MULTIVARIABLES

INTEGRANTES:

Leidy Alexandra santos

DOCENTE:ANTONIO JIMENEZ

FUNDACION UNIVERSITARIA DE SANGIL-UNISANGILFACULTAD DE CIENCIAS NATURALES E INGENIERIA

INGENIERIA DE MANTENIMIENTOSANGIL

2013

1.ALGEBRA VECTORIAL: Álgebra vectorial es la rama de la matemática que esta relacionada con el manejo de operaciones con magnitudes vectoriales, ya sea suma, resta o multiplicación.

2. PARTE ANALITICA: La resolución de problemas por medio de la Geometría Analítica, permite obtener resultados exactos, los cuales, serían aproximados, si se empleara únicamente el método gráfico. En el estudio de la Geometría Analítica, se emplea un sistema de ejes por medio de los cuales es posible situar puntos o figuras en un plano o en el espacio

3.PARTE GEOMETRICA: En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales

4.PARTE AXIOMATICA:

5.VECTOR: En física, matemáticas e ingeniería, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida por un módulo (o longitud) y una dirección (u orientación).1 2 3 4

6.ESCALA: término que se utiliza en Cartografía para designar la relación matemática que existe entre las dimensiones reales y las del dibujo que representa la realidad.

7.COMPONENTE: dispositivo que forma parte de un circuito electrónico.2/ técnica utilizada para reducir la dimensionalidad de un conjunto de datos.

8. ESPACIO VECORIAL: En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales.

9.PARTES DE UN VECTOR: MODULO:es la longitud del vector.DIRECCION:la direccion de un vector esta dada por el angulo que forma el vector a cualquiera de los ejes x o y.ORINGEN:es el punto donde comienza el vector,generalmente en el origen de coordenadas cartesianas y termina en el extremo o flecha.SENTIDO:es para que lado esta apuntando el extremo N S E O .EXTREMO:es el final de vector ,en la flecha.

10.CABEZA ,CUERPO,COLA:

11.ESPACIO ABSTRACTO:

12. ABCISA: Coordenada horizontal en un plano cartesiano rectangular:la abscisa se designa mediante la letra x.

13.ORDENADA: También llamada coordenada y de un punto en geometría de coordenadas. Es la distancia vertical desde el punto hasta el eje horizontal, o eje x. A la coordenada x de un punto se le conoce normalmente como abscisa

14.CLASIFICACION DE LOS VECTORES: los vectores pueden clasificarse en "vectores libres", que no están ligados a un sistema de referencia y "vectores ligados" los que si están definidos basados en un sistema de referencia.También vectores linealmente independientes y linealmente dependientesVectores unitarios, ortogonales, ortonormales, etc.

15.VECTOR POSICION: un vector de posicion, es un vector cualquiera el cual identifica la posicion de algo en el plano cartesiano o en espacio16.VECTOR LIBRE : no están aplicados en ningún punto en particular.17.PLANO CARTESIANO: El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.18.PLANO DIMENSIONAL: 19.PLANO TRIDIMENSIONAL: un objeto o ente es tridimensional si tiene tres dimensiones. Es decir cada uno de sus puntos puede ser localizado especificando tres números dentro de un cierto rango. Por ejemplo, anchura, longitud y profundidad.20. CORDENADAS RECTANGULARES: Es la ubicacion de un punto en un plano cartesiano. Es decir en el plano formado por el eje "x" y el eje "y" podemos ubicar un par ordenado (x,y). estos valores me determinan una coordenada rectangular, llamadas asi, porque si desde el punto (x,y) trazas una paralela tanto al eje x como al eje y se te genera un rectangulo. 21.CORDENADAS POLARES: es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia.22.CORDENADAS CILINDRICAS: son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje.23.VECTORES UNITARIOS: En álgebra lineal y Física, un vector unitario o versor es un vector de módulo uno.24.VECTORES I,J,K:25:VECTORES ORTOGONALES: se dicen ortogonales si su producto escalar es cero.

