UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE … · • Thermal properties of a solid through Fibonacci oscillators. A.A. Marinho, F.A. Brito, C. Chesman, ... 6em um campo magnético

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL

PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM FÍSICA

TESE DE DOUTORADO

Aplicações daq-Álgebra em Física da Matéria Condensada

André Afonso Araujo Marinho

Natal - RN, Brasil

- 2014 -

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL

PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM FÍSICA

TESE DE DOUTORADO

Aplicações daq-Álgebra em Física da Matéria Condensada

André Afonso Araujo Marinho

Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Física do

Departamento de Física Teórica e Experimental da Universidade

Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a

obtenção do grau dedoutor em Física.

Orientador : Prof. Dr. Carlos Chesman de Araujo Feitosa

Co-orientador: Prof. Dr. Francisco de Assis de Brito

Natal - RN, Brasil

- 2014 -

Com muito amor aos meus pais e a Valquiria

AGRADECIMENTOS

• Primeiramente agradeço a Deus por chegar até aqui e por continuar;

• Acontecem muitas coisas durante 4 anos, e para conseguir chegar aqui, lembro todo

dia de uma conversa que tive com um grande amigo, que disse: “se perder o foco não

termina o doutorado, em 4 anos acontecem muitas coisas que contruibuem para isso”,

e realmente, muitos acontecimentos contribuiram para que eu não estivesse aqui. Se

não fosse por pessoas muitos especiais, eu teria realmente perdido o foco;

• Ao prof. Dr. Carlos Chesman de Araujo Feitosa (Chesman) responsável direto por

minha vinda para Natal em 2010, e ao prof. Dr. Francisco de Assis de Brito (Chico),

pelas orientações, sugestões, incentivos, estímulos, amizade, liberdade e competência

com que conduziram este trabalho;

• Aos Professores que contribuiram para minha formação e com ótimas discussões, em

especial os profs. Drs. Masdras Gandhi, Liacir Lucena, Felipe Bohn e Álvaro Ferraz;

• Aos colegas de pós-graduação, Bira, Edmilson, Manilo, Kennedy, Rodolfo, Vivian,

aos funcionários do DFTE em especial dona Celina, pela grata convivência, momentos

de estudo e descontração durante a minha permanência neste Departamento. Gostaria

de agradecer muito a Neymar que foi a primeira pessoa que conheci quando cheguei

em Natal, e que como todos sabem é uma pessoa muito especial, sempre prestativo

e atencioso com todos, um grande amigo que ganhei aqui e tenhocerteza que levarei

para o resto da vida;

• À CAPES e CNPq, pelo suporte financeiro;

• À minha familia meus pais José e Mariana, por todo carinho, apoio, incentivo, li-

berdade, confiança, dedicação e esforço para que hoje eu estivesse aqui, e às minhas

irmãs Ana Paula e Angela que mesmo longe não deixamos de torcer um pelos outros,

amo muito vocês. Eu teria que escrever um livro para descrever tudo o que meus

pais passaram para que nunca nos faltasse nada. Agradeço a Deus por esse rígido

alicerce em minha vida, sem vocês não estaria vivendo este momento, e partindo para

o próximo passo. Meus pais obrigado por tudo, amo muito vocês.

• À minha esposa Valquiria, que é de fundamental importância para que eu não desis-

tisse. Passamos por tantas provações nesse período de 3 anosde casados, que acho

que podia adicionar um capítulo à tese. Mas sempre esteve ao meu lado, incentivando,

com seu jeito carinhoso e amoroso, vejo em seus olhos todos osdias a confiança e or-

gulho que ela sente de mim, e isso não tem preço, e me dá forças para levantar todo

dia de manha e correr atrás do nosso futuro. Te amo muito minhagatona.

• Não podia deixar de agradecer aos meus bichinhos, Titinho e Amora, que mesmo

sem entender nada, em momentos conturbados, só querem passar carinho, amor, e um

pequeno afago em suas cabecinhas fazem esquecer todos os problemas.

• A todos que direta ou indiretamente possibilitaram a conclusão deste trabalho.

5

Lista de Trabalhos

• (q1, q2)-deformed Landau diamagnetismD-dimensional.A.A. Marinho, F.A. Brito,

C. Chesman, (elab.2014).

• Thermal properties of a solid through Fibonacci oscillators. A.A. Marinho, F.A.

Brito, C. Chesman, (elab.2014).

• Fibonacci Oscillators in the Landau Diamagnetism problem.A.A. Marinho, F.A.

Brito, C. Chesman,arXiv:cond-mat.stat/ 1403.0272v1. - Submetido Physica A,

mar/2014.

• Thermal properties of a solid throughq-deformed algebra.A.A. Marinho, F.A. Brito,

C. Chesman, Physica A391, 3424-3434 (2012).

• q-deformed Landau diamagnetism problem embedded inD-dimensions.F.A. Brito,

A.A. Marinho, Physica A390, 2497-2503 (2011).

6

Resumo

Abordamos a generalização das quantidades termodinâmicasq-deformadas através da

q-álgebra que descreve uma álgebra generalizada para bósonse férmions. A motivação

para o nosso estudo surge do interesse de fortalecer nossas idéias iniciais, a fim de propor

uma possível aplicação experimental. Em nossa jornada, conhecemos uma generalização

recentemente proposta ao formalismo doq-cálculo, que é a aplicação de uma seqüência ge-

neralizada, descrita por dois parâmetros de deformação reais positivos e independentesq1 e

q2, conhecidos por osciladores de Fibonacci. Aplicamos ao conhecido problema do diamag-

netismo de Landau imerso em um espaçoD-dimensional, que ainda gera boas discussões

por sua natureza, e a dependência com o número de dimensõesD, nos possibilita futura-

mente estendermos a sua aplicação para sistemas extra-dimensionais, tais como a Cosmolo-

gia Moderna, a Física de Partículas e Teoria de Cordas. Comparamos nossos resultados com

alguns obtidos experimentalmente, apresentando grande equivalência. Aplicamos ainda o

formalismo dos osciladores aos sólidos de Einstein e Debye,fortalecendo à interpretação da

q-deformação atuando como um fator de perturbação ou impureza, num determinado sis-

tema, modificando as propriedades do mesmo. Nossos resultados mostram que a inserção

de dois paramêtros de desordem, possibilitaram uma maior faixa de ajuste, ou seja, possibi-

litando alterar apenas a propriedade desejada, por exemplo, a condutividade térmica de um

elemento sem que o mesmo perca sua essência.

Palavras-chave: Mecânica Estatística; Matéria Condensada;q-Álgebra; q-Cálculo;

Osciladores de Fibonacci; Diamagnetismo de Landau; Sólido de Debye.

7

Abstract

We address the generalization of thermodynamic quantityq-deformed byq-algebra that

describes a general algebra for bosons and fermions . The motivation for our study stems

from an interest to strengthen our initial ideas, and a possible experimental application. On

our journey, we met a generalization of the recently proposed formalism of theq-calculus,

which is the application of a generalized sequence described by two parameters deformation

positive real independent andq1 andq2, known for Fibonacci oscillators . We apply the well-

known problem of Landau diamagnetism immersed in a spaceD-dimensional, which still

generates good discussions by its nature, and dependence with the number of dimensions

D, enables us future extend its application to systems extra-dimensional, such as Modern

Cosmology, Particle Physics and String Theory. We compare our results with some experi-

mentally obtained performing major equity. We also use the formalism of the oscillators to

Einstein and Debye solid, strengthening the interpretation of theq-deformation acting as a

factor of disturbance or impurity in a given system, modifying the properties of the same.

Our results show that the insertion of two parameters of disorder, allowed a wider range of

adjustment , i.e., enabling change only the desired property, e.g., the thermal conductivity

of a same element without the waste essence .

Keywords: Statistical Mechanics; Condensed Matter;q-algebra; q-calculus; Fibo-

nacci oscillators; Landau diamagnetism; Debye solid.

8

Índice

1 Introdução 1

2 q-Álgebra e aplicações 6

2.1 q-Álgebra de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Algumas Propriedades daq-Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2 Oscilador Harmônico Generalizado Deformado . . . . . . .. . . . 10

2.1.3 q-Bósons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.4 q-Férmions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Álgebra quânticaq-deformada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Álgebra dos Osciladores de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 26

3 Aplicação dos Osciladores de Fibonacci no Diamagnetismo de Landau emD-

Dimensões 32

3.1 Aplicação dos Osciladores de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 33

3.1.1 Número de Partículas, Energia interna e Calor Específico . . . . . . 36

3.1.2 Entropia, Magnetização e Susceptibilidade Magnética . . . . . . . 40

3.2 Aplicação das Derivadas de Jackson . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 43

3.2.1 Número de partículas, Energia Interna e Calor Especifico . . . . . . 46

3.2.2 Entropia, Magnetização e Susceptibilidade Magnética . . . . . . . 49

3.3 Gráficos não deformados para diferentes dimensõesD . . . . . . . . . . . 55

4 Propriedades Térmicas de um Sólido Através daq-Álgebra 58

i

ÍNDICE ÍNDICE

4.1 Implementação daq-deformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1.1 Sólido de Einsteinq-deformado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1.2 Sólido de Debyeq-deformado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2 Aplicação dos Osciladores de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 69

4.2.1 Sólido de Einstein (q1, q2)-deformado . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2.2 Sólido de Debye (q1, q2)-deformado . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5 Conclusões e Perspectivas 77

A Diamagnetismo de Landau 80

A.1 Degenerescência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

B Sólido de Einstein 86

Referências 90

ii

Lista de Figuras

3.1 Energia Interna em função do Campo MagnéticoH, Eq.(3.1.25). . . . . . . . . . 38

3.2 Calor Específico em função do campo magnéticoH, Eq.(3.1.32).. . . . . . . . . 38

3.3 Magnetização em função do campo magnéticoH, Eq.(3.1.45).. . . . . . . . . . 42

3.4 Susceptibilidade Magnética em função do campo magnéticoH, Eq.(3.1.49). . . . 42

3.5 Energia Interna em função do campo magnéticoH, Eq.(3.2.74). . . . . . . . . . 48

3.6 Calor Específico em função do campo magnéticoH, Eq.(3.2.76) . . . . . . . . . 48

3.7 Magnetização em função do campo magnéticoH, Eq.(3.2.84) . . . . . . . . . . 50

3.8 Magnetização para os parâmetros apropriados para um cristal sub-dopado. O de-

talhe mostra como a magnetização anómala está quase desaparecendo paraT =

36.1K e evolui para um regime de flutuação única emT = 37K [135]. . . . . . . 51

3.9 Curvas isotérmicas de magnetização doY Ni2B2C em função do campo magnético

H, para temperatura acima deTc(0) = 15.25± 0.02K, [136]. . . . . . . . . . . 51

3.10 Magnetização doY bC6 em função do campo magnético. Detalhe: a magnetização

versus temperatura medida de campoH = 1mT , com campo de resfriamento (FC)

e campo zero de resfriamento (ZFC) [137].. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.11 Magnetização dependente da temperatura FC e ZFC para amostras puras (imacula-

das) e hidrogenadas deCaC6 em um campo magnético aplicado externo de100Oe.

Detalhe: (a) mostra a variação do comportamento diamagnético do supercondutor

muito fraco para as amostras deCaC6 hidrogenizadas. (b) mostra a magnetiza-

ção dependente do campo magnético para um temperatura fixa de5K de amostras

puras e submetidas a diferentes tempos de exposição ao hidrogênio [138]. . . . . . 52

iii

LISTA DE FIGURAS LISTA DE FIGURAS

3.12 Magnetização dependente do campo magnético como uma função da temperatura

para Ca-GIC (Composto intercalado de cálcio-grafite) [139].. . . . . . . . . . . 53

3.13 Magnetização em função do campo magnético de Ca-GIC puro e amonizados, em

diferentes pressões de absorção de amônia [139].. . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.14 Susceptibilidade Magnética em função do campo magnéticoH, Eq.(3.2.86). . . . 53

3.15 ConstanteC1 paraL− = 2π− 0.9 (vermelho), L+ = 2π+0.9 (azul), (esquerda)e

constanteC2 paraL− = 2π − 0.9 (preto), L+ = 2π + 0.9 (amarelo), (direita) em

função do número de dimensõesD (0, · · · , 13) , λT = 1, Eq. (3.1.18). . . . . . . 56

3.16 Energia Interna em função do campo magnéticoH para dimensõesD conforme

legenda, e comL+=2π + 0.9 (esquerda)eL−=2π − 0.9 (direita) , λT = 1,. . . . 56

3.17 Magnetização em função do campo magnéticoH para dimensõesD conforme le-

genda, e comL+=2π + 0.9 (esquerda)eL−=2π − 0.9 (direita) , λT = 1. . . . . 57

3.18 Susceptilidade magnética em função do campo magnéticoH para dimensõesD

conforme legenda, e comL+=2π+0.9 (esquerda)eL−=2π− 0.9 (direita) , λT = 1. 57

4.1 Entropia em função da Temperatura nos seguintes intervalos: (T=0, · · · , 10K) (es-

querda) e (T=0, · · · , 1000K) (direita) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2 Calor Específico em função da Temperatura nos intervalos: (T=0, · · · , 1K) (es-

querda), (T=0, · · · , 10K) (centro) e (T=0, · · · , 1000K) (direita) . . . . . . . . . 61

4.3 Temperatura DebyeθD do Fe e Cr em função da variação deq = 0.1 à q → 1

(esquerda); Calor EspecíficocV doFe eCr em função da variação deq = 0.1 à

q → 1 (direita) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.4 Condutividade Térmicaκ doFe eCr em função da variação deq = 0.1 à q → 1. . 67

4.5 Condutividade elétricaσ doFe eCr em função da variação deq = 0.1 à q → 1. . 68

4.6 Condutividade térmicaq-deformadaκq doCr paraq → 1 e q = 0.1 em função da

TemperaturaT , para:T = 0 àT = 1600K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.7 Entropia em função da Temperatura nos seguintes intervalos: (T=0, · · · , 10K) (es-

querda) e (T=0, · · · , 1000K) (direita) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

iv

LISTA DE FIGURAS LISTA DE FIGURAS

4.8 Calor Específico em função da Temperatura nos intervalos: (T=0, · · · , 1K) (es-

querda), (T=0, · · · , 10K) (centro) e (T=0, · · · , 1000K) (direita) . . . . . . . . . 71

4.9 Temperatura de DebyeθD em função da variação deq2 = 0.1, · · · , 1 e comq1 = 1. 73

4.10 Calor EspecíficocV em função da variação deq2 = 0.1, · · · , 1 e comq1 = 1. . . 74

4.11 Condutividade Térmicaκ em função da variação deq2 = 0.1, · · · , 1 e comq1 = 1. 74

4.12 Condutividade Elétricaσ em função da variação deq2 = 0.1, · · · , 1 e comq1 = 1. 75

4.13 Condutividade Térmicaκ do Fe em função da Temperatura no intervalo deT =

0, · · · , 1200K, e com valores deq1 e q2 conforme legenda.. . . . . . . . . . . . 75

v

Capítulo 1

Introdução

O estudo dos grupos quânticos e álgebras quânticas tem atraído um grande interesse nos

últimos anos e estimulado intensa investigação nos vários domínios da física [1]-[6], tendo

em conta uma gama de aplicações, que abrange cosmologia e matéria condensada, por exem-

plo buracos negros, efeito Hall quântico fracionário e supercondutores de alta temperatura

[7], bem como teorias racionais de campo, geometria não-comutativa, teoria quântica das

super-álgebras e assim por diante [8]-[12]. Não há uma definição satisfatória universalmente

reconhecida do que seja um grupo quântico. Todas as propostas em vigor sugerem a idéia

de deformação de um objeto clássico, que pode ser, por exemplo, um grupo algébrico, ou

um grupo de Lie. Em todas as propostas os objetos deformados perdem as propriedades de

grupo. O que sempre se procura preservar nas deformações é o entendimento das diversas

representações que os objetos admitem [13]-[15].

Jackson introduziu em seus trabalhos a chamada álgebraq-deformada [16]-[19]. As

investigações realizadas em vários aspectos desempenharam um papel importante quanto

à sua compreensão e desenvolvimento. Uma realização concreta de tais atributos atenta

para o surgimento da deformação através de um de seus principais ingredientes o parâmetro

de deformaçãoq, introduzido nas relações de comutação que definem a álgebrade Lie do

sistema, com a condição de que a álgebra de Lie original, não deformada, seja produzida

1

2

no limite q → 1 [20]. Os q-osciladores usando as chamadas derivadas de Jackson(JD)

são considerados a fim de definir uma dinâmica generalizadaq-deformada em um espaço

de faseq-comutativo [21]. Para esta finalidade fazemos uso dos operadores de criação e

aniquilação da mecânica quânticaq-deformada.

Um possível mecanismo capaz de gerar uma versão deformada damecânica estatística

clássica consiste em substituir, a distribuição Boltzmann-Gibbs, pela sua versão deformada.

Nesse sentido postula-se uma forma de entropia deformada que implica numa teoria de ter-

modinâmica generalizada [22]-[29]. Desta forma, encontramos na literatura a generalização

da mecânica estatística [30]-[36]. Neste contexto, foi demonstrado em [37]-[46] que uma

realização natural da termodinâmicaq-deformada pode ser construída sobre o formalismo

deq-cálculos.

Outra discussão importante é sobre as principais razões para considerar dois parâme-

tros de deformação distintas em algumas aplicações físicas. Partindo da generalização de

números inteiros, procedimento básico naq-álgebra [16], Arik generaliza a seqüência de Fi-

bonacci [47], que como sabemos é uma combinação linear onde oterceiro número é a soma

dos dois antecessores e assim por diante, e engloba as progressões aritmética e geométrica,

que são formas bem conhecidas para descrever uma seqüência de números inteiros. Ele

propõe chamar os números dessa seqüência generalizada de osciladores de Fibonacci, onde

são introduzidos os parâmetrosq1 e q2, e são bem investigados por [48]-[56], eles oferecem

uma unificação dos osciladores quânticos com os grupos quânticos, tendo a propriedade

de degeneração do espectro invariante sob o grupo quântico,assim, a simetria do grupo é

preservada. A álgebra quântica com dois parâmetros de deformação pode ter uma maior

flexibilidade quando se trata de aplicações fenomenológicos aos modelos físicos concretos

[39, 40]. Surgindo interesse em aplicações físicas.

Realizamos aplicações daq-álgebra [57]-[59], e percebemos que aq-deformação está

ligada a fenômenos devidos a impurezas no material, ou fatores de desordem em um sistema

[60]-[62].Sabemos que os materiais supercondutores, por exemplo, apresentam resistência

Departamento de Física Teórica e Experimental - UFRN

3

elétrica nula abaixo de certa temperatura critica (são diamagnéticos perfeitosχ = 1). Logo,

surgem as motivações de aplicarmos os parâmetros (q1, q2) no problema do Diamagnetismo

de Landau e nos modelos dos sólidos de Einstein e Debye.

