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Campo Magnético

Adaptado de:

"Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics", R. A. Serway and J. W. Jewett, Jr., (Thonson, Brooks/Coles, Cengage)

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Polos magnéticos• Cada magnete, independentemente da sua forma,

tem dois polos: polo norte (N) e polo sul (S)• Os polos magnéticos exercem forças uns sobre os

outros: polos semelhantes, N-N ou S-S, repelem-sepolos opostos, N-S, atraiem-se

• Os polos receberam estes nomes devido à forma comoum magnete se comporta no campo magnético da Terra:o polo norte do magnete aponta para o polo norte geográficoda Terra, significa que, o polo norte geográfico da Terra é um polo magnético sul

• A força entre dois polos magnéticos varia como o inversodo quadrado da distância entre os polos

• Nunca foi isolado um polo magnético simples, monopolo,os polos magnéticos ocorrem sempre em pares

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Campo magnético• Lembrar: existe um campo elétrico à volta de qualquer carga elétrica

• No espaço à volta de qualquer carga elétrica em movimento existetambém um campo magnético

• No espaço à volta de uma substância magnética que constitui um magnetepermanente existe também um campo magnético

• O campo magnético é uma quantidade vetorial, simbolizada por B!

• A direção do campo magnético num ponto é dada pela direção de umaagulha magnética colocada no ponto e o sentido do campo é para ondeaponta o polo norte da agulha• O campo magnético pode ser representado de forma pictórica com

linhas de campo magnético• As linhas de campo magnético podem ser traçadas usando uma agulha

magnética

• As linhas de campo magnético fora do magnete apontam do polo nortepara o polo sul

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Linhas de campo magnético

Limalha de ferro mostra o padrão das linhas de campo magnético

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, θ é o menor ângulo entre e

• Força magnética exercida sobre uma partícula com carga elétrica q que se move com velocidade num campo magnético

• O campo magnético num ponto do espaço pode ser definido em termos da força magnética BF

!

v!

Definição de campo magnético

Força sobre uma carga elétrica em movimento num campo magnético

B q= ´F v B! !!

B!BF

!

• Magnitude da força: v! B!

FB = |q| v B sin qFB é zero quando a velocidade e o campo são paralelos ou antiparalelos, θ = 0 ou 180°FB é máximo quando a velocidade e o campo são perpendiculares, θ = 90°

• A força é perpendicular ao plano formado por e BF!

v! B!

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Regra da mão direita #1:

Ex: carga q positiva

Regra da mão direita #2:

Ex: carga q positiva

alternativa

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Diferenças entre o campo elétrico e o campo magnético

Direção da força:

• A força elétrica atua na direção do campo elétrico• A força magnética atua na direção perpendicular ao campo magnético

Movimento:• A força elétrica atua sobre uma partícula com carga independentemente

da partícula estar em movimento ou não• A força magnética atua sobre uma partícula com carga apenas quando a

partícula está em movimento

Trabalho:

• A força elétrica realiza trabalho quando desloca uma partícula com carga

• A força magnética associada a um campo magnético estacionário nãorealiza trabalho quando uma partícula com carga é deslocada, porquea força magnética é perpendicular ao deslocamento

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• A energia cinética de uma partícula com carga elétrica em movimento atravésde um campo magnético não é alterada pelo campo magnético, porque o trabalho realizado pela força magnética é zero

• Quando uma partícula com carga elétrica se move através de um campo magnéticocom uma determinada velocidade, o campo altera a direção da velocidade mas nãoaltera a magnitude da velocidade, ou a energia cinética da partícula, porque a forçamagnética produz apenas aceleração normal ou centrípeta

Unidade de campo magnético no SI: Tesla, T

Unidade de campo magnético no sistema c.g.s: Gauss, G

1 T = 104 G

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Notação:

Vetores perpendiculares à página

• Os pontos representam setas a sairda página

• As cruzes representam setas a entrarna página

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Movimento de uma partícula com carga num campo magnético uniforme• Considere uma partícula com carga, que entra

num campo magnético uniforme, com velocidadeinicial perpendicular ao campo

• A força magnética gera uma aceleração centrípetaque muda a direção da velocidade da partícula

• A trajetória da partícula é um círculo, num planoperpendicular ao campo magnético, com raio r

⇒

• Velocidade angular da partícula

frequência de ciclotrão

• O período do movimento é

→ q > 0

← q < 0

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Exemplo:Feixe de eletrões num campo magnético uniforme perpendicular ao feixe

• Os eletrões são acelerados a partir do repousoatravés de uma diferença de potencial ∆V

• Quando os eletrões entram no campo magnéticotêm uma trajetória circular

• Determinação de e/m :

