Exerice finance d entreprise berk

8/21/2019 Exerice finance d entreprise berk

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Chapitre 5 : Théorie et Gestion dePortefeuille

I. Notions de rentabilité et de risque

II. Diversification de portefeuille

III. Optimisation de Markowitz

III.1. Portefeuilles composés d’actifs risqués

III.2. Prise en compte de l’actif sans risque

IV. Modèle de marché

V. Modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF)

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I. Notions de rentabilité et de risque

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Moyennes et écarts-type des rentabilités des actions etemprunts d’Etat entre 1900 et 2000

Actions Emprunts d’Etat

Rentabilité Ecart-type Rentabilité Ecart-type

La relation rentabilité - risque

France 6,3 23,1 0,1 14,4

Allemagne 8,8 32,3 0,3 15,9

RoyaumeUni

7,6 20 2,3 14,5

Etats-Unis 8,7 20,2 2,1 10,0

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Rentabilité d’un portefeuille

Exemple:

Vous constituez un portefeuille d’une valeur totale de 15000 €

composé de 100 actions Michelin au prix unitaire de 60 € et 200

actions Carrefour au prix unitaire de 45 €. Un mois plus tard, le

prix de l’action Michelin est de 66 € et celui de l’action Carrefour

, .

1) Quelle est la valeur finale du portefeuille ?

2) Calculez la rentabilité du portefeuille de deux manières.

3) Quelles sont les nouvelles pondérations des titres si vous

décidez de garder la même composition ?

Issu de l’ouvrage « Finance d’entreprise », J. Berk et P. DeMarzo Rim AYADI


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• La volatilité d’un portefeuille P composé de deux titres

Cas 1: ρρρρ1,2 = 1

Volatilité d’un portefeuille

2211 σ σ σ x xP +=

Relation risque-rentabilité

21

1221

21

21

E E

E E E

E E PP

−

−+×

−

−=

σ σ σ σ σ

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Cas 2: ρρρρ1,2 = - 1

Si


2

2211

2

)( σ σ σ x xP −=

2

1σ σ

σ

+

> x

2211 σ σ σ x xP −=

2211 σ σ σ x x

P −=


Si


21

2112

21

21

E E

E E E

E E PP

−

+−×

−

+=

σ σ σ σ σ

21

2

1σ σ

σ

+


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Cas 3: -1 < ρρρρ1,2 < 1

Relation ris ue-rentabilité


2,121

2

2

2

2

2

1

2

1

2 cov2 ××++= x x x x p

σ σ σ

PPP E

E E

E E E

E E ×

−

−×+−×

×+×

−

−+

=

)²(

²)(cov²)(cov2²

)²(

cov2²²²

21

12,1222,11

21

2,121 σ σ σ σ

σ

)²(

cov2²²²²

21

2,1212112

E E

E E E E

−

××−×+×

+

σ σ

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Exemple:

On considère un portefeuille composé de deux actions dont lescaractéristiques sont les suivantes :

Action Rentabilité espérée Volatilité

X 26% 50%

1) Représenter l’ensemble des portefeuilles possibles pour descorrélations égales à 1 et -1.

2) Déterminer la rentabilité et la volatilité des portefeuillescomposés respectivement de 100%; 80%; 60%; 40%; 20% et 0%du titre X (pour une corrélation nulle).

3) Représenter ces portefeuilles dans l’espace (espérance-volatilité).

Y 6% 25%



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Issu de l’ouvrage « Finance d’entreprise », J. Berk et P. DeMarzo

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Titre X


Titre Y

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Titre X

Ensemble des portefeuilles possibles pour descorrélations égales respectivement à 1; 0,5; 0; -0,5 et -1


Titre Y

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II. Diversification de portefeuille

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• Diversification d’un portefeuille équipondéré composéde N titres

Diversification de portefeuille


Risque spécifique

Risque systématique

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• Portefeuilles efficients composés de deux titres

Portefeuilles efficients

Titre X


Titre Y

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• Formulation 2:

• Les conditions de premier ordre sont :

• Condition 1 (N équations)

:

Frontière efficiente

0)(2...2²2211112211

1

=+++++= λ λ σ σ σ δ

δ R E x x x

x

L N N

• Condition 2 (1 équation)

• Condition 3 (1 équation)

0)(²2...22212211

=+++++= λ λ σ σ σ δ

N N N N N

N

R E x x x x L

0)*()(...)()( 22111

=−+++= P N N R E R E x R E x R E x L

δλ

δ

01...21

2

=−+++= N

x x x L

δλ Rim AYADI


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• Formulation 2:

• Formulation matricielle du système :

C X K


0

0

1)(2...²22

1)(2...2²2

2

1

22221

11121

N

N

x

x

R E

R E

σ σ σ

σ σ σ

X = C-1 K

=

×

1

*)(

0::

001...11

00)(...)()(

1)(²2...22::::::

2

121

21

P

N

N

N N N N

R E

x

R E R E R E

R E

λ

λ

σ σ σ

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• Représentation graphique


Solution du problème : hyperbole dans l’espace risque-rentabilité.

La partie supérieure de cette hyperbole représente la frontièreefficiente.

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• Portefeuilles efficients composés de deux titres

Titre XTitre X



Titre Y

Titre Y

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Portefeuille optimal

Investisseur A

Le portefeuille optimal se situe au point de tangence entrela frontière et la courbe d’indifférence la plus haute.

Investisseur B

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Rentabilité - risque (3)

A



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Exemple:

Jean dispose de 10 000 € et décide d’emprunter la même somme au taux

5%. Il place les 20 000 € dans le PF Q, dont la rentabilité espérée est de

10% et la volatilité est de 20%. Quelles sont l’espérance de rentabilité et la

volatilité de son PF ?

Quelle est la rentabilité effective du PF si Q augmente de 30% à la fin de

’ ’

Rentabilité - risque (5)

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Nouvelle frontière efficiente

A

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• Pour un niveau de risque donné, l’investisseur cherchant àobtenir la rentabilité espérée la plus élevée possible doitchercher la droite la plus pentue combinant l’actif sans risqueet un PF appartenant à la frontière efficiente des actifs risqués.Cette pente pour un PF donné A correspond au ratio de Sharpedu PF.

f A R R E −)(

• Le ratio de Sharpe exprime la prime de risque offerte par le PFpour une unité de risque.

• La nouvelle frontière efficiente est la demi-droite passant parl’actif sans risque et tangente à la frontière efficiente des PFrisqués.

Aσ

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• Le portefeuille tangent est le seul PF risqué efficientlorsqu’un actif sans risque existe.

• Théorème de séparation:

Tous les investisseurs doivent détenir le même PF d’actifs

ris ués indé endamment de leur aversion our le ris ue.


• L’aversion pour le risque d’un investisseur détermine

exclusivement la proportion de sa richesse investie dans le

PF tangent.

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Investisseur A

Investisseur B

A

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Exemple:

Jean dispose de 100 000 €, investis dans le PF A (figure 11.10). Ce

portefeuille a une rentabilité espérée de 10,5% et une volatilité de 8%. Le

taux sans risque est de 5%, le PF tangent a une espérance de rentabilité

de 18,5% et une volatilité de 13%. Quel PF jean doit-il détenir pour

maximiser la rentabilité espérée du PF sans augmenter sa volatilité ? Si


risque, quel PF Jean doit-il détenir ?

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