Estabilidad y Determinacion en vigas

8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas

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ESTABIL IDAD Y DETERMINACIÓN

Andres Galan/ I.C. / M.Sc.(c)


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Identificar la estabilidad e inestabilidad de una estructura.

Determinar los grados de indeterminación de las estructuras.

OBJETIVOS


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Estabilidad e Inestabilidad de una estructura. Determinar los grados de indeterminación estática y

cinemática de una estructura.

CONTENIDO


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ESTABIL IDAD E INESTABIL IDAD


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1. INESTABILIDAD

Para establecer el estado de equilibrio estático que permita a una estructura

sustentar un sistema de cargas, ésta debe poseer suficientes restricciones de

apoyo y continuidad en sus elementos. Si la estructura es incapaz de lograr la

condición de equilibrio estático se dice que es inestable.

Cuando la inestabilidad de la estructura se presenta porque ésta, como un todo,

se encuentra en movimiento debido a una mala disposición de sus apoyos se

dice que el sistema es inestab le externamente .

Cuando la estructura es incapaz de lograr la condición de equilibrio estático enalgunos de sus elementos debido a la conectividad entre ellos se dice que el

sistema es inestable internamente .

ESTABILIDAD E INESTABILIDAD


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1. INESTABILIDAD EXTERNA

Se presenta inestabilidad externa en una estructura cuando el número de

componentes de reacción es menor que el número de ecuacionesindependientes disponibles para el equilibrio estático. Es decir, que hacen falta

restricciones o apoyos.

También se presenta este tipo de inestabilidad cuando las reacciones son

concurrentes o paralelas.


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1. INESTABILIDAD POR FALTA DE RESTRICCIONES O APOYOS

Se presenta este tipo de inestabilidad cuando el número de componentes de

reacción es menor que el número de ecuaciones independientes disponibles

para el equilibrio estático.

Número de reacciones: 2

Número de ecuaciones estática (2D): 3




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2. INESTABILIDAD POR REACCIONES CONCURRENTES

Cuando las líneas de acción de los elementos de reacción concurren en un

punto se tiene otro caso de inestabilidad.



Al concurrir todas las líneas

de acción se podrían

reemplazar por una fuerza

única aplicada en el punto de

concurrencia. Es evidente queno siempre la resultante de las

cargas aplicadas pasaran por

dicho punto, lo cual implica la

existencia de un momento que

haría girar la estructura.


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3. INESTABILIDAD POR REACCIONES PARALELAS

Las líneas de acción de las reacciones son todas paralelas, la estructura es

inestable, porque las resultantes de las mismas tendrán dirección definida y no

podrá balancear ninguna fuerza que no tenga su misma línea de acción.




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2. INESTABILIDAD INTERNA

La inestabilidad interna se presenta cuando los elementos o miembros de una

estructura están mal dispuestos.La inestabilidad interna depende del tipo de estructura. Conviene distinguir entre

armaduras y pórticos.


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1. ARMADURAS

Una armadura o cercha es una estructura compuesta de elementos o barras

unidos en sus extremos mediante nudos articulados, exentos de fricción. Dada

esta condición todos los elementos de una armadura solo podrán transmitir fuerzas axiales.

En el caso de armaduras en un plano, en cada nudo se pueden aplicar solo dos

condiciones de equilibrio: las de sumatoria de fuerzas en x y y iguales a cero,

pues la de sumatoria de momentos nula es irrelevante, para determinar tanto las

fuerzas en las barras como en las reacciones.


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Incógnitas: 2NB + NR’Ecuaciones: NB + 2NN

Donde NB es el número de barras, NN el número de

nudos y NR’ el número de componentes de reacciónrequeridas para la estabilidad externa. Nótese que

NR’ no es necesariamente el número de reacciones

existentes, pues lo que se pretende es independizar

la inestabilidad interna de la externa.

De lo anterior de desprende que un valor adecuado para NR’ será el número de

ecuaciones disponibles para el equilibrio estático, puesto que este número es

igual al de reacciones necesarias para la estabilidad externa.

La condición NB + NR’ < 2NN es un criterio suficiente para determinar que una

estructura es inestable internamente. Sin embargo, la condición NB + NR’

2NN no es un criterio suficiente para determinar si una estructura es estable.


