ANALYSE PAR SIMULATIONS MONTE CARLO …...tion de la technique de Monte Carlo à échantillonnage préférentiel appliquée aux sysrérnes OFDM égalisés. Nous simulons ensuite le

MOHAMED LESSAAD AMMAN

ANALYSE PAR SIMULATIONS MONTE CARLO RAPIDES DES PERFORMANCES DES SYSTEMES

OFDM EGALISES

Mémoire présente

a 1a Faculté des erudes supérieures de 1' Universite Laval

pour I'obtention du grade de maître es sciences (M.Sc.)

Département de genie electrique et de génie informatique

FACULS DES SCIENCES ET DE &NIE

UNNERSITÉ LAVAL

novembre 1999

@ Mohamed Lessaad Ammari 1999

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Résumé

Nous nous intéressons dans ce travail à évaluer les performances des systèmes de trüns- mission multiponeuses qui utilisent des égaliseurs locaux. Dans ce cas ppaniulier. la réponse

fréquentielle du canal. calculée à chaque fréquence porteuse. est corrigée en utilisant une suite de symboles d'entraînement. La perf'ormance globale d'un système ainsi égalisé est quantifiée ensuite par la méthode de Monte Carlo h échantillonnage préférentiel (Imponünce Sampling). Cette rechnique de simulation rapide permet de réduire la variance de l'estimoteur sans aug-

menter les temps de calculs.

Nous essayons dans cette recherche de déterminer d'abord des procédures d'optimisa-

tion de la technique de Monte Carlo à échantillonnage préférentiel appliquée aux sysrérnes

OFDM égalisés. Nous simulons ensuite le système OFDM sous diverses conditions de propü-

oaiion. Nous prouvons enfin que malgré sa simplicité. l'égalisation locale est très efficace. En *

effet. elle permet. avec des courtes périodes d'entr~înernent. une amélioration consid&ablc des

performances.

Mots-clés: uansmission rnuitiporteuses. OFDM. égalisation locale. Monte CarIo à

échonti llonnage préférentiel.

Amman Mohamed Lessaad Dr Paul Fortier. Dr Huu Tué Huynh. Etudirin t Directeur de Recherche Co-Directeur de Recherche

i i i

Avant-propos

Je tiens, tout d'abord. i remercier mes directeurs de recherche, le Docreur Paul Fonisr

et le Docteur Huu Tuê Huynh. professeurs au dépanernent de génie électrique et génie infoms-

tique, qui m'ont fait l'honneur en acceptant de diriger mes travaux de recherche et qui m'onr

fait découvrir et pûnager leur vision de recherche. Je leur témoigne ma profonde p i t u d e pour

leur disponibilité et leur soutien scientifique et moral le iong de mes études graduées.

J'ûdresse aussi mes remerciements à tout le personnel du Labor~toire de Radiocornmu-

nications et de Traitement du Signal (LRTS). professeurs et étudiants et i tout le personnel du

département de génie Clectnque et génie informatique.

Je dédie ce mémoire B mes parents pour leur générosité. leur patience et leur appui mo-

rd et financier et i route ma famille et mes amis pour leurs encouragements.

1.4 Monte Cario à échantillonnage préférentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

1 . 4 1 Propriétés statistiques de I'estimateur (1s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.42 Procédure pour biaiser le bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7 3 1.4.3 Techniques pour biaiser les bruits gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -- 1.5 ConcIusion ........................................................ 2-1

Chapitre 2

Application de la technique MC à échantillonnage préférentiel aux systèmes de communication numérique ................................................. - 2 6

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Simulation des systèmes en modulation binaire aniipodale

parlatechniqueCIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.1 Modulation binaire antipodale (BPSK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.2.2 .Modèle de simulation pour les canaux AWGN sans mémoire . . . . . . . . . . . 28

2.1.3 Modèle de simulation pour les systèmes linéaires avec mémoire . . . . . . . . . . 31

2.2.4 Simulations et résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 Simulation des systèmes de modulation en quadrature de phase

par la technique CIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.1 Modulation en quadrature de phase (QPSK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -36

2.3.2 Modèle de simulation pour les canaux AWGN sans mémoire . . . . . . . . . . . 37

2.3.3 Modèle de simulation pour les canaux AWGN avec mémoire . . . . . . . . . . . 39

1.3.4 Simulations et résultats numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4 0

2.1 Simulation des systèmes en modulation de phase par la technique CIS . . . . . . . . . 42

1.4.1 Modulation de phase à M niveaux (M-PSK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2-42 Modèle de simulation pour les canaux AWGN sans mémoire . . . . . . . . . . . -13

2.1.3 Modèle de simulation pour les canaux AWGN avec mémoire . . . . . . . . . . -45

24.4 Simulations et résultats numériques ............................... -46

2.5 Simulation des systèmes en modulation d'amplitude en quadrature

............................................... par la technique CIS -47

2-51 Modulation d'amplitude en quadnture (M-QAM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 4 7

2-52 Modèle de simulation pour les canaux AWGN sans mémoire ........... 4s

2.5.3 Modèle de simulation pour les canaux AWGN avec mémoire . . . . . . . . . . . 50

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4 Simulations et résultats numériques 51

2.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Chapitre 3

Modulation à fréquences orthogonales multiplexées et égalisation locale ............ 53 3.1 Introduction .................................

* . 3.2 Le système série et le système parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Multiplexage fréquentiel conventionnel et systèmes OFDM 56

3.4 Technique de modulation OFDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Orthogonalité des sous~poneuses 57

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Symboles OFDM 5s

3.4.3 Utilisation de l'intervalle de garde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4.4 Modulation et démodulation par la transformée de Founer discrère . . . . . . . 61

3.5 Egalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.5.1 Egiilisation et intervalle de garde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.5.2 Egülisation locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Critères TF' et "EQMM" - 6 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.4 Estimation du canal 67

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.5 Erreurs d'estimation du canal 68

3.5.5.1 Utilisation d'une seule trame de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.5.5.2 Utilisation de plusieurs trames de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Chapitre 3

Evaluation des performances des systèmes OFDM égalisés par les techniques de simulation rapide CIS ..................................................... -72

4.1 Introduction ....................................................... 71

1.7 Description du modèle de simulation ................................... 73

4.3 Optimisation de la technique CIS ...................................... 75

4.1 Performances dans des canaux MMDS .................................. 77

4-41 Description des canaux MMDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 .42 Performances des systèmes OFDM égalisés modulés en QPSK . . . . . . . . . . 78

4.3.2.1 Performances dans le canai P 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 7 8

4.3.2.2 Performances dans le canal F1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SO

4.4.3 Performances des systèmes OFDM égalisés modulés en QAM-16 . . . . . . . . 82

4.4.3.1 Performances dans le canal Pl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.1.3.2 Pexformances dans le canal F 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.4.4 Estimation du canal: erreur quadratique moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.5 Performances dans le canal radio 3 l'intérieur des édifices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S9

4.5.1 Description du canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S9

4.52 Pmicularité de I i i procédure de simu1;ition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.5.3 Performünces du système OFDM modulé en QPSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4 . 3 1 Performances du système avant égalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.5.3.2 Performances du système égalisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.5.4 Performances de système 0R)h.l modulé en QAM- i 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4 . 5 . 1 Performances du système avant égalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

45.4.2 Performances du système égalisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

1.5.5 Estimation du canal: erreur quûdntique moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.6 Effet du nombre de sous-poneuses sur les performances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9s

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Conclusion 100

BIBLIOGRAPHIE ................................*...................... 105

ANNEXE A

Paramètres des canaux MMDS simulés ....................................... 110

Liste des figures

Figure 1.1.

Figure 1.7.

Figure 1.3.

Figure 1.1.

Figure 2.1.

Figure 2.2.

Figure 2.3.

Figure 3.4.

Figure 2.5.

Figure 2.6.

Figure 1.7.

Fipre 1.8.

Figure 1.9.

Figure 2.10.

Figure 2.1 1 . Figure 3.1.

Figure 3.2.

Figure 3.3.

Figure 3.4.

Figure 3.5.

Figure 3.6.

Figure 4.1.

Figure 1.2.

Figure -1.3.

Fonction de densité de probabilité du signal à la réception . . . . . . . . . . . . 11

Représentation schématique de l'implémentation de la procédure

d'estimation de MC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Bandes de confiance sur le TEB lorsque la valeur observée est 10? . . -16

. . . . Modifications de la densité gaussienne par les techniques CIS et IIS 24

. . . . . . . . . . Schéma de base d'une chaîne de communication numérique 27

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagramme de l'espace des signaux BPSK 28

Evaluation des performances d'un système BPSK dans un canal

AWGN sans mémoire par les techniques CIS et MC . . . . . . . . . . . . . . . -35

log(r.\, GIS) versus u pour L = 1.3.5 et 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Constellation de la modulation QPSK 37

Représentation vectorielle du signal bruité requ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3s

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Performance d'un système QPSK 42

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Constellation de la modulation 8-PSK 43

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Performance d'un système 8-PSK 47

Constellation 16-QAiM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-I S 3 . . . . . . . Variance de I'estirnateur (a:!, ) vs a pour N l s = 10 et 10.'. 3 2

Représentation temporelle et frequentielle des signaux séries - - et parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Représentation spectrale de (a) système multiponeuses . (b) système OFDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Transmission du signal OFDM avec un intervalle de garde . . . . . . . . . . . 60

. . . . . . . . . . . Représentation en temps et en fréquence du signal OFDM 61

Modèle en bande de base d'un système de transmission OFDM . . . . . . . 63

Système OFDM vu comme un ensemble de canaux AWGN

avec atténuations corrélées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Modklisation du système OFDM égalisé pour la simulation CIS . . . . . . . 71 Performance du système OFDM égalisé modulé en QPSK dans le

. canalMMDS(P1) .......................................... 79

Constellations du système OFDM modulé en QPSK dans le

canalMMDS(P1) ........................................... SO

Figure 3.1.

Figure 4.5.

Figure 4.6.

Figure 1.7.

Figure 1.8.

Figure 4.9.

Figure 4.10.

Figure 4.1 1.

Figure 4-12.

Figure 1.13.

Figure 4.14.

Figure -1.15.

Figure 4.16.

Figure 4.17.

Figure 4.18.

Figure 4.19.

Figure 4.20.

Performance du système OFDM égalisé modulé en QPSK dans le

canülMMDS(F1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81


canalMMDS(F1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Performance du système OFDM égalisé modulé en QAM-16 dans le

canal(P1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Constellations du système OFDM modulé en QAM-16 dans le

canalMMDS(P1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . 84

Performance du système OFDM égalisé modulé en QAM-16 dans le

canalMMDS(F1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85


cansIMMDS(P1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Erreur quadratique moyenne sur l'estimation du canal PL. . . . . . . . . . . .87

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . EQM pour différentes périodes d'entraînement. SS

Performances du système non égalisé et modulé en QPSK pour

. . . . . . . . . . . . . . différents taux d'arrivée et un débit binaire normalise .92

Performances du système égalisé et modulé en QPSK pour

. . . . . . . . . . . . . . différents taux d'rinivée et un débit binaire normalisé .93


canal radio pour l'intérieur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94

Performances du système non égalisé et modulé en QAM-16 pour

. . . . . . . . . . . . . . différents taux d'am vee et un débit binaire normalisé -95

Performances du système égalisé et modulé en QAM- 16 pour

. . . . . . . . . . . . . . différents taux d'arrivée et un débit binaire normalisé .96


canal radio pour l'intérieur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

Eneur quadratique moyenne sur l'estimation du canal

radio pour l'intérieur. ....................................... -98

Effets du nombre de sous-porteuses sur les performances du

................ système OFDM égalisé dans le canal MMDS (Pl). .99

Effets du nombre de sous-porteuses sur les performances du

. . . . . . système OFDM égalisé dans les canaux radio pour l'intérieur. -100

Liste des tableaux Tableau 7.1. Simulation des systèmes BPSK: avantage de CIS par rapport à MC. . . -34

Tableau 2.1. Avantage de CIS par rapport à MC: simulation des systèmes QPSK. . . - 4 1

Tableau 7.3. Avantage de CIS par rapport à MC: simulation des systèmes 8-PSK. . . -46

Tableau 2.1. Avantage de CIS par nppon à MC: simulation des systèmes QXM-16. 5 1

Tableau 1.1. Paramètres du système OFDM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3

T a b l e 1 . Pmrnetres des canaux ,MMDS simulés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 10

INTRODUCTION

Le développement rapide des systèmes de communication et l'émergence des techni-

ques de radiodiffusion créent au sein des utilisateurs un besoin grandissant de réseaux à haut

débit. Fxe 3 cette situation. le grand défi qui se présente aux chercheurs en té1écommuniç;ition

est la transmission i haut débit dans des canaux à trajets multiples sélectifs en fréquence. Ces

derniers forment une classe importante de milieux de propagation dont font partie les canaux

radio mobiles. ionosphériques. acoustiques. microcellulai res et certains environnements radars.

Ayant des réponses impulsionnelles de quelques microsecondes. les canaux i tra~ets multiples

sant considérés "ires sévères". La transmission séquentielle 3 haut débit via ces canaux n'est

possible que par I'utilisation de techniques complexes telles que l'égalisation. le codage ou en-

core igéi;ilement spectral [271. De telles techniques sont souvent coûteuses et imposent des l i -

mires au débit binaire.

.i la fin des années 50. on a proposé [32] la transmission j. porteuses multiples comme

solution pour optimiser l'utilisation du spectre de fréquence. Le principe de cette tr~nsmiasion

consiste à répanir I'information sur un gnnd nombre de fréquences porteuses. dont chacune est

individuellemenl modulée ù bas débit. Cette technique a alon l'avantage de transfomer un u-

na1 de grande largeur de bande et sélectif en fréquence en une multitude de sous-canaux de Inr-

geur plus étroite. Les sous-canaux à bande étroite peuvent être alors considérés non sélectifs. En effet. la réponse fréquentielle de chaque sous-canal peut être considérée comme conswnte. Mal-

gré ses avantages et sa bonne efficacité spectrale. la transmission parallèle a été abandonnée en

raison de la complexité des équipements d'émission et de réception qui nécessitent un grmd

nombre de filtres et de modulateurs.

Avec le développement des circuits électroniques et du traitement du signal. E k n et

Weinstein (341 démontrèrent. au début des années 70, qu'il est possible de synthétiser un mo-

dulateur à porteuses multiples à I'aide de Ia transformée de Fourier discrète. La complexité de

calcul peut ainsi se réduire considérablement en utilisant des algorithmes de transformées de

Fourier rapides.

De nos jours. le multiplexag par division de fréquences orthogonales, connu sous le

nom OFDM (Orthogonal Frequency Division Muitiplexing) est la technique de transmission

multiporteuses la plus utilisée. Introduite pour la première fois dans les systèmes de comrnuni-

cation par voie ionosphérique [34]. [35], la modulation OFDM a connu dès Ion un regain d'in-

térêt. Elle est aujourd'hui utilisée dans plusieurs applications, sunout pour la transmission à haut

débit sur des canaux radioélectriques sélectifs en fréquence pour simplifier l'égalisation. Cette

dernière est même inutile quand le système est en modulation différentielle [36], [39] .

Les systèmes OFDM reposent sur le principe d'othogonalité des filtres réalisant la mo-

dulation et fonctionnent intrinsèquement par bloc [47]. La modulation d'un bloc de symboles

est assurée par la transformée de Founer discrète inverse (TFDI). L'intérêt d' une tel le structure

est de réduire les coûts de l'igalisation.

Dans ce travail. nous nous intéressons à une technique de correction des canaux que

nous appelons "l'égalisation locale". En insérant un intervalle de garde. de durée supérieure 3

l'étendu de la réponse impulsionnelle du canal. les interférences entre symboles t ES) peuvent

être annulées. L'effet du canal se réduit ainsi à une atténuation d'amplitude et une rotation de

phase des signaux émis sur chacune des fréquences porteuses. L'égalisation esr d o n opérée in-

dividuellement pour chaque sous-porteuse. d'où le nom "d'égalisation locale". Cette dernière

se résume en de simples divisions scalaires. Elle requiert, cependant. I'estimation des valeurs de

la fonction de tnnsfen du canal à chacune des fréquences porteuses. L'estimation de ces coef-

ficients est assurée grke à l'entraînement du système par des trames de référence.

L'objectif principal de notre travail est I'évaluation des performances des sysrèmes

OFDM égalisés sous diverses conditions de propagation. L'une des originalités de ce travail ré-

side dans la procédure de l'évaluation des performances. En effet. nous allons proposer une tip-

proche permettant l'utilisation de la technique de simulation de Monte Carlo à échantillonnage

préférentiel (Importance Sampling, IS) comme outil d'estimation de performance 1231. Ln mé-

thode IS est une version "rapide" de la célèbre procédure de simulation de Monte Carlo [17].

Utilisée depuis plusieurs siècles. la technique de simulation de Monte Cmlo a acquis

après la seconde guerre mondiale un véritable statut de méthode scientifique [15]. Elle est difi-

nie comme une expérience statistique permettant la modélisation logicielle d'un système réel en

vue de mesurer ses performances [SI. La méthode Monte Carlo est aujourd'hui la technique 13

plus utilisée pour l'analyse des problèmes complexes. En effet, elle s'avère nécessaire quand les

calculs analytiques sont irrénlisables.

En dépit de son succès et sa large utilisation dans &vers domaines. la technique de Mon-

te Carlo nécessite des temps de calcul excessifs. Pour remédier à cet inconvénient. les techni-

ques de simulation de Monte Carlo à échantillonnage préférentiel [SI. [23] se présentent comme

solution permettant la réduction de temps de calcul tout en assurant une "bonne" précision d'es-

timation.

En estimant les probabilités d'erreurs des systèmes de communications. nous remar-

quons qu'un nombre important d'échantillons du bruit ne participe pas à la production des er-

reurs qui constituent "l'événement important". L'idée de base de la technique IS est d'amplifier

artificiellement la génération de ces "événements importants". Ceci peut se faire par I9utilis;ition

de bruits à statistiques biaisées. 11 est évident que nous devons tenir compte de ces modifications

lors de l'estimation.

Ce document est composé de quatre chapitres. Dans le premier chapitre. nous commen-

çons d'abord par un survol rapide de quelques notions générales sur l'estimation. Ce passage a

pour but de rappeler principalement la terminologie et les définitions associées h lü théone de

l'estimation. Nous décrivons ensuite la technique de simulation de Monte Carlo et ses propné-

tés. Nous finissons ce chapitre par la présentation de la méthode de Monre Carlo à échantillon-

nage préférentiel.

Le second chapitre est consacré à l'étude des procédures d'application de 13 technique

de simulation de MC à échantillonnage préférentiel CIS "Conventional Importance Siirnpling"

et ce pour différents types de modulation (BPSK. QPSK. LM-PSK et QAM-16). Nous tritons.

pour chacune de ces modulations. le cas simple où le canal est à bruit blanc gaussien additif

(AWGN) et sans mémoire. Nous examinons ensuite le cas oii les canaux sont avec mimorres.

