8/13/2019 Ciencia de Patrones

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The Science Pat terns

LYNNA RT H U RS T E E N

T h e r a p i dg r o w t h o f c o m p u t i n g a n da p p l i c a t i o n sh a sh e l p e dc r o s s - f e r d l i z et h e m a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ,y i e l d i n ga n u n p r e c e d e n t e da b u n d a n c eo f new m e t h o d s ,t h e o r i e s ,a n d m o d e l s .E x a m p l e sf r o ms t a t i s t i c a ls c e n c e ,c o r em a t h -e m a t i c s ,a n da p p l i e dm a t h e m a t i c si m u s t r a t et h e s ec h a n g e s ,w h i c h h a v e b o t h b r o a d e n e da n d e n r i c h e d t h er e l a t i o nb e t w e e n m a th e m a t i c sa n d s c e n c e .N o l o n g e r j u s tt h es t u d y o f n u m b e ra n d s p a c e ,m a t h e m a t i c a ls c i e n c eh a sb e c o m et h es c i e n c eo f p a t t e r n s ,w i t h t h e o r y b u i l to nr e l a t i o n sa m o n gp a t t e r n sa n d o n a p p l i c a t i o n sd e r i v e df r o mt h ef i tb e t w e e np a t t e r na n d o b s e r v a t i o n .

M j - ODERN M AT H E M AT I C SJUST MARKEDI T S 300TH BIRTHd a y.T h e p u b l i c a t i o ni n 1 6 8 7 o f N e w t o n ' sP r i n c i p i a

v f M a t h e m a t w c ae s t a b l i s h e dm a t h e m a t i c sa st h em e t h o d o l o g -i c a lp a r a d i g mo f t h e o r e t i c a ls c i e n c e .N e w t o np e r c e i v e d p a t t e r n si nt h ea c c u m u l a t e da s t r o n o m i c a ld a t ao f h i st i m e ;h e a b s t r a c t e df r o mt h e s ep a t t e r n sc e r t a i ng e n e r a lp r i n c i p l e s( w h e n c eP r i n c p i a ) ;t h e n h eu s e dt h e s ep r i n c i p l e st od e d u c ep a t t e r n sb o t h k n o w na n d u n k n o w ni nt h eb e h a v i o ro f p l a n e t a r yb o d i e s .H i s w a sa s c i e n c eo f p a t t e r n s -r o o t e di nd a t a ,s u p p o r t e db y d e d u c t i o n ,c o n f i r m e db y o b s e r v a t i o n .

B y t h ee n d o f t h e1 9 t hc e n t u r y ,N e w t o n ' sc r e a t i o nh a d f l o w e r e dm a g n i f i c e n t l y ,p r o d u c in g u n p r ec e d en t e di n t e l l e c t u a lb l o s s o m s .E u -r o p e a ng i a n t ss u c ha sE u l e r ,L a g r a n g e ,a n dWe i e r s t r a s sh a de l a b o r a t -e d a n d r e f i n e dt h ec a l c u l u s ,e s t a b l i s h i n gt h ef o u n d a t i o n sf o rm o d e r na n a l y s i s .J a m e sC l e r kM a x w e l lu s ed N ew t o n ' sd e r i v a t i v e st o w r i t et h el a w so f e l e c t r o m a g n e t i s m ,a n d G e o r gB e r n h a r dR i e m a n na p -p l i e dd i f f e r e n t i a l st og e o m e t r yi na p t( a l b e i tu n i n t e n t i o n a l )p r e p a r a -t i o nf o rA l b e r tE i n s t e i n ,who s o o nw o u l dd i s c o v e ri n R i e m a n n i a ng e o m e t r yt h ek e yt o a g e n e r a lt h e o r yo f g r a v i t a t i o n .

A t t h es a m e t i m e ,o n a s e p a r a t ec o n t i n e n t ,t h ep e o p l eo f t h eU n i t e dS t a t e sw e r e b e g i n n i n gt h e i rs e c o n dc e n t u r yw i t ho u t m a t h e-m a t i c a lo r s c i e n t i f i cg i a n t si n t h e i rm i d s t .Y e t i n 1 8 8 8 , t w oc e n t u r i e sa f t e rP r i n c i u i a ,a f e wf a r - s i g h t e di n d i v i d u a l sf o u n d e dw h a ti snow t h eA m e r i c a nM a t h e m a t i c a lS o c i e t y ,t h e r e b ys e t t i n gi nm o t i o na p r o c e s st h a tc r e a t e dt h ew o r l d ss t r o n g e s te n v i r o n m e n tf o rm a t h e m a t i c sr e s e a r c h .I n r e c o g n i t i o no f t h i sa n n i v e r s a r y ,A m e r i c a nm a t h e m a t i c si sno w c e l e b r a t i n gi t s1 0 0 t hb i r t h d a y .

F o r c e sf o rC h a n g eMany e d u c a t e dp e r s o n s ,e s p e c i a l l ys c i e n t i s t sa n de n g i n e e r s ,h a r b o r

a n i m a g eo f m a t h e m a t i c sa sa k i nt o a t r e eo f k n o w l e d g e :f o r m u l a s ,t h e o r e m s ,a n d r e s u l t sh a n g l i k er i p ef r u i t st o b e p l u c k e db y p a s s i n gs c i e n t i s t st on o u r i s ht h e i r t h e o r i e s .M a t h e m a t i c i a n s ,i nc o n t r a s t ,s e et h e i rf i e l da sa r a p i d l yg r o w i n gr a i nf o r e s t ,n o u r i s h e da n d s h a p e db y

29 PRIL 1 9 8 8

f o r c e so u t s i d em a t h e m a t i c sw h i l ec o n t r i b u t i n gt oh u m a nc i v i l i z a ta r i c ha n d e v e r - c h a n g i n gv a r i e t yo f i n t e l l e c t u a lf l o r aa n d f a u n aT h e s ed i f f e r e n c e si n p e r c e p t i o na r ed u e p r i m a r i l yt o t h es t e e pa n dh a r s ht e r r a i no f a b s t r a c tl a n g u a g et h a ts e p a r a t e st h em a t h e m a tr a i nf o r e s tf r o mt h ed o m a i no f o r d i n a r yh u m a na c t i v i t y .

T h ed e n s ej u n g l eo f m a t h e m a t i c sh a sb e e nn o u r i s h e df o rm i l l e n nb y c h a l l e n g e so f p r a c t i c a la p p l i c a t i o n s .I n r e c e n ty e a r s ,c o m p u t e r sh a v ea m p l i f i e dt h ei m p a c to f a p p l i c a t i o n s ;t o g e t h e r ,c o m p u t a t i o na n d a p p l i c a t i o n sh a v e s w e p t l i k ea c y c l o n ea c r o s st h et e r r a i no fm a t h e m a t i c s .F o r c e su n l e a s h e db y t h ei n t e r a c t i o no f t h e s ei n t e l l e ca ls t o r m sh a v ec h a n g e df o r e v e r - a n df o rt h eb e t t e r - t h em o r p h o l og y o f m a t h e m a t i c s .I n t h e i rw a k eh a v ee m e r g e dnew o p e n i n g st h a tl i n k d i ve r s ep a r t so f t h em a t h e m a t i c a lf o r e s t ,m a k i n gp o s s i b l ec r o s sf e r t i l i z a t i o no f i s o l a t e dp a r t st h a th a si m m e a s u r a b l ys t r e n g t h e n et h ew h o l e .

T h r o u g h o u tt h e2 0 t hc e n t u r y ,m a t h e m a t i c sh a sg r o w nr a p i d l yo nm a n yf r o n t s .T h ec l a s s i c a lc o r eh a sr e m a i n e dr o o t e di nt h eN e w t o n i -a n m a t h e m a t i c so f a n a l y s i s ,a s y n t h e s i so f a l g e b r aa n d g e o m e t r ya p p l i e dt ot h es t u d yo f h ow t h i n g sc h a n g e .B u t e v e n a st h i sc o r eh a se x p a n d e du n d e re x p l o s i v ep o s t - Wo r l dWa r I I g r o w t h ,i t h a sb e e ns u p p l e m e n t e db y m a j o rd e v e l o p m e n t si n o t h e rm a t h e m a t i c a ls c i -e n c e s - i n n u m b e rt h e o r y ,l o g i c ,s t a t i s t i c s ,o p e r a t i o n sr e s e a r cp r o b a b i l i t y,c o m p u t a t i o n ,t o p o l o g y ,a n d c o m b i n a t o r i c s ,i na d d i t i ot oa l g e b r a ,g e o m e t r y ,a n d a n a l y s i s .

I n e a c ho f t h e s es u b d i s c i p l i n e s ,a p p l i c a t i o n sp a r a l l e lt h e o r y .E v e nt h em o s te s o t e r i ca n da b s t r a c tp a r t so f m a t h e m a t i c s - n u m b e rt h e o ra n d l o g i c ,f o re x a m p l e - a r eno w u s e dr o u t i n e l yi na p p l i c a t i o n s( f o re x a m p l e ,i nc o m p u t e rs c i e n c ea n d c r y p t o g r a p h y ) .F i f t yy e a r sa g o G .H . H a r d yc o u l db o a s to f n u m b e rt h e o r ya st h em o s tp u r e a n d l e a su s e f u lp a r to f m a t h e m a t i c s( 1 ) ;t o d a yn u m b e rt h e o r yi ss t u d i e da sa ne s s e n t i a lp r e r e q u i s i t et om a n ya p p l i c a t i o n so f c o d i n g ,i n c l u d i n gd a t at r a n s m i s s i o nf r o m r e m o t es a t e l l i t e s ,p r o t e c t i o no f f i n a n c i a lr e c o r da n d e f f i c i e n ta l g o r i t h m sf o rc o m p u t a t i o n .

I n 1 9 6 0 ,a t a t i m ew h e nt h e o r e t i c a lp h y s i c sw a s s t i l lt h ec e n t rj e w e li n t h ec r o w no f a p p l i e dm a t h e m a t i c s ,E u g e n eW i g n e rw r o t ea b o u tt h e u n r e a s o n a b l ee f f e c t i v e n e s so f m a t h e m a t i c si nt h en a t u rs c i e n c e s : T h em i r a c l eo f t h ea p p r o p r i a t e n e s so f t h el a n g u a go fm a t h e m a t i c sf o rt h ef o r m u l a t i o no f t h el a w so f p h y s i c si sa w o n d e r -f u lg i f tw h i c hw e n e i t h e ru n d e r s t a n dn o r d e s e r v e( 2 ,p . 1 4 ) .I n d e et h e o r e t i c a lp h y s i c sh a sc o n t i n u e dt oa d o p t( a n do c c a s i o n al l y ii n c r e a s i n g l ya b s t r a c tm a t h e m a t i c a lm o d e l sa st h el o g i c a lf o u n d a tf o rc u r r e n tt h e o r i e s :L i e g r o u p sa n d g a u g et h e o r i e s ,e x o t i ce x p r es i o n so f s y m m e t r y ,h a v ej o i n e df e r m i o n sa n d b a r y o n sa sf u n d a m e nt a l t o o l s i nt h ep h y s i c i s t ' ss e a r c hf o r a u n i f i e dt h e o r yo f b o t hm i c r o s c o p i ca n d m a c r o s c o p i cf o r c e so f n a t u r e .