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NB = 13

NN = 8

NR’ = 3

EL SISTEMA ES INTERNAMENTE ESTABLE

NB + NR’ = 16

2NN = 16

16 16


14/71

NB = 19

NN = 10

NR’ = 3


NB + NR’ = 22

2NN = 20

22 20


15/71

NB = 13NN = 8

NR’ = 3

EL SISTEMA ES

INTERNAMENTE ESTABLE

NB = 16NN = 9

NR’ = 3

EL SISTEMA ES

INTERNAMENTE ESTABLE

NB + NR’ = 162NN = 16

16 16

NB + NR’ = 192NN = 18

19 18


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LA ESTRUCTURA ESINESTABLE

las armaduras o cerchas siempre

deben tener una configuración

triangular


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2. PÓRTICOS

Los pórticos son estructuras conformadas por elementos de vigas y columnas

unidas por nudos rígidos, por consiguiente con capacidad de transmitir fuerzas

de corte y de momento.

En el caso de un pórtico plano; un elemento es capaz de soportar cortante,

fuerza axial en un plano y momento en el eje perpendicular a este.

Incógnitas: 6NB + NR’

Ecuaciones: 3NB + 3NN

Donde NB es el número de barras, NN el número de nudos y NR’ el número de

componentes de reacción requeridas para la estabilidad externa.


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Entonces el número total de incógnitas independientes en un pórtico rígido será :

(3NB + NR’).

Para el equilibrio de un nudo, este sistema debe satisfacer las tres ecuaciones

de equilibrio, Fx = 0, Fy = 0, M = 0. Si el número total de nudosrígidos es NN, entonces podrá escribirse 3N ecuaciones independientes de

equilibrio para el sistema completo.

Puede suceder que se introduzcan articulaciones u otros dispositivos de

construcción en la estructura con el fin de proveer ecuaciones adicionales de la

estática, luego NC es el número total de condiciones. Así, el número total deecuaciones de la estática disponibles para la solución será: (3NN + NC).

El criterio para la inestabilidad de un pórtico plano se establece comparando

3NB + NR’ < 3NN + NC. Al igual que en las armaduras la condición 3NB + NR’

3NN + NC no es un criterio suficiente para determinar si el pórtico es estable.


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NB = 6

NN = 6

NR’

= 3

NC = 0


3NB + NR’ = 21

3NN + NC = 18

21 18


21/71

NB = 6

NN = 6

NR’

= 3

NC = 0

3NB + NR’ = 21

3NN + NC = 18

21 18



22/71

NB = 3

NN = 4

NR’ = 3

NC = 0

3NB + NR’ = 12

3NN + NC = 12

12 12



23/71

NB = 3

NN = 4

NR’ = 3

NC = 0

3NB + NR’ = 12

3NN + NC = 12

12 12



24/71

LA ESTRUCTURA ESINESTABLE

NB = 3

NN = 4

NR’ = 3

NC = 1

3NB + NR’ = 12

3NN + NC = 13

12 13


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3. INESTABILIDAD GEOMETRICA

Una estructura es inestable geométricamente cuando su geometría debe

cambiar en forma observable antes de estar en capacidad de sustentar las

fuerzas que la solicitan.

Este sistema puede volverse estable sólo después de ocurrir algún

desplazamiento del punto A, y por esta razón debe considerarse como

potencialmente inestable.


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DETERMINACIÓN E INDETERMINACIÓN


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DETERMINACIÓN E INDETERMINACIÓN

Una vez clasificada la estructura como estable, es conveniente estudiar su gradode indeterminación. Este estudio se puede hacer en función de fuerzas o

desplazamientos, cuando nos referimos a las fuerzas se denomina

indeterminación estática y si es a los desplazamientos, indeterminación

cinemática. En las ecuaciones dadas a continuación se manejaran la siguiente

convención:

NB: Número de barras.

NN: Número de nudos.

NR: Número de reacciones existentes.

NC: Número de condiciones en la estructura.

1. INDETERMINACIÓN ESTÁTICA

El grado de indeterminación, está dado por el exceso de incógnitas sobre el

número de ecuaciones disponibles. Es conveniente diferenciar entre el grado de

indeterminación total, externa e interna.


