NOTAS DE AULA DEALGEBRA IValmecirBayer10desetembrode20072Sumario1 CONJUNTOS,FUNC OESELINGUAGEMLOGICA 71.1 ConjuntoseSubconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Operacoescomconjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 Imagensdiretaseimagensinversas . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Composicaodefuncoesefuncoesinversveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6 RelacoesdeEquivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7 Umpoucodelinguagemlogica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.8 ApendicedoCaptuloI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 OSNUMEROSINTEIROS 632.1 Adenicaodeanel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.2 Aneisordenados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.3 Homomorsmosdeaneis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.4 Oprincpiodainducaomatematica . . . . . . . . . . . . . . . 852.5 Conjuntosnitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.6 Aconstrucaodosn umerosracionais . . . . . . . . . . . . . . . 942.7 Oalgoritmodadivisao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.8 Representacaodosinteirosembases. . . . . . . . . . . . . . . 1053 DOMINIOSEUCLIDIANOS 1113.1 Domnioseuclidianoseideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.2 Oaneldepolinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.3 Oteoremadafatoracao unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333.4 Equacoesdiofantinaslineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403.5 Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433.6 Aaritmeticadasclassesresiduais . . . . . . . . . . . . . . . . 15434 SUMARIO4 OCORPODOSNUMEROSCOMPLEXOS 1634.1 Ocorpo C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.2 Razesden umeroscomplexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1744.3 OsinteirosdeGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795 APENDICES 1915.1 Aconstrucaodosn umerosreais . . . . . . . . . . . . . . . . . 1915.2 Osn umerosp-adicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191SUMARIO 5NOTAC OESAnel=AnelcomutativocomunidadeN = 1, 2, 3, . . . =Conjuntodosn umerosnaturaisZ = . . . , 2, 1, 0, 1, 2, . . . =Aneldosn umerosinteirosZ+= 0, 1, 2, 3, . . .=Subconjuntodosn umerosinteirosnaonegativosQ =Corpodosn umerosracionaisR =Corpodosn umerosreaisC =Corpodosn umeroscomplexosYX=ConjuntodafuncoesdeXemYA=ConjuntodoselementosinvertveisdoanelAKern =n ucleodohomomorsmo6 SUMARIOIntroducaoEstasnotastemoobjetivodeservircomotextoparaasdisciplinasdeAlgebraI eAlgebraII docursode MatematicadaUFES. Aintencaoeapresentar osconte udosseguindoasementaspropostaspeloColegiadodoCurso de Matematica. Ha varios textos que cobrem estas ementas, no entantoedifcilencontrarumquesejacompletamenteadequado. Avantagematualde escrever textos paraseremutilizados emdisciplinas vemdafacilidadedeseprocessarmudancasaposteremsidosexperimentados. Talveznuncachegaremosaumtextoideal masistonaotemimportanciapoismudancasparaaprimorareatualizarconte udossaosemprepositivas. Oobjetivonaleproporcionarumaprendizadomaisecazeagradavel.Omaterial abordadoestadistribudodafoirmaseguinte. NocaptuloIeapresentadaalinguagembasicadosconjuntoefuncoesbemcomoumapequenaintroducao`alogicamatematica. NocaptuloII,axiomatizamososn umeros inteiros e estudamos as suas primeiras propriedades. O captulo IIItemcomoobjetivouniformizar as propriedades comuns dos inteiros edospolinomios emumaindeterminadasobreumcorpoatraves daintroducaodos domnios euclidianos. Terminamos o volume I destas notas com o estudodosn umeroscomplexos. Deixamosparaosalunosmaiscuriososaleiturados apendices ondetratamos aconstrucaodos n umeros reais, os n umerosp-adicoseoTeoremaFundamentaldaAlgebra.Captulo1CONJUNTOS,FUNC OESELINGUAGEMLOGICAAnocaodeconjuntoefundamental naMatematica. Trata-sedeumalinguagembasicaquepermiteacomunicacaoemMatematica. Formalmenteateoriados conjuntos estaassociadaaumasub-areadaMatematicaquepodemos denominar Fundamentos daMatematica. Aformalizacaodessateoria tem origem no seculo XIX com os que hoje denominamos formalistas.Matematicos comoCantor e Dirichlet (vejaumabreve notabibliogracasobre cada um desses Matematicos no nal deste captulo) sao representantesdesta corrente de pensamento. Atualmente a teoria dos conjuntos comolinguagemestapresenteemtodososcamposdaMatematicaetambemnasareasans.Acompanhadadanocaodeconjuntovemanocaodefuncao. Numalin-guageminformal, poderamosdizerqueanocaodeconjuntotratadecole-cionar objetoseanocaodefuncaotrataderelacionar objetostraduzindoumaideiaquepodesugerirmovimento.O nosso objetivo neste primeiro captulo e introduzir de forma elementar,semnoentantodeixardeserformal, essesconceitosparaservircomoumainiciacao`alinguageme`acomunicacaonomundodaMatematica.1.1 ConjuntoseSubconjuntosAnocaodeconjuntoeumaideiaprimitivanaMatematica. Queremosdizercomideiaprimitivaquenaofazemosnenhumadenicaoformal. Uti-78 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICAlizamos o conceito de conjunto para signicar a ideia usual de colecao de ob-jetos ou elementos. Poderamos utilizar tambem o termo colecaoou famlia,paraexpressaramesmaideia.Um conjunto e constitudo de elementosou pontos. Quando um elementoxestanumconjuntoXdizemosquexpertenceaXouqueXcontemxeutilizamosanotacaox X.Destaformacaestabelecidaumarelacaoentreelementoseconjuntosquedenominamosrelacaodepertinencia. SexnaopertenceaoconjuntoXutilizamos a notacao x/ X. Para ilustrar esta linguagem pense no conjuntoXcujos elementos saoos smbolos 1, 2, 3. Assim, por exemplo, 2 Xenquantoosmbolo4naoestaemX,eportanto4/ X.A teoria dos conjuntos procura nao enfatizar a natureza dos elementos queconstituem um determinado conjunto, mas sim as relacoes entre elementos econjuntos. Em nosso contexto, a teoria dos conjuntos nao apenas e util paratratarconjuntosnumericos,mastambem efundamentalparatratarconjun-tos de natureza geometrica e abstrata como conjuntos de retas, conjuntos degurasgeometricas,conjuntosdefuncoes,conjuntosdeconjuntosetc...DoisconjuntoAeBsaoiguais, eescrevemosA=B, seelescontemosmesmoselementos.EXEMPLO1.1.O plano euclidiano pode ser visto como um conjunto de pontos. As retasdo plano euclidiano tambem podem ser vistas como conjuntos de pontos. Poroutrolado,asretasdoplanoeuclidianotambemformamumconjunto.Assimpodemosperceberqueumdeterminadoelemento,nonossoexem-plo,umareta,emoutrocontexto,podeserconsideradocomoumconjunto.Oexemploacimadaumaideiadequantoestanocaodeconjuntopodeserrelativa.Eprecisoestaratentoaocontexto!Comoobjetivodefacilitaraabstracaodepensamentosedenicoes emuito util, e tambemrecomendavel, representar conjuntos por meio de gurasretilneas ou guras do plano.E importante, no entanto, car atento que es-tas representacoes nao devem ser utilizadas como argumentos para se demon-strararmacoes. Oseuusodeveserapenasilustrativo.1.1. CONJUNTOSESUBCONJUNTOS 9Para se denir umconjunto freq uentemente utilizamos uma ou maiscondicoesaquedevemsatisfazerosseuselementos. UtilizamosanotacaoA= x [p(x)paraindicarqueAeoconjuntodoselementosxquesatis-fazemacondicaop(x). Porexemplo,A = x [ x eumtrianguloequilatero.Dois conjuntos Ae Bpodemser comparados pelarelacaoque deno-minaremosrelacaodeinclusao: DizemosqueAeumsubconjuntodeBsetodoelementodeAestatambememB. Nestecaso, utilizamosanotacaoA B. PodemostambemutilizaralinguagemAestacontidoemBouBcontemA. Contrariamente, sealgumelementodeAnaoestaemBentaodizemosqueAnao eumsubconjuntodeB.Arelacaodeinclusaogozadealgumaspropriedadesquedestacamosnaproposicaoseguinte:PROPOSIC AO1.1. QuaisquerquesejamosconjuntosX,Y eZ,temos1. X X2. SeX Y eY Z,entaoX Z3. SeX Y eY X,entaoX= YDEMONSTRAC AO: Aprimeirapropriedadeeumaconseq uenciaime-diatadadenicaodarelacaodeinclusao. Parademonstrarasegundapro-priedade, precisamosvericarqueX Z. Ora, sex X, comoX Yentao, peladenicaodeinclusao, x Y . PorsuaveztemosqueYZ, enovamente,peladenicaodeinclusao,x Z. IstonospermiteconcluirqueX Z. Aterceirapropriedade eumaconseq uenciadoconceitodeinclusaoedeigualdadedeconjuntos. Apropriedade1daproposicao1.1chama-sepropriedadereexivaase-gunda chama-se propriedade transitiva e a terceira criterio de igualdade.Alemdisso, apropriedade1estadizendoquetodoconjuntoepartedesimesmo. Quando um conjunto Xe parte de outro conjunto Y , isto e, X Y ,masX ,= Y dizemosqueXeumsubconjuntopropriodeY .Um conjunto Ye denominado vazio, e o representamos com o smbolo ,quandoelenaotemelementos. Observequeoconjuntovazio esubconjuntodequalqueroutroconjunto. Defato, paravericarmosistobastaobservarque a inclusao Yso seria falsa se exibssemos um elemento de que nao10 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICAestivesseemY . Masisto eimpossvel,umavezqueoconjuntonaopossuielementos.Dado um conjunto X, podemos denir um novo conjunto associado a ele,asaber, oconjuntodesuaspartesquechamaremosdeconjuntodaspartesdeXeodenotaremospor(X). Assim,(X) = A [ A XObserveque (X)eX (X). Porexemplo, seX= a, b, centaoteremos(X) = , a, b, c, a, b, b, c, a, c, a, b, c 1.2 OperacoescomconjuntosDados dois conjuntos A e B podemos construir ou denir novos conjuntosapartirdeles. Estesprocessossechamamoperacoes comosconjuntosAeB. AseguirvamosdenirquatrooperacoescomosconjuntosAeB.1. UniaodosconjuntosAeB:A B= x [ x A ou x BAssim, x A Bse, esomentese, pelomenosumadasduasarmacoesseguintesecorretax Aoux B. Notequex Aoux Bnaoexcluiapossibilidadedexpertencer simultaneamenteaAeaB. Osignicadomatematicodoconectivoounao eexclusivocomonalinguagemusual.1. InterseccaodosconjuntosAeB:A B= x [ x A e x BAssim,x A Bse,esomentese,xpertencesimultaneamenteaambososconjuntosAeB. Porexemplo,seA = x [ x eumtrianguloretanguloeB= x [ x eumtrianguloisoscelesentao, AB e o conjunto de todos os triangulos simultaneamente retanguloseisosceles.1.2. OPERACOESCOMCONJUNTOS 111. DiferencadosconjuntosAeB:A B= x [ x A e x/ B.QuandoA B= diremosqueAeBsaodisjuntos. Porexemplo,seA = x [ x eumtrianguloequilateroB= x [ x eumtrianguloretanguloentaoA B= .Observe que a uniao e a interseccao de conjuntos sao operacoes binarias ecomutativas. Sendoassimelaspodemseriteradaseportantodenidasparaumaquantidadequalquerdeconjuntos.Em geral nao exigimos que A seja um subconjunto de B para denirmos adiferenca BA. No entanto, quando isto ocorre, isto e, se A B chamammosadiferencaB Adecomplementar doconjuntoAnoconjuntoB. CasoocontextopermitaxaroconjuntoB,denotaremosentaoadiferencaB AporCB(A),isto e,CB(A) = B A = x [ x Be x/ AA operacao diferenca goza de algumas propriedades que listamos na proposicaoseguinte:PROPOSIC AO1.2. SejamA,BeB

conjuntosquaisquer. Entao1. A (B B

) = (A B) (A B

).2. A (B B

) = (A B) (A B

).3. Se B B

entao A B

A B.DEMONSTRAC AO: Parademonstrarumaigualdadeentredoisconjun-tospodemosutilizarocriteriodaigualdadeestabelecidonaproposicao1.1.Assim,paraprovaraprimeirapropriedadeacimabastamostrarqueA (B B

) (A B) (A B

)eque(A B) (A B

) A (B B

).12 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICASejaentaox A (B B

). Peladenicaodediferencaentreconjuntostemosquex Aex/ B B

. Ora, peladenicaodeuniaodeconjuntos,necessariamentex/ Bex/ B

. Assimpodemosconcluirquex A Bex A B

. Logo, peladenicaodeinterseccaodeconjuntostemosquex (AB)(AB

) e isto demonstra a primeira inclusao. Reciprocamente,suponhaquex (A B) (A B

). Entaox A Bex A B

,istoe, x Aex / Bex / B

. Assimx Aex / (B B

), oquenospermiteconcluirqueA(B B

). Parademonstrarasegundapropriedadeutilizamosamesmatecnica. Suponhaquex A(B B

). Entaox Aex/ (BB

), isto e x A e, pela denicao de interseccao de conjuntos, x/ Bou x/ B

. Portanto x ABou x AB

, isto e, x (AB) (AB

). Isto demonstra que A(BB

) (AB) (AB

). Reciprocamente, sex (AB)(AB

) entao x A e x/ B ou x A e x/ B

. Assim x A ex/ (BB

), isto e, x A(BB

) o que mostra que x A(BB

). Istomostraaigualdadeno tem2. Parademonstraraterceirapropriedade,sejax AB

, entao x A e x/ B

. Ora, mas B B

, entao necessariamente,x/ B,oquemostraquex A B. IstomostraqueA B

A B. COROLARIO1.1. SejamBeB

subconjuntosdeumconjuntoA,ondeAestaxado. Entao1. CA(B B

) = CA(B) CA(B

).2. CA(B B

) = CA(B) CA(B

).3. Se B B

entaoCA(B

) CA(B).DEMONSTRAC AO: SegueimediatamentedaProposicao1.2. 1. ProdutocartesianodosconjuntosAeB:Antesdedeniroprodutocartesianodedoisconjuntosprecisamosin-troduziranocaodeparesordenandos. Dadosdoisobjetosquaisqueraebpodemosdeniroparordenado(a, b). Esteparordenadoconsistedosobje-tosa eb(que podemserdistintos ounao)e daescolhade umdelesparaseroprimeiroobjetodopar. Assimanotacao(a, b)signicaqueaeprimeiroobjetoeb eosegundoobjetodoparordenado.Cuidado! naoconfundir oconjunto a, bcomopar ordenado(a, b).Observeque a, b= b, a, enquanto(a, b) ,=(b, a), anaoserqueasejaigualab.1.2. OPERACOESCOMCONJUNTOS 13Umparordenado ecaraterizadopelacondicao:(a, b) = (a

