Upload
others
View
4
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
DERIVATIF DAN ANTIDERIVATIF DARI SUATU BILANGAN
(Skripsi)
Oleh
Yuniarti
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2019
ABSTRACT
DERIVATIVE AND ANTIDERIVATIVE OF A NUMBER
Oleh
Yuniarti
The derivative of a prime number is one and for real numbers are converted into
prime factors using the Leibnizt Rule. Derivative rules for determining from of
the rational numbers by using the quotient rule. The results obtained show that not
all rational numbers have integrals. The same number can have different integrals.
Key word: Derivative, Prime Number, Leibnizt Rule, Integrals.
ABSTRAK
DERIVATIF DAN ANTIDERIVATIF DARI SUATU BILANGAN
Oleh
Yuniarti
Derivatif dari suatu bilangan prima adalah 1 dan untuk bilangan asli diubah menjadi
faktor prima dengan menggunakan aturan Leibniz. Aturan derivatif diperluas ke dalam
bentuk bilangan rasional dengan menggunakan aturan hasil bagi. Hasil yang diperoleh
menunjukkan bahwa tidak semua bilangan rasional memiliki integral. Bilangan yang
sama bisa mempunyai integral yang berbeda.
Kata kunci: Derivatif, Bilangan Prima, Aturan Leibniz, Integral.
DERIVATIF DAN ANTIDERIVATIF DARI SUATU BILANGAN
Oleh
Yuniarti
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2019
Judul Skripsi : DERIVATIF DAN ANTIDERIVATIF DARI
SUATU BILANGAN
Nama Mahasiswa : Yuniarti
Nomor Pokok Mahasiswa : 1517031172
Program Studi : Matematika
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MENYETUJUI
1. Komisi Pembimbing
Amanto, S.Si., M.Si. Dr. Asmiati, S.Si., M.Si.
NIP.197303142000121002 NIP.197604112000122001
2. Ketua Jurusan Matematika
Prof. Dra. Wamiliana,MA, Ph.D.
NIP. 196311081989022001
MENGESAHKAN
1. Tim Penguji
Ketua : Amanto, S.Si., M.Si. ……………
Sekretaris : Dr. Asmiati, S.Si., M.Si. ……………
Penguji
Bukan Pembimbing : Dr. Notiragayu, S.Si., M.Si. .....…………
2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Drs. Suratman, M.Sc.
NIP. 196406041990031002
Tanggal Lulus Ujian Skripsi :Agustus 2019
PERNYATAAN
Yang bertanda tangan di bawah ini :
Nama : Yuniarti
Nomor Pokok Mahasiswa : 1517031172
Jurusan : Matematika
Dengan ini menyatakan bahwa skripsi saya yang berjudul“DERIVATIF
DAN ANTIDERIVATIF DARI SUATU BILANGAN” adalah hasil
pekerjaan saya sendiri. Apabila kemudian hari terbukti bahwa skripsi ini
merupakan hasil salinan atau telah dibuat orang lain, maka saya bersedia
menerima sanksi sesuai dengan ketentuan akademik yang berlaku.
Bandar Lampung, Agustus 2019
Penulis
Yuniarti
NPM.1517031172
RIWAYAT HIDUP
Penulis bernama Yuniarti lahir pada tanggal 28 Juli 1997 di Tekad, anak
perempuan dari lima bersaudara pasangan Bapak Arhamuddin dan Ibu Tumiyati.
Penulis menempuh pendidikan di Taman Kanak-Kanak (TK) Akhlakul Karima
Tekad 2002-2003, kemudian melanjutkan sekolah dasar di SD Negeri 1 Tekad
pada tahun 2003-2009. Lulus dari Sekolah Menengah Pertama tahun 2012 di
SMPN 1 Pulau Panggung, dan lulus dari SMAN 13 Bandar Lampung pada tahun
2015.