D u r i n gt h i ss a m ep e r i o d ,h o w e v e r ,s t r i k i n ga p p l i c a t i o n so f m a t h em a t i c se m e r g e da c r o s st h ee n t i r el a n d s c a p eo f n a t u r a l ,b e h a v i oa n d s o c ia l s c i en c e .M o r e o v e r ,a p p l i c a t i o n so f o n e p a r to f m a t h e m a t -i c st o a n o t h e r - o fg e o m e t r yt o a n a l y s i s ,o f p r o b a b i l i t yt o n u m b e rt h e o r y - p r o v i d er e n e w e de v i d e n c eo f t h ef u n d a m e n t a lu n i t yo fm a t h e m a t i c s .D e s p i t et h eu b i q u i t yo f c o n n e c t i o n sa m o n gp r o b l ei n s c i e n c ea n d m a t h e m a t i c s ,t h ed i s c o v e r yo f new l i n k sr e t a i n sas u r p r i s i n gd e g r e eo f u n p r e d i c t a b i l i t ya n d s e r e n d i p i t y.W h e t h e r

ARTICLES 6 I I

T h e a u t h o ri s p r o f e s s o ro f m a t h e m a t i c sa t S t .O l a fC o l l e g ei nN o r d i f i e l d ,MN 5 5 0 5 7a n d c h a i r m a no f t h eC o n f e r e n c eB o a r do f t h eM a t h e m a t i c a lS c i e n c e s .

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p l an n ed o r u np l an ne d,t h ec r o s s - f e r t i l i z a t i o nb e t w e e ns c i e n c ea n dm a t h e m a t i c si n p r o b l e m s ,t h e o r i e s ,c o n c e p t s ,a n d p a r a d i g m sh a sn e v e rb e e n g r e a t e rt h a n i t i s n o w , i n t h el a s tq u a r t e ro f t h e2 0 t hc e n t u r y .I n 1 9 8 8 o n e c a n s a yw i t h s o m e j u s t i f i c a t i o nt h a tt h ee f f e c t i v e n e s so f m a t h e m a t i c si se v e nm o r e u n r e a s o n a b l et h a n e v e rb e f o r e .

P a r a l l e l i n gt h eg r o w i n gp o w e ro f a p p l i c a t i o n so f m a t h e m a t i c sh a sb e e n t h ee x t r a o r d i n a r yi m p a c t o f c o m p u t i n g . I t i s i r o n i cb u ti n d i s p u t a b l et h a tc o m p u t e r sw e r e m a d ep o s s i b l eb y a p p l i c a t i o no fa b s t r a c tt h e o r i e so f m a t h e m a t i c i a n ss u c ha sB o o l e ,C a n t o r ,T u r i n g ,a n dv o nN e u m a n n ,t h e o r i e s t h a tj u s ta f e wd e c a d e sa g ow e r ew i d e l yd e r i d e db y c r i t i c so f t h e n e w m a t h a sw i l d a b s t r a c t i o n si r r e l e v a n tt op r a c t i c a lp u r p o s e s .I t i s d o u b l yi r o n i ct h a tt h ec o m p u t e ri s no wt h em o s tp o w e r f u lf o r c ec h a n g i n gt h en a t u r eo f m a t h e m a t i c s .E v e nm a t h e m a t i c i a n sw h o n e v e r u s ec o m p u t e r sm a yf r e q u e n t l yd e v o t et h e ir e n t i rer e s e a r c hc a r e e r st o p r o b l e m sg e n e r a t e db y t h ep r e s e n c eo f c o m p u t e r s .A c r o s s a l l p a r t so f m a t h e m a t i c s ,c o m p u t e r sh a v ep o s e dn e wp r o b l e m sf o rr e s e a r c h ,p r o v i d e dn e wt oo l s t os o l v eo l dp r o b l e m s ,a n d i n t r o d u c e dn e wr e s e a r c hs t r a t e g i e s .

A l t h o u g ht h ep u b l i co f t e nv i e w sc o m p u t e r sa sa r e p l a c e m e n tf o rm a t h e m a t i c s ,e a c hi s i n r e a l i t ya p o w e rt o o lf o rt h eo t h e r .I n d e e d ,j u s ta s c o m p u t e r sp r o v i d enew o p p o r t u n i t i e sf o rm a t h e m a t i c s ,s oa l s om a t h e m a t i c sm a k e sc o m p u t e r ss oi n c r e d i b l ye f f e c t i v e .M a t h e -m a t i c sp r o v i d e sa b s t r a c tm o d e l sf o rn a t u r a lp h e n o m e n a ,a sw e l la s

a l g o r i t h m sf o ri m p l e m e n t i n gt h e s em o d e l si n c o m p u t e rl a n g u a g e s .A p p l i c a t i o n s ,c o m p u t e r s ,a n d m a t h e m a t i c sf o r m a t i g h t l yc o u p l e ds y s t e m y i e l d in gr e s u l t sn e v e rb e f o r ep o s s i b l ea n d i d e a sn e v e r b e f o r ei m a g i n e d .

T h e M a t h e m a t i c a lS c i e n c e sR a p i d g r o w t h i n t h en a t u r ea n d a p p l i c a t i o n so f m a t h e m a t i c s

m e a n st h a tt h eN e w t o n i a nc o r e - c a l c u l u s ,a n a l y s i s ,a n d d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s - i snow j u s to n e p a r to f a m o r e d i v e r s em a t h e m a t i c a ll a n d s c a p e .Y e t m o s t s c i e n t i s t sh a v e e x p l o re d o n l yt h i so r i g i n a lt e r r i t o r y,b e c a u s et h a ti s a l lt h a tw a s i n c l u d e di n t h e i rc u r r i c u l u mi nh i g hs c h o o l ,c o l l e g e ,a n d g r a d u a t es c h o o l .W i t h t h ee x c e p t i o no fs t a t i s t i c s ,a n o l ds c i e n c ew i d e l yu s e d a c r o s sa l ld i s c i p l i n e st h a th a sb e c o m el a r g e l ym a t h e m a t i c a ld u r i n gt h e2 0 t h c e n t u r y ,t h en a r r o wN e w t o n i a nl e g a c yo f a n a l y s i si s t h ep r i n c i p a lc o n n e c t i o nb e t w e e np r a c t i c i n gs c i e n t i s t sa n dt h eb r o a dm a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o n so f t h e i rd i s c i p l i n e s .T h ed r a m a t i cc h a n g e si nt h em a t h e m a t i c a ls c i e n c e so f t h el a s tq u a r t e rc e n t u r ya r el a r g e l yi n v i s i b l et o t h o s eo u t s i d e t h es m a l lc o m m u n i t yo f r e s e a r c hm a t h e m a t i c i a n s .

To d a y sm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ,l i k ey e s t e r d a y sG a u l ,c a n b ed i v i d e di n t ot h r e ep a r t so f r o u g h l yc o m p a r a b l es i z e : s t a t i s t i c a ls c i e n c e ,c o r em a t h e m a t i c s ,a n d a p p l i e dm a t h e m a t i c s .E a ch o ft h e s et h r e em a j o ra r e a si s l e d( i nt h eU n i t e dS t a t e s )b y a f e w t h o u s a n da c t i v er e s e a r c h e r sa n d r e c e i v e sa p p r o x i m a t e l y 5 0 m i l l i o ni nf e d e r a lr e s e a r c hs u p p o r ta n n u a l l y .A l t h o u g ht h eb o u n d a r i e sb e t w e e nt h e s ep a r t so v e r l a pc o n s i d e r a b l y ,e a c hp r o v i n c eh a sa n i d e n t i f i a b l ec h a r a c -t e rt h a tc o r r e s p o n d sw e l lw i t h t h et h r e es t a g e so f t h em a t h e m a t i c a lp a r a d i g me s t a b l i s h e db y N e w t o n :d a t a ,d e d u c t i o n ,a n d o b s e r v a t i o n .

S t a t i s t i c a ls c i e n c ei n v e s t i g a t e sp r o b l e m sa s s o c i a t e dw i t h u n c e r t a i n -t yi nt h ec o l l e c t i o n ,a n a l y s i s ,a n d i n t e r p r e t a t i o no f d a t a .I t st o o l sa r ep r o b a b i l i t ya n d i n f e r e n c e ;i t st e r r i t o r yi n c l u d e ss t o c h a s t i cm o d e l i n g ,s t a t i s t i c a li n f e r e n c e ,d e c i s i o nt h e o r y ,a n de x p e r i m e n t a ld e s i g n .S t a t i s -t i c a ls c ie n ce i n f l u e nc e sp o l i c yi n a g r i c u l t u r e ,p o l i t i c s ,e c o n o m i c s ,m e d i c i n e ,l a w,s c i e n c e ,a n d e n g i n e e r i n g .A d v a n c e si n i n s t r u m e n t a -t i o na n d c o m m u n i c a t i o n( t og a t h e ra n d t r a n s m i td a t a )h a v e p o s e dn e wc h a l l e n g e st os t a t i s t i c s ,l e a d i n gt or a p i dg r o w t hi nnew m e t h o d sa n d n e wa p p l i c a t i o n s .

C o r e m a t h e m a t i c si n v e s t i g a t e sp r o p e r t i e so f n u m b e ra n d s p a c e ,

i d e a sr o o t e di na n t i q u i t y .I t st o o l sa r ea b s t r a c t i o na n dd e d u c t i o ni t se d i f i c e si n c l u d ef u n c t i o n s ,e q u a t i o n s ,o p e r a t o r s ,a n d i n f i n i t e - d is i o n a ls p a c e s .W i t h i n c o r em a t h e m a t i c sa r ef o u n dt h et r a d i t i o ns u b j e c t so f n u m b e rt h e o r y ,a l g e b r a ,g e o m e t r y ,a n a l y s i s ,a n d t o p o lg y .A f t e ra h a l f - c e n t u r yo f e x p l o s i v es p e c i a l i z e dg r o w t h , c o rm a t h e m a t i c si se x p e r i e n c i n ga r e n a i s s a n c eo f r e n e w e di n t e g r i t yb a s eo n t h eu n e x p e c t e db u t w e l c o m ed i s c o v e r yo f d e e p l i n k sa m o n gi t sv a r i o u sc o m p o n e n t s .

