Capitulo 17 - Las Series de Fourier

5/11/2018 Capitulo 17 - Las Series de Fourier

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Las se ries d e 'Fou rie rLa mejor que le puedes ofrecer a tu enemigo es el perdon; a un oponente, to-lerancia; a un amigo, tu corazon: a tu hijo, un buen ejemplo; a tu padre, de-ferencia; a tu madre, una conducta que fa haga sentirse orgullosa de ti; a timism0, respeto; a los demds, caridad.

-Arthur J. Balfour

C rite r ia A BET EC 2000 (3.k), ..una habilidad para utillzar tecn;cas,destrezas y he"amientas modernas de la ingenieria necesenep ara /a p rac tica d e 1 8 ingenieria". Fotografia de Charles AlexanderEl ingeniero exitoso debe tener Ia "habilidad para utilizar tecnicas, destrezas yherramientas modemas de la ingenierfa necesarias para la practica profesional".Es claro que el principal enfoque de este texto es hacer exactamente e to. EIaprendizaje del uso habilidoso de las herramientas que faciliten su trabajo en un"ambiente de disefio integrado para Ia obtencion de conocimiento" (KCIDE), esfundamental para su desempeno como ingeniero, La habilidad para. trabajaren un ambiente KCIDE modemo requiere una comprensi6n a fonda de las he-rramientas asociadas con ese ambiente,

Par 10 tanto, el ingeniero exitoso debe mantenerse al tanto de las nuevasherramientas de disefio, analisis y simulacion. Ese ingeniero debe tambien uti-lizar esas herramientas hasta que se sienta a gusto al utilizarlas. Tarnbien debeasegurarse de que los resultados de software sean cansistentes can la realidadactual. Esta area probablemente sea con la que mas dificultades tienen los in-genieros. Par 10 tanto, el uso exitoso de estas herramientas requiere un constan-te aprendizaje, asi coma un repaso de los fundamentos del area en la que elingeniero esta trabajando.

Me jo r e 514$ hab iUdades y sucerreraC rite ria AB ET EC 2000 (3.j), "un conocimiento de lo s problemascontemporaneos" .Los ingenieros deben conocer los problemas contemporaneos. Para tener unacarrera que este en 'verdad llena de significado en el siglo veintiuno, se debetener conocimiento de los problemas conternporaneos, en especial, aquellosque afectan de, manera directa su profesion y/ o trabajo. Una de las manerasmas faciles de lograr esto es leyendo mucho: periodicos, revistas y libros con-temporaneos. Como estudiantes in critos en un programa acreditada parABET. algunos de los cursos que sc tomen estaran enfocados a cumplir estecriteria.

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756 Capitulo 17 Lasseriesde Fourier

Je an Ba ptis te Jo se ph F ou rie r (1768-1830), matematico frances, presento porprimera vez las series y transformada que llevan su nombre. Los resultados deFourier no se recibieron con entusiasmo en el mundo cientffico. Incluso no pu-do publicar su trabajo como un articulo.Nacido en Auxerre, Francia, Fourier quedo huerfano a Ia edad de 8 aiios.Asistio a un colegio militar local que dirigfan monjes benedictinos, dondedemostr6 gran habilidad para las maternaticas. AI igual que muchos de suscontemporaneos, Fourier fue arrastrado par la polftica de la RevolucionFrancesa. Desempeii6 un importante papel en las expediciones de Napole6na Egipto a finales de la decada de 1790. Debido a sus inclinaciones politicas,en dos ocasiones estuvo a punto de perder la vida.

~ . In tr od ucc i6nSe ha dedicado un tiempo considerable al analisis de circuitos can fuentessenoidales. Este capitulo tiene que ver con medios para analizar circuitos conexcitaciones periodicas no senoidales. La nocion de funciones periodicas epresento en el capftulo 9 donde se menciono que la senoide es la funcion pe-riodica m as simple y util. Este capitulo presenta las series de Fourier, unatecnica para expresar una funcion peri6dica en terminos de senoide . Una vezque la excitacion de 1a fueote se expresa en terminos de senoide , es posibleaplicar e1 metodo fasorial para analizar circuitos.

Las series de Fourier reciben su nombre en honor a Jean Baptise JosephFourier (1768-1830), En 1822, eI genic de Fourier Ueg6 a la conclusion deque cualquier funcion periodica practica puede representarse como una sumade senoides. Tal representaci6n, junto con el teorema de supereposici6n per-mite encontrar la respuesta de circuitos a entradas peri6dicas arbitrarias utili-zando tecnicas fasoriales,

Se empezara con las series trigonornetricas de Fourier y despues con laseries exponenciales de Fourier. Se aplican luego las series de Fourier a1ana-lisis de circuitos y, por ultimo, se demuestran las aplicaciones practicas de lasseries de Fourier en analizadores de espectros y :filtros.

17lJ. Se r i e s trlgonornetrices d e F o u r ie rMientras estudiaba el flujo de calor, Fourier descubrio que una funcion perio-dica no senoidal puede expresarse como una suma infinita de funciones se-noidales, Recuerdese que una funcion periodica es aquella que se repite cadaT segundos, en otras paiabras, una funci6n f(t) satisface

J(t) =. r ( t + nT) (17.1)donde n es un entero y T es el periodo de la funcion,


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17.2 Series t r igonornetrlcas d e F our ie r

De aeuerdo con el teorema de Fourier, toda funci6n peri6dica practica defrecuencia w() puede expresarse como una suma infinita de funciones seno 0coseno que son multiples enteros de Woo Por lo tanto J(t) puede expresarsecomo

J(t) = ao + a) coswot + hi seowo! + a2 cos 2Wo l+ h2 sen 2wot + U3 cos 3wot + h) sen 3wot + ... (17.2)o sea

de(17.3)et ) = ao + 2: (a" cos nWot + b. ; sen nwot)__.., n= 1~ - - - - - - - - ~ - - - - - - - - ~ac

dondece., = 2 n,/T se llama 1a frecuencia fundamental en radi anes par se-gundo. Las senoides sen nWot a cos nWot se llaman las arm6nicas n-esimasde J(t); esta es una arrnonica impar si n es impar y es una arrnonica par sin es par. La ecuacion 17.3 recibe el nombre de serie trigonometrica de Fourierde f(t). Las constantes an y btl son los coeficientes de Fourier. EI coeficien-te ao es la componente de cd 0 el valor promedio de f(t). (Recucrdcse quelas senoides tienen valores prornedio cero.) Los cocficientes an y btl (paran * ' 0) son las amplitudes de las senoides en 1a componenLe de ca. Par 1 0tanto,

Las series d e fouri"er de un'a fu nd 6n p er .i6 dic :o . f(t) ConstltllIyen.una: represen~tad6n qu e descornpone a f(t) en una c omPQn erite d e. c dy u n a coraponente .de c a r la s cueles.eoercen u n a serie i n f 1 r l ! t a de senoic es arm6nicas.

Una funci6n que pueda representarse mediante una serie de Fourier co-mo en 1a ecuaci6n (17.3), debe cumplir ciertos requerimientos, debido a quela serie infinita de la ecuaci6n (17,3) puede 0 no convergir, Estas condicionessobre f(t) para producir una serie de Fourier convergente son:

I. J(t) tiene un solo valor en cualquier punto.2. J(t) tiene un rnimero finite de discontinuidades finitas en cualquier periodo.3. J(t) tiene un nrimero finito de maxim os y rninimos en cualquier periodo.

lo+T4. La integral f [ J(t) [dt < 'J)para cualquier to

r"

Estas condiciones se denominan condiciones de Dirichlet. Aunque no son con-diciones necesarias, son suficientes para que exista una serie de Fourier.Una tarea fundamental en las series de Fourier es la determinacion de

los coeficientes de Fourier ~), an y b". El proceso para determiner los coefi-cientes se denomina andlisis de Fourier. La siguientes integrales trigonome-

15 7

I La f re cuenc ia a rm6ni ca Wn es un m ultip le entero de fa frecuenciafundamental wo, e sto e s, Wn = nwo .

INota histonce. A peser de ....e-:.o.re:

publico su teore rna ell 1822 ~.. G~.Di ri ch le t ( 1805-1859) uer : ;o: '-zcdespues una prueba OCP!'1!301e oeteorema.

I Un paquete de so'. 'CrZ COlICMathcad 0N1ap e oceoe :z:crse paraev alua r lo s c oe fi c e:-. .zs oe -er.


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758 Capftulo 17 Lasseriesde Fourier

tricas son muy iitiles en el analisis de Fourier. Para cualquiera de los ente-ro s In Y n.

I T se n nWot dt =0o

(17.4a)

I T cos nWot dt =0o

(17.4b)

TI sen nWo t cos mwnt dt = 0o

(l7.4c)

I T se n nWo t sen mWo t dt = 0,o

(m * - n) (17.4d)

I T cos nWo t cos fnWol dt = 0,u

(m * - n) (17.4e)

I T Tse n2 nWot dt = -o 2 (17.4f)I T Tcos2 nWo t dt =-o 2

Estas identidades se usan para evaluar los coeficientes de Fourier.Se cornienza determinando ao Se integran ambo lados de la ecuaci6n

(17.3) sobre un periodo y se obtiene

(17.4g)

I T f(t) dt = i T [ao + f (an cos nWo t + b. ; sen moot)] dto 0 n=11 TI ao dt + ~ lI a. , cos nWot dto 11=1 0 (17.5)

+ I T bl1 sen nWot dt] dtoApelando a las identidades de las ecuaciones (17.4a) y (17.4b), se anulan lasdos integrales que involucran a los terminos de ca. Por consiguiente,

o sea

Tao = ~ { f(t) dt (17.6)

10 que demuestra que an es el valor promedio de f(t).


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17.2 Seriestngonometricas de Fourier 759

Para evaluar a , , , se multiplican ambos lados de la ecuacion 07.3) porcos mWo l y se integra sobre un periodo:

iT J(t) cos mWo t dto

I T [ a o + ( a l l cos nwot + b"sennwot)] cos mwotd to ,,=1TooT

= I ao cos mWo t dt + 2: [ I Qn cos nWo t cos mWo t dto n=l 0

+ i T b" sen nWo t cos / tU J : )o t " . dtoLa integral que contiene ao es cero en vista de la ecuacion (17 Ab), mientrasque la integral que incluye a bn se anula de acuerdo can la ecuacion (l7Ac).La integral que contiene a an sera cero salvo cuando m = = n, en cuyo caso es-ta es T12, de acuerdo con las ecuaciones (17Ae) y (n.4g). Por 1 0 tanto,

(17.7)

1"I J(t) cos mWo t dt = a"I,o 2 param = no sea

2 I Tan = - J e t ) cos nWo t dtT 0 (17.8)De modo similar, se obtiene bn multiplicando ambos lados de la ecuaci6n

(17.3) por sen m W o t y se integra sabre el periodo. El resultado es

2 f Tb; =- J(t) sen nWo t dtT 0

(17.9)

Tomando en cuenta que fit) es periodica, quiza sea masconveniente efectuarlas integraciones anteriores desde - TI2 hasta T12, a generalmente desde tohasta to + T en lugar de hacerlo desde 0 hasta T EI resultado sera el mismo.

Una forma altema de la ecuacion (17.3) es la de amplitud-fase00

(17.10)(t ) = ao + 2 : A n c os(n wo t + c p , , )n=l

Es posible emplear las ecuaciones (9.11) y (9.12) para relacionar la ecuaci6n(17.3) con la (17.10), 0 es viable aplicar la identidad trigonometrica

cas(O' + 1 3 ) = coso co 1 3 - sena senf3a los terminos de ca en Ia ecuacion (17.1O), de modo que

(17.11)

Q o + 2 : An cos(nwot + 1;,,) = ao +L (A n cos r p , , ) cos nWo t'1=1 n=1

- (Arl sen c P , , ) sen nWol(17.12)


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l EI espectro de frecuencia tam bien seconoce com o espectro de oeaes envista de los componentes discretosde f re c uenci a. T A I J I :. A : '1 ' 1 ." 1 : :

Valores de las funcionescoseno, seno y exponencialpara multiples integrales de 7T.Funci6n Valorcos 2n7T 1s e n 2n7T os r i 7 T (-I)"s e n 1 1 7 T 0

n7 T { (~ 1 )" /2 , n . = parcos-2 0, n = imparn7 T { ( _ 1)(tl-l)/2, n ;;;;itnparsen-2 0, /I ;;;;pare j211 'Tr 1eim,. (-1)"

ei" 7 T / 2 {( _1)"/2, n = parj( _l/n-O!2, n = impar

Cepttulo 17 Lasseriesde Fourier

La igualacion de los coeficientes de los desarrollos de las series en las ecua-ciones (17.3) y (17.12) muestra que

(17.133)o sea

A t! = Ya~+ b~ , C17.13b)I

Para evitar cualquier confusion en la determinaci6n de Il' quiza resulte me-jor relacionar los terrninos en forma compleja como

(17.14)La conveniencia de est.a relaci6n resultara evidente en 1a secci6n 17.6. La gra-fica de la amplitud An de las armonicas, en comparacion can nwo se conocecomo el espectro de amplitud de J C t ) ; la grafica de la fasecf;" en comparaci6ncon IUno constituye el espectro de fase de J(t). Tanto los espectros de arnpli-tud como de fase forman el espectro de Jrecuencia de J(t).

