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EDSON BORGES DE VILA
ESTUDO DO CLCULO FRACIONRIO APLICADO
MODELAGEM DE SISTEMAS VIBRATRIOS COM
AMORTECIMENTO VISCOELSTICO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLNDIA
FACULDADE DE ENGENHARIA MECNICA
2010
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EDSON BORGES DE VILA
ESTUDO DO CLCULO FRACIONRIO APLICADO MODELAGEM
DE SISTEMAS VIBRATRIOS COM AMORTECIMENTO
VISCOELSTICO
Dissertao apresentada ao Programa
de Ps-graduao em Engenharia Mecnica
da Universidade Federal de Uberlndia, como
parte dos requisitos para a obteno do ttulo
de MESTRE EM ENGENHARIA MECNICA.
rea de concentrao: Mecnica dos slidos e
vibraes.
Orientador: Prof. Dr. Domingos Alves Rade
UBERLNDIA MG
2010
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AGRADECIMENTOS
Agradeo este trabalho primeiramente a Deus, pois sem Ele, nada seria possvel e no
estaramos aqui reunidos.
Universidade Federal de Uberlndia e Faculdade de Engenharia Mecnica pela
oportunidade de realizar este trabalho.
Ao meu orientador, Domingos Alves Rade, pelo exemplo de pesquisador e por todo o
auxlio neste trabalho.
CAPES e ao CNPq pelo apoio financeiro.
A minha famlia, Nicolina, Alandino, Alexsandra e Crita, pelo esforo, dedicao e
compreenso, em todos os momentos desta e de outras caminhadas.
Aos meus amigos Adailton Silva Borges e Albert Willian Faria, pela confiana e credibilidade
em minha pessoa, durante o perodo de convivncia na UFU e tambm pela continuidade
das nossas amizades aps o trmino dos nossos trabalhos, e, pelo mtuo aprendizado de
vida, no campo profissional e particular.
Ao Eng. Thiago de Paula Sales, ex-bolsista de IC, pelas contribuies ao trabalho.
Aos amigos dos laboratrios LMEst pela amizade e discusses que muito contriburam para
o desenvolvimento deste trabalho.
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vila, E. B., ESTUDO DO CLCULO FRACIONRIO APLICADO MODELAGEM DE
SISTEMAS VIBRATRIOS COM AMORTECIMENTO VISCOELSTICO. 2010. 99 f.
Dissertao de Mestrado, Universidade Federal de Uberlndia, Uberlndia, MG.
RESUMO
O Clculo Fracionrio uma ferramenta matemtica que vem sendo aplicada nos ltimos
anos a vrios problemas da Cincia e da Engenharia, tais como Reologia, Transferncia de
Calor e Controle Ativo. Essencialmente, a derivao e a integrao fracionrias resultam da
extenso do conceito clssico de derivao e integrao de ordens inteiras a ordens nointeiras e sua aplicao se justifica principalmente por algumas de suas propriedades que
garantem uma modelagem mais precisa de certos fenmenos fsicos. A presente
dissertao aborda a utilizao do Clculo Fracionrio para a modelagem do
comportamento viscoelstico no mbito da Dinmica Estrutural. Primeiramente, feita uma
apresentao do conceito e principais propriedades da derivada e integrao fracionrias,
seguindo-se uma reviso de alguns dos mtodos de resoluo aproximada de sistemas de
equaes diferenciais de ordem fracionria. Em seguida, feita uma reviso dos
fundamentos da viscoelasticidade linear, incluindo os modelos reolgicos clssicos e os
modelos de ordem fracionria. Visando simulao do comportamento dinmico de
sistemas estruturais dotados de amortecedores viscoelsticos no domnio do tempo, duas
estratgias consideradas como sendo algumas das mais modernas so utilizadas para a
incorporao de modelos viscoelsticos fracionrios em modelos de elementos finitos.
Simulaes numricas so realizadas visando validao dos procedimentos de
modelagem implementados.
Palavras chave: Clculo Fracionrio, Viscoelasticidade, Elementos Finitos, Amortecimento.
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vila, E. B., A Study of Fractional Calculus Applied to the Modeling of Vibratory
Systems Containing Viscoelastic Damping.2010. 99 f M.Sc. Dissertation, Universidade
Federal de Uberlndia, Uberlndia, MG, Brazil.
ABSTRACT
Fractional Calculus is a mathematical tool that has been applied to various problems of
Science and Engineering, such Rheology, Heat Transfer and Active Control. Essentially,
fraction integration and derivation can be regarded as extensions of the traditional concepts
of integration and derivation of integer orders. Their application is justified mainly by the factthat their properties can provide more accurate modeling of certain physical phenomena. The
present dissertation addresses the use of Fractional Calculus for the modeling of viscoelastic
behavior in the realm of Structural Dynamics. First, it is presented the fundamental concepts
and main properties of fraction integrators and derivatives, followed by the description of
some methods intended for the resolution of systems of fractional differential equations.
Then, a review of linear viscoelasticity is presented, including classical rheological models
and fractional models. Aiming at simulating the dynamic behavior of structural systems
containing viscoelastic dampers in the time domain, two strategies, considered as being
some of the most modern ones, are used for the incorporation of fractional viscoelastic
models into finite element models. Numerical simulations are performed aiming at the
validation of the modeling procedures.
Keywords: Fractional Calculus, Viscoelasticity, Finite Elements, Damping.
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LISTA DE SMBOLOS
: ngulo de fase
1+jA : Coeficientes de Grnwald
( )t : Deformao
( )t : Deformao anelstica
( )t : Derivada primeira da tenso em relao ao tempo
( )t : Derivada primeira da deformao em relao ao tempo
( )R : Espectro de fluncia
( )R : Espectro de relaxao
r : Fator de amortecimento
2
r : Frequncia natural
( ) x : Funo complementar
( )R : Funo espectral( )t : Funo de fluncia
( )a : Funo Gama
( )t : Funo de relaxao
( )J t : Funo de resposta da deformao
( )G t : Funo de resposta da tenso
( )H : Matriz das funes de forma
[ ]M : Matriz de massa
[ ]C : Matriz das propriedades elsticas do material
K : Matriz de rigidez modificada inicial
G : Mdulo de cisalhamento
K : Mdulo de rigidez
D
: Operao de derivao de ordem
( )sDn : Operador de derivao no domnio de Laplace
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D : Operao de integrao de ordem
( )sDn1 : Operador de integrao no domnio de Laplace
, : Ordens arbitrrias
( ){ }t : Vetor de tenso
( ){ }t : Vetor de deformao
( ){ }u t : Vetor de deslocamentos nodais generalizados (deslocamentos e rotaes)
( ){ }r t : Vetor de foras externas
( ) ( ){ }eq t : Vetor dos graus de liberdade em nvel elementar
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NDICE
CAPTULO I - INTRODUO .......................................................................................... 1
CAPTULO II - HISTRICO E FUNDAMENTOS DO CLCULO FRACIONRIO ..........................5
2.1. Aspectos histricos do Clculo Fracionrio .................................................... 5
2.2. Abordagem moderna do Clculo Fracionrio ................................................. 11
2.2.1. Derivada e integrao de ordem arbitrria de Grnwald-Letnikov ...... 12
2.2.2. Derivada e integrao de ordem arbitrria de Riemman-Liouville ....... 18
2.3. A aplicao dos operadores de derivao e integrao de ordem arbitrria a
funes elementares ............................................................................................. 23
2.4. Avaliao numrica de derivadas e integrais de ordens arbitrrias ................ 24
2.5. Tcnicas Numricas de Resoluo Aproximada de Sistemas de Equaes
Diferenciais de Ordem Fracionria ........................................................................ 26
2.5.1. Mtodo Direto ..................................................................................... 28
2.5.2. Mtodo Indireto................................................................................... 28
2.5.3. Aplicao 1: Mtodo Direto ................................................................. 33
2.5.4. Aplicao 2: Mtodo Indireto .............................................................. 33
CAPTULO III APLICAO DO CLCULO FRACIONRIO EM VISCOELASTICIDADE......... 35
3.1. Introduo ...................................................................................................... 35
3.2. Fundamentos da Viscoelasticidade Linear ..................................................... 37
3.3. Modelos Mecnicos ........................................................................................ 40
3.4. Modelos Viscoelsticos Fracionrios .............................................................. 443.5. Mdulo Complexo do Modelo de Maxwell Fracionrio .................................... 46
3.5.1. Restries termodinmicas................................................................. 47
3.5.2. Anlise do comportamento viscoelstico do modelo de Maxwell de
derivadas fracionrias (MMDF) ......................................................................................... 51
3.5.2.1. Anlise da fluncia ............................................................... 51
3.5.2.2. Anlise da relaxao ............................................................ 53
3.6. Outras aplicaes do clculo fracionrio em viscoelasticidade ....................... 56
3.7. Incorporao de modelos viscoelsticos fracionrios em modelos de elementosfinitos ..................................................................................................................... 62
3.7.1. Resoluo numrica das equaes do movimento ............................. 66
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3.8. Abordagem alternativa para implementao de modelos viscoelsticos
fracionrios em associao com o mtodo dos elementos finitos .......................... 68
CAPTULO IV APLICAES NUMRICAS DOS MODELOS
VISCOELSTICOS FRACIONRIOS.......................................................... .................73
4.1. Sistema Vibratrio Viscoelstico de Um Grau de Liberdade ........................... 73
4.2. Modelagem de uma viga viscoelstica pelo mtodo dos elementos finitos ..... 76
4.3. Modelagem por elementos finitos de vigas multicamadas com camada
viscoelstica em associao com o algoritmo proposto por Galucio, De e Ohayon
(2004) .................................................................................................................... 84
CAPTULO V CONCLUSES GERAIS E PERSPECTIVAS ......................................... 93
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ................................................................................. 95
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CAP TULO I
INTRODUO
O Clculo Fracionrio um campo da anlise matemtica que data de 300 anos e trata
dos fundamentos tericos e aplicaes de integrais e derivadas de ordens arbitrrias, no
necessariamente inteiras, como no Clculo Diferencial e Integral tradicional, tendo atrado a
ateno de diversos matemticos famosos como P. S. Laplace, J. B. J. Fourier, N. H. Abel, J.
