conomtrie de la FinanceDossier de Travaux Dirigs

Emmanuel Flachaire

Master Sciences de Gestion, IAE d'Aix-en-Provence.

conomtrie de la FinanceLe modle de rgression linaire - Devoir 1 -

Exercice 1

Le modle d'quilibre des actifs nanciers (CAPM) ligne caractristique,(1)

Ce qui est nomm, dans l'analyse moderne de l'investissement, la n'est autre que la droite de rgression obtenue du modle suivant :

(RX rf )t = + (RM rf )t + to :

RX est le taux de rendement du titre X la priode t RM est le taux de rendement du march au temps t rf est le taux de rendement sans risque au temps tLe chier

capm.xls

contient les ctes boursires (mensuelles) de quatres compagnies -

Ford, General Motors, Microsoft et Sun - ainsi que la valeur de l'indice du march, le S&P500 (sandp), et le taux 3 mois des bonds du trsor U.S (ustb3m).1.1

Dans le modle de rgression,

est connu sous le nom de

coecient bta

du titre

T,

une mesure du risque d'un titre. Un titre dont le coecient bta est suprieur 1

est dit volatil ou agressif. Interprtez les coecients

et

du modle de rgression.

1.2 Pour pouvoir estimer le modle de rgression (1), il faut en premier lieu transformer

les sries des quatres titres en taux de rendement. Gnrez ces variables sous la forme suivante :

RX = 100 [log(Xt ) log(Xt1 )]De la mme faon, gnrez le taux de rendement du march1.3

RM

en utilisant le S&P500.

Il faut ensuite transformer le taux de rendement sans risque (annuel) en taux

mensuel, comme suit :

rf = ustb3m/121.4

On peut maintenant gnrer la variables dpendante et la variable explicative du

modle, qui sont des taux de rendement excdentaire (

excess returns) :

RX rf

et

RM rf

Reprsentez sur un mme graphique l'volution du taux de rendement excdentaire d'un titre et du march.1.5

Estimez le modle de rgression (1) pour chacun des titres, puis testez l'hypothse Quels titres peuvent tre qualis d'agressifs ?

= 1.1.6

Un analyste nancier prtend que le titre Microsoft suit le march et qu'il n'est

pas, en moyenne, plus risqu que le march. Que lui rpondez-vous ?1.7 Il arme galement que le titre Ford n'a pas de risque systmatique, c'est--dire que

ses rendements ne sont pas relis aux mouvements du march. Que lui rpondez-vous ?

1.8 La valeur du coecient de l'ordonne l'origine est-elle signicativement dirente

de zro ? Si elle l'est, quelle en est la signication ?1.9

Testez conjointement les hypothses

=0

et

=1

partir d'une statistique de

Fisher. Que pouvez-vous conclure ?1.10

Supposons que vous envisagiez que le taux de rentabilit excdentaire du march Quelles sont vos prvisions des taux de rentabilit

soit gal 0.17 le mois prochain.

moyen des dirents titres ? Calculez un intervalle de conance de cette prvision ?

Exercice 2

Ratio de couverture optimal (hedge ratio)Ces investisseurs

Les oprations de couverture sont ralises par des investisseurs qui dtiennent des portefeuilles dont ils ne peuvent se dessaisir, du moins temporairement. couvrent les risques non dsirs par des oprations terme. Dans cet exercice, nous

considrons la situation o un investisseur souhaite couvrir une position longue sur le S&P500 par la vente de contrats termes (position courte). Soient mations logarithmes du prix au comptant d'un indice boursier ( terme (

futures).

spots)

St

et

Ft

les transfor-

et de son prix

Le rendement esper d'un portefeuille compos d'une unit de l'indice units de valeurs terme, est gal :

boursier et de

Et1 (Rt ) = Et1 (St ) t1 Et1 (Ft ) St = St St1 , Ft = Ft Ft1 . Le coecient t1 reprsente le ratio de couverture determin en t1 et utilis en t. La valeur de t1 qui minimise le risque de ce portefeuilleo est appel le

ratio de couverture optimal.

Sous certaines conditions,

1

ce dernier est

constant et peut tre obtenu partir de la rgression suivante :

St = + Ft + Le ratio de couverture optimal correspond au coecient1.1

(2)

de ce modle.