; x. : ,E r, 'espec : t; ro de .f recu~nc ia~dep(1a ' s e n a L c on sis te e l1 '1 9s 9 f a f i s : a ~ < ; I e ta sampli~ ,' . t q ~ e s - : Y de las fuses de S\:Js.armonicas;en c;omparacion O O R I fGftequeqda,Por 10 tanto, el analisis de Fourier constituye tarnbien una herramienta mate-matica para determinar el espectro de una serial periodica. La seccion 17.6ofree era may ores detalles aeerca del espectro de una sefial.

Para evaluar los coeficientes de Fourier ao all Y b n > much as veces es ne-cesario aplicar las integrales siguientes:

f cos at dt =~sen ata (17.15a)f sen at dt = -cos at (17.1Sb)f 1 1t cos at dt = - cos at + - t sen ata2 af 1 Jt sen at dt ~ -sen at - = t cos ata2 a

(17.1Sc)

(17.1Sd)Tambien es iitil conocer los valores de las funciones coseno, seno y exponen-cial para multiples enteros de 7T. Estes se presentan en Ia tabla 17.1, donde rIes un entero.

EJemplo1'7.1

1 ( ' : 1 D-2 21 oFigura 17.1Para el cjemplo 17.1; una onda cuadrada.

Determine las series de Fourier de Ia forma de onda que se mue tra en 1a fi-gura 17.1. Obtenga los espectros de ampli tud y de fase.

Soluci6n:La serie de Fourier la da la ecuaci6n (17 .3), a saber,3 1 00J(t) ;;: Go + ~ (a" cos nWot + b. ; sen nwot)

,,=1(17.1.1)


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17.2 Seriestrigonometricas de Fourier

La meta es obtener los coeficientes de Fourier a o , all Y b'l utilizando las ecua-ciones (17.6), (17.8) Y (17.9). Primero, se describe la forma de onda como,

{l, 0 < t < 1fer) = 0, I < t < 2 (17.1.2)y fet) = f(t + T). Puesto que T = 2, Wo =27r I T = -t t . Por 1 0 tanto,

I I T 1 [ I I J 2 ] 1 I I Ian = - !(t) dt = - I dt + 0 dt = - t = 2To 20 I 20Utilizando la ecuacion (17.8) junto con la ecuacion (17. J Sa),2 i Tan =- J e t ) cos nwo t dtT 0

~ % [ r 1 co s n-trt dt + r 0 co s natt dt(17.1.3)

(17.1.4)

1 1 1 J= -sennmt = -senn-rr = 0n-rr 0 n7rDe acuerdo can la ecuaci6n (J7 .9) y con la ayuda de la ecuacion (17 .ISb),

2 i Tbn =~ 0 J(t) sen nWo t dt~ % [ r 1 sen nart dt + r 0 sen n7T' dt 1

1 1 1= --cos n-irtn 7 T 0 (17.1.5)1= - -(cos 1 1 .7 T - 1),n-rr cos nat =(-1)"

{21 11-'=-[1-(-1)]= nirn-rr 0,

n = imparn = par

La sustitucion de los coeficientes de Fourier en las ecuaciones (17.1.3) a Ia(17.1.5) en la ecuacion (17 .1.1) produce la serie de Fourier como

1 2 2 2f(t) =- + -sen7Tt + -sen 31Tt + -sen 5-rrt + ...2 -tr 3 7 T 5-rr (17.1 .6)Puesto que f(t) contieneunicarnente la componente de cd, junto can los ter-minos seno con la componente fundamental y las armonicas irnpares, estapuede escribirse como

I 2 0 0 1f(t) =- + - 2: -sen n-tt t,2 tr k=1 nAI su m arlo s terrn in os u no por uno como se demuestra en la figura 17.2, se

observa como las superposiciones de los terminos evolucionan hacia eJ cuadra-do original. A medida que se afiaden m as y mas componentes de Fourier, lasuma se acerca mas y m as a la onda cuadrada. Sin embargo, en la practica noes posible sumar las series en las ecuaciones (17.1.6) 0 (17.1.7) hasta el infi-nita. S610 es posible tina suma parcial (n = 1,2, 3, ... , N, donde N es finita).Si se grafica la suma parcial (0 la serie truncada) en un periodo para una N

n =2k - 1 (17.1.7)

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Componente cd

Cornponente fundamental cua)

Suma de las primeras dosc om p o n er ue s d e ca

Surna de las primeras trescornponentes de ca

Suma de las primeras cuatrocomponentes de ca

Sarna de las prirneras cincocornponentes de ca

b )F i gu r a 1 7.2Evoluci6n de una onda cuadrada a partirde sus componentes de Fourier.

La s um a de los terrninos de Fourierm edian te el calcuto manual qUiZBresulte tedioso. Una computadora esu ti l p a ra c al cu la r los terrninos y gra-G'T

. la suma como en los casas que sei m uestra n e n la flgura 17.2.


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1 No ta h is t6 r ica : Se Ie dio este nombrei en .h.on.oral ffsico JosiahWillard Gibbs, quien lo observo par primera vez en'. 1899. .

0 .5

27T "

o 1 1 " 2 1 1 " 3 1 1 " 4 1 1 " , 5 1 1 " 6 1 1 "a )

1 1 " 2 1 7 " 3 1 T 4 1 7 " 5 1 T 6 1 7 "

b)F ig ur a 1 7.4Para el ejemplo 17.1: a) espectro de am-plitud y b) espectro de fase de 1'1funcionq ue se rn uestra en la fig ure " 1 7 . 1 .

F ig u ra 1 7.5Para el problema de practica 17.1.

Capitulo 17 Lasseriesde Fourier

(r)

oF ig ur a 1 7.3Truncamiento de la serie de Fourier enN = 1l ; f enomeno de Gibbs.

grande como en la figure 17.3, se observa que la surna parcial oscila par arri-ba y abajo del valor real de !(t), En Ia vecindad de los puntos de discontinuidad(x = 0, 1, 2, . .. ), existe un sobretiro y una oscilacion amortiguada. De heche,un sobretiro de aproximadamente 9% del valor pico siempre esta presente, in-'dependientemente del mimero de terminos utilizados para aproximar J(t}. Loanterior recibe el nombre de fenomeno de Gibbs.Por ultimo, se obtienen los espectros de amplitud y de fase para la sefialde Ia figura 17.1. Puesto que an ."",0,

An = Va~+ b~ = I b n l ={:,nt,10 ,

n = impar (17.1.8)n . =par

y,,", -1b". { ~ 9 0 C ,'f' = - tan - =n an 0, n = irnparn = par (17.1.9')

La s g ra fi ca s de A" Y r P n p ara valo res diferen tes de nwo = nsr p ro po rc io na n lo sespectros de amplitud y de fase de la figura 17.4. Observese que las amplitu-des de las armonicas decaen muy rapido can la frecuencia.

Encuentre la serie de Fourier de la onda cuadrada de la figura 17.5. Grafiquelos espectros de amplitud y de fase,

4 >0 1R.espues ta : f(t) =- 2 : -sen nstt, n = 2k - 1. Veanse los espeetros en la7T k= 1 nfigura 17.6.

47f

o 1 1 " 2 1 1 " 3 " 7 T 4 1 1 " 5 1 1 " 6 ' 1 T Wa) b)

i F igura 17.6Para: el problema de practica 17.1: espectros de amplitnd y de fase para: la funcionque se rnuestra en la figure 17.5.


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17.2 Seriestrigonometricas de Fourier

Obtenga la serie de Fourier de la funci6n periodica de la figura 17.7 y grafi-que los espectros de amplitud y de fase ..Soluc ion :La funci6n se describe como

{t O n =Q" - jb; = 0 +i:-n 7 T (17.2.4)De aqui que,

1An = Iblll = -, n = 2, 4 , .... n7T4 > n = 90, n = 2,4, ...

(17.2.5)

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EjempJ.o 17.2f ( < ) L 1/11 .-2 -1 0

F i g u r a 17.7Para el ejemplo l7.2. /1.2 3 t


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164

0.250.16

o '1 1 " 2 '1 1 " 3 '1 1 " 4 '1 1 " 5 '1 1 " 6 '1 1 " taa)

< P2700 -

2 3 7 . 8 262.7"

90 90"

( ) 7 T 2 7 T 3 ' 1 F 4 7 T 5 1 1 " 6 7 T Wb)

iFigura 17.BPara el ejemplo 17.2: a) espectro de am-plitud, b) espectro de fase,

,~.2 -1 0 2 3 IFigura 17.9Para el problema de pracrica l7.2.


Para las arrnonicas irnpares, an = -2/(n21r2), b" = l / (n1T) de manera~e \(17.2.6)2 1A,/cp" =an - )bn =-22"- i:':... n 7r n T f "

Esto es,4 1

n4"l74 + n2 '1T2 (17.2.7)n = 1,3, ....

De Ia ecuaci6n (17.2.6), observese que c p se encuentra en el tercer cuadrante,por 1 0 que

o _ln1 TC P n =180 + tan 2' n = 1,3, .... (17.2.S)De acuerdo con las ecuaciones (17.2.5), (17.2.7) Y (17..2.8), se graflcan A, Y npara diferentes valores de nwo = ns: a fin de obtener el espectro de amplitud yel de fase, como se muestra en la figura 17.8.

Determine la serie de Fourier de la forma de onda de diente de sierra de 1afigura 17.9 .

L 1 00 1Respuesta: f(t) = - 2 - ;: 2: ~sen 2"l7nt.n"" i

Consideraciones de simetriaObservese que la serie de Fourier del ejemplo 17..1 contenfa tinicamente losterminos del sene, Quiza se sorprenda si supiera que existe un metoda por me-dia del cual es posible canocer can anticipacion que algunos de los coeficien-tes de Fourier sedan cera y evitar as! el trabajo innecesario en el proceso decalcularlos. Existe un metoda can tales caracterfsticas; se basa en reconocer laexistencia de 1 a simetrfa. Aquf se analizaran tres tipos de simetrfa: (1) simetrfapar, (2) simetna impar, (3) simetna de media onda.

17.3.11 S imetria parUna funci6n f(t) es par si su grafica es simetrica con respecto a1 eje vertical;esto es,

f(t) =f( -t) (17.16)


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17.3 Consideraciones de simetria

Ejemplos de funciones pares son P, t4 y cos t. La tigura 17.10 pre enta masejernplos de funciones pares periodicas, Observese que cada uno de estosejemplos satisface Ia ecuaci6n (17.16). Una propiedad principal de cualquierfunci6n para fe(t) es que:

J TI2 1 1 / 2fit) dt = 2 fit) dt-T12 0 (17.17)

debido a que integrar desde -T12 hasta 0 es 10 mismo que hacerlo desde 0hasta T12. Recurriendo a esta propiedad, los coeficientes de Fourier para unafunci6n par se convierten en

b; =0

(17.18)

2 J T I2ao = - f(t) dtT 04 ( T 1 2an = T L f(t) cos nWot dto

Puesto que btl = 0, la ecuaci6n (17.3) se vuelve una serie d e cosenos d eFourier. Esto tiene sentido debido a que la misrna funcion coseno es par.Tambien tiene, sentidq intuitive que una funci6n par no contenga terminosseno, ya que la funcion seno es irnpar.

Para confirmar de manera cuantitativa la ecuacion (17.18), aplfquese en Iaecuaei6n (17.17) la propiedad de una funcion par para evaluar los coeficientesde Fourier en las ecuaciones (17.6) (17.8) y (17.9). Es conveniente en cadacaso integrar sobre el intervale - T /2 < t < T /2, que es sirnetrico en tomeal origen. De tal modo,

Q O = _ ! _ f T I2 f(t) de = _ ! _ [ f O f(t) dt + I T I 2 f(t) dt]T - T 1 2 T =rr: 0

Se cambian variables para 1a integral sobre el intervalo -T12 < t < 0 ponien-do t = -x, por 10 que dt = -d.x,/(t) = f( -t) = f(x), puesto que fet) es unafunci6n par, y cuando t = - T/2, x = TI2. Entonces,

(17.19)

1 [ f O (T 1 2 Jao =- f(x)( =dx) + J f(t) dtT 1 ' / 2 01 [ (12 1 1 ' / 2 J= T J o I(x) dx + f(t) dt

(17.20)

10 que muestra que las dos integrales son identicas. En consecuencia,2 1 1 ' 1 2ao = - . f(t) dtT 0 (17.21)

como se esperaba. De manera similar, segiin la ecuaci6n (17.8),2 [ f O 1 T / 2 ]Qn =- fet) cos nWo t dt + f(t)cos nWo l dtT - T / 2 0 (17.22)

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fer)

a)

n g 1 f I n ~-T 0 T t

IJ )

~.27T -ar 0 7T 2 1 Tc)Figura 11.10Ejemplos cornunes de tuncionesperiodicas pares.


