Anchor-Free Localization in Rapidly-Deployed

8/7/2019 Anchor-Free Localization in Rapidly-Deployed

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A n c h o r - F r e e L o c a l i z a t i o n in Rapidly-DeployedWireless Sensor Networks

H u i QuS c h o o l o f E l e c t r i c a l a n d C o m p u t e r E n g i n e e r i n gC o r n e l l U n i v e r s i t yI t h a c a , N ew Y o r k 1 4 8 5 3E m a i l : h q 2 4 g c o r n e l l . e d u

A b s t r a c t - I n t h i s p a p e r w e c o n s i d e r a w i r el es s s e n s o rn e t w o r k c o n s i s t i n g o f a s i n g l e s i n k n o d e a t t h e c e n t e r o f af i e l d o f r a n d o m l y d i s t r i b u t e d s e n s o r s . An a n c h o r - f r e e n o d el o c a l i z a t i o n a l g o r i t h m i s p r o p o s e d i n w h i c h t h e s i n k n o d ei m p a r t s r a d i a l l o c a t i o n i n f o r m a t i o n t h r o u g h t h e p h a s e d -a r r a y t r a n s m i s si o n o f a s e r i e s o f b e a c o n s . The i n d i v i d u a ls e n s o r s u s e k n o w l e d g e o f r e c e i v e d b e a c o n s a n d i n f o r m a t i o nf r o m n e a r e s t n e i g h b o r s t o i d e n t i f y t h e s u b - s e c t o r s i nw h i c h t h e y r e s i d e . T h i s l o c a t i o n i n f o r m a t i o n c a n t h e n b eu s e d a s t h e b a s i s f o r a n e m e r g e n t r o u t i n g a l g o r i t h m . Wep r e s e n t t h e l o c a l i z a t i o n a l g o r i t h m , d e d u c e t h e p a r t i t i o ne r r o r a n a l y t i c a l l y , a n d t h e n p r o v i d e s i m u l a t i o n r e s u l t s . Ther e s u l t s i n d i c a t e t h a t t h e l o c a l i z a t i o n p e r f o r m a n c e i m p r o v e sw i t h n o d e d e n s i t y , a n d i s r o b u s t a g a i n s t RSS measurementn o i s e .I . INTRODUCTION

S e n s o r l o c a t i o n i s a n i m p o r t a n t e l e m e n t i n h a b i t a tm o n i t o r i n g , b a t t l e - f i e l d s u r v e i l l a n c e , s e a r c h a n d r e s c u e ,a n d t a r g e t t r a c k i n g , b u t s u c h k n o w l e d g e o f t e n c o m e s a tt h e c o s t o f p r e - d e p l o y m e n t p l a n n i n g o r t h e u s e o f GPS o rs i m i l a r r e l a t i v e l y e x p e n s i v e t e c h n o l o g i e s . We a l s o n o t et h a t l o c a t i o n a w a r e n e s s p l a y s a s i g n i f i c a n t r o l e i n manye n e r g y - p r e s e r v i n g r o u t i n g p r o t o c o l s d e s i g n e d f o r s e n s o rn e t w o r k s , s u c h a s GEDIR [ 1 ] , G e o C a s t [ 2 ] , a n d LAR[ 3 ] , e t c .S e v e r a l l o c a l i z a t i o n m e t h o d s h a v e b e e n p r o p o s e d ,m o s t o f w h i c h a s s u m e t h e e x i s t e n c e o f s e v e r a l l o c a t i o n -a w a r e n o d e s , o r " a n c h o r s " . T h e s e t e c h n i q u e s c a n b ed i v i d e d i n t o t w o d i f f e r e n t c a t e g o r i e s : d i s t a n c e - f r e e a n dd i s t a n c e - a w a r e . An e x a m p l e f o r t h e f o r m e r i s t h e s y s -t e m p r o p o s e d b y B u l u s e [ 4 ] , w h i c h u s e s c o n n e c t i v i t yi n f o r m a t i o n , e m p l o y s a g r i d o f a n c h o r s w i t h k n o w nl o c a t i o n s , a n d l e t s e a c h u n k n o w n n o d e s e t i t s l o c a t i o n t ot h e c e n t r o i d o f i t s n e i g h b o r i n g a n c h o r s . T h e l o c a l i z a t i o na c c u r a c y i s a b o u t o n e - t h i r d o f t h e s e p a r a t i o n d i s t a n c eb e t w e e n a n c h o r s , a n d t h e r e f o r e t h i s m e t h o d n e e d s h i g h

S t e p h e n B . W i c k e rS c h o o l o f E l e c t r i c a l a n d C o m p u t e r E n g i n e e r i n gC o r n e l l U n i v e r s i t yI t h a c a , N ew Y o r k 1 4 8 5 3E m a i l : w i c k e r g e c e . c o r n e l l . e d u