26.EN QUE CONSISTE LA ADICION DE VECTORES: Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas .27.LA EXISTENCIA DE INVERSA ADICTIVO:28.QUE ES LA NORMA: Un vector es un elemento de un espacio vectorial del que, en ocasiones, especialmente en Física y Geometría, interesa conocer su longitud. Para ello se hace necesario definir un operador normaque determine la longitud o magnitud del vector bajo consideración ya que este acto, pese a lo que pudiéramos creer, no es un problema trivial; especialmente desde la aparición de las geometrías no euclídeas para las que aparece, asociada al concepto de longitud, la noción de geodésica. Para ampliar estas ideas conviene conocer la geometría riemanniana y la geometría diferencial.29.PROPIEDADES DE LA NORMA:30.PERIMETRO VECTORIAL: El perímetro y el área son magnitudes fundamentales en la determinación de un polígono o una figura geométrica; se utiliza para calcular la frontera de un objeto, tal como una valla. El área se utiliza cuando queremos obtener la superficie interior de un perímetro que se desea cubrir con algo, tal como césped o fertilizantes.31.NORMALIZADA :El normalizado es un tratamiento térmico que se emplea para dar al acero una estructura y unas características tecnológicas que se consideran el estado natural o inicial del material que fue sometido a trabajos de forja, laminación o tratamientos defectuosos. Se hace como preparación de la pieza para el temple.32.ANGULO ENTRE VECTORES: El ángulo entre dos vectores se define como el ángulo que forman sus rectas de acción, supuestas concurrentes.33.PRODUCTO: el producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vectorortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior.34.PRODUCTO CRUZ: El producto cruz es una operación vectorial para vectores en 3D en la que dos Vectores con el mismo punto de inicio forman un plano y mediante esta operación obtenemos un vector perpendicular a este plano; por lo tanto el vector resultante es ortogonal a cada uno de los vectores que forman el plano.35. PRODUCTO PUNTO: es una operación definida sobre dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Esta operación permite explotar los conceptos de la geometría euclidiana tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones.36.VECTOR RESULTANTE: ES UN SISTEMA DE VECTORES ES EL VECTOR QUE PRODUCE ÉL SOLO, EL MISMO EFECTO QUE LOS DEMÁS VECTORES DEL SISTEMA.

37.DERIVADAS: Es una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente.2/ La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por 38.INTEGRAL DEFINIDA: es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas.

39.VARIABLES: Del latín variabĭlis, una variable es aquello que varía o puede variar. Se trata de algo inestable, inconstante y mudable. En otras palabras, una variable es un símbolo que representa un elemento no especificado de un conjunto dado40.PARCIALES: Es una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.41.PARCIAL DIRECCIONAL: la derivada direccional de una función multivariable sobre un vector dado, representa la tasa de cambio (pendiente) de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que estas son derivadas direccionales en los vectores paralelos a los ejes.42.ROT F:43.PARCIALES SUPERIORES:44.INTEGRALES MULTIPLES: Una integral múltiple es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real, por ejemplo, f (x, y)45. INTEGRAL DIRECCIONAL: En el análisis matemático, la derivada direccional de una función multivariable sobre un vector dado, representa la tasa de cambio (pendiente) de la función en la dirección de dicho vector. Este concepto generaliza a las derivadas parciales, ya que estas son derivadas direccionales en los vectores paralelos a los ejes.46.INTEGRAL ROT F:

47.CURVAS DE NIVEL: Una curva de nivel es aquella línea que en un mapa une todos los puntos que tienen igualdad de condiciones y de altura . Las curvas de nivel suelen imprimirse en los mapas en color siena para el terreno y en azul para los glaciares y las profundidades marinas y lacustres.48.CINEMATICA: La Cinemática (del griego κινεω, kineo, movimiento) es la rama de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose, esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo.49.TRAYECTORIA: En cinemática, la trayectoria es el lugar geométrico de las posiciones sucesivas por las que pasa un cuerpo en su movimiento. La trayectoria depende del sistema de referencia en el que se describa el movimiento; es decir el punto de vista del observador.50.RECORRIDO: En cinemática, la trayectoria es el lugar geométrico de las posiciones sucesivas por las que pasa un cuerpo en su movimiento. La trayectoria depende del sistema de referencia en el que se describa el movimiento; es decir el punto de vista del observador.51.FLUJO: es una ciencia natural que estudia las propiedades del espacio, el tiempo, la materia y la energía, así como sus interacciones. 2/ El flujo de un campo vectorial es una magnitud escalar (o pseudoescalar) que se define como la integral del campo vectorial sobre una superficie bidimensional