A p p l i e dm a t h e m a t i c sf i t sm a t h e m a t i c a lm e t h o d st o t h eo b s e r vt i o n sa n d t h e o r i e so f s c i e n c e .I t i s a p r i n c i p a lc o n d u i tf o rs c i e n t i

i d e a st o s t i m u l a t em a t h e m a t i c a li n n o v a t i o na n d f o rm a t h e m at o o l st o s ol ves c i e n t i f i cp r o b l e m s .T r a d i t i o n a lm e t h o d s o fa p p l im a t h e m a t i c si n c l u d ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ,n u m e r i c a lc o m p u t a tc o n t r o lt h e o r y ,a n dd y n a m i c a ls y s t e m s ;s u c ht r a d i t i o n a lm e t h o d sa r et o d a yb e i n ga p p l i e di n m a j o rn e wa r e a so f a p p l i c a t i o n s ,i n c l u d ic o m b u s t i o n ,t u r b u l e n c e ,o p t i m i z a t i o n ,p h y s i o l o g y ,a n d e p i d e m io g y .I n a d d i t i o n ,new t o o l sf r o mg a m et h e o r y ,d e c i s i o ns c i e n c e ,a n dd i s c r e t em a t h e m a t i c sa r eb e i n ga p p l i e dt ot h eh u m a ns c i e n c e sw h e r ec h o i c e s ,d e c i s i o n s ,a n d c o a l i t i o n sr a t h e rt h a nc o n t i n u o u sc h a n g ea r et h ea p tm e t a p h o r sf o rd e s c r i p t i o na n d p r e d i c t i o n .

A l la t t e m p t st o d i v id em a t h e m a t i c si n t op a r t sa r en e c e s s aa r t i f i c i a la n d p e r p e t u a l l yi n f l u x :s t a t i s t i c a ls c i e n c e ,c o r em a t h e m a ti c s ,a n d a p p l i e dm a t h e m a t i c sr e p r e s e n tj u s to n e o f m a n yp o s s i bs t r u c t u r e st h a tm a yh e l po n e u n d e r s t a n dt h ew h o l e .T h e s ed i v i s i od o n o t r e p r e s e n ti n t r i n s i cd i f f e r e n c e si nt h en a t u r eo f t h ed i s c i p l is om u c ha sd i f f e r e n c e si ns t y l e ,p u r p o s e ,a n dh i s t o r y ;t h e ym a ym o r ea p t l yd e s c r i b et y p e so f m a t h e m a t i c i a n s t h a nt y p e so f m a t h e m aO t he rs h a vea t t e m p t e dt op o r t r a yt h en a t u r e o f modemm a t h e m ai n s o m e w h a td i f f e r e n tt e r m s [ s e e ,f o re x a m p l e ,( 3 - 5 ) ] .W h a ti si m p o r t a n ta b o u t t h e s el a b e l si s t h a tt h e yh e l pf o c u sa t t e n t i o no nc e r t a i nc h a r a c t e r i s t i c so f t h em a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ,n o t t h a tt h et h e m s e l v e sr e p r e s e n ti n h e r e n to r e s s e n t i a lc o m p a r t m e n t s .

O n ef e a tu r e t h a ti s i n h e r e n ti n m a t h e m a t i c sa n d i s e s s e n t i a lt ou n d e r s t a n di t sr o l ei n s c i e n c ei s t h i s :t o d a y sm a t h e m a t i c a ls c i e n ca r ev e r yd i f f e r e n tf r o mw h a tt h e yw e r ea q u a r t e r - c e n t u r ya g o w h e nm o s t o f t o d a y ss c i e n t i s t sl a s ts t u d i e dm a t h e m a t i c s .C o m p u t e r sa p p l i c a t i o n s ,a n d c r o s s - f e r t i l i z a t i o nh a v ec o m b i n e dt ot r a n s f o r mt h em a t h e m a t i c a ls c i e n c e si n t oa n e x t r a o r d i n a r i l yd i v e r s ea n d p o w e rc o l l e c t i o no f t o o l sf o rs c i e n c e .W i t h o u te v e n a s k i n gp e r m i s sm a t h e m a t i c i a n sh a v e q u i t el i t e r a l l yr e b u i l tt h ef o u n d a t i o n so f s c ie n c e .T h e w o r ki s n o t f i n i s h e d ,b u t i t snew s h a p ei s s u f f i c i e nv i s i b l et h a ta l lw h o u s e m a t h e m a t i c ss h o u l dt a k et h et i m e t oe x p l oi t snew f e a t u r e s .

S t a t i s t i c a lS c i e n c e sB o t h c o m p u t e r sa n d s t a t i s t i c sd e a lw i t h d a t a :w h a t c o m p u t e r s

r e c o r d ,t r a n s f o r m ,a n d m a n i p u l a t e ,s t a t i s t i c i a n si n t e r p r e t ,s u m m ar i z e ,a n d d i s p l a y.T h i s c o n f l u e n c eo f p r o b l e ms o u r c ew i t h p r o b l e ms o l v e rh a sr a d i c a l l yt r a n s f o r m e d( s o m ew o u l ds a yr e s t o r e d )s t a t i s t is c i e n c et o a d a t a - i n t e n s i v ed i s c i p l i n e .P h e n o m e n ad e s c r i b e db yt r a d i t i o n a ls t a t i s t i c a ld i s t r i b u t i o n s( n o r m a l , P o i s s o n ,a n d s o f o r t hr e p r e s e n to n l ya t i n yp a r to f t h ee n o r m o u sq u a n t i t yo f d a t ac a p t u rb y c o m p u t e r sa l lo v e r t h ew o r l d .H e r e a r et h r e ee x a m p l e so f w h a tt h ed o mi n an c e o fd a t ah a sd o n e i n t h es t a t i s t i c a ls c i e n c e s .

S p a t i a ls t a t i s t i .T h e i n c r e a s i n gu s e o f e l e c t r o n i cs c a n n i n gd e v i c( f o re x a m p l e ,i nt o m o g r a p h y ,a i r b o r n er e c o n n a i s s a n c e ,a n de n v i r om e n t a lm o n i t o r i n g )h a sp r o d u c e da n u r g e n t n e e d f o rs o p h i s t i ca n a l y s i so f d a t aw i t h i n h e r e n ts p a t i a ls t r u c t u r e .I m a g ee n h a n c e mt h ev i s u a lc l a r i f i c a t i o no f b l u r r e di m a g e s ,i s t h em o s t commona p p l i c a t i o n .O t h e ri m p o r t a n tt a s k si n c l u d et h ev i s u a lr e p r e s e n t ao f d a t at o e n a b l ea n o b s e r v e rt o d e t e c th i d d e n p a t t e r n sa n d t h es t a t i s t i c a lc o m p r e s s i o no f d a t ai nr e a lt i m et op e r m i te f f i c i e n ts t o r a g

S C I E N C E ,V O L .2 4 01 2

8/13/2019 Ciencia de Patrones

3/6

a n d s u b s e q u e n ta n a l y s i sw i t h o u t l o s so f i m p o r t a n ti n f o r m a t i o n .R e s e a r c hi ns p a t i a ls t a t i s t i c su t i l i z e sa w i d ev a r i e t yo f m a t h e m a t i -

c a l ,s t a t i s t i c a l ,a n d c o m p u t a t i o n a lt e c h n i q u e s .P r o b l e m so f s e p a r a t -i n gs i g n a lf r o mn o i s eb o r r o wt e c h n i q u e sf r o me n g i n e e r i n g ;i l l - p o s e ds c a t t e r i n gp r o b l e m s us e m e t h o d s o f n u m e r i c a ll i n e a ra l g e b r a ;s m o o t h i n go f d a t ar e q u i r e ss t a t i s t i c a lt e c h n i q u e so f r e g u l a r i z a t i o n .And u n d e r l y i n ga l lt h i si s t h e i n h e r e n tgeomet ry o f t h ep r o b l e m ,w h i c hi n many c a s e s i s d y n a m i ca n d n o n l i n e a r .

N o n p a r a m e t n cm o d e l i n g .T h e m o s t f u l l yd e v e l o p e dp a r t o f t r a d i -t i o n a ls t a t i s t i c si n v o l v e sm o d e l s b a s e don a s s u m e dd i s t r i b u t i o n sd e t e r m i n e db y a s m a l l n u m b e ro f c o n t i n u o u s l yv a r y i n gp a r a m e t e r s .Y e t m o s t r e a ld a t a( f o re x a m p l e ,census i n f o r m a t i o nor s a t e l l i t ei m a g i n g )a r e a m i x t u r e o f v a r i a b l e st h a ta re p ar tl y p a r a m e t r i ca n dp a r t l yn o n p a r a m e t r i cor p a r t l yc o n t i n u o u s a n d p a r t l yd i s c r e t e .W i t h o u tp l a u s i b l ea p r i o r ia s s u m p t i on s c o n c er n i n gt h ed i s t r i b u t i o no f n o n p a r a m e t r i cd at a , t r ad i t i on a ls t a t i s t i c a lm e t h o d sw e r e o f t e nu n r e l i a b l e - a l t h o u g hs t i l lf r e q u e n t l yu s e d .N o w , h o w e v e r , l a r g ed a t as e t s o f m i x e dp a r a m e t r i ca n d n o n p a r a m e t r i cv a r i a b l e sm a k ei tp o s s i b l ef o rs t a t i s t i c i a n st o u s e c o m p u t a t i o n a l l yi n t e n s i v em e t h o d st oe s t i m a t es t a t i s t i c s( f o re x a m p l e ,r e g r e s s i o nc o e f f i c i e n t s )w i t h r e l i a b l eerror b o u n d sf o rn o n p a r a m e t r i cv a r i a b l e s .( O fcourse t h ecompute rh a sm a d es u c hm e t h o d sno t o n l yp o s s i b l eb u t necessary b y e n a b l i n gs c i e n c et o i n u n d a t e us w i t h m a s s i v ed a t as e t s . )

B o o t s t r a pa n d j a c k k n i f es t a t i s t i c s .Many a p p l i c a t i o n so f s t a t i s t i c s( n o t a b l ysurvey a n a l y s i sa n d c l i n i c a ld a t af r o m i n n o v a t i v em e d i c a lp r o t o c o l s )i n v o l v es m a l l d a t as e t s f r o mw h i c ho ne w o u l dl i k et o i n f e rmeaningful ( s i g n i f i c a n t )p a t t e r n s . B r a d l e yE f r o n a t S t a n f o r dU n i -v e r s i t yh a sp i o n e e r e da n i n n o v a t i v em e t h o do f u s i n gl i m i t e dd a t at og e n e r a t e more d a t aw i t h t h esame s t a t i s t i c a lc h a r a c t e r i s t i c s( w h e n c e b o o t s t r a pm e t h o d s ) .

I n p a r t i c u l a r ,b o o t s t r a pm e t h o d su s e c o m p u t a t i o n a lm e t h o d st or e s a m p l et h eg i v e nd a t a r e p e a t e d l yi no r d e rt o g e n e r a t e m i l l i o n so fs i m i l a rp o s s i b l ed a t as e t s ,w h i c hy i e l da c c u r a t e a p p r o x i m a t i o n st ov a r i o u sc o m p l e xs t a t i s t i c s .B yc o m p a r i n gt h ev a l u eo f t h e s es t a t i s t i c sf o rt h eg i v e ns a m p l ew i t h t h e d i s t r i b u t i o no b t a i n e d b y r e p e a t e dr e s a m p l i n g ,one ca n d e t e r m i n ew h e t h e r t h eo b s e r v e dv a l u e sa r es i g n i f i c a n t( 6 ) .J a c k k n i f em e t h o d sa r e r e l a t e dt o b o o t s t r a pt e c h -n i q u e s ,b u t t h eway t h e yr e d u c eb i a si nt h es t a t i s t i c a lp r o c e d u r e si st or e p e a t e d l ys l i c e a w a y p a r t o f t h ed a t a .