Liouville, B. Riemann, H. Holmgren, A. K. Grunwald, A.V. Letnikov, H. Laurent, P. A.
Nekrassov, A. Krug, J. Hadamard, O. Heaviside, S. Pincherle, G. H. Hardy, J. E. Littlewood,
H. Weyl, P. Lvy, A. Marchaud, H. T. Davis, A. Zygmund, E. R. Love, A. Erdlyi, H. Kober,
D. V. Widder, M. Riesz e M. Feller.
Segundo Oldham e Spanier (1974), Abel foi o primeiro a apresentar uma aplicao de
operaes fracionrias em 1823, quando aplicou o clculo fracionrio resoluo de uma
equao integral que surge na formulao do chamado problema da tautcrona, que busca
determinar a equao da trajetria percorrida por uma partcula que desliza sob ao da
gravidade ao longo de uma curva sem atrito, de modo que o tempo de descida seja
independente do ponto de partida.
O Clculo Fracionrio vem sendo amplamente empregado durante as trs ltimas
dcadas em aplicaes modernas de equaes diferenciais e integrais modelagem de
diversos tipos de problemas da Cincia e da Engenharia, tais como:
Processamento de sinais (Barbosa et al., 2006; Bultheel e Martinez-Sulbaran, 2007);
Redes eltricas (Yifei et al., 2005);
Mecnica dos fluidos (Amaral, 2003)
Viscoelasticidade (Bagley e Torvik, 1983; Glockle e Nonnenmacher, 1991; Maia et
al., 1998; Adolfsson et al., 2005; Bagley, 2007, e Jia et al., 2007),
Biologia matemtica (Cole, 1933; Anastasio, 1994)
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Eletroqumica (Oldham, 1972; Goto e Ishii, 1975),
Reologia (Cavazos et al., 2007);
Transferncia de calor (Agrawal, 2004);
Economia (Meerschaert, 2006);
Eletromagnetismo (Engheta, 1996; Machado et al., 2006);
Teoria de controle (Hartley e Lorenzo, 2002; Valrio e Costa, 2006)
Problemas de difuso (Pedron, 2003; Gonalves et al., 2005; Andrade, 2006).
Dentre as obras que contm anlises mais detalhadas de alguns aspectos matemticos e
aplicaes fsicas de clculo fracionrio, podem-se citar as de Erdlyi (1953), Erdlyi et al.(1954), Gelfond e Shilov (1964), Djrbashion (1993), Gorenflo e Vessella (1991), alm dos
livros de Miller e Ross (1993) e de Podlubny (1999).
A principal motivao para o uso prtico do Clculo Fracionrio a possibilidade de se
obter uma modelagem mais precisa de alguns fenmenos fsicos, ao custo de uma maior
complexidade analtica e numrica, em comparao com as ferramentas do clculo
tradicional.
De acordo com Podlubny (1999), durante trs sculos, a teoria de derivadas fracionriasdesenvolveu-se principalmente como um campo terico puro da Matemtica, til apenas para
matemticos. Entretanto, nas ltimas dcadas, muitos autores afirmaram que derivadas e
integrais de ordem no inteira so muito adequadas para a descrio de propriedades de vrios
materiais reais como, por exemplo, polmeros. Foi mostrado que novos modelos de ordem
fracionria so mais adequados que modelos de ordem inteira previamente utilizados.
Derivadas fracionrias fornecem um excelente instrumento para a descrio das
propriedades de memria e hereditariedade de vrios materiais e processos. Esta a principalvantagem das derivadas fracionrias em comparao com modelos clssicos de ordem inteira,
nos quais estes efeitos so negligenciados. As vantagens do clculo fracionrio tornam-se
aparentes na modelagem de propriedades mecnicas e eltricas de materiais reais, bem como
na descrio de propriedades reolgicas de rochas, e tambm em muitos outros campos.
Integrais e derivadas fracionrias tambm aparecem na teoria de controle de sistemas
dinmicos, quando o sistema controlado ou o controlador so descritos por equaes
diferenciais de ordem fracionria.
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A relevncia do tema no mbito da Cincia e Engenharia comprovada pelo expressivo
e crescente nmero de publicaes existentes sob a forma de livros e artigos cientficos, e pela
existncia de conferncias internacionais especificamente dedicadas ao tema.No Brasil, no so muitos os trabalhos de pesquisa relacionados ao Clculo Fracionrio
aplicado a problemas de Engenharia Mecnica, destacando-se os estudos realizados por
Espndola e colaboradores, voltados ao uso de modelos fracionrios aplicados a absorvedores
dinmicos de vibraes viscoelsticos (Mendez, 2004; Espndola et al., 2005; Espndola et
al., 2008), as implementaes de modelos viscoelsticos fracionrios associados a modelos de
elementos finitos, realizadas por Lima (2003), alm do estudo preliminar de vila et al.
(2009), voltado ao uso de controladores ativos de ordem fracionria.Inserida no contexto da matemtica aplicada modelagem de problemas de Engenharia
Mecnica, a presente dissertao tem por objetivo geral o estudo dos fundamentos e
aplicaes do Clculo Fracionrio em problemas de Engenharia, com os seguintes objetivos
especficos:
1. Apresentar um apanhado histrico, as definies e principais propriedades dos operadores
de ordem fracionria, com o aprofundamento necessrio para o correto entendimento dos
conceitos e sua aplicao em problemas de Engenharia sem, entretanto, abordar os aspectos
mais tericos de natureza matemtica.
2. Estudar, analtica e numericamente, a aplicao do Clculo Fracionrio a uma classe de
problemas considerados de grande relevncia no mbito da Engenharia Mecnica, que
constituem objeto de estudos do grupo de pesquisa do Laboratrio de Mecnica de Estruturas
Prof. Jos Eduardo Tanns Reis, da Faculdade de Engenharia Mecnica da UFU, a saber, a
modelagem de sistemas de controle passivo de vibraes utilizando materiais viscoelsticos.
Alm deste primeiro captulo introdutrio, esta Dissertao est estruturada de acordo
com os seguintes captulos e respectivos contedos:
O Captulo 2 traz um apanhado histrico do Clculo Fracionrio, alm das principais
definies e propriedades dos operadores fracionrios encontradas na literatura.
O Captulo 3 aborda a modelagem fracionria de materiais viscoelsticos no contexto
do controle passivo de vibraes de sistemas mecnicos lineares. Aps uma reviso
bibliogrfica, so apresentados os modelos viscoelsticos mais utilizados e os procedimentos
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para sua incluso em modelos dinmicos discretos ou em modelos contnuos discretizados por
elementos finitos.
No Captulo 4, os modelos implementados computacionalmente, considerados os maismodernos e eficientes do ponto de vista computacional, so avaliados a partir da realizao de
simulaes numricas.
Por fim, o Captulo 5 traz as concluses acerca do trabalho realizado, alm de sugestes
para trabalhos futuros.
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CAP TULO I I
HISTRICO E FUNDAMENTOS DO CLCULO FRACIONRIO
Neste captulo so apresentados os fundamentos do Clculo Fracionrio, sendo primeiramente
descrito um breve histrico atravs do qual so introduzidas as principais definies e notao
utilizadas na literatura. Em seguida, so apresentadas as principais definies e propriedades
da derivada e integrao de ordem arbitrria, bem como alguns dos principais esquemas
numricos propostos para a resoluo de problemas modelados por operadores fracionrios.
2.1. Aspectos histricos do Clculo Fracionrio
Segundo Podlubny (1996), a denominao Clculo Fracionrio um exemplo de
terminologia matemtica inapropriada, que no traduz precisamente o significado que deveria
traduzir. Este autor define o Clculo Fracionrio como sendo a teoria de integrais e
derivadas de ordem arbitrria (no necessariamente fracionria), que unifica e generaliza as
noes de diferenciao de ordem inteira e integraes mltiplas.
O livro de Oldham e Spanier (1974) apresenta, em ordem cronolgica, uma seqncia
de eventos que compem um amplo apanhado histrico acerca das contribuies de
matemticos clebres para o surgimento e o desenvolvimento do Clculo Fracionrio. Miller e
Ross (1993) trazem um levantamento histrico similar.