La valeur ajoutée de ce chapitre est un ensemble de procédures que nous wons développées

pour des fins d'optimisation de la technique CIS.

Le troisième chapitre décrit, dans sa première partie. le système de modulation i fré-

quences orthogonales multiplexées (OFDM) ainsi que sa réalisation i I'aide de la transformée

de Fourier discrète. Dans le deuxième volet. nous nous intéressons à la technique d'égalislition

locale et aux stratégies d'estimation de canaux.

Dans le quatrième chapitre, nous présentons les résultats obtenus par nos simuhtions de

systèmes OFDM égalisés. Nous analysons les performances de ces systèmes et nous examinons

l'efficacitk de I'égalisation locaie sous diverses conditions de propagation. Il a été question de

présenter aussi notre méthode d'optimisation de CIS appliquée au cas des systèmes OFDM épli-

lisés et de détailler les procédures de simulation.

CHAPITRE

Monte Carlo à échantillonnage préférentiel

Les deux dernières décennies ont été marquées par une croissance considérable des sys-

tèmes de communications qui sont devenus trés complexes. L'évaluation des performances de

ces systèmes par des méthodes de calcul analytique est souvent impossible. d'ou la nécessite du

recours aux méthodes de simulation informatique [ 161.

La méthode de simulation Monte Carlo (MC) est la technique la plus utilisée pour con-

tourner ces calculs et estimer les résultaa. En dépit de son succès et ses diverses applications.

la méthode de Monte Carlo est très coûteuse en terme de temps d'exécution. surtout quand i l

s'agit d'estimer de faibles taux d'erreurs [5 ] . Une technique pour réduire les temps d'exécution

est la méthode "Monte Carlo i échantillonnage préférentiel" (Importance Sampling) [ 171 qu'on

note tout au long de ce document par IS.

Dans ce chapitre. nous rappelons quelques définitions et terminologies de la théorie

d'estimation et nous présentons la methode de simulation Monte Carlo et sa version modifiée IS

1.1 Introduction

Bien souvent, les problèmes scientifiques conduisent à des calculs analytiques comple-

xes tels que I'évaiuation d'intégrales ou de sommations et la résolurion des équations différen-

tielles et intéples. Pour des problèmes complexes. les calculs analytiques sont non directement

réalisables. On fait. pour ceci. appel à des méthodes d'approximation. Parmi les méthodes les

plus couramment utilisées. nous retrouvons les méthodes classiques d'analyse nurnénqur. Effi-

m e s pour une seule dimension. ces techniques s'avèrent rapidement sans intérêt dès que 13 di-

mension augmente. Or, en pratique le nombre de variables pour la majorités des problèmes est

grand [13]. Dans cette optique, des méthodes de simulations statistiques. dites "Monte Carlo".

sont très prometteuses puisque leur vitesse de convergence est indépendante de la dimension du

problème mathématique [7]. En revanche. elles ne fournissent pas la solution numérique du pro-

blème. mais un intervalle de confiance la contenant avec une probabilité donnée [SI. [7].

1.2 La méthode de simulation Monte Carlo

1.2.1 Présentation et historique

Nous entendons par simulation. le fait de modéliser et reproduire tous les éléments qui

constituent un système donné avant de procéder à l'analyse de ses performances. La technique

de simulation Monte Carlo est définie dans [ 5 ] comme une expérience staristique pemettant la

modélisation logicielle d'un système réel en vue de mesurer ses performances. Ces mesures iob-

servations) consistent i évaluer des valeurs discrètes séparées d'un processus aléatoire fini à un point donné du systeme.

Les techniques de Monte Carlo ont été utilisées depuis plusieurs siècles. même si ce n'est qu'après la seconde guerre mondiale qu'elles ont acquis un véritable statut de mérhode.

Ainsi. nous en retrouvons des traces aussi lointaines qu'à l'époque Babylone et de l'ancien tes-

tament [15]. Plus récemment. en 1777, nous en trouvons l'une des premières applications. le

problème de l'aiguille de Buffon [BI. Au début du siècle. cette technique fut utilisée pour Ctu-

dier l'équation de Boltzmann [7]. En 1908. Student a utilisé un échantillonnage expérimental

pour estimer le coefficient de corrélation dans sa distribution appelée distnbutlon-t[7]. Dès lors.

Ia fréquence d'utilisation de cette méthode s'est amplifide (Coumt. Fnedncks et Lewy en 1926.

Kolmogorov en 193 1 et Polya en 1938) [7]. (141.

Le terme "Monte Carlo" a été introduit par Neumann et Ulam durant la deuxième guerre

mondiale lors d'un travail secret à Los Alamos 1121. Le nom "Monte Cûrlo" est inspiré de celui

de la ville Monte Carlo à Monaco célèbre pour ses casinos.

La méthode de simulation "Monte Carlo" est aujourd'hui l'une des techniques les plus

puissantes et les plus utilisées pour I'analyse de problèmes complexes et ses applications peu-

vent être trouvées dans plusieurs domaines [7].

Dans le domaine de communications numériques. l'approche immédiate de la simula-

tion Monte Carlo consiste à modéliser. dans un premier temps. toutes les composantes de la

chaîne de transmission (CodeurlDécodeur. Modu IateurlDémodulateur, etc.) et le mi lieu de pro-

pagation (canal) à l'aide d'un simulateur et d'en étudier le comportement et évaluer les perfor-

mances dans une deuxième étape. Les clés universelles pour l'évaluation de performance dùn

système de communication numérique sont. en général. les puissances moyennes des signaux.

les rapports signai sur bruit (Signal-to-Noise Ratio, SM), les lois de probabilités. les densités

spectrales de puissance et les taux d'erreurs binaires ou par symboles.

Dans ce travail, nous nous intéresserons essentiellement à l'évaluation des taux d'erreur

binaire TEB (Bit Error Rate) ou encore les taux d'erreur par symbole TES (Symbol Error Rate).

1.2.2 Estimateur et estimation: position du problème

Soit X ( r ) un processus aléatoire considéré comme un ensemble de fonctions temporel-

les ( ~ ( r ) ) et Y ( [ ) = g[s ( r ) J une fonction de .Y ( t ) . L'objectif essentiel dans une simuliition est

de trouver les propriétés statistiques de Y ( ! ) dépendantes d'un paramètre 0 . Ceci nous ramène

à opérer d'une manière appropriée sur une ou plusieurs observations du processus aléatoire

Y ( [ ) . On définit. dans [SI. une observation comme une portion de durée h i e du processus

Y ( r ) . soit:

1 Y ( [ ) O l r l T Y , = 4 -

; 0 sinon

ou comme une séquence d'échantillons

où Y i = Y ( ( i - 1 ) T,) . T, étant la durée d'un échantillon de simulation.

Dans les deux cas, nous notons l'observation par K Cette dernière est une variable aléa-

toire. mais une fois la fonction y( t ) choisie. le vecteur correspondant y devient déterministe et

peut être considéré comme une mesure ou réalisation. Ainsi. le problème d'estimation revient h estimer Ia valeur du paramètre 0 à partir de la connaissance de la réalisation Y. Pour cela. i l est

nécessaire d'introduire un opérateur G[.] qui associe à l'observation Y un estimateur 6 de 13 va-

riable aléatoire 0 . Si. avec I'opénteur G. nous projetons à estimer le paramètre 0 on dit que

6 = G[Y] est un estirnateur de 8. Une valeur spécifique de G[YJ calculée à partir de 13 réali-

sation Y est appelée estimation ou valeur estimée. II y a lieu de bien distinguer I'estirnrtteur. qui

est une variable aléatoire. de la valeur estimée (ou estimation) qui est, en fait. une réalisation de

I'estimateur, donc une grandeur déterministe.

Comme toute variable aléatoire. le paramètre 6 a une fonction de densité de probabilité

fg(O;N) et une distribution associée. Tous les moments statistiques de 6 peuvent être détermi-

nés à partir de f @N).

Pour une caractéristique 0 donnée. i l existe plusieurs estimateun possibles correspon-

dants à des choix multiples de l'opérateur G . Un exemple souvent utilisé d'estimareur est l'es-

pérance mathématique de l'ensemble pondéré du vecteur Y. II est donné par:

1.2.3 Qualit6 de I'estimateur

La caractéristique essentielle d'un estimateur 0 est qu'il tend vers lu valeur réelle t) : on

parle dans ce cas d'un "bon" estimateur. Pour avoir un bon estimateur. le nombre d'échmti llons

:V doit tendre vers l'infini (propriété d'ergodisité). Or. en pratique. nous sommes limités. par Iri

mémoire disponible. i un ensemble fini d'échantillons. II est donc nécessaire de déteminer 13

qualité de I'rstirnateur calculé. Cette dernière est souvent expnmée. dans un sens probahdiste.

comme l'écart entre la valeur estimée et la valeur exacte.

Toutefois. la qualité d'un estimateur peur être mesurée de plusieurs hqon [ 191. p u

exemple: I ) en étudiant ses moments d'ordre un er deux. 2) en introduisant le risque B prion as-

socié B une fonction de perte. 3) par la vraisemblance de la décision. 4) par In distance de la réa-

lisation Y à une réalisation de référence Y, de L etc.

Avant de définir les critères de qualité d'un estimateur. nous allons introduire les difi-

nitions du biais. de la variance. de la dispersion. de l'efficacité et de la consisrance d'un estima-

teur.

1.2.3.1 Biais de I'estimateur

Le biais de I'estimateur 0. noté b . est défini comme la moyenne de l'erreur d'estima-

tion:

Un estimateur est dit sans biais si sa moyenne ~ ( 0 ) est égale à la valeur exacte du pa-

ramètre 8 (c'est-ii-dire b = 0):

Dans le cas contraire où ~ ( 0 ) + 0 . I'estimateur est dit biaisé.

1.2.3.2 Variance et dispersion de I'estimateur

Pour cüractériser l'erreur entre 8 et 0 . nous utilisons les cnteres de la vanance ou de

l'écart type (racine carré de la variance) et de 13 dispersion de I'estimûteur autour du parmirre

estimer.

Ln variance de I'estimateur 0 est donnée par:

On bit souvent l'assimilation de la vanünce B la dispersion (erreur quadratique m o y -

ne) donnée par:

Nous remarquons que si I'estimriteur est sans biais ~ ( 0 ) = 8. la variance a2(0) et I î

dispersion D se confondent.

1.2.3.3 Efficacité de I'estimateur

Soit (0'. j E J } (où J un ensemble d'indice) l'ensemble de tous les estimateurs possi-

bles du paramétres B . ayant tous le même biais b donné. On appelle estimateur efficace de 0 .

I'estimateur éeff tel que:

Autrement dit, l'estimareur efficace est celui qui minimise à un biais donné. dans I'cn-

semble {é', j E J ! , l'application:

123.4 Estimateur séquentiel consistant

Soit ZL une variable aléatoire constituée de L réalisations indépendantes de la variables

aléatoires Y:

Nous cherchons à estimer 8 à partir de la connaissance de ZL. on parle dans ce cas d'es-

timation séquentielle.

Un estimateur séquentiel est dit consistant. si la suite { & ), converge en probabilité

vers 0 . lorsque L + W . Cela revient i écrire:

Une condition suffisante pour que I'estimateur soit consistant est que Irt sui te { OL } f- conyerge en module vers 0 . c'est-i-dire que:

1.235 Qualité de I'estimateur

Un estimateor est qualifié de "bon" s'il est sans biais et efficace pour un nombre donné

d'échantillons. Quand i l s'agit d'un estimateur séquentiel i l faut ajouter la condition de I i i con-

sistance.

Mal heureusement. i l n'est pas toujours possible de construire un estimateur non biiii SC.

i l faudra alors minimiser le biais.

D'autre put. plus la variance est petite. plus I'estimateur est meilleur pour .Y donne. En

effet. si a'(0) tend vers O et si 0 est non biaisé, alon chaque observation est arbitrüirement pro-

che de la valeur exacte du panmètre. Généralement. la variance tend vers O seulement quand h'

tend vers l'infini. Nous somme donc face ii un compromis entre la variance de I'estimateur et la

dimension des échantillons N .

1.2.3.6 Intervalle et niveau de confiance

L'intervalle de confiance est la mesure la plus descriptive de Iri qualit6 d'un estirnimur.

Soit 1 1 , (0) et /i2(8 ) deux fonctions de I'estimateur. telles que. avec une grande pmbabi hé. I I ~

valeur exacte de 0 appartient à I'intervalle [Il , . lz,] . La différence. h , - h , . est Iri Iargeur de

I'intenalle de confiance. L3 probabilité associée 3. la condition 11, < 8 5 Ir, est appelée niveau

de confiance. Elle est souvent notée par ( 1 - a).

L'intervalle et le niveau de confiance sont reliés par l'équation suivante:

L'interprétation propre de cette équation est que ia valeur exacte de 0 appartient ~ l'in-

tervalle aléatoire défini par [h ,. Il,] - avec la probabilité ( 1 - u) [ 5 ] .

1.3 Estimation de la probabilité d'erreur par la technique de Monte Carlo

1.3.1 Probabilité d'erreur

La méthode Iü plus appropriCe pour I'évalu;ition de performance d'un système de corn-

municntions numénques est I'étude du comportement de production d'erreurs. Cn tel compor-

tement peut Etre caractérisé par différents aspects. Le scénario. le plus souvent adopté. est de

considérer un système numérique qui transmet un nombre h i de symboles issus d'un alphabet

de taille M (où 5 2 = 25 )et de mesurer le nombre moyen d'erreurs qui sont produites tout au

long de la transmission.

Considérons .V le nombre de symboles transmis et i t ( iV ) le nombre d'erreurs de j>,m- bole y correspondant et notons:

Par définition. P est la probabilité d'erreur par symbole [ 5 ] . Cette difinition r&.mc

l'idée fondmentde de Iû technique de simulation Monte Carlo que nous allons diwloppcr d'avantage dans la suite de ce chapitre. Etant donné M = 2" alon un symbole conricnt X- bits.

Ainsi. à chaque probabilité d'erreur par symbole correspond une probabilité d'erreur par bit

qu'on l'appelle aussi taux d'erreur binaire (TEB).

Le taux d'erreur binaire (TEB) est une information fondamentale pour mesurer 13 tiahi-

lite d'un système sur laquelle nous mettons l'accent dans ce travail. Toutefois. dans certaines

situations. des informations telles que la distribution des erreurs et leurs corrélations sont très

utiles.

Le problème essentiel en transmission de données. c'est de pouvoir distinguer deux si-

gnaux utiles différents Iorsqu'ils sont perturbés par différentes sources de bruit. En trmsmission

binaire. le problème revient à transmettre sans ambiguïté un "O" ou un "1".

Dans le but de développer la technique de mesure de TEB. considérons un système dé-

mentaire de communication en bande de base binaire. Nous supposons que la source d'informa-

tion émet une variable aléatoire .r qui prend les valeurs "O" et "1" avec les probabilités

respectives no et n . En raison des perturbations apportées par la voie de transmission. le signal

reçu i7 diffère de x.

-. - .-

ï, (seuil de décision)

Figitre 1. I Foiicriori de dt.iisite' <Ir probabilire' dit sigrlui d lu re'crprioic.

La variable i1 appartient à un espace D à une dimension qui s'étend de -00 i +=. Le

processus de décision i seuil partage l'espace D en deux sous espaces Do et D , . Pour un seuil

de décision V T donné. une erreur se produit quand "0" est émis et la tension du signal r q u csr

supérieur à V T ou lorsque "1" est émis et la tension du signal reçu est au dessous de \ ' r .

Le processus de décision à seuil peut être décrit en t e n e des fonctions de dcnsiie de

probabilité j&*:r) et f, ( r * : ~ ) du signal reçu v ( t ) à un instant d'é~hrintillonnage f . srichanr

que '9" ou "1" a été transmis (figure 1.1). Ainsi. les probabilités conditionnelles d'erreur sont

données par:

où F , ( V T ) et Fo(V,) sont les fonctions de distributions cumulatives correspondant respecti-

vement aux fonctions f &:t) et f , ( 1 ' : ~ ) .

La probabilité moyenne d'erreur est alors:

avec xo et ni les probabilités respectives à prion des symboles "1" et "O".

1.3.2 Application de MC pour l'évaluation des taux d'erreurs binaires

L'application de Monte Carlo pour I'évaluation des taux d'erreur binaire signitie tout

simplement I'implémentation d'une séquence d'expérience de Bemouilli. En fait. lors d'une si-

mulation Monte Carlo. nous comptons le nombre de "succès" (erreur pour ce contexte, et nous

le divisons par le nombre d'expérience.

La figure 1.2 représente l'application de MC pour une chaîne de communiciition. Lii

chaîne proposée comporte trois étapes importantes. La première étape consiste i générer et

trmsrnettre les données binaires. Iü seconde se résume dans le processus de décision ei I I iroi-

sième représente la comparaison entre les données émises et reçues et le décompte des erreurs.

Système simulé

Source numéri- ,

que de données transmission

Délais Comparaison Procédure 1 I

d'estimation 1

1

Séquence d'erreurs

I I

Fig~ire 1.2 Représen~ation sciz&matiqiie de I'intplénieiitatiori de la proceiditrtb d'estimation de MC.

Dans le reste de ce pangnphe. nous allons étudier les propriétés mathématiques de la

méthode de MC. Nous traitons le cas particulier où les symboles "O" et "1" sont équipmbiibles

et les probabilités d'erreur y référents sont les mêmes et nous supposons arbitrairement que le

symbole "0" est émis. La généralisation de calculs pour les cas contraires est immédiate.

Sachant que le symbole "O" est émis. la probabilité conditionnelle d'erreur seri donnée

par (1.16). En introduisant la fonction d'indicateur d'erreur définie par (1.19). la probabilitt

d'erreur peut se réécrire sous

H( r ) Strint la fonction d'indicateur d'erreur définie comme suit:

avec DE est 1a région où i* correspond

La probabi li té d'erreur donnée

;i une erreur.

par ( 1 - 1 8) est équivalente i:

ou E { . } est l'espérance mathématique.

Cn estimateur narurel de I'espérnnce mathematique est la moyenne temporel le de

l'échantillon ( H( Y, )) . soit alors:

où v , = v ( t i ) . avec les t , sont les instants de décision et N w c est le nombre total d'échantillons

transmis.

L'équation ( 1.21) décrit formellement la technique de Monte Carlo qui consiste i oh-

semer sur les bits d'information transmis. le nombre de bits erronés.