Le chier

que ses valeurs terme (

SandPhedge.xls contient les valeurs du S&P500 au comptant (spots) ainsi futures), de fvrier 2002 juillet 2007. Chargez les donnes puis

achez les valeurs des deux sries.1.2

Transformer les donnes, qui sont en niveaux, an d'obtenir des rendements. Pour

cela, vous devez crer les variables suivantes :

S = 100 [log(spotst ) log(spotst1 )] = rspots R = 100 [log(futurest ) log(futurest1 )] = rfuturesCalculez les statistiques descriptives pour ces deux sries (moyenne, mdiane, cart-type, asymtrie, etc.), puis reprsentez les graphiquement dans le temps.1.3

Estimez la rgression (2).

D'aprs vos rsultats, quel est le nombre de contrats

terme que l'investisseur doit vendre s'il possde un portefeuille de 1000 units du S&P500, s'il veut minimiser le risque.1.4 Calculez un intervalle de conance du coecient

.

Testez l'hypothse selon laquelle

est signicativement dirent de 0 ? Que concluez vous ?

1 si

la variance est constante dans le temps et si St et Ft ne sont pas cointgrs

Exercice 3

Arbitrage pricing theory (APT)

Nous examinons dans cet exercice l'aide d'une rgression si les rendements mensuels du titre Microsoft peuvent tre expliqus par des changements inattendus d'un ensemble de variables macroconomiques et nancires. Le chier mensuelles, de mars 1986 avril 2007, de 13 variables : titre Microsoft, S&P500, indice des prix la consommation (CPI), indice des prix la production industrielle (PPI), bons du trsors 3 et 6 mois, 1, 3 , 5 et 10 ans, une mesure de l'ore de monnaie, de crdit la consommation et de '

macro.xls contient 254 donnes

spread credit'2

On considre le modle de rgression multiple suivant :

Y = + X + 1 Dprod + 2 Dcredit + 3 Dinf lation + 4 Dmoney + 5 Dspread + 6 Dterm + o

Y

et

X

sont les taux de rendement excdentaires du titre Microsoft et du S&P500,

3

les variables

DX

sont les changements inattendus de direntes sries macroconomiques

et nancires.1.1

La premire tape consiste gnrer les variables

Y

et

X,

les taux de rendements

excdentaires, comme cela a t fait dans l'exercice 1:

Y = RX rf = 100 [log(microsoftt ) log(microsoftt1 )] ustb3m/12 X = RM rf = 100 [log(sandpt ) log(sandpt1 )] ustb3m/121.2

La deuxime tape consiste gnrer les autres variables explicatives du modle.

L'APT (

Arbitrage Pricing Theory)

suppose que les rendements boursiers peuvent tre

expliqus par des changements inattendus de variables macroconomiques plutt que par leurs variations en niveaux. La variation inattendue peut tre spcie par la diffrence entre la valeur realise et la valeur espre de la variable. Si on suppose que les investisseurs ont des croyances naves, la valeur espre la priode qui suit est gale la valeur realise la priode courante. Autrement dit, on suppose que les investisseurs n'attendent aucun changement. Les changements inattendus, peuvent donc tre gnr comme suit :

Dprod = industrial_prodt industrial_prodt1 Dcredit = consumer_creditt consumer_creditt1 Dinf lation = inationt inationt1 Dmoney = m1money_supplyt m1money_supplyt1 Dspread = baa_aaa_spreadt baa_aaa_spreadt1 Dterm = termt termt1

o les variables ination et term sont calcules au pralable comme suit :

= 100 [log CPIt log CPIt1 ] term = ustb10yt ustb3mtination

par la dirence de rendements annualise moyens entre un portefeuille de bonds not AAA et un portefeuille de bonds not BAA 3 respectivement R r et R r comme dnit dans l'exercice 1 x f M f

2 dnit

1.3

Vous pouvez maintenant estimer le modle de rgression multiple. Que suggre la

statistique de Fisher global ? Quelles sont les variables qui ont un impact statistiquement signicatif sur le rendement excdentaire du titre Microsoft ?1.4 Testez la signicativit conjointe des variables

Dprod , Dcredit

et

Dspread

l'aide d'une

statistique de Fisher.1.5 1.6 1.7

Testez la prsence ventuelle d'htroscdasticit dans le modle. Testez la prsence ventuelle d'autocorrlation dans le modle. Testez la normalit du terme d'erreur.

1.8 l'aide de l'infrence statistique, quelles variables pouvez vous exclure du modle ?