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f(t)

a)

g(/)

b )

c)Figura 17.11Ejemplos comunes de funcionesp e ri od ic a s i rn p ar es ,

Cspltulo 17 Lasseriesde Fourier

Se realiza el rnismo cambio de variable que condujo a Ia ecuacion (17.20)'",.se observa que tanto f(t) como cos nWo t son funciones pares, 10 que implicaque f(- t) = f(t) y cosC - nwot) = cos nWot. La ecuacien (17.22) se vuelve

2 [ 1 , I TI2 'J 'an=- , f( - x) cost -nwox)( -cix) + f(t) co s nWot dtT 1 ' / 2 02 [ ( 0 1 1 ' 1 2 ]=- J f(x) cos(nwox)( - cb:) +. J(t) cos nWot citT. T!2

II\" ' "[ f T 1 2 . f T/Z ]= T 0 I(x) cos(nwoX) dx + 0 J(t) cos Iuoot dt(17.23a)

o sea4 1 T / 2all =- J e t ) cos nWo t dtT Q

(17.23b)

como se esperaba. Para bm se aplica la ecuaci6n (17.9),2 ,[ f O , ( T i l Jbt l =-:-' J(t) se n nwot dt + J f(t) sen nWat dt ,T -7'/2 .0

S e realiz a el m isrno cam b io de variable, manque recuerdese que fe - t) = f(t),pero sen(-nwot) = - sen nWot. La ecuaci6n (17.24) produce

(17.24)

2 [ ( 0 , .r- ]n =T J f( - x) sene -nwox)( -dx) + 1 f(t) se n nWQtdtn2 0

= 3 : . [ r f(x) sen n.woxdx + I TI2f(t) sen nwo t dt ]T Z Y l Q

=~ [ - f TI2f(x)sen(nWQX) d x + f TI2f(t) sen nWot e l t ]o 0=0 (17 .25)

10 que confirma la ecuacion (17.18).

1:7.3.2 slmetrte imparSe dice que una funcion fit) es impar si su grafica es antisimetrica can res-pecto al eje vertical.

f(-t) := ~f(t) (17.2,6)

Ejemplos de funciones imp ares son t, t3 y sen t. La figura 17.1I muestra m asejernplos de funciones impares periodicas. Todos enos satisfacen Ia ecuaeion(17.26),. Una funcion impar lo(t) tiene esta caracteristica principal:

T i lf fa(t) dt = 0-T12

(17.27)


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17.3 Consideraciones de simetria 767

debido a que la integracion desde -T12 basta 0 es la negativa de aquella deO basta T12. Con esta p opiedad, los coeficientes de Fourier para una funci6nimpar se vuelven

ao = 0, an =: 04 (T/2b; = T L f(t) se n nWo t dt

o(17.28)

que da una serie de senos de Fourier. Tarnbien esto tiene sentido debido a que1a misma funci6n seno es impar, Ademas, observese que no hay termino decd para el desarrollo de la serie de Fourier de una funcion impar.

La prueba cuantitativa de Ia ecuaci6n (17 ..28) sigue el misrno procedi-miento que se realiz6 para dernostrar 1a ecuaci6n (l7.18), salvo que J(t) esahora impar, por 10 que f(t) =: -f(t). Can esta fundamental pero simple dife-rencia, es facil ver que au = = 0 en la ecuaci6n (17.20), an =0 en Ia ecuacion(17.23a) y bt l en la ecuaci6n (17.24) se vuelve,

2 [ ( 0 (T/2]bt l =T l f( -x ) sene -nwox)( -dx) + J fet) se n nWo t dtT/2 02 [ J ' O ( T / 2 ]= T - f(x) sen nwox dx + J f(t) sen nWo t dt. ~1 02 [ J ~ 2 . (~ 2 ]=- J(x) sen(nwQx) dx + J f(t) sen nWo t dtToo

41TI2b; =- f(t) sen nWo t dtT 0 (17.29)

como se esperaba,Es interesante observar que la funci6n peri6dicaflt) sin sirnetrfa par 0 im-

par puede descomponerse en partes que son pares e impares. Utilizando laspropiedades de las funciones par e impar a partir de las ecuaciones (17.16) Y(17.26), es posi ble escribir

1 1J(t) = -[fCt) + fe-f)] + -[J(t) - fe-f)] =j~(t) + foCt)2 . 2 (17.30)par unpar

Observese que fcCt) = ~[f(t) + f( - t)] satisface 1a propiedad de una funci6npar en la ecuacion (17.16), en tanto que lo(t) =Hf(t) - f(-t)] satisface 1apropiedad de una funcion impar en la ecuaci6n (17.26). E1 heche de que ucontenga s610 el termino de cd y los terminos casena, en tanto que j~(t) euen-te s610 con los terminos seno, se aprovecha al agrupar e1 desarrollo en seriede Fourier de f(t) como

00 00

(17.31),,=1 ,,=)

par imparDe inmediato se concluye a partir de la ecuaci6n (17.31) que cuando jir) espar, b; = 0 y cuando fit) es impar, ao = 0 = a" .


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Asimismo, observense las siguientes propiedades de las funciones imparesy p ares:1. EI producto de dos funciones pares es tambien una funcion par.2. El producto de dos funciones impareses una funci6n par.3. El producto de una funcion par y de una funcion impares una funcion

impar .4. La suma (o diferencia) de dos funciones pares es tambien una func~par.5. La surna (0 diferencia) de dos funciones impares es una funci6n irnpar.6. La surna (0 diferencia) de una funci6n par y de una impar no es ni parm impar,

Es posible demostrar cada una. de estas propiedades utilizando las eeuaciones(17.16) y (17.26).

17.3.3 Simetrfa de media onceUna funcion tiene simetria de media onda (impar) si

(17.32)

10 eual significa que cada media .ciclo es Ia imagen espejo del siguiente mediaciclo, Observese que las funciones cos nWot y sen nWot satisfacen laecuaci6n(17 ..32) para valores irnpares de n, y enconsecuencia poseen simetrfa de mediaonda cuando n es impar, La figura 17.12 muestra otros ejemplos de funcionessimetricas de media onda, Las funciones en las figures 17.l1a) y 17.l1b) tam-bien son simetricas de media onda, Observese que en cada funci6n, un mediociclo es la version invertida del media ciclo adyacente. Los coefieientes deFourier se convierten en

ao = 0

{4 i T / 2= -.7. f(t) cos nWot dt,an - 00,

{4 i T / 2- f(t) se n nWot d r,

b = Tn . 00,

para n irnpar(17.33)para n par

para n irnparpara n par

f{t) g(t)

a) b).Figura. 11.12Ejemplos comunes de funciones simetricas impares de media onda.


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17.3 Considereciones de sirnetrle 16 9

10 que demuestra que las series de Fourier de una funcion simetrica de mediaonda contienen iinicamente armonicas impares,

Para deducir la ecuaci6n (17.33) se aplica la prop:iedad de las funcionessimetricas de media onda en la ecuacion (17.32) al evaluar los coeficientes deFourier en las ecuaciones (17.6), (17.8) y (17.9). Por 10 tanto,

1 J T ! 2 1 [ f O I T ! 2 ]ao = T f(t) dt = T J(t) dt +. ti dt-T12 - T ! 2 0 (17.34)

Se cambian las variables pard. la integral sobre e1intervale -T12 < t


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710 CapItulo 17 Lasseriesde Fourier

Simetria b" ObservacienesParImparMedia onda

a o = 1 = 0Qo = 0Qo = 0

an * 0all = 0Q2n = 0

QZI!+I * - 0

b; = 0b tl * ' 0b2n =0

b2n+1 * ' 0Integre sabre T/2 y multipiique par 2 para obtener IO~5 coeficientes.Integre sabre T/2 y multiplique par 2 para obtener los coefieientes,Integre sabre TI2 y multiplique par 2 para obtener los coeficientes.~ ~ ,

Fundon Serie de Fourier1. Onda cuadrada

f < t )

4A ec If(t) = - L --sen(2n -I)wot1 1 ' n~ I2n - 1

2. Tren de pulses rectangularesf(r)

AT 2.4 ~ I. WITTf(t) = -, + -- k+sen -,- coSnwolT T , ,=1 n T

3, Onda diente de sierra

A A ~ sennwotJet) = = - - - ~2 11' ,,=1 n \.o T4. Onda triangular

f(t)A 4A cc 1J(t) = - - - -~~L; cas(2n - l )wot2 11'2 n=1 (2n ~ 1)2

o T5, Funcion sene re ctif ic ad o d e m e dia o nd a

A A 24 ec 1J(t) = - + - senwot~ -' - 2 : '~~ .~ ,~co s 2nwot'TT 2 11' tI=1 4n2 ~ 1

o T6" Funcion seno rectificado de onda completa

2A 4.4 ~ 1J(t) =-~'" - - ~ ., co s nklJot11' 11' n=1 4n- - I

o T


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17.3 Consideraciones de sirnetria

Encuentre el desarrollo en serie de Fourier de la f(t) dada en In Figura 17.13.

f(t)

-2 2

F igu r a 17 .13Para el ejemplo 17.3.

Solucion:La funci6n J(t) es una funcion impar. En consecuencia, ao = 0 = an ' El pe-riodo es T = 4 y Wo = 2 ' 1 T j T = ' 1 T 1 2 , par 10 que

4 I T I 2b. ; =T fet) sen nWo t dto

2 I17r t 1 1 2 ( n '1 T )= - n ' 1 T cosT 0 = n ' 1 T I - cosTD e aquf que,

2 ee l ( W T T ) n ' 1 TJ(t) =- L- 1 - cos- sen-t' 1 T n 2 2,,=1la eual es la serie de senos de Fourier.

771

Encuentre la serie de Fourier de la funci6n J(t) de la figura 17.14 .

f(t)- 12 ' 1 t -'It 0 'It 2 1 t 3 1 C t

-1Figura 17.14Para el problema de practica 17.3.

4 eo 1Respuesta: fCt) =- - 2: - se n nt, n = 2k - L' 1 T nk=1

Prob l ema.de practlca 17.3


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772 Capitulo 17 Lassenesde Fourier

Determine Ia serie de Fourier de la funcion coseno rectificada de media ondaque se muestra en la figura 17.15.

[\ [\-5 -3Figura, 17.15F u nc io n c ose no re ctific ad a d e m e dia o nd a; p ara e I e je m p lo 1 7 .4 .

-I o 3 5

So.luci6n:Esta es una funcion par de modo que b P I =: O. Ademas, T =: 4, W o = 21T'IT =n12. Sabre un periodo, -

10 -2 < t < -1

f(t) = c .~s~ f. -I 1,

7T 1 71 'a = sen-en + 1) + sen-(n - 1)n n(n + 1) 2 7r(n - 1 ) 2

Para n = impar (n = 1, 3, 5, ... ), (n + 1) y (n - 1) ambas son pares, par1 0 que

1T nsenl(n + 1) =0 = sen"'2(n - 1),Para n =par (n = 2,4, 6, ... ), (n + 1) y (n - 1) ambas son impares, Asi-

n = unpar

m i smo ,n = par

Por consiguiente,(-1),,/2 -(-lt2a" = ... . + ---- ' '- - --' -- -1T(n + 1) 1 r(n - 1)

-2(-1)"/2 n = par2 'n(n: - 1)


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17.3 Consideraciones de slrnetrta

Par 1 0 tanto,1 1 tt 2 ccf(t) =- + -COS-( - - 2 :TT 2 2 -tr n=par

(_1),,/2 n7Tcos-t(n2 - 1) 2Para evitar el uso de n =2, 4, 6, ... y tambien para facilitar el calculo, es po-sible sustituir n por 2k , donde k = 1, 2, 3, . .. y obtener

1 1 TT 2 00 (-1/J(t) = - + -cos-t - _:_2 : 2 cosbrtTT 2 2 TT k=l (4k - 1)

que es la serie de cosenos de Fourier.

773

Determine el desarrollo de la serie de Fourier de la figura 17.16.L 4 00 1 eRe.spuesta: f(t) = ? - -2 2 : zcos nt, n = 2k - 1.- ' 7T k=1 n

Prob lema. d e pra ctica 1;7.4

~. 4r r l2 7 1 ' 0Figura 17.16Para el problema de practice 17.4.

Calcule la serie de Fourier para la funcion de la figura 17.17.Soluci6n:L a funci6n en la figura 17.17 es simetrica impar de media onda, de modo queao = 0 = an . Se describe .obre la mitad del periodo como. .

