Calculo ABC

Signos FilosficosUniversidad Autnoma Metropolitana - [email protected] ISSN (Versin impresa): 1665-1324MXICO

2004 Oscar Gonzlez Gilmas

EL CLCULO INFINITESIMAL LEIBNICIANO: UNA SNTESIS DE LAS PERSPECTIVAS DE BRUNSCHVICG E ISHIGURO

Signos Filosficos, enero-junio, ao/vol. VI, nmero 011 Universidad Autnoma Metropolitana - Iztapalapa

Distrito Federal, Mxico pp. 97-120

Red de Revistas Cientficas de Amrica Latina y el Caribe, Espaa y Portugal

Universidad Autnoma del Estado de Mxico

http://redalyc.uaemex.mx

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El clculo infinitesimal...

S

RECEPCIN: 25/01/03 ACEPTACIN: 23/07/03

EL CLCULO INFINITESIMAL LEIBNICIANO: UNA SNTESISDE LAS PERSPECTIVAS DE BRUNSCHVICG E ISHIGURO

OSCAR GONZLEZ GILMAS*

Resmen: Este artculo estudia el tratamiento que dio Leibniz a los infinitsimos, utilizndolos paralos clculos, por una parte, pero considerndolos como inexistentes por otra. A partir de los comenta-rios previos de Brunschvicg y de Ishiguro acerca de este paradjico estatuto de los infinitsimos enLeibniz, se propone una sntesis de ambas argumentaciones, basada en el carcter algortmico de losinfinitesimales y en la presuposicin del principio de continuidad, el cual permite la aplicacin delclculo infinitesimal a la fsica. El clculo infinitesimal leibniciano se muestra as como uno de losmejores ejemplos de su Caracterstica Universal, en especial por su utilidad para el Arte de Inventar.

Abstract: This article studies Leibnizs treatment of infinitesimals: their application to the calculusand his opinion that they did not exist. In partial agreement with Brunschvicgs and Ishiguroscommentaries on the paradoxical status of Leibnizs infinitesimals, this study proposes a synthesisof both interpretations, which is based on the algorithmic nature of infinitesimals and on theassumption of continuity, and which renders possible the application of the Infinitesimal Calculus tophysics. Leibnizian Infinitesimal Calculus is one of the best examples of his Universal Characteristic,particularly because of its usefulness in the Art of Invention.

PALABRAS CLAVE: DIFERENCIAL, INCOMPARABILIDAD, INDIVISIBLE, INFINITESIMAL, INFINITO

LEIBNIZ Y LOS INFINITSIMOS, SEGN BRUNSCHVICG

egn Yvon Belaval, el Nova Methodus pro Maximis et Minimis que publicLeibniz en 1684 fue el resultado de la iluminacin sbita que l haba tenido al leer

* Profesor del Departamento de Lgica y Filosofa de la Ciencia, Universidad del Pas Vasco,[email protected]

Signos Filosficos, vol. VI, nm. 11, enero-junio, 2004, pp. 97-120

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OSCAR GONZLEZ GILMAS

algunos manuscritos geomtricos de Blaise Pascal en 1675 y ver el tringulocaracterstico en una figura.1 Sin embargo, hay otras influencias que confluyeronen el concepto leibniciano de diferencial. Por un lado, el desarrollo de la geome-tra de los indivisibles,2 y por otro, el mtodo de las tangentes. Veamos someramenteestas dos lneas siguiendo la gua que nos ofrece Brunschvicg.

En el origen de la investigacin infinitesimal, la geometra de Bonaventura F.Cavalieri haba establecido, gracias a la abstraccin matemtica, la verdad ylegitimidad del clculo de los indivisibles. Ello trajo consigo una importante crisisen el pensamiento del siglo XVII. Uno de los principales tericos de esa crisis fueBlaise Pascal. A la vista del rechazo general de los infinitsimos por la metodolo-ga basada en el ideal escolstico de la deduccin, y constatando la manifiestaimpotencia del hombre para realizar el ideal metodolgico de usar slo nocionesperfectamente definidas de antemano, Pascal se decidi a introducir el conceptode infinito por doquier. Contrariamente a las teoras que ligaban la abstraccinmatemtica a la realidad fsica, Pascal abri una nueva va, basada en la conside-racin de un infinito tan pequeo como se quiera, independientemente de quecareciera de extensin fsica, y fuera por ello indivisible. Sin embargo, el clculopascaliano de los indivisibles no cumpla algunas reglas ordinarias de la aritmti-ca, como bien ha sealado Brunschvicg:3 por ejemplo, la proposicin que afirmaque un indivisible, multiplicado tantas veces como se quiera por una cantidad,est tan alejado de sobrepasar una extensin dada que no puede formar sino unosolo y nico indivisible. A partir de esta propiedad, Pascal asimil el indivisible alcero de la aritmtica, que como tal es un verdadero cero de la extensin.4 Ello

1 Belaval, 1986: 40.2 En 1993, Eberhard Konobloch public la edicin crtica de un texto que Leibniz dej en Pars en1676 y que se crea perdido. Ese texto que Brunschvicg no conoci, se titula Quadratura arithmeticacirculi ellipseos et hyperbolae cujus corollarium est trigonometria sine tabulis (Vandenhoeck-Ruprecht, Gttingen, 1993) y en l Leibniz ofrece una perspectiva novedosa sobre esta cuestin.Entre otras cosas corrige y pretende demostrar con rigor el mtodo de los indivisibles, haciendover la equivalencia existente entre un mtodo indirecto de clculo de cuadraturas y otro directo queutiliza los infinitamente pequeos. Esa idea de equivalencia constituye para Leibniz una slidajustificacin del clculo diferencial que trata de elaborar por entonces. Cfr., Parmentier, 2001: 53-54.3 Cfr., Brunschvicg, 1972: 168-169.4 Cfr., Brunschvicg, 1972: 169.

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estaba en clara oposicin a algunas leyes de representacin espacial, como laque expresaba un plano por un nmero indefinido de lneas.

Por razones de orden extramatemtico, el pensamiento de Pascal se movaentre la consideracin de la divisin infinita como algo incomprensible y sin repre-sentacin directa, y por otra parte, como un principio geomtrico ineludible. Lanocin matemtica de indivisible no es sino un reflejo de esa contradiccin. Elindivisible, como tal, no pertenece al terreno de las ideas matemticas. Surge enel mbito del razonamiento experimental y del sentimiento: sentimos que hay tresdimensiones en el espacio y que los nmeros son infinitos; la razn demuestradespus que no hay dos nmeros cuadrados de los cuales uno sea el doble delotro. Para Pascal, desde dicho lugar se conocen los autnticos primeros princi-pios, que conforman despus la materia del razonamiento abstracto.

Un ejemplo que da cuenta del pensamiento de Pascal5 es el siguiente: mien-tras el mtodo de exhaucin de los griegos se expresa y se representa en lasfiguras mismas, tal como aparecen a la mirada del gemetra, el mtodo de losindivisibles, cuando trata de resolver los problemas de integracin de una figuradada, recurre a la suma de infinidad de elementos que tienen una dimensinmenos. Esta infinitud de elementos constituye un supuesto del razonamiento, quebasta para configurar la prctica geomtrica del nuevo mtodo de lo indivisible.Este recurso no es escandaloso, segn Pascal, para los que tienen el sentido (einteligencia) de la geometra.

