Monografia de Geometría Analítica

8/9/2019 Monografia de Geometra Analtica

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GEOMETRA ANALTICA MATEMTICA BSICA I

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MATEMTICA BSICA I

GEOMETRA ANALTICA

DOCENTE:

Lic. Carlos Enrique Moreno Huamn

ALUMNO:

SARMIENTO ZEGARRA, Jaime Idelso

Cajamarca, agosto de 2010

Universidad Nacional de Cajamarca


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CONTENIDO

DEDICATORIA ................................ ................................ ................................ .......................... 4

AGRADECIMIENTO................................ ................................ ................................ ................... 5

INTRODUCCIN ................................ ................................ ................................ ....................... 6

ORIGEN ................................ ................................ ................................ ................................ .... 6

LA LINEA RECTA ................................ ................................ ................................ ..................... 14

DEFINICIONES ................................ ................................ ................................ ........................ 14

CARACTERSTICASDELARECTA ................................ ................................ ............................. 14

PENDIENTEYANGULODEINCLINACINDEUNARECTA ................................ ........................ 14

ECUACIONDELARECTA ................................ ................................ ................................ ......... 15

CONDICIONESDE: ................................ ................................ ................................ .................. 16

REDUCCIONDELAFORMAGENERALALANORMAL ................................ .............................. 17

DISTANCIADEUNPUNTOAUNARECTA ................................ ................................ ................ 18

LA CIRCUNFERENCIA ................................ ................................ ................................ .............. 20

DEFINICIN:................................ ................................ ................................ ........................... 20

DIMENSINDELACIRCUNFERENCIA: ................................ ................................ .................... 20

POSICIONESRELATIVASDEDOSCIRCUNFERENCIAS: ................................ ............................. 20

NGULOSDELACIRCUNFERENCIA: ................................ ................................ ....................... 21

LA PARBOLA ................................ ................................ ................................ ........................ 24

DEFINICIN................................ ................................ ................................ ............................ 24

PROPIEDADESDELAPARBOLA ................................ ................................ ............................ 24

LA ELIPSE ................................ ................................ ................................ ............................... 27

DEFINICION:................................ ................................ ................................ ........................... 27

TANGENTEAUNAELIPSE ................................ ................................ ................................ ....... 28

LA HIPERBOLA ................................ ................................ ................................ ....................... 30

DEFINICIN:................................ ................................ ................................ ........................... 30

ASNTOTAS DE UNA HIPRBOLA................................ ................................ ................................ ..... 34


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APLICACIONES ................................ ................................ ................................ ....................... 36

BIBLIOGRAFA ................................ ................................ ................................ ........................ 37


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DEDICATORIA

A Dios por el don de la vida.

A la Virgen Mara por ser nuestra

madre y cobijarnos en su manto

sagrado.

A mi madre y padre,

que con su paciencia y ternura

alientan en este trabajo.

A mis estimados amigos

por su apoyo tico y moral

que da a di me da fuerzas

para continuar.

El Autor


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AGRADECIMIENTO

Un Sincero Agradecimiento a:

El profesor de Matemtica Bsica:

Lic. Carlos Enrique Moreno Huamn

por sus conocimientos brindados

y por la amistad y estimacin.

Nuestra Universidad Nacional de Cajamarca

por albergarnos en sus aulas del saber.

Al la vida y las cosas que nos brinda

ya sea para bien o mal ya que si no fuese

por este gran don que podramos hacer.

JISZ


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INTRODUCCIN

ORIGEN

La historia del origen de la Geometra es muy similar a la de la Aritmtica, siendo sus

conceptos ms antiguos consecuencia de las actividades prcticas. Los primeroshombres llegaron a formas geomtricas a partir de la observacin de la naturaleza.

El sabio griego Eudemo de Rodas, atribuy a los egipcios el descubrimiento de lageometra, ya que, segn l, necesitaban medir constantemente sus tierras debido aque las inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras. Recordemos que,precisamente, la palabra geometra significa medida de tierras.

Los egipcios se centraron principalmente en el clculo de reas y volmenes,encontrando, por ejemplo, para el rea del crculo un valor aproximado de 3'1605. Sinembargo el desarrollo geomtrico adolece de falta de teoremas y demostracionesformales. Tambin encontramos rudimentos de trigonometra y nociones bsicas desemejanza de tringulos.

Tambin se tienen nociones geomtricas en la civilizacin mesopotmica,

constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: rea delcuadrado, del crculo (con una no muy buena aproximacin de, volmenes dedeterminados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que

esta civilizacin conoca el teorema de Pitgoras aplicado a problemas particulares,aunque no, obviamente, como principio general.

No se puede decir que la geometra fuese el punto fuerte de las culturas china e india,limitndose principalmente a la resolucin de problemas sobre distancias y semejanzas

de cuerpos. Tambin hay quien afirma que estas dos civilizaciones llegaron aenunciados de algunos casos particulares del teorema de Pitgoras, e incluso quedesarrollaron algunas ideas sobre la demostracin de este teorema.

En los matemticos de la cultura helnica los problemas prcticos relacionados con lasnecesidades de clculos aritmticos, mediciones y construcciones geomtricas

continuaron jugando un gran papel. Sin embargo, lo novedoso era, que estosproblemas poco a poco se desprendieron en una rama independiente de lasmatemticas que obtuvo la denominacin de "logstica". A la logstica fueronatribuidas: las operaciones con nmeros enteros, la extraccin numrica de races, elclculo con la ayuda de dispositivos auxiliares, clculo con fracciones, resolucin

numrica de problemas que conducen a ecuaciones de 1er y 2 grado, problemasprcticos de clculo y constructivos de la arquitectur a, geometra, agrimensura, etc.

Al mismo tiempo ya en la escuela de Pitgoras se advierte un proceso de recopilacinde hechos matemticos abstractos y la unin de ellos en sistemas tericos. Junto a lademostracin geomtrica del teorema de Pitgoras fue encontrado el mtodo dehallazgo de la serie ilimitada de las ternas de nmeros "pitagricos", esto es, ternas denmeros que satisfacen la ecuacin a2+b2=c2.


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En este tiempo transcurrieron la abstraccin y sistematizacin de las informacionesgeomtricas. En los trabajos geomtricos se introdujeron y perfeccionaron losmtodos de demostracin geomtrica. Se consideraron, en particular: el teorema dePitgoras, los problemas sobre la cuadratura del crculo, la triseccin de un ngulo, laduplicacin del cubo, la cuadratura de una serie de reas (en particular las acotadaspor lneas curvas).

