Compressed Sensing and Interferometry

8/18/2019 Compressed Sensing and Interferometry

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Motivación Descripción del problema Metodoloǵıa Resultados Trabajo futuro Referencias

Reconstrucción de imágenes en Interferometŕıabasada en la teoŕıa de Compressive Sensing

Presentación de avance

Roberto Rojas Pizarro

Facultad de Ciencias F́ısicas y Matemáticas,

Universidad de Chile

October 29, 2015

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Contenido

1 Motivación

2 Descripción del problema

3 Metodoloǵıa

4 Resultados

5 Trabajo futuro

6 Referencias

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¿Qué es Interferometŕıa?

Técnica que consiste en la superposición de ondaselectromagnéticas para obtener información acerca de éstas.

Cuando las ondas poseen la misma frecuencia, la ondaresultante es determinada por el desfase de las ondasindividuales.

Figura 1: Interferómetro básico

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Interferometŕıa en Astronomı́a

Arreglo de antenas que realizan mediciones de a pares, todas

apuntando en la misma dirección.

Obtener intensidad de la fuente en dicha porción de cielo.

Resolución depende de apertura efectiva, no del diámetro dela antena.

Figura 2: Very Large Array (New Mexico), que usa 27 antenas.4 / 2 2

M i i´ D i i´ d l bl M d l ´ R l d T b j f R f i

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Escenario básico Interferometŕıa

Parámetros relevantes

Vector Pointing s0.Posición σ en región celestial considerada.Baseline Dλ normalizado por λ de onda medida.

Figura 3: Escenario básico Interferometŕıa en Astronoḿıa.5 / 2 2

M ti i´ D i i´ d l bl M t d l ´ R lt d T b j f t R f i

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Teorema de Van Cittert-Zernike

Para un campo de visión pequeño, dicho teorema relaciona

intensidad I (l, m) de la fuente y su Visibilidad V (u, v).

V (u, v) =

I (l, m)e− j2π(ul+vm) dldm (1)

Figura 4: Relación entre sistemas de coordenadas.6 / 2 2


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Motivacion Descripcion del problema Metodologıa Resultados Trabajo futuro Referencias

Obtención de datos

La ecuación (2) muestra la salida del correlador.

r( Dλ, s0) = ∆ν

4π

A(σ)I (σ)cos

2π Dλ · (s0 + σ)

dΩ (2)

Además, la salida del correlador se relaciona con la Visibilidadmediante la ecuación (3).

r( Dλ, s0) = A0∆ν |V | cos 2π Dλ · s0 − φV (3)

Dada la ecuación (1), basta aplicar F −1[V ] para obtener laseñal deseada.

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Plano de Fourier

Cada V (u, v) medida está determinada por sus frecuencias(u, v). El plano de Fourier grafica las frecuencias medidas.

Las frecuencias medidas dependen de la separación entre elpar de antenas y la dirección de observación s0.

s0 a su vez está determinado por su ángulo horario h ydeclinación δ .

2 modos de medición: Snapshot y uso de la rotación terrestre.

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Plano de Fourier

Trayectorias eĺıpticas si se considera rotación terrestre.

Problema: Cubrir el plano de Fourier en la práctica requiereun proceso de medición exhaustivo.

Figura 5: Plano de Fourier.

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Compressed Sensing

Reconstrucción de señal con una tasa de datos menor a latasa de Nyquist.

Las mediciones se realizan en el dominio de Fourier.Grado de libertad en dominio que promueve sparsidad ydisposición de antenas.

α̂ = argminα

||α||1 s.t. y = AΦα (4)

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ot c o sc pc o p o to o og su t os jo utu o c s

Metodoloǵıa

Obtención de baselines continuos por medio detransformaciones matriciales.

Discretización basada en Teorema del muestreo.

Figura 6: Metodoloǵıa empleada para la reconstrucción de unaimagen en Interferometŕıa, basada en Compressed Sensing.

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p p g j

Metodoloǵıa

Se considera mediciones sin ruido (Basis Pursuit clásico).

No se considera rotación terrestre (Snapshot).

En Figura 7 se aprecia imagen de prueba utilizada.

Original image

Figura 7: Imagen de prueba considerada. Obtenida en observatorioALMA.

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g

Etapa 1

Validación algoritmo/código utilizado para implementar CS.

Código basado en algoritmo Douglas Rachford (Combettes,2007).

Phase Transition, threshold=1e−10

δ =M

N

ρ

=

K M

0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95

0.95

0.85

0.75

0.65

0.55

0.45

0.35

0.25

0.15

0.05

Figura 8: Phase transition obtenido para señal sparse en dominiode los pixeles. Medición aleatoria en Fourier.

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Etapa 2

Figura de mérito: Probabilidad de reconstrucción exitosa

(Fannjiang, 2013).

Imagen puntual de 60 × 60 pixeles.

