Composición de carteras de inversión en títulos de rente

Dirección y Organización, Núm. 41, Julio 2010 | ISSN: 1132-175X

68

1. Introducción

El estudio sectorial de inversiones en títulos de ren-ta fija goza de una enorme tradición en el mercadode inversiones, existiendo numerosos fondos de in-versión que invier ten exclusivamente en renta fija.Son los llamados «fondos de renta fija» disponiblesen el catálogo de cualquier banco, caja o sociedad devalores. El principal motivo de su selección es, ade-más de ofrecer una mayor liquidez, la seguridad dela inversión, es decir, ofrecer una mayor estabilidadde la misma.

El problema de selección de cartera es muy comple-jo ya que existen múltiples fuentes de incertidumbrey múltiples criterios de selección. El binomio rentabi-

lidad-riesgo es el principio básico en el planteamien-to de los modelos con el consiguiente conflicto deobjetivos, ya que para lograr un mayor rendimientose deben adoptar estrategias más arriesgadas.

La principal referencia histórica en la materia se debeal Modelo de Markowitz (1952). El objetivo del au-tor fue plantear un modelo de conducta racional deldecisor para la selección de car teras de títulos-va-lores con liquidez inmediata (en su modelo, la liqui-dez del título es inmediata al final del periodo de re-ferencia). Propuso un modelo de media-varianza(MV) de selección de cartera. En este modelo la ren-tabilidad esperada y el riesgo de la inversión se mi-den por la media y la varianza de las rentabilidadeshistóricas.

Composición de car teras de inversión en títulos de rente fija utilizandomodelos de optimización robusta por escenarios

Composition of portfolios in fixed income securities using robustoptimization models for scenarios

Rafael Cruz 1, Pablo Cortés 2

1 Endesa. Av. De la Borbolla, 5, 41005 Sevilla.2 Ingeniería de Organización. Escuela Técnica Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.

Camino de los Descubrimientos, s/n, 41092 Sevilla

[email protected]

Fecha de recepción: 08-02-2010Fecha de aceptación: 18-06-2010

RReessuummeenn:: En el presente trabajo se estudian y analizan los Modelos de Optimización Robusta como herramientaseficientes para la Gestión del Riesgo de Títulos de Renta Fija. La par te teórica del trabajo se complementa con el es-tudio del Modelo de Optimización por Escenarios (aplicado al problema de selección de car tera y par tiendo de unadotación inicial indeterminada), poniéndose de manifiesto la eficiencia de los resultados obtenidos por su aplicación.Se presenta un problema consistente en la composición de car teras de inversión de renta fija el cual se resuelve me-diante la utilización de Modelos de Optimización Robusta por escenarios de los tipos MM y MAD. Por último, se aco-mete un análisis de sensibilidad ante las distintas posibilidades de ocurrencia de los diferentes escenarios para cadauno de los modelos.

PPaallaabbrraass ccllaavvee:: Car tera de inversión, Optimización robusta, Escenario, Rendimiento esperado, Error coordinado.

AAbbssttrraacctt:: In this paper we study and analyze the Robust optimization models as efficient tools for risk ManagementFixed Income Securities.The theoretical par t of work is complemented by the study by Scenario Optimization mo-del (applied to the problem of portfolio selection and star ting from an initial endowment indeterminate), getting toshow the efficiency of the results obtained on application. A problem is presented consisting in managing portfolioof fixed income investment which is solved using Robust Optimization Models for scenarios of the types MM andMAD.Finally, it undertakes a sensitivity analysis of the different possibilities of occurrence of different scenarios foreach of the models.

KKeeyy wwoorrddss: Portfolio investment, robust optimization, Stage, Expected Return, Error coordinated.

68-85-COMPOSIÓN DE CARTERAS 13/7/10 14:30 Página 68

Posteriormente, algunos autores propusieron diver-sos modelos que introducían distintas modificacio-nes y mejoras al Modelo de Markowitz. Sharpe(1964), planteaba una simplificación consistente ensuponer la existencia de una relación lineal entre elrendimiento del título y el de la car tera de mercado.Ello significaba que se podía definir el riesgo de lacar tera sin utilizar las covarianzas, suponiendo unagran simplificación en el cálculo. Michaud (1989), rea-lizó una aproximación al tratamiento de la inestabi-lidad de las soluciones ante cambios en las rentabi-lidades esperadas. Par te del principio de que lafrontera eficiente no es una simple línea sino que esuna banda que representa un intervalo de confian-za. Cambios en los parámetros, pueden conducir acar teras dentro de ese mismo intervalo de confian-za o fuera del mismo. Cuando estas nuevas car terasderivadas de nuevos parámetros lleven a solucionesdentro del mismo intervalo de confianza, la car terainicialmente encontrada no debe ser modificada. Solodebe serlo cuando la nueva solución quede fuera delintervalo de confianza hallado previamente.Y, por úl-timo, Chopra y Ziemba (1993), los cuales estudiaronlas consecuencias de los errores de estimación en larentabilidad esperada y en las varianzas y covarian-zas en el modelo de Markowitz. Llegaron a la con-clusión de que los errores en la rentabilidad espera-da tienen una impor tancia del orden de 11 vecesmayor que los errores en la estimación de la varian-za y 20 veces mayor que los de la covarianza a losefectos de la desviación sobre el verdadero óptimo.Además, para los inversores más adversos al riesgo,los errores en la rentabilidad esperada son muchomás importantes que para aquellos con menor aver-sión al riesgo. Esto es, la solución obtenida está másalejada del verdadero óptimo.

Roy (1952), Kataoca (1963) o Telser (1955) han rea-lizado estudios sobre el Modelo Safety First, el cualantepone la seguridad del inversor ante cualquier po-sible incremento del retorno. Alternativas a los mo-delos citados son los modelos que requieren medi-das a par tir de datos históricos y la experiencia degestores expertos (Tanaka y Guo, 1999), así como laconsideración de escenarios y su aplicación en opti-mización robusta, con bases en la programación porobjetivos y la consideración de restricciones débiles(Mulvey,Vanderbei y Zenios,1995).Aunque tratar dis-tintos escenarios ha sido tradicional en la gestióncientífico-empresarial, y la idea ya estaba presente enlos estados de la naturaleza de la Teoría de la Deci-sión de Von Neumann y Morgenster, en selección decar tera no ha tenido su impulso hasta el Modelo deEscenarios y Factores de Markowitz y Perold (1981).

El uso de la optimización robusta en la toma de de-cisiones permite considerar directamente la aversiónal riesgo (Bai, Carpenter y Mulvey, 1997), siendo estauna de sus ventajas frente a la programación esto-cástica. Dembo (1992), Escudero (1995), Golub(1994) y Vassiadou-Zeniou y Zenios (1996) han apli-cado sus modelos a la planificación y gestión finan-ciera de modelos de optimización robusta. Es en esteaspecto donde se centra este trabajo.

