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8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
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1
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
IDEA DE CONJUNTO: Todos
tenemos la idea de los que es un
conjunto, es una colección,
agrupación, asociación, reunión
de objetos de cualquier
naturaleza.
Estos objetos pueden ser
números, letras, días de la
semana, países, personas, etc. A
estos objetos, en general se les
conoce como “Elementos del
conjunto”.
EJEMPLO:
! El conjunto "ormado por los
números menores que #
$! El conjunto "ormado por las
%ocales
3) El conjunto "ormado por los
pro"esores del &' grado de la
(.E.). “*A+ A-*T(+”.
REPRESENTACIÓN DE
CONJUNTOS
os conjuntos se nombran con
una letra ma/úscula / est0n
"ormados por elementos.
os 1onjuntos se pueden
representar por medio de
diagramas de 2enn o entre
lla%es.
EJEMPLOS
! 3epresentar el conjunto
"ormado por los números
menores que #.
4iagrama de 2E++
Entre lla%es
{ }9;8;7;6;5;4;3;2;1;0= A
$! 3epresentar el conjunto
"ormado por las %ocales.
4(A3A5A 4E 2E++
Entre lla%es
{ }uoiea B ,,,,=
TEORIA DE
CONJUNTOS
A
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2
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
.0.4
.8.6
.2 .1
.5
.3 .7.9
DETERMINACIÓN DE
CONJUNTOS:
POR EXTENSIÓN: -n conjunto
est0 determinado o de6nido pore7tensión cuando se enumeran o
nombran todos sus elementos
que lo "orman.
EJEMPLOS:
{ }9;7;5;3;1= P
{ }amor L ,,,=
5 8 {abril, ma/o, 9. marzo}
POR COMPRENSIÓN: -n
conjunto est0 determinado o
de6nido por comprensión cuando
se da una propiedad que
caracteriza a todos los elementos
del conjunto.EE5);*
)8
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3
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
.1
A ⊂ @ 1 ⊄
A ⊂ *e puede leer de %arias
maneras
“A esta incluida en ”
“A esta contenido en ”
“A es subconjunto en ”“A es parte de ”
CONJUNTOS IGUALES: *e
dice que dos conjuntos son
iguales si tienen los mismos
elementos.
*i A 8 entonces A ⊂ / ⊂ A
EJEMPLOS
! A 8 C@ D@
8 @ C@ D
A / tienen los mismos
elementos
A 8
$! E 8 < #@ @ $=
F 8 < 7>7 ∈ +@ 7 G C=
E 8 F
CONJUNTOS DISJUNTOS:
*i no tienen ningún elemento encomún. *e denota: A H
A 8 {I, i, j} 8 {p, q, r}
A / son disjuntos
+ota: a intercepción de $
conjuntos disjuntos es el %acío∅ .
CLASES DE CONJUNTOS
Conjunto Finito.J *i se puede
contar todos sus elementos.
EJEMPLO:! A 8 < 7 ∈ +> G 7 G K=
A 8 & ⇒1onjunto
-nitario.
$! 8 < 7 ∈ + > 7 G #=
8 < #, , $, C, D, , &, K, L,
M=
C! 18 < lunes, martes,
miBrcoles,
ue%es, %iernes, s0bado,
domingo=
Conjunto Infnito.J *i no se
pueden contar todos sus
elementos.
EJEMPLOS:
! 4 8 < 7 ∈ + > 7 es par =
4 8 < $@ D@ &@ L@. . . =
$! E 87 es múltiplo de =
E 8 < #@ @ #@ @ $#@. . . =
$! F 8
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4
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
Conjunto Va!o.J El conjunto
%acío no tiene elementos / se
pueden representar de dos
maneras: φ 8 1onjunto 2acío
< = 8 1onjunto 2acío
+ota: El símbolo φ es una letra
griega que se lee: “"Ii”.
EJEMPLOS:
! A 8 < 7 ∈ + > G 7 G & =
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5
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
.5
Conjunto
Pot"nia.J Es
el conjunto
de todos los
#u$
onjunto#
de un
conjunto
dado, si el
conjunto
dado es “A”,
el conjunto
potencia de
“A” se denota
por )NA! / se
lee: “) de A”.
*i A 8 {a, b,
c} ⇒ +O de
elementos
del conjunto
potencia A 8
$n, n 8 C
entonces $C 8
L sub
conjuntos
Ejemplos:
! A 8
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6
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
c! R 8
< Abril,
Agosto =
R 8
d! ( 8 < a, l,
g, e, b, r =
( 8
e! 8 < $$@
$D@ $&@ $L@ C#
=
8
&.;bser%a el
diagrama /
escribe los
símbolos: ∈, ∉ , ⊂ , o ⊄
, según
corresponda
.
a! p A
g! % -
m! s
b! r A
I! 1 n!
c!1
i! u 1
?! t -
d! t 1
j! 1 -
o! A -
e! t
! r 1
p! % -
"!A 1
l! A
q! s A
'. En cada
uno Ialla su
conjunto
potencia
a! A 8 < 7
∈ +, 7 G =
) N A ! 8
b! 8
< p, q , r =
)N ! 8
c! 1 8
< $7 > 7 ∈+, 7 G
=
) N 1 ! 8
d! 48 < 7>7
Es
consonante
de la
palabra
(a() =
)N 4!8
e! E 8 7
Es
%ocal
de la
palabra
amor=
) N E ! 8
NIVEL I
. 4etermina
r el
número de
elementos
del
1onjunto
A 8 < C7JC >
7 ∈ + ∧ #
G 7 G D =
a! b!
$ c! C
d! D e!
$. *e tiene el
conjunto:
A 8 < 7 $S
7 > 7 ∈ + ∧ $
G 7 G & =
.q
.s
. .! ."
.#
.$
B
.%
.&
A
C
U
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7
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
Rallar la
suma de los
elementos
del
1onjunto A
a! b! &$
c! &D d! &&
e! &L
C. Rallar “ a
S b “,
si el
conjunt
o ) es
unitario
)8< ND a J
C ! @ $ @ N
Cb S
C ! =
a! # b!
c! $ d! C
e!D
D. 4ecir si las
proposicio
nes son
%erdadera
s o "alsas.
E 8 < a,
e, < i = =
(. a ∈ E ((.< i = ∈ E
(((. < i = ⊂ E
a! 222 b!
F2F c! 22F
d! FFF
e! 2F2
. +os dan
las tres
relaciones @
(. φ
((. <φ = ((( < # =
)odemos
a6rmar que :
a! 2acío,
-nitario,
-nitario
b! 2acío,
%acío,
%acío
c! -nitario
,unitario
,
unitario
d! 2acío,
-nitario
, 2acío
e! -nitario
, %acío,
%acío.
&. *e tienen
los siguientes
conjuntos :
5 8
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8
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
c! A / 1
d! *ólo 1
e! os tres
M. *i A 8 < b,
c, d, e =
cuantos
elementos
tiene )N A !
a! L b!
& c! D
d! C$
e!&D
#. *i ) NA !
8 &D
1uantos
elementos
tiene el
conjunto A
a! L b!
& c! K
d! e! M
*. E#+i$",o#
","("nto# -" a-aonjunto:A 8 etras
del nombre
1anto 3e/
A 8
{99999
99999
99999.
}
8
)ro%incia deima
8
{99999
99999
99999.
}
1 8+úmeros
naturales
menores
que L
1 8
{99999
9999999999.
}
4 8
+úmeros
pares
menores
que D4 8
{99999
99999
9999.}
E 8
+úmeros
pares
ma/ores
que & pero
menores
que K
E 8
{99999
99999
99999.
}
F 8
+úmeros de
$ ci"ras queterminan en
C / que son
menores
que D
F 8
{99999
9999999999.
}
8
+úmeros de
C ci"ras
menores
que /cu/a suma
de las ci"ras
de las
decenas /
unidades es
K
8{99999
Vamos a
practicar
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9
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
99999
99999}
. E#+i$"
"n ,o#"#/aio#,i$+"# ",#!($o,o
∈
o∉
#"01no++"#/on-a2t"ni"n-o"nu"nta
,o#onjunto#C2 D2 E2 F2G -" ,a/+"0untaant"+io+:a! & 99 b! 991c! CD 9.. d!
LC 9.. Fe! K 9994 "!$ 99 Fg! L 99..E I!C 9.. Fi! 9991 j!# 99 4
%. La##i0ui"nt"#af+(aion"# #"+"f"+"n a,o#onjunto#-" ,a/+"0unta
* 3Cu),"##on4"+-a-"+
a# 5ua,"##on6a,#a#7Co,oa V
o F #"01no++"#/on-a:
a! t ∈ A
N !
b! DC ∉
N !
c! $ ∈ AN !
d! # ∈ 4
N
!
e! & ∈ 1
N !
"! LC ∉ FN !
&. O$#"+4a,o#-ia0+a(a# 5"#+i$",o#","("nto# -" a-aonjunto:
S 8{99999999999}
T 8{99999999999}
P 8{99999999999}
9 8{99999999999}
R 8{999999
99999}
A 8{99999999999}
9 8{99999999999}
R 8{99999999999}
A 8{99999999999}
8{999999
99999}
C 8{99999999999}
'. En a-aa#o-i$uja un-ia0+a(a/a+a ,o#onjunto#-a-o#:a! 5 8{#@ @ K}
+ 8 {L@@ #@ }
3 8 {$@&@ L@ M}
b! ) 8 {$@D@ &@ K}
U8 {C@D@ L@ }
3 8 {@$@ &@ L@ M}
;. D"t"+(ina+ /o+o(/+"n#i
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EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
#onjunto#:
A 8{
=>=
∈ N ∧ ?= ? *%
}
A 8{
@@@@@@@@@@.}
8{
=>= "#
/,an"ta -",#i#t"(a #o,a+}
8{
@@@@@@@@@@.}
C 8 {* 'B **}
C 8{
@@@@@@@@@@.}
D 8{
/inta2nia2 #anta(a+ia}
D 8{
@@@@@@@@@@.}
*. O$#"+4a",
-ia0+a(a5+"#/on-":
a! V1u0les sonloselemen
tos delconjunto )W
b! V1u0les sonloselementos delconjunto UW
c! V1u0les sonloselementos delconjunto 3W
d! V1u0les sonlos queperten
ecen a) / 3W
. O$#"+4a",-ia0+a(aant"+io+5o(/,"taon
∈
<∉
a! C 99 3b!