0 100 200 300 400 500 600 7000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100PRE v/s sparsity level, umbral: 0.01 , BP

Sparsidad (Cantidad de fuentes puntuales)

P o r c e n t a j e r e c o n s t r u c c i o n e s e x i t

o s a s ( % )

NRA

URA

VLA

freqSelection

Figura 9: Probabilidad de reconstrucción exitosa versus sparsidadde imagen en dominio de los pixeles. Tasa de mediciones: 0.2. 10

realizaciones por punto.14/22


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Etapa 3

PRE versus razón de submuestreo (también llamado uv

coverage ) para NRA, URA y selección aleatoria uniforme defrecuencias, considerando 4 bases de sparsidad distintas:Daubechies 4, Daubechies 8, Coiflet 3 y DCT. 100realizaciones por punto de la curva.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

PRE v/s uv−coverage, umbral: 0.1 , BP

uv coverage (%)

P o r c e n t a j e r e

c o n s t r u c c i o n e s e x i t o s a s ( % )

Db8

Db4

Coif3

DCT

Figura 10: Probabilidad de reconstrucción exitosa versus tasa demediciones para selección aleatoria uniforme de frecuencias. 15/22




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Etapa 3

Para NRA, sobre 30% de submuestreo se tiene PRE igual a 1para todas las bases consideradas.

10 15 20 25 30 35 40 4540

50

60

70

80

90

100

PRE v/s uv coverage eff, NRA, umbral: 0.1 , BP

uv coverage (%)

P o r c e n t a j e r e c o n s t r u c c i o n e s

e x i t o s a s ( % )

Db8

Db4

Coif3

DCT

Figura 11: Probabilidad de reconstrucción exitosa versus tasa demediciones para disposición aleatoria normal de antenas.

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Etapa 3

Resultado similar a NRA, pero las curvas se levantan antes.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

PRE v/s uv coverage eff, URA, umbral: 0.1 , BP

uv coverage (%)

P o r c e n t a j e r e c o n s t r u c c i o n e s e x i t o s a s ( % )

Db8

Db4

Coif3

DCT

Figura 12: Probabilidad de reconstrucción exitosa versus tasa demediciones para disposición aleatoria uniforme de antenas.

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Etapa 3

M

N = 0.1

M

N = 0.2

M

N = 0.3

M

N = 0.4 Original

Figura 13: Reconstrucciones obtenidas con base Daubechies 4. Primerafila: VLA. Segunda fila: selección aleatoria uniforme de frecuencias.Tercera fila: NRA. Cuarta fila: URA.

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Etapa 4

Análisis de compresibilidad.

Comparar con decaimiento en potencia (power law ).

|ck| ≤ C 1i−q, C 1, q > 0 (5)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

2

4

6

8

10

12Decaimiento coeficientes según base de sparsidad , ALMA2

k

M

ó d u l o c o e f i c i e n t e s | c k |

DCTdb4

db8

coif3

sym4

Figura 14: Decaimiento módulo coeficientes para distintas bases.

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Etapa 4

Compresible con k 0 (dependen solo de C 1, q ) tal que:

σk(x)2 ≤ C 2k−r (6)

0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18Error de aproximación v/s coeficientes significativos , ALMA2

Porcentaje coeficientes significativos (%)

E r r o r d e a p r o x i m a c i ó n | x − x r | / | x |

DCT

db4

db8coif3

sym4

Figura 15: Error de aproximación considerando los coeficientes mássignificativos, para distintas bases.

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Trabajo futuro

Analizar influencia de ángulo horario h en la máscara demedición.

Analizar artefactos en reconstrucciones debido a disposiciónde antenas.

Incorporar al problema información a priori sobre la señal.Model-Based CS (Misra,Parilo, 2015).

Estudiar muestreo estructurado o pseudoaleatorio en CS(Nam Yul Yu, 2013) (Haupt, Applebaum, 2010).

RIPless CS (Candes, 2010).

StRIP o Statistical RIP (Barg, Mazumdar, 2015).

Considerar rotación terrestre.

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Referencias I

[1] Barg, A., Mazumdar, A., and Wang, R.Restricted isometry property of random subdictionaries.

Information Theory, IEEE Transactions on 61, 8 (2015), 4440–4449.

[2] Candes, E. J., and Plan, Y.

A probabilistic and ripless theory of compressed sensing.

Information Theory, IEEE Transactions on 57 , 11 (2011), 7235–7254.

[3] Combettes, P. L., and Pesquet, J.-C.

A douglas–rachford splitting approach to nonsmooth convex variationalsignal recovery.

Selected Topics in Signal Processing, IEEE Journal of 1, 4 (2007), 564–574.

[4] Eldar, Y. C., and Kutyniok, G.

Compressed sensing: theory and applications .

Cambridge University Press, 2012.

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Referencias II

[5] Haupt, J., Applebaum, L., and Nowak, R.

On the restricted isometry of deterministically subsampled fourier matrices.

In Information Sciences and Systems (CISS), 2010 44th Annual Conference on (2010), IEEE, pp. 1–6.

[6] Misra, S., and Parrilo, P. A.

Weighted l1

-minimization for generalized non-uniform sparse model.Information Theory, IEEE Transactions on 61, 8 (2015), 4424–4439.

[7] Thompson, A. R., Moran, J. M., and Swenson Jr, G. W.

Interferometry and synthesis in radio astronomy .

John Wiley & Sons, 2008.

[8] Yu, N. Y., and Li, Y.

Deterministic construction of fourier-based compressed sensing matricesusing an almost difference set.

EURASIP Journal on Advances in Signal Processing 2013 , 1 (2013), 1–14.

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