Calculo Integral La Integral Indeﬁnida · 2019. 4. 3. · Fig. 1.1: El problema de la recta tangente motiva el c´alculo diferencial Las derivadas se usan para calcular la velocidad

Calculo Integral

La Integral Indefinida

Introduccion

El calculo diferencial se centra en el concepto de derivada. Recordemos que la motivacion original para laderivada fue el problema de definir las rectas tangentes a las graficas de las funciones y el calculo de las pendientesde dichas rectas (figura: 1.1).

Pendiente

m =? mPQ =f(x) − f(a)

x − am = lım

x→a

f(x) − f(a)

x − a= lım

h→0

f(a + h) − f(a)

h

Fig. 1.1: El problema de la recta tangente motiva el calculo diferencial

Las derivadas se usan para calcular la velocidad y la aceleracion, estimar la razon de propagacion de una enferme-dad, fijar niveles de produccion de manera que pueda maximizarse la eficiencia, encontrar las mejores dimensionespara una lata cilındrica, averiguar la antiguedad de un objeto prehistorico, y para muchas otras aplicaciones.

El calculo integral se basa en el concepto de la integral. La definicion de la integral es motivada por el problemade definir y calcular el area de la region que se encuentra entre la grafica de una funcion de valores positivos f y eleje x en un intervalo cerrado [a, b].

El area de la region S de la siguiente figura esta dada por la integral de f de a a b,

denotada por el sımbolo

ˆ b

a

f(x)dx. Pero la integral, ası como la derivada, es impor-

tante debido a su aplicacion a muchos problemas que implican movimiento, velocidad,crecimiento de poblacion, volumen, longitud de arco, area de superficie y centro degravedad, entre otros. El teorema principal de este seccion es el Teorema Funda-mental del Calculo, el cual proporciona una conexion “o mas bien un matrimonio”vital entre las operaciones de derivacion e integracion proporcionando un metodoeficaz para el calculo de integrales.

El problema del area mo-tiva el calculo integral

Area(S) =

ˆ

b

a

f(x)dx

Veremos que en vez de encontrar la derivada de la funcion f(x) necesitamos hallar una nueva funcion F (x) talque

F ′(x) = f(x)

Es decir, necesitamos estudiar un proceso opuesto a la derivacion, la “Antiderivacion”.

1

Variable Compleja.

Departamento de Matematicas

Universidad Nacional de Colombia

1.1. Antiderivadas o primitivas

Hemos analizado como encontrar la derivada de una funcion. Sin embargo, muchos problemasexigen recuperar una funcion f a partir de su derivada conocida f ′. Por ejemplo,

Un fısico que conoce la velocidad v(t) de una partıcula podrıa desear conocer su posi-cion x(t) en un instante dado.

Un ingeniero que conoce la velocidad v(t) a la cual se fuga el agua de un tanque quiereconocer la cantidad x(t) que se ha fugado durante cierto periodo.

Un biologo que conoce la rapidez a la que crece una poblacion de bacterias (|v(t)|)puede interesarse en deducir el tamano de la poblacion en algun momento futuro. esdecir x(t).

En cada caso, el problema es el mismo, debemos hallar una funcion F cuya derivada es enla funcion conocida f . Si tal funcion F existe, se llama una antiderivada de f .

Definition 1. (Antiderivadas o primitivas)Una funcion F recibe el nombre de antiderivada o primitiva de la funcion f enun intervalo I si F es continua en I y

F ′(x) = f(x) para todo x ∈ I,

salvo a lo sumo en un numero finito de puntos.

NOTA: Usamos letras mayusculas como F para representar una antiderivada de unafuncion f , G para representar una antiderivada de una funcion g, y ası sucesivamente.Tambien podemos escribirla como

F (x) = Ant(f(x))

Ejemplo 1. Halle las siguientes antiderivadas:

f(x) = x5

g(x) = 1√x

h(x) = sin(2x)

i(x) = cos(x2 )

f(x) = 5x4 + 2 cos(5x)− 3√x

g(x) = 2 cos(3t) + 5 sen(4t)

m(x) = 20(4−5x)3

f(x) =1

1 + x2

f(x) =1√

1− x2

f(x) = tanx

f(x) = cotx

f(x) = sec2 x

f(x) = csc2 x

f(x) = secx tanx

f(x) = cotx

F (x) =

G(x) =

H(x) =

I(x) =

F (x) =

G(x) =

M(x) =

F (x) =

F (x) =

F (x) =

F (x) =

F (x) =

F (x) =

F (x) =

F (x) =

2

Variable Compleja.



Ejemplo 2. La antiderivadas de g(x) = ex son, por ejemplo,

G1(x) = ex − 1, G2(x) = ex − ee, G3(x) = ex +

√3

2, G4(x) = ex + k

donde k es cualquier constante real.

Ejemplo 3. Dada la funcion f(x) = 3x2, entonces F (x) = x3 es una primitiva def(x) = 3x2, como tambien lo son las funciones

G(x) = x3 + 17, H(x) = x3 + π K(x) = x3 +√2.

En realidad, J(x) = x3 + C es una primitiva de f(x) = 3x2 para cualquier eleccionde la constante C.

Ejemplo 4. Complete las siguientes formulas para las antiderivadas

PREGUNTA ¿porque las antiderivadas son continuas y no necesariamente diferenciables?

Ejemplo 5. Definamos

f(x) =

1 si x ∈ [1, 2],

0 si x /∈ [1, 2],

En este caso no hay ninguna funcion cuya derivada coincida con f(x) en todo punto. Sin embargo, la funcion tieneuna primitiva. Definiendo

F (x) =

1 si x < 1 ,

x si 1 ≤ x ≤ 2,

2 si x > 2,

se tiene que F es continua en R, y F ′(x) = f(x) salvo cuando x = 1 y x = 2. Luego F es primitiva de f en todo R.

PREGUNTA “Si F (x) = Ant(f(x)) en el intervalo I, ¿cualquier otra antiderivada de f en I difiere de F alo mas en una constante?”. Dicho de otro modo, si F1(x) = Ant(f(x)) en I, ¿necesariamente F1(x) = F (x) + C,∀x ∈ I?

La respuesta es afirmativa y se deduce de la siguiente teorema.

Teorema 2. Sea F es una antiderivadas de f en el intervalo I. Si F1 es tambien unaantiderivada de f en I si y solo si F1(x) = F (x) + C para todo x ∈ I, donde C es unaconstante.