$ 99. )
c! 99 Ud!
C 99. U
e! $ 993 "! 9. 3
g! C 99 )I!
99. 3
i! 99 3
j! D99. U
%. Si A 8{
a2 $2 2-2 "
}
8{
/22 +2 #
}
C 8{
*2 2 %2 '}
In-iau),"#-" ,a#
#i0ui"nt"#af+(aion"# #on4"+-a-"+a# o6a,#a#:
a! a ∈ A N!
b! ; ∈ 1 N!
c! F ∈ a N!
d! i ∈ 1 N!
e! ) ∈ N!
"! D ∉ 1 N!
g! A ∉ b N
!
I! {$} ∈ 1N!
&. O$#"+4a",-ia0+a(a5-"t"+(in
a /o+"=t"n#i
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EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
a! R 8 {7>7∈ + ∧ # G7 Q $#}
b! ( 8 {7>7∈ + ∧ $ ≤7 ≤ &}
c! 8 {7>7es impar∧ C G 7G $}
d! X 8 {7>7∈ +, 7 80
3 ∧ 7 GD}
;. D"t"+(ina+ /o+o(/+"n#i
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EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
&. D 8{
=∈
N>=≤
*K}
'. E 8{
=∈
N>=≤
'}
;. F 8{
=∈
N>*%≤
=≤
*&}
B. G 8 {= ∈N>=
∧
=≤
'}
. 8{
5∈
N i(/a+> = 8 5
∧
;? ; 5
? *}
. I 8{
=∈
Ni(/a+>*' ?=≤
&'}
*K. J 8{
=∈
N>≤
=≤
*&}
**. 8 {= ∈N>%
≤
=≤
&}
*. L 8{
=∈
N>≤
=≤
= "#
(1,ti/,o-"
}
*%. M 8{
=Q *>=
∈
N∧
= ? ;}
*&. N 8{
=>="# ,"t+a -",a
/a,a$+a,o+ito
}
II. Ma+a4"+-a-"+o V o6a,#o F#"01n
o++"#/on-a
*. A 8{
* %}
∧
8{
% &
' ;}
∈ A N!
∈ A N!
& ∈ N!
C ∈ N!
C ∈ A N!
∉ N!
$ ∉ N!
D ∈ A N!
C ∈ A ∩ N !
$ ∈ A ∩
N !
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EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
III. Ma+a4"+-a-"+o V o6a,#o F#"01n
o++"#/on-a:
*. A 8{
* %}
∧
8{
* %&}
A ⊂ N!
∅ ⊂ N!
⊄ A N!
{ }⊂ N!
{@$ }⊂ AN !
. A 8{
B &}
∧
8{{
*}
% & B
}
A ⊂ N !
⊂ N !
⊄ AN !
{ }⊂ N !
{{ }}⊂ N
!
IV. O$#"+4a2+"#u",4a5 -i0a #i
#ononjunto#i0ua,"#:
*. A 8{
=>="# ,"t+a -",a /a,a$+a
/",i0+o#o
}
8{
=>="# ,"t+a -",a /a,a$+a
/",i0+o#
}
. A 8{
=>="# ,"t+a -",a /a,a$+a
na+anja
}
8{
=>="# ,"t+a -",a /a,a$+a
ana+anja-o
}
V. O$#"+4a2+"#u",4a5 -i0a3Cu)nto#","("nto# ti"n"7
*. A 8{
=∈
N>* ? =≤
&}
8{
n>n8 = * *
≤
=≤
'}
%. Si A 8{
=∈
N> ? =≤
'}
8{
=∈
N>' ? =≤
}
a,,a+:n
PA]
Q n
P]
&. Si C 8{
%=> =∈
N∧
≤
= ? ;}
D 8{=Q>= ∈ N ∧&≤
=≤
;}
a,,a+:n
PC]
Q n
PD]
VI. S"01n",-ia0+a(a:*
Enu"nt+a to-a#,a#
in,u#ion"#/o#i$,"#
Enu"nt+
a to-a#,a#in,u#ion"#/o#i$,"#
INTERSECCIÓN DECONJUNTOS . aintersecciónde dosconjuntos, esotro conjunto"ormado porlos elementos
quepertenecen aesos dosconjuntos a la%ez.
∩ ⇒
(ntersección
En cadadiagrama, la
OPERACIONES CON
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EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
parte
sombreada
representa la
(ntersección
de los
conjuntos
EJEMPLOS :
J ;bser%
a el
diagra
ma /
e7presa
por
e7tensi
ón cada
conjunt
o .
A 8 < @ $@
C@ D@ @ =
8 < @ $@
&@ K @ L@ =
1 8 < @ @
&@ K@ M@ =
A ∩ 8 < ,$ =
A ∩ 1 8 < ,
=
∩ 1 8 < ,
&, K =
A ∩ ∩ 1 8
< =
$! *i ) 8
< a@ b@ c@
d@ e@ " =
U 8 < d@
e@ "@ g@
I =
Ralla ) ∩ U
/ representamediante
diagrama de
2enn
RESOLUCIÓ
N
) ∩ U 8
7
es letra de
la palabra
Vi+1 =
Rallar A ∩
RESOLUCIÓ
N
. Da-o#
,o#
Conjunto
# :
1 8 < 7 ∈ + >
7 ≤ #, Y es
par =
4 8 < 7 ∈
+ > 7 G ,
Y es múltiplo
de D=
Rallar 1 ∩ 4
RESOLUCIÓN
A ∩ B C ∩ D ' D
E ∩ ( ' φ
E (P
R
A
B
D
C
C%*&"%s D+s*&"%s
P∩∩R
P
Ø F E =∩
YO LO PUEDO HACER YO LO PUEDO HACER
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EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
%. Da-o# ,o#
onjun
to#:
3 8 < 7 ∈
+ > 7 Q
$ =
* 8 < 7 ∈
+ > 7 es
di%isor de L =
RAA3 :
3 ∩ *
RESOLUCIO
N
&. S" ti"n"
,o#
#i0ui"nt"
#
onjunto#
A 8 < $7
S C > 7 ∈ +
∧ 7 G
D = 8
< C7 > 7 ∈
+ ∧ 7≤
=
Rallar : A ∩
RESOLUCIO
N
. 4ados los
conjuntos
A8< 7∈ + >
7 ≤ , 7
es impar =
8 C G 7
G $ =
+ 8 < 7∈ +
> $ ≤ 7 ≤
C =
V 1u0ntos
elementos
tiene el
1onjunto
5 ∩ +W
a! & b!
K c! L
d! M e!
#
C. 3 8 < 7> 7
es di%isor de
L =
* 8 < 7>7
es múltiplo
de C =
RAA3 3
∩ *
a! < @ C @
& =
b! < @ C@
& @ M =
c! < C @ &@
M@ L =
d! < C @ M@
L =
e! < @ $@
C@ &@
L =
D. 4ados los
conjunt
os
A 8 < C7 >
7 ∈ + ∧
≤ 7 G =
8< 7 S $ >
7 ∈ + ∧ $ G
7 G K =
RAA3 :A∩
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EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
B
a! < C @ D
@ @ &
=
b! < &@
K @ L =
c!
< C =
d!
< & =
e! φ
. 4ados los
1onjuntos
) 8 < 7 >
7∈ + > 7
es par =
U 8 < 7 >
7∈ + > 7es impar =
RAA3: )
∩ U
a! )
b! U
c! φ
d! < φ =e! < # =
&. 4ado los
1onjuntos:
A 8 < 7 ∈
+ > 7 Q &=
8< 7 ∈ +
> 7 es
di%isor de
$# =RAA3 :
A∩
a! < @
@ $# =
b! < @ #
@ @
$# =
c! < @ @
@
$# =
d! < #@
$# =
e! < @ #
@ =
K. 4ado los
siguientes
conjuntos
A 8 < C7S
> 7∈ + >
7G =
8 < 2 x >
7∈ + > 7 ≤
D =
RAA3 :n NA∩!
a! b!
$ c! C
d! D e!
L. 4ado los
conjuntos :
4 8 < 7∈
+ > G
7 G $ =
E 8 < 7∈ +> L ≤ 7
G $K =
RAA3 :
n N 4∩E !
a! $ b!
C c! Dd! e!&
M. *i ) 8
< 7∈ + > $
≤ 7 G L =
U 8
< 7∈ + >D G 7 G
M =
3 8 < C
@ @ K@
M =
RAA3 :)∩U∩3
a! < C @
@ K =
b! < @ &@
K@ L =
c! < &@
L =
d! < @ K
=
e! < C @
@ K @
M =
#. *i A8
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EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
c! D
1
d! $ , D
e! , $.
D
UNIÓN DE
CONJUNTO
S . a unión
de dos
conjuntos es
otro conjunto
"ormado por
todos los
elementos
que
pertenecen a
dicIos
conjuntos.
U ⇒ -+(;+
En cada
diagrama , la
parte
sombreada
representa la
-nión de los
conjuntos
A
1
4
A -
1 - 4
E - F
EE5);* :
. 4ado los
siguientes
conjuntos :
A 8 < C@ @
K@ =
8 < @ K@
M@ =
1 8 < K@
M@ =
4 8 < $@ D@
& =
Ralla /
constru/e un
4iagrama
para cada
caso :
a! A - 8
< C@ @ K@
M =
4iagrama:
A
b! - 1 8
< @ K@
M =
- 1 8
4iagrama:
c! A - 4 8 <
$@ C@ D@ @
&@ K =
4iagrama:
A
4
A - 4
. 4ado los
conjuntos
.5
.7.3 .9
C
.5
.7 .9
.3
.5 .72.