a n c h o r d e n s i t y t o w o r k w e l l . T h e APS p r o p o s e d b yN i c u l e s c u a n d N a t h [ 5 ] u s e s b o t h d i s t a n c e - f r e e a n dd i s t a n c e - a w a r e a p p r o a c h e s t o o b t a i n d i s t a n c e e s t i m a t e st o a n c h o r s : i n t h e i r D V - h o p m e t h o d e a c h n o d e f i n d s i t sd i s t a n c e e s t i m a t e t o a n a n c h o r b a se d o n t h e h o p - c o u n t s o ft h e s h o r t e s t c o n n e c t i n g p a t h ; i n t h e i r D V - d i s t a n c e m e t h o de a c h n o d e s e t s i t s d i s t a n c e e s t i m a t e t o a n a n c h o r a s t h et o t a l l e n g t h o f a l l t h e l i n k s i n i t s s h o r t e s t c o n n e c t i n g p a t h .D V - h o p i s l e s s s e n s i t i v e t o m e a s u r e m e n t n o i s e , b u t h a sp o o r e r p e r f o r m a n c e c o m p a r e d w i t h D V- d i s t a n c e u n d e rm o d e r a t e m e a s u r e m e n t n o i s e .U n l i k e t h e a b o v e , o u r p r o p o s e d a l g o r i t h m i s a n c h o r -f r e e . I n t h i s p a p e r we p r e s e n t a l o w - c o s t l o c a l i z a t i o na l g o r i t h m f o r r a n d o m l y d i s t r i b u t e d s e n s o r s w i t h a s i n g l e ,c e n t r a l l y - l o c a t e d d a t a s i n k ( v a r i a t i o n s o n t h i s t o p o l o g ya r e e a s i l y a c c o m m o d a t e d , b u t a r e n o t c o n s i d e r e d h e r ed u e t o l e n g t h l i m i t a t i o n s ) . T h e p r o p o s e d a l g o r i t h m u s e sa s e r i e s o f b e a c o n s g e n e r a t e d b y t h e d a t a s i n k a s w e l la s l o c a l i z e d p e e r - t o - p e e r t r a n s m i s s i o n s a s t h e b a s i s f o rs e n s o r l o c a l i z a t i o n .S e c t i o n I I o f t h i s p a p e r l i s t s n e t w o r k a s s u m p t i o n sm a d e i n t h i s p r o j e c t . S e c t i o n I I I d e s c r i b e s o u r l o c a l i z a -t i o n a l g o r i t h m i n d e t a i l . S e c t i o n I V p r o v i d e s a n e r r o ra n a l y s i s f o r t h i s a l g o r i t h m , w h i l e s e c t i o n V p r e s e n t ss i m u l a t i o n r e s u l t s .

I I . N E TW ORK ASSUMPTIONSC o n s i d e r a c i r c u l a r c o v e r a g e a r e a w i t h r a d i u s R a n da d a t a s i n k ( b a s e s t a t i o n , B S ) a t i t s c e n t e r . D u r i n gd e p l o y m e n t , N s e n s o r n o d e s a r e r a n d o m l y d i s t r i b u t e di n t h e c i r c u l a r a r e a ( w i t h o u t p r i o r p l a n n i n g ) , c r e a t i n g a2 - D u n i f o r m d i s t r i b u t i o n o f s e n s o r n o d e s .T h e BS u s e s p h a s e d a r r a y a n t e n n a s t o b r o a d c a s t Mb e a c o n s w i t h l i m i t e d b e a m w i d t h , e a c h b e a c o n a s s o c i a t e dw i t h a n a n g u l a r r a n g e i n t h e c o v e r a g e a r e a . T h e b e a c o n st h u s d i v i d e t h e r o u g h l y c i r c u l a r c o v e r a g e a r e a i n t o M

1 - 4 2 4 4 - 0 5 0 7 - 6 / 0 6 / $ 2 0 . 0 0 2 0 0 6 I E E E 6 2 7


2/6

b e a c o n s e c t o r s . T h e b e a c o n t r a n s m i s s i o n s a r e s c h e d u l e di n s e q u e n t i a l t i m e s l o t s a n d d i s t i n g u i s h e d b y b e a c o ns e c t o r n u m b e r s i n c l u d e d i n t h e t r a n s m i s s i o n .A f t e r t h e t r a n s m i s s i o n o f a l l t h e b e a c o n s , t h e BSb r o a d c a s t s s t r o n g o m n i d i r e c t i o n a l s i g n a l s w h i c h e n a b l ea l l t h e n o d e s t o e s t i m a t e t h e i r d i s t a n c e s t o t h e d a t as i n k u s i n g r e c e i v e d s i g n a l s t r e n g t h ( R S S ) m e a s u r e m e n t s .T h e RSS m e a s u r e m e n t s may b e n o i s y a n d t h e r e f o r e t h ed i s t a n c e e s t i m a t e s m i g h t b e i m p r e c i s e , b u t t h i s w i l l o n l yh a v e n e g l i g i b l e e f f e c t o n o u r l o c a l i z a t i o n a l g o r i t h m ' sp e r f o r m a n c e a s we w i l l s h o w i n t h e s i m u l a t i o n s e c t i o n .I f s e v e r a l n o d e s a r e m o b i l e , t h e BS n e e d s t o p e r f o r md i r e c t i o n a l a n d o m n i d i r e c t i o n a l b r o a d c a s t s p e r i o d i c a l l y ,a l l o w i n g n o d e s t o u p d a t e t h e i r l o c a t i o n s . A n o d e ' sm o v e m e n t m i g h t c h a n g e i t s ow n a n d o t h e r n o d e s 'n e i g h b o r l i s t , b u t o n l y t h e n o d e s t h a t h a v e m o v e d n e e dt o c a r r y o u t t h e l o c a l i z a t i o n a l g o r i t h m a g a i n w i t h t h ec h a n g e d n e i g h b o r l i s t . We w i l l s h o w i n f u t u r e w o r k t h a tm o b i l i t y a c t u a l l y h e l p s n o d e s l o c a t e t h e m s e l v e s m o r ea c c u r a t e l y .