La prctica geomtrica requiere tener el sentido de la infinitud. Por ello, slouna experiencia especfica, como el sentimiento religioso del cristiano con la ac-cin de la gracia, o como una experiencia comparable a la obra experimental delfsico, permite restablecer los verdaderos principios de la ciencia en una esferasuperior al dominio de la razn. De ah que la filosofa pascaliana de la matem-tica est impregnada simultneamente de misticismo y de positivismo, comosubray Brunschvicg.6

Partiendo de estas concepciones filosficas, Pascal retom las directricesde la geometra de los indivisibles de Cavalieri, y por consiguiente, la considera-cin del infinito en geometra, as como su mtodo de clculo.

Cavalieri haba inventado una nueva tcnica para resolver un problema te-rico general: la gnesis de las figuras geomtricas. Considerando la generacin

5 Cfr., Brunschvicg, 1972: 170.6 Cfr., Brunschvicg, 1972: 169.

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del cono y del cilindro a partir del tringulo y del paralelogramo, y teniendo encuenta que la superficie del paralelogramo es el doble de la del tringulo, supues-tas la misma base y altura, Cavalieri observ la anomala o desproporcin de queel volumen del cono fuera un tercio del cilindro. Para corregir esta anomala ybuscar la proporcin entre los dos slidos y los elementos que los generan, propu-so que stos fueran considerados, no como el resultado de un corte que siguierael eje del cono o del cilindro, sino de otro tipo de corte, por planos equidistantes yparalelos a la base. Ello implicaba el recurso a lo infinitamente pequeo, o a loindivisible, conforme al espritu arquimediano.

La nueva tcnica de clculo consista en cuadrar o cubicar, partiendo deesos elementos caractersticos que se obtienen en las secciones paralelas a labase. Esta tcnica tiene que ver de manera indirecta con la integracin, sin llegara serlo todava, por que establece una relacin entre magnitudes desconocidas ymagnitudes conocidas aunque no determina una magnitud total respecto a laspartes geomtricas elementales que componen la figura. Como la suma de loselementos infinitamente pequeos de la figura no poda ser expresada de formamatemtica, por carecer del instrumental analtico preciso, dicha tcnica, pese asituarse, al principio, en el mbito de lo continuo, en la prctica era reemplazadapor la tcnica de mostrar geomtricamente la relacin entre dos sumas infinitasde elementos finitos en nmero ilimitado, la cual s poda ser expresada matem-ticamente mediante figuras.7

La dificultad matemtica surga para Cavalieri desde el inicio del procedi-miento analtico, porque ni las figuras ni los cuerpos, as concebidos, eran unayuxtaposicin de planos, ni los planos de lneas, ni las lneas de puntos. En estesentido, los elementos de las figuras o de los cuerpos eran indivisibles. Comolos principios de la geometra de Euclides eran los puntos, las rectas, las lneasy los planos, la nueva geometra de los indivisibles se encontraba con una im-portante dificultad conceptual.

Veamos el problema general con un ejemplo. La razn entre el cono y elcrculo poda hallarse si se poda encontrar la razn entre la suma (agregado)de todos los crculos decrecientes en el cono (infinitos en nmero) y la suma detodos los crculos iguales del cilindro (cuyo nmero es tambin infinito). En elcaso del cono, estos crculos son decrecientes desde la base hasta el vrtice yforman una progresin aritmtica, la de los cuadrados de los trminos. En el caso

7 Cfr., Brunschvicg, 1972: 164.

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de otros cuerpos se obtendran progresiones diferentes. El mtodo general con-sista en establecer la relacin entre esta suma de trminos crecientes o decre-cientes y la suma de los trminos iguales que forman la figura uniforme yconocida de la misma base y altura.8

Este mtodo, a pesar de recurrir en principio al infinito, en ltima instancia loeliminaba. Sin embargo, se mantena en el mbito de la intuicin geomtrica y dela representacin de lo continuo. En definitiva, la figura era presentada como unafigura completa, compuesta por esos elementos indivisibles.

El nudo del problema terico generado por la geometra de los indivisiblesconsista en el paso de entidades unidimensionales a entidades bidimensionales, alsustituir un elemento lineal por un elemento superficial: para mayor complicacin,ste ltimo poda tener forma cuadrada, circular, etctera, segn se tratara deconos, pirmides, etctera; pero el paso determinante era la sustitucin de unalnea por una superficie. Por consiguiente, al considerar un rea como una sumade rectas se estaba razonando entorno a figuras finitas del espacio sobre la basede considerarlas formadas por elementos infinitamente pequeos.

Pascal advirti que este recurso a lo infinitamente pequeo estaba en la basedel mtodo de Cavalieri. Al estudiar a fondo la cicloide (roulette) y sus proble-mas derivados (naturaleza de la curva, cuadratura total de su rea, volumen,centro de gravedad, etctera), Pascal fue el primero que, segn Brunschvicg,introdujo los principios bsicos del anlisis infinitesimal, a pesar de que en susclculos no manejaba de forma explcita la nocin de infinito. Para ello, determi-n, de manera rigurosa, los lmites de las sumas de un nmero infinitamente gran-de de cantidades infinitamente pequeas, resolviendo a la vez los problemas delos diferentes tipos de integracin a base de calcular volmenes geomtricos. Lanocin pascaliana equivalente a la de integral vena dada por la suma de lneas,planos y senos, y el mtodo de integracin tena su equivalente en las sumaspiramidales.9 Su mtodo, directo y geomtrico, le dispensaba de la necesidad debuscar un algoritmo, tarea sta que ocup especficamente a Leibniz.

En efecto, con ocasin de la lectura de uno de los tratados geomtricos dePascal, Leibniz tuvo una primera intuicin de su concepto de diferencial, de ma-nera concreta, en la figura del tringulo caracterstico, supuesto infinitamente

8 Koyr, 1977: 153.9 Pascal, 1954: 275.

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pequeo, que encabeza la figura del lema del Trait des sinus du quart decercle. El lema dice as:

Lemme

Soit ABC un quart de cercle, dont le rayon AB soit considre comme axe, et lerayon perpendiculaire AC comme base; soit D un point quelconque danslarc, duquel soit men le sinus DI sur le rayon AC; la touchante DE, danslaquelle soient pris les points E o lon voudra, do soient menes lesperpendiculaires ER sur le rayon AC; je dis que le rectangle compris du sinusDI et de la touchante EE, est egale au rectangle compris de la portion de labase (enferme entre les paralleles) et le rayon AB.

(Demostration) Car le rayon AD est au sinus DI

10 Siendo ABC un cuarto del crculo cuyo radio se considera el eje, y el radio perpendicular AC labase; siendo D un punto cualquiera del arco, desde el cual se traza el seno DI sobre el radio AC;siendo tambin la tangente DE, en la que se toman, as mismo, donde se quiera los puntos E, a partirde los cuales se trazan las perpendiculares ER sobre el radio AC; digo que el rectngulo comprendidoentre el seno DI y la tangente EE es igual al rectngulo comprendido por la porcin de la base(comprendida entre las paralelas) y el radio AB. (Demostracin) Porque el radio AD es al seno DIcomo EE es a RR o EK, lo cual es claro porque los tringulos rectngulos DIA, EKE sonsemejantes y porque el ngulo EEK o EDI es igual al ngulo DAI (la traduccin es ma).

comme EE RR ou EK: ce qui parat clairement cause des triangles rectangles et semblables DIA,EKE, langle EEK ou EDI etant gal langle DAI.10 (Pascal, 1954: 173-179)

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Pascal retom la geometra de los indivisibles precisamente respecto deltringulo EKE, con el fin de demostrar el lema anterior: la suma de las perpendi-culares trazadas desde la base es igual a la porcin de la base comprendida entrelos senos extremos multiplicados por el radio. La misma figura dio ocasin aLeibniz para avanzar hacia la conceptualizacin de la nocin de diferencial.

