Cap5 Signals & Systems

CORRELACIN Y

ESPECTRO DE SEALES

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En el anlisis de seales y sistemas las caractersticas individuales deaqullas son, desde luego, importantes, pero tambin lo son lasrelaciones entre ellas.

Dichas relaciones indican a menudo si los fenmenos fsicos que lascausan se relacionan o si una seal es una versin modificada de la otra.

La relacin entre dos seales en un sistema puede utilizarse para medirlas caractersticas de este ltimo.

La relacin entre seales indica a menudo si una depende de la otra, siambas dependen de algn fenmeno comn o si son independientes.

En este captulo se investigarn las tcnicas matemticas con las que secomparan dos seales. Dichos mtodos se aplicaran exclusivamente aseales en tiempo continuo, determinstica y aleatorias.

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Es fundamental:

1. Entender cmo se define matemticamente la similitud entre dosseales en el dominio del tiempo.

2. Desarrollar una comprensin de cmo definir matemticamente lasimilitud entre dos seales en el dominio de la frecuencia.

3. Relacionar entre s los mtodos en el dominio del tiempo y en eldominio de la frecuencia a travs de la transformada de Fourier.

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Correlacin y correlograma

Cmo determinar si dos seales estn correlacionadas?se necesita un mtodo matemtico para indicar en forma precisa ycuantitativa la correlacin entre seales.

Cada par se grafica enfuncin del tiempo, ydespus las dos seales segrafican una en funcin dela otra.

Esta tercera grafica recibe el nombre de correlogramay ayuda a determinar si dos seales estn correlacionadas o no.

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Cmo determinar si dos seales estn correlacionadas?se necesita un mtodo matemtico para indicar en forma precisa ycuantitativa la correlacin entre seales.

Las dos seales en TC,tienen caractersticassimilares.

Significan que se desvanalrededor de la mismacantidad a partir de cero.

Sus valores promediosparecen estar alrededor decero y tienden a variarcomo una funcin deltiempo a la mismavelocidad general.

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Estn correlacionadas?No hay similitud evidente solo a partir de examinarlas.

El correlograma confirmaque no hay una tendenciageneral de que una vareen la misma direccin quela otra o en la direccinopuesta.

Puesto que no hay una aparente linealidad en el correlograma, se concluir, con base en esta evidencia, que no estn correlacionadas.

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En el siguiente caso, an cuando es posible darse cuenta al ver las dosseales en TC que sus formas son muy similares.

El correlograma indica que no son exactamente proporcionales entre sporque no dan origen a una lnea recta (aunque la grfica tiende a estaren el primero y tercer cuadrante antes ms que en el segundo y elcuarto).

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Sin embargo, tiene una forma interesante: formas pseudo-elpticas centradas en una lnea de pendiente positiva.

Qu es lo que indica esta forma? Si usted observa con cuidadolas dos grficas de tiempo, notar un pequeo desplazamiento enel tiempo entre ellas.

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La segunda seal es una versin desplazada en el tiempo de la primera.

En este caso la segunda seal se mueve en la misma direccin que laprimera pero antes en el tiempo. De modo que existe una relacin entreellas, pero con desplazamiento de tiempo.

)()( 12 txKtx Este tipo de relacin se describeen forma matemtica mediante:

En este caso, K = 1 Y < 0.

Si se desplaza la segunda sealun poco despus en el tiempo,se obtendra un correlograma delnea recta con una pendientepositiva que indicara una fuertecorrelacin positiva.

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Dos trminos que se usan de manera comn en las descripcionesde relaciones entre seales son la correlacin y la independencia

)()( 12 txKtxLa correlacin positiva significala tendencia de dos seales amoverse en la misma direccinal mismo tiempo

La correlacin negativa indica latendencia de dos seales amoverse en direccionesopuestas al mismo tiempo.