Segundo estes ltimos autores, a pergunta original que levou denominao Clculo
Fracionrio foi: pode o significado da derivada de ordem inteira n nd y d x ser estendido
para o caso em que n for uma frao? Posteriormente, esta pergunta tornou-se: pode n ser
qualquer nmero: fracionrio, irracional ou complexo? Como a segunda pergunta foi
respondida afirmativamente, o nome clculo fracionrio tornou-se inapropriado e esta teoria
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deveria, preferencialmente, ser denominada integrao e diferenciao de ordem arbitrria.
Estes autores apresentam as discusses inicialmente conduzidas por diversos matemticos
clebres (LHpital, Leibniz, Wallis, Euler, Lagrange, Lacroix, Laplace, Fourier) na busca dasrespostas s questes colocadas acima, relatando, muitas vezes, correspondncias, s vezes
curiosas, trocadas entre eles. Os autores destacam o trabalho de Lacroix que, partindo da
funo my x= , com m inteiro positivo, desenvolveu a seguinte expresso para a derivada de
ordem n:
( )
!
!
nm n
n
d y mx , m n,
m ndx
=
(2.1)
e utilizando a funo Gama para o fatorial generalizado, ele chegou a:
( )( )
1
1
nm n
n
md yx , m n,
m ndx
+= +
(2.2)
Lacroix ainda fornece o exemplo para m=1 e n= , obtendo:
( )( )
1 21 2
1 2
2 2
3 2
d y xx
dx = = (2.3)
Miller e Ross (1993) tambm mencionam os trabalhos de Abel, a quem atribuem a
primeira aplicao do clculo fracionrio na resoluo de uma equao integral que aparece
na modelagem do problema da tautcrona, que consiste em determinar a equao da trajetria
descrita por uma partcula que desce sem atrito, sob a ao da gravidade, de um ponto a outro,
de modo que o tempo transcorrido seja independente do ponto de partida. Para este problema,
se o tempo de deslizamento da partcula, denotado por k, conhecido, obtm-se a seguinte
equao integral:
( ) ( )1 2
0
x
k x t f t dt =
(2.4)
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onde a funof(t) deve ser determinada.
A integral da Eq. (2.4), exceto por um fator multiplicativo ( )1 1 2 , um caso
particular da integral que define a integrao fracionria de ordem . Abel expressou o lado
direito da Eq. (2.4) sob a forma( )1 2
1 2
d f x
dx
e aplicou o operador1 2
1 2
d
dx em ambos os
lados da equao resultante, obtendo:
( )1 2
1 2
d kf x
dx= ,
dado que os operadores fracionrios, sob determinadas condies satisfeitas por f, tm a
propriedade1 2 1 2 0D D f D f f = = . Assim, computando a derivada de ordem de k, f(x)
pode ser determinada, observando-se que, curiosamente, a derivada de ordem fracionria de
uma constante no sempre nula, fato que causou grande controvrsia.
No apanhado histrico de Miller e Ross (1993) tambm dado destaque contribuio
de Liouville, que produziu numerosas publicaes e foi exitoso no uso do clculo fracionrio
a problemas da teoria potencial. O ponto de partida para os desenvolvimentos tericos de
Liouville o seguinte resultado amplamente conhecido para derivadas de ordem inteira:
m ax m axD e a e= (2.5)
onde mD indica a derivao de ordem mem relao varivel independentex.
Liouville estendeu esta propriedade a derivadas de ordem arbitrria
e admitiu, ainda,que a derivada de uma funo arbitrria ( )f x que pode ser expandida em sries da forma
( )0
a xnn
n
f x c e
== , Re ( )na > 0, (2.6)
dada por:
( )0
a xnn n
n
D f x c a e =
= (2.7)
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A Eq. (2.7) conhecida com a primeira frmula de Liouville para a derivada
fracionria, sendo aplicvel para qualquer nmero racional, irracional ou complexo, sendo,todavia, limitada apenas a funes exponenciais da forma expressa pela Eq. (2.6).
Para obter sua segunda definio, Liouville partiu da seguinte integral definida,
relacionada definio da funo Gama:
1
0
0 0a xuI u e du, a , x
= > > ,
a qual, com a mudana de varivelxu=t, leva a:
( )10
a a t aI x t e dt x a
= = , (2.8)
donde:
( )a Ix
a = ,
sendo
( ) 10
a ta t e dt
= ,
a conhecida funo Gama.
Aplicando o operador D a ambos os lados da Eq. (2.8), obtm-se:
( )
( )
1
aD xa
= 1
0
a xuu e du
+ (2.9)
Deste resultado, Liouville extraiu sua segunda definio para a derivada fracionria:
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( ) ( )
( )
10
a aaD x x , aa
+= > (2.10)
Aos trabalhos de Liouville seguiu-se intensa controvrsia e confrontao entre suas
definies com as de Abel e Lacroix, discutidas anteriormente.
G. F. Bernhard Riemann desenvolveu sua teoria da integrao fracionria, mas seus
trabalhos somente foram publicados em 1892, aps a sua morte. Ele buscou a generalizao
de uma srie de Taylor e obteve:
( )( )
( ) ( ) ( )11
x
c
D f x x t f t dt x
= + (2.11)
onde a funo complementar ( ) x foi includa para evitar a ambiguidade na escolha do
limite inferior de integrao c, como uma forma de quantificar o desvio desta definio da lei
dos expoentes que estabelece que, para um dado limite inferior de integrao:
( ) ( )c x c x c xD D f x D f x = (2.12)
onde os subscritos cex, adicionados aos operadores, explicitam os limites de integrao.
A incluso da funo complementar foi vista por Cayley como uma dificuldade inerente
teoria de Riemman e foi motivo de debate e um engano de interpretao cometido por
Liouville.
Em meados do Sculo 19, Liouville e Hargreave propuseram a seguinte generalizao
da frmula de Leibniz para a derivada de ordem , no inteiro positivo, de um produto de
funes:
( ) ( ) ( ) ( )0
n n
n
D f x g x D f x D g xn
=
=
(2.13)
onde
n
D so operadores diferenciais de ordens inteiras,
n
D
so operadores de ordemfracionria e
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( ) ( ) 1 1!
n
n n
+ + =
(2.14)
o coeficiente binomial generalizado.
O primeiro trabalho que levou definio moderna da derivada fracionria de Riemann-
Liouville parece ter sido um artigo publicado por Sonin, em 1869, cujos resultados foram
estendidos nos anos seguintes por Letnikov. Estes estudos partiram da derivada de ordem nda
frmula integral de Cauchy, expressa segundo:
( ) ( )( )
1!
2
n
nC
fnD f z di z
+=
(2.15)
a qual pode ser generalizada para nno inteiro mediante a utilizao do mtodo de integrao
em um contorno, desenvolvido posteriormente por Laurent, que conduziu definio:
( )( )
( ) ( )11
0
x
c xc
D f x x t f t dt, Re
= > (2.16)
Quando x > c, obtm-se a definio de Riemann, dada pela Eq. (2.11), mas sem a
funo complementar. A verso mais utilizada aquela em que c= 0,
( )( )
( ) ( )1
00
10
x
xD f x x t f t dt , Re
= > (2.17)
Deve-se observar que esta forma da integral fracionria denominada integral
fracionria de Riemann-Liouville. Uma condio suficiente para que a Eq. (2.16) convirja :
( )11 0f O x ,x
= >
(2.18)
Quando c= a Eq. (2.16) torna-se
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( )( )
( ) ( )11
0
x
xD f x x t f t dt , Re
= > (2.19)
para a qual, uma condio necessria de convergncia
( ) ( ) 0f x O x , ,x = > (2.20)
O histrico apresentado por Miller e Ross (1993) concludo com um apanhado dosdesenvolvimentos ocorridos no Sculo 20, sendo comentado que uma modesta quantidade de
trabalhos dedicados ao clculo fracionrio foi publicada no perodo de 1900 a 1970. A partir
deste perodo, houve significativa dinamizao da pesquisa sobre o assunto, com aumento do
nmero de publicaes, incluindo vrios livros, e a realizao de conferncias internacionais
em 1974, 1984 e 1989. Os autores comentam que o Clculo Fracionrio encontra aplicaes
em praticamente todos os ramos da Cincia e da Engenharia e que, no obstante, ainda no
estava includo, na poca em que publicaram seu livro, nos currculos universitrios,
possivelmente porque os matemticos no estavam familiarizados com sua utilizao.
2.2. Abordagem moderna do Clculo Fracionrio
O apanhado histrico apresentado na seo anterior deixa claro que foram propostas
vrias definies alternativas para os operadores fracionrios, as quais resultaram nas
definies atualmente utilizadas, sumarizadas nesta Seo.
Sejam consideradas as seguintes sries infinitas de integrais e derivadas mltiplas de
uma funo arbitrria ( )f t :
( )1 1t
a
f d ,
( )2
2 1 1
t
a a
d f d ...