O termo diamagnetismo é utilizado para designar um comportamento característico de

determinados tipos de materiais (por exemplo, água, vidro,plástico e compostos orgânicos)

e que se caracteriza pelo fato de serem ligeiramente repelidos por campos magnéticos fortes.

Este comportamento justifica-se pelo fato dos elétrons terem uma tendência à se agruparem

em pares com spins orientados em direções opostas, pelo que cada par tem um spin total

nulo; consequentemente a maior parte dos átomos com número par de elétrons tem um spin

total nulo, originando uma oposição ao campo de indução magnética induzido com relação

ao campo externo que conduz à uma repulsão no campo externo. Ocampo magnético de

cada partícula causa movimento ciclotron, criando assim ummomento magnético orbital,

regido pela Lei de Faraday-Lenz. Assim, o sistema exibe uma susceptibilidade magnética

negativa, marca característica do diamagnetismo.

O diamagnetismo pode ser utilizado como um fenômeno ilustrativo do papel essencial

da mecânica quântica na superfície, no perímetro, e na dissipação da mecânica estatística

do não-equilíbrio. O que é ainda mais notável é que a fronteira do meio como também

qualquer fronteira interna desempenha um papel crucial, a contribuição diamagnética no

momento angular anula a contribuição decorrente do assim chamado “salto de órbitas”, des-

ses elétrons, que batem na fronteira e buscam multiplicar e constituir o que se refletiu em

um efeito chamado “corrente de fronteira” [43]. Esse foi um grande triunfo da mecânica

quântica de Landau em 1930, quando revelou que a discretização de níveis de energia, e

consequentemente a degeneração de cada nível conduzia de uma maneira natural para sus-

ceptibilidade magnética [63].

A susceptibilidade magnética é uma característica intrínseca de cada material e sua iden-

tidade está relacionada com a estrutura atômica e molecular. Dayi [64] realiza o cálculo da

susceptibilidade para elétrons em movimento num campo magnético uniforme externo que


4

conduz ao diamagnetismo de Landau, aplicando uma estatística não extensiva [22], que é

uma forte candidata para a resolução de problemas onde a termodinâmica padrão não é apli-

cável. Özeren [65] também aplica a estatística de Tsallis, no mesmo problema, utilizando

um outro método. Obviamente, outras deformações não comutativas podem ser aplicadas,

por exemploq-deformação viaJD [57].

Sabemos que um sólido é constituído por um grande número de átomos ligados por for-

ças de coesão de vários tipos. Contudo num gás, as moléculas estão livres para percorrer

todo o recipiente, ou num líquido, em que as moléculas têm menos liberdade, porém ainda

percorrem distâncias consideráveis. O movimento dos átomos num sólido é muito restrito,

isso faz com que cada átomo se movimente apenas dentro de uma pequena vizinhança, exe-

cutando movimento vibratório em torno de seu ponto de equilíbrio. Num sólido cristalino,

os pontos de equilíbrio das vibrações atômicas formam uma estrutura espacial regular, uma

estrutura cúbica, por exemplo.

O estudo conduzido por Anderson, Lee e Elliot [60]-[62] mostrou que na presença de

defeitos ou impurezas num cristal modificam o potencial eletrostático em sua vizinhança,

quebrando a simetria translacional do potencial periódico. Esta perturbação pode produzir

funções de onda eletrônicas localizadas próximo da impureza, deixando de ser propagado

por todo o cristal.

A condutividade de semicondutores também pode ser dramaticamente alterada pela pre-

sença de impurezas, isto é, átomos diferentes partindo dos mesmos átomos que formam o

cristal puro. Esta propriedade permite a produção de uma variedade de dispositivos ele-

trônicos do mesmo material semicondutor. Esse processo de colocação de impurezas em

materiais semicondutores é chamada de dopagem.

Nesta tese, os assuntos estão dispostos da seguinte forma: No Cap.2, apresentamos uma

introdução daq-álgebra e dos osciladores de Fibonacci. Destacamos algumas propriedades,

suas possíveis aplicações, a sua origem partindo do princípio da incerteza de Heisenberg o

que nos conduz ao oscilador harmônico generalizado para bósons e férmions. No Cap.3,


5

inserimos os paramêtrosq1 e q2 no problema do diamagnetismo de Landau, por dois ca-

minhos: através de uma função de partição generalizada; e dautilização dasJD. Outras

discussões relacionadas aD-dimensões são consideradas. No Cap.4, aplicamos os oscila-

dores nos sólidos de Einstein e Debye e obtemos resultados (q1, q2)-deformados para as suas

propriedades térmicas bem interessantes. E apresentamos nossas conclusões e perspectivas

no Cap.5.


Capítulo 2

q-Álgebra e aplicações

A construção de uma versão generalizada da álgebra dos operadoresq-deformados, se

faz necessária. Principalmente através da inserção de um fator multiplicativo em um ope-

rador linear, que modificará suas caracterísitcas. Representações da álgebra de Heisenberg

q-deformada tem chamado muito a atenção na literatura [66], esua conexão com oq-cálculo

baseado nonúmero básico(definido logo a seguir) vem sendo investigado por vários autores

[9, 21][67]-[70].

Vários modelos utilizando aq-deformação foram desenvolvidos com o objetivo de com-

parar as propriedades algébricas e termostáticas dos sistemas decorrentes da álgebra do os-

ciladorq-deformado, que vão desde as interações entre férmions e bósons em física de há-

drons, estudo dos anions, quarks e antiquarks, teoria de campos, quebra de simetria chiral,

transição de fase entre condensados nucleônicos e piônicos, interações nucleares de muitos

corpos, entre outros estudos [13][49]-[53][71]-[84] .

Embora não esteja claramente estabelecido se a modificação da relação de incerteza

de Heisenberg nos conduz diretamente a álgebra quânticaq-deformada de bósons e férmi-

ons, as conseqüências estátisticas e termodinâmicas dos sistemas físicosq-deformados tem

sido intensamente investigadas [85]-[105]. As regras daq-álgebra são estruturadas no con-

texto da representação isomórfica e holomórfica [106], que irá nos permitir mostrar que a

6

2.1. Q-ÁLGEBRA DE HEISENBERG 7

q-álgebra está intimamente conectada com aq-deformação da relação de Heisenberg. Por

outro lado, foi demonstrado em [53, 56, 85, 86, 96, 107] que oscomportamentos de alta e

baixa temperatura dos grupos quânticos bosônicos e fermiônicos, dependem radicalmente

dos parâmetros reais de deformação.

O número básicoé definido por

[α] ≡ qα − q−α

q − q−1, (2.0.1)

ondeq é um número real arbitrário,0 < q < ∞. Na formulação simétrica podemos limitar

a0 < q < 1 ou1 < q < ∞. Esta notação [ ] apresenta as seguintes propriedades: i) quando

q → 1, [α] → α; ii) [0] = 0 e [1] = 1; iii) [−α] = −[α]; é invariante sob a transformação

simétricaq ↔ q−1 [95, 96]. Vamos agora, demonstrar que oq-cálculo tem sua origem na

relação da incerteza de Heisenbergq-deformada.

2.1 q-Álgebra de Heisenberg

2.1.1 Algumas Propriedades daq-Álgebra

Em (1908) Jackson [17], introduziu oq-operador diferencial deEuler-Jackson

(Dqφ)(x) =φ(x)− φ(qx)

(1− q)x, q ∈ C\[1]. (2.1.2)

No limite deq aproximando-se de1, temos a derivada usual de Leibniz,

limq→1

(Dqφ)(x) =dφ

dx, (2.1.3)

Podemos notar como essa derivada atua, através do exemplo:

Dq(xα) =

xα − (qx)α

(1− q)x=

xα(1− qα)

x(1− q)= [α]qx

α−1, α ∈ C. (2.1.4)

Para realizarmos a soma, a multiplicação e a divisão, através do q-operador diferencial,



seguimos as fórmulas

D(x)f(x) = (x)Df(x) +D(x)f(x), (2.1.5)

Dq(u(x) + v(x)) = Dqu(x) +Dqv(x). (2.1.6)

Dq(u(x)v(x)) = Dqu(x)v(x) + u(qx)Dqv(x). (2.1.7)

Dq

(u(x)

v(x)

)

=v(x)Dqu(x)− u(x)Dqv(x)

v(qx)v(x), v(qx)v(x) 6= 0. (2.1.8)

Aplicando Taylor [108], no lado direito de (2.1.2), obtemosa seguinte expressão para o

q-operador diferencial:

Dq(f(x)) =∞∑

k=0

(q − 1)k

(k + 1)!xkf (k+1)(x), (2.1.9)

desde quef seja analítica.

Se|q| > 1, ou0 < |q| < 1 e |z| < |1− q|−1, temos uma funçãoq-exponencialEq(z), e

aplicando aq-derivada,

Eq(z) =∞∑

n=0

1

[n]q!zn, DqEq(az) = aEq(az). (2.1.10)

Assim, podemos tratarq-análogos das funções trigonométricas (sin e cos por exemplo), da

forma

sinq(x) =1

2i(Eq(ix)− Eq(−ix)), cosq(x) =

1

2(Eq(ix) + Eq(−ix)), (2.1.11)

aplicandoq-derivada, temos

Dq cosq(ax) = −a sinq(ax), Dq sinq(bx) = b cosq(bx). (2.1.12)



Podemos também verificar a seguinte identidade

cosq(x) cos 1q(x) + sinq(x) sin 1

q(x) = 1. (2.1.13)

Wolfgang Hahn [109] chamou[a]q de basische Zahlen, podemos traduzir comonú-

meros básicos, ou seja nossonúmero básicodefinido em (2.0.1). Podemos apresentar três

exemplos deq-análogos simétricos:

[a]q =qa − q−a

q − q−1, [a]q =

q2a − q−2a

q2 − q−2, [a]q =

qa2 − q−

a2

q12 − q−

12

. (2.1.14)

Podemos ainda definir esses números pela relação [57, 78, 85,97, 110, 111]

[a] =qa − 1

q − 1, (2.1.15)

ondeq pode ser qualquer número real ou complexo. Veremos que os mesmos correspondem

à seqüência de números inteiros positivos,1, 2, · · · , n, · · · . Temos a seqüência,

[1] = 1 (2.1.16)

[2] = 1 + q (2.1.17)

[3] = 1 + q + q2 (2.1.18)

· · · · · · · · · · · · · · ·

[n] = 1 + q + q2 + · · ·+ qn−1 (2.1.19)

· · · · · · · · · · · · · · ·

[n]! = [1][2][3] · · · [n]. (2.1.20)

Muito mais propriedades podem ser encontradas em [75, 98, 109, 112].



2.1.2 Oscilador Harmônico Generalizado Deformado

Além dos osciladores que descreveremos a seguir, outros tipos deformados são apresentados

por Bonatsos em [113]. Todos são acomodados dentro da mesma estrutura matemática do

oscilador generalizado deformado, que é definida como álgebra gerada pelos operadores

de criação (a†), aniquilação (a), número (N ) e a função estruturaΦ(x), que satisfazem as

relações,

[a,N ] = a, [a†, N ] = −a†, (2.1.21)

a†a = Φ(N) = [N ], aa† = Φ(N + 1) = [N + 1], (2.1.22)

ondeΦ(x) é uma função analitica positiva característica para o regime da deformação, com

Φ(0) = 0, e concluimos da Eq.(2.1.22), queN = Φ−1(a†a), e as relações de comutação e

anticomutação são satisfeitas:

[a, a†] = [N + 1]− [N ], a, a† = [N + 1] + [N ]. (2.1.23)

Podemos provar que a álgebra generalizada deformada possuium espaço de Fock de

autovetores|0〉, |1〉, . . . , |n〉 . . ., do operador númeroN ,

N |n〉 = n|n〉, 〈n|m〉 = δnm, a|0〉 = 0, (2.1.24)

onde|0〉 é o estado de vácuo. Estes autovetores são gerados pela fórmula:

|n〉 = 1√

[n]!(a†)n|0〉, [n]! =

n∏

k=1

[k] =n∏

k=1

Φ(k), (2.1.25)

a|N〉 = [N ]12 |N − 1〉, a†|N〉 = [N + 1]

12 |N + 1〉. (2.1.26)

Estes autovetores também são autovetores do operador energia, dado pela Hamiltoniana



com os respectivos autovalores de energia,

H =~ω

2

(aa† + a†a

), (2.1.27)

E(n) =~ω

2(Φ(n) + Φ(n+ 1)) =

~ω

2([n] + [n+ 1]) . (2.1.28)

Obtemos os resultados para o oscilador harmônico ordinárioquandoΦ(n) = n. E para,

Φ(n) =qn − q−n

q − q−1= [n]. (2.1.29)

Mostramos no trabalho [58] — ver os resultados obtidos na Sec.(4.1), um exemplo de

aplicação, partindo de uma das definições mostradas pela Eq.(2.1.14), e em particular para

q real (q = exp γ, [20, 21, 77, 80, 93, 98, 100, 102, 114]), onde obtivemos os autovalores de

energia,

Φ(n) =q

n2 − q

−n2

q12 − q

−12

= [n], E(n) =~ω

2

[

sinh((n+ 1

2

)γ2

)

sinh(γ4

)

]

. (2.1.30)

Outros casos paraΦ(x) são apresentados por Bonatsos e Daskaloyannis [113], como por

exemplo: osciladores paraférmionicos, parabosônicos. Nonosso caso, iremos trabalhar com

osq-bósons [1, 56, 85, 102], [115]-[117] eq-férmions [9, 59, 86],[118]-[121].

2.1.3 q-Bósons

Consideramos o princípio da incerteza de Heisenbergq-deformado

qxp− px = i~∆. (2.1.31)

Há pelo menos duas opções onde∆ pode se manter preservado no (limite clássico) quando

q → 1. Uma possibilidade para que isso ocorra tem sido estudada por [70, 78], sendo∆ = 1.

Iremos escolher∆ = q−N , ondeN será especificado mais tarde, a fim de desenvolvermos a



formulação que é simétrica emq ↔ q−1. Isso nos leva a introduzir um ansatz [92]

qxp− px = i~q−N . (2.1.32)

Paraq 6= 1, o momentop = −i~∂x, tem que ser substituído pelo operador generalizado

p = −i~D, de acordo com,

Dx− qxD = q−N . (2.1.33)

Buscamos a solução da Eq.(2.1.33) para o operadorD. Obteremos a solução partindo da

resolução dosq-osciladores. Assim,

[b, b†]q = bb† − qb†b = ∆, H =1

2(bb† + b†b), (2.1.34)

ondeb, b† são os operadores de aniquilação e criação dos osciladores de q-bóson.

Expressaremos a Eq.(2.1.34), em termos deH e dos auto-estados|n〉:

b|n〉 = [n]12 |n− 1〉, b†|n〉 = [n+ 1]

12 |n+ 1〉, (2.1.35)

H|n〉 = 1

2

(

[n] + [n+ 1])

, ∆|n〉 = q−n|n〉. (2.1.36)

onde,

[n] =qn − q−n

q − q−1. (2.1.37)

Estabelecendo,

B =

b

b†

. (2.1.38)

Assim a equação (2.1.34) pode ser escrita como segue

BtǫB = q−(n+12), onde, ǫ =

0 q−

12

−q12 0

. (2.1.39)

A matriz (2.1.39) é invariante sob as transformaçõesT pertencentes ao grupoSUq(2)



[1, 3, 14, 15]:

T tǫT = TǫT t = ǫ. (2.1.40)

Portanto qualquer novo vetorX será definido por

B = TX, satisfará XtǫX = ∆. (2.1.41)

A transformação de observáveis no espaço de Fock para o espaço de configuração é rea-

lizada definindo-seX. A partir da definição dada por [70], obtemos o princípio da incerteza

de Heisenbergq-deformado (2.1.31),

X =

D

x

, (2.1.42)

inserindo o operador de dilataçãoθ (definido a seguir), chegamos a solução do operadorD

D =1

x[θ]q =

1

x

qθ − q−θ

q − q−1. (2.1.43)

Isto também se processa na deformação da equação (2.1.32) original.

O número básicoapresentado aqui, definido na equação (2.0.1) constitui a base da álge-

bra de osciladoresq-deformados [2]. Para provarmos utilizamos a propriedadex[N + 1] =

[N ]x. Uma prova alternativa e instrutiva, consiste em mostrar primeiro que:

[N ]x = x[N + 1] = xq[N ] + xq−N , ⇒ [N ]x− qx[N ] = xq−N . (2.1.44)

Esta é a ligação fundamental entre oq-número básicoe aq-deformação da relação de

incerteza, que nos leva automaticamente a derivada de Jackson (JD) através donúmero

básico. A fim de mostrar que a Eq.(2.1.43), é de fato a derivada generalizada, procedemos

como segue.



Primeiramente definimos o operador de dilatação

θ ≡ x∂

∂x, (2.1.45)

tal que satisfaçam as propriedades

θx = x(θ + 1), θrx = (θ + 1)r, φ(θ)x = xφ(θ + 1), (2.1.46)

onder é um número qualquer eφ é um polinômio arbitrário. Podemos mostrar que isto é

verdade, estendendo a propriedade para qualquer monômio deuma variável realq, quando

qθx = xqθ+1. (2.1.47)

Continuando da Eq.(2.1.47), podemos estabelecer a propriedade adicional

θxr = rxr, (2.1.48)

para qualquer númeror, que pode ser estendido para um monômio,

θbxr = rbxr. (2.1.49)

Expandindo a série

qθ = 1 + θ ln q +θ2

2!(ln q)2 + · · · , (2.1.50)

obtemos o monômio,

qθxr = xrqr = (qx)r. (2.1.51)

Essa relação imediatamente generaliza-se para um polinômio e obtemos a Eq. (2.1.51), para

qualquer função polinomial. Temos agora de fazer a observação que existe na representação

holomórfica [21]

θ ⇔ N, θ = x∂x ⇔ b†b = N, ou θ = xD ⇔ b†b = [N ], (2.1.52)



ondeN é o operador número de bósonsq-deformado. A propriedade, (2.1.51), também é

válida para uma função arbitrária polinomial, ondeθ pode serN ou [N ]. Se escolhermos

θ = N , obtemos a propriedade

qNφ(x) = φ(qx), (2.1.53)

que pode ser estendido para o resultado

q−Nφ(x) = φ(q−1x). (2.1.54)

A partir disso e do resultado (2.1.43), podemos obter imediatamente um importante

resultado

Dφ(x) =1

x

qN − q−N

q − q−1φ(x) =

1

x

φ(qx)− φ(q−1x)

q − q−1, (2.1.55)

que é reconhecido como a definição padrão [85, 106], na formulação simétrica daJD,

que é reduzida à derivada ordinária no limiteq → 1. Concluimos que, a introdução das

(JD) surge naturalmente a partir da relação de Heisenbergq-deformada através doq-número

básico.

