Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 1Graz, am 18.02.2014 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) als Simulationsmethode

Die Finite-Elemente-Methode (FEM)

Vortrag von DI Herbert Petritsch

Folie 1Graz, am 11.04.23

Die Finite-Elemente-Methode (FEM) als Simulationsmethode in der Akustik

Vortrag von DI Herbert Petritsch an der TU Graz

organisiert von der Stv. Elektrotechnik-Toningenieur

mit besonderem Dank an DI Dr. Werner Weselak und Ao. Univ.-Prof. DI Dr. Gerhard Graber




Organisatorisches

Vortrag (Power-Point-Präsentation) mit Pause(n) Fragen jederzeit möglich Download dieser Powerpoint-Präsentation unter

http://herbert.petritsch.co.at/studium/Vortrag_FEM.ppt Download der Diplomarbeit von H. Petritsch unter

http://portal.tugraz.at/portal/page/portal/Files/audiotechnik/Lehre/fertige%20BA%20PA%20DA/DA_Petritsch_FEM-Simulation_in_der_TA.pdf




Übersicht

Einleitung Aufbau eines Modells Differentialgleichung und Randbedingungen einer

akustischen Domäne Perfectly Matched Layer (PML) Finite Elemente Vernetzung Lösung des Modells Postprocessing Simulation in COMSOL Multiphysics Ergebnisse dreier Simulationsbeispiele




Einleitung




Motivation

Für akustische Optimierung eines Produkts Einschätzung der Schallabstrahlung und/oder der Eigenmoden erforderlich

Simulation mittels Software i.d.R. wesentlich günstiger als Prototypen-Entwicklung in Hardware

Einsatz von FEM-Programmen in industriellen Forschungs- und Entwicklungsabteilungen

Beispiele für Industriezweige, in denen FEM-Programme für die Akustik-Entwicklung eingesetzt werden:– Automobilindustrie– Audio-Industrie (z.B. Mikrophone, Lautsprecher)– Haushaltsgeräte-Industrie




Vorteile der FEM

Flexibilität– Methode theoretisch für beliebige (auch nicht-lineare) physikalische

Problemstellungen geeignet, neben Akustik z.B. für:• Strukturmechanik• Elektromagnetik• Wärmetransport• Etc.

– Verschiede Analyse-Arten möglich: Z.B. Eigenfrequenz-Analyse, Frequenzbereichs-Analyse

– Beispiel Fahrzeug-Akustik: Schalldruck kann innerhalb UND außerhalb eines Fahrzeuges berechnet werden

Genauigkeit– Genauestes numerisches Simulationsverfahren– Berücksichtigt z.B. in der Akustik den Wellencharakter des Schalls




Nachteile der FEM

Großer Hardwareaufwand– Großer Bedarf an Hauptspeicher (RAM)– Lange Rechenzeiten (v.a., wenn Hauptspeicher nicht ausreicht und

auf Festplatte zurückgegriffen werden muss)– ABER:

• Hauptspeicher wird immer billiger• CPUs werden immer schneller • Neue 64Bit-Betriebssysteme ermöglichen im Gegensatz zu alten

32Bit-Betriebssystemen Allozierung von sehr viel Hauptspeicher

Methode mathematisch komplex– Einarbeitungszeit in die Methode und in Simulationsprogramme, die

auf der Methode basieren, ist relativ groß– Implementation der FEM in einer Software zeitaufwändig und

schwierig, da tiefes Verständnis der Methode Voraussetzung; FEM-Programme daher oft teurer als andere Simulationsprogramme




Aufbau eines Modells




Domänen und Domänen-Typen

y x

z

+

x

x y

z

mechanische Domäne

,u x f

,v x f

,w x f

akustische Domäne

,p x f

Perfectly Matched Layer (PML)