52.PARAMETRIZADA: 1 ´ (Curva parametrizada). Una curva parametrizada diferenciable α : I −→ R, es una aplicacion de clase ´ C∞, donde I ⊂ R es un intervalo abierto, que puede ser una semirrecta o todo R 2/es una función vectorial de variable real.

53. VARIABLE DEPENDIENTE: Una variable dependiente es aquella cuyos valores dependen de los que tome otra variable independiente. variable dependiente se conoce también como variable explicada54.VARIBALE INDEPENDIENTE: , se denomina variable independiente a aquélla que es manipulada por el investigador en un experimento con el objeto de estudiar cómo incide sobre la expresión de la variable dependiente. variable independiente también se conoce con el nombre de variable explicativa.55.Cinemática :es la rama de la mecánica clásica que estudia las leyes del movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen, limitándose, esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo. En la Cinemática se utiliza un sistema de coordenadas para describir las trayectorias, denominado sistema de referencia.56.Trayectoria : Es el lugar geométrico de las posiciones sucesivas por las que pasa un cuerpo en su movimiento. La trayectoria depende del sistema de referencia en el que se describa el movimiento; es decir el punto de vista del observador. En la mecánica clásica la trayectoria de un cuerpo puntual siempre es una línea continua.

57.Recorrido : Para una función, conjunto de valores que esta puede tomar.58 VELOCIDAD: Es una magnitud física de carácter vectorial que expresa el desplazamiento de un objeto por unidad de tiempo.59.RAPIDEZ: Es la relación entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla. La rapidez se mide en las mismas unidades que la velocidad, pero no tiene el carácter vectorial de ésta60.VELOCIDAD INSTATANEA: Es una velocidad puntual, es decir, se mide a cada instante en el que tu quieras conocerla. la formula es similar a la de la velocidad , pero aqui, la distancia recorrida, en los intervalos de tiempo elegidos son medidos a cada instante, es decir, el intervalo de tiempo, tiende a cero, algo asi como el concepto de derivada en calculo diferencial, recuerda que la velocidad es igual a un gradiente de distancia entre uno de tiempo (tiempo transcurrido que necesita el movil para de ir de un punto aotro, cuando este intervalo de tiempo, tiende a cero, se obtiene la velocidad instantanea.61 ACELERACION:(1.) Vector cuya magnitud indica cuánto cambia la velocidad por cadaunidad de tiempo y su dirección indica la dirección del movimiento.2.) En Cálculo, la aceleración se define como la segunda derivada de la posición respecto del tiempo, que equivale a la primera derivada de la rapidez (velocidad) respecto del tiempo.

62 GRAVEDAD: La gravedad, denominada también fuerza gravitatoria, fuerza de gravedad, interacción gravitatoriao gravitación, es la fuerza que experimentan entre sí los objetos con masa. Sus efectos son siempre atractivos y su alcance es infinito. Se trata de una de las cuatro fuerzas fundamentales observadas hasta el momento en la naturaleza y es la responsable de los movimientos a gran escala que se observan en el Universo: la órbita de la Luna alrededor de la Tierra, la órbita de los planetas alrededor del Sol, etcétera.