C o r e M a t h e m a t i c sT h e f o r c e st h a ti m p i n g eon m a t h e m a t i c s - p r i m a r i l ya p p l i c a t i o n s ,

c o m p u t e r s ,a n dc r o s s - f e r t i l i z a t i o n - i n f l u e n c et h ecore ( p u r e )p a r t so f t h es u b j e c ti n p r o f o u n dw a y s . To i l l u s t r a t et h enature o f t h ec h a n g e s ,I w i l lu s e t w o r a t h e rd i f f e r e n tareas o f i m p a c t ,c o m p u t a t i o na n dg e o m e t r y ,a s w i d e l ys e p a r a t e dm i l e p o s t sa l o n ga v a s t c o n t i n u u mo f m a t h e m a t i c s .

C o r em a t h e m a t i c sh a s c h a n g e du n d e rt h ei n f l u e n c eo f computersa s much a s t h emore a p p l i e dareas o f t h em a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ,b u ti n d i ff e re n tw a y s . M o s tn o t i c e a b l ei st h es h i f ti nr e s e a r c hi n t e r e s t st oq u e s t i o n sm o t i v a t e d b y c o m p u t a t i o n .B u t computers h a v e a l s oc h a n g e dt h eway c o n j e c t u r e sa r e i n v e n t e da n d t e s t e d ,t h eway p r o o f sa r e d i s c o v e r e d ,a n d - i n a n i n c r e a s i n gn u m b e ro f c a s es - t henatureo f p r o o f i t s e l f .

T h e a r c h e t y p eevent i n c o m p u t e r - a s s i s t e dm a t h e m a t i c swas t h e1 9 7 6 p r o o f o f t h ec e n t u r y - o l df o u r - c o l o rc o n j e c t u r e ,w h i c h wasb a s e don a compute r a n a l y s i so f t h ou s a n dso f r e d u c t i o np a t t e r n s t ob r i d g ea ga p b e t w e e n m a th em a t i c alt h e o r ya n d human a n a l y s i so fc a s e s . T h i s e v e n t s h o o kt h e very e p i s t e m o l o g yo f m a t h e m a t i c s( 7 ,8 ) .Ten y e a r s l a t e r ,i n 1 9 8 6 , t h e I n t e m a t i o n a lC o n g r e s so f M a t h e m a t i -c i a n ss e t f o r t h t h e s t a t e o f w o r l d w i d em a t h e m a t i c sa t a 1 0 - d a yc o n f e r e n c ea t t h e U n i v e r s i t yo f C a l i f o r n i aa t B e r k e l e y .Of t h e1 6

2 9 PRIL I 9 8 8

p l e n a r yl e c t u r e ss u r v e y i n gt h ec u r r e n ts t a t eo f m a t h e m a t i c sm o r et h a nh a l fw e r eo n t o p i c sl i n k e di ns o m ew a yw i t hc o m p u t a t i o nH e r ea r es o m ee x a m p l e s .

B i b e r b a c hc o n j e c t u r e .L o u i s d e B r a n g e s o f P ur du eU n i v e r sd i s c u s s e dh i sp r o o fo f t h e 7 0 - y e a r - o l dB i e b e r b a c hc o n j e c t u r ec o nc e r n i n gt h es i z eo f c o e f f i c i e n t si n t h ep o w e rs e r i e se x p a n s i o no fc e r t a i na n a l y t i cf u n c t i o n so f a c o m p l e xv a r i a b l e( 9 ) .A t a c r u ci a ls t a gi n t h ep r o o f ,d e B r a n g e s h a d r e d u c e d t h ee n t i r ea r g u m e n tt ov e r i f y i n ga n i n e q u a l i t yb e t w e e nt w o p o l y n o m i a l s :t h i sw a s d on e b yc o m p u t e rt oa s u f f i c i e n td e g r e et op r o v i d ec o n v i n c i n gc i r c u m s t ae v i d e n c eo f t h ev a l i d i t yo f t h i sl i n eo f a r g u m e n t .T h ef i n a ll i n ki nt h ef o r m a la r g u m e n tw a s s u p p l i e db y a t h e o r e t i c a lp r o o f o f t h i si n e q u a l i t y ,a c t u a l l yk n o w na n d p r o v e d i n t h et h e o r yo f s p e c if u n c t i o n sl o n gb e f o r ed e B r a n g e sn e e d e d t

F a c t o r i n gi n t e g e r s .H e n r i c k W. L e n s t r ao f t h eU n i v e r s i to fA m s t e r d a ma p p l i e da l g e b r a i cg e o m e t r yt o o n e o f t h eo l d e s tp r o bl e m si n m a t h e m a t i c s - h o wt o f i n dt h ep r i m ef a c t o r so f a n i n t e g( 1 0 ) .I n t e g e r f a c t o r i z a t i onm o v e df r o ma b a c k w a t e rt oh i g h p r i o r i ti nm a t h e m a t i c ss i m p l yb e c a u s eo f i t sa p p l i c a t i o ni nc o m p u t e r -c r y p t o g r a p h y :a c od e b as edo n t h ep r o d u c t o f t w o l a r g ep r i m en u m b e r sc a n n o tb e b r o k e nw i t h c u r r e n ta l g o r i t h m sb e c a u s et h e r ei sn o k n o w ne f f i c i e n tm e t h o do f r e c o v e r i n gt h et w o f a c t o r sf r o mk n o w l e d g eo n l yo f t h ep r o d u c t .

L e n s t r aa t t a c k e dt h ep r o b l e mo ff a c t o r i n gb y u s i n ge l l i p t i cc u r v et h es e to f z e r o e si n a s u i t a b l ep r o j e c t i v ep l a n eo f c u b i cp o l y n o me q u a t i o n si nt h r e ev a r i a b l e s .P o i n t so n t h e s ec u r v e sf o r ma n A b e l ig r o u p ,w h o s ep r o p e r t i e sl e a dd i r e c t l yt o t h ef a s t e s ta l g o r i t h my e td i s c o v e r e df o r f a c t o r i n gl a r g en u m b e r s .S i m i l a ra n a l y s e sa r eb e i nc a r r i e do u t f o r f a c t o r i n gp o l y n o m i a l se f f i c i e n t l y( 1 1 ) .E l l i p t i cc u r v et h ep r i m a r yt o o li n t h e s enew a l g o r i t h m s ,a r et h ec e n t r a lo b j e ci n v o l v e di n G e r dF a l t i n g s s1 9 8 3 p ro o fo f t h eM o r d e l lc o n j e c t( 1 2 ) ,s u r e l yo n e o f t h i sd e c a d e sm o s t s t u n n i n gm a t h e m aa c h i e v e m e n t s .

C m p u t a t i o n a lc o m p k l x i t y .A r n o l dS c h 6 n h a g eo f t h eU n i v e r s i to fT u b i n g e na p p l i e dt h et h e o r yo f c o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t y - t ha n a l y s i so f t h ei n h e r e n td i f f i c u l t yi ns o l v i n gp r o b l e m s - t ot h eb a s it a s ko f s o l v i n g e q u a t i o n s ,b e g i n n i n gw i t h t h es i m p l e s t ,a x = b ,f o ro r d i n a r yn u m b e r s( 1 3 ) .T h e t r a d i t i o n a ls o l u t i o n ,d i v i s i o n ,h a sn o tb e e no f i n t e r e s tt om a t h e m a t i c i a n ss i n c et h eM i d d l eA g e s ,y e tnow i ti sa s u b j e c to f i n t e n s er e s e a r c h .O n l yr e c e n t l yh a si t b e e np r o v e dt h at h ek n o w nm e t h o d so f p e r f o r m i n gd i v i s i o no f c o m p l e xn u m b e r si st h eb e s tw a y p o s s i b l e - i nt h es e n s et h a tn o m e t h o dc a n i n v o lf e w e rr e a la r i t h m e t i c a lo p e r a t i o n s .T h e m e t h o d su s e d i n t h i sf u n d am e n t a la n a l y s i so f a r i t h m e t i cp r e s a g es i m i l a ra n a l y s i sf o rt h ee n t i rr a n g eo f c o m p u t e ra l g o r i t h m s ,e n a b l i n gm a t h e m a t i c i a n st o d e t em i n e l i m i t so f c o m p u t a t i o n a lf e a s i b i l i t ya s w e l la s a r e a sr i p ef o rf u r t h e ri m p r o v e m e n t .

I t f r a t e dm a p s .S t e p h e nS m a l eo f t h eU n i v e r s i t yo f C a l i f o r n ia tB e r k e l e ye x a m i n e dt h ec l a s s i c a lp r o b l e mo f f i n d i n gz e r o e so f p o l y nm i a l si nt h e v e r ym o d e r nc o n t e x to f i t e r a t e dm a p sa n dc o m p u t a t i o na lc o m p l e x i t yt h e o r y .T h ep r o t o t y p i c a le x a m p l ei sN e w t o n ' sm e t h o df o rf i n d i n ga z e r o o f a f u n c t i o n f J x ) :

Xn Xn - f ( x n ) / f( X n )I n t h ep r e - c o m p u t e rs t y l e ,t h i sm e t h o dw a s a p p l i e do n e p o i n ta t at i m e ,b e g i n n i n gw i t h a r e a s o n a b l yg o o dg u e s ss o t h a tt h es e q u e n c eo f p o i n t sc o n v e r g e dr a p i d l yt o a z e r o o f t h ef u n c t i o n .

S m a l es t u d i e dN e w t o n ' sm e t h o dg l o b a l l y,l o o k i n ga tt h em a p p i n go f t h ee n t i r ec o m p l e xp l a n eo n t o i t s e l fg e n e r a t e db y N e w t o n ' sm e t h o df o ra p a r t i c u l a rp o l y n o m i a l( 1 4 ) .T h ed i s t r i b u t i o no f p o i n tt h a te v e n t u a l l ym a p t o z e r oi s a n e x a m p l eo f a f r a c t a ls e tt h ad i s p l a y sm a n yo f t h e c h a o t i cp r o p e r t i e st y p i c a lo f t u r b u l e nS m a l e sa n a l y s i sa p p l i e dg l o b a li t e r a t i o nt o t h es i m p l e xm e t h o do fs o l v i n gl i n e a rp r o g r a m m i n gp r o b l e m s ,l e a d i n gt o a p r o o fo f t h e

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8/13/2019 Ciencia de Patrones

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e m p i r i c a lf a c tt h a t ,o n a v e r a g e ,t h e s i m p l e xm e t h o db e h a v e sv e r yw e l li n d e e d .H i s m e t h o d sa l s ol e a dd i r e c t l yt on e wm o d e l sf o rc h a o st h a th a v ee x t e n s i v ea p pl i c at i o ns i np h y s i c sa n d c h e m i s t r y( 1 5 ,1 6 ) .