,p x f

,

,

,

ˆ ,,ˆ, , ,

, ˆ ,

u

w

j x f

j x f

j x f

u x f eu x f

u x f x f x f e

w x f w x f e

vv v ,ˆ, , pj x fp x f p x f e




Modell 1 - Bsp. „Eigenmoden eines Raumes“

z

xy

akustische Domäne

+




Modell 2 - Bsp. „Subwoofer“

z

x


y+

akustische Domäne




Modell 3 - Bsp. „Hohler Zylinder“

z

x


y+

akustische Domäne 1

akustische Domäne 2mechanische

Domäne




Differentialgleichung und Rand-bedingungen einer akustischen Domäne




Frequenzbereichs-Analyse

Homogene Helmholtz-Gleichung

Voraussetzungen:– Medium (z.B. Luft) als verlustlos angenommen– Medium ist homogen: Konstante Temperatur und konstanter

atmosphärische Druck (z.B. Luftgleichdruck)– Homogene Helmholtz-Gleichung: Kein Störterm auf rechter Seite

der Helmholtz-Gleichung bzw. keine Monopolquelle in akustischer Domäne (Anregung muss über Randbedingung der akustischen Domäne erfolgen, sonst triviale Lösung für den Schalldruck)

Lösung liefert „ganz konkrete“, fixe Werte

2 0k p p




Eigenfrequenz-Analyse

Zusammenhang Eigenwert – Eigenfrequenz

Homogene Helmholtz-Gleichung

Voraussetzungen:– Medium verlustlos und homogen (wie bei Frequenzbereichs-

Analyse)– Bei Eigenfrequenz-Analyse findet per Definition keine Anregung

des Systems (auch nicht an den Rand- und inneren Grenzflächen des Systems) statt

Lösung liefert beliebig skalierbare Eigenmoden

22 2eig f

20eig p p

c




Akustische Randbedingungen

Neumann-Randbedingung

Dirichlet-Randbedingung

1 2,Taki Neumannn p fi

Dirichletp f




Neumann-Randbedingungen

Vorgegebene innere Normalbeschleunigung

Schallharte Wand

Vorgegebene Normalverschiebung

1 1

1 1 0

1 2

,

,

Tak n

Tn ak

n n

n p a

a n a

a a

2 2

2 2 0

2 1

,

,

, ,

Tak n

Tn ak

ak ak

n p a

a n a

n n

0Takn p

2T Tak akn p n u




Dirichlet-Randbedingung

Gleicher Schalldruck in akustischer Domäne und Perfectly Matched Layer (PML)

,ak PML ak PMLp p p p








Reflexionsarmer Halbraum




Komplexe Koordinatentransformation (1)

für wird folgende Koordinatentransformation angewendet:

2

PML-Breite

1 für 0

Signum-Funktion 0 für 0

1 für

, ,

ic i

PML

PML

x y z

signj u

k

sign

0

0 für 0 Einheitssprungfunktion

1 für 0u




Komplexe Koordinatentransformation (2)

Die komplexe Koordinatentransformation

2

kann alternativ auch folgendermaßen angeschrieben werden:

2 für

ic i

PML

ii

PML

c

signj u

k

jk

für

2 für

i i

ii

PML

jk




Dämpfung in der PML

1

2

Ebene Welle in akustischer Domäne ( ) mit 0 :

ˆ ˆ ˆ

Schalldruck in der PML ( ):

ˆ ˆ

ˆ ˆ

p

c cPML

i

PMLPML

i p

j k xj k x j k xak

i

j k x j k xc

xx xj k x j

k

x x rad

p x p e p e p e

x x

p x p e p e

p x p e p e

2

Dämpfungsterm

i

PML

x

j k xe




Schalldruckverlauf über den Ort

1 :f kHz

2,615 :f kHz




Schalldruckpegel und Phasenverschiebung

2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 420

40

60

80

100

x [m]

L p [dB

]

f=343Hz

f=1000Hz

f=2615Hz

2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4-3.14

-1.57

0

1.57

3.14

x [m]

p [ra

d]




