Analiza matematic a - curs 3 Serii Serii numerice Serii cu termeni pozitivi Serii cu termeni oarecare

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Analiza matematica - curs 3Serii numerice

Facultatea de MecanicA

Universitatea Tehnica Gh. Asachi, Iasi

2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 3

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergenteProprietati generale

Progresii aritmetice. Progresii geometrice

(xn) este o progresie aritmetica de ratie r daca xn+1 = xn + r ; 8n;(xn) este o progresie geometrica de ratie q daca xn+1 = q xn , 8n.

Acestor siruri li s-a atasat suma primilor n termeni, Sn . Se arata usor ca

pentru progresii aritmetice: Sn = x1 + x2 + :::+ xn =x1 +

(n1)r2

n;

pentru progresii aritmetice: Sn = x1 + x2 + :::+ xn = x1 qn1q1 :

Denitia 1.1

Fiind dat un sir de numere reale (xn), cuplul format din sirurile (xn) si (Sn), unde

Sn = x1 + x2 + :::+ xn ; pentru orice n 2 N;

se numeste serie de termen general (xn). Sirul (Sn) se numeste sirul sumelor partialeasociat sirului (xn).

2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 3

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergenteProprietati generale

Progresii aritmetice. Progresii geometrice

(xn) este o progresie aritmetica de ratie r daca xn+1 = xn + r ; 8n;(xn) este o progresie geometrica de ratie q daca xn+1 = q xn , 8n.

Acestor siruri li s-a atasat suma primilor n termeni, Sn . Se arata usor ca

pentru progresii aritmetice: Sn = x1 + x2 + :::+ xn =x1 +

(n1)r2

n;

pentru progresii aritmetice: Sn = x1 + x2 + :::+ xn = x1 qn1q1 :

Denitia 1.1

Fiind dat un sir de numere reale (xn), cuplul format din sirurile (xn) si (Sn), unde

Sn = x1 + x2 + :::+ xn ; pentru orice n 2 N;

se numeste serie de termen general (xn). Sirul (Sn) se numeste sirul sumelor partialeasociat sirului (xn).

2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 3

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergenteProprietati generale

Serii convergente. Serii divergente

Vom nota o serie prin

Xn2N

xn sau1Xn=0

xn , sau x0 + x1 + :::+ xn + ::: sau, simplu,X

an

Denitia 1.2

1. Spunem ca seria1Pn=0xn este convergenta daca sirul sumelor partiale (Sn) asociat lui

(an) este convergent n R. n acest caz,

limn!1

Sn = S

se numeste suma seriei si o vom nota prinPn2N

xn sau1Pn=0xn ; sau x0 + x1 + :::+ xn + :::

n acest caz, notam1Pn=1xn (C ).

2. Spunem ca seria1Pn=0xn este divergenta daca sirul sumelor partiale, (Sn) ; este

divergent. n acest caz, notam1Pn=1xn (D).

2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 3

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergenteProprietati generale

Serii convergente. Serii divergente

Vom nota o serie prin

Xn2N

xn sau1Xn=0

xn , sau x0 + x1 + :::+ xn + ::: sau, simplu,X

an

Denitia 1.2

1. Spunem ca seria1Pn=0xn este convergenta daca sirul sumelor partiale (Sn) asociat lui

(an) este convergent n R. n acest caz,

limn!1

Sn = S

se numeste suma seriei si o vom nota prinPn2N

xn sau1Pn=0xn ; sau x0 + x1 + :::+ xn + :::

n acest caz, notam1Pn=1xn (C ).

2. Spunem ca seria1Pn=0xn este divergenta daca sirul sumelor partiale, (Sn) ; este

divergent. n acest caz, notam1Pn=1xn (D).

2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 3

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergenteProprietati generale

Serii convergente. Serii divergente

Vom nota o serie prin

Xn2N

xn sau1Xn=0

xn , sau x0 + x1 + :::+ xn + ::: sau, simplu,X

an

Denitia 1.2

1. Spunem ca seria1Pn=0xn este convergenta daca sirul sumelor partiale (Sn) asociat lui

(an) este convergent n R. n acest caz,

limn!1

Sn = S

se numeste suma seriei si o vom nota prinPn2N

xn sau1Pn=0xn ; sau x0 + x1 + :::+ xn + :::

n acest caz, notam1Pn=1xn (C ).

2. Spunem ca seria1Pn=0xn este divergenta daca sirul sumelor partiale, (Sn) ; este

divergent. n acest caz, notam1Pn=1xn (D).

2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 3

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergenteProprietati generale

Observatii. Seria geometrica

Observatia 1.3

1. Prin notatia1Pn=0xn vom ntelege e seria cu termenul general xn , e suma seriei, la

ce anume se face referire reiesind din context.