J(t) = t, -1 < t < 1T =4, Wo = 2T T /T = rr /2. Puesto que:

4 I T I 2bn = - J(t) sen nWot dtT 0En vez de integrar J(t) de' 0 a 2, es mas conveniente hacerlo de - 1 a 1. Alaplicar la ecuaci6n (17.l5d),

4 f l n s r t [senn'1Tt/2 t c o . s n 7 T t / 2 j 1 1b =- t sen--dl = - ---..:..__" 4 -I 2 n2rr2/4 n7r/2 -1= n z : z [ s e n n ; - sen(_n;)] - n ~ [ c o s n ; - c o s ( _ n ; ) ]

8 nTT= -~-sen--n27 T 2 2puesto que sene - x ) = - sen(x) como una funci6n impar, mientras quecost - x) = cos x como una funci6n par. Si se utilizan las identidades parasen nTT /2 en Ia tabla 17.1, .

b = _8_(_1)("-1)/2 . 1 3 5n 2 2 ' n = Impar = , , , ...nrr

Ejem p lo 1 7.51(1)

Figura 17.17Para el ejemplo 17.5.


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Por 10 tanto,00

J() ~ n7 Tt = ~ b tl sen-l"""1,3,5 2

donde el valor de b tl se proporciona antes.

Determine la serie de Fourier de la funcion de la figura 17.12a). Considere A1 Y T = 27T. 2 IX) ( - 2 1 )espuesta: J(t) = 7T 2: -2-C08 nt + ;;sen nt , n =2k - 1.

k=1 r : 7T

. Aplica cio ne s e n circu ito sEn la practice se encuentra que muchos circuitos son excitados par medio defunciones peri6dicas no senoidales. Para determinar la respuesta en estado es-table de un circuitoa una excitacicn peri6dica no senoidal se requiere Ia apli-caci6n de una serie de Fourier, al analisis fasorial de ca y el principia desuperposicion. El procedimiento sueJe implicar tres pasos.

El primero paso consiste en determiner el desarrollo de la serie de Fourierde Ia excitacion. Para la fuente de tension peri6dica que se muestra en la figu-ra 17.18a), por ejemplo, la serie de Fourier se expresa como

00

vet) =Vo + 2: Vn cos(nwot + On)n=l

(17.40)

(Lo mismo podria hacerse para una fuente de corriente periodica.) La ecua-cion (17.40) rnuestra que vet) esta compuesta por dos partes: la componentede cd, Vo.Y la componente de ca, V" =Vn~ con varias a.rm6nicas. Esta re-presentacion de la serie de Fourier puede considerarse como un eonjunto defuentes enoidales conectadas en serie con cada fuente teniendo su propiaam-plitud y frecuencia, como se indica en la figura 17.1gb).

El segundo paso es determinar Ia respuesta para cada termino en la seriede Fourier. La respuesta a L a componente de cd se determina en el dominio


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i(t) V I cos(wot + I J l l +- - - -V 2 cOS(2WO f + l J i l RedlinealRed +lineal 11Vn cos(nwot + On) +- -eriodob)

a) b)

17.4 Aplicaciones en circuitos

i(t)-Figura 17.18a) Red lineal excitada mediante una fuente de tension periodica,b) Representaci6n de la serie de Fourier (dominic temporal).

de la frecuencia fijando el valor de n = 00 W = 0 como en la figura 17.19a),o en el dominic temporal sustituyendo todas las inductancias por cortocircuitosy todos los capacitores con circuitos abiertos. La respuesta a la componente deca se obtiene mediante las tecnicas fasoriales que se estudiaron en el capitulo 9,como se muestra en 1a figura 17.19b). La red se representa mediante su impe-dancia Z(nwo) 0 admitancia Y(nwo). Z(nwo) es Laimpedancia de entrada de 1afuentes cuando w se sustituye en todas partes por nwo, y Y(nwo) es el rectpro-co de Z(nwo). .

Por ultimo; siguiendo el principio de superposicion, todas las respuestasindividuales se suman. Para el caso que se muestra en La figura 17.19,

i(t) =io(t) + ij(t) + iit) + ...= 1 0 + L 1 1 , , 1 cos(nwot + 1 / / , , )

1 1 = 1(17.41)

donde cada componente I" de frecuencia nwo se ha transformado al dominiotemporal para obtener .in(t) Y 0 / " es el argumento de In .

Sea la funcion J(t) del ejemplo 17.1. la tension de 1a fuente v s(t) en el circuitode Ia figura 17.20. Determine la respuesta vo(t) del circuito.setueterDel ejemplo 17.1,

1 2 "" 1vit) ~ -2 + - L -sen nsrt,'1 T nk=l n ~ 2k - 1donde Wll =nwo = n ' 1 T rad/s. Si se utilizan fasores se obtiene la respuesta Voen el circuito de la figura 17.20 mediante la division de tension:

Para la componente de cd (w" = 0 0 n = 0)1V =-s 2

775

I"- - - - -a)

+12-+

Figura 17.19Respuestas en estado estable: a)componente de cd, b) eomponente de ca(domin. io de la frecuencia).

Ejemplo 11.6Sf.!

"''''L+2 H ~ L'o( r)Figura 17.20Para el ejemplo I .6.


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776

0.5

0.20.i3

o 71 271 317 471 5 1 T 67r 7'T f' lJJF i gu r a 17 .2 1Par-ael ejemplo 1 7 .6 : E sp ec tro d e a m p litu dde la tension de salida .

. .

2Q

F i gu r a 1 7.2 2Para el problema de p ra ctic a 1 7 .6 .


Esto se esperaba, ya que una inductancia es un cortocircuito para la cd. Parala n-esima armonica,

(17.6.1)

y la respuesta correspondiente es2n-rr I J ! ! . . ( 2 )

V" = V25 + 4n27T2/tan-L 2n7T/5 n7T / - 9 _ o 4/-tan-12n7T/5V25 + 4n21r2

(17.6.2)

En el dominic temporal,~ 4 ( 12n1T)v,,(t) = .; ....I cos rrtt t - tan - - - ,k""l v 25 + 4n21T2 5

Los primeros tre s te rm i n os (k = 1, 2, 3 0 n = 1, 3, 5) de las arm6nicas im -pares en la sumatoria dan

n = 2k - 1

vo(t) = 0.4981 cas(7T't - 51.49) + 0.2051 cas(3rrt - 75.14)+ 0.1257 cos(57Tt - 80.96) + ... V

La figura 17.21 muestra el espectro de amplitud para la ten ion de sali-da vJt), en tanto que la tension de entrada us(t) esta en la figura 17.4a).Observese que los dos espectros estan muy cercanos. I.,Parque? Se puede verque el circuita de la figura 17.20 es un filtro pasaaltas can la frecuencia decorte We =R/ L =2.5 rad/s, que es menor que 1a freeuencia fundamentalW o = 1T rad/s. La componente de cd no pasa y la primera armonica se aternialigeramente, aunque pasan las ann6nicas superiores. De hecho, de acuerdo conlas ecuaciones (17.6.1) y (17..6.2), Vo es identica a Vs para n . grande, 10 euales caracterfstico de un filtro pasaaltas,

Si la forma de onda de diente de sierra de la figura 17.9 (vease el problemade practica l? .2) es la tension uset) de la fuente en el circuito de la figura J 7.22,encuentre la respuesta vo(t).

1 } 0 sen(21Tnt - tan-1 4n.1T)Re.spue.sta: v o C r ) =2 - 7T'n~l nYl + 16n21T2 V.

Determine la respuesta iAt) en el circuito de la figura ] 7.23 si la tension deentrada vet) tiene el desarrollo de Ia serie de Fourier

00 2(-lr.v(t) = 1 + 2: (cos nt - n sen nt)n=j 1 + n2


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17.4 Aplicaciones en circuitos

Soluci6n:Utilizando Laecuaci6n (17.13), es posible expresar la tension de entrada como

C


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2Q t io(t)1:0:

F i . g l J r a ! 17 .1 -4Para eJ problema de practica 17.7.

i(t)~+

V ( I ) Circuitolineal

Figura 17.25Referencia de polaridad de la tension ydireccion de referencia de la corriente,


Recuerdense los conceptos de potencia promedio y valor rms de una sefial pe-riodica que se explicaron en el capitulo II. Para encontrar la potencia promedio(activa) que absorbe un circuito debido a una excitacion periodica, se escribeIa tension y 13:corriente en Ia forma de amplitud-fase [vease la ecuacion(17.10)] como

vet) = Vdc + : L , Vn cos(nwot - e ' , , ),,=1

(17.42)

i(t) = Id e + : L , 1 m cos(mwot - cPm)m=i

(17.43)Siguiendo Ia convencion pas iva de los signos (figura 17.25), la potencia pro-media es

1 I T=_:_ vi dtT 0

(17.44)

Sustituyendo las ecuaciones (17.42) y (17.43) en 1a ecuaci6n (17.44) produce,1 r T . " " 1 , , , V dc 1 . TP =T J Vdc1dc dt + 2.T cos(mwot - o/m) dt

o ",=:1 000 V"ldc I T+ L-...cos(nwot - 8t1) dt

n=i T 0co 00 V I I T+ L L 'im cos(nwot -Bn) cos(mwot - 'm) ds

m=i 1i=1 0

(17 .45)

La segunda y Ia tercera integrales se anulan, ya que se esta mtegrando el co-sene sabre su periodo. De acuerdo con la ecuacion (17Ae), todos los termi-nos en Ia cuarta integral son cera cuando m 1 = n. AI evaluar ia primera integraly aplicar laecuacion (nAg) a la cuarta integral para el casa de m = n, seabtiene,

(17.46)

Esto demuestra que en el calculo de la potencia promedio involucra tension ycorriente periodicas, Ia potencia prornedio total corresponde a la suma de la spotencias promedio de cada una de las armonicas correspondiente a sa ten-sion y su corriente ..

Dada una funcion periodica j(r), su valor nTIS (0 valor efectivo) esta dadopor,1 1 - T- . j2(t) dtT 0 (17.47)


25/53

17.5 Potenciapromedio y valores RMS

Al sustituirj{t) de la ecuacion (17.10) en la ecuacion (17.47) y observandoque (a + b )2 = a2 + 2ab + bZ , se obtiene,

1 f T [ 00n: = T a~ + 2 2 : aoA" cos(nwot + C P I l )o n=l

1 ( T 00 1 I T= T J a 5 dt + 2 2 : aoA" T cos(nwot + ,,) dto 11=1 0

(17.48)Se han introducido diferentes valores entero n y m para manejar el produc-to de dos series sumatorias, Utilizando el mismo razonamiento que antes, seobtiene

2 . 2 1 ~ 2F rms =ao + 2 L . . J An,,=1o

2 1 ~ 20.0 + 2 n=1 An (17.49)

En terminos de los coeficientes de Fourier al l Y b.; 1 a ecuacion (17.49) pue-de escribirse como

-

2 1 ~ '2 2Frms = ao + " 2 " " " (a'l + b,;)11=1

(17.50)Si f(t) es la corriente que circula por un resistor R. entonees la potencia quese disipa en este ul t imo es

(17.51)o si f(t) es la tension a traves de un resistor R. la potencia disipada en estees

(17 .52 )Se puede evitar especificar la naturaleza de 1 a s er ia l eligiendo una resistenciade 1-,0 La potencia disipada par una resistencia de dicho valor es 1-.0

(17.53)

Este resultado se conoce como teorema de Parseval. Observese que a 6 es lapotencia en la cornponente de cd, en tanto que ~(a~ + bj es la potencia deca en La s-esima arm 6nica. Po r 1 0 tanto, el teorema de Parseval establece que lapotencia pro media en una senal periodica es la suma de la potencia promedioen su componente de cd y las potencias promedio en sus armonicas.

779

I No ta h is t6 r ica : En hono r aJ mate maticofr an ce s f- Ila rc -An to in e Par se va lDes chemes ( 1 755 -1 836 ).


26/53

780

2F

F igu r a 17.2 :6Para el ejemplo 17.8.


Determine la potencia promedio que se suministra al circuito de la figura 17.26si i(t) = 2 + 1 0 cosCt + 10) + 6 cosf3t + 35) A .Soluc ion :La irnpedancia de entrada de Ia red es

I I 1 1O(l/j2w) 10Z"'" 10 -.- = . =j2w 10 + 1/j2w 1 + j20wPar consiguiente,

10 1V = IZ = - - - - - - - ; : . ====== :~~~~V I + 400oi/tan-120wPara la componente de cd, (j) = 0,

I=2A = > V = 10(2 ) = 20 VEsto seesperaba, debido a que el capacitor es un circuito abierto para la cdy toda la corriente de 2 A fluye por la resistencia. Para w = 1 rad/s,

I= l o l l g o 10(10/10)V =----;;.==::-:-~--\1\+ 40()/tan-120=5/-77.14

Para w = 3 rad/s,

I =6/350 10(6/35)V = ----;::==~=--.--V I + 3600/tan-1 60=1/-54.04

Por 10 tanto , en el dom in io temporal,vCt) =20 + 5 cas(t - 77.14) + lcas(3t - 54.04) V

Se obtiene 1a potencia promedio que se suministra 31 circuito al aplicar laecuacion (17.46), como

Para obtener los signos apropiados de O n y e p , p se tiene que comparar v e i eneste ejemplo can las ecuaciones (17.42) y (17.43). Por 1 0 tanto,

1P =20(2) + 2'(5)(10) cos[77. 14 - (-10)]1+'2(1)(6) cos[54.04 - (-35)]

= 40 + 1.247 + 0.05 =41.5 WDe otra manera, es posible determinar Ia potencia promedio que absorbe elresistor, como

v~c 1 oc 1 V , , 1 2 202 1 52 1 1 2P =- + - 2-=- + -.- + -.-.R 2 n=1 R 10 2 10 2 10=40 + 1.25 + 0.05 =41.5 Wque es la misma que la potencia suministrada, ya que el capacitor no absorbepo te nc ia p romed io .