, b

) se,esomentese a = a

e b = b

.Dados os conjuntos A e B podemos denir um novo conjunto que chamaremosdeprodutocartesianodeAporB,eodenotaremosporA B,daseguintemaneira:A B= (a, b) [ a A e b B.Emoutras palabras, oprodutocartesianode Apor Be oconjuntodosparesordenados(a, b)ondea Aeb b. Dadooparordenado(a, b), oobjetoaseradenominadoasuaprimeiracoordenadaebasuasegundacoordenada.O subconjunto do produto cartesiano AA formado pelos elementos (a, a)decoordenadasiguaisechamadodediagonal deAAeorepresentamospor,isto e, = (a, b) A A [ a = bPROPOSIC AO1.3. SejamA,B,C,A

eB

conjuntosquaisquer. Entao1. (A B) C= (A C) (B C).2. (A B) C= (A C) (B C).3. (A B) C= (A C) (B C).4. SeA A

eB B

entaoA B A

B

.DEMONSTRAC AO: 1. Seja(x, y) (A B)C. Entaox A Bey C, isto e, x A ou x B e y C. Logo, (x, y) AC ou (x, y) BC.Isto mostra que (AB) C (AC) (BC). Reciprocamente, suponhaque (x, y) (AC)(BC), entao (x, y) ACou (x, y) BC. Entaox A ou x B e y C, isto e, x AB e y C, isto e, (x, y) (AB)C.Istomostraque(A C) (B C) (A B) C. Istomostraaprimeiraigualdade. Os tens2,3e4saodeixadascomoexerccioparaoleitor. 14 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICAEXERCICIOS1.1.1. SejaAumconjuntoqualquer. Mostreque:(a) A = A. (b) A = . (c) AA = A. (d) AA = A.2. SejamAeBconjuntosquaisquer. Mostreque:(a) A B= B A. (b) A B= B A.(c) A B= A se,esomentese, B A.(d) A B= A se,esomentese, A B.3. SejamA,BeCconjuntosquaisquer. Mostreque:(a) (A B) C= A (B C).(b) (A B) C= A (B C).(c) A (B C) = (A B) (A C).(d) A (B C) = (A B) (A C).Noexercio3,aspropriedadesa)eb)signicamqueauniaoeainter-seccaodeconjuntossaooperacoesassociativasenquantoos tensc)ed)signicamqueauniaodistribuiainterseccaoevice-versa.4. SejamAeBsubconjuntosdeummesmoconjuntoIxo. DenotandoporC(X)ocomplementardeumsubconjuntoXdeI emI, mostreque:(a) A B= se,esomentese,A C(B)(b) A B= Ise,esomentese,C(B) A5. SejamA,B,A

eB

conjuntosquaisquer. Mostreque:(a) SeA BeA

B

entaoA A

B B

.(b) SeA BeA

B

entaoA A

B B

.6. SejamA, BeCconjuntosquaisquer. Mostrequevaleaseguinteleidocancelamento:Se A C= B C e A C= B C entao A = B.1.3. FUNCOES 157. FixeumconjuntoIesejamAeBsubconjuntosdeI. MostrequeCI() = I e CI(I) = .8. Estenda as denicoes de uniao e interseccao para uma quantidade qual-querdeconjuntos.9. SejamA,B,C,A

eB

conjuntosquaisquer. Mostreque(a) (A B) C= (A C) (B C).(b) (A B) C= (A C) (B C).(c) SeA A

eB B

entaoA B A

B

1.3 FuncoesA nocao de funcao foi introduzida na Matematica por Dirichlet (veja umabrevenotabibliogracasobreDirichletnonal destecaptulo)paratratarseries trigonometricas noconjuntodos n umeros reais. Estanocaoevoluiue hoje elae extremamente util paratratar relacoes entre conjuntos maisabstratos. Assim como a nocao de conjunto, a nocao de funcao e fundamentalna linguagem atual da Matematica. Como ressaltamos no incio do captulo,afuncaotransmiteaideiademovimento.Uma funcaodenida num conjunto Xe assumindo valores num conjuntoY eumacorrespondenciaqueacadaelementodeXassociaum unicoele-mento de Y . Sao sinonimos de funcao os termos aplicacaoou transformacao.Anotacaoatual defuncaoeaseguinte. Denotandoafuncaopelosmbolof porexemplo, seXeoconjuntoondeelaestadenidaeY eoconjuntoondeelaassumeseusvalores, escrevemosf : X Y . Sex Xentaodenotaremosporf(x)ovalordefemY . OconjuntoXrecebeonomededomnioda funcao fe Yrecebe o nome de contradomniode f. Pode ocorrerdeXserigualaY ,istoe,odomnioserigualaocontradomnio.Ecomumabreviartodasestasinformacoessobreafuncaofcomaseguintenotacao:f: X Yx f(x)Se o domnio e ocontradomnioestaocompletamente claros, istoe, naoprecisamserenfatizados,podemostambemusaranotacaox f(x)parasignicarqueaoelementoxestaassociadooelementof(x)pelafuncaof.16 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICAUma observacao importante e que a denicao de funcao envolve doisconjuntos e uma associacao de elementos. Assim e fundamental ter em mentequeparaqueduasfuncoessejamiguaisenecessarioqueosseusdomniossejamiguais, seus contradomnios sejamiguais equeaassociacaoacadaelementododomniosejaamesmaporestasfuncoes. Emsmbolos, temos:dadasasfuncoesfeg,digamos,f: X Y e g: Z Wx f(x) x g(x)entao,f= gse,esomentese,X= Z,Y= Wef(x) = g(x)paratodox X.Doisexemplosfundamentaisdefuncoessaoosseguintes:1. Funcoes identidades- SejaXumconjuntonaovazio. ConsidereafuncaoIdcomdomnioecontradomnioiguaisaXqueacadaelementox Xassociaopropriox, istoeId(x)=x. ClaramenteistodeneumafuncaodeXemX. Estafuncao echamadafuncaoIdentidadedeX.2. Funcoesconstantes-SejamXeY conjuntosnaovazios. Fixeumelementob Y . Considereafuncaof: X Y queacadax Xassociao elemento b. Novamente e claro que isto dene uma funcao de Xem Yquedenominamosfuncaoconstante(comvalorb).1.4 ImagensdiretaseimagensinversasDadaumafuncaof : X Y , classicamenteodomnioXetambemchamadoconjuntodedenicaodef. JaosubconjuntodeY formadopeloselementosyparaosquaisexistex Xtal quey=f(x)echamadocon-juntodevaloresdef. AssimoconjuntodevaloresdefeumapartedeY ,podendocoincidirounaocomocontradomnioY . OfatodoconjuntodosvaloresserumsubconjuntopropriodeY querdizerqueocontradomnioedesnecessariamentegrandeparaafuncaof. Quandooconjuntodevalorescoincide com o contradomnio diremos que a funcao fe sobrejetiva. Assim afuncaofesobrejetivaquandoY= f(x) [ x X.1.4. IMAGENSDIRETASEIMAGENSINVERSAS 17ConsidereumsubconjuntoA X. OsubconjuntodeYf(A) = y Y [ y= f(x) paraalgum x A = f(x) [ x Ae denominadoimagemdireta de Apelafuncaof. Trata-se doconjuntode valores que afuncaof assume emB. Observe que se A=Xentaooconjuntodevaloresdef eexatamentef(X)comoacabamosdedenir.Observetambemquef(A) f(X) Y .Poroutrolado,considereagoraumsubconjuntoB Y . OsubconjuntodeXf1(B) = x X [ f(x) Be denominado imageminversade Bpela funcao f. Trata-se do subconjuntode Xcujos elementos sao associados a elementos de B pela funcao f. Observequef1(X) = Y umavezquetodoelementodeXprecisaestarassociadoaalgumelementodeY peladenicaodefuncao. Naturalmentef1(B) X.E curioso notar que sempre que A Xe um conjunto nao vazio entao f(A)tambemenaovazio, aopassoquepodeocorrerqueB Y sejanaovaziomasf1(B)sejavazio. ParaistobastaqueB f(X)sejavazio. QuandooconjuntoB Ysereduzaum unicoponto,digamos,B= b,utilizaremosanotac ao(maissimples)f1(b)emvezdef1(b)paradenotaraimageminversadoconjuntoB.Assimcomoanocaodeimagemdiretadeuorigemaoconceitodefuncaosobrejetiva, a nocao de imagem inversa da origem a um outro conceito que eodefuncaoinjetiva.Diremosqueumafuncaof:X Y einjetivaquandoquaisquerdoiselementosdistintosdeXestaoassociadosaelementosdistintosdeY pelafuncaof. Resumidamentepodemosdizer quef einjetivaquandopontosdistintos de Xtem imagens distintas. Podemos formular o conceito de funcaoinjetiva em termos de imagem inversa da seguinte forma: fe injetiva quandof1(y)contemnomaximoumpontoqualquerquesejay Y . Deixamosavericacaodaeq uivalenciadestasformulacoesacargodoleitor.18 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICAEXERCICIOS1.2.1. Sejamf: X Y umafuncao,A, A

