Analiza matematic a - curs 3 Serii Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

  • View
    2

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Analiza matematic a - curs 3 Serii Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni...

  • Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

    Analiza matematica - curs 3Serii numerice

    Facultatea de MecanicA

    Universitatea Tehnica Gh. Asachi, Iasi

    2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 3

  • Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

    Serii convergente. Serii divergenteProprietati generale

    Progresii aritmetice. Progresii geometrice

    (xn) este o progresie aritmetica de ratie r daca xn+1 = xn + r ; 8n;(xn) este o progresie geometrica de ratie q daca xn+1 = q xn , 8n.

    Acestor siruri li s-a atasat suma primilor n termeni, Sn . Se arata usor ca

    pentru progresii aritmetice: Sn = x1 + x2 + :::+ xn =x1 +

    (n1)r2

    n;

    pentru progresii aritmetice: Sn = x1 + x2 + :::+ xn = x1 qn1q1 :

    Denitia 1.1

    Fiind dat un sir de numere reale (xn), cuplul format din sirurile (xn) si (Sn), unde

    Sn = x1 + x2 + :::+ xn ; pentru orice n 2 N;

    se numeste serie de termen general (xn). Sirul (Sn) se numeste sirul sumelor partialeasociat sirului (xn).

    2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 3

  • Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

    Serii convergente. Serii divergenteProprietati generale

    Progresii aritmetice. Progresii geometrice

    (xn) este o progresie aritmetica de ratie r daca xn+1 = xn + r ; 8n;(xn) este o progresie geometrica de ratie q daca xn+1 = q xn , 8n.

    Acestor siruri li s-a atasat suma primilor n termeni, Sn . Se arata usor ca

    pentru progresii aritmetice: Sn = x1 + x2 + :::+ xn =x1 +

    (n1)r2

    n;

    pentru progresii aritmetice: Sn = x1 + x2 + :::+ xn = x1 qn1q1 :

    Denitia 1.1

    Fiind dat un sir de numere reale (xn), cuplul format din sirurile (xn) si (Sn), unde

    Sn = x1 + x2 + :::+ xn ; pentru orice n 2 N;

    se numeste serie de termen general (xn). Sirul (Sn) se numeste sirul sumelor partialeasociat sirului (xn).

    2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 3

  • Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

    Serii convergente. Serii divergenteProprietati generale

    Serii convergente. Serii divergente

    Vom nota o serie prin

    Xn2N

    xn sau1Xn=0

    xn , sau x0 + x1 + :::+ xn + ::: sau, simplu,X

    an

    Denitia 1.2

    1. Spunem ca seria1Pn=0xn este convergenta daca sirul sumelor partiale (Sn) asociat lui

    (an) este convergent n R. n acest caz,

    limn!1

    Sn = S

    se numeste suma seriei si o vom nota prinPn2N

    xn sau1Pn=0xn ; sau x0 + x1 + :::+ xn + :::

    n acest caz, notam1Pn=1xn (C ).

    2. Spunem ca seria1Pn=0xn este divergenta daca sirul sumelor partiale, (Sn) ; este

    divergent. n acest caz, notam1Pn=1xn (D).

    2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 3

  • Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

    Serii convergente. Serii divergenteProprietati generale

    Serii convergente. Serii divergente

    Vom nota o serie prin

    Xn2N

    xn sau1Xn=0

    xn , sau x0 + x1 + :::+ xn + ::: sau, simplu,X

    an

    Denitia 1.2

    1. Spunem ca seria1Pn=0xn este convergenta daca sirul sumelor partiale (Sn) asociat lui

    (an) este convergent n R. n acest caz,

    limn!1

    Sn = S

    se numeste suma seriei si o vom nota prinPn2N

    xn sau1Pn=0xn ; sau x0 + x1 + :::+ xn + :::

    n acest caz, notam1Pn=1xn (C ).

    2. Spunem ca seria1Pn=0xn este divergenta daca sirul sumelor partiale, (Sn) ; este

    divergent. n acest caz, notam1Pn=1xn (D).

    2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 3

  • Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

    Serii convergente. Serii divergenteProprietati generale

    Serii convergente. Serii divergente

    Vom nota o serie prin

    Xn2N

    xn sau1Xn=0

    xn , sau x0 + x1 + :::+ xn + ::: sau, simplu,X

    an

    Denitia 1.2

    1. Spunem ca seria1Pn=0xn este convergenta daca sirul sumelor partiale (Sn) asociat lui

    (an) este convergent n R. n acest caz,

    limn!1

    Sn = S

    se numeste suma seriei si o vom nota prinPn2N

    xn sau1Pn=0xn ; sau x0 + x1 + :::+ xn + :::

    n acest caz, notam1Pn=1xn (C ).

    2. Spunem ca seria1Pn=0xn este divergenta daca sirul sumelor partiale, (Sn) ; este

    divergent. n acest caz, notam1Pn=1xn (D).

    2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 3

  • Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

    Serii convergente. Serii divergenteProprietati generale

    Observatii. Seria geometrica

    Observatia 1.3

    1. Prin notatia1Pn=0xn vom ntelege e seria cu termenul general xn , e suma seriei, la

    ce anume se face referire reiesind din context.