. 4 .6
A
resolver
nuestros
ejercicios
YO LO PUEDO HACER YO LO PUEDO HACER
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18
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
A 8 < $7 S
C 7∈ +
7 G =
8 < 7$
>7∈ + ∧
7 ≤ C=
Rallar A -
RESOLUCI
Ó
$. os
conjuntos
A /
tienen
elementosen común@
se sabe
que n N A !
8$
n N b! 8
/ n NA
∩ ! 8 &,-E; n
NA ∩ !
Es igual a :
RESOLUCIÓ
N
C. 4ados los
conjuntos
A 8 < 7∈ +
> $ ≤
7G#@ Es
múltiplo
de
$ =
8 < 7∈
+ > 7 es
di%isor de
$ =
Rallar: n
NA - !
RESOLUCI
ÓN
D. Rallar
la 3eunión
de los
siguientes
conjuntos
/
representa
rlo
gr06came
nte
A 8 < 7∈ + >
7 ≤ D =
8 < 7∈ + >
7$
8 M =1 8 < 7∈ + >
7 J 8 D =
RESOLUCIO
N
. 4el
siguiente
diagrama
V1uantoselementos
tienen el
conjunto
N A ∩
! - 1W
RESOLUCIO
N
. 4ado los
conjuntos :
A8 Y ≤ M,
Y es impar=
8< 7∈
+ > ≤ 7 G
=
Rallar : A -
a!
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19
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
d!
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20/240
20
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
se sabe
nNA!8L
n N ! 8C
/ n NA∩ !8 M, luego:
nNA - !
es igual a :
a! $# b!
$ c!$$
d !$C
e!$D&. 4el
siguient
e
4iagra
ma
V 1u0ntos
elementos
tiene el
1onjunto
:NA∩ ! -
1 W
L. *ean los
conjuntos: A
8$ ≤ 7 G $@ 7es
múltiplode C}
U 8 {7 ∈ +>$# ≤ 7 G C$@ 7es
múltiplode &}
Rallar ) ∪ U:
. Da-o# ,o#
a! D
b!
c! &
d! K
e! L
Lo
estamos
logrando
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21
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
o
nj
u
n
t
o
#:
A 8 {7 ∈ +> 7G K} 8 {7 ∈ +> 7≤ 7 G M}1 8 {7 ∈ +>7 8 $#}
Rallar A ∪ ∪ 1:
%. En a-aa#oHa,,o ,o#","("nto# -",
onjuntoint"+#"i7
es la letra dela palabra
puerto}
8 {7>7es la letra dela palabra
pintura}
E 8 { 7 ∈+> L G 7 ≤$}
4 8 { 7 ∈+> & ≤ 7 G$$}
&. Da-o# ,o#onjunto#:
A 8 {* % & ' ;
}
8{
% &' ; B
}
C 8{
%&}
D 8{
B }
a,,a ,a-i6"+"nia 50+afa:a A $ A A C- C A" C D6 D C
'. D" ,o# &Ka,u(no#-", * ao 'ti"n"n
,i$+o -"A+it(tia2 * ti"n"n,i$+o -"
G"o("t+!a5 ' noti"n"nnin0uno-" "#to#,i$+o#.3Cu)nto#a,u(no#ti"n"n#o,a("nt",i$+o -"A+it(tia7
;. D" %&a,u(no#"nt+"4i#ta-o# ;ono"nA+"ui/a5 Puno no
ono"nnin0una-" "#ta#iu-a-"#.*; noono"nPuno.
DIFERENCI
A DE
CONJUNTO
S a
di"erencia de
dos conjuntos
NAZ ! es
otro conjunto"ormado por
todos los
elementos
del conjunto
A que no
pertenecen al
1onjunto .
A Z ⇒
A 4i"erencia
En cada
diagrama la
parte
sombreada
representa la
di"erencia de
conjuntos.
EE5);* :
. *ean os
conjuntos :
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22
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
A 8
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23
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
$ 4ado los
conjunt
os
A 8
< @ $@ C@ D@
=
8
< @ C@ @ K@
M=
RAA3
A∆ [
3AF(1A3
RESOLUCIÓ
N
A∆ 8 NA Z
! - N Z A !A∆ 8 < $@ D
= - < K, M=
A∆ 8 < $@
D@ K@ M=
DIAGRAMA
C. ;bser%a el
4iagrama /
e7presa por
e7tensión
cada
1onjunto .
. ;bser%a el
diagrama
/ e7presa
por
e7tensión
cada
conjunto :
RESOLUCIÓ
N
$. 4ado los
conjuntos :
A 8 < $@
D@ &@ L=
8< D@
&@ L@ M=
1 8 < D@
&@ #=
Ralla /
constru/e un
diagrama
para cada
caso :
a! A Z 8
b! Z 1 8
c! 1 J A
8
C. ;bser%a el
4iagrama
/ e7presa
por
e7tensión
cada
conjunto :
RESOLUCIO
N
P' , /, +, %,& ' , , %,
P ' /, +, &
P' ,
P∆' /, +, &, ,
M'
'
M '
M'
P'
'
P '
P'
P∆'
N
YO LO PUEDO HACER YO LO PUEDO HACER
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24
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
D. 4ado
los
conjunt
os:
A8
7 G # ∧
7 es
impar=
8 < @
K@ M@
=
Rallar /
representa
con un
4iagrama
A∆
RESOLUCIÓ
N
COMPLEMENTO DE
UN
CONJUNTO
Es lo que le
"alta al
conjunto para
ser igual al
conjunto
-ni%ersal
N - ! . * i e l
1onjunto A
U ⊂ , su
complemento
se denota porA\ , tambiBn
se usan las
notaciones:
Ac A A
U c ==
*(5](1A5E
+TE:
{ x x AU AU c ∈=−=
4iagrama de
2E++
-
*i A ⊂ , el
complemento
de A respecto
al conjunto ,
se representa
por C A B
{ x B x x C A
B∉∧∈= >
A
AU C A
U −=
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25
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
EJEMPLO
!
*ea:-8
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26
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
d! C A
Be!
C A
A"! C
F
B
2. 4ados losconjuntos:+ 8 -A 8 {C7>7∈ + , 7 ^C} 8 {$7 JC>7 ∈ +, $G 7 G K}1 8 {7 ∈ +>7 es di%isorde G #}Ralla loselementos /gra6ca lossiguientesconjuntos:
a! NA J !\b! A\ Z \
c! 1\ ∩ \
C. 4ados losconjuntos:) 8 {C@ @ K@M}@ U 8 {@$@ D@ &@ L} ∧ 38 {C@ D@ K@ L@
M@ #}Rallar: N) ∪ U!∆ 3
4. En eldiagramaque semuestrasombreala regiónquecorresponde alconjunto:NA ∩ !\ :
. )lanteadosconjuntos
/determinasudi"erenciasimBtrica /sucomplemento:
. 4ados losconjuntos:) 8 {7>7 ∈+ $ G 7 ^L}
U 8 {$7>7∈ +@ ^ 7G }
3 8 {7 esdígito par}
* 8 {7 esdígitoimpar}
T 8 {#@ @$@ 99. @#}
Ralla /representa:
a! ) ∆ Ub! U ∆ A
c! 3 ∆ *d! * ∆ 3
e! ) ∆ )"! N3 ∆
*! ∆ )
$. 4ados losconjuntos:- 8 {#@ $@D@ &@ L}A8 {D@ L}
8 {$@ &}
Rallar: NA\∩ ! ∪ N\∩ A!
C. 4ado elconjuntouni%ersal:
- 8 {@ $@C@ D@ @ &@ K@
L@ M@ #}3 8 {@ C@
@ K@ M} ∧* 8 {$@ C@
D}
Rallar N3 J*!
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27
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
D. 1onsidera
losconjuntos:A 8 {7>7 ∈+ ∧ K ^ 7G $}
8 {7>7 ∈+ ∧ 7 ^#}
a! 1ompletaeldiagrama
b! *i elconjuntore"erenciales +escribepore7tensión:
• \• NA ∪ !\• NA ∩ !\
.*i -
8 { }10
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28
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
c! < @
C@ @
K@ M=
d! < C@ @
K@ M=
e! < C@ D@
@ &=
$. 4ado los
conjuntos
:
1 8
{ }92
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29
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
Rallar A
∆
a!
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30
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
RESOLUCIÓ
N DE
PROLEMA
S CONCONJUNTO
S
Algunos
problemas
que se
resuel%en
mediantesumas /
restas, son
mejor
comprendido
s si usamos
gr06cos /
conjuntos.EE5);* :
! En un
grupo de
ni?os K#
comen
manzanas,L# comen
peras / #
comen
peras /
manzanas,
V1u0ntos
son los
ni?os del
rupoW
RESOLUCIO
N
uego : a
suma de las
partes es
igual al total.
+'4e ni?os
del grupo8
NK# Z
#!S#SNL#J
#!
8 $# S # S
C#
8 ##
$.4e un
grupo de
##
jó%enes, &
estudian, D
trabajan /
$ estudian
/ trabajan,
V1u0ntos no
estudian ni
trabajanW
RESOLUCIÓ
N
uego :asuma de las
partes es
igual al total.
D# S
$ S $#S Y
8 ##
L S Y
8 ##
Y 8
## Z
L
Y 8
3)TA . Ra/
jó%enes que
no estudian
ni trabajan.