XeB, B

Y . Mostreque(a) SeA A

entaof(A) f(A

).(b) SeB B

entaof1(B) f1(B

).(c) f(A A

) = f(A) f(A

).(d) f1(B B

) = f1(B) f1(B

).(e) f(A A

) f(A) f(A

). MostretambemquevaleaigualdadeparaquaisquerA, A

Xse,esomentese,feinjetiva.(f) f1(B B

) = f1(B) f1(B

).2. Sejamf: X Y umafuncao,A, A

XeB, B

Y . Mostreque(a) f1(B

B) = f1(B

) f1(B).(b) f(A

) f(A) f(A

A)evaleaigualdadese,esomentesefeinjetiva(c) Deexemplosondeaigualdadenoitemb)naosejavalida.3. Sejamf: X Y umafuncao,A XeB Y . Mostreque(a) f(A) = se,esomentese,A = .(b) f1(B) = se,esomentese,B f(X) = .(c) f1(B) = f1(B f(X)).4. Sejamf: X Y umafuncaoeA X. MostrequeA f1f(A)).Alemdisso, valeaigualdadeparaqualquersubconjuntoAdeXse, esomentese,feinjetiva.5. Sejaf:X Y umafuncaoeB Y . Mostrequef(f1(B)) B.Alemdisso, valeaigualdadeparaqualquersubconjuntoBdeY se, esomentese,fesobrejetiva.1.5. COMPOSIC AODEFUNCOESE FUNCOESINVERSIVEIS 191.5 ComposicaodefuncoesefuncoesinversveisComojasalientamosanteriormenteanocaodefuncaoestaassociada`aideiademovimento. Estaideiacamais evidentenahipotesedepoder-mositerarfuncoes,istoe,aplicarseguidamenteamesmafuncaooufuncoesdiferentes. Hacasos emque podemos fazer istoe hacasos emque naopodemos. Vejamos: Suponha que nos sejam dadas duas funcoes f: X Yeg: W Z. Porexemplo, suponhaquequizessemosaplicarafuncaogaoselementosdaformaf(x). Paraqueestaideiatenhasucessoeevidentequeprecisamos ter f(x) nodomniodafuncaog. Ora, entaoacondicaoqueprecisamosequef(X) W. Estae, digamos, examenteacondicaonecessaria. No entanto, uma condicao suciente para que possamos aplicar afuncao g aos elementos f(x) para todo x Xe que Y= W, isto e, o domniodafuncaogsejaigualaocontradomniodafuncaof. Emgeralesta ultimacondicao emaisfacildeservericada.Ecomelaquevamostrabalhar.DEFINIC AO1.1. Sejamf : XY e g : Y Zduas funcoes.AfuncaocomdomnoX, contradomnioZque acadax Xassociaoelementog(f(x)) Zedenominadafuncaocompostadef comg eadenotaremosporg fPodemos entao pensar na composicao de funcoes como um tipo de operacaonoconjuntodas funcoes. Haporemumarestricao, pois comoobservadoacima, dadas duas funcoes arbitrarias, nem sempre e possivel compo-las, istoe, nemsempree possivel realizar aoperacao. Apesar disso, quandoacomposicaoforpossvel, elagozadealgumaspropriedadesimportantesquedestacamosnasproposicoesseguintes.PROPOSIC AO1.4. Sejamf : X Y , g: YZeh: Z Wfuncoes. Entaoh (g f) = (h g) f. Emoutraspalavras,nocasoemqueacomposicaodefuncoesforpossvel elaeassociativa.DEMONSTRAC AO: Observequeh (g f)e(h g) f temXcomodomnioeWcomocontradomnio. Alemdisso,sex X,peladenicao1.1acimatemos(h (g f))(x) = h((g f)(x)) = h(g(f(x))) == (h g)(f(x)) = ((h g) f)(x)Portanto,h (g f) = (h g) f. 20 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICAPROPOSIC AO1.5. Sejaf:X Y umafuncaoqualquereconsiderea funcao identidade de X, IX: XXe a funcao identidade de Y ,IY: Y Y . Entaof IX= f e IY f= f.DEMONSTRAC AO: Claramentefef IXtemomesmodomnioXeomesmocontradomnioY . Alemdisso,paracadax Xtemos(f IX)(x) = f(IX(x)) = f(x).Portanto,f IX= f. Demaneiraanaloga,obtemosIY f= f. Aproposicao1.5nosarmaqueIXdesempenhaopapel deelementoneutro `a direitapara o conjunto das funcoes de Xem Ye IYdesempenha opapel deelementoneutro`aesquerda. AssimseX=Y entaooconjuntodas funcoes de Xem Xpossui um elemento neutro que e a funcao identidadedeX.Aseguirvamosestudaraquestaodaexistenciadefuncoesinversas.Dadaumafuncaof: X Y ,dizemosqueg: Y Xeumainversa`adireitadef sef g=IY , istoe, f(g(y))=yparatodoy Y .Efacilconstruirumexemplodefuncaoquenaopossuiinversa`adireita,veja:SejamX= 1eY = 1, 2econsidereafuncaof:X Y denidaporf(1)=1. A unicafuncaoquepodemosdenirdeY emXeafunc ao(constante) g =1, istoe, g(1) =g(2) =1. Logof(g(1)) =f(1) =1=f(g(2))e,portanto,claramentef g ,= IY .Faca um diagrama que ilustre este exemplo. Nao e muito difcil perceberqueoqueestaimpedindoanaoexistenciadainversa`adireitanestecasoeofatodef naosersobrejetiva. Naverdadeestaea unicarestricaoemqualquercaso,comomostraaproposicaoseguinte:PROPOSIC AO1.6. Seja f : XY uma funcao. Uma condicaonecessariaesucienteparaquefpossuaumainversa`adireitaequefsejasobrejetiva.DEMONSTRAC AO: Suponhaquef : X Y possuaumainversa`adireitag: Y X. Assim,f g= IY ,isto e,f(g(y)) = yparatodoy Y .Queremosvericarquefesobrejetiva, istoe, queaimagemdiretadeX,f(X) coincide com o contradomnio Yde f. Ora, como f(X), por denicao,eumsubconjuntodeY , bastavericarqueYf(X). Assim, semprequequizermos vericar que uma funcao f: X Ye sobrejetiva basta vericarqueparacaday Y tem-sequey f(X), istoe, existex Xtal que1.5. COMPOSIC AODEFUNCOESE FUNCOESINVERSIVEIS 21y=f(x). Nonossocaso, comof(g(y))=yparatodoy Y , bastatomarx=g(y). Portantoafuncaofesobrejetiva. Reciprocamente,suponhaquef sejasobrejetiva. DenaumafuncaogYXdaseguinteforma: dadoy Y , usandoasobrejetividadedef, existex Xtalquef(x)=y. Fixeumdessesx Xedenag(y)=x. Afuncaogassimdenidaeumadasfuncoesquequeremos. Demaneiraanalogatemosanocaodefuncoesinversas`aesquerda,comosegue. Considere umafuncaof : XY . Dizemos que umafuncaoh : Y Xe uma inversa`aesquerdade fse h f= IX, isto e h(f(x)) = xparatodox X.Novamente e facil construir exemplos de funcoes que nao possuem inversas`a esquerda. Deixamos esta tarefa como exerccio para o leitor. E tambem, demaneiraanaloga,deformadual,existeumcriteriodeexistenciadeinversas`aesquerda,asaber:PROPOSIC AO1.7. Seja f : XY uma funcao. Uma condicaonecessariaesucienteparaquef possuaumainversa`aesquerdaequefsejainjetiva.DEMONSTRAC AO:Suponha que fpossua uma inversa `a esquerda, dig-amosh : Y X,isto e,h(f(x)) = xparatodox X. Queremosvericarquefeinjetiva. Paraistoprecisamosvericarquesex1 ,=x2emXentaof(x1) ,=f(x2); oudemaneiraequivalente, sef(x1)=f(x2)entaox1=x2.Ora, sef(x1) =f(x2)entaoh(f(x1)) =h(f(x2)), istoex1=x2. Recip-rocamente, suponhaquef: X Y sejaumafuncaoinjetiva. Queremosencontrarumafuncaoinversa`aesquerdaparaf. Denah: YXdaseguintemaneira. Fixeumelementoa X. Dadoy Y ,temosduasalter-nativas(exclusivas): yestanaimagemdiretadeX, istoe, y f(X)ouynao est a na imagem direta de X, isto e y/ f(X). No caso em que y/ f(X)denah(y)=a. Nocasoemquey f(X), comof einjetivaexisteum unicox Xtal quef(x)=y. Denah(y)=x.Eclaroqueh(f(x))=xparatodox X.Eimediatovericarquehassimdenida eumainversa`aesquerdaparaf. Nasduasproposicoesacimanada emencionadosobreaunicidadedain-versa. Na verdade, podemos vericar que em geral nao temos esta unicidade.No entanto, temos um criterio muito claro para garantir esta unicidade. Esteeoconte udodoteoremaaseguir.22 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICATEOREMA1.1. Sejaf : X Y umafuncao. Suponhaquef possuaumainversa`adireitageumainversa`aesquerdah. Entaog=henestecaso, g e a unica inversa `a direita de fe tambem e a unica inversa `a esquerdadef.DEMONSTRAC AO: Sejamg: YXumainversa`adireitadef eh : Y Xumainversa`aesquerda.,isto e,f(g(y)) = y paratodo y Yetambemh(f(x)) = x paratodo x XSejay Y ,comofesobrejetiva,existex Xtalquef(x) = y. Assimf(g(y))=yef(h(y))=f(h(f(x)))=f(x)=y. Comofeinjetivatemosque g(y) =h(y). Logog =h. Assimf(g(y)) =y paratodoy Y eg(f(x)) =xparatodox X. Suponhaqueg

eoutrainversa`adireita.Entaof(g

(y))=y=f(g(y))paratodoy Y . Comofeinjetiva, temosque g

(y) = g(y) para todo y Y . Portanto g

= g e temos entao a unicidadedafuncaog. DEFINIC AO1.2. Umafuncaof:X Y einversvel seexisteumafuncaog: Y Xtal quef g= IYeg f= IX.Observequeafuncaog dadenicaoe unica. Assimf : XY einversvel seexisteumafuncaog:YXtal queg(f(x))=xparatodox Xef(g(y))=yparatodoy Y . Vamosdenominarestafuncaodeinversa dafuncaof evamosdenota-laporf1. Pelasproposicoesacima,f einversvel se, esomentese, elaeinjetivaesobrejetiva. Nestecaso, anomenclaturaclassicadenominaafuncaof bijetiva. Istoe, umafuncaoe chamadabijetivase elae injetivae sobrejetiva. Assim, umafuncaoeinversvelse,esomentese,ela ebijetiva.PROPOSIC AO1.8. Sejamf: X Y eg: Y Zduasfuncoes.1. Sefegsaoinjetivasentaog ftambemeinjetiva.2. Sefegsaosobrejetivasentaog ftambemesobrejetiva.3. Sefegsaobijetivasentaog ftambemebijetiva.1.5. COMPOSIC AODEFUNCOESE FUNCOESINVERSIVEIS 23DEMONSTRAC AO:1. Suponhaf eginjetivas. Queremosmostrarqueg f tambemein-jetiva. Paraisto,sejamx1, x2 Xesuponhaque(g f)(x1) = (g f)(x2),isto e, g(f(x1)) = g(f(x2)). Como g e injetiva temos que f(x1) = f(x2). Porsuavez,comofeinjetiva,temosquex1= x2. Portantog feinjetiva.2. Suponhaf egsobrejetivas. Queremosmostrarqueg f tambemesobrejetiva. Fixez Z. Comogesobrejetivapodemosgarantirqueexistey Y talqueg(y) = z. Porsuavez,comofesobrejetiva,paraestey Yexistex Xtalquef(x) = y. Logo,(g f)(x) = g(f(x)) = g(y) = z,oquegaranteasobrejetividadedeg f.3. Seguedositensa)eb)acima. PROPOSIC AO1.9. Sejamf : XY eg : Y Zduas funcoesinversveis. Entaog feinversvel e(g f)1= f1 g1.DEMONSTRAC AO: Observequeoitem3) daproposicao1.8garantequeg feinversvel. Paramostrarque(g f)1=f1 g1observeque,pelaunicidadedainversadeumafuncao,bastavericarque(f1 g1) (g f) = IXeque (g f) (f1 g1) = IZ.Mas, usandoaassociatividadedacomposicaodefuncoeseaproposicao1.5,temos(f1 g1) (g f) = f1 ((g1 g) f) = f1 (IY f) = f1 f= IX(g f) (f1 g1) = (g (f f1)) g1= (g IY ) g1= g g1= IZ.Oquedemonstraoquequeramos. EXERCICIOS1.3.1. SejamX,Y eZtresconjuntos.(a) Dadasduasfuncoesg: Y Zeh : X Z,entaoexistepelomenos uma funcao f: X Ytal que h = g fse, e somente se,h(X) g(Y ). Alem disso, fe unica, se e somente se, g e injetiva.24 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICA(b) Dadas duas funcoes f: X Ye h : X Z,entao existe pelomenosumafuncaog: YZtal queh=g f se, esomentese, semprequef(x)=f(x