.Paralelamente, al ampliarse el nmero de magnitudes medibles, debido a la aparicin

de los nmeros irracionales, se origin una reformulacin de la geometra, dando lu garal lgebra geomtrica. Esta nueva rama inclua entre otros conceptos el mtodo deanexin de reas, el conjunto de proposiciones geomtricas que interpretaban lascantidades algebraicas, divisin urea, expresin de la arista de un poliedro regular atravs del dimetro de la circunferencia circunscrita. Sin embargo, el lgebrageomtrica estaba limitada a objetos de dimensin no mayor que dos, siendoinaccesibles los problemas que conducan a ecuaciones de tercer grado o superiores,es decir, se hacan imposibles los problemas que no admitieran solucin medianteregla y comps. La historia sobre la resolucin de los tres problemas geomtricos

clsicos (sobre la cuadratura del crculo, la triseccin de un ngulo, la duplicacin delcubo) est llena de ancdotas, pero lo cierto es que como consecuencia de ellossurgieron, por ejemplo, las secciones cnicas, clculo aproximado del nmero pi, el

mtodo de exhaucin como predecesor del clculo de lmites o la introduccin decurvas trascendentes.

Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicion la necesidad de creacin deuna teora general de las relaciones, teora cuyo fundamento inicial lo constituy el

algoritmo de Euclides.

Las primeras teoras matemticas que se abstrajeron de los problemas concretos o de

un conjunto de problemas de un mismo tipo, crearon las condiciones necesarias ysuficientes para el reconocimiento de la autonoma y especificidad de las matemticas.

El carcter abstracto del objeto de las matemticas y los mtodos de demostracinmatemtica establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia se

comenzara a exponer como una ciencia deductiva, que a partir de unos axiomas,presenta una sucesin lgica de teoremas. Las obras en las cuales, en aquella poca seexponan los primeros sistemas matemticos de denominaban "Elementos".

Se encuentran elementos pertenecientes a muchos autores, sin embargo todos elloshan quedado relegados a un segundo plano tras la obra matemtica ms

impresionante de la historia: Los Elementos de Euclides. "Los Elementos", comodenominaremos a esta obra a partir de ahora, estn constituidos por trece libros, cadauno de los cuales consta de una sucesin de teoremas. A veces se aaden otros dos,los libros 14 y 15 que pertenecen a otros autores pero por su contenido, estnprximos al ltimo libro de Euclides.

En "Los Elementos" de Euclides se recogen una serie de axiomas o postulados quesirvieron de base para el posterior desarrollo de la geometra. Es de especial inters,por la controversia que origin en pocas posteriores el quinto axioma, denominado


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"el de las paralelas", segn el cual dos rectas paralelas no se cortan nunca. Durantesiglos se asumi este axioma como irrebatible, hasta que en el siglo XIX surgieron lasllamadas geometras no eucldeas, que rebatieron este postulado.

Con posterioridad a Euclides y Arqumedes, las matemticas cambiaron fuertemente,

tanto en su forma como en su contenido, haciendo el proceso de formacin de nuevas

teoras ms pausado, hasta llegar a interrumpirse.

Entre las nuevas teoras desarrolladas ocupa el primer lugar la teora de las seccionescnicas, que surgi de las limitaciones del lgebra geomtrica. El inters hacia las

secciones cnicas creci a medida que aumentaban la cantidad de problemas resueltoscon su ayuda. Sin duda, la obra ms completa, general y sistemtica de las seccionescnicas se debe a Apolonio de Perga.

En la poca del dominio romano destacan algunos recetarios en forma de reglas quepermitan el clculo de algunas reas y volmenes; y en especial la conocida frmula

de Hern para calcular el rea del tringulo conocido los tres lados.

Durante el primer siglo del Imperio Musulmn no se produjo ningn d esarrollocientfico, ya que los rabes, no haban conseguido el impulso intelectual necesario,mientras que el inters por el saber en el resto del mundo, haba desaparecido casicompletamente. Fue a partir de la segunda mitad del siglo VIII, cuando comenz eldesenfrenado proceso de traducir al rabe todas las obras griegas conocidas,fundndose escuelas por todo el Imperio.

Destacaremos como avance anecdtico, pero no por ello carente de valor, laobtencin del nmero pi con 17 cifras exactas mediante polgonos inscritos ycircunscritos en la circunferencia realizada por Kashi (s. XV). Despus de ms de 150

aos, en 1593, en Europa, Vite encontr slo nueve cifras exactas. Hubo que esperara fines del siglo XVI y comienzos del XVII para repetir el clcu lo de Kashi.

El rasgo caracterstico ms importante de las matemticas rabes fue la formacin dela trigonometra. En relacin con los problemas de astronoma, confeccionaron tablasde las funciones trigonomtricas con gran frecuencia y alto grado de exactitud, tantoen trigonometra plana como esfrica.

Entre las obras geomtricas destacan las de Omar Khayyam (s. XVI) y Nasir Edin (s. XIII),directamente influenciadas por las obras clsicas, pero a las que contribuyeron condistintas generalizaciones y estudios crticos, como los relativos al axioma euclidiano

del paralelismo, que pueden considerarse como estudios precursores de la geometrano euclidiana.

En el continente europeo, las matemticas no tienen un origen tan antiguo como en

muchos pases del Lejano y Medio Oriente, alcanzando slo xitos notorios en la pocadel medioevo desarrollado y especialmente en el Renacimiento.

Podemos considerar la obra de Fibonacci "Practica Geometriae" como el punto dearranque de la geometra renacentista. Esta obra est dedicada a resolver


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determinados problemas geomtricos, especialmente medida de reas de polgonos yvolmenes de cuerpos.

Otro contemporneo, aunque no tan excepcionalmente dotado fue JordanoNemorarius (1237-?) a quien debemos la primera formulacin correcta del problema

del plano inclinado.

El profesor parisino Nicole Oresmes (1328-1382) lleg a utilizar en una de sus obrascoordenadas rectangulares, aunque de forma rudimentaria, para la representacingrfica de ciertos fenmenos fsicos.

Ya en el siglo XV, poca de las grandes navegaciones, la trigonometra fue separada dela astronoma, alzndose como ciencia independiente de la mano de Regiomontano

(1436-1474), que trat de una manera sistemtica todos los problemas sobre ladeterminacin de tringulos planos y esfricos. Asimismo en esta obra se establece unnotable cambio desde el lgebra literal al lgebra simblica.

Fue Franois Vite (1540-1603) quien dio un sistema nico de smbolos algebraicosconsecuentemente organizado, estableciendo en todo momento, una fuerte conexinentre los trabajos trigonomtricos y algebraicos, de forma que de igual manera que sele considera el creador del lgebra lineal, se le podra considerar como uno de lospadres del enfoque analtico de la trigonome tra, esto es, la goniometra.

Para hacer ms fciles los clculos, los matemticos desarrollaron ciertos

procedimientos en los que, el papel fundamental lo jugaban determinadas relacionestrigonomtricas, lo que llev a la confeccin de numerosas tablas trigonomtricas. Enla elaboracin de tablas trabajaron, por ejemplo, Coprnico (1473 -1543) y Kepler(1571,1630). Semejantes mtodos se utilizaban tan frecuentemente que recibieron el

nombre de "prostaferticos". Ellos fueron utilizados por los matemticos de OrienteMedio, Vite, Tycho Brahe, Wittich, Brgi y muchos otros. Estos mtodos siguieronutilizndose incluso despus de la invencin de los logaritmos a comienzos del sigloXVII, aunque sus fundamentos, basados en la comparacin entre progresiones

aritmticas y geomtricas, comenzaron a fraguarse mucho antes.