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Dos trminos que se usan de manera comn en las descripcionesde relaciones entre seales son la correlacin y la independencia

)()( 12 txKtx

La definicin que se aceptaen forma comn deindependencia dice quesi dos seales sonindependientes no hay algocomn entre ellas.

Esto es, no existe relacinmatemtica entre lageneracin de una y lageneracin de la otra.

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Puesto que independencia y correlacin parecen ser conceptosopuestos, es tentador en este punto pensar que si dos seales no sonindependientes, estn relacionadas, pero eso por lo general no escierto.

Este ltimo correlograma es una buena ilustracin de la diferencia entre la correlacin y la dependencia.

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Puesto que independencia y correlacin parecen ser conceptosopuestos, es tentador en este punto pensar que si dos seales no sonindependientes, estn relacionadas, pero eso por lo general no escierto.

Las dos seales en TC son de manera evidente no independientes pues se trata de senoides de la misma frecuencia y hay una relacin matemtica simple entre ellas.

Conocer una y la diferencia de fase permitira calcular la otra.

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Sin embargo, no estn correlacionadas.

Esto se indica mediante la falta de cualquier linealidad discernible en el correlograma.

Lo anterior puede demostrarse matemticamente a partir de la definicin de correlacin.

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Ejemplo de Aplicacin:

Grafique los correlogramas de los siguientes pares de seales en TC.

ttx

ttx

4cos2)(

2cos)(

2

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Command Windows:

>> t=-5:0.001:5;>> x1=cos(2*pi*t);>> x2=2*cos(4*pi*t);>> plot(x1,x2);grid

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Funcin de correlacin

El correlograma es til como una herramienta de visualizacin, perosera ms adecuado tener una forma matemtica precisa de expresarla relacin entre dos seales.

La correlacin es la tcnica matemtica que indica si dos seales serelacionan y, en una forma cuantitativa precisa, en qu medida lohacen.

El clculo matemtico de la correlacin se basa en el anlisis de si dosseales tienden a moverse juntas.

La correlacin de dos funciones idnticas se llama autocorrelacin, yen el caso de que sean diferentes, se conoce como correlacin cruzada

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Esto es, si dos seales se mueven en la misma direccin al mismotiempo, estn correlacionadas, al menos durante ese tiempo.

1. Si, durante un largo periodo, las seales tienden a moverse en lamisma direccin al mismo tiempo, se dice que estncorrelacionadas positivamente.

2. Si, durante un largo periodo, dos seales tienden a moverse endirecciones opuestas al mismo tiempo, tambin estncorrelacionadas, pero en un sentido negativo.

3. Si, durante un largo periodo, las dos seales tienden a moverse enla misma direccin alrededor de la mitad del tiempo y endirecciones opuestas la otra mitad, se dice que no estncorrelacionadas.

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La definicin matemtica de correlacin debe incorporar de algnmodo estas ideas acerca de cmo se mueven las seales una enrelacin con otra.

Esto se hace observando el valor promedio del producto de lasfunciones.

Considere primero dos seales, cada una de las cuales tiene un valorpromedio de cero. Si ambas tienden a moverse en conjunto en lamisma direccin. su producto tiende a ser positivo.

Si ambas son positivas, el producto es positivo, y si ambas sonnegativas, su producto sigue siendo positivo.

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De manera similar, si se mueven en direcciones opuestas la mayor partedel tiempo, su producto tender a ser negativo la mayor parte del tiempo.

Por lo tanto, el promedio de su producto durante un largo periodo es unabuena medida de cmo se correlacionan y en qu sentido.

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Si los valores promedio de las seales son ambos distintos de cero,entonces un sesgo se aadir al producto, pero la variacin alrededor deese sesgo seguir indicando si sus variaciones se mueven en direccionesiguales u opuestas.

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Si el promedio del producto de las seales es mayor que el productode los valores promedio de las dos seales individuales, las sealesse correlacionan positivamente.