DEM:

3

Variable Compleja.



1. Interpretacion geometrica del teorema: Las graficas de dos antiderivadas F (x) + C1 y F (x) + C2 dela misma funcion f(x) en el mismo intervalo I son “paralelas” en el sentido que se aprecia en las figurasAhı observamos que la constante C es la distancia vertical entre las curvas y = F (x) y y = F (x) + C paracada x en I.

2. Una funcion puede tener muchas primitivas, pero una unica derivada.

3. La familia completa de Antideridavas de un funcion se representa agregando una constante C a una antideri-vada conocida.

4. La constante C recibe el nombre de constante de integracion.

OBSERVACION: Hay que senalar que existen buenas razones para limitar nuestra atencion a los intervalosdonde estan definidas las antiderivadas. De lo contrario, podrıa ocurrir que una funcion tenga antiderivadas que nodifieran en una unica constante.

Ejemplo 6. Las siguientes funciones son primitivas de f(x) = − 1

x2.

F1(x) =

1

x+ 5 si x > 0,

1

x− π si x < 0,

F2(x) =1

x,

claramente, F1 y F2 no difieren de una UNICA constante sobre todo su dominio S = (−∞, 0) ∪ (0,∞)

Geometrıa de las Antiderivadas

Si se conoce la grafica de una funcion f , serıa razonable que podamos dibujar la grafica de una antiderivada F .Por ejemplo, suponga que sabe que F (0) = 1. Entonces, hay un punto de donde partir, el punto (0, 1), y la direccionen la cual tenemos que desplazarnos la proporciona, la derivada.

Ejemplo 7. La grafica de una funcion f se ilustra en la figura 5. Trace un croquisde una antiderivada F , dado que F (0) = 2.

SOL:

Partimos del punto (0, 2) pues F (0) = 2.

En 0 < x < 1, F ′ = f < 0 y F ′′ = f ′ > 0 entonces F decrece y concava-arriba.

En x = 1 f cambia de − a +, luego F (1) hay un mınimo.

En 1 < x < 2, F ′ = f > 0 y F ′′ = f ′ > 0 entonces F crece y concava-arriba.

En x = 2, F ′′ = f ′ cambia de + a −, luego F (2) hay inflexion.

En 2 < x < 3, F ′ = f > 0 y F ′′ = f ′ < 0 entonces F crece y concava-abajo.

En x = 3, F ′ = f cambia de + a −, luego F (3) hay un maximo

En 3 < x < 4, F ′ = f < 0 y F ′′ = f ′ < 0 entonces F decrece y concava-abajo.

En x = 4, F ′′ = f ′ cambia de − a +, luego F (4) hay inflexion.

En 4 < x < ∞, F ′ = f < 0 y F ′′ = f ′ > 0 entonces F decrece y concava-arriba.

f(1) = f(3) = 0 luego F tiene tangentes horizontales cuando x = 1 y x = 3

Fig. 5

4

Variable Compleja.



Ejercicio 1.

1. Se proporciona la grafica 1 de una funcion f . ¿Que grafica es una antiderivada de f y por que?

2. Se presenta la grafica 2 de una funcion en la figura. Trace un croquis de una antiderivada F , dado queF (0) = 1.

3. La grafica de la funcion velocidad de un automovil se ilustra en la grafica 3. Elabore la grafica de la funcionposicion.

Gra. 1 Graf. 2 Graf. 3

Problemas de valor inicial y ecuaciones diferenciales

Encontrar una antiderivada de una funcion f(x) constituye el mismo problema que encontrar una funcion y(x)que satisfaga la ecuacion

dy

dx= f(x) o y′ = f(x)

A esto se le llama ecuacion diferencial, ya que es una ecuacion que involucra una funcion desconocida y queesta siendo derivada. Para resolverla, necesitamos una y(x) que satisfaga la ecuacion. Esta funcion se encuentratomando la antiderivada de f(x). Fijamos la constante arbitraria que surge en el proceso de antiderivacion dandouna condicion inicial

y(x0) = y0

Esta condicion significa que la funcion y(x) tiene el valor y0 cuando x = x0. La combinacion de una ecuaciondiferencial y una condicion inicial se llama problema de valor inicial. Tales problemas juegan papeles importantesen todas las ramas de la ciencia. He aquı un ejemplo de un problema de valor inicial.

Ejemplo 8. Encontrar la curva cuya pendiente en el punto (x, y) es 3x2 si la curva debe pasar por el punto (1,−1)

SOL: Aquı, estamos pidiendo resolver el siguiente problema de valor inicial.

Ec. Diferencial:dy

dx= 3x2

Cond. Inicial: y(1) = −1

La funcion y es una antiderivada de f(x) = 3x2 de manera que y = x3+C. Encontramos C a partir de la condicioninicial y(1) = −1. Demostrando que y = x3 − 2.

Ejercicio 2. Encuentre f(x) sabiendo que f ′(x) = ex +10

1 + x2y f(0) = −2

5

Variable Compleja.



Ejemplo 9. Un globo que esta subiendo a razon de 12 pies/seg esta a una altura de 80 pies sobre el suelo cuandose lanza un paquete desde el. ¿Cuanto tiempo tarda el paquete en llegar al suelo?

SOL: Aquı solo actua la gravedad, es decir, a = −32 pies/seg2. Luego, matematicamente tenemos

E.Dif:dv

dt= a = −32 Cond.Inicial v(0) = 12

Antiderivando, encontramos que v(t) = −32t+ C = 32t+ 12. Ahora, sabemos que

E.Dif :ds

dt= v(t) = −32t+ 12 Cond.Inicial s(0) = 80

Antiderivando nuevamente, s(t) = −16t2 + 12t+ 80 donde s(t) es la altura que tiene el paquete en t.

Ahora halle el tiempo tarda el paquete en tocar el suelo.

1.2. Calculo de areas

Tal vez el primer contacto que se tiene con el concepto de area son las formulas A = bh y A = bh2 las cuales

describen las areas de un rectangulo y un triangulo resp. Mientras que el area de un polıgono se encuentra aldividirlo en triangulos y sumar las areas de esos triangulos.

Los antiguos griegos iniciaron elestudio de areas de figuras conlıneas curvas en los siglos IV y Va.C. Dada una region plana R cu-ya area querıan determinar, tra-bajaban con un polıgono P ins-crito en R (dentro de R) y con unpolıgono Q circunscrito (o fuerade R).

