AnalisenaRetaHigidioPortilloOquendohttp://www.mat.ufpr.br/~higidioAugust4,2009NotasdeAula(aindaempreparacao)Contents1 Preliminares 41.1 ConjuntoseFunc oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 InducaoMatematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 ConjuntosFinitoseInnitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Conjuntosenumeraveis(notasantigas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 CorposOrdenados,N umerosReais 182.1 N umerosracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 CorposOrdenados,SupremoseInmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 N umerosReais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Seq uenciasnumericas 273.1 Seq uenciasmonotonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 SequenciasdeCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3 Limitesinnitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4 limiteSuperior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 Seriesnumericas 4214.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2 Convergenciaabsolutaecondicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3 Testesdeconvergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4 Representac aoDecimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.5 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 LimiteseContinuidadedeFunc oes 605.1 Limitesdefunc oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2 LimitesLaterais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.3 Fun coescontnuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.4 Fun coescontnuasdenidasemintervalos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.4.1 Func oesMonotonas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.5 ContinuidadeUniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736 Derivadas 756.1 Fun coesDerivaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2 CrescimentoLocal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.3 Polin omiodeTayloreExtremoslocais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.4 SeriesdePotencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.5 SeriedeTayloreFunc oesAnalticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947 IntegraldeRiemann 977.1 Integrabilidadedefunc oeslimitadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.2 Integrac aoemsubintervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.3 RelacoesentreDerivac aoeIntegracao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178 IntegraisImproprias 1208.1 Integrabilidadedefunc oesnaolimitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12028.2 IntegrabilidadedeFunc oesdenidasemintevalosnaolimitados . . . . . . 1258.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289 Seq uenciaseSeriesdeFunc oes 1309.1 TiposdeConvergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309.2 ConvergenciadeSeriesdeFun coes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.3 Equicontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Referenciasbibliogracas 14331 Preliminares1.1 ConjuntoseFunc oesConjunto: colec aodeobjetos,geralmentedenotamos:A = elementosquesatisfazemumadeterminadapropriedadeDenotaremos:N = 1, 2, 3, . . .: Conjuntodosn umerosnaturaisZ = 0, 1, 1, 2, 2, . . .: Conjuntodosn umerosinteirosQ = m/n : m, n Z e n ,= 0: Conjuntodosn umerosracionaisR: Conjuntodosn umerosreaisEscrevemos:1. x A,quandooelementoxpertenceaoconjuntoA2. A B,quandotodoelementodeApertenceaB(A esubconjuntodeB)3. A B,quandotodoelementodeApertenceaBporemexitealgumelementoemBquenaopertenceaA(A esubconjuntopropriodeB)ExemploA = 2n : n N, B= 4n : n NProvemosqueB A. Defato, sejax B, ent aox=4nparaalgumn N, porempodeserescritadaformax=2mondem=2n N, logox A, Agoravejamosquex Atalquex/ B;tomamosx = 2 = 2(1) AprovemosquenaopertenceaB. Peloargumentodoabsurdo, suponhamosquex=2 Bentaoexisten Ntal que2=4n,dain = 1/2 ,= Noquemosforneceumacontradic ao,portantoA B.operacoesemconjuntos1. Uniao: A B= x : x A ou x B2. Intersecao: A B= x : x A e x B43. Complementorelativo: A B= x : x A e x , B4. Produtocartesiano: A B= (a, b) : a A e b B5. Uniaoinnita:_n=1An= x : x Anparaalgum n N6. Intersecaoinnita:

n=1An= x : x Anparatodo n NDizemosquedoisconjuntosAeBsaoiguais,eescrevemosA = B,seelescontemosmesmoselementos,isto eA B e B AExemploSejamA,BeCtresconjuntos,vejamosqueA (B C) = (A B) (A C).De fato, mostremos primeiro : seja x A(BC), logo x A e x BC, este ultimoindica que x Bou x C. Se x Bent ao x ABe portanto x (AB) (AC),similarmente, sex Cent aox A Ceportantox (A B) (A C). Dai queA (B C) (A B) (A C)Obtenhamosagoraaoutrainclusao, : Sejax (A B) (A C),entaox A Boux AC. Qualquer que seja o caso, x A porem x pode pertencer a Bou Cou ambos,ent aox B C,logox A (B C).Uma funcao fde um conjunto A em um conjunto Be uma relac ao entre os elementosdestes dois conjuntos tal que a cada elemento x de A faz corresponder um unico elementoydeB,gracamente:f: A Bx yedenotaremosy=f(x). OconjuntoAechamadodedomniodefeBcontradomniodef.Observac oes:1. Paraqueumafuncaoestebemdenidaenecessarioestabelecerseudomnioearegradecorrespondenciaquerelacionaoselementos. Nocasoquearegradecorre-spondencia seja dada e nao seja especicado o domnio da funcao, conveniamos que5odomniodafuncaoseraomaiorconjuntoparaaqualaregradecorrespondenciafacasentido. Porejemplo,secolocamosf(x)=x 1semespecicarodomnio,conveniamosqueodomnioseraA = x R : 1 x < .2. Nem todos os elementos de Bestao necessariamente relacionados com um elementodeB,porexemplof: [0, [R, f(x) = (x 1)2.paraoelementoy= 1deB= RnaoexistexdeA=[0, [talquef(x)= 1.Tambem, nesteexemplo, doiselementosdeApodemestar relacionadoscomum unicoelementodeB: paray =1 Bexistemx1=0ex2=2deAtais quef(x1) = y= f(x2).Dadaafunc aof: A BeossubconjuntosC AeD B,denotaremos1. f(C) := y B: x C talque y= f(x): ImagemdeCatravezdef.2. f1(D) := x A : f(x) D: ImageminversadeDatravezdef.Mostremosquef(C D) f(C) f(D)Sejayf(C D), logoexiste x C Dtal que y =f(x). Comox Centaoy= f(x) f(C)ecomox Dent aoy= f(x) f(D),portantoy f(C) f(D).Aigualdadenao everdadeira,poisparaafuncaof(x) = x2esubconjuntosA = x R: 1 x 0, B= x R:0 x 2ent aoA B= 0, logof(A B)= 0,poremf(A) = y R : 0 y 1,f(B) = y R : 0 y 4,f(A) f(B) = y R : 0 y 1Sejaf: A B,Dizemos:1. feinjetiva,separax1 ,= x2tem-sef(x1) ,= f(x2).2. fesobrejetiva,seB f(A).63. febijetivaseforinjetivaesobrejetiva.Dadaumafuncaoinjetivaf : A Bsabemosqueparay f(A)existeum unicox Atal quef(x)=y. Assimdenimosafuncaoinversaf1: f(A) Adadaporf1(y) = x.Dadas duas func oes f : A B, g : B C, denimos acomposicaodefuncoesg f: A Ccomosendog f(x) := g(f(x)), x A1.2 InducaoMatematicaO princpio de induc ao matematica e uma ferramenta poderosa para establecer a validadedealgumaarmacaodadaemtermosdosn umerosnaturais:N = 1, 2, 3, . . ..Alemdasoperacoesaritmeticasdaadic ao,multiplicac aoerelacoesdecomparacao,,,Esteconjuntogozadapropriedade:PropriedadedoBomOrdenamentode N. Todo subconjunto de Ntem um elementomnimo,isto e,seA Nentaoexisten0 Atalquen0 nparatodon A.Com esta propriedade podemos deduzir uma versao do principio de induc ao matematicaPrincipiodeInducao. SejaA Ntalque1. on umero1 A.2. sek Aimplicaquek + 1 A.Ent aoA = N.Exemplo: mostreque1 + 2 + + n =n(n + 1)2para todo n N. Seja A o conjunto de n umeros naturais para a qual e valida a igualdadeanterior. Claramente1 A,suponhamosentaoquek A,isto e,1 + 2 + + k =k(k + 1)2,7vejamosquek + 1 A. Defato1 + 2 + + k + (k + 1) =k(k + 1)2+ (k + 1) = (k + 1)(k/2 + 1) =(k + 1)(k + 2)2.Logo, peloprincpiodeinducaomatematicatemosqueA= N, istoaigualdade? valeparatodon N.Enalgunscasos, algumasarmacoessaovalidasapenasparan n0onden0 Z.Neste caso podemos usar uma vers ao equivalente ao principio de induc ao, a qual pode serenunciadadaseguinteforma:PrincipiodeInducao(versao2). SejaA n Z : n n0talque1. on umeron0 A.2. sek Aimplicaquek + 1 A.Ent aoA = n Z : n n0.Exemplo,Sejax > 1,vejamosqueadesigualdadedeBernoulli(1 + x)n 1 + nx evalidaparan 0. Defato, SejaAoconjuntodosn umerosinteirosmaioresouiguaisazeroquesatisfazemadesigualdadeanterior. Claramente0 A, suponhamosentaoquek A,mostremosquek + 1 A. Defato,(1 + x)n+1= (1 + x)n(1 + x) > (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx2> 1 + (n + 1)x.Logo, peloprincpiodeinducao(versao2) temos que A= n Z: n 0, istoadesigualdade?valeparatodon 0.PrincipiodeInducaoForte. SejaA Ntalque1. on umero1 A.2. se1, 2, . . . , k Aimplicaquek + 1 A.Ent aoA = N.1.3 ConjuntosFinitoseInnitosUsaremosanotacaoIn= 1, 2, . . . , n8DizemosqueumconjuntoX ,= enitoseexisteumabijec aof:In Xparaalgumn N,nestecasodizemosqueXtemnelementoseoconjuntoXpodeserescritodaformaX= f(1), f(2), . . . , f(n). QuandonaoepossvelestabelecerumabijecaoentreX ,= ealgumIndizemosqueXeinnito. Convencionamosque enitoetem0elementos.Observequeseg:X Y eumabijecaoeumdessesdoisconjuntosenito, entaoooutrotambemseranito. De fato, se Xe nitoentaoexiste umabijecaotal quef: In X,ent aog f: In Y seraumabijecaoeportantoYenito.Theorem1.1Seexisteumabijecaof:X Y entaodadoa Xeb Y existeumabijecaog: X Y tal queg(a) = bProof: Sef(a) =baconclusaodolemaeverdadeiro. Casof(a) ,=b, construimosg: X Y dadaporg(a) = b, g(f1(b)) = f(a) e g(x) = f(x) x X, x ,= a, x ,= f1(b).Deixamosaoleitorcomoexerciciomostrarquegeumabijec ao. 2Theorem1.2NaoexistebijecaoentreIneumsubconjuntoproprio.Proof: Procedamospeloabsurdo, istoe, suponhamosqueexistealgumn Ntal queexisteumabijec aodeIncomalgumsubconjuntopropriodeIn. Sejan0omenorn umeronatural paraaqual issoacontece, logoexisteumabijecaof : In0 AcomA In0.Se n0 ApeloLemaanterior podemos considerar que f(n0) =n0, asimarestricaof: In01 A n0 continua sendo uma bijecao comA n0 In01o que contradiz aminimalidade de n0. Se n0 , A entao f: In01 Af(n0) contnua sendo uma bijec aocomA f(n0) In01oquetambemcontradizaminimalidadeden0. 2Corollary1.3On umerodeelementosdeumconjuntonitoe unico.Proof: Procedamos peloabsurdo, sejaX,=umconjuntonitotal que existembijec oesf:In Xeg:Im X, comn ,=m. Suponhamosquen nparatodon N.(b) 2n< n!paratodon 4, n N.4. Considereosn umerosxndenidosporx1:=1, x2:=2exn+2=xn+1 + xn2paran N. Mostre, usandooprincpiodeinducaoforte, que1 xn 2paratodon N.Secao1.31. SejamAeBdoisconjuntosnitosdisjuntosdenemelementosrespectivamente,mostrequeA Btemn + melementos.2. SejaA BondeAeBtemnemelementosrespectivamente, mostrequeB Atemmnelementos. Deduzadaquiquen m.3. SejamAeBdoisconjuntosnitosdenemelementosrespectivamente. SeA Btemkelementos,mostrequeA Btemn + mkelementos.4. SejamAeBdoisconjuntosnitosdenemelementos,mostrequeABtemnmelementos.5. SejaXumconjunto, denotemos com T(X) oconjuntoondeseus elementos saotodosossubconjuntosdeX.(a) SejaX= 1, 2, 3determineos8elementosde T(X).(b) Mostre usando inducao que, se Xtem n elementos entao T(X) tem 2nelemen-tos.6. Estabeleca uma bijec ao entre N e o conjunto dos n umeros naturais mpares maioresque5.7. Mostrequetodosubconjutodeumconjuntoenumeravel eenumer avel.172 CorposOrdenados,N umerosReais2.1 N umerosracionaisOconjuntodosnumerosracionaisQ := n/m : n Z, m Ndotadodasoperac oesbinariasdeadicaoemultiplicacao:n1m1+n2m2:=n1m2 + n2m1m1m2,n1m1