Si el promedio del producto es menor que el producto de lospromedios, las seales estn correlacionadas negativamente.

Si el promedio del producto es igual al producto de los promedios,las seales no estn correlacionadas.

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La funcin de correlacin para seales de energa

( ) y ( ) ( ) ( )

( ) y ( ) ( ) ( )

x t y t x t y t dt

x t y t x t y t dt

Seales no necesariamente reales

Seales netamente reales

Es mucho ms comn en el anlisis de seales y sistemas referirse a lafuncin de correlacin vez de slo a la correlacin.

La funcin de correlacin es una expresin matemtica de qu tancorrelacionadas estn dos seales como una funcin de qu tanto unade ellas est desplazada.

La correlacin entre dos funciones es un simple nmero.

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La funcin de correlacin para seales de energa

dttytxtytx

dttytxtytx

)()()(y )(

)()()(y )( Seales no necesariamente reales


La funcin de correlacin entre dos funciones es una funcin de lacantidad de desplazamiento.

La definicin matemtica de la funcin de correlacin entre dos sealesde energa en TC es

dttytxdttytxR

dttytxdttytxR

xy

xy

)()()()()(

)()()()()(



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Observe la similitud entre la funcin de correlacin para las dosseales de energa y la convolucin de dos seales presentada antes.La convolucin de dos seales es

dytxtytx

)()()(*)(

La nica diferencia es que en la convolucin una de las seales seinvierte en el tiempo antes de que ocurra el proceso de desplazamientoY en la correlacin se omite el proceso de inversin.Por consiguiente, para el caso de seales de energa, existe una relacinmatemtica simple entre la correlacin y la convolucin,

)()()( yxRxy

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Puesto que hay una estrecha relacin entre la convolucin y lacorrelacin para seales de energa, es posible utilizar la dualidadmultiplicacin-convolucin de la transformada de Fourier comoauxiliar en el clculo de correlaciones.

La convolucin en el dominio del tiempo corresponde a lamultiplicacin en el dominio de la frecuencia. Por lo tanto

)()()(

)()(

fYfXR

fXtx

F

xy

F


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La funcin de correlacin para seales de potencia

1 1( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( )

1 1( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( )

xy T TT T

xy T TT T

R x t y t dt x t y t dtT T




Un caso especial importante de correlacin de seales depotencia es la que existe entre dos seales peridicas cuyosperiodos fundamentales son tales que el producto de las dosseales es tambin peridico.

Esto ocurrir cada vez que los periodos fundamentales de lasdos seales peridicas tengan un mnimo comn mltiplo finito(MCM).

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La funcin de correlacin para seales de potencia

1 1( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( )

1 1( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( )

xy T TT T

xy T TT T





Para dos funciones peridicas cuyo producto tiene un periodoT, la forma general de la funcin de correlacin (para funcionesde potencia real)

dttytxT

RdttytxT

RT

xyT

Txy )()(1

)()()(1

lim)(

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Debido a que la integral para un periodo del producto, dividida entre elperiodo (que es el promedio del integrando para un periodo) es igualque el promedio para cualquier nmero entero de periodos incluyendouna cantidad infinita de ellos.

El lado derecho de la ecuacin es muy similar a la convolucionesperidica.

De hecho es posible expresar la correlacin entre dos sealesperidicas, para cualquier periodo que tengan en comn, como unaconvolucin peridica,

T

yxRdttytx

TR xy

Txy

)()()()()(

1)(

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para ese periodo comn o, utilizando la SFTC y su propiedad dedualidad multiplicacin convolucin,

][][)()( 0 kYkXTyxF

donde, la representacin de la serie de Fourier se toma para untiempo T , que es cualquier periodo comn a ambas funciones.

][][)( * kYkXR Fxy

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La funcin de correlacin es mucho ms general que slo la correlacin debidoa que es una funcin del grado en que se recorre la segunda funcin.