Si los polıgonos Pn y Qn tenıanun numero suficientemente gran-de de lados, de longitud pequena,entonces parecerıa que sus areas,area(P ) y area(Q), se aproxi-man al area de la region R.Ademas, es posible controlar elerror: vemos que

area(P ) < area(R) < area(Q)

ya que R contiene al polıgono P pero esta contenido en el polıgono Q.

Nuestro objetivo principal es describir una tecnica sistematica para aproximar el area de una region curvilıneaadecuada utilizando una suma de areas poligonales faciles de calcular.

6

Variable Compleja.



Sumas finitas y la notacion sigma

La notacion sigma nos permite escribir una suma con muchosterminos en la forma compacta

n∑

k=1

ak = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an−1 + an

La letra griega∑

, significa “suma”. ındice de la sumatoriak nos dice en donde empieza la suma (mediante el numero queesta debajo del sımbolo) y en donde termina (usando el numeroque esta arriba del sımbolo ). Se puede usar cualquier letra paradenotar el ındice, pero las letras mas usuales son i, j y k.

Ejemplo 10.

12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 + 102 + 112 =

11∑

k=1

k2 =

11∑

r=1

r2

f(1) + f(2) + f(3) + · · ·+ f(100) =

100∑

i=1

f(i) =

100∑

s=1

f(s)

n∑

i=1

sin(ix) = sin(x) + sin(2x) + · · ·+ sin(nx)

Ejercicio 3. 1. Calcule

a)

n∑

i=m

k =

b)

n∑

i=m

f(i)− f(i− 1) =

7

Variable Compleja.



c)n∑

i=m

f(i+ 1)− f(i− 1) =

d)

n∑

i=1

f(i+ 1)− f(i− 1) =

2. Usando induccion matematica demuestre que

n∑

i=1

i =n(n+ 1)

2

n∑

i=1

i2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

n∑

i=1

i3 =n2(n+ 1)2

4

3. Usando la formula para

n∑

i=1

(i + 1)2 − (i − 1)2,

n∑

i=1

(i + 1)3 − (i − 1)3 y

n∑

i=1

(i + 1)4 − (i − 1)4 demuestre

respectivamente que

n∑

i=1

i =n(n+ 1)

2

n∑

i=1

i2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

n∑

i=1

i3 =n2(n+ 1)2

4

4. Calcule10∑

i=1

(2i2 − 3i) =

1.2.1. Areas bajo graficas

Primero vamos a empezar por definir la particion de un intervalo cerrado

Definition 3. (Particion de I)Sea [a, b] un intervalo cerrado. Una particion del intervalo [a, b] es el conjunto

P ={x0, x1, x2, . . . , xn

}

con a = x0 < x1 < x2, . . . < xn = b.

1. Toda particion P de [a, b] divide en n subintervalos al intervalo [a, b],

2. La longitud de cada subintervalo [xi−1, xi], para i = 1, 2, . . . , n , se denota con ∆xi = xi − xi−1. Se verifica

n∑

i=1

∆xi = (x1 − x0) + (x2 − x1) + · · ·+ (xn−1 − xn−2) = (xn − xn−1) = b− a

3. Se llama norma o diametro de la particion P al numero ‖P‖ = max1≤i≤n

{∆ix}

4. Cuando el intervalo [a, b] se divide en n partes iguales, ∆xi = ∆x =b− a

n. En este caso, los extremos de cada

subintervalo son

x0 = a, x1 = a+∆x, x2 = a+ 2∆x, . . . xi = a+ i∆x, . . . xn = b

Ahora vamos a intentar resolver el problema del area: hallar el areade la region S que esta debajo de la curva y y = f(x), desde a hasta b.

Para aproximar el area de S dividimos la region S en n franjas deanchos iguales.

El ancho del intervalo [a, b] es b− a, de modo que el ancho de cadauna de las n franjas

∆x =b− a

n

8

Variable Compleja.



Estas franjas dividen el intervalo [a, b] en n subintervalos

[x0, x1], [x1, , x2], [x2, x3], . . . , [xn−1, xn]

donde a = x0 y b = xn.

A partir de aquı podemos obtener una R-estimacionde la i-esima franja, Si, con un rectangulo con ancho∆x y altura f(xi), valor que toma f en el punto ex-tremo derecho del subintervalo; o tambien podemosobtener una L-estimacion de la i-esima franja, Si,con un rectangulo con ancho ∆x y altura f(xi−1),valor que toma f en el punto extremo izquierdo delsubintervalo.

Observe que los puntos extremos xi de la derecha de los subintervalos son:

a+∆x, a+ 2∆x, a+ 3∆x, . . . , b.

Mientras que los puntos extremos xi−1 de la izquierda de los subintervalos son:

a, a+∆x, a+ 2∆x, a+ 3∆x, . . . , a+ (n− 1)∆x.

En decir los extremos estan dados por la siguiente formula xi = a + i∆x. Despues, el area del i-esimo rectangulocon altura f(xi) o f(xi−1) es f(xi)∆x o f(xi−1)∆x.

Al sumar las areas de los rectangulos con altura f(xi) para i = 1, 2, 3, . . . , n, obtenemos la R-estimacion

Rn := f(x1)∆x+ f(x2)∆x+ · · ·+ f(xn)∆x =n∑

i=1

f(xi)∆x

del area real de S. De manera analoga, la suma de las areas de los rectangulos con altura f(xi−1) es la L-estimacion

Ln := f(x0)∆x+ f(x2)∆x+ · · ·+ f(xn−1)∆x =

n∑

i=1

f(xi−1)∆x

La siguiente figura muestra esta R-estimacion para n = 2, 4, 8 y 12.

9

Variable Compleja.



Observe que esta aproximacion parece mejorarse a medida que se incrementa la cantidad de franjas; es decir,si incrementamos la particion del intervalo [a, b], para ello hacemos tender n → ∞. Por consiguiente, se define elarea A de la region S, de la manera siguiente:

Definition 4. (Area neta)El area de la region S que se encuentra debajo de la grafica de la funcion continua f es el lımite de lasuma de las areas de los rectangulos de estimacion:

Area(S) = lımn→∞

Rn = lımn→∞

n∑

i=1

f(xi)∆x Area(S) = lımn→∞

Ln = lımn→∞

n∑

i=1

f(xi−1)∆x

NOTA: De hecho, en lugar de usar f(xi−1) o f(xi) como altura del rectangulo, podrıamos tomar f(x∗i ) donde

x∗i ∈ [xi−1, xi]. A estos numeros x∗

1, x∗2, . . . , x

∗n los llamamos puntos representativos.

