conceptos de multivariadas

8/16/2019 conceptos de multivariadas

1/40

Métodos Multivariados

Son técnicas que permiten realizar el análisisestadístico de datos, cuando se han registradomuchas características sobre un conjunto deobjetos o individuos.

Objetivos:• Analizar y simplificar la estructura de datos• Clasificación y conglomeración•

Análisis de dependencia• Inferencia estadística


2/40

Métodos de Interdependencia

No hay distinción entre las variables. Son métodosdescriptivos que sintetizan la información, mostrarla estructura de los datos o clasificar las variables.

Método Métricas No

métricasAnálisis de componentes principales XAnálisis factorial XAnálisis de correspondencia XAnálisis de cluster X

Análisis de escalamiento multidimensional X X


3/40

Métodos de dependencia

Se distinguen variables dependientes eindependientes. Son métodos con finalidadesexplicativas.

Var. Dependiente Var. IndMétodo Met. No Met. Mét.Análisis discriminante X XAnálisis de regresión multivariado X Análisis de regresión logística X Análisis de variancia X


4/40

Métodos multivariados• A nálisis de c om po nen tes pr inc ipales (ACP). Su

propósito es el de reducir la dimensionalidad de lasvariables originales, tratando de explicar la mayor partede la variabilidad total del conjunto de variablesoriginales con el menor número posible de componentes

principales, también es usada como un análisisdescriptivo de los datos.

• A nális is Fac to ri al (AF). Permite sintetizar el fenómenoen estudio a través de analizar la estructura decorrelaciones entre el conjunto de variables, se resumela información e identifica una estructura subyacente delconjunto de los datos.

•

A nális is d e Corres pond enc ia (AC) . Es similar al AF,en el sentido que trata de descubrir y describir lasdimensiones fundamentales de un fenómeno pero con la

particularidad que las variables son categóricas que proporcionan mapas preceptúales que facilitan lainterpretación y su análisis.


5/40

Métodos multivariados• A nális is d e c lu s ter . A partir de un conjunto de

variables métricas trata de agrupar el conjunto deobservaciones (objetos o individuos) aplicandomedidas de distancia, formando grupos que sean lo

más homogéneos los individuos dentro de ellos yheterogéneos entre los grupos .• A nálisis d e Esc alam iento Mult id im ens ional . Es

similar al análisis de cluster, con la diferencia que

trabaja con variables de escalas métricas y/oordinales (cualitativas) , con la finalidad de formargrupos.


6/40

Métodos multivariados• A nális is Dis c rim in ante . La variable dependiente es

categórica (dos o más categorías) y lasindependientes son variables métricas. El métodotrata de construir una regla o función de clasificaciónen base de las variables independientes yconociendo a priori los grupos indicados por lavariable categórica; y así poder asignar nuevasobservaciones a uno de los grupos aplicando la reglao función de clasificación.

• A nális is d e Regresión Mu ltiv ariada . Es el método

que trata de estudiar la relación funcional entre ungrupo de variables dependientes y un conjunto devariables independientes. La relación puede serlineal o no lineal y las variables independientes

pueden ser métricas y no métricas.


7/40

Métodos multivariados• A nális is de Reg res ión Log ís tica . Es un caso

particular del análisis de regresión en el cual lavariable dependiente es dicotómica (o

politómica) y las variables independientes pueden ser métricas o no métricas.

• A nális is de Var ian c ia . Las variablesindependientes son categóricas y trata deestudiar los efectos de factores que intervienen

sobre la variable dependiente (respuesta). Alexistir más de dos variables independientes, seoriginan los arreglos factoriales.


8/40

Fases para el análisis multivariante de datosDefinir el problema de investigación,

Objetivos y Técnica multivariante

Desarrollar el proyecto de análisis y poner en práctica la técnica multivariada

Evaluación de los supuestos básicos de latécnica multivariada

Estimación del modelo multivariante yevaluación de su ajuste

Interpretación de los resultados

Validación del modelo multivariante


9/40

Fundamentos del algebra matricial

Matriz. Una matriz A de orden odimensión (mxn) es un conjunto de m x n elementos, ordenados en m filas y n columnas.

ija denota cada elemento de la matriz,

correspondiente a la fila i y columna j .


10/40

Ejemplos de matrices

907040806020503010

A 24

8532

B

Matriz de orden (3x3): 33 x A Matriz de orden (3x2): 23 x B

255010

a 308010b

Vector columna de orden (3x1): 13 xa

Vector fila (1x3): 31 xb


11/40

Tipos de matrices

Matriz cuadrada. Una matriz es

cuadrada cuando tiene el mismonúmero de filas y columnas.

