MECHANICS OF

MATERIALS

Fourth Edition

Ferdinand P. Beer

E. Russell Johnston, Jr.

John T. DeWolf

Lecture Notes:

J. Walt Oler

Texas Tech University

CHAPTER

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

5Análise e Projecto de

Vigas à Flexão

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Fo

urth

Ed

ition

Beer • Johnston • DeWolf

5 - 2

Analysis and Design of Beams for Bending

Introdução

Diagramas do Esforço Transverso e Momento Flector

Problema 5.1

Problema 5.2

Relações Entre Carga, Esforço Transverso e Momento

Flector

Problema 5.3

Problema 5.5

Projecto de Vigas Prismáticas à Flexão

Problema 5.8

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Fo

urth

Ed

ition

Beer • Johnston • DeWolf

5 - 3

Introdução

• Vigas – Componentes estruturais que suportam

cargas em vários pontos ao longo do seu

comprimento

• Objectivo - Análise e projecto de vigas

• As cargas transversais actuantes em vigas podem

ser concentradas ou distribuidas.

• As cargas aplicadas resultam em forças internas

que consistem de uma força de corte (da

distribuição de tensões de corte) e de um

momento flector (da distribuição de tensões

normais)

• A tensão normal é na maior parte das vezes o

critério critico de projecto

S

M

I

cM

I

Mymx

Requer determinação da localização e grandeza

do maior momento flector

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Fo

urth

Ed

ition

Beer • Johnston • DeWolf

5 - 4

Introdução

Classificação dos Suportes das Vigas

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Fo

urth

Ed

ition

Beer • Johnston • DeWolf

5 - 5

Diagramas do Esforço Transverso e Momento Flector

• A determinação das tensões normal e de

corte máximas requer a identificação do

esforço transverso e momento flector

máximos.

• O esforço transverso e o momento flector

num ponto são determinados intersectando a

viga por um plano e fazendo uma análise de

equilibrio nas duas partes da viga adjacentes à

secção obtida.

• Convenção de sinais para esforço transverso

V e V’ e momentos flectores M e M’

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Fo

urth

Ed

ition

Beer • Johnston • DeWolf

5 - 6

Problema 5.1

Para a viga de madeira e carregamento

da Fig. desenhe os diagramas do

esforço transverso e momento flector e

determine a tensão normal máxima

devido à flexão.

SOLUÇÃO:

• Tratando a viga como um corpo

rigido, determine as reacções.

• Identifique o esforço transverso e o

momento flector máximos a partir

dos gráficos da sua distribuição.

• Aplique as fórmulas da flexão elástica

para determinar a correspondente

tensão normal máxima.

• Seccione a viga em pontos próximos

dos suportes ou dos pontos de

aplicação das cargas. Estude o

equilíbrio de corpo livre para

determinar o esforço transverso e o

momento flector.

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Fo

urth

Ed

ition

Beer • Johnston • DeWolf

5 - 7

Problema 5.1

SOLUÇÃO:

• Tratando a viga como um corpo rígido determine as

forças de reacção

kN14kN46:0 de DBBy RRMF

• Seccione a viga e aplique equilíbrio de corpo

livre às duas partes da viga

00m0kN200

kN200kN200

111

11

MMM

VVFy

mkN500m5.2kN200

kN200kN200

222

22

MMM

VVFy

0kN14

mkN28kN14

mkN28kN26

mkN50kN26

66

55

44

33

MV

MV

MV

MV

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Fo

urth

Ed

ition

Beer • Johnston • DeWolf

5 - 8

Problema 5.1

• Identifique o esforço transverso e momento

flector máximos a partir dos gráficos das

suas distribuições.

mkN50kN26 Bmm MMV

• Aplique as fórmulas da flexão para

determinar a correspondente tensão

normal máxima.

36

3

36

2

612

61

m1033.833

mN1050

m1033.833

m250.0m080.0

S

M

hbS

Bm

Pa100.60 6m

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Fo

urth

Ed

ition

Beer • Johnston • DeWolf

5 - 9

Problema 5.2

A estrutura da Fig. é construída a partir

de uma viga W250x167 de aço

laminado. (a) Trace os diagramas de

esforço transverso e momento flector

para a viga e carregamento indicados.

(b) determine a tensão normal nas

secções à esquerda e à direita do ponto

D.

