Deuxi`emeanneeDepartementEnergie: Production, TransformationModuleSE143Machines`auides-TurbomachinesMathieuJennyAnneeuniversitaire2010-2011Tabledesmati`eresCoursdemachines`auidesdeMathieuJenny,ENSMN. Introduction 31 Eetsdesforcesdinertie-Problematiquedelequilibrage 51.1 Cinematique:compositiondesmouvementsparchangementdereferentiel . . . . . . . . . . . 61.1.1 Referentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 VecteurrotationdunreferentieltournantautourdunaxexeOz . . . . . . . . . . . 61.1.3 Compositiondesderiveestemporellesdevecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4 Compositiondesvitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.5 Compositiondesaccelerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Cinetiquedesmassesetinertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Distributiondemasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Centredinertie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3 Resultanteetmomentcinetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.4 Tenseurdinertiedunsolideindeformable:generalites. . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.5 Tenseurdinertie:theor`emedeHuyghens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.6 Tenseursdinertiedesolideshomog`enesdeformesimple . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Loisfondamentalesdeladynamique-Bilansdeorts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Probl`emedelequilibragedunrotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Pompes 212.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.1 Resultatsducoursdemecaniquedesuides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.2 Pompesvolumetriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.3 Congurationduneturbopompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Triangledesvitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Principedequantitedemouvementangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4 Notionsdechargerelative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5 Caracteristiquedunepompecentrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5.1 Caracteristiquetheorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5.2 Caracteristiquereelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5.3 Bilanderendements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6 Pompes`ahelices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.7 Probl`emesgeneraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.7.1 Pointdefonctionnement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.7.2 Hauteurdaspirationetamor cage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Tabledesmati`eres2.7.3 Groupementdepompes:serieetparall`ele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.7.4 Cavitation-rudiments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.8Etudedimensionnelleetsimilitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.9 NPSH(NetpositiveSuctionHed) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.10 TD:Pompes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.10.1 Repartiondepompessurunoleoduc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.10.2 Choixdunepompeparsimilitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.10.3Etudedunepompecentrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.10.4Etudedunepompemulticellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.10.5 ExempledutilisationduNPSH(R.Joulie,Mecaniquedesuidesappliquee) . . . . . 433 Turbineshydrauliques 453.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.1 Lesturbines`aaction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.2 Lesturbines`areaction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Bilandenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3 Turbine`aaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3.1 LaturbinePelton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3.2 TurbineCrossow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3.3 Non-Peltonwheelimpulseturbine(Dentaldrill) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4 Turbines`areaction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4.1 Organescommuns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4.2 Triangledesvitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.4.3 Caracteristiquesgenerales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.4.4 Diuseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.4.5 Cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4.6 Limitedelahauteurdaspiration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.5 TD:Turbines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.5.1 TurbinePelton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.5.2 Dentaldrill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.5.3 Tourniquethydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.5.4EtudeduneturbineFrancis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.5.5 Turbineauxench`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73IntroductionCedocumentdecours-TDdeMachines`auides-Turbomachinesest destine aux el`eves de deuxi`eme annee de lecole nationale superieure des Mines de Nancy ayantchoisiledepartementEnergie:Production,Transformation.IlcorrespondaumoduleSE143.Uneversionpdfdecedocumentestaccessiblesurwww.mines.inpl-nancy.fr/mathieu.jenny.Cecourssesitueevidemmentdanslacontinuiteducoursdemecaniquedesmilieuxcontinussolides et uides de premi`ere annee (Plaut 2009b), et de celui de mecanique des uides de deuxi`emeannee (Plaut 2009a). Nous utilisons les memes notations : les caract`eres gras surmontes dune barre(exemple: v)designentlesvecteurs, lescaract`eresgrassurmontesdedeuxbarres(exemple: D)designentlestenseursdordre2.Pour echanger de lenergie entre un uide et un syst`eme mecanique, on utilise ce quon appelledes machines `a uides. Ce sont souvent des machines tournantes ou turbomachines. Le transfert delenergie de la machine vers le uide se fait grace `a des pompes. La transformation inverse est faitepardesturbines.Cesderni`erespeuventalors,soittransmettredirectementlenergiemecanique`auneautremachine`afairefonctionner,soit,`aleurtour,echangerleurenergiemecaniqueavecunalternateurpourlatransformerenelectricite. Lenergiedesuidesprovientsoitdeleurenergiepotentielle,danslecasdunechutedeauetdelenergie-renouvelable !-hydraulique,soitdunesourcedenergiethermique:energienucleaireouenergiedecombustion. Lesturbomachinessontdoncenpremi`erelignepourlaproductiondenergieutilisableparlasocietequecesoit`adesnsindustriellesoudeconsommationdomestique.On presente dans le chapitre 1, redige par Emmanuel Plaut, la problematique de lequilibragedes machines tournantes. Les chapitres 2 `a 3, rediges par Mathieu Jenny, presentent les pompespuislesturbineshydrauliques. Ceschapitressonttr`eslargementinspiresducoursdeSouhar(20092010). On presentera les notions theoriques necessaires au choix des turbomachines en fonc-tionduncahierdeschargesetdeleurintegrationdansuncircuithydraulique.Pourpreparerlapremi`ereseancedececours, onvousdemandedeliretr`esattentivementlechapitre1decedocument, sujetdeTDcompris(dansladerni`eresectionduchapitre). Lecoursdureraseulement45minutes,etonenchainerasurleTD`a9h30.Lesquatresseancessuivantesdececoursporterontsurleschapitres2et3.Lecontroleseferasouslaformeduntest ecrit.Ilauralieulorsdelasixi`emeseanceetserasuividunecorrection.4 IntroductionLaderni`ereseancedececoursseradonneeparJeanMarcDorey,deEdFR&D,etseradediee`aunepresentationscientiqueettechniquedesturbines`avapeur.Je remercie tr`es vivement Emmanuel Plaut pour la redaction du chapitre 1 et Mohamed Souhar,professeur `a lENSEM, chercheur au LEMTA, pour mavoir permis de reproduire en grande partiedansmeschapitres2et3soncoursdeturbomachines.Nancy,le11avril2011.MathieuJenny.Chapitre1Eetsdesforcesdinertiesurlesturbomachines-ProblematiquedelequilibrageUnemachine`auidestournanteestunobjetsolideeninteractionavecunouplusieursuidesenvironnants,`aquiellecommuniqueoudequielletireson energiecinetiquederotation.Danscechapitreonsinteresse`aunaspectimportantdela mecaniquedessolidesquiconstituentdesmachinestournantes,`asavoirleetdelaforcedinertiecentrifugesurcessolides.Onvaredemontrer(cf. lesequations1.21et1.59)que, si estlavitesse(constantedansletemps)derotationangulairedelaturbomachineautourdelaxexeOz, danslereferentiel tournantlie`acettemachinelaforcevolumiquedinertiedentrainementcentrifugefie=e(1.1)aveclechampdemassevolumiquedelamachine,e=ez (ez OM) (1.2)le champdaccelerationdentrainement, Mdesignant le point de lespace o` uces champs sontconsideres.Enutilisantunsyst`emedecoordonneescylindriques(r,,z)dorigineOetdaxeOz,onobtiente=2rer= fie=2rer(1.3)qui est dautant plus grande que est grande. Cette force dinertie va devoir etre equilibree par desreactionsdeliaisondes paliers qui supportent larbre de la machine. Minimiser la contributionde cette force dinertie `aces reactions de liaisonest exactement le but de lequilibrage desrotors, que lon presentera ci-apr`es dans la cadre de la mecaniquedessolidesindeformables.Sepreoccuperdelaresistancedesmateriauxdeformablesconstituantlamachinetournanteauxcontraintesinternesengendreesparlaforcevolumique(1.3)seraitletapesuivante,quenousnepourronsmalheureusementpasaborder,fautedetemps.Nousrenvoyonslelecteurinteresse`aGeradin&Rixen(1996).Uncalcul dordredegrandeurmontrelimportancedesforces(1.3). Uneturbine`avapeurdecentralethermiqueounucleairetourne, danslecasduncouplageavecalternateur`a2poles, `a6 Chapitre1 