Durante el siglo XVII surgieron casi todas las disciplinas matemticas, producindose

en lo que a la geometra se refiere el nacimiento de la geometra analtica.

Sin duda los dos grandes en esta materia y poca fueron Ren Descartes (1596-1650) yPierrede Fermat (1601-1655).

La ltima parte de la famosa obra de Descartes "Discurso del Mtodo" denominada"Gometrie", detalla en su comienzo, instrucciones geomtricas para resolverecuaciones cuadrticas, centrndose seguidamente en la aplicacin del lgebra a

ciertos problemas geomtricos. Analiza tambin curvas de distintos rdenes, paraterminar en el tercer y ltimo libro que compone la obra, con la construccin de lateora general de ecuaciones, llegando a la conclusin de que el nmero de races de

una ecuacin es igual al grado de la misma, aunque no pudo demostrarlo.


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Prcticamente la totalidad de la Gometrie est dedicada a la interrelacin entre ellgebra y la geometra con ayuda del sistema de coordenadas.

Simultneamente con Descartes, Pierre de Fermat desarroll un sistema anlogo al deaqul. Las ideas de la geometra analtica, esto es, la introduccin de coordenadas

rectangulares y la aplicacin a la geometra de los mtodos algebraicos, se concentran

en una pequea obra: "introduccin a la teora de los lugares planos y espaciales".Aquellos lugares geomtricos representados por rectas o circunferencias se

denominaban planos y los representados por cnicas, especiales. Fermat abord latarea de reconstruir los "Lugares Planos" de Apolonio, describiendo alrededor de 1636,el principio fundamental de la geometra analtica: "siempre que en una ecuacin finalaparezcan dos incgnitas, tenemos un lugar geomtrico, al describir el extre mo de unode ellos una lnea, recta o curva". Utilizando la notacin de Vite, represent en primerlugar la ecuacin Dx=B, esto es, una recta. Posteriormente identific las expresionesxy=k2; a2+x2=ky; x2+y2+2ax+2by=c2; a2-x2=ky2 con la hiprbola, parbola circunferenciay elipse respectivamente. Para el caso de ecuaciones cuadrticas ms generales, en lasque aparecen varios trminos de segundo grado, aplic rotaciones de los ejes con

objeto de reducirlas a los trminos anteriores.

La extensin de la geometra analtica al estudio de los lugares geomtricos espaciales,la realiz por la va del estudio de la interseccin de las superficies espaciales porplanos. Sin embargo, las coordenadas espaciales tambin en l estn ausentes y la

geometra analtica del espacio qued sin culminar.

Lo que s est totalmente demostrado, es que la introduccin del mtodo de

coordenadas deba atribuirse a Fermat y no a Descartes, sin embargo su obra no ejercitanta influencia como la Gometrie de Descartes, debido a la tardanza de su edicin y

al engorroso lenguaje algebraico utilizado.

El desarrollo posterior de la geometra analtica, mostr que las ideas de Descartes

sobre la unificacin del lgebra y geometra no pudieron realizarse sino que siguieronun camino separado aunque relacionado.

El surgimiento de la geometra analtica, aliger sustancialmente la formacin delanlisis infinitesimal y se convirti en un elemento imprescindible para la construccin

de la mecnica de Newton, Lagrange y Euler, significando la aparicin de lasposibilidades para la creacin del anlisis de variables.

Ya en el siglo XVIII se complet el conjunto de las disciplinas geomtricas y, excluyendo

slo las geometras no euclidianas y la apenas iniciada geometra analtica,prcticamente todas las ramas clsicas de la geometra, se formaron en este siglo. As

adems de la consolidacin de la geometra analtica, surgi la geometra diferencial,descriptiva y proyectiva, as como numerosos trabajos sobre los fundamentos de lageometra. Entre los diferentes problemas y mtodos de la geometra, tuvieron gran

significado las aplicaciones geomtricas del clculo infinitesimal. De ellas surgi y sedesarroll la geometra diferencial, la ciencia que ocup durante el siglo XVIII el lugarcentral en al sistema de las disciplinas geomtricas. Estudiemos por separado cada unade estas ramas:


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Geometra Analtica:

Bajo esta denominacin se considera aquella parte de la geometra donde se estudian

las figuras y transformaciones geomtricas dadas por ecuaciones algebraicas. Laspuertas a esta rama fueron abiertas, ya en el siglo XVII por Descartes y Fermat, peroslo incluan problemas planos. Hubo de ser Newton quien en 1704 diera un paso

importante al publicar la obra, "Enumeracin de las curvas de tercer orden",clasificando las curvas segn el nmero posible de puntos de interseccin con unarecta, obteniendo un total de 72 tipos de curvas, que se podan representar por

ecuaciones de cuatro tipos. Si designamos ax3+bx2+cx+d=A, entonces las solucionesindicadas sern: xy2+ey=A ; xy=A ; y2=A ; y=A. Sin embargo, lo verdaderamenteimportante de esta obra fue el descubrimiento de las nuevas posibilidades del mtodo

de coordenadas, definiendo los signos de las funciones en los cuatro cuadrantes.

Con posterioridad a Newton, las curvas de tercer orden fueron estudiadas por Stirling,

Maclaurin, Nicolle, Maupertius, Braikenridge, Steiner, Salmon, Silvestre, Shall, Clebschy otros.

Fue Euler quien, en 1748, sistematiz la geometra analtica de una manera formal. Enprimer lugar expuso el sistema de la geometra analtica en el plano, introduciendo

adems de las coordenadas rectangulares en el espacio, las oblicuas y polares. Ensegundo lugar, estudi las transformaciones de los sistemas de coordenadas. Tambinclasific las curvas segn el grado de sus ecuaciones, estudiando sus propiedadesgenerales. En otros apartados de sus obras trat las secciones cnicas, las formascannicas de las ecuaciones de segundo grado, las ramas infinitas y asintticas de lassecciones cnicas y clasific las curvas de tercer y cuarto orden, demostrando lainexactitud de la clasificacin newtoniana. Tambin estudi las tangentes, problemasde curvaturas, dimetros y simetras, semejanzas y propiedades afines, interseccin de

curvas, composicin de ecuaciones de curvas complejas, curvas trascendentes y laresolucin general de ecuaciones trigonomtricas. Todo estos aspectos se recogen enel segundo tomo de la obra "Introduccin al anlisis..." que Euler dedicexclusivamente a la geometra analtica.