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2 2y zv v v^ = +

• Considere uma partícula com carga, que entra num campo magnético uniforme, com uma velocidade inicial que faz um ângulo arbitrário com o campo

• A força magnética gera uma mudança nas velocidades vy e vz , a projeçãoda trajetória no plano yz (vista ao longo do eixo x) é um circunferência

• A trajetória resultante é uma hélice

• As expressões para o raio, r, a velocidade angular, w, e o período, T,são idênticas às do caso anterior mas com v substituído por

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Movimento de uma partícula com carga num campo magnético não uniforme

•O movimento é complexo

•Num campo magnético que é forte nos extremos e fraco no meioas partículas podem oscilar para a frente e para tráz entre duas posições

•Esta configuração é conhecida como:

“magnetic bottle”partículas com carga ficam presas dentro dela

•Utilizada no confinamento de plasmas,gás constituído por iões e eletrões

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“Van Allen Radiation Belts”

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• Consistem em partículas com carga, principalmente eletrões e protões,que circundam a Terra em regiõescom forma de rosca

• As partículas, aprisionadas pelo campo magnético da Terra, não uniforme, movem-se em espiral em torno das linhasde campo, de polo para polo, em poucos segundos

• As partículas têm origem no Sol e outros objetos celestiais, sãodesignadas raios cósmicos

• Quando as partículas estão sobre os polos, por vezes colidem com átomosda atmosfera, provocando emissão de luz visível

• Tal dá origem à Aurora Borealis, no hemisfério norte, e à Aurora Australis, no hemisfério sul, as Auroras estão usualmente confinadas às regiões polaresporque os cintos de Van Allen estão ali mais perto da Terra

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q q= + ´F E v B! ! !!

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Partículas com carga em movimento em campos elétricos e magnéticos

• Em muitas aplicações, partículas com carga movem-se na presença de camposelétricos e magnéticos

• A força total é a soma das forças devidas aos campos individuais, denominada força de Lorentz

Aplicações

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Seletor de velocidades

• Usado em experiências em que todas as partículastêm de mover-se com igual velocidade

• Tem-se um campo elétrico uniforme perpendicular a um campo magnético uniforme

• Quando a força devida ao campo elétrico é igualem módulo mas contrária à força devida aocampo magnético, a partícula segue em linha reta

• Tal acontece quando a velocidade tem o valor

qE = qvB ⇒ v = E / B

q>0

• Apenas partículas com aquela velocidade passam através dos dois campossem serem defletidas

• Para partículas que se movem com velocidade superior àquela, a força magnéticaé maior do que a força elétrica e as partículas são defletidas para a esquerda

• Para partículas que se movem com velocidade inferior àquela, a força magnéticaé menor do que a força elétrica e as partículas são defletidas para adireita

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Espectrometro de massa• Um espectrometro de massa separa os iões

de acordo com a sua razão massa / carga• Um feixe de iões passa primeiro num seletor

de velocidades e entra a seguir num segundocampo magnético

• Depois de entrarem no segundo campo magnéticoos iões descrevem um semi-círculo de raio r antes de embaterem no detector no ponto P

• Se os iões têm carga positiva são defletidos parapara a esquerda• Se os iões têm carga negativa são defletidos para

para a direita• Do selector as partículas têm velocidade: v = E/B• No segundo campo magnético: qvB0 = mv2/r• Tem-se então: m/q = rBB0/E

• Num feixe de isótopos de um determinado ião , todos os iões têm a mesma carga, mede-se então a massa dos vários isótopos

q > 0

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Expriência de Thomson:

• Eletrões são acelerados a partir do cátodo

• Os eletrões são defletidos por um campo elétrico e um campo magnético

• O feixe de eletrões embate num écranfluorescente

medição da razão e/m para eletrões

Descoberta do eletrão como partícula fundamental da natureza

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2 2 221

2 2q B RK mvm

= =

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Ciclotrão• Um ciclotrão é um dispositivo que permite acelerar partículas com carga até

velocidades muito elevadas

• As partículas produzidas com elevada energia são utilizadas para bombardearnucleus atómicos e produzir reações nucleares

• Um potencial alternado com elevada frequênciaé aplicado às partes D1 e D2

• Um campo magnético uniforme é perpendicular às partes D1 e D2

• Um ião positivo é libertado junto do centro e move-se numa trajetória semicircular

• A diferença de potencial é ajustada de forma à polaridade das partes D1 e D2

ser invertida no mesmo tempo que o ião leva a viajar à volta de um D • A energia cinética do ião aumenta em cada viagem, ∆Ec = q∆V no hiato

• Energia cinética do ião quando sai do ciclotrão, em termos do raio de D1 e D2 ,

• Em determinados hospitais existe um ciclotrão para produzir substâncias radioativaspara diagnóstico e tratamento