Eetsdesforcesdinertie-Problematiquedelequilibrage3000tr/mn,cequidonne,enunitesSI, =30002rad60s=314rad/s.Lespalesdecetteturbineetantdetaillemetrique, laccelerationdentrainementcorrespondanteeste(314rad/s)21m98700m/s210000gavecglaccelerationdelapesanteur,quiconstitueunereference...Une approche scientique du probl`eme de lequilibrage des rotors necessite des bases en meca-niquedessolidesindeformables ; cest lobjet de ce chapitre que de les donner. On ne se limitepas strictement aux notions qui seront utilisees pour lequilibrage, de facon `a fournir un documentdecoursunpeuetoe, qui pourraetreutiledansdautrescontextes1. LequilibrageproprementditseratraiteenTD,lorsdeletudeduprobl`emedelasection1.4.1.1 Cinematique:compositiondesmouvementsparchangementdereferentiel1.1.1 ReferentielsUn referentiel est un observateur repute immobile qui mesure des mouvements. Se donner unreferentielcestdoncsedonnerunmouvementsolideindeformabledereference,`asavoirlemouvementdelachaisesurlaquellelobservateurimaginaireestassis.Lemouvementdunreferentiel relatif !dansunreferentiel absolu !0dorigineOestenconsequence unmouvement de solide indeformable, caracterise dapr`es le chapitre 2de Plaut(2009b)parunetranslation,mouvementenblocaveclavitessevR0(A !,t) =dOAdtR0(1.4)dunpointparticulierAde !,etunerotation,caracteriseeparlevecteurvitessederotationinstantanee2, =R/R0(t). (1.5)LechampdesvitessesdespointsMde !dans !0estainsilechampdemomentsvR0(M !,t) =vR0(A !,t) +(t) AM(t). (1.6)1.1.2 VecteurrotationdunreferentieltournantautourdunaxexeOzDanscecassouventrencontre,ennotant(t)langledelarotationeectueeentrelesinstants0 et t, les positions instantanees sont donnees par laction de loperateur de rotation correspondantROz,(t)selonOM(t) =ROz,(t) OM(0)1. Onignoreaussi volontairementlefaitquecertains, enfonctiondeleurclassepreparatoire, ontdej` avutelleoutellenotion;celaneleurferapasdemalde reviser ...2. Ou,defa conplusconcise,vecteurrotation.1.1 Cinematique:compositiondesmouvementsparchangementdereferentiel 7avec,danslabasexe eX,eY,ez,Mat_ROz,(t),_eX,eY,ez__=___cos (t) sin (t) 0sin (t) cos (t) 00 0 1___.ParderivationdeOM(t)parrapportautempsonobtientpourlechampdevitesseinstantanev(M,t) =v(O,t) +(t)ez OM(t),o` u, enfait, v(O,t)=0. Paridenticationavec(1.6)onvoitquelevecteurrotationinstantaneevautdanscecas(t) =(t)ez(1.7)o` ulepointdesigneladeriveeparrapportautemps. Cevecteurcaracterisebiencompl`etementlarotationROz,(t), sachant que(0) =0. Onnoteraquedans lecas dunerotation`avitesseangulaireconstante,o` u(t) = t,onobtient(t) =ez. (1.8)1.1.3 CompositiondesderiveestemporellesdevecteursSoitw(t)unvecteurdenaturephysique(vecteurmateriel eventuellement, maisaussi, peut-etre,vecteurvitesse,vecteuracceleration,vecteurforce,etc...) evoluantaucoursdutemps.Onseposelaquestiondesavoircommentlesdeuxobservateursprecedemmentnommespeuventrelierleursmesuresdedw(t)dt.Pourcelaonpartdelecrituredew(t)dansunebase ex(t),ey(t),ez(t)lieeaumouvementsolidede !:w(t) =x(t)ex(t) +y(t)ey(t) +z(t)ez(t). (1.9)Pardenition,puisquecettebaseestxepour !,dw(t)dtR= x(t)ex(t) + y(t)ey(t) + z(t)ez(t). (1.10)Dans !0parcontrenonseulementlescomposantesdew(t)maisaussilesvecteursex(t), ey(t)etez(t) evoluentdansletemps,etpourcalculerdw(t)dtR0ilfautenconsequencedeterminerlesvaleursdesderiveesdex(t)dtR0,dey(t)dtR0etdez(t)dtR0.Pour cela on peut noter que chacun de ces vecteurs de base peut etre vu comme un bipoint reliantlorigineA(t)de !`aunpointxede !,parexempleex(t) = AB(t).8 Chapitre1 Eetsdesforcesdinertie-ProblematiquedelequilibrageEnappliquantlequation(1.6)onobtientdex(t)dtR0=vR0(B !,t) vR0(A !,t) =R/R0(t) AB(t) = R/R0(t) ex(t), (1.11)cetteformederelation etantenfaitvalablepournimportequelvecteurxede !,do` uenparti-culierdey(t)dtR0= R/R0(t) ey(t), (1.12)dez(t)dtR0= R/R0(t) ez(t). (1.13)Enappliquant laformuledeLeibniz`a(1.9) onobtient laloi de compositiondes deriveestemporellesdevecteurs:dw(t)dtR0=dw(t)dtR+R/R0(t) w(t) (1.14)1.1.4 CompositiondesvitessesConsiderons maintenant le probl`eme consistant `a relier les observations de vitesse dun certainpointmaterielmobileM(t)faites parlobservateurimmobilelieaureferentielabsolu !0:va(t) =dOM(t)dtR0vitesseabsoluedeM(t); (1.15) dautrepartparlobservateurmobile,lieaureferentielrelatif !:vr(t) =dAM(t)dtRvitesserelativedeM(t). (1.16)Partransitivitepuisapplicationde(1.14)onobtientva(t) =dOA(t)dtR0+dAM(t)dtR0=vR0(A !,t) +dAM(t)dtR+R/R0(t) AM(t).Ilapparatve(t) =vR0(A !,t) +R/R0(t) AM(t) =vR0(M !,t) (1.17)vitesse du point du referentiel mobile ! concidant `a linstant t avec M(t) (cf. lequation 1.6) ; ve(t)estlavitessedentrainement dupointM(t).Aubilanonobtientlaloi decompositiondesvitesses,diteaussi loi deGalilee:va(t) =vr(t) +ve(t) (1.18)vitesseabsolue =vitesserelative + vitessedentrainement.1.2 Cinetiquedesmassesetinertie 91.1.5 CompositiondesaccelerationsPosonsmaintenantlaquestiondulienentre laccelerationabsoluedunpointmobileM(t)vueparlobservateurimmobilelieaurefe-rentiel !0:a(t) =d2OM(t)dt2R0, (1.19) etlaccelerationrelativedecememepointmobileM(t)vueparlobservateurmobilelieaureferentiel !:r(t) =d2AM(t)dt2R. (1.20)Danscebutpartonsdelequation(1.18),quelonexplicitesouslaformedOM(t)dtR0=dAM(t)dtR+dOA(t)dtR0+R/R0(t) AM(t).Parderivationparrapportautempsdanslereferentiel !0etutilisationdelaloi dederivationcomposee(1.14)onobtienta(t) =r(t)+R/R0(t)dAM(t)dtR+d2OA(t)dt2R0+ R/R0(t)AM(t)+R/R0(t)dAM(t)dtR0.Apr`esapplicationauderniertermedelaloi(1.14)onvoitapparatre laccelerationdupointdureferentielmobile !concidant`alinstanttavecM(t),accelera-tiondentrainement dupointM:e(t) =d2OA(t)dt2R0+R/R0(t) AM(t) +R/R0(t) [R/R0(t) AM(t)], (1.21)quelonobtientparderivationparrapportautempsde(1.6) ; laccelerationdeCoriolisdupointM:c(t) =2R/R0(t) vr(t). (1.22)Aubilanonpeut ecrirelaloi decompositiondesaccelerations:a(t) =r(t) +e(t) +c(t) (1.23)accelerationabsolue =accelerationrelative+accelerationdentrainement+accelerationdeCoriolis.1.2 CinetiquedesmassesetinertieLesobjetsdelamecaniquedessolidessontpesants.Onvadeniretcaracteriserprecisementcettedistributiondemasse, notammentgrace`alanotiondecentredinertie. Dautrepartonpeutnoterquunsolideindeformableposs`ede,envertudelastructuredechampdemomentsdesonchampdevitesse, 6degresdeliberte: 3degresdelibertedetranslationet3degresdeliberte de rotation. Ilfaut donc denir, pourcaracteriser precisement sonmouvementautour dunpointOdereference, saquantitedemouvementdetranslationouresultantecinetique3etsa3. Linearmomentum enanglais.10 Chapitre1 Eetsdesforcesdinertie-Problematiquedelequilibragequantitedemouvementderotationoumoment cinetique4.Cestcequenousallonsfairedanscette section, en terminant par lintroduction du tenseurdinertie, outil commode pour le calculdumomentcinetique.1.2.1 DistributiondemasseEngenerallamasseestdistribueedanslevolumedelamachineconsideree,volumequenousnoteronst.Lamassetotalepeutdoncsecrirem=___td3m (1.24)avecd3m=d3x (1.25)lelementdemasse,d3x etantlelementdevolume,lamassevolumique.Danscertainscasonpourramodeliserunepartiedusyst`eme, tr`esmincedansuneoudeuxdi-rections,enconsiderantquelleest`adistributionsurfaciqueoulineiquedemasse ;onremplaceralintegraletripledansdesformulesdenissantdesquantitesextensivesdutype(1.24)parunein-tegraledoubleousimple, lelementdemasseetantproportionnel `aunelementdesurfaceoudelongueur. Onpourraaussi considererquecertainesmassessont ponctuelles ; alorslintegraleseraunesommediscr`ete.1.2.2 CentredinertieLecentredinertiedusyst`emeestdenicommelepointGbarycentredeladistributiondemassedusyst`eme,telqueO, mOG=___tOMd3m . (1.26)1.2.3 ResultanteetmomentcinetiquesDans le referentiel !0 o` u O est xe, nous denissons la quantite de mouvementde translationtotaledusyst`eme,p(t) :=___tv(M,t)d3m=___tOM(t)d3m=mOG(t) . (1.27)Lacommutationdeladeriveeparrapportautempsetdelintegralesurladistributiondemasse,p =___tdOMdtd3m=ddt___tOMd3m, (1.28)resulte en fait de la conservation de la masse, et de la formule de transport dune densite massique,ddt___ted3m=___tdedtd3m, (1.29)4. Angularmomentum enanglais.1.2 Cinetiquedesmassesetinertie 11demontreedanslasous-section3.1.3dePlaut(2009b).Comme on la explique au debut de cette section, on doit aussi introduire la quantite de mouvementderotationdusyst`emeparrapport`acepointO,soit(O,t) :=___tOM(t) v(M,t)d3m (1.30)EnutilisantlarelationdetransitiviteAM = OMOAainsiqueladenition(1.27),onobservequeO,A, (A,t) =(O,t) +p(t) OA (1.31)ce qui montre que est un champ de moments de resultante p. On designe pour cette raison (O,t)commelemomentcinetiquedusyst`emeparrapportaupointO,etp(t)commelaresultantecinetiquedusyst`eme.1.2.4 Tenseurdinertiedunsolideindeformable:generalitesOnseplacetoujoursdansunreferentiel !0o` uunpointOdusolideSetudieestxe. Si Sestunsolideindeformable, onpeututiliserlefaitquesonchampdevitesseestunchampdemoments.Laformuledeschampsdemomentsdonnealorsv(M S,t) =v(O S,t) + OM(t) = OM(t), (1.32)avec =S/R0(t) (1.33)le vecteur vitesse de rotation instantanee de Sdans !0. Le produit OMv `a integrer pour obtenirlemomentcinetique(1.30)secritdoncOM_ OM_=OM2_OM _OM=_OM21 OMOM_ .IntroduisonsletenseurdinertiedeSparrapportaupointO,I(O,t) =___t_OM2(t)1 OM(t) OM(t)_d3m . (1.34)Ce tenseur dinertie est de fait lapplication lineaire qui, au vecteur vitesse de rotation instantanee,associelemomentcinetiqueenO,I(O,t) : R3 R3 (O,t) =I(O,t).. (1.35)Onainteret`aexplicitercetenseurdansunrep`ereOxyzlie`aS, caril yauradescomposantesindependantesdutemps.Encoordonneescartesiennes,levecteurOM etantrepereparOM=xex +yey +zez,lequation(1.34)sexpliciteselonMat_I(O),_ex,ey,ez__=___IxxIxyIxzIxyIyyIyzIxzIyzIzz___(1.36)12 Chapitre1 Eetsdesforcesdinertie-Problematiquedelequilibrageo` uapparaissentlesmomentsdinertieparrapportauxaxesx, y, z,Ixx=___t(y2+z2) d3m , Iyy=___t(z2+x2) d3m , Izz=___t(x2+y2) d3m ,(1.37)etlesproduitsdinertie:Ixy=Iyx= ___txyd3m,Iyz=Izy= ___tyzd3m,Izx=Ixz= ___tzxd3m. (1.38)OnpeutnoterqueIzz=___tHM2d3m (1.39)avecHleprojeteorthogonal deMsurlaxeOz. Ainsi IzzestdautantplusgrandquelamassedeSestenmoyenneloindelaxeOz.DautrepartIxy> 0(resp.