En la segunda mitad del siglo se introdujeron slo mejoras parciales, pues en lofundamental, la geometra analtica ya estaba formada. Destacaremos entre otros losnombres de G. Monge, Lacroix y Menier.

Geometra diferencial:

Esta disciplina matemtica se encarga del estudio de los objetos geomtricos, o sea, lascurvas, superficies etc. Su singularidad consiste en que partiendo de la geometra

analtica utiliza mtodos del clculo diferencial.

A comienzos de siglo ya haban sido estudiados muchos fenmenos de las curvas

planas por medio del anlisis infinitesimal, para pasar posteriormente a estudiar lascurvas espaciales y las superficies. Este traspaso de los mtodos de la geometra


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bidimensional al caso tridimensional fue realizado por Clairaut. Sin embargo, su obrafue eclipsada, como casi todo en esta poca, por los trabajos de Euler.

El primer logro de Euler en este terreno, fue la obtencin de la ecuacin diferencial delas lneas geodsicas sobre una superficie, desarrollando a continuacin una completa

teora de superficies, introduciendo entre otros el concepto de superficie

desarrollable.

A finales de siglo, es desarrollo de esta rama entr en un ligero declive, debidoprincipalmente a la pesadez y complejidad del aparato matemtico.

Geometra descriptiva y proyectiva:

Los mtodos de la geometra descriptiva surgieron en el dominio de las aplicaciones

tcnicas de la matemtica y su formacin como ciencia matemtica especial, seculmin en los trabajos de Monge, cuya obra en este terreno qued plasmada en eltexto "Gometrie descriptive". En la obra se aclara, en primer lugar, el mtodo y

objeto de la geometra descriptiva, prosiguiendo a continuacin, con instruccionessobre planos tangentes y normales a superficies curvas. Analiza en captulosposteriores la interseccin de superficies curvas y la curvatura de lneas y superficies.

El perfeccionamiento de carcter particular y la elaboracin de diferentes mtodos deproyeccin constituyeron el contenido fundamental de los trabajos sobre geometraproyectiva en lo sucesivo. La idea del estudio de las propiedades proyectivas de losobjetos geomtricos, surgi como un nuevo enfoque que simplificara la teora de las

secciones cnicas. Las obras de Desargues y Pascal resuelven este problema y sirven debase a la nueva geometra.

Como acabamos de ver la geometra hacia comienzos del siglo XIX representaba ya unamplio complejo de disciplinas surgidas del anlisis y generalizaciones de los datossobre las formas espaciales de los cuerpos. Junto a las partes elementales, se

incluyeron en la geometra casi todas aquellas partes que la conforman actu almente.

La geometra analtica realiz un gran camino de desarrollo y determin su lugar comoparte de la geometra que estudia las figuras y transformaciones dadas por ecuacionesalgebraicas con ayuda del mtodo de coordenadas utilizando los mtodos de l lgebra.

La geometra diferencial se caracteriz por la utilizacin de los conceptos y mtodosdel clculo diferencial, lo que conllev relaciones estables con el anlisis matemtico y

con numerosos problemas aplicados.

Una de las caractersticas principales de la geometra que se desarroll durante lasegunda mitad del siglo XIX, fue el entusiasmo con que los matemticos estudiaronuna gran variedad de transformaciones. De ellas, las que se hicieron ms populares

fueron las que constituyen el grupo de transformaciones que definen la denominadageometra proyectiva. Los mtodos aparentemente detenidos en su desarrollo desde


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la poca de Desargues y Pascal, de estudio de las propiedades de las figuras invariantesrespecto a la proyeccin, se conformaron en los aos 20 del siglo XIX en una nuevarama de la geometra: la geometra proyectiva, merced sobre todo a los trabajos de J.Poncelet.

Otro aspecto esencial durante este siglo fue el desarrollo de las geometras no

euclidianas. Podramos considerar fundador de esta geometra al matemtico rusoNicolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856). Su obra mostraba que era necesario revisar

los conceptos fundamentales que se admitan sobre la naturaleza de la matemtica,pero ante el rechazo de sus contemporneos tuvo que desarrollar sus ideas en solitarioaislamiento.

El punto de partida de las investigaciones de Lobachevski sobre geometra noeuclidiana fue el axioma de las paralelas de Euclides, sin demostracin durante siglos.Lobachevski, que inicialmente intent demostrar dicho axioma, rpidamente se diocuenta que ello era imposible, sustituyendo dicho axioma por su negacin: a travs deun punto no contenido en una recta se puede trazar ms de una paralela que yace en

el mismo plano que la primera.

El ao 1826 puede considerarse como la fecha de nacimiento de esta geometra noeuclidiana o lobachevskiana, siendo en ese ao cuando el autor present muchos delos trabajos que avalaban la nueva teora.

En 1829 Janos Bolyai (1802-1860) lleg a la misma conclusin a la que haba llegadoLobachevski. E incluso el mismo Gauss que apoyaba y elogiaba a escondidas, nunca deforma pblica, los trabajos de Bolyai y Lobachevski, es posible que mantuviera losmismos puntos de vista pero los call por temor a comprometer su re putacin

cientfica.

La geometra no euclidiana continu siendo durante varias dcadas un aspectomarginal de la matemtica, hasta que se integr en ella completamente gracias a lasconcepciones extraordinariamente generales de Rieman.

En esta rama, conocida como geometra analtica, se introduce el empleo de sistemasde coordenadas, mediante los cuales se pueden aplicar procedimientos algebraicos

para estudiar situaciones geomtricas y viceversa.

La geometra analtica estudia los elementos de la geometra euclidiana refirindolos asistemas de coordenadas, como el cartesiano. En este texto nos limitaremos a estudiar

solamente algunas figuras respecto de dicho sistema coordenado.


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GE E R L I E I I I

E PI

14

12

12

12 ; xxxx

yym {

!

LA LINEA RECTA

DEFINICIONES

Des

e e punto de v sta analtico, la ecuacinde una recta y su grfica sirven para

modelar situaciones de variada naturale

a, donde la tasa de crecimiento odecrecimiento es constante como: pagos de impuestos, alargamiento de materiales,costos de productos, interssimple de un capital, ingresoseconmicos, conversin deescalas de temperatura, etc

El uso de estos modelos lineales en la vida es muy e tenso. Es importante por estarazn conocer las diversas definiciones de la lnea recta, entreellasseencuentran:

Geomtricamente: Se definecomo la distancia mscorta entre dos puntos

Analticamente: Es una ecuacin de primer grado con dosvariables.

Grficamente: Es el lugar geomtrico de la sucesin de puntos, tales que, tomadosdos puntos diferentescualesquieraP1 (x1, y1 y P2 (x2, y2 del lugar geomtrico, el valor dela pendiente m essiempreconstante.