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30/71


31/71

NB = 19

NN = 10

NR = 3

NC = 0

GITOTAL = NB + NR – 2NN – NC

GITOTAL = 19 + 3 - 20 - 0

GITOTAL = 2


32/71

NB = 16

NN = 9

NR = 3

NC = 0


GITOTAL = 16 + 3 -18 - 0

GITOTAL = 1


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2. ARMADURAS EN EL ESPACIO

La demostración es similar a la de Armaduras en el plano.

Incógnitas: 2NB + NREcuaciones: 1NB + 3NN

GITOTAL = Incógnitas - EcuacionesGITOTAL = 2NB + NR – (NB + 3NN)GITOTAL = NB + NR – 3NN

Cuando a la estructura se le dan unas condiciones, las cuales permiten obtener

ecuaciones, entonces el grado de indeterminación total sería:

GI TOTAL = NB + NR – 3NN – NC


34/71

NB = 3

NN = 4

NR = 9

NC = 0


GITOTAL = 3 + 9 - 12 – 0

GITOTAL = 0

LA ESTRUCTURA ES ESTATICAMENTE DETERMINADA


35/71

NB = 72

NN = 20

NR = 12

NC = 0


GITOTAL = 72 + 12 - 60 - 0

GITOTAL = 24


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3. PÓRTICOS PLANOS

Los pórticos son estructuras compuestas por nodos rígidos.


GITOTAL = Incógnitas - EcuacionesGITOTAL = 6NB + NR – (3NB + 3NN)GITOTAL = 3NB + NR – 3NN



GI TOTAL = 3NB + NR – 3NN – NC


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GITOTAL = 3NB + NR – 3NN – NC

GITOTAL = 18 + 6 - 18 - 0

GITOTAL = 6

NB = 6

NN = 6

NR = 6

NC = 0


38/71


GITOTAL = 18 + 6 - 18 - 2

GITOTAL = 4

NB = 6

NN = 6

NR = 6

NC = 2


39/71


GITOTAL = 183 + 11 - 120 - 5

GITOTAL = 69

NB = 61

NN = 40

NR = 11

NC = 5


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4. PÓRTICOS ESPACIALES

Los pórticos son estructuras compuestas por nodos rígidos.


GITOTAL = Incógnitas - EcuacionesGITOTAL = 12NB + NR – (6NB + 6NN)GITOTAL = 6NB + NR – 6NN





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42/71

GItotal = 6NB + NR – 6NN – NC

GItotal = 438 + 48 - 236 - 18

GItotal = 232

NB = 73

NN = 41

NR = 48

NC = 18


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5. ENTRAMADOS O PARRILLAS

Las parrillas son estructuras que solo soportan cargas verticales. Los elementos

están conectados por medio de nodos rígidos.


GITOTAL = Incógnitas - EcuacionesGITOTAL = 6NB + NR – (3NB + 3NN)

GITOTAL = 3NB + NR – 3NN





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GITOTAL

= 30 + 9 - 27 - 0GITOTAL = 12

NB = 10

NN = 9NR = 9

NC = 0


45/71


GITOTAL = 75 + 9 - 54 - 6

GITOTAL = 24

NB = 25

NN = 18

NR = 9

NC = 6


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2. INDETERMINACIÓN EXTERNA

Si el número de componentes de reacción es menor que el número de

ecuaciones de condición independientes para el equilibrio de la estructura

entonces, la estructura será externamente inestable. Si el número decomponentes de reacción excede al número de ecuaciones de condición

independientes para el equilibrio de la estructura, entonces la estructura es

externamente indeterminada.

GI EXT = NR – NE – NC

Donde NE es el número de ecuaciones disponibles de la estática.


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NE= 3NR= 4

GIEXT = 4 – 3 = 1


48/71


49/71

NE= 3NR= 5

NC= 1GIEXT = 5 – 3 – 1 = 1


50/71

NE = 3NR = 4NC = 1

GIEXT = 4 – 3 – 1 = 0

LA ESTRUCTURA ES ESTATICAMENTE DETERMINADA


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3. INDETERMINACIÓN INTERNA

Una estructura es indeterminada internamente desde el punto de vista estático si

las acciones internas, inducidas en los miembros de la estructura por las fuerzas

aplicadas, no pueden conocerse con base en consideraciones del equilibrioestático.