< 0)indiquequenmoyennelamassedeSestdansledemi-espacexy0) ; Ixy=0indiquequelamassedeSestequirepartieentrelesdemi-espacesxy< 0etxy> 0.Le calcul des integrales (1.37) et (1.38) ne pose pas de probl`emes dans son principe ; des resultatstypes seront donnes en sous-section 1.2.6. En pratique, dans le cas de solides de forme compliquee,les logiciels de Conception Assistee par Ordinateur eectuent automatiquement et numeriquementtouscescalculs.Demani`eregenerale, I(O,t)etant symetrique peut sediagonaliser dans unecertainebaseorthonormee liee au solide S. Les axes Ox, Oy, Ozcorrespondants sont appeles axesprincipauxdinertiedusolide, tandisqueleselementsdiagonauxcorrespondantsIxx, Iyy, Izzsontappelesmomentsprincipauxdinertiedusolide.Sans aller eventuellement jusqu`a cette diagonalisation compl`ete, on a souvent interet `a calculerletenseurdinertiedansunebaseo` ulesolidepresentecertainessymetries.Parexemple,silesolideadmetxOycommeplandesymetrie,onobserve,enfaisantlechange-mentdevariablez zdanslesintegrales,queIxz= Iyz= 0.Ceci prouve que laxe Ozest axe principal dinertie du solide ; alors les deux autres axes principauxsetrouventforcementdansleplanxOy.Silundesaxesdebase,parexempleOz,estaxedesymetriedusolide,alorslechangementdevariable(x,y) (x, y)montrequonaaussiIxz= Iyz= 0.L`aencorelaxeOzestaxeprincipaldinertie.SiOzestaxederevolutiononaboutitauxmemesresultats.Deplus,enfaisantlechangementdevariable(x,y) (y,x)correspondant`aunerotationde/2,onmontrequeIxy= 01.2 Cinetiquedesmassesetinertie 13etIxx= Iyy.Ceci signiequeles axes Ox, Oy, Oz sont axes principauxdinertie, et queles deuxpremiersmomentsprincipauxdinertiesont egaux.1.2.5 Tenseurdinertie:theor`emedeHuyghensAndexaminerlelienentrelestenseursdinertieendeuxpointsoriginesdierentsOetA,inseronslarelationdetransitiviteOM=OA+AMdansletenseur elementaire`aintegrerpourcalculerI(O) equation(1.34).IlvientOM21 OMOM =_OA2+ 2OA AM+ AM2_1_OAOA+AMOA+OAAM+AMAM_.Onendeduitparintegration,etenutilisantlequation(1.26)pourA`alaplacedeO,larelationI(O) =m__OA2+ 2OA AG_1 OAOA+AGOA+OAAG_+I(A). (1.40)CetterelationsesimplieremarquablementsiAconcideaveclecentredinertieGdusolide ;onaboutitalorsautheor`emedeHuyghens:I(O) =m_OG21 OGOG_+I(G) (1.41)Ce theor`eme, qui permet de deduire I en un point quelconque O de la connaissance de I(G), justiequelonnedonnedansleformulairedelasection1.2.6quelesvaleursdeI(G).1.2.6 Tenseursdinertiedesolideshomog`enesdeformesimpleDonnons les tenseurs dinertie de solides homog`enes de forme geometrique simple. Pour lepremierexempleci-dessous,lescalculssefontencoordonneescartesiennes,aveclesquellesOM=xex +yey +zez, d3x =dxdydz. (1.42)Uncalcul preliminairedelamassetotale, selonlequation(1.24), donnelavaleurde. OnpeutalorscalculerI(G)`apartirdelequation(1.34).Exemple1: parallelepip`ederectangledroit:zxyG2a2c2bV= (x,y,z) [a,a] [b,b] [c,c], =m8abc,Mat_I(G),_ex,ey,ez__=m3___b2+c20 00 c2+a200 0 a2+b2___.(1.43)14 Chapitre1 Eetsdesforcesdinertie-ProblematiquedelequilibragePour les exemples 2 `a 5 suivants, les calculs se font en coordonnees cylindriques, avec lesquellesOM=r_cos ex + sin ey_+zez, d3x =rdrddz. (1.44)Exemple2: cylindrecreuxderevolution:xyzG2b2a2hV =(r,,z) [a,b] [0,2] [h,h], =m2(b2a2)h,Mat_I(G),_ex,ey,ez__=m_______a2+b24+h230 00a2+b24+h2300 0a2+b22_______.(1.45)Exemple3: cylindrederevolution:cecylindrepleinpeut etrevucommeuncylindrecreuxaveca = 0:Gxzy2b2hV =(r,,z) [0,b] [0,2] [h,h], =m2b2h,Mat_I(G),_ex,ey,ez__=m_______b24+h230 00b24+h2300 0b22_______.(1.46)Exemple4: anneautorique:Gzx2baV =(r,,z) [ba2z2,b+a2z2] [0,2] [a,a] , =m22a2b,Mat_I(G),_ex,ey,ez__=m_______5a28+b220 005a28+b2200 03a24+b2_______.(1.47)1.3 Loisfondamentalesdeladynamique-Bilansdeorts 15Exemple5: cerceau:Gyx2bSededuitduprecedentdanslalimitea 0,do` uMat_I(G),_ex,ey,ez__=m_____b220 00b2200 0 b2_____. (1.48)Pourlesderniersexemples,lescalculssefontencoordonneesspheriques,aveclesquellesOM=r_sin _cos ex + sin ey_+ cos ez, d3x =r2sin drdd. (1.49)Exemple6: sph`erecreuse:yxGzabV =(r,,) [a,b] [0,] [0,2], =3m4(b3a3),I(G) =25mb5a5b3a31. (1.50)Exemple7: sph`ere:Danslecasa = 0onobtientpourunesph`erepleinederayonbqueI(G) =25mb21. (1.51)1.3 Loisfondamentalesdeladynamique-BilansdeortsOn se place dans un premier temps dans un referentiel !0repute galileen, o` u les seules forcesagissantsurunsyst`emeSsontlesforcesphysiques: densitevolumiquedeforcesfvol agissant dans le volume t, par exemple fvol= g pour lepoids, g etant le champ gravitationnel, fvol= e(E+vB) pour la force electromagnetique,eetantladensitevolumiquedecharge,Elechamp electrique,Blechampmagnetique ; densitesurfaciquedeforcesTagissantsurlafronti`eretdet.Lapremi`ereloideNewtonestlaloi devolutiondelaresultantecinetique,p =Rextresultantedeseortsexterieursappliques (1.52)Rext=___tfvold3x +__tTd2S. (1.53)Dapr`es les equations (1.27) et (1.29), on peut ecrire la derivee par rapport au temps de la quantitedemouvementdedeuxfa consdierentes,p =___tR0(M)d3m=mOG. (1.54)16 Chapitre1 Eetsdesforcesdinertie-ProblematiquedelequilibrageLadeuxi`emeloideNewtonestlaloi devolutiondumomentcinetique,(O) =ext(O)momentenOdeseortsexterieursappliques (1.55)ext(O) =___tOM fvold3x +__tOM Td2S. (1.56)Dapr`es(1.29), ladenition(1.30)etlaformule(1.35), onpeutecrireladeriveeparrapportautempsdumomentcinetiquededeuxfa consdierentes,(O) =___tOM R0(M)d3m=ddt_I(O)S/R0_. (1.57)Il importedeconstater quelechampdevecteurs ext(O) presenteunestructuredechampdemoments,deresultanteRext:A, O, ext(A) =ext(O) +Rext OA=ext(O) +AO Rext. (1.58)Ceci justie le terme moment des eorts ; on parle aussi de couples appliques pour designerdescontributions`a.Si maintenantonseplacedansunreferentiel nongalileen !dontlemouvementestconnuparrapportaureferentiel absolugalileen !0, onpeutinjecterdanslesmembresdegauchedesloisdeNewton, `asavoir(1.54)et(1.57), laformuledecompositiondesaccelerations(1.23). OnobservequelesloisdeNewtonrestentvalablesdanslereferentiel !`aconditiondintroduiredesforcesdinertievolumiquesdanslesmembresdedroite,fi= fie..forcedinertiedentrainement+ fic..forcedinertiedeCoriolis=ec. (1.59)1.4 Probl`emedelequilibragedunrotorOnconsid`ereunrotorSsolideindeformable, demassetotalem, comprenantunaxeOzenrotationsurunchassisgrace`adesliaisonspivotssitueesauxpointsP1etP2:P2P1GxzySOnchoisitunrep`eredetravail OxyzlieausolideS, dorigineO=P1. OnaalorsOP2=lez.Dautre part le centre de gravite G de Sest repere par OG = OH+HG avec H projete orthogonaldeGsurlaxeOz,OH = cez,HG = aex +bey.Onsinteresseauregimederotationo` ulavitesseangulairedeSdanslereferentiel absoludulaboratoire !0estconstante. Danscereferentiel, lerotorestsoumis`adeseortsauniveaudesliaisonspivots:1.4 Probl`emedelequilibragedunrotor 17 le champ de forces exerce au niveaude la liaisonP1a une resultante egale `a la reactiondeliaisonR1etuncoupleenP1egalaucoupledeliaison1 ; le champ de forces exerce au niveaude la liaisonP2a une resultante egale `a la reactiondeliaisonR2etuncoupleenP2egalaucoupledeliaison2.Dautrepartdeseortsd us`alenvironnement, parexemplelactiondeuides, existent ; onnoteRenvleurresultante,envleurcoupleenO.Ennlactiondelagraviteterrestreconstitueunetroisi`emesourcedeorts.Lamoitiedesmini-groupesdeTDtraiteralaquestion1ci-dessousparlavoiea,lautremoitieparlavoieb.1Explicitezlesloisfondamentalesdeladynamiquedecesyst`eme1.asoitdanslereferentiel !0dulaboratoire,1.bsoitdanslereferentiel !lie`aS, doncenrotationparrapport`a !0aveclevecteurvitesseinstantaneederotation= ez.Dans les deux cas faites intervenir les composantes Ixzet Iyzde la matrice representant le tenseurdinertieI(O)deSdanslabasetournante ex,ey,ez.1.c On fait lhypoth`ese que les liaisons pivots sont parfaites au sens o` u, en labsence dactionsdues`alenvironnement, lescouplesdeliaison1et2sontnuls. Observantdautrepartquelesyst`emedequationsquelonvientdobtenirestlineairevis-`a-visdetousleseortsappliques,onsinteresse dans ce qui suit aux reactions de liaison R1et R2qui compensent seulement les termesinertiels, d us aux membres de gauche des equations de la dynamique (1.52) et (1.55) dans le calculde1.a,ouauxforcesdinertiedanslecalculde1.b.Montrezquecesreactionssontdeniesparlesyst`emeR1+R2= 2R,OP1 R1+OP2 R2= 2S, (1.60)en donnant la denition des vecteurs Ret S tournants lies `a S, qui ne dependent que de la geometriedeladistributiondesmassesdeS.Proposezuneinterpretationphysiqueexpliquantlorigineetlanaturedestermes 2Ret 2S.2.aDeterminezautantquepossiblelescomposantesdeR1etR2, ennotantquil demeureunecomposanteinconnuedeliaison.2.bMontrezquelequilibragecompletdurotor,i.e.lannulationdestermessourcesRetSdanslesyst`eme(1.60),revientauxconditionssuivantes: conditiondequilibragestatique: le vecteur balourd mHG = 0, i.e. a = b = 0, i.e.lecentredinertieGsetrouvesurlaxederotationOz ; conditiondequilibragedynamique: lesmomentsdinertieIxz=Iyz=0, i.e. laxederotationOzestaxeprincipaldinertiedeS.Montrezensusquelaconditiondequilibragestatiquerevient`aassurerqueletermedecoupled uaupoids,OG mg,esteectivementstatiqueausenso` uilestindependantdutemps.18 Chapitre1 Eetsdesforcesdinertie-Problematiquedelequilibrage3OndesireequilibrerlerotorendisposantsurSunemasseponctuellemaupointAdesonbordrepereparOA=xex + yey+ zezetuneautremasseponctuellemaupointBdesonbordrepereparOB = xex +yey +zez.3.aCalculezlescoordonneesa