Indépendamment des symboles émis et de leur probabilités de production et comme ex-

tension de l'équation ( 1.21 ). un estimateur de TEB peut s'écrire sous la forme:

où est le nombre de bits à l'entrée du système et î2 est le nombre total d'erreurs observées. A

D'après la loi forte de grands nombres. si + =. l'estimateur P, converge presque

sûrement vers la valeur exacte P, 11 11. Or. en pratique. nous simulons avec un nombre fini

d'échantillons. D'où la nécessité de qualifier la qualité de I'estimateur 6,. Comme nous l'avons

signalé précédemment. l'intervalle et le niveau de confiance sont les mesures les plus uti lisers

pour évaluer la qualité d'un estimateur.

l.3.f. 1 Intervalle de confiance: loi binomiale

La mesure de Iü qualité d'un estimüteur en terme d'intervalle et niveau de confiance

consiste i déterminer deux réels li, et li, . fonctions de I'estimriteur P ~ . de telle sone que ce

dernier soit dans lointenulle [ h l . I r , - ] avec une probabilité (élevée) 1 - cc donnte.

Pour un .V ,,, donné. la distnbution du terne rl P, suit une loi binomiale. On dimontre

aion [3] que I I , et h , sont les solutions respectives de:

où F(s: a. fi) = 1 - r ) B dl est la fonction de disuibution cumularive beu.

Bien qu'il soit complèremenr rigoureux et précis. le calcul de Ii et I I , par les équations

( 1.23) et ( 1 .XI présente deux inconvénients majeurs. Premièrement. les dites équürions doil ent

être résolues d'une manière itérative. Deuxièment, les tables de 1ü fonction betti sont limitees et

ne couvrent pas les valeun qui nous intéressent pourestimer des TEB [SI. Ainsi. i l esr nécessaire

d'adopter les approximations clûssiques de la loi binomiale

1.3.2.2 Intervalle de confiance: approximation par la loi de Poisson

Nous savons que. sous les conditions suivantes:

où h est une constante positive. la distri bution binomiale peut être approximée par Iü loi de Pois-

son [4].

Avec cette approximation. l'évaluation de la qualité de I'estimateur nous amène i çher-

cher un intervalle de confiance [ A l /N,+ic, À2/N,tlcj contenant le TEB avec un niveau de con-

fiance L - a.

On montre dans [j] que i , et i,, sont solutions des équations: -

L'utiliié de I'iquation ( 1.25) réside dans le fait que les tables de la distnbution de Pois-

son couvrent les valeurs d'intérêt usuel pour la détermination des intervalles de confiance con-

tenant les TEB i estimer.

1.3.2.3 Intervalle de confiance: approximation par la loi normale

L'approximation par la loi de Poisson est intéressante pour des faibles tau?; doerreur

(P, -t O 1. Sous des hypothèses moins contnignantes. ou nous supposons que y,,,- + = sans

que nous imposions des conditions sur P, . la distribution binomiale de P, rend vers Iri loi nor-

male de moyenne P, et de variance P,( 1 - P,)' N . Nous pouvons alon construire Iginrrr\ril1c

de confiance sous la forme donnée dans [ 5 ] par l'équation suivante:

Pro b

où P , est la vraie valeur du TEB et daest un paramètre choisi iel que:

L'importance de l'approximation par la loi normale réside dans l'accessibilité unker-

selle aux tables de cette loi et dans le fait que nous pouvons illustrer ses valeurs graphiquement X [SI. Pour la construction de graphiques. supposons p, = 1 0 - ~ et NI,= = q 10 .

Nous notons que les approximations suivantes P 1 - P ) P et 7

N M c / ( N , , + d i ) 1 sont souvent vérifiées. Nous pouvons ainsi écrire ( 1.26) sous la forme:

où l'intervalle de confiance [y,, y - ] est donné par:

La figure 1.3 illustre cet intenalle de confiance en fonction du nombre de points de si-

mulation et ce pour des niveaux de confiance de 909.954 et 99% Cet ensemble de cour-

bes nous permet de retrouver Iü règle du pouce q u i veut que le nombre Y,,,. d'éch~ntillons de

simulation soit de l'ordre de lO./P,.

1 okt ' 1 ok+* Nombre de bits observes

1.3.2.4 Moyenne et variance de I'estirnateur de MC

L'estimateur de MC donné par l'équation (1.13) peut être réécrit sous Ia forme:

avec {ri } est une séquence d'erreurs définie par:

je, = 1 si une erreur se produit à la ième observation

Ir, = O sinon

Sachant que E(c , ) = P, . on démontre facilement que I'estimateur de MC est u n s

biais. c'est-à-dire E( P,) = P , . Lü vaniince de I'estimateur P, est:

Après quelques manipulations. nous pouvons écrire:

1 '

WC-) = P,:*V,,(-+ ( 2 3 ,,,) P,,

où P,, = Prob[r, = l i e , = 1. ( j > i ) l .

Dans le cas OU les erreurs sont indépendantes. nous aurons P,, = P,. On montre Jans

ce cas [j] que la variance de I'estimateur esi:

L'équation ( 1.33) est équivalente à:

1.3.2.5 Dépendance des erreurs

Récédemment. nous avons considéré que les erreurs sont indépendantes. or. ceci n'est

pas toujours vni. Des phénomènes impulsifs. les mémoires des filtres et les corrélations dues

aux codage causent. en genenl. des dépendances entre les erreurs. Dans ce cas les équriiions

( 1.23) et ( 1.30) donnant l'expression de I'estimatmr restent toujours valables et I'estimateur de-

meure sans biais. Toutefois, le réexamen du calcul de la variance est nécessaire. Pour ceci. nous

supposons que les erreurs se produisent par blocs de taille nt + 1 ; en d'autre ternes. une erreur

engendre la production de in + i eneurs. Ceci se traduit explicitement en supposant:

P,i = 1 j = i + 1. i+2 , ..., i + m

P.. = P, J I

j > i + in (indépendance)

Etant donné ceci. la variance de I'estimateur sera:

Pour le cas habituel. où N,,c )> r ~ i . la variance se réduit à:

Nous remarquons que si 111 = O (erreurs indépendantes). nous retrouvons le résultat de 1'équ;i-

tion t 1.33 ).

Les équations ( 1.33) et ( 1.37) montrent que la variance de I'estimateur de MC est i n w -

semcnt proportionnelle au nombre d'échûntillons de simulation. La réducrion de la unance

passe donc par l'utilisation d'un nombre élevé d'échantillons. Une telle approche est soulent

coûteuse en terme de temps de calcul.

1.4 Monte Carlo à échantillonnage préférentiel

Pour qualifier l'efficacité d'une méthode de simulation. nous regardons i In fois la \ri-

riance de son estimateur et le temps de calcul correspondant. En d'autres termes. nous cher-

chons à atteindre le plus rapidement une précision desirée.

Comme on vient de le voir, pour réduire la variance de I'estimateur de MC nous dewns

utiliser un nombre élevé d'échantillons. Ceci présente un inconvénient majeur de 13 méthode

monte Carlo qui est inefficace dans le sens où un p n d nombre d'échantillons du bruit ne par-

ricipe pas à la génération d'erreurs qui constituent "l'événement important". Par exemple. si le

bruit est blanc gaussien et de moyenne nulle. la valeur la plus probable du bruit est le "O". qui

n'induit pas d'erreurs. Si la génération de ces valeurs nulles est réduite. la simulation sera plus

efficace. Ceci a été 13 motivation pour l'idée de la méthode de Monte Carlo modifiec dite i

échmtillonnage préférentiel ou "Imponance Sampling" (1s). Elle consiste à amplifier artificiel-

lement la génération des événements importants (les erreurs) et ce par l'utilisation de bruits i statistiques avec biais. II est évident que le dénombrement des erreun doit se faire en tenant

compte du biais.

La technique IS revient donc h introduire une autre fonction de densité de probabilité

f i ( r ) . La fonction f :(Y) est une densité de probabilité biaisée (avec biais) 8 travers laquel le nous cherchons 1 réduire la variance de l'estimüteur P, .

L'équation ( 1.18) peut s'écrire sous la forme:

où encore

w

La notation E. signifie que Iri moyenne statistique se h i t p u rüppon h f ,( io) . II est irnponnnt m

de noter que l'introduction de fo ( r ) ne consiitue pas un artifice mathématique. mais elle repr6-

sente Iii vraie densité de probabilité i adopter Ion de la simulation 1s.

Un esrimateur de P, est donnée par la moyenne pondérée de l'ensemble des ClCmrnrs

{ ~ ( i . , ) ) . où i = 0.2. .... .VIS- , et .VI, est le nombre d'échantillons de simulation IS. suit:

fo l+ ) où ( = - est appelé le poids i. et B ( Y )

fi( 1, )

1.4.1 Propriétés statistiques de I'estimateur

L

La variance de I'estimateur P, est:

- I = L * ( Y ) est le biais de 1. .

L'idée de la technique Monte Csrlo modifiée est de réduire cette variance.

A * La moyenne de l'estimateur P, est:

L

D'où PJ est un estimateur sans biais.

En supposant que i v i est indépendünre de r I quelque soit i et j. on aura:

Ainsi. les équations ( 1.4 1 ) et ( 1.42) donnent:

soit:

1 A.2

Pour la méthode MC. on ii ne( r ) = I . d'où on retrouve le résultat de I'Cquriiion i 1.23 i .

Procédure pour biaiser le bruit

Comme on les s présentés précédemment, les changements apportés par IS ont lieu au

niveau de la sonie du système. composante 5 laquelle nous nous intéressons. Or. en pratique ceci

est difficile à réaliser. vu que nous n'avons pas d'accès direct aux statistiques de la sortie. Dans

cette partie. nous montrons comment le "biais" peut être implémenter dans la simulation.

Soit XI = (XL. XI - I , . . . .Xk - L) I'entrée du système. où { X, } est une séquence de va-

riables aléatoires indépendantes et L est la taille de la mémoire du système. La sortie du système

est alors:

g( . ) étant la fonction de transfert du système.

L'équation fondamentale de décision est alors:

avec f ,(.) la densité de l'entrée du système de dimension L + 1 .

La probabilité d'erreur est alors donnée par:

On peut alors écrire:

où 13 notation~I{. } signifie que la moyenne se fait selon Iü densite de probabilité i L + 1 di- L

mensions f X ( x ) . Comme précédemment. on peut estimer I'équaiion (1.49) par Iri rnoynnc

pondérée. soit aion:

On peut conclure de l'équation (1.50) que le TEB peut être estimé par le décompte des erreurs

et la pondération de chaque compte par le poids relatif à la densité d'entrée.

On note que dans le cas où les échantillons de l'entrée {XI } sont indépendants. le poids

ii*(xi) est donné par:

où f .y et fi sont des densités uni-dimensionnelles.

L

I

On peut montrer que I'estimateur P , est sans biais. De même. on a:

Si les termes ( i . j ) de la sommations sont indépendants. la vanance de I'rstimareur sera:

1.4.3 Techniques pour biaiser les bruits gaussiens

Dans ce paragraphe. nous présentons deux rrchniques classiques pour biaiser les hruirs

à densités gaussiennes. Ces derniers sont les bruits les plus utilisés pour modéliser Irs systèmes

de communication. car ils permettent de simplifier les clilculs et nous pouvons [miter complète-

ment leun propriétés. Cependant. dans la réalité. les bniits sont souvent différents du bruit .UV-

GN. en particulier les bruits atmosphériques. Des méthodes pour biaiser les bruits non gaussiens

sont exposées dans [6].

Si le bruit i l'entrée du système est blanc et gûussien. sa fonction de distn bution suit une *

loi normale N ( 0 . a'). soit:

1 f J n ) = - fi^ la'

i

a' étant la variance du bruit.

La loi normale du bruit est complètement caractérisée par sa moyenne et sa uni ince.

L'idée évidente pour biaiser la densité du bruit est de modifier h variance. la moyenne ou les

deux. Le bruit biaisé suit ainsi une loi normale. dont la fonction de densité de probabilité vén f c:

Nous trouvons dans [23] la première proposition pour biaiser / , , ( n ) . Shanmugam et

Balaban proposent une technique dire "Conventional Importance Sampling" (CIS ). qui consiste

B changer la densité du bruit biaisé de la façon suivante:

1

s e c r et u des constantes positives choisies de telle sorte h augmenter 13 unance o- tout en

vérifiant l'équation:

1

II est fxile de montrer que / , ( i l ) suit une loi normale Y(0. al ) . dont Iii vanance est:

Sous montrons. dans le chapitre suivant. que le paramètre cr dépend de la taille de la mémoire

du système et du seuil de décision 1', et qu ' i l est compris entre O et 1.

La technique CIS revient donc h amplifier la unance du bruit en vue de friwnser Iri pro-

duction des erreurs (événements importants)

Plus récemment. en 1988. Dingqing et Kunp proposent dans ( 2 4 une autre irchnique

pour biaiser le bruit qu'ils nomment "Improved Imponance Sampling" (11s 1. Ils su=, +rem de

translater la densité originale du bruit fAV(n) par une constante positive c (5 optimiser dans le 7

but de réduire la variance cis ). La nouvelle densité du bruit est alors:

La densité originale du bruit f , * (n) . ainsi que celles modifiées par CIS et IIS (soit res-

pectivement / ' ,v(n) er f * 'n(n) ) sont illustrées h la figure 1.4.

CIS

Nous trouvons dans la littérature d'autres méthodes pour modif er f s ( i i ) telle que Iri

technique "Efficient Importance Sampling" (EIS) introduite par leruchim et al. dans [ 2 5 ] .

Pu'otons que la méthode de CIS conjugue simplicité de mise en oeuvre et efficacité. C'est

pour cetre nison que nous allons l'adopter dans nos simulations.

1.5 Conclusion

En dépit de sa popularité et de son succès. la méthode de simulation de Monte CarIo est

très coûteuse en terme de temps de simulation. Dans ce chapitre. nous avons exposé cette mé-

thode. ses propriétés mathématiques et son utilisation pour I'évaluation des performances des

sy sternes de communication.

Des techniques de simulation dites de Monte Car10 B échantillonnage préférentiel (Im- portance Sampling) ont été aussi présentées comme solution pour diminuer les temps de caiculs

tout en assurant la précision des estimateurs.

Dans le chapitre suivant. nous présentons les procédés d'application de la méthode CIS (Conventional Importance sampling) pour simuler des systèmes de communication numérique

avec différents types de modulation.

CHAPITRE

Application de la technique MC a échantillonnage préférentiel aux systèmes de communication numérique

Le problème majeur rencontré lors de l'implémentation de la simulation MC 5 Cchan-

tillonnage préférentiel (Imponance Sümpling ou IS) est le choix de la densité biaisée du bruit.

Ln choix hasardeux peut fausser les résultats. De même. un biais non optimal augmente [es

temps de calcul. Les effets des mauvais choix de la densité de probabilité sont présentes h n s

[ 2 ] . [?O]. Les difficultés de I'implantiition de Iü méthode IS sont. en générd. dues aux somplrsi-

tés des systèmes de communicütions [3]. Dans ce chapitre. nous développons les stratégies

d'application de la technique CIS "Conventional Imponrince Smpling" et ce pour diffirents t! - pes de modulation. Nous traitons. pour chaque types de modulation. le cas simple où le crinal

est h bruit blanc gûussien additif (AWGN) et sans mémoire. Puis nous passons au cas où tes sa-

naux sont avec mémoire.

2.1 Introduction

Par définition. la transmission numérique permet d'acheminer des messages discrets

d'une source à un destinataire via un canal. Ce dernier est source de dégndations du signal

transmis. Pour remédier à ces dégradations. des techniques de traitement du signal i transmetire

sont nécessaires. Les techniques principales sont présentées sur la chaîne de base de communi-

cation numérique de la figure 2 1 .

Encodeur de d'informations source

Figiirc. 2. I Schénta dr base d'une cliafiie de conlmiinicarion niimé~qrie.

Destinataire

Nous notons que nous ne nous intéressons pas aux parties de CodagelDécodage de la

chaîne. Par ailleurs. les divers types de modulation et de milieu de propagation feront I'objei de

nos études.

,

La modulation consiste à convenir I'infomütion numérique en formes d'ondes électn-

ques adaptées aux caractéristiques du canal [ I l . Les formes d'ondes peuvent vaner selon leurs

amplitudes. leur phases ou la combinaison des deux pour former la constellation de la modula-

tion. La consrelllition (ou le diagramme de I'espüce) de la modulation peut se faire bit par bit

(modulation binaire) ou. pour une bonne efficacité spectrale. par symboles de k bits. Dans ce

dernier cas. 2~formes d'ondes sont nécessaires pour innsmerire l'information.

Encodeur du Modulateur canal

-[ Décodeur de source

Nous allons. dans les sections suivantes. donner un ripequ des diffërents types de mo-

dulation et présenter. pour chaque type. les procédures d'application de CIS.

2.2 Simulation des systèmes en modulation binaire antipodale par la technique CIS

2.2.1 Modulation binaire antipodale (BPSK)

Démodulateu -

Avec la modulation binaire antipodale (Binary Phase Shift Keying ou BPSK). les bits

"O" et "1" sont reprksentés par deux formes sinusoïdales de fréquence f, (fréquence porteuse 1.

de même amplitudes A et de phases opposées. soit:

Décodeur du canal

so(r) = A cos l n f ,r O l r l T ,

s , ( t ) = -s&) = -Acoslnf,t O S r S T ,

T , étant la durée d'un symbole.

Les signaux so(r) et s , ( t ) sont unidimensionneis; leurs formes passe bas équivalentes

sont des impulsions rectangulaires que l'on peut écrire comme suit:

où 5, l'énergie des signaux sO(t) et s, (t ) .

Le diagramme de l'espace de la moduIûtion BPSK est montré par Iü figure 2.2.

Figrire 2.2 Diugruntnte de l'espcice des sigiiuics BPSK.

2.22 Modèle de simulation pour les canaux AWGS sans mémoire

Le modèle le plus simple. pour la comparaison de la méthode MC avec celle 1s. est ce lui

où iü fonction de uansfen du canal g ( . ) est un opémeur linéaire sans mémoire. Dans ce cas. on

aura Y, = g ( X , ) = X I = A, + b, . avec b, un bruit additif que l'on suppose blanc. gaussirn. 1

de moyenne nulle et de vanance O' .

Supposons que le symbole émis est le "O". Ceci implique Al = -A (l'étude du scénrino

où A, = A s'en déduit systématiquement). Dans ce cas. on a Y = X, = -A + Y,. .Ainsi. 13 1

variable X, est gaussienne de moyenne ( - A ) et de vanance a-. dont 13 fonction de densite de

pro ba bi 1 ité est donnée par:

En utilisant la technique de simulation CIS, la densite biaisée du bruit f' (A-) serd une

gaussienne de moyenne nulle et de variance:

Elle peut s'écrire sous la forme:

'I 3

Le panmètre a est choisi tel que O 2 a < 1 . ce qui implique a; 2 a-.