2
2
df d f , ,...
dt dt
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A derivada de ordem arbitrria , denominada de forma abreviada derivada fracionria,
pode ser considerada como uma interpolao desta sequncia de operadores. Seguindo a
escolha de Podlubny, ser adotada a notao:
( )a tD t
onde os subscritos a e t denotam os limites relacionados operao de diferenciao
fracionria, conforme ser evidenciado mais adiante. Estes limites so denominados terminais
da diferenciao fracionria. A terminologia integrais fracionrias designa integraes de
ordem arbitrria, e correspondem a valores de ordem negativos. Desta forma, a integral
fracionria de ordem >0, ser denotada por
( )a tD t
Por extenso da terminologia descrita acima, uma equao diferencial fracionria
uma equao diferencial que contm derivadas de ordem fracionrias; uma equao integral
fracionria uma equao integral que contm integrais de ordem fracionria.
Dentre as vrias definies propostas, neste estudo foi dada nfase s definies de
Grnwald-Letnikov e de Liouville, que so detalhadas nas sees que seguem.
2.2.1. Derivada e integrao de ordem arbitrria de Grnwald-Letnikov
Seja uma funo contnua
( )y f t= . Segundo a conhecida definio, a derivada de
primeira ordem da funo ( )f t dada por:
( ) ( ) ( )
0h
f t f t hdff t lim
dt h
= = (2.21)
Aplicando esta definio duas vezes obtm-se, para a derivada de segunda ordem, a
expresso:
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( ) ( ) ( ) ( )2
2 20
2 2
h
f t f t h f t hd ff t lim
dt h
+ = = (2.22)
Similarmente, para a derivada de terceira ordem, tem-se:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3
3 30
3 3 2 3
h
f t f t h f t h f t hd ff t lim
dt h
+ = = (2.23)
Por induo, para a derivada de ordem n, escreve-se:
( ) ( ) ( ) ( )0 0
11
n n rn
n nh r
nd ff t lim f t rh
rdt h =
= =
(2.24)
onde
( )
( )( ) ( )1 2 1!
! ! !
n n n n n r n
r n r r r
+ = =
(2.25)
so os conhecidos coeficientes binomiais.
Considere-se agora a seguinte expresso que generaliza as fraes que aparecem no
lado direito da Eq. (2.25):
( ) ( ) ( ) ( )0
11
n rp
h p
r
pf t f t rh
rh =
=
(2.26)
ondep um nmero inteiro arbitrrio e n um nmero inteiro.
Evidentemente, parap ntem-se:
( ) ( ) ( ) ( )0
pp p
h ph
d flim f t f t
dt= = (2.27)
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uma vez que, nestas condies, todos os coeficientes binomiais posteriores ap
p
so nulos.
Considerem-se agora valores negativos dep. Por convenincia, introduz-se a notao:
( ) ( ) ( )1 2 1!
p p p p p r
r r
+ + + =
(2.28)
Substituindo, em Eq. (2.26),ppor p, escreve-se:
( ) ( ) ( )0
1 nph p
r
pf t f t rh
rh
=
=
(2.29)
Se nfor fixado,
( ) ( )p
hf t tende a zero quando h0. Para evitar esta condio, deve-se
supor n quando h0. Neste caso, pode-se tomart a
hn
= onde a um nmero real
constante. Nestas condies, denotar-se-:
( ) ( ) ( )0
p pa th
hn .h t a
lim f t D f t
=
= (2.30)
Note-se que ( )pa tD f t denota um operador aplicado funo f (t), nele intervindo os
terminais a e t. Para apreender o significado deste operador, faz-se o desenvolvimento para
p=1:
( ) ( ) ( )1
10
11 n
hr
f t f t rhrh
=
=
(2.31)
Levando em conta que a=tnhe que a funof (t) admitida contnua, conclui-se que:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 10 0
t a t
a thh an h t a
lim f t D f t f t z dz f d
=
= = = (2.32)
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A generalizao deste procedimento para valores arbitrrios de p leva seguinte
expresso, que pode ser obtida por induo:
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )1
0
1
1 !
tpp p
a thh an h t a
lim f t D f t t f d p
=
= =
(2.33)
Deve-se mostrar agora que a Eq. (2.33) representa uma integral mltipla de ordem p.
Primeiramente, derivando a Eq.(2.33), obtm-se a relao:
( )( )( )
( ) ( ) ( )2 11
2 !
tpp p
a t a t a
dD f t t f d D f t
dt p
+= =
(2.34)
a partir da qual pode-se escrever:
( ) ( )( )1t
p pa t a t
a
D f t D f t dt +=
( ) ( )( )1 2t
p pa t a t
a
D f t D f t dt + +=
( ) ( )( )2 3t
p pa t a t
a
D f t D f t dt + +=
Estas relaes podem ser combinadas da seguinte forma:
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( ) ( )( )
( )( )
( )
2
3
1vezes
t tp p
a t a t a a
t t tp
a ta a a
t t t t
a a a a
p
D f t dt D f t dt
dt dt D f t dt
dt dt dt f t dt
+
+
=
=
=
(2.35)
Conclui-se, pois, que a derivada de ordem inteira n representada pela Eq. (2.26) e a
integral mltipla de ordemp, expressa pela Eq. (2.33) de uma funo contnua ( )f t so casos
particulares da expresso geral:
( )pa tD f t = ( ) ( )0 0
11
n r
ph rt a n h
plim f t rh
rh = =
(2.36)
que representa a derivada de ordem msep=m e a integral mltipla de ordem m, sep=m. Esta
constatao conduz generalizao das noes de integrao e diferenciao admitindo-seque, na Eq. (2.36), ppossa ser um nmero arbitrrio real ou complexo. Nas sees seguintes
ser considerado apenas o caso em quep um nmero real.
Considera-se primeiramentep < 0, o que caracteriza a integrao de ordem arbitrria.
Neste caso, a Eq. (2.36) toma a forma:
( )pa tD f t = ( )
0 0
np
h rt a n h
plim h f t rh
r = =
(2.37)
A partir da demonstrao da existncia do limite indicado na Eq. (2.37), pode-se
mostrar que (Podlubny, 1996):
( )pa tD f t = ( )
( ) ( ) ( )
1
0 0
1 tn pp
h r at a n h
plim h f t rh t f d
r p
= =
=
(2.38)
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onde ( ) 10
p tp t e dt
= a funo Gama.
Aps integraes por partes, a Eq. (2.38) pode ser expressa sob a seguinte forma
alternativa:
( )pa tD f t =
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )10
1
1 1
p kk tm p m m
k a
f a t at f d
p k p k
++ +
=
+
+ + + + (2.39)
Para a derivao de ordem arbitrria, deve-se avaliar o limite:
( )pa tD f t = ( ) ( )0 0
1n rp
h rt a n h
plim h f t rh
r
= =
(2.40)
o qual, de acordo com Podlubny (1996), assume a forma:
( )pa tD f t =( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
0
1
1 1
p kk tm p m m
k a
f a t at f d
p k p k
+ + +
=
+
+ + + + (2.41)
A Eq. (2.41) foi obtida admitindo que as derivadas ( ) ( )kf t (k=1,2, ..., m+1) so
contnuas no intervalo fechado [a;t] e que m um nmero inteiro satisfazendo a condio
1m p> . O menor valor possvel para m determinado pela desigualdade m < p < m +1.
As relaes seguintes traduzem as seguintes propriedades da derivada e integrao de
ordem arbitrria de Grnwald-Letnikov:
Composio de derivadas de ordem arbitrria e derivadas de ordem inteira
( )( ) ( )n
p p na t a t n
dD f t D f t
dt
+= (2.42)
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( )( )( )
n np p
a t a t n n
d f t dD D f t
dt dt
=
( ) ( ) ( )( )
1
0 1
p n kkn
k
f a t a
p n k
+
=
+ + (2.43)
esta ltima equao mostra que os operadores
n
n
d
dt en
a tD so comutativos somente se
( ) ( ) 0 1 2 1kf a ,k , ,...,n= = .
Composio de derivadas e integrais de ordem arbitrria
Considerando dois operadoresp q
a t a t D , D , tem-se:
( )( ) ( )( ) ( )q p p q p qa t a t a t a t a t D D f t D D f t D f t+= = (2.44)
somente se( ) ( ) 0 1 2 1kf a ,k , ,...,n= = .
2.2.2. Derivada e integrao de ordem arbitrria de Riemman-Liouville
A derivada de Riemann-Liouville de ordem arbitrria p, de uma funo f(t) definida
segundo:
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
m tm pp
a ta
d
f t t f d , m p mdt
+
= + D (2.45)
A definio da derivada de Grnwald-Letnikov dada pela Eq. (2.41), obtida admitindo
que a funo f(t) tem m+1 derivadas contnuas, pode ser obtida da Eq. (2.45) sob a mesma
hiptese, efetuando sucessivas integraes por partes. Desta forma, considerando a classe de
funes continuamente diferenciveis m+1 vezes, as definies de Riemann-Liouville e de
Grnwald-Letnikov so equivalentes.