La optimización robusta consiste en una integraciónde la programación por objetivos basados en los es-cenarios posibles. Con su aplicación se generan unaserie de soluciones que progresivamente se van con-vir tiendo en menos sensibles a las posibles realiza-ciones de los diferentes escenarios. La solución óp-tima del problema es robusta respecto a laoptimalidad si se mantiene «cerrada» en el óptimo.En el caso de que se mantenga admisible para cual-quier realización, se dice que el modelo es robusto.

La aplicación de los Modelos de Optimización Ro-busta desarrollados aporta una gran solidez a la tomade decisiones en las empresas con inversiones en tí-tulos de renta fija

La variedad de los escenarios y las volatilidades delos diferentes mercados en los que un gestor puedeactuar hacen imprescindible un estudio a fondo delriesgo de la inversión. La finalidad de dicho estudioes que el gestor pueda disponer de herramientas quele faciliten su tratamiento, asegurando y rentabili-zando al máximo sus inversiones y mejorando, comoconsecuencia, la competitividad de la empresa. Lagestión sistemática de los riesgos asegura el éxito delas inversiones y la previsibilidad de los indicadoresde las mismas.

Entre las principales aplicaciones actuales de Opti-mización Robusta se encuentra la aplicación al pro-blema del Cash-Flow matching con incer tidumbre(Canós, M. J. y Ventura, M. 1999) en el que se pre-tende determinar el importe de la inversión a reali-zar en el momento inicial, con el objeto de atendera una posible serie de pagos a lo largo de un deter-minado periodo de planificación. La gestión del Ries-go de Interés (Dembo, 1991), en el que se describenlos parámetros aleatorios del problema (tipos de in-terés) a través de escenarios con sus correspon-dientes probabilidades, permitiendo introducir la sub-jetividad del decisor al elegir los escenarios y asignarprobabilidades.Y también al Modelo de Recurso To-tal (Rockafellar y Wets, 1993 y Escudero, L. 1995) enel que todas las decisiones son ajustadas en el tiem-

Composición de car teras de inversión en títulos de renta fija utilizando modelos de optimización robusta… 69



po cuando se consigue una nueva información sobrelas mismas, excepto las correspondientes al primerperiodo de tiempo, tratando que las decisiones seanconsistentes con la información disponible en cadaperiodo de tiempo dado.

En el presente trabajo se aplican Modelos de Opti-mización Robusta para realizar un estudio sobre laGestión del Riesgo en las car teras de inversión contítulos de renta fija. Para ello, se identifica, analiza yevalúa cuantitativamente el mismo.

Además, resuelve un modelo de optimización por es-cenarios aplicado al problema de selección de car-tera con dotación inicial indeterminada.

El modelo propone el capital a inver tir y una car te-ra diferente para cada uno de los escenarios. Comopuede que sea improbable que una solución puedacumplir simultáneamente los criterios de robustezpara la admisibilidad y para la optimalidad, se cons-truye un modelo coordinado que combina ambosconceptos de forma adecuada.

En el apar tado segundo se muestran los modelos deprogramación matemática que se desarrollan para latoma de decisiones basados en modelos de optimi-zación robusta por escenarios, en los que se buscaminimizar el error coordinado.

El apar tado tercero recoge un análisis de los resul-tados obtenidos, así como un análisis de sensibilidadpara cada uno de los distintos modelos.

Por último, en el cuar to apar tado se expone unacomparación de los resultados de los modelos; paraterminar con las principales conclusiones en la sec-ción quinta.

2. Modelos de programación matemáticapara la toma de decisiones de carterade inversión

2.1. Modelado del problema

El estudio par te de la determinación de un conjun-to de escenarios, s = 1, …,S, y unos rendimientos es-perados de cada bono, i = 1, …, I, conocido para cadaescenario (que se notará por ris). A par tir de aquí sepuede obtener la frontera eficiente de cada escena-rio resolviendo el siguiente modelo basado en el deMarkowitz que determina la car tera eficiente paracada uno de los escenarios de forma independiente,

y que se ha denominado Modelo COI (car tera óp-tima independiente):

Min

s.a.

Donde σ2, determina la varianza de la cartera; xis esla cantidad invertida en el activo en el escenario s, ris

es la rentabilidad esperada del activo i en el escena-rio, que se considera dato tal y como se ha señalado,Cs es el capital total invertido en la cartera en el es-cenario s y rs es la rentabilidad esperada de la carte-ra en el escenario s. Ambos son datos del modelo.

La resolución del modelo para cada escenario va-riando el valor del parámetro rs permite obtener lafrontera eficiente de ese escenario.

La consideración del hecho de que el escenario quese vaya a producir de forma fehaciente al final del pro-ceso es algo desconocido, pero que, en cambio, sí pue-de estimarse una cier ta probabilidad asociada al he-cho de que tenga lugar un escenario u otro, conducea la consideración de un modelo coordinado quecombina los conceptos de admisibilidad y optimali-dad adecuadamente. Es decir, un modelo robusto quecontrole suficientemente el riesgo que el inversor asu-me al realizar la inversión y se mantenga lo más cer-ca posible de la solución óptima, sea cual sea el es-cenario que se produzca. El concepto de robustezque aquí se introduce trata de paliar los problemasque presenta el Modelo de Markowitz. El primer pro-blema es una excesiva exposición a variaciones derentabilidades futuras, mediante la consideración dedistintos escenarios. Los valores de las varianzas conrespecto a las rentabilidades esperadas en intervaloscor tos de tiempo (por ejemplo, un año) son muygrandes. Es decir, el error de predicción en esos pe-riodos es también elevado. Por otra parte, es extre-madamente sensible a los valores de las rentabilida-des esperadas, de tal forma que unas pequeñasvariaciones de las mismas suponen carteras con es-tructuras muy diferentes en su composición.

∑=

=n

isis Cx

1

0≥isx ni ,...,1=∀ (1)

ss

n

iisis Crxr =∑

=1

∑∑= =

=n

i

n

jjsisij xx

1 1

2 σσ

70 Rafael Cruz, Pablo Cortés



El objetivo del modelo es minimizar el error coordi-nado de la inversión en el activo respecto al esce-nario s. Dicho error será la desviación relativa en elbeneficio esperado respecto al del óptimo de cadaescenario. El modelo se basa en la propuesta de Ca-nós y Ventura (1999). Sin embargo, este modelo pre-cisa de cier tas modificaciones en nuestra opiniónpara alcanzar un mayor grado de satisfacción en susresultados y que a continuación se describen.

En primer lugar, dicho modelo define el error coor-

dinado como pero esta de-

finición trae como consecuencia que la composiciónde la car tera solución del modelo coordinado esidéntica a la óptima del escenario más favorable don-de el capital a inver tir es el máximo considerado, aligual que el riesgo. El error coordinado respecto aesta car tera es cero y negativo para las car teras óp-timas del resto de escenarios siendo, por tanto, éstala car tera solución del modelo coordinado. Por ello,creemos conveniente definir el error coordinado dex respecto al escenario s como la desviación relati-va en el beneficio esperado de la solución x respectoal del óptimo de cada escenario, expresada en tér-minos porcentuales en lugar de en unidades mone-tarias. Es decir :

.