.63. LINEA DE CORRIENTE :Aquella familia de curvas que para cada instante de tiempo son las envolventes del campo de velocidades. En mecánica de fluidos se denomina línea de corriente al lugar geométrico de lospuntos tangentes al vector velocidad de las partículas de fluido en un instante t determinado. En particular, la línea de corriente que se encuentra en contacto con el aire, se denomina línea deagua.64. FLUJO LAMINAR: movimiento de un fluido cuando éste es ordenado, estratificado, suave. En un flujo laminar el fluido se mueve en láminas paralelas sin entremezclarse y cada partícula de fluido sigue una trayectoria suave, llamada línea de corriente. En flujos laminares el mecanismo de transporte lateral es exclusivamente molecular.65 FUERZA ROTACIONAL: aquella que es capaz de producir un giro sobre alrededor de un eje66.MOVIMIENTO ROTACIONAL :Movimiento rígido del plano alrededor de un punto fijo, el cual es llamado eje de rotación. Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo o un sistema de referencia de forma que una línea (llamada eje de rotación) o un punto permanece fijo.Una rotación de un cuerpo se representa mediante un operador que afecta a un conjunto de puntos o vectores. Un movimiento rotatorio se representa mediante el vector velocidad angular , que es un vector de carácter deslizante, situado sobre el eje de rotación. Cuando el eje pasa por el centro de masa o de gravedad se dice que el cuerpo «gira sobre sí mismo».

67 FUERZA DE GRAVEDAD: es un fenómeno por el cual todos los objetos con una masa determinada se atraen entre ellos. Esta atracción depende de la masa del objeto en cuestión; mientras más masa, mayor será la fuerza de atracción.

1.-Es la fuerza conque todos los cuerpos son atraídos hacia el centro de la tierra.2.-La fuerza de gravedad es proporcional a la cantidad de materia acumulada, a la densidad material.3.-Como toda la materia está en movimiento y el movimiento es lo absoluto, la gravedad es en rigor una aceleración, osea un cambio de velocidad de ese movimiento material tomado en el tiempo.4.-Cuando el valor de esa aceleración sobre un cuerpo coincide con la de la tierra, el cuerpo aparece ingrávido,

68.FUERZA GRAVITACIONAL : Es la más pequeña de las cuatro Fuerzas Fundamentales. La interacción gravitatoria entre dos cuerpos es la dominante a grandes escalas gracias a que es una fuerza siempre atractiva. Esta acción "Atractiva" de la gravedad se supone causada por unas partículas llamadas Gravitrones.Con respecto a la Pretensión de Unificar las distintas fuerzas como manifestaciones de una sola fuerza, la interacción gravitatoria se escapa por completo de ser unificada con

las demás en una teoría abordable humanamente (por el momento). Ello quizá sea debido a su naturaleza aparente, radicalmente distinta de las otras tres. Fuerza gravitacional

La fuerza gravitatoria o gravitación es la interacción que experimentan dos objetos con masa. Se trata de una de las cuatro fuerzas fundamentales observadas hasta el momento en la naturaleza. El efecto de la fuerza de gravedad sobre un cuerpo suele asociarse en lenguaje cotidiano al concepto de peso, y es por eso que siempre se ha enseñado que la fuerza de gravedad atrae hacia el centro de la Tierra. Sus efectos son siempre atractivos.

69.FUERZA ELECTRICA :Es la fuerza electrostática que se produce cuando un cuerpo se carga, esta fuerza se puede detectar por los efectos que causa sobre cuerpos livianos como polvo o pedacitos de papel.Entre dos o más cargas aparece una fuerza denominada fuerza eléctrica cuyomódulo depende del valor de las cargas y de la distancia que las separa, mientrasque su signo depende del signo de cada carga. Las cargas del mismo signo serepelen entre sí, mientras que las de distinto signo se atraen.

70 TRABAJO: En mecánica clásica, el trabajo que realiza una fuerza sobre un cuerpo equivale a la energía necesaria para desplazar este cuerpo.1 El trabajo es una magnitud física escalar que se representa con la letra (del inglés Work) y se expresa en unidades de energía, esto es en julios o joules (J) en el Sistema Internacional de Unidades.Ya que por definición el trabajo es un tránsito de energía,2 nunca se refiere a él como incremento de trabajo, ni se simboliza comoΔW. El trabajo es una magnitud escalar, el trabajo implica movimiento, si mueves un objeto de un lugar a otro pero lo regresas a su estado original, no existe trabajo porque el trabajo implica un cambio de posición.