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19
Seguindo o procedimento de Podlubny (1996), mostrar-se- que a definio dada pela
Eq.(2.45) permite unificar os operadores de derivadas e integraes de ordem inteira e,
subsequentemente, poder ser estendida aos operadores de ordem arbitrria.Supondo quef(t) seja contnua e integrvel no intervalo (a; t), ento a integral
( ) ( )1 t
a
f t f d =
existe e assume um valor finito, o qual nulo quanto a t.
Efetuando integraes mltiplas, pode-se escrever:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
21 1
t t t t
a a a a
f t d f d f d d t f d
= = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
31 1
t t t t
a a a a
f t d f d f d d t f d
= = =
Por induo, chega-se frmula de Cauchy:
( )( )
( ) ( )11 t nn
a
f t t f dn
=
(2.46)
Supondo que n > 1 seja um inteiro fixo e tomando outro inteiro k0, escreve-se:
( ) ( )( )
( ) ( )11 t nk n k
a
f t D t f dn
=
(2.47)
onde kD (k 0) denota k integraes sucessivas.
De forma similar, supondo que n> 1 seja um inteiro fixo e tomando outro inteiro k
n, escreve-se:
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( ) ( )( )
( ) ( )11 t nk n k
a
f t D t f dn
=
(2.48)
onde kD (k 0) denota k derivaes sucessivas.
Para estender a noo de integraes mltiplas a valores no inteiros de n, pode-se
partir da frmula de Cauchy da Eq. (2.46), e substituir npor um nmero realp > 0:
( ) ( ) ( ) ( )
11 t ppa t
af t t f dp
= D
(2.49)
Se ( )f t for contnua em (t ;a), ento a integrao de ordem arbitrria definida na Eq.
(2.49) tem a seguinte propriedade:
( )( ) ( )p q p qa t a t a t D D f t D f t = (2.50)
A representao da Eq. (2.48) para a derivada de ordem knpossibilita a extenso ao
caso de diferenciao de ordem no inteira, o que pode ser feito mantendo k inteiro e
substituindo npor um nmero real de modo que k> 0. Este procedimento conduz a:
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )11 0 1t
k ka t
a
f t D t f d ,
= <
D (2.51)
ou, alternativamente,
( )( )
( ) ( ) ( )11
1t
k pp ka t
a
f t D t f d , k p k
=
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Uma propriedade dos operadores de ordem arbitrria de Riemann-Liouville :
( )( ) ( )p q p qa t a t a t f t f t =D D D (2.53)
que tem, como caso particular:
( )( ) ( )p pa t a t f t f t =D D (2.54)
Os operadores de derivao e de integrao de ordem arbitrria no so comutativos,
ou seja:
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )1 1
p jk
p q q p q ja t a t a t a t
j t a
t af t f t f t
p j
= =
= +
D D D D
(2.55)
Composio de derivadas de ordem inteira
Sendopreal positivo e ninteiro, tem-se:
( )( )
np p n
a t a t n
d f tf t
dt
+
=
D D
( ) ( ) ( )( )
1
0 1
p n jjn
j
f a t a
p n j
+
=
+ + (2.56)
que idntica propriedade traduzida pela Eq. (2.43).
Composio com derivadas de ordem arbitrria
Sendope qreais positivos, tem-se a propriedade:
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( )( ) ( )q p p qa t a t a t f t f t+=D D D ( ) ( )
( )1 1
q jm
p ja t
j t a
t af t
q j
= =
D (2.57)
Linearidade
( ) ( )( ) ( ) ( )p p pD f t g t D f t D g t + = + (2.58)
onde pD designa qualquer uma das diferenciaes de ordem arbitrria consideradas
anteriormente.
Regra de Leibniz (derivada do produto de duas funes)
Se ( )f t e ( )g t e suas derivadas so contnuas em [a; t], tem-se:
( ) ( )( )
( )
( ) ( )0kp p k
a t a t k
pD f t g t f t D g t
k
=
=
(2.59)
Transformadas de Laplace de integrais de ordem arbitrria de Grnwald-
Letnikov e de Riemann-Liouville
Partindo da definio da integrao de ordem arbitrria dada pela Eq. (2.49), na qual
faz-se a = 0, pode-se reescrev-la utilizando a definio de convoluo de duas funes:
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )1 11 1
tpp p p
a t a t a
D f t f t t f d t f tp p
= = =
D (2.60)
Levando em conta que a transformada de Laplace de 1pt :
{ } ( )1p pL t p s = (2.61)
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e considerando que a transformada de Laplace da convoluo de duas funes igual ao
produto das respectivas transformadas de Laplace, obtm-se o seguinte resultado para atransformada de Laplace da integral de ordem arbitrria de Grnwald-Letnikov e de Riemann-
Liouville:
( ){ } ( ){ } ( )0 0p p pt tL D f t L f t s F s = =D (2.62)
Transformadas de Laplace de derivadas de ordem arbitrria de Riemann-
Liouville
( ){ } ( ) ( ) ( )1
10
0 0
1n
p p k p kt t
k t
L f t s F s s f t n p n
= =
=
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( )( )
1
1D t t
+= +
, IR , 1> , 0t> . (2.65)
xxeeD
= , para qualquer IR , IR . (2.66)
( )( )
+=
2
xasenaxasenD , com IRa , 1> . (2.67)
( )( )
+=
2
coscos xaaxaD , com IRa , 1> . (2.68)
( ) ( ) ( )
+
+==
22coscos
xsenixxsenDixDeD xi (2.69)
( )
t
kkD
1+= , 0> (2.70)
onde k uma constante.
2.4 Avaliao numrica de derivadas e integrais de ordens arbitrrias
Para a avaliao numrica das derivadas e integrais de ordem arbitrria , se o intervalo
de tempo T=t-afor discretizado emNpontos, de modo que h T N= , ento a Eq. (2.40) pode
ser expressa sob a forma:
( ) ( )1
0
lim 1N
j
a tN
j
T TD f t f t j
jN N
=
==
(2.71)
e a estimao das integrais e derivadas fracionrias pode ser feita pelo truncamento da soma
infinita presente na Eq. (2.50):
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( )a tD f t =
1
1
0
N
j
j
T TA f t j
N N
+=
(2.72)
onde os chamados coeficientes de Grnwald
( )( ) ( )1 1j
jA
j
+
+
resultam da extenso da definio dos coeficientes binomiais parap
j
valores de p no
inteiros.
Uma reduo adicional nos clculos obtida utilizando a propriedade:
( ) ( ) ( )1 1x x x = ,
a partir da qual consegue-se a relao recursiva:
jj Aj
jA
=+
11 (2.73)
Limitando anlise das derivadas fracionrias, tem-se que 0> e que:
1
1
1para
j j j
jA A A j
j
(2.74)
Isso mostra que a srie dos termos 1jA + estritamente decrescente a partir do momento
em que j se torna maior do que . Quando j + , tem-se que:
( )( )( ) ( )
( )( )1
1 1lim lim lim
1 1j
j j j
j jA
j j
++ + +
= + , j que a funo gama ( )x estritamente no-decrescente para 2x . Como
j IN , tem-se que ( )1 !j j + = , e assim:
( )( )
( )11 !1 1 1
lim lim lim 0!
jj j j
jA
j j +
+ + +
< = =
(2.76)
medida que o ndice j toma valores maiores, os coeficientes de Grnwald vo se
tornando pesos de valores menores da funo f que esto situadas mais ao passado. Esta a
razo do desaparecimento de eventos conforme o tempo passa. Esta propriedade recebe onome de memria fraca e possibilita o truncamento da Eq. (2.63).
2.5 Tcnicas Numricas de Resoluo Aproximada de Sistemas de Equaes
Diferenciais de Ordem Fracionria.
Existem vrios mtodos para resolver sistemas de equaes diferenciais de ordem nointeira, dentre os quais podem se citar: transformadas de Laplace e de Fourier (Gaul et al.,
1989; Miller e Ross, 1993 e Podlubny, 1999); expanses via autovetores (Suarez e Shokooh,
1997); frmula integral de Laguerre (Yuan e Agrawal, 2002); soluo direta atravs de
aproximaes desenvolvidas por Grnwald-Letnikov (Podlubny, 1999); expanses atravs de
sries de Taylor truncadas (Machado, 2001); mtodo da representao difusiva (Heleschewitz
e Matignon, 1998); representaes de estado aproximadas (Aoun et al., 2003), alm de outros
mtodos numricos (Padovan, 1987; Diethelm e Ford, 2004; Diethelm et al., 2005 e Kumar e
Agrawal, 2005).
Para ilustrar algumas tcnicas de resoluo de equaes diferenciais de ordem
fracionria, considere-se um problema genrico do tipo:
( ) ( )( ),D y t f t y t = (2.77)
com condies iniciais:
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( ) ( ) ( )00i i
y y= , 1, , 1i n= , (2.78)
onde n representa o menor nmero inteiro maior ou igual a .