CARACTERSTICAS DE LA RECTA

La recta se prolonga al infinito en ambossentidos. La distancia ms corta entre dos puntos est en una lnea recta, (geometra

euclidiana). La recta es un conjunto de puntossituados a lo largo de la interseccin de dos

planos

PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACIN DE UNA RECTA

La pendiente(m)de una recta L se definecomo la razn queexisteen la variacinde ordenadas (eje y) entre la variacin de abscisas (eje x).

La siguiente figura muestra la grfica de la ecuacinlineal y=2x4, en ella se puede observar queel valorde y aumenta en 2 unidades cada vez que el

valor dexaumenta una unidad, La razn decambiode

yentreel cambio correspondiente de

xes

2/1=2.

A esta razn se le llama pendiente de la recta y sedefinecomo sigue:

Si dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) estn en una recta L,la pendientem de la recta, se define como:


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15

1PJ

X

Y

12 yy

12 xx

mTanxx

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12

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xxxx

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Y

),( 111 yxP !

X

)( 11 xxyy !

Y

),(111yxP !

X

m

Y

X

m

),( bo

J

bmxy !

),( 111 yxp ),( 221 yxp

),( 111 yxp

),( bop

Tambin se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente deun ngulo de inclinacin.

m=tan

ECUACION DE LA RECTA1.- Dados dos puntos; y

2.- Dados un punto y la pendiente; y m

3.- Dados la pendiente y su ordenada en el origen; m y


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GE E R L I E I I I

E PI

16

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y

a

x

Y

X

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), oa

),

oap ), bop

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B

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l

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y (ecuacin simtrica)

5.- Ec

ci !

e

er

l"

e l

rect

.

Es el resultado de desarrollar cualquiera de las cuatro formas anteriores, hastallevarlas a la forma general.

PEN#

IENTEDEUNA RECTAA PARTIR DELAECUACIONGENERAL

;

CONDICIONES DE:Paraleli

$

m%

de dos rectas;

Per&

e'

dic(

laridad de dos rectas

ANGULOENTREDOS RECTAS.


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GE E R L I E I I I

E PI

17

0!c

0{c

0{B

12

12

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mmTan

)J

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0cos ! pysenx EE

0222222 !s

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1m

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0! CByAx 0cos ! pyse 23 EE

22BAr s!

ECUACIONES DELA RECTAENLA FORMANORMAL O DEHESSE.

De: ,

,

,

REDUCCION DE LA FORMA GENERAL A LA NORMAL

A

Dividiendo cada termino de la primera ecuacin por laconstante

; obtenemos:

:

Se toma el signo del radical, como sigue:

a) si , el signo del radical ser contrario al dec.

b) si y , el signo del radical ser el mismo deB

c) si c=B=0, el signo del radical ser el mismo deA.


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18

),( 111 yxP !

l

d

Y

X

022

11 !4s

44

!BA

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2

1

2

1

11 m

b

Tan

bp

5

!

5

!E

2

2

2

2,

11 m

b

Tan

bp

6

!

6

!E

2

21,

1 m

bbppd

7

!!

0! CByAx ),( 111 yxp

1p

1p

2m

,p

Y

8

1b

2b

1bmxy !

2bmxy !

11bo

d

Ep

DISTANCIA DE UN PUNTOA UNA RECTA

Dada la recta : y el punto

a) la distancia es positiva (+) cuando el punto esta situado en la parte superior de larecta.

b) la distancia es negativa cuando el punto esta por debajo de la recta.

D9 @ A

AB

C

9A DB

A R D DE @

R DC

A A @ PARALELA @

Dadas las rectas 1bmxy ! y 2bmxy !

La distancia entre dos rectas paralelas siempre es positiva.


19/37

GE E R L I E I I I

E PI

19

2

2

2

2

222

2

1

2

1

111

BA

CyBxA

BA

CyBxA

s

!

s

1l

Y

X

1

F

1d2l

2p

2d

1d

2d

2

2

2

2

222

2

1

2

1

111

BA

CGBHA

BA

CGBHA

s

I

s

ECUACIONDELA BISECTRIZ.

Lab P secQ

r P zde un ngulo es larecQ

a que pasando por el vrQ

P ce d P v P de el ngulo en dos

parQ

es iguales, 2R dd !

... (1)

(2)

EJEMPL ST

:

1)Hallar la distancia entre los puntos P1 (2,-8) y P2 (3, 5)

Solucin:

x2 x1 = 3 2 = 1 ; y2 y1 = 5 (-3) = 13

Luego,

2) Sean P1 (-1, 1) y P2 (3, 0) dos puntosen el plano. Determine:

Coordenadas del punto medio M del segmento

Solucin:

Si el punto medio M tienecoordenadas. M (x m, y m) entonces:

Por lo tanto las coordenadas del punto medio es M(1, )


20/37


EAPIS

20

LA CIRCUNFERENCIA

DEFINICIN:

Es el lugar geomtrico de todos los puntos de un plano que equidistan de otro llamado

centro. La di tancia del cent a un punt cualquiera de la circunferencia es elradio.

DIMENSIN DE LA CIRCUNFERENCIA:

Al ser una lnea, la circunferencia tiene una sola dimensin, la longitud.

Centro de laU

irU

unferenU

ia : punto del que equidistan todos los puntos de la

circunferencia.

Radio de laU

irU

unferenU

ia: segmento que une el centro de la circunferencia concualquier punto de la misma.

Cuerda de laU

irU

unferenU

ia: segmento que une dos puntos de la circunferencia, elradio es perpendicular a la cuerda en su punto medio.

Dimetro de laU

irU

unferenU

ia: es una cuerda que pasa por el centro. Es la cuerda quemayor tamao tiene.

ArU

o de laU

irU

unferenU

ia: es la porcin de circunferencia limitada por dos puntos de la

misma, tambin se puede decir que es cada una de las partes en que una cuerda dividea la circunferencia.

POS

ICIONES

RELA

TIVAS

DE DOS

CIRCUNF

ERENCIAS

:Cir

V

unferenV

ias exteriores: son las que no tienen ningn punto en comn y cada una

est en una regin exterior a la otra.

CirW

unferenW

ias interiores: no tienen ningn punto en comn y una est en la regininterior de la otra.

CirW

unferenW

ias tangentes exteriores : tienen un punto en comn y los dems puntosde cada una de ellas estn en la regin exterior de la otra.

CirW

unferenW

ias tangentes interiores: tienen un punto en comn y los dems puntosde una de ellas estn en la regin interior de la otra.

CirW

unferenW

ias seW

antes: tienen dos puntos en comn.

CirW

unferenW

iasW

onW

ntriW

as : no tienen ningn punto en comn, una esta en elinterior de la otra y tienen el mismo centro pero distinto radio.


21/37


EAPIS

21

Posiciones relativas de una recta y unacircunferencia

Una recta puede estar respecto a una circunferencia:

ReX ta exterior: cuando no tiene ningn punto comn con la circunferencia.

ReX ta tangente: a la circunferencia cuando tiene un punto comn

ReX ta se X ante: a la circunferencia cuando tiene dos puntos comunes .

NGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA:

nguloY

entral: es el ngulo que tiene su vrtice en el centro y sus lados lo forman dos

radios.

-Si dos ngulos centrales son iguales tambin lo son los arcos correspondientes.

-La medida de un arco central es la misma que la de su ngulo central correspondiente.

ngulo ins rito: es aquel que tiene su vrtice en la circunferencia y sus lados sonsecantes a ella.

-La medida de un ngulo inscrito es igual a la mitad del arco que abarca.

ngulo semi-ins rito: es aquel que tiene su vrtice en un punto de la circunferencia yun lado es tangente y el otro secante a ella.

-La medida de un ngulo semi-inscrito es la mitad del arco que abarca.

ngulo interior: es aquel que tiene su vrtice en un punto interior del circulo. Suslados con cuerdas de la circunferencia.

-Un ngulo interior mide la mitad de la suma de las medias de su arcos que abarcan sulados y las prolongaciones de los mismos .


22/37


EAPIS

22

ngulo exterior: es aquel que tiene su vrtice en un punto fuera de la circunferencia ydel circulo y su lados son secantes o tangentes de la circunferencia.

-La medida de un ngulo exterior es la mitad de la diferencia de los arcos que abarca elngulo.

1) 222 FE ! yxr

Si alfa y beta valen cero es porque lacircunferencia est centrada en el eje decartesianas geomtricas:

0,0

222

c

yxr !

1) D ll :

0)2

022

22

22222

!

!

FEyDxByAx

ryyxx FFEE

222

222

2

2

FEFE

F

E

!!

!

!

FrFr

E

D

2

2

E

D

!

!

F

E

22

2

44

EDFr !

Dado que A y B son iguales (por ser una circunferencia), la Ecuacin 2) se divide por A:

022 !

A

Fy

A

Ex

A

Dyx

Ej pl :

1) 043222 ! yxyx

4

29

4

9142

!

!

r

r

Al i gi i , l i i gi i .


23/37


EAPIS

23

Se sigue desarrollando:

4

3

2

31

4

914

4

9312

432

22

22

22

!

!

!

yx

yyxx

yxyx

2) Hallar la interseccin entre la recta 1! yx y la circunferencia

012422 ! yxyx Despejar una componente de la recta y reemplazarla en la ecuacin de la

circunferencia:

1! xy

022

042

0122412

011241

2

22

22

!

!

!

!

xx

xx

xxxxx

xxxx

Se obtienen dos valores de x

!

!

2

0

2

1

x

x

Reemplazando en la ecuacinde larecta:

y

a

!

!

3

1

2

1

y

y


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EAPIS

24

LAPARBOLA

DEFINICIN

Una parbola es el lugar geomtrico de un punto que se mueve en el plano de talo

manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es siempre igual a sudistancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. Al punto fijo se lellamafocoy la recta fijadirectriz.La recta que es perpendicular a la directriz y que pasa por el foco se llamaeje focal,lainterseccin de la parbola con el eje focal se denominavrtice. Lacuerda focales elsegmento de recta perpendicular al eje focal y que pasa por el foco , en nuestra grfica,

esta es el lado recto.

Los elementos de una parbola son entonces: vrtice, foco, longitud del lado recto, y laecuacin de la directriz.Nosotrosestudiaremos nicamente las parbolas con ejesfocales paralelos al ejeXo al eje Y. La distancia del vrtice a la directriz es la mismadistancia del vrtice al foco.

y

Pyx

ocalEje

22 !

P: Parmetro (distancia de la directriz al

puntoF)

2P: es elnmero que acompaaa yoa x

Focosobre eje de Simetra //a x:

F

E

!

s!

1

12

y

Px

Focosobre eje de Simetra //a y:

21

1

Py

x

s!

!

F

E

xPxy FocalEje22 !

EF ! xPy 22 FE ! yPx 22 Vrtice desplazado enEyF

VerticalEje

0

horizontalEje0

2

2

!

!

FEy

Dxx

FEyDxy

PROPIEDADES DE LAPARBOLA

Una de las propiedades geomtricas de la parbola ms utilizada fue descubierta por

los griegos : un rayo, por ejemplo, de luz, que emane del foco, se refleja en la parbolaa lo largo de una trayectoria paralela al eje de la parbola, sin importar cual sea elpunto de reflexin.O recprocamente, un rayo paralelo al eje de la parbola y reflejadoen ella pasa por el foco.Este hecho es til en la construccin de linternas, faros

22

4

82

82

!

!

!

!

P

P

P

xy


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GE E R L I E I I I

E PI

25

automotrices y faros buscadores, en los cuales el reflector tiene una seccintransversal parablica y la fuente luminosa esta en el foco.Igualmente, en lostelescopiosy receptores de radar, lasse b ales de una fuente remota entran paralelas aleje y se reflejan pasando por el foco, mediante un reflector parablico.La potenteconcentracin que produce un reflector parablico grande, como el de unradiotelescopio, hace posible detectar y analizar se b ales luminosas muy pequeb as.

Teorema (propiedad dereflexic

)

La tangente a una parbola en un punto forma ngulos igualescon :

La recta que pasa por y por el foco (ngulo de reflexin).

La recta que pasa por yes paralela al eje de la parbola (ngulo de incidencia).

Ejemplo:

1) Hallar la ecuacin de lassiguientes parbolas:

a) Deeje paralelo al coordenado x, que pase por los puntos(-2 , 1), (1 , 2) y (-1 , 3)

Recordando la frmula: 02 ! FEyDxy

Se reemplazan las x ey por los puntos formando un sistema de 3 ecuaciones con 3

incgnitas:

0313

0212

0121

2

2

2

!

!

!

FED

FED

FED

93

42

12

!

!

!

FED

FED

FED


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EAPIS

26

Resolviendo:

45

21

5

2!!! FED

Reemplazando:

045

21

5

22 ! yxy

b) De eje vertical, que pase por los puntos (4 ,5) ; (-2 , 11) y (-4 , 21).

02 ! FEyDxx

02144

01122

0544

2

2

2

!

!

!

FED

FED

FED

16214

4112

1654

!

!

!

FED

FED

FED

Resolviendo:

1024 !!! FED

Reemplazando:

010242 ! yxx


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EAPIS

27

LA ELIPSE

DEFINICION:

La elipse, al igual que la parbola, es una curva con importantes aplicaciones prcticas,

que abarcan campos como la ingeniera y la astronoma.

De manera tpica esta curva plana tiene forma ovoide. En algunos casos, su forma escompletamente redonda pues toda circunferencia es en realidad una elipse.

Es el lugar geomtrico de un punto P(x, y) que se mueve en un plano, de tal maneraque la suma de sus distancias a dos puntos fijos (llamados focos) de ese plano essiempre igual a una constante y mayor que la distancia entre los dos puntos. que lossepara.

secundarionormaleje

ocalejeVrticesa

Focos,

41

21

!