n2m2:=n1n2m1m2,temasmesmaspropriedadesalgebricasqueosconjuntoschamadosdecorpostem. Aseguirdescrevemosestesconjuntos.Corpos: UmconjuntoKmunidodeduasoperacoesbinariaschamadasdeadic ao+emultiplica cao:+ : K K K(a, b) a + b, : K K K(a, b) ab,editocorposesatisfazcadadosseguintesaxiomas(A1) Existenciadeelementosneutros. Existe0 K,1 Kcom1 ,= 0satisfazendoa + 0 = a, a1 = x, a K.(A2) Existenciadeelementosinversos.Aditivo: paracadaa Kexiste umelementodenotadopor a Ktal quea + (a) = 0.Multiplicativo: paracadaa K,a ,= 0,existeumelementodenotadopora1 Ktalqueaa1= 1.(A3) Propriedadecomutativa,asociativaedistributiva.Comutativa: a + b = b + a,ab = baparatodoa, b K.Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c),(ab)c = a(bc)paratodoa, b, c K.Distributiva: a(b + c) = ab + acparatodoa, b, c K.Deixamosproleitorvericarque Qeumcorpocomaadic aoemultipica caointro-duzidasacimaObserveque,numcorpo,podemosintroduzirotrasduasoperac oesbinariasdenidasaseguir181. Substracao: a b := a + (b)paraa, b K.2. Divisao: a/b := ab1paraa, b K,b ,= 0.Algumaspropriedades:1. Vejamosquea0 = 0paratodoa K. Defato,a0 = a(0 + 0) = a0 + a0somando (a0)temosquea0 = 0.2. Seab = 0ent aoa = 0oub = 0.Defato,suponhaa ,= 0,entaomultiplicandopora1cadamembrodeab = 0temosqueb = a1 0 = 0.Qnaoesucienteparaexpresartodososcomprimentospossveis: para ilustraresta armac ao consideremos um triangulo retangulo cujos catetos tem comprimento iguala1, vejamosqueahipotenusa(h)naotemcomprimentoigual aumn umeroracional.Procedamospeloabsurdo,isto e,suponhamosqueh eumn umeroracionaln/mcomnemco-primos(o unicon umeronaturalquedivideestesnumerossimultaneamenteeo1).Ent ao, peloteoremadePitagorastem-seque(n/m)2=12+ 12=2, deondesequequen2= 2m2. Istoimplicaquen2epareportanton epar(prove!),logon = 2rcomr Nque ao ser substitudo resulta em 4r2= 2m2, logo m2= 2r2, sto e m2e par e portanto mepar,destaformanemnaopodemserco-primos,istocontradiznossasuposicaosobreh. Observequeacabamosdemostrarquenaoexisten/m Qtalque_nm_2= 2. (2.1)oqualserausadomaisadiante.Esta deciencia dos n umeros racionais estimulou a contruc ao um corpo sucientementegrandequecontenha, alemde Q, oscomprimentosquenaopodemserexpresadosporn umerosracionais. Paraisso enecessariosintroduziralgunsconceitosadicionais.2.2 CorposOrdenados,SupremoseInmosUm corpo K e ordenado se contem um subconjunto P, chamado subconjunto dos elementospositivosdeK,comasseguintespropriedades191. a + b, ab P, a, b P.2. dadox Ksomenteocorreumadastresposibilidades: x P, x P,x = 0.Observac aoPe unico,0 , Pe1 P(Prove!).Exemplo: OconjuntoP= m/n : m, n N eosubconjuntodeelementospositivosdeQ,poissatisfazaspropriedadesacima,portanto Q eordenado.EmcorposordenadosKpodemosestabelecerumarelac aodeordementreseusele-mentosdaseguinteforma:Dizemosamaiorquebedenotamosa > b, sea b P.Comestadenicaopodemosobservarque, sedenotamoscomK+= x K: x>0teremosqueP= K+.Partindodestarelac aodeordempodemosintroduzirasseguintesrelac oesadicionais:a b le-seamaiorouigualqueb, sea > boua = b.a < b le-seamenorqueb, seb > a.a b le-seamenorouigualqueb, sea < boua = b.AlgumaspropriedadesTheorem2.1SejaKumcorpoordenado.1. Sea < beb < centaoa < c.2. Sea < bentaoa + c < b + cparatodoc K.3. Sea < bentaoac < bcparatodoc > 0.Proof: SejaPosubconjuntodoselementospositivosdeK1. Porhipotese,b a Pec b Pportantoasomac a P.2. Dahipotesetemosqueb a P???3. Porhipoteseb a Pec Pportantooproduto (b a)c P.202Cotas superiores e inferiores: SejaAumsubconjuntodeumcorpoordenadoK.Dizemosque KeumacotasuperiordeAsea , a AenestecasoAeditolimitadosuperiormente. Analogamente,dizemosque KeumacotainferiordeAse a, a A e neste caso A e dito limitado inferiormente. O conjunto A e dito limitadoseforlimitadosuperiormenteeinferiormente.Amenorcotasuperior0doconjuntoA, seexistir, echamadodesupremodeAedenotadopor0= sup A,isto e,0devesatisfazera 0 , a A, eparatodacotasuperiordeA.A mair cota inferior 0 do conjunto A, se existir, e chamado de nmo de A e denotadopor0= inf A,isto e,0devesatisfazer 0 a, a A, eparatodacotainferiordeA.Exemplo: ConsideremosA= x Q:0 x2. Demonstraremosque AnaotemnmonocorpoQ. Paraissousemos oargumentodoabsurdo, istoe, suponhamos queexistep/q Qtal quep/q =inf A, claramentep/q 0. Como(p/q)2,=2(veja?) entao(p/q)2>2ou(p/q)2 0.Comop22q2> 0,estadesigualdade evalidaparansuentementegrande.2. Se p/q B, seguindo o mesmo raciocinio anterior e possvel mostrar que p/q+1/n B para algum n sucientemente grande e portanto e uma cota inferior. Isto contradizofatodep/qseramaiorcotainferiordeA.21Estosdoiscasosmostramquep/q , A B. Logop/qnaopodesero nmodeA.Este exemplo mostra que nem todos os subconjuntos limitados inferiormente do corpoQpossui nmo.2.3 N umerosReaisOconjuntodosn umerosreais, denotadopor R, seraumcorpoordenadoquecontem Qsatisfazendoaseguintepropriedade:PostuladodeDedekind: todosubconjuntonaovaziode R, constitudodeelementospositivostemum nmo.Opostuladolevaessenome, poisfoi Dedekindquemconstruiuumcorpoordenadocontendo Q satisfazendo esa propriedade,para isso ele usou subconjuntos apropriados deQasquaischamoudecortes. Pode-semostrarqueesteconjuntoe unicoexetoporisomorsmos.Propriedadesde RRecompleto, istoe, todosubconjuntodeRlimitadoinferiormente(superiormente)possui nmo (supremo). De fato, seja A R limitado inferiormente. Seja 0 R tal que0< xparatodox A. Se0 0opostuladodeDedekindgaranteaexistenciadeumnmo. Por outro lado se0< 0,consideramos o conjuntoB= x 0: x A. Nestascondic oes Be umsubconjunto de R+e portanto possuiuminmoa qualdenotamospor0. Assim 0 x 0para todo x A de onde segue que 0 +0e uma cota inferior deA. Por outro lado, Seja uma cota inferior de A, ent ao x e portanto 0 x0,istoe 0eumacotainferiordeBepor0amenorcotasuperiordeBtemosque 0 0oqualimplicaque 0 + 0,portanto0 + 0eamaiorcotainferiordeA, logoexisteinfmodeA. LogoqualquerquesejaocasoApossui nmo. Ficacomoexerccioproleitorquetodoconjuntolimitadosuperiormentepossuisupremo.R e arquimediano, isto e, Dado x R existe n N tal que x < n. De fato, suponhamosquen < xparatodon NentaoNeumconjuntolimitadoeportantopossuisupremo.Seja0= sup N,ent aoexisten0 Ntalque0 1 0.(b) Sea > 0eab > 0ent aob > 0.(c) Sea > 0entaoa1> 0.(d) Sea > b > 0ent aoa1< b1.6. Seja Roconjuntodosn umerosreais(a) Mostreque,sea < b,ent aoexistec Rtalquea < c < b.(b) Mostrequesea ,= 0ent aoa2> 0.(c) se0 < a < b. Mostrequea2< b2e a 0existea0 Atalquea0< 0 + .9. SejamA, B RedenotemosA + B= a + b : a A, b B. Mostreque,seAeBsao limitados superiormente,ent ao A+Be limitado superiormente,e neste casosup(A + B) sup A + sup B.10. Sejaa R.(a) sea > 0,mostrequeexisten Ntalquen 1 a < n.(b) paraaqualquer,mostrequeexisten Ztalquen 1 a < n11. Sejama, b R. Mostreque[a[ [b[ [a b[12. Sejama, b, x Rtalquea < x < b. Mostreque [x[ < [a[ +[b[.13. Seja A R. Mostre que A e limitado, se e somente se, existe M 0 tal que [x[ Mparatodox A.263 Seq uenciasnumericasUma seq uencia numerica e uma func ao x : N R. Denotando por xn= x(n) a seq uenciaseradenotadaporx = (xn)nN:= (x1, x2, . . . , xn..Termogenerico, . . .), xn R, n NExemplo1. (1/n)nN= (1, 1/2, 1/3, . . .)2. (3n)nN= (3, 32, 33, . . .)Denition3.1Dizemos que L R e o limite de uma seq uencia (xn)nNquando n ,edenotamoslimnxn= Lseparatodo > 0existen0 Ntal que[xnL[ < , n n0QuandoexisteolimiteLdizemosqueaseq uenciaeconvergente,casocontrarioediver-gente.Observacao: Da denicao anterior podemos dizer que limnxn= L se L < xn< L+paransucientementegrande(isto e,paran n0).Exemplo Aseq uencia(1/n)nNtemlimiteL=0quandon . Defato, dado > 0xado,paraque1n 0 1

n >1

Assim,xandon0>1

temosqueparan n0obtemosquen n0 n >1

0 1 econvergente. Defato,np+ 1 > np nportanto0 0xemosC>0umaconstantemaiorque [[ e [[. Porhipotese,existemn1, n2 Ntalque[xnL[ < /2C paratodo n n1,[ynM[ < /2C paratodo n n2.Asim,paran n0:= maxn1, n2temosque[xn + yn(L + M)[ [[[xnL[ +[[[ynM[ C([xnL[ +[ynM[) < .2Theorem3.7Se(xn)nNeumasequencialimitadae limnyn= 0,entaolimnxnyn= 0Proof: Como(xn)nNeumasequencialimitadaexisteM>0tal que [xn[ M. Daisegueque0 [xnyn[ M[yn[peloteoremadoconfronto limn[xnyn[ = 0,portanto limnxnyn= 0. 2Exemplo Consideremos(xn)nNondexn=sin(en)/n. Ent ao, como(sin(en))nNelimitadae(1/n)nNconvergeparazero,tem-seque limnxn= 0Theorem3.8Suponhamosque limnxn= Le limnyn= M. Entao1. limnxnyn= LM2. SeM ,= 0entao limnxnyn=LMProof:301. Observeque[xnynLM[ [xn[[ynM[ +[M[[xnL[.Aplicandooteoremadoconfrontosegueoresultadodesejado.2. BastaProvarque limn(1/yn) = 1/Meusaroitemanterior. Observeque1yn1M = [M yn[[M[[yn[. (3.2)Pelo fato de limn[yn[ = [M[ > 0 entao exite n0 N tal que [M[2< [yn[ para n n0ou equivalentemente1[yn[0podemosencontrarn0 Ntal que[xnxm[ < , n n0.Theorem3.17TodasequenciadeCauchyelimitada.Proof: Seja(xn)umaseququenciadeCauchy, logopara=1existen0 Ntal que[xnxm[ < 1, n, m n0emparticular [xnxn0[ < 1, n n0. Como[xn[ [xn0[ [xnxn0[ < 1 [xn[ < 1 +[xn0[, n n0.TomandoM= max[x1[, . . . , [xn01[, 1 +[xn0[termosque [xn[ M, n N. 2Theorem3.18AsequenciaeconvergenteseesomenteedeCauchy.Proof: (): Seja (xn) tal que xn L R, logo para> 0 xo temos que existe n0 Ntal que [xnL[ < /2, n n0. Assim,paran, m n0temosque[xnxm[ [xnL[ +[L xm[ < /2 + /2 = ,logoasequenciaedeCauchy.(): Seja (xn) uma sequencia de Cauchy, logo para>0 xo, existe NNtalque [xn xm[ M, n n0.Analogamente, dizemos queumasequencia(xn) temlimiteinnitoquandon , edenotamos limnxn= ,separacadaM> 0existen0 Ntal quexn< M, n n0.ExemploVejamosquesequenciadadaporxn=ntemlimite quandon . Defato,sejaM> 0,entaon > M n > M2Fixandon0> M2teremosqueparan n0tem-se n > M,portanto limnxn= .Observacao:1. Como naosaon umeros reais as sequencias cujos limites sao naosaoconvergentes.2. Varias das propriedades artimeticas de limites de sequencias convergentes nao podemserextendidasaoslimitesinnitos. Porexemploapropriedadelimn(xn + yn) =limnxn +limnynnaosempreeverdadeira, parailuistraristobastatomarxn=neyn= n, oqueimplicariaem0= . Por otrolado, seconsiderarmos as xn=n2+ neyn= n, implicariaque = dai chegamosaoabsurdo0= . Emboraalgumaspropiedadesaritmeticassobrelimitesnitosnaosepreservemparalimitesinnitos aindapodemos ter, sob certas condicoes apropriadas, alguns resultados.Enunciaremosaquialgunsdestesresultados:Theorem3.20Sejam(xn)e(yn)sequencias,cumaconstantepositivaen0 N.1. Se limnxn= e(yn)nNelimitadainferiormente,entao limn(xn + yn) = .2. Se limnxn= eyn cparan n0,entao limn[xnyn] = .363. Sexn ceyn> 0paran n0e limnyn= 0,entao limn[xn/yn] = .Proof: ProvaremososegundoItem,osrestantescacomoexerccioparaoleitor. SejaM> 0,como limnxn= ,existen1 Ntal quexn> M/cparan n1. Consideremosn2= max n0, n1,logoparan n2teremosquexnyn> M,portanto limn[xnyn] = . 23.4 limiteSuperiorDenicao: DizemosqueLeolimitesuperiordaseq uencia(an)nNedenotamosL = limsupnan,sesatifazosseguintesitens1. Existeumasubseq uenciade(an)nNcujolimiteeL.2. SeMforolimitedealgumasubsequenciade(an)nN,entaoL M.Theorem3.21SeL Reolimitesuperiordaseq uencia(an)nNentaoLeomenorvalorquesatisfazapropriedade: para > 0dadoexisten0 Ntal quean< L + , n n0(3.3)Proof: VejamosprimeiroqueLsatisfazapropriedade(3.3). Procedamospeloabsurdo,suponhamosqueexiste0> 0eumasubsequencia(ank)tal queank L + 0paratodo k N.SeestasubsequenciaforilimitadasuperiormenteentaoL = aqualeumacontradicaocomnossahipotese, poroutroladoseforlimitadasuperiormenteentaoseralimitada, epeloteoremadeBolzano-Weierstrass, possui umasubsequenciaconvergenteaumvalorMemvistade? temosqueM L + 0oqueentraencontradicaocomadenicaodeL. VejamosagoraqueLeomenorvalorquesatisfazapropriedade(3.3). Defato,casoexistaM 0,porhipoteseexisten0 Ntal quean< L + paratodon > n0. Sejar< L,observeque,pelomenosparaalgum ndicenmaiorquen0teremosquer < anpoiscasocontrarioteriamosquean< r + paratodon n0oqual geraumacontradicaocomofatodeLseromenorvalorcomessapropriedade.Sejaagoran1> n0tal queL < an1< L + eindutivamentetomamosnk> nk1tal queL