Vamos agora considerar osq-bósons e aJD que obedece a relação (2.1.33). Se escolher-

mos a representaçãoD ⇒ b, x ⇒ b†, como em (2.1.52), então obteremos imediatamente

bb† − qb†b = q−N . (2.1.56)

Assim, a álgebra dos operadores de criação e aniquilação dososciladoresq-deformados

pode ser considerada como decorrente de uma representação de coordenadas e daJD. Por-

tanto, neste sentido, a álgebra de bósonsq-deformados é uma conseqüência imediata da

deformação da álgebra de Heisenberg. Podemos então, concluir que:

qNb = bqN−1, [N ]b = b[N − 1], [N + 1] = q[N ] + q−N . (2.1.57)



2.1.4 q-Férmions

Vamos agora voltar nossa atenção para a termodinâmica e a mecânica estatística dos férmi-

ons com base na álgebraq-deformada. Vamos considerar especificamente onúmero básico,

como definido na Eq.(2.0.1), enquanto os operadores de criação e aniquilação satisfazem

[86], a álgebra

ff † + q−1f †f = q−N . (2.1.58)

Esta equação, que conduz à determinação de muitas funções termodinâmicas deq-

férmions, mostra uma clara simetria desejável entre férmions e bósons e além disso, o

número básicoutilizado para férmions é exatamente o mesmo que aquele utilizado para

bósons. Quando examinamos as álgebras descritas pelas Eqs.(2.0.1) e (2.1.58), juntamente

com a relação de Heisenberg (2.1.32), concluimos que as mesmas, não fornecem uma re-

presentação para aJD (2.1.43), para produzir a álgebraq-férmions (2.1.58). Em outras

palavras, não existe qualquer representação holomórfica útil de JD, como na Eq. (2.1.52),

tal quex ⇔ f †, ∂x ⇔ f , que irá produzir a álgebra na Eq.(2.1.58).

Por outro lado devemos notar que aJD no caso deq-férmions ainda decorre da relação

Heisenbergq-deformada como foi mostrado anteriormente. Na teoria baseada nesta álgebra

deq-férmions, os autovalores do operador de númeroN pode assumir os valoresn = 0, 1,

apenas, obedecendo a teoria do princípio da exclusão de Pauli, assim como no caso de

férmions não deformados. Além disso, podemos demonstrar que as álgebras apresentadas

acima podem ser transformadas para o caso de férmions normais, ou seja não deformados

[9, 115]. Existe uma outra representação interessante, resultando em uma álgebra de fér-

mionsq-deformada diferente que vamos investigar agora. Vamos introduzir a definição dos

números básicosde férmions dado por [9, 83, 91, 107, 109, 115]

[z]F =q−z − (−1)zqz

q + q−1, (2.1.59)

que apresenta muitas propriedades úteis e interessantes. Neste caso, obtemos o resultado



que é análogo à Eq.(2.1.33) para o caso do bóson,

Fx+ qxF = q−N , (2.1.60)

cuja solução é dada porF = x−1[N ]F . Isso pode ser verificado da seguinte forma: Pri-

meiro confirmamos que as propriedades apresentadas nas Eqs.(2.1.45)-(2.1.51) também são

válidas no caso dos férmions quando usamos osnúmeros básicosgeneralizados (2.1.59).

Precisamos de uma extensão dessas propriedades básicas. Aoescrevermos(−q)n como

(exp (iπ)q)n e por meio da extensão da série para o exponencial, obtemos

(−q)Nx = x(−q)N+1. (2.1.61)

Convém salientar queN é um operador, e que a equação acima não está em conflito com

a Eq. (2.1.47). Consequentemente, teremos a representação holomórfica(1/x)[N ]F ⇔ f ,

x ⇔ f †, o que leva a

ff † + qf †f = q−N (2.1.62)

Podemos fornecer uma prova direta para a solução da Eq. (2.1.62). A prova explícita começa

com a observação de que sugirá uma interpretação melhor para[N ]Fx = x[N + 1]F , junto

com a propriedadeq[N ] + [N + 1] = q−N . Assim,

qx1

x[N ]F +

1

x[N ]Fx = q−N , qx

1

x[N ]F +

1

xx[N + 1]F = q−N . (2.1.63)

A partir da Eq.(2.1.62), faremos algumas observações, a seguir:

• A álgebra da Eq.(2.1.62) pode ser considerada como resultante da representação acima,

decorrente especialmente donúmero básicode férmions definido na Eq.(2.1.59), que

é uma introdução realizada por Chaichian et al [9];

• É notável que este número básico de férmions, nos fornece prontamente uma represen-

tação consistente holomórfica em termos dos operadores de criação e de aniquilação


2.2. ÁLGEBRA QUÂNTICAQ-DEFORMADA 18

para osq-férmions, ou seja, fornece uma justificativa fundamental para a definição

(2.1.59) em si;

• Observamos que esta álgebra deq-férmions não se baseia na relaçãoq-Heisenberg.

A conexão com a relação deq-Heisenberg é válida somente paraq-bósons. Apesar

das aparências, o operadorF que aparece na Eq.(2.1.60) não tem relação com aJD,

que tem a sua única conexão com osq-bósons; ele não tem qualquer semelhança com

as derivadas ordinárias no limite clássico. Finalmente, observamos que isto leva a

uma generalização dos férmions [9], no sentido de que esta álgebraq-deformada vai

além do princípio de exclusão de Pauli e os autovalores deN são arbitrários e não se

restringem aos valores0, 1;

2.2 Álgebra quânticaq-deformada

Com base no que foi estudado nas seções anteriores, por meio dessa estrutura e também

outros fatores que serão mostrados a seguir, formulamos umaq-álgebra onde engloba bósons

e férmions.

A simetria algébrica do oscilador quântico é definida pela álgebra de Heisenberg, em

termos dos operadores de aniquilação e criaçãoc, c†, respectivamente, e o operador número

N , por meio de [9, 86, 88, 90, 93, 105, 122, 123],

[c, c]K = [c†, c†]K = 0, cc† −Kqc†c = q−N (2.2.64)

[N, c†] = c†, [N, c] = −c, (2.2.65)

onde o parâmetro de deformaçãoq é real e[x, y]K = xy−Kyx, sendoK = 1 paraq-bósons

com comutadores eK = −1 paraq-férmions com anti-comutadores. O valor observado do

número básico[x] tem que satisfazer a propriedade da não-aditividade

[x+ y] = [x] + [y] + (q − 1)[x][y]. (2.2.66)



Os operadores obedecem as seguintes relações,

c†c = [N ], cc† = [1 +KN ], (2.2.67)

onde definimos nossonúmero básicocomo em [2, 9, 21, 75, 86, 94, 117, 120],

[x] =qx − q−x

q − q−1. (2.2.68)

A ortonormalização do auto-estado|n〉 no espaçoq-Fock é construída de acordo com:

|n〉 = (c†)n√

[n]!|0〉, c|0〉 = 0, (2.2.69)

As ações dec e c† sobre o estado|n〉 no espaçoq-Fock são conhecidas por:

c†|n〉 = [n+ 1]1/2|n+ 1〉, (2.2.70)

c|n〉 = [n]1/2|n− 1〉, (2.2.71)

N |n〉 = n|n〉. (2.2.72)

A transformação do espaço de Fock para o espaço de configuração1 existe segundo [21,

70]

c† = x, c = D(q)x . (2.2.73)

Jackson em [19]p. 255, introduziu operadorD(q)x , conhecido por derivadas de Jackson

(JD) [16, 56, 57, 74, 86, 92, 105, 111, 117], que é diferente do operador usual de Leibniz

(∆) [106],

D(q)x f(x) =

f(qx)− f(q−1x)

x(q − q−1). (2.2.74)

1Representação Holomórfica de Bargmann



No limite deq → 1, o número básico[x] é reduzido aonúmerox, visto em (2.2.74). Por-

tanto,JD ocorre naturalmente em estruturas quânticas deformadas.

Para calcularmos o número de ocupaçãoni (estatísticaq-deformada), partimos da Ha-

miltoniana dos osciladoresq-deformados não-interagentes (bósons ou férmions) [85, 97, 99,

102, 105, 110],

H =∑

i

(ǫi − µ)Ni =∑

i

(ǫi − µ)c†ici, (2.2.75)

ondeµ é o potencial químico do sistema eǫi é a energia cinética no estadoi associado com

o operador númeroNi. A Hamiltoniana é deformada e depende implicitamente deq, sendo

o operador número definido na Eq. (2.2.67). A média térmica deum observável(A) pode

ser calculada conforme,

〈A〉 = tr(ρA), (2.2.76)

ondeρ é o operador densidade. Definimos a função de partição grandecanônicaΞ como

ρ =exp(−βH)

Ξ, Ξ = tr(exp(−βH)), (2.2.77)

e β = 1κBT

, ondeκB é a constante de Boltzmann. Determinaremos o número de ocupação

médion(q)i

2, e demonstraremos como chegamos as relações da JD trabalhando no limite de

altas temperaturasz ≪ 1 (baixa densidade ou gás diluido).

[ni] ≡ 〈[ni]〉 = tr(

ρc†ici

)

=tr(exp(−βH)c†ici)

Ξ, lim

q→1〈[ni]〉 = ni, (2.2.78)

a partir da Eq.(2.2.78) apresentamos duas formas distintaspara resolução, no limiteq → 1

ambas chegam ao mesmo resultado final. Contudo, veremos que naprimeira resolução

chegaremos à equação de forma geral, por outro lado, a segunda resolução nos permite

escrever as derivadas de Jackson (JD). Os mesmos procedimentos ainda serão realizados na

2indice(q) é incluido para diferenciarmos do usual, uma vez que:limq→1

n(q)i = ni.



continuidade deste capitulo, até obtermos as relações paraos osciladores de Fibonacci, que

ainda serão apresentados.

i)

[ni] =

∑

ni

exp(

− β(ǫi − µ)ni

)

〈ni|c†ici|ni〉∑

ni

exp(


) =

∑

ni

[ni]z exp(−βǫini)

∑

ni

z exp(−βǫini), (2.2.79)

ondez = exp(βµ) é a fugacidade. Com a definição dada pela Eq.(2.2.68),

[ni] = −qz exp(βǫi)

(

z exp(−βǫi)− 1)

(

z − q exp(βǫi))(

qz − exp(βǫi)) , (2.2.80)

quandoq → 1,

ni = − z

z − exp(βǫi)=

1

z−1 exp (βǫi)− 1. (2.2.81)

Para[ni + 1], temos das relações dos operadoresci e c†i ,

[1 +Kni] = Kq[ni] + q−ni , (2.2.82)

[1 +Kni] ≡ 〈[1 +Kni]〉 =

∑

ni

exp(


)

〈ni|cic†i |ni〉∑

ni

exp(


) ,

[1 +Kni] =

∑

ni

[1 +Kni]z exp (−βǫini)

∑

ni

z exp (−βǫini),

[1 +Kni] = −q exp(βǫi)

(

z exp(−βǫi)−1

)(

Kqz−qz+exp(βǫi)

)

(

z−q exp(βǫi)

)(

zq−exp(βǫi)

) , (2.2.83)



quandoq → 1,

(1 +Kni) = −z − zK − exp(βǫi)

z − exp(βǫi)=

z−1 exp(βǫi)− 1 +K

z−1 exp(βǫi)− 1. (2.2.84)

Fazendo,

[ni]

[1 +Kni]=

1

qK + z−1eβǫi − q,

ni

(1 +Kni)=

1

z−1eβǫi − 1 +K. (2.2.85)

Por outro lado, por exemplo, se estivermos em um sistema de bósons, ondeK = 1,

teremos

[ni]

[1 + ni]=

ni

(1 + ni)= z exp(−βǫi). (2.2.86)

ii) Voltando a Eq.(2.2.78), aplicamos a propriedade ciclíca do traço [71, 74, 90, 95, 96,

97], obtemos,

tr

(

exp(

− β∑

nj

(ǫj − µ)njc†ici

))

=

= tr

(

c†i exp(

− β∑

nj

(ǫj − µ)(nj + δji)ci

))

=

= exp(

− β(ǫi − µ))

tr

(

exp(

− β∑

nj

(ǫj − µ)njcic†i

))

, (2.2.87)

assim,

[ni] =

exp(

− β(ǫi − µ))

tr

(

exp(

− β∑

nj

(ǫj − µ)njcic†i

))

tr

(

exp(

− β∑

nj

(ǫj − µ)nj

)) , (2.2.88)

e pela definiçãocic†i = [1 +Kni],

[ni] = exp(−β(ǫi − µ))[1 +Kni] → [ni]

[1 +Kni]= z exp(−βǫi). (2.2.89)



Resolvendo a Eq.(2.2.89),

[ni] =z exp(−βǫi)q

−ni

1−Kqz exp(−βǫi)=

q−ni

z−1 exp(βǫi)−Kq, (2.2.90)

com a definição do número básico (2.2.68) temos,

qni − q−ni

q − q−1=

q−ni

z−1 exp(βǫi)−Kq, (2.2.91)

(q)2ni =q − q−1 + z−1 exp(βǫi)−Kq

z−1 exp(βǫi)−Kq, (2.2.92)

e assim, obtemos o número de ocupação médioq-deformadon(q)i ,

n(q)i =

1

2 ln(q)ln

(q − q−1 + z−1 exp(βǫi)−Kq

z−1 exp(βǫi)−Kq

)

. (2.2.93)

Da álgebra do oscilador3 q-deformado (por exemplo, no caso de bósons), temos que o

número de ocupação médio é dado por :

n(q)i =

1

2 ln(q)ln

(z−1 exp(βǫi)− q−1

z−1 exp(βǫi)− q

)

. (2.2.94)

Por outro lado do oscilador quântico não-deformado temos que o número de ocupação

médio é dado por:

ni =1

z−1 exp(βǫi)− 1. (2.2.95)

Temos que,

N (q) =∑

i

n(q)i e N =

∑

i

ni. (2.2.96)

3oscilador quântico



Notamos queN pode ser obtido da função de partiçãoΞ da forma:

ln Ξ = −∑

i

ln(1− z exp(−βǫi)). (2.2.97)

ComoN é definido por

N = z∂

∂zln Ξ, (2.2.98)

então,

N =∑

i

z exp(−βǫi)

1− z exp(−βǫi)=∑

i

1

z−1 exp(βǫi)− 1, (2.2.99)

ou seja,

N =∑

i

ni. (2.2.100)

No limite z ≪ 1 (altas temperaturas), é fácil estabelecer uma relação entreN (q) eN

viaD(q)z e∂z. Note que nesse limite temos:

n(q)i =

q − q−1

2 ln qz exp(−βǫi) e ni = z exp(−βǫi), (2.2.101)

logo,

n(q)i =

q − q−1

2 ln qni, (2.2.102)

ou seja,

∑

i

n(q)i =

q − q−1

2 ln q

∑

i

ni ⇒ N (q) =q − q−1

2 ln qN. (2.2.103)

Usando (2.2.95) e (2.2.98) temos:

zD(q)z ln Ξ =

q − q−1

2 ln qz∂

∂zln Ξ, (2.2.104)

tal que,

D(q)z =

q − q−1

2 ln q

∂

∂z. (2.2.105)



As energias médiasU (q) eU são, portanto, também relacionadas. Note que:

U (q) =∑

i

ǫin(q)i e U =

∑

i

ǫini. (2.2.106)

Usando (2.2.102) vemos que:

U (q) =q − q−1

2 ln qU. (2.2.107)

Podemos escrever,

U (q) = − ∂

∂βln Ξ = −∂yi

∂β

∂

∂yiln Ξ. (2.2.108)

Como ∂∂yi

é similar a ∂∂z

, poisz = exp(βµ) eyi = exp(βǫi), generalizamos

∂

∂yi→ D(q)

yi, (2.2.109)

logo,

U (q) =∂yi∂β

D(q)yi

ln Ξ. (2.2.110)

Para,

D(q)yi

=q − q−1

2 ln q

∂

∂yi, (2.2.111)

temos,

U (q) = −∂yi∂β

(q − q−1

2 ln q

∂

∂yi

)

ln Ξ, (2.2.112)

ou seja,

U (q) =q − q−1

2 ln qU. (2.2.113)

Basicamente a aplicação daJD resume-se em:

∂

∂z→ D(q)

z ou∂

∂yi→ D(q)

yi, (2.2.114)


2.3. ÁLGEBRA DOS OSCILADORES DE FIBONACCI 26

onde vemos a conexão entreD(q)z e a derivada usual definida por Leibinz∂z ou (∆)

na Eq.(2.2.105).

2.3 Álgebra dos Osciladores de Fibonacci

É de conhecimento que a generalização de números inteiros demodo geral é dado por uma

seqüência. Duas formas conhecidas para descrever uma seqüência são as progressões arit-

méticas e geométricas. Uma simples generalização que engloba ambas é a seqüência Fi-

bonacci [47]-[56], que como sabemos é uma combinação linearonde o terceiro número

é a soma dos dois antecessores e assim por diante. As definições dos números básicos,

apresentadas neste capitulo são seqüências Fibonacci generalizadas, portanto, o número ge-

neralizado do espectro pode ser dado por número inteiro de Fibonacci.

Com o intuito de estabelecermos uma estatística do sistema emfunção dos parâmetros de

deformação (q1, q2) permitindo assim, calcularmos as funções termostatísticas no limite de

baixas e altas temperaturas. Continuaremos descrevendo através da inserção do paramêtro

K uma álgebra para (q1, q2)-bósons e (q1, q2)-férmions, usando o formalismo que generaliza

o cálculo de Fibonacci, recentemente proposto ao formalismo doq-cálculo.