I I I . ANCHOR-FREE LOCALIZATION ALGORITHMO n e - h o p n e i g h b o r i n f o r m a t i o n i s u s e d t o c r e a t e an e i g h b o r l i s t i n e a c h n o d e a s f o l l o w s :1 . A f t e r d e p l o y m e n t a n d r e c e i v i n g t h e B S ' s b r o a d c a s t s ,a l l t h e n o d e s u s e f u l l t r a n s m i s s i o n p o w e r t o b r o a d c a s tt h e i r e x i s t e n c e u s i n g a m e s s a g e MSG a s d e s c r i b e d b e l o w :n o d e n u m b e r i d i s t a n c e t o t h e BS r i c u r r e n t s u b -s e c t o r n u m b e r m i t o t a l n u m b e r o f s e c t o r s M i f l a gf i 1 e s t i m a t e d a n g l e f o j 1 e n e r g y l e v e l i n d i c a t o r 1 iE a c h n o d e i s e t s i t s r i u s i n g RSS m e a s u r e m e n t , s e t si t s c u r r e n t s u b - s e c t o r n u m b e r m i t o t h e b e a c o n s e c t o rn u m b e r r e c e i v e d , a n d s e t s t o t a l n u m b e r o f s e c t o r s M it o M. T h e f l a g f i i n d i c a t e s w h e t h e r a d d i t i o n a l p a r t i t i o nr o u n d s a r e n e e d e d f o r n o d e i , a n d i s s e t t o 1 f o r a l ln o d e s a t s t a r t u p . T h e e s t i m a t e d a n g l e i s s e t a s f o =( m i + 0 . 5 ) M 4 a t t h e b e g i n n i n g , a n d i t i s u s e d o n l y w h e nf i i s s e t t o 0 . T h e e n e r g y l e v e l i n d i c a t o r 1 i i s t h e r a t i o o ft h e a v a i l a b l e e n e r g y o v e r t h e f u l l a v a i l a b l e e n e r g y , a n d

i s d e s i g n e d f o r e n e r g y a w a r e r o u t i n g .2 . E a c h n o d e c a r r i e s o u t t h e l o c a l i z a t i o n a l g o r i t h m a n du p d a t e s i t s ow n s u b - s e c t o r n u m b e r m i , t o t a l n u m b e r o fs e c t o r s M i , f l a g f i , e s t i m a t e d a n g l e f o , a n d e n e r g y l e v e l1 j , a s w e l l a s u s e s f u l l t r a n s m i s s i o n p o w e r t o b r o a d c a s ta new MSG i f i t s c o n t e n t d o e s c h a n g e w h e n e v e r ap a r t i t i o n r o u n d e n d s . T h e l o c a l i z a t i o n p r o c e s s o f t h ew h o l e n e t w o r k t e r m i n a t e s w h e n a l l t h e n o d e s h a v e t h e i rf l a g s s e t t o 0 .

When a n o d e f i r s t r e c e i v e s a MSG f r o m i t s o n e - h o pn e i g h b o r , i t w i l l m a k e a n e n t r y f o r t h i s n e i g h b o r i n i t sn e i g h b o r l i s t . T h e e n t r y i s s i m p l y t h e r e c e i v e d MSGo f t h a t n e i g h b o r , c o m b i n e d w i t h t h e d i s t a n c e f r o m t h a tn e i g h b o r e s t i m a t e d u s i n g R S S . T h e e n t r i e s a r e u p d a t e da s new MSG m e s s a g e s a r e r e c e i v e d , a n d t h e r e f o r e k e p tu p t o d a t e .T h e f l o w c h a r t i n F i g . 1 i s t h e d e t a i l e d d e s c r i p t i o no f o u r a n c h o r - f r e e l o c a l i z a t i o n m e t h o d c a r r i e d o u t a te a c h n o d e i . As i s s h o w n i n t h e f l o w c h a r t , d u r i n g

1 4 - C s . _. r.X I; It g S 1 0 _ 0 0 ? g ) lf X iA,, 1 _E

.

-i t

F i g . 1 . F l o w C h ar t o f t h e A n c h o r - F r e e L o c a l i z a t i o n A l g o r i t h mt h e l o c a l i z a t i o n p r o c e s s , e a c h n o d e i w a i t s f o r T u p d a t et o u p d a t e e n t r i e s f o r a l l i t s n e i g h b o r s b e f o r e s t a r t i n g af u r t h e r p a r t i t i o n i n g p r o c e s s . T h e n i t t r a v e r s e s i t s n e i g h b o rl i s t , a p p l y i n g t h e c h e c k i n g c o n d i t i o n s o n e a c h e n t r y a n di n c r e a s i n g i t s n u m b e r o f l e f t n e i g h b o r s ( n L ) o r n u m b e r o fr i g h t n e i g h b o r s ( n R ) a c c o r d i n g l y . A f t e r c h e c k i n g a l l t h ee n t r i e s , i t d e t e r m i n e s i t s e l f t o b e i n t h e l e f t ( l a r g e r a n g l e )s u b - s e c t o r i f n L > n R , o r i n t h e r i g h t ( s m a l l e r a n g l e ) s u b -s e c t o r i f n L < n R . I n a d d i t i o n , i f n L = n R , i t a n n o u n c e si t s e l f t o b e o n t h e common e d g e o f t h e s e t w o s u b -s e c t o r s ( m i d d l e l i n e o f t h e p a r e n t - s e c t o r ) a n d t e r m i n a t e sl o c a l i z a t i o n b y s e t t i n g f i t o 0 . O t h e r w i s e , i f i t f i n d s i t s e l fi n a s u b - s e c t o r w i t h m a x i m a l l o c a t i o n i n a c c u r a c y n ol a r g e r t h a n t h e p r e s e t t h r e s h o l d F , i t a n n o u n c e s i t s e l f t ob e o n t h e m i d d l e l i n e o f c u r r e n t s u b - s e c t o r a n d t e r m i n a t e s

6 2 8

1.