)tem-seh(x)=h(x

), (istoe, seosvaloresdefemdoispontosdeXforemiguais, entaoosvaloresdehnestespontostambemsaoiguais). Alemdisso,ge unicase,esomentese,fesobrejetiva.2. Sejamf: X Y eg: Y Zduasfuncoes. Mostreque(a) SeA Xentao(g f)(A) = g(f(A))(b) SeC Zentao(g f)1(C) = f1(g1(C)).1.6 RelacoesdeEquivalenciaAlgunsproblemasfundamentaisdaMatematicatratamdaclassicacaode objetos. Uma boa classicacao permite compreender melhor o comporta-mentoeanaturezadecertosconjuntos. Emgeral,oprincpiodestatecnicaconsiste em separar os elementos por propriedades ou caractersticas comuns.Umdosexemplosmaisilustrativodestanaturezaeoconjuntodasfracoesque e o resultado de uma identicacao de elementos que denominamos fracoesequivalentes. Teremosaoportunidadedevoltaraestecontextoquandoes-tudarmosoconjuntodosn umerosracionais. Esteexemplo,fundamentalnaMatematica elementar, por si so, ja justica o estudo sistematico das relacoesdeequivalencia.ConsidereAumconjuntonaovazio. UmarelacaodeequivalenciaemAe uma relacaoentre cada par de elementos de A que satisfaz as seguintespropriedades:1. TodoelementodeAestarelacionadocomelemesmo. Emsmbolos:aa paratodo a A.2. Se umelemento a A estarelacionado comum outro elemento b A,entaoesteelementobestarelacionadocoma,isto e,se ab entao ba.1.6. RELACOESDEEQUIVALENCIA 253. Seumelementoa Aestarelacionadocomumelementob Ae,porsuavez, bestarelacionadocomumterceiroelementoc A, entaoaestarelacionadocomc,isto e,se ab e bc entao ac.As tres propriedades acima sao denominadas respectivamente, propriedadesreexiva,simetricaetransitivadarelacao.EXEMPLO1.2. RelacaodeigualdadeOexemplomaissimplesderelacaodeequivalenciaearelacaodeigual-dadeemumconjuntoqualquer.Eclaroquetodoelementodeumconjuntoe igual a ele mesmo,portanto vale a reexividade. Se um elemento x e igualayentaoyeigual ax, istoe, valeasimetria. E, nalmentesexeigual ayeyeigual azentaotrivialmentexeigual az, valendoassim, atransi-tividade. Naturalmente a igualdade e um exemplo trivial que nao justicariaumadenicaososticadacomo eadenicaoderelacaodeequivalencia.EXEMPLO1.3. RelacaodesemelhancadetriangulosConsidereoconjuntodetodosostriangulosnumplano. ConsidereSarelacaodesemelhancadetriangulos. Sereexiva, simetricaetransitiva.Portanto a relacao de semelhanca e uma relacao de equivalencia no conjuntodostriangulosdoplano.EXEMPLO1.4. RelacaodeparalelismoderetasA relacao de paralelismo entre duas retas no plano (ou no espaco) tambemereexiva,simetricaetransitivaeportantoumarelacaodeequivalencianoconjuntodasretasdoplano(oudoespaco). Nesteexemploadmitimosqueretascoincidentessaoparalelas.EXEMPLO1.5. RelacaodecongruenciadetriangulosArelacaode congruencianoconjuntodos triangulos doplanoe umarelacaodeequivalencia.EXEMPLO1.6. Relacaodeequivalenciadenidaporumafuncao26 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICASejamXeY conjuntosnaovaziosquaisqueref: X Y umafuncaoqualquer. DenaemXaseguinterelacao:ab se,esomentese, f(a) = f(b).Estarelacaoetrivialmentereexiva, simetricaetransitiva, portantoeumarelacaodeequivalenciaemX.Dadaumarelacaodeequivalencia numconjuntoAedadoumele-mentoa A, denimos aclassedeequivalencia deacomosendoosub-conjuntodeAformadoportodososelementosdeAqueestaorelacionadoscomaeodenotamosporCaou, simplesmente a, istoe, nalinguagemdeconjuntos,Ca= a = x A [ xaNaturalmentea Ca, umavezquea a, pelapropriedadereexiva.AssimCa ,= paratodoa A.PROPOSIC AO1.10. SejaumarelacaodeequivalencianumconjuntoA. Sejam ainda a, b A e Cae Cbrespectivamente as classes de equivalenciadeaeb. EntaoCa Cb= ou Ca= CbDEMONSTRAC AO: Defato, seCa Cb ,=entaoexistex Ca Cb.Assim,pordenicaodeCaedeCbtemosquexaexb. Logo,pelaspropriedades transitiva e simetrica, ab. Assim, se y Caentao ya ecomoabentaoyb. Portantoy Cb. IstomostraqueCa Cb. UmargumentoanalogomostraqueCb Ca,edaconclumosqueCa= Cb. A proposicao 1.10 arma que as classes de equivalencia de uma relacao deequivalencia, numconjuntoqualquer, parteesteconjuntoemsubconjuntosdisjuntos. Esteprocessoeoquechamamos departicao deumconjunto,comoformalizamosaseguir.DEFINIC AO1.3. SejaXumconjuntonaovazio. UmaparticaoPdeXeumafamliadesubconjuntosdeXsatisfazendo:1. Se A e Bsao dois subconjuntos distintos da famlia Pentao AB= .2. XeauniaodossubconjuntosdafamliaP.1.6. RELACOESDEEQUIVALENCIA 27Comosalientamos acima, clarameneas classes deequivalenciadeumarelacaodeequivalencianumconjuntoXdeterminamumaparticaoemX.Na verdade, os conceitos relacao de equivalenciae particaoestao liga-dosnosentidoseguinte.TodarelacaodeequivalenciaRnumconjuntoXdeterminauma( unica)particaodeX,asaber,PR= C X [ Ceclassedeequivalenciade R.Reciprocamente, toda particao Pdetermina um ( unica) relacao de equivalenciaRPemX, asaber, dadosx, y X, dizemosquexRPyse, esomentese,existeC Ptalquex, y CDEFINIC AO1.4. OconjuntodasclassesdeequivalenciadeumarelacaoemAechamadoconjuntoquocientedarelacao .DenotaremosesteconjuntoporA. Assim. Nalinguagemdosconjuntos,A= a [ a A = Ca [ a A.Podemosveroconjuntoquocientecomooconjuntoqueidenticaosele-mentosdeAqueestaonumamesmaclassedeequivalenciacomoum unicoelemento.Algumasvezesprecisamosnosreferir aumelementodoconjuntoquo-cientenaoesquecendoquesuaorigemeumsubconjuntodeA. ElegemosentaoemAumconjuntoquepossarepresentar os elementos doconjuntoquociente. Denominamosumtalsubconjuntodeconjuntoderepresentantesdoconjuntoquociente. Parasermaisclaro, umconjuntoderepresentantesda relacao de equivalencia em A e qualquer subconjunto Sde A satisfazendo:1. Se a, bS entao Ca Cb=, istoe ae b estao emclasses deequivalenciadistintas.2. DadaumaclassedeequivalenciaC,existea Stalquea C.Assim,existeumabijecaoentreoconjuntoderepresentantesSeocon-juntoquocientedarelacaodeequivalencia.28 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICAEXEMPLO1.7.Considerearelacaodeparalelismonoconjuntodasretasdoplano. Fixeum ponto Pno plano. A famlia das retas que passam por Pformam um con-junto de representantes desta relacao de equivalencia. De fato, dada qualquerretaLdoplanoexisteuma,esomenteuma,retaporPparalelaaL.Noexemplo1.6acimavimosquetodafuncaof : X Y determinaumarelacaode equivalencianodomnioXdafuncao, asaber, x yse, esomentese, f(x)=f(y). Naverdade, valeumaespeciederecproca,vejamos.Seja Xum conjunto nao vazio qualquer euma relacao de equivalenciaemX. SejaY=Xoconjuntoquocientedarelacao . Denaafuncao: X Y=Xx xClaramentevemosquex1x2se,esomentese, (x1) = (x2), isto e x1= x2.AfuncaoechamadaprojecaodeXsobreoconjuntoquocienteX. Natu-ralmenteesobrejetiva.TEOREMA1.2. Dadaumafuncaosobrejetivaf:X Y , considerearelacaodeequivalencia denidaporf emX, asaber, x yse, esomentesef(x)=f(y). Consideretambemaprojecao:X XdeXsobreoconjuntoquocientede queassociaacadaelementodeXasuaclasse. Entaoexisteuma unicabijecaofdeXemY tal quef= f.DEMONTRAC AO: A denicao def e a denicao natural, a saber,f( x) =f(x). Como x=(x) temos imediatamentequef = f. Precisamosvericarqueadenicaodefnaodependedaescolhadorepresentante xemsuaclasse. Defato,seu Xeoutroelementoqueestanaclassedex,istoe,xuentaof(x) = f(u). Istomostraquef( x) =f( u). Aunicidadedefeclara. 1.7. UMPOUCODELINGUAGEMLOGICA 29EXERCICIOS1.4.1. Determine todas as relacoes de equivalencianoconjunto 1, 2, 3, 4.Emcadacasoencontreoconjuntoquociente.2. SejaUumconjunto nao vazio, Aumsubconjunto de Ue (U) oconjuntodas partes deU. Denaem(U) arelacaoX Y se,esomentese, X A=Y A. Mostreque eumarelacaodeequivalencia.3. Sejamf : XY e g : XZduas funcoes sobrejetivas quedeterminamamesmarelacaodeequivalenciaemX.(a) Mostrequeexisteumafuncaoh: YZtal queh f =g.Mostre tambem que h e inversvel. Faca um diagrama para ilustrarestasituacao.(b) Seja: Z Y umefuncaotal que g =f. Mostreque h = IYeh = IZ. Concluaque = h1.(c) Se fe g nao forem sobrejetivas, e possvel encontrar h de tal formaqueh f= g?4. SejamXeYdoisconjuntostaisqueemcadaumdelesestejadenidauma relacao de equivalencias. Suponhamos que exista uma funcaof : XY satisfazendoacondicao: se x1 x2emXentao,necessariamente, f(x1) f(x2)emY . Mostrequeexisteuma, eape-nasuma, funcaog:X Ytal queg X=Y f, ondeXeYs aoasprojecoescanonicasnosrespectivosconjuntosquocientes. Facaumdiagramaparailustrarestasituacao.1.7 UmpoucodelinguagemlogicaEsta seccao tem como objetivo fazer uma breve introducao `a formalizacaodealgunsconceitosquesurgemnaturalmentenalinguagemmatematica. OmetodoutilizadoparaseestabelecerresultadosvalidosemMatematicaeometododedutivo, portantoenecessarioquesetenhaumalinguagemclara,coerenteeuniforme.Quandoseiniciaesteprocessodeaprendizagemnosdeparamoscomumcertodilema. Seriaconvenientetermosalinguagemlogicaparaestudaros30 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICAconceitosmatematicos. Poroutrolado,precisamosdealgunsconceitosparatornar alinguagempalatavel e, atemesmo, parajusticar asuaformali-dade. Nestasnotaspreferimosfazerestaseccaoaposabreveapresentacaode conjuntos e funcoes, na esperanca que estes conceitos fornecam uma fontenaturaldeexemplosnocontextodaMatematica.NaoeporacasoquealogicaequasetaoantigaquantoaMatematica,tendoasuaorigemnoseculoIVantesdeCristocomAristoteles. Elatevedois grandes impulsos em dois momentos cruciais da Historia da Matematica.O primeiro com Leibniz e Newton com a descoberta do Calculo Innitesimal.OsegundocomacorrenteformalistadeFrege,Peano,WhiteheadeRussel.A nossa linguagem usual muitas vezes e pouco precisa e causa ambig uida-des que geram d uvidas, dependendo da pessoa que comunica e da pessoa querecebeacomunicacao. Alogicamatematicaeumatentativadeestabele-cerumalinguagemformal, livredeambig uidades, paraseestabelecerumacomunicacao,oraleescrita,precisanocontextomatematico.Oprincipal objetonalinguagemdalogicamatematicaeaproposic ao.Trata-se de um conceito primitivo, isto e, sem denicao. No entanto queremosatribuir-lhe as caractersticas seguintes: uma proposicao deve ser declarativa,semambig uidadesepossuirumvalorlogicoverdadeirooufalso.EXEMPLO1.8.p1. SeA,BeCsaoconjuntoseA B,B CentaoA C.p2. Todasasfuncoessaoinjetivas.p3. Seumafuncao einjetivaesobrejetivaentaoela ebijetiva.Nestesexemplos, asproposicoesp1ep3temvalorlogicoverdadeiroeaproposicaop2temvalorlogicofalso.Por simplicidade, diremos que se uma proposicao p tiver valor logicoverdadeiroentaoelaeumaproposicaoverdadeiraeutilizaremosv(p)=Vpara simbolizar isto. Por outro lado, se p tiver valor logico falso entao diremosqueela eumaproposicaofalsaeutilizaremosv(p) = Fparasimbolizarestefato. Assim,nosexemplosacima,temos:v(p1) = V, v(p2) = F e v(p3) = VExistemdoisprincpiosbasicosnalogicamatematica:1. Princpiodanaocontradicao: Todaproposicaotemum unicovalorlogico1.7. UMPOUCODELINGUAGEMLOGICA 312. Princpiodoterceiroexcludo: UmaproposicaotemvalorlogicoV ouFenaohaoutraalternativa.Paraformularproposicoespodemosutilizaroquedenominamosconec-tivoslogicos. Osprincipaisconectivoslogicossao: , , , e Quando combinamos proposicoes e conectivos logicos apropriadamente pode-mosencontraroutrasproposicoes. Umaproposicaoassimobtidaedenom-inadaproposicaocomposta. Assim, osconectivoslogicospodemservistoscomooperacoesnoconjuntodasproposicoes.Parasedeterminarovalorlogicodeumaproposicaocompostamuitasvezes e conveniente utilizar uma forma organizada que denominaremos tabela-verdade. Aseguirconstruiremosalgumastabelas-verdadesutilizandoconec-tivoslogicos.1. NegacaodeumaproposicaoAnegacaodeumaproposicaop eaproposicao p (nao p)quetemvalorlogicodenidopelatabela-verdadeabaixo:p pV FF VAssim,anegacaodaproposicaop eaproposicao pcujovalorlogicoeV sev(p) = Fe eFsev(p) = V .Exemplo: p : x A p : x/ A2. Conjuncaodeduasproposicoes:Aconjuncaodasduasproposicoespeqeaproposicaop q (p e q)cujovalorlogico edenidopelaseguintetabela-verdade:32 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICAp q p qV V VV F FF V FF F FAssim,aconjuncaop qdasproposicoespeqso everdadeirasecadaumadasproposicoespeqforverdadeira.Podemosassociaraconjuncaodeproposicoes`ainterseccaodeconjun-tos: sejamAeBconjuntosquaisquer,entao,A B= x [ x Ae x BEXEMPLO1.9.p: Afuncaof: X Yeumafuncaoinjetiva.q: Afuncaof: X Yeumafuncaosobrejetiva.Entao,p q: Afuncaof: X Yeumafuncaobijetiva.3. Disjuncaodeduasproposicoes:Adisjuncaodasduasproposicoespeqeaproposicaop q (p ou q)cujovalorlogico edenidopelaseguintetabela-verdade:p q p qV V VV F VF V VF F FAssim, adisjuncaop qdasproposicoespeqsoefalsasecadaumadasproposicoespeqforfalsa.Podemos associar adisjuncaode proposicoes `auniaode conjuntos:sejamAeBconjuntosquaisquer,entao,A B= x [ x Aou x B1.7. UMPOUCODELINGUAGEMLOGICA 33EXEMPLO1.10.p : x A ; q: x B. Sev(p) = Fev(q) = V entaov(p q) = VEXEMPLO1.11.Dadasasproposicoespeq,atabelaverdadedaproposicaop ( q)e:p q q p ( q)V V F VV F V VF V F FF F V V4. Condicionaldeduasproposicoes:Acondicional dasduasproposicoespeqeaproposicaop q (p implicaqou sep entaoq)cujovalorlogico edenidopelaseguintetabela-verdade:p q p qV V VV F FF V VF F VAssim,aproposicaop qso efalsasepforverdadeiraeqforfalsa.Atabelaverdadedanegacaodaproposicaop qe:p q p q (p q)V V V FV F F VF V V FF F V F34 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICAEXEMPLO1.12.Dadas tres proposicoes p, q e r, a proposicao (pq) r tem a seguintetabela-verdadep q p q r p q rV V V V VV F F V VF V F V VF F F V VV V V F FV F F F VF V F F VF F F F VAssim,aproposicao(p q) r(sep qentaor)soefalsaquandopeqsaoverdadeiraserefalsa.5. Bicondicionaldeduasproposicoes:Abicondicional dasduasproposicoespeqeaproposicaop q (p se,esomenteseq)cujovalorlogico edenidopelaseguintetabela-verdade:p q p qV V VV F FF V FF F VAssim, a proposicao p q (p se, e somente se q) e verdadeira somentequandoambasasproposicoespeqforemverdadeirasouambasforemfalsas.TautologiaseContradicoesUmaproposicaocompostaeumatautologiaquandoosevalorlogicoforsempre verdadeiro, independentemente dos valores logicos de suas proposicoescomponentes.1.7. UMPOUCODELINGUAGEMLOGICA 35EXEMPLO1.13.p ( p) eumatautologia(Verique!)Umaproposicaocompostaeumacontradicaoquandoosevalorlogicoforsemprefalso,independentementedosvaloreslogicosdesuasproposicoescomponentes.EXEMPLO1.14.p ( p) eumacontradicao(Verique!)Dadasasproposicoescompostaspeq, dizemosquehaumaimplicacaologicaentre p e qou que p implicalogicamenteqquando a proposicao condi-cionalp qeumatautologia. Nestecaso,usaremosanotacaop = q.Cuidado: Ossmbolos e=queutilizamosaquientreproposicoestemsignicadosdiferentes.Osmbolo eumconectivoqueutilizadoentreduasproposicoespeqdaorigemaumanovaproposicaop qcujovalorlogicopodesertantoverdadeiroquantofalso.Osmbolo= e umconectivo que utilizado entre duas proposicoes p e qindicaqueaproposicaop qtemvalorlogicoverdadeiro,ouseja,eumatautologia.EXEMPLO1.15.p q peumatautologia. Portantop q=p. Defato, atabelaverdadedep q p easeguinte:p q p q p q pV V V VV F F VF V F VF F F VDadasasproposicoescompostaspeq,dizemosquehaumaequivalencialogicaentre p e q ou que p e logicamente equivalentea q se v(p) = v(q). Nestecaso,utilizamosanotacaop q.36 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICAEXEMPLO1.16.(p q) (q p) (p q)Observandoatabela-verdadep q p q q p (p q) (q p) p qV V V V V VV F F V F FF V V F F FF F V V V VVemosqueaproposicaoacima eumaequivalencialogica.Cuidado: Novamenteobservamosqueossmbolos e queuti-lizamosaquitemsignicadosdiferentes:p q se a proposicao p q e uma tautologia, isto e, tem valor logicosempreverdadeiro.EXEMPLO1.17.