SOLUÇÃO:

• Substitua a carga de 45 kN por um

sistema equivalente força-momento

em D. Determine as reacções em B

considerando a viga como um corpo

rigido.

• Seccione a viga em pontos próximos

dos suportes e dos pontos de

aplicação das cargas. Proceda a uma

análise de corpo livre para determinar

o esforço transverso e momento

flector internos.

• Aplique as fórmulas da flexão

elástica para determinar a tensão

normal máxima à esquerda e à direita

do ponto D.

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Fo

urth

Ed

ition

Beer • Johnston • DeWolf

5 - 10

Problema 5.2

SOLUÇÃO:

• Substitua a carga de 45 kN por um par força

momento equivalentes em D. Determine as

reacções em B.• Seccione a viga e faça uma análise de

equilibrio de corpo livre.

mkN5.220450

kN450450

:

2

21

1

xMMxxM

xVVxF

CtoADe

y

mkN106.12902.11080

kN10801080

:

2

xMMxM

VVF

DtoCDe

y

mkN1531.305kN153

:

xMV

BtoDDe

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Fo

urth

Ed

ition

Beer • Johnston • DeWolf

5 - 11

Problema 5.2

• Aplique as fórmulas de flexão elástica para

determinar a tensão normal máxima à

esquerda e à direita do ponto D.

Do Apêndice C para um perfil laminado de aço

W250x167, S = 2.08x10-6 mm3 em torno do

eixo X-X.

33-

3

33-

3

m10x08.2

mN10x8.199

:

m10x08.2

mN10x8.226

:

S

M

DpontododireitaÀ

S

M

DpontodoesquerdaÀ

m

m

MPa109m

MPa 96m

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Fo

urth

Ed

ition

Beer • Johnston • DeWolf

5 - 12

Relações entre Carga, Esforço Transverso e

Momento Flector

xwV

xwVVVFy

0:0

D

C

x

xCD dxwVV

wdx

dV

• Relação entre carga e esforço transverso:

221

02

:0

xwxVM

xxwxVMMMMC

D

C

x

x

CD dxVMM

Vdx

dM

• Relação entre esforço transverso e

momento flector:

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Fo

urth

Ed

ition

Beer • Johnston • DeWolf

5 - 13

Problema 5.3

Trace os diagramas de esforço

transverso e momento flector

para a viga e carregamentos da

Fig.

SOLUÇÃO:

• Tomando toda a viga como um corpo livre,

determine as reacções em A e D.

• Aplique a relação entre esforço transverso e

carga para traçar o diagrama de esforço

transverso .

• Aplique a relação entre momento flector e

esforço transverso para traçar o diagrama

de momento flector.

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Fo

urth

Ed

ition

Beer • Johnston • DeWolf

5 - 14

Problema 5.3

SOLUÇÃO:

• Tomando toda a viga como um corpo livre, determine

as reacções em A e D.

kN2.81

kN8.52kN6.115kN54kN900

0F

kN6.115

m4.8kN8.52m2.4kN54m 8.1kN90m2.70

0

y

y

y

A

A

A

D

D

M

• Aplique a relação entre esforço transverso e carga

para traçar o diagrama de esforço transverso.

dxwdVwdx

dV

- declive nulo entre cargas concentradas

- Variação linear ao longo de um troço

uniformemente carregado

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Fo

urth

Ed

ition

Beer • Johnston • DeWolf

5 - 15

Problema 5.3

• Aplique a relação entre momento flector e

esforço transverso para traçar o diagrama de

momento flector.

dxVdMVdx

dM

- momento flector em A e E é nulo

- A soma das variações do momento flector ao

longo da viga deve ser nula

- a variação no momento flector é igual às áreas

debaixo dos troços de esforço transverso

- a variação do momento flector entre D e

E é quadrática

- a variação do momento flector entre A, B,

C e D é linear

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Fo

urth

Ed

ition

Beer • Johnston • DeWolf

5 - 16

Problema 5.5

Trace os diagramas de esforço

transverso e momento flector para a

viga e carregamentos da Fig.

SOLUÇÃO:

• Tomando a viga como um corpo livre,

determine as reacções em C.

• Aplique a relação entre esforço

transverso e carga para traçar o diagrama

de esforço transverso.