En efecto, al considerar ese tringulo como infinitamente pequeo, los pun-tos E y E podan ser infinitamente prximos, y por consiguiente, los lados deltringulo EKE podan ser tan pequeos como se quisiera, sin por ello dejar de sersemejante EKE al tringulo DIA, formado por el radio en el punto de la tangentey la perpendicular construida desde la base a ese punto. Esta iluminacin sbitade Leibniz, que l relata en un escrito ulterior titulado Historia et Origo Calculidifferentialis (1714), le permiti tratar ese tringulo caracterstico como un ele-mento constitutivo de la curva. Esta estaba formada por una parte infinitamentepequea de la tangente y las porciones infinitamente pequeas de las paralelas ala abcisa y a la ordenada. As, Leibniz superaba las limitaciones de la geometrade los indivisibles, la cual, ante la imposibilidad de evaluar la suma finita de elemen-tos infinitamente pequeos, prefera establecer la conexin infinita de cantidadesfinitas (percibidas por la intuicin) que fueran indivisibles, lineales o superficiales,pero cuya suma (infinita) deba representar una figura (finita). Esto implicaba,forzosamente, una heterogeneidad entre los elementos de las sumas y las sumasmismas, como concluye Brunschvicg en su texto:

La considration du triangle caracteristique est le premier pas fait parLeibniz en dehors de la mthode vulgaire des indivisibles. Au point de vuethorique cette consideration permet de rtablir lhomogeneit, rompue enapparence par les sous-entendus de Cavalieri, entre les lments des sommeset les sommes elle-mmes.11 (Brunschvicg, 1972: 173)

En efecto, como dice nuestro autor, es mediante el tringulo caractersticocomo reaparece el problema de la homogeneidad, al entenderse que las super-ficies estn compuestas de pequeas superficies y las lneas de pequeas lneas.

11 La consideracin que Leibniz hizo del tringulo caracterstico supuso su primer paso ms alldel mtodo vulgar de los indivisibles. Desde el punto de vista terico, esa consideracin permiterestablecer la homogeneidad, rota en apariencia por los supuestos de Cavalieri, entre los elementosde las sumas y las sumas mismas (la traduccin es ma).

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Ello implica que, con respecto al mbito de lo infinitamente pequeo, las relacio-nes se conservan al pasar de lo finito a lo infinitesimal, precisamente porque setrata con magnitudes homogneas. El tipo de similitud que se concibe no dependeya, por tanto, de que las magnitudes estn dadas, y de esa manera lo exacto entracon pleno derecho en el mbito de lo infinitesimal.

Algunos de los resultados obtenidos por esta tcnica inventada por Leibnizya eran conocidos por Christian Huygens, y haban sido expuestos cinco aosantes mediante el mtodo de las tangentes de Isaac Barrow (1670). Pero Leibnizfue ms all, al dejar abierta la posibilidad de que las diferenciales generaran lasuma total (o integral), a la vez que poda darse el paso inverso. Esta posibilidadya haba sido anunciada en el problema conocido como de Beaune, o problemade la inversa de las tangentes, que guarda analoga con los problemas clsicos decubicacin y cuadraturas.

Pero a Leibniz no le bastaba con poder obtener resultados, fueran nuevos oya conocidos, mediante su nuevo mtodo. Estas nuevas tcnicas matemticashaban de ser justificadas. En realidad, deban obtener un estatuto lgico con-creto dentro del proyecto general leibniciano de la Caracterstica Universal. Altratar de afrontar esta exigencia Leibniz fue mucho ms all en el desarrollo desus concepciones, inventando un autntico procedimiento de clculo, basado enun algoritmo combinatorio. En esto radica la autntica aportacin de Leibniz,como veremos a continuacin.

La geometra infinitesimal leibniciana pudo consolidarse gracias a su gran ge-neralidad y simplicidad, y no slo por su capacidad para resolver problemas con-cretos, fuera de matemticas o de fsica. Para ello, Leibniz no slo tuvo queafrontar problemas matemticos, sino tambin importantes cuestiones filosficas.

CONTEXTO CONCEPTUAL E HISTRICO DEL NOVA METHODUS

El nuevo mtodo de clculo se caracteriza sobre todo por su capacidad para darcuenta analticamente de todos los elementos del problema de forma simple ygeneral. Permite el paso inteligible de una ecuacin ordinaria a una ecuacindiferencial, haciendo corresponder a la relacin de cantidades finitas Dx/Dy larelacin dx/dy de cantidades infinitesimales.12 La explicitacin de esta problem-tica por medio de la correspondencia entre la relacin Dx/Dy de cantidades fini-

12 Cfr., Brunschvicg, 1972: 174-175.

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tas y la relacin dx/dy de cantidades infinitesimales se establece por un clculode diferencias y sumas, que unida a las cuatro operaciones de la aritmtica, ascomo a la interpretacin de signos y la diferencia de potencias y de races, cons-tituye el algoritmo diferencial leibniciano del Nova Methodus.

Esta explicitacin es el resultado de una nueva concepcin filosfica, que noconsidera a las magnitudes infinitesimales como ceros, ni tampoco como si fue-ran en rigor infinitamente pequeas. Leibniz, como recuerda Brunschvicg, escri-be a Tournemire en 1714 acerca de la naturaleza de los infinitesimales, dicindoleque este tipo de cantidades son incomparables, o indefinidamente pequeas, yque di-fieren de forma continua entre s:

Au lieu de prendre les grandeurs infinitsimales pour 0, comme Fermat, Des-cartes, et mme Newton [...], il faut supposer que les grandeurs sont quelquechose, quelles diffrent entre elles, et quelles soient marques de diffrentesmanires dans lanalyse nouvelle [...] Je les prends donc, non pas commeriens, ni mme pour des infiniment petits la rigueur, mais pour des quantitsincomparablement ou indfiniment petites, et plus que dune grandeurdonne, ou assignable, infrieures dautres dont elles font les diffrences,ce qui rend lerreur moindre quaucune erreur assignable ou donne et parconsquent elle est nulle.13

El concepto que subyace y en el que se apoya el algoritmo es el de magnitudvariable, pero slo en tanto que la variacin misma es expresin de las diferen-cias, o mejor, de las diferencias de las diferencias de varios grados, que comotales son recprocas a sus sumas. Esta reciprocidad es similar a la que hay entrelas races y las potencias. La novedad reside en que el anlisis leibniciano delinfinito no depende ya de las figuras cuya suma se buscaba, sea mediante las

13 Carta de Leibniz a Tournemire en 1714, en G.W. Leibnitii Opera Omnia , ed. L. Dutens, vol. III,p. 442. En lugar de estimar las magnitudes infinitesimales como 0, tal como hacen Fermat, Descar-tes, e incluso Newton [...], es necesario suponer que esas magnitudes son algo, que difieren entres y que en el nuevo anlisis pueden sealarse de diferentes maneras [...] Yo no las considero, porconsiguiente, como nada, ni siquiera como infinitamente pequeas en un sentido riguroso, sino comocantidades incomparablemente o indefinidamente pequeas, y ms que una magnitud dada, oasignable, inferiores a otras de las que son las diferencias, lo cual hace que el error sea menor queningn error asignable o dado, y en consecuencia sea nulo (la traduccin es ma).