Además, se ha considerado una rentabilidad espe-rada distinta para cada título en función del esce-nario previsto, ya que dicho modelo no consideraque las rentabilidades esperadas de cada título de-ban ser distintas en función del escenario que seconsidere.

En segundo lugar, también se ha eliminado la restric-

ción ya que ésta impide que el ca-

pital a inver tir sea igual a uno de los capitales esta-blecidos en la par tición.

Así, se proponen dos modelos coordinados. En el pri-mero se minimiza el máximo error producido en elescenario, s, más desfavorable, y se ha denominadoModelo MM (min-max error).

Min ε

Sujeto a:

Psεs(x) ≤ ε, s = 1, …, S

Para la construcción de estos modelos el riesgo dela car tera se medirá a través de la varianza de losrendimientos históricos de la misma, siendo σij la co-varianza del rendimiento del activo i con el del ren-dimiento del activo j.

Como variables del modelo se toman: el error coor-dinado (ε); la cantidad invertida en el activo i (xi) queahora corresponde a la inversión que finalmente seacomete y es independiente del escenario que sepueda o no producir apriorísticamente; el capital to-tal coordinado asociado [C(x)] que queda, por tan-to, indeterminado; el riesgo de inversión del vectorde activos x = (x1, …, xi, …, xn) [L(x)] y la variable bi-naria que establece el escenario observado s (ys).

Como datos a tener en cuenta se tomará la proba-bilidad de ocurrencia del escenario s (Ps), el capitalmínimo a inver tir (Cmin) y el capital máximo a inver-tir (Cmax).

Por último, el conjunto de distintos rating de bonosi ∈ I : i = 1,2, …, n (I) y el conjunto de escenarios (S)serán los parámetros a incluir.

Una vez resuelto el modelo, los valores de las varia-bles xi y C(x) serán los de la composición de la car-tera real y del capital que se va a inver tir en ella, res-pectivamente.

El segundo modelo que se presenta coincide con elanterior y sólo se diferencia del anterior en la fun-ción objetivo en la cual se busca minimizar el errormedio ponderado por la probabilidad de ocurrenciadel escenario s. Se ha denominado Modelo MAD (mi-nimum absolute deviation), siendo la función objetivo

referida .∑=

=S

sssPMin

1

εε

( )xCyC

CCC ss ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

min

minmin 1 1,...,1 −= Ss

( )xCyC

CCC s

s ≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −− +

max

1maxmax 1 1,...,1 −= Ss

( ) ( ) ( )( ),11 sSss yxLyxLxL −+≤ + 1,...,1 −= Ss

∑−

=

≤≤1

1

21S

ssy

o,x ≥,ε { }1,0∈sy (2)

∑+≠−≠=

≤+S

sisiiis yy

1;1;0

1

ss

n

iiisss

s Cr

xrCrx

∑=

−= 1)(ε

∑=

−=n

iiiss

s xrCrx1

)(ε ,




2.2. Construcción de datos para el estudio

En primer lugar, se recogen los datos relativos a cadabono, seguidamente se realiza un cálculo del riesgode la car tera, se construyen los escenarios y, por úl-timo, se calculan los rendimientos esperados en cadaescenario.

Los bonos que se manejarán para la experimenta-ción en este trabajo son los bonos corporativos es-tadounidenses. Los bonos son emitidos general-mente en múltiplos de $1.000 (también conocidocomo valor nominal o valor par del bono). Se ma-nejan, como posibilidades de inversión, un grupo de24 bonos per tenecientes al mercado secundario es-tadounidense de bonos corporativos con venci-mientos comprendidos entre 3 y 10 años. Concre-tamente ocho bonos con vencimiento a 3 años(2012), ocho con vencimiento a 5 años (2014) y ochocon vencimiento a 10 años (2019). Para todos los ca-sos se par te de 2009 como año inicial.

A par tir de los datos de todas las transacciones rea-lizadas sobre cada bono durante el año 2008 (obte-nidos de FINRA en www.finra.org), se construye paracada bono una tabla donde se muestran los precioshistóricos del año 2008 para el bono WFC.JL (Ta-blas 1 y 2).

En esta tabla puede consultarse, entre otros datos,la fecha (en formato mm/dd/aaaa), la hora de cadatransacción, el tamaño de la misma, el precio del bonoen cuestión para esa transacción y el rendimiento alvencimiento para ese precio.

Los precios de negociación de cada uno de los 24 bo-nos para todas las transacciones realizadas durante elaño 2008, así como el resto de la información generalde cada bono, son los datos utilizados para la cons-trucción de los escenarios, el cálculo de los rendi-mientos esperados de cada bono y el cálculo de la ma-triz de covarianzas, necesaria para evaluar el riesgo.

Con respecto a los criterios de elección de bonos,la elección de los 24 bonos se ha realizado siguien-do los siguientes criterios:

— Bonos muy activos: El problema tratado es el deselección de car tera con horizonte de inversiónde un año, transcurrido el cual, se venderían lostítulos, procediendo a consumir o a reinver tir eldinero recibido. Para no tener que considerar enel modelo el riesgo de liquidez, o riesgo de quelas posibilidades de vender el bono sean limita-das, se han seleccionado bonos con un alto nú-mero y volumen de transacciones durante el año

2008 con los que presumiblemente disminuiríala exposición a este riesgo.

Tabla 1Transacciones correspondientes al mes de enero

para el bono WFC.JL

Tabla 2Precios Históricos


Date Time Quantity Price Yield

01/02/200801/02/200801/02/200801/02/200801/03/200801/03/200801/04/200801/04/200801/15/200801/15/200801/16/200801/16/200801/16/200801/16/200801/18/200801/23/200801/24/200801/24/200801/24/200801/24/200801/25/200801/28/200801/28/200801/28/200801/28/200801/28/200801/28/200801/28/200801/30/200801/30/200801/30/200801/30/200801/31/200801/31/200801/31/2008

9:41:509:41:559:43:009:43:4110:55:3410:55:3512:07:1412:13:0013:09:1413:09:1710:48:0013:03:0013:34:0013:34:1910:22:5210:08:0012:22:0016:56:0016:56:1116:56:1113:16:2216:19:3616:19:3616:19:3616:19:3616:19:3616:19:3616:19:3914:00:0014:12:0014:12:3314:12:3312:51:0012:51:0012:52:00

46.00046.0004.0004.00050.00050.0005MM+5MM+140.000140.0005.00020.00010.00010.00015.00010.0003.0003.0003.0003.00025.00014.00014.00014.00014.00014.00014.00014.00030.00089.00089.00089.000