, b

etc

ducentredegraviteG

dusyst`emeS

=Sainsimodie,etexplicitezlaconditiondequilibragestatiquedeS

.3.bCalculez les produits dinertie enO, I

xzet I

yz, dusyst`eme S

, et explicitez laconditiondequilibragedynamiquedeS

.3.c Pourquoi ne doit-on pas en general disposer les masses met mdans un meme plan perpen-diculaire`alaxederotation,dequationz= constante ?4Dun point de vue pratique, comme on na pas acc`es directement `a la position du centre dinertieouauxmomentsdinertie, onutiliselamethodedescoecientsdinuencepourequilibrerun rotor. Pour cela on caracterise quantitativement le desequilibre du rotor, en regime de rotation`avitesseangulaireconstante,enmesurantdanslereferentiel !0unedescomposantesdeR1etR2grace`adeuxcapteursdeforces, placesenP1etP2, etorientesperpendiculairement`alaxederotation.SionappelleeXladirectiondemesuredecescapteurs,onpeutformerunebasexedans !0`alaidedesvecteurs_eX,eY,eZ_=_eX,ez eX,ez_.Danscettebasexelabaselieeaurotor_ex,ey,ez_esttournante,avecunanglederotation(t) :=_

eX,ex(t)_=t,etonmesuredoncs1(t) =R1 eXgraceaucapteur1, s2(t) =R2 eXgraceaucapteur2.4.aEnutilisantlesresultatsdelaquestion2.a,donnezlexpressiongeneraledes1ets2.Montrezquelonpeutassociernaturellement`acessignauxtemporelsoscillantsdesamplitudescomplexesz1et z2dont on donnera lexpression. Vous introduirez enn les amplitudes complexes normaliseesZ1= z1/2etZ2= z2/2.Indication-commentaire: vous constaterez que la r`egle utilisee en traitement de signaux oscillants,s(t) =sx cos(t) sy sin(t) =Re[z exp(it)] amplitudez =sx +isy,se marie harmonieusement, ici, avec la r`egle utilisee en analyse complexe pour associer un complexe`aunvecteur.4.bQuellesconditionsdoit-onrealiserpour equilibrerlerotor ?4.c La strategie proposee par la methode des coecients dinuence consiste `a equilibrer le syst`emeen positionant des masses `a la peripherie de deux disques faisant partie de S, situes lun en z= z,lautreenz=z ,=z. Onrep`erelavaleurdecesmassesetleurpositiondanslesplansdecesdisquesparles balourds b=m(x +iy) , b=m(x +iy) ennotationscomplexes.1.4 Probl`emedelequilibragedunrotor 19On commence par mesurer les amplitudes complexes normalisees Z1et Z2sur Stournant seul ; onnotelesvaleurscorrespondantesZ01etZ02.On arrete alors S, et on place men un point A du premier disque de S. On mesure - apr`es retourauregimederotationpermanent - les nouvelles valeurs Z1et Z2des amplitudes complexesnormaliseesdessignauxs1ets2.MontrezquelonaalorsZ1=Z01+c1b, Z2=Z02+c2bo` u lon peut faire apparatre (i.e. mesurer pratiquement) des coecients dinuence c1et c2dontondonneralavaleurtheorique.On arrete `a nouveau le syst`eme, on enl`eve m, et on dispose men un point B du deuxi`eme disquede S. On mesure ensuite les nouvelles valeurs Z1et Z2des amplitudes complexes normalisees dessignauxs1ets2. Montrezquelonpeutintroduiredescoecientsdinuencec1etc2desortequeZ1=Z01+c1b, Z2=Z02+c2b.Dans le cas general o` u on dispose men A point du premier disque et men B point du deuxi`emedisque,montrezquelesamplitudesvibratoiresdes1ets2sontdonneespar:Z1=Z01+c1b +c1b, Z2=Z02+c2b +c2b.Decrivez`apartirdecesresultatsunemethodepratiquedequilibrage.Vousnoterezque,dunpointdevuetheorique,cettemethodefonctionnesilamatricedescoe-cientsdinuence[C] =_c1c1c2c2_estinversible ;vousveriereztheoriquementquecelaestbienlecas.5Enprenantunpeudereculparrapport`aceprobl`eme,onpeutremarquerquelonaprivilegieunpointparticulierOdelaxederotationdanstoutletraitement. Montrezdoncquesi lerotorSestequilibrevis`avisdeO, alorsil estequilibrevis`avisdetoutautrepointO

delaxederotation.Chapitre2Pompes2.1 IntroductionUne pompe est une machine hydraulique qui permet daugmenter lacharge Hdunuidemoyennant unepuissanceexterieurePext>0fournieauuide. Cettepuissanceest engeneralfournieparunrotorenrotation.2.1.1 Resultatsducoursdemecaniquedesuidesv ev sS sS eFig.2.1 Sectionduneturbopompe.On consid`ere un tube de courant de uide incompressible en regime permanent (gure 2.1). Onadonclaloideconservationdelamassequisapplique:

v.ndS= 0 qv= veSe= vsSs(2.1)Lebilanenergetiquedansuntubedecourantquicontientunesource(ouunpuits)denergiesecritenlabsencedepertedecharge:Pext= gqv (HsHe) (2.2)avecleschargesdentreeHeetdesortieHsdutubedecourant. OnrappelleladenitiondelachargeH(voirlequation(1.33)ducoursdemecaniquedesuidesPlaut2009a):H=pg+z +v22g(2.3)22 Chapitre2 Pompesp est la pression du uide au point daltitude z. La vitesse v designe la vitesse debitante `a traversunesurfaceSetestlecoecientdenergiecinetiquequisontdenisparlesrelations(1.34)ducoursdemecaniquedesuidesPlaut2009a. Si lapuissanceexterieureestechangeeviaunrotorenrotation,alorsellepeutsexprimercomme:Pext= Cext (2.4)cequifaitintervenirlecoupleappliqueaurotorCextetsavitesseangulairederotation.OnappelleraHth= HsHe> 0lachargetheoriqueatteintelorsquilnyapasdepertedanslapompe.Dapr`esladenitiondelacharge,onendeduitque:pspe= gHth +2q2vS2e_1 _SeSs_2_(2.5)Engeneral dansunepompe, Se Sscequi rendledeuxi`emetermenegligeable. Onadoncuneaugmentationdepression`atraversunepompe(p = pspe> 0).Placeedansuncircuit, unepompepeut-etreconsidereecommeunesingularitequi augmentelacharge.Dans uneturbopompe(engeneral hydromachines qui incluent les turbines), il nyaaucunorgane detancheite entre lentree et la sortie. On peut traverser la machine par un chemin continutrace dans le uide. Il y a dautres classes de pompes o` u ce nest pas le cas, par exemple, les pompesvolumetriques.2.1.2 Pompesvolumetriques1 2e spistonFig.2.2 Schemadunepompe`apiston(volumetrique).Clapetdaspiration1,clapetderefoulement2. Enphasedaspiration,leclapet1estouvertetle2ferme. Enphasederefoulement,leclapet1estfermeetle2ouvert.Dans ce cas lentree est deconnectee de la sortie et on ne peut pas passer par un chemin continuentrelespointseets.Ilexistedautrestypesdepompesvolumetriques: pompes`apalettes, pompes`aengrenages, pompes`a ecrasementdetuyaux, ...2.1 Introduction 23Paireauq fluctuant q presque constantFig.2.3 Capacitepneumatique.dont les principales caracteristiques sont un faible debit mais de grandes pressions de refoulement.De plus, ces pompes conduisent `a des debits uctuants dans le temps, ce qui necessite assez souventlamiseenplacedecapacitepneumatiquepourstabiliserledebit(gure2.3).Les machines volumetriques sont surtout utilisees comme organes de puissance (p grands) oucommandedepuissance.2.1.3 CongurationduneturbopompeIlexisteplusieurstechnologiesdepompes.Onpeutlesclasserendeuxcategoriesprincipales:les pompes volumetriques et les turbopompes. Les pompes volumetriques sont celles qui permettentle saut de pression le plus important mais cela nest vrai quavec des uides incompressibles et celasefaitengeneralaudetrimentdudebitetdesaregularite.Enn,dufaitdeletancheiteinterne`ala pompe (le volume de uide capture ne doit pas pouvoir sechapper), ce sont souvent des pompesfragilesquitol`erentmallesuideschargesenparticulessolidesetabrasivescomme,parexemple,du sable. Cest pourquoi les turbopompes sont tr`es largement utilisees dans un contexte industriel.Dansuneturbopompe, letransfertdenergieseectueentreleuideetunerouemobile. Latheoriegeneraleestlamemequelquesoitlesensdetransfert(pompeouturbine).Ondistingue: les machines `a passage tangentiel, surtout pour la turbine Pelton o` u lon peut encore raisonnerenturbomachinecar il existedes pompes `apassagetangentiel, mais il est diciledelesconsiderercommedesturbomachines.Hq v Lesmachines`apassageradial(pompescentrifuges).24 Chapitre2 PompesFig.2.4 Exemplesdepompesvolumetriques.2.2 Triangledesvitesses 25entreesortie Lesmachines`apassageaxialouhelicodal(pompes`ahelices).Ladispositiongeneraleduneturbomachinecomporte: Unerouemobileo` usefaitletransfertdenergie. Desdispositifsxes(danscertainscasorientables)dentree-sortiedestines`aamenerou`aevacuerleuideenluidonnantuneorientationconvenable. La roue mobile est munie soit daugets (generalement `a lair libre) soit daubes generalementnoyeesdansleuide.2.2 TriangledesvitessesConsideronsunepompecentrifuge:R 1R 2buvwR 1R 2S 2S 1rM MOeFig.2.5 Triangledevitessesurunerouedepompecentrifuge.SoitunpointMdurotor(aube),savitessedentrainementestu:u = OM; [u[ = r (2.6)avec w la vitesse relative du uide telle que sur le rotor w.nrotor= 0. La vitesse absolue est donneeparv=u + w. Ondenitlangle=(u, w)cequi permetdedessinerletriangledesvitesses`alentreeet`alasortie.26 Chapitre2 Pompesu 1v 1w 1 1n 1S 1R 1v n1R 1u 2v 2w 2 2n 2S 2R 2v n2R 2entree sortieFig.2.6 TriangledesvitessesentreeetsortieLedebitqv=__S v.ndSseconserve.Sinestlenombredaubes,onadonc:qv= vn1(2R1ne1)b1= vn2(2R2ne2)b2(2.7)aveceilepaisseurdesaubes`alentree(1)et`alasortie(2).Onfaitunehypoth`eseimportante:letriangledesvitessesdansleuideaupointMsitueentre 2 aubes est le meme au point M situe sur le rotor si [OM[ = [OM

[. En realite ceci nest pastout`afaitexactetmemeenuideparfait, departetdautreduneaube, wintrados ,=wextrados.Deplus, commelesuidessontvisqueux, onaw(M)=0(adherence). Ainsi, latheoriequi suitestunetheorieapprochee.2.3 PrincipedequantitedemouvementangulaireLeprincipedequantitedemouvementangulairesecrit:ddt___VOM (v)dV=___Vt_OM (v)dV+__S_OM (v)v.ndS=

ext(O)(2.8)Onfaitlhypoth`esequeleregimeestquasi-permanent,cest-`a-direque/t = 0.Consideronsunvolume de controle uide Vlimite par une surface fermee S=

6i=1Sien pointille sur la gure 2.7.S 2S 1S 3S 4S 5S 6Mn 2OFig.2.7 Volumeuidedecontroleautourdurotor.Calculonsleterme__S_OM (v)v.ndSdelarelationdeconservationdequantitedemouvement2.8.2.3 Principedequantitedemouvementangulaire 27 SurS5etS6,n5= n6donclacontributionestnulle. SurS3etS4,ona__S3S4_OM (v)v.ndS=__S3_OM (v)u.ndS +__S4_OM (v)u.ndS(2.9)carv = u +wetw.n = 0.Deplus,silonfaitlhypoth`esequelaubeestdefaible epaiseur,alors,u3= u4,w3 w4 v3 v4etn3 n4.Onendeduitque__S3S4_OM (v)v.ndS 0 (2.10) Enn,ontrouve:__S_OM (v)v.ndS=__S1S2_OM (v)v.ndS (2.11)Calculonsmaintenantleterme