A = lımn→∞

f(x∗1)∆x+ · · ·+ f(x∗

n)∆x = lımn→∞

n∑

i=1

f(x∗i )∆x

Conclusion parcial: Si queremos hallar el area de un region S tendremos que usar esta definicion de lımite. Esdecir, debemos conocer la altura f(x∗

i ) y el ancho ∆x de cada uno los rectangulos que vamos a usar para estimarel area S.

Ejemplo 11. Calcule el area A de la region R que se encuentra bajo la parabola y = x2 y por arriba del intervalo[0, 3]. Luego use 5 y 10 rectangulos para estimar dicha altura.

SOL: Primero calculemos con exactitud el area de la region bajo la grafica de f(x) = x2 en el intervalo [0, 3]. Sidividimos [0, 3] en n subintervalos, todos de la misma longitud, entonces tenemos

∆x =b− a

n=

3

nxi = 0 + i∆x = i

3

npara i = 0, 1, 2, . . . , n.

Por tanto,n∑

i=1

f(xi)∆x =

n∑

i=1

x2i∆x =

n∑

i=1

(3i

n)2

3

n=

27

n3

n∑

i=1

i2 =27

n3

n(n+ 1)(2n+ 1)

6

De la definicion de area tenemos que

A = lımn→∞

n∑

i=1

f(xi)∆x = lımn→∞

27(

3+

1

2n+

1

6n2

)

= 9

Ahora calcularemos la R-estimacion y la L-estimacion del area A de R usando 5 rectangulos, cada uno de ancho∆x = 3

5 . Despues repetimos los calculos con 10 rectangulos, cada uno de ancho ∆x = 310 .

10

Variable Compleja.



No es difıcil ver que los 5 extremos xi del lado derecho son 35 ,

65 ,

95 ,

125 y 3, mientras que los 5 extremos xi−1 del

lado izquierdo son 0, 35 ,

65 ,

95 , y

125 . Luego,

R5 =

5∑

i=1

f(xi)∆x = (

5∑

i=1

f(xi))∆x

=(f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5)

)∆x

=[

(3

5)2 + (

6

5)2 + (

9

5)2) + (

12

5)2 + (3)2

](3

5

)

= 11, 88

L5 =5∑

i=1

f(xi−1)∆x = (5∑

i=1

f(xi−1))∆x

=(f(x0) + f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4)

)∆x

=[

(0)2 + (3

5)2 + (

6

5)2) + (

9

5)2 + (

12

5)2](3

5

)

= 6, 48

Usando,

n∑

i=1

i2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6y que xi = 0 + i∆x = 0 + i 3

10

R10 =

10∑

i=1

f(xi)∆x =

10∑

i=1

f(i3

10)3

10=

10∑

i=1

(i3

10)2

3

10

= (3

10)3

10∑

i=1

i2 = (27

1000)(10)(11)(21)

6= 10, 395

L10 =10∑

i=1

f(xi−1)∆x =10∑

i=1

f((i− 1)3

10)3

10=

10∑

i=1

((i− 1)3

10)2

3

10

= (3

10)3

10∑

i=1

(i− 1)2 =︸︷︷︸

k=i−1

(3

10)3

9∑

k=0

k2 = (3

10)3

9∑

k=1

k2

= (27

1000)(9)(10)(19)

6= 7, 695

Ejemplo 12. Encontrar el area de la region limitada por la grafica f(x) = 4− x2, en el eje x y las rectas x = 1 yx = 2.

SOL: Consideremos una particion regular de [1, 2] en n-subintervalos, cada uno de ancho ∆x = 2−1n = 1

n . Luego,

los puntos extremos derechos son xi = a+ i∆x = 1 + in

A = lımn→∞

n∑

i=1


n∑

i=1

[

4− (1 +i

n)2] 1

n

= lımn→∞

n∑

i=1

[

3− 2i

n− i2

n2

] 1

n

= lımn→∞

( 1

n

n∑

i=1

3− 2

n2

n∑

i=1

i− 1

n3

n∑

i=1

i2)

= lımn→∞

[

3− (1− 1

n)−

(1

3+

1

2n+

1

6n2

)]

=5

3

En la definicion 4 de area, las particiones tenıan subintervalos de igual ancho. Esto se hizo solo por convenenciade calculo. El siguiente ejemplo demuestra que no es necesario tener subintervalos de igual ancho

11

Variable Compleja.



Ejemplo 13. [Subintervalos de anchos desiguales]

Encontrar el area de la region acotada por la grafica f(x) =√x y el eje x para 0 ≤ x ≤ 1.

SOL: Aquı NO podemos usar una particion regular con xi =in y ∆x = 1

n ya que

A = lımn→∞

n∑

i=1


n∑

i=1

√

i

n

1

n= lım

n→∞1

n3/2

n∑

i=1

√i =????

Esto nos motiva a considerar una particion x0, x1, . . . , xn donde xi = i2

n2 , de manera que la longitud de cadaa subintervalo esta dada por

∆xi = xi − xi−1 =i2

n2− (i− 1)2

n2=

2i− 1

n

Luego,

A = lımn→∞

n∑

i=1

f(xi)∆xi = lımn→∞

n∑

i=1

√

i2

n2

(2i− 1

n2

)

= lımn→∞

1

n3

n∑

i=1

(2i2 − i) = lımn→∞

1

n3

[

2(n(n+ 1)(2n+ 1)

6

)− n(n+ 1)

2

]

= lımn→∞

4n3 + 3n2 − n

6n3=

2

3

OBS: La razon por la que esta particion en particular da el area apropiada es que cuando n crece, el ancho delintervalo mas grande tiene a cero. Esta caracterıstica es CLAVE del desarrollo de las integrales definidas.

Ejemplo 14. Calcule el area de la region R limitada por las graficas de y = x+ 1 , x = 0 , x = 3 y el eje x.

SOL: En este caso, f(x) = x + 1, a = 0, b = 3 y ∆x = 3n . Consideremos una particion x0, x1, . . . , xn donde

xi = 0 + i 3n , de manera que usando una L-estimacion encontramos que

Ejemplo 15. Calcule el area de la region R limitada por las graficas de y = x2 , x = 3 y el eje x.

SOL: En este caso, f(x) = x2, a = 0 y b = 3, ∆x = 3n . Consideremos una particion x0, x1, . . . , xn donde

xi = 0 + i 3n , de manera que usando una R-estimacion encontramos que

12

Variable Compleja.