C.En una
escuela de
#
alumnos,
D#
estudian
ingles, #
estudian
"rancBs e
inglBs / ##
no estudian"rancBs ni
inglBs
V1u0ntos
estudian
sólo
"rancBsW
RESOLUCIÓ
N
+o estudianni trabajan
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31
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
uego :
D##S# S Y
S ## 8 #
Y S# 8
#
Y 8
#J #
Y 8 #
3)TA . El +'
de alumnos
que estudian
sólo "rancBs
son #
D.4e L
estudiantes
encuestado
s: &
practican
Fútbol, $M
tenis / D no
practican
ninguno de
estos
deportes
V1u0ntos
practican
"útbol /
tambiBn
Tenis W
RESOLUCIO
N
uego:
N & Z Y! S Y
S N $M Z Y!
SD 8 L
&JY S
Y S $M Z Y SD 8 L
MD Z Y 8L
MDJ
L
8 Y
C
8 Y
3)TA .
)ractican
ambos
deportes C
estudiantes.
. E
n un aula K
alumnos
estudian
0lgebra /
geometría,
de los
cuales a D
les gusta
sólo el curso
de
geometría,
a
alumnos les
gustan
ambos
cursos / a
no les gusta
ninguno de
los cursos.
VA cu0ntos
alumnos le
gusta sólo
0lgebraW
RESOLUCI
YO LO PUEDO HACER YO LO PUEDO HACER
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32
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
&. E
ntre
personas
que
consumen
Ielados se
obser%aron
las
siguientes
pre"erencias
: K$
consumen
Ielados de
úcuma , M&
consumen
Ielados de
"resa / &
no
consumen
ninguno de
estos
sabores
V1u0ntos
consumen
sólo Ielados
de
úcuma W
RESOLUCI
ON
K. E
n un grupo
de
jó%enes, D#
estudian
aritmBtica,
$C
3azonamien
to
5atem0tico
/ los dos
cursos.
V1u0ntos no
estudian
ninguno de
los dos
cursosW
RESOLUCIO
N
L. 4
e C#
alumnos L
practican
"útbol / &
0squet.
V1u0ntos
practican
los dos
deportesW
RESOLUCIO
N
M. E
n el mes de
abril, Elena
durante $#
días toma
jugo en el
desa/uno /
# días
toma jugo /
lecIe.
V1u0ntos
días toma
solamente
lecIeW
RESOLUCIO
N
. A los
alumnos
del O a?o
9. Tienen
ma/or
inclinación
por:
- a L les
gusta
ot0nica
/
AritmBtic
a.
- a & no
les gusta
nada
- a $# les
gusta
AritmBtic
a
- a & les
gusta
ot0nica
V1u0ntos
alumnos
Ia/ en el
aulaW
$. En una
encuesta
de #
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
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33
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
alumnos
sobre la
pre"erenci
a por los
cursos de
AritmBtica
/ Algebra,
se
obtu%ieron
los
siguientes
resultados:
-
pre6ere
n
AritmBti
ca
- #
pre6ere
n
Algebra
- $# no
pre6ere
n
ningun
o de
estos
cursos
C. 4e un
grupo de
los
alumnos:
C# pre6eren
enguaje
D# pre6eren
AritmBtica
pre6eren
otros
cursos
V1u0ntos
pre6eren
AritmBtica
/
enguajeW
D. 4e #
estudiante
s
encuestad
os:
$# practican
solo "útbol
$ practican
"útbol /
natación
- # no
practica
n
ningun
o de
estos
deporte
s
V1u0ntos
practican
solo "útbol
/ cu0ntos
sólo
nataciónW
a! C$ / $#
b!
$ / L
c! L / D
d!
$ ó D
e! C# / $
. En una
e%aluación
de ##
alumnos,
&
aprobaron
AritmBtica,
$
aprobaron
AritmBtica
/
eometría
/
aprobaron
sólo
eometría
. V1u0ntos
no
aprobaron
ningunos
de los
cursos
mencionad
osW
a! #
b!
c! $#
d! $
e! C#
&. En una
encuesta
realizada a
$# )adres
de Familia:
D# leen
solamente
el diario a
3epública,
leen
solamente
el diario el
;jo, $ no
leen
ninguno
de estos
diarios.
V1u0ntos
no leen el
diario el
;joW
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34
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
a! $
b! &L
c! DL
d! $#
e! CL
K. 4e C##
alumnos
que
salieron al
recreo: M#
bebieron
1ola
(nglesa,
bebieron
(sac Xola,
#
bebieron
ambas
bebidas.
V1u0ntos
alumnos
bebieron
sólo uno
de estas
bebidasW
a! C#
b!
c!
$#
d! K#
e!
+inguno
L. En una
encuesta
en el
mercado
sobre el
consumo
de pollo /
carne se
encontró
que de los
###
encuestad
os:
- $## no
consume
n
ninguno
de estros
producto
s
- ## no
consume
n pollo
- # no
consume
n carne
V1u0ntos
consumen
pollo /
carneW
M. )lantea #$
problemas
/
resuBl%elo
s
. 4e $
pro"esores
, L
ense?an
to. rado
/ K en &to.
rado
V1u0ntos
ense?an
en los dos
gradosW
a! $
b!
c! D
d! C
e!
$! uan en el
mes de
unio
consume
ca"B por
$# días, tB
/ ca"B por
L días.
V1u0ntos
días
consume
solamente
tBW
a! L
b!M
c! #
d! L
e!
$
C! 4e los
alumnos
de un
aula, #
tienen
libro de
5atem0tic
a / de
5atem0tic
a /
comunicac
ión
integral,
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35
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
V1u0ntos
tienen un
sólo libroW
a! C
b! D
c! $
d! D#
e! $#
D! 3ocío
consume
en el mes
de ma/o:
L días
mantequill
a / K días
mantequill
a /
mermelad
a
V1u0ntos
días
consume
mermelad
aW
a! $#
b! C
c! K
d! M
e!
! -n club
tiene DL
socios, de
los cuales
CK
practican
ajedrez /
$MC tenis
de mes
V1uantos
practican
los dos
deportesW
a! &#
b! $D
c! $
d! DL
e!
L#
&! A una
pe?a
criolla
asistieron
MD
personas
de las
cuales: D#
sólo
cantan, C#
sólo bailan
/ # no
cantan ni
bailan.
V1u0ntos
cantan /
bailanW
a! #
b!
c! $
d! C
e!
D
K! En una
encuesta
IecIa a
$##
alumnos
sobre sus
pre"erenci
as por los
cursos de
AritmBtica
/ 0lgebra
se obtu%o
que : K#
alumnos
pre6eren
aritmBtica,
#
alumnos
pre6eren
0lgebra ,
$#
alumnos
no
pre6eren
ninguno
de estos
dos
cursos.
V1u0ntos
pre6eren
solamente
0lgebraW
a! ##
b!
# c!
$#
d!
e! C#
L! En un aula
de &to
grado Ia/
DL
alumnos:
$& gustan
del cine /
$L del
deporte. *i
$ gustan
de cine /
deporte
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36/240
36
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
V1u0ntos
alumnos
no gustan
de
ninguna
de las
acti%idade
sW
a! &
b! $
c! D
d! &
e!
M! 4e ##
personas
L#
consumen
la bebida
* / K la
bebida X,
si &C
consumen
las dos
bebidas
Vcu0ntos
consumen
la bebida
*W
a! $
b! M$
c! K
d! CM
e!
#! 4e un
grupo de
DL
personas a
$D les
gusta el
Ielado de
%ainilla, a
$ de
cIocolate
/ aL
ninguno
de los dos
sabores VA
cuantos
les gusta
los dos
saboresW
a! D
b! D#
c! L
d!
e! &
. 4ados los
conjuntos:
A 8 {7 ∈
+> C
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
37/240
37
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
a! b!
& c! K
d! L
. 4e L#
alumnos
que
rindieron
e7amen
de
aritmBtica
/ 0lgebra
CK
aprobaron
AritmBtica,
D#
aprobaron
_lgebra /
no
aprobaron
estos dos
cursos.
V1u0ntos
aprobaron
ambos
cursosW
a! L
b! #
c! D
d! $
e!
L
&. 4ados los
conjuntos:
5 8 {$7J>
7 ∈ + ∧ $ ≤ 7
7 ∈ + ∧ # <
7 7 ≤ }
8{7 ∈
+> D
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
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38
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
#. *e
realiza una
encuesta a
#
madres de
"amilia, de
las cuales
a L# les
gusta la
costura, a
M les
gusta la
repostería
/ a D la
costura /
la
repostería.
VA cuantas
madres de
"amilia no
les gusta
ninguno
de los dos
o6ciosW
a! #
b! $#
c! C#
d! D#
e! #
P+o$,"(a#
u" #"
+"#u",4"
on %
onjunto#:
P+o$,"(a *:En el colegio
“*an Agustín”
se Ia
e%aluado a
###
alumnos en
lasasignaturas
de lenguaje,
matem0ticas
/ biología,
obteniBndose
los siguientes
resultados:a! &L#
alumnos
aprobaron
lenguaje
b! C$#
alumnos
aprobaronbiología
c! D##
alumnos
aprobaron
sólo
lenguaje.
d! #alumnos
aprobaron
lenguaje /
biología
pero no
matem0tic
a
e! K#
alumnos
aprobaron
biología /
matem0tic
a pero no
lenguaje.
"! D#
alumnos
aprobaron
biología,
lenguaje /
matem0tic
a.
*i todos los
alumnos
aprobaron
por lo menos
uno de estos
cursos:
V1u0ntos
aprobaron
sólo biologíaW
V1u0ntos
aprobaron
sólo lenguaje
/
matem0ticaW
V1u0ntos
aprobaron
sólo
matem0ticaW
R"#o,ui
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
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39
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
la
intersecció
n de los
tres
conjuntos!
. 4onde:
8
alumn
os
que
aprob
aron
lengu
aje.
8
alumn
osque
aprob
aron
biolog
ía.