907040806020

503010

A


12/40

Operaciones con matrices cuadradas

Traza de una matriz. La traza de unamatriz cuadrada m xm A , se define comola suma de los elementos de la

diagonal.m

iiia Atr

1

)(

160906010)( 3322111 aaaa Atr

m

iii


13/40


Inversa de una matriz. Dada unamatriz cuadrada A , se denota su

inversa por1 A tal que: I A A A A

11

(donde I es la matriz identidad)


14/40


Determinante de una matriz. Eldeterminante de una matriz cuadrada

m xm A, es un escalar que resulta alobtener todos los productos posibles


15/40

Tipos de matrices

Matriz simétrica. Se dice que unamatriz cuadrada es simétrica, si secumple que: ' A A .Esto es, si cadafila es igual a su correspondiente

columna: jiaa jiij , .

Ejemplo. 908050806030

503010

A


16/40

Tipos de matrices

Matriz identidad. Es una matrizdiagonal cuyos elementos de ladiagonal son unos.

Ejemplo. 100010

001

I


17/40

Tipos de matrices

Matriz ortogonal. Se dice que unamatriz P es ortogonal si I PP ' o bien

I P P ' . Además se cumple:o '1 P P o 11 ó P


18/40

Multiplicación de matrices Para multiplicar dos matrices, elnúmero de columnas de la primeradebe ser igual al número de filas de la

segunda. Si A es una matriz de orden(mxn) y B es de orden (nxp), entoncesel producto de las matrices es una

matriz C de orden (mxp):

p xm p xnn xm C B x A donde: p

k kjik ij bac

1


19/40

Ejemplos de multiplicación de matrices

860790

700660

370370

232333 x x x C xB A

61505200

2850

131333 x x x C xa A

4803702123' 31 x x x C xBa

7502000250

15004000500

300800100

333113 x x x C xba


20/40


21/40

Distribución Normal Multivariada Se dice que un vector aleatorio x, tiene una distribuciónnormal multivariada o p-variada, con vector de mediasy matriz de covariancias , si su función de densidadestá dada por :

f x x x 2 1 2 12 1 2 / ! /exp 1

2

p

11 12 1

21 22 2

1 2

p

p

p p pp

donde j es la media y jj es la variancia poblacionales

de la j-ésima variable, y jk es la covariancia ente la j-ésima y k-ésima variable.

Notación: ),( p N x


22/40

Muestra Multivariada

X11 X12 ... X1j ... X1p

X21 X22 ... X2j ... X1p . . ... . ... .

X = Xi1 Xi2 ... X ij ... X ip i-ésima fila . . ... . ... .

Xn1 Xn2 ... Xnj ... Xnp

j-ésima columna

Esta representada por la matriz de datosij X

de orden(nxp) que corresponde a seleccionarn individuos uobjetos y a los cuales se han evaluado p variables


23/40

Vector de variables

Es el vector p X de orden (px1), de p variables, cuyos elementos representan unacaracterística o una variable medida sobre un individuo. Un individuo u observaciónestá representado por un vector de p variables

p

p

X

X

X

X 2

1

Como un vector transpuesta P P X X X X ...,, 21'

PESOTALLA

SUELDO


24/40

Vector de medias muestrales

Es el vector X de orden (px1), cuyos elementos son lamedia muestral de la j-ésima variable.

x x x x p!

1 2

x

x

n j

iji

n

1 j =1, 2, , p


25/40

Matriz de variancia-covariancias muestrales

Es la matriz simétrica S de orden ( pxp), cuyoselementos jjS son la variancias de la variable j X y jk S lascovariancias muestrales entre las variables j X y k X .

pp p p

p

p

s s s

s s s

s s s

S

21

22221

11211

n

ik ik jij jk x x x xn

s11

1

n

i jij jj x xn

s1

2

11


26/40

Matriz de correlaciones muestrales. Es una matriz simétrica de orden ( pxp), cuyos

elementos jk r son las correlaciones simplesmuestrales entre las variables j X y k X .

1

1

1

1

3

22 3

11 31 2

p

p

p

r

r r

r r r

R

kk jj

jk jk s s

sr


27/40

Análisis previo de datos

Antes de aplicar cualquier técnica multivariadaes preciso un análisis de los datos. Esnecesario evaluar las variables individuales ysus relaciones, tales como datos faltantes,presencia de datos atípicos y supuestos.

1) Análisis exploratorio de datos2) Análisis de datos faltantes (outliers)3) Detección de datos atípicos4) Comprobación de supuestos


28/40

Análisis exploratorio de datos

• Histogramas de frecuencias• Gráficos•

Diagrama de tallos y hojas• Diagrama de cajas• Cálculo de medidas estadísticas•

Medidas de asimetria• Medidas de curtosis


29/40

Medidas de asimetria

• Coeficiente de FISHER (g1) . Se halla con lasiguiente expresión:

Si g1 > 0 la distribución será asimétrica positiva o a derechas.