Algunas funciones no se correlacionan con un desplazamiento pero lo hacen en gran medida con otro, por ejemplo, un seno y un coseno en TC de la misma frecuencia. Si ninguna de ellas se desplaza, no estn correlacionadas.

Si una se recorre 90, estn altamente correlacionadas, ya sea positiva o negativamente.

Ejemplo de Aplicacin:

Encuentre la funcin de correlacin para las seales de energa de lafigura

1 1

1( ) 4 ( ) 16sinc(4 )

4

Fx t rect X f f

fjfjF eefffXfXR 222*

112 )2(sinc)4(sinc32)()()(

Solucin:

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2 22 21 1

( ) ( ) 2sinc(2 )2 2

F j f j ft tx t rect rect X f f e e

fjfjF eefffXfXR 222*

112 )2(sinc)4(sinc32)()()(

2 2sinc( )sinc( );a b 0

2 2

Fa b t a b ttri tri ab af bf

a b a b

Usando Fourier

Usando propiedad de desplazamiento:

2 2

2( 1) 2( 1)4 3 2( 1) 3 2( 1)

3 3

32sinc(4 )sinc(2 )F j f j f

t ttri tri t tri tri t

f f e e

Finalmente:

)1(2

3

)1(23)1(2

3

)1(234)(12 ttri

ttrittri

ttriR

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2

12 4 2 8 4 sinc(4 )sinc(2 )3

Fttri tri t f f

)1(2

3

)1(23)1(2

3

)1(234)(12 ttri

ttrittri

ttriR


Procedimiento 2:

dttxtxR

dttytxRxy

)()()(

)()()(

2112

Aplicando directamente la formaintegral de la definicin de la funcinde correlacin.

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44)(

02420;444)(

444)(

12

2

2

12

2

2

12

R

dtdtR

dtR

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Observacin adicional:

La correlacin entre dos senoides de frecuencias diferentes es cero.

)2cos()(

)2cos()(

20222

10111

tfAtx

tfAtx

dttfAtfAT

R

T

T

T

2/

2/

2022101112 ))(2cos()2cos(1

lim)(

dttftfT

AAR

T

T

T

2/

2/

20210121

12 ))(2cos()2cos(lim)(

0201 ff Condicin

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La correlacin entre dos senoides de frecuencias diferentes es cero.

dttftfT

AAR

T

T

T

2/

2/

20210121

12 ))(2cos()2cos(lim)(

/201 02 02 1 21 2

12

01 02 02 1 2/2

cos[2 ( ) 2( ) lim

cos[2 ( ) 2 ]

T

T

T

f f t fA AR dt

f f t fT

/2

01 02 02 1 2

01 021 212

01 02 02 1 2

01 02 /2

sin(2 ( ) 2 )

2 ( )( ) lim

sin(2 ( ) 2 )

2 ( )

T

T

T

f f t f

f fA AR

f f t fT

f f

0)(12 R

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Auto correlacin

Relacin con la energa de seal y con la potencia de seal

Un caso especial muy importante de la funcin de correlacin es lacorrelacin de una funcin consigo misma o autocorrelacin.

Si x(t) es una seal de energa, su autocorrelacin es

dttxdttxtxR

dttxtxR

xx

xx

)()0()()0(

)()()(

2

Energa de seal total

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Auto correlacin

Relacin con la energa de seal y con la potencia de seal

Si x(t) es una seal de potencia, la autocorrelacin a desplazamiento cero es

dttxT

dttxtxT

R

dttxtxT

R

TT

TTxx

TTxx

)(1

lim)0()(1

lim)0(

)()(1

lim)(

2

Potencia de seal promedio

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Propiedades de la autocorrelacin

La autocorrelacin depende de la eleccin de la cantidad dedesplazamiento, por lo que no es posible decir cmo se ve la funcinde autocorrelacin hasta que se conozca la funcin.