Pada tahun 2015 penulis melanjutkan kuliah di Universitas Lampung mengambil
Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung melalui jalur SBMPTN. Selama menjadi mahasiswi, penulis
bergabung sebagai anggota BEM FMIPA Unila periode 2015-2016.
Pada bulan Januari sampai dengan Februari 2018, penulis melaksanakan Kerja
Praktik (KP) di kantor PELAYANAN PAJAK PRATAMA KEDATON dan pada
tahun yang sama penulis juga telah melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) di
Desa Wanna, Kecamatan Melinting, Kabupaten Lampung Timur selama 40 hari
pada bulan Juli sampai dengan Agustus.
KATA INSPIRASI
Belajarlah dari masalalu
dan hiduplah hari ini untuk lebih baik
(Yuniarti)
Boleh jadi kamu membenci sesuatu
padahal ia amat baik bagimu
dan boleh jadi pula kamu menyukai sesuatu
padahal ia amat buruk bagimu,
Allah mengetahui
Sedang kamu tidak mengetahui.
(Q.S. Al-Baqarah : 216)
Bermimpilah setinggi langit.
Jika engkau jatuh,
engkau akan jatuh diantara bintang-bintang.
(Bung Karno)
PERSEMBAHAN
Dengan mengucap Alhamdulillah, puji syukur kehadirat Allah SWT
Kupersembahkan karya kecil yang sederhana
Dengan kerendahan hati kepada :
Orang tuaku bapak Arhamuddin dan ibu Tumiyati atas tiap untaian kata
untukku dalam tiap doanya,
kakak-kakakku dan adikku yang selalu memberikan kasih,
dukungan baik moril maupun materil,
nasihat maupun motivasi disetiap langkah kaki .
Semoga bisa menjadi kebanggaan dalam keluarga.
Sahabat-sahabat
yang selalu membantu disaat-saat sulit,
motivasi dan semangat saat mulai patah,
serta dukungan disaat penulis goyah.
Dosen pembimbing, dan penguji yang berjasa dalam
mengarahkan, membimbing, dan memotivasi.
Teman –teman seperjuangan.
Almamater tercinta Universitas Lampung.
SANWACANA
Puji syukur penulis ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang telah
melimpahkan rahmat dan hidayah,sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Skripsi
yang berjudul “Derivatif dan Antiderivatif dari Suatu Bilangan”adalah salah satu
syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains di Universitas Lampung.Dalam
kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Amanto, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing pertama yang telah
membimbing, mengarahkan, memberikan ide, kritik, saran, dan motivasi,
selama proses penyusunan skripsi, sehingga dapat menyelesaikan skripsi
dengan baik.
2. Ibu Dr. Asmiati, S.Si., M.Si.,selaku dosen pembimbing kedua yang juga telah
memberikan pengarahan, koreksi, masukan, dan saran dalam proses
penyusunan skripsi ini.
3. Ibu Dr. Notiragayu, S.Si., M.Si., selaku penguji atas saran, kritik, dan
kesediaannya untuk menguji dalam penyelesaian skripsi ini.
4. Ibu Dr. Notiragayu, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing akademik yang
telah memberikan arahan dan masukkan selama menempuh pendidikan di
Jurusan Matematika.
5. Ibu Prof. Dra. Wamiliana, MA., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
6. Bapak Drs. Suratman, M.Sc., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
7. Orang tuaku atas perjuangannya yang telah menyekolahkan, hingga
menempuh jenjang sarjana. Kakak, sepupu, dan saudara atas dukungan dan
doa agar penulis cepat menyelesaikan tugasnya.
8. Teman-teman seperjuangan, Mona, Rizka, Tiwi, Akika, Desun, Dai, atas
dukungan dan pertemanan dalam sulit dan senang.
9. Teman-teman kecil, Aulia, Bella, Joanita, atas bantuan dan semangat yang
telah diberikan disaat penulis mulai goyah.