!!

!

y

xVV

FF

menordimetro2

mayordimetro2

focaldistancia2

vectoresradios, 21

!

!

!

!

b

a

c

PFPF

caca "@" 22

constante21 !PFPF

(1)22cte 211

aPFPFa

VP

!@!

|

222

221

222

1

xcyPF

xcyPF

xcyPF

!

!

!

Reemplazando en (1):

22222224222

22224222

22222

222

222222222

222

222

2222

22

22

resuelvense.

cuadradoalelevansey4-pordivi d ese.444

2.442

resuelvense2

miembrosamboscuadradoalelevanse2

xacxacayaacxaxc

xcxcyaacxaxc

xcyaacx

xcyaacx

xcxcyxcyaaxcxcy

xcyaxcy

xcyaxcy

!

!

!

!

!

!

!


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EAPIS

28

Haciendounaconstruccinauxiliar:

222

222

222

bac

cab

cba

!

!

!

2

2

2

2

22222222

22222222

222222224

1

pordodividirto

ax

b

y

babxyaba

caxyacaa

xcxayacaa

!

!

!

!

12

2

2

2

!b

y

a

xFrmula Cannica de la Elipse

2

2

222

2

22 ; y

b

aaxx

a

bby s!s! El mayor (a o b) da el Eje Focal.

22

222

bac

bac

s!

!

|

c

cF

;

;

E

FExcentricidad: 1!

a

ce

Directrices:

e

s!

s!|

e

ay

e

ax

d

F

E

Ecuacin de la Elipse con centro de simetra desplazado del origen:

F

E

!

!

yy

xx

1

2

2

2

2

!

b

y

a

x FE

TANGENTE A UNA ELIPSE: La ecuacin de la tangente a la elipse centrada en elorigen 222222 bayaxb ! en cualquier punto 111 , yxP de la curva es:

22

1

2

1

2bayyaxxb !


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EAPIS

29

La ecuacin de la tangente a la elipse con centro desplazado, de la forma

1

2

2

2

2

!

b

y

a

x FEen cualquier punto 111 , yxP de la curva es:

1

1

1

2

2

1xx

y

x

a

byy

!

F

E

Las ecuaciones de las tangentes a la hiprbola 222222 bayaxb ! de pendiente m son:

222bmamxy s!

Ejemplos:

1) Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la elipse 1

3

1y

16

4x22

!

en el punto 502P ,; . Representar grficamente.

Se utiliza la frmula de la tangente a la elipse con centro desplazado:

21

21x

41y

2x3

4

16

3

2

1y

2x150

42

16

350y

!

!

!

,,

x4

1y ! Tangente

Para la normal se utiliza la frmulade una recta que pasa por dos

puntos: 11xxmyy !

La pendiente de la normal tiene que

ser perpendicular a la pendiente de

la tangente: 4m4

1m 21 !! ;

2x450y ! , 58x4y ,! Normal


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EAPIS

30

LA HIPERBOLA

DEFINICIN:

La hiprbola es una curva que consta de dos ramas, y que, desde la antigedad fue

llamada hiprbola por los gemetras griegos. Muchos fenmenos de la fsica,ingeniera, biologa y otras ciencias estn representados mediante relaciones deproporcionalidad inversa, cuya grfica es una r ama de esta curva.

Aunque a primera vista podra pensarse que una de tales curvas es una parbola,veremos que no es as. Ambas curvas poseen, como cnicas, propiedades similares,pero como curvas independientes, muestran comportamientos muy diferentes.

Es el lugar geomtrico de un punto P(x,y)que se mueve en un plano, de tal maneraque el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano(denominaos focos), es constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.

La definicin excluye el caso en que el punto mvil se mueva sobre la recta que pasapor los focos a excepcin del segmento comprendido entre ellos. Los focos y el puntomedio de este segmento no pueden pertenecer al lugar geomtrico.

F , F : Focos

Recta e : Eje focal

V , V : Vrtices

'VV : Eje transverso (sobre el eje focal)

C : Centro (punto medio del eje transverso y del eje conjugado)

Recta e : Eje normal (pasa por C y es perpendicular al eje focal)


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EAPIS

31

'AA : Eje conjugado o no transverso (sobre eje normal)

Cuerda : Segmento que une dos puntos diferentes cualesquiera de la hiprbola

'EE : Cuerda Focal (pasa por uno de los focos)

'LL : Lado recto (cuerda focal perpendicular al eje focal)

'DD : Dimetro (cuerda que pasa por C)

P : Punto cualquiera de la hiprbola

PFFP ', : radios vectores (segmentos que unen los focos con el punto P)

Ecuacif n de la hiprbola:

Considerar la hiprbola con centro en elorigen y cuyo eje focal coincide con eleje X. Los focos F y F estn entonces

sobre el eje X. Como el centro O es elpunto medio del segmento FF, lascoordenadas de F y F sern (c,0) y (-c,0), respectivamente, siendo c unaconstante positiva.

Sea P(x,y) un punto cualquiera de lahiprbola. Entonces, por la definicin

de la hiprbola, el punto P debesatisfacer la condicin geomtrica siguiente, que expresa que el valor absoluto de ladiferencia de las distancias del punto a los focos es una cantidad constante:

aPFFP 2' ! (1)

En donde a es una constante positiva y 2a < 2c. La condicin geomtrica (1) esequivalente a las dos relaciones,

(3)2'

(2)2'

aPFFP

aPFFP

!

!

La relacin (2) es verdadera cuando Pest sobre la rama izquierda de la hiprbola; larelacin (3) se verifica cuandoPest sobre la rama derecha.

Reemplazando con la frmula de distancia entre dos puntos se obtiene:


32/37


EAPIS

32

2222 ', ycxPFycxFP !!

por lo tanto, la relaciones (2) y (3) se pueden expresar:

(5)2

(4)2

2222

2222

aycxycx

aycxycx

!

!

Para simplificar la ecuacin (4) (la ecuacin (5) de forma anloga), se pasa el segundoradical al segundo miembro, se eleva al cuadrado, se simplifica y se agrupan lostrminos semejantes:

222

222

222222222

2222222

222

222

444

2.442

.2.24

2

ycxaacx

ycxaacx

yccxxycxaayccxx

ycxycxaaycx

ycxaycx

!

!

!

!

!

Elevando nuevamente al cuadrado se obtiene:

22222224222

222224222

22222

22

22

yacacxaxaacxaxc

yaccxxaacxaxc

ycxaacx

!

!

!

de donde,

(6)22222222224222222

acayaxac

caayaxaxc

!

!

Por ser c>a, 22 ac es un nmero positivo que se puede designar por 2b . Por lo tanto,

sustituyendo en la ecuacin (6) la relacin 222 acb ! (7) se obtiene222222

bayaxb ! , que puede escribirse de la forma:

12

2

2

2

!b

y

a

xEcuacin Cannica de la hiprbola (8)

022 ! FEyDxByAx Ecuacin General de la hiprbola (9)


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EAPIS

33

Si los coeficientes A y B difieren en el signo, la ecuacin general representa unahiprbola o dos rectas que se cortan.