71 FLUJO ELECTRICO :es una cantidad escalar que expresa una medida del campo eléctrico que atraviesa una determinada superficie,2 o expresado de otra forma, es la medida del número de líneas de campo eléctrico que penetran una superficie. Su cálculo para superficies cerradas se realiza aplicando la ley de Gauss. Por definición el flujo eléctrico parte de las cargaspositivas y termina en las negativas, y en ausencia de las últimas termina en el infinito. Es la medida del número de líneas de campo que atraviesan cierta superficie. Cuando la superficie que está siendo atravesada encierra alguna carga neta, el número total de líneas que pasan a través de tal superficie es proporcional a la carga neta que está en el interior de ella. El número de líneas que se cuenten es independiente de la forma de la superficie que encierre a la carga. Esencialmente, éste es un enunciado de la ley de Gauss.

72 CAMPO ELECTRICO:El campo eléctrico es un campo físico que es representado mediante un modeloque describe la interacción entre cuerpos y sistemas con propiedades de naturalezaeléctrica.1 Matemáticamente se describe como un campo vectorial en el cual unacarga eléctrica puntual de valor q sufre los efectos de una fuerza eléctrica

Un campo eléctrico es un campo de fuerza creado por la atracción y repulsión de cargas eléctricas (la causa del flujo eléctrico) y se mide en Voltios por metro (V/m). El flujo decrece con la distancia a la fuente que provoca el campo.

73.INTEGRAL DE LINEA: una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva es cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.

74.TEOREMA DE GREEN: En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y unaintegral doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema de Green relaciona la integral de l´ınea de un campo vectorial sobre una curva plana con una integral doble sobre el recinto que encierra la curva.

75.TEOREMA DE STOKE : Este teorema establece una relación entre ina intgral de

línea y una de superficie, en que S es una superficie abierta, y C es la cueva cerrada que limita a dicha superficie.

La dirección de recorrido de la curva C determina la orientación del vector , normal a la superficie.

Nuevamente, dada la definición que se ha dado del operador rotor, este teorema resulta una consecuencia bastante natural.

Dado que todas las operaciones definidas se pueden expresar en términos del operador gradiente, en adelante usaremos esa notación en forma exclusiva, es decir,

Otra igualdad importante se relaciona con la integral de línea del gradiente de un campo escalar,

Teorema de Stokes Este teorema establece una relación entre ina intgral de línea y una de superficie,.en que S es una superficie abierta, y C es la cueva cerrada que limita a dicha superficie. La dirección de recorrido de la curva C determina la orientación del vector , normal a la superficie.

76.TEOREMA DE GAUSS O DIVERGENCIA:

En cálculo vectorial, el teorema de la divergencia, también llamado teorema de Gauss o teorema de Gauss-Ostrogradsky, teorema que relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de su divergencia en el volumen delimitado por dicha superficie.

77.SUPERFICIE HIPOTETICA: superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta.

78 .GRADIENTE: Medida de la inclinación de una curva (con frecuencia una línea recta). Se define como la relación del cambio vertical (elevación) con respecto al cambio horizontal (recorrido) para una línea no vertical. En coordenadas Cartesianas rectangulares, el gradiente es la razón a la cual cambia la coordenada y con respecto a la coordenada x. Se denomina gradiente a la variación de intensidad de un fenómeno por unidad de distancia entre un lugar y un centro (o un eje) dado.

79.ENERGIA:se define como la capacidad para realizar un trabajo. Capacidad para obrar, transformar o poner en movimiento La energía es la capacidad de los cuerpos o conjunto de éstos para efectuar un trabajo. Todo cuerpo material que pasa de un estado a otro produce fenómenos físicos que no son otra cosa que manifestaciones de alguna transformación de la energía.