ext(O) =__SOM t(M)dSdelequation2.8.t(M) = pndesignelacontrainteaupointcourantM. SurS5etS6,__S5S6OM t(M)dS= 0carn5= n6. SurS3etS4,__S3S4OM t(M)dS= Crotorfluide. SurS2(ouS1),__S2OM t(M)dS=__S2OM (p2n2)dSavecOM = R2n2do` u__S1S2OM t(M)dS= 0Ainsi,ontrouvelarelationquiexisteentrelebilandequantitedemouvementangulaireetlecouplequexercelerotorsurleuide:__S1S2_OM (v)v.ndS= C (2.12)Enmultipliantlestermesdelequation2.12paretenutilisantlaproprieteduproduitmixte:.(OM v) = OM.(v ) = v.( OM) = v.uDo` ulexpressiondelapuissancehydraulique:Text= C.=__S1S2(u.v)v.ndS (2.13)Comme uet vsont constants sur S1et S2, que __S1v1.n1dS =__S2v2.n2dS =qvet queText= gqvHth,onendeduitque:Hth=u2.v2u1.v1g(2.14)OnvoitdoncqueHthestdirectementlieeauxtrianglesdesvitessesetdonc`alaconguration(dessinsdesaubes).Hthnedependpasduuidevehicule.Remarque1: SiuetvnesontpasconstantssurS1etS2,onprendunevaleurmoyenne.Cestlecasdespompes`ahelicesparexemple.Remarque2: Ontrouvelememeresultatpourlesturbinesavecunsigne , cest-`a-direqueHth= (u1.v1u2.v2)/g.28 Chapitre2 Pompes2.4 NotionsdechargerelativeOn a Hth= HsHe, donc Hsu2.v2g= Heu1.v1g. Comme ui.vi= ui.(ui +wi) = u2i+uiwi,Hiui.vig=pig+zi +w2i u2i2g(2.15)enposantH1= HeetH2= Hs.Onappellelachargerelative,laquantite:Hr=pg+z +w2u22g(2.16)etonaalors,Hr(2) = Hr(1) (2.17)Lachargerelativeseconservedansuneturbomachine.2.5 Caracteristiquedunepompecentrifuge2.5.1 CaracteristiquetheoriqueComptetenudelacongurationdunepompecentrifuge(2.5),onpeutconcevoirquelecoule-mentestradialenR1.Onadmetquilresteradial`alentreedeS1,do` uletriangledesvitesses`alentree2.8.w 1v 1u 1v n1 2Fig.2.8 Triangletheorique`alentree.Onau1.v1= 0do` u:Hth=u2.v2g(2.18)w 2v 2u 2v n2 2Fig.2.9 Triangletheorique`alasortie.u2.v2= u22 +u2w2 cos(2) (2.19)2.5 Caracteristiquedunepompecentrifuge 29Commeonaw2= vn2/ sin(2),vn2S2= qvet= 2NavecNlenombredetourparseconde,onpeut ecrire:Hth=(2R2)2gN2+2R2gS2cos(2)[ sin(2)[Nqv(2.20)Ainsi,lacaracteristiquetheoriqueHth(qv, Nfixe)estdonneesurlagure2.10.H thq v/2Fig.2.10 Caracteristiquetheoriquedunepompecentrifuge.2.5.2 CaracteristiquereellePerteparchoc`A la sortie de S2, on installe des elements xes (redresseurs) qui permettent de mieux canaliserleuideverslasortiedelapompe(gure2.11).q vu 2v 2w 2 2a b cv 2w 2u 2 2 2v 2w 2u 2Fig.2.11 RedresseursNxe. Pour le cas a, on voit que lecoulement rentre sans chocs dans les redresseurs. Ceci se produitpourundebitqv= qa(debitdadaptation). Pourlecasb,ledebitqv> qaetilseproduitunchocentrelecoulementetlesredresseurs.Ilyadoncdespertesdechargeparchoc.Dememe,danslecasc,o` uqv< qa.`AlentreedeS1,onalememescenario,saufquelechocsefait`alentreedelaube.CommelespertesdechargesecriventenKq2vetcommeil nyapasdepertedechargeparchocpourledebitdadaptationqa,onadmetquelespertesdechargeparchocsecrivent:Hchoc= Kc(qvqa)2(2.21)avecKcuncoecientdepertedechargeparchoc.30 Chapitre2 Pompesq vu 1v 1w 1 1a b cv 1w 1u 1 1 1v 1w 1u 1Fig.2.12 a:qv= qa,b:qv> qaetc:qv< qa.PerteparfrottementetparsingulariteLecoulement du uide sur les parois des aubes et les parois des redresseurs induisent une pertedechargeparfrottementvisqueuxanalogue`acellerencontreedanslestubes.Poursimplier,onprenduneloidetyperugueux(Moody):Hf= Kfq2v(2.22)Deplus, lecoulementdepuislentree`alasortietraverseplusieurssingularites: coudes, elar-gissement, changement de directions complexes, etc ... Ces singularites causent aussi des pertes dechargesinguli`eresquonmodelisepar:Hs= Ksq2v(2.23)do` ulapertedechargeparfrottementetsingularite:Hfs= Kfsq2v(2.24)avecKfs= Kf+Ks.OnappellealorslapertedechargeinterneHi:Hi= Hchoc + Hfs(2.25)etlachargenetteHndelapompeestHn= HthHi(2.26)Lerendementinterneestdonnepar:i=HnHth(2.27)Ainsi,onendeduitlacaracteristiquereelledelapompegure2.13.Engeneral,ontraceHnetisurlamemecourbe.LapartieascendantedeHnpeutconduire`auneinstabilitedepompage.2.5.3 BilanderendementsLebilandenergiepeut-etreschematisecommesuitgure2.14.Surlacascadedenergie,ondistingue:2.5 Caracteristiquedunepompecentrifuge 310 2 4 6 8 10051015qv (x102 m3/s)H (m) Hth Hchoc HfsHnqaqcFig.2.13 Caracteristiquereelle`aNxe.Cgq H v thtransfertp mgq H vigq H v nFig.2.14 Cascadedelenergiedansunepompe. Clapuissancedisponiblesurlarbrefournieparlemoteur. pmlapuissanceperdueparfrottementmecaniquedanslespaliers. gqvHthlapuissancetheorique. gqvHilapuissanceperdueparchocetfrottementvisqueux. gqvHnlapuissancereellementrecupereeparleuide.Onintroduitdonctroistypesderendement: Rendementmecanique:m= gqvHth/C. Rendementinterneouhydraulique: i=Hn/Hth. Cerendementpeutatteindre90%pourlespompesdegrandespuissances. Rendementtotal:= mi.Cedernierprendencomptetouslestypesdepertesaussibienmecaniquequhydraulique.32 Chapitre2 Pompes2.6 Pompes`ahelicesLecoulement est principalement axial (helicodal dans la roue). Le uide entre par un convergentetressortparundivergentappelediuseur.Lagure2.15presenteleschemadeprincipe.distributeur redresseurpalesMR mFig.2.15 Schemadeprincipedunepompe`ahelice.Une coupe de la pale au point M au rayon moyen Rmconduit `a la construction du triangle desvitessesgure2.16.distributeurs fixespalesredresseurs fixesv n1v 1u 1w 1 1 1 1u 2v n2v 2 2 2w 2 2Fig.2.16 Triangledesvitessesdansunepompe`ahelice.Ona:u1= u2= Rm et vn1= vn2=qvS(2.28)Danscertainescongurations(notammententurbine),lesdistributeurssontorientables,ainsiquelespalesdelhelice.Lesangleslespluspertinentssontlesanglesquiindiquentlesdirectionsdesdistributeursetdespalesparrapport`aladirectionprincipaledelecoulement,cest-`a-dire1et2,comptesalgebriquement.Danscecas,ona:gHth= u2.v2u1.v1(2.29)cequidonne:gHth= u[u +vn(tan(2) tan(1))] = u_u + 2vnsin(21)cos(2 +1) + cos(21)_(2.30)2.7 Probl`emesgeneraux 33Commeonsaitqueu Netvn qv,onretrouve:Hth=(2Rm)2gN2+2RmgSmNqv(tan(2) tan(1)) (2.31)Selonlesvaleursde2etde1,lacaracteristiquetheoriquealalluresuivante:H thq vtan( )-tan( )>0 2 1tan( )-tan( )=0 2 1tan( )-tan( )0fFig.2.24 u > uEdoncp < pE.LeNPSHrequisestlesupplementminimal depressionquil fautajouter`apsatauniveaudelentreedelapompepour avoir p(M) >psat, M`alinterieur delapompe. Enconclusion, lapompefonctionnecorrectementsi:ptE psat +NPSHrequis(2.39)quipeutsecrireaussi:NPSHrequis ptEpsat(2.40)o` u NPSHrequisest donne par le constructeur et ptEpsatest le NPSHdisponible, calcule `a partirdelinstallation.ExempledecalculdeNPSHdisponibleEEh 1h 2AAzOna:pA +gzA +12Av2A= pE +gzE +12Ev2EpconduiteLeplussouventvA vE,donc:ptE= pE +12Ev2E= pA +g(zAzE) pconduite(2.41)Comme NPSHdisp= ptEpsat et si on divise lequation 2.41 par g pour obtenir une expressionquifaitintervenirlescharges,onobtient:NPSHdisp(m) = 1Ahsat +zAzEHconduite(2.42)40 Chapitre2 Pompeso` u 1A= pA/gethsat= psat/g.Hconduiterepresentelespertesdechargedanslaconduite.Si pA=patm, alorsauniveaudelamer, 1A=10.33met`a1500m, 1A=8.6m. hsatestfonctiondelatemperature.SileNPSHdisponibleestinsusant,onpeut: Diminuerlatemperaturepourabaisserhsat. Diminuer les pertes de charge Hconduiteen augmentant la section des tuyaux et en ouvrantlesvannes. Augmenterh1= zAzE. Diminuerh2= [zAzE[. Diminuerlavitessederotationdelapompe.2.10 TD:Pompes2.10.1 RepartiondepompessurunoleoducUne conduite cylindrique horizontale de diam`etre d =0.5met de rugosite moyenne e =0.2mm,transporteunehuilelourdedeviscositedynamique = 0.35Pa.setdemassevolumique = 920kg/m3.Lacirculationdelhuiledansloleoducestassureepardespompesplaceestousles14kmsurlaconduite:1. En supposant lecoulement dhuile laminaire dans la conduite, donner lexpression de la pertedechargeparunitedelongueurH/Lenfonctiondudebitvolumiqueqv(danscetteex-pression,lesautresparam`etresauront eteremplacesparleurvaleurnumerique).2. On utilise des pompes du type n1 (caracteristiques jointes). Determiner le debit dhuile dansloleoducetverierlhypoth`esefaiteen1.3. Onremplacelespompesprecedentespardespompesdetypen2(caracteristiquesjointes)enconservant le meme debit. Quelle devraetre lanouvelle distance entre deuxpompessuccessives ?4. Sanstenircomptedelinvestissement,quelleestlasolutionlaplus economiqueenfonction-nement ?2.10 TD:Pompes 412.10.2 ChoixdunepompeparsimilitudeUnepompedediam`etreD = 0.25mtournant`a1450tr/minalescaracteristiquessuivantes:Ondisposedepompes geometriquement semblables dediam`etres 0.3m, 0.25m, 0.22met0.19mpouvanttourner`a1750,1450et1150tr/min.1. Quel diam`etre et quelle vitesse de rotation doit-on choisir pour obtenir un debit de 0.0523 m3/setunehauteurnettede15.4m?42 Chapitre2 Pompes2. Calculer lapuissance absorbee (oupuissance utile Pi) par lapompe choisie aupoint defonctionnementdelaquestion1.()Hnet( ).PompeD = 0.25m,N= 1450tr/min.2.10.3EtudedunepompecentrifugeUnepompecentrifugedebite24litresdeauparsecondesousunehauteurnetteHn=27mavecunrendementmanometrique= 75%.On admet que la perte de charge interne totale Hivaut 5 fois lenergie cinetique de leau danssonmouvementrelatif`alasortiedelaroue(vitesserelativeW2).Leauentreradialementdanslaroue.Lediam`etreexterieurdelaroueestD2= 0.20metlasectionutile`alasortieS2= 0.2D22.1. CalculerlesvaleursnumeriquesdelavitesserelativeW2etdelavitessedebitanteV2d`alasortiedelaroue.2. Tracerletriangledesvitesses`alasortieetcalculerlangledesortie2= (