2.000.0002.000.0002.000.000

104.764105.786104.686105.686105.245106.015105.500105.532104.467104.850106.568106.361106.355107.205105.500107.653106.924106.224106.490106.224105.000107.250106.200107.250108.050108.050107.250106.170105.751106.057106.087106.812106.925106.925107.139

4.8764.6174.8954.6424.7534.5594.6874.6794.9444.8464.4074.4594.4614.2484.6754.1294.3114.4874.4194.4874.7994.2274.4914.2274.2274.2274.2274.4994.6034.5254.5174.3344.3044.3044.250

Mes Precio (P)ene-08 106.615feb-08 107.077mar-08 104.958abr-08 104.606may-08 101.116jun-08 103.329jul-08 102.438ago-08 101.417sep-08 99.123oct-08 100.522nov-08 102.474dic-08 102.471

68-85-COMPOSIÓN DE CARTERAS:Maquetación 1 29/7/10 12:15 Página 72


— Bonos no amortizables anticipadamente:Tampo-co se ha tenido en cuenta el riesgo de amorti-zación anticipada en los modelos. Para ello, losbonos empleados en este estudio son bonos queno incorporan esta opción para el inversor (Non-callable bonds).

— Bonos de calificaciones similares. Es decir, aunquees posible tener en cuenta el riesgo de insolven-cia en el análisis del rendimiento esperado de losbonos, en este caso no se ha considerado, selec-cionándose, como posibilidades de inversión, bo-nos de calificación similares para que fueran com-parables en términos de riesgo de insolvencia.Todos los bonos considerados pertenecen al gru-po definido como inversión «por encima de lamedia» o «superior al grado medio» calificadoscon ratings entre A- y A+ por Standard & Poor’sy Fitch y entre A3 y A1 por Moody’s.

Luego las hipótesis de los bonos considerados en losmodelos son el bajo riesgo de liquidez, el no seramortizables anticipadamente y el tener calificacio-nes similares.

Se ha considerado, como precio de mercado del bonoen cada mes (P), la media del precio de negociaciónde todas las transacciones realizadas durante ese mes.Los precios se expresan normalmente en porcentajerespecto al nominal (1.000 $ para este tipo).

A par tir de esta tabla se construye la de rendimien-tos históricos (Tabla 3) utilizando la definición de ren-

dimiento actual ( , donde Q es la tasa

de interés del cupón):

Tabla 3Rendimientos históricos

Repitiendo la operación, se obtiene para cada bonoun vector de 12 elementos con los rendimientos ac-tuales de cada mes del año 2008. A par tir de estosvectores se obtiene la matriz de covarianzas(24 × 24), donde la covarianza de dos bonos i y j es

igual a .

Para los rendimientos históricos se ha utilizado elrendimiento actual en lugar del rendimiento al ven-cimiento debido a que este último es la tasa internade rentabilidad (TIR) de la inversión, y, dado que sehan considerado bonos con distinto horizonte devencimiento, no sería correcto utilizar esta medida alconstruir la matriz de covarianzas. Así, para obtenerlos rendimientos esperados se ha calculado, en pri-mer lugar, la variación del rendimiento al vencimien-to, seguidamente el precio de mercado al final delperiodo de inversión y, por último, el rendimiento es-perado.

La construcción de escenarios se ha realizado en basea la estructura de los tipos de interés existente a fe-cha 01/01/2009 para los bonos corporativos de ca-lificación A. A través de la página de FINRA se hanobtenido los datos de rendimiento al vencimientopara los distintos plazos de vencimiento del conjun-to de bonos corporativos con esta calificación (Ta-bla 4).

Se han supuesto 5 posibles escenarios futuros, querepresentarían la ETTI al final del periodo de inver-sión (01/01/10). En cuanto a los movimientos de lacurva se ha supuesto que se producen desplaza-mientos paralelos de la curva de rendimientos. Deestos 5 escenarios supuestos, el escenario central s3sería el caso de un mantenimiento de tipos de inte-rés, para el que la curva de rendimientos sería la mis-ma que al comienzo del periodo de inversión. Ade-más, de este escenario central, existirían dosescenarios favorables s4 y s5 con bajadas de tipostales que supongan una disminución en el rendi-miento al vencimiento (TIR) del conjunto de bonosconsiderados de 100 y 200 puntos básicos respec-tivamente (escala mínima de variación porcentualutilizada al comparar rendimientos de títulos de ren-ta fija, representando la centésima par te de un pun-to porcentual. 100 puntos básicos es igual a 1%.) yotros dos escenarios desfavorables s2 y s1 con su-bidas de tipos tales que supongan una aumento delrendimiento al vencimiento de 100 y 200 puntos bá-sicos.

Las curvas de rendimientos que representan los 5escenarios se muestran en la Figura 1.

)()(121 12

1jjt

tiitij RRRR −−= ∑

=

σ

Qra = —– x 100

P



Mes Rendimiento (ra)

ene-08 5,76

feb-08 5,76

mar-08 5,72

abr-08 5,82

may-08 5,89

jun-08 5,95

jul-08 5,97

ago-08 5,99

sep-08 6,08

oct-08 6,13

nov-08 6,08

dic-08 5,98


La cur va central representa tanto la ETTI al co-mienzo del periodo de inversión como la del esce-nario s3 en el que los tipos no han variado al finalde periodo.

A partir de las curvas de rendimientos (figura) se cal-cula la variación porcentual que se produce en el ren-dimiento al vencimiento (TIR) del mercado de bo-nos con calificación A desde el instante inicial de lainversión al instante final, según se dé un escenariou otro.

Los argumentos necesarios para estas dos funcionesse organizan como se indica en la Tabla 5.

A continuación, se calcula el precio de mercado quetendría un bono si en el momento final de la inver-sión tiene que proporcionar un rendimiento un 20%más alto que el que tenía en el instante inicial paracompetir en el mercado de bonos.

En la Tabla 6 se sustituye la fecha de adquisición porla fecha de venta (01/01/2010) y el rendimiento anual



Figura 1Curvas de rentabilidades de los distintos escenarios

bono3 años s5 s4 s3 s2 s1

TIR 4,85 2,65 3,65 4,65 5,65 6,65

-45% -25% -4% 16% 37%


TIR 5,16 2,90 3,90 4,90 5,90 6,90

-44% -24% -5% 14% 34%


TIR 7,50 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00

-33% -20% -7% 7% 20%

bono 9 años

Variación %

bono 2 años

Variación %

bono 4 años

Variación %

Tabla 4Variaciones porcentuales del rendimiento al vencimiento (TIR)


deseado, 7,07%, por 7,07¥(1+0,20)= 8,49%, es de-cir, un 20% más del que proporcionaba en el instan-te inicial de la inversión.

Par tiendo de la Tabla 5 y añadiendo la fecha de ven-ta (01/01/2010) y el precio de venta estimado paraeste escenario (944,51 $) se construye la Tabla 7.