Primeiramente, descreveremos a distribuição estátisticapartindo de uma das definições

do número básicosimetrizada apresentada na Eq.(2.1.14) [9, 71]. Mesmo não sendo ob-

jeto principal de investigação, essa nova definição, assim como a dada pela Eq.(2.2.68),

são de fundamental importância para a compreensão dos procedimentos realizados para

descrevermos a partir do número báscio de Fibonacci, as maneiras de aplicarmos a (q1, q2)-

deformação. Assim,

[xi,q] =q2xi − q−2xi

q2 − q−2, (2.3.115)

cic†i −Kq2c†ici = q−2Ni , [1 +Kxi,q] = q2[xi,q] +Kq−2Ni . (2.3.116)

Para diferenciarmos a nova definição de[xi], utilizamos[xi,q], logoni,q = n(q)i , e encontra-



remos os seguintes resultados:

i)

[ni,q] =

∑

ni

[ni,q]z exp(

(−βǫi)ni

)

∑

ni

z exp(

(−βǫi)ni

)

[ni,q] = −q2z exp(βǫi)

(

z exp(−βǫi)− 1)

(

z − q2 exp(βǫi))(

q2z − exp(βǫi)) , (2.3.117)

quandoq → 1,

ni =1

z−1 exp (βǫi)− 1. (2.3.118)

Agora,

[1 +Kni,q] =

∑

ni

[1 +Kni,q]z exp(

(−βǫi)ni

)

∑

ni

z exp(

(−βǫi)ni

)

[1 +Kni,q] = −q2eβǫi(ze−βǫi − 1

) (Kq2z − q2z + eβǫi

)

(z − q2eβǫi) (zq2 − eβǫi), (2.3.119)

quandoq → 1,

(1 +Kni) =z−1 exp(βǫi)− 1 +K

z−1 exp(βǫi)− 1. (2.3.120)

Fazendo,

[ni,q]

[1 +Kni,q]=

1

q2K + z−1eβǫi − q2,

ni

(1 +Kni)=

1

z−1eβǫi − 1 +K.(2.3.121)

Para um sistema de bósons, ondeK = 1, teremos,

[ni,q]

[1 + ni,q]=

ni

(1 + ni)= z exp(−βǫi). (2.3.122)

ii) Voltando a Eq.(2.2.87), com a definição dada pela Eq.(2.3.115), obteremos, o número



de ocupação médioq-deformadoni,q ,

ni,q =1

4 ln(q)ln

(q2 − q−2 + z−1 exp(βǫi)−Kq2

z−1 exp(βǫi)−Kq2

)

. (2.3.123)

SeK = 1,

ni,q =1

4 ln(q)ln

(z−1 exp(βǫi)− q−2

z−1 exp(βǫi)− q2

)

. (2.3.124)

Expandindo emz ≪ 1, temos a relação para JD, e como demonstrado anterior-

mente pela Eq.(2.2.105), também chegamos a JD para a definição donúmero básico

(2.3.115),

ni,q =q2 − q−2

4 ln(q)z exp(−βǫi), ni,q =

q2 − q−2

4 ln(q)ni. (2.3.125)

D(q)z =

q2 − q−2

4 ln(q)∂z. (2.3.126)

Com base nos procedimentos anteriores, serão introduzidos os parâmetrosq1 eq2 (chamados

por Arik de osciladores de Fibonacci [47]), e são bem investigados por [48]-[56]. Definindo

o número básicode Fibonacci,

[xi,q1,q2 ] = c†ici =q2xi

2 − q2xi

1

q22 − q21, (2.3.127)

cic†i −Kq21c

†ici = q2Ni

2 , e cic†i −Kq22c

†ici = q2Ni

1 , (2.3.128)

[1+Kxi,q1,q2 ] = Kq21[xi,q1,q2 ]+q2Ni

2 , ou [1+Kxi,q1,q2 ] = Kq22[xi,q1,q2 ]+q2Ni

1 . (2.3.129)

Temos a Hamiltoniana dada por,

Hq1,q2 =∑

i

(ǫi − µq1,q2)Ni, (2.3.130)

ondeµq1,q2 é o potencial químico do sistema (q1, q2)-deformado. Como sabemos, a Hamil-



toniana é deformada e depende implicitamente deq1 eq2 sendo o operador número definido

na Eq.(2.3.127). Obtemos, o número de ocupação médio deformado para os parâmetrosq1

e q2, por meio de:

i)

[ni,q1,q2 ] =

∑

ni

[ni,q1,q2 ]zq1,q2 exp(

(−βǫi)ni

)

∑

ni

zq1,q2 exp(

(−βǫi)ni

) (2.3.131)

ondezq1,q2 = exp(βµq1,q2) é a fugacidade do sistema, utilizaremos a notaçãozq1,q2 =

z′, assim,

[ni,q1,q2 ] =z′ (exp(βǫi)− z′)

(exp(βǫi)− q22z′) (exp(βǫi)− q21z

′), (2.3.132)

quandoq1 = q2 = 1,

ni =1

z−1 exp (βǫi)− 1. (2.3.133)

Agora,

[1 +Kni,q1,q2 ] =

∑

ni

[1 +Kni,q1,q2 ]z′ exp

(

(−βǫi)ni

)

∑

ni

z′ exp(

(−βǫi)ni

) =

= 1 +K(exp(βǫi)− z′)

q21 − q22

(1

(q22z′ − exp(βǫi))

+1

(exp(βǫi)− q21z′)

)

, (2.3.134)

quandoq1 = q2 = 1,

(1 +Kni) =z−1 exp(βǫi)− 1 +K

z−1 exp(βǫi)− 1. (2.3.135)



Fazendo,

[ni,q1,q2 ]

[1 +Kni,q1,q2 ]=

1

Kq22 + z′−1 exp(βǫi)− q22, (2.3.136)

ni

(1 +Kni)=

1

z−1eβǫi − 1 +K. (2.3.137)

ParaK = 1, teremos,

[ni,q1,q2 ]

[1 + ni,q1,q2 ]=

ni

(1 + ni)= z exp(−βǫi). (2.3.138)

ii) Agora pela Eq.(2.2.87), e com a definição dada pela Eq.(2.3.127),

ni,q1,q2 =1

ln(

q21q22

) ln

(

q21 − q22 + z′−1 exp(βǫi)−Kq21z′−1 exp(βǫi)−Kq21

)

. (2.3.139)

ComK = 1,

ni,q1,q2 =1

ln(

q21q22

) ln

(

z′−1 exp(βǫi)− q22z′−1 exp(βǫi)− q21

)

. (2.3.140)

Expandindo a Eq.(2.3.139) emz′ ≪ 1, temos a relação para JD,

ni,q1,q2 =q21 − q22

ln(

q21q22

) z′ exp(−βǫi), ni,q1,q2 =q21 − q22

ln(

q21q22

) ni. (2.3.141)

D(q1,q2)z =

q21 − q22

ln(

q21q22

)∂z(q1,q2), (2.3.142)

Dz = ∂z, quandoq1 = 1, q2 → 1. (2.3.143)

Aplicaremos os osciladores de Fibonacci, nos capitulos a seguir, e obteremos resultados

(q1, q2)-deformados das grandezas termodinâmicas, como energia interna, magnetização,



calor específico, condutividade térmica, etc. Trabalharemos nos regimes de baixas (z ≫ 1)

e altas temperaturas (z ≪ 1), e quandoq1 = 1 e q2 → 1 e vice-versa, todos os resulta-

dos obtidos retornam aos encontrados na literatura [124]-[127], pois as JD viram derivadas

usuais.


Capítulo 3

Aplicação dos Osciladores de Fibonacci

no Diamagnetismo de Landau em

D-Dimensões

O problema do diamagnetismo resolvido por Landau continua alevantar questões que

têm forte relevância ainda hoje [128, 129]. Estas questões dizem respeito à natureza quântica

inerente do problema, o papel de limites de fronteira e de dissipação, o significado dos

limites termodinâmicos e acima de tudo, mescla mecânicas clássica e quântica ocasionada

pelo ambiente decoerência induzido.

Para explicarmos o fenômeno do diamagnetismo, temos que levar em conta a interação

entre o campo magnético externo e o movimento orbital dos elétrons. Descartando o termo

de spin, o hamiltoniano de uma partícula na presença de um campo magnéticoH, é dado

pela expressão [124]

H =1

2m

(

p− e

cA)2

, (3.0.1)

ondemeesão a massa e a carga do elétron respectivamente,A é o potencial vetor associado

ao campo magnéticoH e c é a velocidade da luz, em unidades(CGS). No contexto da

mecânica estatística clássica, não há possibilidade de ocorrência do diamagnetismo [124]-

32

3.1. APLICAÇÃO DOS OSCILADORES DE FIBONACCI 33

[127]. Para ver isto, basta escrevermos a função de partiçãono espaço de fase clássico,

Ξcl =

∫

d3r

∫

d3p exp (−βH), (3.0.2)

Ξcl =

∫

d3r

∫

d3p exp

[

− β

2m

(

p− e

cA)2]

. (3.0.3)

Note que podemos eliminar a dependência deΞcl com o campo magnético, ao realizarmos

uma mudança de variávelp′ → p− ( e

c)A, tal que

Ξcl =

∫

d3r

∫

d3p exp

[

−βp′2

2m

]

. (3.0.4)

Podemos fazer uma generalização paraD-dimensões, mudando a dimensão do espaço de

coordenadas e de momento de3 paraD dimensões. O problema original em(D = 3) pode

ser visto de maneira detalhada a partir da equação (3.0.4) noApêndice A, onde mostramos

que o diamagnetismo de Landau é um fenômeno puramente quântico. Neste caso, obtemos

a degenerescênciag e também calculamos a frequência clássica de rotação definida por

ω = eHmc

.

3.1 Aplicação dos Osciladores de Fibonacci

Inserimos os osciladores de Fibonacciq1 e q2, através da Eq.(2.3.132), baseados nos desen-

volvimentos realizados nas Secs.(2.2) e (2.3). Partiremosda (q1, q2)-função de partição no

ensemble grande canônico,

ln Ξ = −K

g∑

δ=1

∑

k

∞∑

n

ln [1−K exp[−β(ǫ− µ)]q1,q2 ]1, (3.1.5)

ondeK = ±1, para bósons e férmions respectivamente (definido na Sec.(2.2)).

1ln [1−K exp[−β(ǫ− µ)]q1,q2 ] =ln [1−Kz′q21 exp(−βǫ)](q−2

1 −1)+ln [1−Kz′q22 exp(−βǫ)](1−q−22 )]

(q21−q22)



Realizamos os somatórios, primeiramente considerando o limite contínuo,

∑

k

f(k) → Lw

(2π)w

∫ ∞

−∞dwkzfn(kz), (3.1.6)

ondew = (D − 2), ek2z = k2

1 + k22 + · · · + k2

w eL(D) = V (hiper-volume). Devemos notar

que aumentamos apenas o número de dimensões para(D− 2) dimensões extras. O sistema

continua, em sua essência, um problema planar imerso emD dimensões. Substituindo a

Eq.(3.1.6) na Eq.(3.1.5), realizando uma expansão da forma, − ln(1− x) = x+ x2

2+ · · · , e

trabalhando num limite de altas temperaturas ou de gás diluído (z ≪ 1), chegamos em

ln Ξ =KgLw

(2π)w

∞∑

n=0

∫ ∞

−∞dwkz

z′Ke(−βǫ) +z′2K2e(−2βǫ)(q21 + q22 − 1)

2

, (3.1.7)

Definimos o fator de degenerescênciag e a energiaǫ, e

g =2L2eH

hc, ǫ =

~2k2

z

2m+ ~ω

(

n+1

2

)

. (3.1.8)

ln Ξ = K2gLwz′

(2π)w

[∫ ∞

−∞dwkz exp

[

−β~2k2z

2m

]

︸︷︷︸

I1

∞∑

n=0

exp

[

−β~ω

(

n+1

2

)]

︸︷︷︸

S1

]

+

+K3gLwz′2(q21+q22−1)

2(2π)w

[∫ ∞

−∞dwkz exp

[

−β~2k2z

m

]

︸︷︷︸

I2

∞∑

n=0

exp

[

−2β~ω

(

n+1

2

)]

︸︷︷︸

S2

]

.(3.1.9)

Observamos que as integraisI1 e I2 são gaussianas. A resolução de uma integral gaus-

siana é dada por:∫ ∞

−∞exp(−ax2)dx =

(π

a

)( 12). (3.1.10)

Logo chegamos aos respectivos resultados,

∫ ∞

−∞exp

(

−β~2k2z

2m

)

dwkz =

(2πm

β~2

)(w2 )

. (3.1.11)



∫ ∞

−∞exp

(

−β~2k2z

m

)

dwkz =

(1

2

)(w2 )(2πm

β~2

)(w2 )

. (3.1.12)

Lembrando queβ = 1κBT

, ondeκB é a constante de Boltzmann, temos

(2πmκBT

~2

)(w2 )

=1

λwT

, (3.1.13)

onde,λT é o comprimento de onda térmico de De Broglie. Por outro lado, os resultados dos

somatóriosS1 eS2 da Eq.(3.1.9), são respectivamente

∞∑

n=0

exp

[

−β~ω

(

n+1

2

)]

=1

2 sinh(βµBH), (3.1.14)

∞∑

n=0

exp

[

−2β~ω

(

n+1

2

)]

=1

2 sinh(2βµBH), (3.1.15)

ondeµB = e~2mc

é o magneton de Bohr, echamando(βµBH) = γ.

Com os resultado obtidos nas Eqs.(3.1.11-3.1.15) e o valor deg, podemos reescrever a

Eq.(3.1.9),

ln Ξ =z′K22L2e

2hc

(L

(2π)λT

)w [1

sinh(γ)+

z′K

2(w2 )

(q21 + q22 − 1)

2 sinh(2γ)

]

, (3.1.16)

ln Ξ =z′K2LDeH

hc

(1

(2π)λT

)w [1

sinh(γ)+

z′K

2(w2 )

(q21 + q22 − 1)

2 sinh(2γ)

]

. (3.1.17)

Podemos ainda definir dois fatores

C1 =L(D)e

hc (λT (2π))w , C2 =

L(D)e

hc(

λT (2π)2( 12))w , (3.1.18)

echamaremos(q21 + q22 − 1) = Q.



Tal que a função de partição no ensemble grande canônico, assume a forma

ln Ξ =z′K2HC1

sinh(γ)+

z′2K3HC2Q

2 sinh(2γ). (3.1.19)

Notamos que a Eq.(3.1.19) apresenta a (q1, q2)-deformação apenas no segundo termo,

fato muito interessante, uma vez que se fizermosQ = 0 (ou seja,q1 = 1 e q2 = 0, e vice-

versa), o segundo termo deixa de existir, por outro lado, quando (q1 = q2 = 1) a deformação

deixa de existir, mas continuamos com a presença deste termo. Encontramos na literatura

[124]-[127], a solução apenas em primeira ordem.

Além de calcular as grandezas termodinâmicas deformadas napróxima Sec.(3.1.1), ex-

pandimos nossos resultados numa análise mais complexa, para efeito comparativo, entre os

dois sistemas utilizados para introdução dos osciladores de Fibonacci, apresentamos os re-

sultados obtidos (q1, q2)-deformados e quandoQ = 0, além de realizar uma expansão em

torno deH.

3.1.1 Número de Partículas, Energia interna e Calor Específico

Obtemos o número de partículasN através da definição

N = z′∂

∂z′ln Ξ. (3.1.20)

N∗ =z′K2HC1

sinh(γ)+

z′2K3HC2Q

sinh(2γ), (3.1.21)

onde o asterico(∗) simbolizará os resultados (q1, q2)-deformados. Temos que,

N =z′K2HC1

sinh(γ), quandoq1 = 1, q2 = 0, (3.1.22)

realizando a expansão emH,

N∗ =z′K2(2C1 + z′KC2Q)

2βµB

. (3.1.23)



Já a energia interna é determinada partindo de

U = − ∂

∂βln Ξ (3.1.24)

U∗ =z′K2C1µBH

2 coth(γ)

sinh(γ)+

z′2K3C2µBH2 coth(2γ)Q

sinh(2γ), (3.1.25)

reescrevendo em função deN∗,

U∗ =N∗µBH

[

C1 coth(γ) sinh(2γ) + z′KC2 sinh(γ) coth(2γ)Q]

C1 sinh(2γ) + z′KC2 sinh(γ)Q. (3.1.26)

Temos ainda:

U = NµBH coth(γ) quandoq1 = 1, q2 = 0, (3.1.27)

U =z′K2HC1

sinh(γ)+

z′2K3HC2

sinh(2γ)quandoq1 = 1, q2 = 1, (3.1.28)

expandindo emH,

U∗ =z′K2(4C1 + z′KC2Q)

4β2µB

. (3.1.29)

Na Fig.(3.1), temos o comportamento da energia internaU∗ em função do campo mag-

néticoH e para alguns valores deq1 e q2 — ver legenda. Notamos que todas as curvas

apresentam picos máximos diferentes, e a medida que o campo magnéticoH aumenta as

curvas apresentam o mesmo comportamento, ou seja, elas se sobrepõe com um campo em

torno de4 Oe.

Temos comprovada a simetria entre os osciladores, ou seja, quando (q1 = 1 e q2 = 0)

curva de cor verde e quando (q1 = 0.1 e q2 = 1) curva de cor preta, elas são idênticas, além

de representarem o caso sem deformação em primeira ordem. Quando (q1 = 1 e q2 = 1) a

curva de cor cinza, representa o comportamento do caso sem deformação, mas em segunda



ordem. Por outro lado, quando (q1 = 0.1 e q2 = 0) representada pela curva de cor azul,

temos a maior influência da deformação.

Figura 3.1:Energia Interna em função do Campo MagnéticoH, Eq.(3.1.25).

Figura 3.2:Calor Específico em função do campo magnéticoH, Eq.(3.1.32).

Para determinarmos o calor específico

CV =1

N

(∂U

∂T

)

V,N

= −κBβ2

N

(∂U

∂β

)

V,N

, (3.1.30)



fazemos uso de Jacobianos, definidos por

(∂U

∂β

)

N=

∂(U,N)

∂(β,N)=

∂(U,N)

∂(β, z)

∂(β, z)

∂(β,N)=(∂U

∂β

)

z−(∂U

∂z

)

β

(∂N∂β

)

z(∂N∂z

)

β

. (3.1.31)

Com o resultado obtido das derivadas (3.1.31) e com a definiçãoda Eq.(3.1.21), voltando

na Eq.(3.1.30), obtemos o calor específico,

C∗V = κB(γ)

2

[C1 sinh

2(2γ)]2

+ 4z′KC1C2Q cosh(γ)b1 − 4z′2K2C22b2

sinh2(γ) sinh2(2γ)(b3 · b4)

, (3.1.32)

onde:

b1 = cosh(2γ)[sinh2(γ) sinh2(2γ) (coth(γ) coth(2γ)− 1)− tanh(γ) tanh(2γ)

];

b2 = (q21 + q22)2Q[cosh(2γ) cosh4(γ)

];

b3 = C1 sinh(2γ) + z′KC2 sinh(γ)Q;

b4 = C1 sinh(2γ) + 2z′KC2 sinh(2γ)Q.

Podemos escrever o calor especifico na forma

CV = κB

(γ

sinh(γ)

)2

, quandoq1 = 1, q2 = 0, (3.1.33)

C∗V = κB

6z′KC1C2Q+ 4C2

1 + z′2K2C22Q

2

2(2C1 + z′KC2Q)(C1 + z′KC2Q)

expansão emH, (3.1.34)

e CV = κB, quandoq1 = 1, q2 = 0. (3.1.35)

As Figs.(3.2) apresentam o comportamento do calor específico em função do campo

magnéticoH — ver legendas. As curvas do lado esquerdo descrevem o comportamento apa-

rentemente errôneo, pois apresentam valores negativos, ouseja, quandoq2 = 0 e q1 = 0.1,

até valores próximos àq1 = 0.5, que já apresenta valor igual a zero. Contudo, existem

sistemas que apresentam esta instabilidade termodinâmica, que são os sistemas gravitacio-



nais (buracos negros, estrelas, etc) [130]-[133], e um estudo recente com gases quânticos

aprisionados (átomos frios) [134].