-L-1

k AFj

7.. I .


3/6

l o c a l i z a t i o n b y s e t t i n g f i t o 0 .I t i s c l e a r t h a t o u r l o c a l i z a t i o n a l g o r i t h m d o e s n o td e p e n d o n t h e e x a c t d i s t a n c e s b e t w e e n n e i g h b o r s , a n dt h e r e f o r e we c l a i m i t t o b e p a r t i a l - d i s t a n c e - a w a r e . A s i ti s a l o c a l i z e d a l g o r i t h m , i t s c a l e s w e l l .

D e f i n er L R =m i n ( r t r a n s , r i * s i n ( " I T ) )d Ld R

r i - s i n ( 4 7 (m i+ 1)-r i s i n ( Q i - * m i ) O i )

I V . ERROR ANALYSIS FO R T HE LOCALIZATIONALGORITHMU n d e r t h e a s s u m p t i o n o f 2 - D u n i f o r m d i s t r i b u t i o no f s e n s o r n o d e s , we c a n s t u d y t h e e r r o r p r o b a b i l i t y o fo u r l o c a l i z a t i o n a l g o r i t h m a n a l y t i c a l l y . T h e l o c a l i z a t i o np r o c e s s a t e a c h n o d e i i s b a s i c a l l y p a r t i t i o n i n g c u r r e n ts e c t o r ( s u b - s e c t o r ) a n d t h e n d e c i d i n g i t s e l f t o b e i nt h e l e f t p a r t , i n t h e r i g h t p a r t , o r o n t h e m i d d l e l i n e .A c c o r d i n g t o t h e a l g o r i t h m d e s c r i b e d i n t h e a b o v e f l o wc h a r t , g i v e n n o d e i ' l o c a t i o n x i = ( r i , O i ) , we h a v e :P 1 = P { n o d e i i n t h e l e f t p a r t }

P{NL-NR> 1}F ( N - 1 ) / 2 ] - 1S . 0 C / _ 1 p n R ( l=E RnR=oN-I-nR

N X, C N - 1 - n R P L (nL=nR+l

P 2 =P{ n o d e i i n t h e r i g h t p a r t= P{NR-NL>I}F ( N - 1 ) 2 ] - 1

5 C Z _ 1 p n L ( l2 0 , C- PnL=oN-1-nL5 C - 1 - n L P R (nR=nL+l

P 3 P { n o d e i o n t h e m i d d l eP { N L -N R =O }L ( N - 1 ) 2 j

X , R 0 - 1 P RnR=o

I R ) N - 1 - n Rp L ) N-1-nR-nL ( j )

( L ={(R ={X LX RS LSR

a r c c o s d L ) d L < rL RO : d L > rL Rarccos(R) : d R < rL R

O : d R > rL Rm a x ( O , r i + r L R s i n 1 Lm a x ( O , r i + r L R s i n (R

7 T - r 2 i D LT r L R 22T iR ( D RF r L R 2 -

R )R )1 2T r L R * s i n ( 2 1 L )1 2 r 2r L R s i n ( 2 ( R )

W h e r e r t r a n s i s t h e m a x i m a l t r a n s m i s s i o n r a n g e o f a l l t h en o d e s .T h e n t h e a r e a s o f t h e l e f t a n d r i g h t r e g i o n s b e i n gc o n s i d e r e d a r e :

A L =SL * ( 2 - ( X L j j ) 2 )r L R s i n f ( LAR= S R - ( 2 ( XR 2r L R 2 s i n ( D RF o r 2 - D u n i f o r m d i s t r i b u t i o n , w e h a v e :

p = A L PR A R sW h e r e S i s t h e a r e a o f t h e c i r c u l a r n e t w o r k .

p N - 1 - n LI n t h e f i r s t p a r t i t i o n r o u n d , t h e r e i s an e r r o r i f n o d e iP U a n n o u n c e s i t s e l f t o b e o n t h e m i d d l e l i n e w h i l e i t s a c t u a ll o c a t i o n ' s d i s t a n c e f r o m t h e e s t i m a t e d l o c a t i o n i s l a r g e rP R ) 1 - - n L - n l R ( 2 ) t h a n t h e p r e s e t t h r e s h o l d F . E r r o r a l s o a r i s e s i f n o d e ii s n o t i n t h e s u b - s e c t o r t h a t i t d e t e r m i n e s i t s e l f t o b e i n .C o m b i n i n g a l l t h e s e c o n s i d e r a t i o n s , w e d e d u c e t h e e r r o rl i n e } p r o b a b i l i t y o f t h e f i r s t p a r t i t i o n a s f o l l o w s :F o r a n y n o d e i i n t h e c i r c u l a r a r e a w i t h l o c a t i o n x i( r i , Q i ) , d e f i n e i t s e r r o r i n d i c a t o r a s :) R ) N - 1 - n R