5 8
alumn
os
que
aprob
aron
mate
m0tic
a.
e! K#
alumn
os
aprob
aron
biolog
ía /
mate
m0tica pero
no
lengu
aje, o
sea
que
estosK#
alumn
os son
eleme
ntos
comu
nesde los
que
aprob
aron
solam
ente
biolog
ía /
mate
m0tic
a
Nest0n
en la
inters
ección
e7clus
i%a de
ambo
s
conju
ntos,
%er el
diagra
ma! .
d! #
aprobaron
lenguaje /
biología
pero no
matem0tic
a,
entonces
estos #
alumnos
pertenece
n sólo a la
intersecció
n de los
que
aprobaron
lenguaje /
biología
N%er el
diagrama!.
c! D##
aprobaron
sólo
lenguaje.
Estos
alumnos
son
elementos
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
40/240
40
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
que
pertenece
n al
conjunto
e7clusi%o
de los que
aprobaron
enguaje
N%er
diagrama!
b! C$#
aprobaron
biología,
sea:
7 8 `
alumnos
que
aprobaron
solo
biología.
4el
gr06co:
# S D# S
K# S 7 8
C$#
$
S
7 8
C$#
7 8 C$#
Z $
7
8
&
#
R
/
t
a.
N` de
alumnos
que
aprobaron
sólo
biología!.
a! &L#
aprobaron
lenguaje
sea:
/ 8 `
alumnos
que
aprobaron
sólo
lenguaje /
matem0tic
a.
4el
gr06co:
D## S #S D# S /
8 &L#
D
M# S
/ 8
&L#
/
8
&
L
#
Z
D
M
#
/ 8
M#
3pta
.
N` de
alumnos
que
aprobaron
sólo
enguaje /
5atem0tic
a!.
Fina,("n
t"2 como
Ia/ ###
alumnos /
todos
aprobaron
por lo
menos uno
de estos
tres cursos
Nesto
quiere
decir que
en el
diagrama,
"uera de
estos tres
conjuntos
no Ia/
elemento!,
podemos
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
41/240
41
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
Iallar
cu0ntos
alumnos
aprobaron
sólo
matem0tic
a, de la
siguiente
manera:
*ea z 8 `
alumnos
que
aprobaron
sólo
matem0tic
a:
4el
gr06co:D##S#SD#SM
#SSK#Sz8
###
M# S
z 8
###
z 8
### J
M#
z 8 M#
N` de
alumnos que
aprobaron
sólo
matem0tica!.
P+o$,"(a :
*e
encuestaron
a L# amas
de casa sobre
sus
pre"erencia
por los
canales de
tele%isión A,
/ 1
obteniendo
los siguientes
resultados:
# %en el
canal A
$# %en el
canal
C# %en el
canal 1
&& %en los
canales A / 1
KL %en los
canales A /
M# %en los
canales / 1
$ %en los
tres canales
3esponder a
las siguientes
preguntas:
i! V1u0ntas
amas de
casa no
%en
ninguno
de estos
canalesW
ii! V1u0ntas
amas de
casa %en
solamente
el canal AW
iii! V1u0ntas
amas de
casa %en
solamente
el canal W
i%! V1u0ntas
amas de
casa %en
solamente
el canal 1W
%! V1u0ntas
amas de
casa %en
solamente
uno de
estos
canalesW
%i! V1u0ntas
amas de
casa %en
el canal A
pero no el
W
%ii! V1u0
ntas amas
de casa
%en el
canal
pero no el
1W
%iii! V1u0
ntas amas
de casa
%en
solamente
dos
canalesW
i7! V1u0ntas
amas de
casa %en
por lo
menos dos
canalesW
7! V1u0ntas
amas de
casa %en
el canal A
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
42/240
42
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
o el canal
pero no
el canal 1W
R"#o,ui
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
43/240
43
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
$)
%en sólo uno
de estos tres
canales
8 L S
D S $&
8 DL
%i!
%en A pero no
8 L S D
8 C$
%ii!
%en el canal pero no el 1
8 $& S
D
8 C#
%iii!
2en
solamente
dos canales
8 D S $& SCL
8 KL
i7!
2en por lo
menos doscanales
8 D S $& S
C L S $ 8
C#
7!
2en el canal
A o pero no
el 1
8 L S $& S
D
8 DL
P+o$,"(a %:
En una
batalla donde
inter%inieron
## Iombres
D$ "ueron
Ieridos en la
cabeza, DC en
el brazo, C$
en la pierna,
en la
cabeza /
brazo, L en el
brazo / la
pierna, & en
la pierna / en
la cabeza
V1u0ntos
"ueron
Ieridos en la
cabeza,
pierna /
brazo a la
%ezW
R"#o,ui
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
44/240
44
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
En este caso
en que se
desconoce la
intersección de
los tres
conjuntos,
con%iene
aplicar lo
siguiente:
n N1! S nN! S nN )!
Jn N1 ∩ ! J nN
)! J nN )∩ 1! S n N1∩ ∩ )! 8 total
D$ S DC S C$
Z Z L Z & S
7 8 ##
M
LS
7
8
#
#
Problem
as
P+o$,"(a *.
4e
deportistas
se obser%a
que $D de
ellos
practican
"útbol, $&
practican
b0squet / $
practican
%ole/@ C
practican
"útbol /b0squet@ #
practican
b0squet /
%ole/, M
practican
"útbol / %ole/.
*i & practicanlos tres
deportes.
V1u0ntos no
practican
ninguno de
estos
deportesW
a! b!
$ c!
C
d! # e!
P+o$,"(a .
En una
encuesta
realizada a
un grupo de
##
estudiantes
de un
instituto de
idiomas se
obtu%o el
siguiente
resultado:
$L estudian
espa?ol@
C# estudian
alem0n@
D$ estudian
"rancBs
L estudian
espa?ol /
alem0n
# estudian
espa?ol /
"rancBs@
estudian
alem0n /
"rancBs
C estudian los
tres
idiomas
V1u0ntos
estudiantes
toman el
"rancBs como
único idioma
de estudioW
a! $# b!
C# c!
C
d! C$ e!
$L
P+o$,"(a %.
4e un
grupo de M
personas se
obser%a lo
siguiente:
L personas
leen sólo
el
“1omercio
”@
& personas
leen sólo la
“3epública”
$# personas
leen sólo el
“E7preso”
K personas
leen el
R"u"+-a u":n N1! se lee: “número deIombres que "ueron Ieridos
' 2R!".
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
45/240
45
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
“1omercio” /
“3epública”
L personas
leen el
“1omercio /
el “E7preso”.
C personas
leen la
“3epública, el
“E7preso” /
el 1omercio.
$ personas
no leen
ninguno de
estos diarios.
V1u0ntas
personas leen
el “E7preso”W
a! $ b!
$L c!
$M
d! $# e!
$D
P+o$,"(a &.
4e un
grupo de
estudiantes
que lle%an
por lo menos
uno de los
tres cursos
que se
indican se
sabe que:
K# estudian
inglBs,
D# estudian
química,
D# estudian
matem0tica,
estudian
matem0tica /
química
$# estudian
matem0tica e
inglBs
$ estudian
inglBs /
química
estudian los
tres cursos.
V1u0ntos son
los alumnos
en totalW
a! ##
b! L#
c!L
d! M# e!
M
P+o$,"(a '.
-na
encuesta
realizada
entre L$
madres de
"amilia arrojó
el siguiente
resultado:
DC saben
costura@ DK
saben
repostería@ L
saben tejido,
M saben
costura /
repostería@ $L
saben
costura /
tejido@ C#
saben
repostería /
tejido@
saben las tres
ocupaciones.
V1u0ntas
amas de casa
saben sólo
una de las
tres
especialidade
sW
a! $ b!
$K c!
$M
d! C# e!
C
P+o$,"(a ;.
4e L
lectores de
re%istas:
DK leen la
re%ista “A”
C leen la
re%ista “”
& leen la
re%ista “1”
leen la
re%ista “A” /
“”
C leen las
re%istas “”
/ “1”
leen las
re%istas “A”,
“” / “1
K leen las
re%istas “A” /
“1
V1u0ntos
leen la
re%ista A pero
no la re%ista
W
a! $# b!
C# c!
CK
d! C$ e!
$
P+o$,"(a B
En un
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
46/240
46
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
campeonato
atlBtico
interescolar
participaron
$L personas
entre público
/ atletas.
Todos los
atletas
recibieron
medallas
distribuidas
de la
siguiente
manera:
M reciben
medalla de
oro
reciben
medalla de
plata
C# reciben
medalla de
bronce
D# reciben
medalla de
oro / plata
$ reciben
medalla de
plata /
bronce
& reciben
medalla de
oro / bronce
$# reciben las
tres medallas
VUuB
cantidad de
personas
estu%ieron
como
espectadores
W
a! ##
b!
c!
#
d! #
e! $#
P+o$,"(a
4e D##
alumnos, se
sabe con
certeza que:
# estudian
5atem0tica
$D# estudian
eogra"ía
M# estudian
iteratura
L# estudian
5atem0tica /
eogra"ía
## estudian
/ eogra"ía /
iteratura
# estudian
5atem0tica /
iteratura
D# estudian
los tres
cursos
V1u0ntos
alumnos
estudian por
lo menos dos
de los cursos
mencionados
W
a! C#
b! D#
c!
#
d!
e! K#
P+o$,"(a
4e CL
estudiantes
que
des6laron en
un batallón:
L usaban
anteojos
M lle%aban
saco
$# usaban
corbata
M usaban
anteojos /
saco
K usaban
saco /
corbata
K usaban
anteojos /
corbata
V1u0ntos
estudiantes
usaban
anteojos,
saco /
corbataW
a! b!
$ c!
C
d! D e!
P+o$,"(a
*K En una
encuesta
realizada a
$M
tele%identes:
CK %en el
canal D
CD %en el
canal
$ %en el
canal $
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
47/240
47
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
$ %en los
canales D /
K %en los
canales / $
%en los
canales D / $
D# %en otros
canales
V1u0ntos
tele%identes
%en los
canales D, /
$W
a! b!
K c!