Tabla 5Cálculo del precio y rendimiento del bono en el instante inicial de la inversión mediante la herramienta Excel

Datos del bono

Valor nominal 1.000$

Retorno al vencimiento en % del nominal 100,00

Tasa anual del cupón 7,630%

Rendimiento anual deseado 7,070%

Fecha de adquisición 01/01/2009

Fecha de vencimiento 01/07/2019

Frecuencia de pagos 2

Basis 0

Valor del bono en % del nominal 104,04 =Price(C7;C8;C5;C6;C4;C10;C11)

Valor del bono en dolares 1.040,43$ =C13/100*C3

Cálculo del rendimiento

Rendimiento actual (Current Yield) 7,33% =(C5*C4)/C13

Rendimiento al vencimiento (Yield to Maturity) 7,07% =Yield(C7;C8;C5;C13;C4;C10;C11)

Tabla 6Cálculo del precio de mercado al final del periodo de inversión mediante la herramienta Excel

Datos del bono

Valor nominal 1.000$ Retorno al vencimiento en % del nominal 100,00

Tasa anual del cupón 7,630%Rendimiento anual deseado 8,490%Fecha de adquisición 01/01/2010


Frecuencia de pagos 2 Basis 0

Valor del bono en % del nominal 94,45 =Price(C7;C8;C5;C6;C4;C10;C11)Valor del bono en dolares 944,51$ =C13/100*C3


Rendimiento actual (Current Yield) 8,07% =(C5*C4)/C13Rendimiento al vencimiento (Yield to Maturity) 8,49% =Yield(C7;C8;C5;C13;C4;C10;C11




Tabla 7Cálculo del rendimiento esperado del bono mediante la herramienta Excel

Datos del bono

Valor nominal 1.000$

Retorno al vencimiento en % del nominal 100,00

Tasa anual del cupón 7,630%

Rendimiento anual deseado 7,070%

Fecha de adquisición 01/01/2009


Fecha venta 01/01/2010

Frecuencia de pagos 2

Day Count Basis 0

Valor del bono en % del nominal 104,04 =Price(C7;C8;C5;C6;C4;C10;C11)

Valor del bono en dolares 1.040,43$ =C13/100*C3

Valor del bono en la fecha de venta 94,45


Rendimiento actual (Current Yield) 7,33% =(C5*C4)/C13

Rendimiento al vencimiento (Yield to Maturity) 7,07% =Yield(C7;C8;C5;C13;C4;C10;C11)

Rendimiento hasta la fecha de venta -1,94% =Yield(C7;C9;C5;C13;C16;C10;C11)

(%) (%) (%) (%) (%)

BAC.NU 1,89 4,43 6,91 9,55 12,12BAC.OJ 1,76 4,43 7,04 9,84 12,55BAC.WG 1,34 4,45 7,48 10,74 13,93

CAT.LO 2,08 4,50 6,86 9,40 11,85HBC.GBA 1,44 5,24 8,96 12,99 16,94SPG.KD 3,11 8,30 13,45 19,09 24,68

TGT.GJ 2,74 5,61 8,43 11,44 14,39WFC.JL 1,46 3,52 5,71 8,04 10,31

BAC.GEK -1,55 4,26 10,02 16,02 22,62

BAC.GEO -1,48 3,90 9,22 14,73 20,78BAC.GER -1,46 3,77 8,95 14,31 20,16BAC.GFM -1,52 3,53 8,83 14,31 20,33

CMA.HJ -2,26 5,71 13,73 22,25 31,78COF.HE -2,25 3,51 9,22 15,48 21,70HBC.GCB -2,04 3,33 8,64 14,16 20,21SPG.JP -1,62 5,55 12,72 20,27 28,66

APA.GG -1,94 3,84 10,39 16,79 23,51BAC.GWX -2,30 3,56 10,19 16,65 23,41

BAC.HIK -1,98 4,63 12,20 19,68 27,62HBC.IKN -2,80 4,76 13,45 22,05 31,20HBC.IKX -2,62 4,62 12,91 21,10 29,80

HBC.IMH -2,82 5,85 15,95 26,08 37,02PRU.HT -2,35 4,06 11,32 18,44 25,94UTX.GB -1,81 3,33 9,13 14,77 20,67

(%)

1ir 2ir 4ir 5irisr

3ir

5 A

ÑO

S10

AÑ

OS

3 A

ÑO

S

Tabla 8Rendimiento esperado de cada bono en cada escenario


Realizando los tres pasos para cada uno de los 24bonos en cada uno de los cinco escenarios, se ob-tienen los rendimientos esperados de cada bono encada escenario (Tabla 8).

3. Análisis de los resultados

3.1. Resultados para el modelo de carteraóptima de cada escenario independienteCOI

De acuerdo con los datos obtenidos en el apartado 2,al observar, a modo de ejemplo las rentabilidades es-peradas de los bonos en el escenario s3, se apreciaque la mínima es 0,0571 (5,71%) para el bono WFC.JLy la máxima de 0,1595 (15,95%) para HBC.IMH.Al re-solver el modelo COI con r3 = 0,0571 y

se obtiene comosolución optima que el todo el capital debe ser in-vertido en el bono WFC.JL. Esta es obviamente la úni-ca posibilidad de reparto del capital que da como ren-tabilidad esperada de la cartera 5,71%. Cualquier otradistribución de ese capital daría una rentabilidad decartera mayor. Por tanto este sería el extremo inferiorde la frontera eficiente, esto es, la cartera con el mí-nimo rendimiento esperado dentro de frontera efi-ciente. Si se resuelve el modelo COI para r3 = 0,1595y , se obtendrácomo resultado que se debe inver tir todo el capitalen HBC.IMH y esa es la única car tera que tendrá esarentabilidad esperada. Esta sería la car tera que esta-ría en el extremo superior de la frontera eficiente.Para cualquier otra rentabilidad esperada de car te-

ra r3 �(0’057,0’1373) existirán numerosas posibili-dades de repar to del capital entre los 24 bonos demanera que se obtenga esa rentabilidad esperada.De entre todas estas posibilidades de reparto del ca-pital para cada r3, el modelo proporciona la solucióncon el riesgo mínimo definido como la varianza dela car tera. Al resolver el modelo para varios valoresde r3 dentro de este intervalo, se obtiene la fronte-ra de car teras eficientes para el escenario s3, estoes, el conjunto de car teras que para cada rentabili-dad tienen la mínima varianza (mínimo riesgo). Lafrontera eficiente para este escenario se muestra enla Figura 2.

Del conjunto de car teras eficientes para el escena-rio s3, representadas en la Figura 2 por su fronteraeficiente, se ha resaltado la que se ha definido comocartera óptima del escenario y que es aquella cuyorendimiento esperado es igual a la media de los ren-dimientos esperados de todos los bonos en ese es-cenario, la cual servirá como referencia en el mode-lo coordinado:

(3)

El capital inver tido en esta car tera es

y el riesgo asociada a la misma 5,99 × 109.