nR

X, CN-f1 p P ( 1 _ P L ) N 1 n R - n L ( 3 )nL=nRN L a n d NR a r e r a n d o m v a r i a b l e s d e n o t i n g t h e n u m b e ro f n e i g h b o r s i n t h e l e f t a n d r i g h t r e g i o n s b e i n g c o n -s i d e r e d , w h i l e n L a n d n R a r e t h e v a l u e s t h e y t a k e i na p a r t i c u l a r r e a l i z a t i o n . P L a n d P R a r e t h e p r o b a b i l i t i e st h a t t h e r e i s a n o d e i n t h e l e f t a n d r i g h t r e g i o n s c o n -s i d e r e d s e p a r a t e l y . A c c o r d i n g t o o u r a l g o r i t h m , t h e y a r ed e t e r m i n e d i n t h e f o l l o w i n g w a y :

{=

I : m i s t a k et: n o m i s t a k e( i i s a r a n d o m v a r i a b l e d e t e r m i n e d b y NL a n d N R , a sw e l l a s n o d e i ' s l o c a t i o n x i , t h e r e f o r e , w e c a n d e n o t e ( ia s i ( x i , N L , N R ) . T h e n f o r 2 - D u n i f o r m d i s t r i b u t i o n , w eh a v e :

E N L , N R [ i ( x i , N L I N R ) ] = e i ( o i )P 2 + P 3 : n o d e i i n r e g i o n IP 2 : n o d e i i n r e g i o n I IP+ P 3 : n o d e i i n r e g i o n I I IP I + P 3 : n o d e i i n r e g i o n I V( 4 )

6 2 9


4/6

D e n o t e t h e a n g l e o f t h e m i d d l e l i n e a s o j , a n d r e g i o n I ,I I , I I I a n d I V a r e d e f i n e d a s :r e g i o n I

r e g i o n I Ir e g i o n I I Ir e g i o n I V

2 r i * s i n 0 i i2>o < 2 r i s i n 0 i 2 i < Fo < 2 r i s i n ' , 2 < F: 2 r i . s i n ' i 2 0 i > F

I n a 2 - D u n i f o r m d i s t r i b u t i o n , a n o d e i ' s l o c a t i o n i sa l s o a r a n d o m v a r i a b l e , w e d e n o t e i t b y X i , a n d a l l t h en o d e s i n t h e n e t w o r k a r e i d e n t i c a l . T h e r e f o r e , we c a ng e n e r a t e t h e e r r o r p r o b a b i l i t y o f f i r s t p a r t i t i o n f o r a n yn o d e b y t a k i n g a v e r a g e o f e i ( X i ) o v e r X i :P { f i r s t p a r t i t i o n e r r o r o f a n y n o d e }

= E x j[e(iX i ) ]r R r 2 -= X y ~ e i ( r i , I i ) r i d O i d r i ( 5 )T h e s e c o n d p a r t i t i o n i s b a s e d o n t h e r e s u l t s o f t h e f i r s tp a r t i t i o n w h i c h h a v e a n e r r o r p r o b a b i l i t y , t h e r e f o r e i t sp e r f o r m a n c e n e e d s t o b e a n a l y z e d i n d i f f e r e n t c a s e s . T om a k e i t c l e a r , we g i v e a c o n c r e t e e x a m p l e a s f o l l o w s :Assume M=12, a s i n F i g . 2 , n o d e i r e c e i v e d t h e B S ' s

y 5 / 4, /3 -

F i g . 2 . A n a l y s i s o f P a r t i t i o nb e a c o n a n d s e t i t s b e a c o n s e c t o r n u m b e r t o 1 a t t h e b e -g i n n i n g o f l o c a l i z a t i o n p r o c e s s . A f t e r t h e f i r s t p a r t i t i o n ,t h e r e a r e t h r e e p o s s i b l e r e s u l t s :C a s e 1 : I t a n n o u n c e d i t s e l f t o b e o n t h e m i d d l e l i n ea n d n o m o r e p a r t i t i o n s a r e n e e d e d .C a s e 2 : I t d e t e r m i n e d i t s e l f t o b e i n s u b - s e c t o r 3c o r r e c t l y . T h e n i n t h e s e c o n d p a r t i t i o n , s u p p o s e t h e r e a r ea c t u a l l y n 1 a n d n 2 n o d e s i n t h e l e f t a n d r i g h t c o n s i d e r e dr e g i o n o f n o d e i s e p a r a t e l y , b u t t h e n e i g h b o r s m i g h t h a v ew r o n g d e c i s i o n s o f t h e i r c u r r e n t s u b - s e c t o r s , a s w e l l a sw r o n g e n t r i e s i n n o d e i ' s n e i g h b o r l i s t . T h e r e f o r e t h en u m b e r s o f n o d e s t h a t n o d e i d e t e r m i n e s t o b e i n t h e l e f ta n d r i g h t c o n s i d e r e d r e g i o n m i g h t b e d i f f e r e n t f r o m t h e i ra c t u a l v a l u e s , a n d f o r m u l a ( 1 ) - ( 5 ) d o n o t a p p l y . H o w e v e r ,a s l o n g a s t h e e r r o r p r o b a b i l i t y o f t h e f i r s t p a r t i t i o ni s l o w , t h e s e f o r m u l a s t i l l g i v e g o o d e r r o r p r o b a b i l i t ye s t i m a t i o n .