Autrement dit, quel modle retenez vous au nal et que concluez-vous ?

conomtrie de la FinanceLes processus ARMA - Devoir 2 -

Exercice 1

volution et prvision de l'indice des prix la production (PPI)

La slection d'un processus ARMA adquat n'est pas sans ambiguit : deux conomtres galement comptents peuvent tre amens modliser une mme srie puis faire des prvisions avec des processus ARMA trs dirents, slectionns avec la mthode de BoxJenkins. La ncessit de faire conance aux jugements et l'exprience de l'conomtre est une inconvnient majeur pour certaines personnes. Nanmoins, des choix appropris permettent de slectionner des modles qui reproduisent dlement la dynamique des donnes observes.1.1

Le chier

production

quaterly.xls contient les donnes trimestrielles de l'indice des prix la U.S. (Producer Price Index) de 1960:Q1 2002:Q1. Gnrez une variablet = log(PPIt ) log(PPIt1 )

qui mesure le taux d'ination, comme suit :

Reprsentez cette srie dans le temps, puis faites un graphique de son corrlogramme.1.2

Rappelez vous que l'ACF thorique d'un processus MA(q) met en vidence des

valeurs qui dclinent brutalement au retard elles dclinent gomtriquement (t+1

q,

alors que pour un processus AR(1)

= k t ).

Le phnomne inverse est observ avec le

PACF thorique. D'aprs le corrlogramme de votre srie, tes vous en prsence d'un processus MA(q) ou AR(1) ? Sinon, que pouvez vous conclure ?1.3

Estimez un processus AR(1),

t = + 1 t1 + t ,

puis analysez le corrlogramme

des rsidus (ACF, PACF et Q-stat). Ce processus est-il appropri ?1.4

Estimez un processus AR(2),

t = + 1 t1 + 2 t2 + t .

partir d'un critre

d'information (BIC ou AIC), comparez ce modle avec un processus AR(1). Lequel est le meilleur ? Ce dernier est-il appropri (1.5

Aide:

analysez le corrlogramme) ? partir d'un

Estimez un processus ARMA(1,1),

t = + 1 t1 + 1 t1 + t .

critre d'information, comparez ce modle avec les processus AR(1) et AR(2). Lequel est le meilleur ? Analysez le corrlogramme des rsidus du modle ARMA(1,1).1.6 Estimez les processus ARMA d'ordre (2,1), (1,2) et (2,2). Quel modle retenez-vous

parmi tous ceux que vous avez estim ? Comparez graphiquement les valeurs prdites par le modle slectionn avec les valeurs observes.1.7

Estimez un processus ARMA(1,[1,4]),

t = + 1 t1 + 1 t1 + 4 t4 + tEst-il meilleur que le modle que vous avez slectionn ? Pouvez-vous justier l'estimation de ce modle (1.8

Aide:

corrlogramme) ? Quelle interprtation pouvez-vous lui donner ?

partir du processus ARMA(1,[1,4]), eectuez des prvisions du taux d'ination

sur l'anne qui suit, puis valuez la prcision de vos prvisions.

Exercice 2

volution et prvision des prix de l'immobilier

L'objectif de cet exercice est de construire une modle ARMA sur les variations des prix des maisons. L'analyse est eectue en trois tapes: identication, estimation et test de diagnostic. La premire tape est conduite en anlysant le corrlogramme2.1 Le chier

ukhp.xls contient les prix moyens des maisons de janvier 1991 mai 2007.Xt = 100 (Pt Pt1 )/Pt1

Chargez les donnes puis gnrez une variable de variation des prix en pourcentage :

liminez la premire observation de l'chantillon.2.2

Reprsentez graphiquement le corrlogramme de la srie en considrant 12 retards,

puis analysez la fonction d'autocorrlation (ACF) et la fonction d'autocorrlation partielle (PACF).2.3

Le choix du modle ARMA appropri pouvant tre dlicat avec le corrlogramme,

utilisez un critre d'information (AIC et/ou BIC) pour slectionner un modle adquat.2.4

Estimez un modle AR avec les retards 1, 2, 11, 12 sur un chantillon rduit,

de 1991:2 2004:12, puis reprsentez le corrlogramme des rsidus (avec 12 retards). Calculez partir de ce modle les prvisions des variations de prix pour la priode 2005:1 2007:5. Comparez vos prvisions avec les valeurs observes.2.5

Estimez un modle AR avec les retards 1, 2, 11, 12 sur tout l'chantillon. Calculez

vos prvisions de variations de prix pour les douze mois qui suivent.