La fonction de pondération de la technique CIS est alors:

De l'équation ( 1.53). nous en déduisons [23]. [Xi que la vünance de I'rstimritrur rrllitii

à 13 technique de simulation CIS est:

avec Q( . ) la fonction d'erreur complémentaire définie par:

Pour montrer l'avantage de CIS par rapport à MC. nous introduisons le hcteur -{ ,,, . , -,, défini dans 1231 et 124 comme le nppon des variances des estimûteurs délivrés par le mime nombre de points de simulation = Ai,). soit:

Une autre alternative pour la companisonde deux méthodes. est le r~ppon des nombres

de points de simulation achevant les mêmes variances d'estimation. défini [ 2 4 par:

Pour optimiser le temps de simulation de la technique CIS. nous cherchons à maximiser

le rapport r ,c , lc , (OU encore le rappon cls 1.

Le rerme r M C C I S peut s'écrire sous la forme [23]:

.\t c . - CIS = -

~V15

DE

ou DE est le domaine d'erreur.

Le numérateur du rapport de I'iquütion ( 2 . i2) csr [ f s(.v)dt = Lafx(x)dr = Ql.4 ai ,

DE m

Sun dénominateur est - ) j ) t ~ = s ) f . Y = Q ( A J Ü T I a) ( Jz i I . i 1

DE

Ainsi le rerme r.,f,. ,-Is exprimé en fonction de u sen:

T ( U ) = '-,lc CIS = JI-c<i Q ( A m

Q(AJZ/C) tir( u ) La valeur oprimale de u,,, . qui maximise r ( u ) . est solution de I'Cqualion - = O

d u

Pour de grandes valeurs de y. la fonction Q(y) peut être appmximée par:

D'où on peut exprimer le terme r,,rc,,cIs SOUS la forme:

Tout c;tlcul fait, nous trouvons:

233 Modèle de simulation pour les systèmes linéaires avec mémoire.

Dans ce paragraphe. nous allons généraliser les résultats obtenus et ce, pour des systi- mes linéaires avec mémoire de taille L . Nous considérons que la fonction de transfert du cimiil

g( .) est un opérateur linéaire de convolution. La sortie du système est alors donnée par:

où { I t , } est la séquence. 3 valeurs réelles. de Iü réponse impulsionnelle du système.

Comme précédemmenr. nous supposons que le symbole "O" est émis et considérons Irs

notations suivantes:

X = [X,..Y ,-,. ..... Y , - , L - l , ] = A + B

.4 = [A, . -4,- ,. .... -4 ,-,,-,, I B = [6,.b ,-,..... b ~ - & - 1 1 1

où .Y. .-l et b sont des vecteurs aléatoires dont les réalisations respectives sont notees par x . a et b . Sachant que le symbole -4 est émis. le vecteur riléiiioire .4 sen

,L - l A = [-A. A, - ,. . . .. -4, - ,,- , ,]. Il existe alors J = - réalisiltions CZ( j) possibles du \cc-

teur .4 .

Sous I' h y podièse d'équiprobabilité d'émission des symboles. on démontre dans [:-ll

que le TEE3 peut s'écrire sous la forme:

avec :

.rt - I j = 1. ..-. J = 2

Cn estimateur naturel PJ du TEB de I'équation (1.19) est I'espérrince miithimiitique

des .VIS simulations. En supposant que NIS/ ,"J est un entier naturel. l'espérance mathématique

peut s ' h i r e sous 13 forme:

La variance de I'estimateur de l'équation (2.19) est donnée dans [21] sous I'esprewon:

où cri satisfait la condition O L u, c 1 . et ce quelque soit j.

Nous notons que les a.( j ) sont les wiances biaisées du bruit B choisir comrnrihle-

ment, pour chaque réalisation a( j) . en vue de réduire 13 variance de l'estimatrur.

En considénnr l'approximation de la fonction d'erreur complémentaire Q( . ) . on aurri:

7

Les valeurs optimales de o. ( j) . qui minimisent a&, sont solutions de l'équation:

Soit alors.

On vénfie que a.(j:opr) représentent bien des minimums globaux et ce du fait que

d20&. (da.( j))' > O.

Nous remarquons que le choix du biais de Iü densité du bruit depend des ré;ilisritions

a( j) . Sous retrouvons dans [33] une autre expression du biais du bruit indépendante des r i d i -

sntions a( j ) et qui offre des performances semblables. I l s'agit de simuler avec un b m t de ta- 1 1

nance oz = a' - ( 1 - a ,,,,) . où la valeur optimale u,,, est:

Dans le cas OU L = I . nous retrouvons le résultat de l'équation (2.16).

On dérnonrre aussi que le rapport r,,, est donné par:

Nous tenons j. signaler que les résultats présentés aux sections 2.2.2 et 1.2.3 sont eurai ts

des articles [13] et [XI.

2.2.4 Simulations et résultats numériques

L'application de la méthode CIS pour la modulation BPSK est le cas élémentaire irai té

dans de nombreuses publications. Pour montrer I'appon de la technique CIS. nous présentons

les résultats publiés dans certains articles ([23], [24]) ainsi que ceux obtenus par nos propres ex-

périences.

Les avantages de la technique CIS par npport à celle de MC sont présentés dans le ta-

bleau 2.1 [[XI, table 1. p. 19211. Pour différentes tailles de mémoire (L = 1. 3. 5 et 50) . on

donne le npport r6,,,,cls. et ce pour divers seuils normalisés de décision V T = A / Q et prohil-

bilités d'erreur Q( V,) y référant.

Tublemi 2.1 Siniiîlurio~i dus sysréntes BPSK: ai?u~zrugc de CIS par rapport ù .VC.

Nous remarquons que pour un système sans mémoire (L = 1 ) . le nombre de sirnul;i-

tions pour un TEB de I'ordre de IO-' est réduit. en utilisant la méthode CIS. par un fictcur 45.

Pour un TEB de l'ordre de 10-~* . le nombre de simulations est réduit par 1 .-lx 10" .ce qui re-

présente un gain considérable. Cependant. pour un canal de mémoire de taille L = 5 et un TEB de l'ordre de 1 0 - ~ . le nombre de simulations est réduit de 7 fois seulement. Pour L = 50 et un

TEB de l'ordre de IO-^ . le rapport r,vc,cls est quasi unitaire. Pour ce dernier cas. la technique

US est plus prometteuse. En effet, elle réduit le nombre de simulations 117 fois [24].

Les courbes de la figure 2.3 illustrent l'avantage de la méthode CIS. Elles présentent les

TEB achevés par Iû simulation d'un système de transmission antipodale avec 1000 points. et ce

en utilisant les méthodes MC et CTS.

Les simulations CIS ont été répétées avec différentes valeurs du biais du bruit. Sous re- . maquons qu'avec la méthode MC. nous n'avons pas pu évaluer des TEB inférieurs B IO-'. Par

contre. grice à la technique CE. nous avons pu atteindre (selon le biais) des TEB arnunrs jus-

qu'i l'ordre de IO-'.

Figiire 2.3 Eiulriarioii des perfonituitces d'lii~ sysr2iiie BPSK duirs rrii r id A W i V suiis ntiimire par les recliriiyites CI5 er MC.

La figure 2.4 présente la variation du nppon r,tf,, ,, en fonction du pmmètre cc . et

ce pour différentes tail les de mémoire et un TEB de l'ordre de 1 0 - ~ .

Nous constatons que lorsque la taille de Iri mémoire ( L ) augmente. le gam sur Ir nombre de points de simulation diminue. Pour les cas L = { 1,3. 5 } . la valeur optimale du puuni . - tre a est proche de 1.

F i 2.4 log(>. ,,,,. versus C( pour L = 1. 3. 5 20 .

2.3 Simulation des systèmes de modulation en quadrature de phase par la technique CIS

2 . 1 Modulation en quadrature de phase (QPSK)

La modulation en quadrature de phase QPSK (Quadnture Phase S hift Keying peut étrc

interprétée comme la superposition orthogonale de deux signaux BPSK de même ampli rude

2 ~ & 2 et de porteuses en quadrature. Elle possède 4 formes d'ondes différentes que [*on peut

écrire sous la forme:

Il s'agit donc de signaux bidimensionnels dont la représentation vectorielle peut se dc-

composer suivant une base orthonormée de signaux { f ,(r ), f p ( t ) } :

Le sous espace vectoriel de direction fi( t ) est dit en phase (I), alors que celui de direction f y i I

est dit en quadrature de phase (Q).

La modulation QPSK a quatre formes d'ondes. donc chaque signal QPSK contient deux

bits. Les quatre symboles QPSK sont sl = (00). sz = (01). s3 = ( I O ) et s, = ( 1 1 ) . Le dia-

gramme d'espace de ces signaux est donné par la figure 2.5. t

s, = (IO) s, = (00)

Figrtre 2.5 Coiisfellatio~~ de la i~todulurio~i QPSK.

23.2 Modèle de simulation pour les canaux AWGN sans mémoire

Nous avons présenté le modèle de simulation CIS pour le cas de In modulation BPSK. Dans cette section. nous nous inspirons des uvaux publiés dans (231 et Ill] afin de généraliser

le modèle de simulation CIS nu cas des systèmes en QPSK.

La méthode CIS consiste toujours à simuler avec un bruit de variance amplifiCe 7 i

a; = a-,'( 1 - a), où u est un paramètre que nous cherchons à optimiser en vue de maximiser

le rappon r,t,c, c,s défini par (2.1 1 ). Pour cette fin. nous allons considérer I'approximation de

ce rapport donnée dans [23] et exprimée par I'équation (2.12).

Notons p, = Jfy(?)dY et pi= l w ( - ) f et supposons que le symbole

s, = (00) est émis.

Il est à signaler que p, représente la probabilité conditionnelle d'erreur par symbole.

Etant donnée la symétrie de la constellation QPSK. le développement du calcul pour les autres

symboles s'en déduit systématiquement.

Sachant que le symbole sl est émis et que le canal est AWGN sans mémoire. le signal

reçu sera yk = g(.r,) = g(s,) = s, + bk . avec bl, un bruit AWGN.

La figure 1.6 illustre la représentation vectorielle du signal y k . Nous voyons que ce der-

nier est la somme de deux signaux en quadrature yp, ! et yp, (?. avec:

Sachant que le symbole s, est émis. le domaine d'erreur est alors défi ni par:

Notons P ( c / s [ ) la probabilité de transmission sans erreur. La probabilité d'erreur peul

s'écrire ainsi. p, = 1 - P ( c / s , ) .

On démontre que bk, et bl.. sont des bruits blancs gaussiens indépendants et identiquement I distribués: il en est alors de même pour y et f. Ceci nous amène à écrire:

I ' ou encore ~ ( c / s , ) = (j" f , (bl)db ))-.d'où: -: b

Une approximation de la probabilité d'erreur est alon donnée par:

Le rapport ri$ ,,,.,,, est alors donné par:

- '-.\i(' CIS -

La valeur optimale de ci, qui

-3 +

minimise r ,,,, .,,, . est don:

Nous remarquons que ce dernier résultat est similaire i celui de l'équation (2.16 1. Ceci

se justifie par le fait que la modulation QPSK est la superposition orthogonale de deus modula-

tions BPSK.

2.3.3 Modèle de simulation pour les canaux AWGS avec mémoire

Dans ce paragraphe. nous supposons que la fonction de trmsfert du canal est un o p h -

leur linéaire complexe de convolution. La sonie du système esr:

où {hi) est la séquence complexe de la réponse impulsionnelle du système.

I O Le signal Y, peut se décomposer en deux termes Y et Y t en quadriture. Soient:

avec:

r = k Une forme plus compacte est donnée par:

où:

i 1 h l - , = Re[l t , - , ] ,X, = Re[X,] pour j = k . k - l. .... k - ( 1 - 1 ) .

I I h L - , = - I r n [ l t , - , ] . X I = Im[.Y,I pour j = k - L. .... k - 2 1 - 1 .

De même le terme Y'L peut se mettre sous la forme:

1 1 Les coefficients I I , -, et hl-, sont des réels. Les ternes X , et x'! appartiennent i

l'ensemble {-A. A } . Ainsi. nous pouvons conclure que les équations (2.40) et (2.4 1 ) sont Cqul-

valentes à I'équation t 2.17). Toutefois. les filtres linéaires des équations (1.40) et (2.4 1 sont

chacun deordre I L . Par analogie au résultat de l'équation (2.27 ). ia valeur optimale de cc sera:


Comme nous I'avons signalé précédemment, les probabilités d'erreur considérées dans

les sections 2.3.7 et 2.3.3 sont exprimées en terme de probabilité d'erreur par symbole. Li\ 3- Iuation des taux d'erreurs binaires nécessite d'établir la correspondance entre le TEB ( P b ) et le

TES ( P , v ) . On démontre dans [l] que le TEB est Pb = PA&.

L'implantation de la technique CIS. pour l'évaluation d'un TEB d'ordre de p n d r u r

donné, nécessite la détermination au préalable du nombre de points de simulation. Ceci re\.irni

à trouver le nombre minimal de points de simulation qui permet d'atteindre la précision voulue

sur I'estimateur.

Le tableau 2.2 donne, pour différentes valeurs de TEB, la probabilité d'erreur par sym-

bole correspondante, le seuil normalisé de décision VT , IP valeur optimale du biais du bruit ainsi

que le rapport r,w,,,o,, et ce pour des mémoires de taille L = 1 et L = S . Nous constatons

que pour des seuils élevés (ce qui correspond à des faibles TEB), la valeur optimale du biais a

se rapproche de 1. Nous remarquons aussi que le gain sur le nombre de points de simulation est

plus considérable lorsque le TEB h estimer est faible. Par ailleurs, quand la taille de la mémoire

augmente. le gain est moins important.

- - - - - - - - - -- - -- -

Tableau 2.2 Avantage de CiS pur rappon ci MC: simulation des syst2mes QPSK.

TEB

1 0 ' ~

104

10-j

10"

Comme application, nous avons simulé, en appliquant la technique CIS, un système

QPSK dans un canal gaussien sans mémoire et avec mémoire de taille L = 3 . Le nombre de

points de simulation utilisé, pour évaluer un TEB d'ordre 10". est 10'. Pour vérifier l'effica-

cité de la technique CIS. nous avons répété l'expérience avec la méthode MC en utilisant 10 7

TES

2. lu3

2. 104

-. 7

2. lu6

points. Les résulta obtenus sont montrés sur la figure 3.7. Nous constatons que pour le canal

sans mémoire, les courbes sont exactement les mêmes. Pour le cas du canal avec mémoire, Ia différence entre le TEB achevé par Ia technique CIS et celui par la technique MC ne dépasse pas 5% de la valeur du TEB.

VT = A/'o

1.7

-.- 3 3

2.6

3 .O

L = I L = 5

CL

0.9 L

0.9 3

0.95

0.96

a

0.75

0.82

0.86

0.89

I- ni ax

45

300

2800

25500

r t n m

1 1

57

360

2385

Ebmo (dB

2 . Simulation des systèmes en modulation de phase par la technique CIS

2.4.1 .\lodulation de phase à M niveaux (M-PSA)

En modulation de phase numérique (Phase Shifi Keying ou M-PSK). les .il t b r m c ~

d'ondes ont la même amplitude A et différent par leun phases. Le signal PSK est donne par:

sm(r) = A cos (ln jsCr + 8,) nz = 1.3. .... M. O I I I T , (2.43 1

ou sous une expression plus développée:

avec:

I?? = 1, 2. .... M

La forme d'onde des signaux passe bas équivalents est donnée par:

Les signaux PSK peuvent se décomposer suivant une base orthonormée

[cos(ln f,r). sin(?nf,r)] et ils sont représentés par les vecteurs bidimensionnels:

Le diagramme d'espace des signaux 8-PSK est donné à Io figure 7.8.

2.42 Modèle de simulation pour les canaux M G N sans mémoire

Soit s( r ) le signal M-PSK à émettre ii travers un canal AWGK sans mémoire. Le signal

échantillonné i la sonie du canal est yk = g(.rk) = sp + bk . I Notons -, et les composantes en phrise et en quadrature de signal J, . Ce dernier

s'écrit dors sous la forme:

1 P ou sous une forme vectorielle comme yk = [y,. yI ]

La phase et le module du signal détecté y, sont donnés respectivement par:

- 1 1 Q e V = arg(y,) = rg (\.,/yk )

Les paramètres 0, et p sont appelés les coordonnées polaires de y.

Sachant que 6, est un AWGN et en effectuant les changements de variable des équa-

tions (2.19) et (3.50). la fonction de densité de probabilité de y, . exprimée en fonction des coor-

données polaires, sen:

où E, est l'énergie du signal s ( r ) .

Le module p est une variable aléatoire positive. L'intégration de Po* ,, (p. 8, ) sur toutes

les valeurs de p donne la fonction de densité de probabilité de 0,. soit alors:

Sotons P;, (O,.) la fonction de densité de probabilité biaisée. La fonction de pondéra-

tion est donnée par:

7 7'I Pour E,l?a- » 1 et l0,l 5 7 . on peut approximer P 0 , ( 8 , . ) par [ I l : -

En appliquant l'approximation de l'équation (2.51) on aun:

i i%*(O,.) = - 7

exp (-lay,(sin0,)-} JCa

Ainsi. le rapport ri,,c, os défini. comme dans 22.1 . sera donné par:

DE étant le domaine d'erreur.

En supposant que le symbole so (te1 que wg(so) = O ) est émis. une erreur se produit

lorsque la phase du signal reçu est à l'extérieur de l'intervalle [-n/iM.nf'MJ . Ainsi. nous

aurons:

L'approximation de l'équation (2.14). nous permet d'avoir:

3 1

Notons T- . 2 = 2y ,( s i n n M)- . le rapport r ( a ) sera alors:

La valeur optimale de u. qui minimise rrlC os. est alors:

2.4.3 Modèle de simulation pour les canaux AWGN avec mémoire

La sortie d'un canal AWGN avec mémoire de taille L . dont l'entrée est un sipnd

M-PSK est:

où si est un symbole issu de la constellation M-PSK. bi un bruit AWGN et h , la réponse im-

pulsionnelle complexe du canal.

Le calcul rigoureux de la valeur optimale du paramètre a passe par la détermination dc

ln fonction de densité de probabilité de Yk . Ceci nous amène à des calculs excessifs. Toutefois.

par analogie aux résultats des équations (2.42). (2.58) et (2.60). une valeur sub-optimale de u

peut être exprimée par:

* -l

avec T - = -ly,(sinn/'M)-.

L'efficacité du par~rnerre cri,, calculé selon l'équation t 2.62 ü été vérifié espénmsn-


Les valeurs optimales du biais et du rapport r-(!,- c.,s. pour différentes valeurs de TEB. sont données par le tableau 2.3. Nous observons que plus le TEB est faible. meilleur est le pain

sur le nombre de points de simulation.

