Antiderivada o Primitiva de Una Funcion Usm

8/18/2019 Antiderivada o Primitiva de Una Funcion Usm

1/50

MATEMÁTICA AI

INTEGRALES DE

FUNCIONES REALESMg. Walter Clemente Reyes20! " I


2/50

ANTIDERIVADA O

PRIMITIVA DE UNAFUNCION

2

( ) ( ) , . x

D F x f x x I

= ∀ ∈


3/50

TEOREMA: Consideramos Fy G dos funciones continuas

sobre el conjunto yderivable en

;sitonces existe un numero real k l que:

3

[ ], I a b=( ), I a b= ( )( ) ( ) , , x x D F x D G x x a b= ∀ ∈

( ) ( ) F x G x k = +


4/50

PROPOSICION

Si las funciones F(! y G(!son an"i#e$i%a#as #e una&is&a funci'n so$e I ) si:

4


5/50

CA*CU*O DE *APRIMITIVA DE UNA

FUNCION

,pero siNOTA

1 p p

x D ax apx

( ) p

F x a x = ⇒

1

( ) , 11

pa x

F x con p p

= ≠


6/50

INTEGRA* INDEFINIDADEFINICION

Sea

una funci'n $eal ) con F(!

+$i&i"i%a #e la funci'n f*a e+$esi'nes la "o"ali#a# #e "o#as las +$i&i"i

a&a#a in"e-$al in#e.ni#a #e f

!


7/50

a

+$i&i"i%a +o$ en#e in"e-$al in#e./0 El +$oceso ,ue +e$&i"e 1alla$la +$i&i"i%a #e una funci'n

se lla&a In"e-$aci'n20 *a #e$i%a#a #e una in"e-$alin#e.ni#a es i-ual a suin"e-$an#o EFECTO

"


8/50

PROPIEDADES

y - son funciones in"e-$ales se "ie

#


9/50

E3e&+lo 4

alcula$ la in"e-$al

E3e&+lo /

alcula$ la in"e-$al

E3e&+lo 2

Calcula$ la in"e-$al

$

3

2

2

x xdx

x

− ÷

÷ ∫

( )

2

32

x

dx x x Ln x+∫

2

2

9 1

9

x xdx

x

− + −

−∫


10/50

INTEGRACION PORSUSTITUCION

A*GE5RAICASe &6"o#o ) "a&i6n se le conoce co&$aci'n +o$ ca&io #e %a$iale

fec"7a con la ayu#a #e la sus"i"uci'n8 -("! ) # 8 -9("!#"

#on#e " es la nue%a %a$iale y

- una funci'n con"inua #e$i%ale0

%&

( ) ( ) ( ) f x dx f g t g t dt ∫ ∫


11/50

E3e&+lo 4

lcula$ la in"e-$al

E3e&+lo /

lcula$ la in"e-$al

E3e&+lo 2lcula$ la in"e-$al

%%

Cosx dx

Senx 2 Senx 2


12/50

INTEGRACION PORPARTES

%2

&6"o#o se usa f$ecuen"e&en"e cue-$an#o +ue#e se$ e+$esa#o en f o#uc"o #e #os fac"o$es u y # %


13/50

NOTA

%3

funci'n y 8 u% #on#e u 8 1(!)

cian#o la i-ual#a# se "iene ,ue:# (u%! 8 u#% %#ues : u#% 8 #y ; %#u

.


14/50

%4

E3e&+lo /

lcula$ la in"e-$al

E3e&+lo 4

lcula$ la in"e-$al

No"a: *a in"e-$al +o$ +a$"es +ue#e efec"ua$secon$ela"i%a facili#a# a+lican#o la $elaci'n

e,ui%alen"e al an"e$io$

1

x dx

x +∫

1

ArcSen xdx

x−∫


15/50


16/50

asos

%!

I0 Pa$a

usa$ el =n-ulo &i"a#

Pa$a

usa

$

2 2, cos sen x dx x dx∫ ∫

2 21 cos 2 1 cos 2

, cos ....... ( )2 2

x x sen x x

= =

, cosn n sen xdx xdx∫ ∫ ) Si par , usamos ( )

) Si impar , integrandosacamos , cos

I n Z

II n Z del senx dx x dx

∈

⇒ ∈

2 2cos 1 ... ( )sen x x =


17/50

%"

I0 Pa$a

usa$ la i#en"i#a#:

Pa$a

nsi#e$a$ los casos:

) , , ( )

) , , int ,

cos ( )