Este problema equivalente a:
( ) ( )( )
( ) ( )( )1
0
1,
t
y t g t t f y d
= +
(2.79)
( )
( )1
00 !
n ii
i
tg t y
i
=
=
(2.80)
que caracteriza uma equao integral de Volterra. Considerando um tempo mximo de
simulao T , e discretizando-o em N segmentos iguais, define-se o passo entre cada tempo
jt jh= , 0, ,j N= como sendo dado por h T N= . Assumindo que aproximaes para os
valores de ( )y t tenham sido dadas para cada jt T< com 0, ,j m= , e admitindo que y e
( )( ),f t y t variam linearmente a cada passo, pode-se obter a aproximao:
( ) ( )( )
1
1 1 , 10
,2
m
j jm m j mj
hy g a f t y t
+
+ + +=
= = + (2.81)
( )( )
( ) ( ) ( )
1
1 11
, 1
1 ,se 0
2 2 1 ,se 1
se 11,
j m
m m mj
a m j m j m j j m
j m
+
+ ++
+
+=
= + + +
= +
, 0, , 1m N= . (2.82)
Aproximaes no lineares (quadrticas ou cbicas) tambm podem ser feitas.
So detalhados, a seguir, dois mtodos, sendo eles um mtodo direto, que visa a
aproximar o operador derivativo-fracionrio, e um mtodo indireto, que envolve
representao aproximada no espao de estado, ambos sugeridos por Poinot e Trigeassou
(2003).
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2.5.1 Mtodo Direto
Neste mtodo, usam-se aproximaes numricas para obter frmulas de recorrncia aoinvs do operador de derivada fracionria. Como existem vrios tipos de aproximaes, ser
utilizada a mais usual, dada pela definio de Grnwald, de acordo com Miller e Ross (1993):
( ) ( ) ( )( )00
1lim 1
n k
n nhk
ndf Kh f K k h
kdt h
=
= (2.83)
( ) ( ) ( )1 2 1!
n n n n k nk k
+= . (2.84)
onde h o perodo de amostragem.
Seja a equao diferencial de ordem fracionria definida a seguir:
( )( ) ( )0 0
n
n
d y ta y t b u t
dt + = . (2.85)
Utilizando a aproximao dada pela Eq. (2.83) na Eq. (2.85), obtm-se a resposta do
sistema como sendo dada por:
( )( )
( )( )( )0
1
0
1
1
kK
nk
n
nb u Kh y K k h
khy Kh
a
h
=
=+
. (2.86)
2.5.2 Mtodo Indireto
De acordo com a teoria do clculo fracionrio, a integrao a inversa da derivao. A
definio do operador ( )sDn1 no domnio de Laplace feita de maneira tal que seu grfico de
Bode seja simtrico ao grfico de ( )sDn .
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( )
n
h
bnn
s
s
s
GsD
+
+
=
1
11 (2.87)
Utilizando o integrador 1s e o filtro de fase convencional usado por Oustaloup (1995),
dado por:
( ) 1
1
1
Ni
v i
i
sj
A j sj
=
+
= + (2.88)
comNclulas e definido pelos parmetros i , i , , (sendo 1 a menor pulsao e N a
maior pulsao), chega-se aproximao do operador ( )sDn1 :
( )
i
iN
i
nn s
s
sGsD
+
+
==
1
1 '
1
1
(2.89)
Nota-se que ( )sDn1 caracterizado pelos seguintes parmetros:
1 e N definem a faixa de frequncia
N a quantidade de clulas
e so parmetros recursivos para uma ordem nno inteira
nG definido em ordem a se ter um mesmo ganho para 1 ns e ( )sDn1 na pulsao
1u = rad/s.
As relaes recursivas so dadas a seguir:
i i = 1 ii = log
1log
n
=
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30
1
nN n
N
=
1 n
n
= 1
11
1
Ni
ni
i
j
Gj
=
+ =+
(2.90)
Como ( )sDn1 composto por um produto de clulas, conforme ilustrado na Fig. 2.1,
adotam-se as variveis de estado como as sadas de cada uma das clulas.
Figura 2.1 - Diagrama de ( )sDn1 .
Assim, chega-se seguinte equao:
( )1 1 1 11
nn nn n n
n
x x x x
+ =
11
n
n
=
(2.91)
Considerando 1nx + :
( )1 1n n nn nx x x x + + + = 1n n = (2.92)
A Eq. (2.92) leva seguinte representao de estado:
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31
1
2
1
1 0 0
1
0 1
0
0 0 1
II
NM
x
x
x
x
+
=
1
1 1 2
2 2
1
0 0 0
0
0
000 0I
II
n
NN NBx
A
xG
x
u
x
+
= +
, (2.93)
onde as matrizes IM , IA e IB e o vetor Ix so apresentados acima. Representa-se o sistema
de equaes tambm na forma algbrica:
**II IIx A x B u= + (2.94)
com * 1I I IA M A= e * 1I IIB M B
= .
Considere-se o sistema:
( ) ( )
( )0
0n
Y s bH s
a sU s= =
+ (2.95)
que equivalente a:
( )( ) ( )0 0
n
n
d y ta y t b u t
dt + = . (2.96)
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32
Define-se ( )x t tal que:
( ) ( )0
1nX s U ss a
=+
. (2.97)
Assim:
( )( ) ( )
( ) ( )
0 0
0
n
n
d x ta x t b u t
dt
y t b x t
= +
=
(2.98)
que equivalente ao seguinte sistema:
( )1 00
com
1 0 1
2 1 2
n N i
N i
x G a x u
y b x
i se n
i se n
+
+
= +
=
= < > + .
A relao deformao-tenso geral pode ser representada por uma funo de material
( ( )J t ou ( )G t ) e obtida pelo princpio de superposio de Boltzmann e dada pela integral
de hereditariedade linear do tipo Stiltjes (Carpinteri e Mainardi, 1997):
( ) ( ) ( )t
t J t d
= , ou ( ) ( ) ( )t
t G t d
= . (3.1)
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38
Partindo da hiptese de que ( ) ( ) 0J t G t= = para todo tempo menor que um tempo
inicial ( )0t= , tem-se que
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00
0t t
t J t d J t J t d
+= = + , (3.2a)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00
0t t
t G t d G t G t d
+= = + , (3.2b)
onde ( )t e ( )t so as derivadas primeiras em relao ao tempo da tenso e da deformao,
respectivamente.
O limite inferior de integrao dado por 0 nas equaes anteriores permite um
comportamento descontnuo de ( )t e/ou ( )t em 0t= , e assim ( )t e ( )t podem estar
relacionadas funo delta de Dirac, ( )t . Integrando por partes as Eqs (3.2a) e (3.2b),
obtm-se:
( ) ( ) ( ) ( )0
t
gt J J t d = + , (3.3a)
( ) ( ) ( ) ( )0
t
gt G G t d = + . (3.3b)
As primeiras derivadas das funes ( )J t e ( )G t so conhecidas como as taxas de
fluncia (flexibilidade) e de relaxao (mdulo), respectivamente, e desempenham o papel de
funes de memria nas equaes anteriores.
Aplicando a transformada de Laplace nas Eqs. (3.2) e (3.3), tem-se:
( ) ( ) ( )s s J s s = , (3.4a)
( ) ( ) ( )s s G s s = . (3.4b)
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39
A equao seguinte mostra uma correspondncia entre ( )J t e ( )G t :
( )( )
( ) ( ) 21 1
s J s J s G sss G s
= =
. (3.5)
Fazendo a convoluo da Eq. (3.5) no domnio do tempo, tem-se:
( ) ( ) ( ) ( )0
:t
J t G t J t G d t = = . (3.6)
Utilizando as propriedades da transformada de Laplace na Eq. (3.5), tem-se:
1 1,
g e
g e
J JG G
= = , (3.7)
ondeg
J ee
J podem assumir valores entre 0 e + . A Tabela 3.1 mostra alguns tipos de
valores para a flexibilidade de fluncia e para o mdulo de relaxao.
Tabela 3.1 - Os quatro tipos de viscoelasticidade (adaptado de Carpinteri e Mainardi (1997)).
Tipo gJ eJ gG eG
I
II
III
IV
0>
0>
0=
0=
<
=
<
=
<
<
=
=
0>
0=
0>
0=
As funes do material so dadas por:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
1 tg
t
e
J t J R e d J t
G t G R e d G t
+ +
= + +
= + +
(3.8)
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40
nas quais todos os coeficientes e funes so positivas.
As funes ( )R e ( )R so definidas como o espectro de flunciae o espectro de
relaxao, respectivamente. As funes ( )R e ( )R sero denotadas pela funo ( )*R .
As contribuies das funes do material na integral da Eq. (3.8) so dadas por:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
1 1 0 ,
1 0 ,
nnt
n
nnt
n
dt R e d n IN
dt
dt R e d n IN
dt
+
= <
= >
(3.9)
As funes no negativas ( )t e ( )t so definidas como funes de fluncia e
relaxao, respectivamente. Na equao anterior, ( )t uma funo crescente com
( )0 0 = e ( ) + + = ou + , e ( )t uma funo decrescente com ( )0 = ou + e
( ) 0 + = .
A prxima seo trata dos modelos mecnicos, conforme descritos por Carpinteri e
Mainardi (1997).