k< ank< L +

kparak= 2, 3, . . .. destaformatemosqueank Lquandok .AgorasejaMolimitedealgumasubseq uencia,entaoemvistade? temosqueM L+,Comocomo earbitrariotemsequeM L,isto e,L eolimitesuperiorde(an).3.5 Exerccios1. Usandoadenicaodelimitedeumasequencia,mostrequelimnnn + 1= 0, limn1ln(n + 1)= 0, limn_n + 1n= 12. Para [[ < 1mostreque limnn= 0.3. Sejar 0mostre,usandoinducaoque,(1 + r)n 1 + nr + n(n 1)r2/2,paratodon N. Seguidamente considere asequenciaxn=nn 1e mostreusandoadesigualdadeanteriorquen = (1 + xn)n n(n 1)x2n/2. Dividindoestadesigualdadeporn(n 1)conclua, peloteoremadoconfrontoquexn 0quandon ,ouequivalentementelimnnn = 1.4. Seja(xn)nNumasequenciadetermospositivosqueconvergeparaL. MostrequexnconvergeparaL.385. Mostre que 2n (n+1)! para todo n N. Seguidamente, considere xn= 2n/(n+2)!e mostre que xn 0 quando n . Agora, verique que 2n/n! = 4xn2para n 2econcluaquelimn2nn!= 0.6. Useideassimilaresaoitemanteriorparamostrarquelimnn2n!= 0, limnn2n= 07. Suponhaque limnxn= L. Mostreque:(a) SeL < ,existen0 Ntal quexn< paratodon n0.(b) SeL > ,existen0 Ntal quexn> paratodon n0.8. Seja(xn)nNumasequenciadetermospositivos.(a) Se limnxn+1xn< 1,mostreque limnxn= 0.(b) Se limnnxn< 1,mostreque limnxn= 0.9. Sejap Ne > 1. Useoitemanteriorparamostrarosseguinteslimiteslimnnpn= 0, limnnpn!= 0, limnnn!= 0, limnnnn= 0.1. Considereasequenciaxn=1n + 1+1n + 2+ +12npara n 1(a) Mostreque1/2 xn 1paratodon 1.(b) Mostrequeasequenciaeconvergente.2. Seja > 0econsidereasequenciaxn= 1/n.(a) Mostrequeasequenciaemonotonaelimitadaeportantoconvergente.(b) Veriquequexn= x22neusandoestarelacaocalculeolimitedasequencia.3. Seja ]0, 1[ e R. Fixex0 /(1 )econsidereasequenciacujostermossaoobtidosrecursivamentepelaformulaxn+1= xn + , para n 0.39(a) Mostrequexn /(1 )paratodon 0.(b) Mostrequeasequenciaconvergeecalculeseulimite.4. Seja0. Fixe x0/2 e considere asequenciacujos termos saoobtidosrecursivamentepelaformulaxn+1= 24xn, para n 0.(a) Mostrequexn /2paratodon 0.(b) Mostrequeasequenciaconvergeecalculeseulimite.5. Seja (xn)nNuma sequencia limitada e (yn)nNuma sequencia tal que existe limn(ynxn) = L R. Mostreque(yn)nNpossuiumasubsequenciaconvergente.6. Considerexn= n. Mostreque limn[xn+1 xn[=0poremasequencianaoedeCauchy.7. Sejar ]0, 1[econsidereasequenciasn= 1 + r + r2+ + rn.(a) Mostrequesn= rsn + 1 rn+1(b) Mostrequesn 1/(1 r)quandon .(c) Seja(xn)nNtal que [xn+1 xn[ rn. Mostreque(xn)nNedeCauchyeportantoconvergente.8. Seja(xn)umasequenciacrescenteeilimitada. Mostreque limnxn= .9. seja(xn)umasequenciadetermospositivos. Mostrequelimnxn= limn1xn= 0Seja R. Deexemplodesequenciassatisfazendoxn 0,yn taisque(a) xnyn .(b) xnyn .(c) xnyn Seja R. Deexemplodesequenciassatisfazendoxn ,yn taisque(a) xn + yn .40(b) xn + yn .(c) xn + yn 10. Sejam(xn)eynduassequenciastaisquexn ynparatodon N. Mostreque(a) Sexn ,entaoyn (b) Seyn ,entaoxn 414 SeriesnumericasNestasecaoconsideraremossomasinnitasdaforma

k=1ak:= a1 + a2 + a3

aqual echamadadeserienumerica. Ocoecienteakechamadodetermogenericodaserie. Aseriepodeiniciardequalquerinteirok0,istoe,

k=k0ak:= ak0 + ak0+1 + ak0+2 +Pretendemosentaoestabelecerumsignicadoparaovalordessaserie,antesvejamosumexemploquediferenciasomasnitascomsomasinnitas.Consideremos a serie

k=0(1)ke suponhamos que o valor dela e s, isto e

k=0(1)k= s.Aplicandoapropriedadeassociativatemosques = 1 1. .=0+1 1. .=0+1 1. .=0+ s = 0s = 1 +1 + 1. .=0+1 + 1. .=0+1 + 1. .=0+ s = 1tambempodemosescrevers = 1 (1 1 + 1 1 + ) = 1 s s = 1/2Anal, s=0ous=1ous=1/2?. Nossoerroradicaematribuirumvalor`aseriesemantesdeniroformaemqueostermosdaserieseraosomados. Amdeestabelecereste processo para cada serien

k=1ak,consideremos sua sequencia de somas parciais (sn)Ndadaporsn:=n

k=1ak= a1 + a2 + + an.Observequesesn Lentaointuitivamenteteremosque

k=1ak=limnn

k=1ak=limnsn= Listo e,o valor da serie e o limite da sequencia (sn)nN. Isto nos permite atribuir um valor`aseriedesdeque(sn)Nsejaconvergente.42Denicao: Dizemos que a serie

k=1ak e convergente se a seq uencia das somas parciaissn=n

k=1akconvergeparaalgumvalorL R. NestecasodizemosqueovalordaserieeL,fatoqueintuitivamentevemdoseguinteprocedimento:

k=1ak=limnn

k=1ak=limnsn= L.A serie sera divergente se a sequencia de somas parciais(sn)nNfor divergente e portantonaopodemosatribuirnenhumvalor`aserie.Exemplo Aserie

k=0(1)kedivergente. poissesn=n

k=0(1)ktemosques2n= 0es2n+1=1, assimtemosduassubseqenciasde(sn)nNconvirgindoavaloresdiferentes,portantoestasequencianaoconverge,daiqueaserieedivergente.Exemplo Sejar Rxado. Aserie

k=0rkeconvergente?Qual eovalordaserie?Asomaparcialesn=n

k=0rk= 1 + r + r2+ + rn. Multiplicandoporrtemosrsn= r + r2+ + rn+ rn+1 snrsn= 1 rn+1 (1 r)sn= 1 rn+1 sn=1 rn+11 r(ser ,= 1)Comor Rtemosque [r[ < 1ou [r[ 11. Se [r[ < 1entao limnrn+1= 0logo limnsn=11 reportanto

k=0rk=11 r2. Se [r[ 1entao ,limnsn. Porque? Vejaqueacontececomlimnsnquando [r[>1, r = 1er = 1.Aserieanteriorechamadacomoseriegeometrica.Exemplo Aserie

k=11kechamadadeserieharmonica. Vejamosqueestaseriee43divergente. Defato,denotemoscomsn=n

k=11keobserveques2= 1 +12s22 = 1 +12+13+14 1 +12+14+14 1 +12+12s23 = 1 +12+13+14+15+16+17+18 1 +12+14+14+18+18+18+18= 1 +12+12+12.Assim,podemosmostrarporinducaoques2n 1 +n2paratodon N. Daisegues2n portantoasequencia(sn)nNdiverge.OutraAlternativaparadeterminaradivergenciadaserieharmonica: Consid-eremosafuncaof(x) = 1/x. Porfserdecrescenteem[1, [temosque_n+11f(x) dx n

k=1f(k)_n+111xdx n

k=11k ln(n + 1) snTomandolimitequandon temosque limnsn= .Exemplo Suponhamosque limnbn= L. Aserie

k=0(bkbk+1)econvergente?n

k=0(bkbk+1) = (b0b1) + (b1b2) + + (bnbn+1) = b0bn+1Tomandolimitetemosque

k=0(bkbk+1) = b0LAserieanterioreconhecidacomoserietelescopica.Assim,aserie

k=11k(k + 1)econvergente,poisn

k=11k(k + 1)=n

k=1_1k 1k + 1_ = 1 1n + 144Theorem4.1(CriteriodeCauchy) Aserie

ake convergentese e somente sedado > 0epossvel encontrarn0 Ntal que[an+1 + an+2 + + an+p[ 0tal que0 ak Cbkparatodok k0. logotemosque1. Se

k=1bkconverge

k=1akconverge2. Se

k=1akdiverge

k=1bkdivergeProva: Semperdadegeneralidadeassumamosqueak Cbk k 1. Sejamsn=n

k=1aketn=n

k=1bkasrespectivassomasparciais, entaotemosquesn Ctnparatodon N.Comoestamosrabalhandocomseriesdetermospositivosassequencias(sn)nNe(tn)nNsaomonotonascrescentes. Assim:1. Se

k=1bkconverge entao (tn)nNconverge e portanto e limitada superiormente o qualimplicaque(sn)nNtambemelimitadasuperiormente. Assimtemosque(sn)nNeumasequenciamonotonaelimitada,portantoeconvergente.462. Se

k=1ake divergente entao (sn)nNnao pode ser limitada superiormente, logolimnsn= +. Daisegueque limntn= +.Exemplo: Consideremosaserie

1n!. Desdeque1n!=123n 122. .n1termos=12n1easerie

12n1serconvergenteconcluimosque

1n!converge.Exemplo: Seja0 < p < 1consideremosaserie

1np. Desdeque1np 1nconcluimosqueaserie

1npdiverge.4.2 ConvergenciaabsolutaecondicionalDenition4.7Dizemosqueumaserie

k=1akeabsolutamenteconvergenteseaserie

k=1[ak[forconvergente.Theorem4.8Todaserieabsolutamenteconvergenteeconvergente.Proof: Seja

k=1akumaserieabsolutamenteconvergente,istoe,aserie

k=1[ak[econ-vergente. Agora,paracadan Nconsideremospn= maxan, 0,qn= maxan, 0.Assimpn [an[eqn [an[, n N. Como

k=1[an[converge,doteoremadecomparacao?podemosconcluirqueasseries

k=1pne

k=1qnsaoconvergentes. Poreman= pnqn, n N.47Daiconcluimosque

k=1anconverge. 2Outraalternativaparaprovaroteoremaanterior: Esaremos o criterio de Cauchy.Seja > 0. Comoaserie

k=1[ak[converge,existen0 Ntal que[an[ + +[an+p[ 1aserie

k=0akedivergente493. SeL = 1naopodemosarmarnada.Proof: SeL < 1temosqueparaL < r < 1existen0 Ntal que[an[1n< r,n n0[an[ < rn,n n0daisegueque

k=n0[ak[ 1entaoparaexiten0 Ntal que[an[1n> 1,n n0[an[ > 1,n n0,daisegueque limnan ,= 0portantoaserie

k=0aknaoeconvergente. 2Exemplo: Aserie

ennnconvergepoislimn_ennn_1/n=limnen= 0Theorem4.12(Testedaraz ao) Seja limn[an+1[[an[= L,logo1. SeL < 1aserie

aneabsolutamenteconvergente2. SeL > 1aserie

anedivergente3. SeL = 1naopodemosarmarnada.50Proof: 1. AssumamosqueL < 1. SejaL < r < 1entaoexisten0 Ntal que[an+1[[an[< r, n n0istoe [an+1[ < r[an[ n n0. assim [an+2[ < r2[an[ n n0eportanto[an+p[ < rp[an[, n n0Daitemosque

k=n0[ak[ =

p=0[an0+p[ < [an0[

p=0rpComoaseriegeometricaconvergeentaoaserie

akconvergeabsolutamente.2. ParaocasoL > 1deixamoscomoexercicio3. Aserie

1ndivergeeaserie

1n2converge. Emamboscasostem-selimn[an+1[[an[= 1.2Exemplo: Aserie

bnn!convergepoislimn[b[n+1/(n + 1)![b[n/n!=limn[b[n + 1= 0Theorem4.13(TestedaIntegral) Sejaf(x)decrescenteepositiva,denotemoscoman= f(n). Logo1. se_1f(x) dx < entaoaserie

k=1akconverge2. se_1f(x) dx = entaoaserie

k=1akdivergeProof: Bastaobservarquef(2) + + f(n) _n1f(x) dx f(1) + + f(n 1)51istoen

k=2ak _n1f(x) dx n1

k=1akTomandolimitequandon aseriepodesercomparadacomaintegral. 2Exemplo: Consideremosaserie

n=21nln(n). Vemosque1nln(n)=f(n)ondef(x)=1x ln(x). Analizemosaintegral_2f(x) dx =_21x ln(x)dx = ln(ln(x))2= .Dai seguequeaseriediverge. Agoraseconsideramosaserie

n=21n(ln(n))pcomp>1vemosqueaintegral_21x(ln(x))pdx =(ln(x))1p1 p2=(ln(2))1pp + 1< .Portantoestaserieconverge4.4 RepresentacaoDecimalNesta secao mostraremos que todo n umero real pode ser expresado de forma decimal, paraissobastarepresentar pordecimaissomenteosn umerosreaisdointervalo[0, 1[,dadoquea representacao dos n umeros reais dos outros intervalos pode ser obtido mediante traslacaoconvenienteporumn umerointeiro.Umadecimal eumasequencia(an)nNcujos elementos elementos oscilamentreosalgarismos0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8e9. Estasequenciapodeserdenotadadaforma.a1a2a3. . .eopontodafrenteindicaquesomentetrabalharemoscomointervalo[0, 1[.Denotemos comDoconjuntodetodas as decimais, nossoobjetivoseraestabelecerunacorrespondenciaentreDeos reais dointervalo[0, 1]. Denimos entaoafuncaof: D Rporf(.a1a2. . .) =

n=1an10n.52Vejamosqueserieconvergeeseuvalorestaentre0e1. Defato, como0 an 9porcomparacaotemosque0

n=1an10n

n=1910n. Dadoque

n=1110n= 1/9concluimosque0

n=1an10n 1.Infelizmenteafuncaofnao einjetivaemD,parapoderestabelecerumacorrespondenciabiunvocaentreDe[0, 1]. Defato,Observequeseaj< 9entaof(.a1a2. . . aj1aj99 . . .) =j

n=1an10n+

n=j+1910n=j

n=1an10n+

k=0910k+j+1=j

n=1an10n+910j+1

k=0110k=j

n=1an10n+110j= f(.a1a2. . . aj1(aj + 1)00 . . .)istoe,f(.a1a2. . . aj1aj99 . . .) = f(.a1a2. . . aj1(aj + 1)00 . . .). (4.5)Agora consideremos dois decimais = .a1a2. . . e = .b1b2. . . distintos tal que f() =f() mostraremos que estes decimais sao da forma (4.5). De fato, seja jo primeiro ndicetal queaj ,= bj,suponhamosquebj> aj,entao

n=jbnan10n= 0 bj aj10j=

n=j+1anbn10nmaisainda110j bj aj10j

n=j+1anbn10n

n=j+1910n=110jportanto todas as desigualdades acima tornan-se igualdades, logo bjaj= 1 e anbn= 9,paratodon j + 1,daiconclui-sequebj= aj + 1 e an= 9, bn= 0 para n j + 1.53Tendoemcontaaanaliseanterior serestringirmos afuncaof aosubconjuntoDformadopordecimaisquequenaotemtodosseusalgarismosiguaisa9apartirdeumacertaordementaofserainjetivanesteconjunto. Observequenaoexite Dtal quef() =1(Exerccio). Mostraremosagoraquef : D [0, 1[ esobrejetiva, comisoogarantimosquefestabeleceumacorrespondenciabiunvocaentreDe[0, 1[.Sejar [0, 1[. Decompondoesteintervaloem10partes iguais, temos que[0, 1[=9_j=0_j10, j + 110_, entaor pertence somente aumdesses subintervalos aqual denotare-mos com_a110, a1 + 110_, note quea110 r 110. Asequir decompomos o intervalo_a110, a1 + 110_em10partesiguais,istoe_a110, a1 + 110_ =9_j=0_a110+j102, a110+j + 1102_entao r pertence somente a um desses subintervalos a qual denotaremos com_a110+a2102, a110+a2 + 1102_,notequea110+a2102 r 1102. Continuandocomesteprocessoencontramosalgarismosa3, a4, . . .tal quea110+a2102+ +an10n r 110n, paratodo n N.Denotemosporsn=n

