Analisis de Carteras de Inversion

7/26/2019 Analisis de Carteras de Inversion

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Anlisis de Carteras deAnlisis de Carteras deInversinInversin

Lic. Gabriel de la FuenteLic. Gabriel de la Fuente


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Conceptos matemticos yConceptos matemticos yestadsticos.estadsticos.

Rendimiento o retorno esperado de unRendimiento o retorno esperado de unactivo cualquiera i!activo cualquiera i!"l rendimiento o retorno de una inversin se mide"l rendimiento o retorno de una inversin se midecomo la #anancia o p$rdida de valor e%perimentadacomo la #anancia o p$rdida de valor e%perimentada

en un periodo de tiempo determinado. "l retornoen un periodo de tiempo determinado. "l retornoesperado tiene que ver con las e%pectativas que seesperado tiene que ver con las e%pectativas que setiene &acia el 'uturo( tomando en consideracin lostiene &acia el 'uturo( tomando en consideracin losdistintos escenarios de la economa.distintos escenarios de la economa.

")R")Rii*+*+RRii++ RRitit. p. pitit,onde ")Ri* representa la media o valor esperadodel activo -i- Rit es el rendimiento del activo -i-cuando se produce el evento -t- y pit indica laprobabilidad ocurrencia del rendimiento Rit.


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/arian0a de un activo cualquiera i!/arian0a de un activo cualquiera i!

La varian0a tiene que ver con la incertidumbre quetendr el retorno de una inversin a lo lar#o del tiempo

11)R)Rii* +* + ii11++ ) R ) Ritit22 RRii**11. p. pitit,onde

i1 es la varian0a de un activo cualquiera -i-")R

i* representa la media o valor esperado del activo

-i- Rit es el rendimiento del activo -i- cuando seproduce el evento -t- y pit indica la probabilidadocurrencia del rendimiento Rit.

Coe'iciente de variacin de un activo iCoe'iciente de variacin de un activo i3ide3ide la dispersin de una variable aleatoria relativa ala dispersin de una variable aleatoria relativa a

su valor esperadosu valor esperado!!/)R/)Rii* + /* + /ii++ ii

RRii


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/eamos un e4emplo para aclarar estos conceptos!/eamos un e4emplo para aclarar estos conceptos!

"stado de la 5robabilidad Rendimiento Rendimiento

"conoma de ocurrencia del activo 6 )R6t* del activo 1 )R1t* "%celente 0,3 90 80 7ueno 0,6 75 60 Malo 0,1 40 50

Calculamos primero el rendimiento esperado de cada activo!

Para el activo 1: E(R1)= R1t . p1t E(R1) = 90 x 0,3 + 75 x 0,6 + 40 x 0,1 E(R1) = 76

Para el activo : E(R)= Rt . pt E(R) = 80 x 0,3 + 60 x 0,6 + 50 x 0,1 E(R)= 65

A&ora calculamos la /arian0a de cada activo!

Para el activo 1: 1 = ( R1t ! R1 ). P1t

1 = (90!76) x 0,3 + (75!76) x 0,6 + (40!76) x 0,1 1 = 189

Para el activo : = ( Rt ! R ). Pt

= (80!65) x 0,3 + (60!65) x 0,6 + (50!65) x 0,1 = 105


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Covarian0a entre dos activos i y 4!Covarian0a entre dos activos i y 4!La covarian0a nos indica la manera en que dos activosLa covarian0a nos indica la manera en que dos activosestn correlacionados( es decir nos indica como ser elestn correlacionados( es decir nos indica como ser elcomportamiento de un activo i ante una variacin decomportamiento de un activo i ante una variacin deotro activo 4.otro activo 4.

Cov )RCov )Rii R R44* +* + i4i4++ ) R) Ritit2 R2 Rii*. ) R*. ) R4t4t2 R2 R44* . p* . ptt

,onde!,onde!

Cov )Ri R4* + Cov )R4 Ri*(es decir que i4+ 4i

Cov )Ri Ri* + ii + i1, es decir que la covarianza de unactivo consigo mismo nos das la varianza de dicho

activo.