1.3. Sumas de Riemann y la Integral

Empezamos con una funcion arbitraria f continua en [a, b]. f pue-de tener valores tanto negativos como positivos.

Consideremos un particion P = {x0, x1, x2, . . . xn−1, xn}de [a, b].

La particion P divide [a, b] en n subintervalos cerrados nonecesariamente del mismo ancho

[x0, x1], [x1, x2], . . . , [xk−1, xk], . . . , [xn−1, xn]

Si la particion es no regular entonces el ancho del primersubintervalo [x0, x1] se denota mediante ∆x1 el ancho delsegundo intervalo es ∆x2 y el ancho del k-esimo subintervaloes ∆xk = xk − xk−1.

Si todos los n subintervalos tienen el mismo ancho, ∆x = b−an , diremos que la particion P es regular.

En cada subintervalo elegimos algun punto ck como “representante de altura”. Entonces, en cada subintervalolevantamos un rectangulo vertical a partir del eje x hasta tocar la curva en (c, f(ck)). Estos rectangulos puedenestar arriba o debajo del eje x, dependiendo de si f(ck) es positivo o negativo, o si f(ck) = 0

En cada subintervalo formamos el producto f(ck)∆xk. Este producto es positivo, negativo o cero dependiendodel signo de f(ck). Cuando f(ck) > 0, el producto f(ck)∆xk es el area del rectangulo con altura f(ck) y ancho ∆xk.Cuando f(ck) < 0, el producto f(ck)∆xk es un numero negativo, el negativo del area del rectangulo de ancho ∆xk

que cae desde el eje x al numero negativo f(ck). Finalmente sumamos todos estos productos para obtener

SP =

n∑

k=1

f(ck)∆xk

13

Variable Compleja.



Definition 5. (Sumas de Riemmann)Sea f una funcion continua en [a, b], y sea P una particion de [a, b] dada por

a = x0 < x1 < x2 · · · < xn−1 < xn = b

donde ∆xk es el ancho de k-esimo subintervalo [xk−1, xk]. Si ck ∈ [xk−1, xk] entonces

SP =

n∑

k=1

f(ck)∆xk xk−1 ≤ ck ≤ xk

suma de Riemann de f para la particion P .

NOTA: Cuando una particion tiene subintervalos cuyo ancho varıa, podemos asegurar que todos son angostoscontrolando el ancho del subintervalo mas ancho (mas largo).

Definimos la norma de una particion P , denotada por ‖P‖ como el mayor de los anchos de todos lossubintervalos.

Si los anchos ∆xk de estos rectangulos son todos muy pequenos (es decir, si la norma ‖P‖ es pequena).

La suma de Riemann SP aproximara el area neta (esto es, “area encima del eje x - el area bajo el eje x”.)

Si particion es regular esto es, todos los intervalos tienen la misma anchura la norma se denota por

‖P‖ = ∆x =b− a

nparticion ordinaria

En una particion general, la norma se relaciona con el numero de subintervalos en [a, b] de la siguiente forma

b− a

‖P‖ ≤ n particion general

De tal modo, que si ‖P‖ → 0 entonces n → ∞. La afirmacion reciproco es FALSA. Por ejemplo, considere laparticion del intervalo [0, 1] dado por

0 <1

2n<

1

2n−1< · · · < 1

8<

1

4<

1

2< 1

para cualquier valor positivo de n, la norma de la particion P es 12 (longitud mas grande). De tal modo, como

al dejar que n tienda a infinito no obliga a que ‖P‖ se aproxime a 0. SIN EMBARGO, en una particion regularlos enunciados ‖P‖ → 0 y n → ∞ si son equivalentes.

Definition 6. (Integral defina´

)Sea f(x) una funcion continua en [a, b]. La integral definida de f en [a, b], es elnumero

ˆ b

a

f(x)dx = lım‖P‖→0

n∑

k=1

f(ck)∆xk

siempre que el limite exista, en cuyo caso decimos que f es integrable en [a, b]. Enotras palabras, ∀ǫ > 0, ∃δ > 0 tal que ‖P‖ < δ para toda particion P de [a, b] y

∣∣∣

ˆ

f(x)dx−n∑

k=1

f(ck)∆xk

∣∣∣ < ǫ

Notacion de Leibniz

para la integral

Porque la notacion

ˆ

f(x)dx:? Resp:/ El origen de esta notacion se debe a Leibniz ya que

ˆ b

a

f(x)dx evi-

dencia su construccion como un lımite de sumas de Riemann.

14

Variable Compleja.



Mas especıficamente, cuando aplicamos limite a las sumas de Riemann, lo que en realidad estamos haciendo esadelgazar la base de los rectangulos originales (haciendo una particion mas fina), de manera que en el limite nuestrorectangulo se convierte en una “linea con espesor muy pequeno”. Es por eso que Leibniz penso que los rectangulosen el infinito son una delgada banda con altura f(x) y ancho “ınfinitesirnalmente pequeno” dx, de modo que suarea era el producto f(x)dx. Considero la integral como una suma de areas de tales bandas y denoto esta suma porˆ

f(x)dx.

Notacion y existencia de la integral definida

El sımbolo para el numero de la integral definida es

ˆ b

a

f(x)dx

que se lee como la integral de a a b de f(x) respecto de x. Tambien las partes que componen el sımbolo de laintegral tienen nombres:

Cuando se satisface la definicion, decimos que las sumas de Riemann de f en [a, b] convergen a la integral

definida

ˆ b

a

f(x)dx y que f es integrable en [a, b]. Tenemos muchas opciones de una particion P con norma que

tienda a cero, ası como numerosas alternativas de puntos ck para cada particion. La integral definida existecuando siempre obtenemos el mismo lımite, sin importar que elecciones hayamos hecho. En ese caso,

lım‖P‖→0

n∑

k=1

f(ck)∆xk =

ˆ b

a

f(x)dx

Cuando cada particion es regular (es decir, ∆xk = b−an = ∆x) escribiremos

lımn→∞

n∑

k=1

f(ck)∆x = I =

ˆ b

a

f(x)dx

El tal caso, las condiciones ‖P‖ → 0, ∆x → 0 y n → ∞ son equivalentes

NOTA: El valor de la integral depende solo de la funcion f y no de la letra que elijamos para representar lavariable independiente.