3.3 Modelos Mecnicos
Os modelos mecnicos so constitudos de molas e amortecedores lineares, e dentre os
modelos mais utilizados tm-se os seguintes, que esto ilustrados na Fig. 3.1: o modelo
constitudo por uma mola (modelo de Hooke); modelo constitudo por um amortecedor
(modelo de Newton); modelo constitudo por uma mola e um amortecedor em paralelo
(modelo de Voigt), e o modelo constitudo por uma mola e um amortecedor em srie (modelo
de Maxwell).
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Figura 3.1 - Elementos de modelos mecnicos: a) Hooke, b) Newton, c) Voigt e d) Maxwell.
Para os modelos mecnicos apresentados, a fora corresponde tenso e o
deslocamento corresponde deformao. Para se chegar s funes do material, pode-se
partir das equaes governantes das relaes tenso-deformao para os modelos mecnicos
anteriormente citados.
O modelo de Hooke representado por uma mola, que um elemento elstico em que o
deslocamento proporcional fora:
( ) ( ) ( )
( )
1J t mt m t G t m
== = . (3.10)
O modelo de Newton, por outro lado, representado por um amortecedor, que um
elemento viscoso em que a taxa de deslocamento proporcional fora:
( ) ( )
( ) ( )
J t t bdt b
G t b t d t
==
=. (3.11)
Para o modelo de Voigt a relao tenso-deformao dada por:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
11 tJ t ed
t m t b md t
G t m b t
= = + = +
(3.12)
ondeb
m = o tempo de retardamento.
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42
O modelo de Maxwell representado pela equao:
( )( )
( ) t
a tJ td d b b
t a bbdt dt
G t ea
= ++ =
=
(3.13)
onde a = o tempo de relaxao.
Observa-se que para os casos de corpos viscoelsticos representados pelos modelos
mecnicos, tem-se que os modelos de Hooke e de Newton equivalem aos tipos I e IV,
respectivamente, enquanto que os modelos de Voigt e de Maxwell so do tipo III e II,
respectivamente. Vale lembrar que estes dois ltimos modelos so os corpos viscoelsticos
mais simples, para os tipos III e II (vide Tab. 3.1).
Para os modelos de Voigt e de Maxwell tm-se uma fluncia da deformao e uma
relaxao da tenso exponenciais. Alm disso, o modelo de Voigt no exibe relaxao da
tenso, enquanto que o modelo de Maxwell apresenta uma fluncia da deformao linear.
No caso de se adicionar uma mola em srie Fig. 3.1c, ter-se- o modelo da Fig. 3.2a,
ou, se adicionada em paralelo Fig. 3.1d, ter-se- a Fig 3.2b. Isto implica a adio de uma
constante (maior que zero) ao mdulo de relaxao de Maxwell e flexibilidade de fluncia
de Voigt, o que resulta em 0e
G > e 0gJ > . O modelo com estas caractersticas chamado de
Slido Linear Padro (SLP):
( ) ( ) ( )
( )
11 SLP
t
g
t
e
J t J ed da t m b t
d t d t G t G e
+
= + + = +
= +
(3.14)
1, , ,
, ,
g
e
a a bJ
b m b m
bG m m a
a
+
= = = = = =
(3.15)
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A condio 0 bma
< < garante que + , so maiores que zero e por isso
0g e
J J< < < , 0e g
G G< < < e 0 < < < . O SLP composto de trs parmetros,
sendo o corpo viscoelstico mais simples do tipo I.
No caso de se adicionar um amortecedor em srie Fig. 3.1c, ter-se- a Fig. 3.2c, ou, se
adicionado em paralelo Fig. 3.1d, obter-se- o modelo da Fig. 3.2d. Esta adio resultar no
corpo viscoelstico mais simples do tipo IV.
Figura 3.2 - a) Mola em srie com Voigt, b) Mola em paralelo com Maxwell, c) Amortecedor
em srie com Voigt, d) Amortecedor em paralelo com Maxwell.
Como flexibilidades de fluncia so somadas quando elementos so adicionados em
srie e mdulos de relaxao so somados quando elementos so acoplados em paralelo (regra
de combinao), podem ser formados modelos do tipo:
( )
( ) ( )
,
,
1 ,
,
n
n
t
g n
n
te n
n
J t J J e J t
G t G G e G t
+
= + +
= + +
(3.16)
onde todos os coeficientes so no-negativos. As funes da Eq. (3.16) devem estar
relacionadas de acordo com a Eq. (3.5). Por intermdio da transformada de Laplace, obtm-se
uma relao tenso-deformao na forma de uma equao diferencial linear cujos coeficientes
so constantes e positivos, e que dada por:
( ) ( )1 1
1 , ou 1k kp q
k kk kk k
d da t m b t p q p q
dt d t
= =
+ = + = = +
. (3.17)
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44
3.4 Modelos Viscoelsticos Fracionrios
Estendendo os operadores fracionrios aos modelos mecnicos clssicos, conseguem-se
as equaes de ordem fracionria, que so generalizaes da Eq. (3.17):
( ) ( )1 1
1 , 1k k
k k
p q
k k k
k k
d da t m b t k
dt dt
= =
+ = + = +
. (3.18)
Para os modelos fracionrios, as funes de fluncia e relaxao so do tipo:
( ) ( ){ } ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
1 1 ,
.
t
t
t E t R e d
t E t R e d
+ +
= =
= =
(3.19)
Substituindo os sub-ndices ou por , obtm-se as expresses para os espectros de
retardamento e relaxao, respectivamente, que so idnticas:
( ) ( )
( ) ( ) ( )*
* *
sen1
2cosR
=
+ +. (3.20)
Para uma melhor compreenso das funes espectral ( )R e de relaxao
( )E t
, so apresentados adiante dois grficos destas funes para alguns valores de
. Adotando 1= , os grficos das funes so mostrados na Fig. 3.3 e na Fig. 3.4.
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Figura 3.3 - A funo espectral para diversos valores de .
A Fig. 3.3 mostra que a funo espectral pode apresentar vrias formas diferentes. A
funo espectral decrescente para quando 0 < < , sendo que 0.736 a soluo
da equao ( )sen = . Para valores maiores que , a curva mostra, primeiramente, um
mnimo e, posteriormente, um mximo. Quando 1 a funo espectral tende funo
impulso ( ) .
A Fig. 3.4, mostra que a funo de relaxao ( )E t apresenta um comportamento
que difere em relao funo exponencial quando se tem 1= . Na equao (3.21), ficam
evidentes assntotas para ( )E t quando 0t + e t + ,
( ) ( )
( )
1 1 , quando 0 ,~
1 , quando .
t tE t
t t
+
+
+ (3.21)
Fazendo uma comparao entre a funo exponencial que aparece nos modelos j
mencionados (para 1= ) e a funo de relaxao que aparece nos modelos fracionrios,
verifica-se um decrescimento muito rpido para 0t + ; quando t + , ocorre um
decrescimento muito lento.
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Figura 3.4 - Funo de relaxao para diversos valores de .
A prxima seo trata do mdulo complexo do modelo de Maxwell com derivadas
fracionrias, com base no trabalho de Jia et al.(2007).
3.5 Mdulo Complexo do Modelo de Maxwell Fracionrio
O modelo fracionrio de Maxwell expresso segundo:
r q
r q
d d
d t d t
+ = (3.22)
onde e so parmetros do modelo fracionrio, r e q so as ordens das derivadas
fracionrias ( 0 1r< < e 0 1q< < ), ( )t a tenso e ( )t a deformao. Os operadores
[ ]rddt
e[ ]qd
dt denotam derivadas fracionrias. Se 1r q= = , o modelo coincide com o
modelo clssico de Maxwell, e se 0= e 1q= , o modelo se mostra idntico ao modelo de
fluido Newtoniano.
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Aplicando a transformada de Fourier Eq. (3.22), consegue-se obter o mdulo
complexo do MMDF. Com isso, os mdulos de armazenamento e de perda de cisalhamento,
so:
( )12 2
cos 1 cos sen sen2 2 2 2
1 2 cos2
q r q r
r r
q r r q
Gr
+ + + =
+ +
(3.23)
( )22 2
sen 1 cos sen cos2 2 2 2
1 2 cos2
q r q r
r r
q r r q
Gr
+ + =
+ +
(3.24)
Simplificando as Eqs. (3.23) e (3.24), tem-se:
( )
( )
12 2
cos cos
2 2
1 2 cos2
q q r
r r
qq r
Gr
+ +
= + +
(3.25)
( )( )
rr
rqq
r
rqsenq
sen
G22
2
2cos21
22
+
+
+
=
+
(3.26)
3.5.1 Restries termodinmicas
Para que um modelo de fenmenos viscoelsticos seja fiel, o mesmo deve apresentar
trabalho interno no-negativo e taxa de dissipao de energia no-negativa. Definindo
restries referentes a parmetros do modelo, pode-se assegurar a validade destas restries.
De acordo com Jia et al. (2007), Bagley discutiu restries termodinmicas ao modelo
fracionrio de Kelvin-Voigt.
Considerando um material termorreologicamente simples, uma temperatura uniforme
(no tempo e no espao) pode ser introduzida atravs de uma frequncia reduzida. Os
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parmetros r, q , e podem ser considerados constantes e independentes da temperatura.