10. Seluruh rekan Matematika angkatan 2015, serta kakak dan adik tingkat atas
bantuan, informasi, dan dukungannya selama menjadi keluarga dijurusan,
organisasi, maupun Universitas Lampung.
11. Semua pihak yang berperan dalam menyelesaikan skripsi ini.
Akhir kata, penulis menyadari bahwa banyak kekurangan atas skripsi ini.
Namun,penulis mengharapkan semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat bagi
kita semua, terkhusus bagi yang membaca.
Bandar Lampung, Agustus 2019
Penulis
Yuniarti
NPM. 1517031172
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah ........................................................... 1
1.2 Tujuan Penelitian ............................................................................ 2
1.3 Manfaat Penelitian .......................................................................... 2
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Bilangan .......................................................................................... 4
2.2 Modulo ............................................................................................ 5
2.3 Fungsi Logaritma Asli .................................................................... 9
2.4 Limit .............................................................................................. 10
2.5 Derivatif ........................................................................................ 12
2.6 Integral ......................................................................................... 18
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ....................................................... 20
3.2 Metode Penelitian ......................................................................... 20
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Derevatif Bilangan ........................................................................ 21
4.2 Derivatif Tingkat Tinggi dan Derivatif Logaritma ...................... 22
4.3 Integral Bilangan Asli dan Rasional .......................................... 23
V. KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR Tabel
Tabel Halaman
1. Nilai-nilai derivatif logaritma untuk tujuh bilangan prima pertama ......... 23
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Secara umum matematika merupakan ilmu yang mempelajari pola dari struktur
dan perubahan. Salah satu cabang dari ilmu matematika yang banyak
dipelajari adalah kalkulus. Kalkulus mempunyai dua cabang utama, yaitu
kalkulus diferensial (derivatif) dan kalkulus integral (antiderivatif).
Kalkulus diferensial merupakan ilmu yang mempelajari tentang turunan suatu
fungsi atau biasa disebut derivatif. Derivatif juga merupakan salah satu bagian
terbesar dari kalkulus selain integral. Definisi dari derivatif dapat ditemukan
dengan menggunakan konsep limit. Turunan fungsi f pada bilangan a dinyatakan
dengan
( )
( ) ( )
asalkan limit ini ada. Jika limit ini ada, maka dikatakan bahwa f terdiferensialkan
di .
Aritmatika adalah ilmu tentang sifat dan hubungan bilangan-bilangan nyata serta
operasi perhitungannya. Operasi-operasi perhitungan dalam aritmatika adalah
penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Operasi-operasi ini disebut
operasi dasar karena merupakan dasar dari operasi-operasi aritmatika tingkat
2
kompleks. Dalam perkembangannya, derivatif dapat di selesaikan dengan
menggunakan operasi aritmatika dalam bentuk yang kompleks.
Pada umumnya derivatif yang dipelajari pada matematika merupakan turunan
fungsi ( ) dimana ( ) ( ). Jika ingin mempertahankan linieritas dimana
bilangan bulat didefinisikan jika bilangan berpangkat maka
( ) dimana maka tetapi jika mengabaikan linieritas
dan hanya menggunakan aturan Leibnitz maka didefinisikan dengan untuk
bilangan prima, dimana ( ) dan ( ) . Untuk bilangan bulat positif
lainnya diubah menjadi faktor prima dengan menggunakan aturan Leibniz.
Aturan Leibniz tersebut dinyatakan dalam bentuk:
( ) ( ) ( )
dengan bilangan bulat positif. Oleh karena itu, penulis tertarik untuk
mengkaji sifat derivatif dan antiderivatif dari suatu bilangan (Ufnarovski and
Ahlander, 2003).
1.2 Tujuan penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Mengkaji sifat derivatif dan antiderivatif dari suatu bilangan.