(p q) [ ( p q)]Veriqueistoconstruindoatabela-verdade.NegacaodeproposicoescompostasConsidereasproposicoespeq1. Asproposicoespe( ( p))saologicamenteequivalentes,isto ep ( ( p)).Defato,observeatabela-verdadeseguintep p ( ( p))V F VF V FVemos que aproposicaop ( ( p)) e umaequivalencialogica. Assim, a negacao da negacao e logicamente equivalente `a propriaproposicao.1.7. UMPOUCODELINGUAGEMLOGICA 372. As proposicoes (pq) e ( p) ( q) sao logicamente equivalentes,isto e, (p q)( p) ( q)Defato,observeatabelaverdadeseguintep q p q (p q) p q ( p) ( q)V V V F F F FV F F V F V VF V F V V F VF F F V V V VVemosqueaproposiacaoacima eumaequivalencialogica.3. As proposicoes (pq) e ( p)( q) sao logicamente equivalentes,isto e, (p q) ( p) ( q)(Veriqueisto!)4. As proposicoes ( p q) e p( q) sao logicamente equivalentes,isto e,( p q)p ( q)(Veriqueisto!)Proposicoesassociadas`aproposicaocondicionalConsidere a proposicao condicional p q. Podemos associar as seguintesproposicoes:1. Aproposicaorecproca: q p2. Aproposicaocontrapositiva: ( p) ( q)3. Aproposicaoinversa: ( p) ( q)Observe que a proposicao contrapositiva e logicamente equivalente `a proposicaooriginal,isto e,(p q)( q) ( p)Defato,bastaobservaraseguintetabelaverdade:38 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICAp q p q q p ( q) ( p)V V V F F VV F F V F FF V V F V VF F V V V VEXERCICIOS1.5.1. Dadasasproposicoespeq, construiratabelaverdadedasseguintesproposicoes:(a) p ( p)(b) p ( p)(c) p ( q)(d) p ( q)(e) ( p) ( q)(f) ( p) ( q)No quadro seguinte, p, q e r sao proposicoes quaisqeur e uma tautologiaeeumacontradicao1.7. UMPOUCODELINGUAGEMLOGICA 39Quadro ResumoDuplaNegacao ( p)pLeisIdenpotentes_p ppp p pLeisComutativas_p qq pp qq pLeisAssociativas_p (q r)(p q) rp (q r)(p q) rLeisDistributivas_p (q r)(p q) (p r)p (q r)(p q) (p r)LeisdeDeMorgan_(p q)( p) ( q)(p q)( p) ( q)LeisdeIdentidade___p pp p pp LeisComplementares___p ( p)p ( p)( )( )Condicional___p q (pq) ( p) qp q ( q) ( p)(p q) (pq)Bicondicional_p q(p q) (q p)(p q)p ( q) ( p) q)40 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICAOqueeumteorema?NalinguagemdaMatematicautilizamosalogicaformalparacomunicarresultados. Para se identicar os objetos com os quais vamos lidar, utilizamosasdenicoes.Uma denicaorelaciona o objeto a ser denido com outros ja conhecidos.Destaforma, podemosperceberquealgunsobjetosiniciaisnaopodemserdenidos. Estessaodenominadosobjetosprimitivos. Porexemplo: oponto,areta,oplanosaoobjetosprimitivosnaGeometriaEuclidiana.Umaproposicaotautologicaenvolvendoos objetos primitivos que n aodecorredeoutrasproposicoessaodenominadasaxiomas. Poderamosdizerqueumaxioma eumatautologiaprimitivaaceitasemquestionamento.Umteoremaeumaimplicacaologicaondeaprimeiraproposicaodestaimplicacao e denominada hipotese, e a segunda e denominada tese. Em outraspalavras,umteorema eumaproposicaodaformah =tondeheahipoteseet eatese. Lembrando-sequedizer queh=t eomesmoquedizerqueaproposicaoh teumatautologia, istoe, naopodeocorrer queovalor logicodehsejaverdadeiroeovalor logicodetsejafalso. Istosignicaquesev(h)=V entaov(t)=V . Assim, parasevericar a validade de um teorema, isto e,demonstra-lo, e preciso garantir averacidade da tese sempre que a hipotese seja verdadeira. Isto pode ser feitoutilizando-seumadastresalternativasseguintes.1. Demonstracao direta: Supor a hipotese verdadeira e concluir que a teseeverdadeira.2. Demonstracaoporabsurdo: Suporahipoteseverdadeira,atesefalsaeconcluirumacontradicao.3. Demonstracaoindireta: Suporatesefalsaeconcluirqueahipoteseefalsa.De acordo comcada situacao,uma destas tres alternativas e mais conve-nienteoumenosconveniente.Vamosexemplicaristocomoteoremaseguinte:1.7. UMPOUCODELINGUAGEMLOGICA 41TEOREMA1.3. SejamA, BeCtresconjuntos. SeA BeB CentaoA C.Ahipotesedoteoremaacimaecompostaporduasproposicoesp1ep2,sendoh=p1 p2ep1: A Bep2: B C. Ateseeaproposicaot : A C.1. DemonstracaodiretaSeh=p1 p2everdadeiraentaop1everdadeiraep2everdadeira.Istoe, estamossupondoqueA BeB C. Assim, sex Aentaox Be, comoB C, temosquex C. Portanto, paratodox Anecessariamente x C. Logo A C, o que garante que t e verdadeira.2. DemonstracaoporabsurdoVamos supor t falsa, istoe, AnaoestacontidoemC. Nestecaso,necessariamente existe x Atal que x / C. Mas vamos tambemsuporhverdadeira, istoe, A BeB C. Logosex Aentaox Be, portantox C. Conclumos que x Ce que x / C.Assim, se p e a proposicao x Centao, a proposicao p ( ; p) e umacontradicao.3. DemonstracaoindiretaVamossuportfalsaeconcluirqueh efalsa. Ora,set efalsaentaoAn aoestacontidoemC. Logo, existex Atalquex/ C. Queremosconcluir que h = p1p2 e falsa, isto e, queremos concluir que p1 e falsaoup2efalsa.Caso p1 seja verdadeira entao A Be, portanto, x B. Assim, x Be x/ C, o que garante que Bnao esta contido em B, isto e, p2e falsa.Casop2sejaverdadeira, istoe, B Centao, x/ B. Logox Aex/ B, oquegarantequeAnaoestacontidoemB, istoe, p1efalsa.Emqualquercaso,p1efalsaoup2efalsa. Logoh = p1 p2efalsa.Observequeastresalternativasacimatemgrausdediculdadesdifer-entes. Istofreq uentementeocorre. Precisamosestaratentosparaescolheramelhoralternativa.42 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICAArgumentoUmargumentoeumaproposicaocondicionaldaformap1 p2 pnconde p1, p2, . . . , pn e c sao proposicoes. Neste caso, as proposicoes p1, p2, . . . , pnsaodenominadaspremissasec edenominadaconclusao. Dizemosqueoar-gumento evalidoquandop1 p2 pnimplicalogicamentec,isto e,p1 p2 pn=cNo caso contrario dizemos que o argumento e nao valido, isto e c e verdadeiramasalgumadasproposicoespiefalsa. Umargumentonaovalidotambem edenominadososmaoufalacia.Claramentevemosqueumargumentop1 p2 pncevalidose,esomentese,ele eumatautologia.SentencaAbertaUma sentenca aberta e uma proposicao que envolve um objeto nao explcito.Elapodeserverdadeiraoufalsadependendodadeterminacaodoobjeto.EXEMPLO1.18.Considereaproposicaop : x 1, 2, 3, 4.Ora, naopodemosarmarquepeverdadeiranemqueefalsa, dependedadeterminacaodoobjetox. Porexemplo,sex = 3entaop everdadeiraesex = 5entaop efalsa. Nestecaso,x edenominadovariavel.1.7. UMPOUCODELINGUAGEMLOGICA 43Quanticadores:Os quanticadores sao expressoes que eventualmente ocorrem numa proposicaoligadas`aideiadequantidade. Hadoistiposdequanticadores:1. Quanticadoruniversal : Observeaseguinteproposicao:p : todafuncao einjetivaApalavratodaeumquanticadorchamadouniversal. Outrasformasdoquanticadoruniversal: paratodo, qualquerquesejaouqualquer.Utilizaremos osmbolo parasignicar oquanticador universal.Assimnoexemploacimapoderamosescrever: f;feinjetiva.2. Quanticadorexistencial : Observeaproposicaoseguinte:q: existemfuncoessobrejetivas.Apalavraexistemeumquanticadorexistencial. Outrasformasdoquanticadorexistencial sao: existealgumouexistepelomenosum.Utilizaremososmbolo parasignicaroquanticadorexistencial.Assimnoexemploanteriorpoderamosescrever: ftalquefesobrejetiva.Negacao de proposicoes envolvendoquanticadores.Vamos novamente considerar a proposicao do exemplo de quanticadoresuniversais:p : todafuncao einjetiva.44 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICAOqueseriaanegacaodep?Claramentevemosquesuanegacao e:p : existeumafuncaoquenao einjetiva.Noexemplodoquanticadorexistencial:q: existemfuncoessobrejetivas.Asuanegacaoseria:q: todasasfuncoesnaosaosobrejetivas.Os exemplos acimaevidenciamque paraexpressar anegacaode umaproposicao envolvendo umquanticador universal precisamos utilizar umquanticaorexistencial eviceversa, paraexpressarumaproposicaoenvol-vendo uma quanticador existencial precisamos utilizar um quanticador uni-versal. Na verdade estes exemplos sao casos especiais da situacao mais geralseguinte:Sejap(x)umasentencaabertanumconjuntoUqualquer. Considereasproposicoes:1. q1: x U; p(x)2. q2: x U; p(x)Entao,q2elogicamenteequivalenteaq1,isto e,q2 ( q1),eq1elogicamenteequivalenteaq2,isto e,q1 ( q2).Contra-exemplo:Para vericar que uma proposicao da forma ( q: x U; p(x)) e falsa,bastamostrarqueasuanegacao( q: x U; p(x))everdadeira,isto e, existe pelo menos um elemento u Utal que p(u) e verdadeira, istoe,p(u) efalsa. Umtalelementou echamadocontra-exemplodaproposicaoq.1.7. UMPOUCODELINGUAGEMLOGICA 45EXEMPLO1.19.Considere a proposicao (q: funcao f; fe injetiva). A sentenca abertautilizadaaquie: p(f): feinjetiva. Afuncaof: 1, 2 2denidaporf(1) = f(2) = 2 eportantoumcontra-exemploparaaproposicaoq.EXERCICIOS1.6.1. Construiratabela-verdadeparaasseguintesproposicoesa) p ( p) d) ( p) ( q) g) (p q)b) p ( p) e) p ( q) h) (p q)c) ( p) ( q) f) ( p) q2. Construiratabela-verdadeparaasseguintesproposicoesa) (p ( q)) b) (p q) (p q)c) ( p) (q p) d) (p q) (p q)e) (( p) r) (q r)f) ((p q) (q r)) (p r)3. Sev(p q) = Fquevalorlogicopodetera) (p q) r ? e b) (q r) (p r) ?4. Construiratabela-verdadeparaasseguintesproposicoesa) (p (q r)) (p (r q))b) (q r) ( q) rc) ( p)(r s)d) (q (( p) s))e) (p q) (q ( p))f) (p q) (( r) s)g) (( q) (p ( s)))h) ( p) (q (r ( s)))i) (( p) r) (q s)j) (( p) (q s)) (r ( s))k) ( q) ((( r) s) (p ( q)))l) (p (q r)) s46 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICA5. Quais das proposicoes abaixo sao tautologias?Quais sao contradicoes?a) ((p q) ( p)) (q p)b) (p ( q)) rc) ( r) (p q)d) ((p q) r) (p (q r))e) ( ( ( (p ( q))))) (( p) ( r))f) ((p q) (q p)) ((r p) q)g) (p (q r)) ((p (q r)) (p (q r)))h) ( p) (q (( r) s))i) ( ( (p q))) (( p) ( q))j) (p q) ((q r) (p r))6. Mostrequea) (p q r) (( p) ( q) ( r))b) (p q r) (( p) ( q) ( r))c) (p q) (p ( q)) (( p) q)d) ((p q) r) (p (q r))e) (p (p q)) pf) (p (p q)) p1.8. APENDICEDOCAPITULOI 471.8 ApendicedoCaptuloINotas BibliogracasApresentamos neste apendice uma curta biograa dos principais pen-sadores que contriburam para o desenvolvimento da logica matematica. Es-paramos queistomotiveoleitor aumestudomais aprofundadosobreosseuspensamentos. Afonteutilizadaparaestasbiograasfoi Wikipedia, aenciclopedialivre-naInternetGeorg CantorGeorgFerdinandLudwigPhilippCantor(SaoPetersburgo, 3deMarcode1845-Halle,Alemanha,6deJaneirode1918)foiummatematicoalemaodeorigemrussaconhecidoportercriadoamodernaTeoriadoscon-juntos. Foi apartirdestateoriaquechegouaoconceitoden umerotrans-nito,incluindoasclassesnumericasdoscardinaiseordinais,estabelecendoadiferencaentreestesdoisconceitosquecolocamnovosproblemasquandosereferemaconjuntosinnitos.NasceuemSaoPetersburgo(R ussia),lhodeumcomerciantedinamar-ques, GeorWaldemarCantor, edeumam usicarussa, MariaAnnaBohm.Em1856asuafamliamudou-separaaAlemanha, continuandoa osseusestudos. EstudounaEscolaPolitecnicadeZurique. Doutorou-senaUni-versidadedeBerlimem1867. TevecomoprofessoresErnstKummer, KarlWeierstrasseLeopoldKronecker.Em 1872 foi docente na Universidade alema de Halle, onde obtem o ttulode professor em 1879. Toda a sua vida ira tentar em vao deixar Halle, tendoacabadoporpensarqueeravtimadeumaconspiracao.Cantorprovouqueosgruposinnitosnaotemtodosamesmapotencia(potencia signicando tamanho). Fez a distincao entre grupos numeraveis(ouenumeraveis)(emingleschamam-secountable- quesepodemcontar)e grupos contnuos (emingles uncountable - que nao se podemcontar).48 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICAProvouqueoconjuntodosn umerosracionaisQe(e)numeravel, enquantoqueoconjuntodos n umeros reais IRecontnuo(logo, maior queoante-rior). Nademonstracaofoi utilizadoocelebreargumentodadiagonal deCantoroumetododiagonal. Nos ultimosanosdevidatentouprovar, semoconseguir, ahipotesedocontnuo, ouseja, quenaoexistemconjuntosdepotenciaintermediaentreosnumeraveiseoscontnuos-em1963, PaulCohendemonstrouaindemonstrabilidadedestahipotese. Em1897, Can-tordescobriuvariosparadoxossuscitadospelaTeoriadosconjuntos. FoielequeutilizoupelaprimeiravezosmboloIRpararepresentaroconjuntodosn umerosreais.Durantea ultimametadedasuavidasofreurepetidamentedeataquesdedepressao,oquecomprometeuasuacapacidadedetrabalhoeoforcouacar hospitalizado varias vezes. Provavelmente ser-lhe-ia diagnosticado, hojeemdia, umtranstornobipolar - vulgomanaco-depressivo. AdescobertadoParadoxodeRussell conduziu-oaumesgotamentonervosodoqual n aochegouaserecuperar. Comecou, entao, aseinteressarporliteraturaere-ligiao. DesenvolveuoseuconceitodeInnitoAbsoluto, queidenticavaaDeus. Ficou na pen uria durante a Primeira Guerra Mundial, morrendo numhospitalpsiquiatricoemHalle.OsconceitosmatematicosinovadorespropostosporCantorenfrentaramuma resistencia signicativa por parte da comunidade matematica da epoca.Os matematicosmodernos,porseulado,aceitamplenamenteotrabalhode-senvolvidopor Cantor nasuaTeoriados conjuntos, reconhecendo-acomoumamudancadeparadigmadamaiorimportancia.NaspalavrasdeDavidHilbert:NinguemnospoderaexpulsardoParasoqueCantorcriou.DirichletJohannPeter GustavLejeuneDirichlet(13defevereirode1805,D uren-5demaiode1859, Gottingen)foi ummatematicoalemaoaquemseatribuiamodernadenicaoformaldefuncao.1.8. APENDICEDOCAPITULOI 49SuafamliaeraoriginariadacidadedeRichelet, naBelgica, origemdeseuapelidoLejeuneDirichlet(ojovemdeRichelet).Dirichlet nesceuemD uren, onde seupai erachefe dos Correios. Foieducado na Alemanha e na Franca, onde foi aluno dos mais renomadosmatematicosda epoca. SuaprimeirapublicacaofoisobreoUltimoteoremadeFermat, afamosaconjectura(hojeprovada)quearmaqueparan>2,a equacao xn+yn= znnao possui solucoes inteiras, com excecao da solucaotrivial emque x, y ouz e zero, paraaqual concebeuumaprovaparcialparan = 5,quefoicompletadaporAdrien-MarieLegendre,quefoiumdosavaliadores. Dirichlettambemcompletousuapropriademonstracaoquaseao mesmo tempo; mais tarde, ele tambem forneceu uma prova completa paraocasoden = 14.Casou-se com Rebecca Mendelssohn, originaria de uma distinta famlia, aneta do losofo Moses Mendelssohn e irma do compositor Felix Mendelssohn.FerdinandEisenstein, LeopoldKroneckereRudolfLipschitzforamseusalunos. Apos sua morte, os escritos de Dirichlet e outros resultados em teoriadosn umerosforamcoletados, editadosepublicadosporseuamigoecolegamatematicoRichardDedekindsobottuloVorlesungen uberZahlentheorie(ConferenciassobreTeoriadeN umeros).AristotelesAristoteles nasceu em Estagira, na Calcdica. Apesar de ser na Macedo-nia, ogregoeraoidiomafalado. EralhodeNicomaco, amigoemedicopessoal do rei macedonio Amintas II, pai de Filipe II da Macedonia e avo deAlexandre,oGrande.EprovavelqueointeressedeAristotelesporbiologiaesiologiadecorradaatividademedicaexercidapelopai.Com cerca de 16 ou 17 anos partiu para Atenas,maior centro intelectualeartsticodaGrecia. Comomuitosoutrosjovensdeseutempo, foiparalaprosseguirosestudos. Duasgrandesinstituicoesdisputavamapreferenciadosjovens: aescoladeIsocrates, quevisavaprepararoalunoparaavida50 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICApoltica, e Platao e sua Academia, com preferencia `a ciencia (episteme) comofundamentodarealidade. ApesardoavisodequemnaoconhecesseGeome-triaalinaodeveriaentrar,Aristotelesdecidiu-sepelaAcademiaplatonicaenelapermaneceu20anos,ate347a.C.,anoquemorreuPlatao.Com a morte de grande mestre e com a escolha do sobrinho de Platao, Es-peusipo, para a chea da Academia, Aristoteles partiu para Assos com algunsex-alunos. Doisfatosparecemserelacionar comesseepisodio: EspeusiporepresentavaumatendenciaquedesagradavaimensamenteAristoteles, istoe,amatematizacaodalosoa;eAristotelester-sesentidopreterido(oure-jeitado),jaquesejulgavaomaisaptoparaassumiradirecaodaAcademia.EmAssos,Aristotelesfundouumpequenocrculolosococomaajudade Hermias, tirano local e eventual ouvinte de Platao. La cou por tres anos ecasou-secomPtias,sobrinhadeHermias. AssassinadoHermias,AristotelespartiuparaMitilene,nailhadeLesbos,onderealizouamaiorpartedesuasfamosasinvestigacoesbiologicas. Noanode343a.C.chamadoporFilipeII,tornou-sepreceptordeAlexandre,funcaoqueexerceuate336a.C.,quandoAlexandresubiuaotrono.Nestemesmoano, devoltaaAtenas, fundouo