80 . CURVA SUAVE: Se le llama curva suave a la curva que no posee puntos ángulosos. Un ejemplo puede ser el círculo, la elipse, la parábola, etc. Una curva que no es suave puede ser, por ejemplo, una cicloide.

81.GENERATRIZ: La generatriz1 es una línea que a causa de su movimiento conforma una figura geométrica, que a su vez depende de la directriz. La generatriz puede ser una línea recta o curva.2Si la generatriz es una línea recta que gira respecto de otra recta directriz, llamada eje de rotación, conformará una superficie cónica,cilíndrica, etc. Si la generatriz es una curva, genera esferas, elipsoides, etc. Si se desplaza sobre una o más directrices, genera unasuperficie reglada.

82.DICETRIZ:Una directriz se dice de aquello que marca las condiciones en que se genera algo.En geometría la directriz es aquella línea, superficie o volumen que determina las condiciones de generación de otra línea, superficie o volumen (que se llama generatriz).Si la directriz es una línea recta, y la generatriz es otra línea recta que gira en torno a ella, conformará una superficie cónica, cilíndrica, etc. Si la generatriz es curva genera esferas, elipsoides, etc. Si la generatriz se desplaza sobre una o más directrices, genera una superficie reglada.

83FLUIDO: Se denomina fluido a un conjunto de sustancias donde existe entre sus moléculas poca fuerza de atracción, cambiando su forma, lo que ocasiona que la posición que toman sus moléculas varía, ante una fuerza aplicada sobre ellos, pues justamente fluyen. Los líquidos toman la forma del recipiente que los aloja,

manteniendo su propio volumen, mientras que los gases carecen tanto de volumen como de forma propios.

84.INTERVALO: es un conjunto comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es unsubconjunto conexo de la recta real, es decir, una porción de recta entre dos valores dados. es una porción de recta.

85. CLASIFICACION DE LOS INTERVALOS:Notación

Intervalo abierto (a,b).

Intervalo cerrado [a,b].

Intervalo semiabierto [a,b).

Intervalo semiabierto (a,b].

Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.

Intervalo abierto

No incluye los extremos.

o bien

Notación conjuntista o en términos de desigualdades:

Intervalo cerrado

Sí incluye los extremos.

Notación conjuntista o en términos de desigualdades:

Intervalo semiabierto

Incluye únicamente unos de los extremos.

o bien , notación conjuntista:

o bien , notación conjuntista:

Nota:

(a,a), [a,a) y (a,a] denotan al conjunto vacío. Si a > b, los intervalos descritos no poseen elementos por lo que también denotan al conjunto vacío.

[a,a] denota al conjunto unitario {a}. Estas notaciones también se utilizan en otras áreas de las matemáticas; por

ejemplo, la notación , denota un par ordenado enteoría de conjuntos; las coordenadas de un punto o un vector en geometría analítica y álgebra lineal; un número complejo en álgebra.

86.VARIABLES INDEPENDIENTES:Son las que el investigador escoge para establecer agrupaciones en el estudio, clasificando intrínsecamente a los casos del mismo. Un tipo especial son las variables de confusión, que modifican al resto de las variables independientes y que de no tenerse en cuenta adecuadamente pueden alterar los resultados por medio de un sesgo.

87 VARIABLE DEPENDIENTE: Son las variables de respuesta que se observan en el estudio y que podrían estar influenciadas por los valores de las variables independientes.

INTEGRALES

1.

2.

3.

4.

1. Sea C la frontera del triangulo con vértices (0,0),(1,2),(0,2) calcule:

Por el teorema de GREEN.

Solución

2. EVALÚE LA INTEGRAL DOBLE.

C2

C1C3

(1,2)

(0,0)

(0,2)

3. INTEGRAL DE SUPERFICIE

FORMULA

Evaluar la integral de superficie

Siendo S la parte del plano 2x+y+2z=6.

Usando la figura dibujada y la formula, Resulta.

* Proyectando S sobre el plano XY podemos escribir S como Z=1/2(6-2x-y) =g(x,y) de forma que gx(x,y)=-1y gy(x,y)= -1/2 y obtenemos.