Tableau 2.3 Avantage de CIS par rapport à MC: simiilarion des systtritrs 8-PSK.

TEB

10''

lo4

IO-^

10'~

Les résultats de simulation d'un système 8-PSK dans des canaux AGWN avec et sans

mémoire (L = 1 et L = 5) sont exposés B Ia figure 2.9. Pour chaque canai. nous wons simulé

le système par les deux méthodes. CIS et MC.

TES

3-10"

3. loJ

3. 10 '~

3-10"

- x \', = 2 J y , un -

S L = I

U *Pt

L='

r tl1Il.r

1 S

122

920

7355

U

2.9

3 -6

4.17

4.6

1

r

0.SS

0.92

0.94

0.95

0.73

0.8 1

0.86

0.8s

8

42

256

1759 A

j O P /

t t l l l l \

Dans le cas où le cana1 est sans mémoire. les courbes issues des deux simuiations coïn-

cident parfaitement. Pour le cas du canal avec mémoire. une légère différence entre les courbes

est constatée. Par exemple. pour un TEB d'ordre 1 0 - ~ la différence est inférieure ii 0. I (db).

Lors de la simulation CIS du système 8-PSK dans le canal avec mémoire. nous avons

adopté la valeur sub-optimale du paramètre a calculée selon l'équation (1.62).

Figrire 2.9 Purfon~iarlcr d'rtrt ysrénze 8-PSK: ( a ) daris ioz cmul gartssieri sms rriJnloire (siinuiurion CiS et MC), (6) dans irtt canal avec nié;nioirr L = 5

~sin~ulution CIS) et [ c ) dans rtn canal mvc ntirnoire L = 5 fsinzulatio~i .tlCj.

2.5 Simulation des systèmes en modulation d'amplitude en quadrature par la technique CIS

2.5.1 Modulation d'amplitude en quadrature (M-QAM)

Comme leur nom l'indique. les modulations d'amplitude en quadnture (Quadrature

Amplitude Modulation ou QAM) sont In résultante de la modulation en amplitude de deux por-

teuses en quadrature. Le QAM est aussi appelé modulation hybride par le fait que la phase et

It I*iimplitude de la porteuse sont modifiées. Ln modulation QAM comporte M = 4 forme civon-

des décrites par:

Les amplitudes A ,,,, et A ,1,, appartiennent à { f d, 234 . . ., ?(fi - 1 ) d } . ou I d est distancc

entre deux points consécutifs dans la mime direction.

Les signaux QAM sont bidimensionnels: leur représentation vectorielle dans la base or-

thonormée [ cos (In f ,t ), sin ( 2nf,r) est:

La constellation QAM est une grille carrée. La figure 3.10 donne le diqrimme d'espace 1

des signaux QXM-16 (ICI = 1-) .

Figttre 2.10 Constrllatiorl 16-QM.

Le QAM est aujourd'hui la modulation la plus utilisée. surtout dans les systèmes où la

vitesse de transmission et la largeur de bande sont des enjeux majeurs.

2.5.2 Modèle de simulation pour les canaux AWGN sans mémoire

Nous remarquons que la constellation QAM (figure 7.10) est formée de trois çIrisses de points différentes. La classe 1 regroupe les 1 points aux coins. la classe 1 contient 4 ( f i - 2 )

points extérieurs (autres que les coins) et (fi[ - 212 points intérieun forment 13 çlriss~. 3.

Le TEB achevé par la simulation CIS d'un système QAM peut s*écnre alors selon:

où P,( j) est la probabilité d'erreur de Ia classe j .

Notons y i le signal reçu et I l(?,) la fonction d'indicateur d'erreur.

Un estimateur du TEB de l'équation (2.65) est:

jh,(?,) = 0

En procédant comme dans [24

que sa \;inance est:

I

si si E Classe k

,]. nous démontrons que I'estimriteur P. rsi sans hiiiia rr

a r c I',-,,. = rzh(>-,)f(l>,)~ii+(b,) - P , ] .

Les régions de décision du QAM ont des géométries différentes. Etani donnte la a' me-

me de la constellntion. les c~lculs relatifs à cette modulation se réduisent à trols tFpcs qu i cor-

respondent u n trois classes définies précédemment.

Pour les signaux de la classe 1. la région d'erreur est définie par:

I a DE = {yi: F~ = si + bi tel que (b, c -d et b, c -d) ]

Q avec b, et 6, sont les projections du bruit dans l'espace des signaux.

Pour les signaux de la classe 2. la région d'erreur est:

1 DE = {yi: y i = si + bi tel que (b, < -d et lbll > d )

Quant à la région d'erreur des signaux de la classe 3. elles est donnée par:

Après avoir défini les domaines d'emur. nous rnonlrons que:

Ba Sachmt que ( JQ[ - t ) Q'(d\j . nous pouvons approxirner h vmance de Ikmna- .op a O feur comme suit:

da;,, La valeur optimale de la vanance du bruit biaisé est solution de I'équarion - . ce

cla. qui implique:

2.5.3 Modèle de simulation pour les canaux AWGS avec mémoire

L'espace des signaux QAM est bidimensionnel. Ainsi. sur une des deux direction,. un

canal de mémoire de taille L agit comme un filtre linéaire de taille 2L.

En procédant comme dans 2.5.2 et par analogie aux résultais obtenus aupnrü\-m. nous en déduisons que la valeur optimale du panmètre a (l'amplifiant de la variance du bruit est:


Le tableau 2.4 présente les valeurs optimales du biais uopr et du rapport r,,c . et ce

pour des tailles de mémoire L = 1 et L = 5 . Nous constatons que le rapport r.t,c,crs est plus

important quand le canal est sans mémoire.

La figure 3.1 1 donne la vanance de I'estimateur du TEB. achevé par la simulation CIS

d'un sy sterne QAM- 16 dans un canal gnussien. en fonction du par~metre u . Le TEB estime est

d'ordre 10". Les courbes correspondent aux cas où le nombre de points de sirnul;ition est 10' 4

et 10 . Avec 1000 points de simulation et en utilisant la valeur optimale de o.. la \.anrince de

I'estirnateur est 10-14, soit IO-%- de la valeur du TEB en question. Une telle précision est Iiir-

gement acceptable.

E B

1 o4

1 0"

10"'

TES

-5.10"

4.1 o - ~

1.1 O-'

4.10.~

- & 5- 0

2.9

3.6

4. 17

4.6

L = l ,

CL O P t

0.57

0.9 1

0.93

0.95

L = ?

r I I 1 a.r

14

96

7 12

5659

U

0.72

0.8 1

r 111 C1.l

7

34 1

O. S5 10-1 1 4

0.SS 1 3 3 j !

2.6 Conclusion

Ce chapitre aun été un prétexte pour présenter les aspects analytiques de la technique

CIS (Conventional Importance sampling ) appliquée 3. divers s y sternes de modulation. Le CS de

la modulation binaire antipodale (BPSK) a été traitée dans plusieurs publications [Y] et [ 2 4 .

Les anal y ses et les résultats fondamentaux de ces travaux ont été intégrés dans ce chapi trr. Sous

nous sommes inspirés de ces analyses pour d'oprirniser les paramètres de la méthode CIS en \ ur

de simuler des systèmes en modulation h M niveaux (QPSK. M-PSK. M-QAM).

Pour toutes les moduliitions présentées dans ce chapitre, nous avons d'abord dicrit leun propriétés. Nous avons ensuite illustré I'applicarion de CIS à chacune d'entre elles. Nous ri\.ons

enfin présenté les résultats numériques ainsi que ceux obtenus par les simulûtions MC et CIS.

Nous signalons que des canaux AGWN avec et sans mémoire ont fait l'objet de nos si-

mufafion.

CHAPITRE

Modulation à fréquences orthogonales multiplexées et égalisation locale

Les techniques de rrrinsmission multiponeuses (multicamers) ont Cté d é \ d o p p h i Id

fin des annies 50. sans faire 1 miment i I'Çpoqur beaucoup d'adeptes. Friute de développement

des circuits électroniques et de traitement du signal et vu I;i complexité de leur mise en w u \ rt..

les techniques multiponeuses ont été délaissées. .i Ia fin des années 80. ces techniques ont fait

un retour en force. Une technique mulriponeuses dite COFDhl (Coded Orthogonal Frequenq

Division Multiplexing) est au coeur du système de radiodiffusion numénqur conGu en Europc

au sein du projet Eurêka 147-DAB (Digital .-\udio Broadcasting) [30]. Les techniques OFDM

sont utilisées aujourd'hui dans plusieurs applications. surtout pour Iü transmission i h u i s Jt'hirs

sur les canaux sélectifs en fréquence pour simplifier l'égalisation.

Ce chapitre entend décrire. dans un premier temps la technique de rnodulrition 3 i r i -

quences orthogonales multiplexées (OFDM). Ensuite. nous présentons une des techniques pus-

sibles d'égalisation des systèmes OFDM. à savoir I'égalisation locale.

3.1 Introduction

Dans une transmission série conventionnelle. le signal est multiplié par une fréquence

porteuse qui le place à une fréquence adéquate en vue de l'adapter aux carxtérist iques du zan31.

Les symboles sont ensuite transmis séquentiellement les uns h la suite des autres. C'csi Iri mu-

dulaiion série j. une seule porteuse. Une telle technique présente certains inconvenirnts.

Avec la modulation i une seule porteuse. 1';iugrnentrition de débit binaire se hit au pril

de la dégradation des performances. En plus. dans un milieu i trajets multiples. les systèmes si-

ries nécessitent ITutiIisation de circuits complexes d'égalisation afin de lutter contre les interfi-

rences entre symboles.

Dans le but d'optimiser l'utilisation du spectre de fréquence. on a vécu à la fin des an-

nées 50 la naissance des systèmes multiponeuses. Le principe des modulations rnu1tiporteust.s

est de diviser la bande utile du spectre en plusieurs sous-canaux occupant une bande de Mqum-

ce plus étroite. Ainsi. un canal de gnnde largeur de bande. possédant un spectre "sévire". peut

être subdivisé en une multirude de sous-canaux dont les réponses impulsionnelles prises indn 1-

duellement sont plus "clémentes".

la fin des années 60. les techniques de transmission parallèles ont été uiilisirs h n s

les sy sternes mi litaires HF. Nous citons. i titre d'exemple. KINEPLEX [3 11 développé pour Irs

tr~nsrnissions ionosphériques et ASDEFT 1331. Ces systèmes nécessitaient. cependant. I;i con-

ception d'un banc de .V modulüteurs et ;V filtres conventionnels. ce qui est techniquement di(-

ficile i réaliser. Pour cette raison, les systèmes par~lléles ont été laissis de sot6 au protit des

systèmes série plus simples.

.Avec le développement des technologies d'intégrütion. les fonctions de modul;itiun rt

de démodulation peuvent être réalisées par les techniques de trmsformées de Founer discrhcs

iTFD directes et inverses. La complexité du calcul peut Ztre réduite considérablement en ut i l I -

sant la transtormCe de Founer rapide (Fm).

Le multiplexlige par division de fréquences orthogonales. connu sous le nom OFDhI

t Orthogonal Frequency Division Multiplexing) est la technique de trmsmission multiporrcuws

la plus utilisée. Cette modulation a été introduite pour 13 première fois dans Irs systirnes Je

comrnunic;ition par voie ionosphérique [34] et [35]. En 1989. Le Floch et al. ont proposi Ir s> j-

tème de radiodiffusion numérique COFDM [30] basé sur le codage du canai et sur la technique

OFDM. où chaque sous-porteuse est modulée par un symbole d'une constellation 4-PSK.

De nos jours. les techniques OFDM sont utilisées dans plusieun applications. surraut

pour la ansm mission à haut débit sur des canaux radioélectriques sélectifs en fréquence pour

simplifier I'égalisation. Cette dernière est même inutile quand le système est en modulatim ilif-

férentielle [36], [391.

il existe plusieun méthodes d'égalisation des systèmes OFDM. Düns ce trnail nous

nous interessons B une égalisation dite locale. Cette dernière signifie que chaque sous-canal a

son propre égaliseur.

3.2 Le système série et le système parallèle

Dans les systèmes série conventionnels. les symboles sont transmis de façon séquenticl-

le. Le spectre en fréquence de chaque symbole occupe toute la bande disponible. À cause de la

nature d'introduction de groupes d'erreurs du canal. plusieurs symboles adjacents peuvent étre

affectés par de la distorsion. Dans ces systèmes. une transmission à haut débit n'est possihle

qu'au détriment d'une dégradation des performances (par l'utilisation de modulation i consrcl-

lation élevée), ou au détriment d'une augmentation de la largeur de bande. Cependant. le protil

de retard impose un temps d'attente qui détermine le moment de transmission du prochain s> m-

bole. Ce temps d'attente. appelé aussi intemalle de garde. nécessite que le débit soit réduit i un

débit inférieur à l'inverse du profil de retard afin d'éviter l'interférence entre symboles.

Contrairement au système série. le système parallèle est un système ou plusieurs don-

nées séquentielles sont transmises simultanément. de telle sorte qu'i n'imponr que 1 insirint. plu-

sieurs éléments de données sont tr~nsmis. Dans de tels systèmes. le spectre de chaque élémtnt

occupe une petite partie de la bande disponible.

Signaus tempo-

Durée T

N sinus de durée N.T

Spectres

Bande I /T=B

Bande I/(N. T) =B/7V

La figure 3.1 montre 13 différence entre un système séne et un système pard lè le OFDM

La comparaison est faite au même débit binaire. c'est-ù-dire que les signaux occupeni la rntrnr.

Iÿrgeur de bande. Nous notons que l'efficacité spectrale du système OFDM est plus imponantc

que celle du système séne.

3.3 Multiplexage fréquentiel conventionnel et systèmes OFDbI

Nous rrouvons dans la littérature plusieurs famil les de systèmes de tr~nsmission paral -

Ièle. p m i iesquelles. les systèmes classiques de mulriplexage fréquent iel conventionnel et les

systèmes OFDM.

Les systémes de multiplexage fréquentiel conventionnel sont adoptés quand 1'utilis;i-

tion efficace de la largeur de bande n'est pas un enjeu majeur. Dans ce cas. iti bande de fréquence

totale du signal est divisée en .V sous-canaux dont les spectres de fréquence ne se che\auchcnr

pas i figure 3.2-a). L'insertion d'un inien.;ilIe de garde (i 11 uitnsmission) pemrt la siparmon

(5 la réception) des spectres des sous-canaux adjacents et ce en utilisant des tilires son\ention-

nels.

Les systèmes de multiplexa_ge fréquentiel conventionnel sont robustes face aux intert.8-

rences entre sous-porteuses. mais ils n'offrent pas une bonne utilisation du spectre [-XI.

Les systèmes OFDM permettent d'obtenir une bonne efficacité spectrde. En effet. Ics

spectres des différentes porteuses se chevauchent mutuellement. (figure 3.2 -b). Toutefois. Ics

signaux OFDM doivent répondre à des conditions d'orthogonalité afin de fxiliter leur sépara-

tion 8 la réception et. par conséquent. d'extraire l'information modulant chaque sous-porteuse

sans être penurbé par des interférences dues à la présence de porteuses voisines.

3.4 Technique de modulation OFDM

Le principe fondamental de la modulation OFDM se résume dans la répartition de 1 ' in-

formation h uansmettre sur un grand nombre. N. de porteuses. chacune modulie B un bas déhit.

Cne telle procédure permet de transfomer un canal sélectif en fréquence en .V sous-canaux non

sélectifs. Les systèmes OFDM reposent aussi sur le principe d'onhogonülité des filtres rélilismt

la modulation. Ils fonctionnent intrinsèquement par bloc. La modulation d'un bloc de s!,mholcs

étant souvent réalisée par la transformé de Fourier discrète inverse t TFDI I .

3.4.1 Orthogonalité des sous-porteuses

C onhogonali té des sous-porteuses permet d'assurer le reconstruction parfaite des s! m-

boles et de simplifier Iü procédure de la réceprion.

L'onhogonalité peut ttre assurée par I'uti lisiition des filtres w,. , définis par:

avec T , la durée d'un symbole et g , ( r ) une base onhogonale donnée par:

ig&) = exp(iinj0,r) O < _ r < T , J

= O ai I leurs

f, est l'ensemble de fréquences porteuses séparées par l'inverse de la durée du s>-rnbolr ( 1 T , :

OUI, est la fréquence poneuse et LV est le nombre de sous-porteuses.

On peut montrer facilement que les filtres sont bien onhogonoux. dans Io mesurc où ils vérifient la condition d'onhogonalité suivante:

où (. :.) désigne le produit scalaire canonique. '*' le symbole de conjugaison cornpleue. il . il le module d'un nombre complexe et S,. ,. le symbole de Kronecker:

si ( j = j*)

sinon

II est important de rappeler. ici. que deux exponentielles complexes sont onhogonriles

si et seulement s i le rappon de leurs pénodes est une frmion rationnelle. De ce th. la condition

d'onhogondité n'est assurée que si les frequcnces porteuses sont des multiples entiers de la tC& quence fondamentale ( 1 : 'T , ) sur la durée d'un symbole. Sur un intervalle Bni. i I existe une in-

finité dénombrable d'exponentielles complexes onhoponüles (d'harmoniques 1. Conformément

i cette condition. la base v,, donnée par l'équation (3.1 ) a Çté choisie comme I'enscmble des

.V premières harmoniques de la fréquence fondamentale ( 1 . / 'TT) .

3.42 Symboles OFDM

Soit { C,, , } une séquence de nombres complexes i transmettre. C,. , Ctani Ir j! mhok

à transmettre via la sous-porteuse d'indice k dunnt le symbole (OFDM) d'indice j .

Ces symboles appartiennent B un alphabet fini issu d'une constellation de modulation

donnée. Dans le cadre du DM!. par exemple. la modulation utilisée est le PSK. Quant au prqet

DVB. la constellation des symboles est celle de la modulation QAM-(4. 16.641.

Le symbole OFDM à transmettre est alon donné par:

Le symbole x ( t ) étant tronqué dans le domaine temporel. le spectre en puissance de - chaque sous-porteuse correspond alon i un sinus cardinal ( sinc-( f ) ) (voir figure 3.2 1.

Pour garantir une excellente efficacité spectrale (utilisation efficace de la largeur de h m -

de), il est nécessaire de faire chevaucher mutuellement les sinus cardinaux dans le domaine fri-

quentiel des différentes sous-porteuses. tout en conservant la condition d'onhogonriliii..

c'est-à-dire que le spectre de chaque canal individuel doit être nul dans les autres fréquences

porteuses.

La règle de démodulation des signaux OFDM est donnée par:

3.4.3 Utilisation de I'interwlle de garde

En présence des interférences enire symboles causées par le canal de irinsmissim. les

propnçtis d'onhogonalitd entre les sous-poneuses ne sont pas maintenues. Lune des solutions

pour contourner le probléme de sélectivité est d'augmenter indéfiniment le nombre de sou-par-

reuses .V. Or. cette solution est limiiie par la cohérence temporelle du canal.