C a s e 3 : I t m a d e a m i s t a k e a n d d e t e r m i n e d i t s e l f t o b ei n s u b - s e c t o r 2 . T h e n i n t h e s e c o n d p a r t i t i o n r o u n d , i tc h e c k s a l l t h e n o d e s i n t h e c i r c l e o f r a d i u s r L R a s s h o w ni n F i g . 2 , a n d c o u n t s t h e n u m b e r o f l e f t n e i g h b o r s n La n d t h e n u m b e r o f r i g h t n e i g h b o r s n R . S i n c e i t a s s u m e si t s c u r r e n t s u b - s e c t o r n u m b e r i s 2 , i t w i l l r e g a r d n o d e sw i t h s u b - s e c t o r n u m b e r 3 a s l e f t n e i g h b o r s , a n d n o d e sw i t h s u b - s e c t o r n u m b e r 1 a s r i g h t n e i g h b o r s . S i n c e n o d ei ' s a c t u a l l o c a t i o n i s i n s u b - s e c t o r 3 , a n d w e h a v e s e tr L R t o b e n o g r e a t e r t h a n r i s i n ( 2 7 ) , t h i s c i r c l e w i l l n o tc o v e r n o d e s o u t o f s u b - s e c t o r 2 , 3 , 4 . T h e r e f o r e we w o u l dd e f i n i t e l y h a v e n R = 0 , a n d h a v e n L > 0 w i t h h i g hp r o b a b i l i t y . As a r e s u l t , n o d e i w o u l d p r o b a b l y d e t e r m i n ei t s e l f t o b e i n t h e l e f t p a r t o f s u b - s e c t o r 2 a f t e r t h e s e c o n dp a r t i t i o n r o u n d , a n d i n t h i s w a y , t h e e r r o r i n i t s e s t i m a t e dl o c a t i o n d e c r e a s e s .S i m i l a r d i s c u s s i o n s a p p l y f o r t h e s u b s e q u e n tp a r t i t i o n s . A c t u a l l y , i n t h e c a s e o f l a s t p a r t i t i o n h a v i n gm a d e m i s t a k e s , o u r l o c a l i z a t i o n a l g o r i t h m m a n a g e st o d e c r e a s e t h e l o c a t i o n e s t i m a t i o n e r r o r s a s p a r t i t i o nr o u n d s i n c r e a s e , w h i c h w i l l b e s h o w n i n t h e s i m u l a t i o ns e c t i o n .

V . SIMULATION RESULTS FOR T HE LOCALIZATIONALGORITHMI n t h i s s e c t i o n , we u s e M a t l a b s i m u l a t i o n s t o t e s t o u rl o c a l i z a t i o n a l g o r i t h m ' s p e r f o r m a n c e . I n a l l s i m u l a t i o n s ,we a s s u m e t h e s e n s o r n e t w o r k i s a c i r c u l a r a r e a w i t hr a d i u s R = 1 0 0 m , t h e BS i s a t t h e c e n t e r , a n d t h e o r i g i n a lt o t a l n u m b e r o f s e c t o r s p r o v i d e d b y t h e B S ' s b e a c o n s i sM= 1 2 . T h e r e a r e N n o d e s o f 2 - D u n i f o r m d i s t r i b u t i o ni n t h e c i r c u l a r a r e a , a n d t h e m a x i m a l t r a n s m i s s i o n r a n g eo f e a c h n o d e i s r t r a n s = 3 0 m . T h e m a x i m a l a l l o w e dl o c a t i o n i n a c c u r a c y F i s s e t t o 5 m , w h i c h i s p r o v e d t op r o v i d e s a t i s f y i n g l o c a l i z a t i o n r e s u l t s f o r o u r e n e r g y -p r e s e r v i n g r o u t i n g a l g o r i t h m i n d e s i g n ( n o t d e s c r i b e dh e r e d u e t o l e n g t h l i m i t a t i o n s ) .

A . P e r f o r m a n c e o f P a r t i t i o n sWe v a r y N b e t w e e n 1 0 0 a n d 1 0 0 0 w i t h s t e p s i z e 1 0 0 ,

a n d t h e r e s u l t s a r e p l o t t e d i n F i g . 3 . A s we c a n s e e , t h ef i r s t p a r t i t i o n e r r o r p r o b a b i l i t y d e c r e a s e s a s N i n c r e a s e s ,w h i c h i n d i c a t e s t h a t o u r l o c a l i z a t i o n a l g o r i t h m ' s p e r f o r -m a n c e m i g h t i m p r o v e w i t h n o d e d e n s i t y . As e x p l a i n e di n l a s t s e c t i o n , f o r t h e s e c o n d p a r t i t i o n , f o r m u l a ( 1 ) - ( 5 )c a n o n l y b e u s e d a s a n e s t i m a t i o n t o o l i f t h e n o d e ' s f i r s tp a r t i t i o n i s r i g h t ( C a s e 2 ) , a n d w h e n t h e y a r e a p p l i e d , wea r e a s s u m i n g t h a t t h e f i r s t p a r t i t i o n e r r o r p r o b a b i l i t y o fe v e r y o t h e r n e i g h b o r i s a l s o 0 , w h i c h m a k e s t h e s e c o n d6 3 0


5/6

1 2 0 (rI. i ( 8 + ) M

-0 0 . 1a)

X 0 . 0V-

01 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 0 1 0 0 0n u m b e r o f n o d e s