27/53

17.6 Seriesexponenciales de Fourier

La tension y la corriente en las tenninales de un circuito sonvet) = 80 + 120 cos 1201Tt + 60cos(3607Tt - 30)i(t) = 5 cas( 1201T t - 10 ) + 2 co s(360 - rr t - 60)

Determine la potencia promedio que absorbe el circuito.Respucs t a : 347 A W .

Encuentre un estimado para el valor nTIS de la tensi6n en el ejemplo 17.7.Solucion:De acuerdo con el ejemplo 17.7, vet) se expresa como

v(t) = 1 - 1.414 cos(t + 45) + 0.8944 cos(2t + 63.45)- 0.6345 cos (3 t + 71.56)- 0.4851 cos (4 t + 78.7) + ... V

Empleando la ecuacion (17.49), se obtiene2 1 ~ 2V r m < = ao + - 2 ..; A ll

1 1 = 1

f+ ~ 1 ( - I.~14)2 +(0.8944)2 + (-0.6345)2 + (-0.4851)2 + ...J=v 2 . 7 l 8 6 = 1 .6 49 V

Lo anterior es solamente un estimado, pues no se han considerado suficientesterminos de la serie. La funcion real representada por ta serie de Fourier estte'vet) =--,senh rr -7T < t < - rr

can vet) = vet + T). El valor rIDS exacto es 1.776 V .

. 'Pro blem a"de::practiea' 17.8

Ejemplo.17.9

781

Determine el valor rms de la corriente peri6dicai(t) = 8 + 30 cos 2t - 20 sen 2t + 15 cos 41 - 10 sen 4l A

Respuesta: 29.61 A.

" r~ ' '.: Se r ie s e xpo ne ncia le s d e F ou rie rUna manera compacta de expresar la serie de Fourier en la ecuacion (17.3)consiste en ponerla en forma exponencial. Esto requiere que se representenlas funciones sene y coseno en la forma exponencial utilizando la identidadde Euler:

(17.54a)

(17.S4b)

Prob erne~':de practice 17.9


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La sustitucion de la ecuacion (17.54) en la (17.3) y el agrupamiento de ter-minos dan Ingar a

(17.55)

Si se define un nuevo coeficiente en de manera quee n =(a. II- jb,,)2

(atl + jb,,)c '= c* = --- --n 11 2 (17.56)Entonces, l(O se convierte en

f(t) = Co + 2: (cnej"w~,t + C-ne -jltwot)n=1

(17.57)o sea

(17,.58)

Esta es la representacion mediante series camplejas de Fourier 0 exponencialf(t). Observese que esta forma exponencial es mas compacta que la forma seno-coseno de Ia ecuacion (17.3). Aunque los coeficientes de Ia serie exponencialde Fourier en tambien pueden obtenerse de an y bn utilizando Ia ecuacion(17.56), tambienes posible obtenerlos directamente de let) como

(17.59)

donde (uo = 2 1 T I T , como de costumbre, Las graficas de la magnitud y de lafase de en en funci6n de nwo reciben el nombre de espectro complejo de am-plitud y espectro complejo de lase de f(t), respectivamente, Los dos espectrosforman el espectro complejo de frecuencia de f(t).

Los coeficient.es de las tres formas de las series de Fourier (formaseno-co-seno, forma & . ampJitud-fase y forma exponencial) se relacionan pOI medio de

(1 -7.60 )

o sea

(17.61)

si unicamente an > O. Observese que la fases, de C n es igual a 4 > n .


29/53

17.6 Seriesexponencieles de Fourier

En terminos de los coeficientes complejos de Fourier en . el valor rms deuna sefial penodica f C t ) se encuentra como

(17.62)"" 00

= L c"c~ = L I c , , 1 2n= -00 '1=00

o sea(17.63)

La ecuacion 07.62) puede escribirse como00

n; = Icol2 + 2L ! c , , 1 2n=1 (17.64)Tambien en este caso, la potencia disipada par una resistencia de 1 nes

00

r. = F : m s = 2: i c l l 1 2n=-OO

(17.65)1 0 eual es una reformulaci6n del teorema de Parseval. El espectro de potenciade 1a serial J(t) es la.grafica de Ic,,1 2 en funei6n de nwo. Si J(t) es la tensi6n atraves de una resistencia R, la potencia prornedio que absorbe la resistencia esF~rn:s/R; si J(t) es La corriente que circula par R, la potencia correspondientesera F;msR.

Como un ejemplo, considerese el tren de pulsos peri6dicos de la figura17:27: 1 objetivo es obtener su s espectros de amplitud y de fase. EI periododel tren de pulsos es T = 10, de manera que W o = 2niT = 7T /5. Bmplean-do la ecuacion (17.59),

1 J T I 2 . 1 f l .C" = - f(t)e -l"Wo1 dt =- 10e -)1 ' '' 'o 1 d tT - T 1 2 10 -11 . I I 1 . .= _. __ e-JfIWI)I = -.--(e -J "'''O - e J IUU ,, )- Jnwo -I -}nwo (17.66)2 ei"wQ - e-j l1wo sen nwo=-- = 2--- 7TWo =-

5wo 2jsen n 7 T / 5=2--_:__nw/5y

~ sen n 7 T /5 j"irrtlSf(t) = 2 , , : : . < ; n 7 T / 5 eObservese en la ecuacion (17.66) que c; es el producto de 2 y una funci6n dela forma sen xlx. Esta funci6n se conoce como la funcion sene ; se escribe como

(17.67)

sen xsenc(x) = --x (17.68)Algunas propiedades de Ia funci6n sene son importantes en este momenta. Paraun argumento cera, el valor de la funci6n sences la unidad.

senc(O) = '1 (17.69)

783

f{t)

--11-9 -101F ig u ra 1 7.2 7Tren de pulses periodicos.

9 11 I

I,a funci6n sene se denom na funci6nde m uestreoen la teooe oecom unicaciones, danae es muy util,


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784

l EI ex am en de espectros de entrada yd e s alid a p os io ilite la v is ue llz ac io n d el. : ~ r : i ~ : u n circuito s a b r euna seF ia l2

,...--1.87I \

J \ r- -1.51I \I \I , \. __1.0

I \ 0 47II \ . 0.43~r OJI r - 0.38l \.I \.\I \ ~O.2\1 V \ --In-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 rIF igu ra 17 .28Arnplitud de un tren de pulsos periodicos.

Capftulo 1.7 Lasseriesde Fourier

Esto se obtiene aplicando Ia regla de L'Hopital a la ecuacion t 7.68). Para unmriltiplo entero de tt, el valor de la funcion sene es cero,

senctjr) = 0, (17.70)= 1,2,3, ....Ademas, la funcion sene muestra una simetria par. Con teniendo en cuenta to-do esto, se pueden obtener los espectros de amplitud y de fase de fl.t). Segtinla ecuacion (17..66), la rnagnitud es

I I = ,1. sen 1t1T / 5 1en 2. /n'TT 5 (17.71)mientras que la fase equivale a

n7 Tsen~~. > 05 (17.72)n7 Tse:n- < (I5La f igura 17.28 muestra la grafica de I C n . l en funci6n de n variando de -10a 10, donde It =w/wo es la frecuencia norrnalizada. La figura 17.29 mues-tra la grafica des, en funcion de n. Tanto el espectro de amplitud c omo elde fase s e d en om i na n espectros de linea, pues el valor de [c.. 1 y e n s 61 0 o eu -rre en valores discretos de frecuencias. El espaciamiento entre las rectas esw o o El espectro de potencia, que es Ia graflca de [c, 12en funcion de n w o , tam-bien puede graficarse, Observese que la fund on sene forma Laeavolvente delespectro de amplitad.

8"

7

1800

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 n.F igura 17.29Espectro de fase de un tren de pulsos periodicos.

Encuentre el desarrollo de la serie de Fourier exponencial de Ia funcion peri6-dica I(t) =e' , 0 < t < 2 1 T con .fet + 27T) =fer).Soluc ion!Puesto que T = 2 'IT, Wo = 2 7T /T = 1. Por consiguiente,

1 I T . . 1 1 2 7 7 .Cn =- . !(t)e-Jnl>J o 1 dt = - le-}l11 dtT . 27To 01 1 . 1 2 7 1 " 1=- ---. _e(l-jn)1 =.. [e21t e-j2r.n - 1]27T 1 - jn 0 21T(1 - jn)

Sin embargo, por la identidad de Euler,>: = cos 21Tn - j sen 21Tn = 1 - }O "'" 1


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17.6 Seriesexponencieles de Fourier

Por 1 0 tanto,1 85_ [ 2 1 T I J =c;_ 27T(1 _ jn) e- -]---,-n

La serie compleja de Fourier es8 5J(t) = 'L einl,,';'':_oo 1 - jn

Es posible que se desee graficar el espectro de frecuencia complejo f(t). Si sedeja que en = I c nl /6". entonces

e " = tan-1 nAl insertar los valores negative y positive de n se obtienen Lasgraficas de am-plitud y de fase de c; en funcion de nwo = n, como se muestra en la figura17.30.

8 5I \I \I \ 601". "" -, 38-, ......6.9......20.6

n

9 00 - -~. . . . . . . . -",,/

".IIII-5 -4 -3 -2 -I0 I 2 3 4 5 n

I//. . .,.-/_..-_..,~L--- -900

e

-5 -4 -3 -2 -1 0

a)2 3 4 5 flWo

b)Figura 17.30Espectro de complejo frecuencia de 10 funcion del ejemplo 17. to : a) espectro de amplitud, b) espectro de fase.

785

Obtenga la serie compleja de Fourier de la func. i6n de la figura 17.1

Rcspuesta: f{t) = _ ! _ - f. _j_ein1Tt.. 2 fI=~ n ttn.pO,,=impar

. P r obl'em a-< .:~d~pra.ctica17. 1 0

Determine la sene compleja de Fourier de la onda de diente de sierra de fafigura 17.9..Grafique los espectros de amplitud y de fase.Solu :don :Segun 1 2 1 figura 17.9,I(t)= t,O < t < 1, T = I, por 1 0 que Wo = 21T/T = 21T.De aquf que,

(17.11.1)


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Pero

f altear dt = ~(ax - 1) + Ca2La aplicaci6n de esto a la ecuacion (17.11.1) produce

e -j?fl7T1 1 1c.; = . 2 (- j2n'TTt - 1)(-]2n1T) 0e-j2,m (-j2n1T - 1) + 1=

(17.11.2)

Tambien en este caso,

de manera que la ecuaci6n (17.11.2) se convierte en-j2mr jc = =--.n -4n217'2 2n7T (17.11.3)

Esto no incluye el caso cuando n = O. Cuando n = 0,I. i T 1 i I t2 1 o =- !(t) dt =- t dt = - = 0.5T 0 1 0 2 1 (17.11.4)

Por consiguiente,

f(t) = 0.5 + (17.11.5)y

{I-- nicOl e n l = 2 I n l ' T T ' _ '0.5, 1 7 - 0

(17.11.6)

AI graficar l e ' l l Y O n para n diferente, se obtiene eL espect ro de arnplitud y elespectro de fase que se muestran en la figura 17.3l.

0.5

e,9 0 0.16 0.16

0.08 0.05 0.04 0.03

a) b)Figura 17.31Para el ejemplo 17.11: a) espectro de amplitud, b) espectro de fase,


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e r r9 00

-3 -I 1 :3-4 -2 0 2 4 n

-90'

17.7 An~lisis de Fouriercon PSpice

Obtenga el desarrollo de las series complejas de Fourier de j(l) de la figura 17.17.Muestre los espectros de amplitud y de fase.

cc (-ItRespuesta: f(t) ::;; - 2. l__ eJn'7Tt Vease la figura 17.32 para el espectro.1=-:xJ n 1 Tn*O

0.32 0.32

0.16 0.160.11 0.11O .S I I 0.8I I

-4 -3 -2 -I 0 2 3 4 11a)

78 7

: P rob lema,de p r a . c t i C a . :17.11

b)Figura 17.32Para el problema de practica 17.11: a) espectro de amplitud, b) espectro de fase.