L
d! $# e!
#
as
siguientes
preguntas se
re6eren al
siguiente
problema:
P+o$,"(a :
Entre #
personas que
consumen
Iamburguesa
s se
obser%aron
las siguientes
pre"erencias
en cuanto al
consumo de
las salsas de
ma/onesa,
etcIup /
mostaza:
L# consumen
ma/onesa@
K# consumen
etcIup,
M# consumen
mostaza,
# consumen
ma/onesa /
etcIup,
C consumen
etcIup /
mostaza
D# consumen
ma/onesa /
mostaza
C# consumen
las tres salsas
P+o$,"(a
** V1u0ntas
personas no
consumen
ninguna de
estas salsasW
a! b!
& c!
K
d! L e!
#
P+o$,"(a
* V1u0ntas
personas
consumen
solamente
etcIupW
a! # b!
$# c!
K#
d! e!
D
P+o$,"(a
*% V1u0ntas
personas
consumen
solamente
mostazaW
a! M# b!
D c!
C#
d! D# e!
C
P+o$,"(a
*& V1u0ntas
personas
consumen
solo una de
estas tres
salsasW
a! b!
K# c!
L#
d! M# e!
##
P+o$,"(a
*' V1u0ntas
personas
consumen
mostaza pero
no etcIupW
a! b!
D c!
#
d! K# e!
C#
P+o$,"(a
*; V1u0ntas
personas
consumen
ma/onesa /
etcIup pero
no mostazaW
a! b!
$ c!
L
d! $# e!
#
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
48/240
48
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
P+o$,"(a
*BV1u0ntas
personas
consumen
etcIup o
mostaza pero
no
ma/onesa W
a! # b!
c!
&
d! e!
K#
P+o$,"(a
* V1u0ntas
personas
consumen
e7actamente
dos salsasW
a! $# b!
C# c!
C
d! $ e!
D#
P+o$,"(a
* V1u0ntas
personas
consumen
por lo menos
dos salsasW
a! K# b!
& c!
L#
d! D# e!
#
P+o$,"(a
K V1u0ntas
personas no
consumen ni
ma/onesa, ni
etcIupW
a! D b!
# c!
d! e!
&
P+o$,"(a
* V1u0ntas
personas no
consumen
ma/onesaW
a! & b!
c!
#
d! K# e!
K
P+o$,"(a
V1u0ntas
personas no
consumen
mostazaW
a! b!
K# c!
D
d! L e!
L#
C,a4" -"
+"#/u"#t
a
.A
&.4
.A
&.4
$.
K.1
$.4
K.1
C.1
L.1
C.
L.1
D.E
M.4
D.1
M.
.
#.E
.A
$#.$.4
$$.A
EL!C!"AC!O#E$LO
LO%RA$"E
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
49/240
49
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
PAR
ORDENAD
O : 4os
objetos o
cosas dadasen cierto
orden "orman
un par
ordenado.
Así :
N a . b !
)rimera
*egunda
1omponente
3ecuerda :
N a @ b ! ≠ N
b @ a !
PRODUCT
O
CARTESIA
NO:*e llama
producto
cartesiano de
dos conjuntos
A / / s e
escribe A 7 ,
al conjunto
de todos los
pares
ordenados
posibles de
modo que la
primera
componente
pertenezca al
conjunto A /
la segunda
componente
pertenezca al1onjunto .
EE5);* :
! *i A 8
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
50/240
50
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
4iagramas:
RESOLUCIÓ
N
1748
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
51/240
51
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
C. ;bser%a los
siguientes
productos :
E 7 F 8 N
a@ $ !, N a @
C! , Na@ D!
N b@ $!, N b@
C!, N b@ D!=
Enumera los
elementos
del conjunto
E / los
elementos
del 1onjunto
F
RESOLUCIO
N
D. 4ado el
4iagrama de 4oble entrada.
4etermina
por e7tensión
los
1onjuntos A
/ .
RESOLUCIO
N
. En cada
caso Ialla el
%alor de “Y”
si
los pares
ordenados
son iguales:
a! *i N 7 S
C@ L ! 8
N K @ 7
S D !
b! *i N M @
7 Z C !
8 N 7 S
D @ $ !
. *i A 8
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
52/240
52
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
D. *i F 7
8N@!,
N@$!,N$@$!,
N$@!
)odemos
a6rmar que:
a! F 8
b! F ≠
c! F ∩ 8 φ
d! F 8 < =
e! 8 < $ =. *i ) 8
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
53/240
53
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
a! b! $
c! C d! D
e!
M.
*abiendo
que N Y S
D @K!8N L@
K !
El 2alor de :
Y$ J & es :
a! # b! $
c! D d!&
e! L
#. *i N m S
D @ L ! 8
N @ n Z $ !,
Iallar
“mSn”
a! # b!
c! $ d! C
e! D
SISTEMA
DE
NUMERACI
ÓNDECIMAL :
En el sistema
de
+umeración
4ecimal se
utilizan sólo
diez símbolos
para
representar
cualquier
número,
estos
símbolos
llamados
dígitos son :
#@ @ $@ C@
D@ @ &@ K@
L@ M.
Este sistema
se denomina
decimal o de
base diez
porque
siempre se
"orman
grupos #
así:
-+(4A4E* :*on
elementos sin
agrupar
4E1E+A* :*
on grupos de
# unidades
1E+TE+A* :
*on grupos
de #
4ecenas
-. 5(A3 :
*on grupos
de #
1entenas
4. 5(A3 :
*on grupos
de # -.
5illar
1. 5(A3 :
*on grupos
de # 4.
5illar
;bser%a las
siguientes
equi%alencias
:
- 8
-nidad
4 8 # -
1 8 # 4
8 ## -
-m 8 # 1
8 ### -
SISTEMAS DENUMERACIÓN
"u
puedes &
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
54/240
54
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
4m 8 #
-m 8 #
### -
1m 8 #
4m 8 ##
### -
-5 8 #
1m 8 ###
### -
45 8 #
-5 8 #
### ###-
15 8 #
45 8 ##
### ### -
TALERO DE
VALOR
POSICIONAL
5(;+E* 5(A3E*
15 45 -5 1m
1 E + T E + A 4
E 5 ( . . ; +
4 E 1 E + A 4
E 5 ( . . ; +
- + ( 4 A 4 4
E 5 ( . . ; +
1 E + T E + A 4
E 5 ( . . A 3
;bser%a
cómo
podemos
descomponerde distintas
"ormas un
mismo
número.
VALOR DE
POSICIÓN
DESCOMP
OSICIÓN
POLINIMICA
Va,o+ -"
Po#ii
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
55/240
55
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
8
M7#C SD7#$
S7#S&
ESCRITUR
A
LECTURA
DE UNNUMERO
a! Al escribir
un número
+atural,
"ormamos
grupos de
tres
dígitos a
partir de la
derecIa
Iacia la
izquierda.
b! a lectura
se Iace de
izquierda a
derecIa.
EJEMPL
O
-
m
5 ( . 1
4
-
i l l o n e s1
m
5
4
m
5
-
m
5
5 i l
$ # # # $
*e lee:
5il $##
illones $
mil CLD
millones
D&mil &C$
unidades.
. Escribe en
el
parBntesis
la letra
que
correspon
da.
a! D 4 N
! D# ###
b! D 4m N
! D# ###
### ###
###
c! D -5 N
! D## ###### ###
d! D1m5 N
! D#
e! D 4 N
! D ###
###
$. Esc
ribe el
número de
unidades
que
corresponde
en cada
caso:
a! & 4m
8
b! L 15
8
c! -m5
8
d! K 1
8
e! 1m
8
C. Escribe la
descomposi
ción
polínimica
de cada
número.
a! & DL
8
b! C #L
$C& 8
c! ###
### ## 8
d! D &L
C$ 8
e! $ ##C
D## 8
D. Esc
ribe el
número que
corresponde
a cada
4escomposi
ción:
YO LO PUEDO HACER YO LO PUEDO HACER
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
56/240
56
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
a! -5 S
D4 S
1m 8
b! C S
15 m
SD- 8
c! K1m S
45 S
L1 8
d! 1m5
SC
SL45
S&458
e! D-m5
S1m
SL45
SC48
. 1o
mpleta el
cuadro con
el +úmero o
lectura que
corresponda
.
NUMERO$& ### D#
Treinta / ocIo millones
setenta mil cuatro#C C## ##
Tres illones cinco mil
doscientos ocIo #C& $L*etenta / ocIo 5illones
treinta / dos milC D# C
$##4oce illones 4oscientos
cuatro mil ##C ##K;cIo millones -n mil dos
### ###1uatrocientos treinta /
cinco mil#K ### ##K
illones $#K mil #
millones$C ## ##
. a
escritura
correcta
de un
millón dos
es:
a! $##
###
b! $#$
###
c! ###
#$#
d! ###
##$
e! ###
$##
$. 4ado el
número CK
LM$V1u0l
es el %alor
de
posición
del dígito
KW
a! K 4
b! K -
c! K -5
d! K 45
e! K 1
C. *i tienes
$&45 @
K4@ #-m@
L- V1u0l
es el
númeroW
a! $& K#
b! $& KL
c! $K#
#KL
d! $
#KL
e! $K#
K#L
D. Escribe el
número C
MM# ##
a! Tres
millones
no%ecie
ntos
no%enta
/ uno
b!Tres mil
no%enta /
uno
c!Tres
millones
no%ecientos
no%enta mil
uno
d!Tres mil
no%ecientos uno
e! Tres mil
millones
no%ecientos uno.