La solution retenue consiste i sacnrier une pünie de l'énergie émise en inrroduismr un

intendle de garde de durée A après chaque symbole utile OFDM. Cet intendle dz garde doit

awir une durée supérieure d celle de l'étendue de la réponse impulsionnelle. ritin dg;ibrorher

I'effer multi-trajets du canal. Par conséquent. la durée utile du symbole est libre d9inirrt2rencr

entre symboles ei la condition d'onhogonalité est maintenue.

SOUS notons que dans un système séne à haut débit. I'insenion d'un intervalle rie pmie

est impensable puisqu'elle limite le taux de transmission des symboles. Le débii de s! mhdc

d'un sysième parallèle est beaucoup plus faible que celui d'un système séne de méme cfticxiir'

spectrale et occupant la même bande. L'insertion d'un intervalle de garde entre deus s!mtiolr.s.

dans les sysrèmes panllèles. aura alors un effet beaucoup moins important sur le débit binaire.

L'efficacité spectrale avec l'insertion ci' un interval le de garde est:

où qT est l'efficacité spectrale du système avec l'intervalle de garde. q I'efficricitç spectrdc du

système sans I'intenralle de garde. A I'intenlalle de garde et T, la durée utile de 13 irrimr.

Après l'insertion de l'intervalle de garde. le signal OFDM émis esi modifié et dc\.ient

alors:

où T', est la durée totale d'un symbole donnée par TV5 = TI + A et Y',. k ( t ) est la n ~ u \ c I I c

base des signaux élémentaires transmis définie par:

avec :

: cnp ( i b f , r ) O S r l T ' > . ~ ' ~ ( t ) = *;

i 0 ailleurs

Sous notons que la durée utile du symbole doit Cire notablement plus longue que A . 3c

sorte que l'efficacité spectrale et i'effiçxité en puissance du système ne soient pas sensihlrrncnt

affectées.

.\ titre d'exemple. un rapport 1, ( T , + S. ) = 1 5 conduit à une pene L 1s i \ 1s Je l'cf-

riacité spectrale théonque de 20% et i une pene en puissance d'environ I dB [161.

Les figure 3.3 et 3.4 illusrrent Ic signal OFDM avec un inter~cillr de garde Ir3nsrnis dans

un canal à tra~ets multiples.

&us porteuses \ "

. . ,

\ ,

Fréquence

Le signal rep peut Ctre ecnt sous la forme suwanre:

où Ii ( r ) représente la réponse impuisionnelle du canal. "eV' le produit de conwlution et El ..

les séries de valeun complexes représentant la réponse du canal ii 11 fréquence f , .

3.4.4 Modulation et démodulation par la transformée de Fourier discriite

La réalisation des systèmes OFDM requien l'utilisation de N filtres en pardlèle parhi-

tement orthogonaux. ce qui est difficile à implanter et donc très coûteux. En 197 1 Wrinsiein et

Ebert [34] ont proposé la transformée de Fourier discrète comme solution pour simplitier Irs

fonctions de modulation et de démodulation.

En ramenant le signal OFDM B son équivalent en bande de base. et pour plus de simpli-

fication. on peut omettre l'indice j . On aun par conséquent:

En échantillonnant ce signal au taux de Nyquist. soit à la vitesse T f l . on aura:

rt k' * , ( I I ) = 1 Ctexp 'in- - .VI

Après nomalisütion. on obtient:

Ciquarion (3.17) est Cquiulente la trmsfonnée de Founer discrète inverse du lecteur

des symboles complexes issus de la constellation de modulütion C = [Co. C,. . . .. C, - , 1 :

La fonction de rransfonCe de Founer est un opérateur linéaire. qui est donc r&srsihle.

Ainsi. la d&noduIation peut s'effectuer par une trmsfomée de Founer directe. Pour demoduler

le signal requ. i l suffit de le rimener en bande de base. de Iëchantillonner au [aux de S y u i , i

( 1 / T , ) et de calculer la TFD du stgnnl échantillonné résultani.

Le signal reçu est donné par:

où HA est la réponse impulsionnelle du canal 1 la fréquence f, .

En ramenant ce signal en bande de base et en l'échantillonnant à la fréquencej;=I/T tel

que T=TJV. on obtient:

En normalisant. on 3 ~ ~ 3 :

OU encore:

avec:

L'équation ( 3 . 2 2 ) permet de conclure que j.,( r i ) peut etre interprété comme II trmstonir. Je

Founer discrète (DFT) de YY, :

Le modèle en bande de base d'un système de transmission i poneuses multipirs OFDM

est donné à In figure 3.5. Ce modèle peut ètre vu comme un ensemble de N systèmes dc irms-

mission B mven N canaux AWGN. pardleles et d'atténuations corrélées (voir figure -3.6).

En risurné. les opéraiions de ~ransformées de Founer discretes inverses ri directes psr-

mritcnt d'effectuer I I modulation ri Iü dimodulitiion OFDM. respectivement. II est egalrmeni

possible de réduire II complexité du systéme. En effet. lorsque le nombre de sous-porteuses est

grand. i l est de mise d'utiliser I' rilgonthme de transformée de Founer rapide ( FFï 1 d'ordre rpal

ou supérieur. le plus près de .V. en complétant le Yecteur des symboles à trmsmettre par des: zC- ros.

3.5 Egalisation

Les canaux à trajets multiples forment une classe imponante des canaux de télécornmu-

nications dont font partie les canaux ndio-mobiles. ionosphériques. acoustiques. microcellulai-

res et cenains environnements radars L.101. À cause des échos et des réflexions entre Cmettcurs

et récepteurs. les canaux i trajets multiples présentent des réponses impulsionnellrs non plates

et sont sélectifs en fréquence. On montre. dans (JI]. que le degré de sélectivité d'un canal est

déterminé par le produit de la largeur de bande (1V) et du retard de propa, aation rnawnd

(T,,,,,) . Dms ce sens. un canal de gnnde largeur de bande est sévèrement sélectif en fréquence.

Cependant. les canaux de gnnde largeur de bande sont d'une utilité majeure. En effet. une irrins-

mission à grand débit binaire impose une grande bande passante. Dans ce cas. des trchniyues

de tritement des signaux émis et reçus. tels que le codage ou I'égülisation. s'avèrent indispsn-

sables.

Comme on vient de le voir. le principe des modulations OFDM est de diviser la han&

utile du spectre en plusieurs sous-canaux occupant une bande de fréquence plus étroite. Ceiie

technique transforme. ainsi. un canal sélectif (grande largeur de bande) en un ensemble de .\'

sous-canaux moins sélectifs ( largeur de bande étroite).

La modulation OFDM a alon 1 'avantage de simplifier les procédures d'égal isaiion.

Etant donnée la non sélectivité des sous-canaux. l'égalisation peut s'opérer individuel le ment

pour chaque sous-porteuse. C'est ce que nous appelons "égdisation locale" et que nous d l u m

exposer dans le reste de ce chapitre.

3.5.1 Egalisution et intenalie de garde

Les systtmes OFDW clrissiques. basés sur les tr~nsformées de Founer discrtitcs en tant

que modulriteurs. utilisent un intcn.rille de garde atin de permettre une égalisarion peu coûisu~r

Toutefois. I'insenion de I'inienalle de garde de longue durée implique une chute considCrahle

du débit de trmsmission. .k titre d'enemple. dans les systèmes OFDM acruellemcnt crnplqt',

ou en\ isagés pour la diffusion hertzienne ierrestre. la durée de I'inrennlle de garde n'est p;l' ne-

oligerible: une \ drur courammen1 retenue est le quün de 13 taille du symbole OFDM ut1 le [4' 1. C

Le gain poienticl en débit consécutif à sa suppression est de l'ordre de 2 5 5 . Dimlnurr ou rup-

pnrnrr cet intenpalle de garde iipparüit donc comme une perspective très séduisante. La supprcb-

sion totale de l'intervalle de garde aunit pour cause de rendre Iëplisütion plus cornplew.

Comme il est proposé dans [-1S]. l'idée la plus simple pour accroître le débit est de diminuc: 1ii

longueur de l'intervalle de garde et d'assurer une égalisation qui sen peu onéreuse.

En récapitulant. l'insertion d'un intervalle de garde de durée relritivemenr limitr'e p u -

met de simplifier l'égalisation du canal. Nous montrerons que dans ce cas I'égalisrition re\ irnt

B une simple multiplication i Iü sortie du démodulateur (TFD i la réception).

3.5.2 Egalisation locale

Grice à I'utilisation de I'intervalle de garde et vu leun longues durées. les symboles:

OFDM sont assez résistants aux interfirences entre symboles (IES) générées par le passage i

travers un canal i trajets multiples. On signale dans [38]. que dans ces conditions et aicc I ~ I -

lisütion des modul~tions de phase avec codqe diffknticl. l'égalisation est inutile.

Toutefois. en considérant chaque sous-porteuse à pan. on est hce B des phénornèncs

d'atténuation d'amplitude et de rotation de phase. En effet. le canal est perçu. dons le domainc

fréquentiel en aval du démodulateur. comme N gains complenes. un par sous-porteuses. .Ainsi.

si nous n'utilisons pas un codage différentiel. nous serons obligés d'égaliser le canül.

En supposant que la bande de fréquence du canül entier est largement supérieure B çellei

des différentes sous-porteuses ( N élevée). les fonctions de transfert peuvent être considérées

constantes à l'intérieur de chaque sous-porteuse. Le problème d'égalisation sera donc réduit i

une simple multiplication fréquentielle du signal reçu à la porteuse d'indice k .

( k = O. 1. ..., IV - 1 ) . par un coefficient GA.

L'égalisation prend alors la forme d'un banc de multiplieurs complenes i la sonir du

DFT de réception. On parle dans ce cas d'égdisation locale. du fiit que chaque sous-ponrure a

son propre Cgüliseur.

Le signal CgûiisC reçu é la kW""' sous-porteuse est alors donné par:

3.5.3 Critères "ZF' et "EQSI.\l"

Le choix évident de la constante GL est l'inverse de la valeur de la foncrion de iriinsin

H ( w ) dans la bande de fréquences de la porteuse d'indice k que l'on suppose constante i j i Ic.

nombre de sous-poneuses est élevé) et qu'on note par H, . On écrit cilors:

Le résultai de l'équation (3.26) est obtenu par l'optimisation basée sur Ir cntiirc .'ZFB

(Zero Forcing) (11. Ce dernier préconise 1';innuiation des interférences entre s!pmbolrs sans se

préoccuper du bruit du canal.

Nous remarquons que le schéma d'égalisation de type "ZF' manque de robustesse diin5

certaines situations, à savoir le cas où Iü réponse fréquentielle du canal présente des atténucirions

importantes dans certaines bandes de fréquences [47] ou quand le rapport signal sur bruit i SSR

est faible. Dans des conditions pareilles. afin de rendre l'égalisation plus robuste. nous utilisons

plusieurs symboles de références pour estimer le canal (voir 3.5.4.)

En tenant compte du bruit. une autre optimisation basée sur Ia minimisation de I'errcur

quadratique moyenne (EQM ou encore MMSE: Minimun Mem Squiired Error) donne une autre

expression des coefficients G, . soit:

1 1

avec on et o; les variances respectives du bruit et des symboles X, que nous considérons les

mêmes pour toutes les sous-porteuses. -

Pour un bruit d'énergie nulle (a; = O ) . nous retrouvons la solurion ZF de I'équiition

3.5.4 Estimation du canal

Caviintage de l'égalisation locale est son très faible co13 en çompl

Le coefficient G, de l'équation (3.27) est obtenu p u la minimisation de I'EQSI. dans

{*?S 1

elle nicessite la connaissance de la fonction de transfert du canal et de ses valeun pour chaque

fréquence poneuse afin de calculer les coefficients d'égalisation G, .

Les fonctions de trmsfen des canaux sont généralement inconnues. d'où la nCcesjitC

d'estimer leurs valeurs pour les fréquences porteuses. Pour ce faire. on émet une trrimc de wie-

rence ( c'" = [ CF. c;". . . . . p i , - ,I) connue par le récepteur.

Comme les valeurs et les positions de symboles cif sont connues. on peut dors les

exmire h la réception pour estimer ensuite les valeurs de la fonction de tnnsfen i chaque fr6-

quence fp. Une estimation possible des valeurs de la fonction de transfert pour chaque sous pur-

teuse est calculée par la division des valeurs reques (Y;*) par les valeurs de Ia séquence

d'entraînement. Ainsi. la valeur estimée fik de Hp est donnée par:

Une fois les valeurs H I estimées. elles serviront à déterminer les coefficients de Iëga-

lisation Gk et à procéder à cette égalisation.

Nous signalons ici que l'entraînement du système peut se faire avec plusieurs trrirncs de

référence. Dans ce cas. l'estimateur de H, . que nous notons f i p . sera donné par:

avec v le nombre de trames de référence utilisées et & . I l In valeur estimée de H, selon Iëquli-

lion (3.39) et en utilisanr la trame de refirence d'indice i .

L'entriiînement par plusieurs trames de référence est souveni uti lisé pour perfectionner

l'églilisation ZF.

3.5.5 Erreurs d'estimation du canal

3.5. Utilisation d'une seule trame de réf6rence

Supposons que Iü rrüme de référence c"" soit émise i travers un canal dc b n c t i u n dr.

rr~nsfen H( w ) et que la sortie du canal soit affectée p u un bruit blanc gnussien. Ir signal r q u

i la fréquence j, est donnée par:

L'erreur quadratique moyenne (EQM) sur l'estimation de H, est par détini tion:

D'après les équations (3.31) et (3.37). nous pouvons écrire (3.33) sous Ia forme:

Supposons que tous les symboles soient d'énergies égales:

7 3

et que Ia variance du bruit N, est 0, = a- pour tout k . L'erreur quridn itique moyl enne est alors:

où SNR est le nppon signal sur bruit.

Nous constatons que i'crreur quüdrüiique moyenne est inversement proponionnriic au

rapport signal sur bruit. Ainsi. si les signaux sont à faible énergie, l'erreur résiduelle due au bruit

es[ forte. Ceci justifie l'insuffisance de la méthode d'égaiisarion ZF quand le rapport signal sur

bruit ssr tiible.

Cemeur qulidrltrique mo!*cnnr globale normalisée sur I'estimatlon du lecteur

H = [ H o . H I. . . .. H ,. - 1 est définie par:

avec E f I l'énergie de la fonction de transfert.

EQMu peut s'icnre sous une autre forme. soit:

En supposant que tous les symboles sonr d'énergies égales. on ciurri:

EQM* = N EH S N R

3.5.5.2 Utilisation de plusieurs trames de référence

Si nous utilisons i- trames de référence. la valeur estimée de H , est donnée par I'iquri-

tion (3.30). soit:

L'erreur quadratique moyenne sur l'estimation de H, est:

Sachant que .Y,., sont des bruits . W G S indépendants et identiquement distnhuL's. I'er-

reur quadratique moyenne. sera:

Sous constalons que l'erreur quadratique moyenne est inversement proponionncllr riu

rappon signal sur bruit et au nombre de trames de références. De ce hit. nous concluons que

l'utilisation de plusieurs trames de référence permet de réduire l'erreur résiduelle et ce en

moyennant les effets du bruit. Cela a pour avantage de rendre l'estimation plus rohustc. Par zon-

séquenr. une telie procédure peut être appliquée avec la méthode d'égaIisation ZF tout en g m n -

tissant une bonne performance.

Avec l'utilisation de ip trames de référence. l'erreur quadratique moyenne globale nor-

malisée sur l'estimation du vecteur H = [ Ho, H l . . . .. H,. - , ] sen donnCe par:

EQMU = N ir EI, - S N R

3.6 Conclusion

Nous avons exposé dans ce chapitre la technique de modulation i poneuses multiples

OFDM. Le principe de cette modulation est de diviser Iii bande utile du spectre en plusieurs

sous-canaux occupant une bande de fréquence plus étroite. Son avantage réside dans le fitii

qu'elle transforme un canal sélectif en un ensemble de soustanaux moins sélectifs ei qu'elle

augmente l'efficacité spectrale. La modulation OFDM permet de simplifier les procedures

d'égalisation. En effet. étant donnée la non sélectivité des sous-canaux. l'égalisation se résume

en une simple multiplication i la sortie du démodulateur. C'est ce que nous définissons comme

igalisuticin locüle. du fait que chaque sous-porteuse it son propre égriliseur. La présentation dc

cette égalisation a couvert le dernier voler de ce chapitre.

CHAPITRE

Evaluation des performances des systèmes OFDM égalisés par les techniques de simulation rapide CIS

Au chapitre 3. nous iiwns présente Iü modulation mulriponeuses OFDM et 11 technique

d'égalisation locale des systèmes OFDM. En vue d'étudier l'efficacitti de I'ég;ilisniion l o i d ~ .

nous allons Ctaluer les perfomiüncrs des s! sternes OFDM Cgalisés SOUS di\ erses condi tium Jc

propagation. Pour ce faire. nous allons utiliser la technique de simulation CIS (Con\eniioniil Im-

portance Siimpling). présentée aux chüpttres 1 et 2. comme outil rapide et efficace d'iulurititv

de performances. Ce chapitre sera consacré pnncipülemeni ù la présentation des rhltciij ohtr-

nus sous dkerses condirions de transmission. Nous présentons aussi notre procédure d'opiimi-

sation de la méthode CIS appliquée aux systèmes OFDM égalisés.

4.1 Introduction

Ce chapitre porte sur I'évaluûtion des performances des systèmes OFDM égalises I t u -

lement à I'aîde des techniques de simulation CIS et MC. La méthode de simulation CIS est une

version modifiée de la technique Monte Carlo. qui permet de réduire les temps de simuliiti~m

sans affecter la précision de l'estimation. Nous avons utilisé la technique MC dans bur de \ i n -

fier et valider les résultats obtenus par la simulation CIS.

Pour assurer une évaluation plus éloquente. nous avons procédé 5 la simulation dc plu-

sieurs types de canaux. En plus. nous nous sommes intéressés à l'étude du componcment du

système avec deux modulütions différentes. le QAM- 16 et le QPSK.

Le niveau de confiance que nous cherchons à atteindre par nos simulations est de I'ordrc

de 95%. Dans ce sens et à titre d'exemple. l'estimation d'une probabilité d'erreur binaire de I'or- 8

dre de IO-^ . par la méthode MC. nécessi te 10 obsenlations. Le nombre d'observations est sen-

siblement réduit par l'utilisation de méthode CIS. La technique d'optimisation du nombre dc

points nécessaires pour la simulation CIS sera présentée dans ce chapitre.