k=1ak10k. Pelofatode limn110n= 0concluimosque limnsn= r,istoer =

k=1ak10k.Daiseguequefesobrejetora.Umadzimaperiodicaeumadecimal naqual aposumn umeronitodetermosaumbloco de algarismos (chamado perodo) e a partir da a decimal e constituda pela repeticaosucessivadessebloco. Exemplos:(i) .88666 . . . denotadapor .886(ii) .577232323 . . . denotadapor .57223(iii) .642642642 . . . denotadapor .642(iv) .2345000 . . . denotadapor .23450 ou .234554Identicandoodecimal .a1a2. . .comf(.a1a2. . .)temosque.a1a2a3. . . =a110+a2102+a3103+ . . .logooexemplo(ii)podeserescritodaforma.57723 =510+7102+7103+2104+3105+2106+3107+=577103+23105+23107+=577103+23105_1 +1102+1(102)2 _=577103+23105102(1021)=577(1021) + 23103(1021)=57723 57710392Umadzimaperiodica esimplesseforconstituidaunicamentedaparteperiodica,casocontrario e dita dzima perodica composta. A dizima periodica do exemplo (iii) e simples,asrestantessaocompostas.Theorem4.14Todadzimaperiodicaeumracional. Alemdisso, podeserescritadaforma.a1a2. . . anb1b2. . . bm=a1a2. . . anb1b2. . . bma1a2. . . an10n9mProof:.a1a2. . . anb1b2. . . bm=a1a2. . . an10n+b1b2. . . bm10n+m+b1b2. . . bm10n+2m+=a1a2. . . an10n+b1b2. . . bm10n+m_1 +110m+1102m+_=a1a2. . . an10n+b1b2. . . bm10n+m_10m10m1_=a1a2. . . an(10n1) + b1b2. . . bm10n(10m1)=a1a2. . . anb1b2. . . bma1a2. . . an10n9m255Corollary4.15?Theorem4.16Todoracional em[0, 1[eumadzimaperiodicaProof: sejapq [0, 1[ umafracaoirredutvel. Logo, qpodeserdivisvel por2ou5ousernaodivisvel pornenhumdessesalgarismos. Consideremoscadaumdessescasos.CasoIqnaoedivisvel por2e5: Nestecasoqe10saoprimosentresieospossveisrestosdadivisaodaspotenciasde10comqeemn umeronitoosquaisoscilamentre1eq 1. Portantoexisteumresto0 < r0< qe ndicesm1< m2tal que10m1= a1q + r0e 10m2= a2q + r0.Logo10m1(10m1) = (a2a1)q, onde m1 + m = m2comoqnaodivide10m1entaodivide10m 1, istoeexistea Ntal que10m 1=aq.Portanto1q=a10m1,logopq=ap10m1=ap9mDe? seguequep/q eumadzimaperiodicasimples cujoperodotemmtermos con-titudosdosalgarismosdonumeroapacrescdosporzerosaesquerda,senecessario,paracompletarosmdgitos.CasoIIqedivisvelpor2ou5: Nestecasoq= 2n15n2bondebe10saoprimosentresi,pelocasoanteriortem-se1b=N9mondeNeumn umeronatural comnomaximomalgarismos,portantopq=N2n15n29m=2nn15nn2N10n9m,onden=n1n2. De? seguequep/qeumadzimaperiodicacompostaconstituidadosalgarismosdonumero2nn15nn2Nacrescdosporzerosaesquerda, senecessario, paracompletarosn + mdgitos. 2Exemplo: Adecimal.010010001 . . .ondeonumerodezerosentreos1

svaiaumen-tandonaoeracional.564.5 Exerccios1. Sejaa > 1. Mostreque

n=11(a + n)(a + n + 1)=1a + 1,

n=2n 1n!= 12. Useoexerccioanteriorparamostrarque1 0. Useotestedaintegralparamostrarqueasseries

1npe

1nln(n)pconvergemparap 1edivergemparap < 1.19. Oteorema?garanteque.a1a2. . . an0 =a1a2. . . an0 a1a2. . . an900 . . . 0.58ondeodenominadortemnzeros. Mostrequea1a2. . . an0 a1a2. . . an900 . . . 0=a1a2. . . an100 . . . 0.ondeosdenominadorestemnzeros.595 LimiteseContinuidadedeFuncoesUmfuncaoreal eumafuncaoqueestadenidaemumsubconjuntoD Rassumindovaloresreais. Nestecaso,denotamosf: D Rx f(x)O domnio Dda funcao fas vezes sera denotado por Dfou D(f). Como vimos na secao?, umafuncaoestadeterminadapor umdomnio De umaregrade correspondenciax f(x). Quandoexplicitamosunicamentearegradecorrespondenciadeumafuncaosemdeterminarodomnio, entende-sequeodomniodestafuncaoeomaiorconjuntoondearegradecorrespondenciafazsentido.Exemplo: Afuncaof(x)=1/(x2 1)somentenaofazsentidoemx= 1, logoseudomniosera R 1, 1.Exemplo: Asfuncoesf(x) =_x(x 1) e g(x) =xx 1,naosaoiguais,poisseusdomniosnaosaoosmesmos.Df=] , 0] [1, [, Dg= [1, [.A imagem da funcao f, denotada por Im(f), e o cunjunto de valores que a funcao assume,istoeIm(f) = f(x) : x Das vezes denotadatambemporf(D). Porexemplo, aimagemdafuncaof(x) =x2x2+1e[0, 1[, defato, sey [0, 1[ encontramosqueparax= _y1yverica-sef(x) =y,claramentefnoasummevaloresforadesseintervalo,pois0 f(x) < 1.Ogracodafuncaoeoconjuntodepontos(x, y) R2tal quey= f(x),istoe,Graf(f) = (x, f(x)) : x D(f) R25.1 Limitesdefunc oesNoquesegue,denotemosI(x0) :=]x0, x0 + [onde> 0.60Denicao. Seja A um subconjunto de R. Dizemos que x0 R e um ponto de acumulacaodeAseA _I(x0) x0_,= , > 0.DenotaremoscomA

aoconjuntodetodosospontosdeacumulacaodeA.Exemplo:1. SeA = 1/n : n NentaoA

= 0.2. SeA =]0, 1]entaoA

= [0, 1].3. A = QentaoA

= R.Theorem5.1Se x0 e um ponto de acumulacao de A entao existe uma sequencia (xn)nNemA x0determosdistintosentresital quexn x0quandon .Proof: Consideremos1= 1,escolhemosx1 A_I1(x0) x0_. Seguidamentecon-sideremos2= min1/2, [x1 x0[eescolhemosx2 A _I2(x0) x0_. Claramentex2 ,=x1. Paran 3, escolhemosxnrecursivamentedaseguinteforma: consideramosn= min1/n, [xn1x0[eescolhemosxn A_In(x0) x0_. Destaformageramosumasequencia(xn)nNemA x0cujostermossaodiferentesentresi epelofatodexn Intemosque [xnx0[ < n 1/ndeondeseguequexn x0. 2DenicaoSejaf:D Rex0 D

. DizemosqueL Reolimitedefquandoxseaproxima de x0,e denotamos limxx0f(x) = L,se para cada> 0 podemos encontrar > 0,(= (, x0)),tal queparax Dcom0 < [x x0[ < , tem-seque [f(x) L[ < . (5.6)Observacao: Aarmacaoanterior(5.6)podeseresrtitodaseguinteformaparax D _I(x0) x0_, tem-sequef(x) I

(L).Exemplo: Vejamosquelimx1(x2+ 1) = 2. Observeque,[x2+ 1 2[ = [x + 1[[x 1[ ([x 1[ + 2)[x 1[ < 3[x 1[para [x 1[0tomamos=min1, /3deondesegueque, para[x 1[ < ,emvirtudedadesigualdadeanterior,tem-seque [x2+ 1 2[ < .61Theorem5.2Olimitedeumafuncaoe unico.SejaA Df. DizemosqueumafuncaofelimitadasuperiormenteemAseexistirumaconstantereal tal quef(x) , x A.Analogamente, dizemosqueafuncaoelimitadainferiormenteemAseexisteumacon-stantereal tal que f(x), x A.NoscasodafuncaoserlimitadasuperiormenteeinferiormenteemA, dizemossimples-mentequeelimitadaemA.Theorem5.3Seexiste limxx0f(x)entaoexiste> 0talquefelimitadaemDfI(x0)Proof: Seja = 1,pelofatodeexistir limxx0f(x) = L,temosqueexiste> 0tal que[f(x) L[ < 1, paratodox Dftal que 0 < [x x0[ < .Observeque,paratodox Df I(x0),comx ,= x0,temosque[f(x)[ [f(x) L[ +[L[ 1 +[L[.Se x0,Dfoteoremaestamostrado. Casox0Dftemos que [f(x)[max1+[L[, [f(x0)[paratodox Df I(x0). 2Theorem5.4L eolimitedefemx0seesomentese,paratodasequencia(xn)nNemDf x0tal quexn x0tem-sequef(xn) L.Proof: (): Seja > 0. Como limxx0f(x) = Ltemosqueexiste> 0tal que[f(x) L[ < , paratodox Dftal que 0 < [x x0[ < .Consideremosentaoumasequencia(xn)nNemD(f) x0tal quexn x0,logoexisten0 Ntal que [xn x0[ 0.Analogamente,dizemosquex0 Reumpontodeacumulacao`aesquerdadoconjuntoAseA]x0, x0[,= , > 0.Denicao: Sejaf: D Rumafuncaoreal ex0umpontodeacumulacao`adireitadeD. Dizemos que L R e o limite lateral de f`a direita de x0, e denotamos limxx+0f(x) = L,separacada > 0podemosencontrar> 0tal que[f(x) L[ < , paratodox Dtal que x0< x < x0 + .Denicao: Sejaf: D Ruma funcao realex0umponto deacumulacao `a esquerda deD. DizemosqueL R eolimitelateraldef`aesquerdadex0,edenotamos limxx0f(x) =L,separacada > 0podemosencontrar> 0tal que[f(x) L[ < , paratodox Dtal que x0< x < x0.exemplo: afuncaof(x) =_1 se x 00 se x > 0temlimiteslaterais limx0+f(x) = 1, limx0f(x) = 0.Theorem5.8Leolimitedef emx0seesomentese, Lforlimitedef `adireitaeesquerdadefemx0.Proof: (): eimediato.(): consideremosasequencia(xn)nNemD(f) x0. Sexnestadeum unicolado(oudireitaouesquerda)dex0paransucientementegrande, porhipotesetermosquelimnf(xn) =L, portanto basta vericar esta conclusao no caso emque ha innitostermos da sequencia `a direita e `a esquerda de x0. Seja P =nN: xn>x0,64Q= n N: xn 0g(x) =_ [x[ se x ,= 01 se x = 0.f naotemlimiteemx=0poisseuslimiteslateraisnaocoincidem. gtemlimiteemx = 0poisseuslimiteslateraissaoiguaisa0.5.3 FuncoescontnuasDenicao. Dizemosqueafuncaof: D R econtnuaemx0 Df,separacada > 0epossvel encontrar> 0(= (, x0)),tal queparax Dcom [x x0[ < , tem-seque [f(x) f(x0)[ < . (5.7)Umafuncaoeditacontnuaseforcontnuaemcadapontodoseudomnio.Observacao: Note que se x0e um ponto isolado de Dentao existe > 0 tal que DI=x0, neste caso(5.7) e satisfeito, portantof e contnuaemx0. Por outrolado, sex0 D