ˆ b

a

f(x)dx =

ˆ b

a

f(t)dt =

ˆ b

a

f(u)du

Dado que hay tal cantidad de opciones entre las cuales elegir al tomar un lımite de sumas de Riemann, puedeparecer difıcil demostrar que tal lımite existe. Resulta, sin embargo, que no importa que eleccion se haga, las sumasde Riemann asociadas a una funcion continua convergen al mismo lımite.

Teorema 7. Si una funcion f es continua en un intervalo [a, b], entonces f es integrable,es decir, el limite de las sumas de Riemann existe.

15

Variable Compleja.



Recordemos que la funcion f : I → R es continua a trozos en [a, b] cuand o f es continua para todo x ∈ [a, b]excepto para un numero finito de puntos cj , j = 1, 2, . . . ,m para los cuales existe

f(c−j ) = lımx→c−

j

f(x) y f(c+j ) = lımx→c+

j

f(x)

Si cj = a cj = b, debe existir f(a+) o f(b−) respectivamente.

Corollary 8. Si f es continua a trozos en un intervalo [a, b], entonces f es integrable en [a, b].

Ejemplo 16. Sea la funcion f(x) =

−2 si −2 ≤ x < −1

x3 si −1 ≤ x ≤ 1

2 si 1 < x < 2

Se pide

a) Trace la grafica

b) ¿f es integrable en [−2, 2]?

c) Calcule

ˆ 2

−2

f(x)dx Ayuda: ¿Geometricamente que es

ˆ

?

SOL: b) f es integrable en [−2, 2] porque f es continua a trozos en [−2, 2] (observe que f es discontinua enx = −1, en x = 1 y en x = 2; pero en estos puntos existen los lımites laterales. En x = 2 existe el lımite lateral porizquierda).

SOLc)=

Ejemplo 17. Utilice sumas de Riemann para calcular

ˆ b

a

xdx donde a < b

SOL: Consideremos un particion regular{x0, x1, . . . , xn

}de [a, b]. Luego, ∆x = b−a

n y xi = a + i∆x. La R-estimacion (suma de Riemann) es entonces

n∑

i=1

f(xi)∆x =n∑

i=1

(a+ i∆x)∆x = a∆xn∑

i=1

1 + (∆x)2n∑

i=1

i

= a(b− a

n

)

n+(b− a

n

)2n(n+ 1)

2

Entonces,ˆ b

a

xdx = lımn→∞

n∑

i=1


a(b− a) + (b− a)2(n+ 1

2n) =

1

2(b2 − a2)

Funciones no-integrales

El Teorema 8 no dice como calcular integrales definidas, solo nos dice que las funciones continuas en el intervalo[a, b] son integrables ahı. Ahora la pregunta es, ¿las funciones que no son continuas pueden ser integrables ono?. Resp/ (Si) (Ejercicio). Para que una funcion no sea integrable es necesario que sea suficientemente discontinua.

Ejemplo 18. La funcion

f(x) =

1 si x es racional

0 si x es irracional

no tiene integral de Riemann en [0, 1].

16

Variable Compleja.



SOL: Si escogemos una particion P de [0, 1] y elegimos ck como el valor maximo de f en [xk−1, xk] la suma deRiemann correspondiente es

U =∑

k=1

f(ck)∆xk =∑

k=1

(1)∆xk =∑

k=1

∆xk = 1

Por otra parte, si elegimos como el valor mınimo para f en la suma de Riemann es

L =∑

k=1

f(ck)∆xk =∑

k=1

(0)∆xk = 0

ya que cada subintervalo [xk−1, xk] contiene numeros irracionalesc ck donde f(ck) = 0. Como el lımite depende dela eleccion de ck la funcion no es integrable.

Propiedades de las integrales definidas

Cuando f y g son integrables, la integral definida satisface

ˆ a

b

f(x)dx = −ˆ b

a

f(x)dx

DEM a),b), c) y f) son directas identifique la funcion altura y use la definicion de

lımn→∞

n∑

i=1

(funcion altura)∆x

Dem (e): Para toda particion de [a, b] y cualquier eleccion de los puntos ck

(mın f)(b− a) = (mın f)

n∑

k=1

∆xk =

n∑

k=1

(mın f)∆xk ≤=

n∑

k=1

f(ck)∆xk

≤n∑

k=1

(max f)∆xk = (max f)

n∑

k=1

∆xk = (max f)(b− a) �

17

Variable Compleja.



Ejemplo 19. Probar que el valor de

ˆ 1

0

√1 + cos t dt es menor que 3

2 .

SOL: La desigualdad max-mın para integrales definidas dice que (mın f)(b− a) ≤ˆ b

a

f(x)dx ≤ (max f)(b− a).

Pero, en nuestro caso,max[0,1]

√1 + cos t =

√1 + 1 =

√2

De manera que

ˆ 1

0

√1 + cos t dt ≤

√2 <

3

2

Definition 9. (Area de y = f(x))Si y = f(x) es positiva e integrable en [a, b], entonces el area debajo de la curvay = f(x) en [a, b] esta dada por,

Area(S) =

ˆ b

a

f(x)dx

Por primera vez tenemos una definicion rigurosa para el area de una region cuyafrontera es la grafica de cualquier funcion continua.

Ejemplo 20. Calcular el area

ˆ b

a

x2dx, (b > 0).

SOL: Porque es un area?.Resp: . Consideremos una particion regular P = {x0, x1, . . . , xn},luego ∆x = b−a

n y xi = a+ i∆x. La R-estimacion es entonces

n∑

i=1

f(xi)∆x =

n∑

i=1

(a+ i∆x)2∆x = a2∆x

n∑

i=1

1 + 2a∆x

n∑

i=1

i+ (∆x)2n∑

i=1

i2

= a2(b− a

n

)

n+ 2a(b− a

n

)2n(n+ 1)

2+(b− a

n

)3n(n+ 1)(2n+ 1)

6

= a2(b− a) + a(b− a)2(n2 + n

n2) + (b− a)3

(n(n+ 1)(2n+ 1)

6n3

)

Entonces,ˆ b

a

x2dx = lımn→∞

n∑

i=1

f(xi)∆x = a2(b− a) + a(b− a)2 +(b− a)3

3=

b3

3− a3

3

Valor promedio de una funcion y Teorema del valor medio

El concepto del valor promedio de una funcion es util para la demostracion del Teorema Fundamental. Por ello,empezamos con un concepto aritmetico: el promedio de n numeros a1, a2, . . . an se define como

a =a1 + a2 + · · ·+ an

n=

1

n

n∑

i=1

ai.