Esto mismo se ha de realizar para cada escenario, to-mando como car tera óptima de cada escenario la

1007,0101 63 = 317.352,33$⋅=C

%07,1024

24

13

3 ==∑

=iir

r

C3 = 1 ⋅ 106 0,1595 = 399.394,51$

$06,956.2380571,0101 63 =⋅=C



Figura 2Frontera de carteras eficientes para el escenario s3

Ren

tabi

lidad

18,00%

16,00%

14,00%

12,00%

10,00%

8,00%

6,00%

4,00%

2,00%

0,00%

0,0E+00 2,0E+10 4,0E+10 6,0E+10 8,0E+10 1,0E+11

Varianza


car tera, dentro del conjunto de car teras que formanla frontera eficiente, cuyo rendimiento esperado seala media de los rendimientos esperados de todos losbonos para ese escenario y la varianza sea la mínimaposible.Tan solo se ha practicado una salvedad queserá para el caso del escenario s1. De hecho, el ren-dimiento esperado para los bonos de 5 y 10 años eneste escenario es negativo (Tabla 7), y al tomar la me-dia de todos los rendimientos proporciona un valornegativo.Ya que conscientemente no se inver tiría enun bono que se ha estimado que tendrá rendimien-to negativo, se tomará como valor del rendimientoesperado de la car tera óptima del escenario s1 lamedia de los rendimientos positivos.

A continuación se muestra una tabla con la compo-sición de las car teras óptimas de cada escenario, asícomo el rendimiento esperado, capital a inver tir yriesgo esperado de cada una de ellas (Tabla 9).

3.2. Resultados para el modelo de errorcoordinado de la inversión en el activorespecto al escenario s según el modelo MM

Una vez obtenidas las car teras optimas de cada es-cenario y el capital a inver tir en cada una de ellas, seincorpora toda esta información al modelo coordi-nado (Modelo MM) que proporcionará la composi-ción de la car tera real y el capital a inver tir en ella,de manera que se minimice el error coordinado res-pecto a cada uno de los escenarios.

Como primer supuesto para el análisis se ha supuestoequiprobabilidad de escenarios. Es decir, Ps = 0,2(20%) para los cinco escenarios, Cmin = C1 =140.623,61 $ y Cmax = C5 = 466.449,35 $.

Luego la composición de car tera solución del Mo-delo MM quedará según se muestra en la Tabla 10.



Tabla 9Carteras óptimas de cada escenario

s1 s2 s3 s4 s5

rs 1,98% 4,53% 10,07% 15,76% 21,76%

Cs $140.623,61 $212.808,60 $317.352,33 $396.957,18 $466.449,35

L(xs) 412.107.714,58 815.339.865,51 5.991.862.077,55 8.287.578.555,80 9.879.275.128,02

xs

BAC.NU 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

BAC.OJ $70.020,54 $207.378,41 0,00 0,00 0,00

BAC.WG 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

CAT.LO $58.492,99 0,00 0,00 0,00 0,00

HBC.GBA 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

SPG.KD 0,00 $5.430,19 $85.262,68 0,00 0,00

TGT.GJ $12.110,08 0,00 0,00 0,00 0,00

WFC.JL 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

BAC.GEK 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

BAC.GO 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

BAC.GER 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

BAC.GFM 0,00 0,00 $232.089,65 $300.548,53 $386.514,61

CMA.HJ 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

COF.HE 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

HBC.GCB 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

SPG.JP 0,00 0,00 0,00 $96.408,64 $79.934,75

APA.GG 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

BAC.GWX 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

BAC.HK 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

HBC.IKN 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

HBC.IKX 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

HBC.IMH 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

PRU.HT 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

UTX.GB 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

3 A

ÑO

S5

AÑ

OS

10 A

ÑO

S


Tabla 10Cartera coordinada del Modelo MM

En la Figura 3 se muestran los errores coordinadosy los errores coordinados ponderados respecto acada uno de los escenarios para esta solución.

A continuación (Tabla 11) se compara la car tera óp-tima de cada escenario con la car tera coordinada, enel caso de que se produjera dicho escenario.

Luego para una distribución equiprobable de esce-narios se obtiene una cartera coordinada en la queel beneficio esperado es mayor que el de la carteraóptima en los escenarios centrales y menor en los ex-tremos. El error coordinado para los escenarios ex-tremos es el mismo. La cartera coordinada está másdiversificada que las carteras óptimas donde el capi-tal a invertir se concentraba en 2 o 3 títulos. El capi-tal a invertir en la cartera coordinada (420.446,12 $)está más próximo a Cmax (466.449,35 $) que a Cmin

(140.623,61 $). Por último, el riesgo de la car teracoordinada (8.257.308.969,00) está más próximo alriesgo máximo [L(x5) = 9.879.275.128,02] que al mí-nimo (L(x1) = 412.107.714,58).

3.3. Análisis de sensibilidad: Modelo MM

Con objeto de llevar a cabo un análisis de sensibili-dad ante distintas probabilidades de ocurrencia deescenarios, se ha analizado la influencia que tienenlas probabilidades asignadas a cada escenario, en lasolución final que proporciona el modelo. Para ellose considera otra distribución de probabilidades enla que el escenario más probable es el escenario s1.Se analiza si esto mejora los resultados obtenidospor la car tera óptima en este escenario y que in-



xi

3 A

ÑO

S

BAC.NU 7,64BAC.OJ 246.700,49BAC.WC 4.289,94CAT.LO 3.378,30HBC.GBA 5.670,43SPG.KD 9.533,27TGT.GJ 78,42WFC.JL 110,70

5 A

ÑO

S

BAC.GEK 6.526,57BAC.GEO 6.962,83BAC.GER 6.634,08BAC.GFM 47.545,01CMA.HJ 6,68COF.HE 6.758,55HBC.GCB 3.731,88SPG.JP 10.602,79

10 A

ÑO

S

APA.GG 7.564,83BAC.GWX 5.740,67BAC.HIK 8.270,86HBC.IKN 7.709,59HBC.IKX 6.617,19HBC.IMH 11.006,78PRU.HT 8.651,41UTX.GB 6.281,20

C(x) $420.446,12

L(x) 8.257.308.969,00

Figura 3Errores coordinados de la cartera coordinada del modelo MM


fluencia tiene sobre el resto de escenarios. Se hantomado como distribución de probabilidades el 40%para S1, 30% para S2, 15% para S3, 10 % para S4 y 5%para S5. Con todo ello, la composición de la car teraque proporciona el Modelo MM es la siguiente (Ta-bla 12):

Tabla 12Cartera coordinada del Modelo MM con distribución

asimétrica de probabilidades

Al aumentar la probabilidad de ocurrencia del esce-nario 1, el capital a inver tir disminuye, acercándoseun poco al capital de la car tera óptima de este es-cenario, aunque manteniéndose aún entre los capi-tales de los escenarios 4 y 5. El riesgo se mantieneen un nivel parecido, por debajo del riesgo del últi-mo escenario como impone la cuar ta restricción.