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ordenadas (indivisibles de Cavalieri), sea mediante la induccin de series de n-meros (Juan Wallis).

Este descubrimiento leibniciano de un anlisis matemtico general, que sesintetiza en el algoritmo diferencial del Nova Methodus, se logr en primer lugara base de superar diversas dificultades tcnicas, en parte gracias a la escuelainglesa de Barrow, cuyos resultados fueron mejorados. Por otro lado, al operarcon series infinitas Leibniz retom las ideas bsicas de Pascal (1665) acerca delas relaciones entre los clculos aritmticos y el clculo de los indivisibles.

Con su artculo Nova Methodus (1684), gestado desde su poca de Pars(1675), y gracias a sus investigaciones acerca del tringulo caracterstico, Leibnizpropuso un nuevo algoritmo matemtico para tratar de manera conjunta proble-mas muy diversos. No obstante, es importante tener presente que dicho textoforma un cuerpo nico con los principios metafsicos del leibnicianismo, y que escon esa mirada como debemos acercarnos a sus textos matemticos, cuestinque tratar de perfilar en el ltimo apartado.

Pero antes de pasar a ello y de estudiar los comentarios de Ishiguro, esimportante tener presente que el artculo donde Leibniz desarroll los principiosfundamentales del clculo diferencial, hoy en da tan famoso, en su poca fueacogido con una indiferencia generalizada y no fue comprendido por sus contem-porneos. En ello influyeron varios factores: por un lado, la presentacin pocointuitiva y puramente combinatoria elegida por Leibniz; y por otra parte, la propiadificultad del nuevo concepto de diferencial, as como, al parecer, una serie deaccidentes tipogrficos, y otros. Todo ello dio lugar a un texto de difcil intelec-cin. En la medida en que este texto no deba superar la extensin de un artculo,Leibniz no poda sino ocultar las races de su nuevo mtodo. Sea como fuere,slo lectores como los hermanos Bernouilli (a partir de 1687), y posteriormen-te Guillaume F. A. M. de LHpital y Pierre Varignon llegaron a comprender esteartculo y las memorias posteriores de Leibniz. Hasta el mismo Huygens no llega entender, de forma plena, el proyecto leibniciano.

Las investigaciones de Yvon Belaval sobre el papel del clculo infinitesimalen el sistema leibniciano le hacen pensar, siguiendo a Dietrich Mahnke y aBrunschvicg, que las races del algoritmo diferencial se remontan a los primerostrabajos de Leibniz y, en concreto, a la Dissertatio de Arte Combinatoria (1666),en la que ya se apuntaba su proyecto de una Caracterstica Universal. En esamemoria juvenil Leibniz afirmaba que las matemticas y su estudio eran un me-dio para progresar en el arte de razonar, el cual depende de la lgica, es decir, de

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un arte superior. As y desde esa perspectiva, la caracterstica combinatoria seconvierte en el motor del logicismo leibniciano de las matemticas, y su resulta-do inmediato es la creacin de una matemtica puramente simblica. En esesentido, lo novedoso del clculo infinitesimal estriba en que est sometido a unalgoritmo estrictamente formal y que como tal ese algoritmo constituye slo unaexpresin concreta, y una etapa del proyecto universal de la Caracterstica Uni-versal. Estas ideas acerca de la verdadera lgica y las matemticas tienen unfundamento estable al afirmarse que la esencia del pensamiento es el clculo yque pensar es calcular. Pero como se deca ms arriba, esa idea de la finalidad delas matemticas, y por tanto del clculo, se enmarca en lo que Leibniz llama lavraie logique. Cuestin esta que Belaval deja clara recurriendo a un texto deLeibniz acerca de esa poca del Arte Combinatoria (carta a Gabriel Wagner,finales de 1696), y luego a otros importantes textos de historiadores delleibnicianismo como Brunschvicg, Mahnke, Couturat. Escribe Belaval:

Au vrai, la mathmatique pure (mathesis pura) nest pas la logique (Vernunft-lehre) en soi, mais une de ses premires nes, elle en reprsente en quelquesorte lemploi avec la grandeur, cest--dire le nombre, la figure, le poids [...]La superiorit de mon calcule infinitsimal vient de la logique. Sans jamaisrenier cette logique, escribe Belaval comentando ese texto, Leibniz aspire laperfectionner. Llaboration du De Arte Combinatoria loriente vers laCaractristique. Et Lon Brunschvicg explique fort bien:

La base historique du leibnizianisme doit tre chereche l o lacaractristique a inmdiatement russi manifester sa vitalit et sa fecondit,cest--dire dans ltablissement de l algorithme diffrentiel.

Dietrich Mahnke est encore plus prcis [continua Belaval] Et ici, maintenant,cette pense de Caractristique combinatoire devenait la source des idesleibniziennes vers la logification complte de la mathmatique dune part,et, dautre part, vers la cration dune mathmatique symbolique ct de lamathmatique formelle ne de la logification.

[Para finalizar con una cita de Couturat:] Cest l ce qui constitue le mriteessentiel de linvention de Leibniz, et son principal avantage sur la mthodedes fluxions de Newton. On peut donc dire que le Calcul infinitsimal nest

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quun chantillon, le plus illustre et le plus russi, de la Caractristiqueuniverselle.14 (Belaval, 1986: 42)

Pero volviendo al tema de la incomprensin e indiferencia con la que fuerecibido el Nova Methodus, hay que recordar que el tratamiento del infinito en lageometra, como en general la escena matemtica del siglo XVII, estaban marca-dos por nombres como Cavalieri, Pierre Fermat y Florimond de Beaune, entreotros. Ello determin que pocos matemticos de aquella poca entendieran elsignificado y el alcance del nuevo clculo, el cual investigaba lo infinito a partir delas diferencias de diversos rdenes de infinitos y consideraba lo infinitamentepequeo como variacin.

Sin embargo, es importante subrayar que la originalidad del algoritmoleibniciano para el clculo infinitesimal depende de esta metafsica de la diferen-cia. En efecto, la nueva nocin leibniciana de lo infinitamente pequeo permitique en un problema cualquiera pudiera descenderse de manera progresiva a lasdiferenciales de grado infinito (dxdy, ddx ddy, etctera), cuestin ampliamenteincomprendida por los lectores del Nova Methodus.

En efecto, en aquel contexto histrico muchos pensaban, siguiendo a Pascal,que slo se poda acceder a lo infinitamente pequeo a partir de la inmensidad delcreador. Se buscaba en todo caso un testimonio concreto que confirmara esta

14 En realidad, la matemtica pura (mathesis pura) no es la lgica (Vernunft-lehere) en s misma,sino uno de sus primeros resultados, la representa de alguna manera mediante el uso de la magnitud,es decir, el nmero, la figura, el peso [...]. La superioridad de mi clculo infinitesimal proviene de lalgica. Sin renegar nunca de esa lgica, escribe Belaval comentando ese texto, Leibniz aspira por elcontrario a perfeccionarla. La elaboracin de Arte Combinatoria le orienta hacia la Caracterstica. YLen Brunsvicg lo explica muy bien: La base histrica del leibnizianismo debe buscarse all donde lacaracterstica mejor ha manifestado de forma inmediata su vitalidad y fecundidad, es decir, en elestablecimiento del algoritmo diferencial. Dietrich Mahnke es ms preciso, [continua Belaval]: Yaqu y ahora, ese pensamiento sobre la Caracterstica combinatoria se convierte en el origen de lasideas leibnizianas sobre, por una parte, el completo logicismo de las matemticas, y por otra, sobrela creacin de una matemtica simblica al lado de la matemtica nacida del logicismo. [Parafinalizar con una cita de Couturat]: En eso consiste el mrito esencial de la invencin de Leibniz ysu principal ventaja sobre el mtodo de fluxiones de Newton. Por lo tanto, puede decirse que elclculo infinitesimal es un eslabn, el mejor logrado e ilustre de la Caracterstica Universal (latraduccin es ma).