. 4ora Ia
escrito: L
7 #C S L
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
57/240
57
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
7 #
V1u0l es el
númeroW
a! L L##
b! L #L#
c! L ##L
d! L L#L
e! L LL#
&. Tengo ##
-m
V1u0ntas
decenas
de millar
tengoW
a! # 4m
b! ## 4m
c! 4m
d! # 1m
e! ## 1m
K. a
producción
de una
ladrillera
es er día
$ millares
, $do día,
$
decenas /
el Cer día
$#
centenas V
1uantos
ladrillos Ia
producido
en TotalW
a! $# ##
b! $ ##
c! $ ##
d! $# ##
e! #$ ##
L. *( cambio
el M por el
& en el
número
M#&, Ven
cuanto Ia
%ariadoW
a! C
-nidad
es
b! C##
-nidad
es
c! C#
-nidad
es
d! C#&
-nidad
es
e! C
-nidad
es
M. *i cambio
el K por el
L en el
número
K#. VEn
1uanto a
%ariadoW
a!
-nidad
b! #
-nidad
es
c! ##
-nidad
es
d! #
-nidad
es
e! ###
-nidad
es
#. 4a
do la
e7presión
D 7 #
S C 7 #$ S
$ 7#'
a! D##
#C#
b! D##
C#$
c! DC$
###
d! D#C
$##
e! D#C
#$#
Ya terminaste'
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
58/240
58
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
Al
representar
los números
naturales en
la rectanumBrica
podemos
establecer
relaciones de
orden.
# $ C
D & K
L M. ∞
(U-(E34A
4E3E1RA
• -n número
es ("no+
u" otro si
est0
ubicado a
la
iui"+-a
de Bl en la
recta
numBrica
N“G” se lee
menor que
!
EE5);
! C G K ⇒
“ C es
menor que
K ”
$! C$ G D# ⇒
“ C$ es
menor que
D# ”
• -n número
es ma/or
que otro si
estaubicado a
la derecIa
de Bl en la
recta
numBrica N
“ Q ” se
lee ma/or
que !
Ejemplo
! L Q C ⇒
”L es
ma/or que
C”
$! $G $# ⇒
“$ es
ma/or que
$#”
• *i
dos
números
naturales
tienen
di"erente
número de
ci"ras, es
menor
aquel que
tiene
menos
ci"ras.
EE5);*
! $C G
$
$ 1i"ras
C 1i"ras
$! DLC G
$#C
C 1i"ras
1i"ras
• *i dos
números
tienen la
misma
cantidad
de ci"ras,
se
empieza a
comparar
sucesi%am
ente
desde las
correspon
dientes
ordenes
superiores
. Rasta el
orden de
las
unidades.
Ejemplos
! $ C $ $ C
K ⇒ $C$G $CK
RELACION DE
ORDEN
2 7
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
59/240
59
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
iguales
iguales
$! L C & $
C Q L C D
$ C
APROXIMA
CIÓN DE
UN
NUMERO
NATURAL
! V1ómo
apro7ima
mos un
número a
la -""na
()#
/+
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
60/240
60
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
apro7i
ma a &
###
c! C C L
*e
apro7i
ma a D
###
! Escribe en
cada caso
el signo Q,
G ó 8
según
correspon
da.
a! $ DM
$K& .........
.....$
DM $K&
b! $# L#L
D................. $#
LL# D
c! LC $
K$D..........
....... LC
$ K$D
d! D KD&
$C& .........
........ D
KD& C$&
e! K $#D
K& .........
........ K
$#D &K
"!K-5SC1m
S&-m
S$19.9K
C#& $##
g! 45SL&1
mS&-mS$
19.# L$#
##C
I! &-5S$1
mS4m9
M-5SL4m
S&-m
i!&45
SD1SL499 9. &
### DL#
j!L# #D&
#KC
9999.
L# #&D
KC#
$! -tiliza
todas las
ci"ras /
escribe el
número
menor ,
luego el
numero
ma/or.
CIFRAS
MENORD, , C
C, D, , LK, $, D, , && , M, C, L, $, # , D, C, D ,
, M
C! Apro7ima
los
números
al orden
de las
decenas.
LD se
Apro7ima
A :
C&K se
Apro7ima
A :
&$ se
Apro7ima
A :
CL se
Apro7ima
A :
KD&M se
Apro7ima
A :
D! Apro7ima
los
números
al orden
de las
1entenas.
KL se
Apro7ima
A :
M$D se
Apro7ima
A:
CL se
Apro7ima
A :
$ KDse
Apro7ima
A :
M LD& se
Apro7ima
A
! En la tabla
se
muestra la
super6cie
YO LO PUEDO HACER YO LO PUEDO HACER
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61/240
61
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
del
territorio
peruano /
los )aíses
limítro"es
a Bl.
Apro7ima
a la
1entena
de 5illar
m0s
pró7imo.
)A(* A3EA
Xm)E3- $L
$&;(2(A #ML
L3A*( L DK
D#C1R(E K& &$M1;;5(A D
KDLE1-A4;3 $K$ #DD
Uti,ian-o", ("no+ti"(/o/o#i$,"-"#a++o,,a,o#
#i0ui"nt"#"j"+iio#:
*. 3C
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
62/240
62
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
b! CD CL$9999CD D$$
c! $ &C$DM9999$ &D$D
d! MD M$KM&999$CL LMC#L
&. Co(/a+a5 "#+i$"V o F "na-a/+o/o#ii
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
63/240
63
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
&. E=/+"#a#i($
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
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64
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
sistema
decimal
METODO I:
DESCOMPOSICIÓN
POLINÓMI
CA
$DKN L !
8 $ 7 L$ S
D7L SK
8 $7 &D S C$
SK
8 $L
S C$
SK
8 &K
METODO II
RUFFINI :
$DK N L !8
&K
EE5); $:E7presar C #
$ DN K !
METODO (:
4escomposici
ón )olinómica
C# $ D N K ! 8C
.KD S # .KCS
$.K$ S.KS D
8
K C$
METODO
II: RUFFINI
C #
$
D
K $
DK #DC
KC#L
C
$
DM
#DD
KC$
C# $D N K !
8 KC$
-o CASO:
D" a#" *K a
a#" nEl
procedimient
o que se
sigue es
di%isiones
sucesi%as.
EE5); E7presar C&
en base L
C
& 8 DD N L !
EE5); $
3epresenta
DC$ en el
sistema
Uuinario
D
C $ 8 C $ $N !
%"+ CASO :D" a#" n a
a#" (
En este caso,
primero se
pasa a base
decimal /
luego a la
base
deseada.
ro
$do
Ejemplo :
E7presar $KD
NM! en base
! $KD N M !
ase #
$KD N M ! 8 $
7 MCSK 7 M$ S
D 7 M S
8 $ # & $
Bs/ )
Bs/ 10) Bs/)
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
65/240
65
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
$do! $ # & $
ase
$ K
D N M !
8 C # $
$ $ N !
EE5); $:
EY)3E*A3:
$CND! A A*E
N L !
ro! $C ND!
ase N#!
$C ND! 8
$ 7 D$ S 7 D
S C
8
CM
$do! CM
ase N L !
$ CN D ! 8 D C N L !
(.3ealiza las
siguientes
con%ersione
s
! D C
A A*E N M !
D! $ & D A
A*E
N K !
! $ D L N
M ! A
A*E
N # !
&! C D $ N
& ! A
A*E
N # !
K! $ C N D
! A
A*E N L
!
L! K N
L ! A
A*E N
!
((. En cada
caso Ialla
el %alor
numBrico
de cada
ci"ra
desconoci
da.
!
14)5 =ab
$!
15)3 =abc
C!
( )7135)9 =ab
D!
( )5413)4 =abcd
!
( )5413)4 =abcd
YO LO PUEDO HACER YO LO PUEDO HACER
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
66/240
66
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
&! *i
33)53 =n
, Rallar
“n”
*. R"a,ia,a##i0ui"nt"#on4"+#ion"#a/,ian-otu#onoi(i"nto#:
a! $K abase
b! D abase &
c! $C abase &
d! D abase M
. E=/+"#a"n ",#i#t"(a-"i(a,
a! D&NK!
b! $##$ND!
c! C $D#N!
d! CLNM!
%. R"a,ia,a##i0ui"nt"#
on4"+#ion"#:
a! ##N$! abase C
b! $D#N!a baseC
c! K#LNM! abase &
d! $C#ND!a baseL
*. R"a,ia"n tuua-"+no,a##i0ui"nt"#on4"+#ion"#:
a! D abaseD
b! $D aba
seK
c! KM& abase&
d! CL abase$
. E=/+"#a",
#i#t"(a-"i(a,
a! D$CN&!
b! $$NC!
c! $N!
d! C$NK!
%. Con4"+ti+-" una$a#" na ,a $a#"(
a! D##
#CN!
abaseM
b!
#N$!
abase
c! $#KNL!abase&
d! #NK! ab
as
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
67/240
67
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
eD
&. Si
Ma+i",a/"#a B;0 "n$a#" 3Cu)nto/"#a "n$a#" *K7
'. a,,a+ ",4a,o+ -"n2 #i*Kn 8%&B
;. a,,a+ ",4a,o+ -"n #i:*%n 8%*'
B. a,,a+ ",4a,o+ -"n #i:K%n 8'';
. a,,a+ ",4a,o+ -"n #i:
'K*n 8;'
. a,,a+ ",4a,o+ -"aQ$ #i:
)7)9 baab =
*K. a,,a+", 4a,o+-" aQ$#i:
* 897 abbaab +=
*. 3Cu)nto#
n1("+o#
"nt"+o#
Ha5
"nt+":
&&*' 5
*;*7
/ta
:
*&
. Si
KKK%
8 abc .
a,,a+ E
8 a% Q $
Q
/ta
:
%%
%. Si:
)4)5 baaabb =
: a . $
(!ni(o#.
a,,a+:
babbaa +++
&. Si: ab
+"/+"#"nta
", (a5o+
n1("+o -"
,o#
#i0ui"nt"#
#i#t"(a#
nu(+io#:
*K&
*K% &*'
E=/+"#a+
ab "n %
R
/ta
:
*
K
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
68/240
68
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
. *i
)7)61 mnmn +=
Rallar E 8
Nmn S nm
S mn!m
a! #
b! &$c! M##
d! L$K
e! LCK
$. *i
)8)9 ==mnpabc
Rallar: [$NaSbSc!SC
NmSnSp!]m J
a! $C##
b! $#
c! &$D
d! $$#e! #
C. -n número
de $ ci"ras
de base
al
con%ertirse en base
M se
representa
r0 por las
dos ci"ras
pero
dispuestas
en orden
in%erso.