G e o m e t r yI f c o m p u t e r st y p i f yt h em o d e r ne r ao f m a t h e m a t i c s ,g e o m e t r y

e p i t o m i z e si t sc l a s s i c a lr o o t s .H i s t o r i c a l l y,g e o m e t r y ,t h es t u d yo fs p a c e ,h a sb e e n o n e o f t h em a j o rp i l l a r so f c o r em a t h e m a t i c s .F o r

v a r i o u sr e a s o n s ,i t sr o l e i nt h em a t h e m a t i c sc u r r i c u l u m h a s d e c l i n e do v e rt h ep a s t2 0 y e a r s ,s ot h a te v e nt h o s ew i t h u n i v e r s i t yd e g r e e si nm a t h e m a t i c so f t e nh a v el i t t l ea c q u a i n t a n c ew i t hg e o m e t r yb e y o n da na r c h a i ca n d t y p i c a l l yr i g i de n c o u n t e rw i t h E u c l i d e a np r o o f si nh i g hs c h o o lg eo me tr y . I ns h a r pc o n t r a s t t ot h i sc u r r i c u l a rd e c l i n ei s t h er e n a i s s a n c eo f g e o m e t r yi n r e s e a r c hm a t h e m a t i c s .I n a v e r yr e a ls e n s e ,g e o m e t r yi so n c e a g a i np l a y i n ga c e n t r a lr o l eo n t h es t a g eo fm a t h e m a t i c s ,m u c ha si t d i di n t h eG r e e kp e r i o d .

A p r i n c i p a la c t o ri n t h es t u d yi n m o d e r ng e o m e t r yi s a m a n i -f o l d ,a t e r m u s e db y g e o m e t e r st od e s c r i b es u r f a c e sa n ds p a c e st h a ta r el o c a l l yl i k eE u c l i d e a ns p a c e .M a n i f o l d sf o r mt h en a t u r a ll o c u sf o rs o l u t io ns t od i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ,a n d i n t u r nt h e i rg e o m e t r yi m p o s e ss t r u c t u r eo n t h ea n a l y t i cn a t u r eo f t h e s es o l u t i o n s .T h u sm a n i f o l d sa r eo f i m p o r t a n c en o t j u s tt og e o m e t r yb u tt oa l lp a r t so fc l a s s i c a la n a l y s i s .T w o o f t h et h r e e1 9 8 6 F i e l d sM e d a l s - t h e N o b e l p r i z e so fm a t h e m a t i c s - w e n tt o M i c h a e lF r e e d m a no f t h eU n i v e r s i t yo fC a l i f o r n i aa tS a nD i e g oa n dS i m o nD o n a l d s o no f O x f o r dU n i v e r s i t yf o rw o r k i n t h eg e o m e t r yo f f o u r - d i m e n s io n a l m a n i f o l d s( 1 7 ) .F r e e d m a ns h o w e dt h a tt h e P o i n c a r ec o n j e c t u r ec o n c e r n i n gs p h e r e si s t r u ef o rf o u r - d i m e n s i o n a lm a n i f o l d s ,t h e r e b yr e s o l v i n gt h en e x t -t o - l a s tc a s eo f t h i s8 0 - y e a r - o l dc o n j e c t u r e .( O n l yd i m e n s i o nt h r e er e m a i n su n s e t t l e d . )F r e e d m a n ' sm e t h o d ss h o w e dt h a tt h et o p o l o g i -c a lc l a s s i f i c a t i o no f f o u r - d i m e n s i o n a lm a n i f o l d sm i m i c st h ea l g e b r a i cd a s s i f i c a t i o no f q u a d r a t i cf o r m s .

D o n a l d s o nu s e d t h eYa n g - M i l l sf i e l de q u a t i o n so f m a t h e m a t i c a lp h y s i c s ,t h e m s e l v e sg e n e r a l i z a t i o n so f M a x w e l l se q u a t i o n s ,t os t u d yi n s t a n t o n si nf o u r - d i m e n s i o n a ls p a c e ,t h e r e b yr e v e r s i n gt r a d i t i o nb ya p p l y i n gm e t h o d s f r o m p h y s i c st o t h eu n d e r s t a n d i n go f p u r em a t h e m a t i c s .B ye x p l o i t i n gt h o s ep r o p e r t i e so f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n st h a tr e f l e c tt h ew a v e - p a r t i c l ed u a l i t yo f m a t t e r ,D o n a l d s o nw a sa b l et o d e v e l o pa n e n t i r e l ynew a p p r o a c ht o t h es t u d yo f f u n d a m e n t a lp r o b l e m so f g e o m e t r y.

O n ec o n s e q u e n c eo f F r e e d m a n ' sa n d D o n a l d s o n ' sw o r kw a s t h ed i s c o v e r yt h a ti nf o u rd i m e n s i o n st h e r ea r ed i f f e r e n t i a b l em a n i f o l d st h a ta r e t o p o l o g i c a l l yb u t n o t d i f f e r e n t i a b l ye q u i v a l e n tt o t h es t a n d a r dE u c l i d e a nf o u r - d i m e n s i o n a ls p a c e .S u c h e x o t i cs p a c e sa r eu n i q u et o d i m e n s i o nf o u r ,w h i c ha l s oh a p p e n st o b e t h en a t u r a ld o m a i no f t h es p a c e - t i m ec o n t i n u u mo f o u r p h y s i c a lw o r l d .W h e t h -e rt h e s eu n i q u ep r o p e r t i e sa r ea c c i d e n t a lo r s i g n i f i c a n ti ss o m e t h i n gt h a tw i l lr e q u i r em u c hf u r t h e ri n v e s t i g a t i o n .I n d e e d ,t h eg e o m e t r i c a lt h e o r yc r e a t e db y t h i sw o r kh a sa l r e a d yl e dt o a p p l i c a t i o n si ns t r i n gt h e o r y ,t h e r e b y f e e d i n gb a c k i n t op h y s i c ss p i n o f fb e n e f i t so f i d e a so r i g i n a l l yb o r r o w e df r o mp h y s i c s .

C o t p u t e rg r a p h i c s .G e o m e t r ya n d c o m p u t e r si n t e r s e c ti n o n e o ft h em o s t l i v e l ya n d a t t r a c t i v ei n t e r s t i c e so f t h em a t h e m a t i c a ls c i -e n c e s :c o m p u t e rg r a p h i c s .A l t h o u g hm o s t w e l l - k n o w nu s e so fc o m p u t e rg r a p h i c sa r e i n a r e a so f a p p l i e dm a t h e m a t i c s ,v i s u a lt e c h n i q u e sa r em a k i n ga r e a li m p a c ti nt r a d i t i o n a lc o r e m a t h e m a t i c sa sw e l la si n t h et e a c h i n go f m a t h e m a t i c sa t a l ll e v e l s .

To p r o d u c er e a l i s t i cg r a p h i c so n a c o m p u t e rr e q u i r e sc o n s i d e r a b l et i e o r e t i c a li n t e r a c t i o na m o n gg e o m e t r i c a lr e p r e s e n t a t i o n ,a l g e b r a i ce n c o d i n g ,a n d c o m p u t e ra l g o r i t h m s .I nr e t u r n ,c o m p u t e rg r a p h i c sm e t h o d sh a v e p r o v i d e dc ru c ia l a s s i s t a nc ei n m a n ym a t h e m a t i c s

6 I 4

p r o b l e m s :n e wm i n i m a ls u r f a c e sh a v e b e e n f o u n dw i t h t h ea i do fc o m p u t e rg r a p h i c s ,a n d t h ev i s u a ld i s p l a y so f i t e r a t i v em a p s( i nt h ew i d e l yk n o w n f r a c t a lp i c t u r e s )m a k ev i s i b l ep a t t e r n st h a tw o u l dn e v e rh a v e b e e n n o t i c e db y a n a l y t i cm e a n sa l o n e .F r a c t a lp a t t e rh a v e p r o v i d e da n a p t d e s c r i p t i o no f a l a r g ec l a s so f p h y s i cp h e n o m e n a ,r a n g i n gf r o mf r a c t u r i n go f g l a s st o t e x t u re i n s u r( 1 8 - 2 0 ) .

G e o m e t r i cc o m p u t i n gi s b e g i n n i n gt o p r o v ev e r yu s e f u la l s oi nc o r ea r e a so f m a t h e m a t i c sr e m o t e f r o m g e o m e t r y ,b e c a u s es u p ec o m p u t e r sc a n c a l c u l a t ea n dd i s p l a yi nv i s u a lf o r mr o o t so f e q u a t i oa n do t h e rm a t h e m a t i c a lo b j e c t s .T h i s e n a b l e sm a t h e m a t i c i a nf o r t hf i r s tt i m et o s e et h ec o n t e n to f t h ea b s t r a c tt h e o r e m st h e yp r o v ea n d t h e r e b yt o m a k en e wc o n j e c t u r e ss u g g e s t e db y t h ee y er a t h et h a nb y t h em i n d . ( I nr e c o g n i t i o no f t h i snew f r o nt i er , s e v e r a lo f t h ew o r l d s l e a d i n gg eo m et e rs h av er e c e n t l yr e c e i v e df u n d i n gt oe s t a bl i s ha G e o m e t r yS u p e r c o m p u t e rP r o j e c tt oc a r r yo u t r e s e a r c hi nt h i sa r e ai n b o t h t h eU n i t e dS t a t e sa n d E u r o p e . )

A p p l i e dM a t h e m a t i c sA p p l i e dm a t h e m a t i c si sd i s t i n g u i s h e df r o mc o r em a t h e m a t i c sn o t

s om u c hb y c o n t e n to r m e t h o da sb yo b j e c t i v e :i na p p l i e dm a t h e m a ti c s ,v a l u ei sm e a s u r e db y t h ed e g r e et ow h i c hn e wm e t h o d si m p r o v es c i e n t i f i cu n d e r s t a n d i n go r t e c h n o l o g i c a la p p l i c a t i o n s .T h e r o o t so f t h es c i e n t i f i cr e v o l u t i o nl i ei n t h ei n t r o d u c t i ob yG a l i l e oo f e m p i r i c a lm e t h o d st or e p l a c et h es p e c u l a t i v ee x p l a n a to f c l a s s i c a lG r e e kn a t u r a lp h i l o s o p h y .N e w t o ni n t r o d u c e dt h e o r e tc a ls c i e n c eb y s h o w i n gt h a te m p i r i c a ld a t ac a n b ee x p l a i n e db ym a t h e m a t i c a lr e s u l t sd e d u c e df r o mb a s i ca x i o m s .I n o u r t i m e ,J o h nv o nNeumann p i o n e e r e dt h ec o m p u t a t i o n a lp a r a d i g mi nw h i c ht h er e s u l t so f t h e o r e t i c a ls c i e n c ea r eu s e dt os i m u l a t er e a l i t yo n a m o d e r nc o m p u t e r .A s a c o n s e q u e n c e ,c o m p u t a t i o n a lm e t h o d sno w p e r v aa l la s p e c t so f a p p l i e dm a t h e m a t i c s( 2 1 ,2 2 ) .