Los errores coordinados y los errores coordinadosponderados, respecto a cada uno de los escenariosen el óptimo se representan en la Figura 4.

A par tir estos datos pueden hacerse varias obser-vaciones importantes. Por un lado, el error coordi-nado respecto al escenario 1 ahora es negativo. Estoquiere decir que la car tera coordinada tiene un be-neficio esperado mayor que el óptimo de este es-cenario, que ahora es el más probable. Los errores



Tabla 11Comparación de las carteras óptimas de cada

escenario con las carteras coordinadas

xi

3 A

ÑO

S

5,726302168 1.170,455,674827221 249.005,625,63024119 5.163,275,982720536 4.278,835,694229023 5.987,335,818208801 14.329,727,804555022 5.341,475,724669118 121,78

5 A

ÑO

S4,975212531 7.221,284,905718228 6.695,344,922478165 6.469,055,243064393 6.955,146,170500677 25,235,484811468 6.840,875,817072461 5.789,805,256269979 9.503,88

10 A

ÑO

S

6,534698607 7.705,365,5686008 7.387,307,817007575 8.609,835,505960336 8.899,635,646810533 8.098,495,774384898 10.815,806,226372375 7.906,616,602919048 6.240,98

C(x) $400.563,06

L(x) 8.354.996.763,34


coordinados respecto a los escenarios 2 y 3 siguensiendo negativos aunque no tanto como en el casoanterior, especialmente para el escenario 3. Para losescenarios 4 y 5 los errores coordinados siguen sien-do positivos y además mayores que en el caso ante-rior, al ser ahora menores las probabilidades de ocu-rrencia de ambos. El máximo error coordinado seproduce para el último escenario, el menos proba-ble, con un 33,46%. Sin embargo, al ser la probabili-dad de este escenario la mitad que la del escenario 4,es en este último donde Psεs(x) toma el máximo va-lor positivo (1,90%) siendo éste, por tanto, el valorde la función objetivo en el óptimo.

Por tanto, puede decirse que el modelo MM respon-de favorablemente a esta nueva distribución de pro-babilidades de los escenarios acercándose en térmi-nos de beneficio esperado al óptimo del escenariomás probable y alejándose de los menos probables.

3.4. Resultados para el modelo de errorcoordinado de la inversión en el activorespecto al escenario s según el modelo MAD

A continuación se acomete el estudio empleando lafunción objetivo asociada al Modelo MAD, y consi-derando inicialmente condiciones de equiprobabili-



Figura 4Errores coordinados de la cartera coordinada del Modelo MM con distribución asimétrica de probabilidades

Figura 5Errores coordinados de la cartera coordinada del Modelo MAD


dad de escenarios.Así, la composición de cartera queproporciona el Modelo MAD será la reflejada en laTabla 13.

Los errores coordinados y los coordinados ponde-rados, respecto a cada escenario, están representa-dos en la Figura 5.

3.5. Análisis de sensibilidad: Modelo MAD

Para observar el grado de robustez o sensibilidad dela propuesta ante posibles modificaciones en los da-tos de entrada relativos a la probabilidad de ocu-rrencia de los escenarios, se ha considerado el pro-blema con distribuciones de probabilidades del 40%para S1, 30% para S2, 15% para S3, 10 % para S4 y 5%para S5, con lo que se obtiene la siguiente car teracoordinada (Tabla 14).

En la Figura 6 se muestran los errores coordinadosy los errores coordinados ponderados de esta solu-ción respecto a cada escenario.

4. Análisis comparado de los resultadosde los modelos

Una vez estudiadas y comparadas las soluciones queproporciona cada modelo para el caso de escenariosequiprobables, se obtiene la Tabla 15 (véase p. 84).

Analizando los resultados obtenidos para cada esce-nario, así como la solución de los modelos coordina-dos (para el caso de distribución de escenarios asi-métrica), se argumenta que en el Modelo MM elcapital y el riesgo coordinados son mayores que enel Modelo MAD. El beneficio esperado (como sumadel beneficio esperado en cada escenario) es tam-bién mayor para dicho modelo. Por todo ello, el ren-dimiento es ligeramente superior para la cartera so-lución del Modelo MM. En cambio, la diferencia entrelos errores coordinados máximo y mínimo es ligera-mente inferior para el Modelo MAD, siendo, además,la suma de los errores coordinados respecto a cadauno de los escenarios, más negativa para el ModeloMM. Esto último da una idea de la desviación del be-neficio esperado de la cartera coordinada respectoal beneficio esperado de la cartera óptima. Una vezobtenido el error coordinado (en valor absoluto), seha definido el índice de robustez (12), el cual se habasado en la variación del beneficio esperado del pro-yecto de inversión al óptimo de cada escenario.Ana-lizados los cuadros comparativos de ambos modelos,se puede determinar que el índice de robustez es ma-


xi

3AÑOS

BAC.NU 6.604,92BAC.OJ 245.347,92BAC.WG 2.680,99CAT.LO 2.120,29HBC.GBA 3.770,86SPG.KD 7.141,82TGT.GJ 5.241,95WFC.JL 1.319,89

5AÑOS

BAC.GEK 3.615,31BAC.GEO 4.234,40BAC.GER 3.975,30BAC.GFM 45.016,70CMA.HJ 1.350,58COF.HE 3.870,73HBC.GCB 8.163,60SPG.JP 7.092,50

10AÑOS

APA.GG 8.133,64BAC.GWX 6.053,06BAC.HIK 5.090,13HBC.HIK 2.009,68HBC.IKX 3.153,01HBC.IMH 7.015,33PRU.HT 5.533,57UTX.GB 7.200,62

C(x) $395.736,77

L(x) 6.090.337.539,99

xi

3AÑOS

BAC.NU 2.627,04BAC.OJ 200.950,33BAC.WG 2.638,22CAT.LO 2.604,50HBC.GBA 2.648,95SPG.KD 4.050,67TGT.GJ 9.078,04WFC.JL 10.727,22

5AÑOS

BAC.GEK 4.947,46BAK.GEO 4.834,47BAK.GER 4.384,03BAK.GFM 6.604,74CMA.HJ 5.348,88COF.HE 5.075,34HBC.GCB 5.231,27SPG.JP 3.808,91

10AÑOS

APA.GG 3.739,24BAC.GWX 3.503,44BAC.HIK 3.556,09HBC.IKN 4.408,31HBC.IKX 4.108,26HBC.IMH 1.674,02PRU.HT 1.308,70UTX.GB 4.894,29

C(x) $302.752,42

L(x) 3.987.875.973,40

Tabla 13Cartera coordinada del Modelo MAD

Tabla 14Cartera coordinada del Modelo MAD con distribución

asimétrica de probabilidades

68-85-COMPOSIO?N DE CARTERAS correg:Maquetación 1 29/7/10 12:58 Página 82


yor para el Modelo MAD. El índice de robustez ex-presa, por tanto, lo cerca que está cada uno de losdos modelos del modelo ideal. Un modelo coordi-nado ideal, cuya cartera coordinada tuviera un bene-ficio esperado en cada escenario igual al beneficio es-perado de la car tera óptima de cada uno de ellos,tendría un índice de robustez igual a 1 (100%), ya quetodos sus errores coordinados serían cero.