4.2 Description du modèle de simulation

Les systèmes OFDM égalisés simulés sont i 5 11 sous-porteuses et ils sont modulés en

QAM- 16 ou QPSK. Le schéma de principe de ces systèmes est donné par Iÿ figure 4.1.

Nous signalons que le convertisseur séridpitr;illèle. figurint 5 la sortie du moduliircur.

permet de transformer le Rot série de données en 512 Rots parallèles ;ifin de procéder i la FFT.

Les paramètres des systèmes OFDM simulis sonr résumés dans le tableau 4.1.

/ Nombre de sous porteuses I 512 I 1 Ordre de la FFT 1 512 1 1 Durée utile d*un symbole

/ Débit binaire 1 20 Mbits/s

/ Durée de I* interval le de garde

1 Fréquence d'éc hanti Ilonnage 1 40 Mbits/s

16 ps

S'agissant de Iri technique de simulation CIS. nous notons que celle-ci prend pllice aprh

I'entr~inernent du systeme. Pour égaliser un canal donné, nous entraînons le système une seulr.

fois et ce avant la transmission des données utiles. Durant Irt tr~nsmission des tr;tmes d'entrai-

nement (régime transitoire). nous ne comptons pas les erreurs. ;\ la fin du régime trrinsitoirc..

nous estimons les coefficients du canal et nous comgeons les signaux reçus. C'est i ce moment

que la simulation CIS (décompte des erreurs) commence.

Nous notons enfin que les simulütions sont réalisées ii l'aide des logiciels SPW "Signal

Pmcessing Worksystern" et Matlitb.

I '1 CANAL 1-

1.3 Optimisation de la technique CIS

L optimisation des paramètres de CIS est la composante principale pour Iippl ic.21 ion

de cette technique. En effet. un choix adéquat du paramètre u (ficteur amplificateur de Iü \a-

riance du bruit) est absolument nécessaire pour garantir une estimation rapide et précise [?O].

Dans cette section. nous présentons la méthodologie que nous avons développée pour

assurer un meilleur choix du paramètre a. Etant donnée la complexité des systèmes simulés. la

détermination de la valeuroptimale de a est délicate. La méthodologie que nous allons dérailler

permet de calculer une valeur sub-optimale de a . L'efficacité de la méthode CIS. appliquke en

utilisant une valeur sub-optimale de a . a été expérimentalement vérifiée. En effet. les résuIrlits

de cette technique sont similaires à ceux obtenus par II technique MC.

Nous allons supposer que le signal OFDM est transmis à travers un canal a w mCrnoirc

de triille L . Notons { g l } . 1 = O. .... L - l . la séquence i tpaleurs complexes de la réponse lm-

plusionnrlle du crinal et G( . ) sa réponse fréquentidle.

Comme on vient de le voir dans le chapitre 3. si nous utilisons un intervalle de y r d e de

durée supérieure 5 celle de l'étendue de la réponse implusionnelle du canal. nous pou\ons ab-

sorber l'effet des trajets multiples. Ainsi. si le nombre de sous-poneuses .V est C l t x t . nous p ~ w -

vons écnre I'Crat de Iü sous-porteuse d'indice k comme suit:

où 11,. , est un à I t i fréquence

y,. I = k . ~ % A + I l , . A O 5 k l . V - 1 14.1 J

7

bruit blanc güussien de moyenne nulle et de variance a- et ilL est I'iittinuation

f , donné par:

avec T, la durée d'un symbole OFDM.

Par conséquent. le symbole OFDM reçu. donné par (4.1 ). est libre des intertzrences en-

tre symboles et la condition d'onhogonalité des sous-porteuses est maintenue. L'effet du canal

se réduit ainsi à une atténuation d'amplitude et une rotation de phase des signaux émis sur cha-

cune des fréquences f p . De ce fait. nous pouvons appliquer la méthode CIS en supposant que

le canal est sans mémoire.

Si nous notons hi, la valeur estimée de 11,. , . le signal égalisi reçu sera donné par:

l 7 ou i,. est un bruit blanc gûussien de moyenne nulle et de variance a: = - ,O-.

Ihl- Amvant 6 ce stade. nous pouvons nous inspirer des méthodes de ciilcul de u,, , ,~. dé\ e-

loppées au chapitre 2 . pour optimiser la méthode CIS.

Dans le cas où le système OFDM est modulé en QPSK. nous montrons. par analogie

aux résultats obtenus ultérieurement. qu'une valeur sub-optimale de a peut s'écrire sous la for-

me suivante:

Dans le cas ou le système OFDM est modulé en QAM-16. 13 valeur oprimlile du bruit *

biaisé est solution de l'équation (da;.,+ (da.). Nous montrons que cette u l ru r est:

avec .-\ = d min,l, , ( ~ e [ h ~ . ; I I , ] ; 1rn[hk, II, j ) et 2d Iii distance entre deus points consc'cutiis

dans Io même direction de la constellation QAM- 16.

Apres avoir présenté le modèle de simulation et la méthodologie d'optimisation de Iri

technique CIS. nous allons passer i l'exposition des résultats obtenus.

1.4 Performances dans des canaux MMDS

4.4.1 Description des canaux MMDS

Le système de diffusion de canaux multiples p u micro-ondes (iMicrouwe Mul tipoi ni

Distri bution S ystem. M i s ) est un moyen de diffusion de données par micro-ondes ou h y r -

fréquences. Il sen à desservir des petites localités. qui ne disposent pas des moyens d' in\ estir

dans de coûteux équipements ciiblés. tout en offrant des services identiques B ceux du cible de

trmsmission (réception de chaînes de t&ivision numériques. accès à haut débit aux réseaux in-

remet. etc.). Les débits des systèmes MMDS peuvent atteindre les quelques Mbits/s.

Nous distinguons deus modèles différents de canaux .MMDS [5 1 1. Ils sont m i s . dans

[j 11. par FI er Pl et ils représentent respeciivement des environnements de propri, wlon a\ r'c'

récepteurs fines et mobiles.

Le canal F1 est déçnt par un modèle de Rice dont la réponse impulsionnelle est:

avec p, l'atténuation de la composante en ligne de vue. L le nombre de trajets et p, . 0 . ei s + .

sont respectivement I'ritténuaiton. Iü rotation de phase et le délai du trijet d'indice 1 .

On définit. dans l.i 11. un hcteur K dit de Rice comme suit:

Dans nos simulat~ons. nous allons fixer le facteur de Rice à K = 10 dB . ce qui implique:

Le canal P 1 est décrit par un modèle de Rayleigh. Sa réponse impulsionnel Ir est:

Les parmétres p, . Bi et r, des canaux Pl et FI sont listés dans l'annexe A.

4.43 Performances des systèmes OFDAI égalisés modulés en QPSK

4.4.2.1 Performances dans le canal Pl

La figure 4.2 montre les performances d'un système OFDM (égalisé et non égalisi) mu-

dulé en QPSK et ce en terme de taux d'erreur binaire (TEB) versus le rappon signal B bruit.

Nous présentons sur cette figure quatre situations différentes. La première montre les perfor-

mances dans un canal AWGN. II s'agit d'une courbe théorique qui sert comme référence. Les

trois autres situations sont relatives i la transmission via le canal MMDS (Pl). Dans ces cas.

nous examinons d'abord le comportement du système non égalisé. ensuite celui du système @a-

lisé avec une seule trame d'entrainement (i7 = l ) . enîin nous analysons les performances du

système égalisé avec deux trames d'entraînement ( i. = 2 ) .

Nous remarquons que les performances du système non égalisé sont médiocres. Képri-

lisation du canal. par une seule trame d'entrdinement. permet une améliorrition signiriciime des

performances. Toutefois. la courbe y référant présente un plateau à un TEB de l'ordre de -4

2 x 10 . Cette valeur constitue une borne inférieure du TEB estimé. Cn rel phénomhe é j t dû

aux interférences résiduelles irréductibles entre symboles. Sous parlons dans ce cas d ' é g h a -

tion partielle. Le plateau disparaît totalement avec l'utilisation de deux trames d'entraînement.

L'amdiorarion des performances est netremrnt plus tangible dans ce cas. En effet. le gain obtenu 4 par nppon i l'égalisation pünielle est de S dB pour un TEB de l'ordre de 2 x 10 .

Nous notons que le système égalisé par deux trames a été simulé par les deux techniques

CIS et .MC. Bien que la simulation CIS a été fiite par LOO0 obsenations seulement. les courhrs

oénérées par MC et CIS sonr semblables. b

En comparant les performances du système égalisé par deux trames n e c celles relliti\

au canal AWGS. nous remarquons que ces dernières sont meilleures. Par exemple. pour un TEB de lo4 . nous notons une différence de 15 dB. Cette différence est due au fair que bien qudles

soient étroites. les bandes de fréquences des sousîanaux occupent comme même une certaine

largeur. Les largeun de bande des sous canaux sont inversement proportionnelles au nombre de

sous-porteuses. Nous montrons à la fin de ce chapitre que plus le nombre de sous-porteuses aup-

mente. meilleures sont les performances.

F sans égalisation

1 O-'

r t \ \ \ égalisation (i* = I ) i

10- I

O 5 10 15 20 25 30 35 JO

EbLh [dB]

Cne approche. souvent utilisée pour étudier le comportement des systèmes des sommu-

nications en présence des interfërences entre-symboles. est l'examen du diapmrne de I'oei l ou

de la constellation de la modulation. La figure 1.3 monire les constellations du système OFDM simulé vues au récepteur et ce pour un rapport signal sur bruit autour de 15 dB.

La figure (a) correspond au système non égalisé. alors que la figure (b) est r e b t i w au

sysreme égalisé par deux trames de référence. Nous voyons qu'avec un entraînement. relatiw-

ment court. la constellation du système égalisé est compl&ement lisible. Dans ce cas. les quarrc.

symboles QPSK sont parfaitement isolés les uns des autres.

4 . 4 . . Performances dans le canal FI

La figure 4.4 montre les performances d'un système OFDM modult en QPSK dans un

canal MMDS 3 récepteur fixe (FI I.

Fortement médiocres en absence d'égalisation. les performances du système sont esrrè-

mement améliorées @ce à I'egaliscition locale. l'amélioration étant plus importante quand Ir nombre de trames d'entrriinement i* passe de 1 B 2 . En effet. le plateau tigur~nr dans Iü courbe

relative au cas it = 1 s'est éclipsé quand i* = 2 . Dans ce dernier cas. nous wons pu atteindre 9

un TEB de l'ordre de 5 x IO-' pour un nppon signal sur bruit autour de 30 dB.

En comparaison avec les performances relatives au canal (PI ). nous remarquons que les

résultats conespondant au canal (FI) sont meilleurs. En effet. nous enregistrons une differencr

de 3 dB pour un TEB de IO-^ en faveur des performances dans le canal (F 1 ).

sans égalisation

égalisation ( 1. = 1 )

- L

kgrilisarion ( 1- = 11 i I

+ : sirnuiimon CIS 70' :

O 5 1 O 15 20 25 30 35 JO

Ebhb (dB]

Les constellations du système simulC dans le canal (FI 1. pour un rapport signal i bruit

de 25 dB. sont données à In figure 4.5. La constellation des signaux non Cgdisés a I;i furmc d'un

nuage de poinr. Alors que celle de la figure (b) relative au système égalisC est sompIi.rrmrinr

ouverte.

4.4.3 Performances des systèmes OFDM égiilisés modulés en Q.4 11- 16

4.4,3.1 Performances dans le canal P l

Les résultats de la simulation du système OFDM en modulation QAM- 16 dans Ie canal

MMDS (P 1 sont illustrés sur la figure 4.6. Comme dans le cas de la modulation QPS K. une

égalisation locale. avec une coune période d'entraînement de durée de deux symholrs OFDM.

nous a permis d'améliorer considérablement les performances du système simulé. Par ailleurs.

l'utilisation d'une seul tnme de référence ne permet pas de descendre au dessous de la borne

d'un TEB de l'ordre de 1 0 ~ .

Nous constatons que les performances du système modulé en QPSK sont rnrillcurrs que

celles du système modulé en QAM-16. Pour un TEB de 1 0 ~ . le gain du QPSK par rqpon tiu

QAM-16 est de 5 dB.

Les résultats issus des simulations MC et CIS sont pratiquement semblables. Ceci nous

amène i confirmer l'avantage de la technique CIS qui nous a permis d'estimer de faibles TEB

par 1000 observations seulement. La réduction des temps de calcul. par IDutilis;ition de CIS. csr

i mponante.

IO-$' O 5 1 O 15 20 25 3 0

EbLVo [dB]

La constellation du signal non égalisé. illustrée par la fisure 4.7 (a) . consiste en un nuil-

se de point. Après égalisation. Iü forme de la constellation QAM-16 devient lisible comme Ir C

montre la figure 4.7 (b). Nous notons que les deux constellations sont données pour un nippon

signal sur bruit de 25 dB.

4.4.32 Performances dans le canal FI

Les courbes de la figure 4.8 montrent les performances du système OFDbl. muduli en

Q.441- 16. avec et sans égalisation locale. Certe dernière. en dépii de sa simplicitC. nous ii prrmi'

de compr le signal reçu. titre d'exemple, pour un rÿppon signal sur bniit de ?O dB. le TEB i

du système non égalisé est de l'ordre de S x IO-- . celui du sysreme entrainé par une seule m m r

est 3 x 10-'. quant i celui du système égalisé par deux irmes de référence. i l est C y d i

3 x 10-‘ . t. Pour le cas où le nombre de trames d'entraînement est t v = 1 . I egdislirion est paniellc.

En bit. la courbe relative B ce scénario présente un plateau. Le TEB estimé possède une home

inférieure de l'ordre de 1 O-' .

Nous remarquons que les performances. en terme de taux d'erreur binaire. du s!sti.rnc

modulé en QPSK sont meilleures que celles obtenues par la modulation QAM- 16.

T O - : ~ O 5 10 15 20 25 30

Eb/No [dB]

La tigure 4.9 présente les conste1l;itioris du signai 0FD.M modult en Q.411- 16 ei trcins-

mis 3. travers le canal (FI 1. Comme le montre la figure 4.9 (b). c'est grjcr i I'Çgrilismon quc

nous pouvons distinguer les 16 symboles de la constellation QAM-16.

4.4.4 Estimation du canal: erreur quadratique moyenne

Düns cette section. nous nous intéressons i I 'erreur qucidratiqus mo! rnnr rclm\ r 3 I'c.3-

tirnation des coefficients du canal MMDS (P 1 1. La îigure 4.10 presrnte les vdeurs des EQM en

fonction du nppon signal B bruit. Les courbes correspondent au cas où le systémr est entraîne

par deux trames de référence. La courbe (a) montre les résultats obtenus pour un s>stime mo-

dulé en QPSK. Les résultats relarifs a Iü modulation QXM-16 sont illustrés par 13 courbe i h i.

Nous remarquons que l'erreur est moins importante quand le système est rnodult' en

QAM- 16. Nous pouvons généraliser cette constatation pour affirmer que l'erreur quadr~tiqur

moyenne diminue quand le nombre de symboles de la modulation augmente ( le nombre de bits

par symbole de modulation augmente).

Nous constatons aussi que EQM est inversement proportionnelle au rdppon s i p i ;i

bruit. Pour un rapport de 25 dB. l'erreur moyenne est de l'ordre de 3 x loJ dans le cas Liu

QAM- 16. et de l'ordre de 6 x IO-' dans le cas du QPSK. Avec d'aussi faibles valeurs de I0errrur

quadriitique. nous pouvons conclure qui est possible d'égaliser parfaitement un s!,st?rnr

OFDM avec de courtes périodes d'entrainement .

Nous pouvons remarquer que pour des rapports signaux i bruit faibles. I'écan enm les

valeun des EQM théoriques et simulées se creuse un peu. Cela provient de la grmde énergie du

bruit qui empêche I'égaliseur de converger vers la solution théorique attendue.

1 O.&! I

O 5 1 O 15 20 2 5

Ebfio [dB]

Pour examiner l'influence du nombre de mmes de référence sur I*erreur qu~draiiquc

moyenne. considérons les courbes de Iri figure 4.1 1. Cette dernière montre Iri uÿnation de I'EQM

en fonction du nombre de trames d'entraînement et ce pour un nppon signal à bruit de 25 dB.

Le canal estimé est celui MMDS (P l ) et le système observé est modulé en QAM-16. Sous ic-

nons à signaler qu'il s'agit d'une courbe rhéonque issue de l'équation (3.43).

LI est évident que EQM est inversement proportionnelle au nombre de trames Je rc'ia-

rence. Toutefois. nous remarquons que les courbes de t r i figure 4.1 1 présentent une hume inf i -

neure. Ainsi. l'augmentation démesurée du nombre de trames de référence. ralentit Iri primhiurr

d'é=alisation sans gain réel en terme de I'EQM. II est donc nécessaire d'établir un compromis

entre précision de I 'esii mat ion et ripidi té de convergence de l'égtili seur.

4.5 Performances dans le canal radio à l'intérieur des édifices

4.5.1 Description du canal

Les canaux radio à l'intérieur des édifices opèrent aux bandes de fréquences CHF. mi-

cro-ondes ou millimétriques. Le choix de ces fréquences est motivé par la disponibilité de large

bande dans leur spectre et la flexibilité conférée par des configurarions micro ou pico-cellulltires

possibles à ces fréquences [54. Cependant. les signaux transmis sont cibles à des dégradations

dues aux réflexions multiples et à la diffraction aux fréquences milliméiriques. En effet. le canal

radio d'inténeur est à trdjets multiples dont chaque parcours est carÿctécisé par son amplitude

p, . sa roration de phase 0, et son délai de propagation s, [U]. [ 5 ? ] . Le canal peut étre alors

décrit comme un fi ltre linéaire variant dans le temps de réponse impulsionnelle donnée par:

où L est le nombre aléatoire de trijets.

Suite aux mesures effectuées sur des canaux ridio pour I'inreneur. on suggérè dans [i-l].

[53 1. [Fi] que l'amplitude p, soit une \anable aléatoire suivant II distn bution de Ra! Ie~gh. que

la phase 8, soit uniformément distn buée sur [O. 2x1 et que les temps d ' ami i e s, formm un

processus de Poisson de moyenne jb. La constante À peut être interprétgr comme le nombre

moyen de trqets par seconde.

Pour quantifier les spécificités d'un canal radio i I'intérieur des Cdifices. on dCtinii [56 1 les paramètres t et aT somme étant le moment du premier ordre et l'km-type de la puiwncc

du profil de délai:

Le panmètre a, est appelé vdeur quadratique moyenne du pro fi 1 de délai ou encore Iri de\ iliiion

standard des retards.