El procedimiento a seguir es parecido al realizado para el calculo de la

indeterminación total pero en vez de utilizar NR se utiliza NR’.


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1. ARMADURAS

GITOTAL

= NB + NR’ – 2NN – NC

2. PORTICOS PLANOS

GI TOTAL = 3NB + NR’ – 3NN – NC

3. PORTICOS ESPACIALES

GI TOTAL = 6NB + NR’ – 6NN – NC


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GIINT = NB + NR’ – 2NN – NC

GIINT = 5 + 3 - 8 - 0

GIINT = 0

NB = 5

NN = 4

NR’ = 3

NC = 0


54/71

GIINT = NB + NR’ – 2NN – NC

GIINT = 16 + 3 - 18 - 0

GIINT = 1

NB = 16

NN = 9

NR’ = 3

NC = 0


55/71

El grado de indeterminación interna de los pórticos tiene poca importancia

práctica y puede hacerse rápidamente por inspección. Para pórticos planos se

puede calcular con la siguiente expresión:

GI INT = 3n - NC

Donde n es el número de espacios dentro de los límites del pórtico que se hallan

completamente rodeados por elementos del mismo. Los segmentos adyacentesal terreno no se cuentan.

Las condiciones que se deben tener en cuenta para el grado de indeterminación

interna, son las que quedan en los elementos del pórtico que forman los

espacios rodeadas por ellos.


56/71

n = 3NC = 0

GIINT = 3n - NCGIINT = 9

n = 2

NC = 0

GIINT = 3n - NCGIINT = 6


57/71

n = 3NC = 4

GIINT = 3n - NCGIINT = 9 – 4 = 5

C dij ó ti l l d d i d t i ió i t d l


58/71

Como se dijo para pórticos planos el grado de indeterminación interna de los

pórticos tiene poca importancia práctica y puede hacerse rápidamente por

inspección. Para pórticos espaciales se puede calcular con la siguiente

expresión:

GI INT = 6n - NC

Donde n es el número de espacios dentro de los límites del pórtico que se hallan

totalmente rodeados por elementos del mismo. Los espacios cerrados en plantadeben contabilizarse una vez cada uno, no importando las veces que se repitan

en la altura.


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Pórtico s con co lumnas artic uladas en la cimentac ión.


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61/71

Colum na artic ulada en la base.


62/71

Colum na articulada en la base.


63/71

Pórtico s con co lum nas articuladas en la cim entación.

2 INDETERMINACIÓN CINEMÁTICA


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2. INDETERMINACIÓN CINEMÁTICA

Es el número de desplazamientos desconocidos en los nudos de la estructura.

Esto nos indica que se debe tener el número mínimo de parámetros que son

necesarios definir para describir su geometría deformada. Usualmente estos

parámetros son los desplazamientos lineales y rotaciones de los nudos.

Una estructura es determinada cinemáticamente cuando los desplazamientos de

sus nudos están completamente restringidos. Una estructura es

indeterminadamente cinemáticamente cuando uno o varios de sus nudospueden desplazarse libremente al someter la estructura a la acción de las

cargas.

El grado de indeterminación total cinemático de una estructura es igual a sus

grados de libertad.

1 ARMADURAS EN EL PLANO


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1. ARMADURAS EN EL PLANO

GITOTAL = 7

2 ARMADURAS ESPACIAL


66/71

2. ARMADURAS ESPACIAL

GITOTAL = 6

3 PÓRTICO PLANO


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3. PÓRTICO PLANO

GITOTAL = 7

3 PÓRTICO ESPACIAL


68/71

3. PÓRTICO ESPACIAL

GITOTAL = 24


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EJERCICIOS


70/71

1. ESTATICONB = 21

NN = 11

NR = 4

GITOTAL

= 21 + 4 – 11 x 2 = 3

2. CINEMATICONodos = 9 x 2 = 18

Apoyos = 0

GITOTAL = 18


71/71

1. ESTATICONB = 25

NN = 12

NR = 12

GI 25 + 12 12 3 1

2. CINEMATICONodos = 3 x 8 = 24

Apoyos = 0

GITOTAL = 24

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