Do lado direito da Fig.(3.2) a curva da cor verde representa ocaso em primeira ordem

sem deformação, a curva preta mesmo com deformação se sobrepoe a curva verde, por

outro lado, a curva cinza também está sem deformação, mas em segunda ordem, e entre elas

a curva vermelha deformada conforme legenda. E notamos que as curvas ficam sobrepostas,

em torno de3 Oe.

3.1.2 Entropia, Magnetização e Susceptibilidade Magnética

Determinamos o grande potencial canônico, partindo da definição

φ = − 1

βln Ξ, (3.1.36)

φ∗ = −(z′K2HC1

β sinh(γ)+

z′2K3HC2Q

2 sinh(2γ)

)

. (3.1.37)

A partir da Eq.(3.1.37) podemos determinar a entropia do sistema,

S = − ∂φ

∂T, (3.1.38)

S∗ =N∗κB

2C1 sinh(2γ) + 2z′KC2 sinh(γ)Q

[

2C1 sinh(2γ)(

1 + γ coth(γ))

+

+ z′C2KQ sinh(γ)(

1 + 2γ coth(2γ))]

, (3.1.39)

S =z′C1κBK

2H(1 + γ coth(γ))

sinh(γ), quandoq1 = 1, q2 = 0, (3.1.40)

S∗ =z′κBK

2(4C1 + z′KC2Q)

2βµB

, expansão emH, (3.1.41)



e a magnetização,

M = − ∂φ

∂H, (3.1.42)

M∗ =z′C1K

2 (1− γ coth(γ))

β sinh(γ)− z′C2K

3Q (1− γ coth(2γ))

2β sinh(2γ). (3.1.43)

Introduzimos as funções de Langevin nas formas

L(γ) = coth(γ)− 1

γ, L(2γ) = coth(2γ)− 1

2γ, (3.1.44)

reescrevemos a Eq.(3.1.43) nas formas

M∗ = −N∗µB

[

C1 sinh(2γ)L(γ) + z′KC2γ sinh(γ)L(2γ)]

C1 sinh(2γ) + z′KC2 sinh(γ)Q, (3.1.45)

M = −NµBL(γ), quandoq1 = 1, q2 = 0. (3.1.46)

M∗ = −z′K2µBH(C1 + z′KC2Q)

3, expansão emH. (3.1.47)

A Fig.(3.3) apresenta o comportamento da magnetização em função do campo magné-

tico H e para alguns valores deq1 e q2 conforme legenda. Como nos gráficos anteriores a

curva cinza é o caso sem deformação em segunda ordem, e notamos que na medida que a

influência dos osciladores aumenta, reduz o máximo dos picos, até chegarmos a curva azul,

e as curvas se sobrepõe a partir de4 Oe. Na próxima seção, voltamos a comentar esta fi-

gura, em conjunto com os resultados obtidos após aplicação da deformação viaJD, onde

comparamos nossos resultados teóricos com alguns resultados experimentais.

Determinamos a susceptibilidade magnética,

χ =∂M

∂H, (3.1.48)



Figura 3.3: Magnetização em função do campo magnéticoH, Eq.(3.1.45).

Figura 3.4: Susceptibilidade Magnética em função do campo magnéticoH, Eq.(3.1.49).

χ∗ =N∗βµ2

B

C1 sinh(2γ) + z′KC2 sinh(γ)Q

[

C1 sinh(2γ)(

2 coth(γ)L(γ)− 1)

+

+ 2z′C2 sinh(γ)Q(

2 coth(2γ)L(2γ)− 1)]

. (3.1.49)

χ = −Nβµ2B[2 coth(γ)L(γ)− 1], quandoq1 = 1, q2 = 0. (3.1.50)


3.2. APLICAÇÃO DAS DERIVADAS DE JACKSON 43

χ∗ = −2z′µB(C1K

2 + z′K3C2Q)(C1 + z′KC2Q)

2C1 + z′KC2Q, expansão emH. (3.1.51)

Na Fig.(3.4), temos a susceptibilidade magnética em funçãodo campo magnéticoH.

Observamos que o comportamento das curvas são semelhantes ao caso sem deformação em

primeira ordem (curva verde) com excessão das curvas de cor azul e ciano, que só a partir

de1 Oe seguem o mesmo padrão, e que em torno de4 Oe ficam todas sobrepostas.

Podemos ainda realizar uma análise para campos fracosγ ≪ 1, partindo da Eq.(3.1.45),

e considerando apenas o termo de primeira ordem, temos

M∗ = −2N∗µB sinh(γ) cosh(γ)(C1 + z′C2KQ)

3(2C1 cosh(γ) + z′KC2Q), (3.1.52)

M = −zK2µBHC1

3, quandoq1 = 1, q2 = 0, (3.1.53)

e assim, temos a susceptibilidade à campo nulo

χ∗0 = −2µBz

′K2(C1 + z′C2KQ)

3(2C1 + z′KC2Q). (3.1.54)

χ0 = −z′µBK2C1

3, quandoq1 = 1, q2 = 0, (3.1.55)

3.2 Aplicação das Derivadas de Jackson

Aplicaremos agora as JD apresentadas na Sec.(2.3). A Eq.(2.3.142) é uma aproximação em

altas temperaturas (z ≪ 1) que nos permite aplicá-las ao problema do diamagnetismo de

Landau. Podemos ver outros exemplos de deformação do problema em [57, 64, 65].

Partindo da função de partição no ensemble grande canônico

ln Ξ = −K∑

δ

∑

k

∑

n

ln 1−K exp[−β(ǫ− µ)], (3.2.56)



notamos que não há presença dos osciladores de Fibonacci, pois os mesmos serão inseridos

através das JD. Seguindo os mesmos procedimentos anteriores, reescrevemos a Eq.(3.1.9)

ln Ξ = K2gLwz′

(2π)w

[∫ ∞

−∞dwkz exp

[

−β~2k2z

2m

]

︸︷︷︸

I1

∞∑

n=0

exp

[

−β~ω

(

n+1

2

)]

︸︷︷︸

S1

]

+

+K3gLwz′2

2(2π)w

[∫ ∞

−∞dwkz exp

[

−β~2k2z

m

]

︸︷︷︸

I2

∞∑

n=0

exp

[

−2β~ω

(

n+1

2

)]

︸︷︷︸

S2

]

. (3.2.57)

Como sabemos as integrais são do tipo gaussiana e tem os resultados dados pelas Eqs.

(3.1.11) e (3.1.12), onde obtemos o comprimento de onda térmico (3.1.13), e os somatórios

são dados pelas Eqs.(3.1.14) e (3.1.15).

Antes de escrever a função de partição, realizamos esta aproximação que deve-se ao

critério de validade do tratamento clássico de um gás, ou seja, os efeitos quânticos são

desprezíveis, quando o comprimento de onda de De Broglie é muito pequeno comparando

com outras distâncias físicas relevantes.

A quantidadea =(VN

) 13 , representa o espaçamento médio entre partículas do gás. Por-

tanto, é plausível que os efeitos quânticos sejam desprezados quando temos “poucas” par-

tículas no sistema (baixa densidade), ou quando estas se distribuem por um grande número

de estados (altas temperaturas). Logo,

λwT ≪ aw. (3.2.58)

Podemos relacionara com a energia de Fermi,

ǫwF =

(3N

8πV

) 2w3 h2w

(2m∗)w, (3.2.59)

aw =

(3nena

8π

)w3 hw

(2m∗ǫF )w2

, (3.2.60)

temosNV= nena

a3, ondene é o número de elétrons de condução por átomo,na é o número de



átomos por célula em∗ = massa efetiva =0, 98me, me é a massa do elétron.

Voltando a Eq.(3.2.58) e substituindo pelas Eqs.(3.1.13) e(3.2.60),

1

Tw≪(3nena

8π

) 2w3 h2w

(2m∗ǫF )w(2πmκB)

w

~2w, (3.2.61)

Tw ≫ 0, 98TwF

(nena)2w3 (30, 06)w

, (3.2.62)

ondeTwF é a temperatura de Fermi=

(ǫFκB

)w

.

Podemos ter uma noção do valor da temperatura necessária para atingir o limite clássico,

aplicando a Eq.(3.2.62) por exemplo, para o caso do sódio(Na), como segue:

ne = 1, na = 2, TF = 3, 84× 104K, D = 3,

T ≫ 788, 6K. (3.2.63)

Voltando a função de partição, e inserindo os fatoresC1 eC2 (3.1.18), tal que

ln Ξ =z′K2HC1

sinh(βµBH)+

z′2K3HC2

2 sinh(βµBH). (3.2.64)

Após as mudanças necessárias para generalizarmos o problema do diamagnestismo de

Landau emD-dimensões, voltamos agora nossa atenção à incorporação daálgebra (q1,q2)-

deformada no nosso estudo. Podemos escrever a função de partição no ensemble grande

canônico da seguinte maneira

ln Ξ = 2z′K2HC1

∞∑

n=0

yn1 + z′2K3HC1

∞∑

n=0

yn2 , (3.2.65)

ondeyn1 = exp(−βǫn1), yn2 = exp(−βǫn2) e ǫn1 =[~eHmc

(n+ 1

2

)], ǫn2 =

[2~eHmc

(n+ 1

2

)].

Os resultados obtidos a seguir, serão iguais aos anteriorespara o caso sem deforma-

ção em segunda ordem, em ambos as curvas serão representadaspela cor cinza, com uma

diferença, no caso geralq1 = 1 e q2 = 1, e para as JD, temosq1 = 1 e q2 → 1, ape-



nas por questão matemática. Como já vimos, o caso geral só apresentava a deformação no

termo de segunda ordem, por outro lado, as derivadas de Jackson, poderiam ser aplicadas

no problema de Landau, apenas em primeira ordem, mas para efeito comparativo seguimos

a mesma ordem de grandeza.

3.2.1 Número de partículas, Energia Interna e Calor Especifico

O número de partículasN é definido através da Eq.(3.1.20), como depende explicitamente

dez, logo aplicando aJD, obtemos

N∗ = z′D(q1,q2)z′

[

2z′K2HC1

∞∑

n=0

yn1 + z′2K3HC2

∞∑

n=0

yn2

]

, (3.2.66)

N∗ =

q21 − q22

ln(

q21q22

)

[

2z′K2HC1∂z′(q1,q2)z′

∞∑

n=0

yn1 + z′K3HC2∂z′(q1,q2)z′2

∞∑

n=0

yn2

]

,

(3.2.67)

N∗ =

q21 − q22

ln(

q21q22

)

[z′K2HC1

sinh(γ)+

z′2K3HC2

sinh(2γ)

]

, (3.2.68)

N∗ =

q21 − q22

ln(

q21q22

)

z′K2(2C1 + z′KC2)

2βµB

, expansão em H. (3.2.69)

Vamos determinar a energia interna, que como sabemos é definida pela Eq.(3.1.24),

contudo precisamos inserir as JD, assim, usaremos as Eqs.(2.2.114), (2.3.142), e relizando

a seguinte mudança,

− ∂

∂β= −

(∂yn∂β

∂

∂yn

)

, (3.2.70)

U∗ = −∂yn∂β

D(q1,q2)yn ln Ξ, (3.2.71)

U∗ = −

q21 − q22

ln(

q21q22

)

[

2z′K2HC1∂

∂β

∞∑

n=0

yn1 + z′2K3HC2∂

∂β

∞∑

n=0

yn2

]

, (3.2.72)



U∗ = z′K2µBH2

q21 − q22

ln(

q21q22

)

[C1 coth(γ)

sinh(γ)+

z′KC2 coth(2γ)

sinh(2γ)

]

. (3.2.73)

Podemos escrever a Eq.(3.2.73) em função da Eq.(3.2.68), portanto,

U∗ = N∗µBH

[C1 coth(γ) sinh(2γ) + z′KC2 coth(2γ) sinh(γ)

C1 sinh(2γ) + z′KC2 sinh(γ)

]

. (3.2.74)

Expandindo a Eq.(3.2.74) emH, temos

U∗ =

q21 − q22

ln(

q21q22

)

z′K2(4C1 + z′KC2)

4β2µB

. (3.2.75)

Na Fig.(3.5), temos o comportamento da energia internaU∗ em função do campo mag-

néticoH e para alguns valores deq1 e q2 — ver legenda. Temos que a curva de cor cinza, é

o caso sem deformação, e todas as outras curvas diferem das geradas anteriormente, mesmo

com os valores adotados sendo os mesmos. Comportamento, já esperado, pois na Sec.(3.1),

a deformação já estava inserida na função de partição grandecanônica, e ao trabalharmos no

limite de altas temperaturas(z ≪ 1) para a resolução do diamagnetismo de Landau, a de-

formação apareceu apenas no termo de segunda ordem, por outro lado, para a aplicação das

JD vimos que elas inserem os paramêtros de deformação através da mudança das derivadas

usuais para as suas derivadas específicas, conforme foi demonstrado ao longo do Cap.2.

Para determinarmos o calor específico fazemos uso das Eqs.(3.1.30), (3.1.31). Após

realizarmos todas as derivadas, e com a Eq.(3.2.68), chegamos em

CV = κB(γ)2

[C1 sinh

2(2γ)]2

+ 4z′KC1C2 cosh(γ)d1 − d2

sinh2(γ) sinh2(2γ)(d3 · d4)

, (3.2.76)

onde:

d1 = cosh(2γ)[sinh2(γ) sinh2(2γ) (coth(γ) coth(2γ)− 1)− tanh(γ) tanh(2γ)

];

d2 = [2z′KC2 sinh2(γ)]2;

d3 = C1 sinh(2γ) + z′KC2 sinh(γ);

d4 = C1 sinh(2γ) + 2z′KC2 sinh(2γ).



Figura 3.5:Energia Interna em função do campo magnéticoH, Eq.(3.2.74)

Figura 3.6:Calor Específico em função do campo magnéticoH, Eq.(3.2.76)

Ainda temos,

CV = κB

6z′KC1C2 + 4C2

1 + z′2K2C22

2(2C1 + z′KC2)(C1 + z′KC2)

, expansão emH. (3.2.77)

Notamos que não temos a presença deq1 eq2, ou seja, o resultado coincide com o usual,

o mesmo acontece com qualquer grandeza específica tipo energia por partícula(u = U

N

),

magnetização por partícula(m = M

N

), etc. A curva obtida será uma sobreposição de todas



as diferentes curvas conforme legenda. Assim, a grandeza que é essencialmente afetada pela

deformação é o número de partículasN . A deformação pode ser vista portanto, como um

efeito de impureza em um material magnético, a qual modifica suas características.

Na Eq.(3.1.32), mesmo fazendo uso das mesmas ferramentas matemáticas, o resultado

final é diferente em partes. Como os paramêtros de deformação estão presentes desde à es-

sência (função de partição grande canônica), não permitindo que eles desapareçam (apenas

quandoQ = 0, reduzindo o resultado para primeira ordem, como foi apresentado), assim

como na Eq.(3.2.76), onde são inseridos através de derivadas modificadas. Mas isso, não

muda a essência da deformação, que atua como uma impureza, demodo geral a diferença

está na forma de como ela é inserida no material magnético, pois, mesmo por dois caminhos

distintos, nossos resultados mostram que, a deformação atua modificando as características

do material.

3.2.2 Entropia, Magnetização e Susceptibilidade Magnética

Vimos que o potencial termodinâmico é dado pela Eq.(3.1.37), assim,

φ = −(

2z′HK2C1

β

∞∑

n=0

yn1 +z′2HK3C2

β

∞∑

n=0

yn2

)

, (3.2.78)

A entropia do sistema é dada por (3.1.38), contudo precisamos realizar uma mudança,

tal que

S∗ = −(∂yn∂T

∂φ

∂yn

)

= −∂yn∂T

D(q1,q2)yn φ, (3.2.79)

S∗ =N∗κB2C1 sinh(2γ)[1 + γ coth(γ)] + zKC2 sinh(γ)[1 + 2γ coth(2γ)]

2[C1 sinh(2γ) +KC2 sinh(γ)],(3.2.80)

e ainda

S∗ =

q21 − q22

ln(

q21q22

)

z′κBK

2(4C1 + z′KC2)

2βµB

, expansão emH. (3.2.81)



Através da derivada termodinâmica Eq.(3.1.42), determinamos a magnetização. Entre-

tanto, para aplicarmos aJD, teremos que reescrever a derivada da seguinte forma

M∗ = − ∂φ

∂H= −

(∂yn∂H

∂φ

∂yn

)

= −∂yn∂H

D(q)yn φ, (3.2.82)

M∗ = −N∗µB

[2C1 sinh(2γ)(γ coth(γ)− 1) + 2z′KC2 sinh(γ)

(γ coth(2γ)− 1

2

)]

2γ(C1 sinh(2γ) + z′KC2 sinh(γ).

(3.2.83)

Inserindo as funções de Langevin (3.1.44), finalmente obtemos,

M∗ = −N∗µB [C1 sinh(2γ)L(γ) + z′KC2 sinh(γ)L(2γ)]C1 sinh(2γ) + z′KC2 sinh(γ)

, (3.2.84)

M∗ = −

q21 − q22

ln(

q21q22

)

z′K2µBH(C1 + z′KC2)


Figura 3.7:Magnetização em função do campo magnéticoH, Eq.(3.2.84)

Agora, com as curvas obtidas para a magnetização em função docampo magnéticoH,

apresentadas na Fig.(3.7), e com as curvas obtidas na Fig.(3.3) da Sec.(3.1.2), realizamos

uma comparação dos nossos resultados obtidos com alguns resultados experimentais [135]-

[139]. Como nossas curvas estão normalizadas, e nossos resultados são apenas teóricos,



chamamos a atenção apenas para o comportamento das curvas, que são visivelmente seme-

lhantes, não importando no momento valores de magnetizaçãoe nem de campo magnético.

Figura 3.8:Magnetização para os parâmetros apropriados para um cristal sub-dopado. O detalhemostra como a magnetização anómala está quase desaparecendo paraT = 36.1K e evolui para umregime de flutuação única emT = 37K [135].

Figura 3.9:Curvas isotérmicas de magnetização doY Ni2B2C em função do campo magnéticoH,para temperatura acima deTc(0) = 15.25± 0.02K, [136].

De modo geral, independente da técnica utilizada ou do material diamagnético pesqui-

sado, todos esses trabalhos mostram o que prevíamos [57]-[59], ou seja, que a inserção de

certos materiais, exposição à algum tipo de solução, ou mudanças de pressão e temperatura,

alteram as características dos materiais supercondutorespesquisados, assim, como a inser-

ção de impurezas são todos exemplos de fatores de desordem, que alteram totalmente as

características de um sistema, no caso destroem a supercondutividade.



Figura 3.10:Magnetização doY bC6 em função do campo magnético. Detalhe: a magnetizaçãoversus temperatura medida de campoH = 1mT , com campo de resfriamento (FC) e campo zero deresfriamento (ZFC) [137].