    2. Uneori seria nu va indexata de la 0, ci de la un numar natural n0 :1Pn=n0

    xn :

    Convenim sa notam tot prin Sn suma termenilor pna la cel de rang n:Sn = xn0 + :::xn .3. Faptul ca o serie este convergenta sau divergenta l vom numi natura seriei.

    Exemplul 1.4

    Seria1Pn=0aqn poarta numele de serie geometrica (termenul general al seriei provine

    dintr-o serie geometrica n care primul termen are valoare a iar ratia este egala cu q).Aceasta serie este convergenta pentru orice q astfel nct jqj < 1: Suma seriei este, nacest caz,

    1Xn=0

    aqn =a

    1 q:

    2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 3

  • Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

    Serii convergente. Serii divergenteProprietati generale

    Observatii. Seria geometrica

    Observatia 1.3

    1. Prin notatia1Pn=0xn vom ntelege e seria cu termenul general xn , e suma seriei, la

    ce anume se face referire reiesind din context.

    2. Uneori seria nu va indexata de la 0, ci de la un numar natural n0 :1Pn=n0

    xn :

    Convenim sa notam tot prin Sn suma termenilor pna la cel de rang n:Sn = xn0 + :::xn .

    3. Faptul ca o serie este convergenta sau divergenta l vom numi natura seriei.

    Exemplul 1.4

    Seria1Pn=0aqn poarta numele de serie geometrica (termenul general al seriei provine

    dintr-o serie geometrica n care primul termen are valoare a iar ratia este egala cu q).Aceasta serie este convergenta pentru orice q astfel nct jqj < 1: Suma seriei este, nacest caz,

    1Xn=0

    aqn =a

    1 q:

    2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 3

  • Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

    Serii convergente. Serii divergenteProprietati generale

    Observatii. Seria geometrica

    Observatia 1.3

    1. Prin notatia1Pn=0xn vom ntelege e seria cu termenul general xn , e suma seriei, la

    ce anume se face referire reiesind din context.

    2. Uneori seria nu va indexata de la 0, ci de la un numar natural n0 :1Pn=n0

    xn :

    Convenim sa notam tot prin Sn suma termenilor pna la cel de rang n:Sn = xn0 + :::xn .3. Faptul ca o serie este convergenta sau divergenta l vom numi natura seriei.

    Exemplul 1.4

    Seria1Pn=0aqn poarta numele de serie geometrica (termenul general al seriei provine

    dintr-o serie geometrica n care primul termen are valoare a iar ratia este egala cu q).Aceasta serie este convergenta pentru orice q astfel nct jqj < 1: Suma seriei este, nacest caz,

    1Xn=0

    aqn =a

    1 q:

    2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 3

  • Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

    Serii convergente. Serii divergenteProprietati generale

    Observatii. Seria geometrica

    Observatia 1.3

    1. Prin notatia1Pn=0xn vom ntelege e seria cu termenul general xn , e suma seriei, la

    ce anume se face referire reiesind din context.

    2. Uneori seria nu va indexata de la 0, ci de la un numar natural n0 :1Pn=n0

    xn :

    Convenim sa notam tot prin Sn suma termenilor pna la cel de rang n:Sn = xn0 + :::xn .3. Faptul ca o serie este convergenta sau divergenta l vom numi natura seriei.

    Exemplul 1.4

    Seria1Pn=0aqn poarta numele de serie geometrica (termenul general al seriei provine

    dintr-o serie geometrica n care primul termen are valoare a iar ratia este egala cu q).Aceasta serie este convergenta pentru orice q astfel nct jqj < 1: Suma seriei este, nacest caz,

    1Xn=0

    aqn =a

    1 q:

    2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 3

  • Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

    Serii convergente. Serii divergenteProprietati generale

    Serii telescopice

    Exemplul 1.5

    Seria1Pn=1

    1

    n(n + 1)este convergenta. Aceasta pentru ca sirul sumelor partiale este:

    Sn = 1 1

    n + 1;

    iar de aici vedem ca limn!1

    Sn = 1, adica sirul sumelor partiale este convergent.

    Exemplul 1.6

    Ca o generalizare pentru exemplul anterior, daca termenul general al unei serii1Pn=0xn

    poate scris sub formaxn = n n+1; 8n 2 N

    spunem ca seria1Pn=0xn este o serie telescopica. Sn = 1 n si deci seria este

    convergenta daca si numai daca (n) este un sir convergent, caz n care

    1Xn=0

    xn = 1 limn!1

    n .

    2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 3

  • Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

    Serii convergente. Serii divergenteProprietati generale

    Serii telescopice

    Exemplul 1.5

    Seria1Pn=1

    1

    n(n + 1)este convergenta. Aceasta pentru ca sirul sumelor partiale este:

    Sn = 1 1

    n + 1;

    iar de aici vedem ca limn!1

    Sn = 1, adica sirul sumelor partiale este convergent.

    Exemplul 1.6

    Ca o generalizare pentru e