Exercice 3

Le modle d'quilibre des actifs nanciers (CAPM) capm.xls, puis gnrez les variables:

3.1 Slectionnez le titre Ford et le S&P500 du chier

RX = 100 [log(Fordt ) log(Fordt1 )] RM = 100 [log(S&P500t ) log(S&P500t1 )]Estimez par MCO le modle de rgression linaire :

(RX rf )t = + (RM rf )t + tcomme cela a t fait dans le devoir 1, o

(1) Comparez graphiquement

rf = USTB3M/12.

les valeurs prdites et les valeurs observes.3.2

Les donnes sont temporelles et il peut y avoir un problme de dpendance tem-

porelle dans les alas. Faites un graphe du corrlogramme des rsidus et analysez le.3.3

Estimez plusieurs modles ARMAX, en considrant les ordres (0,0) (4,4). Quel

modle retenez-vous ? Analysez le corrlogramme de ce modle.3.4

Comparez les valeurs prdites du modle ARMAX et du modle estim par MCO.

conomtrie de la FinanceLes modles GARCH - Devoir 3 Exercice 1

La volatilit des marchs boursiers (ARCH, GARCH) nyse.xls contient les donnes journalires de l'indice du march boursier (NYSE composite index), du 3 janvier 1995 au 30 aout 2002. Gnrez lert = 100 log(compositet /compositet1 )

Le but de cet exercice est d'eectuer pas--pas l'estimation d'un modle GARCH.1.1

Le chier

de New-York

taux de rendement de cet indice de march :

puis liminez la premire observation de l'chantillon.1.2

Faites un graphe de la srie de taux de rendement

r.

Pouvez-vous identier une

priode o le taux de rendement du march subit des variations inhabituelles ? En quoi cela suggre l'tude d'un modle ARCH ou GARCH ?1.3

Estimez par MCO le modle de rgression linaire :

rt = + tTestez la prsence d'un eet ARCH d'ordre1.4

q = 1, 4, 8

dans les rsidus de ce modle.

Estimez un modle ARCH(1), puis ARCH(4) :

2 t = 0 + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 t1 t2 t3 t4Lequel des deux modles slectionnez vous ?1.5

Estimez un modle GARCH(1,1) :

2 2 t = 0 + 1 2 + 1 t1 t1Comparez ce modle avec le modle ARCH slectionn dans la question prcdente. Lequel des deux retenez-vous ?

Exercice 2 2.1

La volatilit du taux de change est-elle asymtrique ? (TGARCH) currencies.xlscontient les donnes journalires des niveaux de change

Le chier

avec le dollars de l'euro, de la livre sterling et du yen japonais, du 24 juillet 2002 au 7 juillet 2007. Gnrez le taux de change du yen :

rt = 100 log(JPYt /JPYt1 )puis liminez la premire observation de l'chantillon. Analysez son corrlogramme.2.2 Faites un graphe de la srie de taux de change

r.

Pouvez-vous identier une priode

o le taux de change subit des variations inhabituelles ? En quoi cela suggre l'tude d'un modle ARCH ou GARCH ?

2.3

Estimez par MCO le modle de rgression linaire :

rt = + tTestez la prsence d'un eet ARCH dans les rsidus de ce modle.2.4

Sauvegardez les rsidus levs au carr puis analysez son corrlogramme.

Que

pouvez-vous dire sur la prsence ventuelle d'un eet ARCH ?2.5

Estimez dirents modles ARCH et GARCH, puis slectionnez celui qui vous

parat le plus adquat.2.6

Estimez un modle TGARCH/GJR : les chocs sont asymtriques sur le taux de

change (les chocs positifs sont suivi d'une volatilit plus grande que les chocs ngatifs, ou inversement). Que pouvez-vous conclure ?

Exercice 3

volution et prvision du taux d'ination (ARMA-GARCH)

Nous reprenons l'exercice du devoir prcdent qui traite de l'volution du taux d'ination du PPI. partir du modle ARMA slectionn, nous modlisons une ventuelle htroscdasticit conditionnelle des alas. Dans cet exercice, le centre d'intrt porte sur les prvisions du taux d'ination plutt que par la modlisation de sa volatilit. Autrement dit, une modlisation ARCH ou GARCH est utilis pour obtenir des intervalles de conance de meilleure qualit dans le modle ARMA. Il faut alors estimer simultanment le modle ARMA et le modle GARCH.3.1

Le chier

production U.S. (

quaterly.xls contient les donnes trimestrielles de l'indice des prix la Producer Price Index) de 1960:Q1 2002:Q1. Gnrez une variableXt = log(PPIt ) log(PPIt1 )

qui mesure le taux d'ination des prix la production, comme suit :

liminez la premire observation de l'chantillon, puis estimez un modle ARMA(1,[1,4]) :

t = + 1 t1 + 1 t1 + 4 t4 + t3.2

partir d'un graphe des rsidus, est-ce que vous pouvez identier une priode o

le taux d'ination subit des variations inhabituelles ? En quoi cela suggre l'tude d'un modle ARCH ou GARCH ?3.3

Sauvegardez les rsidus levs au carr puis analysez son corrlogramme.