18

Variable Compleja.



Pero, una funcion continua f en [a, b] puede tener una infinidad de valoresf(x), pero aun ası podemos tomar una muestra de ellos de manera ordenada.Dividimos [a, b] en n subintervalos del mismo ancho ∆x = b−a

n y evaluamos fen el punto ck de cada uno. El promedio de los n valores de la muestra es

f(c1) + f(c2) + · · ·+ f(cn)

n=

1

n

n∑

i=1

f(ci) =1

n

n

b− a

n∑

i=1

f(ci)b− a

n

=1

b− a

n∑

i=1

f(ci)∆x

Conforme incrementamos el tamano de la muestra n, ∆x → 0 y el promedio se

aproxima a1

b− a

ˆ b

a

f(x)dx.

Definition 10. (Altura promedio)Si f es integrable en [a, b], el valor promedio esta dado por

prom(f) =1

b− a

ˆ b

a

f(x)dx

El teorema del valor medio para integrales definidas afirma que la funcion f alcanzasiempre, por lo menos una vez en el intervalo, el valor promedio.

Teorema 11. (Valor medio para integrales)Si f es continua en [a, b], entonces en algun punto c en [a, b],

f(c) =1

b− a

ˆ b

a

f(x)dx

DEM: De la propiedad del max-min tenemos que

(mın f)(b−a) ≤ˆ b

a

f(x)dx = (max f)(b−a) entonces (mın f) ≤ 1

b− a

ˆ b

a

f(x)dx

︸︷︷︸

K

≤ (max f)

Supongamos mın f = f(p) y max f = f(q) con p, q ∈ [a, b]. Luego, f(p) ≤ K ≤ f(q).Ahora, como f es continua, por el teorema del valor intermedio, ∃c ∈ [a, b] tal que

f(c) = K =1

b− a

ˆ b

a

f(x)dx �

¿Porque la continuidad es importante?. Es posible que una funcion discontinuanunca alcance su valor promedio (vease la figura.)

Ejemplo 21. Probar que si f es continua en [a, b], a < b y si

ˆ b

a

f(x)dx = 0 entonces f(x) = 0 al menos una vez

en [a, b].

SOL: El valor promedio de f en [a, b] es

prom(f) =1

b− a

ˆ b

a

f(x)dx =1

b− a0 = 0

De acuerdo con el Teorema del Valor Medio de integrales ∃c ∈ [a, b] tal que f(c) = prom(f) = 0, es decir, f(c) = 0.

19

Variable Compleja.



1.3.1. Teorema fundamental

Si f(t) es una funcion integrable en un intervalo finito I, la integral de cualquiernumero fijo a ∈ I a otro numero x ∈ I define una nueva funcion F cuyo valoren x es

F (x) =

ˆ x

a

f(t)dt F (x) es la funcion area (1.1)

Esta funcion F esta bien definida ya que cada valor de la entrada x le asocia unnumero (area). El TFC afirma que F ′(x) = f(x). Analicemoslo desde el puntode vista geometrico.

Si f ≥ 0 en [a, b], entonces

F ′(x) = lımh→0

F (x+ h)− F (x)

h.

Primero que todo observe que si h > 0 entonces F (x+h)−F (x) es una resta deareas, es decir es el area debajo la grafica de f , de x a x+h (ver grafica). Ahorasi h es pequeno, esta area es aproximadamente igual al area del rectangulo dealtura f(x) y ancho h,

F (x+ h)− F (x) ≈ hf(x) cuando h es pequeno

Por tanto, es razonable esperar que


F (x+ h)− F (x)

h= f(x).

Este resultado es cierto aun si la funcion f no es positiva, y constituye la primera parte del teorema fundamentaldel calculo.

Teorema 12 (TEOREMA FUND. DEL CALCULO, parte 1).Si f es continua en [a, b], entonces

F (x) =

ˆ x

a

f(t)dt

es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), y F ′(x) = f(x)

DEM: Por la definicion de la derivada


F (x+ h)− F (x)

h= lım

h→0

1

h

( ˆ x+h

a

f(t)dt−ˆ x

a

f(t)dt)

.

Pero,ˆ x+h

a

f(t)dt =

ˆ x

a

f(t)dt+

ˆ x+h

x

f(t)dt

Entonces F ′(x) = lımh→0

1

h

ˆ x+h

x

f(t)dt. El teorema del valor promedio para integrales nos dice que

1

h

ˆ x+h

x

f(t)dt = f(c)

pam algun numero c ∈ [x, x+h]. Cuando h → 0 x+h → x, forzando a c a hacerlo tambien (porque c esta atrapadaentre x y x+ h ). Como f es continua en x, f(c) se aproxima a f(x)

lımh→0

f(c) = f(x)

veamos que F es continua en x = a,

lımx→a+

F (x)− F (a) = lımx→a+

F (x)− F (a)

x− a(x− a) = lım

x→a+

F (x)− F (a)

x− alım

x→a+(x− a) = 0

20

Variable Compleja.



luego lımx→a+

F (x) = F (a). De manera analoga F es continua en x = b. Ası pues, F es continua para todo punto de

[a, b]. Esto concluye la prueba. �

Teorema 13 (TEOREMA FUND. DEL CALCULO, parte 2). Si f es conti-nua en [a, b] y G es cualquier antiderivada de f en [a, b], entonces

ˆ b

a

f(t)dt = G(b)−G(a)

DEM: Del Teorema Fundamental 12 nos dice que la funcion area

F (x) =

ˆ x

a

f(t)dt

es una antiderivada de f(x), pero como por hipotesis G(x) es tambien una antiderivada de f(x). Luego, sabemosque

G(x) = F (x) + C C una constante.

Ahora observe que

G(b)−G(a) = [F (b)− C]− [F (a)− C] = F (b)− F (a)

ˆ b

a

f(t)dt−ˆ a

a

f(t)dt =

ˆ b

a

f(t)dt �

NOTA INTERESANTE: Chic@s no les parece sorprendente que

ˆ b

a

f(t)dt, que fue definida mediante un pro-

cedimiento “complicado,” que requiere de todos los valores de f(x) entre a < x < b. (limite-sumas de Riemann) sepueda determinar conociendo los valores G(a), G(b) donde G es una antiderivada f .