I Si m n Z par usamos

II Si m n Z impar del egrando sale senx dx

x dx y usamos

α

β

+

+

∈

∈

, cn ntg xdx tg xdx∫ ∫ 2 2 2 2

1 sec , 1 sc ....... ( )tg x x ctg x c x γ + = + =sec , scm n m ntg x x dx ctg x c x dx∫ ∫

2 2

) , , int

sec sc ( )

) , , int

sec , csc ( )

I Si n Z par y m cualquier del egrando sale

x dx ó c x dx y usamos

II Si m Z impar y n cualquier del egrando sale

x tgx dx x ctgx dx y usamos

γ

γ

∈

∈


18/50

%#

lcula$ la in"e-$al

E3e&+lo 4

lcula$ la in"e-$al

E3e&+lo /

>


19/50

INTEGRA*ES POR SUSTITUCI>NTRIGONOM


20/50

2&

Consi#e$an#o casos +a$"icula$es 1ace$ lasus"i"uci'n "$i-ono&6"$ica:

2 2

t a dt +∫

t a tg θ = 2secdt a d θ θ =


21/50

2%

2 2t a dt −

∫

sect a θ =secdt a tg d θ θ θ =

2 2a t dt −∫

st a enθ =cosdt a d θ θ =


22/50

22

E3e&+lo /

alcula$ la in"e-$al

E3e&+lo 4

alcula$ la in"e-$al

E3e&+lo 2

Calcula$ la in"e-$al

2 3/ 2

[ 2 5]

dx

x x− +∫ 2

2

2

4

x

dx x x

+

+∫ 2

2 3 / 21 1[1 ]

x dx x

+ ++∫

FRACCIONES PARCIA*ES


23/50

23

FRACCIONES PARCIA*ES

acciones $acionales

De.nici'nUna funci'n $acional +ue#e se$$e+$esen"a#o en fo$&a #e una f$acci'n$acional) co&o el cocien"e #e los+olino&ios

[ ]

[ ]

P xdx

Q x∫

1

1 1 0

1

1 1 0

.....[ ][ ] .....

m m

m m

n n

n n

b x b x b x b P xQ x a x a x a x a

−−

−−

+ + + +=+ + + +

. i i'


24/50

24

De.nici'nSi el

la f$acci'n

se lla&a f$acci'n +$o+ia) en caso con"$a$io

la f$acci'n se lla&a i&+$o+ia0No"aSi la f$acci'n es i&+$o+ia) al #i%i#i$ el

nu&e$a#o$ +o$ el #eno&ina#o$ se +ue#e$e+$esen"a$ la f$acci'n co&o la su&a #eun +olino&io y una f$acci'n +$o+ia

( ) ( )[ ] [ ] grad P x grad Q x<

[ ][ ]

P xQ x

[ ] [ ]( )

[ ] [ ]

P x R xm x

Q x Q x

= +


25/50

2

Ti+o #e f$acciones $acionales +$o+ias

Tala

Tala

m m dxm Ln x a k

x a x a

→ = − +− −∫

( 1)( )

( ) ( ) 1

p

p p

m m dx m x ak

x a x a p

− −− −→ = +

− − −∫

2

mx n

x ax b

+→

+ +

2( ) pmx n

x ax b

+→

+ +


26/50

2!

Caso I

an#o los fac"o$es #e

o#os lineales y nin-7n fac"o$ se $e+i"e

?ace$:

n#e las cons"an"es #een #e"e$&ina$s

[ ]Q x

1 2 3[ ] ( ) ( ) ( ) .... ( )nQ x x r x r x r x r = − − − −

1 2 3

1 2 3

[ ]....

[ ]

n

n

A A A A P x

Q x x r x r x r x r= + + + +

− − − −

1 2 3, , , n A A A A


27/50

2"

alcula$ la in"e-$al

E3e&+lo 4

alcula$ la in"e-$al

E3e&+lo /

3 2

1

2 8 4 x d x

x x x+− − +∫

3 2

2 1

3 10

x I d x

x x x

−=

+ −∫


28/50

2#

Caso II


os lineales y un fac"o$ se $e+i"e) su+onien#o

se $e+i"e + @ %eces) en"onces:

n#e las cons"an"es #een #e"e$&ina$s

[ ] ( ) ( ) ( ) .... ( )i i i i p eces

Q x x r x r x r x r

−

= − − − −% 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 43

( )i x r −

1 2 3

1 2[ ] ....[ ] ( ) ( ) ( )

p

p p p

i i i i

A A A A P xQ x x r x r x r x r − −

= + + + +− − − −

1 2 3, , , n A A A A


29/50

2$

alcula$ la in"e-$al

E3e&+lo

2

32

3 2 x I d x

x x+= − −∫


30/50

3&

Caso III


son lineales cua#$="icosax /

bx

c

i$$e#ucile y nin-uno #e los fac"o$escua#$="icos se $e+i"e0 En"onces

lcula$ la in"e-$al

3e&+lo

[ ]Q x

2

( )

( )

P x Ax !