Que

pouvez-vous dire sur la prsence ventuelle d'un eet ARCH et, s'il y a un tel eet, du nombre de retards adquat ?3.4 3.5

Testez la prsence d'un eet ARCH d'ordre

q = 1, 4, 8.

Y-a-t'il un eet ARCH ?

Estimez un modle ARMA(1,4)-ARCH(4) puis ARMA(1,4)-GARCH(1,1). Lequel

des deux modles retenez-vous.3.6

Faites des tests de diagnostic pour voir si votre modle est le plus appropri (

Aide:

testez votre modle contre d'autres avec des ordres direntts).3.7 Reprsentez graphiquement les valeurs prdites et les intervalles de conance. Vous

observerez que la largeur de les intervalles de conance augmente autour du milieu des annes 70 et de la n des annes 1980 jusqu'au dbut des annes 1990.

conomtrie de la FinanceRacine unitaire, cointgration - Devoir 4 -

Exercice 1

L'ecience du march boursier

Le march boursier est ecient si les prix des actions contiennent toute l'information disponible, dont les bnces futurs anticips. Autrement dit, les variations d'un indice boursier sont imprvisible : elles ne dpendent que d'informations nouvelles et imprvisibles :

Xt = t .

Si tel est le cas, le logarithme de l'indice boursier est une marche

alatoire :

log Xt = log Xt1 + to

t

est un bruit blanc.

Vrier l'ecience du march revient donc vrier que la

srie de l'indice boursier (en log) a une racine unitaire.1.1 Le chier

macro.xls contient les valeurs mensuelles du S&P500 de mars 1986 avril

2007. Faites un graphique de cette srie et analysez son corrlogramme.1.2

Testez la prsence d'une racine unitaire partir d'un test de Dickey-Fuller, en

considrant un modle avec constante et tendance :

log SP500t = + log SP500t1 + t + t1.3

Testez la prsence d'une racine unitaire partir d'un test ADF d'ordre 1 5, en

considrant un modle avec constante et tendance :

SP500t = + log SP500t1 + t + 1 SP500t1 + + 5 log SP500t5 + tEn comparant les rsultats des rgressions, quel ordre retenez-vous ? Concluez vous que la srie est stationnaire ou non-stationnaire ?1.4

La srie est elle un marche alatoire avec tendance dterministe ou stochastique ?

Finalement, le march boursier est-il ecient ?

Exercice 2 2.1 Le chier

L'volution des prix de l'immobilier ukhp.xls contient les prix moyens des maisons de janvier 1991 mai 2007.

Chargez les donnes puis reprsentez graphiquement la srie. Quelle est la tendance de cette srie ?2.2

Analysez le corrlogramme de la srie. Dans quelle mesure suggre-t'il que la srie

(en niveaux) est non-stationnaire ?2.2

Testez l'hypothse nulle d'une racine unitaire l'aide d'un test de Dickey-Fuller,

puis de plusieurs tests ADF en considrant les ordres 1 5. Que pouvez-vous conclure ?2.3

Refaites la mme analyse (graphique + corrlogramme + test ADF) avec la srie

transforme en dirences premires :

Pt = Pt Pt1

Que pouvez-vous conclure ?2.4

Refaites la mme analyse (graphique + corrlogramme + test ADF) sur les dif-

frences premires de la transformation logarithmique de la srie :

log Pt = log Pt log Pt1Que pouvez-vous conclure ?2.5 Que pouvez-vous dire sur la stationnarit/non-stationnarit des sries utilises dans

les devoirs prcdents.

Exercice 3 3.1

Relation de long-terme entre les prix au comptant et les prix terme SandPhedge.xls contient les valeurs du S&P500 au comptant (spots) ainsi futures), de fvrier 2002 juillet 2007. Chargez les donnes puis

Le chier

que ses valeurs terme ( miques.3.2

reprsentez sur un mme graphique les deux sries, puis leurs transformations logarith-

l'aide de tests de racine unitaire ADF, vriez que les transformations logarith-

miques des deux sries sont non-stationnaires en niveaux, mais sont stationnaires si on prend leurs dirences premires.3.3

Estimez par MCO le modle de rgression :

log Spott = + log Futurest + tSauvegardez les rsidus et faites en une reprsentation graphique. d'une racine unitaire dans les rsidus. cointgrs ?3.4

Testez la prsence

Pouvez-vous conclure que les deux sries sont

Estimez le modle correction d'erreur suivant :

log Spott = + log Futurest + t1 + Interprtez vos rsultats.

t