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vinculacin entre Dios y lo infinitamente pequeo. As, por ejemplo, se debataacerca de la posibilidad de la existencia de los tomos. Este modo de pensar enel mbito fsico no aportaba una representacin adecuada para adentrarse en losvericuetos del infinito y de lo infinitesimal. Frente a esa actitud, Leibniz, quienen el curso de su carrera haba superado rpidamente diferentes etapas(atomismo, filosofa corpuscular), acabara concluyendo que los verdaderostomos de la naturaleza son las substancias simples o mnadas, que desde laperspectiva de lo uno y lo mltiple dan cuenta de los laberintos del infinito. Esasetapas a las que aludo, no son sino fases de su formacin que el propio Leibniznombra en su Monadologie, y que deben interpretarse como una progresivamaduracin expresiva de su idea bsica de la existencia real de un infinitoactualmente infinito y no la abstraccin de un infinito en potencia que se con-funde con la inmensidad del ser.

Pues bien, la invencin leibniciana del clculo diferencial constituye un hitoimportante en este marco histrico y dentro de su propia trayectoria intelectual,tanto porque zanj varios problemas matemticos importantes como porque per-miti evitar algunas controversias metafsicas en torno a los fundamentos delclculo, haciendo que autores como George Berkeley tomaran una postura prag-mtica respecto a ese tema. En efecto, la posicin de Berkeley es un ejemplorelevante en lo referente a esa reflexin, que marcar el siglo XVIII hasta eladvenimiento de Rflexions sur la mtaphysique du calcul infinitsimal deLazare N. M. Carnot en 1797.

Sin duda, Berkeley15 reconoce el valor prctico del clculo infinitesimal locual no le impide, sin embargo, interrogarse acerca de su naturaleza y en conse-cuencia acerca de las cantidades infinitamente pequeas. En este sentido, esinteresante ver cmo los presupuestos filosficos orientan esa reflexin sobreel infinito, y como botn de muestra valga el opsculo titulado Of Infinities (Co-municacin de 1707 a la Dublin Philosophical Society, Molyneux Papers) en elque expone sus ideas sobre el infinito, aunque con una mayor influencia de John

15 El principal material de su reflexin sobre el infinito aparece en su famoso opsculo de ttulorevelador The Analyst, or, A discourse addressed to an infide (1734), aunque encuentre ya prefigu-rado en su perspectiva epistemolgica en su Treatise concerning the Principles of Human Knowledge(1710, segunda edicin de1734 y en la que se supone que ese opsculo iba a constituir la cuartaparte). El texto Of infinites al que me refiero a continuacin est en la edicin de Luce y Jessop, vol.IV, pp. 235-238. Tambin en Berkeley, 1982, que es la que cito.

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Locke que la manifestada en su Treatise concerning the Principles of HumanKnowledge.

Berkeley parte en ese texto de la conviccin de que el correcto uso de untrmino est en asegurarse de que le corresponda una idea y de acuerdo conesto, citando a John Locke, piensa que la representacin del infinito se formamediante la operacin de repeticin de continuas adiciones. Ese esquema seimpone, como es natural, en el mbito de lo perceptivo visual y de la geometrasobre la aritmtica, sin pretender con ello separar la segunda de la primera comotrat de hacer Wallis (Arithmetica Infinitorum). Sin embargo, el infinito actual,que para Locke es irrepresentable pero clave en la filosofa de Leibniz y delalgoritmo que invent, conlleva para Berkeley el estigma de la contradiccin alser una idea que no puede ser comprendida de golpe, puesto que existira perosin ser percibida (espacialmente).

Difcil tarea en efecto esa, incluso para abordar el clculo newtoniano defluxiones que examina en el pargrafo octavo de su The Analyst. Porque tantolas fluxiones como los infinitesimales del clculo diferencial, cualesquiera quesea su orden, se justifican por el manejo de nuevos smbolos matemticos cuyocontenido tienen, para un empirista como l, una dudosa correspondencia conimgenes sensibles. En Of Infinities esa idea aparece tambin de manera clara,pero articulndose en la distincin entre la idea de la infinidad del espacio y lairrepresentabilidad de un espacio infinitamente pequeo, o infinitamente grande,es decir, de partes infinitesimae de cantidades finitas. Berkeley no admite la exis-tencia de partes infinitisimae, y menos todava de infinitesimae infinitesimarum,entre otras, lo cual hace pensar a Alexandre Koyr en su obra Cavalieri et lagomtrie des continus que, sin embargo, s admite los indivisibles, aunque sinaceptar que haya una infinidad de ellos en una longitud finita, tal como indica elmtodo de Cavalieri.

Sea como fuere, lo cierto es que Berkeley seala las contradicciones quesupone aceptar y trabajar con cantidades infinitesimales e invisibles de las que notenemos ideas y acerca de las que, por tanto, en un sentido estricto no caberazonar. El error slo surge cuando esos infinitesimales que son nada (nought),que no hacen ni bien ni mal, son tomados por algo y surge la contradiccin (Nowa man speaking of lines infinitely small will hardly be supposd to mean

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nothing by them, and if he understands real finite quantitys he runs intoinextricable difficultys).16

La referencia a la controversia entre Leibniz y Bernard Nieuwentijt a prop-sito de la naturaleza de los infinitesimales, y a la cual me referir un poco msadelante, le permite a Berkeley matizar su pensamiento. En concreto, cita larespuesta de Leibniz a su interlocutor publicada en los Acta eruditorum en 1695,el cual slo acepta como cantidades reales los infinitesimales de primer orden yrechaza las differentiae differentiarum que las considera como ceros; Leibnizest de acuerdo con Nieuwentijt en el criterio de que dos cantidades son igualescuando no hay ninguna diferencia entre ellas, pero adems Leibniz aade quetambin son iguales aquellas cantidades cuya diferencia es tan pequea que esincomparable. Berkeley rechaza, como lo har tambin en la polmica que segui-r a The analyst, las ideas de Leibniz acerca de la incomparabilidad y tambinentorno a la inasignabilidad.