Si g1 < 0 la distribución será asimétricanegativa o a izquierdas (desplazada hacia laizquierda).

Si g1 = 0 la distribución será simétrica .

3

3

1)(

ns

n x x g i i


30/40

• Coeficiente de PEARSON (Ap). Se calculacon la siguiente expresión.

Si Ap > 0 la distribución será asimétrica positiva o hacía la derecha.

Si Ap < 0 la distribución será asimétricanegativa o hacía la izquierda.

Si Ap = 0 la distribución será simétrica.

S Me X

A p)(3


31/40

• Coeficiente de asimetría de Bowley (Ab) . El cualesta basado en la posición de los cuartiles y la

mediana. Se calcula de la siguiente manera:

Si Ab > 0 la distribución será asimétrica positiva ohacía la derecha.

Si Ab < 0 la distribución será asimétrica negativa ohacía la izquierda.Si Ap = 0 la distribución será simétrica.

13

13 2QQ

MeQQ Ab


32/40

Medidas de curtosis• Curtosis: coeficiente de Fisher. Para calcularlo

utilizaremos la expresión:

Si g2 > 0 la distribución será leptocúrtica o apuntada Si g2 = 0 la distribución será mesocúrtica o normal Si g2 < 0 la distribución será platicúrtica o menos apuntada

que lo normal.

Usando percentiles:

3)(

4

4

2 ns

n X x g i i

5.01090

2575

P P P P

K Si K 0 Distribución Normal


33/40

Medidas globales de variabilidad• Variancia total. Se define como la traza de la

matriz de variancias-covariancias.

Si la dependencia entre las variables es alta, lavariabilidad conjunta es pequeña.

Un inconveniente es que no toma en cuenta laestructura de dependencia de las variablesVariancia media

p

j jjS S TrazaT

1

p

j jjS p

T 1

1


34/40

• Variancia generalizada. Es una medida que

mejor mide la variabilidad global. Se definecomo el determinante de la matriz devariancias-covariancias

Si las variables son independientes, la variabilidadserá mayor.

Un inconveniente es que no sirve para compararconjuntos de datos con distintos número devariables.

S GV


35/40

• Variancia efectiva. Es una alternativa para

solucionar el problema de la VG. Es definidacomo la raíz p-ésima del determinante de lamatriz de variancias-covariancias.

La VE tiene en cuenta la dependencia conjunta, yaque si una variable es combinación lineal de lasdemás al existir un valor propio cero.

pS VE 1


36/40

Medidas de distanciasSon medidas alternativas para medir la

variabilidad entre variables.• Distancia Euclidiana. Esta medida depende de las

unidades de medida de las variables originales, ypor lo tanto generalmente se aplicarán a variablesestandarizadas o tipificadas.

• Un defecto de esta métrica es que no tiene en cuenta lacorrelación alta que puede existir entre varias las variables,aportando información similar (todas las variables ingresancon igual peso).

21

1

2)( p

k jk ik ij x xd


37/40

• Distancia de Mahalanobis. Esta métrica siconsidera la existencia de unidades de medidaentre las variables originales. Utiliza la inversade la matriz de covariancias de las variablespara eliminar la influencia de unidades entre

las variables.

)()( 1'2 ji jiij x xS x xd


38/40

Análisis de datos faltantes• Supresión de datos

– Eliminación de casos o variables – Eliminación de datos según parejas de variables

• Imputación de datos – Sustitución por la media o mediana (hay outliers) – Sustitución por interpolación (alta variabilidad).

Uso de valores adyacentes –

Sustitución por datos constante. Uso de fuentesexternas – Sustitución por análisis de regresión


39/40

Detección de datos atípicos (outliers)

• Diagrama de cajas simples y múltiples• Gráficos de dispersión•

Gráfico de dispersión matricial• Gráficos de control• Estadísticas descriptivas


40/40

EJEMPLO DE APLICACIÓN

Con el archivo:Datos Sistema Educativo Peru1 .1. Con el SPSS: Haga un análisis exploratorio de las

variables: Estadísticas descriptivas, valores atípicos,percentiles, gráficos de tallos y hojas, histogramas ygráficos con pruebas de normalidad.

2. Con el SPSS: Calcule el número de Departamentos porregión.

3. Con el SPSS: Halle la matriz de correlaciones, la matrizde variancia covariancia, distancias de euclídeas decasos con disimilaridades(estandarice), distanciasusando correlaciones con similaridades(estandarice).

4. Con el R: Haga la prueba de normalidad 14-variada.

Documents

conceptos de multivariadas