Verschiedene PML-Breiten

Bei analytischer Berechnung des Schalldrucks ist Dämpfung unabhängig von PML-Breite

2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.620

40

60

80

100

x [m]

L p [dB

]

PML=1m

PML

=2m

PML

=2,6m




Finite Elemente




Zerlegung eines Modells in finite Elemente

Physikalisches System oft zu komplex, um sein gesamtes Verhalten zusammen erfassen zu können; daher: Zerlegung des Modells in Domänen und der Domänen in einzelne Elemente

Für exakte Lösung der Differentialgleichungen der Domänen sind neben Randbedingungen unendlich viele, infinitesimal kleine Elemente notwendig

Problem: Jeder Computer weist nur eine endliche Rechengeschwindigkeit und Speicherkapazität auf

Diskretisierung des Modells– Zerlegung der Geometrie in finite Elemente mit diskreter Anzahl an

Knoten (räumlichen Abtastpunkten)– Diskretisierung der Differentialgleichungen und Randbedingungen




Element-Familien

Werden durch den Element-Typ, die Dimension und die Anzahl der Ecken ihres finiten Elements, das sie repräsentieren, voneinander unterschieden

Element-Typ: Bei akustischen Problemstellungen im Frequenzbereich des Hörschalls werden meistens Lagrange-Elemente verwendet

Dimension: Dreidimensionales finites Element (FE) ist Teilgebiet einer Domäne; Randflächen bzw. Kanten des 3D-Elements sind zwei- bzw. eindimensionale finite Elemente

Anzahl der Ecken: Bei eindimensionalem FE gleich 2 (Anfangs- und Endpunkt); bei FE der Dimension d=2 oder d=3 ist Anzahl der Ecken mindestens d+1




Lagrange-Element mit d+1 Ecken

1

2

3 4

6

8

1

2

3 4

7

10

5

9




Mapping

Koordinaten-Transformation, die für einen beliebigen Punkt auf bzw. im Lagrange-Element die globalen, kartesischen Koordinaten aus sogenannten lokalen Koordinaten berechnet (Bedingung: globale Koordinaten aller Knoten vorgegeben)

Mutter-Element: Lagrange-Element in lokalen Koordinaten

Abgebildetes (mapped) Element: Lagrange-Element in globalen Koordinaten

Anzahl und genaue Definition der lokalen Koordinaten von Dimension und Anzahl der Ecken des Lagrange-Elements abhängig




Eindimensionales Mutter-Element

lokale Koordinate




Dreieckiges Mutter-Element

1 2 3lokale Koordinaten sind Flächenkoordinaten L , ,L L




Tetraedrisches Mutter-Element

1 2 3 4lokale Koordinaten sind Volumskoordinaten L , , ,L L L




Berechnen der globalen Koordinaten

1

11

ist Anzahl der Knoten des Lagrange-Elements

enthält globale, kartesische Koordinaten des Knotens a

bezeichnet die geometrische Ba

' ' '

'

... ...e

e

e

n

a a na

n

e

T

a a a a

a

x

x x

x

n e

x x y z

N N N

N sisfunktionsmatrix des Knotens a

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

'a

a a a a

a

N

N N N

N

N E




Basisfunktion

Basisfunktion ist Polynom der Ordnung o in den lokalen Koordinaten des Mutter-Elements

Für alle Lagrange-Elemente eines Modells, die dieselbe Ordnung, Dimension und Anzahl an Ecken aufweisen, werden exakt dieselben Basisfunktionen verwendet

Basisfunktion = Formfunktion = Ansatzfunktion bzw.basis function = shape function = interpolation function

1 2 3

1 2 3 4

Eindimens. Mutter-Element:

Dreieckiges Mutter-Element: , ,

Tetraedrisches Mutter-Element: , , ,

a a

a a

a a

N N

N N L L L

N N L L L L




Basisfunktion d=1

Notwendige Bedingung für die Basisfunktion eines eindimensionalen Mutter-Elements:

1 für

0 für

Basisfunktionen eines eindimensionalen Mutter-Elements:

1, ,

a b

a b ab a

a bN

a b

N c

a b

2 1,..., e en n o




Basisfunktionen d=1, o=1

0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 10

0.125

0.25

0.375

0.5

0.625

0.75

0.875

1

Na(

)

N1()

N2()

1

2

1 1 1

0 1

a b ab a

N c

N

N




Beispiel 1 Mapping (d=1, o=1)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

1

2

21

1 21 2

1 2

1 2

0 0

0 0

0 0

0 75 0 25 0 75

1 9 7

7 1 2 5

0 0 0

' ' '

'

, , ,

,

a aa

a

a a

a

P

xx x

x

N

N

N

N N

x x x

N N N

N




Basisfunktionen d=1, o=2

21

22

23

11 2 2 3 1

2

12 2

2

1 4 4 4

a b ab a

N c

N

N

N

0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1

-0.125

0

0.125

0.25

0.375

0.5

0.625

0.75

0.875

1

Na(

)

N1()

N2()

N3()





1

1 2 3 2

3

1 2 3

1 2 3

3

0 75

0 125 0 375 0 75

1 9 5

7 1 4

0 0 0

7

mittig auf Gerade 2 5

0

' ' '

,

, , ,

,P

x

x x

x

N N N

x x x

x x

N N N

Ergebnis gleich wie bei Beispiel 1 (o=1)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

1

2

3





1

1 2 3 2

3

1 2 3

1 2 3

3

0 75

0 125 0 375 0 75

1 9 3

7 1 5 5

0 0 0

5 5

außermittig auf Gerade 3 625

0

' ' '

,

, , ,

.

,

,P

x

x x

x

N N N

x x x

x x

N N N

Ergebnis anders als bei Beispiel 1 (o=1)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

1

2

3





1

1 2 3 2

3

1 2 3

1 2 3

3

0 75

0 125 0 375 0 75

1 9 4

7 1 9

0 0 0

6 25

außermittig auf Kurve 6 25

0

' ' '

,

, , ,

,

,P

x

x x

x

N N N

x x x

x x

N N N

gebogene Elemente nur für o 2 möglich

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

1

2

3




Vernetzung




Vernetzung und Netz

Vernetzung: Beliebig geformte Objekte oder Domänen eines Modells werden in Netz-Elemente (finite Elemente) zerlegt

Netz: Gesamtheit aller Netz-Elemente in einem Modell

Beispiel:Vernetzung einer Fläche (o=2)




Freiheitsgrade des Netzes

Freiheitsgrade (degrees of freedom, DOF) entsprechen diskreten, unbekannten Parametern, die bei späterer Lösung des Modells bestimmt werden

Örtliche Abtastwerte der physikalischen Variablen in den Knoten des Modells

Mehr Knoten bzw. Freiheitsgrade -> Lösung des Modells genauer, aber Hardware-Aufwand steigt

Anzahl der Freiheitsgrade einer Domäne D ist

Anzahl der Knoten der Domäne D

Anzahl der Freiheitsgrade je Knoten in der Domäne D

( 1 2 1 3

...

...