N e c e s s i t yi s t h em o t h e ro f i n v e n t i o n ,i n m a t h e m a t i c sa s i n l i f eB e c a u s et h en e e d so f s c i e n c es t i m u l a t et h eg r o w t ho f m a t h e m a t ia ss c i e n c ee x p a n d sa n d g r o w ss o d o e sm a t h e m a t i c s .T h e c o n s e q uh a sb e e n a n e x p l o s i v eg r o w t hi n t h en a t u r ea n d r a n g e o f a p p l im a t h e m a t i c s .F o u rv e r yd i f f e r e n ta r e a sw i l ls e r v et o i l l u s t r a t eb o t ht h ed i v e r s i t ya n d t h ei n n o v a t i o no f p r e s e n tr e s e a r c h .

B i o l o g c a ls cws . N o t h i n g b e t t e ri U u s t r a t e st h ep o t e n t i a lf o rm a t h e m a t i c si n t h eb i o l o g i c a ls c i e n c e st h a nt h em a n yt r a c e so fm a t h e m a t i c sb e h i n dt h eN o b e lp r i z e s( 2 3 ) .F o r e x a m p l e ,t h e1 9 7 9N o b e lP r i z ei n m e d i c i n ew a s a w a r d e dt o A l l a nC o r m a c kf o rh i sa p p l i c a t i o no f t h eR a d o nt r a n s f o r m ,a w e l l - k n o w nt e c h n i q u ef r o ma d v a n c e dc l a s s i c a la n a l y s i s ,t o t h ed e v e l o p m e n to f t o m o g r a p h ya n dc o m p u t e r - a s s i s t e dt o m o g r a p h y( C AT )s c a n n e r s .O n eo f t h er e c i pe n t so f t h e1 9 8 5N o b e lP r i z ei nc h e m i s t r yw a sb i o p h y s i c i s tH e r b e r tH a u p t m a n ,w h ot o o k h i sP h . D . i n m a t h e m a t i c sa n d who i s p r e s id e n to f t h eM e d i c a lF o u n d a t i o no f B u f f a l o .H a u p t m a nw a sc i t e df o rf u n d a m e n t a lw o r ki nF o u r i e ra n a l y s i sp e r t a i n i n gt o x - r a yc r y s t a l lr a p h y.

I n d e e d ,r e c e n tr e s e a r c hi n t h em a t h e m a t i c a ls c i e n c e ss u g g e sd r a m a t i c a l l yi n c r e a s e dp o t e n t i a lf o rf u n d a m e n t a la d v a n c e si nt h el i f es c i e n c e sw i t h m e t h o d st h a td e p e n dh e a v i l yo n m a t h e m a t i ca n dc o m p u t e rm o d e l s .S t r u c t u r a lb i o l o g i s t sh a v eb e c o m eg e n e t i ce n g in e e r s ,c a p t u r i n gt h eg e o m e t r yo f c o m p l e xm a c r o m o l e c u l e si ns u p e rc o m p u t e r sa n d t h e ns i m u l a t i n gi n t e r a c t i o nw i t h o t h e rm o l e c u l ei nt h e i rs e a r c hf o rb i o l o g i c a l l ya c t i v ea g e n t s .U s i n gt h e s ec o m p u t a ta l m e t h o d s ,b i o l o g i s t sc a n p o r t r a yo n a c o m p u t e rs c r e e nt h eg e o m e t r yo f a c o l dv i r u s - a n i n t r i c a t ep o l y h e d r a ls h a p eo f u n c o m -m on b e a u t ya n d f a s c i n a t i n gg e o m e t r i cf e a t u r e s - a n d s e a r c hi t ss u r f a c ef o rm o l e c u l a rf o o t h o l d so n w h i c ht o s e c u r et h e i rb i o l o g ia s s a u l t .

SCIENCE VOL. 2 40

8/13/2019 Ciencia de Patrones

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G e n e t i c i s t sa re b e g i n n i n gt h em o n u m e n t a le f f o r tt o map t h ee n t i r eh u m a ngenome a n e n t e r p r i s et h a tr e q u i r e sexper t i s e i n s t a t i s t i c s ,c o m b i n a t o r i c s ,a r t i f i c i a li n t e l l i g e n c e ,a n d d a t am a n a g e m e n t t o org a n i z eb i l l i o n so f b i t so f i n f o r m a t i o nc o m i n g f ro ma l l over t h ew o r l d .E c o l o g i s t s ,t h ef i r s tm a t h e m a t i c a lb i o l o g i s t s ,continue t o u s et h ee x t e n s i v et h e o r i e so f p o p u l a t i o nd y n a m i c st o p r e d i c tt h eb e h a v -i o ra n d i n t e r a c t i o no f s p e c i e s ,t a k i n gi n t oaccount s u c h r e a l i s t i cc o m p l i c a t i o n sa s s e x - s p e c i f i cm o r t a l i t y ,r e p r o d u c t i v eb i o l o g y ,a n dp r e d a t o r - p r e yd a t a .N e u r o l o g i s t snow u s e t h et h e o r y o f g r a p h s t om o d e ln e t w o r k so f nerves in t h eb o d ya n d t h e n e u r a l t an g l ein t h e

b r a i n .A n d , f i n a l l y ,p h y s i o l o g i s t su s e con tempora ry a l g o r i t h m sa p p l i e dt o 1 9 t h - c e n t u r ye q u a t i o n so f f l u i dd y n a m i c st o d e t e r m i n es u c h t h i n g sa s t h ee f f e c t so f t u r b u l e n c ei n t h eb l o o d c a u s e d b ys w o l l e n h e a r tv a l v e so r c l u m p so f c h o l e s t e r o l .

C o m t r o lt h e o r y .One o f t h em o s t w i d e s p r e a duses o f m a t h e m a t i c a lt e c h n i q u e si s i n t h ec o n t r o lo f s y s t e m s ; a p p l i c a t i o n sr a n g e f r o mq u a l i t yc o n t r o lon a n a s s e m b l yl i n et o f l i g h tc o n t r o lo f a h i g h -p e r f o r m a n c ea i r c r a f t .C o n t r o lt h e o r y i sone o f t h emany m a t h e m a t i -c a l p r o d u c t so f W o r l dWa r I I , a n d u n t i lr e c e n t l y i t h a sb e e nd o m i n a t e db y t h eo r i g i n a lp a r a d i g mo f a s i n g l ei n p u t - s i n g l eo u t p u tsys t em t h a tca n b e r e p r e s e n t e dm a t h e m a t i c a l l ya s a s i n g l e - v a l u e df u n c t i o no f o n e v a r i a b l e .S u c h m o d e l s a r e s u f f i c i e n t l ys i m p l et op e r m i ta n e x p e r i e n c e de n g i n e e rt o o p t i m i z esys t em p e r f o r m a n c eb ya d j u s t i n gp a r a m e t e r si n t h em o d e lb y t r i a la n d e r r o r .

H o w e v e r ,t h ea d v e n to f c o m p u t e r - c o n t r o l l e ds y s t e m sh a so p e n e dup a new a n dv e r y c o m p l e xf r o n t i e ro f sy s t ems w i t h many i n p u t sa n dmany o u t p u t s . T h e p r o t o t y p i c a le x a m p l eo f enormous c o m p l e x i t yf o rs u c h s y s t e m si s t h ed e s i g no f v e r y l a r g es c a l ei n t e g r a t e dc i r c u i t s .T h e p r o b l e mo f f i n d i n ge f f i c i e n tc o n t r o ll a w sf o rs u c h s y s t e m s h a sb e e n a p p r o a c h e db y means o f t h eK a l m a nd i g i t a lf i l t e ra n d ,morer e c e n t l y ,b y a n e x t e n s i o no f i n t e r p o l a t i o nt h e o r yt o m a t r i x - v a l u e da n a l y t i c a lf u n c t i o n sa n d t o a f u l lc a l c u l u so f o p e r a t o r s .

One b e n e f i to f t h enew t h e o r i e sh a sb e e nt o i n c r e a s et h ef l e x i b i l i t yo f c o n t r o lsys t em d e s i g n .I n s t e a do f b e i n g r e s t r i c t e dt o t r a d i t i o n a lm e t h o d si n t r o d u c e db y N o r b e r t We i n e r t h a tm i n i m i z e dmeans q u a r e e r r o r , d e s i g n e r sca n c h o o s e ,w i t h t h e s enew s y s t e m s , t ominimize wors t case e r r o r s . S u c ho p t i o n sa r e o f c r u c i a li m p o r t a n c ew h e np r e v e n t i o no f f a i l u r e( f o re x a m p l e ,i nn u c l e a rpower p l a n t so ri n a ir c ra f tc o n t r o l )i so f p r i m a r yi m p o r t a n c e .S u c hb e n e f i t sw i l lcomea s c i r c u i td e s i g ns h i f t sf r o m s c a l a rt o m a t r i xp a t t e r n s , b a s e d onh i g h l ys o p h i s t i c a t e dm a t h e m a t i c a lt h e o r i e so f i n t e r p o l a t i o n .

T h e a v a i l a b i l i t yo f compute r s t o c a r r y ou t c o m p l e xc a l c u l a t i o n sh a so p e n e dup many a d d i t i o n a lf r o n t i e r si n c o n t r o lt h e o r y .F o re x a m p l e ,t h et h e o r e t i c a lb a s i sf o rreconstructng a n o p t i m a ls i g n a lf r o m d i s t o r t e dv e r s i o n sr e c e i v e db y m u l t i p l ed e t e c t o r suses t e c h -n i q u e sf r o m t h et h e o r yo f a n a l y t i cf u n c t i o n si n s ev e r alc o m p l e xv a r i a b l e s .N ew p r o j e c t i v e( K a r m a r k a r - l i k e )a l g o r i t h m sf o rl i n e a rp r o g r a m m i n gh a v e m a d e p o s s i b l ea u t o m a t e dc o n t r o lo f r a p i dp r o c e s s e s ( f o re x a m p l e ,h i g h - p e r f o r m a n c ea i r c r a f t )no t p r e v i o u s l yp o s s i b l e .C e r t a i nn o n l i n e a rc o n t r o lp r o b l e m s ,s u c h a s t h em o t i o no fa n a i r p l a n ew h i l ee n g a g e di ns h o r tl a n d i n ga n d t a k e o f f ,ca n o f t e nb et r a n s f o r m e dv i aL i ea l g e b r a si n t oa l i n e a rf e e d b a c kl a wt h a tca n t h e nb e c o m p u t e dw i t h t h eu s e o f t r a d i t i o n a lm e t h o d st h a ta r e b o t hc o m p u t a t i o n a l l ys t a b l ea n d s u f f i c i e n t l ys i m p l et o c a r r y ou t i n r e a lt i m e .