2. Membuktikan sifat derivatif dan antiderivatif dari suatu bilangan.
1.3 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah:
1. Mengetahui karakteristik dari sifat derivatif dan antiderivatif suatu bilangan.
3
2. Menambah pengetahuan tentang derivatif dan antiderivatif dari suatu bilangan.
3. Sebagai bahan referensi tentang derivatif dan antiderivatif dari suatu bilangan.
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Bilangan
Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk
pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan
untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang
bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun
lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif,
bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks (Spiegel, 1983).
Terdapat berbagai macam bilangan yang sering digunakan.
1. Himpunan bilangan-bilangan bulat positip atau bilangan asli, :
(2.1)
2. Himpunan bilangan-bilangan bulat, :
(2.2)
3. Himpunan bilangan-bilangan bulat positip genap :
(2.3)
4. Himpunan bilangan-bilangan rasional :
(2.4)
5
Himpunan bilangan-bilangan real yaitu himpunan bilangan-bilangan rasional
dan irasional. Bilangan irasional yaitu bilangan-bilangan yang tidak dapat
disajikan dalam bentuk
dengan . Sebagai contoh bilangan irasional
adalah √ .
Dalam matematika, bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari ,
yang faktor pembaginya adalah dan bilangan itu sendiri. Bilangan dan
adalah bilangan prima. Bilangan bukan bilangan prima sebab bisa dibagi
atau bisa disebut bilangan komposit yaitu bilangan yang mempunyai faktor lebih
dari dua. Sepuluh bilangan prima yang pertama adalah
dan (Spiegel, 1983).
2.2 Modulo
Definisi 2.2.1 (Grillet, 2007)
Misalkan bilangan bulat. Operasi mod (dibaca “ modulo ”)
memberikan sisa jika dibagi dengan Notasikan dengan mod
sedemikian sehingga , dengan . Bilangan
disebut modulo, dan hasil aritmatika modulo terletak di dalam
himpunan – .
Definisi 2.2.2 (Grillet, 2007)
Misalkan dan adalah bilangan bulat dan dikatakan kongruen
dengan modulo atau ditulis jika habis membagi –
Jika tidak kongruen dengan dalam modulo , maka ditulis .
6
Kekongruenan dapat pula dituliskan dalam hubungan
yang dalam hal ini adalah bilangan bulat.
Teorema 2.2.3 (Grillet, 2007)
Misalkan adalah bilangan bulat positif
1. Jika dan adalah sebarang bilangan bulat maka
(i)
(ii)
(iii) untuk suatu bilangan bulat tak negatif
2. Jika dan , maka
(i)
(ii)
Bukti:
1. (i) berarti untuk suatu
untuk sebarang , diperoleh
mod
(ii) berarti:
, dengan
7
(iii) berarti dengan
( ) (
) (
)
( ) (
) (
)
mod
2. (i)
Jadi,
, untuk suatu
, untuk suatu
mod ■
8
Teorema 2.3.4 (Burton, 1980)
Jika p adalah bilangan prima dan adalah bilangan bulat positif dimana tidak
bisa membagi , maka .
Bukti:
Diasumsikan bilangan positif pertama kelipatan dari , yaitu bilangan
bulat. Sehingga terdapat barisan sebagai berikut:
(2.12)
Tidak ada satu pun suatu bilangan dari barisan di atas yang habis dibagi p,
karena barisan tersebut terbentuk dengan pola ka dimana . Oleh
karena tidak bisa membagi , dan tidak bisa membagi , maka tidak bisa
membagi . Kemudian, dari barisan tersebut tidak ada dua bilangan yang
kongruen . Dengan kata lain, jika bilangan-bilangan tersebut dibagi
dengan p, maka sisa pembagiannya akan selalu berbeda satu sama lain.