Para el caso de distribución asimétrica de probabili-dades de escenario se obtendría la Tabla 16 (véasesiguiente página).

En el caso de que la distribución de probabilidades deescenarios sea asimétrica, y para el Modelo MAD, elcapital a invertir en la cartera coordinada se acerca demanera más rápida al capital a invertir en el óptimodel escenario más probable. De hecho, el ModeloMAD responde más favorablemente a esta nueva dis-tribución de probabilidades proporcionando una va-rianza con un menor nivel de riesgo. El rendimientomedio esperado por escenario para la cartera coor-dinada del Modelo MM sigue siendo mayor para estadistribución de probabilidades. Al igual que en la dis-tribución equiprobable, la media de los errores coor-dinados ponderados, en valor absoluto, es menor parael Modelo MAD. Por el mismo motivo que en el casoanterior, el índice de robustez para el Modelo MADsigue siendo mayor que para el Modelo MM.

5. Conclusiones

En el presente trabajo se han estudiado y analizadolos modelos de optimización robusta como herra-mientas eficientes para la gestión del riesgo de títu-los de renta fija.

Se ha presentado un problema consistente en lacomposición de car teras de inversión de renta fijapar tiendo de una dotación inicial indeterminada.

La parte teórica del trabajo se complementa con elestudio y resolución del modelo de optimización porescenarios (aplicado al problema de selección de car-tera y partiendo de una dotación inicial indetermina-da). Para ello, se han utilizado los modelos MM y MAD,habiéndose acometido un análisis de sensibilidad antelas distintas posibilidades de ocurrencia de los dife-rentes escenarios para cada uno de los modelos.

A la vista de los resultados presentados en las sec-ciones 3 y 4, se aprecia que, independientemente deque la distribución de probabilidades de escenariossea simétrica o asimétrica, el modelo MAD es el quese comporta de una forma más robusta.

Es impor tante destacar que el riesgo coordinadoponderado (13), para el escenario más probable (s1),es negativo para ambos modelos, siendo mejor (másnegativo) para el modelo MAD.

De forma genérica, se puede afirmar que los mode-los desarrollados para la minimización del impactodel riesgo sobre las inversiones en el mercado derenta fija, son soluciones para prevenir los posiblesquebrantos derivados del mismo, aportando una gransolidez a la toma de decisiones en entidades de in-versión.

Por último, los resultados obtenidos son mejores quelos que se hubiesen obtenido utilizando estrategiasinmunizadores ya que este tipo de estrategias seusan para combinar el riesgo de los tipos de interés



Figura 6Errores coordinados de la cartera coordinada del modelo MAD con distribución asimétrica de probabilidades


de una car tera de activos frente a un flujo de acti-vos, con idea de que la exposición al riesgo de lamisma sea nula. Por ello, para seguir una estrategiainmunizadora es necesario un reajuste periódico dela car tera para mantener su duración igual al Ries-go de Reinversión (HPI), excepto cuando se esténutilizando bonos de cupón cero. El problema que sepresenta es que mantener la car tera inmunizada alo largo del HPI implica una reestructuración conti-nua de la car tera, debido a la evolución temporal dela duración, lo que supone unos costes de transac-ción elevados, reduciéndose así la rentabilidad de lacar tera.A todo ello hay que añadir que otro problema de lasestrategias inmunizadoras es el riesgo de reinversiónal que se está sujeto.

Referencias

BAI, D.,CARPENTER,T AND MULVEY, J. (1997). «Makinga Case for Robust Optimization Models». ManagementScience 43(7), pp. 895-907.

CANÓS,M. J. yVENTURA,M (1999). «Un modelo de car-tera con incer tidumbre». Actas de las VII Jornadas deASEPUMA, pp. 168-177.


Tabla 15Comparativa de los resultados de los dos modelos

MinMin ∑

=

= εεεε ≤

∑ ∑= =

∑=

ε

∑=

ε

∑=

ε

ε

∑=

−=ℜ ε

∑ ∑= =

∑ ∑= =

εε

εε −

Tabla 16Comparativa de los resultados de los dos modelos

con distribución asimétrica de probabilidades

MinMin

ε

εε ≤

∑ ∑= =

∑ ∑= =

∑=

= εε

∑=

ε

∑=

ε

∑=

ε

∑=

−=ℜ ε

∑ ∑= =

εε

ε

εε −


CHOPRA , ZIEMBA. (1993).« The Effect of Errors in Me-ans, Variances, and Covariances on Optimal Por tfolioChoice».The Journal of Por tfolio Management 19(2),pp. 6-11.

DEMBO, R.S. (1991). «Scenario Inmunization». Annals ofOperations Research 30(1), pp. 63-80.

ESCUDERO, L. (1995). «Robust portfolios for mortgage-backed securities. Quantitative Methods».AI and Super-computers in Finance (Unicom, Londres), pp. 201-228.


GOLUB, B., HOLMER, M., MCKENDALL, R., POHLMAN,L. y ZENIOS, S.A. (1994). «A stochastic programmingmodels for money management». European Journal ofOperational Research 85, pp. 282-296.

KATAOCA, S. (1963). «A Stochastic Programming Model».Econometrica, 31, pp. 181-196

MARKOWITZ, H. (1952). «Portfolio Selection», Journal ofFinance, 7, 77-91. (Se puede consultar la versión en cas-tellano: «Selección de car teras», Cuadernos del ICE,Enero de 1991, pp. 11-19.

MARKOWITZ,H. (1959). «Portfolio Selection: Efficient di-versification of investment».Yale University Press.

MARKOWITZ, H. y PEROLD, F. (1981): «Portfolio Analy-sis with Factors and Scenarios».The Journal of Finance,Vol. 36 Nº 14.

MICHAUD, R. (1989). «The Markowitz Optimization Enig-ma: Is «Optimized» Optimal?». Financial Analyst Jour-nal. January-February, pp. 31-42.

MULVEY, J.M.,VANDERBEI, R.J.AND ZENIOS, S.A. (1995).«Robust optimization of large scalesystems».Operations Research 43, pp. 264-281.

ROCKAFELLAR AND R.T.WETS. (1993). «Scenario andpolicy aggregation in optimization under uncer tain-ty». Mathematics of Operations Research, Vol 16:119–147.

ROY,A.D. (1952). «Safety First and the Holding of Assets»,Econometrica, 20, pp. 431-448.




Documents

Composición de carteras de inversión en títulos de rente