En Of infinites, texto que es considerado como un eco de los debatesacerca de los infinitesimales en la Academia de las Ciencias a partir de 1700,puede observarse que la clave concreta de la cuestin radica en el rechazo deBerkeley a utilizar la geometra y las figuras geomtricas como smbolos delcontinuo aritmtico:

But if lines are infinitely divisible, I ask how there can be any such thing as apoint? Or granting there are points, how can it be thought the same thing toadd an indivisible point as to add, for instance, the differentia of an ordinalein a parabola, which is so far from being a point that it is itself divisible intoan infinite number of real quantitys whereof each can be subdivided ininfinitum, and so on according to Mrs. Leibnitz.17 (Berkeley, 1982: 49-51)

16 Berkeley, 1982: 48. Es dificil pensar que alguien que hable de lneas infinitamente pequeas noquiera decir nada con ello, pero si se refiere a cantidades finitas reales est cayendo en dificultadesinextricables (la traduccin es ma).17 Pero si las lneas son divisibles al infinito, yo me pregunto cmo puede existir un punto? O, si

se admite la existencia de puntos, me pregunto cmo se puede pensar que sea la misma cosa aadirun punto indivisible y aadir por ejemplo la differentia de una ordenada en una parbola, diferenciaque es por poco un punto ya que como tal es divisible en un nmero infinito de cantidades reales,cada una de las cuales puede ser a su vez subdividida in infinitum y as a seguidamente, al menos sicreemos al Sr. Leibniz (la traduccin es ma).

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Berkeley sealar, apoyndose en la filosofa de Locke y tambin en ciertaambigedad del lenguaje de Leibniz,18 las contradicciones que supone la introduc-cin de los infinitesimales (magnitudes actuales que no son ni finitas ni nulas)cuya naturaleza se desconoce y del infinito (no tenemos idea que lo represente)en los nuevos procedimientos matemticos. Sin embargo, su posicin es un ele-mento muy til para comprender el alcance de la problemtica filosfica del nuevoclculo que, en ausencia de una nocin clara de infinitesimal, su aceptacin engeneral ser meramente prctica ante el estupor de que de premisas falsas sededucen frmulas verdaderas.

EL ALGORITMO LEIBNICIANO Y LA INCOMPARABILIDAD DE LOS INFINITSIMOS,SEGN ISHIGURO

La nocin clave del clculo infinitesimal leibniciano es, segn Ishiguro, la de lo in-comparable. Sera el uso contextual de esa nocin, por ejemplo, para explicar elinfinito, o de la de infinitesimal tambin, lo que permite dar de ellas una definicin(contextual), es decir, en la que no designa una entidad fija y determinada, sinoque por el contrario la nocin se define mediante las proposiciones donde figure.Esa idea de fijar el sentido de las definiciones por el uso contextual de las nocio-nes, rememora una prctica leibniciana consistente en experimentar siempre connuevas definiciones, de tal modo que stas se muestran y se perfilan como algodinmico al menos hasta que no se llegue al conocimiento perfecto de la natura-leza de la cosa (principio de identidad).

En todo caso y respecto a nuestro tema es cierto que, el propio Leibniz,refirindose a su descubrimiento de las cantidades infinitesimales, lleg a hablarexpresamente de un Algoritme des incomparables. En una carta dirigida aVarignon en febrero de 1702, respondiendo a una aclaracin que ste haba soli-citado sobre su expresin infiniment petit, Leibniz escribe:

[...] mon dessin a est de marquer quon na point besoin de faire dpendrelanalyse mathmatique des controverses mtaphysiques, ni dasseurer quily a dans la nature des lignes infiniement petites la rigueur, ou (en)comparaison des notres [...]; dautre part il ma paru que linfini pris la

18 Esta cuestin relativa a la ambigedad expresiva de Leibniz en la utilizacin de la geometra enrelacin con el continuo aritmtico es tratada por Belaval, 1960.

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rigueur doit avoir sa source dans lintermin, sans quoi je ne vois pas desmoyens de trouver un fondement le discerner du fini. Cest pourquoi a fin deeviter ces subtilits, jai cru que pour rendre le raisonnement sensible toutle monde, il suffisait dexpliquer ici, linfini par lincomparable, cest direde concevoir des quantits incomparablement plus grandes ou plus petitesque les notres; ce qui fournit autant quon veut de degrs dincomparables.Puisque ce qui est incomparablement plus petit, entre inutilement en ligne decompte legard de celui qui est incomparablement plus grand que lui.19

Hay que tener presente que este texto es del ao 1702, y apunta de maneraya consolidada a la idea de que cuando habla de un infinitesimal hay que tenerpresente que Leibniz est pensando en una magnitud variable y no una magnitudfija. La evolucin de esa nocin es manifiesta si nos retrotraemos a su primer textoacerca del clculo de 1684, el Nova Methodus, en el que todava utilizaba untrmino usual en la poca, infinite parva, para designar el de infinitesimal. En esetexto20 describa la tangente como una lnea recta entre dos puntos a una distanciainfinitamente pequea de una curva, pero en esa descripcin la nocin de diferen-cial estaba definida sin la ayuda del infinitesimal.21 Pero nos dice Ishiguro que apartir de 1695, en la ya aludida carta a Nieuwentijt, Leibniz da a entender quelos infinitsimos son en realidad entidades tericas y de hecho da pruebas deque los utiliza como tales. Por ejemplo, maneja los infinitsimos en el caso delos segmentos infinitamente pequeos de una lnea, as como para sus cuadrados

19 Leibniz, Leibnizens matematische Schriften, ed. Gerhardt , 7 vol. reimpresin Hildesheim,1961./Abrev. (G.M.) G.M. IV. pg. 91. [...] he querido mostrar que no es necesario hacer dependerel anlisis matemtico de controversias metafsicas, y asegurar que no hay en la naturaleza lneasinfinitamente pequeas en un sentido riguroso o (en) comparacin con las nuestras [...]; por otrolado, siempre me ha parecido que el infinito tomado rigurosamente debe tener su origen en lo ina-cabado, sin lo cual no veo otros medios para encontrar un fundamento para discernirlo de lo finito.Por eso, para evitar esas sutilezas y hacer el razonamiento accesible a todo el mundo, bastaba conexplicar aqu el infinito por lo incomparable, es decir, mediante la concepcin de cantidades incom-parablemente ms grandes o ms pequeas que las nuestras; esto proporciona tantos grados deincomparables como se quiera. Ya que lo que es incomparablemente ms pequeo, no se toma encuenta en relacin de lo que es incomparablemente ms grande que l (la traduccin es ma).20 Cfr., Leibniz, 1987.21 Ishiguro, 1986: 185.

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y sus cubos, considerando esos infinitsimos como autnticas cantidades que nopueden eliminarse, porque son tiles para el razonamiento y el descubrimiento.22

En ese contexto de una respuesta amplia a Nieuwentijt que slo acepta laexistencia de los infinitesimales de primer orden, Leibniz se refiere a la incom-parabilidad diciendo que la magnitud de un segmento de una curva y su diferen-cial (que corresponde a una tangente), no son cantidades homogneas y nopueden ser comparadas absolutamente una respecto a la otra. Cuando falta lahomogeneidad arquimediana entre dos tipos de magnitudes (por ejemplo veloci-dad y aceleracin), Leibniz pasa hablar mejor de incomparabilidad, puesto que lopropio en esos casos de heterogeneidad entre magnitudes es que no se puedensumar y sustraer cantidades, o si se prefiere al revs. La definicin que sustentaesa nocin, recuperada con escndalo por Berkeley, dice: Quemadmodum silineae punctum allerius lineae addas quantitatem non auges.23

En definitiva, el criterio geomtrico de la incomparabilidad consiste en decirque por mucho que se multiplique una longitud por un nmero finito cualesquierano se obtiene una superficie plana, y en consecuencia, esas cantidades son real-mente incomparables. Luego, tampoco se puede construir una figura geomtricaque corresponda al incremento de un segmento de una curva por su diferencial,como constata Leibniz en la misma carta. En ningn caso se trata, pues, de con-cebir la incomparabilidad de cantidades muy pequeas existentes en un sentidoabsoluto.