4icIo
número en
el sistema
decimal
es: Nci"ras
mínimas!
a!
b! C
c! &
d! M
e! C
D. *i:nm
mn
+8
Rallar: E 8
Nmnm ++
!n
4ar como
respuesta
la suma de
ci"ras de
E:
a! #
b!
c! $
d! C
e! D
. *i se
cumple
que:
)8)9 yz xy xyz ++
8 &MCRallar E 8
N7! N/! J z
a! $#
b! &
c! M
d! $K
e! C
&. *i:
1)11 )4aa =+
Rallar: a$
a! $
b! D
c! &d! L
e! #
K. *i:
))8 1106 nabc =
Rallar: a S
b
a!
b! C
c!
d! K
e! M
L. *i:
mncbcabc =++ )2)3)4
Adem0s a
≠ b ≠ c
Rallar: mS n
a!
b! M
c! K
d!
e! C
M. *i:
)9) 1cmaba c =
1alcular el
%alor de
“b”
sabiendoque m Q
a! $
b! D
c! &
d! L
e! #
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
69/240
69
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
#. *i
:
)3)6 1abcabc =
Rallar: a Sb
a! D
b! $
c!
d! #
e!
*. Si:
cabbcaabc ++
8 *BB;a,,a+ E
8
3 11+++ cba
a! $b! C
c! Dd!
e! &
. a,,a+ E
8 nQ*
&
Sa$i"n-o
u":
*nQ* 8
%*;
a!
b! &&c! KKd! LL
e! MM
%. a,,a+ ",
4a,o+ -"
a "n:
aa 2575 )8 =
a! Kb! c! C
d! $e!
&. a,,a+ E
8 %Y Q
'YQ* Q a%
Sa$i"n-o
u":
)4)3 10 aaaa =
a! $b! C$
c!Cd! D#
e! D$
'. a,,a+ ,a
#u(a -"
,o#
n1("+o#
-" ,a
6o+(a:
)9)1 −aa
"#:
a! CCLb! CKL
c!D##d! DL&
e! #&
;. Si ,o#
#i0ui"nt"
#
n1("+o#);)4 2;;101 c cbb
"#t)n
$i"n
+"/+"#"nt
a-o#2
a,u,a+:
a Q $Q a! C
b! Dc!
d! &e! K
B. Si:
[ ]) 13 caab n −=
. Ca,u,a+
n #i "#
i(/a+
a! $b! Cc!
d! Ke! M
. Si: aQ*
a*% 8
=5&
-"t"+(in
a+ ",
4a,o+ -"
a
a! #b! c! $
d! Ce! D
. a,,a+ (
Q n Q /Si: *%;(
Q
pmn n p 441333 )) =+
a! Db! Dc! $D
d! CD
e! DD
*K. Si ab
8B aQ$
a,,a+: R
8 ab Q
%2 a2 $
()=i(o#
a! K#Cb! K#&c! K#L&
d! K#M&e! K#&
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
70/240
70
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
. *i
( ) ( )7230)605 −= aa
a! K b! $c!C d! D
e!
'. Rallar “n”
si :
$C N n ! S DN n ! 8 D$ N n !
a! b!
D c!C
d! $ e! K
;. Rallar “n”si #$ Nn! 8
$CDNK!
a!#
b! c!$
d!C
e! D
B. Rallar el
2alor de “
Y” si
( )5231)123 =n
. Rallar YC
si
2252)8 ⋅= X XXXX
a!CDCb!$
c!$& d!&D
e!+A
. Rallar: E 8
N n S !$ J
D sabiendoque
$ NnS! 8 C
N & !
a! KK b! &&
c! d! DD e!
CC
*K.
4e la
siguiente
e7presión .
Rallar El
%alor de “ n”
N n !
8 CD N n !
S $C N n !
**.
Rallar
3153 aaa E +
++=
*abiendo
que
( )41)3 aaaaa =
a! $ b!$$ c!C$
d! D$ e!
$
*.
Rallar E 8 N n
S ! N n ! .*i se
cumple la
igualdad.:
&DN n ! 8
K N nS!
a! K$ b!
&$ c!$d! D$ e!
C$
*%. Ralla : 5
8 110 −n
@ sabiendo
Uue:
&DN
n S$ ! 8 D N !
a! C b!
c! K d! M
e!
D. VUue
signo debe
usar para
que la
relación
sea
correctaW
# K
# -m
S K& 4
a! < b!
8 c! >
d! n.a.
. 1ompara
los
siguientes
números /
escribe ó 8
según
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
71/240
71
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
correspon
da:
a! $C $ DM
K&$
99.. $C
$ MD
K&$
b! #C #C# D#$
##K 99
#C #C#
D$# ##K
c! D KD& $C&99.. D
KD& C$&
&. E7presar
la
descompo
sición de
#C #DL
M#
a! -5 S C-m
S D1m
S L-m
S M1 4
b! -5 S C-m
S D4 SL1 S
M1m S
4
c! -5 S C-m
S D4m
S L- S
M4 4
d! -5 S C-mS D4m
S L-m
S M4
K. 1ompleta
el %alor en
los
casilleros
para que
K7# S
7 # S
D7# S M
represente
la "orma
desarrollada
del número
D# #KM
L. Escribe el
número
que
correspon
de a: “Tres
mil
%eintiocIo
millones
cuarenta /
cinco mil”
a! C $L#
D##
##
b! C #$L
#D
###
c! C #$L
###
D#
d! C $L#
###
D#
M. El número
K $C
##& #L
se lee:
.................
.................
.................
.................
.................
.................
#.
*i C$NL! 8 ab,
Ialla “a S
b”
a! M b!
# c!
d! $
.
*i &DNn! 8 D&,
Iallar el
%alor de
“n”
a! & b! K
c! L
d! M
$.
E7presar “5”
en el
sistema
decimal, si
se cumple
que:
5 8
C$ND! S
$NL!
C.
Xie dice el
costo de
mi camisa
es ##N!.
V1uanto
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
72/240
72
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
es el costo
en el
sistema
decimalW
a! *> $$
b! *> $C
c! *> $D
d! *> $
ADICION.J
Es la
operación
que Iace
corresponder
a dos
números
naturales
llamados
sumandos ,
un único
número
tambiBn
natural,
llamado
suma.
a S b 8 c
*uma
*umandos
EE5);* :
! CDML S
$C&D8 L&$
*-5A
*umandos
$! D & C
C $ D $
*umandos
Q C $ &
C L C D
*uma
PROPIEDA
DES DE LA
ADICION
! CLAUSU
RA : a
suma de
dos
números
naturales
siempre es
un +umero
+atural.
( )+⇒∈Ν∈ ba N yba
EE5); :
CK S $ 8 &$
@ &$ Ν∈
$! CONMU
TATIVA:
El orden
de los
sumandos
no altera
la suma.
a
S b 8 b
S a
EE5); : $K
S C 8 C S$K
L# 8 L#
C! ASOCIA
TIVA :*i
seagrupan
dos o m0s
sumandos
de
di"erentes
"ormas, la
suma total
no %aria.
a S
N b S c! 8 Na
S b! S c
EE5);* : N
S $ ! S C 8
S N $SC !
C S C 8
S
&
8 &
D! ADITIVA
MONOT
ONIA : *i
a ambos
miembros
de una
igualdad
se le suma
un mismo
número,
se obtiene
OPERACIONES
CON NUMEROS
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
73/240
73
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
D+//+otra
igualdad.
*i a S b 8 c
⇒ a S b S n
8 c S n
EE5); :
*i C S D 8
K⇒ N C S
D ! S C 8
K S C
K S C
8 K SC
$#
8
$#
! ELEMEN
TO
NEUTRO. a
Adición de
un número
con el cero
da por
resultado
el mismonúmero.
a S # 8 #
S a 8 a
EE5);:
C S # 8 C
SUSTRACC
IÓN : a
sustracción
entre dosnúmeros
naturales a /
b
Na ≥ b! / se
e7presa como
a Z b / que
consiste enIallar un
número
natural 4
llamado
4i"erencia, tal
que a 8 4Sd
EE5);* :
4i"erencia
! $ D & L J L
M8 & #
M
5inuendo
*ustraendo
$! D C M
5inuendo
J C C &
*ustraendo
# # C
4i"erencia
OPERACIO
NES
COMINADAS : 4ebe
e"ectuarse de
izquierda a
derecIa.
EE5);
K$ ZCK S
& J
DD 8
K
CS
& J
DD
J
DD
K
EE5); $
8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
74/240
74
EDUCAR-PERU
MATEMÁTICA
APLICACIONESPRZCTICAS CON LASUMA DIFERENCIA
Ej(:
# S & 8 &
2
416+8 #
+úmero ma/or
# Z & 8 D
2
416 −8 &
+úmero menor
Es decir
dadas las
sumas N*! /
la di"erencia
N4! de dos
números
naturales a /
b donde a Q
b.
a 82
DS +, el
# ma/or “a”es igual a lasemisuma de / 4
b 82 DS − , el
# menor “b”
es igual a lasemidi"erencia de / 4
P+o$,"(a#:
. a
di"erencia
de las
edades de
5aritza /
1armen es
a?os. *i
la menor
de ellas
tiene
a?os.
V1u0l es la
edad de la
ma/orW
a!
b!&
c! K
d! L
e! M
$. El ma/orde dos
Iermanos
tiene K
a?os de
edad. *i el
ma/or
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8/18/2019 Artmetica 6° I.doc
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