f,fseracontnuanesseponto,seesomentese,limxx0f(x) = f(x0).Casox0Dfsejaumpontode acumulacaoadireitae esquerdade Df, f seracontnuaemx0seexistemlateraiselimxx+0f(x) =limxx0f(x) = f(x0).Exemplo: Pode-semostrarqueafuncaof(x) =___x se 0 < x < 1x2se 1 x < 21 se 2 x 32 se x = 4econtnuaemtodosospontosdoseudomnioexetonopontox = 2.65ExemploVejamosquef(x) = execontnuaemx = 0. Defato,seja > 0. Entao,parax > 0temosque[ex1[ 0tal quef(x) > cparatodox Df I(x0).Proof: Suponhamosf(x0) < c,comofecontnuaemx0para = c f(x0),existeum> 0tal quef(x0) < f(x) < f(x0) + , x Df I(x0).Adesigualdadedoladodireitoimplicaquef(x) < c, x Df I(x0),oquemostraoprimeiroitemdestelema. Aprovadosegundoitemcacomoexewrccioparaoleitor. 2Theorem5.14(Valorintermediario) Seja fuma funcao real contnua no intervalo[a, b],Entaofassumetodososvaloresentref(a)ef(b).Proof: Suponhamosquef(a)0tal quef(x)>rparatodob rexiste>0tal quef(x)>rparatodox0< x x0portantonenhumpontodesteintervalopertenceaA,poremporx068serosupremodeAexistex2 Atal quex0< x2 x0oquenovamentenosconduzaumacontradicao,pelotantonossaarmacaoevalida. 2Theorem5.15SejaI umintervaloef : I Rumafuncaocontnua. Entaof(I)eumintervalo.Proof: Sejamy1, y2 f(I),logoexistema, b Ital quey1= f(a)ey2= f(b). Sejayumpontoentrey1ey2, logopeloteoremadovalorintermediarioexistecentreaebtalquey= f(c)oquemostraquef(I)eumintervalo. 2695.4.1 FuncoesMonotonasDenicao: Dizemosqueumafuncaof:D Recrescente, separatodox, y Dtalquex1/2, portantof eestritamentecrescente.Lemma5.16Sejaa 0,n Ntal quen 0,existemxn, yn [a, b]tal que[xnyn[ < ne [f(xn) f(yn)[ (5.9)Por (xn) ser limitadapossui umasubseq uencia(xnk) convergente. Analogamente, por(ynk) ser limitada, ela possui uma subsequencia convergente a qual sera denotada damesmaforma. Como [xnk ynk[ nk 0estassubsequenciaspossuimomesmolimitez0 [a, b] deonde, pelacontinuidadedef, asseq uencias(f(xnk))e(f(ynk))convergemparaovalorf(z0),portanto [f(xnk) f(ynk)[ 0oqueentraemcontradicaocom(5.9).2725.6 Exerccios1. Sejaf, g: D Rex0 D.(a) Se limxx0f(x)>0, mostrequeexiste>0tal quef(x)>0paratodox Dcom0 < [x x0[ < .(b) Se limxx0f(x)> limxx0g(x), mostrequeexiste>0tal quef(x)>g(x) paratodox Dcom0 < [x x0[ < .2. Sejamf, g: D Rex0 D, tal quefelimitadae limxx0g(x)=0. Mostrequelimxx0f(x)g(x) = 0.3. Provequenaoexistelimx0sin(1/x),poremexistelimx0x sin(1/x) = 0.4. Sejamf, g: D Rex0 D.(a) Seexistemlimxx0f(x)e limxx0(f+ g)(x),mostrequeexiste limxx0g(x).(b) Seexistemlimxx0f(x)e limxx0(fg)(x),existe limxx0g(x)?Justiquesuaresposta.5. MostrequeLeolimitelateral def `adireitadex0seesomentese, paratodasequencia(xn)nNemD(f)]x0, [comlimnxn= x0tem-seque limnf(xn) = L.6. MostrequeL eolimitedef`aesquerdadex0seesomentese,paratodasequencia(xn)nNemD(f)] , x0[comlimnxn= x0tem-seque limnf(xn) = L.7. Sejaf: R Rtalquef(x +y) = f(x) +f(y)paratodox, y R. Selimx0f(x) = 0,mostre que existe limxx0f(x),para todo x0 R. Dica: Observe que x = (xx0) +x0.8. Sejaf:]0, 1[Rumafuncaomonotonaelimitada. Mostrequeexistemlimx0f(x), limx1f(x)9. mostrequeafuncaof:]0, [ Rdadaporf(x)= xecontnua. Seguidamentemostreacontnuidadedafuncaog: R R,dadaporg(x) =_[x[.10. Sejaf : R Rumafuncaocontnuaedenafn(x):=f(x)n. Mostrequefnecontnua em R para todo n N. Seguidamente mostre que todo polinomio e contnuoemcadapontode R7311. Sejam a < b < c e f: [a, c] R, g: [b, c] R funcoes contnuas tal que f(b) = g(b).Denimos h: [a, c] Rdadopor h(x) =f(x) sex [a, b] eh(x) =g(x) sex [b, c]. Mostrequeheumafuncaocontnua.12. Sejamf, g : [a, b] Rduas funcoes contnuas edenamos as funcoes h+, h:[a, b] Rdadasporh+(x) = maxf(x), g(x), h(x) = minf(x), g(x).Mostrequeestasfuncoessaocontnuas.13. sejaf: R Rumafuncaocontnua. mostreosseguintesitens(a) Sef(x0) > 0entaoexiste> 0tal quef(x) > 0paratodox ]x0, x0 +[.(b) Sef(x0) < x0entaoexiste> 0talquef(x) < xparatodox ]x0, x0+[.14. Seja f: R R uma funcao real contnua tal que f(x) Q para todo x R. Mostrequef(x) = f(0)paratodox R.15. Umafuncaof:I ReditalipschitzianaseepossivemencontrarM>0tal que[f(x) f(y)[ M[x y[paratodox, yemI. Mostreosseguintesarmacoes(a) Sef: I Rforlipschitzianaentaoecontnua(b) SeI forumintervalolimitadoef : I R, g: I Rduas funcoeslips-chitzianas,mostrequefgtambemelipchitziana.(c) MostrequeoresultadoanteriorfalhaseointervaloInaoforlimitado.16. Seja f: [a, b] R uma funcao contnua tal que f(x) > 0 para todo x [a, b], mostrequeexiste> 0tal quef(x) > paratodox [a, b].17. Mostrequetodopolinomiodegrau mpartemumaraiz.18. Mostre que f e contnuaemx0se e somente se paratodasequenciamonotona(xn)nNemDfcomxn x0tem-sequef(xn) f(x0).Secao5.5:1. Mostre que a funcao f: [1, [R dada por f(x) = 1/x e uniformemente contnua.2. Mostrequeafuncaog:]0, 1] Rdadaporg(x)=sin(1/x)naoeuniformementecontnua.746 DerivadasNodecorrerdestecaptuloIdenotaraumintervaloqualquer.6.1 FuncoesDerivaveisDizemosqueafuncaof: I Rederivaveloudiferenciavelemx0 Iseexisteolimitelimxx0f(x) f(x0)x x0.Estelimiteedenotadoporf(x0)eechamadodederivadadef nopontox0. Notequefazendoumamudancadevariaveisx = x0+h,temosquex x0seesomenteseh 0,assimolimiteanteriorpodeserescritodaformaf(x0) =limh0f(x0 + h) f(x0)h.Exemplo: Paran Nafuncaof(x)=xnederivavel emqualquerpontox0 R, poisusandoobinomiodeNewton(x0 + h)n=ni=0Cni xni0hi, onde Cni=n!(n i)!i!temosque(x0 + h)nxn0h= nxn10+ Cn2xn20h + Cn3xn30h2+ . . . + Cnnhn1.Tomandolimitequandoh 0temosquef(x0) = nxn10.Exemplo: Asfuncoesf(x) = [x[x, g(x) =_0 se x 0x2se x > 0saoderivaveisemx = 0,poisoslimitesdef(0 + h) f(0)h= [h[,g(0 + h) g(0)h=_0 se h < 0h se h > 0existemquandoh 0. Assim,f(0) = 0eg(0) = 0.Theorem6.1Sef: I Rederivavel emx0 Ientaoecontnuaemx0.75Proof: Observequef(x) f(x0) =f(x) f(x0)x x0(x x0).Emvistaqueolimitedoladodireitoexisteeef(x0)0,tem-seque limxx0f(x)=f(x0).2Exemplo: Oreciprocodoteoremaanteriornaoeverdade, poisafuncaof(x)= [x[ econtnuaemx = 0poremnaoederivavel nesseponto,poislimiteslateraisdef(0 + h) f(0)h= [h[hsao1e 1, logoolimitedestaexpresaonaoexiste. Otroexemploseriaconsiderar afuncaof(x)=sin(x)/xparax ,=0ef(0)=1aqual econtnuaemx=0poremnaoederivavel nesseponto,poisnaoexisteolimitedesin(x)x2quandox 0.Theorem6.2Seasfuncoesf, g: I Rsaodeivaveisemx0 I, entaotambemsaoderivaveisemx0,asfuncoesf g,fge[f g](x0) = f(x0) g(x0),[fg](x0) = f(x0)g(x0) + f(x0)g(x0).Alemdisso,seg(x0) ,= 0,entaotambemederivavel emx0afuncaof/ge_fg_(x0) =f(x0)g(x0) f(x0)g(x0)g(x0)2.Proof: Aprovadasomaoudiferencadefuncoesserderivavel cacomoexerccioparaoleitor. Iniciemosmostremosqueoprodutoederivavel. Defato,daseguinteidentidadef(x)g(x) f(x0)g(x0)x x0=f(x) f(x0)x x0g(x) + f(x0)g(x) g(x0)x x0podemos ver que o limite do segundo membro desta igualdade existe quando x x0, pois asfuncopesf, gsaoderivaveisemx0eg(x) g(x0)(Vejateorema6.1). Assimoprodutoederivavel esatisfazaformulaenunciada. Mostremosagoraqueococientetambemederivavel,vejamosprimeiroocasoparticular: f(x) 1. Nestecaso,naidentidade[1/g(x)] [1/g(x0)]x x0= 1g(x)g(x0)g(x) g(x0)x x076temos queolimitedoladodireitodaigualdadeexiste, deondeconcluimos que 1/gederivavel emx0e_1g_(x0) = g(x0)g(x0)2.Casogeral: bastadecomporf/gdaformaf(1/g)eaplicararegraparaaderivadadeumproduto. 2Theorem6.3SejamI, Jdoisintervalosabertosef:I J,g:J Rduasfuncoes,sendoque,federivavelemx0 Iegderivavelemf(x0) J,entaoacomposicaog federivavel emx0,alemdisso[g f](x0) = g(f(x0))f(x0).Proof: Seja (xn) uma sequencia em I x0 tal que xn x0, pelo fato de fser derivavelemx0, entaoecontnuanesseponto, logof(xn) f(x0). Agoraobservequepodemosescrever[g f](xn) [g f](x0)xnx0=g(f(xn)) g(f(x0))f(xn) f(x0)f(xn) f(x0)xnx0paran Ntal quef(xn) ,=f(x0), sendoassim, seestacondicaofossevalidaparatodon N,olimitedoladodireitodaigualdadeanteriorexisteealemdisso[g f](x0) = g(f(x0))f(x0).Omesmoacontecesef(xn) = f(x0)somenteparaumn umeronitode ndices. Vejamosocasorestante, istoe, supondoquef(xn)=f(x0)paraumnumeroinnitode ndices.Denotemos comN1= n N: f(xn) =f(x0), N2= n N: f(xn) ,=f(x0).Claramente N1 N2= N,agoraobservequesen N1temosquef(xn) f(x0)xnx0= 0 eg(f(xn)) g(f(x0))xnx0= 0portanto necessariamente f(x0) =0 e limn(nN1)g(f(xn)) g(f(x0))xnx0=0. Poremtambem limn(nN2)g(f(xn)) g(f(x0))xnx0= g(f(x0))0. logoexistelimng(f(xn)) g(f(x0))xnx0= 0 = g(f(x0))f(x0).277Theorem6.4Sejaf : T Rumafuncaoinjetiva, consideremos suainversaf1:f(T) Tlogo,sefederivavel emx0comf(x0) ,=0ef1econtnuaemy0=f(x0)entaof1ederivavel emy0,alemdisso(f1)(y0) =1f(x0)Proof: Seja(yn)umasequenciaemf(T) y0tal queyn y0,comof1econtnuaemy0temosquef1(yn) f1(y0). Denotandoxn= f1(yn)temosquexn x0,agoraobservequef1(yn) f1(y0)yny0=1f(xn) f(x0)xnx0Comoodenominadordoladodireitodaigualdadeanteriortemlimitediferentedezeroolimiteexiste,logo(f1)(y0) =1f(x0)2Exemplo: paran N, afuncaog(y)=y1/neainversadafuncaof:]0, [ R, dadaporf(x) = xn,logog(y) =1n(y1/n)n1=1ny1n1Exemplo: Vejamosagoraqual seriaaderivadadeh(x)=xn/mparan, m N, sendoqueestafuncao edenidaem]0, [. Comoestafuncao eacomposicaog fdasfuncoesf(x) = xneg(y) = y1/mteremosqueh(x) =1m(xn)1m1 nxn1=nmxnm16.2 CrescimentoLocalDenicao: Dizemosqueafuncaof temummaximolocal emx0 Dfseexiste>0tal quef(x0) f(x), x Df]x0, x0 + [Casof(x0) f(x) paratodox Dfentaodizemosquef temummaximoglobal emx0. Denicoes analogas podem ser feitas para mnimo local e global considerando o menorvaloremlugardomaiorvalordef.78Theorem6.5seef : D Ratingeummaximolocal emx0 D D+ Deforderivavel nesseponto,entaof(x0) = 0Proof: Porx0serumpontoondefatingeumamaximolocal,logoexiste> 0tal quef(x0) f(x)paratodox Df]x0, x0 + [,logof(x) f(x0)x x0 0 em Df]x0, x0 + [f(x) f(x0)x x0 0 em Df]x0, x0[portantotomandolimiteslateraistemosquef(x0) 0ef(x0) 0,portantof(x0) = 0.2Observacoes:1. oTeoremaanteriorvaletambemparamnimoslocais.2. Sex0fossepontodeacumulacaodeumladoso, aconclusaodoteoremanaovalecomoilustraoseguinteexemplo: f: [0, [Rdadoporf(x) = x,estafuncaotemummnimoglobal emx = 0poremf(0) = 1.3. orecprocodoteoremaanteriornao everdade,poisf:] 1, 1[Rdadoporf(x) =x3,satisfazf(0) = 0,poremfnaoatingemaximonemmnimolocal emx = 0.Lemma6.6(TeoremadeRolle) Sejaf: [a, b] R. Sef dorcontnuaem[a, b] ederivavel em]a, b[tal quef(a) = f(b)entaoexistex0 ]a, b[tal quef(x0) = 0Proof: PeloTeoremade Weierstrass sabemos que f atinge seuvalor maximoMemnimom,seesesvaloresforematingidosnosextremosaebentaoafuncaoseriacon-stante,logof(x) = 0paraqualquerx ]a, b[. casocontrario,deveraexistirumx0 ]a, b[querealizaomaximoouomnimodeflogopeloteoremaanteriorf(x0) = 0 2Theorem6.7(TeoremadoValorMedio) Sejaf : [a, b] R. Sef dorcontnuaem[a, b]ederivavel em]a, b[,entaoexistex0 ]a, b[tal quef(b) f(a) = f(x0)(b a)79Proof: consideremosafuncaoauxiliarg(x) = f(x) f(a) f(b) f(a)b a(x a).EstafuncaosatisfazashipotesesdoTeoremadeRolle, portantoexistex0 ]a, b[ tal queg(x0) = 0,istoef(x0) =f(b) f(a)b a.2Corollary6.8Sejaf: I R, ondeIeumintervalo. Sef(x)=0paratodox IentaofeconstanteProof: Sejax0 I xo. parax I, f satisfazascondicoesdoteoremaanteriornointervalofechadodeextremosx0ex,portantoexistexnesseintervalotal quef(x) f(x0) = f(x)(x x0) = 0,stoef(x) = f(x0)paratodox I. 2Corollary6.9Sejaf: I Rderivavel,ondeIeumintervalo,entao1. sif(x) 0pratodoxentaofenaodecrescente2. sif(x) > 0pratodoxentaofecrescente3. sif(x) 0pratodoxentaofenaocrescente4. sif(x) < 0pratodoxentaofedecrescenteProof: Sejamx10, entaoexiste >0tal quef(x) >f(x0) paratodox I tal quex0< x < x0 + .2. Sef(x0) 0tal quef(x) >f(x0) paratodox I tal quex0< x < x0.Proof: Provemosoprimeiroitemdeixandoaprovadosegundoparaoleitor. Desdequelimxx0f(x) f(x0)x x0= f(x0) > 0entaoexiste> 0tal quef(x) f(x0)x x0> 0para todo x Ital que 0 < [xx0[ < . Em particular, para x Ital que x0< x < x0+temosquef(x) f(x0) =f(x) f(x0)x x0(x x0) > 0.Istoe,f(x) > f(x0)paratodox Ital quex0< x < x0. 