Las intersecciones en la ecuacin (8) con el eje X son a y a. Por lo tanto, lascoordenadas de los vrtices Vy Vson (a,0) y (-a,0), respectivamente, y la longitud del

eje transverso es igual a 2a, que es la constante que interviene en la definicin.

Aunque no hay intersecciones con el eje Y, dos puntos, A(0,b) y A(0,-b), se tomancomo extremos del eje conjugado. Por lo tanto, la longitud del eje conjugado es igual a

2b.

Como la hiprbola es simtrica con respecto a ambos ejes coordenados y al origen,despejando yde la ecuacin se obtiene:

22ax

a

by s! (10)

Por lo tanto, para que los valores de y sean reales, x est restringida a variar dentro de

los intervalos axax eu y . De aqu que ninguna porcin del lugar geomtricoaparece en la regin comprendida entre las rectas axax !! y .

De la relacin (7) y la ecuacin (10) se obtiene que la longitud de cada lg do reh

to es

a

b2

2.

La excentricidad de una hiprbola est definida por la razna

c. Por lo tanto, de (7), se

tiene

a

ba

a

ce

22 !! Como c>a, la excentricidad es mayor que la unidad.

Si el eje focal de la hiprbola coincide con el eje Y, se halla, anlogamente, que laecuacin de la hiprbola es:

12

2

2

2

!b

x

a

y (11)

Si el centro de una hiprbola no est en el origen, siendo el centro el punto ),( FE , con

eje focal paralelo al eje X, la ecuacin es de la forma:

1

2

2

2

2

!

b

y

a

x FE, si el eje focal es paralelo al eje Y, queda:

1

2

2

2

2

!

b

x

a

y FE


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EAPIS

34

Asntotas de una hiprbola:

La hiprbola no tiene asntotas horizontales ni verticales, pero si tiene dos asntotas

oblicuas. De la forma cannica de la ecuacin de la hiprbola, 222222 bayaxb ! (1)

Se despeja y, se obtiene: 22 axa

by s! que puede escribirse en la forma

2

2

1x

ax

a

by s! . (2)

Si un punto de la hiprbola (1) se mueve a lo largo de la curva, de manera que la abcisax aumenta numricamente sin lmite, el radical del segundo miembro de (2) se

aproxima ms y ms a la unidad, y la ecuacin tiende a la forma xa

by s! (3).

Como la ecuacin (3) representa las rectasxa

b

y !y

xa

b

y !, esto lleva a inferir que

la hiprbola es asntota a estas dos rectas.

La hiprbola 222222 bayaxb ! , tiene por asntotas a las rectas 0! aybx y0! aybx

Ejemplos:

1) Representar grficamente la hiprbola 1100125

22

!yx

e indicar sobre su grfico los

siguientes elementos:

a) Focos b) Eje Focal

c) Eje transverso, su longitud d) Eje conjugado, su longitud

e) Vrtices


35/37


EAPIS

35

2) Verificar que la hiprbola 144169 22 ! yx , y la elipse 30043 22 ! yx , tienen losmismos focos.

1916

144

144

144

16

144

9

22

22

!

!

yx

yx

22

2

2

9

16

bac

b

a

!

!

!

5

25

916

!

!

!

c

c

c

Focos de la hiprbola: 0;5y0;5

175100

300

300

300

4

300

3

22

22

!

!

yx

yx

22

2

2

75

100

bac

b

a

!

!

!

5

25

75100

!

!

!

c

c

c

Focos de la elipse: 0;5y0;5

Por lo tanto la hiprbola y la elipse tienen los mismos focos.


36/37


EAPIS

36

APLICACIONES

Todo lo referente a la recta, circunferencia, parbola, elipse, e hiprbola son aplicablesen la fsica, en los fenmenos que estudia esta rama de la ciencia, estos conceptos,

teoras, teoremas, y muchas cosas ms que se ven a lo largo de la rama de lageometra que es la Geometra Analtica y como ejemplos de el uso en la vida diariade estas, tenemos:

Al determinar la velocidad, aceleracin, o descomponer vamos a utilizar losconceptos preconcebidos que se tienen de la recta.

Para realizar una medicin de los neumticos de una maquina de transporte,los conceptos que se tienen tambin nos ayudan a determinar las revolucionespor minuto (rpm) de un motor.

Con la ayuda de las teoras de la parbola se puede llegar a mediraproximadamente el viaje de la luz.

Como la elipse es un tipo de circunferencia esta complementa en lasmediciones de las fuerzas que se realizan con las fajas.

Y as existen muchas cosas ms complejas que se pueden realizar y otras que ocurrenen nuestro entorno si darnos cuenta, y conociendo un poco se puede ver algunosfenmenos que no tomamos en cuenta en nuestra vida diaria.


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BIBLIOGRAF A1) LEHMANN C. H. GEOMETRIA ANALITICA ED. HISPANO AMERICANA.

IMPRESO EN MXICO. 1977.2) DIRECCIN DE ESTUDIOS PROFESIONALES. MATEMTICAS III ED. I. P. N.

IMPRESO EN MXICO. 1976.

3) FRALEIGH. CALCULO CON GEOMETRA ANALTICA. ED. FONDOEDUCATIVO INTERAMERICANO. IMPRESO EN MXICO. 1984.

4) GRABINSKY. J. PROBLEMARIO DE VECTORES, RECTAS, PLANOS, SISTEMASDE ECUACIONES LINEALES, CONICAS Y ESFERAS. ED. DEPARTAMENTO DECIENCIAS BASICAS UAM. IMPRESO EN MXICO. 1986.

5) KINDLE J. H. GEOMETRIA ANALITICA ED. SERIE SCHAUM. IMPRESO ENMEXICO. 1979.

6) KLETENIK D. PROBLEMAS DE GEOMETRA ANALTICA ED. MIR MOSCU.

IMPRESO URSS. 1979.7) KUDRIAVTSEV V. A. BREVE CURSO DE MATEMATICAS SUPERIORES. ED.

MIR MOSCU. IMPRESO EN LA URSS. 1989.

8) LEITHOLD L. EL CALCULO CON GEOMETRA ANALTICA ED. HARLA.IMPRESO MXICO. 1987.9) MONTES DE OCA P. F. RESOLUCIN TOTAL DE GEOMETRA NALITICA. ED.

SKORPIO. IMPRESO MXICO. 2000.10)SOLIS R. GEOMETRA ANALITICA ED. FACULTAD DE INGENIERIA UNAM.

IMPRESO EN MXICO. 1984.11)SWOKOWSKI E. W. CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA. ED.

IBEROAMERICANA. IMPRESO EN MXICO. 1988.

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Monografia de Geometría Analítica