2. Uneori seria nu va indexata de la 0, ci de la un numar natural n0 :1Pn=n0

xn :

Convenim sa notam tot prin Sn suma termenilor pna la cel de rang n:Sn = xn0 + :::xn .3. Faptul ca o serie este convergenta sau divergenta l vom numi natura seriei.

Exemplul 1.4

Seria1Pn=0aqn poarta numele de serie geometrica (termenul general al seriei provine

dintr-o serie geometrica n care primul termen are valoare a iar ratia este egala cu q).Aceasta serie este convergenta pentru orice q astfel nct jqj < 1: Suma seriei este, nacest caz,

1Xn=0

aqn =a

1 q:

2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 3

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergenteProprietati generale

Observatii. Seria geometrica

Observatia 1.3

1. Prin notatia1Pn=0xn vom ntelege e seria cu termenul general xn , e suma seriei, la

ce anume se face referire reiesind din context.

2. Uneori seria nu va indexata de la 0, ci de la un numar natural n0 :1Pn=n0

xn :

Convenim sa notam tot prin Sn suma termenilor pna la cel de rang n:Sn = xn0 + :::xn .

3. Faptul ca o serie este convergenta sau divergenta l vom numi natura seriei.

Exemplul 1.4

Seria1Pn=0aqn poarta numele de serie geometrica (termenul general al seriei provine

dintr-o serie geometrica n care primul termen are valoare a iar ratia este egala cu q).Aceasta serie este convergenta pentru orice q astfel nct jqj < 1: Suma seriei este, nacest caz,

1Xn=0

aqn =a

1 q:

2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 3

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergenteProprietati generale

Observatii. Seria geometrica

Observatia 1.3

1. Prin notatia1Pn=0xn vom ntelege e seria cu termenul general xn , e suma seriei, la

ce anume se face referire reiesind din context.

2. Uneori seria nu va indexata de la 0, ci de la un numar natural n0 :1Pn=n0

xn :

Convenim sa notam tot prin Sn suma termenilor pna la cel de rang n:Sn = xn0 + :::xn .3. Faptul ca o serie este convergenta sau divergenta l vom numi natura seriei.

Exemplul 1.4

Seria1Pn=0aqn poarta numele de serie geometrica (termenul general al seriei provine

dintr-o serie geometrica n care primul termen are valoare a iar ratia este egala cu q).Aceasta serie este convergenta pentru orice q astfel nct jqj < 1: Suma seriei este, nacest caz,

1Xn=0

aqn =a

1 q:

2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 3

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergenteProprietati generale

Observatii. Seria geometrica

Observatia 1.3

1. Prin notatia1Pn=0xn vom ntelege e seria cu termenul general xn , e suma seriei, la

ce anume se face referire reiesind din context.

2. Uneori seria nu va indexata de la 0, ci de la un numar natural n0 :1Pn=n0

xn :

Convenim sa notam tot prin Sn suma termenilor pna la cel de rang n:Sn = xn0 + :::xn .3. Faptul ca o serie este convergenta sau divergenta l vom numi natura seriei.

Exemplul 1.4

Seria1Pn=0aqn poarta numele de serie geometrica (termenul general al seriei provine

dintr-o serie geometrica n care primul termen are valoare a iar ratia este egala cu q).Aceasta serie este convergenta pentru orice q astfel nct jqj < 1: Suma seriei este, nacest caz,

1Xn=0

aqn =a

1 q:

2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 3

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergenteProprietati generale

Serii telescopice

Exemplul 1.5

Seria1Pn=1

1

n(n + 1)este convergenta. Aceasta pentru ca sirul sumelor partiale este:

Sn = 1 1

n + 1;

iar de aici vedem ca limn!1

Sn = 1, adica sirul sumelor partiale este convergent.

Exemplul 1.6

Ca o generalizare pentru exemplul anterior, daca termenul general al unei serii1Pn=0xn

poate scris sub formaxn = n n+1; 8n 2 N

spunem ca seria1Pn=0xn este o serie telescopica. Sn = 1 n si deci seria este

convergenta daca si numai daca (n) este un sir convergent, caz n care

1Xn=0

xn = 1 limn!1

n .

2013-2014, Facultatea de Mecanica Analiza matematica - curs 3

Serii numericeSerii cu termeni pozitiviSerii cu termeni oarecare

Serii convergente. Serii divergenteProprietati generale

Serii telescopice

Exemplul 1.5

Seria1Pn=1

1

n(n + 1)este convergenta. Aceasta pentru ca sirul sumelor partiale este:

Sn = 1 1

n + 1;

iar de aici vedem ca limn!1

Sn = 1, adica sirul sumelor partiale este convergent.

Exemplul 1.6

Ca o generalizare pentru e