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Coe'iciente de correlacin LinealCoe'iciente de correlacin Lineal

)R)Rii R R44* +* + i4i4+ Cov )R+ Cov )Rii R R44* +* + i4i4

ii 44 ii 44

"sta medida de correlacin tiene al#unas propiedades quela &acen pre'erida al covarian0a. 5or e4emplo toma valorescomprendidos entre 6 y 26 e%clusivamente.8i i4+ 26 se dice que los rendimientos de los dos activostienen una correlacin per'ecta ne#ativa y si#ni'ica quecuando uno de ellos crece( el otro decrece en la mismaproporcin.8i i4 + 6 se tiene una correlacin per'ecta positiva entre

los rendimientos de los activos( lo que si#ni'ica que alcrecer uno de ellos tambi$n lo &ace el otro en la mismaproporcin.8i i4+ 9 los rendimientos se dicen incorrelacionados( estosi#ni'ica que no e%iste nin#una relacin entre los mismos.


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Cartera de activosCartera de activos

Rendimiento esperado de una carteraRendimiento esperado de una carterao porta'olio!o porta'olio!

")R")R55* +* + ")R")Rii*. :*. :ii,onde ")R5* es el rendimiento esperado de la carterap( ")Ri* rendimiento esperado del activo i( y :irepresenta la proporcin de activo i invertido en lacartera p. ;o est dems aclarar que :i + 6( esdecir que la suma de las proporciones deben seri#ual al 699< de la inversin.,e la 'rmula anterior de puede deducir que( el,e la 'rmula anterior de puede deducir que( elrendimiento esperado de una cartera depende(rendimiento esperado de una cartera depende(e%clusivamente( de los rendimientos esperados dee%clusivamente( de los rendimientos esperados delos ttulos que la componen y de su proporcinlos ttulos que la componen y de su proporcindentro del porta'olio.dentro del porta'olio.


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/arian0a de una cartera o porta'olio!/arian0a de una cartera o porta'olio!

P= "1 , " , ## , "$ x 1

1 ## 1$ x "1 1 ##$ " : : : : %1 % ##% "%

vc

VC:Matriz de Varianza y de Covarianzas: "sta matri0

tiene dos caractersticas especiales! "s cuadrada ) i4+4i* y es sim$trica.

=bservando la 'rmula se puede deducir que la ma#nitud=bservando la 'rmula se puede deducir que la ma#nitudde la varian0a de una cartera est determinadade la varian0a de una cartera est determinada por elpor el

valor de las varian0asvalor de las varian0as y las covarian0asy las covarian0as de los activosde los activosue la com onenue la com onen su ro orcin dentro del orta'olio.su ro orcin dentro del orta'olio.


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>arry 3ar?o@it0 y el nacimiento>arry 3ar?o@it0 y el nacimientode la teora de las carterasde la teora de las carteras

88upuestos preestablecidos!upuestos preestablecidos! "l anlisis se reali0a sobre un solo tipo de activo!

las acciones. Las tasa de rentabilidad &istricas de casi todas las

acciones( cuando se miden en intervalos losu'icientemente pequeos de tiempo( se a4ustanmuc&o a una distribucin ;ormal. Aqu esimportante recalcar que una distribucin ;ormal

puede de'inirse completamente con tan solo dosparmetros la media o rentabilidad esperada y lavarian0a )o la desviacin tpica*.

8i un inversor se encuentra ante dos activos quetienen i#ual ries#o )o varian0a* ele#ir aquel queten#a mayor rentabilidad esperada.

8i un inversor tiene que optar entre dos activos quetienen i#ual rendimiento esperado ele#ir aquel

que ten#a menor ries#o.


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BB+9! Carteras con'ormada por n+9! Carteras con'ormada por naccionesacciones

7

P(%)

Conjunto

factibleA

C

Curba AB:

Frontera Eciente

Curba AC:

Frontera Ineciente

Curba ABC:

Conjunto de mnimorieso o Varianza

RP


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Los inversores que solamente desean ma%imi0ar el

rendimiento esperado optarn invariablemente por'ormar una cartera con un solo titulo( que serprecisamente aquel que posea el m%imorendimiento esperado. )punto 7*

Aquellos inversores que procuren minimi0ar elries#o( independientemente del rendimiento

esperado( necesariamente diversi'icarn suinversin construyendo una cartera con unaparticipacin de todos los ttulos. )punto A*.

Las carteras que se ubican sobre la curva A7 sone'icientes( dado que dominan( en t$rminos deries#o y rendimiento( a todas las dems.

8i el inversor considera simultneamente el ries#oy el rendimiento( entonces no queda caracteri0adoun porta'olio optimo entre todos los e'icientes( amenos que se especi'iquen las pre'erenciassub4etivas del inversor a trav$s de su mapa de

indi'erencia.

Caractersticas 5rincipales!Caractersticas 5rincipales!