Q x ax bx c

+=

+ +


31/50

3%

Caso IV

an#o los fac"o$es #eson lineales cua#$="icos i$$e#ucile y unfac"o$ cua#$="ico:se $e+i"e k ; %eces

[ ]Q x

2 x bx c+ +

1 1 2 2

2 2 1 2

[ ]....

[ ] ( ) ( )

k k

k k

A x ! A x ! A x ! P x

Q x x ax b x ax b x ax b−++ +

= + + ++ + + + + +


32/50

32

SUMATORIA

El s&olo su&a"o$ia B es &uy 7"il +a$a

e+$esa$ la su&a con &uc1os "6$&inosen fo$&a a$e%ia#aE3e&+lo 4

E3e&+lo /


33/50

33

P$o+ie#a#es

1 1

n

" n= =∑

1 1

( ) ( )n n

" "

c f " c f "= =

=∑ ∑

( )1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )n n n

" " "

f " g " f " g "= = =

± = ±∑ ∑ ∑

1

1

( 1)2

n

" " n n= = +∑2

1

1( 1) (2 1)

6

n

"

" n n n=

= + +∑

2 23

1

( 1)

4

n

"

n n "

=

+=∑

REAS ACOTADAS POR CURVAS


34/50

34

REAS ACOTADAS POR CURVAS(A+$oi&aci'n +o$ =$eas #e

$ec"=n-ulos!e.nici'n

en"$e las cu$%as y 8 f(!) el e3e y las $ec"es"= #a#o +o$:

#on#e es con"inua en

y el in"e$%alo es"= su#i%i#i#o en n;suin"e$%alos ca#a uno #e ellos #elon-i"u#

, , x a x b b a= = >

1( ) lim ( )

n

"n

" A R f c x→ ∞

== ∆∑( ) 0 f x ≥ [ , ]a b

b a x

n

−∆ =


35/50

3

E3e&+lo 4'allar el (rea de la re)i*n acotada por

el eje + y la recta

(Usan#o $ec"=n-ulos ci$cunsc$i"os!

$l% 2& Da#a la $e-i'n R aco"a#a +o$ las cu$%as

$ el =$ea #e la $e-i'n R (Usan#o $ec"=n-ulos insc$i"

N%ta& Si se toma rectángulos inscritos se elige el f (c j)

a valores mínimo absoluto de f en [ x j-1, x j ]. Si se toma

rectángulos circunscritos se elige f (d j ) a los valores

máximos absolutos en [ x j-1, x j ] , .

2 y x=

2 x =

2 24 ( 4) , 4 ( 4) y x y x= ± − = ± +

1

( ) lim ( )n

j n

j

A R f d x → ∞

=

= ∆


36/50

3!

INTEGRA* DEFINIDA

$e&a Fun#a&en"al #el C=lculo

I0 P$i&e$ Teo$e&a Fun#a&en"al #elC=lculo

(De$i%a#a #e in"e-$al!Sea f una funci'n con"inua en elcon3un"oa funci'n F #e.ni#a +o$

con #e$i%ale en

[ , ] I a b=

( ) ( ) x

a

F x f t dt =

∫ a x b≤ ≤ ,a b

( )'( ) ( ) ( ) '( ) ( ) , [ , ] x

xa

F x D f t dt f x ie F x f x x a b= = = ∀ ∈∫


37/50

3"

II0 Se-un#o Teo$e&a Fun#a&en"al #elC=lculo

Sea f una funci'n con"inua en elin"e$%alo

e la funci'n F(! es la +$i&i"i%a #e f:

[ , ] I a b=

( ) ( ) ( )b

a f x dx F b F a= −∫


38/50

3#

E3e&+lo 4

E3e&+lo /

Calcula$ F(!

Calcula$ F(!