2Theorem6.11(Darboux) Sefederivavel em[a, b] entaofasumetodososvaloresentref(a)ef(b).Proof: Suponhamosquef(a) < f(b)esejaktal quef(a) < k < f(b). Consideremosafuncaog: [a, b] Rdadaporg(x)=kx f(x). Desdequegecontnuaelaatingeseuvalormaximoem[a, b]. Poroutrolado, desdequeg(a)=k f(a)>0, pelolemaanteriorgnaoatingeseumaximoema. Analogamente,desdequeg(b) = k f(b) < 0,gnaoatingeseumaximoemb,logogatingeseuvalormaximoemalgumpontox0 ]a, b[eportantog(x0) = 0,ouequivalentementef(x0) = k. 2816.3 Polin omiodeTayloreExtremoslocaisSejaf: I Rumafuncaoderivavelentaoaasociacaox f(x) etambemumafuncaodenidaemI, aqual chamamos dederivadadeordem1dafuncaof, seestafuncaoforderivavel,suaderivadadenotadaporf,serachamadadederivadadeordem2def.Seguindoestemesmoraciocniopodemosdenirderivadasdeordemn Naqual seradenotadaporf(n).Theorem6.12(FormuladeTaylor) Sef: [a, b] Reumafuncaocomderivadascontnuasateaordemnnointervalo[a, b]eexistef(n+1)nointervalo]a, b[,entaoexiste ]a, b[tal quef(b) = f(a) + f(a)(b a) + +f(n)(a)n!(b a)n+f(n+1)()(n + 1)!(b a)n+1.Proof: Consideremosafuncaog: [a, b] Rdadoporg(x) = f(b) f(x) f(x)(b x) f(n)(x)n!(b x)nK(n + 1)!(b x)n+1, (6.10)ondeKeumaconstantetomadadetalformaqueg(a) = 0. Comog(b) = 0peloteoremadeRolleteremosqueexiste ]a, b[tal queg() = 0, (6.11)Observequeg(x) = f(n+1)(x)n!(b x)n+Kn!(b x)nparatodox ]a, b[. Portanto,paraque(6.11)sejasatisfeito,enecessarioquef(n+1)()n!(b )n=Kn!(b )nistoeK= f(n+1)(). Agoratomandox = aem(6.10)oteoremaestamostrado. 2Observacoes:1. Comasmesmascondicoesdoteoremaanterior,temosqueexiste ]a, b[tal quef(a) = f(b) + f(b)(a b) + +f(n)(b)n!(a b)n+f(n+1)()(n + 1)!(a b)n+1.82paraveristobastadenirafuncaog(x) = f(a +b x)aqualsatisfazascondicoesdoteoremaanteriorecomog(k)(x) = (1)kf(k)(a + b x)encontramosqueg(b) = g(a) + g(a)(b a) + +g(n)(a)n!(b a)n+g(n+1)()(n + 1)! (b a)n+1.paralgum ]a, b[. Colocandoestaexpresaoemtermosdef obtemosoresultadodesejado.2. Noteque,sefforn +1vezesderivavelnumintervaloIex0 I,entaoparax Item-sequef(x) = f(x0) + f(x0)(x x0) + +f(n)(x0)n!(x x0)n+f(n+1)(x)(n + 1)!(x x0)n+1,paraalgumxnointervaloabertodeextremosx0ex.3. Sex = x0 + h,entaof(x0 + h) = f(x0) + f(x0)h + +f(n)(x0)n!hn+f(n+1)(x0 + h)(n + 1)!hn+1,paraalgum ]0, 1[Vimos,noTeorema?,queospontosx0ondefatingemaximooumnimolocalsatis-fazemf(x0) = 0,poremorecproconaoeverdade.Denicao:Dizemosqueftemumpontocrticoemx0sef(x0) = 0Theorem6.13Sejaf :]a, b[Rumafuncaoderivavel ex0 ]a, b[ umpontocrticodestafuncao. Entao1. Seexiste>0tal quef(x) 0paratodox ]x0 , x0[ ef(x) 0paratodox ]x0, x0 + [,entaox0eumpontodemaximolocal.2. Seexiste>0tal quef(x) 0paratodox ]x0 , x0[ ef(x) 0paratodox ]x0, x0 + [,entaox0eumpontodemnimolocal.Proof: Provemosoitemprimeiroitem, osegundoesimilar. Sejax ]x0 , x0[. DoTeoremadoValorMedioexiste ]x, x0[tal quef(x0) f(x) = f()(x0x) 0.83Dai seguequef(x0) f(x) paratodox ]x0 , x0[, usandoomesmoraciocnionointervalo]x0, x0 + [ encontgramosquef(x0) f(x)paratodox ]x0, x0 + [ ,portantof(x0) f(x)paratodox ]x0, x0 + [, stoex0eumpontodemaximolocal. 2Denicao: Um ponto crtico x0 ]a, b[ da funcao f:]a, b[R, e dito um ponto de inexaohorizontal seexite> 0satisfazendoumadasseguintesdesigualdades1.f(x) f(x0)x x0> 0, x ]x0, x0[]x0, x0 + [2.f(x) f(x0)x x0< 0, x ]x0, x0[]x0, x0 + [Theorem6.14Sejaf :]a, b[Rumafuncaoque possui suas n(n 2) primeirasderivadascontnuasem]a, b[esejax0 ]a, b[tal quef(x0) = 0, f(x0) = 0, . . . , f(n1)(x0) = 0 e f(n)(x0) ,= 0.Entaotemososseguintesresultados1. Seneparef(n)(x0) < 0entaox0eumpontodemaximolocal2. Seneparef(n)(x0) > 0entaox0eumpontodemnimolocal3. Seneimparentaox0eumpontodeinexaohorizontalProof: Sejax ]a, b[,AplicandoaFormuladeTaylortemosqueexistexnointervalodeextremosx0extal quef(x) = f(x0) +f(n)(x)n!(x x0)n. (6.12)Comof(n)(x0) ,=0, pelofatodef(n)sercontnuaem]a, b[ existe>0tal quef(n)(x)temomesmosinal quef(n)(x0)paratodox ]x0 , x0 + [. Logoseconsideramosxnesteintervaloteremosquef(n)(x)teraomesmosinal f(n)(x0). Portanto, seneparteremosque(x x0)n0, assimsef(n)(x0)0teremosquef(x) f(x0)paratodox ]x0, x0 + [(mnimolocal). Paraocasodenser mparescrevemos(6.12)daseguinteformaf(x) f(x0)x x0=f(n)(x)n!(x x0)n1(6.13)84e como n1 e par tem-se que (xx0)n1> 0 para todo x ]x0, x0[]x0, x0+[, dai queoladodireitodestaigualdadeteraomesmosinal quef(n)(x)nesseintervalo. Portantof(x) f(x0)x x0ouepositivoouenegativonointervalox ]x0, x0[]x0, x0 +[,logox0eumpontodeinexaohorizontal def. 2Exemplo: Consideremosafuncaof:? Rdadoporf(x) = xn(x 1)mlogof(x) = xn1(x 1)m1([n + m]x n)f(x) = xn2(x 1)m2(n 1)(x 1)([n + m]x n)+(m1)x([n + m]x n) + (n + m)x(x 1)logox = n/(n + m)eumpontodemnimolocal.paraocason = 2em = 3teremosf(x) = (x 1)p(x)p(x) = (x 1)(5x 2) + 2x(5x 2) + 5x(x 1)Dai f(0) = p(0) < 0, logo x = 0 e um ponto de maximo local, como f(1) = 0 derivandomaisumaveztemosquef(x) = p(x) + (x 1)p(x)daiseguequef(1) = p(1) ,= 0,logox = 1eumpontodeinexaohorizontal.856.4 SeriesdePotenciasUmaseriedepotenciascentradasemx0eumaseriedaforman=0an(x x0)n:= a0 + a1(x x0) + a2(x x0)2+ondexeumavariavel. Aqui aneumaseq uenciadenumerosreais. Observequeparax=x0estaserieconvergelogoestaserieeumafuncaoSquepelomenosestadenidoemx = x0,assimpodemosconsiderarS(x) =n=0an(x x0)n, Dom(S) = x R : tal queaserieconverge.AntesdedeterminaroDom(S)vejamosumexemplo.Exemplo ConsideremosaseriegeometricaS(x) =n=0xn.Aqui evidentementex0=0ean=1, n Z+0 . Sabemosqueestaserieconvergepara1/(1 x)quando [x[ 1. Alemdisso, pode-severicarqueemx = 1aserienaoconverge,logoS(x) =11 x, x ] 1, 1[.Theorem6.15Aserie de potencias S(x) =n=0an(x x0)nconverge absolutamentequando [x x0[ < Redivergequando [x x0[ > R,ondeRetal que1R= limsupnn_[an[.Proof: Usandootestedaraizaseriedeveconvergirabsolutamentenospontosxondelimsupnn_[an(x x0)n[ < 1 limsupnn_[an[[x x0[ < 11R[x x0[ < 1[x x0[ < R.Ospontosondeaseriediverge,segundootestedaraiz,saoaquelesquelimsupnn_[an(x x0)n[ > 1 [x x0[ > R.2Obs:861. Selimsupnn_[an[ = 0(ou ),tome-seR = (ou0).2. Rdoteoremaanteriorechamadoderaiodeconvergenciadaserie, eoteoremaanterior garante que o maior intervalo aberto onde a serie converge e ]x0R, x0+R[o qual e chamdo de intervalo de convergencia da serie. Nos extremos deste intervalonaopodemosgarantirconvergenciaoudivergencia.3. Quandoexiste limn[an+1[[an[epossvel mostrarquetambemexiste limnn_[an[, alemdissolimnn_[an[ =limn[an+1[[an[.Nestecaso,temosque1R=limn[an+1[[an[,oquenosdaoutraalternativaparacalcularoraiodeconvergenciadeumaserie.Exemplo: Encontremosointervalodeconvergenciadaserien=0(x 5)2n3n.Escrevendoaserieanterior daformam=0am(x 5)mencontramos quea2m=1/3mea2m+1= 0,logo1R= limsupmm_[am[ =limm2m_[a2m[ =13,daR =3,portantoointervalodeconvergenciadaseriee]5 3, 5 +3[.Exemplo: Encontremos ointervalodeconvergenciadaserien=02n(x x0)nn!. Comoexistelimn[an+1[[an[=limn2n+1n!2n(n + 1)!= 0,SeguequeR = eportantoointervalodeconvergenciadaseriee] , [.Theorem6.16TodaseriedepotenciasS(x) =n=0an(x x0)n87eumafuncaoderivavel noseuintervalodeconvergencia]x0R, x0 + R[. AlemdissoS(x) =n=1nan(x x0)n1sendoqueestaserietemomesmoraiodeconvergenciadaserieS.Proof: VejamosprimeiroqueaserieS(x) =n=1nan(x x0)n1=n=0(n + 1)an+1(x x0)n,temomesmoraiodeconvergenciadeS(x). SejaRoraiodeconvergenciadeS(x),logo1R= limsupnn_[(n + 1)an+1[= limsupn_n+1n + 1n+1_[an+1[_n+1n= limsupnn+1n + 1n+1_[an+1[= limnn+1n + 1limsupnn+1_[an+1[ = 1 1RentaoR = R. VejamosagoraqueSederivaveleS(x) =S(x)em]x0R, x0 +R[. Semperdadegeneralidadeassumiremosquex0= 0,nestecasoS(x) =n=0anxn,S(x) =n=1nanxn1paratodo x ] R, R[.ObservequeS(x + h) S(x)hn=1nanxn1=n=1an_(x + h)nxnnxn1hh_.Poroutrolado,usandoaFormuladeTaylortemosque(x + h)n= xn+ nxn1h +n(n 1)2(x + h)n2h2paraalgum ]0, 1[. SubstituindonaequacaoanterioretomandovalorabsolutoteremosqueS(x + h) S(x)hn=1nanxn1[h[2n=2n(n 1)[an[[x + h[n2[h[2n=2n(n 1)[an[([x[ +[h[)n2.88assimxando> 0tal que [x[ + < Rentaopara [h[ temosqueS(x + h) S(x)hn=1nanxn1[h[2n=2n(n 1)[an[([x[ + )n2.Comoaseriedoladodireitoconverge,fazendoh 0temosoresultadodesejado,istoeS(x) =n=1nanxn1paratodo [x[ < R.2Observacao: ComoS(x) =k=0ak(xx0)keumafuncaoinnitamentederivavelnoseuintervalodeconvergencia]x0R, x0 + R[,temosquequeS(x0) = a0, S(x0) = a1, S(x0) = 2a2, . . . , S(k)(x0) = k!ak,deondesegueque,parak Z+0 ,ak=S(k)(x0)k!eportanto S(x) =k=0S(k)(x0)k!(x x0)k.A observacao anterior nos permite mostrar que, se S 0 num intervalo ]a, b[ contendox0, entaoak=0paratodok Z+0 . Defato, comoS(x)=0paratodo]a, b[ seguequeS(k)(x0) =0paratodok Z+0 . Daobservacaoanterior seguequeak=0paratodok Z+0 .Exemplo: Vejamosquen=0(n + 1)xn=1(1 x)2paratodo x ] 1, 1[.De fato,a funcao 1/(1x)2e a derivada da funcao 1/(1x) no intervalo ] 1, 1[. Como11 x=n=0xnparatodo x ] 1, 1[,derivandotemosque1(1 x)2=n=1nxn1=n=0(n + 1)xn.89Exemplo(algumasfunc oeselementares): Consideremosasseriesdepotenciase(x) :=n=0xnn!, c(x) :=k=0(1)k(2k)! x2k, s(x) :=k=0(1)k(2k + 1)!x2k+1.Claramente podemos observar que o intervalo de convergencia destas series e todo R, alemdissoe(x) = e(x),c(x) = s(x)es(x) = c(x). Defato,e(x) =n=1nxn1n!=m=0xmm!= e(x)c(x) =n=1(1)n(2n 1)!x2n1= m=0(1)m(2m + 1)!x2m+1= s(x).Analogamente mostra-se ques(x) = c(x). Veremos posteriormente que esasseries sao asfuncoesexponencial,cosenoesenorespectivamente.6.5 SeriedeTayloreFunc oesAnalticasSejaf:]a, b[Rumafuncaoinnitamentederivavelemx0 ]a, b[. Denimosaseriedetaylordafuncaofemtornodex0(oucentradaemx0)porSf(x) :=n=0f(n)(x0)n!(x x0)n.Seja]x0 R, x0 + R[ ointervalodeconvergenciadestaseriedepotenciaseobservequeSf(x0) =f(x0) Nestepontopodemos formular aseguintes questoes: f esuaseriedeTaylorSfcoincidemem]x0R, x0 +R[]a, b[?Casonegativo,qualoconjuntoondeelascoincidem?Vejamosalgunsexemplosquenospermitamterumaideiadecomoresponderestasquestoes.Exemplo: Sejaf:] 1, [Rdenidoporf(x) = 1/(1 x)entaof(n)(x) =n!(1 x)n+1dai seguequef(n)(0)=n!, dai temosqueSf(x)=n=0xnaqual convergenointervalo]1, 1[ para f(x). Este e um caso em que em que a funcao e sua serie de Taylor coincidemnointervalo] 1, 1[.Exemplo: Sejaf:] 1, 1[ Rdenidoporf(x)=e1/x2sex ,=0ef(0)=0, entaousandoapropriedadelimx0e1/x2p(x)= 090paraqualquerpolinomio,podemosvericarqueestafuncaoeinnitamentederivavel emx=0equef(n)(0)=0. portantosuaseriedetayloremtornodex=0eafuncaoidenticamentenula,aqual naocoincidecomf(x)emnenhumpontoexetox = 0.Denicao: DizemosqueUmafuncaof : I Reanalticaemx0 I seexisteumaseriedepotenciasn=0an(xx0)nconvergenteem]x0, x0 +[ Iparaalgum> 0talquef(x) =n=0an(x x0)npara x ]x0, x0 + [.Observacao: Noteque,nadenicaoanteriorteremosquean=f(n)(x0)n!,portantoumafuncao sera analtica emx0se e somente se coincide com a sua serie de taylor localmenteemtornodex0.Theorem6.17Sejafumafuncaoinnitamentederivavel nointervalo[x0 r, x0 + r]esejaMn= max[f(n)(x)[ : x [x0r, x0 + r]. SelimnMnrnn!= 0entaofeanaliticaemx0,maisaindaf(x) =n=0f(n)(x0)n!(x x0)n, paratodo x [x0r, x0 + r]Proof: sejax [x0r, x0 + r],pelaFormuladeTaylortemosquef(x) = f(x0) + f(x0)(x x0) + +f(n)(x0)n!(x x0)n+f(n+1)()(n + 1)!(x x0)n+1paraalgumnointervalo]x0r, x0 + r[. Logof(x) nk=0f(k)(x0)k!