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odas las carteras son "'icientes

& La diversi'icacin no va a tener nin#Dn e'ecto( es decir nova a eliminar nin#Dn ries#o( dado que todos los activos se

comportaran como si 'ueran uno solo

BB+6! Carteras con'ormada por n acciones+6! Carteras con'ormada por n acciones

RP

P(%)

7

C


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Caractersticas 5rincipales!Caractersticas 5rincipales! "l punto A( que representa el porta'olio de mnimo ries#o(tiene ries#o i#ual a cero.

La diversi'icacin puede eliminar todo el ries#o de una

cartera.

RP

7

P(%)

A

C

BB+26! Carteras con'ormada por n acciones+26! Carteras con'ormada por n acciones


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CarterasCarterascon'ormada por ncon'ormada por naccionesacciones

RP

7

+ 26

C

+ 9

+ 9(E

+ 6

P(%)


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Ries#o sistemtico y no sistemticoRies#o sistemtico y no sistemticoRies#o otal + Ries#o 8istemtico Ries#o ;o 8istemtico.Ries#o otal + Ries#o 8istemtico Ries#o ;o 8istemtico.

"l ries#o ;o 8istemtico"l ries#o ;o 8istemtico! es aquella parte del ries#o total que nose relaciona en sus movimientos con el porta'olio del mercado y(por tanto( puede ser eliminado por medio de la diversi'icacin.

"l ries#o 8istemtico!"l ries#o 8istemtico! que a'ecta( de al#una manera( a todos losactivos del mercado. "l ries#o 8istemtico sera( entonces(aquella parte del ries#o total de una inversin que se mueve enrelacin directa con el porta'olio del 3ercado y( por

consi#uiente( no puede ser eliminado por medio de ladiversi'icacin.

!ieso

"istem#tico

!ieso $o

"istem#tico

P

ij% Covarianza medi

de la cartera

Nmero deTtulos


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eora de la decisineora de la decisin

La teora de la decisin estudia el comportamiento de

los inversionistas considerando sus actitudes 'rente al

ries#o.

8e identi'ican tres posibles

actitudes( a saber!

5ropensos al ries#o5ropensos al ries#o.. Indi'erentes al ries#oIndi'erentes al ries#o.. Adversos al ries#oAdversos al ries#o..

RP

P(')

& "l inversionista con aversin al ries#o le ser indi'erente seleccionar el punto 5(con rendimiento ba4o y ries#o nulo( que los puntos o R con rendimientos yries#os ms altos.& 8i el ,ecididor 'uera indi'erente al ries#o( su 'amilia de curvas de indi'erencia

seran como las lneas &ori0ontales del #r'ico anterior( siendo pre'erido el punto Ral 5( y al ( por tener un rendimiento ms alto( cualquiera 'uera el ries#o.& 5ara obtener una utilidad o rendimiento esperado mayor( el decididor se mover

a otra curva de indi'erencia ms alta. "n el #r'ico la curva I le brinda alinversionista mayor utilidad que la curva II ( y esta( que la III.

&

'

!

Aumento de

(tilidadII

III

I


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8eleccin de la cartera optima8eleccin de la cartera optimade inversin.de inversin.

Los porta'olios ptimos son 5( 5H( y 5- para tres inversores distintos)varan sus mapas de indi'erencia* que se en'rentan a la misma

'rontera e'iciente.

RP R

P R

P

"stamos en condiciones de estudiar el comportamiento del decididor y el

ob4eto de eleccin en 'orma con4unta. "sto si#ni'ica que( &abiendo uncon4unto de oportunidades de inversin y un mapa de indi'erencia( eldecididor ele#ir aquella cartera que sur4a de la interseccin de la 'ronterae'iciente y su curvas de indi'erencias.

P

P

P

P

PP'


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La lnea de mercado de capitales )L3C*La lnea de mercado de capitales )L3C*"n equilibrio todos los inversionistas con aversin al ries#o ele#irnaquella alternativa que les brinde una combinacin optima entre

inversiones libres de ries#os )R'* y una cartera 'ormada con activoscon ries#o )3*.Cartera optima o cartera de mercado )3* ! es el punto de tan#enciacon el con4unto de carteras e'icientes( es decir que( o'rece la mayor

prima por ries#o esperada por unidad de desviacin tpica.,e la unin de estos dos puntos( o sea la tasa libre de ries#os R ' y lacartera 3( se obtiene lo que se denomina la Lnea de 3ercado deLnea de 3ercado de

Capitales )L3C*.Capitales )L3C*.