Derivacion e integracion como procesos inversos

Usando la primera parte del TFC, encontramos que

d

dx

(ˆ x

a

f(t)dt)

=d

dx(F (x)) = F ′(x) = f(x)

es decir, si INTEGRAMOS f y, a continuacion, DERIVAMOS, regresamos a la funcion original f .

Teniendo en mente la segunda parte del TFC, y el hecho de que G′(x) = f(x), encontramos que

ˆ x

a

[

G′(t)]

dt =

ˆ x

a

f(t)dt = G(x)−G(a)

es decir, si DERIVAMOS G y, a continuacion, INTEGRAMOS, regresamos (casi) a la funcion original Gmenos una constante G(a). Solo en el caso en que G(a) = 0, regresamos a G. Asi que en conclcusion, laintegracion “cancela” el efecto de la derivacion.

NOTA HISTORICA: Sin duda, el Teorema Fundamental del calculo, alcanza el nivel de uno de los mas grandeslogros de la mente humana. Antes de ser descubierto, desde los tiempos de Eudoxo y Arquımedes, hasta la epocade Galileo y Fermat, los problemas de hallar areas, volumenes y longitudes de curvas eran tan difıciles que solo ungenio podıa afrontar el reto. Pero ahora, armados con el metodo sistematico que Newton y Leibniz desarrollaron,(TFC), veremos que estos estimulantes problemas son accesibles para todos.

1.3.2. Notacion para Integrales

Debido al “matrimonio” que ofrecio el Teorema Fundamental del Calculo entre las antiderivadas y las inte-grales, “nos vemos obligados disfrutar de la fiesta de esta linda relacion, jaja”, es por eso necesario considerar apartir de ahora una mejor notacion para las antiderivadas. Por tradicion

21

Variable Compleja.



Ant(f(x)) =

ˆ

f(x)dx = F (x) + C

Ası que antiderivada sera llamada integral indefinida y la interpretaremos como una funcion. Mientras que

ˆ b

a

f(x)dx = F (x)∣∣∣

b

a= F (b)− F (a)

sera llamada integral definida y la interpretaremos como un area neta.

CUIDADO: Una integral definida

ˆ b

a

f(x)dx es un numero, en tanto que una integral indefinida

ˆ

f(x)dx es

una funcion (o una familia de funciones).

La diferencial dx de la ecuacion

ˆ

f(x)dx especifica que la variable independiente es x. Pero podemos descri-

birla en terminos de cualquier variable independiente. Por ejemplo, las integrales indefinidasˆ

3t2dt = t3 + C,

ˆ

3y2dy = y3 + C

ˆ

3u2du = u3 + C

significan exactamente lo mismo que

ˆ

3x2dx = x3 + C.

Ejemplo 22. Sea la funcion f(x) =

−2 si −2 ≤ x < −1

x3 si −1 ≤ x ≤ 1

2 si 1 < x < 2

Se pide

a) Halle F (x) =

ˆ x

−2

f(t)dt x ∈ [−2, 2] ¿Porque F (x) recibe el nombre de funcion area neta? y trace su grafica.

b) Determine el conjunto donde F es derivable y halle F ′(x)

SOLa)=

SOL : b) Si x ∈ [−2,−1] ⇒ F (x) =

ˆ x

−2

f(t)dt =

ˆ x

−2

(−2)dt = −2x+ 4

Si x ∈ [−1, 1] ⇒ F (x) =

ˆ x

−2

f(t)dt =

Si x ∈ (1, 2) ⇒ F (x) =

ˆ x

−2

f(x)dt =

Por tanto , F (x) =

si −2 ≤ x < −1

si −1 ≤ x ≤ −1

si 1 < x < 2

22

Variable Compleja.



SOL: c) F ′(x) =

si −2 ≤ x < −1

si −1 ≤ x ≤ −1

si 1 < x < 2

Luego, F es derivable en [−2, 2) excepto en los

puntos x = −1 y x = 1.

Ejemplo 23. Determined

dx

(ˆ x

0

√

t2 + 25dt)

SOL1: Usando el TFC1 tenemosd

dx

(ˆ x

2

√

t2 + 25dt)

=√

x2 + 25

SOL2: Supongamos que G(t) es una primitiva de√t2 + 25. Es decir,

G′(t) =√

t2 + 25

ˆ x

2

√

t2 + 25dt = G(t)∣∣∣

x

2= G(x)−G(2)

Ası que,

d

dx

(ˆ x

2

√

t2 + 25dt)=

d

dx

(G(x)−G(2)

)= G′(x)(1)−G′(2)(0)

=√

x2 + 25


dx

(ˆ x2

2

4t2 + 1 dt)

SOL1: Usando el TFC1 podemos concluir que

d

dx

( ˆ x2

2

4t2 + 1dt)

= 4x4 + 1 NOOOOOOO

SOL2: Supongamos que H(t) es una primitiva de 4t2 + 1. Es decir,

H ′(t) = 4t2 + 1,

ˆ x2

2

(4t2 + 1)dt = H(t)∣∣∣

x2

2= H(x2)−H(2)

Ası que,

d

dx

( ˆ x2

2

4t2 + 1dt)

=d

dx

(

H(x2)−H(2))

= H ′(x2)(2x)−H ′(2)(0)

= (x4 + 1)(2x)


dx

(ˆ x6

1

t3 sin t dt)

SOL: Supongamos que G(t) es una antiderivada de t3 sin t. Es decir,

G′(t) = t3 sin t

ˆ x6

1

t3 sin tdt = G(t)∣∣∣

x6

1= G(x6)−G(1)

Ası que,

d

dx

( ˆ x6

1

t3 sin t dt)

=d

dx

(

G(x6)−G(1))

= G′(x6)(6x5)−G′(1)(0)

= [(x6)3 sin(x6)](6x5)

23

Variable Compleja.




dx

(ˆ x2

√x

t2dt)

SOL: Supongamos que H(t) es una primitiva de t2. Es decir,

H ′(t) = t2,

ˆ x2

√x

t2dt = H(t)∣∣∣

x2

√x= H(x2)−H(

√x)

Ası que,

d

dx

(ˆ x2

√x

t2dt)

=d

dx

(

H(x2)−H(√x))

= H ′(x2)(2x)−H ′(√x)(

1

2√x)

= (x4)(2x)− x

2√x

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Calculo Integral La Integral Indeﬁnida · 2019. 4. 3. · Fig. 1.1: El problema de la recta tangente motiva el c´alculo diferencial Las derivadas se usan para calcular la velocidad