El contenido de los textos24 utilizados por nuestro comentarista para desbro-zar el sentido contextual de la nocin de incomparabilidad, va en esa direccin.Su aproximacin pasa por el reconocimiento del modo en que se manifiesta lapropiedad de incomparabilidad (en el caso del diferencial es ser incomparable-mente ms pequeo que ninguna cantidad otra dada, le dice a LHpital), ytambin por el hecho de que los diferenciales, se trate del orden del que se trate,

22 Carta de Leibniz a B. Nieuwentijt en 1695 /Responsio ad nonnullas dificultates an. BernardoNiewentijt circa methodum differentialem seu infinitisimalem motas/ en Leibnizens matematischeSchriften, ed. Gerhardt , 7 vols. reimpresin Hildesheim, 1961./Abrev. (G.M.)/ t. V., p. 321.23 Berkeley, 1982: 48. De tal manera que si se aade a una lnea un punto de otra, no aumenta la

cantidad (la traduccin es ma).24 Cartas de Leibniz a Nieuwentij el ao 1695; el 14 y 24 de junio a lHpital, tambin en 1695,

G.M., II, p. 288. Cartas a Bernouilli, J., julio 1698, G.M., III, p. 551 y en febrero de 1699, G.M., III,p. 577.

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sean considerados como magnitudes (magnitudes incomparables son aquellasque una de ellas multiplicada por un nmero finito cualquiera no puede exceder ala otra). Aunque en realidad lo que suceda es que es la derivada de una funcinen un punto, diramos hoy, lo que es incomparable con la magnitud del intervalocorrespondiente a dos valores de la funcin.

La otra cara de la moneda, y por tanto, complementaria de la incomparabilidad,consiste en cmo justificar que se ignoren las cantidades muy pequeas que sehan manejado para obtener un resultado, es decir, las magnitudes infinitesimalesque Leibniz deca que no eran ni finitas ni nulas. En este sentido, la reflexin deIshiguro reside en subrayar que l la llama incomparabilidad arquimediana, yLeibniz euclidiana (ausencia de homogeneidad entre magnitudes), no es el mejormedio para justificar la eliminacin de los infinitsimos; es decir, esas cantidadesmuy pequeas que Leibniz haba utilizado en el curso de sus investigaciones, yque le haban permitido obtener resultados concretos.

El pensamiento de Leibniz se ir precisando, en el sentido de que esas enti-dades tericas llamados infinitesimales y que figuran en las series matemticas,son magnitudes que no existen fsicamente en la naturaleza, ni tampoco puedenexistir porque no son ni finitas ni nulas y, adems, no son posibles. Sin embargo,en su sentido matemtico principal, esos infinitesimales pueden existir mientrasno se demuestre lo contrario como le sugiere Leibniz a Bernouilli (1698), suge-rencia sta que incluye implcitamente una exigencia que Leibniz plantea pordoquier. En efecto, y sin entrar en ms profundidades para no perder de vista eltema, valga con decir que para l la existencia de algo no depende de la imagende ese algo, sino de la demostracin de la posibilidad de su existencia. As, esimposible tener la idea del mayor de todos los crculos o del nmero de todas lasunidades posibles, y a pesar de que hay demostracin de ello (son contradicto-rias) inevitablemente las pensamos.25

Hecha esa advertencia respecto a la posibilidad de la existencia de losinfinitesimales, posibilidad que no est ligada a su imagen sensible, es necesario

25 Un ejemplo de esto puede encontrarse en una carta a la princesa Elisabeth de 1678, en la queLeibniz, a propsito de las carencias de la demostracin de la existencia de Dios de Descartes,muestra que aunque tengamos una idea sin imagen que incluya como en este caso la presuncin desu existencia, esto no basta y hay que demostrar primero que esa idea de Dios es posible para poderconocer lo que encierra en tanto que es el principio de todos los conocimientos. Texto en espaolen Leibniz, 1989: 49-57.

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decir que la nocin de infinitesimal no debe ser comprendida como un trminoltimo de una serie. O dicho de otra manera, la multitud infinita (infinidad detrminos decrecientes) no debe ser concebida como un nmero o totalidad, por-que del clculo no se sigue que debe haber un trmino infinitesimal definitivo. Portanto, la incomparabilidad apunta a la variacin infinita de la magnitud, que sloen un momento dado y concreto puede ser tomada como una cantidad finita mspequea que otra dada y provisionalmente compararse con ella; esta operacin,en cuanto postulado de existencia de esa magnitud finita (diferencial), slo leafecta a esa misma magnitud.

Por todo ello, el texto de Leibniz a Varignon en febrero de 1702 citado antes,es ilustrativo para comprender la expresin infinitamente pequeo, porque muestraque la existencia de esas cantidades infinitamente pequeas no puede ser to-mada en trminos absolutos, lo cual es de la mxima importancia. Por eso Leibnizutiliz la nocin de incomparabilidad para explicar el infinito, distinguindolo alcontrario de Berkeley de la idea de infinidad. Estableci que una magnitud esincomparable respecto a otra si se puede demostrar que, en un cierto momento ycontexto, una puede ser despreciada respecto a la otra. En consecuencia, y comose indic antes, Leibniz trata de evitar por medio de la nocin de incomparabilidadque las controversias metafsicas afecten al anlisis matemtico, y por tanto, quecuando se hable de infinitesimal no se le designe por una magnitud fija sino poruna magnitud variable que se elige, o bien una cantidad que se toma arbitraria-mente. Para ratificar su argumentacin, Ishiguro cita de nuevo esa misma cartade Leibniz a Varignon:

[...] il faut considerer [...] que ces incomparables communs mmes nestantnullement fixes ou dtermins, et pouvant estre pris aussi petits quon veutdans nos raisonnements Gomtriques, font leffet des infiniment petitsrigoureux, puisquun adversaire voulant, contredire nostre enonciation,il sensuit par nostre calcul que lerreur sera moindre quaucune erreur quilpourra assigner, estant en nostre pouvoir de prendre cet incomparablementpetit, assez pettit pour cela, dautant quon peut toujours prendre une grandeuraussi petite quon veut.26 (Leibniz, 1961: 92)

26 [...] es necesario considerar [...] que esos incomparables comunes, incluso sin haberlos fijado odeterminado en absoluto, y pudiendo ser tomados en nuestros razonamientos Geomtricos tanpequeos como queramos, tienen el efecto propio de los infinitamente pequeos en sentido riguro-

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LA CONCEPCIN LEIBNICIANA DE LOS INFINITSIMOS: UNA PROPUESTA SINTTICA

Hasta este punto hay que subrayar que el infinitesimal existente slo puede sernombrado cuando es una magnitud variable pero finita, que puede ser tomada tanpequea como se quiera. Ya vea que an siendo concebible un trmino infinita-mente pequeo o un nmero infinito que englobe a todos los dems estos noseran sino ficciones. Como dice en resumidas cuentas Leibniz en su Essais deThodice ( 80), no se puede asignar en esos casos ningn nmero preciso porque todos son finitos y asignables, al igual que toda lnea, por lo dems les infinisou les infiniment petits ny signifient que les grandeurs quon peut prendreaussi grandes ou aussi petites que lon voudra, pour montrer quune erreurest moindre que celle qun a assign.27

As, toda referencia a las entidades infinitesimales como magnitudes ac-tuales pasa por un discurso acerca de cantidades variables y finitas. Por consi-guiente, una cosa son las diferenciales de grados diferentes, que se definen porel cociente de magnitudes finitas x y y, como el lmite de las series de talescantidades comparables pero cada vez ms pequeas, o derivada (diferenciade una funcin que corresponde al valor lmite cuando un segmento de x decre-ce continuamente).28 Y otra cosa es el infinitesimal como magnitud variablefinita que tiene la virtualidad de ser tomada tan grande o tan pequea como sequiera, mostrando as que el error puede ser siempre menor que el asignadoanteriormente.