!!))% * !% * !MM+ !+ !ff,, --)). !. !ff

MM

RP

P

M

&restamista

&restatario

Rf


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8i el inversionista A )curvas 6 a *( solo pudiera invertir en activos con

ries#o( tendra a -d- como la me4or cartera de inversin disponible. 5ero(dada la e%istencia de un mercado de capitales que le permite acceder aactivos libres de ries#o( le #enerar mayor utilidad la combinacin -c- sobrela L3C( alcan0ando as una cartera -ms e'iciente-.

8i otro inversionista ms arries#ado 7 )curvas J a K*( coloca sus 'ondossolamente en activos con ries#o( ser la cartera -b- la que le brindar mayor

utilidad. 5ero si pudiera tomar prestado a la tasa libre de ries#o R 'e invertirloen la cartera con ries#o 3 alcan0ar( en -a-( una cartera -ms e'iciente-.

RP

P(%)

/01

234aa

bbM

dd

cc

Rf


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La decisin de inversin est separada de la decisin de Financiamiento.5or esta ra0n es que el teorema plantea dos etapas bien di'erenciadas ala &ora de armar la cartera -ms e'iciente-!

"tapa =b4etiva!"tapa =b4etiva! "ncontrar el porta'olio optimo )3* 'ormadoe%clusivamente por activos con ries#o.

"tapa 8ub4etiva!"tapa 8ub4etiva! ,eterminar la me0cla optima entre la cartera 3 y losactivos libres de ries#os.

eoremaeoremade 8eparacinde 8eparacin

Aquel inversor menos arries#ado repartir su capital colocando una parte de estea tasa cierta mientras que el resto lo invertir en el porta'olio de ries#o 3 )5unto,*. 5or otra parte( un inversor ms arries#ado pre'erir una combinacin como la

,H( tomando prestado a la tasa cierta para palanquear su inversin en elporta'olio de ries#o 3.

RP R

P

P

P

MM

5

56


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3odelo de ndice Mnico )3IN*3odelo de ndice Mnico )3IN*

Las acciones se mueven 4untas( no independientemente. "l modelo dendice Dnico se sustenta en la idea bsica que el precio de los activos quecoti0an en un mercado( en promedio( crecen o decrecen 4unto con al#Dnindicador econmico. "n e'ecto( el modelo supone que la ra0n por la cuallos rendimientos de distintos activos estn correlacionados es que e%isteuna respuesta comDn a cambios en un indicador econmico.La implementacin de este modelo no especi'ica nin#Dn indicadoreconmico en especial( sin embar#o( #eneralmente( se utili0a al#Dn ndicerepresentativo del mercado.

8upuestos del 3IN8upuestos del 3IN6* "l rendimiento de un activo cualquiera queda determinado por la

si#uiente ecuacin!

Ri+ i i. Rm ei,onde Ri representa la tasa de rendimiento del activo i i es lacomponente del rendimiento del activo i que es independiente delrendimiento del indicador econmico ies una medida de sensibilidad derespuesta del rendimiento del activo i ante las variaciones en elrendimiento del indicador econmico )volveremos sobre este tema msadelante* Rm es la tasa de rendimiento del indicador econmico y e irepresenta el desvo aleatorio entre el rendimiento real del activo i y suvalor terico.


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8upuestos del 3IN8upuestos del 3IN)Continuacin*)Continuacin*1* La variable aleatoria e tiene esperan0a matemtica i#ual a cero!

")ei* + 9

* Las variables aleatorias Rmy eiestn incorrelacionadas!

Cov ) Rm ei* + 94) Los errores aleatorios correspondientes a los distintos activosestn incorrelacionados entre s!

Cov )ei e4* + 9 con i4

Los supuestos ")ei* + 9 y Cov ) Rm ei* + 9 se veri'ican 'cilmentetoda ve0 que ellos son in&erentes al modelo matemtico de re#resinmnimo2cuadrtico. "l supuesto 'undamental es el Dltimo )Cov )e i e4

* + 9 *( ya que permite que el 3IN se distin#a como un modelosimpli'icador. "ste supuesto( a di'erencia de los anteriores( no se

veri'ica para todos los casos.Calculo de los parmetrosCalculo de los parmetros i yi y iiLos parmetros iy ise pueden obtener de dos maneras!

I* A partir de datos &istricos de los rendimientos. "n este caso seutili0a( #eneralmente( la t$cnica de mnimos cuadrticos.II* A partir de datos 'uturos estimados de los rendimientos.