Lykeion

, origemdapalavraLiceucujos alunos caramconhecidos comoperipateticos (os quepasseiam), nomedecorrentedohabitodeAristotelesdeensinaraoarlivre,muitas vezes sob as arvores que cercavam o Liceu. Ao contrario da Academiade Platao, o Liceu privilegiava as ciencias naturais. Alexandre mesmo enviavaao mestre exemplares da fauna e ora das regioes conquistadas. Seu trabalhocobriaos campos doconhecimentoclassicodeentao: losoa, metafsica,logica,etica, poltica, retorica, poesia, biologia, zoologia, medicinaenaosoestabeleceuasbasesdetaisdisciplinasquantosuametodologiacientca.Aristoteles dirigiu a escola ate 323 a.C., pouco depois da morte de Alexan-dre. Ossentimentosantimacedoniosdosateniensesvoltaram-secontraeleque, sentindo-se ameacado, deixouAtenas armando nao permitir que acidadecometesseumsegundocrimecontraalosoa(alusaoaojulgamentodeSocrates). Deixouaescolaaoscuidadosdeseuprincipal discpulo, Te-ofrasto (371 a.C. - 287 a.C.) e retirou-se para Calcis, na Eubeia, onde morreunoanoseguinte.Atradicaorepresentaumelementovitalparaacompreensaodalosoaaristotelica. Em certo sentido, Aristoteles via seu proprio pensamento como oponto culminante do processo desencadeado por Tales de Mileto. Sua losoapretendianaoapenasrevercomotambemcorrigirasfalhaseimperfeicoesdas losoas anteriores. Aomesmotempo, trilhounovos caminhos para1.8. APENDICEDOCAPITULOI 51fundamentarsuascrticas,revisoesenovasproposicoes.ParaAristoteles, aLogicaeuminstrumento, umapropedeuticaparaasciencias e para o conhecimento e baseia-se no silogismo,o raciocnio formal-mente estruturado que supoe certas premissas colocadas previamente para quehajaumaconclusaonecessaria. Osilogismopartedouniversal paraopar-ticular;ainducao,aocontrario,partedoparticularparaouniversal. Dessaforma,seforemverdadeirasaspremissas,aconclusao,logicamente,tambemosera.Gottfried LeibnizGottfried Wilhelm von Leibniz (Leipzig, 1 de julho de 1646 - Hanover,14denovembrode1716)foiumlosofo,cientista,matematico,diplomataebibliotecarioalemao.Aeleeatribudaacriacaodotermofuncao(1694), queusouparade-screver umaquantidade relacionadaaumacurva, como, por exemplo, asuainclinacaoouumpontoqualquersituadonela.EcreditadoaLeibnizeaNewton, odesenvolvimentodocalculomoderno, emparticularporseudesenvolvimentodaIntegral edaRegradoProduto. Demonstrougeniali-dade tambem nos campos da lei, religiao, poltica, historia, literatura, logica,metafsicaelosoa.Orf ao de mae aos seis anos,Leibniz foi educado por seu pai,professordelosoa moral. Em 1663 ingressa na Universidade de Leipzig, como estudantedeDireito. Em1666obtemograudedoutoremdireito, emNuremberg,por seuensaioprenunciandoumadas mais importantes doutrinas dasuaposteriorlosoa. Nessaepocaalia-se`aSociedadeRosacruz, daqualserasecretariodurantedoisanos. Foi oprimeiroaperceberqueaanatomiadalogica- as leis dopensamento- e assuntode analise combinatoria. Em1666escreveuDeArteCombinatoria, noqualformulouummodeloqueeoprecursor teorico de computacao moderna: todo raciocnio, toda descoberta,verbal ounao, eredutvel aumacombinacaoordenadadeelementos taiscomon umeros,palavras,sonsoucores.Nasuavisaodaexistenciade umacaractersticauniversal, Leibnizencontrava-se dois seculos `a frente de sua epoca, no que concerne `a matematica52 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICAe`alogica.Aos 22 anos, foi-lhe recusado o grau de doutor, alegando-se sua juventude.Tinhavinteeseisanos,quandopassouateraulascomChristiaanHuygens,cujos melhores trabalhos tratam da teoria ondulatoria da luz. A maior partedos papeis em que rascunhava suas ideias, nunca revisando, muito menos pub-licando, encontra-senaBibliotecaReal deHanoveraguardandoopacientetrabalhodeestudantes. Leibnizcriouumamaquinadecalcular, superior`aqueforacriadaporPascal,fazendoasquatrooperacoes.Em Londres, compareceu a encontros da Royal Society, em que exibiu suamaquina de calcular, sendo eleito membro estrangeiro da Sociedade antes desua volta a Paris em marco de 1673. Em 1676, ja tinha desenvolvido algumasformulaselementaresdocalculoetinhadescobertooteoremafundamentaldocalculo, quesofoi publicadoem11dejulhode1677, onzeanosdepoisdadescobertanaopublicadadeNewton. Noperodoentre1677e1704, ocalculoleibnizianofoi desenvolvidocomoinstrumentodereal forcaefacilaplicabilidadenocontinente,enquantonaInglaterra,devido`arelutanciadeNewtonemdividirsuasdescobertasmatematicas,ocalculocontinuavaumacuriosidaderelativamentenaoprocurada.Durantetodaasuavida, paralelamente`aMatematica, Leibniztrabal-houparaaristocratas, buscandoemsuas genealogias provas legais deseudireitoaottulo,tendopassadoseus ultimosquarentaanostrabalhandoex-clusivamenteparaafamliaBrunswick,chegandoaconrmarparaseusem-pregadores odireito ametade de todos os tronos da Europa. Suas pesquisaslevaram-no pela Alemanha,Austria e Italia de 1687 a 1690. Em 1700, LeibnizorganizouaAcademiadeCienciasdeBerlim, daqual foi oprimeiropresi-dente. EstaAcademiapermaneceucomoumadastresouquatroprincipaisdomundoatequeosnazistasaeliminaram.Morreu solitario e esquecido. Seu funeral acompanhado por seu secretario, unicatestemunhadeseus ultimosdiasIsaac NewtonSir IsaacNewton(Woolsthorpe, 4deJaneirode1643- Londres, 31deMarcode1727) foi umcientistaingles mais reconhecidocomofsicoematematico. Foi um dos criadores, junto com Leibniz, do Calculo DiferencialeIntegral. Tambemdescobriuvariasleisdamecanicacomoaatualmente1.8. APENDICEDOCAPITULOI 53conhecidacomoLei Fundamental daDinamicae aTeoriadaGravitacaoUniversal. Para ele, a funcao da ciencia era descobrir leis universais e enuncia-lasdeformaprecisaeracional.Newton estudou no Trinity College de Cambridge, tendo-se graduado em1665. UmdosprincipaisprecursoresdoIluminismo, seutrabalhocientcosofreuforteinuenciadeseuprofessoreorientadorBarrow(desde1663), edeSchooten, Vi`ete, JohnWallis, Descartes, dostrabalhosdeFermatsobreretastangentes`acurvas; Cavallieri, dasconcepcoesdeGalileueJohannesKepler.Em1663, formulouoteoremahojeconhecidocomoBinomiodeNew-ton. Fez suas primeiras hipoteses sobre gravitacao universal e escreveu sobreseriesinnitaseoquechamoudeteoriadasuxoes(1665), oembriaodoCalculoDiferencial e Integral. Por causadapeste, oTrinityCollege foifechadoem1666,ocientistafoiparacasadesuamaeemWoolsthorpe. Foinesteanoderetiroqueconstruiuquatrodesuasprincipaisdescobertas: oTeoremaBinomial, ocalculo, aLei daGravitacaoUniversal eanaturezadascores. Construiuoprimeirotelescopiodereexaoem1668, efoi quemprimeiro observou o espectro visvel que se pode obter pela decomposicao daluz solar ao incidir sobre uma das faces de um prisma triangular transparente(ououtromeioderefracaooudedifracao), atravessando-oeprojetando-sesobreummeioouumanteparobranco,fenomenoesteconhecidocomoDis-persaoLuminosa. Optou, entao, pelateoriacorpusculardepropagacaodaluz, enunciando-a em (1675) e contrariando a teoria ondulatoria de Huygens.Tornou-seprofessordematematicaemCambridge(1669)eentrouparaaRoyal Society(1672). Suaprincipal obrafoi apublicacaoPhilosophiaeNaturalis Principia Mathematica (Princpios matematicos da losoa natural- 1687), em tres volumes, no qual enunciou a lei da gravitacao universal (Vol.3), generalizandoe ampliandoas constatacoes de Kepler, e resumiusuasdescobertas, principalmente o calculo. Essa obra tratou essencialmente sobrefsica, astronomiaemecanica(leisdosmovimentos, movimentosdecorposem meios resistentes, vibracoes isotermicas, velocidade do som, densidade doar,quedadoscorposnaatmosfera,pressaoatmosferica,etc).De1687a1690foi membrodoparlamentobritanico, emrepresentacaodaUniversidadedeCambridge. Em1696foi nomeadoWardenoftheMinteem1701Masterof theMint, doiscargosburocraticosdacasadamoedabritanica. Foi eleitosocioestrangeirodaAcademiedesSciencesem1699etornou-sepresidentedaRoyal Societyem1703. Publicou, emCambridge,Arithmeticauniversalis(1707),umaespeciedelivro-textosobreidentidades54 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICAmatematicas, analiseegeometria, possivelmenteescritomuitosanosantes(talvezem1673).Escreveu (1669) e publicou (1711) De analysi per aequationes numero ter-minoruminnitas,sobreseriesecalculo. Escreveu(1671)epublicou(1742)Methodus uxionumet serieruminnitorum, tambemsobre omesmoas-sunto.Publicoutambemconclusoessobreescoamentoemcanais,velocidadedeondas superciais edeslocamentodosomnoar. Tambemescreveusobrequmica,alquimia,cronologiaeteologiaGottlob FregeFriedrichLudwigGottlobFrege(8deNovembrode1848, Wismar,Mecklenburg-Schwerin, Alemanha - 26 de Julho de 1925, Bad Kleinen, Meck-lenburg-Vorpommern, Alemanha) foi um matematico, logico e losofo alem ao.Trabalhandonafronteiraentrealosoaeamatematica, Fregefoi oprincipalcriadordalogicamatematica moderna,sendoconsiderado,ao ladodeAristoteles,omaiorlogicodetodosostempos.EstudounasuniversidadesdeJenaeGottingenetornou-seprofessordeMatematicaemJena, ondelecionouprimeirocomodocentee, apartir de1896, comocatedratico, ondepermaneceuatesuamorte. Em1879publi-couBegrisschrift(1879, Ideograa(Ideography)eumatraducaosugeridaemcartapeloproprioautor, outraopcaoseriaNotacaoConceptual), onde,pelaprimeiravez, seapresentavaumsistemamatematicologiconosentidomoderno.Em parte incompreendido por seus contemporaneos, tanto losofos comomatematicos, Frege prosseguiu seus estudos e publicou, em 1884, Die Grund-lagen der Arithmetik (Os Fundamentos da Aritmetica), obra-prima losocaque, noentanto, sofreuumademolidoracrticaporpartedeGeorgCantor,justamente um dos matematicos cujas ideias se aproximavam mais das suas.Em1903publicouosegundovolumedeGrundgesetzederArithmetik(LeisbasicasdaAritmetica),emqueexpunhaumsistemalogiconoqualseucon-temporaneoeadmiradorBertrandRussell encontrouumacontradicao, quecouconhecidacomooparadoxodeRussell. Esseepisodioimpactoupro-fundamenteavidaprodutivadeFrege. OgrandecontributodeFregeparaalogicamatematicafoiocriacaodeumsistemaderepresentacaosimbolica1.8. APENDICEDOCAPITULOI 55(Begrisschrift, conceitograaouideograa)pararepresentarformalmenteaestruturadosenunciadoslogicosesuasrelacoes, eacontribuicaoparaaimplementacaodocalculodospredicados. Essepartedadecomposicaofun-cional da estrutura interna das frases (em parte substituindo a velha dicoto-mia sujeito-predicado, herdada da tradicao logica Aristotelica, pela oposicaomatematica funcao-argumento) e da articulacao do conceito de quanticacao(implcitonalogicaclassicadageneralidade), tornadoassimpossvel asuamanipulacao em regras de deducao formal. (As expresscoes para todo o x,existeumx,quedenotamoperacoesdequanticacaosobrevariaveistemnaobradeFregeumadesuasorigens).Ao contrario de Aristoteles, e mesmo de Boole, que procuravam identicaras formas validas de argumento, e as assim chamadas leis do pensamento, apreocupacaobasicadeFregeeraasistematizacaodoraciocniomatematico,ouditodeoutramaneira, encontrar umacaracterizacaoprecisadoqueeumademonstracaomatematica. Fregehavianotadoqueosmatematicosdaepocafreq uentementecometiamerrosemsuasdemonstracoes, supondoassimquecertosteoremasestavamdemonstrados, quandonaverdadenaoestavam. Paracorrigirisso, Fregeprocurouformalizarasregrasdedemon-stracao, iniciando com regras elementares, bem simples, sobre cuja aplicacaonaohouvessed uvidas. Oresultadoquerevolucionoualogicafoi odesen-volvimentodocalculodepredicados(oulogicadepredicados).Giuseppe PeanoGiuseppe Peano (Spinetta, Piemonte, 27 de Agosto de 1858 - Turim, 20de Abril de 1932), considerado o maior matematico italiano de sua epoca, pro-duziutrabalhosdegrandealcancelosoco. Fezimportantescontribuicoesteoricas nas areas de analise matematica, logica, teoria dos conjuntos, equacoesdiferenciaiseanalisevetorial.Autor dein umeros livros eartigos, Peanofoi ofundador damodernalogica matematica e teoria dos conjuntos, para cujos conceitos e notacoes con-tribuiudeformadecisiva. NaobraArithmeticesPrincipiaNovaMethodoExpositade1889PeanodesenvolveuosfamososaxiomasdePeano,consid-eradosatehojecomoaaxiomatizacaopadraodosn umerosnaturais.PassouamaiorpartedesuacarreiraensinandomatematicanaUniversi-dade de Turim. Foi professor nesta mesma Universidade desde 1890 ate `a sua56 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICAmorteenaRealAcademiadeArtillerade1886ate1901. Criouumalnguainternacional chamada latino sine exione ou interlingua. Fundou a Rivistadi Matematicaem1891, publicadaposteriormenteemfrancesenasuain-terlingua. Em 1903 propos a interlingua como lngua auxiliar internacional eem 1908 foi eleito presidente da Academia pro interlinguaque transformounumaassociacaocientca, tendocomoorgaodeexpressaoocial arevistaScholaetVita.Da sua vasta obra cientica, uma grande parte foi dedicada `a Matematicae`aLogica, sendoarestanteparteconsagrada`aFilosoae`aconstrucaodainterlingua.As suas obras Calcolo dierenziale e principii di calcolo integrale(1884)eLezioni di analisi innitesimale(1893)foramdoisdosmaisimportantestrabalhos no desenvolvimento da teoria geral das funcoes depois dos trabalhosdomatematicofrancesAugustinCauchy.EmApplicazioni geometriche del calcoloinnitesimale(1887), Peanointroduziu os elementos basicos do calculo geometrico e deu novas denicoesparaocalculodocomprimentodeumarcoeparaaareadeumasuperfciecurva.EnolivroCalcologeometrico(1888)queencontramososeuprimeirotrabalho em Logica Matematica. Peano e sobretudo conhecido pela criacao deum sistema de simbolos que permite a descricao e o enunciado das proposicoeslogicas e matematicas sem