establecido debido solo a su frecuenterepeticion.
En conclusion, la formulacion de Weyl del problema del espacio, esdecir, por que la geometrıa del espacio debe ser riemanniana, pitagorica,sigue abierta.
En 1949 Robertson, en un volumen dedicado a Einstein, publica unartıculo titulado Geometry as a branch of physics. Este provocativo tıtulosignifico una clara toma de posicion de la fısica con respecto al problemadel espacio.
El problema de la pitagoricidad del espacio-tiempo ha sido reconsi-derado desde el punto de vista de la fısica teorica. La situacion aquı esdifıcil pues de las pocas contribuciones que han aparecido la mayorıa deellas ignora que la pregunta hace parte del problema del espacio, y porlo tanto desconocen los intentos anteriores por responderla por parte devon Helmholtz, Lie, Weyl y otros. Por otra parte, estos enfoques, deuna u otra manera, se reducen a argumentos circulares en los cuales sesupone lo que se desea demostrar, a saber, la pitagoricidad del espacio;es decir, son explicaciones a posteriori (Ehlers, 1973; Audretsch, 1983;Kasper, 1986).
Quizas una de las propuestas mas serias desde el lado de la fısica esla que esta implıcitamente sugerida en el trabajo de Kaplunovsky y We-instein (1985). La idea es construir una teorıa en la cual no se haga ref-erencia a un espacio–tiempo. Las ecuaciones de campo correspondientestendran un grupo de simetrıa. Si se considera el lımite de bajas energıas,definido convenientemente a traves de algunos parametros de la teorıa,entonces el grupo de simetrıa debiera ser el de las formas cuadraticas.De esta forma una teorıa en la cual no se ha incorporado el concepto deespacio–tiempo puede dar origen al concepto de espacio–tiempo rieman-nianao para bajas energıas.
El concepto de geometrıa experimental fue desarrollado por Sandageen 1988 estudiando la aplicacion de la Relatividad General a situacionesde caracter cosmologico.
Uno de los ideales de la fısica teorica es acercarse cada vez mas a unadescripcion unificada de los fenomenos que se observan en la naturaleza.En los intentos para conseguir este proposito es necesario desarrollar
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teorıas que satisfagan ciertos criterios que posibilitan esta unificacion.Tambien, muchas veces es necesario desarrollar nuevas matematicas paradescribir estas propiedades. Los ejemplos clasicos en este sentido son lasupersimetrıa y la teorıa de cuerdas.
La teorıa de cuerdas es un intento por conciliar los requisitos de in-tegrabilidad, renormalizabilidad e invariancia conforme. Sin embargo,este objetivo se puede lograr solo en dos dimensiones. Para desarrollaruna teorıa fısica algo mas realista, es decir, en cuatro dimensiones, esnecesario considerar espacios descritos por elementos de lınea de rangosuperior.
La necesidad de compatibilizar varios requisitos de consistencia, talcomo la renormalizabilidad, la integrabilidad y la invariancia conforme,nos han llevado a considerar la geometrıa de cuarto rango. En este caso,ademas, es necesario considerar la geometrıa de cuarto rango como res-ponsable por los fenomenos gravitacionales.
En trabajos anteriores (Tapia, 1993, Tapia and Ross, 1998) hemosconsiderado la geometrıa asociada con un elemento de lınea de rango su-perior. Debido a un notable teorema (Tapia, 1993), las teorıas de campobasadas en este tipo de geometrıa son integrables mas alla del lımite bidi-mensional impuesto por la geometrıa riemanniana; vease (Tapia, 1993)para los detalles. En consecuencia, se ha desarrollado una teorıa gravita-cional basada en la geometrıa de cuarto rango. Resultados preliminares(Tapia and Ross, 1998) muestran que este modelo puede acomodar variosresultados observacionales, tal como una constante cosmologica Λ (Os-triker and Steinhardt, 1995) y una anisotropıa del universo (Nodlandand Ralston, 1997).
1.7 Geometrıa de rango superior
Al final de la seccion 1.4 se menciono que la posibilidad mas sencilla parar en (1.4.18) era r = 2. La siguiente posibilidad es r = 4 y en este casose tiene
ds4 = Gμνλρ(x) dxμ dxν dxλ dxρ . (1.7.1)
Esta posibilidad fue mencionada por Riemann en su tesis, pero no laconsidero con mayor profundidad dado que no contenıa el teorema dePitagoras. A pesar de que en la misma tesis Riemann habıa afirmadoque la geometrıa fısica se debıa determinar por medios empıricos, aquı