, , : ; : )

D D D

D

D

D D m

g n l

n

l

D ak ak PML l D m l l




Wahl der Ordnung der Netz-Elemente

Bei akustischen Problemstellungen ist Wahl der Ordnung i.d.R. o=2

Angenommen, Anzahl der Freiheitsgrade darf um einen bestimmten Wert erhöht werden – Exakte Lösung der Differentialgleichungen in den Knoten besser

approximiert, wenn Ordnung erhöht als wenn Netz-Auflösung verfeinert wird (mehr Freiheitsgrade gehen ins Ergebnis mit ein)

– Ziel, Netz möglichst isotrop zu gestalten, besser erreicht, wenn Netz-Auflösung verfeinert als wenn Ordnung erhöht wird

– Hardware-Aufwand kleiner, wenn Netz-Auflösung verfeinert als wenn Ordnung erhöht wird, da Basisfunktionen bei Erhöhung der Ordnung komplizierter werden

Ordnung o=2 niedrigste Ordnung, mit der gebogene Elemente modelliert werden können




Akustische Vernetzungs-Regeln

Falls Wellenlängen in den Domänen unterschiedlich sind, Vernetzungs-Parameter (z.B. maximale Netz-Element-Größe hmax) jeweils an Domänen anpassen

Theoretische Regel: Analog zum Nyquist-Abtasttheorem werden mehr als 2 Knoten je Wellenlänge für höchste Frequenz bzw. kleinste Wellenlänge in Schallausbreitungsrichtung benötigt

Problem in der Praxis: Schallausbreitungsrichtung meist nicht im Vorhinein bekannt

Praktische Regeln:– Faustregel bei Verwendung von Lagrange-Elementen zweiter

Ordnung: maximale Netz-Element-Größe hmax auf ca. 1/5 der minimalen Wellenlänge setzen

– DOF-Akustik-Regel




DOF-Akustik-Regel

Anwendung auf akustische Domänen DOF-Akustik-Regel

– Vernetzung soll möglichst isotrop gestaltet werden – Wellenlänge soll unabhängig von der räumlichen Richtung mit

mind. 12 Knoten bzw. Freiheitsgraden im Durchschnitt aufgelöst werden

33

3 312 1728

... Volumen der akustischen Domäne

max,min ,min

min

D DD D

D

V f Vg n

c

V




Vernetzung einer PML

Bei Verwendung finiter Elemente treten in der PML numerische Reflexionen auf

Adiabatisches Theorem: Reflexionen in einem Medium werden umso größer, je stärker sich das Medium ändert

Änderung der komplexen Koordinaten von einem zum nächsten Knoten ist umso stärker, je gröber die Vernetzung ist

Feinere Vernetzung bewirkt weniger numerische Reflexionen (bessere Dämpfung), aber höheren Hardware-Aufwand -> Kompromiss notwendig

Vernetzung i.d.R. gleich wie in angrenzender akustischer Domäne




Wahl der PML-Breite

Je größer die PML-Breite (bei konstanter Netz-Auflösung), desto geringer fallen numerische Reflexionen aus, desto größer ist aber auch der Hardware-Aufwand -> Kompromiss notwendig

Zur Erinnerung: Komplexe Koordinatentransformation in PML

2ic i

PML

signj u

k

1

2max , ,PML i i ix y z




Lösung des Modells




Lösung des Modells (1)

Bestimmen der Frequenzen:– Bei Eigenfrequenz-Analyse wird eine bestimmte Anzahl an

Eigenfrequenzen berechnet– Bei Frequenzbereichs-Analyse werden Frequenzen direkt

vorgegeben

Für jede (Eigen-)Frequenz werden Freiheitsgrade in allen Knoten des Modells berechnet: Lösen der FEM-Gleichungssysteme aller Domänen des Modells– Eigenfrequenz-Analyse: Berechnen der Eigenvektoren (der in den

Knoten des Modells abgetasteten Eigenmoden)– Frequenzbereichs-Analyse: Berechnen der „ganz konkreten“, fixen

Werte der physikalischen Variablen in den Knoten




Lösung des Modells (2)

,

, ,

,

m

m m

m

mq

mq m q

m q

u

u v

w

,

PMLPML qp

11,

akak qp

22,

akak qp

mechanische Domäne



akustische Domäne 2z

xy

Freiheitsgrade:

+




FEM-Gleichungssystem einer Domäne

Abarbeitung der folgenden Schritte:– Bildung der schwachen Form der Differentialgleichung bzw. des