(x x0)k [f(n+1)()[(n + 1)![x x0[n+1Mn+1rn+1(n + 1)!0Daisegueoresultado. 2Observacao: Notequeparar > 0xotem-seque limnrnn!= 0,poislimnrn+1/(n + 1)!rn/n!=limnrn + 1= 0.91Assim,se(Mn)doteoremaanteriorforumasequencialimitada,entaoteremosquelimnMnrnn!= 0.Exemplo: Aseriedetaylordef(x) = exp(x)emtornodex = 0eSf(x) =n=1xnn!notequeparaqualquerr>0xoteremosqueMn= [f(n)(x)[:x [r, r]=exp(r)eportanto limnexp(r)rnn!= 0,logopeloteoremaanteriorexp(x) =n=1xnn!paratodo x [r, r].Comorearbitrario,estaigualdadeevalidaparatodox R.Estasrepresentacoesdasfuncoescomoseriedepotenciasnosapermiteobteroure-cuperar algumas propriedades dafuncao, por exemplo exp(0) =1, exp(x) =exp(x)(mostradonoexemplo?),ouateexp(x + y) = exp(x) exp(y), paratodo x, y R.Defato,parayxoconsideremosafuncaof(x) = exp(x+y). Usandooteorema?pode-semostrarquef esuaseriedeTaylorcoincidememRecomof(n)(0)=exp(y)paratodon Z+0 ,temosquef(x) =n=0exp(y)n!xn=_n=0xnn!_exp(y) = exp(x) exp(y),comoyearbitrario,segueoresultadodesejado.Exemplo: Aseriedetaylordef(x) = cos(x)emtornodex = 0eSf(x) =n=1cos(n)(0)n!xn=m=0(1)m(2m)! x2m,pois cos(2m)(0) =(1)me cos(2m+1)(0) =0. Desde que, para cada r >0, Mn=sup[f(n)(x) : x [r, r] 1paratodon Z+0 ,temosquelimnMnrnn!= 0,92eportanto,doTeorema?seguequecos(x) =n=0(1)n(2n)! x2nparatodo x [r, r].Como r e arbitrario a igualdade acima vale para todo x R. Analogamente, encontramosquesin(x) =n=0(1)n(2n + 1)!x2n+1paratodo x R.Vejamosagoraqueestasrepresentacoesnospermitemobterourecuperaralgumaspro-priedades das funcoes trigonometricas. Vimos noexemplo? que cos(x) = sin(x),sin(x) cos(x),vejamosagoraquelimx0sin(x)x= 0.Defato,parax ,= 0temosquesin(x)x=1xn=0(1)n(2n + 1)!x2n+1= 1 + xg(x) onde g(x) =n=1(1)n(2n + 1)!x2n1.porgserumaseriedepotenciascujoraiodeconvergenciaeinnito,logoconvergeuni-formenteemqualquerintervalo[r, r],r > 0portantoeumafuncaocontnuaemx = 0.Assimlimx0xg(x) = 0deondesegueoresultadodesejado.Exemplo: Mostremosquecos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) paratodo x, y R.Defato, paracaday Rxoconsideramosafuncaof(x) =cos(x + y). Vericamosrapidamente que f(2n)(x) = (1)ncos(x+y) e f(2n+1)(x) = (1)n+1sin(x+y), assim paracadar > 0temosqueMn= max[fn(x)[ : x [r, r] 1,paratodon Z+0 ,portantolimnMnrnn!= 0logo,peloteoremaanteriorf(x) =n=0(1)ncos(y)(2n)!x2n+n=0(1)n+1sin(y)(2n + 1)!x2n+1paratodo x [r, r].Aigualdadeaindaevalidaparatodox R,poisrearbitrario. Assim,f(x) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) paratodo x R.936.6 ExercciosSecao6.1:1. Considereafuncaof(x) =exesuponhaqueederivavel emx=0ef(0) =1.Mostrequeestafuncaoederivavel emqualquerpontox ,= 0.2. Seja R. Mostrequeafuncaof(x) = xederivavel paratodox > 0.3. Mostrequeafuncaof(x)= [x[1x, com 1, ederivavel paratodox Ref(x) = [x[14. SejamI, J intervalosabertosef : I J, g: J Rduasfuncoestal quef eg f saoderivaveisemx0 I. Suponhaquefeinjetivacominversacontnuaef(x0) ,= 0. Mostrequegederivavel emy0= f(x0),alemdissog(y0) =(g f)(x0)f(x0).5. Sejaf : R Rderivavel emx0equef(x0) =0. Mostrequeg(x) := [f(x)[ ederivavel emx0seesomentesef(x0) = 0.Secao6.2:1. Sejaf: I Rumafuncaoderivavel. Sefforumafuncaolimitada,mostrequefelipschitziana. Asfuncoeslipschitzianassaoderivaveis?.2. Sejaf : I Rumafuncaoholderianadeordem, istoe, existeumaconstanteM> 0tal que [f(x) f(y)[ M[x y[paratodox, y I. Mostrequese> 1entaofeconstante.3. Sejaf :]0, [ Rumafuncaoderivavel. Se limxf(x)=elimxf(x)=,mostreque= 0.4. Mostre f: I R uma funcao derivavel. Mostre que para fser contnua em x0 Ibastaqueexista limxx0f(x)5. Sejaf :]0, [Rderivavel, tal que f(x) quandox . Mostre quef(x)x, quandox . Useestefatoparamostrarqueln(x)x0quandox .946. Useoteoremadovalormeioparamostrarque(x 1)/x < ln(x) < x 1paratodox > 1.7. Sejafcontnuaem[a, b]ederivavel em]a, b[. Mostreque,seexistelimxaf(x) = L,entaofederivavel emaef(a) = L.8. Sejaf umafuncaoderivavel nointervaloI tal quenuncaseanula. Mostrequeafuncaoderivadaf,ouepositiva,ouenegativa,nointervaloI.Secao6.3:1. Sejamf, gduasfuncoesnvezesderivaveisemx0mostreusandoinducaoque(fg)(n)(x0) =ni=0Cni f(ni)(x0)g(i)(x0) onde Cni=n!(n i)!i!2. Sejaf umafuncaoderivavel emI tal queexisteasegundaderivadaemx0 I.Mostrequef(x0) =limh0f(x0 + h) 2f(x0) + f(x0h)h2.Tambem, deumexemplodequeestelimitepodeexistirsemnecesidadequeexistaf(x0).Secao6.4:1. Apartirdaseriegeometrica11 x=n=0xnpara [x[ < 1Mostreque(a)1x=n=0(1)n(x 1)npara [x 1[ < 1(b)11 + x=n=0(1)nxnpara [x[ < 1(c)1(1 x)2=n=0(n + 1)xnpara [x[ < 1(d)1x2=n=0(n + 1)(x + 1)npara [x + 1[ < 1(e)14x x2=n=0xn14n+1para0 < [x[ < 4952. Sejaa R. Determineointervalodeconvergenciadasseguintesseries(b)n=0ann!xn; (c)n=0a2n(x + 2)n; (d)n=0nan(3x 1)n; (e)n=0(2n)!(n!)2xn3. Mostrequeoraiodeconvergenciadasseguintesseriesdepotenciase1n=0xn!,n=0xn23n,n=0(1)nnxn(n+1).Seguidamenteestudeaconvergenciadestasseriesnospontosx = 1, 1.4. Sejan=0anxnuma serie convergente para todo x R. Fixemos c R e consideremosa funcao f(x) =n=0an(x+c)n. Expresse f(x) como uma serie de potencias centradanaorigemn=0bnxnedetermineoscoecientesbnentermosdeanec.5. Sejamn=0anxnen=0bnxnduasseriesdepotenciacomraiosdeconvergenciaR1eR2respectivamente. Considerer = minR1, R2emostrequeaseriesoma:n=0(an + bn)xnconvergeparax ] r, r[. Deumexemplonaqual oraiodeconvergenciadaseriesomaemaiorquer.6. Sejaa0 ,= 0esuponhaqueaserieS(x) =k=0akxk+1convergepara [x[ < R. mostrequeexiste < Rpositivotal queS(x) ,= 0paratodox ,= 0tal que [x[ < .7. Obtenha a serie de Taylor em torno de x0= 1 do polinomio p(x) = dnxn+dn1xn1+ + d1x + d0.8. Mostrequeafuncaof(x) =ln(x) coincidecomsuaseriedetayloremtornodex0= 1nointervalo]0, 2[. Elascoincidemem[2, [?Justiquesuaresposta.9. UsandoarepresentacaodefuncoespelassuasSeriesdeTaylorMostrequelimx01 cos(x)x= 0, limx0ln(1 + x)x= 110. UsandoarepresentacaodefuncoespelassuasSeriesdeTaylorMostrequesin(x + y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x) paratodo x, y R.967 IntegraldeRiemann7.1 Integrabilidadedefunc oeslimitadasUmaparticaodointervalo[a, b] eumsubconjuntonitodepontosdesseintervaloP=x0, x1, . . . , xn, tal que a =x0 0dadoepossvel encontrarumaparticaoPtal queni=1i(xixi1) < .Exemplo: Afuncaof : [a, b] Rdadapor f(x) =xeintegravel, pois para >0dadoescolhemos umaparticaoP = x0, . . . , xntal quexi xi1 0,consideremosumaparticaoP= x0, x1, . . . , xntal quexixi1< /(f(b) f(a)),entaoni=1i(xixi1) =ni=1[f(xi) f(xi1](xixi1)0tal quese [x y[ cparatodox [a, b],logof ceg csaofuncoespositivasecomofg= (f c)(g c) + c(f+ g) c2104temosquefgeintegravel. 2Exemplo: sefegsaointegraveisentaof2ef gesaointegraveise_ba[f g](x) dx =_baf(x) dx _bag(x) dx.Consideremosf+(x) := maxf(x), 0, f(x) := maxf(x), 0Observequef(x) = f+(x) f(x), [f(x)[ = f+(x) + f(x)Theorem7.7Sejaf: [a, b] Rumafuncaolimitada. Sefeintegravel entaof+,fe [f[saointegraveisnointervalo[a, b]Proof: Seja P =x0, x1, . . . , xn uma particao do intervalo [a, b], mostremos quei(f+) i(f)paracadai = 1, . . . , n.Caso1: suponhamosqueexistex [xi1, xi] tal quef(x)>0, entaoMi(f)=Mi(f+)(Prove!),comomi(f) mi(f+),temosquei(f+) = Mi(f+) mi(f+) Mi(f) mi(f) = i(f).Caso2: suponhamosquef(x) 0paratodox [xi1, xi], nestecasof+0nesseintervalo,portantoMi(f+) = mi(f+) = 0,logocaevidentequei(f+) i(f).Aintegrabilidadedefe [f[decorremdasrelacoesf= f+f, [f[ = f++ f2Exemplo: Aintegrabilidadede [f[ naogaranteintegrabilidadedef. Defato, sejaf :[0, 1] Rdadoporf(x) = 1sex Q[0, 1]ef(x) = 1sex [0, 1] Q,entao [f[ = 1aqualeintegravel,poremfnaoeintegravel.Theorem7.8Sejamf, g: [a, b] Rduasfuncoesintegraveis,logo1051. Sef(x) 0paratodox [a, b],entao_baf(x) dx 0.2. Sef(x) g(x)paratodox [a, b],entao_baf(x) dx _bag(x) dx.Proof: Asumindo a hipotese do primero item, seja P= x0, x1, . . . , xn uma particao de[a, b] logomi 0,portantos(f, P) 0. Comofeintegravel asuaintegraleosupremodassomasinferioresassimtemosque_baf(x) dx 0.O segundo item e consequencia de primeiro, para isto basta considerar a funcao h = gf.Dahipotesetem-sequeh(x) 0logo_bah(x) dx 0. istoe_ba[g f](x) dx =_bag(x) dx _baf(x) dx 0.2Corollary7.9Aejaf: [a, b] Rintegravel,entao_baf(x) dx_ba[f(x)[ dxProof: Seguedoteoremaanterioredadesigualdade [f(x)[ f(x) [f(x)[paratodox [a, b]. 27.2 IntegracaoemsubintervalosTheorem7.10Sejaf:[a, b] Rumafuncaolimitadaeintegravel e[, ] umsubin-tervalode[a, b]entaofeintegravel em[, ].Proof: Seja > 0,pelofatodefserintegravelem[a, b]existeumaparticaoPde[a, b]tal queS(f, P) s(f, P) < .106ConsideremosQ=P , , logoQeumrenamentodePlogoS(f, Q) S(f, P)es(f, P) s(f, Q)portantoS(f, Q) s(f, Q) S(f, P) s(f, P),logoS(f, Q) s(f, Q) < .ordenandodeformacrescenteospontosdeQ = x0, x1, . . . , xnadesigualdadeanteriorpodeserescritacomoni=0i(xixi1) < .como, Qtemos que =xi1e =xi2com0 i1 0dadoescolhendoPtal que3x1< temosqueni=1i(f)(xixi1) < .Portantofeintegravel em[0, 1].Denicao: Dizemos que um subconjunto A R tem medida nula se dado> 0 e possvelencontarumacolecaoenumeravel deintervalosabertos(In)nNtal queA _n=1Inen=1[In[ < onde [In[eocomprimentodointervaloIn.Exemplo: UmconjuntoenumeravelA = x1, x2, . . . , xn, . . .temmedidanula,poispara > 0dado,escolhemososintervalosIn=_xn2n+2, xn +2n+2_, n = 1, 2, . . .ClaramenteA _n=1Inen=1[In[ =n=12n+1=2< Theorem7.12Sejaf : [a, b] Rumafuncaolimitada. Entaof eintegravel seesomenteseoconjuntodediscontinuidadesdeftemmedidanulaProof: (): SejaDoconjuntodediscontinuidadesdef. Seja>0comoDtemmedidanulaexistemintervalosabertos(In) tal queD _n=1Inen=1[In[ 0,pelofatodefsercontnuaemx0existe> 0talque,se [t x0[ < entao [f(t) f(x0)[ < /2,portantosup|tx0|0paratodox [a, b]. Proveque,se_baf(x)p(x) dx = f(a)_bap(x) dx,entaoexistec ]a, b[ tal quef(a)=f(c). Mostretambemqueoresultadovalesetrocamosf(a)porf(b)nahipoteseenaconclusao.1198 IntegraisImpropriasAteagorasomentedenimosanocaointegrabilidadedefuncoeslimitadasemintervaloslimitados. Nestasecaoextenderemosestanocaoafuncoesnaolimitadasoudenidasemintervalosilimitados.8.1 Integrabilidadedefunc oesnaolimitadasSeconsideramosafuncaof: [0, 1[ Rdadaporf(x)=1/1 x, evidentementenaopodemos aplicar aintegral de Riemann, pois estafuncaonaoe limitada, poremsuasrestricoesaosintervalos[0, s]saolimitadasparatodos ]0, 1[. Maisainda,nessesinter-valos,saoRiemannintegraveise_s011 xdx = 2(1 1 s).Nestesentidoparecerazoavel deniraintegral dafuncaocomo_10f(x) dx :=lims1_s0f(x) dx.Porem o limite acima nem sempre converge para outras funcoes, para ilustrar esta armacaopodemostomarafuncaof: [0, 1[Rdadaporf(x) = 1/(1 x). Observequelims1_s0f(x) dx =lims1ln(1/(1 s)) = .Aqui resaltaremosadiferencaqueexiteentreconvergenciaeexistenciadelimite: con-vergenciasignicaqueolimiteexisteeenito.Seja f: [a, b[R uma funcao tal que suas restricoes aos intervalos [a, s] sao Riemannintegraveisparatodos ]a, b[. Olimitelimsb_saf(x) dx. (8.15)convirgindo ou nao, sera chamado de integral impropria de fno intervalo [a, b[ e denotadopor_baf(x) dx.Denicao: Sejaf : [a, b[Rumafuncaotal quesuasrestricoesaosontervalos [a.s]saoRiemannintegraveisparatodos ]a, b[. Dizemosquefeintegravel em[a, b[ sesuaintegral impropriaconvergeObservacoes:1201. Observequeafuncaofaindapoderiaestardenidanoextremob(ouapoderiamosdeniremb), poremdeintegrabilidadeafuncao, istoeaconvergenciadaintegralimpropria,naodependedovalorquefasumenesseponto.2. Veremos posteriormentequeas integrais improprias eintegral deRiemanncoin-cidemquandosaoaplicadas afuncoes