Figura 3.11:Magnetização dependente da temperatura FC e ZFC para amostras puras (imaculadas)e hidrogenadas deCaC6 em um campo magnético aplicado externo de100 Oe. Detalhe: (a) mostraa variação do comportamento diamagnético do supercondutor muito fraco para as amostras deCaC6

hidrogenizadas. (b) mostra a magnetização dependente do campo magnéticopara um temperaturafixa de5 K de amostras puras e submetidas a diferentes tempos de exposição ao hidrogênio [138].

No momento, a inteção é apenas mostrar a consistência dos nossos resultados, por esta

razão não detalhamos nenhum trabalho, apenas uma breve legenda. Futuramente podemos

realizar relações do fator de deformaçãoq, ou dos paramêtrosq1 e q2, com a temperatura,

pressão, exposição ao hidrogênio, absorção de amônia, conforme as Figs.(3.8-3.13).



Figura 3.12:Magnetização dependente do campo magnético como uma função da temperatura paraCa-GIC (Composto intercalado de cálcio-grafite) [139].

Figura 3.13:Magnetização em função do campo magnético de Ca-GIC puro e amonizados, emdiferentes pressões de absorção de amônia [139].

Figura 3.14:Susceptibilidade Magnética em função do campo magnéticoH, Eq.(3.2.86)



Determinamos a susceptibilidade a partir da definição (3.1.48), logo

χ∗ =N∗βµ2

B [C1 sinh(2γ)(2 coth(γ)L(γ)− 1) + 2z′KC2 sinh(γ)(2 coth(2γ)L(2γ)− 1)]

C1 sinh(2γ) + z′KC2 sinh(γ).

(3.2.86)

χ∗ = −

q21 − q22

ln(

q21q22

)

z′K2µB(C1 + z′KC2)


Agora realizamos uma análise no limite de campos fracosγ ≪ 1, partindo de (3.2.84),

expandida em uma série de Taylor

M∗ = −

q21 − q22

ln(

q21q22

)

z′K2H(C1 + z′KC2)

3. (3.2.88)

Temos portanto, a susceptibilidade a campo nulo

χ∗0 = −

q21 − q22

ln(

q21q22

)

z′µBK

2(C1 + z′KC2)

3. (3.2.89)

χ∗0 =

z′µBK2C1

3, quandoq1 = 1, q2 → 1, (3.2.90)

onde consideramos aqui apenas o termo de primeira ordem, e assim, mostramos que as

Eqs.(3.1.55) e (3.2.90) são iguais.

Os resultados apresentados ao longo do capitulo mostram quea magnetização no limite

de altas temperaturas é dada pela mesma expressão obtida no modelo clássico de Langevin

para o paramagnetismo, mas com sinal trocado. Esse sinal nãodepende da carga, pois se

trata de uma função ímpar e a cargae comparece linearmente na expressão do mágneton

de Bohr. Já com relação a susceptibilidade a campo nulo, não tem nenhum análogo na

mecânica estatística clássica (anula-se quandoH=0). E é possível notarmos que esse resul-

tado corresponde justamente a um terço, com sinal trocado dasusceptibilidade de Pauli no

regime de altas temperaturas [124]-[127].


3.3. GRÁFICOS NÃO DEFORMADOS PARA DIFERENTES DIMENSÕESD 55

Note que quando a deformação aumenta (q2 → 0) a magnitude das grandezas diamag-

néticas acima mencionadas diminuem. Podemos pensar em uma substância diamagnética

na qual se adiciona gradualmente uma impureza, por exemplo,outras substâncias à base de

material paramagnético ou ferromagnético de modo a compensar o efeito diamagnético da

primeira. Um outro exemplo, seria considerar cada valor de(q1, q2) associados a determina-

das substâncias. A saber, as susceptibilidades do cobre (−1.0×10−5)2, zinco (−1.6×10−5),

diamante (−2.1 × 10−5), mercúrio (−2.9 × 10−5) e ouro (−3.4 × 10−5) que estão em or-

dem crescente de magnitude|χ|, poderiam muito bem ser representadas pelas curvas azul

(ciano), verde, preto, vermelho e cinza da Figs.(3.4) e (3.14), respectivamente.

3.3 Gráficos não deformados para diferentes dimensõesD

Até o presente fixamosD = 3 e variamos o valor de (q1, q2) para estudarmos a deformação.

Entretanto, é claro que o número de dimensõesD afetam as quantidades termodinâmicas

observadas. É o que demonstraremos nesta seção. Voltado aosresultados obtidos anterior-

mete, notamos que não temos deformação, para as seguintes situações:

• Sec.(3.1) quandoq1 = 1 e q2 = 0 (curvas de cor verde),q1 = 1 e q2 = 1 (curvas com

a cor cinza) em todos os gráficos apresentados;

• Sec.(3.2) quandoq1 = 1 e q2 → 1 (curvas com a cor cinza), em todos os gráficos.

Como pode ser observado todas as quantidades termodinâmicasestudadas anteriormente

dependem das constantes

C1 ∝(

L

2πλT

)D

4π2λ2T , C2 ∝

(L

2π√2λT

)D

8π2λ2T . (3.3.91)

Podemos observar que, paraL < 2πλT à medida que o número de dimensõesD au-

mentaC1 e C2 diminuem — ver Eq.(3.1.18). Por outro ladoC1 aumenta eC2 diminui

com o aumento deD quandoL > 2πλT , e não sofre alterações quandoL = 2πλT — ver

2adimensional no sistema CGS



Figura 3.15:ConstanteC1 paraL− = 2π − 0.9 (vermelho), L+ = 2π + 0.9 (azul), (esquerda)econstanteC2 paraL− = 2π− 0.9 (preto), L+ = 2π+0.9 (amarelo), (direita) em função do númerode dimensõesD (0, · · · , 13) , λT = 1, Eq. (3.1.18).

Figura 3.16:Energia Interna em função do campo magnéticoH para dimensõesD conforme le-genda, e comL+=2π + 0.9 (esquerda)eL−=2π − 0.9 (direita) , λT = 1,.

Fig.(3.15). Um fenômeno interessante, pode ser observado no segundo caso, onde a mag-

netização é minimizada paraD = 3, um mecanismo que pode ser usado para selecionar

o número máximo de dimensões do espaço-tempo, por exemplo. Este fato pode encontrar

algumas aplicações em Física de Dimensões Extras, como a Cosmologia Moderna, Física

de Partículas e Teoria de Cordas [12, 57, 76, 78].

Os gráficos comprovam o comportamento exponencial da razão entreL eλT com as di-

mensõesD, previsto na Eq.(3.1.18). Assim, iremos variar o número de dimensõesD, para as



duas situações, pois os resultados serão os mesmos. Portanto, é interessante observar o com-

portamento das grandezas termodinâmicas, como segue. Os demais gráficos representam o

comportamento da energia interna Eqs.(3.1.25),(3.2.73),magnetização Eqs.(3.1.48),(3.2.86)

e susceptibilidade magnética Eqs.(3.1.45),(3.2.84) não deformados em função do campoH,

e de diferentes números de dimensõesD.

Figura 3.17:Magnetização em função do campo magnéticoH para dimensõesD conforme legenda,e comL+=2π + 0.9 (esquerda)eL−=2π − 0.9 (direita) , λT = 1.

Figura 3.18:Susceptilidade magnética em função do campo magnéticoH para dimensõesD con-forme legenda, e comL+=2π + 0.9 (esquerda)eL−=2π − 0.9 (direita) , λT = 1.


Capítulo 4

Propriedades Térmicas de um Sólido

Através da q-Álgebra

A interação entre os átomos permite a propagação de ondas elásticas no meio sólido que

podem ser tanto transversais quanto longitudinais. Se as oscilações dos átomos ao redor das

posições de equilíbrio são pequenas, o que deve ocorrer a baixas temperaturas, a energia

potencial de interação poderá ser aproximada por uma forma quadrática dos deslocamentos

dos átomos de suas posições de equilíbrio. Um sólido cristalino cujos átomos interagem de

acordo com tal potencial é denominado sólido harmônico. Numsólido harmônico as ondas

elásticas são harmônicas e constituem os modos normais de vibração do sólido cristalino

[140]. Sabemos que um grande número de fenômenos envolvem o movimento mecânico

quântico, em particular temos o movimento das partículas ativadas termicamente, obede-

cendo a leiT 3, as excitações térmicas no sistema são responsáveis pela excitação via fônons

[124]-[127].

Anderson [60], mostrou que a ocorrência desses fenômenos demovimento das particu-

las podem ser ocasionados por algum tipo de impurezas em estruturas cristalinas, resultando

em alguns tipos de espaços ou interações eletrônicas, ou seja, a rede vem a sofrer um tipo

de rearranjo dos elétrons, mudança no movimento dos spins nucleares, etc. Assim, em

nossos trabalhos [58, 59] aplicamos aq-deformação nos modelos de Einstein e Debye, e

58

4.1. IMPLEMENTAÇÃO DAQ-DEFORMAÇÃO 59

nossos resultados mostram que o fatorq atua como uma impureza, modificando as gran-

dezas termodinâmicas, como energia interna, calor específico, condutividade térmica, etc.

Apresentaremos alguns desses resultados e depois iremos inserir os paramêtros de defor-

mação (q1, q2), estudados na Sec.(2.3), reforçando mais ainda nossa idéia, com os novos

resultados.

4.1 Implementação daq-deformação

4.1.1 Sólido de Einsteinq-deformado

Consideramos o sólido em contato com um reservatório térmicoa temperaturaT , onde

temosnj definido com o número de quanta de energia doj-ésimo oscilador. Dado um

estado microscópiconj = n1, n2, . . . , nN, a energia desse estado pode ser escrita,

Enj =∞∑

j=1

(

nj +1

2

)

~ωE, (4.1.1)

ondeωE é a frequência de Einstein característica. Como nossa motivação é inserir o pa-

ramêtro de deformaçãoq, reescrevemos a Eq.(4.1.1), através da Eq.(2.1.30). Entretanto,

vale salientar que poderiamos ter aplicado a deformação ao estado microcanônico — ver

Apêndice B, pois os resultados apresentados na literatura (não deformados) para os dois sis-

temas termodinâmicos coincidem o que diferem é claro, são oscaminhos necessários para a

obtenção dos resultados. Voltando para a descrição da energia q-deformada, temos

Enq =~ωE

2

[

sinh((n+ 1

2

)γ2

)

sinh(γ4

)

]

. (4.1.2)

Sabemos que a função de partição é dada por

Ξ =∑

nj

exp(−βEnj). (4.1.3)



como não há termos de interação, podemos fatorizar a soma múltipla e aplicando o resultado

da Eq.(4.1.2), podemos reescrever a função de partição na forma,

Ξq =

∞∑

n=0

exp [−βEnq]

N

= ΞN1q , (4.1.4)

onde

Ξ1q =qαq exp

(

−2αq

(√q−1√q+1

))

qαq − 1. (4.1.5)

Como sabemosβ = 1κBT

, ondeκB é a constante de Boltzmann eΘE é a temperatura de

Einstein, definida por

ΘE =~ωE

κB

, (4.1.6)

e definimos uma função de Einsteinq-deformadaE(αq) na forma

E(αq) = qαq

(αqγ

qαq − 1

)2

, onde αq =ΘE(

√q + 1)

8T 4√q sinh

(γ4

) . (4.1.7)

Podemos determinar a energia livre de Helmhmoltz por oscilador a partir da expressão,

f = − 1

βlim

N→∞

1

Nln Ξ, (4.1.8)

fq = κBT

2αq

(√q − 1

√q + 1

)

− ln(qαq) + ln(qαq − 1)

. (4.1.9)

Com o resultado da Eq.(4.1.9), podemos determinar a entropiaq-deformada, uma vez

que sua definição é dada por

S = − ∂f

∂T, (4.1.10)

Sq = κB

ln(qαq)− ln(qαq − 1) +αq ln(q)

qαq − 1

. (4.1.11)



Figura 4.1: Entropia em função da Temperatura nos seguintes intervalos: (T=0, · · · , 10K) (es-querda) e (T=0, · · · , 1000K) (direita)

Figura 4.2:Calor Específico em função da Temperatura nos intervalos: (T=0, · · · , 1K) (esquerda),(T=0, · · · , 10K) (centro) e (T=0, · · · , 1000K) (direita) .

O calor específicoq-deformado é determinado por

cV (T ) = T

(∂S

∂T

)

, (4.1.12)

cV q(T ) = κBqαq

(ln(q)αq

(qαq − 1)

)2

. (4.1.13)

Podemos escrever o calor específico do sólido de Einstein em função deE(αq), definida

na Eq.(4.1.7),

cV q(T ) = 3κBE(αq). (4.1.14)

Analisando o comportamento do calor específico na Fig.(4.2), observamos que quando



T ≫ θE, e assim a razão entreα = θET

≪ 1, eθE é da ordem de100K para cristais comuns,

recuperando o resultado clássicocVq→ 3κB, conhecido por Lei de Dulong e Petit, pela qual

cV = 3R ≈ 5, 96 calmolK

(ou ≈ 24.95 JmolK

), ondeR é a constante universal dos gases. Por

outro lado, para temperaturas suficientemente baixas, ondeT ≪ θE e portantoα ≫ 1, o

calor específico anula-se exponencialmente com a temperatura [126],

cV → κB

(θET

)2

exp

(

−θET

)

. (4.1.15)

De um modo geral, a invariância da capacidade térmica a altastemperaturas e a sua queda a

baixas temperaturas, previstos no modelo de Einstein, estão de acordo, com resultados ex-

perimentais. Entretanto, à temperaturas suficientemente baixas, o calor específico não segue

experimentalmente a função exponencial dada na Eq.(4.1.15). Já para o casoq-deformado

observamos, quandoq = 0.1, para baixas temperaturas, a curva assume um comportamento

diferente da sem deformação, e a medida que a temperatura aumenta a curva se aproxima

das demais até que todas as curvas fiquem sobrepostas. Contudo, faremos uma análise mais

detalhada após aplicarmos a deformação no modelo de Debye napróxima secção.

A determinação da energia interna por oscilador como funçãoda temperatura é através

da equação

u = − 1

N

∂

∂βln Ξ. (4.1.16)

Como 1Nln Ξ = ln Ξ1, pois,Ξ = ΞN

1 , assim

uq = − ∂

∂βln Ξ1q , (4.1.17)

uq = κBT

[

2αq

(√q − 1

√q + 1

)

+αq ln(q)

(qαq − 1)

]

. (4.1.18)

4.1.2 Sólido de Debyeq-deformado

Correções dos desvios do modelo de Einstein foram propostas por Debye em 1912, nos

permitindo observar um espectro continuo de frequências até uma frequência de DebyeωD,



tal como ao número normal de modos de vibrações é3N [124]-[127],[140], ou seja,

∫ ωD

0

g(ω)dω = 3N, (4.1.19)

ondeg(ω)dω denota o número normal de modos de vibração cuja frequência oscila na faixa

(ω, ω + dω). Parag(ω), Debye adotou a expressão de Rayleigh que será expressa a seguir

8π

(1

λ

)2

d

(1

λ

)

=ω2dω

π2c3, (4.1.20)

ondec é a velocidade da luz eλ comprimento de onda.

O valor esperado para a energia do oscilador de Planck de frequênciaωs, ou seja,〈Es〉,

pode ser obtido partindo da equação da energia internaU ,

U = N

~ω

2+

~ω

exp(

~ωκBT

)

− 1

, (4.1.21)

〈Es〉 =~ωs

exp(

~ωs

κBT

)

− 1. (4.1.22)

Através das Eqs.(4.1.20) e (4.1.22), obtemos a densidade deenergia associada para a

faixa de frequência(ω, ω + dω),

u(ω)dω =~

π2c3ω3dω

exp(

~ωκBT

)

− 1. (4.1.23)

Para obtermos o número de fótons partindo dos estados de momento entre~ωc

e ~(ω+dω)c

,

se faz uso do “volume da região relativa ao espaço de fase”, [126], com o resultado

g(ω)dω ≈ 2V

h3

[

4π

(~ω

c

)2(~dω

c

)]

=V ω2dω

π2c3. (4.1.24)

Assim, substituindo a Eq.(4.1.24) na Eq.(4.1.20), podemosescrever o calor especí-

fico para qualquer temperatura, que é experimentalmente correta. Podemos aplicar aq-



deformação do mesmo modo que realizamos na Eq.(4.1.14),

cVq(T ) = 3κBD(α0q), (4.1.25)

onde chamamosD(α0q) de função de Debyeq-deformada, definida por

D(α0q) =3

(α0q)3

∫ α0q

0

α4 exp (α)

[exp(α)− 1]2dα, (4.1.26)

α0q =~ωDq

κBT=

θDq

T, (4.1.27)

ωDq=

ωD sinh(

ln(q)2

)

2 sinh(

ln(q)4

) , (4.1.28)

ondeωDqeθDq

são a frequência e a temperatura de Debyeq-deformada, respectivamente, e

ωD é a frequência de Debye característica. Integrando por partes a Eq.(4.1.26), encontramos,

D(α0q) = − 3α0q

exp(α0q

)− 1

+12

α30q

∫ α0q

0

α3dα

exp(α)− 1, (4.1.29)

podemos realizar a integração obtendo a expressão geral

D(α0q) = − 3α0q

exp(α0q)− 1+

12

α30q

− π4

15−

α40q

4+ α3

0q ln[1− exp(α0q)]

+ 3α20qLi2[exp(α0q)]− 6α0qLi3[exp(α0q)] + 6Li4[exp(α0q)]

, (4.1.30)

onde

Lin(z) =∞∑

k=0

zn

kn, (4.1.31)

é a função polilogaritma. ParaT ≫ θDq, logo α0(q1,q2) ≪ 1, a funçãoD(α0q) pode ser

expressa numa série de potência emα0q

D(α0q) = 1−α20q

20+ · · · (4.1.32)



Assim,

T → ∞ , cV q → 3κB. (4.1.33)

ParaT ≪ θDq, entãoα0q ≫ 1, podemos escrever a funçãoD(α0q) na forma

12

α30q

∫ ∞

0

α3dα

exp(α)− 1+O[exp(−α0q)], (4.1.34)

≈ 4π4

5α30q

=4π4

5

(T

θDq

)3

. (4.1.35)

Portanto, para baixas temperaturas o calor específico do sólido de Debye é proporcional

a T 3, devido a excitação dos fônons, em vez de proporcional a função exponencial da Eq.