U2,

W2).3.`ApartirdelarelationdEuler,calculerlavaleurnumeriquedelavitessedentrainementU2etendeduirelavitessederotationNdelaroue.2.10.4EtudedunepompemulticellulaireUnepompemulticellulaireestconstitueepar8rouesdediam`etresexterieuretinterieurD2=40cmetD1= 20cm.Cesrouessontdisposeesenserieettournent`a3000tr/min.2.10 TD:Pompes 431. Vide deau, `a quelle hauteur cette pompe peut-elle aspirer leau dans la conduite daspiration(onadmettraqu`adebitnul,lerendementmanometriqueestde50%).2. Le diuseur est trace pour annuler les pertes par choc (point dadaptation) lorsque les vitessesrelativesetabsoluessontegalesenmodule`alasortiedelaroue(V2= W2).Danscecas,lerendementmanometriquevaut90%etlentreedanslaroueseectueradialement.Calculerlahauteurnetteaupointdadaptation.3. Langle reel de sortie de leau des aubes est 2= 150et la largeur des roues `a la sortie vaut2 cm, la section des aubes occupe 10% de la section de sortie. Calculer le debit et la puissancede lapompe aupoint de fonctionnement precedent ainsi quaupoint de fonctionnementcorrespondant`aunehauteurmanometriquenulle.4. Tracer la courbe de rendement manometrique de la pompe. En deduire le rendement maximal.Calculerlavitessespeciquedechaqueroueaupointo` ulerendementestmaximal.2.10.5 ExempledutilisationduNPSH(R. Joulie, Mecaniquedesuidesap-pliquee)Pourirriguerdesjardinsonutiliseleauduncanaldontleniveausetrouve`a2mendessousdelaxehorizontal delapompe, qui doitdebiter170m3/hdeau. Danscesconditions, leNPSHrequis est de 6.5 mCE. Entre le canal et la pompe on doit installer une canalisation de 80 m de longentubebitumederugosite0.05mm,comprenantuncoude`a90decoecientdepertedechargek1= 0.26,unecrepine-ltreplace`alextremitedelaconduite,doncimmergedanslecanal-,etunclapetdepied-pourmaintenirlaconduiteetlapompepleinesdeau(questiondamorcage)-dontlecoecientglobaldepertedechargeestk2= 0.9.LeNPSHdisponibleimposelechoixdudiam`etre de conduite, sachant bien que le prix depend de cette dimension. Determiner le diam`etreminimal - donc le moins co uteux - `a donner `a cette conduite, parmi les valeurs commerciales : 100,125, 150, 200, 300 (mm). La temperature de leau ne depassant pas 20C dans le canal, on prendrapourpressiondevapeursaturante2338Pa, pourmassevolumique998kg/m3etpourviscositecinematique106m2/s.44 Chapitre2 PompesChapitre3Turbineshydrauliques3.1 GeneralitesLes turbines sont `a linverse des pompes des machines `a uides capables denextraire delenergie.Leuidec`ededoncdelenergiedontunepartieserarecupereesurlarbredelaturbinesousformedenergiemecanique: T= C.Dupointdevueduuide,lapuissancemecanique Tmestnegative.Enchangeantlesignede Tm,onobtientunequantitepositive Tiappeleepuissanceinterneoupuissanceindiquee:Ti= qv (u1.v1u2.v2) (3.1)enutilisantlesmemesnotationsquedanslechapitrepompes.Engeneral,onclasselesturbinesendeuxcategories.3.1.1 Lesturbines`aactionLadiminutiondelachargeestdueexclusivement`alapertedenergiecinetique:H= _v22g_,or H v22g+pgp = 0 (3.2)Ondenitalorsledegredereactionpar:r =p2p1gHoup2p1N2D2(3.3)et ici r = 0. Toute lenergie cinetique du uide est disponible dans un ou plusieurs jets et le passageesttangentiel.3.1.2 Lesturbines`areactionDanscecas,r ,= 0,lenergiehydrauliquetransmisesepresentesousformedenergiecinetiqueetdenergiedepression.Letransfertdenergiedepressionnecessiteune grandesurfacedecontactentreleuideetlaroue.Cestpourquoilerotoretlesaubessontnoyesdansleuide.46 Chapitre3 Turbineshydrauliques3.2 BilandenergieH pH rH G HG:hauteurdegeneratrice. Hp: hauteurdeperte(pertedechargereguli`ereetsinguli`ere). Hr: hauteurresiduelle`alasortiedelaturbine, leuide dispose duneenergie gqvHrqui nest pasrecupereesurlarbredelaturbine.Onappellelahauteurnette:Hn= HGHpHr(3.4)Toutecette energie(Hn)neserapasintegralementtransfereeaurotor.Eneet,entraversantlesorganesxesetmobiles,leuideperddelenergieparfrottementetparchoc.Ondesignecespertes par perte de charge interne Hi. Seule lenergie restante (hauteur interne) est transferee aurotor:Hi= HnHi(3.5)Lenergiedisponibleaurotorest:Ci= gqvHi(3.6)o` uCidesignelecoupleinterne.Sapuissancemecaniquedisponibleenboutdarbreest:C= Ci Tf(3.7)o` u Tfestlapuissancedissipeeparfrottementauniveaudespaliers.H GH nH ihydrauliquemecaniqueC /(gq ) ivC/(gq ) vH pH rHiP /(gq ) f vFig.3.1 Diagrammedetransfertdenergiepouruneturbine.Le bilan denergie est illustre par le diagramme 3.1. Ce diagramme denit plusieurs rendements :3.3 Turbine`aaction 47 Lerendementinterne(oumanometrique):i= Hi/Hn.Cedernierrendcomptedesperteshydrauliques. Le rendement mecanique : m= C/Ti= C/Ci. Ce rendement rend compte des frottementsmecaniques. Lerendementtotal : =C/gqvHG. Cerendementrendcomptedeladissipationetdelutilisationfaitedelenergiehydrauliquedisponible.Le fonctionnement nominal est engeneral choisi lorsque le rendement total est maximum,cest-`a-direquandHp +Hr + Hiestminimum.3.3 Turbine`aactionDanscettecategorie, unjetlibreimpactesurdesaugetsoudesaubesprolees, xeessurlaperipheriedelarouemobile.Cesjetsexercentuneforcesurlesaugetsenmouvementderotationquiesttransformeeencoupleetpuissancemecaniquesurlaxedelaturbine.Les turbines `aactionsont caracterisees par lefait quelenergietransformeeauniveaudesaubages est enti`erement sous forme denergie cinetique. Le transfert denergie entre leau et laubagealieu`apressionconstante, generalement`alapressionatmospherique. Larouedelaturbineestdenoyeeoupartiellementdenoyee(cross-ow)ettournedanslair.Dans cettecategorie, ontrouvelaturbinePelton, laturbineCrossow(Banki-Mitchell), laroulettededentiste(dentaldrill),etc...3.3.1 LaturbinePeltonElletravaille`adebitrelativementfaiblesousunehauteurdechuteelevee(300m`a1200m,voiredavantage)avecunegrandevitessederotation.SchemadeprincipedeflecteurrouevjetaugetaiguillealimentationH GFig.3.2 TurbinePeltonLejetexerceuneforceFsurlaugetqui conduit`auncouplemoteurqui faittournerlarouedelaturbine.Linjecteurestrelieaureservoir(HG)amontparuneconduiteforcee.Laiguille coulisse dans la partie convergente de linjecteur soit par une commande manuelle soitparunservo-moteur.Ledeplacementdelaiguillefaitvarierlasectiondesortieetparconsequentledebitqv= vS(vvitessedujetetSsectiondujet).Eneet,ona:48 Chapitre3 Turbineshydrauliquesv22g= HGHtuyauxHinjecteurCommeHGesttr`esgrandetqueletuyauestlong,v _2g(HGHtuyaux).Quand on veut arreter rapidement la turbine Pelton, on ne ferme jamais brusquement la vanneamont ou linjecteur en raison des coups de belier qui pourraient endommager la conduite damenee,mais, ondevielejetgrace`aundeecteur. Ensuite, onfermelentementlinjecteur. Ledeecteurdoit etrexesolidementpourresisterauxeortssouvent enormesexercesparlejet.Exercice:CalculerFenfonctiondevetS.vFSLa roue est `a passage tangentiel et le transfert se fait `a la peripherie de la roue dans des augetsen nombre et forme calcules. Le jet frappe des augets de forme coquille symetrique. Langle dentree1doit etre faible ce qui conduit `a construire une arete dentree tr`es autee, dont lusure constitueleprobl`emeprincipal.Langle de sortie

2= 2doit etre egalement faible. Cependant, un retour complet (

2= 0)dejet provoqueunphenom`enedetalonnagequi diminuelerendement. Letalonnageest du`alimpactdujetsortantsurlextradosdelaugetsuivant.v 1uuw 2 2 1Fig.3.3 CoupedelaugetduneturbinePelton.LenombredetoursspeciqueNsestdenipar:3.3 Turbine`aaction 49Ns=NT1/21/2(gHG)5/4(3.8)PourlesturbinesPelton,Ns= 0.0025 0.08.LemeilleurrendementestobtenupourenvironNs 0.08.Ilestaussiimportantdedenirlerapport2R/dentrelerayondelaroueRetlediam`etredujetd.Pourquelerendementsoitconvenable,ilfautque9 < 2R/d < 30avecunevaleuroptimalede12.OnpeutmontrerqueNs 0.2d/2R.Si la roue est munie de plusieurs jets n, sa puissance totale est n fois plus grande et son nombrede tours specique Ns,n fois plus grand. n peut atteindre 6, mais en pratique, les turbines Peltonposs`edent2`a4jets.50 Chapitre3 Turbineshydrauliques3.3 Turbine`aaction 5152 Chapitre3 TurbineshydrauliquesCaracteristiquedelaturbinePeltonLecoulement dans lauget peut se schematiser comme sur la gure 3.3. On en deduit le triangledesvitesses.v 1u 1w 1w 2v 2u 2 2`Alentree,1= 0et`alasortie2 si

2 0.Onaalors,u1 u2et [u1[ [u2[ = R= u.Lapuissanceinterneestdonneepar:Ti= qv (u1.v1u2.v2) (3.9)etdoncTi= qv [uv u2.(u2 +w2)] = qv_uv u2u2w2 cos(2)(3.10)Lachargerelativeentre1et2seconserve:p1g+w21u212g=p2g+w22u222g(3.11)Siledegredereactionr = 0,alorsp1= p2 patmetu1= u2doncw1= w2= v uetTi= qvu(v u)(1 cos(2)) (3.12)Celamontrequelemeilleurtransfertalieupour

2= 0.Maisdanscecas,onalephenom`enedetalonnage.Engeneral,onconstruitlesaugetsavec

2 4`a7.Si onsupposequevestxee( gHn), qvestxe(ouverturedelinjecteurxe), uetantproportionnel`aN,alors:Ti= AqvN(NmaxN) (3.13)o` u A = (2R)2(1cos(2)) et Nmax= v/(2R). Nmax correspond `a la vitesse de rotation theoriquedemballement. Danscecas, v=u, cequi signiequelaugetva`alamemevitessequelejet. Ilnyadoncpasdetransfertdenergie.OnendeduitlescaracteristiquesdesturbinesPelton.P iC iq vq vN N N maxN maxFig.3.4 CaracterisquesdeturbinesPelton.3.3 Turbine`aaction 53Onnoteque Ti= (ietdonc (i=A