Differentialgleichungssystems der Domäne– Anwendung der Galerkin-Methode (Diskretisierung)– Volumen-, Rand- und innere Grenzflächenzerlegung– Durchführen von Koordinatentransformationen

Als Beispiel wird nun FEM-Gleichungssystem einer akustischen Domäne für Frequenzbereichs-Analyse hergeleitet




Schwache Form der Helmholtz-Gleichung (1)

1 1

1 1 1

1 2 3

2 2 22 2

1 2 2 2

21

ak ak

ak ak ak

ak

ak

I I I

p p pb k p p d b k p b b b dxdydz

x y z

p p

x yb k pd b dxdydz b dxdydz

x y

p

zb

1

4

ak1

0

Skalare Testfunktion Volumen der akustischen Domäne... ...

ak

I

dxdydzz

b b x





2 3 4

Partielle Integration in drei Dimensionen (Green'sche Formel):

für

Angewendet auf und

, , , ,

, , , , , ,

, :

g ff d d d gd d d f n gd

ff x y z g g x y z

x y z x y z x y z

I I I

1 1 1

1 1

für , , , , , ,

ak ak ak

ak ak

p

p pbb d d d d d d b n d

x y z x y z x y z





1 1 1

1 1

1 1

21 1 1

1 1

1 1

2

ak ak ak

ak ak

ak ak

ak ak x ak

ak y ak

ak z ak

p pbb k pd dxdydz b n d

x x x

p pbdxdydz b n d

y y y

p pbdxdydz b n d

z z z

b k p

1 1

1 1 1 0ak ak

T Tak ak akb p d b n p d





1 1 1 1 1

1 1 1 1 2 1 2

1 1 1 0 2 2 1 0

, , , ,

, , ,

, ,

:

ak ak iB ak shW ak m ak PML

T Tak iB ak n ak n

T Tn ak n ak

n

n p a n p a

a n a a n a

a

1 2 2 1 1 1

1 1

21 1 1

1 1

0

, ,

,

,

,

:

:

:

n ak ak

Tak shW ak

T Tak m ak ak

ak PML ak PML

a n n

n p

n p n u

p p p





1 1

1 1 1

1

21 1 1

1 1 1 1 1 1

21

0

Nach Einsetzen der Randbedingungen:

,

, , ,

,

ak ak iB

ak shW ak m ak PML

ak

T Tak ak ak

T T Tak ak ak ak ak ak

T

ak

b k p b p d b n p d

b n p d b n p d b n p d

b k p b p d b n

1

1 1

1 1 0 1

21 1 1 1 0

,

, ,

,

ak iB

ak m ak PML

Tak ak

T Tak ak ak ak

a d

b n u d b n pd




Anwendung der Galerkin-Methode (1)

1

1 1

1

1

1 1 1

1

1

1

1 2 3 4 1 1 1 2 3 4 1 11

11

1 1 1 1 1 1 11

1

1 ... physikalische B

, ,

,

, , , ,

,

,

, , , , , , , ,

... ...