• Aplique a relação entre momento

flector e esforço transverso para traçar

o diagrama de momento flector.

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Fo

urth

Ed

ition

Beer • Johnston • DeWolf

5 - 17

Problema 5.5

SOLUÇÃO:

• Tomando a viga como um corpo livre, determine

as reacções em C.

330

0

021

021

021

021

aLawMM

aLawM

awRRawF

CCC

CCy

Resultados por integração das distribuições de

carga e de esforço transverso deviam ser similares.

• Aplique as relações entre o esforço transverso e a

carga para traçar o diagrama do esforço transverso.

cargadecurvadadebaixoárea

21

021

0

2

0

0

0

awV

a

xxwdx

a

xwVV

B

aa

AB

- Esforço transverso entre B e C não se altera.

- Compatível com equilibrio de corpo livre

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Fo

urth

Ed

ition

Beer • Johnston • DeWolf

5 - 18

Problema 5.5

• Aplique a relação entre momento flector e esforço

transverso para traçar o diagrama de momento

flector.

203

1

0

32

00

2

0622

awM

a

xxwdx

a

xxwMM

B

aa

AB

323 0

061

021

021

aL

waaLawM

aLawdxawMM

C

L

aCB

Resultados em C são compatíveis com

análise de equilibrio de corpo livre

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Fo

urth

Ed

ition

Beer • Johnston • DeWolf

3 - 19

Flexão de Vigas – Diagrama V(x) e M(x)

• Cálculo de diagramas de esforço transverso e momento flector e determinação

da tensão máxima na secção mais crítica: M8.9; 8.11-8.14 do Mecmovies

• Cálculo de tensões máximas numa secção de uma viga carregada

excêntricamente: M8.20; 8.23 do Mecmovies

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Fo

urth

Ed

ition

Beer • Johnston • DeWolf

5 - 20

Projecto de Vigas Prismáticas à Flexão

• Dentre as secções candidatas para a viga e com módulo aceitável, a

de menor peso por unidade de comprimento ou por unidade de área

da secção será a mais barata e a melhor escolha de todas.

• A maior tensão normal encontra-se à superfície onde o

momento de flexão máximo ocorre.

S

M

I

cMm

maxmax

• Um projecto seguro requer que a tensão normal máxima

seja inferior à tensão admissível do material. Este critério

conduz à determinação do módulo mínimo da secção que é

aceitável.

all

allm

MS

maxmin

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Fo

urth

Ed

ition

Beer • Johnston • DeWolf

5 - 21

Problema 5.8

Uma viga de aço simplesmente

apoiada deve suportar as cargas

distribuida e concentrada da Fig.

Sabendo que a tensão normal

admissível para o aço utilizado é de

160 MPa, seleccione a secção de viga

em W que deve ser utilizada.

SOLUÇÃO:

• Considerando a viga como um corpo

livre, determine as reacções em A e D.

• Trace o diagrama do esforço

transverso ao longo da viga e a

distribuição de carga. A partir do

diagrama determine o momento

flector máximo.

• Determine o mínimo módulo da

secção que é aceitável. Escolha a

melhor secção padrão que satisfaz o

critério.

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Fo

urth

Ed

ition

Beer • Johnston • DeWolf

5 - 22

Problema 5.8

• Considerando a viga como um corpo livre,

determine as reacções em A e D.

kN0.52

kN50kN60kN0.580

kN0.58

m4kN50m5.1kN60m50

y

yy

A

A

AF

D

DM

• Trace o diagrama do esforço transverso e

determine o momento flector máximo.

kN8

kN60arg

kN0.52

B

AB

yA

V

accurvadebaixoareaVV

AV

• O momento flector máximo ocorre para

V = 0 ou seja a x = 2.6 m.

kN6.67

,max

EaAtransversoesforçocurvadebaixoareaM

© 2006 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS

Fo

urth

Ed

ition

Beer • Johnston • DeWolf

5 - 23

Problema 5.8

• Determine o mínimo módulo da secção que é

aceitável.

3336

maxmin

mm105.422m105.422

MPa160

mkN6.67

all

MS

• Escolha a melhor secção padrão que satisfaz o

critério.

4481.46W200

5358.44W250

5497.38W310

4749.32W360

63738.8W410

mm10 33

SShape

9.32360W