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7eta como medida del ries#o7eta como medida del ries#o

8i i+6( si#ni'ica que el rendimiento del activo -i-( o la cartera-p-( tiene el mismo ries#o que el rendimiento del 3ercado.

8i iO6( quiere decir que el rendimiento del activo -i-( o la

cartera -p-( tiene menor ries#o que el rendimiento del 3ercado.

A este tipo de activos( o carteras( se los denomina de'ensivos

8i iP6( quiere decir que el rendimiento del activo -i-( o la

cartera -p-( tiene mayor ries#o que el rendimiento del 3ercado.

A este tipo de activos( o carteras( se los denomina a#resivos.

,onde im es la covarian0a entre la

rentabilidad de la accin -i- y la

rentabilidad del mercado y 1m es lavarian0a de la rentabilidad de mercado.

ii++ imim

11mm


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,i'erencia entre el desvo estndar y,i'erencia entre el desvo estndar y

el 7eta de una accinel 7eta de una accin "l desvo( o la varian0a( de un activo mide su ries#ototal )ries#o sistemtico ries#o no sistemtico*. "l 7eta de un activo tan solo mide su ries#o

sistemtico( que es aquel ries#o que nos interesaanali0ar dado que el no sistemtico pude eliminarse

-#ratuitamente- por medio de la diversi'icacin.

"l ries#o de una cartera bien diversi'icada depende del ries#ode mercado de los activos incluidos en ella. A su ves( el ries#ode mercado de un activo es medido por su beta. 5or lo tanto

podemos in'erir que!

nn nn

p +p +

i .i .::i coni con ::i + 6i + 6i+6i+6 i+6i+6

,e la 'ormula anterior sur#e que i representa la contribucin

mar#inal de un activo -i- al ries#o de la cartera biendiversi'icada

7eta como medida del ries#o7eta como medida del ries#o)conti.*)conti.*


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La lnea de mercado de valores )L3/*La lnea de mercado de valores )L3/*

Los economistas( Qilliam 8&arpe( o&n Lintner y ac? rynor

desarrollaron este modelo de ndice Dnico se#Dn el cual en unmercado e'iciente( la rentabilidad esperada de un activo( deducidose#Dn el precio al que se ne#ocia( es una 'uncin lineal y positiva dela covarian0a entre su rentabilidad y la de la al#Dn indicadoreconmico de mercado.Lo que el CA53 muestra es que el rendimiento esperado de un

activo en particular depende de dos aspectos 'undamentales!6.2 /alor del dinero a trav$s del tiempo en 'orma pura. 8e

mide por medio de la tasa libre de ries#o )R'*. "sta tasa simboli0a larecompensa por el &ec&o de esperar el dinero sin tomar nin#Dnries#o.

1.2 Recompensa por correr ries#os. 8e mide por! a*.2 la prima de ries#o de mercado )Rm2 R'*! este componenterepresenta la recompensa que el mercado o'rece por el &ec&o de

correr una cantidad promedio de ries#o sistemtico( adems del&ec&o de esperar. b*.2 beta )*! esta es la cantidad de ries#o sistemtico que seencuentra presente en un activo en particular( respecto de la quee%iste en un activo promedio.


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,e lo anterior sur#e que!,e lo anterior sur#e que!

R 2 R' +R 2 R' +

)Rm 2 R' *)Rm 2 R' *

R +R + )Rm 2 R' * R')Rm 2 R' * R'A esta relacin del modelo de 'i4acin de precios se la

conoce como Lnea de 3ercado de /alores )L3/*.

Ri

Rm

Rf7etras del

8esoro

Cartera de

Mercado

7nea de Mercado5e Valores *7MV,

odas las inversionesdeben situarse a lo

lar#o de la Lnea de3ercado de /alores

,i'erencias entre la Lnea de 3ercado de,i'erencias entre la Lnea de 3ercado de


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,i'erencias entre la Lnea de 3ercado de,i'erencias entre la Lnea de 3ercado deCapital )L3C* y la Lnea de 3ercado deCapital )L3C* y la Lnea de 3ercado de

/alores )L3/*./alores )L3/*.

& "l ries#o que considera la L3C es la desviacin estndar( que es unamedida de ries#o total )ries#o sistemtico ries#o no sistemtico*(mientras que el de la L3/ es 7eta( que solo mide el ries#o sistemtico.

& 8obre la L3C estarn solamente las carteras bien diversi'icadas( entanto que sobre la L3/ estarn todos los valores y carteras( e'icientes ono.

LM

C

LMV

RP

P

Rf

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