ak

ak ak

ak

ak

ak ak ak

ak

ak

ak

n

ak ak q ak ak qq

akn

ak q ak q ak ak n ak akq

ak n

ak q

p p x p x L L L L e L L L L e p

p

N p N N p

p

N

N

N 1asisfunktionsmatrix im Knoten Matrix der

Dimension 1 1, d.h. Skalar; in einer akustischen Domäne entspricht die

physikalische Basisfunktionsmatrix direkt der Ba

,akq

11 1

1

1

sisfunktion

... Basisfunktion im Knoten

... verkettete physikalische Basisfunktionsmatrix

... gestapelter Freiheitsgradvektor

, akak q ak

ak

ak

N q

pN





1 1

1 1 1 1

1 1

1 2 3 4 1

1 1 2 3 4 1 1 1 11 1

1 1

Skalare Testfunktion wird durch den virtuellen Schalldruck ersetzt

, , , ,

, , , ,

, , , ,ak ak

ak ak ak ak

ak ak

ak

n n

ak q ak ak q ak q ak qq q

ak ak a

b p

p p x p x L L L L e

L L L L e p N p

p

N

N N

1

1 1 1 1

1 1

1

... virtueller Schalldruck im Knoten

... gestapelter virtueller Schalldruckvektor

, ak

T T Tk ak ak ak

ak q ak

ak

p p

p q

p

N





1 2 3 4 1 2 3 41

1

11

0 0

0 0

0 0

, ,

,

, , , ,

,

,

, , , ,

,

, , , , , , , ,

... ...

m

m m

m

m

m m m

m

m

m

m m m m

m

n

m m q m m qq

mn

m q m q m mn m mq

mn

m q

m q m q m q m q

m q

u u x u x L L L L e L L L L e u

u

u u

u

N

N N u

N

N

N N N N

N E,

,

,

m

m

m

mq

m q

m q

u

v

w





1 1

1 1

21 1 1 0 1

21 1 1 1

Zur Erinnerung: Schwache Form der homogenen Helmholtz-Gleichung:

0

Einsetzen der Approx

,

, ,

,

ak ak iB

ak m ak PML

T Tak ak ak

T Tak ak ak ak

b k p b p d b n a d

b n u d b n pd

1

1 1

21 1 1 1 1 1 1 1 1

21 1 1 1 0 1 1 1 1 1

1 1 1 1

imationen:

, ,

,

ak

ak iB ak m

TT Tak ak ak ak ak ak ak ak ak

T T T T T Tak ak ak ak ak ak ak m m ak

T T Tak ak ak ak a

p k p p p d

p n a d p n u d

p n p

N N N N

N N N

N N1

1 1 0,ak PML

k akd





1

1 1

21 1 1 1 1 1 1 1 1

21 1 1 1 0 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

, ,

,

ak

ak iB ak m

ak


T T T T T Tak ak ak ak ak ak ak m m ak

T T Tak ak ak ak ak ak

p k p p p d

p n a d p n u d

p n p d

N N N N

N N N

N N

1

1 1

1 1

1

21 1 1 1 1 1 1 1 12

21 1 1 1 0 1 1 1

1 1 1 1 1

1

,

, ,

,

,

PML

ak ak

ak iB ak m

ak PML


T T T Tak ak ak ak ak m ak m

T Tak ak ak ak ak

p d p d pc

n d a n d u

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N N N N

N N N

N N

0





1 1

1 1

1

21 1 1 1 1 1 1 12

21 1 1 1 0 1 1 1

1 1 1 1 1

1

0

, ,

,

,

ak ak

ak iB ak m

ak PML

TTak ak ak ak ak ak ak ak


T Tak ak ak ak ak

d p d pc

n d a n d u

n d p

N N N N

N N N

N N




Volumen-, Rand- und innere Grenzflächenzerlegung (1)

1

1

1

1 1

1 1

1 1

11

1

1 1 1 11 1

1 1 11

1

Anzahl der Netz-Elemente der akustischen Domäne 1

1bzw.

2

Anzahl de

, , , , , ,

, , , ,

...

...

