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8/20/2019 Equation de Poisson
http://slidepdf.com/reader/full/equation-de-poisson 1/5
EQUATION DE POISSON
OLIVIER CASTERA
Table des matieres
1. Theoreme de divergence 12. Theoreme de Gauss 23. Loi de Gauss pour la gravitation 4
1. Theoreme de divergence
Theoreme 1. Theoreme de divergence
Soit A un champ de vecteurs. Pour toute surface fermee S , de normale
sortante n : " S
A · n dS =
V
divA dV
Demonstration. Soit S une surface fermee telle que toute droite pa-rallele aux axes de coordonnees cartesiennes, coupe S en au plus deuxpoints 1 :"
S
A · n dS =
" S
(Axi + Ay j + Azk) · n dS
=
" S
Axi ·n dS +
" S
Ay j · n dS +
" S
Azk · n dS
Calculons par exemple le dernier terme du membre de droite. Imagi-nons un plan horizontal coupant la surface fermee S en deux, de sorteque la ligne d’intersection soit la plus longue possible. Nous integrons
maintenant sur les deux surfaces S 1 et S 2 non fermees, de normalessortantes respectives n1 et n2 :"
S
Azk · n dS =
S 1
Azk ·n1 dS 1 +
S 2
Azk · n2 dS 2
Les surfaces S 1 et S 2 ont pour equation respective :
S 1 : z = z 1(x, y)
S 2 : z = z 2(x, y)
Date : 7 novembre 2015.
1. Cf. Murray R. Spiegel, Analyse vectorielle , Schaum (1973)1
8/20/2019 Equation de Poisson
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2 OLIVIER CASTERA
Supposons S 1 en bas et S 2 en haut :
k · n1 dS 1 = −dxdy
k · n2 dS 2 = dxdy
Soit R le domaine d’integration en x, y :" S
Azk · n dS =
R
Az(x,y,z 2) dxdy −
R
Az(x,y,z 1) dxdy
=
R
[Az(x,y,z 2) − Az(x,y,z 1)] dxdy
=
R
ˆ z2z1
∂Az
∂z dz
dxdy
=
V
∂Az
∂z dV
Nous obtenons un resultat similaire pour les coordonnees x et y :" S
A · n dS =
V
∂Ax
∂x dV +
V
∂Ay
∂y dV +
V
∂Az
∂z dV
=
V
∂Ax
∂x +
∂Ay
∂y +
∂Az
∂z
dV
Definition 1. On appelle div, l’operateur differentiel divergence, tel
qu’applique a tout vecteur A on ait :
divA = ∂Ax
∂x +
∂Ay
∂y +
∂Az
∂z
et par consequent :" S
A · n dS =
V
divA dV
Le theoreme peut s’etendre aux surfaces qui ne satisfont pas la condi-tion que des droites paralleles aux axes de coordonnees cartesiennesles coupent en au plus deux points. Pour etablir cette generalisation,
subdiviser le domaine S en sous-domaines dont les surfaces satisfont lacondition.
2. Theoreme de Gauss
Theoreme 2.
Soit r = rer le vecteur position d’un point quelconque, mesure a partir
d’une origine O :
O est exterieur a S,
" S
er · n
r2 dS = 0
O est interieur a S, " S
er · n
r2 dS = 4π
8/20/2019 Equation de Poisson
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EQUATION DE POISSON 3
Demonstration. A partir du theoreme de divergence, posons A = er
r2 :
" S er · nr2 dS =
V
diverr2dV
Dans le membre de droite, r parcourt tout le volume. Supposons r = 0,c’est a dire O exterieur a S :
diverr2
= div
rr3
= div xr3 i +
y
r3 j +
z
r3 k
= ∂
∂x
xr3
+
∂
∂y
yr3
+
∂
∂z
z r3
avec :∂
∂x
xr3
=
∂
∂x
x
(x2 + y2 + z 2)3/2
= 1
r6
r3 − x× 2x× 3
2r
= 1
r6
r3 − 3x2r
donc :
diverr2
=
1
r6 3r3 − 3(x2 + y2 + z 2)r
= 0
Supposons maintenant O interieur a S . Entourons O d’une petitesphere s de rayon a et de volume v. Soit V le volume interieur a S et exterieur a s, et soient nS et ns les normales sortantes respectivesdes surfaces S et s :"
S
er · nS
r2 dS −
" s
er · ns
r2 ds =
V
diverr2
dV −
v
diverr2
dv
=
V
diverr2
dV
= 0car O est exterieur a V . Nous avons alors :"
S
er · nS
r2 dS =
" s
er · ns
r2 ds
= 1
a2
" s
ds
= 4πa2
a2
= 4π
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4 OLIVIER CASTERA
3. Loi de Gauss pour la gravitation
Soient deux corps de masse M et m, le modele de force F pour laforce de gravitation s’exercant entre ces deux corps s’ecrit :
F = −GMm
r2 er
Le modele du champ de gravitation cree par le corps de masse M s’ecritalors :
g = −GM
r2 er
Theoreme 3. Loi de Gauss, forme integrale
Soit g un champ de gravitation, par exemple celui de la Terre. Soit M
la masse de la Terre : " S
g · n dS = −4πGM
Demonstration. En appliquant le theoreme de Gauss :" S
g · n dS =
" S
−GM
r2 er · n dS
= −GM
" S
er · n
r2 dS
= −4πGM
Theoreme 4. Loi de Gauss, forme differentielle
Soit g un champ de gravitation, par exemple celui de la Terre. Soit ρ
la masse volumique de la Terre :
div g = −4πρG
Demonstration. A partir du theoreme de divergence et de la formeintegrale du theoreme de Gauss applique au champ de gravitation :
V
div g dV = " S
g · n dS
= −4πGM
=
V
−4πGρdV
div g = −4πρG
Theoreme 5. Equation de Poisson
Soit φ le potentiel du champ de gravitation terrestre :
∆φ = 4πρG
8/20/2019 Equation de Poisson
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EQUATION DE POISSON 5
Demonstration. Le champ de gravitation est conservatif, il derive d’unpotentiel φ tel que g = −gradφ :
div g = −4πρG
−div gradφ = −4πρG
∆φ = 4πρG
E-mail address : [email protected]: http://o.castera.free.fr/