Anelisls de Fourier con PSpiceEl analisis de Fourier suele llevarse a cabo con PSpice en conjunto con el ana-lisis transitorio. PO l' 1 0 tanto, se debe reaJizar un analizar el comportamientotransitorio para llevar a cabo el analisis de Fourier.. Para efectuar el analisis de Fourier de una serial es neeesario un circuito

euya entrada sea la forma de onda y euya salida eorresponda a la expansionde Fourier. Un cireuito adecuado es una fuente de corriente (0 de tension) ensene can una resistencia de 1 n como se muestra en la figura 17.33. La formade onda se alimenta como v,,(t) utilizando VPULSE para un pulso, 0VSINpara una senoide, y los atributes de la forma de onda se fijan sabre su periodoT. La salida V(l) desde el nodo 1 es el nivel de cd (ao) y las primeras nuevearmonicas (An) c~n sus correspondientes fases rfin; esto es,

9V ~ (t) ::;;aO + L An sen(nwot + rj;,,)n=1 (17.73)

donde

r . P " = tan-I ~n (17.74)"Observese en ]a ecuacion (17.74) que la salida de PSpice esta en la forma deseno y Angulo en vel. de coseno y angulo como en la ecuaci6n (17.10). La sa-lida de PSpice incluye tambien los eoeficientes norrnalizados de Fourier. Cadacoeficiente an se normaliza al dividirlo entre la magnitud de la at fundamental,de modo que la componente normalizada es a,/al' La fase correspondiente t j J nse norrnaliza al restar la fase 0 /1 de la fundamental, de manera que la fase nor-malizada es Ij J n - i / J I.

Existen dos tipos de analisis de Fourier que ofrece PSpice para Windows:T ran sfo rm ada D iscreta de F ou rier (D FT ), efectuada pOl' el program a PSpice ,

oa) bl

Figura 11.33Analisis de Fourier con PSprce utilizando:a) una fuente de corriente. b ) una fuentede tension,


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788

Figural 17.34Ventana de dialogo Transient.

Capitulo 17 Lasseries de Fourier

y Transformada Rdpida de Fourier (FFT) efectuada por el programa PSpiceAID. Mientras que la DFf es una aproxirnacion de la serie exponencial deFourier, la FFf es un algoritmo eficiente para eLcompute numerico de la DFT,Una explicacion cornpleta de 1a DFf y de la FFT esta mas alla del objetivode este libro.

17.7.1 Transformada discrete de FourierEI programa PSpice efecnia una transformada discreta de Fourier (DFf), la cualtabula las armonicas en un archive de salida. Para permitir un analisis de Fou-rier se selecciona Analysis/SetuplTransient y se trae el cuadro de dialogo Tran-sient, que se ilustra en La figura 17.34. El P rint Step debe ser una pequefiafracci6n del periodo T. eli tanto que el F in al T im e podria ser 6T. La Center Fre-quency es In frecuencia fundamental fo = liT. La variable particular cuya DFTse desea, Vel) en la figura 17.34, se introduce en el cuadro de comando Out-put Vars. Ademas de lIenar el cuadro de dialogo Transient , efecnie DCLICKEnable Fourier. Con el analisis de Fourier habilitado y el diagrama guardado,ejecutese PSpice seleccionando Analysis/Simulate como en los demas casas.E] programa lleva a cabo una expansion de las arm6nicas en cornponentes deFourier del resultado del analisis transitorio, Los resultados se envfan a un ar-chivo de salida que se recupera seleccionando Analysis/Examine Output. EIarchive de salida incluye el valor de cd y las primeras nueve armonicas por omi-sion, aunque es posible especificar un mayor numero en la caja Number of har-monics (vease la figura 17.34).

17+7.2 Transformada repide de FourierLa transformada rapida de Fourier (FFT) se encnentra mediante I'llprogram a PS -pice AiD y exhibe como una grafica de PSpice AID el espectro complete de la ex-presiontransitoria. Como se explic6 antes, se construye primero el diagrama de lafigura 17,33b) y se introducen los atributos de la serial. Es necesario incorporar tam-bien los datos en P rim Ste p y Final TIme en el cuadro de dialogo Transient. Unavez que se he llevado a cabo 10 anterior; se puede obtener la FFf de onda de dosformas.

Una consiste en insertar un marcador de tensionen el aodo 1 en elesque-ma del circuito de Lafigura 17.33b}. Despues de guardarel diagrama y selec-cionar Analysis/Simulate, seexhibira la forma de onda V(l) en Ia ventanaPSpice AID. Hacienda doble die en el icono de Ia FFf en el mend PSpice AID,automaticamente se sustituira la forma de onda con su FFT. A partir de Ia gra-fica generada por LaFIT, es posible obtener las armonicas. En el caso de queesta ul t ima grafica sea muy densa, se puede utilizar el intervale de datos UserDefined (vease Lafigura 17.35) para especificar un rango mas peqeefio.

Figura 1.1.3.5Ventana de dialogo de valores del eje X.


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17.7 Analisisde Fouriercon PSpice 789

Otra manera de obtener la FFT de Y(l) es no insertar un marcador de ten-si6n en el node 1 del esquema del circuito, Despues de elegir Analysis/Simu-late, la vent ana PSpice ND aparecera sin grafica en ella. Se elige Trace/Addy se teclea Vel) en Lacaja Trace Command y se efecnia OCLICKL OK.Luego se selecciona Plot/X-Axis Settings para traer el cuadro de dialogo XAxis Selling que se presenta en la figura 17.35 y despues se selecciona Fou-rier/OK. Esto hara que aparezca la FFf de la traza (0 trazas) elegida(s). Estesegundo rnetodo resulta util para obtener la FFf de cualquier traza asociadacon el circuito.

Una ventaja fundamental de] metoda de la FFT es que proporciona unasalida grafica. Sin embargo, su principal desventaja es que algunas de lasarmonicas probablemente sean muy pequefias para que puedan observarse.

Tanto en Ia DFT como en la FFf, se debe pennitir que la simulacion seejecute durante un ruimero de ciclos grande y utilizar un valor pequefio de StepCeiling (en 1a ventana de dialogo Transient) para asegurar resultados exactos.El Final Time en el cuadro de dialogo Transient debe ser par 1 0 menos cincoveces mayor que el periodo de la sefial para permitir que la sirnulacion alcan-ce el estado estable.

Solucion:La figura 17.36 muestra el diagrama para obtener los coeficientes de Fourier.Teniendoen cuenta la serial de la figura 17.1. se ingresan los atributos de la

, fuente de tension VPULSE como se muestra en la figura 17.36. Se resolveraeste ejemplo utilizando tanto el metoda de la DFT como el de la FFf.

)0....---- . . . .Ejemplo 17.12tilice PSpice para determinar los coeficientes de Fourier de la serial de lafigura 17.1.

MtrODO 1 Metodo OFf: (El marcador de tension de la Figura 17.36 nose necesita para este metoda). Segiin la figura 17.L,resulta evidente que T = 2 s,

Vl~OV2~1TD~OTF=luTR=luPW~lPER=2

1 Rl

1 1fo =- =- =0.5 HzT 2Figura 11.36Esquema del circuito para el ejemplo 17.12.

As! que, en la caja de dialogo Transient, se selecciona Final Time como6T = 12 .Print Step como 0 .01 s, Step Ceiling como 10 rns, Center Frequencycomo 0.5 Hz, y la variable de salida como Y(1). (De hecho, la figura 17.34,corresponde a este 'ejemplo particular). Cuando se ejecuta Pspice, el archivode salida contiene el resultado siguiente:

FOURIER COEFFICIENTS OF TRANSIENT RESPONSE V (1)DC COMPONENT = 4.989950E-01HARMONIC FREQUENCY FOURIER NORMALIZED PHASE NORMALIZED

NO (HZ) COMPONENT COMPONENT (DEG) PHASE (DEG)1 S.OOOE-Ol 6.366E-01 1.000E+DO -1. 809E-Ol O.OOOE+OO:2 1.000E+OO 2.012E-03 3.160E-03 -9.226E+Ol -9.208E+Ol3 1.SOOE+OO 2.122E-Ol 3.333E-Ol -S.427E-Ol -3.619E-014 2.000E+OO 2.016E-03 3.167E-03 -9.451E+01 -9.433E+015 2.S00E+OO 1.273E-Ol 1.999E-01 -9.04BE-01 -7.239E-Ol6 3.000E+OO 2.024E-03 3.180E-03 -9.676E+01 -9.658E+Ol7 3.500E+OO 9.088E-02 1.427E-Ol -1.267E+OO -1.086E+OO8 4.000E+OO 2.035E-03 3.197E-03 -9.898E+Ol -9.880E+Ol9 4.500E+DO 7.065E-02 1.110E-01 -1. 630E+OO -1.449E+OO


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T90

o v - - - -o 8o V(l}

1.0

C a pitu lo 1 7 L asse rie sd e F ou rie r

Al compararse el resultado can el de Ia ecuaci6n (17.1.7) (vease ejemplo 17.1)o con los espectros de la figura 17.4 " existe una coacordancia mayor. De acuer-do con Ia ecuacion (17.1.7), 1a componente deed es 0.5, en tanto que PSpiceproduce 0.498995 ..Ademas, Ia serial s610 tierre armonicasjmpares con faseo / n =-90, rnientras que PSpice. parece indicar que la sefial tiene arm6nicaspares, aunque las m agnitudes de las m i sm a s se an p eq ueflas. M ETODO 2 . Metodo FFT: Habiendo colocado el marcador de tension dela figura 17.36, se ejecuta PSpice y se obtiene la forma de onda Vel) que se pre-senta en la figura 17.37a) en la ventana PSpice AID. Haciendo doble clic en eIicono FFT y en el menu PSpice AID y carnbiando los valores del eje X de () a10 Hz, se obtiene la PFT de Vel) como se muestra en 1a figura 17.37b). La g r a -fica generada por la FFI' contiene las componentes de cd y lasarm6nicas dentrod el. in te rv ale d e fre cu en cia s elegido, N 6tese que las magnitudes y las frecuenciasde las armonicas concuerdan co n lo s valo res tab ulado s que g en era L aD F f.

8 s8 4 8 6 8Tiempo

a )

10 s 12 s

V r R _ . _ R _ . ~ - - - - - - - - - ~I ':

,,o V"o Hzo V(l) 2 Hz 4 Hz 6 HzFrecuencia8 Hz 10 Hz

b)Figura 11.37a) Forma de onda original de lafigura 17..1, b) FFr de la forma de onda,

Obtenga los coeficientes de Fourier de la funci6n de la figura 17..7 util izandoPSpice.Respuesta:

FOURIER COE.FFICIENTS OF TRANSIENT RESPONSE V ( 1 )DC COMPONENT ' ", 4 . 9 5 0 0 0 0 E- 0 1HARMONIC

NOFREQUENCY

(HZ)1.000E+002.000E+003.000E+00

123

FOURIERCOMPONENT3.184E-011.S93E-011.063E-01

NORMALIZEDCOKPONENT1.000E+OO5.002E-013.338E-01

PHASE(DEG)

NORMALIZEDPHASE (DEG)O.OOOB+OO1.800+003.6008+00

(continua)

-1.782E+02-1. 7648+.02-1.7468+02


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17.7 Anal is is d e F ou rie r c on PSpice

(continuacioni4 4.000E+00 7.979E-02 2.506E-035 5.000E+00 6.392E-01 2.008E-016 6.000E+00 5.3378-02 1.676E-037 7.000E+OO 4.5848-02 1.440E-01a 8.000E+OO 4.0218-02 1.263E-019 9.000E+OO 3.5848-02 1.126E-01

791

-1.728E+02-1.710E+02-1.692E+02-1.674B+02-1.656E+02-1. 638E+02

5.4008+007.2008+009.000E+OO1.080E+011.260E+011.440E+01

IQ

Si v s = 12 sen(2007Tt)u(t) V en el circuito de la figura 17.38, encuentre i(t).SOluci6n:I. Definir. Aunque el enunciado del problema parece estar claro, serecornienda verificar con quien asign6 el problema para asegurarse deque se desea 1a respuesta transitoria en vez de la respuesta en cstadoestable; en este ultimo caso, el problema es trivial.

2. Presentar, Se va a determinar la respuesta i(t) dada la entrada o,.(t),ytilizando PSpice y el analisis de Fourier.

3. Alternativa. Se utilizara la DFT para Ilevar a cabo el analisis inicial,Despues, se verificara utilizando el metoda de la FFT.

4. Intentar. E1 esquema se muestra en la figura 17.39. Se puede utilizar olmetodo DFT para obtener los coeficientes de Fourier de i(t). Puesto queel periodo de la onda de entrada es T = 1/100 = 10 ms, en la ventanade dialogo Transient, se selecciona Print Step: 0.1 ms, Final Time: 100ms, Center Frequency: 100 Hz, Number of harmonics: 4, y OutputVars: I(Ll). Cuando se simula el circuito, el archive de salida incluye1 . 0 siguiente:

FOURIER COEFFICIENTS OF TRANSIENT RESPONSE I(VD)

lQ

Figura 17.38Para el ejempJo J 7.13.

Figura 17.39Esquema del circuito de la figura J 7.38.