Sin embargo, es posible decir que el valor de la autocorrelacin nuncapuede ser mayor que su valor a desplazamiento cero.

Esto es,

Es de gran utilidad para encontrar patrones repetitivos dentro deuna seal por ejemplo para identificar la frecuencia fundamental deuna seal que no contiene dicha componente

)()0( xxxx RR

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)()0( xxxx RR

debido a que en un desplazamiento cero la correlacin consigo mismaes evidentemente la ms grande que puede lograrse, pues coinciden lasversiones desplazada y no desplazada. Aparte,

dttxtxRxx )()()( dttxtxT

RT

Txx )()(1

lim)(

)()()()()()( '''

'

''

xxxx RdttxtxdttxtxR

tt

ddttt

Haciendo un cambio de variable

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)()0( xxxx RR

Entonces recuerde que, se puede calcular la correlacin de dos sealesx(t) y y(t) a travs de la Convolucin de x(t) con y(-t)

La reflexin no afecta la duracin o el rea, por lo que las propiedadesde rea y duracin de la Convolucin se aplican en la correlacin

La autocorrelacin de una funcin real es par. La autocorrelacin de unafuncin par x(t) es tambin la Convolucin de x(t) en s misma

' ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xx xxR x t x t dt x t x t dt R

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La autocorrelacin de la suma de dos senoides de frecuenciasdiferentes es la suma de las autocorrelaciones de las senoidesindividuales.

)2cos()(

)2cos()(

20222

10111

tfAtx

tfAtx0201 ff Condicin

)()()( 2211 RRRxx

Queda al estudiante demostrar la siguiente ecuacin, dada las dos funciones anteriores:

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Correlacin cruzada

Un trmino comn para la funcin de correlacin entre dos sealesdiferentes es correlacin cruzada para distinguirla de la autocorrelacin.

La autocorrelacin es sencillamente un caso especial de la funcin decorrelacin cruzada.

Esta ltima es ms general que la primera, por lo que las propiedades noson tan numerosas, aunque hay una que algunas veces resulta til,

)()( yxxy RR

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Correlacin y las series de Fourier

Recuerde las frmulas para la funcin armnica de la SFTCtrigonomtrica de una seal peridica para exactamente un periodofundamental,

....3,2,1;))(2sin()(2

][....;3,2,1;))(2cos()(2

][

0000

kdttkftxTkXkdttkftx

TkX

T

os

T

oc

Cada valor de Xc[k] o Xs[k] es simplemente el doble de la correlacincruzada, a desplazamiento cero, entre la funcin x(t), senos y cosenosde periodos fundamentales diferentes. Esto es,

))(2sin()()0(2][

))(2cos()()0(2][

tkftsRkX

tkftcRkX

oxss

oxcc

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Correlacin y las series de Fourier

))(2sin()()0(2][

))(2cos()()0(2][

tkftsRkX

tkftcRkX

oxss

oxcc

De manera similar:

tkfj

xz

T

tkfj oo etzRdtetxT

kX)(2)(2

0

)()0()(1

][

0

Ahora la representacin de una seal mediante una serie de Fourier,que es un proceso de descomponer una seal en una combinacinlineal de funciones senoidales, puede verse como un proceso en el quese correlaciona la seal con las senoides para determinar si cualquiersenoide particular o exponencial compleja est presente en la seal y,si es as, en qu proporcin.

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Densidad espectral de energa

El teorema de Parseval relaciona la energa de seal total en una seal x(t) con su transformada de Fourier X(f) mediante:

dffxdttxEx22

)()(

2)()( fxfx Densidad espectral de

potencia

Recibe el nombre de densidad espectral de energa debido a que describe demanera matemtica la relacin de la energa de la seal con la frecuencia.