Resta o problema de variao da temperatura devida s fontes externas de calor e dissipao
de energia. Bagley e Torvik observaram que um elemento de material sobre o qual atua umadeformao uniforme e em regime permanente deveria ficar arbitrariamente prximo de uma
temperatura uniforme e permanente, se a condutividade for suficientemente grande e o
elemento for suficientemente pequeno. Condies podem ser determinadas por se considerar
um estado de temperatura uniforme em um material submetido aplicao de deformao
senoidal uniforme. A deformao senoidal conduzir a uma tenso senoidal aps o transiente
ter cessado.
Admite-se ento que a deformao seja dada por:
( )cos t = (3.27)
Partindo da deformao, chega-se tenso resultante, dada por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )1 2
cos cos cos sen sen
cos sen
G i t G i t G i t
G t G t
= + =
= (3.28)
onde o ngulo de fase pelo qual a tenso atrasa a deformao, e:
( ) ( ) ( )
( )2
1
tg tgG
G
= = (3.29)
( )1G e ( )2G so as partes real e imaginria do mdulo complexo ( )G i ,
respectivamente, e ( )tg a taxa de energia dissipada pelo material, e ser no-negativa para
todas as frequncias positivas, ou seja:
( )( )
2
1
0
0
G
G
ou
( )( )
2
1
0
0
G
G
; 0 < < . (3.30)
Partindo das Eqs. (3.27) e (3.28), a taxa de trabalho interno :
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
cos cos cos 2 sen2
t t G i t t G i t = + = + + . (3.31)
O trabalho interno possui uma variao no-negativa para todas as frequncias, e
( )cos 2 t + ser no-positivo para algumas frequncias; logo ( )sen ter que ser maior ou
igual a zero. A Eq. (3.28) leva tambm a:
( ) ( ) ( )2 senG G i = . (3.32)
Fica evidente que a parte imaginria no-negativa do mdulo complexo igual a
( )sen no-negativo para todas as frequncias. proposta ento a seguinte desigualdade:
( )2 0 ; 0G > < < . (3.33)
Atravs das Eqs. (3.30) e (3.33), obtm-se as concluses que se seguem:
( )1 0 ; 0G < < . (3.34)
Se as restries das Eqs. (3.33) e (3.34) forem satisfeitas, o modelo ter trabalho interno
no-negativo e taxa de dissipao de energia no-negativa.
Para assegurar que as restries sejam satisfeitas, restries aos quatros parmetros do
modelo fracionrio devem ser determinadas. Existem apenas duas desigualdades nas Eqs.
(3.33) e (3.34) resultantes a partir do MMDF, mas com um total de quatro parmetros. Logo, preciso achar outras desigualdades. Na Eq. (3.25), o numerador tem dois termos; se o
primeiro termo domina o segundo, o segundo pode ser desconsiderado, caso para o qual a
frequncia do movimento bem baixa. Por outro lado, quando a frequncia do movimento
alta, o segundo prepondera sobre o primeiro, e assim o primeiro desconsiderado. Alm
disso, na mesma equao, o denominador do mdulo evidentemente positivo, de tal modo
que um exame dos casos limites para um numerador obtido quando a frequncia do
movimento for bem baixa, primeiramente, e alta, posteriormente, leva s duas desigualdadesadicionais:
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50
cos 02
q q
(3.35)
e
( )cos 02
r q q r
+
. (3.36)
A Eq. (3.35) positiva para frequncias baixas, enquanto que a Eq. (3.36) tambm
positiva, mas para frequncias altas. Fazendo as mesmas anlises na Eq. (3.26), obtm-se:
sen 02
q q
(3.37)
para frequncias baixas. Para frequncias altas, tem-se que:
( )sen 02r q q r
+ . (3.38)
Como as derivadas fracionrias so de ordens 0 1r< < e 0 1q< < , dadas na definio
da Eq. (3.36), afirma-se que as inequaes dadas nas Eqs. (3.35) e (3.37) so satisfeitas
quando:
0 (3.39)
e a inequao dada em (3.36) satisfeita quando:
0 . (3.40)
Com isso, a inequao dada em (3.38) conduz a:
q r . (3.41)
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51
A Tab. 3.2 mostra as restries aos parmetros do MMDF. Estas restries
termodinmicas levam o MMDF a atender aos requisitos de trabalho interno no-negativo e
de taxa de dissipao de energia no-negativa.As restries termodinmicas aos quatro parmetros do MMDF so:
0 ,
0
e
1 0q r > .
3.5.2 Anlise do comportamento viscoelstico do MMDF
A natureza de um material viscoelstico caracterizada por sua relaxao de tenso e
por sua resposta de fluncia, que so funes importantes para avaliao da confiabilidade domodelo, associada preciso com a qual este ltimo prev o que acontece na realidade.
Anlises da relaxao de tenso e da resposta de fluncia podem colaborar para determinar se
o modelo est ou no em conformidade para realizar a descrio de materiais fluido-
viscoelsticos, e informar sua elasticidade inicial e sua velocidade de fluncia, por exemplo.
Segundo Jia et al.(2007), a flexibilidade de fluncia e o mdulo de relaxao do MMDF so
obtidos usando-se a funo Mittag-Leffler, embora estas funes do material possam ser
determinadas de forma diferente.
3.5.2.1. Anlise de fluncia
Aqui realizada uma avaliao da deformao do material sujeito a uma tenso
constante ( ) ( )t h t = . A deformao ( ) ( )t J t = , para este caso, definida como sendo a
flexibilidade de fluncia.
Para facilitar o clculo da deformao de fluncia, assume-se que:
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52
( ) ( ) ( )0t h t t
= + . (3.42)
Substituindo a tenso constante e a equao de deformao de fluncia na Eq. (3.22),
chega-se a:
( ) ( )0qh t D t = (3.43)
pela qual pode-se achar ( )0 t . Aplicando a transformada de Laplace Eq. (3.43), tem-se que:
( )*01qs ss
= (3.44)
onde ( )*0 s a transformada de ( )0 t e ( )*
0
qs s a transformada da derivada fracionria de
ordem q de ( )0 t . Isolando ( )*
0 s , vem:
( )*0 11
qs
s
+= . (3.45)
Aplicando a transformada inversa de Laplace, obtm-se:
( ) ( )
( )0 1u t
tq
= +
(3.46)
sendo ( )u t a funo degrau unitrio:
( )0, 0,
1, 0.
tu t
t
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53
( ) ( ) ( ) ( )
( )1u t
t J t h t q
= = +
+. (3.48)
Quando 0t + , tem-se:
( )0 0J
+ = . (3.49)
Na Eq. (3.22), tem-se que 0 1q< < . Assim, pode-se afirmar que a funo de fluncia
uma funo monotonicamente crescente do tempo, tendo valor inicial
e taxa de aumento
menor do que a unidade.
3.5.2.2. Anlise da relaxao
Para fazer a anlise da relaxao, deve-se avaliar a variao da tenso com o passar do
tempo para uma deformao constante ( ) ( )t h t = . A funo ( ) ( )t G t = definida como o
mdulo de relaxao para esta situao. A tenso ( )t pode ser dividida em duas
componentes:
( ) ( ) ( )0t h t t
= + . (3.50)
Substituindo a Eq. (3.50) e ( ) ( )t h t = na Eq. (3.22), escreve-se:
( ) ( ) ( )0 0rt D t h t
+ = . (3.51)
Aplicando a transformada de Laplace Eq. (3.51), tem-se:
( ) ( )* *0 0rs s s
+ = (3.52)
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54
onde ( )*0 s a transformada de ( )0 t e ( )*
0
rs s a transformada da derivada fracionria de
ordem rde ( )0 t . Resolvendo para ( )*
0 s chega-se a:
( )( )rs
s
+=
1
10 . (3.53)
Aplicando a transformada inversa de Laplace Eq. (3.53) vem:
( ) ( )0 1r
r
tt E h t
=
. (3.54)
Substituindo a Eq. (3.54) na Eq. (3.50), obtm-se a funo de relaxao de tenso, dada
por:
( ) ( )
r
r
tt E h t
= . (3.55)
As Eqs. (3.54) e (3.55) apresentam a funo de Mittag-Leffle, e substituindo elas no
resultado da Eq. (3.50), produzindo a seguinte funo de relaxao de tenso:
( ) ( ) ( ) ( )( )1 ,t G t h t f u
= = , (3.56)
onde:
( ) ( ) ( )
( )( )
1
20
sen exp,
1 2 cos
r
r r
u r uf u du
u r u
=+ +
(3.57)
e
1rt = . (3.58)
5/24/2018 calculo fracionario
65/109
55
Quando t , , e assim:
( ) ( ) ( )
( )( )
1
2
0
sen explim , lim
1 2 cos
r
r r
u r uf u du
u r u
=
+ + (3.59)
Substituindo a Eq. (3.59) na Eq. (3.56), obtm-se a tenso num tempo infinito, dada por:
( ) ( )lim 0t
G h t
= =
(3.60)
e a taxa de relaxao :
( ) ( ) ( )
( )( )
1
2
0
sen exp0
1 2 cos
r r
r r
u r uG t du
u r u
=