DC COMPONENT = 8.583269:8-03HARMONIC FREQUENCY FOURIER NORMALIZED PHASE NORMALIZED

NO (HZ) COMPONENT COMPONENT (DEG) PHASE (DEG)1 L00E+02 8.730B-03 1.000E"}-00 -8.984E+01 O.OOOE+OO2 2.000E+02 1.017E-04 1.165E-02 -S.306E+01 6.783E+003 3.000E+02 6.811E-05 7.802E-03 -8.235E+01 7.490E+OO4 4.000E+02 4.403E-05 5.044E-03 -8.943E+01 4.054E+00Mediante los coeficientes de Fourier, es posiblc obtener la serie

de Fourier que describe la corriente i(t) utilizando Ja ecuaci6n (17.73);esto es,

i(t) =8.5833 + 8.73 seo(27T . lOO t - 89.84)+ 0.1017 seo(2'7T 200t - 83.06)+ 0.068 sen(27T . 300t - 82.35) + ... rn A

5. Evaluar, Se puede utilizar tambien e L metoda de FFf para cotejar elrcsultado. EI marcador de corriente se inserta en la terminal 1 delinductor tal como se indica en la figura 17.39. AJ ejecutar PSpice seproducira La grafica de I(Ll) de manera autom atic a en La ventana PSpice


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7f t Capitulo 17 Lasseriesde Fourier

20 rnA.- - -- ------- --- - - __ .-- --- --- ---- ---------- ---.. ,, ,,,,-20 rnA ' - - - - - - - - - - - - - _ ,- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 'o s 2 0 rns 4 0 rns 6 0 rns BOrns 1 0 0 rnso r (Ll) Tiernpo

a)10 rnA , - - - - - _ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -. - - -. _ ~ ~, ,

o Hz 40 Hz 80 Hz 120 Hz 160 Hz 200 Hzo I (Ll) Frecuencia

b)F igu r a 17.40Para el ejemplo 17,13; a) grafica de i(t), b) la FFT de i(t).

Problema' .de pra~~tf~,17,13;,(') ~L-~~u ( ~ t ~ - , - ! ~ 1 0 _ Q _ - , +F

AID, como se rnuestra en la figura 17.40a). Mediante un doble cue enel icono FFT y asignando valores al intervale del eje X de a a 200 Hz,se genera laFFT de J(Ll) que se muestra en la figura 17.40b). Resultaclaro a partir de 1a grafica generada por Ja FFT s610 son visibles 1acornponente de cd y 1a primera armonica, Las armonicas superiores sonsumamente pequeiias.

Una pregunta final, l,tiene senti do la respuesta? Observese 1arespue ta tran itoria real, i(t) = (9.54ge -0.5/ - 9.549) cos(2007Tt)u(t) rnA.El periodo de la onda del coseno es 10 ms mientras que la cons tante detiempo de la exponencial es 2 000 ms (2 segundos), Asf que la respuestaque se obtuvo a traves de las tecnicas de Fourier coincide.

6. iSatisfactorio? Es claro que se ha resuelto el problema de manerasatisfactoria utilizando el metodo especificado, Ahora es posiblepresentar los resultados como solncion del problema.

Una fuente de corriente senoidal de 4 A de amplitud y 2 kHz de frecuenciase apLica a1 circuito de la figura 17.41. Utilice PSpice para encontrar u(t).Respues t a : v(t) = -150.72 + 145.5 sen(47T' l03t + 90) + " ' f . . L Y .Las componentes de Fourier se muestran a continuaci6n:

F ig u ra 1 7.4 1Parael problema de practica 17.14.FOURIER COEFFICIENTS OF TRANSIENT RESPONSE V (Rl:1)DC COMPONENT = -1.507169E-04HARMONIC FREQUENCY FOURIER NORMALIZED PHASE

NO (HZ) COMPONENT COMPONENT (DEG)1 2.000E+03 1.455E-04 1.000E+DO 9.006E+Ol2 4..000E+03 1.B51E-06 1.273E-02 9.597E+Ol3 6.000E+03 1.406E-06 9.662E-03 9.323E+Ol4 8.000E+03 1.OlOE-06 6.946E-02 8.077E+Ol

NORMALIZEDPHASE (DEG)O.OOOE+OO5.910E+OO3.167E+OO-9 _292E+OO


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17.8 Aplicaciones

17.8 tAplicacionesEn la seccion 17.4 e demostr6 que el desarrollo de la serie de Fourier perrni-te la aplicaci6n de las tecnicas fasoriales utilizada en el analisis de ca para loscircuitos con excitaciones periodicas no senoidales. La serie de Fourier ticnemuch as otras aplicaciones practicas, en particular en las comunicaciones y enel procesamiento de sefiales. Las aplicaciones comunes incluyenel analisis delespectro el filtrado, la rectificacion y la distor io n de armonicas. Se considc-raran dos de estes: los analizadores de espectro y los filtros.

17.8.1 Anelizadores de espectroLas series de Fourier muestran el espectro de una sefial, Como se ha visto, elespectro esta cornpuesto p r las amplitudes y Lasfases de las armonicas en fun-ci6n de la frecuencia. AI proporcionar el espectro de la seiial f(t), las series deFourier son de utilidad para la identificaci6n de las caracterfsticas de Ia sefial.Muestra cuales frecuencias desempefian un resultado importante a la salida ycuales no. Por ejernplo, los sonidos audibles tienen componcntes importantesen el intervalo de frecuencias de 20 Hz a 15 kHz, en tanto que las sefiales deLuzvisible varian de 105 GHz a 1060Hz. La tabla L7.4 presenta algunas otrassefiales y los intervalos de frecuencia de sus componentes. Se dice que unafuncion periodica sera limitada en ancho de banda si su espectro de amplitudcontiene unicamente un mime ro finite de coeficientes An 0 en - En este case, laserie de Fourier se vuelve

N Nf(t) = L. cnejllwol = au + 2 : An cOS(nWol + q ; , , )

n'=-N n=1(17.75)

Esto demuestra que es necesario s610 2N + 1 terminos (a saber, ao . A1A 2, .. " AN, h 20 ... , C P N ) para especificar por complete fer), si se canace WoEsto conduce al teorema del muestreo: una funcion peri6dica Iimitada en anchode banda euya serie de Fourier contiene N armonicas se especifica unicamen-te mediante sus valores en 2N + 1 instantes en un periodo.

Un analizador de espectro es un instrumento que exhibe la amplitud delos componentes de una sefial en funci6n de Ia frecuencia, En otras palabras,muestra las diversas componentes de la frecuencia (Iineas espectrales) que in-dican la cantidad de energia en cada frecuencia,

Es diferente de un 0 .ciloscopio, el cual exhibe la serial completa (todaslas cornponentes) en funci6n del tiempo. Un osciloscopio presenta la serial el lel dominic temporal, en tanto que el analizador de espectro la muestra en eldominio de la free uenci a. Quiza no haya instrumento mas titil para analizarcircuitos que el analizador de espectro. Un analizador tiene la posibilidad dehacer un analisis de senates espurias y de ruido, verificar fases, examinar in-terferencia electromagnetica y cornportamiento de filtros, medir vibrae iones,hacer mediciones de radar, entre muehas casas mas. Los analizadores de es-pectro disponi bles comercialmente en diferentes tipos y form as. La figura17.42 presenta un tipo corruin.

17.8.2 FiltrosLos filtros constituyen una parte importante de los sistemas electronicos y decomunicaciones. En el capitulo 14 se present6 un analisis compJeto de filtrospasivos y actives. Aquf, se investiga como disefiar filtros para seleccionar Iacomponente fundamental (0 cualquier otra arrnonica deseada) de la sefial deentrada y rechazar otras armonicas. Este proceso de filtrado no puede llevarse

793

TAJlLA11 .4Intervalos de frecuencia desenates comunes.

Intervale deSefial frecuenciaSonidos audibles 20 Hz a 15 kHzRadio de AM 540-1600 kHzRadio de onda corta 3-36 MHzSefiales de video de a 4.2 MHz(estandarcs enEstados Unidos)

Televisi6n VHF, 54-216 MHzradio FM

Television UHF 470-806 MHzTclefono celular 824-891.5 MHzMicroondas 2.4-300 GHzLuz visible J05_IOu GHzRayos X 108_109 GHL


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794 Cepltulo 17 Lasseriesde Fourier

Figura 17.42Analizador de espectro tfpico. SET] Institute/Sl'L'PhotoResearchers, Inc ..

a cabo sin el desarrollo de las series de Fourier de 1a senal de entrada. Con fi -nes ilustrativos, considerense dos casas: un filtro pasabajas y uno pasaaltas, Enel ejempto 17.6, ya se haconsiderado un filtro RL pasaaltas.

La salida de un filtro pasabajas depende de 1a serial de entrada, la fun-cion de transferencia H(w) del filtro y la frecuencia de corte 0 de media po-tencia We' Recuerdese que We = 1/ RC para cualquier filtro pasivo RC. Comose ilustra en la figura 17.43a), el filtro pasabajas deja pasar componentes decd y de baja frecuencia, en tanto que bloquea las de alta frecuencia ..Es posi-ble dejar pasar una gran cantidad de las arm6nicas, haciendo suficienternentegrande (w e W o , esto es, haciendo C pequefia). Par otra parte, al hacer W esuficientemente pequeiia (W e wo), se bloquean todas las componentes deca y s610 deja pasar la cd, como se indica en forma general en la figura 17.43b) .(E n Ia figura 17.2a) se puede ver el desarrollo de la sene de Fourier de la on-da cuadrada.)

IHlj1I...fio w() 2w!) 3w() w

0 We W

a)

1 tiltropasabajasWe wob)

d e

F igura11 . 43a) Bspectros de entrada y salida de un filtro pasabajas, b) el filtro pasabajasdeja pasar rinicamente 1acomponents de cd cuandoai, w o o


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17.8 Aplicaciones

De manera similar. la salida de un filtro pasabanda depende de 1 3 se-fial de entrada y de la funcion de transferencia del filtro H(w), SlJ ancho debanda B y su frecuencia central (t}c. Como se ilustra en Ia figura 17A4a),el filtro deja pasar todas las armonicas de la sefial de entrada dentro de unabanda de frecuencias (WI < W < W2) centradas en torno a We' Se ha supues-to que Wo, 2wQ, y 3w() se encuentran dentro de la banda. Si el filtro se hacemuy selectivo (B wn) YWe =WQ, donde Wo es la frecuencia fundamentalde la sefial de entrada, el filtro s610 deja pasar lacomponente fundamen-tal (n = 1) de la entrada y bloquea todas las arm6nicas superiores. Como semuestra en 1 3 figura 17.44b), con una onda cuadrada como entrada, se obtie-ne de salida una onda senoidal de la m ism a frecu en cia (de nuevo, refierase ala figura 17.2a)). .

1.J 2 I .1 >

a)

Filtropasabanda

-TWe = (,)0Bwo --T

b)Figural 17.44a) Espectros de entrada y salida de un filtro pasabanda, b) el filtro pasabandasolo deja pasar Incomponente fundamental cuando B WooSi Ia forma de onda de diente de sierra de Ia Figura 17.45a) se aplica a un fil-tro pasabajas ideal con la funcion de transferencia que se muestra en la figu-ru n.4Sb), determ ine la salida.

-I 2 10 wt) oa) b )

Figural 17.45Para el ejemplo 17.14

Soluclon:La sefial de entrada en la figura 17ASa) es la misma que la serial de Ia figu-ra 17.9. De acuerdo con el problema de practica 17..2, se sabe que el desarrollode la serie de Fourier es

1 1 1 1x (t) =- - - sen w t - - sen 2w t - - sen 3UJ t - ...2 '1T 0 2 7 T 0 3'1T 0

795

En esta secci6n se he utilizado Wepara 1 0 frecuencia central del fi ltropesebanoaen vez de W ocomo enel capitulo 1 4, para evitar confundirl r J o co n Ie fre cu en cia fu nd amen ta l d ela serial de entrada.

Eje.mpl.o 11.14


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796

Probleima:de'~ra.c~tk:a1 1 . : " 1 4 '

I .() 15 35 (tJFigura 17.46Para el prob Iema de practica 17.14.


donde el periodo es T = 1 s y la frecuencia fundamental corresponde a (vo =21T rad/s. Puesto que la frecuencia de corte deJ filtro es (V e = 10 rad/s, s610pasaran la componente de cd y las armonicas con nliJo < 10. Para n = 2, nUJo= 4 1 T =12.566 rad/s, que es mayor a 10 rad/s, 10 que significa que se recha-zanin Ia segunda arm6nica y las superiores, De tal modo, iinicamente pasaranlas componentes de cd y la fundamental. Por 10 tanto, la alida del filtro es

1 Iy(t) =- - - sen 27ft2 1T .

Repita el ejernplo 17.14 si el filtro pasabajas se sustituye por un filtro pasa-banda ideal que sc m uestra en 1a figura 17.46.