Si x(t) es una funcin real, la densidad espectral de potencia es par, nonegativa y real. Por consiguiente, es posible escribir la energa de la sealcomo:

0

)(2 dffE xx

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Efectos de los sistemas sobre la DEE

La utilidad del concepto de densidad espectral de energa puedeobservarse si se analiza el efecto del filtrado pasa banda de una seal deexcitacin x(t) en TC para crear una seal de respuesta y(t).

Si el filtro es ideal, con ganancia unitaria y fase lineal en su banda de paso,la parte de la seal dentro de dicha banda de paso no se ver afectada(excepto tal vez por un desplazamiento en el tiempo) y la parte de la sealfuera de la banda de paso se eliminar.

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Efectos de los sistemas sobre la DEE

La energa de una seal en TC se encuentra integrando la DEE para todaslas frecuencias.

Si la seal no tiene DEE para alguna gama de frecuencias, el intervalo de laintegral slo necesita abarcar los valores para los cuales la seal es distintade cero.

En ese caso la energa de seal total de y(t) se determina integrando suDEE,

H

L

f

f

xxy

yy

dffdfffHE

dffXfHdffYdffE

)(2)()(2

)()(2)(2)(2

0

2

0

2

0

2

0

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0

)(2 dffE xx

Esta integral tambin puede pensarse como la parte de la energa deseal de x(t) que se encuentra dentro de la banda de paso del filtro.

En general, la DEE de la respuesta de un sistema en TC lineal se re-laciona con la DEE de la excitacin mediante

)()()()()()(2

ffHfHffHf xxy

Las unidades de la DEE dependen de las unidades de la seal a la cualse aplica y de si la seal es de tiempo continuo o de tiempo discreto.

Por ejemplo, si la unidad de la seal es el volt (V) y es una seal en TC,su transformada de Fourier tiene unidades de V/Hz y las de su DEEson (V/Hz)2 .

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El concepto de la DEE

La DEE de una seal es una descripcin de la distribucin de la energade la seal en funcin de la frecuencia. En la disciplina delprocesamiento de seales hay dos maneras de concebir la DEE: dedoble lateral y de banda lateral nica.

Matemticamente, las DEE de doble banda lateral son msconvenientes en el anlisis de sistemas complicados, pero, debido a ladificultad conceptual de imaginar una frecuencia negativa, las DEE seanalizan muchas veces considerando que toda la energa de la sealreside en el espacio de frecuencia positivo.

Puesto que la DEE de doble banda lateral es una funcin par, la relacinentre las DEE de doble banda lateral y de banda lateral nica es simple.

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La DEE de banda lateral nica de una seal es el doble de la DEEde doble banda lateral de la misma seal para frecuenciaspositivas y cero para frecuencias negativas.

Definida de esta forma la energa total en una seal es la integralpara todo el espacio de la frecuencia de cualquier DEE.

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El nombre densidad espectral de energa proviene del hecho deque la DEE es una descripcin funcional matemtica de cmo laenerga de seal se distribuye en la frecuencia.

diagrama bloques siguiente conceptualiza el cmo la DEE de unaseal en TC podra medirse utilizando un arreglo de filtros,elevadores al cuadrado, integradores y divisores para estimar laDEE en funcin de la frecuencia.

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Relacin de la DEE con la autocorrelacin.

Para seales de energa, la contraparte en el dominio del tiempo de la DEE es laautocorrelacin. La autocorrelacin de una seal de energa x(t) es latransformada de Fourier inversa de su DEE.

)()( ftR xF

x

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Densidad espectral de potencia

La DEP tiene la misma relacin con las seales de potencia que la DEE con lasseales de energa.

Muchas seales en sistemas se consideran y analizan como si fueran sealesde potencia aun cuando no lo sean, ya que ninguna seal real puede durar untiempo infinito.

Sin embargo, a menudo son seales estables que han estado activas durantelargo tiempo y se espera que continen as.

Puesto que la energa de seal total de una seal de potencia no puededeterminarse, se encontrar primero la DEE de una versin truncada de unaseal xT(t) en TC.