(4.1.15), como previsto no sólido de Einstein. Está de acordo com experimentos. Finalmente

expressamos o calor específico para baixas temperaturas na forma

cVq=

12π4κB

5

(T

θDq

)3

= 1944

(T

θDq

)3J

molK. (4.1.36)

Através da relação estabelecida para condutividade térmica (κ) [141],

κ =1

3cV vl, (4.1.37)

ondev é a velocidade média da partícula el é o espaço entre as partículas, podemos deduzir

uma relação entre as condutividades térmica e elétrica(σ) através da eliminação del (como

σ = ne2lmv

, ondem, n e e, são respectivamente a massa, o número e a carga do elétron),tal

que

κ

σ=

1

3

cVmv2

ne2. (4.1.38)

Num gás clássico a enérgia média de uma partícula é12mv2 = 3

2κBT , enquanto o calor

específico é32nκB, assim,

κ

σ=

3

2

(κB

e

)2

T (4.1.39)



a razão κσT

é chamada denúmero de Lorenze deve ser uma constante, independente da

temperatura e do mecanismo de espalhamento. Esta é a Lei de Wiedemann-Franz, isso é

satisfeito experimentalmente, e o número de Lorenz é corretamente determinado [141]. Com

as relaçõesq-deformadas apresentadas acima, começamos das Eqs.(4.1.37) e (4.1.39) para

determinar as relações importantes para as condutividadestérmica e elétricaq-deformadas.

κq =κcVq

cVe σq =

κqσ

κ. (4.1.40)

Sabemos que a resistividade elétrica(ρ) é o inverso da condutividade,q-deformadoρq = 1σq.

Para o casoq-deformado podemos observar as mudanças que ocorrem com a tempera-

tura de Debye, calor específico, condutividade térmica e condutividade elétrica. Consulte a

tabela 4.1 abaixo para temperaturaT = 300K, e como os seguintes valores para o paramêtro

q: q → 1 (q = 0.99999999), q = 0.5 e q = 0.1.

Elemento θ(a)Dq

c(b)Vq

κ(c)q σ

(d)q

q=0.99 q=0.5 q=0.1 q=0.99 q=0.5 q=0.1 q=0.99 q=0.5 q=0.1 q=0.99 q=0.5 q=0.1Cs 38 38.6 44.5 9.57x105 9.15x105 5.97x105 0.36 0.34 0.22 0.50 0.48 0.31Rb 56 56.8 65.5 2.99x105 2.86x105 1.86x105 0.58 0.55 0.36 0.80 0.76 0.50Pb 105 106.6 122.9 4.53x104 4.33x104 2.83x104 0.35 0.33 0.22 0.48 0.46 0.30Ba 110 111.6 128.7 3.94x104 3.77x104 2.46x104 0.184 0.176 0.115 0.26 0.25 0.16Bi 119 120.8 139.3 3.11x104 2.98x104 1.94x104 0.08 0.076 0.049 0.086 0.082 0.054Yb 120 121.8 140.4 3.04x104 2.90x104 1.89x104 0.35 0.33 0.22 0.38 0.36 0.24Na 158 160.4 184.9 1.33x104 1.27x104 8.30x103 1.41 1.35 0.88 2.11 2.02 1.32Au 165 167.4 193.1 1.17x104 1.12x104 7.29x103 3.17 3.03 1.98 4.55 4.35 2.84Sn 200 203 234.1 6.56x103 6.27x103 4.09x103 0.67 0.64 0.42 0.91 0.87 0.57Cd 209 212.1 244.6 5.75x103 5.50x103 3.59x103 0.97 0.93 0.61 1.38 1.32 0.86Ag 225 228.4 263.3 4.61x103 4.41x103 2.87x103 4.29 4.10 2.68 6.21 5.94 3.87Ca 230 233.5 269.2 4.31x103 4.12x103 2.69x103 2.01 1.92 1.25 2.78 2.66 1.73Pt 240 243.6 280.9 3.80x103 3.63x103 2.37x103 0.72 0.69 0.45 0.96 0.92 0.60Pd 274 278.1 320.7 2.55x103 2.44x103 1.59x103 0.72 0.69 0.45 0.95 0.91 0.59Y 280 284.2 327.7 2.39x103 2.29x103 1.49x103 0.17 0.16 0.11 0.17 0.16 0.11Ga 320 324.8 374.5 1.60x103 1.53x103 999.3 0.41 0.39 0.26 0.67 0.64 0.42Zn 327 332 382.7 1.50x103 1.43x103 936.5 1.16 1.11 0.72 1.69 1.61 1.05Cu 343 348.2 401.4 1.30x103 1.24x103 811.5 4.01 3.83 2.50 5.88 5.62 3.67Li 344 349.2 402.6 1.29x103 1.23x103 804.4 0.85 0.81 0.53 1.07 1.02 0.67Ge 374 379.6 437.7 1.00x103 959.3 625.9 0.60 0.57 0.37 - - -Mn 410 416.2 479.8 761.6 728.2 475.1 0.08 0.076 0.05 0.072 0.069 0.045Ti 420 426.3 491.5 708.4 677.4 442.0 0.46 0.44 0.29 0.23 0.22 0.14Al 428 434.4 500.1 669.5 640.1 417.7 2.37 2.27 1.48 3.65 3.49 2.28Co 445 451.7 520.8 595.6 569.5 371.6 1.00 0.96 0.62 1.72 1.64 1.07Ni 450 456.8 526.6 576 550.7 359.4 0.91 0.87 0.57 1.43 1.37 0.89Fe 470 477.0 550.0 505.5 483.4 315.4 0.80 0.76 0.50 1.02 0.97 0.64Rh 480 487.2 561.7 474.6 453.8 296.1 1.50 1.43 0.94 2.08 1.99 1.30Os 500 507.5 585.0 419.9 401.5 262.0 0.88 0.84 0.55 1.10 1.05 0.69Ru 600 609.2 702.2 243 232.3 151.6 1.17 1.12 0.73 1.35 1.29 0.84Cr 630 639.5 737.3 209.9 200.7 131.0 0.94 0.90 0.59 0.78 0.74 0.49Si 645 654.7 754.8 195.6 187 122 1.48 1.41 0.92 - - -Be 1440 1461.7 1685.2 17.6 16.8 11.0 2.00 1.91 1.25 3.08 2.94 1.92C 2230 2263.6 2609.8 4.73 4.52 2.95 1.29 1.23 0.80 0.006 0.0057 0.0037

Tabela 4.1:Elementos químicos e suas respectivas temperaturas de Debyea(K), Calor Específicob(

JmolK

),

condutividade térmicac(

W

cmK

)

, Condutividade Elétricad(ohm · cm)−1x105, paraT = 300K e os valores de

deformação:q = 0.5 e q = 0.1 [140]

Lembramos que para calcular estas quantidades deformadas em termos do calor especí-



fico cVq, fazemos uso da Eq.(4.1.30) e os seus limites adequados. Os dados são representados

para permitir uma melhor visualização de nossos resultados. Veremos como aq-deformação

está agindo nas propriedades dos elementos químicos. Para fins ilustrativos, optamos pelo

ferro (Fe) e o cromo (Cr), dois materiais que podem ser utilizados em várias áreas de inte-

resse .

Figura 4.3: Temperatura DebyeθD do Fe e Cr em função da variação deq = 0.1 à q → 1(esquerda); Calor EspecíficocV doFe eCr em função da variação deq = 0.1 à q → 1 (direita)

Figura 4.4:Condutividade Térmicaκ doFe eCr em função da variação deq = 0.1 à q → 1.



Figura 4.5:Condutividade elétricaσ doFe eCr em função da variação deq = 0.1 à q → 1.

Figura 4.6:Condutividade térmicaq-deformadaκq do Cr paraq → 1 e q = 0.1 em função daTemperaturaT , para:T = 0 àT = 1600K.

As Figs.(4.3) mostram como aq-deformação atua sobre as temperaturas de Debye e o

calor específico doFe e Cr. Os gráficos mostram que oFe atinge valores de ródio (Rh)

paraq ≈ 0.45, valores de ósmio (Os) paraq ≈ 0.25, enquantoCr aproxima-se dos valores

do silício (Si) paraq ≈ 0.42.

A Fig.(4.4) mostra que a condutividade térmica doFe se aproxima da condutividade

térmica de rubídio (Rb) paraq ≈ 0.15, enquantoCr é igual ao ferro puro (bulk)Fe quando

q ≈ 0.27, lítio (Li) para q ≈ 0.35 e Os paraq ≈ 0.48. Eles também se aproximam dos



valores do germânio (Ge) paraq ≈ 0.17 e q ≈ 0.1, do estanho (Sn) paraq ≈ 0.25 e

q ≈ 0.15, e da platina (Pt) e do paládio (Pd) paraq ≈ 0.35 e q ≈ 0.18, respectivamente.

A Fig.(4.5) mostra que a condutividade elétrica do Fe é igual: ao gálio (Ga) paraq ≈

0.12, o cromo bulkCr paraq ≈ 0.18, oRb paraq ≈ 0.2, oSn paraq ≈ 0.33 e Pt (Pd) para

q ≈ 0.45, enquantoCr é igual ao césio (Cs) paraq ≈ 0.11 eGa paraq ≈ 0.29.

Na Fig.(4.6) temos o comportamento correto de condutividade térmica de um mate-

rial puro e impuro. Notamos que aq-deformação está desempenhando claramente o papel

da concentração de impurezas nesta amostra material. Isto éporqueq-deformação atua

diretamente sobre a temperatura de Debye, o que significa quea frequência de Debye é

modificada. Alterar a freqüência de Debye é um sinal claro de que o material está sendo

modificado por impurezas.

4.2 Aplicação dos Osciladores de Fibonacci

4.2.1 Sólido de Einstein (q1, q2)-deformado

Voltando a Eq.(4.1.1), mas agora para obtermos os estados deenergia(q1, q2)-deformados

partindo da definição da Hamiltoniana (2.1.27), e a definiçãodo número básicodado pela

Eq.(2.3.127), temos

Eni,q1,q2=

~ωE

2

(

[ni,q1,q2 ] + [ni,q1,q2 + 1])

=~ωE

2+

~ωE (2 ln(q2)− 2 ln(q1))n

q22 − q21, (4.2.41)

e quandoq1 = 1 e q2 → 1 (vice-versa), temos

En =~ωE

2(2n+ 1) . (4.2.42)

Com o resultado da equação (4.2.41), podemos reescrever a função de partição na forma,

Ξ(q1,q2) =

∞∑

n=0

exp[−βEni,q1,q2

]

N

= ΞN(1,q1,q2)

, (4.2.43)



onde

Ξ(1,q1,q2) =q2α1

exp(

α(q21−q22)

2

)

(q2α1 − q2α2 ). (4.2.44)

Podemos definir uma função de Einstein(q1, q2)-deformadaE(α)q,

E(α)q1,q2 =

(2αq1q2[ln(q1)− ln(q2)]

(q2α1 − q2α2 )

)2

, onde α =

(θE

T (q21 − q22)

)

, (4.2.45)

e quandoq1 = q2 → 1 temos

E(α∗) =exp(α∗)α2∗

(expα∗ − 1)2, onde α∗ =

θET. (4.2.46)

Através das Eqs.(4.1.8) e (4.1.10), determinamos a energialivre de Helmhmoltz por oscila-

dor e a entropia (q1, q2)-deformados, respectivamente

fq1,q2 = −κBT ln

q2α1

exp(

α(q21−q22)

2

)

(q2α1 − q2α2 )

. (4.2.47)

Sq1,q2 = κB

ln

[

q2α1

exp(

α(q21−q22)

2

)

(q2α1 − q2α2 )

]

+

+

[

2αq2α2 (ln(q1)− ln(q2))

(q2α1 − q2α2 )+

α(q21 − q22)

2

]

. (4.2.48)

Temos na Fig.(4.7) o comportamento da entropia em função da variação de temperatura,

e podemos observar que todas as curvas apresentam o mesmo comportamento diferenci-

ando apenas o seus máximos, e é claro quando temos uma maior atuação da deformação,

diferenciando a curva azul das demais.

Através da Eq.(4.1.12), obtemos o calor específico (q1, q2)-deformado, e podemos rees-

crever inserindo função de EinsteinE(α)q1,q2 , definida na Eq.(4.2.45),

cVq1,q2(T ) = κB

(2αq1q2[ln(q1)− ln(q2)]

(q2α1 − q2α2 )

)2

. (4.2.49)



Figura 4.7: Entropia em função da Temperatura nos seguintes intervalos: (T=0, · · · , 10K) (es-querda) e (T=0, · · · , 1000K) (direita)

Figura 4.8:Calor Específico em função da Temperatura nos intervalos: (T=0, · · · , 1K) (esquerda),(T=0, · · · , 10K) (centro) e (T=0, · · · , 1000K) (direita) .

cVq1,q2(T ) = 3κBE(α)q1,q2 . (4.2.50)

O comportamento da Figs.(4.8) segue o mesmo das Figs.(4.2).Por outro lado, para

o caso(q1, q2)-deformado observamos uma mudança significativa na curva decor azul,

quandoq1 = 1, q2 = 0.1, para baixas temperaturas, e a medida que a temperatura aumenta

a curva se aproxima das demais até que todas as curvas fiquem sobrepostas com exceção da

curva azul. É possível observarmos, que o fato de dois paramêtros de deformação estarem

atuando ao invés de um, faz com que os resultados apresentem um comportamento similar

ao caso original (sem deformação), mas com valores de máximodiferentes. Isto ficará mais

claro no modelo de Debye, a seguir.



A energia interna por oscilador (q1, q2)-deformada, é dada por

uq1,q2 = − ∂

∂βln Ξ(1,q1,q2), (4.2.51)

uq1,q2 = κBTα

(2q2α2 (ln(q1)− ln(q1))

(q2α1 − q2α2 )+

q21 − q222

)

. (4.2.52)

4.2.2 Sólido de Debye (q1, q2)-deformado

Como todas as quantidades térmicas da Sec.(4.1.2) estão escritas em razão da função de

Debyeq-deformada, assim para realizarmos a mudança para o caso comdos osciladores de

Fibonacci, realizamos a troca da freqüência de Debyeq-deformada dada pela Eq(4.1.28) por

uma freqüência de Debye (q1, q2)-deformada

ωDq1,q2= 2ωD

(ln(q2)− ln(q1)

q22 − q21

)

. (4.2.53)

Assim teremos todos os resultados(q1, q2)-deformados e observaremos as mudanças que

ocorrem com a Temperatura de Debye, Calor Específico, Condutividade Térmica e Elétrica.

Os resultados são apresentados na Tab.(4.2) a seguir, para atemperaturaT = 300K e vamos

fixar o valor deq1 → 1 e q2 = 0.1, q2 = 0.5 e q2 = 1.

Para uma melhor visualização dos nossos dados, apresentados na Tab.(4.2), continuamos

utilizando o ferro (Fe) e cromo (Cr) para a representação gráfica. Nas Figs.(4.9 - 4.12) apre-

sentaremos valores deformados deFe (Feq−def ) (curva preta) eCr deformado (Crq−def )

(curva verde), para os valores deq1 = 1 e q2 = 0.1, · · · , 1, onde para essa faixa de valores

adotados, limitamos entre a máxima deformação (q1 = 1 e q2 = 0.1) e o elemento puro

(bulk) (q1 = 1 e q2 = 1). Os demais elementos estarão representados pelas cores conforme

as legendas.

Na Fig.(4.9), podemos observar que antes de atingirem os seus respectivos limites, as

curvas preta e verde podem “assumir” os valores das temperaturas de Debye (θD) de outros

elementos. OFeq−def por exemplo, equivale ao: Berilio (Be) quandoq2 ≈ 0.23, cromo



Elemento θ(a)Dq

C(b)Vq

κ(c)q σ

(d)q

q2=1 q2=0.5 q2=0.1 q2=1 q2=0.5 q2=0.1 q2=1 q2=0.5 q2=0.1 q2=1 q2=0.5 q2=0.1Cs 38 70.2 176.8 9.57x105 1.51x105 9.5x103 0.36 0.057 0.004 0.50 0.08 0.005Rb 56 103 260 3x105 4.7x104 2.9x103 0.58 0.09 0.006 0.80 0.13 0.008K 91 168 423 6.97x104 1.1x104 692 1.02 0.16 0.01 1.39 0.22 0.014Pb 105 194 488 4.53x104 7.2x103 450 0.35 0.06 0.003 0.48 0.076 0.00477Ba 110 203 512 3.94x104 6.2x103 392 0.19 0.03 0.0019 0.26 0.0417 0.0026Bi 119 220 554 3.11x104 4.9x103 309 0.08 0.013 0.0008 0.09 0.0143 0.00089Yb 120 222 558 3.04x104 4.8x103 302 0.35 0.055 0.0035 0.38 0.06 0.0038Na 158 292 735 1.33x104 2.1x103 132 1.41 0.22 0.014 2.11 0.33 0.021Au 165 304 768 1.17x104 1.85x103 116 3.17 0.5 0.03 4.55 0.72 0.045Sn 200 370 930 6.6x103 1.04x103 65 0.67 0.11 0.007 0.91 0.144 0.009Cd 209 386 972 5.75x103 910 57 0.97 0.15 0.01 1.38 0.22 0.014Ag 225 416 1047 4.61x103 730 46 4.29 0.68 0.04 6.21 0.98 0.062Ca 230 425 1070 4.32x103 683 43 2.01 0.32 0.02 2.78 0.44 0.028Pt 240 444 1116 3.8x103 601 38 0.72 0.11 0.007 0.96 0.15 0.01Pd 274 506 1275 2.55x103 404 25 0.72 0.11 0.007 0.95 0.15 0.01Y 280 518 1302 2.39x103 379 24 0.17 0.027 0.002 0.17 0.027 0.002Ga 320 591 1488 1.6x103 254 16 0.41 0.06 0.004 0.67 0.11 0.07Zn 327 604 1521 1.5x103 238 15 1.16 0.18 0.01 1.69 0.27 0.017Cu 343 634 1596 1.3x103 206 13 4.01 0.64 0.04 5.88 0.93 0.06Li 344 636 1600 1.29x103 204 13 0.85 0.14 0.008 1.07 0.17 0.01Ge 374 691 1740 1x103 159 10 0.60 0.1 0.006 - - -Mn 410 758 1907 762 121 7.6 0.08 0.013 0.0008 0.072 0.011 0.0007Ti 420 776 1954 708 112 7 0.46 0.073 0.005 0.23 0.04 0.002Al 428 791 1991 669 106 6.7 2,37 0.38 0.024 3.65 0.58 0.037Co 445 823 2070 596 94 6 1.00 0.16 0.01 1.72 0.27 0.017Ni 450 832 2093 576 91 5.7 0.91 0.14 0.009 1.43 0.23 0.014Fe 470 869 2186 506 80 5 0.80 0.13 0.008 1.02 0.016 0.01Rh 480 887 2233 475 75 4.7 1.50 0.24 0.015 2.08 0.33 0.021Os 500 924 2326 420 66 4.2 0.88 0.14 0.009 1.10 0.17 0.011Ru 600 1109 2791 243 38 2.4 1.17 0.18 0.01 1.35 0.22 0.013Cr 630 1165 2931 210 33 2 0.94 0.15 0.009 0.78 0.12 0.0077Si 645 1192 3000 196 31 1.9 1.48 0.23 0.015 - - -Be 1440 2662 6698 18 2.8 0.17 2.00 0.32 0.02 3.08 0.49 0.03C 2230 4122 10374 4.7 0.75 0.048 1.29 0.2 0.01 - - -

Tabela 4.2:Elementos químicos e suas respectivas temperaturas de Debyea(K), Calor Específicob(

JmolK

),

condutividade térmicac(

W

cmK

)

, Condutividade Elétricad(ohm · cm)−1x105, paraT = 300K e os valores

deformados para:q1 → 1 e q2 = 0.1, q2 = 0.5 e q2 = 1. [140]

(bulk) (Cr) q2 ≈ 0.75 e o ósmio (Os)q2 ≈ 0.94.