1 '1 '1Respuesta: y (t) = - - sen 3wot - - se n 4w t - - sen 5w t.3 1 T 4 7 T ( ) 5 7 T ( )

' " R e s umenLUna funcion periodica cs aque!1a que e repite a I misma cada T segundos;

e sto es, .rCt : ! : : fiT) =fet), n =1,2,3, ....2. Cualq uier funcion peri6dica no senoidal f(t) en el campo de la ingenierfaelectrica puede expresarse en terminos de senoides utilizando las series

de Fourier:o

f(t) = ao + 2: (a" cos nWot + b; sen nwot)'-..-' n= Id e a c

donde W o = 2w/T es la frecuencia fundamental. La serie de Fourier des-compone 1a funcion en una cornponente de cd a . o y en las componentes deca que contienen un mimero infinito de senoides relacionadas arm6nica-mente. Los coeficientes de Fourier se determinan como

1 f Tao = T J o f(t) dt, 2 i T .a" = T f(t) cos nWo t d to2 I T .b; = - .r(t) sen nWo t dtT 0

Si f(t) es una funci6n par, b" = 0; y cuando f(t) es irnpar, a() = 0 yan = O. Si f(t) es simetrica de media onda, ao = a" = bt l = 0 para va-lares pares de n.

3 . Una alternativa a Ia serie trigonometrica de Fourier (0 seno-eoseno) es laforma de amplitud-fase

00

f(t) = ao + L A n cos(n(Vot + C P n )1 1=1


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17.9 Resumen 797

donde-1b;c P n = +tan -an

4. La representacion de la serie de Fourier perrnite aplicar el metoda faso-rial para analizar circuitos cuando la funcion de la fuente es peri6dica masno senoidal. Se recurre a la tecnica fasorial para determinar la respuestade cada arm6nica de la serie, transformando las respuestas al dominictemporal y sumandolas.

5. La potencia promedio de la tensi6n y la corriente periodicas es1 ""P = Vdc1dc + 2 : 2: VIII" cos(8" - < / > , , )rI=1

En otras palabras, la potencia promedio total corresponde a la suma delas potencias promedio de cada una de las armonicas correspondientes a latension y la corriente relacionados.

6. Es igualmente posible representar una funcion periodica en terminos deuna serie exponencial (a cornpleja) de Fourier como

donde1 J T'l =- f(t)e - jm.JuI d tTu

y Wo = 2 trIT. La forma exponencial describe el espectro de fCt) en ter-minos de la ampliLud y la fase de las componentes de ca en las frecuen-cias arm6nicas positiva y negativa. De ta l manera que hay tres formasbasicas de la representacion de la serie de Fourier: la forma trigonome-trica, la forma de la amplitud-fase y la forma exponencial

7. El espectro de frecuencia (0 de barras) es la grafica de An Y < P " a i c n i y8 '1 en funci6n de la frecuencia.

8. El valor rms de una funcion peri6dica esta dado por

La potencia disipada par una resistencia de 1 n es_ 2 _ 2 1 ~ 2 2 _ ~ 1 1 2PIO - Fm1s - ao + '2 L . . J (an + b,.) - L . . J c.;

11=1 n=-M

Esta relacion se conoce tambien con el nombre de teorema de Parseval.9. El analisis de Fourier de un circuito puedc llevarse a cabo en conjuntocan el analisis transitorio si se utiliza PSpice.

10. Las series de Fourier encuentran una aplicacion en los analizadores de es-pectro y en los filtros. El analizador de espectro es un instrurnento quemuestra los espectros discretos de Fourier de una sefial de entrada, de mo-do que el analista puede determinar las frecuencias y energfas relativasde los componentes de la sefial. Debido a que los espectros de Fourierson discretos, los filtros se disetian para que tengan buen desempefio enel bloqueo de componentes de frecuencia de una senal que esta fuera dela banda deseada.


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791 Capitulo 17 las seriesde Fourier

17.1 "Cmiles de las siguientes no pueden ser una serie deFourier?

t2 t3 t4 t5a) t - - + - - - + -. 234 5b) 5 se n I + 3 se n 2t - 2 se n 3t + se n 4tc) sen t - 2 co s 3t + 4 se n 4t + co s 4td) se n t + 3 se n 2,7t - COS ' 1T t + 2 tan rr r

, e -/27r1 e -j:ITne) 1+ e-)Trt + -- + --2 317.2 Si f(t) = t,0 < t < ' 1 T J ( t + fm) =.f(I), cl valor de

Wa esa) 1 b ) 2 c) '1 T d) 2 7 T

17.3 l,Cmil de las siguientes funciones es par?a) I + /2d) r2 + t4

2c) e') t2 cos te ) senh r

17.4 l,Cual de las siguientes funciones es impar?a) sen I+ cos tc) tinte) senh t

b) t sen td) [3 COS f

n.s SU(t) "" 10 + 8 cos t + 4 cos 3t + 2 cos 5t + .." lamagnitud de la cornponente de cd es:a) 10d) 2

b) 8e ) 0

c) 4

17.6 Si.f(t) = 10 + 8 cos t + 4 cos 3t + 2eas 5t + . .., lafreeuencia angular de la sexta arm6nica esa) 12d) 6 b ) 11e) I c) 9

17.7 La funcion de Ia f igure 17.14 es simetrica de media onda,a) Cierto b) Falso

17.8 La grafica de 1 e , , 1 en funcion de nw o se denornina:a) espectro de frecuencia complejob ) espeetro de amplitud complejoc)espectro de fase complejo

17.9 Cuando In tension periodica 2 + 6 sen wot seaplica a una resistencia de I nel nnmero enterom as ap ro xim a do a 1 < 1p ote nc ia que se disipa en laresistencia (en watts) es:a) 5J) 22

b) 8e ) 40

c) 20

17.10 El instrumento para mostra r el espectro de un a serial sec on oc e c omo :a) osciloscopioc) espect rogramo

b) analizador de espectrod) espect rometro de Four ier

Respuestas: 17.1a,d, 17.2b, .l7.3b,c,.d, 17.4d,e, 17.5a, 17.6d,1 7 .7 a ,. 1 7 .8 b, 1 7 .9 d ,17. JOe .

Seccl6n 17.2 Series trigonometricas de Fourier17.] Evahie cada una de las siguientes funciones, yea si

es periodica. Si 10 es, determine su periodo.a) f(t) = COS1Tt + 2 cos 31Tt + 3 cos 51Tlb ) y(t) = sen t + 4cos 2 1 1 " tc) g(t) "" sen 3t cos 4td ) he r) = cos2 te) z(t) = 4.2 sen(O.4w t + 10")+ 0 .8 s en (O .6 7T t + 50")f) pet) = 1 0g) ' fet) = e -rrt

17.2 Utilizando MATLAB, sintetice la forma de onda perio- t : d ica p ara Ia cual Ia serie trigon om etrica de F ourier esMiL I 4 ( It)f(t) = - - - co s t + - co s 3t + -. cos 5t + ....2Tf2 9 25

17.3 Proporcione los coeficientes de Fourier aQ,an Yb; de Iaforma de onda de la figura 17.47. Grafique los espectrosde amplitud y de fase.

g(t)1 0

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 IFigura 17.47Para el problema 17.3.17.4 Encuentre el desarrollo de la serie de Fourier de la de

onda de diente de sierra invertida de la figura 17.48.Obtenga los espectros de amplitud y de fase,


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~>-4 -2 0 2 4 6 t

Figura 17.48Para los problemas 17.4 y 17.66.

17.S Obtenga la expansion de la serie de Fourier de la ondaque se muestra en In figura 17.49.

z(t)

-2

37T7T 0

a)FIgura 17.49Para elproblema 17.5.

17.6

{ 5,f(t) =. 1 0 .

Encuentre la serie trigonornetrica de Fourier deO


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800 Capitulo 17 las seriesde Fourier

17.16 La forma de onda de la figura 17.55a) tiene Ia siguienteserie de Fourier:

I 4 ( 1VI(t) = - - 2 COS?rI + -COS37Tt2?r 9+ _ l _s COS51Tt + ...) . v

2 5Obtenga la serie de F ou rier d e V2(t) en la 6gura "l7.55b)

~.2 -1 0 '2 3 4 t

a)

b)Figura 17.55Para los problemas 17.16 y 17.69.

Secci6n 17.3 (onsideraciones de simetrfa17.17 Determine si estas funciones son pares, impares 0

ninguna de las dos ,a) 1 + t c) cos n-tr t sen ntr td) sen21Tt e) e-t

17.18 Detenni:ne la frecuencia fundamental y especifiqueel tipo de simetrfa presente en las funciones de lafigura 17.56.

a)

-2 -1 0 2 3 4 5b )

-4 -2

c)F igu ra 17 .56Para los problemas 17.18 y 17.63.

17.19 Obtenga la serie de Fourier de Ia forma de onda periodicade la figura 1757.

-4 -3 -2 -I 0F ig ura 1 17 .5 7Para el probl.ema 17..19.

2 3 4 5 6

17.20 Encuentre la serie de Fourier para la sefial de lat figura 17.58. Evaluef(t) en t = 2 utilizando las tresML pr imeras armonicas d is tin ta s d e c ero .

-4 -2 o 2 4 6 8 IFigure 17.5aPara los problemas 17.20 y 17.67 .

17..21 Determine la serie trigonometrica de Fourier de la sefialde la figura 17.59.

/\ . .2 3 4 5 t5 -4 -3 -2 -1 0F igu ra 17 .59Para el problema 17.21.


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17.22 Calcule los coeficientes de Fourier de la funcion de lafigura 17.60.

M M .-5-4 -3 -2 -1 ()

Figura 17.60Para el problema 17.22.

2 3 4 5 I

17.23 Eneuentre la sene de Fourier de la funcion que $C muestrae n Ia f ig ura 17.61.

j(r)


17.24 En Ia funci6n pericdica de la figura 17.62,a) determine los coeficientes C J 2 y h 2 de la serietrigonornerrica de Fourier.

b) calcule la magnirud y la fase de la componente dej(t)que tiene Wn = 10 rad/s,

c) use los primeros cuatro terminos distintos de cero paraestirnar J(7T/2),

d) demuestre que7T 1 1 1 1 1 1-=---+---+---+ ...4 1 3 5 7 9 II

I(t)

-2


Problemas 801

f(t)

-2n 4n: I

Figura 17.62Para los problemas 17.24 Y 17.60.

17.25 Determine la rcpresentacion par serie de Fourier de lafunci6n que se muestra en la figura 17.63.

J(I)

Figura 17.63Para el problema 1.7.25.

17.26 Encuentrc Ia rcprcsentacion de la serie de Fourier de laserial que se presenta en la figura 17.64.

8.-4 -3 -2 -1 0 2 3 4 5Figura 11.64Para el problema 17.26.

6 7 8 9 /(s)

17.27 Para la forma de onda que se muestra en la figura 17.65,a) especifique el tipo de simetria que tiene,b ) ealcule (13 Y 1 7 3c) encuentre su valor 1 1 1 1 : > utilizando las prirncras cinco

arrnonicas distintas de cero.

2


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Sot Capitulo 17 Lasseriesde Fourier

17.28 Obtenga la serie trigonometrica de Fourier para la forma:Ii de onda de tensi6n que e indica en la figura 17.66.ML

u (t)

4 t

Figura 17.66Para el problema 17 .28 .17.29 Determine el desarrollo de la serie de Fourier para la

f unc ion d ie n re de sierra de la figura 17.67.J C t )

Figura 17.67Para el pro blema J 7.29.17.30 a) Sij{t) cs una funcion par, demue tre que

2 1 T I 2e ll = T 0 J(t) cos nwot dt

b) Sij{t) es una funci6n irnpar, demuestre quej2 1'/2

c.; = -7 L f{t) se n !Uv"t dt17.31 Sean G" y b" los coeficientes de la serie de Fourier de

j{t) y sea w" su frecuencia fundamental. Supongaquej{t) esta escalada en tiempo y es igual a h(t) =la.t).Exprese G~y b:', y w~,de h(t) en terminos de G,,, b;y Wo de f(t).

Secci6n 17.4 Apliceciones en circuitos17.32 Determine i(t) en el circuito de la figura 17.68, dado que

'" 1iit) = 1 + 2 : . lCOS 3nt A,,=1 n

20.

InFigura 17.68Para el problema 17.32.

17.33 En el circuito que se muestra en la figura 17.69, el de 'a-rrollo de la serie de Fourier de vlt) es

4 oc- Jv s C r ) = 3 + - L -sen(rl7Tt)7r ,,~l n

Encontrar v o C x ) ,

Ion


17.34 Obtenga u,,(t) en la red dela figura 17.70 siV(t)=i: : ~ c o s ( n t + n ; ) v

n=1

2Q IH

Figura, 17.70Para el problema 17.34,

17.35 Si U, en el circuito de la f igura 17.71 es la rnisma quela funci6n!2(t) de la figura 17.56b), determine lacomponente de cd y las pcimeras tres arrnonicas distintasde cera de vll(r).


* 17.36 Encuentre la

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Capitulo 17 - Las Series de Fourier