4. Kompleks Kojugate (Sekawan)

5 . Bentuk Polar & Eksponensial Bi langan Kompleks

6 . Perkal ian & Pembagian Bentuk Eksponensial Bi langan Kompleks

7 . Argumen dar i Perkal ian dan Pembagian Bi langan Kompleks

8 . Aka-Akar Bi langan Kompleks

BILANGAN KOMPLEKS

Aswad©2015

Email: as_wad82@yahoo.co.id

Muhammad Hajarul Aswad Pendidikan Matematika

Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Palopo

Definisi 6.

Diberikan bilangan kompleks z = x + iy, ∀ x, y ∈ ℝ. Konjuget

(sekawan) dari suatu bilangan kompleks z didefinisikan

dengan ■

4. KOMPLEKS KONJUGATE

(SEKAWAN)

z x iy x iy

Gambar 5. Bentuk konjugate bil. kompleks

Teorema 2.

Diberikan z, z1, dan z2 ∈ ℂ. Operasi konjuget pada suatu

bilangan kompleks adalah sebagai berikut:

Buktikan.

Contoh:

Misalkan z1 = 4 + 3 i dan z2 = 2 – 5 i. Jelas bahwa

dan

1 2 4 3 2 5 23 14 23 14z z i i i i

1 15 5 4 3 5 4 8z i z i i i i

Definisi 3.

Misalkan r dan θ adalah kordinat

polar dari tit ik (x, y) yang

berkorespondensi dengan

bilangan kompleks tak nol z = x +

iy. Untuk x = r cos θ dan y = r sin

θ, maka bentuk polar dari

bilangan kompleks z = x + iy

adalah z = r(cosθ + i sinθ). ■

5. BENTUK POLAR & EKSPONENSIAL

BILANGAN KOMPLEKS

Gambar 6. Bentuk polar bil. kompleks

Jika z = 0, koordinat θ jelas tidak terdefinisi.

r = jarak/radius vektor z = modulus dari z, r = |z| =

θ = argument dari z = besar sudut antara sumbu x positif

dengan vektor z.

atau

Principal value dari arg z dinotasikan dengan Arg z, dimana

–π < Arg z ≤ π

arg z = Arg z + 2kπ dengan k = 0, ±1, ±2, ...

2 2x y

tany

x arc tan

y

x

Contoh:

Tentukan Arg z dan arg z dari bilangan kompleks -1 – i.

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa bilangan kompleks z = -1-i terletak pada

kuadran ketiga. Sehingga:

Arg (-1-i) = arc tan 1 + 90o = 45o + 90o = 135o = -3π/4.

Ingat, –π < Arg z ≤ π, sehingga Arg (-1- i) ≠ 225o atau 5π/4.

Selanjutnya,

arg (-1-i) = Arg (-1-i) + 2kπ = -3π/4 + 2kπ, dengan k = 0, ±1,

±2, ...

Definisi 4.

Bentuk e iθ atau exp(iθ) didefinisikan sebagai:

e iθ = cos θ + i sin θ

Dengan θ dalam radian. ■

Berdasarkan Definisi 4, bentuk bilangan kompleks z

sebagaimana yang dimaksud pada Definisi 3, dapat ditulis

kembali menjadi:

z = r(cosθ + i sinθ) = re iθ

Contoh:

Misalkan diketahui bilangan kompleks z = -1 – i, tentukan

bentuk eksponennya.

Penyelesaian:

Telah ditunjukkan bahwa θ = -3π/4, r = √2. sehingga bentuk

eksponensialnya adalah:

Atau

dengan k = 0, ±1, ±2, ...

3

43 3

2exp 2exp 24 4

i

z i i e

32exp 2

4z i k

Bentuk z = re iθ dengan r = 1 menunjukkan bahwa e iθ terletak

pada lingkaran dengan jarak 1 satuan dari tit ik asal. Secara

geometri terlihat bahwa

e iπ = -1, e -iπ/2 =-i, dan e -i4π = 1.

Gambar 7. Bentuk polar bil. kompleks

Latihan 1.

1. Tunjukkan bahwa:

2. Misalkan z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + iy2. Buktikan

bahwa dan

3. Buktikan bahwa untuk

4. Tentukan Arg z dan arg z dari

5. Tentukan bentuk eksponensial bilangan kompleks

Perkalian dan pembagian bentuk eksponensial bilangan

kompleks memenuhi sifat-sifat berikut:

Misalkan maka:

a. a

b. B

c. Untuk suatu maka

6. PERKALIAN & PEMBAGIAN BENTUK

EKSPONENSIAL BILANGAN KOMPLEKS

7. ARGUMEN DARI PERKALIAN DAN

PEMBAGIAN BILANGAN KOMPLEKS

Misalkan

Maka

dan

Misalkan diberikan suatu

titik z = re iθ, terletak pada

suatu lingkaran dengan jari-

jari r. Titik z = re iθ akan

kembali ke posisi semula

jika θ bertambah ataupun

berkurang sebesar 2π.

8. AKAR-AKAR BILANGAN KOMPLEKS

Gambar 8.

Definisi 5

Dua buah bilangan kompleks z1 = r1eiθ1 dan z2 = r2e

iθ2 dikatakan

sama jika dan hanya jika r1 = r2 dan θ1 = θ2 + 2kπ, dengan k = 0,

±1, ±2, ...

Teorema De Moivre

Misakan suatu bilangan kompleks pangkat n adalah zn = rn(cos

nθ + i sin nθ) dengan n = 0, 1, 2, ... Untuk |z| = r = 1, maka zn =

(cos θ + i sin θ)n = (cos nθ + i sin nθ).

Misalkan bentuk akar n dari suatu bilangan kompleks z

adalah w, ditulis sebagai berikut:

Misalkan z = r (cos θ + i sin θ) dan w = R (cos Φ + i sin Φ),

maka

Berdasarkan kesamaan dua bilangan kompleks, maka

Rn = r → dan

nΦ = θ + 2kπ →

dengan k = 0, 1, ..., n-1, ..

nw z

cos sin cos sin

nn

n

w z w z

R n i n r i

nR r

2k

n n

Sehingga:

Ke-n buah nilai tersebut terletak pada suatu lingkaran

yang berjari-jari dengan pusat l ingkaran di tit ik asal

dan membentuk suatu polygon beraturan bersisi n.

Contoh:

Tentukan akar ke-n dari bilangan kompleks 1.

2 2cos sinn n k k

w z r in n

n r

Latihan 2.

1. Sederhanakan bentuk

2. Tentukan principal argument (Arg z) dari bentuk

kompleks berikut:

3. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan

4. Gunakan teorema de Moivre untuk membuktikan

rumus identitas trigonometri berikut:

NEXT

Tugas I

SELESAI