Z

Y

X

Z

Z=3-x

Y=2(3-x)

S: X=1/2(6-2x-y)

4. Calcule el flujo del campo vectorial F = x2yi + 2xzj + yz3k a través de la superficie del sólido rectangular S determinado por

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3

Por el teorema de Gauss.

EVALUAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES DOBLES

1.

Solución

2.

Solución

(1,0,3)

(1,2,0)

(0,2,3)

X

Y

Z

3.

Solución

4.

Solución

5.

Solución

6.

Solución

7.

Solución

8.

Solución

EVALUAR LAS SIGUIENTES INTEGRALES TRIPLES

1.

Solución

2.

Solución

3.

Solución

4.

Solución

1.

2.

3.

4.

5.

1) = = =

=

2)

3. =

=

= 106.6 – 1.6 + 3 = 108

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11 x2y dy dx

[ X2 Y dy ] dx

x2

4

12) dx dy u=x2

2x dx =du

dx dv=senx dx

V= -cosx

13

x = u

Dx = du

du =

U = ex

= Y ey – ey –ey

14

15

dx

16 x2y dy dx

[ X2 Y dy ] dx

x2

4

1.

2.

3.

4.

5.

1.

2.

3.

4.

5.

Ejercicios

1. si z=x23xy+1,x=2t+1 e y=t2

SOLUCION

2. Una farmacia vende dos tipos de vitaminas la marca Ay la marca B. Las cifras de ventas indican que si la marca QA se vende a x dólares el frasco y la marca B a y dólares el frasco, la demanda de la marca A será.Q(x,y)=300-20x2+30y frasco por mes se estima que dentro de t meses el precio de la marca A será

x=2+0.05t dólares por frasco y el precio del marco B será Y=2+0.1 dólares por frascoA que razón cambiará la demanda de la marca A con respeto al tiempo dentro de 4 mesesSOLUCION

t=4 Aplicando la regla de la cadena se obtiene

Cuando T=4 x=2+ 0.05 (4) = 2.2

Es decir dentro de 4 meses la demanda mensual de la marca A decrecerá a la razón de 3.65 frasco por mes.

3 Halle la pendiente de la curva de nivel F(x , y)=C si F(x, y ) =x y

a. Despejando y en términos de x y derivando la expresión resultante.b. Derivado la ecuación f(x, y)= C implicando.c. Aplicando la formula

SOLUCION

a.

b. o

c

4. Halla la pendiente de la curva de nivel f(x ,Y )= 6cuando X=2 si f(x ,y)=x2y2-5y3-3

SOLUCION

Mediante la formula

6=4y3-5y3-2 y3=-8 o y=-2

Pendiente de la curva de nivel

5 En cierta fabrica la producción es donde K Representa la inversión

de capital medida en unidades de us $1.000 y L el tamaño de la fuerza labaroral medida en horas, la inversión del capital actual es us $900.000 y se emplean 1.000 horas-trabajadas cada día. Calcule el cambio que resultara en la producción si la inversión de capital aumenta en us $1.000 y la mano de obra en 2 horas- trabajador.

SOLUCION

Aplique la formula de aproximación con K= 900, L=1.000, y

6Aplique el cálculo para aproximar el porcentaje en el cual crece el volumen de un cilindro si el radio aumenta en un 1% y la altura en un 2%

SOLUCION

El volumen de un cilindro esta dada por la formula v(r , h)= donde r es el radio y h la altura. El hecho de que r crezca en un 1% significa que y el hecho de que h aumente en un 2% implica que . Mediante la fórma de aproximación para el cambio porcentual,

Porcentaje en v = 100

f (x) =

f’(x) =

f (x) =

f’(x) =

f (s) =

f’ (s) =

f(t) =

f’(t) =

f (x) =

f’(x) =

g (x) =

g’ (x)