Por tanto, el anlisis no debe ser entendido como un mtodo de aproxima-cin, sino como un clculo exacto, un algoritmo, que suponiendo el principio decontinuidad puede tomar tantos valores infinitamente pequeos como requieranuestro razonamiento matemtico. Respecto a esa cuestin problemtica de losincomparables, hay que decir que Leibniz intent explicar, como he visto, que el

so, puesto que si un adversario quiere contradecir este enunciado, el error en nuestro clculo sermenor que el que l podr asignar, estando en nuestro poder tomar lo incomparablemente pequeo,lo suficientemente pequeo para ese fin, sobre todo pudiendo tomar una magnitud tan pequeacomo se quiera (la traduccin es ma).27 Los infinitos o los infinitamente pequeos no significan mas que se pueden tomar las magnitu-des tan grandes o pequeas como se quiera, mostrando as que un error puede ser menor que el queya se ha asignado (la traduccin es ma).28 Cfr., Ishiguro, 1986: 189.

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infinito no deba ser tomado en el anlisis la rigueur. Por ello, utiliz analo-gas para explicar el infinito por la nocin de incomparable, haciendo depender sucomprensin de lo imaginario y hacer visible el razonamiento. Belaval escribe:

Quant limagerie de grain de sable et de la Terre, de la Terre et du firmament,etc..., elle ne relve que trs accessoirement dune justification psychologiste;il sagit chez Leibniz et combien dautres inventeurs! de la revlation,longuement prpare, dune lumire subite le triangle caracteristiquedans un brouillon de Pascal, dune dcouverte qui, non formule en savraie langue, la langue des calculs, sannonce par quelque figurephilosophico-rhetorica (G.M.V. 385). Reste limagerie des incomparablessoulevait plus dobjections quelle nen dissipait. Il faudra plus dun siclepour les ressoudre el passer de lincomparable la fonction (dont Leibniz aconu lbauche) et la derive. Aprs Varignon (6), Euler (7), vientLangrage; un de ses titres rsume le sicle: Thorie des fonctions analytiquescontenant les principes du calcul differentiel, dgags de toute considerationdinfinement petits, devanouissants, de limites et rduits lanalysealgbrique de quantits finies.29 (Belaval, 1986: 44-45)

Los matemticos del siglo XVIII, entre ellos Jean Le Rond DAlambert oLazare Carnot, reprocharon a Leibniz el peligro que encarna el uso de la nocinde incomparable para explicar lo infinitesimal (o infinitamente pequeo). El pro-blema para muchos matemticos fue que lo infinitesimal no viniera precedido por

29 La imaginera del grano de arena y de la Tierra, de la Tierra y del firmamento, etc., es unaimaginera que no responde mas que muy accesoriamente a una justificacin psicologista; se trata enLeibniz como en tantos otros inventores de una revelacin que ha sido preparada con muchaantelacin, de una luz sbita el triangulo caracterstico en un borrador de Pascal, de undescubrimiento que al no haberse formulado en su verdadera lengua, la lengua de los clculos, seexpresa mediante alguna figura filosfico-retrica (G.M. 385). Por lo dems, esa imaginera de losincomparables planteaba ms objeciones que las que resolva. Har falta ms de un siglo pararesolverlas y pasar de lo incomparable a la funcin (que Leibniz ya esboz) y a la derivada. Despusde Varignon y Euler, viene Lagrange; el ttulo de una de sus obras resume el siglo: Teora de lasfunciones analticas conteniendo los principios del clculo diferencial, eliminados de toda conside-racin relativa a los infinitamente pequeos y lmites, y reducidos al anlisis algebraico de cantida-des finitas (la traduccin es ma).

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una definicin con lo cual el clculo manifestaba una cierta ambigedad, ya quepoda ser tanto un mtodo de aproximacin como un clculo riguroso. Tratar porltimo cmo se puede resolver esta objecin de gran inters, sintetizando lasposturas de Bruschvicg y de Ishiguro.

Como ya seal, el anlisis leibniciano no est sometido a controversiasmetafsicas al estilo de las de Berkeley porque el nuevo tratamiento del infinito, yno de la infinitud, que l propone siguiendo el estilo de Arqumedes, se concretaen un algoritmo que presupone siempre el principio de continuidad. De estamanera, en los clculos exactos del clculo diferencial se expresa siempre unpermanente movimiento, lo cual no equivale evidentemente a decir que esasdeterminaciones infinitesimales sean fijas. Los signos y las relaciones matemti-cas no poseen ya un referente substancial, de modo que el anlisis del infinitopuede penetrar y expresar tambin, mediante el clculo, las leyes de la naturale-za. Tal es el caso de la dinmica leibniciana, en la que se concibe el movimientocomo proceso y no como simple movimiento local.

Por tanto argumenta Belaval, lo infinitesimal posibilita una nueva conceptua-lizacin del punto como lnea infinite parva seu evanescens y del reposo comomotus evanescens. Es decir, el reposo es un caso particular de la ley general,como en el caso estrictamente matemtico la igualdad es un caso particular de ladesigualdad. Todo ello le permite tambin rectificar las leyes de choque carte-sianas, ya que gracias a los infinitesimales se pueden concebir los cuerpos duroscomo elsticos y, por tanto, como deformables.30

El infinito actual est presente en la materia, en el tiempo, en el movimiento,y en esa medida el conocimiento matemtico est orientado a consumarse en unafsica, como afirm Leibniz en una carta dirigida a Huygens,31 ya que su destinonatural es ocuparse de lo dinmico. Conforme a estas propuestas, la fsica puedeapropiarse de los conceptos del anlisis infinitesimal y comunicarles su sentidoexpresivo, como dice Granger en introduisant limage des tres comme foyersdinamiques.32

En definitiva, la Caracterstica Universal tiene como expresin ms logradael clculo infinitesimal. El nuevo clculo, en tanto forma algortmica, es ptimo,

30 Belaval, 1986: 45.31 Leibniz, 1962: 669.32 Granger, 1981: 6. Introduciendo la imagen de los seres como centros dinmicos (la traduccin

es ma).

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porque responde a la definicin de Razn, entendida no como facultad, sino comoencadenamiento de verdades, es decir, de demostraciones verificables. Adems,es riguroso porque el lenguaje simblico que conforma el algoritmo est exentode la vaguedad del lenguaje natural y slo un algoritmo puede ofrecer sus propiaspruebas. Los elementos de ese lenguaje, los signos, no son empricos y, por tanto,no estn sometidos a la confusin de la percepcin, con lo cual en s mismos notienen entidad si no es por la relacin que obtienen al ser combinados con otrosmediante las reglas que los configuran y les dan sentido. El arte de inventarconfirma, pues, que el orden lgico es dinmico y que siempre puede ser perfec-cionado.

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