Figura 4.9:Temperatura de DebyeθD em função da variação deq2 = 0.1, · · · , 1 e comq1 = 1.

Observamos que na Fig.(4.10), o comportamento das curvas obtidas para o calor espe-

cífico cV é bem diferente das curvas paraθD, ou seja, as curvas iniciam em valores menores



Figura 4.10:Calor EspecíficocV em função da variação deq2 = 0.1, · · · , 1 e comq1 = 1.

Figura 4.11:Condutividade Térmicaκ em função da variação deq2 = 0.1, · · · , 1 e comq1 = 1.

(com máxima deformação) até atingirem seus valores puros. Tendo oFeq−def como exem-

plo novamente, é possível ver, como ele "atinge"o valor de calor específico de todos os

elementos, inclusive oCr bulk quandoq2 ≈ 0.74.

No caso da condutividade térmica (κ), temos oCrq−def conforme a Fig.(4.11), onde ele

“assume” os valores do manganês (Mn) quandoq2 ≈ 0.4, titânio (Ti) comq2 ≈ 0.77 eFe

bulk paraq2 ≈ 0.95.

Na Fig.(4.12), temos valores de condutividade elétrica (σ), onde observamos que o Itér-



Figura 4.12:Condutividade Elétricaσ em função da variação deq2 = 0.1, · · · , 1 e comq1 = 1.

Figura 4.13: Condutividade Térmicaκ do Fe em função da Temperatura no intervalo deT =0, · · · , 1200K, e com valores deq1 e q2 conforme legenda.

bio (Yb), por exemplo, tem o seu valor “atingido” peloFeq−def paraq2 ≈ 0.7 e peloCrq−def

quandoq2 ≈ 0.78.

Observamos que as Figs.(4.10)-(4.12) são bem diferentes das Figs.(4.3)- (4.5), assim

como os resultados apresentados na Tabs.(4.1) e (4.2), fatoque se deve totalmente a defini-

ção da freqüência de Debye deformada, modificando o calor específico e conseqüentemente

as demais grandezas.

Voltando a Eq.(4.1.30), onde temos a resolução da função de DebyeD(α0q) de modo



geral, e assim, na Fig.(4.13), mostramos uma comparação para a condutividade térmicaκ do

Fe puro e com uma combinação dos valores deq1 e q2 atuando como fatores de impureza,

obtendo assim umFeq−def , ou impuro, em função da temperatura (T).

Portanto, temos na Fig.(4.13) oFe (cor vermelha) quandoq1 = q2 = 1, que como já

vimos a deformação deixa de existir, ou seja, é o valor puro, equandoq1 = 0.2 e q2 = 1.8

temos o comportamento similar ao silicio (Si) (cor dourada), cujo valor para a temperatura

de Debye éθD = 645K, e para uma combinação de valoresq1 = 1 e q2 = 1.4 a curva é

similar a do zinco (Zn) (cor laranja), comθD = 327K.

Notamos que existe um grande número de combinações de valores para os paramêtros

q1 e q2 a serem testadas. Na Tab.(4.2) mostramos apenas duas opções(q1 = 1, q2 = 0.1) e

(q1 = 1, q2 = 0.5), e foi possível ver através das Figs.(4.9-4.12) que os elementos podem

ser similares à outros conforme dados encontrados na literatura [140], ou seja, podemos

imaginar futuramente, um novo elemento com características ideais, ou até mesmo melhorar

pontualmente um elemento existente, por exemplo, fazendo com os elementos químicos o

que já vem sendo realizado na agricultura, com o caso das sementes transgênicas.


Capítulo 5

Conclusões e Perspectivas

A proposta inicial do trabalho, estava em dar continuidade aos estudos iniciais [57, 58,

59], onde tinhamos uma perspectiva muito grande de associarmos o paramêtro de deforma-

çãoq como sendo um fator de desordem ou uma impureza. Buscando uma melhor compre-

ensão doq-cálculo, aplicamos uma generalização conhecida por álgebra dos osciladores de

Fibonacci, onde se aplicam dois paramêtros reais positivose independentesq1 e q2.

Após descrever a álgebra dos osciladores de Fibonacci no Cap.2, onde a partir da defi-

nição donúmero básicode Fibonacci, obtemos as relações necessárias para aplicação em

termodinâmica. Aplicamos essas relações primeiramente aoproblema do diamagnetismo

de Landau Cap.3. Inserimos através da função de partição deformada [142] e das derivadas

de Jackson. Como vimos, são casos distintos de deformação, mesmo atribuindo os mesmos

valores paraq1 eq2. Um dos principais resultados são as curvas de magnetizaçãoem função

do campo magnéticoH, mesmo sendo comparada com diferentes resultados experimentais,

mostram total semelhança. No Cap.4 aplicamos os osciladoresde Fibonacci através do es-

pectro de energia, ao sólido de Einstein, e assim expandimospara o modelo de Debye, onde

os nossos resultados mostram que a temperatura de Debye, o calor específico, condutividade

térmica e elétrica dos elementos químicos deformados, podem assumir valores semelhantes

a outros elementos puros.

77

78

Os resultados obtidos em nosso estudo mostram que ao inserirmos dois fatores de de-

formaçãoq1 e q2, ao invés de um fatorq, aumentamos a faixa de ajuste, ou seja, podemos

ter diversas combinações de valores como apresentamos na Fig.(4.13). Não quer dizer que

sempre seja necessária, ou a melhor opção aplicar os dois paramêtros, porém, imagine um

sistema onde podemos alterar duas grandezas ao mesmo tempo,por exemplo pressão e tem-

peratura. Ou ainda, os dois valores atuarem como dois elementos distintos de dopagem

em um material supercondutor. Claro, são hipóteses teóricas, mas como vimos no Cap.3,

onde mesmo que de diferentes maneiras as curvas de magnetização dos supercondutores são

“destruidas” ou por aumento de temperatura ou exposição ao hidrogênio, podemos relacio-

nar em outro momento, aq-deformação com a temperatura crítica de um supercondutor,au-

mentando esse limiar, sem que o material perca as propriedades alcançadas, que é o grande

desejo de quem trabalha com a física de baixas temperaturas.

Ao trabalharmos em um espaçoD-dimensional, é com o objetivo de uma melhor com-

preensão, e assim, associar aq-deformação com possíveis aplicações em Física de Dimen-

sões Extras, tais como a Cosmologia Moderna, a Física de Partículas e a Teoria de Cordas.

Temos a perspectiva de desenvolver uma relação com a Teoria de Campos, e aplicar nas

paredes de dominio de um supercondutor [143], ou de aplicarmos os conhecimentos a di-

mensões nanométricas, com o desenvolvimento de filmes finos deFe/Cr, ou processos de

dopagem em metais ou nanotubos de carbono, por exemplo [144,145].


79


Apêndice A

Diamagnetismo de Landau

Partirmos da Eq.(3.0.4), pois, ainda não estamos trabalhando emD-dimensões e nem

temos a presença da (q1, q2)-deformação, nos permitindo resolver o problema em sua forma

original.

Temos que a função de partição grande canônica clássica é dada por,

Ξ = V N × PN , (A.1)

∫

d3~r =

∫

dV = V, PN =

∫

d3P1 · · ·∫

d3PN exp

(

−βN∑

i=1

~P ′2

2m

)

. (A.2)

Trataremos separadamente cada integral como:

∫

d3P1 exp

(

−βP ′2

1

2m

)

,

∫∫∫

dP1x dP1y dP1z exp

[

−β(P ′2x + P ′2

y + P ′2z)

2m

]

. (A.3)

Temos um produto de3N integrais idênticas,

∫ ∞

−∞dP exp

(−βP ′2

2m

)

. (A.4)

80

81

Como podemos notar a Eq.(A.4) é uma integral gaussiana, e sua resolução é dada por

Io(a) =

∫ ∞

−∞dx exp(−ax2) =

(π

a

)1/2

,

∫ ∞

−∞dx exp

(−βP ′2

2m

)

=

(2mπ

β

)1/2

, (A.5)

ondea = β2m

. Portanto,PN =(

2mπβ

)(3N/2)

, ou seja

Ξ = V N

(2mπ

β

)(3N/2)

. (A.6)

Provamos que não existe dependência com o campo magnético. Portanto, o diamagnetismo

é um fenômeno puramente quântico. No entanto para tratar do diamagnetismo de Landau

precisamos usar uma função de partiçãoquântica. Antes vamos expor o formalismo eletro-

magnético necessário, paraD = 3. A generalização paraD > 3 é direta, fazendo uso do

potencial quadrivetorAµ = (0, 0, xH, 0, . . . , 0), ondeµ = 0, 1, 2, . . . , D.

Considerando um campo magnético uniforme na direçãoz, partindo da definição

~H = ~B = ∇× ~A, Bz =∂A

∂x− ∂A

∂y. (A.7)

Podemos escolher o potencial vetor nogauge de Landau

~A = xH~j, (A.8)

ondeAy = xH eBz = B = H. Portanto

H =1

2m

(

~P − e

cxH~j

)2

=1

2m

[

P 2x + P 2

z +

(

P 2y − 2PyeHx

c+(e

cxH)2)]

, (A.9)

H =1

2m

[

P 2x + P 2

z +(

Py −e

cxH)2]

. (A.10)

Para realizar a quantização, consideramos:

(1) E → i~∂

∂t, (A.11)


82

sendo

~∇ = i∂

∂x+ j

∂

∂y+ k

∂

∂z=

(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)

, ~P = (Px, Py, Pz) → −i~∇. (A.12)

(2) HΨ = EΨ, (A.13)

1

2m

[

−~2 ∂2

∂x2− ~

2 ∂2

∂z2+

(

−i~∂

∂y− eHx

c

)2]

Ψ = i~∂Ψ

∂t. (A.14)

Seja,

Ψ(x, y, z, t) = exp

(iEt

~

)

exp(−ikyY )exp(−ikzZ)f(x). (A.15)

Aplicando a Eq.(A.15) na Eq.(A.14), obtemos

12m

−~2 ∂2

∂x2

[

exp(−iEt

~

)exp (−ikyY )×

× exp (−ikzZ)f(x)]

− ~2 ∂2

∂z2

[

exp(iEt~

)exp (−ikyY )×

× exp (−ikzZ)f(x)]

−(

−i~ ∂∂y

− eHxc

)2 [

exp(iEt~

)× (A.16)

× exp (−ikyY ) exp (−ikzZ)f(x)]

f(x) = Ef(x).

Como

∂2

∂y2exp(−ikyY ) = (−ik)2exp(iky), (A.17)

e aplicando-a na Eq.(A.16), temos

−~2

2m

∂2f(x)

∂x2+

1

2m

(

~ky −eHx

c

)2

f(x) =E + ~

2k2z

2mf(x). (A.18)

Fazemos a seguinte mudança de variável

(

~ky −eHx

c

)2

=

(eH

c

)2(~ckyeH

− x

)2

︸︷︷︸

x′

. (A.19)


A.1. DEGENERESCÊNCIA 83

Assim, aplicando a Eq.(A.19) na Eq.(A.18)

−~2

2m

∂2f(x′)

∂x′2 +1

2m

(eH

c

)2

x′2f(x′) =E + h2k2

z

2m= E ′f(x′). (A.20)

1

2m

(eH

c

)2

=1

2mω2, ω =

eH

mc, (A.21)

ondeω é afrequência clássica básica.

A.1 Degenerescência

Para calcular o fator de degenerescência, vamos fazer uma comparação com o espectro de

elétrons livres em3 dimensões, na ausência de um campo magnético. Podemos escrever o

espectro de energia da forma

i)H = 0, k2x + k2

y + k2z =

2mǫ(livres)~2

, (A.22)

ii)H 6= 0, ǫ = ǫ(n, kz) =~2k2

z

2m+ ~ω

(

n+1

2

)

. (A.23)

Comparando as energias temos

(k2x + k2

y) =2m

~ω

(

n+1

2

)

. (A.24)

Podemos reescrever a Eq.(A.24) aplicando a Eq.(A.21)

k2x + k2

y =2eH

~c

(

n+1

2

)

. (A.25)

Consideramos o sistema dentro de um cubo de ladoL ≫ 1. Pela condição de contorno

Ψ(L) = 0 na função de onda temos:

Ψ(y) ∝ sin kyY → sin kyL = 0 → kyL = nπ. (A.26)



Assim obtemos,

ky =nyπ

L. (A.27)

Com base na Eq.(A.19) temos,x0 =~ceH

ky. Comparando com a Eq.(A.27), temos

x0 =~c

eH

nyπ

L. (A.28)

O maior valor parax0 éL, portanto,

L =~c

eH

ny(max)

Lπ. (A.29)

Para medirmos a degenerescência calculamos onymax= g. Substituindo isto na Eq.(A.29)

temos

L2 =h

2π

c

eHgπ → g =

2L2eH

hc, (A.30)

ondeg é o fator de degenerescência. Levando em conta essa degenerescência, devemos

reescrever as auto-energias na forma:

ǫ = ǫ(n, kz, δ) =~2k2

z

2m+ ~ω

(

n+1

2

)

, (A.31)

ondekz = (−∞,∞);n = 0, 1, 2, · · · e δ = 1, 2, · · · , g.

As quantidades termodinâmicas são determinadas a partir daaplicação do resultado ob-

tido para o espectro de energia na Eq.(3.1.5) noCap.3, salientamos que quandoq1 = q2 = 1

eD = 3 o problema retorna a sua resolução original, consequentemente os mesmos resul-

tados que obteriamos se continuassemos desse ponto.




Apêndice B

Sólido de Einstein

Einstein propos o seu modelo partindo do seguinte princípio: “A ideia mais simples

que se pode fazer do movimento térmico em corpos sólidos consiste em considerar que os

átomos executam oscilações harmónicas em torno das suas posições de equilíbrio”. Assim,

então podemos partir da idéia de que para formamos um cristaltemos:

Cristal−→ 3 N o.h.u.−→ ωE,

ondeωE é a freqência característica de Einstein eo.h.u. = oscilador harmônico unidimensi-

onal.

Como é exposto na literatura [124, 125, 126, 127] sabemos que para um oscilador uni-

dimensional de frequênciaω, teremos auto-estados dados pelos polinômios de Hermite,

correspondendo aos auto-valores de energia

En =

(

n+1

2

)

~ω . n = 0, 1, 2, . . . (B.1)

No caso de termos dois o.h.u. localizados e independentes, com mesma frequênciaω

segundo o caso dos spins localizados e interagentes temos:

H = H1 +H2 , φ = φ1 · φ2 , E = E1 + E2. (B.2)

86

87

Portanto as auto-energias são dadas por:

En1,n2 =

(

n1 +1

2

)

~ω +

(

n2 +1

2

)

~ω = (n1 + n2 + 1)~ω, (B.3)

onde(n1, n2) auto-estado quântico:

(0, 0) → ~ω

(0, 1), (1, 0) → 2~ω (B.4)

(0, 2), (2, 0), (1, 1) → 3~ω.

ParaN o.h.u., localizados e não-interagentes, com a mesma frequência fundamentalω.

Aqui temos inicio ao famoso modelo de Einstein proposto em1906 para explicar a variação

do calor específico dos sólidos com a temperatura.

As auto-energias são dadas por:

En1,...,nN=

(

n1 +1

2

)

~ωE + · · ·+(

nN +1

2

)

~ωE =

(

n1 + · · ·+ nN +N

2

)

~ωE,

(B.5)

onde o conjunto de números quânticos(n1, . . . , nN ), comnj = 0, 1, 2, . . ., para qualquerj,

podemos reescrever a Eq.(B.5),

En1,...,nN= M~ωE +

N

2~ωE, (B.6)

ondeM = n1 + · · ·+ nN , número total de quanta de energia no sistema.

Para encontrar a degenerescencia dos auto-estados,M = E~ωE

− N2

, temos que encontrar

como distribuir o quanta de energia entreN osciladores localizados

Ω(E,N) =(M +N − 1)!

M !(N − 1)!=

(E

~ωE+ N

2− 1)

(E

~ωE− N

2

)

!(N − 1)!. (B.7)

Para simular as vibrações elásticas de um cristal tridimensional, bastaria localizar os os-


88

ciladores nos sítios da rede cristalina, considerando oscilações independentes nas3 direções.

No ensemble microcanônico, essa contagem, que só pode ser feita de maneira exata em

casos muito simples, é sempre a parte mais difícil do problema. Utilizando a expansão de

Stirling, obtemos

ln Ω(E,N) =

(E

~ωE

+N

2− 1

)

ln

(E

~ωE

+N

2− 1

)

−(

E

~ωE

− N

2

)

×

× ln

(E

~ωE

− N

2

)

− (N − 1) ln(N − 1) +O(lnN, lnE). (B.8)

No limite termodinâmico temos a entropia por oscilador

S(u) = lim(E,N→∞;E

N=u)

κB1

Nln Ω(E,N), (B.9)

S(u) = κB

(u

~ωE

+1

2

)

ln

(u

~ωE

+1

2

)

− κB

(u

~ωE

− 1

2

)

ln

(u

~ωE

− 1

2

)

, (B.10)

ondeκB é constante de Boltzmann.

A partir da Eq.(B.10) podemos descrever o comportamento termodinâmico do sólido de

Einstein.

Temos a equação de estado para a temperatura

1

T=

∂S

∂u=

κB

~ωE

[

ln

(u

~ωE

+1

2

)

− ln

(u

~ωE

− 1

2

)]

, (B.11)

u =~ωE

2+

~ωE

exp(

~ωE

κBT

)

− 1. (B.12)

Ao isolarmosu, e encontramos a equação de estado para a energia por oscilador em

termos da temperatura. No limite de baixas temperaturas(κBT ≪ ~ωE), obtemos a energia

quântica de ponto zero

u → ~ωE

2, (B.13)


89

no limite de altas temperaturas(κBT ≫ ~ωE), assim, teremos o resultado clássico

u → κBT. (B.14)

Podemos determinar o calor específico, e assim obtemos

CV =∂u

∂T= κB

(~ωE

κBT

)2 exp(

~ωE

κBT

)

[

exp(

~ωE

κBT

)

− 1]2 . (B.15)


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