Diasumsikan bahwa ada dua bilangan kongruen , yaitu ra dan sa
sehingga untuk – . Karena (greatest
common divisor) gcd (a,p) = 1, maka diperoleh
(2.13)
Karena dan harus lebih besar dan harus lebih kecil dari maka ini
menyatakan Persamaan kontradiksi dengan asumsi awal bahwa
dan harus berbeda. Oleh karena itu, himpunan barisan pada persamaan
harus kongruen terhadap . Selanjutnya jika
himpunan tersebut dikalikan dan dikenai modulo, maka diperoleh :
9
sehingga,
Gcd maka
2.3 Fungsi Logaritma Asli
Definisi 2.3.1 (Purcell, 2003)
Fungsi logaritma asli ditulis sebagai yang didefinisikan sebagai berikut:
∫
| | , dengan syarat . Daerah definisinya adalah
himpunan bilangan riil positif. Turunan logaritma asli:
Sifat-sifat logaritma asli:
10
2.4 Limit
Definisi 2.4.1 (Purcell, 2003)
Diberikan bilangan riil , jika dan hanya jika untuk
setiap terdapat sehingga | | , berlaku:
| |
Teorema 2.4.2 (Purcell, 2003)
Misalkan bilangan bulat positif, konstanta, serta dan adalah fungsi-fungsi
yang mempunyai limit di . Maka:
1.
2.
3. .
4.
5.
6.
7.
8. √ √ asalkan ketika genap.
Bukti:
1.
Dimana dan maka:
11
2. Misalkan maka
| | | |
| |
| | |
| || | | |
| |
3. Misalkan
dan dimana sebarang bilangan
positif maka
adalah positif. Karena
maka bilangan
positif .
| | | |
| | | |
Pilih maka | |
| | |[ ] [ ]|
| | | |
| | | |
Jadi
Untuk
[ ]
12
2.5 Derivatif
Definisi 2.5.1 (Purcell, 2003)
Turunan fungsi f adalah fungsi lain (dibaca “f aksen”) yang nilainya pada
sebarang bilangan c adalah
(2.14)
asalkan limit ini ada dan bukan atau .
Teorema 2.5.2 (Purcell, 2003)
Jika ada, maka kontinu di
Bukti:
Perlu diperhatikan bahwa
karenanya,
*
+
13
Proses pencarian turunan suatu fungsi langsung dari definisi turunan, yakni
dengan menyusun hasil bagi selisih dan menghitung limitnya (Purcell, 2003).
(2.15)
Teorema 2.5.3 (Purcell, 2003)
Jika dengan suatu konstanta maka untuk sembarang
yakni
Bukti:
Teorema 2.5.4 (Purcell, 2003)
Jika maka yakni
Bukti:
14
Teorema 2.5.5 (Purcell, 2003)
Jika , dengan bilangan bulat positif, maka yakni :
(2.16)
Bukti :
[
Teorema 2.5.6 (Purcell, 2003)
Jika suatu konstanta dan suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka
yakni,
[ ] (2.17)
Bukti:
Misalkan Maka:
15
Teorema 2.5.7 (Purcell, 2003)
Jika dan fungsi yang terdeferensialkan, maka
[ ] (2.18)
Bukti :
Misalkan Maka
[ ]
[ ]
Teorema 2.5.8 (Purcell, 2003)
Jika dan adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan , maka
yakni,
[ ] (2.19)
Teorema 2.5.9 (Purcell, 2003).
Jika dan adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka
yakni
[ ] (2.20)
16
Bukti:
Misalkan . Maka:
Teorema 2.5.10 (Purcell, 2003)
Misalkan dan adalah fungsi-fungsi yang terdiferensialkan dengan ,
maka
(
)
yaitu,
(
)
17
Dengan kata-kata: turunan suatu hasil bagi adalah sama dengan penyebut
dikalikan turunan fungsi pembilang dikurangi fungsi pembilang dikalikan turunan
fungsi penyebut, seluruhnya dibagi dengan kuadrat penyebut.