recorrer `a linguagem comum. Neste sentido, Peanoe considerado como o fundador da Logica Matematica, por ter sido realmenteeleaintroduzir anovanotacao. Naverdade, aactual notacaoestamaisproximadapropostadePeanodoquedadeFregeaquem, noentanto, eemgeral atribudaapaternidadedaLogicaMatematica. Partedanotac aologica de Peano foi adoptada por Bertrand Russell e Alfred North WhiteheadnosPrincipiaMathematica.O seu trabalho mudou profundamente a visao dos matematicos e teve umagrandeinuencianosesforcosquemaistardesedesenvolveramnareestru-turacao da matematica, especialmente no trabalho dos matematicos francesesreveladosobopseudonimodeNicolasBourbaki.1.8. APENDICEDOCAPITULOI 57Bertrand RussellBertrand Arthur William Russell, 3oConde Russell (Ravenscroft, 18de Maio de 1872 - Penrhyndeudraeth, 2 de Fevereiro de 1970) foi um dos maisinuentes matematicos, losofos elogicos queviveram(emgrandeparte)noseculoXX.Umimportantepolticoliberal,activistaeumpopularizadordaFilosoa. MilhoesdepessoasrespeitaramRussell comoumaespeciedeprofetadavidaracional edacriatividade. Asuaposturaemvariostemasfoicontroversa.Nasceu em 1872, no auge do poderio economico e poltico do Reino Unido,tendomorridoem1970, vtimadeumagripe, quandooimperiosetinhadesmoronadoeoseupoderdrenadoemduasguerrasvitoriosasmasdebili-tantes. Ate `a sua morte, a sua voz deteve sempre autoridade moral, uma vezque ele foi um crtico inuente das armas nucleares e da guerra estadunidensenoVietname. Erainquieto.Em1950, RussellrecebeuoPremioNobeldaLiteraturaemreconheci-mentodosseusvariadosesignicativosescritos, nosquaiselesebateuporideaishumanitariosepelaliberdadedopensamento.IdeiasFilosocasDurantesualongavida, Russell elaboroualgumas das mais inuentesteseslosocasdoseculoXX,e,comelas,ajudouafomentarumadassuastradicoes losocas, a assim chamada Filosoa Analtica. Dentre essas teses,destacam-seateselogicista, oudalogicasimbolica, defundamentacaodaMatematica. Segundo Russell, todas as verdades matematicas - e nao apenasasdaaritmetica, comopensavaGottlobFrege- poderiamserdeduzidasapartirdeumaspoucasverdadeslogicas, etodososconceitosmatematicosreduzidosaunspoucosconceitoslogicosprimitivos.Umdos elementos impulsionadores desse projetofoi adescoberta, em1901, deumparadoxonosistemalogicodeFrege: ochamadoparadoxodeRussell. AsolucaodeRussell - paraesseeoutrosparadoxos- foi ateoriadostipos(inicialmente, ateoriasimplesdostipos; posteriormente, ateoriaramicadadostipos), umdospilaresdoseulogicismo. Trata-se, segundoRussell, de se impor certas restricoes a suposicao de que qualquer propriedadeque pode ser predicada de uma entidade de um tipo logico, pode ser predicadacomsignicadodequalquerentidadedeoutrooudomesmotipologico. O58 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICAtipo de uma propriedade deve ser de uma ordem superior ao tipo de qualquerentidadedaqualapropriedadepossacomsignicadoserpredicada.Comooutropilardesseprojeto,Russellconcebeuateoriadasdescricoesdenidas, apresentadaemfrancaoposicaoaalgumasdesuasantigasideias- emespecial, ascontidasemsuateoriadosignicadoedadenotacaode-fendidanoseulivroThePrinciplesofMathematics-e`ateoriadosentidoereferencia de Frege. Para Russell, a analise logica precisa de frases declarati-vascontendodescricoesdenidas-expressoescomop.ex. on umeroprimopar, o atual rei da Franca, etc. - deve deixar clara que, contrariamente `asaparencias, essas frases nao expressam proposicoes singulares - algumas vezesdenominadas proposicoes russellianas -, mas proposicoes gerais. p.ex., a frase(1)On umeroprimopar emaiordoque1,emborasupercialmentetenhaamesmaestruturadafrase(2)Isto evermelho,ouseja, aparentecomo(2)representarumaproposicaosingular, realmenterepresentaumaproposicaogeral. ParaRussell,(1)analisa-seassim:(1)Existepelomenosumn umeroprimopar, eexistenomaximoumn umero primo par, e ele e maior do que 1. Assim, tal analise deixariatransparentequedescricoesdenidasfuncionamlogicamentecomoquanti-cadores. Contrariamente`asuaantigateoriadosignicadoedadenotacao-e `a teoria do sentido e referencia de Frege -,a teoria das descricoes denidasdeRussell naoassocia`asdescricoesdenidassignicadoedenotacao-sen-tidoereferencia. SegundoRussell, taisexpressoesdesempenhamumpapelsemantico bastante diferente, qual seja, o de denotar ( quando existe o objetodescritopeladescricaodenida). Poroutrolado, asexpressoesquedesem-penhariamopapel dereferirem-sediretamenteaosobjetosseriamnomesemsentidologico(nomeslogicamenteproprios),comochamouRussell. Umdos seus exemplos preferidos de nomes logicamente proprios sao os pronomesdemonstrativos: isto, este, etc. Russelltambemestendouasuaanalisedefrasescontendodescricoesdenidasparafrasescontendonomespropriosordinarios. Segundoele, nomes proprios ordinarios seriam, defato, abre-viacoesdedescricoesdenidasqueporventurasetememmentequandoseusamtais nomes. P.ex., Aristotelespoderiaser umaabreviacaodeuma1.8. APENDICEDOCAPITULOI 59descricaocomoomaiordiscpulodePlatao. (TalconcepcaoarespeitodenomespropriosordinariosumaformadedescritivismofoiumdosalvosdeSaul KripkeemNamingandNecessity, queali defendeuumaformademillianismo.)Emestreitaharmoniacomessasteseslogico-semanticas, Russell desen-volveualgumastesesdeteoriadoconhecimento, emparticular, adistincaoentreconhecimentodireto(byacquaintance)econhecimentopordescricao.Assim, oconhecimentoquesetemdeumamanchavermelhanumaparede,paraRussell, poderiaser expressonumafrase como(2); por outrolado,oconhecimetoquesetemdos n umeros edesuas relacoes, p.ex., que2emaior doque1, envolveriaconceitos logicos, enaooconhecimentodiretodosn umeros. Russellformulouarelacaoentreessasduasformasdeconhec-imentonoseguinteprincpio: todooconhecimentoenvolvearelacaodiretado sujeito cognoscente com algum objeto (a relacao de conhecer diretamenteou, conversamente, de apresentacao de um objeto a um sujeito cognoscente),mesmoqueesseconhecimentosejaconhecimentopordescricaodeoutroob-jeto.Da volumosa obra de Russell, destacam-se o seu livro de 1903, The Prin-ciplesofMathematics(queconsistenumaapresentacaoinformaldoprojetologicista de Russell); o classico artigo de 1905, On Denoting(em que Russellapresenta pela primeira vez ao p ublico sua teoria das descricoes denidas); olivro em tres volumes, em co-autoria com o A.N.Whitehead, publicados entre1910e1913, intituladoPrincipiaMathematica(asegundaedicao, de1925,contem importantes modicacoes no projeto logicista de Russell-Whitehead);o seu artigo de 1910-11,Knowledge by Acquaintance and Knowledge by De-scription; easconferenciasproferidasnoinvernode1917-18, reunidassobottuloThePhilosophyofLogicalAtomism.DecalogoRussellproposumcodigodecondutaliberalbaseadoem10princpios,`amaneiradodecalogocristao. Naoparasubstituiroantigo, dizRussellemsuaautobiograa,masparacomplementa-lo. Osdezprincpiossao:1. Naotenhacertezaabsolutadenada.2. Naoconsiderequevalhaapenaprocederescondendoevidencias, poisasevidenciasinevitavelmentevirao`aluz.60 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICA3. Nuncatentedesencorajar opensamento, pois comcertezavoceterasucesso.4. Quandovoceencontraroposicao,mesmoquesejadeseumaridooudesuas criancas, esforce-se para supera-la pelo argumento, e nao pela au-toridade, pois uma vitoria dependente da autoridade e irreal e ilusoria.5. Naotenharespeitopelaautoridadedosoutros,poishasempreautori-dadescontrariasaseremachadas.6. Nao use o poder para suprimir opinioes que considere perniciosas, poisasopinioesiraosuprimirvoce.7. Nao tenha medo de possuir opinioes excentricas, pois todas as opinioeshojeaceitasforamumdiaconsideradasexcentricas.8. Encontre mais prazer em desacordo inteligente do que em concordanciapassiva, pois, sevocevalorizaainteligenciacomodeveria, oprimeiroseraumacordomaisprofundoqueasegunda.9. Sejaescrupulosamenteverdadeiro,mesmoqueaverdadesejainconve-niente,poisseramaisinconvenientesetentaresconde-la.10. Nao tenha inveja daqueles que vivem num paraso dos tolos, pois apenasumtolooconsiderariaumparaso.WhiteheadAlfred North Whitehead(NasceuemRamsgate (Kent) em15 deFevereiro de 1861 e morreu em 30 de dezembro de 1947) - Logico, matematicoemetafsicobritanico,reconhecidocomoumdosgrandeslosofosdoseculoXX. NascidoenRamsgate(Kent), a15deFevereirode1861, WhiteheadestudounoTrinityCollege(Cambridge), ondeensinoumatematicas entre1885e1911.EnsinoumatematicasaplicadasemecanicanaUniversidadedeLondres entre 1911 e 1924, losofa na Universidade de Harvard entre 1924 e1936. Foi professor emerito de Harvard ate `a sua morte a 30 de Dezembro de1947, e membro da Royal Society e da Academia Britanica. Matematico bril-hantetendodadoenormescontribuicoesnocampodamatematicateorica,1.8. APENDICEDOCAPITULOI 61Whitehead tinha um grande conhecimento da losofa e da literatura,e estapreparacaolevou-oaoestudodas origens damatematicaedalosoadaciencia,eaodesenvolvimentodelalogicasimbolica. Emcolaboracaocomoseu aluno de Cambridge, o matematico e losofo britanico Bertrand Russell,escreveuos tres volumes dePrincipiamathematica(1910-1913), umadasmaioresobrassobrelogicaematematicas.Escreveudois livros sobre losoa das ciencias naturais, Investigacaosobre os princpios do conhecimento natural (1919) e o Conceito de Na-tureza(1920). Nosseus ultimostrabalhosWhiteheadinclinou-separaumalosoa muito heterogenea que inclua a a metafsica, a religiao e os princpiosdoconhecimento. Osseusconceitossobreoconhecimentoprovocaramumarevoluc aonaepistemologia. Nasuafasedemaior actividadelosocaes-creveu: ACienciaeoMundoModerno(1925),ODevirdaReligiao(1926),Simbolismo: seusignicadoeefeito(1927),Processoerealidade: ensaioso-bre uma cosmologia (1929), A Funcao da Razao (1929), Aventura das Ideias(1933),eModosdoPensamento(1938). EscreveutambemTratadodaalge-brauniversal(1898),OPrincpiodaRelatividade(1922)eUmaIntroducaoasMatematicas(1911)destinado`adivulgacaocientcadestestemas.AlosoadeWhiteheadeelaboradanumpermanentecombateaoma-terialismocientco,naalturaemascensaoemtodoomundo. Umdassuasconcepcoesmaisinteressantes eometododeabstraccaoextensivo,desen-volvidonosprincpiosdoseculoXX,epormeiodoqualprocuravaexplorareexplicarosconceitosfundamentaisusadosnaciencia, eemparticularnasciencias da natureza. Neste sentido, examinou os principais conceitos usadospeloscientistasequeestesdavamcomohipotesesinexplicaveis, nomeada-mente nodomniodafsica. Criticouadivisaoentre espritoe materia,a divisao entre substancia e acidente, abstracto e concreto, ou a repre-sentacaotradicional dotempo. Whiteheadconcebeuanaturezacomoumaexperiencia. OprocessodomundoeumaexperienciadeDeus,naqualos objectosao passarem de um mundo ideal (propria da natureza de Deus)aomundofsicodeterminamosacontecimentos.Oseumetodobaseava-sena analise da realidade a partir da percepcao dos objectos e das relacoes entreosobjectos.62 CAPITULO1. CONJUNTOS,FUNCOESELINGUAGEMLOGICACaptulo2OSNUMEROSINTEIROSHaduasformasdeabordaroestudodosn umerosinteiros. Aprimeiradelasconsistenaconstrucaodelesapartirdateoriadosconjuntospassandopelaconstrucaopreliminar dos n umeros naturais. Asegundaconsistenasuaaxiomatizacao. Preferimosasegundaporvariosmotivos. Masessen-cialmenteosprincipaismotivossaoosseguintes. AconstrucaoapartirdateoriadosconjuntoseumcaminholongoenaocabenoprogramadeumprimeirocursodeAlgebradoscurrculosatuaisdeMatematica. Alemdisso,estecami-nhoearduoedesnecessarioparaaquelesqueiniciamocursodeMatem atica. Osalunos, emsuamaioria, precisamdominarinicialmenteaspropriedadesdosn umerosinteirossemsepreocuparcomasuaorigem. Autilizac ao dos n umeros nas aplicacoes e tao corriqueira que o questionamentosobreasuaorigempodecarparaumsegundomomento,paraaquelesquesentiremnecessidadedeummaioraprofundamento.2.1 AdenicaodeanelO conjunto dos n umeros inteiros, que vamos axiomatizar, possui uma es-trutura algebrica que envolvem duas operacoes fundamentais. Esta estruturaeoquedenominaremosdeanel. Nestaseccaovamosintroduz-laabstrata-menteeconhecerassuaspropriedadesbasicas.Seja Xum conjunto nao vazio. Uma operacao em Xe uma regra que, acada par de elementos de X, associa, de maneira unica, um terceiro elemento6364 CAPITULO2. OSNUMEROSINTEIROSdeX. Emoutraspalavras,umaoperacaoemXeumafuncaoo : X X X(x, y) o(x, y)Por simplicidade e conveniencia de notacao e linguagem utilizamos, nestecaso,umamaneiraespecialdeescreveraimagemo(x, y),asabero(x, y) = x o yEXEMPLO2.1.Seja C um conjunto nao vazio e F(C) o conjunto das funcoes com domnioecontradomnioC,isto e,F(C) = f: C C Acomposicaodefuncoes eumaoperacaoemF(C): : F(C) F(C) F(C)(f, g) f gPara xar melhor esta ideia vamos pensar no seguinte caso muito particular.SejaC= a, b. OconjuntoF(C)possuiquatroelemenos,asaber,F(C) = f1, f2, f3, f4ondef1: a a f2: a b f3: a a f4: a bb a b b b b b aAs possveis composicoes que podemos fazer emF(C) estaodescritas natabelaabaixo f1f2f3f4f1f1f1f1f1f2f2f2f2f2f3f1f2f3f4f4f2f1f4f3UmconjuntoA eumAnelseemAestaodenidasduasoperacoes,quechamaremos de soma(ou adicao) e produtoou (multiplicacao) e as denotare-mospor+e ,quesatisfazemosaxiomasseguintes.2.1. ADEFINIC AODEANEL 651. s1: +eumaoperacaocomutativa,isto e,x + y= y +x x, y A.2. s2: +eumaoperacaoassociativa,isto e,x + (y +v) = (x +y) +v x, y, v A.3. s3: +possuiumelementoneutro,isto e,Existeumelemento z A talque x + z= x (= z +x) x A.Efacil observarquenaoexistemdoiselementosdistintosemAquesatisfazemoaxiomas3. Emoutraspalavras, oelementozemAquesatisfazs3e unico. Defato, suponhaquez