T h e r e f o r e w e A d 2 0 . 5 . S i m i l a r e x p l a n a t i o na p p l i e s f o r t h e s u b s e q u e n t p a r t i t i o n s . F i g . 4 p l o t s t h e1 5 o t h e f i r s t p a r t i t i o nO t h e s e c o n d p a r t i t i o n

th e t h i r d p a r t i t i o n+ th e f o u r t h p a r t i t i o nE~~~~~~1 0E 0

F i g . 3 . T h e o r e t i c a l E r r o r P r o b a b i l i t y o f t h e F i r s t P a r t i t i o n ( F = 5 m )

p a r t i t i o n e q u i v a l e n t t o t h e f i r s t p a r t i t i o n w i t h o r i g i n a ln u m b e r o f b e a c o n s e c t o r s M= 2 4 .F o r t h e c a s e t h a t t h e n o d e h a s m a d e a w r o n g s u b -s e c t o r d e c i s i o n i n t h e f i r s t p a r t i t i o n , we s h o w t h a t o u rl o c a l i z a t i o n a l g o r i t h m m a n a g e s t o d e c r e a s e t h e l o c a t i o ne s t i m a t i o n e r r o r a s p a r t i t i o n r o u n d s i n c r e a s e . We s e t N t o8 0 0 a n d d o s i m u l a t i o n 3 0 t i m e s , i n e a c h r e a l i z a t i o n o f t h e2 - D u n i f o r m d i s t r i b u t i o n , we t r a c k e v e r y n o d e t h a t h a sm a d e a w r o n g s u b - s e c t o r d e c i s i o n i n t h e f i r s t p a r t i t i o n ,a n d c o m p a r e i t s l o c a t i o n e s t i m a t i o n e r r o r a f t e r t h e f i r s tp a r t i t i o n ( A d , ) w i t h i t s l o c a t i o n e s t i m a t i o n e r r o r a f t e rt h e s e c o n d a n d s u b s e q u e n t p a r t i t i o n s ( A d 2 , . . . , A d k ) .T h e s i m u l a t i o n r e s u l t s s h o w t h a t , f o r a n y n o d e t h a th a s d e t e r m i n e d i t s e l f t o b e i n t h e w r o n g s u b - s e c t o r i n t h ef i r s t p a r t i t i o n r o u n d , a s l o n g a s i t c a r r i e s o u t t h e s e c o n dp a r t i t i o n r o u n d , i t s l o c a t i o n e s t i m a t i o n e r r o r A d 2 w o u l dd e c r e a s e t o a l i t t l e b i t l a r g e r t h a n 1 A d , . An d a s l o n g a si t c a r r i e s o u t t h e k t h p a r t i t i o n r o u n d , i t w i l l h a v e A d ,A d k < 1 . T h e e x p l a n a t i o n i s t h a t , t h o s e n o d e s m a k i n gw r o n g s u b - s e c t o r d e c i s i o n s t e n d t o b e a r o u n d t h e m i d d l el i n e . Assume a n o d e i w i t h a c t u a l a n g l e Q i = ( m i + 0 . 5 -e ) * M,


6/6

i n d i c a t o r . We i n c r e a s e N f r o m 1 0 0 t o 1 0 0 0 w i t h s t e p s i z e1 0 0 w i t h o t h e r p a r a m e t e r s f i x e d . F o r e a c h v a l u e t h a t Nt a k e s , we r u n s i m u l a t i o n 3 0 t i m e s a n d t a k e t h e a v e r a g eo f P e r r o r , t h e r e s u l t s a r e p l o t t e d i n F i g . 5 a s r e d s t a r s . As0 . 4 r ( = 0

c= 0 . 1( = 0 . 2= 0 . 3

0 . 3 5 T0 . 3

0 . 2 52 0 2= 0 . 1 5

01F i g . 6 . L o c al i za t i on R e su l t o f One S i m u l a t i o n (N = 9 0 0 , F=5m)

0 . 0 50

F i g . 5 .(F=5m)

200 4 0 0 6 0 0number o f n o d e s 8 0 0 1 0 0 0

L o c a l i z a t i o n P e r f o r m a n c e o f t h e A n c h o r - F r e e A l g o r i t h m

e x p e c t e d , t h e l o c a l i z a t i o n error r a t e d e c r e a s e s as n o d ed e n s i t y i n c r e a s e s , t h e r e f o r e ou r l o c a l i z a t i o n a l g o r i t h mw o r k s b e t t e r f o r h i g h d e n s i t y n e t w o r k s . We a l s o n o t i c et h a t t h e d e c r e a s e b e c o m e s s l o w e r when n o d e d e n s i t y i sl a r g e r , a n d a f t e r N a p p r o a c h e s 5 0 0 , t h e l o c a l i z a t i o n errorr a t e i s k e p t b e l o w 1 0 % .S i m u l a t i o n s are u s e d t o s t u d y t h e e f f e c t o f RSSmeasurement n o i s e . F o r an y n o d e , we assume i t s d i s t a n c ef r o m t h e BS e s t i m a t e d u s i n g RSS measurement r m e a s u r e dh a s t h e f o l l o w i n g r e l a t i o n s h i p w i t h t h e a c t u a l d i s t a n c e

r a c t u a l : r m e a s u r e d = r a c t u a l ( 1 + 6 ) , w h e r e E i s a G a u s s i a nr a n d o m v a r i a b l e w i t h zero mean a n d s t a n d a r d d e v i a t i o n( X . A g a i n we i n c r e a s e N f r o m 1 0 0 t o 1 0 0 0 w i t h s t e p s i z e1 0 0 , f o r e a c h v a l u e N t a k e s , we t r y d i f f e r e n t v a l u e s o f u - ,a n d f o r e a c h v a l u e o f u - , we run s i m u l a t i o n 3 0 t i m e s a n dr e c o r d t h e average o f P e r r o r , t h e r e s u l t s are a l s o p l o t t e di n F i g . 5 .