Nous trouvons dans la littérature [53]. [j-l]. [55] deux propositions de profils de retards

pour évaluer les performances des canaux ii l'intérieur des édifices. à savoir les fonctions uni-

formes et celles en exponentielle décroissante. Cependant. l'hypothèse d'uniformité est rm-

ment remplie. De ce fait, nous optons dans nos simulations pour le modèle exponenriel s u i u n i :

La distribution de Rayleigh définissant les statistiques des amplitudes { p, } est donner.

dans [ 5 J] par:

- 7

Quant aux coefficients p; . ils sont déterminés i partir du profil de délai. conformément ri I*Pqu;i-

tion suiun te:

4.5.2 Particularité de la procédure de simulation

Les canaux ridio dans les édifices soni aléatoires et variables dans le temps. II est alors

indispensable de tenir compte de ces criractéristiques lors de Iii simulation des sysii?mrs de c m -

munications dans ce genre de cenaus.

La première itape de notre procédure de simulation des sysrèrnes OFDM dans les i;i-

nrtux radio pour l'intérieur est la génération aléatoire d'un ensemble de canaux selon le modZlr

dCcrit dans 45.1. Pour ce faire. i l est nécessaire et suffisant de définir le paramètre j. (nornhrr.

moyen de trajets par seconde) et la fonction du profil de délai. Une fois l'ensemble des canaux

aenéré. nous passons B évaluer les performances. en terne de TEB. dans chaque canal. Le TEE3 C

moyen que nous cherchons B estimer est alors Ia moyenne de tous les TEB estimés independam-

ment les uns des autres.

Comme les canaux radio pour l'intérieur sont variables. il est primordial d'accélérer In

procédure d'égalisation. Nous avons donc opté pour un entraînement rapide des systernes simu-

lés. Dans cette optique. pour un canal donné. nous entraînons le système une seule fois a w c

deux trames de référence et ce. avant la tr~nsrnission des données utiIes.

Afin de garantir une bonne précision sur l'estimation du TEB. i l est important de aimu-

ler un grand nombre de canaux. Pour ceci. nous avons procédC B la simulation de 1000 unau?;

différents. Nous signalons, à ce stade. qu'une telle méthode est priaiquemeni impossitrie sans

I'utilisation de technique rapide de simulation telle que CIS. En effet. la répétition 1000 iois

d'une simulation sussi lente que celle de MC s'avère très affreuse.

4.5.3 Performances du système OFDM modulé en QPSK

4.5.3.1 Performances du système avant égalisation

La figure 4.12 montre les performances du système OFDM non égalisé et modulé en

QPSK pour un débit binaire oomalisé R,a, = 1 . Ce dernier correspond à une valeur qudrii-

tique moyenne typique du profil de délai [53] a, = 50 ns et i un débit binaire

R,, = 20 MbiVs. Les performances sont évaluées, h l'aide de la technique de simulaiion CIS.

pour différentes valeurs pritiques de i..

%us remarquons que les perfomiiinces sont les mêmes pour Ln, = 1 et ;.o. = 10.

Ceci est conforme au résultat énoncé dans [ 5 3 ] qui iiffirne que lorsque le taux d'arn\Cr i. JC-

passe un certain seuil. les performances sont pratiquement invariables.

Nous constatons aussi que les pert'omances sont meilleures pour les hibles u l c u r ~ Ife

i, . Ce résultat est Cvident puisque le nombre des Cchos diminue quand À décroît. Touieto~b. le'

ciiffirenies courbes de la fisure 4.12 présentent un plareau dû aux interférences entre-s! rnhiilr.~.

4.5.3.2 Performances du système égalisé

Les performances du système OFDM Çgalisé et modulé en QPSK soni iilustrkrs i Iti i i -

gure 4.13. Elles sont données pour un débit binaire normalisé R b q = 1 et ditkentes uleurs

de taux d'mivée A.

Grice à I'égalisation. les plateaux de la figure 4.11 disparaissent totalemenr bien que Iri

période d'entraînement soit de courte durée. L'amélioration des performances esr considéntrlc. 4 titre d'exemple. dans le cas OU ho, = 0.1 . le gain 3. un TEB de 10 est de >O dB. Sous oh-

servons que tout comme dans le cas où le système est non égalisé. les perfomirincr.~ wnr

meilleures quand le facteur ha, décroit. En regard de cela. j. panir d'un certain seuil du para-

mètre Ào, . les performances demeurent quasimenr les mêmes.

Pour mieux visualiser l'apport de I'égalisrition. considérons la figure 4.14. Ccm derni&

re monire les constellations des signaux reps rivant et après I'égaliwtion et ce pour un nppon

signal i bnii t de 25 dB et Ào, = 0.1 . En dépit de la courte période d'entrainement. nous w y n z

que 13 constellation du signal égalisé est complètement ouverte.

4 4 Performances de système OFDM modulé en QAM-16

Dans serre section nous allons exposer les résultats des expériences etfectuCrs 3 \ ~ i un

système OFDM modulé en QAM- 16. Les conditions de transmission sont identiques 1 cellcs Je

13 secrion 45.3. soit un écart-type de la puissance du profil ar = 50 ns et un debit hinairc

Rb = 20 Wbit/s.

4.5.4.1 Performances du système avant égalisation

La figure 4.15 montre les performances du s~stème OmM non dganlisé pour di\ ers tau\

d'amvée h . II est clair que le système est fortement perturbé par les interf6rences entres! mbo-

les. Ces penurbarions sont plus imponantes quand le nombre de trajets augmenre. Nous nom,

aussi que les performances sont pratiquement les mèmes pour ho, = 1 et Aa, = 10.

En comparant les performances du système modulé en QAM- 16 avec celles du s! sti.mc.

en QPSK. nous voyons que ces dernières sont meilleures.

4.5.4.2 Performances du système égalisé

10-0 1 b

F

L'égalisation du système par deux trames de référence nous à permis de cornprr les ri- fers du canal. Comme le montrent les courbes de la figure 4.16. les performances du s> sii.rnc

r

10- 1 O 5 1 O 15 20 25 30 35

Eb/No [dB ]

+: . = 0.1

sont nettement améliorées après I'égdisation. Nous avons pu enregistré un TEB très tu hle. dc

w

t'ordre de IO-'. pour un nppon signal i bruit de 35 dB et Àa, = 0.1 . Alors que pour Ic s! s-

tème non égalisé. le TEB présente une borne inférieure de l'ordre de IO-'. Les courbes de Iri

figure 4.16 montrent que lorsque le taux d'amvée des trajets augrnenre. les performances se d i -

_mdent. Pu ailleurs. les performances sont presque les mêmes pour ha, = 1 et Àa: = 10.

Ainsi. nous concluons qu'i partir d'un certain seuil. l'augmenration du nombre de trajets influe

peu sur les performances.

La figure 4.17 met en Cudence I'efficricité de la technique d'igaliwtion losalc. Elle

nous montre les constellations du s~stème a\ant et après l'é_galisntion. Les consirllrition~ cor-

respondent au cas où le rapport signal ù bruit est de 25 dB et Àa, = 0.1 . Sous sonsiritons

qu'après l'égalisation. les 16 symboles de la constellation QAM- 16 sont prirthement isolr'a I c b

uns des autres et ce malgré la courte durée de l'entraînement.

4 . . Estimation du canal: erreur quadratique moyenne

L'erreur quadratique moynne. relative 1 I'estimation des coefficients des canaux airnu-

lis. csr illusrrée par figure 4.18. Pour une u l eu r donnée du rdppon signal à bruit. I'EQSI est Iri

rnoynne des 1000 erreurs quadntiques moyennes calculées pour chacun des LOO0 u n a u \ si-

mulés.

En dépit de la coune durée de I'entwinemeni. nous remarquons que I'EQM est t';iitilc

pour les petites valeurs du rapport signal à bruit. Pour un rappon de 35 dB. I'EQM u u t 10'' si

le système est en QAM- 16 et elle est de l'ordre de 1 x IO-' si le système est en QPSK. Toute-

fois, comme le canal radio pour l'intérieur est variant dans le temps. i l est nécessaire d'enminrr

le système périodiquement. II est à noter que dans le cas où le système est modulé en Q.\'rl- 16.

l'erreur quadratique moyenne est plus petite que celle du système en QPSK.

4.6 Effet du nombre de sous-porteuses sur les performances

Dans le but d'C~aIuer l'impact du nombre de sous-porteuses N sur Irs pcrt'ormmcc.~ de

l'égalisation locale. nous avons répété quelques une des simulations précédemment p r i s r n i w ~

et ce avec N = 1024 et N = 64. Les simulations ont été réalisées. ii l'aide de CIS. dans le cii-

niil 1VMDS avec récepteur mobile (Pl et dans les canaux radio pour l'intineur (pour

no, = 0.1 1. Les systèmes simulés sont entraînes par deux trames de référence et ils sont mo-

dulés en QAM-16.

La figure 4.19 illustre les performances du système OFDM égalisé dans le canal MMDS

(P 1 ) en fonction du nombre de sous-porteuses. Nous observons que plus le nombre .Y est prmri.

meilleures sont les perfonnmces. En augmentant le nombre de sous-porteuses de 64 i 1024. T

nous notons un gain de 8 dB. pour un TEB de [O-'.

T O - ~ ; 5 I

? O 15 20 2 5 30

EbhVc, [dB ]

La tiaure 4.20 contirne encore une fois que lorsque le nombre de sous-ponruscs dimi-

nue. I'rfficacitC de l'égalisation locale se réduit. Cette figure présente les perfomrinccs du s! h-

tèmr OFDM égalisé düns les canaux ridio pour I'inténeur 1 un taun normalisé d'rirnwr de

trajets ibot = 0.1 . Nous remarquons que pour .V = 64 . I'égalisa~ion est panielle. Ceci csr dû

aux inierférences irréductibles entre symboles q u i demeurent düns le système. Ces inrrrfirenczs

irréductibles sont ii l'origtne des écarts entre les perfromances des systèmes OFDM 6galisc.s ct

celles relatives au cas du canal AWGN.

Les résultats des figures 4.19 et 1.20 sont prévisibles. En effet. quand le nombre Je

sous-porteuses décroît. les sous-canaux sont alors à largeur de bande moins étroite et leur cor-

rection devient plus complexes.

II est important de signaler que lorsque le nombre de sous poneuses augmente. la durtir d'un symbole OFDM croit et par suite la période d'entninement devient plus irnponrintc. II cn

est de même pour le nombre d'opérations nécessaires 5 1'égdis;ition. Toutefois. le nombre

d'opérations par unité de temps demeure consrant.

10- i, 5 7 O 15 20 25 30 35

Ebfih [dB ]

4.7 Conclusion

Nous avons exposé. tout au long de ce chapitre. les résultars de nos simulations. C r j der-

nières avaient pour but d'étudier le comportement des systèmes OFDM égalisés par la technique

d'égalisation locde présentée au troisième chapitre. Pour ce faire. nous avons considire diila-

rentes conditions de propagation et nous nous sommes intéressés à deux types de modulaiion

(QSPK et QAM-16). Les simulations ont été appliquées aux canaux radio pour I'inréneur ct i

ceux M M D S avec récepteur fixe et récepteur mobile.

Les résultats obtenus montrent I'efficacité de l'égalisation locale. Celle-ci nous a prrmtj d'améliorer les performances d'une manière notabie. En effet. avec de courtes ~r iodcs d'en-

tnînemenr. nous wons pu enregistrer de faibles TEB et ce pour des rapports signal 3 hruii mi-

sonnables. Pour les différentes situations simulées. nous avons constaté que les constell;iiions

des signaux non égalisés sont en forme de nuage de points. Alon qu'après I'Cgalisa~ion. Ics

constellations sont p d a i tement lisibles et les symboles des différentes modulations sonr corn-

plètement isolés les uns des autres. Quant à l'erreur quadratique moyenne de l'estimation deh

coefficients des canaux. nous avons remarqué qu'elle est largement faible pour les petite3 \a-

leurs du nppon signal à bruit.

11 ressort en outre des simuhtions que les performances de l'égalisation locale dcpcn-

dent du nombre de sous-poxteuses. Quand ce dernier augmente I'égalisation est plus efficace.

L'utilisation d'un nombre élevé de sous-porteuses permet de réduire les largeurs de bande des

sous-canaux. Ainsi. la correction des effets du canal est plus aisée.

Nous signalons aussi que les performances des systèmes dans les canaux radio pour

l'intérieur sont dépendantes du taux d'arrivée des tmjets. En effet. quand ce taux augmente. Ir>

performances se dégradent. Néanmoins. les performances demeurent quasi constantes i partir

d'un certain seuil du taux.

Yous tenons i préciser que les résultnts présentés sont obtenus pour un intendle de g3r-

de supérieur i 1'Ctendue des réponses impulsionnelles des canaux simulés.

Notons eniin que nous avons adopté la technique de simulation npide CIS "Conwniw-

nril Importance Sarnpling" pour h l u e r les performances des sy stèrnes étudiés. Cetir teçhn iquc

nous a pennis de réduire cons~dérÿblement les temps de simulation. L'ne procédure dWoprimi.;d-

[ion de CIS appliquée aux systèmes OFDM Cgdisés a éti présentée au début de ce shiipirrr..

CONCLUSION

Les systèmes de transmission OFDM classiques. basés sur la transformée de Founer

discrète en tant que modulateur. utiiisent un intervalle de garde afin de permettre une ég;ilis;ition

peu coûteuse [47]. L'utilisation d'un intervalle de garde de durée supérieure 5 celle de la réponse

impulsionnelle du canal permet d'annuler les interférences entre symboles. Le canal est dors

perçu. dans le domaine fréquentiel en aval du démodulateur. comme un ensemble de, w n s corn-

plexes. un par sous-porteuse [39] . Une des techniques possibles pour remédier aux effets du cd-

na1 est l'égalisation "locde". Le principe de cette égalisation consiste i comger la réponse

fréquentielle du canal 3 chaque fréquence poneuse individuel lement et ce par I'uti lisrit ion de ira-

mes d'entraînement.

L'objecrif de ce travail était d'évaluer les performances des sysrémes de trmsmission

OFDM qui utilisent des égaliseun locaux. Pour quantifier ces performances. nous wons bit re-

court 1 la technique de simulation de LMonte Carlo 1 échantillonnage préférenriel (1rnpon;ince

Sarnpling) [SI. Cette méthode de simulûtion rapide permet de réduire la variance de I'cstimlitcur

sans augmenter les temps de calcul. Ceci est possible par l'amplification artificielle des j i ; i i i j t i - ques du bruit. Pour optimiser les paramètres de la simulation de Monte Carlo i échantilionniigr

préférentiel. nous nous sommes inspirés des procédures publiées dans [23]. [XI. Ces procedu-

res ont été développées pour le cas élémentaire où le système est modulé en BPSK. Nous avons

consacré le deuxième chapitre pour les généraliser aux modulations QPSK. M-PSI; et Q.431- 16.

Les résultats obtenus étaient éloquents, dans la mesure où nous avons pu réduire considér~hk-

ment les temps de calculs. même quand il s'agissait d'estimer de faibles taux d'erreur. Dans le

dernier chapitre. nous avons présenté notre stratégie d'application de la simulation de hionte

Carlo à échantillonnage préférentiel aux systèmes OFDM égalisés. Dons ce cas. 1000 ohsrru-

tions (échantillons) étaient suffisantes pour estimer des faibles taux d'erreur binaire aI1;int jus-

quTi d.

Pour une meilleure évaluation des performances. nous avons procédé à la simulation dc

plusieurs conditions de propagation. Les systèmes OFDM égalisés ont été simulés dans des ca-

naux MMDS (Microwave Multipoint Distribution Systemj 1 récepteur fixe et mobile et dons dr.5

canaux radio pour les édifices. En plus, nous avons utilisé deux modulations. le QPSK ei le

QAM-16. Les résultats des différentes simulations sont présentés au quatrième chapiirc.

L'analyse des résultats obtenus montre bien I'efficocité de l'égalisation locale. Sou,

avons remarqué que l'égalisation par une seule trame d'entraînement (durée d'un s!.mbole

OFDM) permet une amélioration tangible des performances. Cependant, des interférences i rrC-

ductihles entre symbo!es (ES) demeurent dans le système. II s'agit dans ce cas d'une ç p ! ! ~

tion pmielle. Les performances des systèmes entrainés par deux trames de référence sont

considériiblement meilleures. Le gain par rdpport i l'égalisation prinielle peut aller jusqu'i S

dB. Nous avons constaté aussi que les diagrümrnes de l'oeil des signaux Cgalisés sont cornpli-

tement ouverts et ce malgré les courtes durées d'entraînement. Les hi bles erreurs quctdriitiqurs

moyennes estimées témoignent encore une fois de l'efficm té de I'égalisiition.

Nous notons à ce stade que plus le nombre de sous-porteuses est grrind. mrillrurcs sont

les perfomances. titre d'exemple. le gain en performance enregistré par I'îupmrntation du

nombre de sous-poneuses de 64 i 1021 peut dipasser les 8 dB. Ce résultat Ctani pré\ isi h le. dîns

la mesure où l'utilisation d'un nombre élevé de sous-porteuses permet de rédutre les Irirgrurs Jc.

bande des sous-canaux. Ainsi. la correction des effets du canal est plus ciis&.

Dans le cas des canaux radio pour l'intérieur. nous avons remarque que les pc.nOrm;in-

ces se dégradent quand le taux d'amvee des trajets q m e n t e . Toutefois. i partir d'un crnm

seuil du taux. Iri variation des performances devient négligeable.

II est évident que ce travail est loin d'être exhaustif. II ouwe Ia porte i de nombrcujej

perspectives et suscite un ensemble de questionnements. D'une part. la procédure d'opiirnisri-

[ion de CIS appliquée aux systèmes OFDM égalisés. présentée dans ce trivail. pemci d'obrrntr

des valeurs sub-optimales du biais du bruit. Nous pensons qu'il est possible de trouwr cies al-

gorithmes qui permettent d'améliorer l'optimisation. De tels algori thmes peuvent meme 2trc

adaptatifs afin de tenir compte des variations des conditions de transmission.

D'outre part. nous n'avons pas abordé dans ce travail 1'associ;ition d'un schCma de CO-

dage à l'égalisation locale. 11 serait ainsi utile de voir le comportement de I'égdisation combinée

avec les techniques de codage du canal. En effet. l'apport du codage aux systérnes COFlID est

indiscutable 1361.

Il est en outre intéressant d'étudier d'autres structures d'égalisation. Dans ce courant

d'idées, nous envisageons les techniques d'égalisation aveugle [ l ] qui permettent la correction

du canal sans l'utilisation de trames d'entraînement. 11 senit permis dans ce cas d'éliminer I'in-

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[6 11 W. C. Y. Lee. "Mobile Communication Engineering". M~*Gruit~-Hill. N t w Yi~rk. 1982.

ANNEXE

Paramètres des canaux MMDS simulés

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ANALYSE PAR SIMULATIONS MONTE CARLO …...tion de la technique de Monte Carlo à échantillonnage préférentiel appliquée aux sysrérnes OFDM égalisés. Nous simulons ensuite le