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8/20/2019 Equation de Poisson

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EQUATION DE POISSON

OLIVIER CASTERA

Table des matieres

1. Theoreme de divergence 12. Theoreme de Gauss 23. Loi de Gauss pour la gravitation 4

1. Theoreme de divergence

Theoreme 1. Theoreme de divergence

Soit A un champ de vecteurs. Pour toute surface fermee S , de normale

sortante n : " S

A · n dS =

V

divA dV

Demonstration. Soit S une surface fermee telle que toute droite pa-rallele aux axes de coordonnees cartesiennes, coupe S en au plus deuxpoints 1 :"

S

A · n dS =

" S

(Axi + Ay j + Azk) · n dS

=

" S

Axi ·n dS +

" S

Ay j · n dS +

" S

Azk · n dS

Calculons par exemple le dernier terme du membre de droite. Imagi-nons un plan horizontal coupant la surface fermee S en deux, de sorteque la ligne d’intersection soit la plus longue possible. Nous integrons

maintenant sur les deux surfaces S 1 et S 2 non fermees, de normalessortantes respectives n1 et n2 :"

S

Azk · n dS =

S 1

Azk ·n1 dS 1 +

S 2

Azk · n2 dS 2

Les surfaces S 1 et S 2 ont pour equation respective :

S 1 : z = z 1(x, y)

S 2 : z = z 2(x, y)

Date : 7 novembre 2015.

1. Cf. Murray R. Spiegel, Analyse vectorielle , Schaum (1973)1



2 OLIVIER CASTERA

Supposons S 1 en bas et S 2 en haut :

k · n1 dS 1 = −dxdy

k · n2 dS 2 = dxdy

Soit R le domaine d’integration en x, y :" S

Azk · n dS =

R

Az(x,y,z 2) dxdy −

R

Az(x,y,z 1) dxdy

=

R

[Az(x,y,z 2) − Az(x,y,z 1)] dxdy

=

R

ˆ z2z1

∂Az

∂z dz

dxdy

=

V

∂Az

∂z dV

Nous obtenons un resultat similaire pour les coordonnees x et y :" S

A · n dS =

V

∂Ax

∂x dV +

V

∂Ay

∂y dV +

V

∂Az

∂z dV

=

V

∂Ax

∂x +

∂Ay

∂y +

∂Az

∂z

dV

Definition 1. On appelle div, l’operateur differentiel divergence, tel

qu’applique a tout vecteur A on ait :

divA = ∂Ax

∂x +

∂Ay

∂y +

∂Az

∂z

et par consequent :" S

A · n dS =

V

divA dV

Le theoreme peut s’etendre aux surfaces qui ne satisfont pas la condi-tion que des droites paralleles aux axes de coordonnees cartesiennesles coupent en au plus deux points. Pour etablir cette generalisation,

subdiviser le domaine S en sous-domaines dont les surfaces satisfont lacondition.

2. Theoreme de Gauss

Theoreme 2.

Soit r = rer le vecteur position d’un point quelconque, mesure a partir

d’une origine O :

O est exterieur a S,

" S

er · n

r2 dS = 0

O est interieur a S, " S

er · n

r2 dS = 4π



EQUATION DE POISSON 3

Demonstration. A partir du theoreme de divergence, posons A = er

r2 :

" S er · nr2 dS =

V

diverr2dV

Dans le membre de droite, r parcourt tout le volume. Supposons r = 0,c’est a dire O exterieur a S :

diverr2

= div

rr3

= div xr3 i +

y

r3 j +

z

r3 k

= ∂

∂x

xr3

+

∂

∂y

yr3

+

∂

∂z

z r3

avec :∂

∂x

xr3

=

∂

∂x

x

(x2 + y2 + z 2)3/2

= 1

r6

r3 − x× 2x× 3

2r

= 1

r6

r3 − 3x2r

donc :

diverr2

=

1

r6 3r3 − 3(x2 + y2 + z 2)r

= 0

Supposons maintenant O interieur a S . Entourons O d’une petitesphere s de rayon a et de volume v. Soit V le volume interieur a S et exterieur a s, et soient nS et ns les normales sortantes respectivesdes surfaces S et s :"

S

er · nS

r2 dS −

" s

er · ns

r2 ds =

V

diverr2

dV −

v

diverr2

dv

=

V

diverr2

dV

= 0car O est exterieur a V . Nous avons alors :"

S

er · nS

r2 dS =

" s

er · ns

r2 ds

= 1

a2

" s

ds

= 4πa2

a2

= 4π



4 OLIVIER CASTERA

3. Loi de Gauss pour la gravitation

Soient deux corps de masse M et m, le modele de force F pour laforce de gravitation s’exercant entre ces deux corps s’ecrit :

F = −GMm

r2 er

Le modele du champ de gravitation cree par le corps de masse M s’ecritalors :

g = −GM

r2 er

Theoreme 3. Loi de Gauss, forme integrale

Soit g un champ de gravitation, par exemple celui de la Terre. Soit M

la masse de la Terre : " S

g · n dS = −4πGM

Demonstration. En appliquant le theoreme de Gauss :" S

g · n dS =

" S

−GM

r2 er · n dS

= −GM

" S

er · n

r2 dS

= −4πGM

Theoreme 4. Loi de Gauss, forme differentielle

Soit g un champ de gravitation, par exemple celui de la Terre. Soit ρ

la masse volumique de la Terre :

div g = −4πρG

Demonstration. A partir du theoreme de divergence et de la formeintegrale du theoreme de Gauss applique au champ de gravitation :

V

div g dV = " S

g · n dS

= −4πGM

=

V

−4πGρdV

div g = −4πρG

Theoreme 5. Equation de Poisson

Soit φ le potentiel du champ de gravitation terrestre :

∆φ = 4πρG



EQUATION DE POISSON 5

Demonstration. Le champ de gravitation est conservatif, il derive d’unpotentiel φ tel que g = −gradφ :

div g = −4πρG

−div gradφ = −4πρG

∆φ = 4πρG

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