S t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t n s . T h e l a w so f nature a re e x p r e s s e dm o s t e l o q u e n t l yi nt h el a n g u a g eo f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s .M a x w e l l ' se q u a t i o n sf o re l e c t r o m a g n e t i cf i e l d s ,N e w t o n ' se q u a t i o n sf o rp l a n e -t a r y m o t i o n , a n d N a v i e r - S t o k e se q u a t i o n sf o rf l u i df l o w a r e asa r t i c l e si n n a t u r e sc o n s t i t u t i o n .T h e y express t h e way n a t u r ec h a n g e si n t e rms t h a tm a k ep o s s i b l eb o t h m a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n ds c i e n t i f i c i n v e s t i g a t i o n .

B u t i np r a c t i c e ,t h ed a t aa v a i l a b l et o a s c i e n t i s ta r e never k n o w ne x a c t l y a n d may b e s u b j e c tt o s i g n i f i c a n tr a n d o mv a r i a t i o n s .I n some

2 9 PRIL 1 9 8 8

c a s e s ,k e yv a r i a b l e sa r et o t a l l yu n k n o w no r a r eo b s c u r e db y n o i s e .Ac o m m o nc a s e ,r e p r e s e n t e dm a t h e m a t i c a l l yb y w h a t a r ek n o w na ss t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ,o c c u r sw h e nt h es y s t e mi ss u b j e c tt oe x t e r n a lw h i t en o i s e .Ty p i c a le x a m p l e si n d u d ed i f f u s i o np r o c e s s ei nc o m m u n i c a t i o nt h e o r y ,c h e m i c a lp r o c e s s e s ,s t o c km a r k e ta n a l y s ee p i d e m i o l o g y ,q u e u e i n gt h e o r y ,a n d p o p u l a t i o ng e n e t i c s .

A Ut h e s ee x a m p l e ss h a r ec e r t a i ncommon f e a t u r e s .M o s ti m p o r -t a n t ,l i k ea f a i rc o i nw h o s ep r o b a b i l i t yo f h e a d sd o e s n o t d e p e n do nt h eo u t c o m eo f p r e v i o u st o s s e s ,t h e ya r e p r o c e s s e sw i t h o u t am e m o r yo f t h ep a s t .I n m a t h e m a t i c a lj a r g o n ,t h e ya r ew h a t a r ek n o w na sM a r k o vp r o c e s s e s .I n a d d i t i o n ,t h e ya r es u b j e c tt or a n d o mi n f l u e n c eo f k e y v a r i a b l e s - w h e n c et h es t o c h a s t i cn a t u r eo f t h ep r o b l e m .

S t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r eo n e o f t h ek e ya r e a so fp r o b a b i l i t yt h e o r y .R e c e n tr e s e a r c hh a sy i e l d e di m p o r t a n tl i n k st oo t h e rp a r t so f m a t h e m a t i c s .I n p a r t i c u l a r ,c e r t a i ns t a t i s t i c so f t h es t o c h a s t i cs y s t e m s( f o re x a m p l e ,m e a n e x i tt i m e so f a d i f f u s ip r o c e s s )t u r no u t t ob es o l u t i o n so f o r d i n a r y( n o n s t o c h a s t i c )p a r t i ad i f f e r e n t i a le q u a t i o n s .T h i si n t u r nh a s y i e l de di n t e r e s t i n gi n s i g hl i n k i n gr a n d o mp r o c e s s e si no n e s y s t e mw i t h g e o m e t r ya n d a n a l y si na n o t h e r ,n o t a b l ym a t h e m a t i c a lp h y s i c s .

T h e b e h a v i o ro f t h es o l a rs y s t e mu n d e rt h er a n d o mi n f l u e n c eo fp a s s i n gc o m e t s a n d s t a r si s a n e x a m p l eo f a d y n a m i c a ls y s t e mg o v e r n e db y a s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n .S i n c er a n d o md i s t u rb a n c e sm a yd e s t a b i l i z ed y n a m i c a ls y s t e m s ( e v e ni ft h ed i s t u r b a na r es m a l l ) ,t h ei n v e s t i g a t i o no f s t a b i l i t yi s a m a t t e ro f u tm os ti m p o r t a n c e .O n l yr e c e n t l yh a v e r e s e a r c h e r sb e e n a b l e t od e t e r mc o n d i t i o n su n d e r w h i c ht h et r a j e c t o r i e so f s o l u t i o n st o s t o c h a sf l o w sw i l lc l u s t e ri n s t a b l ep a t t e r n s .[ S o m er e s e a r c h e r st h i n kt h es t o c km a r k e ti s s u b j e c tt o t h es a m et y p e so f i n s t a b i l i t y ,i n w h i c hb e h a v i o r n e a ra s t r a n g ea t t r a c t o rc a n l e a dt os h a r po s c i l l a t i o n st h a ta r ei n h e r e n t l yu n p r e d i c t a b l e( 2 4 ) . ]

P h y i c s .R e c o n c i l i n gq u a n t u mf i e l dt h e o r yw i t h g e n e r a lr e l a t ii t y - t h ep h y s i c so f t h es m a l lw i t h t h ep h y s i c so f t h el a r g e -p e r h a p st h em a j o rt h e o r e t i c a lp r o b l e mi n p h y s i c s .B e c a u s eo f t h ee n o r m o u sd i f f e r e n c ei n s c a l eb e t w e e n g r a v i t a t i o n a le f f e c t sa n dq u a n t u me f f e c t s ,r e a l i s t i ce x p e r i m e n t sa r eo f l i t t l ev a l u ei ns u g g e s ta v e n u e sf o re x p l o r a t i o n .

T h el e a d i n gc u r r e n ta t t e m p ta tr e c o n c i l i a t i o no f m i c r o c o s m i cw i t hm a c r o c o s m i cp h y s i c si s t h et h e o r yo f s t r i n g s ,a c o n s t r u c ti n w h i c ht h ed i m e n s i o n l e s sp o i n t so f f o u r - d i m e n s i o n a ls p a c e - t i m ea r e r e -p l a c e db y t h i ns t r i n g si n t e n d i m e n s i o n s ,w h e r e t h e i n t r i n ss t r u c t u r eo f t h ee x t r ad i m e n s i o n s ,l i k et h a to f w h a twe p e r c e i v et ob e e m p t ys p a c e ,o c c u r sa ta s c a l et o o s m a l lf o ro u r p e r c e p t i o n .P u r s uo f t h i sh y p o t h e s i s( w h i c hc a n p r o b a b l yn e v e r b e t e s t e db y e x p e rm e n t )l e a d sn a t u r a l l yt oh i g h e rd i m e n s i o n a ls y m m e t r i e si nw h i c ha r ee m b e d d e dt h es p e c i a ls y m m e t r i e s ,t h ef u n d a m e n t a li n v a r i a n t so fb o t h m a c r o -a n d m i c r o s c o p i cp h y s i c s( 2 5 ) .

K n o tt h e o r y .F i f t yy e a r sa g o m a t h e m a t i c i a n sd e v e l o p e dt h et h e o ro f o p e r a t o r s ,m o t i v a t e di n p a r tb y t h en e e d t o f i n dm a t h e m am o d e l so f q u a n t u mm e c h a n i c s .O p e r a t o rt h e o r yf l o u r i s h e da s ab r a n c ho f f u n c t i o n a la n a l y s i s ,w h i c hw a s p u r s u e db o t h f o ri t sp u r em a t h e m a t i c a li n t e r e s ta n df o ri t sc o n t i n u e da p p l i c a b i l i t yt o q u a n t u mp h y s i c s .I n r e c e n ty e a r s ,i n v e s t i g a t i o no f new t y p e so f o p e r a t oy i e l d e dn e wm e t h o d so f c l a s s i f i c a t i o nt h a ti n t u r nh a v e l e dt o t h ed i s c o v e r yo f i m p o r t a n tr e l a t i o n sb e t w e e no p e r a t o ra l g e b r a sa n d t h ed a s s i f i c a t i o no f k n o t s ,a v e x i n g l yd i f f i c u l tp r o b l e mt h a th a d p r e vo u s l yd e f i e da l la t t e m p t sa t s o l u t i o n .

T h e k e yt o c l as s if ic a t io no f k n o t si s a s c h e m et o e n c o d ek n o tp a t t e r n si n a l g e b r a i ct e r m ss o t h a ta l g e b r a i cm a n i p u l a t i o nc o r r es p o n d t o p h y s i c a la c t i o n so n t h ek n o t ( 2 6 ,2 7 ) .T h i sm a k e s i tp o s s i b l e ,f o rt h ef i r s tt i m e ,t o d e t e r m i n ew h e t h e ro n e k n o t c a nb et r a n s f o r m e di n t oa n o t h e ro r u n l i n k e dc o m p l e t e l yi n t oa s t r a i g h tl i n eU n d e r l y i n gb o t h t h en e wt y p e so f o p e r a t o r sa n d t h en e wc l a s s i f

ARTICLES 6 W

8/13/2019 Ciencia de Patrones

6/6

t i o no f k n o t si sa n e wa l g e b r a i cs t r u c t u r ew h o s ec h a r a c t e r i s t i c sw e r er e v e a l e db y i t s a p p e a r a n c ei n k n o t g r o u p s ,i n c e r t ai na r e a so fs t a t i s t i c a lm e c h a n i c s ,a n d i ne x a c t l ys o l v a b l em o d e l s .A s h a p p e n ss oo f t e ni nm a t h e m a t i c s ,t h es i g n i f i c a n c eo f t h en e ws t r u c t u r ee m e r g e di n r e c o g n i t i o no f i t su b i q u i t y :t h a tt h es a m ep a t t e r na p p e a r e di ns e v e r a lp l a c e si s p r e c i s e l ywhy t h e t e c h n i q u et a k e so n s p e c i a lp o w e r.

R e c e n t l yb i o l o g i s t ss t u d y i n gt h er e p l i c a t i o no f DN h a v et e a m e du p w i t h m a t h e m a t i c i a n sw o r k i n gi n k n o t t h e o r yb e c a u s eDN i nt h ec e l li sn o r m a l l yc o i l e di n t oa t ig h tk n o t .H o wDN c a n r e p l i c a t ea n d t h e np u l la p a r ti fi t i st i g h t l yk n o t t e di sd i f f i c u l tt oi m a g i n e - l i k et h em a g i c i a n st r i c ko f e f f o r t l e s s l ys e p a r a t i n gt w o i n t e r t w i n e dr o p ek n o t s .F r o mm o t i v a t i o na n d a p p l i c a t i o ni n q u a n t u mm e c h a n i c st h r o u g h e s o t e r i cr e s e a r c hi n p u r e m a t h e m a t i c sa n d t h e nt o t h eu n f o l d i n go f DN i sa n a m a z i n g ,a l b e i tn o t a t y p i c a l ,e x a m p l eo f t h em a n yi n t e r c o n n e c t i o n sa m o n gd i v e r s ep a r t so f m a t h e m a t i c s .

a m o n gs u b d i s c i p l i n e so f m a t h e m a t i c s .B e c a u s eo f c o m p u t e r s ,we s e em o r et h a n e v e rb e f o r et h a tm a t h e -

m a t i c a ld i s c o v e r yi sl i k es c i e n t i f i cd i s c o v e r y .I tb e g i n sw i t ht h es e a r cf o rp a t t e r ni nd a t a - p e r h a p si nn u m b e r s ,b u t o f t e ni ng e o m e t r io ra l g e b r a i cs t r u c t u r e s .G e n e r a l i z a t i o nl e a d st oa b s t r a c t i o n ,t op a t t e ri n t h em i n d . T h e o r i e se m e r g ea sp a t t e r n so f p a t t e r n s ,a n d s i g n ic a n c ei sm e a s u r e db y t h ed e g r e et ow h i c hp a t t e r n si no n ea r e al i n kt op a t t e r n si no t h e ra r e a s .S u b t l ep a t t e r n sw i t h t h eg r e a t e s te x p l a n ap o w e rb e c o m et h ed e e p e s tr e s u l t s ,f o r m i n gt h ef o u n d a t i o nf o re n t i rs u b d i s c i p l i n e s .