limitadas, oquejusticaousodamesmanotacaoparaambasintegrais.Exemplo:Podemosconsiderarporexemploafuncaof, g, h:]0, 1] Rfuncoesdadasporf(x) = 1/x,g(x) = 1/xeh(x) = x. Desdeque_1f(x) dx = ln(1) ln(),_1g(x) dx = 2(1 ),_1h(x) dx =12(122),podemosarmarquefnaoeintegravel enquantogehsaointegraveise_10g(x) dx = 2,_10h(x) dx =12.Observeque,atribuindoqualquervalorah(0)afuncaoheintegravel nosentidodeRie-mann. Oleitopodevericarqueaintegral deRiemanndestafuncaonointervalo[0, 1]conicidecom1/2.Theorem8.1Sejaf:]a, b] Rlimitadatal quesuasrestricoesf[a+,b]saointegraveisparatodo > 0. Entaoparaqualquervalorreal atribuidoaf(a),aintegral impropriadefconvergeecoincidecomaintegral deRiemanndafuncaof: [a, b] R.Proof: Atribujamos f(a) qualquer valor xado de R,mostremos primeiro que f: [a, b] R eintegravelvericandoqueoconjuntodesuasdiscontinuidadestemmedidanula. Seja >0, consideremos ointervaloI0=]a /4, a + /4[. Comof[a+(/4),b]eintegraveloconjuntodesuasdiscontinuidadespossui medidanula, istoeexisteumasequenciadeintervalosabertos(In)nNquecobreasdiscontinuidadesdef[a+(/4),b]en=1[In[ 0,logo_1f(x) dx =x1p1 p1=11 p[1 1p], se p ,= 1.Nestecasoaintegral impropriaexiste(converge)sep < 1,alemdisso_10f(x) dx =11 p.Parap > 1aintegral impropriadivergeeomesmoaconteceparap = 1(verique!).122Theorem8.2Seja f:]a, b] R uma funcao nao negativa tal que suas restricoes f[a+,b]saointegraveis paratodo >0, entaoaintegral improria_baf(x) dxconverge se esomenteseexisteumaconstanteM> 0tal que_ba+f(x) dx Mparatodo > 0.Proof: Consideremos a funcao () =_ba+f(x) dx. Com as hipoteses dadas esta funcaoenaocrescentenointervalo]0, b a]. Logooolimitepeladireitade0destafuncaocon-vergeseesomenteforlimitadasuperiormente. 2Corollary8.3Sef, g:]a, b] Rsaofunc oesnaonegativastaisquef(x) g(x)paratodox ]a, b],entao1. seaintegral impropriadegconvergeentaoaintegral impropriadefconverge.2. seaintegral impropriadefdivergeentaoaintegral impropriadegdiverge.Proof: porcomparacaotem-seque_ba+f(x) dx _ba+g(x) dxpara todo> 0. Logo, se a integral impropria de gconverge o membro direito da desigual-dadeanteriorserialimitadoeportantoaintegral impropriadef converge. Agoraseaintegral impropriadef divergeoladoesquerdodadesigualdadeanteriorseriailimitadaeportantoaintegral impropriadegdiverge. 2Exemplo: Aintegral impropriadafuncaof:]0, 1] Rdadaporf(x)=1 + sin(1/x)xconvergepoisf(x) g(x)ondeg(x) = 2/xeaintegral impropriadegconverge.ComoaIntegral impropriaeumlimite, entaoseas integrais improprias def egconvergem,entaotambemiraconvergirasomaf +geoprodutocomumaconstantecf,alemdisso_ba(f+ g)(x) dx =_baf(x) dx +_bag(x) dx,_ba[cf](x) dx = c_baf(x) dxDizemos que uma integral improria de fconverge absolutamente se a integral impropria[f[converge123Theorem8.4seaintegral impropriadef:]a, b] Rconvergeabsolutamenteentaoaintegral impropriadefconverge,alemdisso_baf(x) dx_ba[f(x)[ dxProof: Consideremos as funcoes f+(x) =maxf(x), 0e f(x) =maxf(x), 0denidasem]a, b]. Logoestasfuncoessaonaonegativasef+(x) [f(x)[, f(x) [f(x)[, paratodo x ]a, b],portantopeloteoremadecomparacaotemosqueasintegraisimpropriasdestasfuncoesconvergemecomof=f+ fseguequeaintegral impropriadef converge. Observeque_baf(x) dx =_baf+(x) dx _baf(x) dx _baf+(x) dx _ba[f(x)[ dx,_baf(x) dx =_baf(x) dx _baf+(x) dx _baf(x) dx _ba[f(x)[ dx,deondesegueque_baf(x) dx_ba[f(x)[ dx.2Exemplo: Aintegral impropriadafuncaof :]0, 1] Rdadapor f(x) =cos(ln(x))xconvergeabsolutamentepoisaintergralimpropriade [f(x)[ = [ cos(ln(x))[/x 1/xeesta ultimaconverge.Aseguiralgumasdaremosalgumasdenicoesdeintegrabilidadeparafuncoesasquaisposivelmentesaoilimitadasemalgumponto(ouextremo)doseuintervalodedenicao.1. Integrabilidadedefuncoesf : [a, b[ Rquepoderiamserilimitadasnasproximi-dades de b: Suponhamos que as restricoes defaos intervalos [a, b ] sao Riemannintegraveis paratodo >0. Dizemos queafuncaof eintegravel em[a, b[ seaintegral improprialim0_baf(x) dxconverge. Nestecasoestelimiteedenotadopor_baf(x) dx.1242. Integrabilidadeparafuncoesf:]a, b[Rasquaispoderiamserilimitadasnasprox-imidadesdeaeb: Suponhamosqueasrestricoesdef aosintervalos[a + , b ]sejamRiemannintegraveisparatodo>0pequeno. Afuncaof eintegravel em]a, b[ se as integrais improprias de f, em ]a, c] e [c, b[ convergem para algum c ]a, b[,nestecasodenimos_baf(x) dx :=_caf(x) dx +_bcf(x) dx.3. Integrabilidadedefuncoesf: [a, b] Rasquaispoderiamserilimitadasnasprox-imidades de algumc]a, b[: Suponhamos que as restricoes de f aos intervalos[a, c 1]e[c +2, b]sejamRiemannintegraveisparatodo1, 2> 0pequeno,entaof eintegravel seasintegraisimpropriasdef, em[a, c[ e]c, b], convergem, nestecasodenimos_baf(x) dx :=_caf(x); dx +_bcf(x); dx.Daintegrabilidadedafuncaopodemosconcluirqueolimitelim0__caf(x); dx + lim0_bc+f(x); dx_existe. Estevalorechamadodevalorprincipal deCauchy. Oreciprocoreciproconao everdadeiro,isto epodeexistirovalorprincipaldeCauchyeafuncaonaoserintegravel comomostraoseguinteexemplo.ExemploConsideremosafuncaof : [1, 1] Rdadaporf(x)=1/xparax ,=0ef(0) = 0,logoestafuncaonaoeintegravel,poislim0_11xdx = lim0ln() = poremolimitelim0__11xdx +_11xdx_ = lim0[ln() ln()] = 0existe.8.2 IntegrabilidadedeFuncoesdenidasemintevalosnaolimi-tadosDenicao:Seja f: [a, [R uma funcao tal que e limitada e integravel en cada intervalonito [a, r] para todo r > a entao fsera integravel (em [a, [) se o limite limr_raf(x) dx125convergir,nestecasoadotaremosanotacao_af(x) dx :=limr_raf(x) dx.aqualseraditadeintegralimpropria. Casoolimiteanteriornaoconvirjadizemosqueaintegral impropriadiverge.Resultados similares `asecaoanterior saoanalogos as quais mencionaremos ecujaprovacacomoexerccioTheorem8.5Sef, g:[a, [ Rsaofuncoesnaonegativastaisquef(x) g(x)paratodox [a, [,entao1. seaintegral impropriadegconvergeentaoaintegral impropriadefconverge.2. seaintegral impropriadefdivergeentaoaintegral impropriadegdiverge.Exemplo: paracadax > 0funcaoGamma(x) :=_0ettx1dt,eumaintegral impropriaaqual somentefaz sentidosefor convergente. Estaintegralsera convergente se e somete se as integrais improprias nos intervalos ]0, 1] e [1, [ foremconvergentes. Parat ]0, 1]tem-se0 < ettx1< tx1e_10tx1dt =limr0+_1rtx1dt =limr0+1x(1 rx) =1xPorcomparacaoaintegralimpropriadeettx1nointervalo]0, 1]converge. Paraanlizaraconvergencianointervalo[1, [ primeiroobserveque, como limtet/2tx1=0, seguequeexisteumaconstantepositivaktal queet/2tx1 kparatodot 1. Multiplicandoporet/2ambosladosdestadesigualdadeencontramosque0 < ettx1 ket/2, t [1, [.Desdeque_0ket/2dt =limr_r0ket/2dt =limr2k(1 er/2) = 2kPorcomparacaoaintegral impropriadeettx1nointervalo[1, [converge.126ComoaIntegral impropriaeumlimite, entaoseas integrais improprias def egconvergem,entaotambemiraconvergirasomaf +geoprodutocomumaconstantecf,alemdisso_a(f+ g)(x) dx =_af(x) dx +_ag(x) dx,_a[cf](x) dx = c_baf(x) dxDizemos que uma integral improria de fconverge absolutamente se a integral impropria[f[convergeTheorem8.6Sejaf : [a, [ RumafuncaoRiemannintegravel em[a, r] paratodor >a. Seaintegral impropriadeconvergeabsolutamenteentaoaintegral impropriaconverge.Exemplo: Consideremosafuncaof : [1, [ Rdadaporf(x)=(1)n/nparax [n, n + 1[, n N, logoaintegral impropriadestafuncaoconverge, poremnaoconvergeabsolutamente.1278.3 Exerccios1. Estudeaconvergenciaodivergenciadasseguintesintegraisimpropias_1011 x2dx,_201_[1 x[dx,_101x(1 x)dx,_10sin(x)xdx2. Considereafuncaof:] 1, 1[Rdadaporf(x) = x/(1 x2).(a) Mostrequeolimite lim0+_11+f(x) dxconverge.(b) Mostrequefnaoeintegravel em] 1, 1[.(c) Porque oresultadodoprimeiroitemnaogarante que f sejaintegravel em] 1, 1[?Justiquesuaresposta.3. Considereafuncaofdenidanointervalo[0, 1]epossvelmenteilimitadaemcadaxi=1/icomi N. Fornecaumadenicaodeintegrabilidadeparaestafuncaoedenasuaintegral impropriadetal formaque, aoconsiderarfuncoeslimitadas,estadenicaocoincidacomaintegral deRiemann.4. Sejap > 0,estudeaconvergenciaoudivergenciadasseguintesintegraisimproprias_101xpdx,_11xpdx,_01xpdx.5. Mostrequeaintegralimpropria_0sin(x2) dxconverge,poremnaoconvergeabso-lutamente.6. Sejaf: [1, [ RumafuncaopositivadecrescenteeRiemannintegravel em[1, b]paratodob > 1. Mostreque_1f(x) dx converge n=1f(n) converge.Seguidamente, aplique este resultado para mostrar que a integral de Poison_0ex2dxconverge.7. Seja f : [0, [Rumafuncaocontnua. Mostre que se aintegral impropria_0f(x) dxconvergeentaolimr_rf(x) dx = 0.1288. Sejaf: [0, [ Rumafuncaocontnua, positivaedecrescente. Mostrequeseaintegral impropria_0f(x) dxconvergeentao limxxf(x) = 0.1299 Seq uenciaseSeriesdeFuncoes9.1 TiposdeConvergenciaDenicao[ConvergenciaPontual] Dizemosqueumaseq uenciadefuncoesfn: D Rconvergepontualmenteparaafuncaof : D R, separacadax Dxoaseq uencianumerica(fn(x))convergeparaf(x). Istoe, paracada>0podemosencontrarn0=n0(, x) N,tal que [fn(x) fn0(x)[ < paratodon n0.Denicao[ConvergenciaUniforme] Nadenicaoanterior, dizemosqueaconvergenciaeuniformeemDseepossvel encontrarn0independentedex D,istoe,separacada>0dadoexisten0=n0() Ntal que [fn(x) fn0(x)[ 0,logo[fn(x) 0[ lnln |x|(observequedependedex), assimparan n0teremosque [fn(x) 0[ < .Vejamosagoraqueaconvergencianao euniforme. Defato,procedamospeloabsurdo,suponhamosqueaconvergencia euniforme,logopara = 1/3deveexistirn0 Ntalque[fn(x)[ 0, semperdade generalidade podemos considerarln()ln(x).Assim, se xamos n0>ln()/ ln(r) (observe que naodepende de x) temos que, paran n0tem-sen >ln()ln(r)>ln()ln(x),130ede(9.16)podemosconcluirque[fn(x) 0[ 0,logo[fn(x) f(x)[ ln([1 x[)ln([x[)portantoxamosn0 Ntal quen0>ln(|1x|)ln(|x|), assimparan n0teremosque [fn(x) f(x)[ < .Theorem9.1(CriteriodeCauchy) Umasequenciadefuncoesfnconvergeunifor-menteemD,sesomentese,paracada > 0existen0 Ntal que[fn(x) fm(x)[ < , n n0, x D.Proof: (): Sejaf afuncaoparaaqual asequencia(fn) convergeuniformemente,logoxando > 0temosqueexisten0 Ntal que[fn(x) f(x)[ < /2, n n0, x D.Sejamn, m n0entao,paratodox Dtemosque[fn(x) fm(x)[ [fn(x) f(x)[ +[fm(x) f(x)[ 0, logoporhipotese, existen0 Ntal queparan, m n0etodox Dtemosque[fn(x) fm(x)[ < /2.131Fixandon n0ex Dtemosquefn(x) fm(x) fn(x) f(x) quandom ,portanto [fn(x) fm(x)[ [fn(x) f(x)[quandom eemvistade?temosque[fn(x) f(x)[ /2logo,paran n0eparatodox Dtemosque[fn(x) f(x)[ < ,stoe,fnconvergeuniformenteparafemD. 2Exemplo: considereafuncaoh: R Rdadadapor h(x) =1 [x[ para [x[ 1eh(x) =0para [x[ >1, consideremos asequenciadefuncoes fn: R Rdadaporfn(x) = h(xn),logoestasequenciaconvergepontualmenteparaafuncaoidenticamentenulaem Rporemaconvergencianaoeuniforme,pois[fn(n) fm(n)[ = 1paratodon ,= m.Theorem9.2Seja(fn)umaseq uenciadefuncoesqueconvergeuniformenteparafnointervaloI. SefnecontnuaemIparacadan NentaofecontnuaProof: Sejax0I e>0, pelacovergenciauniforme temos que existe n0Ntalque [fn(x) f(x)[ 0tal que,paratodox Icom [x x0[ < tem-se[fn0(x) fn0(x0)[ < /3,assimparatodox Icom [x x0[ < temosque[f(x) f(x0)[ [f(x) fn0(x)[ +[fn0(x) fn0(x0)[ +[fn0(x0) f(x0)[ < ,logofecontnuaemx0. Daarbitrariedadedopontoconsiderado,seguequefecontnuaemI.Exemplo: fn: [0, 1] Rdadoporf(x)=xnconvergeparaafuncaof : [0, 1] Rdadaporf(x) = 0sex [0, 1[ef(1) = 1,poremaconvergencianaoeuniforme,poisafuncaolimiteediscontinua. 2132Dizemos Que umasequenciade funcoes (fn) converge monotonicamente paraumafuncaofnoconjuntoD, separacadax Dasequencianumerica(fn(x))emonotonaeconvergeparaf(x). Observequenesteca