Bukti :
Misalkan , maka
[
]
{[
]
}
[ ]
18
Berikut ini akan diberikan sifat-sifat derivatif dari suatu fungsi.
Jika suatu konstanta, dan fungsi-fungsi yang terdeferensialkan, dan
fungsi-fungsi dalam sehingga dan maka berlaku :
1. Jika maka
2. Jika maka
3. Jika maka
4. Jika maka
5. Jika
maka
(Purcell, 2003).
2.6 Integral
Definisi 2.6.1 (Purcell, 2003).
merupakan anti-turunan pada interval jika pada , yakni
jika untuk .
Teorema 2.6.2 (Purcell, 2003).
Jika adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka:
∫
Bukti
*
+
Selanjutnya akan diberikan definisi derivatif dan antiderivatif dari suatu bilangan
19
Definisi 2.6.3 (Barbeau, 1961)
Derevatif bilangan didefinisikan sebagai fungsi yang ditentukan oleh:
untuk setiap bilangan prima
untuk dengan menggunakan aturan Leibnitz
untuk
Menurut (Ufnarovski and Ahlander, 2003) derivatif diperluas ke bilangan
rasional maka diperoleh rumus sebagai berikut :
(
)
(2.21)
Definisi 2.6.4 (Ufnarovski and Ahlander, 2003)
Untuk setiap disebut integral dari . Himpunan semua integral tersebut
dilambangkan sebagai . Bilangan yang sama dapat memiliki integral yang
berbeda.
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2018/2019 bertempat di
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Berikut adalah langkah-langkah penelitian yang dilakukan:
1. Mengkaji derivatif dan antiderivatif dari suatu bilangan yang dituliskan dalam
bentuk sifat.
2. Membuktikan derivatif dan antiderivatif dari suatu bilangan berdasarkan sifat.
3. Menarik kesimpulan terhadap derivatif dan antiderivatif dari suatu bilangan
yang telah dibuktikan.
V. KESIMPULAN
Adapun kesimpulan dari penelitian ini adalah:
1. Derivatif dari bilangan prima sama dengan 1. Untuk bilangan bulat positif di
ubah dalam faktorisasi prima dan selanjutnya diturunkan dengan
menggunakan aturan Leibniz
( ) ( ) ( ).
2. Bilangan bulat berpangkat ∏
diselesaikan menggunakan aturan:
( ) ∑
3. Fungsi L disebut derivatif logaritma dimana ( )
( )
untuk
setiap ∏
, sehingga L memenuhi syarat:
L (x) =∑
.
4. Untuk setiap , maka adalah integral dari yang dilambangkan
sebagai ( ). Integral dari suatu bilangan nilainya tidak tunggal seperti pada
integral tak tentu untuk kasus fungsi.
DAFTAR PUSTAKA
Barbeau, E. J. 1961. Remarks on Arithmetic Derivative. Canad. Math Bull, 4,
117–122.
Brown, J.W. and Churchill, R.V. 1996. Complex Variables and Applications.
McGraw-Hill, New York.
Burton, D. M. 1980. Elementary Number Theory. University Of New
Hampshire, United State of Afrika.
Grillet, P.A. 2007. Graduate Text In Mathematics. Second Edition. Springer,
New York.
Kovic, Jurij. 2003. The Arithmatic Derivative and Antiderivative. J. Integer
Seq., 6, 12.3.8.
Purcell, E.J., Varberg, D., and Rigdon, S.E. 2003. Kalkulus Jilid 1 Edisi
Kedelapan. Erlangga, Jakarta.
Spiegel,M.R. 1981. Theory and Problems of Complex Variables with An
Introduction to Conformal Mapping. McGraw-Hill International Book
Company, Singapore.
Spiegel, M.R. 1983. Advanced Mathematics for Engineer and Scientists.
Erlangga, Jakarta.
Ufnarovski,V and Ahlander, B. 2003. How to Differentiate a Number. J.
Integer Seq., 6 , 03.3.4.