)(

caso otroen ,0

2),(

)( txT

trect

Tttx

tXT

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2)( fXTXT

La potencia de seal promedio xT(t) en este intervalo de tiempo es laenerga de seal en este intervalo dividida entre la longitud de dichointervalo. Por lo tanto, es anlogo y lgico definir la DEP de la seal truncadacomo su DEE dividida entre el tiempo.

dtetxdtetxfX

T

T

ftjftj

TT

2/

2/

22 )()()(

2)(

1)(fX

TT

fG T

X

XT

T

Conforme el intervalo de tiempo T se vuelve mas grande, la DEP de esta seal truncada seaproxima a la de la seal original. Por consiguiente:

2)(

1lim)(lim)( fX

TfGfG TTxTx T

De manera analgica a la deduccin de la DEE, la potencia de una seal de potencia de sealfinita en un ancho de banda fL a fH esta dada por:

H

L

f

f

dffGPotencia )(2

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Efectos de los sistemas sobre la DEP

La relacin entre la DEP de una excitacin y la DEP de la respuesta de un sistemalineal es similar la relacin entre la DEE de una excitacin y la DEE de unarespuesta de un sistema lineal. La DEP de la respuesta de un sistema lineal serelaciona con la DEP de la excitacin mediante,

)()()()()()(2

fGfHfHfGfHfG xxy

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Las unidades de DEP dependen otra vez de las unidades de la seal subadyacente a la cual se aplica y de si es en TC. Si la unidad de una seal enTC es el ampere (A), las unidades de la DEP son A2/Hz. Si la unidad de laseal es el volt, las unidades de la DEP son V2/Hz.

Como la potencia de seal es la integral de la DEP para un intervalo defrecuencia los Hz se integran fuera

Por lo tanto la potencia de la seal de una seal de corriente tieneunidades de A2 Y la potencia de la seal una seal de voltaje tieneunidades de V2.

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El concepto de la DEP

Una manera de visualizar el concepto de la DEP es imaginar una seal en TCque se procesa mediante el sistema que se ilustra en la figura de la siguientediapositiva.

La seal de potencia de la seal x(t) en TC se divide primero en intervalos defrecuencia pequeos mediante filtros pasa banda ideales, cada uno conancho de banda f.

Cada seal formada de esa manera se eleva despus al cuadrado y sepromedia en el tiempo, despus se divide entre f para formar la potencia deseal promediada en el tiempo por la frecuencia unitaria.

Entonces las salidas Gx(fk) son estimaciones de la DEP a frecuencias discretas.Si N tiende a infinito, las salidas Gx(fk) abarcan todo el espacio de frecuencia. L

La DEP de banda lateral nica exacta de x(t) es simplemente el lmite de esteproceso cuando f tiende a cero y N tiende a infinito, por lo que la coberturaes uniforme y continua para todo el espacio de frecuencias.

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Como un ejemplo de cul sera laapariencia de las seales en el sistemade la figura en la diapositiva 32,considere que la seal de entrada esx(t) y que N = 4. Algunas de las sealesse ilustran en la figura de estadiapositiva.

Relacin de la DEP con la autocorrelacin.

Para seales de potencia, la contraparteen el dominio del tiempo de la DEP es laautocorrelacin. La autocorrelacin deuna seal de potencia x(t) es latransformada de Fourier inversa de suDEP.

)()( fGtR F

Bibliografa

[1] Roberts M.J. Seales y Sistemas, McGraw-Hill Interamericana, Segunda Edicin, 2008,

[2] TRATAMIENTO DE SEALES EN TIEMPO DISCRETO - OPPENHEIM - PRENTICE HALL - 2011

[3] PROCESAMIENTO DE SEALES ANALOGICAS Y DIGITALES- ASHOK AMBARDAR

[4] Haykin S, Van Veen B. Signal and Systems, Jhon Wiley and Sons, Inc. Second Edition, 2003.

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