Te x a s p h y s i c i s tS t e v e nWe i n b e r g ,e c h o i n gH a r v a r dm a t h e m a t i -c i a nA n d r e wG l e a s o n ,s u g g e s t st h a tt h er e a s o nw h ym a t h e m a t i c sh a st h eu n c a n n ya b i l i t yt o p r o v i d ej u s tt h er i g h tp a t t e m sf o rs c i e n t ii n v e s t i g a t i o nm a yb e b e c a u s et h ep a t t e r n si n v e s t i g a t e db y m a t h e m at i c i a n sa r ea l l t h ep a t t e r n st h e r ea r e ( 2 3 ) .I f p a t t e r n sa r ew h a tm a t h e m a t i c si s a l la b o u t ,t h e nt h e u n r e a s o n a b l ee f f e c t i v e n e so fm a t h e m a t i c sm a yn o t b es ou n r e a s o n a b l ea f t e ra l l .

P a t t e r n sT h e s e e x a m p l e sf r o m contemporary m a t h e m a t i c a ls c i e n c ei l l u s -

t r a t e m e t a p h o r so f t h em a t h e m a t i c a lm e t h o dt h a to r i g i n a t e d3 0 0years a go i nt h eN e w t o n i a ns y n t h e s i s :d a t a ,d e d u c t i o n ,a n do b s e r v a -t i o n .T h e ya l s o r e v e a lt h ee f f e c t so f t h em a j o rf o r c e sf o rc h a n g ei nt h em a t h e m a t i c a ls c i e n c e s :c o m p u t e r s ,a p p l i c a t i o n s ,a n d c r o s s - f e r t i l i z a -t i o n .H u n d r e d so f o t h e re x a m p l e sc o u l d h a v e i l l u s t r a t e dt h es a m ep o i n t s ;t h o s ec h o s e n h e r e a r e n e i t h e rt h ed e e p e s tno r t h em o s ti m p o r t a n t .T h e y d os u g g e s t , h o w e v e r ,t h ev a r i e t ya n d scope o ft o d a y sm a t h e m a t i c s .

M a t h e m a t i c si so f t e nd e f i n e da s t h es c i e n c eo f space a n d n u m b e r ,a s t h ed i s c i p l i n er o o t e d i n geometry a n d a r i t h m e t i c .A l t h o u g ht h ed i v e r s i t yo f m o d e r nm a t h e m a t i c sh a sa l w a y se x c e e d e dt h i s d e f i n i -t i o n ,i t w a s no t u n t i lt h e r e c e n t resonance o f c o m p u t e r s a n dm a t h e m a t i c st h a ta more a p t d e f i n i t i o nb e c a m ef u l l ye v i d e n t .

M a t h e m a t i c si s t h es c i e n c eo f p a t t e r n s . T h e m a t h e m a t i c i a ns e e k sp a t t e r n s i n n u m b e r , i n space i n s c i e n c e ,i n c o m p u t e r s , a n d i ni m a g i n a t i o n .M a t h e m a t i c a lt h e o r i e se x p l a i n t h er e l a t i o n samongp a t t e r n s ; f u n c t i o n sa n d m a p s o p e r a t o r s a n d m o r p h i s m sb i n d o net y p e o f p a t t e r n t o a n o t h e r t o y i e l dl a s t i n gm a t h e m a t i c a ls t r u c t u r e s .A p p l i c a t i o n so f m a t h e m a t i c su s e t h e s ep a t t e r n s t o e x p l a i na n dp re d i c t n a t u r a lp h e n o m e n at h a tf i t t h ep a t t e r n s . P a t t e r n ss u g g e s to t h e rp a t t e r n s , o f t e ny i e l d i n gp a t t e r n s o f p a t t e r n s . I n t h i swaym a t h e m a t i c sf o l l o w si t sown l o g i c ,b e g i n n i n gw i t h p a t t e r n s f r o ms c i e n c ea n dc o m p l e t i n gt h ep o r t r a i tb y a d d i n ga l lp a t t e r n s t h a td e r i v ef r o m t h ei n i t i a lones.

To t h ee x t e n t t h a tm a t h e m a t i c si st h es c i e n c eo f p a t t e m s , compute r s c h a n g eno t s o much t h en a t u r e o f t h ed i s c i p l i n ea s i t s s c a l e :computers ar e t o m a t h e m a t i c sw h a t t e l e s c o p e sa n d m i c r o s c o p e sa r et o s c i e n c e .T h e y h a v e i n c r e a s e db y a m i l l i o n f o l dt h e p o r t f o l i oo fp a t t e m s i n v e s t i g a t e db y m a t h e m a t i c a ls c i e n t i s t s .A s t h i sp o r t f o l i og rows s o d o t h ea p p l i c a t i o n so f m a t h e m a t i c sa n d t h e c r o s s - l i n k a g e s

REFERENCES ND NOTES

1 . G . H . H a r d y, M a t h e m a t i i a n sA p d o l o y( C a m b r i d g eU n i v .P r e s s ,C a m b r i d g e1 9 4 0 ) .

2 . E .P .W i g n e r ,C o m m u n .P u r eA p p i .M a t h . 1 3 ,1 ( 1 9 6 0 ) .3 . R e n e w i n gU . S .M a t h e m a t i c :C r i t i c a lR e u r c f o rt h eF u t u r e ( N a t i o n a lA c a d e m yo f

S c i e n c e s ,Wa s h i n g t o n ,D C , 1 9 8 4 ) .4 . M a t h e m a t i a lS c i e n c e s : U n i f y i n ga n d D y n a m i cR e s o u r c e( N a t i o n a lA c a d e m yo fS c i e n c e s ,Wa s h i n g t o n ,D C , 1 9 8 6 ) .5 . M a t h e m a t c lS a e n c : S o m eR e s e a r cT r e n d s( N a t i o n a lA c a d e m yo f S c i e n c

Wa s h i n g t o n ,D C , 1 9 8 8 ) .6 . G . K o l a t a ,S i e n c2 2 5 , 1 5 6 ( 1 9 8 4 ) .7 . T .Ty m o c s z k o , J .P h i l o s .7 6 ,5 7 ( 1 9 7 9 ) .8 . E .K i t c h e r ,T h eN a t u r eo f M a e m a t i c a lK n o w l d g e( O x f o r dU n i v .P r e s s ,Ncw Yo r k

1 9 8 3 ) .9 . L .d e B r a n g e s ,i nP r o c e d i n g so ft h eI n t e n a t i o a C o G r e o fM a t b e m a t i a m ,1 9 8 6

A .G l e a s o n ,E d .( A m e r i c a nM a t h e m a t i c a lS o c i c t y ,P r o v i d e n c e ,R I ,1 9 8 8 ) ,p p .2 5 -4 2 .

1 0 .W. H . L e n s t r a ,J r . ,i b i d . ,p p .9 9 - 1 2 0 .1 1 .S .L a n d a u ,N o t .Am. M a t h .S o c .3 4 ,3 ( 1 9 8 7 ) .1 2 .D . H a r r i s ,i b i d .3 3 ,4 4 3 ( 1 9 8 6 ) .1 3 .A . S c h 6 n h a g e ,i nP r o e e d i n so ft h eI n t e r n a t i o nC o n g r so f M a t h e m a i c i a1 9 8 6

A . G l e a s o n ,E d . ( A m e r i c a n M a t h e m a t i c a lS o c i c t y,P r o v i d e nc e , R I ,1 9 8 8 ) ,p p .1 3 1 - 1 5 3 .

1 4 .S .S m a l e ,i b i d . ,p p .1 7 2 - 1 9 5 .1 5 .J . G l e i k ,C h a o s( V i k i n g ,N ew Yo r k ,1 9 8 7 ) .

1 6 .C .G r e b o g i ,E .O t t ,J . A . Yo r k e ,Sdec 2 3 8 , 6 3 2 ( 1 9 8 7 ) .1 7 .S . K . D o n a l d s o n ,i n P r c d i n g s o ft h cI n t e r t i n a l C o n g r eo fM a t h e m a t i1 9 8 6 ,A .G k a s o n ,E d . ( A m e r i c a nM a t h e m a t i c a lS o c i c t y ,P r o v i d e n c e ,R I ,1 9 8 8p p .4 3 - 5 4 .

1 8 .M . L a B r e c q u e ,M o s a i c( Wa s h i n g t o n )1 6 ( n o .1 ) ( s p r i n g1 9 8 5 ) .1 9 .___ i b i d .1 7 ( n o .4 ) ( w i n t e r1 9 8 6 - 1 9 8 7 ) ;i b i d .1 8 ( n o .1 ) ( s p r i n g1 9 8 7 ) .2 0 .I . P e t e r s o n ,S c i .N c w s1 3 1 ,2 8 3 ( 1 9 8 7 ) .2 1 .W .C R h e i n b o l d t ,F u t u r eDireis i nC o o m p u t a t i o n l M a t e m a t i cA o r i h m s ,a n d

S c i n t i M cS o f t w a r e( S o c i e ty f o rI n d u s t r i a la n d A p p l i e dM a t h e m a t i c s ,P h i l a d e l p1 9 8 5 ) .

2 2 .T A .H e p p e n h e i m e r ,M o s a i c( W a s h i n g t o n )1 6 ( n o .3 ) ( 1 9 8 6 ) .2 3 .N o t .Am. M a t h .S o c .3 3 ,7 1 6 ( 1 9 8 6 ) .2 4 .M . M . Wa l d r o p ,S c i e n x c2 3 8 , 6 0 2 ( 1 9 8 7 ) .2 5 .E .W i t t e n ,i nProeeis o ft h cI n t e a i o n a Cges o f M a t h e m a t i c i a n s1 9 8 6 ,A .

G l e a s o n ,E d . ( A m e r i c a nM a t h e m a t i c a lS o c i c t y,P r o v i d e n c e ,R I ,1 9 8 8 ) ,p p .2 6 7 -3 0 3 .

2 6 .G . K o l a t a ,S c i e n c2 3 1 , 1 5 0 6( 1 9 8 6 ) .2 7 .V . F . R . J o n e s ,N o t .Am. M a t h .S o c .3 3 ,2 1 9 ( 1 9 8 6 ) .

S C I E N C E ,VOL. 2 40I 6