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Efeito de Hall

• Este efeito resulta da deflexão dos portadores de carga para um lado do condutor devido à forçamagnética que sobre eles atua

• Quando as cargas são negativas o lado superiordo conductor fica com carga negativa, ∆VH < 0

• Quando as cargas são positivas o lado superiordo conductor fica com carga positive, ∆VH > 0

∆VH = Vc - Va

DVH = EHd = vd B d

RH = 1 / nq

• Tensão de Hall:⇒

• Coeficiente de Hall:• O efeito de Hall dá informação sobre o sinal dos

portadores de carga e a sua densidade• Pode também ser usado para medir campos elétricos

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Força magnética sobre um condutor com uma corrente elétrica

• Uma força é exercida sobre um fio que transporta uma corrente elétrica colocado num campo magnético• A força resultante exercida pelo campo magnético sobre o fio é a soma das forças

individuais exercidas nas partículas com carga em movimento que formam a corrente

• A força exercida nas partículas é transmitida ao fio quando as partículas colidemcom os átomos que constituem o fio

• Força magnética sobre um fio com corrente elétrica:

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o vector tem magnitude igual ao comprimento do segmento de fio e a direção e sentido da corrente

dq= ´F v B! !!

( )dq nAL= ´F v B! !!

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• Considere um segmento de fio retilíneo, com comprimento L e secção transversa com área A , num campo magnético

• A força magnética exercida sobre uma carga qcom velocidade de deriva vd é

• A força total que atua no segmento de fio é dada pela força que atuasobre cada carga multiplicada pelo número de cargas no segmento

n é o número de cargas por unidade de volume

• A corrente no fio é: I = nqvdA

• A força magnética é então dada por

B I= ´F L B! ! !

B!

L!

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• A força magnética exercida sobre um segmento do fio é

b

B d= ´òaF s B! !!

I

ds!

Bd I d= ´F s B! !!

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• Considere um fio com forma arbitrária

• A força total sobre o segmento de fio entre a e b é

• Esta expressão constitui uma definição alternativa para B!

Caso 1: fio curvilíneo com corrente elétrica I num campo magnético uniforme B!

⇒

é o vetor direto de a para b

Caso 2: espira com corrente elétrica I num campo magnético uniforme

⇒

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Momento de forças, torque, sobre uma espira com corrente elétrica

• Considere uma espira retangular com umacorrente I num campo magnético uniformeparalelo ao plano da espira

• Força magnética sobre um fio:

• As forças sobre os lados 2 e 4 não são nulasos fios são perpendiculares ao campo

• A forças sobre os lados 1 e 3 são nulasos fios são paralelos ao campo

F2 = F4 = IaB

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• As duas forças exercem um torque em relaçãoao ponto O que roda a espira no sentido horário

• Este valor máximo do torque ocorre apenas quandoo campo é paralelo ao plano da espira

A = ab é a área da espira

(vista do lado 3)

• Se o sentido da corrente fôr invertido, o sentido das forças é também invertido e a rotação é no sentidoanti-horário

z

x y

x

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• Considere agora que o campo magnético uniforme faz um ângulo θ<90° com uma linha perpendicular ao plano da espirae é também perpendicular aos lados 2 e 4

x y

z

x

(vista do lado 3)

• As forças e são:

• Os torques e são:

• As forças e são:

• O torque total em relação ao ponto Oroda a espira no sentido horário

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o vetor é perpendicular ao plano da espira e tem magnitude igual à área da espira

It = ´A B! !!

A!

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• Torque sobre uma espira de corrente num campo magnético

• O torque é máximo quando o campo é perpendicular à normal ao plano da espira

• O torque é zero quando o campo é paralelo à normal ao plano da espira

A!

• O sentido de é determinado pela regra da mão direita: A!

enrola-se os dedos no sentido da corrente na espirao polegar aponta no sentido de

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Momento dipolar magnético• Momento dipolar magnético de uma espira de corrente

é usualmente designado por momento magnético

Unidade de momento magnético no SI: A·m2

• Torque sobre uma espira de corrente em termos do momento magnético

análogo a para o momento dipolar elétrico num campo elétrico

• Energia potencial de um momento magnético num campo magnético

depende da orientação do momento magnético em relação ao campo magnético

Umin = -μB quando o momento tem a mesma direção e sentido do campo

Umax = +μB quando o momento tem a mesma direção e sentido contrário do campo

análogo a para o momento dipolar elétrico num campo elétrico

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• O trabalho realizado é igual ao decréscimo de energia potencial do sistema

escolhendo U=0para θ=90° ,U0=0.

• A energia potencial é dad por

Demonstração:

dWa = -dW

rotação por um agente externo

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