=

=

h (r) =

h’ (r) =

=

=

k(x) =

=

=

k’(x) =

f (x) =

f ‘(x) = = =

g(s) =

=

=

g’(s) =

f(x) = =

f’(x) =

f’(x) =

h (z) =

h’ (z) =

h’ (z) =

h’ (z) =

f (t) =

f’(t) =

=

=

f(x) =

f’(x) =

f(v) =

f’(v) =

=

s(t) =

s’(t) =

n(x) =

n’(x) =

=

=

=

G(s) =

G’(s) =

f (x) =

f’ (x) =

f (x) =

f’ (x) = =

f (x) =

f’ (x) =

f’ (x) =

f (x) =

f’ (x) =

f’ (x) = =

f (x) =

f’ (x) =

f (x) =

f’ (x) =

f (x) = =

f’ (x) =

f’ (x) =

f (x) =

f’ (x) =

f (x) =

f’ (x) =

f (x) = =

f’ (x) =

f (x) = = =

f’ (x) =

f (x) =

f’ (x) =

f (x) =

f’ (x) = =

f (x) =

f’ (x) = =

f (x) =

f’ (x) =

f’ (x) =

f (x) =

f’ (x) =

f’ (x) =

f (x) =

f’ (x) = =

=

f (x) =

f’ (x) =

f (x) =

f’ (x) =

=

f (x) =

f’ (x) =

=

f (x) =

f’ (x) =

=

f (x) =

f’ (x) =

f’ (x) =

f (x) =

f’(x) =

f (x) =

f’(x) =

f (s) =

f’ (s) =

f(t) =

f’(t) =

f (x) =

f’(x) =

g (x) =

g’ (x)

=

=

h (r) =

h’ (r) =

=

=

k(x) =

=

=

k’(x) =

f (x) =

f ‘(x) = = =

g(s) =

=

=

g’(s) =

f(x) = =

f’(x) =

f’(x) =

h (z) =

h’ (z) =

h’ (z) =

h’ (z) =

f (t) =

f’(t) =

=

=

f(x) =

f’(x) =

f(v) =

f’(v) =

=

s(t) =

s’(t) =

n(x) =

n’(x) =

=

=

=

G(s) =

G’(s) =

f (x) =

f’ (x) =

f (x) =

f’ (x) = =

f (x) =

f’ (x) =

f’ (x) =

f (x) =

f’ (x) =

f’ (x) = =

f (x) =

f’ (x) =

f (x) =

f’ (x) =

f (x) = =

f’ (x) =

f’ (x) =

f (x) =

f’ (x) =

f (x) =

f’ (x) =

f (x) = =

f’ (x) =

f (x) = = =

f’ (x) =

f (x) =

f’ (x) =

f (x) =

f’ (x) = =

f (x) =

f’ (x) = =

f (x) =

f’ (x) =

f’ (x) =

f (x) =

f’ (x) =

f’ (x) =

f (x) =

f’ (x) = =

=

f (x) =

f’ (x) =

f (x) =

f’ (x) =

=

f (x) =

f’ (x) =

=

f (x) =

f’ (x) =

=

f (x) =

f’ (x) =

f’ (x) =

DERIVADAS PARCIALES

f (x,y) = 2xy5 + 3x2y + x2 fx (x,y)=2y5 + 6xy +2xfy (x,y)= 10xy4 +3x2

z= 5x2y + 2xy3+3y2

+6xy +6y

z = (3x +2y)5

f(x,y) = ( x+ xy +y )3

fx (x,y) = 3 ( x + xy +y)2 (1 + y)fx ( x,y) = (3+ 3y) (x + xy +y )2

fy (x,y) = 3 ( x + xy + y )2 (x + 1)fy (x,y) = (3x +3) (x + xy +y )2

f (x,y) =

fx (x,y) =

fx (x,y) = =

fy (x,y) =

fy (x,y) =

fy (x,y) =

z=

f (x,y) =

fx (x,y) =

fx (x,y) =-

fx (x,y) =

fy (x,y) =

fy (x,y) =

f (x,y) = fx (x,y) =

fy (x,y) = fy (x,y) =