qv(Nmax N). Deplus, si vestxe, alorsNmaxlestaussi. Le rendement interne i= Hi/Hnest proportionnel `a Ti. Le rendement maximal a donc lieupouru v/2eti 1.qvestxeparlouverturedelinjecteuretparlahauteurgeneratrice.LedebitestdoncindependantdeN.N N maxNq v3q v2q v1q v iN /2 maxRemarque1: Onremarquequelecoupleestmaximumaudemarrageetquelavitessedem-ballementrestenie(v). ElleestxeeparlahauteurgeneratriceHGauxpertesdechargepr`es.Remarque2: En raison du frottement du uide sur les parois de lauget qui conduit `a une pertede charge interne et `a w2< w1, on trouve que maxest obtenu pour u/vleg`erement inferieur`a1/2.Remarque3: DanslesgrossesturbinesPeltondontlarouepeutatteindreplusieursm`etresdediam`etre,lapuissancemaximalereellementobtenuedepasseles90%delavaleurtheorique(1/2)qvv2et on realise des machines qui fournissent 40000 chevaux par roue soit 29.44 MW.Remarque4: La hauteur de chute varie entre 40 m et plus de 1000 m. Cela entraine des vitessesderotation elevees.3.3.2 TurbineCrossowCetteturbineestaussi appeleeturbine`auxtraversantetturbinedeBanki-Mitchell. Cestune machine `a action o` u leau traverse deux fois la roue. Cest une machine de construction simpleet son utilisation est tr`es repandue dans les pays en voie de developpement. Le schema de principeestdonnesurlagure3.5.Elleestconstitueede: Uninjecteurdesectionrectangulaire(largeurl)equipedunevannepapillonpourreglerledebitqv. Uneroue(diam`etreD)enformedetambourmuniedaubescylindriquesproleesqui sontrelativement elastiques et qui sont source de bruit `a cause des chocs periodiques de leau surlesaubes.Laroueestautonettoyanteparcequeleaulatraversedeuxfois. Nestgeneralementfaiblecequinecessiteunmultiplicateur`aengrenageou`acourroiepourlecouplageaugenerateur.54 Chapitre3 TurbineshydrauliquesFig.3.5 Turbinecross-ow Linjecteur et la roue sont souvent divises en 2 secteurs de largeur 1/3 et 2/3 qui peuvent etremisenfonctionnementseparementouensemble. Aveccesyst`eme, il estpossibledobtenirunrendementsatisfaisant(max= 80%`a83%)surtoutelaplagededebits(gure3.3.2).Ondonnequelquesformulesempiriques. Pourledebit:qv= 0.25lD2_2gHn(3.14)3.3 Turbine`aaction 55estenradian,/2 2/3donclD = 1.13`a0.75qv/Hn. Lavitessederotation:= 0.45_2gHn2D(3.15)do` uD = 38Hn/N,l = 0.02 . . . 0.03qvN/Hn.Nestentr/min. l/D = 0.3 . . . 4. Lavitessedemballementest egale`a1.8foislavitessenominale(Pelton). Lafrequenceprincipaledevibrationestf= nombred

aubes (N/60). Ilyaentre24et32aubes.3.3.3 Non-Peltonwheelimpulseturbine(Dentaldrill)Ce type de turbine `a action est couramment utilise avec des gaz. Son principe de fontionnementestdonnesurlagure3.6.Fig.3.6 Images tirees de FundamentalsofFluidMechanics(5eme edition), Munson Young Okicshi, Ed.JohnWhiley&Son(2006).56 Chapitre3 Turbineshydrauliques3.4 Turbines`areaction3.4.1 OrganescommunsPourcetypedeturbines,onutilise` alafoislenergiecinetiqueetlenergiedepression.Cettederni`erenecessitepourletransfertunegrandesurfacedecontactentreleuideetlaroue. Cestpourquoilesaubessontnoyees.Deuxprincipessont`alabasedeleurfonctionnement. Lacreationduntourbillon`alaidedunebachespiraledaubagesdirecteurs(directrices)oudesdeux`alafois. Larecuperationdumouvementtourbillonnaireparlesaubesdunerouemobileenrotationqui epousentlesletsdeauandeleurdonnerunedirectionparall`ele`alaxederotation.Les aubages se comportent comme une aile davion. La portance qui en resulte induit un couplesurlarbredelaturbineetfaitavancerlaube`aunevitessedentrainementu.portanceu iwDanscettecategoriedeturbines,ondistingue: LaturbineFrancis. LaturbineHelice. LaturbineKaplan(helice`apalesorientablesmemependantlefonctionnement).Le syst`eme dalimentation est presque le meme pour les trois types de turbines. Il est constituedunebachespiraleetdundistributeuractionneparuncercledevannage. Labachespiraleestraccordee`alaconduiteamontetelleestengeneralsouslaformedecolimacon.3.4 Turbines`areaction 57Fig. 3.7 Bache spirale dulac Hodges (Canada) et schemade laturbine Francis de lacentrale deMartigny-Bourg(Suisse).58 Chapitre3 TurbineshydrauliquesLe distributeur sert `a regler le debit. Il est constitue par une serie de directrices prolees toutessolidaires les unes des autres et actionnees par le cercle de vannage. Ces distributeurs serventegalement`axerlangledentree.Leprincipedefonctionnementestillustreparlagure3.8.3.4 Turbines`areaction 59Fig.3.8 Roue de turbine Francis. Cercle de vannage, distributeurs fermes et ouverts et vue schematiqueduneturbine`areactiondetypeFrancis.LesturbinesKaplanontunnombredepalescomprisentre3et8. Lespalessontorientables.Lamecaniquedecommandedespalesoblige,lorsquelenombredepalesdevientimportant(68)60 Chapitre3 Turbineshydrauliques`aaugmenterlerapportdudiam`etremoyenaudiam`etreDdelaroue.Nombredepales chute(m) Dm/D3 23 0.384 315 0.405 1520 0.456 2025 0.507`a8 30 0.60Fig.3.9 RouedeturbineKaplan.`A la sortie de la turbine `a reaction, leau poss`ede toujours une certaine energie cinetique quonpeut recuperer en partie grace `a un diuseur qui est constitue dune canalisation evasee conduisantleauverslecanal(oulac)defuite.Fig.3.10 Diuseur.3.4 Turbines`areaction 6162 Chapitre3 Turbineshydrauliques3.4.2 TriangledesvitessesTurbineFrancisTurbine`ahelice3.4.3 CaracteristiquesgeneralesCesontlesmemescalculsquepourlespompes.Hn= Hth + Hchoc + Hfet =HthHn(3.16)3.4 Turbines`areaction 630qvH Hth Hchoc HfHn0qvFig.3.11 Netouverturexes.Exempledecourbescaracteristiques`aNxeetouverturedevannagevariable.64 Chapitre3 TurbineshydrauliquesCaracteristique`achargeconstanteetNvariable.3.4 Turbines`areaction 65Caracteristique`achargeconstante,Netouverturevariables.66 Chapitre3 TurbineshydrauliquesExemplesdecaracteristiques.ns= nP1/2/H5/4navecnentr/min,PenchevauxetHnenm`etre.3.4 Turbines`areaction 67Diagrammedeselectionduneturbine.3.4.4 DiuseurLediuseur(gure3.10)sert`arecupererdelenergiecinetique`alasortiedelaturbine.68 Chapitre3 Turbineshydrauliques1 234turbinediffuseurz TLaxedelaturbineest situe`azTpositif ounegatif. Si onsort directement `alatmosph`erep2=patmetzT=0. Il resteunechargeresiduelleHres=v22/2g. Ona T H1 H2avecH1donne.OnobtientdoncunepuissancemaximumpourH2minimum.Silnyapasdediuseur,H2=patmg+zT+v222g(3.17)etavecdiusueur:H2=p2g+zT+v

222g(3.18)avec v

2 v2. On a donc interet `a avoir p2le plus faible possible, mais tel que p2 psatpour eviterlacavitation.PourzTdonne,lahauteurresiduelleestmesureeparHr= (patmp2)/g.On peut egalement diminuer la cote zT(negatif) en pla cant la turbine sous le niveau du lac defuite.Danscecas:H2= H3 + Hreg + Hsing(3.19)H3= H4 +v232g(3.20)H4=patmg(3.21)avec Hreg les pertes de charge reguli`eres dans le diuseur et Hsing les pertes de charge singuli`ereseventuelles.Ainsi,H2=patmg+ Hreg + Hsing +v232g(3.22)etnalement:p2g=patmgzT+ Hreg + Hsing +v23v222g(3.23)zTetant xe, v2letant aussi par le debit, pour avoir p2le plus faible possible il faut minimiserHreg + Hsing +v23/2g.Ainsi,unbondiuseurdoitavoir: Un elargissementimportantpourquev3 0. UnepertedechargeHregfaible.Evidemment,cescrit`eressontcontraintsparlegeniecivil.LimportancedudiuseursechireparlecoecientK=HrHn=(patmp2)/gHn(3.24)3.4 Turbines`areaction 69Enutilisantlequation3.23,onobtient:K=zTHn_Hreg + HsingHn+1Hnv23v222g_(3.25)Pourunesortie`alairlibre, zT=0, H=0etv3=0, K v22/(2gHn). Ondonneennquelquesordresdegrandeur: PourlesturbinesFrancislentes,K 10%. PourlesturbinesKaplantr`esrapides,K 60%.3.4.5 CavitationLacavitationpeutseproduiresurlesaubesdelaturbine,ou`alasortiedelaturbine.CavitationsurlesaubesLecoulement suruneaubedanslerep`ererelatif est analogue`aunecoulement suruneailedavion: depressionsurlextrados, surpressionsurlintrados. Laresultantedecesforcesconduit`auneforcedeportancequifaittournerlaroue.Cecipeut etreschematiseparlagure3.12.portanceu iw-+ABCp sat+Fig.3.12 SurlazoneAB,p < psat,formationdesbullesdevapeuretzoneBC,p > psat,implosiondesbullesdevapeur.Fig.3.13 DegatsparcavitationsurlesaubesduneturbineFrancis.Cavitation`alasortiedelaturbine(torche`avapeur)`Alasortiedelaturbine,untourbillonseforme.Cederniernedisparaitcompl`etementquaupoint de fonctionnement nominal (v1axial). Pour des debits inferieurs, entre 40% et 60% du debit70 Chapitre3 Turbineshydrauliquesnominal, le tourbillon de sortie devient tr`es intense et conduit `a des instabilites. Lecoulement dansletourbillonestpresquedutypevortexlibre:u A/r p quandr 0.Lapressionatteintp=psatetlesbullesdevapeurapparaissentsousformedetorche(gure3.14).Fig.3.14 Torchedecavitation.Plusloin, lesbullesimplosentviolemment. Il sensuitdeschocs(coupdebelier)qui peuventmettreendangerlinstallation. Pouryremedier, oninjectedesbullesdair(parAsurlagure3.14)quipermettent damortirles chocs. Mais celaentrane une baisse de rendement de 1% `a2%.3.4.6 LimitedelahauteurdaspirationLahauteurdaspirationHsduneturbine`areactionestdeniepar:H sH sH >0 sH