Atambemsatisfazs3,isto e,x +z

= x x A. Entaotemosz

+z= z

ez +z

= z,comoz

+ z=z+ z

, concluimosquez

=z. Esteelementozechamadozero que e tambem denominado o elementoneutro da soma e vamosdenota-lopor0. Assimoaxiomas3ca:s3: 0 A talque x + 0 = 0 + x = x x A4. s4: Fixadox Aexistesx Atalquex + sx= sx +x = 0.E facil observar que para cada x A nao existem dois elementos distin-tosquesatisfazemoaxiomas4. Emoutraspalavras,paracadax Apre-xado, existeum unicoelementosx Aquesatisfazs4. Defato,suponhaques

xtambemsatisfacaacondicaox + s

x=s

x + x=0.Entaoteremos:s

x= s

x+0 = s

x+(x+sx) = (s

x+x)+sx= (x+s

x)+sx= 0+sx= sxPortanto,s

x= sx. Paracadax A,o unicoelementosxquesatisfazoaximas4echamadosimetricodex. Observeque, peloaxiomas4,se sx e o simetrico de x entao x e o simetrico de sx. Assim, utilizando anotacaoclassicaparaosimetrico,asaber,sx= x,oqueesta ultima66 CAPITULO2. OSNUMEROSINTEIROSobservacaonosestadizendoequex= (x). Podemosreformularoaxiomas4utilizandoanotacaoclassica:s4: Fixado x A existe x A talque x + (x) = x +x = 0.O axioma s4e as observacoes acima nos permitem introduzir dois fatosimportantes. O primeiro trata-se da funcao seguinte. Num anel A, estanocaodeelementosimetricodeneumabijecaodeAemA:s : A Ax xVemos imediatamente das observacoes acima que s s =IdA. Asegundaobservacaoe que estanocaode simetricodene umanovaoperacaoemA,asaber: : A A A(x, y) x + (y) := x yDenominaremos estaoperacaodesubtracao oudiferenca. DopontodevistadaestruturadeAestaoperacao epoucorelevante. Primeira-menteporqueela econseq uenciadeoutraoperacaoque easoma. Emsegundolugarporqueelanaopossui propriedadesinteressantescomoacomutatividadeeaassociatividade.5. p1: eassociativa,isto e,x(yv) = (xy)v x, y, v A.6. ps : Oprodutodistribui asoma,isto e,x(y + v) = xy +xv x, y, v A.Observacao: Apesar da opera cao subtracao nao satisfazer as propriedadesassociativaecomutativa, noentantoelasatisfazapropriedadedistributivaemrelacaoaoproduto,isto e,paratodosx, y, z Avalex(y z) = xy xz e (x y)z= xz yz(Veriqueisto!)2.1. ADEFINIC AODEANEL 67PROPOSIC AO2.1.Seja A um anel. Entao x A tem-se que x 0 = 0.Demonstracao:x0 = x(0 +0) = x0 +x0 =(x0) +x0 = (x0) +(x0 +x0)=0 = ((x0) +x0) +x0 = 0 +x0 = x0 =x0 = 0.AproposicaoacimanosdizquetodoelementodeAmultiplicadoporzero eigualazero.Se, alemdessesseisaxiomas, aoperacaoprodutoforcomutativa, istoe,satiszeroaxioma:p2: xy= yx x, y A,diremos queoanel Aecomutativo. Sealemdisso, aoperacaoprodutoadmitirumelementoneutro,isto e,satiszeroaxioma:p3: Existe u A talque xu = ux = x x A,diremosqueoanelA ecomutativocomunidade.Ef acil observarquenaoexistemdoiselementosemAquesatisfazemoaxiomap3,istoe,oelementounidadee unico. Defato,suponhaquev Atambemsatisfazp3,isto e,xv= vx = x x A. Entaoteremos:v= vu = uv= uVamos denotar oelementoneutrodeAemrelacaoaoprodutopor 1.Assimpodemosescreveroaxiomap3daseguinteforma:p3: Existe 1 A talque x1 = 1x = x x APROPOSIC AO2.2. SejaAumanel comutativocomunidade. Entao,(1)x = x x A.Demonstracao: Observeassegu