ak

ak

ak

ak ak

ak ak

ak ak

m

m

m

m

ak ee

ak

m m

ak iB e ak iB ak PML e ak PMLe e

m

ak m m ak e m ake

ak

m D ak

m

r Netz-Elemente der mechanischen Domäne D m





1 1

1 1

1

21 1 1 1 1 1 1 12

21 1 1 1 0 1 1 1

1 1 1 1 1

21 1 12

1

0

1

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,

ak ak

ak iB ak m

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TTak ak ak ak ak ak ak ak


T Tak ak ak ak ak

Tak ak ak

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dc

N N N N

N N N

N N

N N 1

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1 11 1

1

1 1 1 1 11

1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

21 1

1

1

2

0

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,

ak

ak e eak ak

e ak iB e ak PMLak ak

m

m e m akm

mT

ak ak ak ak ake

T T T Tak ak ak ak ak ak ak ak

mT Tak ak m m m

e

p d p

n d a n d p

n d u

N N

N N N

N N





1 1

1

1 11

1

1

1

2 21 1 1 0 1 1

1 1 1 1 121 1

1 11

FEM-Gleichungssystem der akustischen Domäne 1 (Frequenzbereichs-Analyse)

02

1ak ak

ak

ak ak eak

ak

ak

ak

Tak m ak

m me T

ak ak ake e

me

e

D ak

p a u p

dc

W H B R P

W W N N

H H 1

11

1 1

1

1 1 11

1 1

1

1 1 11

1 1 11

1 1 1 11 1

1 1 1 11 1

, ,

, ,

,

ak

ak eak

ak ak

ak

ak ak e ak iBak

ak ak

ak

ak ak e ak PMLak

mT

ak ak ake

m me T T

ak ak ake e

m me T T

ak ak ak ake e

d

n d

n d

N N

B B N

P P N N

1

1 11

11

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m

m

m

m

m e m akm

me

e

mTm m ak m

e

n d

R R

N N




Koordinatentransformationen

Problem: Integrale bzw. Differentiale in den Elementmatrizen erfolgen über die bzw. nach den globalen, kartesischen Koordinaten, während Basisfunktionen in lokalen Flächen- bzw. Volumskoordinaten definiert sind

Lösung: Über Koordinatentransformationen wird ermöglicht, dass die numerische Berechnung der Komponenten einer Elementmatrix in einem einheitlichen neuen lokalen Koordinatensystem erfolgen kann




Postprocessing




Postprocessing (1)

p p pu

u v

w

mechanische Domäne



akustische Domäne 2z

xy+




Postprocessing (2)

1

1

1 11

1

1 2 3 4 1 1 1 2 3 4 11

11

1 1 1 1 1 1 11

1

, ,

,

, , , , , ,

,

, , , , , , ,

... ...

eak

eak

e ak akak

eak

n

ak ak a ak aa

akn

ak a ak a ak ak n ak e ak ea

ak n

p p x p x L L L L e L L L L p

p

N p N N p

p

N

N




Simulation in COMSOL Multiphysics




Simulation in COMSOL Multiphysics

Einstellungen im Model Wizard

Geometrische Modellierung

Einstellungen zu Domänen

Auswahl der Randbedingungen

Festlegung der Ordnung

Automatische Vernetzung

Lösung des Modells

Postprocessing




Ergebnisse dreier Simulationsbeispiele




Subwoofer (1)

z

x

PML

y+

ak




Subwoofer (2)




Eigenmoden eines Raumes

z

xy

ak

+

51,möblierteigf Hz

50,leereigf Hz




Hohler Zylinder

PML

ak1

ak2 mech

z

xy




Fazit

Feinheit der Vernetzung und Wahl der Ordnung Kompromiss zwischen Genauigkeit und Hardware-Aufwand (Hauptspeicherbedarf, Rechenzeit)

In die schwache Form einer Differentialgleichung können Randbedingungen direkt eingesetzt werden

FEM ermöglicht durch inhärente Diskretisierung (Galerkin-Methode) Simulationen mit digitalem Computer

Mit COMSOL Multiphysics Simulationen gekoppelter physikalischer Systeme (z.B. mechanisch-akustischer Systeme) möglich

PML bewirkt reflexionsarmen Abschluss der (äußeren) akustischen Domäne

Documents

Die Finite-Elemente-Methode (FEM) Vortrag von DI Herbert Petritsch Folie 1Graz, am 18.02.2014 Die Finite-Elemente-Methode (FEM) als Simulationsmethode