2

2( )

x

F x sen t dt = ∫

3

0

( ) ( sec 2 ) x

F x t t dt = −∫

INTEGRA* IMPROPIA


39/50

3$

INTEGRA* IMPROPIA

De.nici'n

Una in"e-$al es i&+$o+ia si

40 *a funci'n in"e-$an#o "iene +un"o #e

#iscon"inui#a# en el in"e$%alo:

/0 Cuan#o +o$ lo &enos uno #e los l&i"es#e in"e-$aci'n es in.ni"o0

( ) f x dxβ α ∫

[ , ]α β


40/50

4&

E3e&+lo 4

E3e&+lo /

lcula$ si eis"e la in"e-$al:

lcula$ si eis"e la in"e-$al:

1

0 3 3

dx

x −∫

21 (1 ) xdx

x e

∞

+∫

C*CU*O DE *AS INTEGRA*ES IMPROPIAS


41/50

4%

C*CU*O DE *AS INTEGRA*ES IMPROPIAS

De.nici'n 4

i f es continua y si existe

entonces

n(lo)amente, si f es continua

y si existe

entonces

[ , x α ∀ ∈ + ∞ lim ( )t

t

f x dxα → +∞ ∫

( ) lim ( )t

t

f x dx f x dxα α

+∞

→ + ∞=∫ ∫

], x b∀ ∈ − ∞

00

lim ( )t

t

f x dxβ

→ − ∞ ∫

00

( ) lim ( )t

t

f x dx f x dxβ β

−∞ → + ∞

=∫ ∫

D . i i' /


42/50

42

De.nici'n /

i f es continua

e tiene:

$as in"e-$ales i&+$o+ias

De.nici'n 2i f es continua en

entonces

, x∀ ∈ − ∞ + ∞

0

0

0

0( ) lim ( ) lim ( )

t

t t t

f x dx f x dx f x dx+∞

− ∞ → +∞ → +∞= +∫ ∫ ∫

[ ,α β

0( ) lim ( ) f x dx f x dx

β β δ

α α δ

−

→=∫ ∫


43/50

43

De.nici'n

i f es continua

y si existe

entonces

De.nici'n

i f es continua

excepto en

entonces

con

], x α β ∀ ∈

0lim ( ) f x dx

β

α ε ε +→ ∫

0( ) lim ( ) f x dx f x dx

β β

α α ε ε +→=∫ ∫

[ ], x α β ∀ ∈

x c= cα β < <

0 0( ) lim ( ) lim ( )

c

c f x dx f x dx f x dx

β δ β

α α ε δ ε

−

+→ →= +∫ ∫ ∫

C$i"e$io #e Co&+a$aci'n


44/50

44

C$i"e$io #e Co&+a$aci'n

Teo$e&a 4

Si

si f y - son in"e-$ales en

#on#e

en"onces

40 con%e$-e si con%e$-e

/0 #i%e$-e si #i%e$-e

0 ( ) ( ) , f x g x x a≤ ≤ ∀ >

[ ], aα

a α ≥

( )a f x dx

∞

∫ ( )a g x dx∞

∫ ( )

a f x dx

∞

∫ ( )a

g x dx∞

∫


45/50

4

E3e&+lo 4

E3e&+lo /

nalia$ la #i%e$-encia #e

nalia$ la #i%e$-encia #e

21 (1 ) xdx

x e

∞

+∫

31

1 xdx

x

∞ +∫

C*CU*O DE REAS P*ANAS


46/50

4!

C*CU*O DE REAS P*ANASDe.nici'n 4

i f es con"inua enf J K y R la $e-i'n aco"a#a+o$ la cu$%a

l e3e y las $ec"as

Su =$ea es"=#a#o +o$:

[ , ] I a b= ( ) y f x=

, x a x b= =

( ) ( )

b

a A R f x dx= ∫

e.nici'n /


47/50

4"

e.nici'n /

f y - funciones con"inuas encon f (! J -(!

Es"= #a#o +o$:

y las$ec"as

#e la $e-i'n R aco"a#a +o$ las cu$%as f(! y

[ , ] I a b=

, x a x b= =

( )( ) ( ) ( )b

a A R f x g x dx= −∫

*ONGITUD DE ARCO


48/50

4#

*ONGITUD DE ARCO

e.nici'n

ea f(! una funci*n continua en elintervalola lon)itud de arco sde la )r(.ca y8f(! desde /a,f/a00

1asta /b,f/b00 es dadopor:

No"a

curva est( dada por 8-(y0 con c y d

[ ],a b

2

1b

a

dy s dxdx

= + ÷ ∫

2

1d

c

dx s dy

dy

= + ÷

∫


49/50

4$

E3e&+lo 4

alcular la lon)itud de la circunferencia:

lcular la lon)itud del se)mento de recta de -/&,%0

E3e&+lo /

1asta /,%30

2 2 2 x y a+ =

VO*UMEN DE* S>*IDO DE REVO*UCI>


50/50

VO*UMEN DE* S>*IDO DE REVO*UCI>

e.nici'n

Es un s*lido obtenido al rotar una re)i*n planaalrededor de una recta en el plano, llamado ejede revoluci*nndo f una funci*n continua en

& y R es la re)i*n comprendida entre yf/x0, el ej las rectas xa , xb

[ ],a b

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