T h e r e s u l t s s h o w t h a t ou r l o c a l i z a t i o n a l g o r i t h m i sr o b u s t a g a i n s t RSS measurement n o i s e . E v e n when t h es t a n d a r d d e v i a t i o n u - i s 0 . 2 , t h e p e r f o r m a n c e d e g r a d a t i o ni s n e g l i g i b l e . L a r g e r u - w o u l d r e s u l t i n l a r g e r p e r f o r m a n c ed e g r a d a t i o n , b u t as f a r as t h e n o d e d e n s i t y i s h i g h , ou rl o c a l i z a t i o n a l g o r i t h m s t i l l g i v e s a c c e p t a b l e p e r f o r m a n c e .

I t s h o u l d a l s o b e n o t e d t h a t m o s t o f t h e n o d e s t h a tmake errors are a t t h e p e r i p h e r y o f t h e coverage a r e a , asshown i n F i g . 6 . T h i s i s a c t u a l l y an a d v a n t a g e , b e c a u s ei n t h e l o c a t i o n - b a s e d r o u t i n g s c h e m e d e s i g n e d f o r ou rs i n g l e s i n k n e t w o r k , t h e s e b o u n d a r y n o d e s w i l l n o t b eu s e d as r e l a y n o d e s , a n d t h e r e f o r e t h e i r l o c a l i z a t i o nerrors are l e s s d e t r i m e n t a l .

V I . CONCLUSIONSI n t h i s paper, we p r o p o s e d an a n c h o r - f r e e l o c a l i z a t i o n

a l g o r i t h m f o r r a p i d l y - d e p l o y e d w i r e l e s s sensor n e t w o r k s .O u r l o c a l i z a t i o n a l g o r i t h m s c a l e s w e l l w i t h t h e s i z eo f n e t w o r k . D u r i n g t h e l o c a l i z a t i o n process, e a c h n o d eb r o a d c a s t s messages o f a p r e s e t f o r m a t a n d c o l l e c t s one-h o p n e i g h b o r s ' messages t o k e e p i t s n e i g h b o r l i s t upt o d a t e . T h e BS o r i g i n a l l y d i v i d e s t h e c i r c u l a r n e t w o r karea i n t o M b e a c o n s e c t o r s , a n d t h e n e a c h n o d e k e e p sp a r t i t i o n i n g i t s c u r r e n t s e c t o r a n d l o c a t i n g i t s e l f i n as m a l l e r s u b - s e c t o r w i t h t h e h e l p o f i t s n e i g h b o r l i s t t i l lt h e l o c a l i z a t i o n t e r mi n a t i o n c o n d it i o n i s s a t i s f i e d . B o t ha n a l y t i c a l a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s c o n f i r m e d t h a t ou rl o c a l i z a t i o n a l g o r i t h m ' s p e r f o r m a n c e i m pr o v e s w i t h n o d ed e n s i t y , a n d i t w o r k s w e l l f o r h i g h - d e n s i t y n e t w o r k s . I twas a l s o s h o w n t h a t ou r a l g o r i t h m i s r o b u s t a g a i n s t RSSmeasurement n o i s e .

REFERENCES[ 1 ] I. S t o j m e n o v i c a n d X . L i n , "GEDIR: L o o p - f r e e l o c a t i o n b a s e dr o u t i n g i n w i r e l e s s n e t w o r k s " , i n P r o c . IASTED I n t . C o n f onP a r a l l e l a n d D i s t r i b u t e d C o m p u t i n g a n d S y s t e m s , November 3 -6 , 1 9 9 9 , B o s t o n , MA, USA, p p . 1 0 2 5 - 1 0 2 8 .[ 2 ] J . C . N a v a s a n d T o m a s z I m i e l i n s k i , " G e o C a s t - G e o g r a p h i ca d d r e s s i n g a n d r o u t i n g " , i n P r o c . M o b i C o m ' 9 7 , S e p t e m b e r 2 6 -3 0 , 1 9 9 7 , B u d a p e s t , H u n g a r y , p p . 6 6 - 7 6 .[ 3 ] Y B . Ko a n d N . H . V a i d y a , " L o c a t i o n - a i d e d r o u t i n g ( L A R ) i nm o b i l e a d h o c n e t w o r k s " , i n P r o c . M o b i c o m ' 9 8 , O c t o b e r 1 9 9 8 ,D a l l a s , T X , USA, p p . 6 6 - 7 5 .[ 4 ] N . B u l u s u , J . H e i d e m a n n , a n d D . E s t r i n , " G P S - l e s s l o w c o s t o u t -d o o r l o c a l i z a t i o n f o r very s m a l l d e v i c e s " , IEEE P e r s o n a l Com-m u n i c a t i o n s M a g a z i n e , O c t o b e r 2 0 0 0 , 7 ( 5 ) : p p . 2 8 - 3 4 .[ 5 ] D . N i c u l e s c u a n d B . N a t h , " Ad H oc P o s i t i o n i n g S y s t e m s " , i nP r o c . G l o b e C o m , November 2 0 0 1 .

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