1. Determine si la funcion es solucion de la ecuacion diferencial.

y =lnx

x2; x2y00 + 5xy + 4y = 0

y = x2lnx ) y0 = 2x3lnx+ x2(1=x) = x3(1 2lnx)

y00 = 3x4(1 2lnx) + x3(2=x) = 5x4 + 6x4lnx = 5 + 6lnxx4

Luego sustituimos en la ecuacion diferencial:

x25 + 6lnx

x4

+ 5x

lnx

x2

+

4lnx

x2=5 + 10lnx+ 5xlnx

x26= 0

Entonces la funcion dada no es solucion de la ecuacion diferencial dada.

2. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden de acuerdo al metodo

correspondiente.

(e2y ycosxy)dx+ (2xe2y xcosxy + 2y)dy = 0

La ecuacion tiene la forma diferencial: M(x; y)dx + N(x; y)dy = 0, por lo tanto, por

comparacion se obtiene:

M(x; y) = e2y ycosxy; N(x; y) = 2xe2y xcosxy + 2y

Comprobemos si la ecuacion es diferencial exacta, para ello debe cumplirse que:

@M

@y=

@N

@x

Comprobemos

1

@M

@y= 2e2y cosxy + xysenxy; @N

@x= 2e2y cosxy + xysenxy

La ecuacion es diferencial exacta; entonces su solucion general es una funcion F (x; y) = c

que cumple con las condiciones

@F

@x= M y

@F

@y= N )

Resolvamos la primera condicion:

@F

@x= e2y ycosxy ) F =

Z(e2y ycosxy)dx = xe2y senxy + h(y)

Derivamos ahora respecto de y e igualamos a la segunda condicion:

@F

@y= 2xe2y xcosxy + h0(y)

) 2xe2y xcosxy + h0(y) = 2xe2y xcosxy + 2y

Ahora bien: h0(y) =dh

dy; luego:

dh

dy= 2y ) h(y) =

Z2ydy ) h(y) = y2

Con lo que conseguimos:

xe2y senxy + y2 = c

3. Resuelva por variacion de parametros

y00 + 9y =1

4csc3x

2

La ecuacion diferencial planteada tiene una solucion general que consta de una particular

y la de la homogenea asociada:

y = yh + yp

siendo la homogenea:

y00 + 9y = 0

cuya solucion es de la forma:

yh = c1cos3x+ c2sen3x

Para conseguir la solucion particular se sustituyen las constantes c1 y c2 en la solucion

homogenea por los parametros V1(x) y V2(x).

y As nos queda que la particular es:

yp = V1(x)cos3x+ V2(x)sen3x

V1 y V2, se calculan a partir de las expresiones:

V1 = Z

y2R(x)

W (y1; y2)dx

V2 =

Zy1R(x)

W (y1; y2)dx

mientras que el Wronskiano es

W (y1; y2) = y1y02 y2y01

con y1 = sen3x; y2 = cos3x y R(x) =1

4csc3x

3

y:

y01 = 3cos3x; y02 = 3sen3x

Entonces:

W (y1; y2) == sen3x(3sen3x) cos3x(3cos3x) = 3(sen23x+ cos23x) = 3

V1 = 14

Zcos3xcsc3x

3 dx =1

36

Z3cos3x

sen3x=

1

36lnjsen3xj

V2 =1

4

Zsen3xcsc3x

3 dx = 1

12

Zdx = 1

12x

entonces

yp =1

36sen3xlnjsen3xj 1

12xcos3x

Para concluir:

y = c1sen3x+ c2cos3x+1

36sen3xlnjsen3xj 1

12xcos3x

4